x - Сибирский государственный индустриальный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.38(07)
В 949
Рецензент
доктор технических наук, доцент
кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля
В.В. Коваленко
В 949 Вычисление определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла: метод.
указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост.: М. В. Белобородова, С. Ф.
Гаврикова. ─ Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 29с.
Методические указания по теме «Вычисление
определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла» составлены в
соответствии с программой по курсу высшей математики для
студентов всех специальностей и направлений подготовки,
изучающих дисциплину «Математика».
Дано краткое изложение основных понятий, связанных с
темой «Определенный интеграл», свойств и методов их
вычисления. Также приведены основные приложения
определенного интеграла. Рассмотрены примеры и
приведены задания для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов всех специальностей и
направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта учебно-методическая разработка предназначена для
студентов вузов инженерных направлений обучения, изучающих
раздел
«Определенный
интеграл»
учебной
дисциплины
"Математика". Разработка содержит учебный материал практических
занятий, темой которых является техника вычисления определенных
интегралов, её обоснование, а также приведены основные
приложения определенного интеграла.
Для понимания постановок задач и методов вычисления
интегралов необходимы знания по ранее изученным
темам:
неопределенный интеграл, методы вычисления неопределенного
интеграла.
Предлагаемая разработка отражает опыт составителя в
проведении практических занятий по дисциплине «Математика» в
ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный
университет».
3
Определенный интеграл: определение, свойства и вычисление
Пусть функция y  f ( x) определена на отрезке [a, b], где a < b.
Выполним следующие операции:
1. разобьем отрезок [a, b] точками a  x0  x1  ...  xi1  ...  xn  b
на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2], …, [xi-1, xi], …, [xn-1, xn];
2. в каждом из частичных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2, …, n выберем
произвольную точку и вычислим значение функции в этой
точке: f(zi);
3. найдем произведения f ( zi )  xi , где xi – длина частичного
отрезка [xi-1, xi], i = 1, 2, …, n;
4. составим сумму:
n
  f ( z1 )  x1  f ( z2 )  x2  ...  f ( zn )  xn   f ( zi )  xi ,
(1)
i 1
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на
отрезке [а, b].
С геометрической точки зрения интегральная сумма 
представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями
которых являются частичные отрезки [x0, x1], [x1, x2], …, [xi-1, xi], …,
[xn-1, xn], а высоты равны f(z1), f(z2), …, f(zn) соответственно (рис. 1).
Обозначим через
отрезка   max xi ;

Рисунок 1
длину наибольшего
1i n
частичного
5. найдем предел интегральной суммы, когда   0 .
Определение. Если существует конечный предел интегральной
суммы (1), и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на
частичные отрезки, ни от выбора точек zi в них, то этот предел
называется определенным интегралом от функции y  f ( x) на
b
отрезке [a, b] и обозначается
 f ( x)dx .
a
4
b
Таким образом,
n
 f (z )
 f ( x)dx  lim

0
a
i 1
i
xi .
Функция f ( x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа а и b
называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования, f ( x) – подынтегральной функцией, f ( x)dx – под
интегральным выражением, х – переменной интегрирования;
отрезок [a, b] называется промежутком интегрирования.
Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения
b
b
a
a
a
 f ( x)dx   f ( z)d z   f (t )d t  ... .
переменной интегрирования:
2. Определенный
b
интеграл
с
одинаковыми
пределами
a
интегрирования равен нулю:
 f ( x)dx  0 .
a
3. Если a > b , то
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
b
b
a
a
интеграла:  k  f ( x)dx  k  f ( x)dx .
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих
функций:
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g(x)  dx   f ( x)dx   g( x)dx .
6. Если функция f ( x) интегрируема на [a, b] и a < c < b, то
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
7. (теорема о среднем). Если функция y  f ( x) непрерывна на
отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка с[a, b], такая,
b
что
 f ( x)dx  f (c)  (b a) .
a
5
Формула Ньютона–Лейбница
Теорема. Если функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b]
и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива
следующая формула:
b

f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
b
(2)
a
b
которая называется формулой Ньютона–Лейбница, где символ a
называется знаком двойной подстановки.
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы
Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе
находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной
функции f ( x) ; на втором – находится разность F (b)  F (a) значений
этой первообразной на концах отрезка [a, b].
2
Пример 1. Вычислить интеграл  x 2 dx .
1
функции f ( x)  x 2
x3
произвольная первообразная имеет вид F (x)   C . Так как в
3
формуле
Ньютона-Лейбница
можно
использовать
любую
первообразную,
то
для
вычисления
интеграла
возьмем
x3
первообразную, имеющую наиболее простой вид: F (x)  .
3
2
2
x3
23 13 8 1 7
1
2
Тогда  x dx 
     2 .
3 1 3 3 3 3 3
3
1
Решение:
Для
подынтегральной
2
1
Ответ:  x 2 dx  2 .
3
1
x


4
Пример 2. Вычислить интеграл  1  e dx .

0
Решение:
4
4
4
4 x
4
4 x
x
x



x 
4
4
4 
4
1

e
dx

dx

e
dx

dx

4
e
d

x

4
e

 
  
0 




4
  

0
0
0
0
0
4
6
4
4
 4  4e  0  4e 0  4  4e  4  4e .
4
x


4
Ответ:  1  e dx  4e .

0
7
dx
Пример 3. Вычислить интеграл 
.
3
x

4
1
Решение:
7
7

1
1
1
dx
1
1  3x  4 


   3x  4  2 dx    3x  4  2 d  3x  4  
1
3 1
3
3x  4 1
2
7
1
2
  3x  4  2
3
7
Ответ:

1
7
1
2

1
7
1
1
2
8
 2
   3  7  4  2   3  (1)  4  2    5  1  .
3
3
 3
1
dx
8
 .
3x  4 3
3
4
Пример 4. Вычислить интеграл
3dx
 9  16 x 2 .
3
4
Решение:
3
4
3dx
3

 9  16 x2 16
3
4
1
4x
 arctg
4
3
3
4
3
4
3
4

dx
9
3
 x2
4 16

3
16
3
4
 3
3
4
2
2
  x
4

3 4
4x
 arctg
16 3
3

3
4
1
4 3
4 3  1
3
  arctg   arctg 
   arctg1  arctg

4
3 4
3 4  4
3 
1   1 

     
.
4  4 6  4 12 48
3
4
Ответ:
dx
3
4
3dx


 9  16 x 2 48 .
3
4
7
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 2. Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда, если: 1) функция x   (t ) и ее производная  (t ) непрерывны
при t[a, b]; 2) множеством значений функции x   (t ) при t[a, b]
является отрезок [a, b]; 3)  ( )  a, ( )  b , то справедлива формула
b

 f ( x)dx   f [ (t)]   (t)dt ,
(3)
a
которая называется формулой замены переменной в определенном
интеграле.
Как и в случае неопределенного интеграла, использование
замены переменной позволяет упростить исходный интеграл,
приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного
интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к
исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти
новые пределы интегрирования α и β (надо решить относительно
переменной t уравнения  (t)  a, (t )  b ).
8
xdx
Пример 5. Вычислить интеграл 
.
1

x
3
Решение: Введем новую переменную 1  x  t . Определим х
и dx. Возведем в квадрат обе части равенства 1  x  t :
1  x  t 2  x  t 2  1  dx  t 2  1  dt  2tdt .


Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу
1  x  t подставим старые пределы х = 3 и х = 8:
t  1 3  4  2 и t  1 8  9  3.
Следовательно,  = 2,  = 3. Таким образом:
3
2
8
3
3
3
3
3
t

1
2
tdt






xdx
t
 2  t 2  1 dt  2   t 2 dt  1dt   2   t  
3 1  x  2
t
 3 2
2
2
2

  33 23 

8 
8
24  8 32
2


 2       3  2    2  9   1  2  8    2 

 10 .
3 
3
3
3
3


 3 3 

8
xdx
2
Ответ: 
 10 .
3
3 1 x
8
ln 3
dx
ln 2 e x  e x .
Решение: Введем новую переменную e x  t . Определим х и dx:
1
x  ln t  dx  dt .
t
Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу
e x  t подставим старые пределы х = ln2 и х = ln3:
t  eln 2  2 и t  eln3  3 .
Следовательно,  = 2,  = 3. Таким образом:
Пример 6. Вычислить интеграл
3
dx
dt
dt
1 t 1
1  3 1
2 1 



ln

ln

ln
ln 2 e x  e x 2 t  t  t 1  2 t 2  1 2 t  1 2 2  3  1 2  1  
ln 3
3
3
1 1
1  1 3 ln1,5
  ln  ln   ln 
.
2 2
3 2 2
2
ln 3
dx
ln1,5
Ответ:  x  x 
.
e

e
2
ln 2
3
Пример 7. Вычислить интеграл
(1  x3 )dx
x
.
4 x
Решение: Введем новую переменную x  2sint . Определим dx:
x
dx  2cos tdt , t  arcsin .
2
Находим новые пределы интегрирования:
1 
3 
t  arcsin  и t  arcsin
 .
2 6
2
3
2
2
1
Следовательно,  

3
(1  x )dx
x
1

3


6
3
2
4 x
2
3



3
. Таким образом:

1  8sin t   2cos tdt  1  8sin t   2cos tdt 
3
4sin 2 t  4  4sin 2 t
1  8sin t  dt  1
4sin 2 t
6
, 
3
6
3





3
4sin 2 t  2cos t
6


3
dt
1
3
 2  sin tdt   ctgt   2cos t 3 
2

4  sin t
4

6
6
3
6
6
9
 1
1

  
  1 3
3
  ctg  ctg   2  cos  cos    
 3   2 

4
3
6 
3
6  4 3
2
2
 


1 2 3
3
7 3

1 3 
1 3 
 1.
4 3
6
6

2
Пример 8. Вычислить интеграл
dx
0 2  cos x .
x
 t . Определим cos x
2
2dt
1 t2
и dx:
.
dx 
, cos x 
2
2
1 t
1 t
0
Находим новые пределы интегрирования: t  tg  tg 0  0 и
2
Решение: Введем новую переменную tg
t  tg

 1.
4
Следовательно,  = 0,  = 1. Таким образом:
1
1
1
1
2dt
dt
dt
dt

2

2

2
0  1  t 2  2 0 2  2t 2  1  t 2 0 3  t 2 0 3 2  t 2 
 2  1  t 2  1  t 


1
x
2 
1
0  2 


.
2
arctg

arctg

arctg


0





6
3
30
3
3
3
3
 3 3
1

dx


0 2  cos x 3 3 .
2
Ответ:
Интегрирование по частям
Теорема 3. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют
непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда имеет место
следующая формула интегрирования по частям:
b
 udv  uv
a
b
b
a
  vdu .
a
10
(4)
e
Пример 9. Вычислить интеграл  ln xdx .
1
Решение: Положим u = lnx, dv = dx, отсюда du 
формуле (4) находим:
e
e
1
dx , v = x. По
x
e
1
e
e
e
ln
xdx

x
ln
x

x

dx

x
ln
x

dx

x
ln
x

x

1
1 x
1
1
1
1
1
 e ln e  1ln1  (e  1)  e  0  e  1  1.
e
e
Ответ:  ln xdx  1.
1

2
Пример 10. Вычислить интеграл
xdx
 sin 2 x .
6
Решение: Положим u  x, dv 
du  dx . По формуле (4) находим:

dx
dx
,
отсюда
v

 sin 2 x  ctgx ,
sin 2 x


2
xdx

 

2


xctgx

ctgxdx


ctg

ctg
 ln sin x

 sin 2 x

2
2 6
6

6
2
6

 3  ln sin
6

2
 ln sin

6

xdx
3

 sin 2 x 6  ln 2 .
2
Ответ:
6
Задания для самостоятельного решения
Вычислить определенные интегралы:
2
2
1
6 x 2 dx
3. 
;
3
1

2
x
0
 1 xdx ;
3
1

3
2.
6

6
3
1
3
 ln1  ln 
 ln 2 .
6
2
6

x
2

6
0
1.

x  16 x dx ;
4
3
3
4.
0
cos x
e
 sin xdx ;
0
11

1
5.
 3e
0
1
6.
 xe
x3
2
9
x dx ;
x
3dx
 2cos2 3x ;
9.
12
dx ;

2
0

10.
2
7.
 x sin xdx ;
x
cos xdx ;
0
1
11.
0
3
8.
e
2
 x ln xdx ;
 xarctgxdx .
0
2
Ответы
1
1. 10 ;
8
2. 61;
3. ln 3;
4. e  e ;
5. e  1;
e2
6.
;
e
7. 1;
8.
9.
10.
11.
8
19
9ln 3  ln 2  ;
3
9
3 1
;
2

1  2
 e  1 ;
2

 1
 .
4 2
Приложения определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция y  f ( x) неотрицательна и непрерывна на
отрезке [a, b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной
сверху графиком этой функции, снизу – осью Ox, слева и справа –
прямыми x = a и x = b (см. рис. 2), вычисляется по формуле
b
S   f ( x)dx
a
Рисунок 2
12
(5)
Пример 11.
Найти
площадь
фигуры,
ограниченной
линией y  2 x  x 2  8 и осью Ох.
Решение: Графиком функции y  2 x  x 2  8 является парабола,
ветви которой направлены вниз. Построим ее
(рис.
3).
Чтобы
определить
пределы
интегрирования, найдем точки пересечения
линии (параболы) с осью Ох (прямой у = 0).
Для этого решаем систему уравнений
 y  2 x  x 2  8,

y  0
Получаем: х1 = – 2, х2 = 4; следовательно,
Рисунок 3
a = – 2, b = 4.
Площадь фигуры находим по формуле (5):
4
4
4
4
x3
2
2
S   (2 x  x  8)dx  2  xdx   x dx  8  dx  x

2
3
2
2
2
2
4
2 4
 8 x 2 
4
2
 43  2 3 
 64 8 
 4   2    
  8  4  (2)   (16  4)      8  6 
 3
3 
 3 3

72
 12   48  60  24  36(кв.ед.) .
3
Ответ: S = 36 кв.ед.
Если функция y  f ( x) неположительна и непрерывна на
отрезке [a, b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной
снизу графиком данной функции, сверху – осью Ох, слева и справа –
прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле

2
2

b
S    f ( x)dx .
(6)
a
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  e x , x  1 и координатными осями.
Решение: Построим криволинейную трапецию (рис 4).
Пределы интегрирования a = 0 и b = 1.
Площадь фигуры находим по формуле (6):
13
1
1
S     e dx   e x dx  e x 
1
x
0
0
0
 e 1 e0  e  1(кв.ед.).
Ответ: S = e – 1 кв.ед.
В случае если функция y  f ( x)
непрерывна на отрезке [a, b] и меняет
знак в конечном числе точек, то
Рисунок 4
площадь заштрихованной фигуры (рис.
5)
равна
алгебраической
сумме
соответствующих определенных интегралов:
S  S1  S2  S3 
c
d
b
a
c
d
  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
. (7)
Рисунок 5
Если функция x   ( у) неотрицательна и непрерывна на
отрезке [c, d], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной
справа графиком данной функции, слева – осью Оу, снизу и сверху –
прямыми y = c и y= d (рис. 6), вычисляется по формуле
d
S    ( у )dy .
(8)
c
Рисунок 6
Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
2
y  , y  1, y  4, x  0 .
x
Решение: Построим криволинейную трапецию (рис 7), где х = 0
– уравнение оси Оу, у = 1 и у = 4 – прямые, параллельные оси Ох,
2
y  – гипербола.
x
14
Пределы интегрирования c = 1 и d = 4.
2
2
Выразим х из y   x  . Площадь
x
y
фигуры находим по формуле (8):
4
4
2
1
4
S   dy  2 dy  2ln(y) 1  2ln 4 2ln1 
y
y
1
1
Рисунок 7
 2ln 4  0  ln 42  ln16(кв.ед.) .
Ответ: S = ln16 кв.ед.
Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной
 x  x(t ),
параметрически 
t  [ ,  ] , прямыми х = a, х = b и осью Ох,
y

y
(
t
),

то площадь ее находится по формуле

S
 y(t ) x(t )dt .
(9)
Пример 14. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и
 x  a(t  sint),
одной аркой циклоиды
0  t  2 .

y

a
(1

cost),

Решение: Воспользуемся формулой (9). Предварительно найдем
х '(t )  (a(t  sint))  a(1  cost) .
х'(t):
2
S
2
2
 a(1  cost)  a(1  cost)dt   a (1  cost) dt  a  (1  2cost  cos t)dt 
2
0
2
0
2
 a 2  (1  2cost 
0
2
2
0
2
1  cos 2t
3
1
)dt  a 2  (  2cost  cos 2t )dt 
2
2
2
0
2
1 sin 2t 
1
3

23
 a  t  2sin t 
  a   2  2sin 2  sin 4  0  
2 2 0
4
2
2

2
 3a 2 (кв.ед.) .
15
Ответ: S  3a 2 кв.ед.
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой
r  r ( ) и двумя полярными радиусами 1   , 2       ,
находится по формуле:

1
S   r 2 ( )d  .
2
(10)
Рисунок 8
Пример 15. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой
Паскаля r  2  cos , 0    2 .
Решение: Улитка Паскаля симметрична относительно полярной
оси. Поэтому площадь искомой фигуры равна


1
2
S  2    2  cos   d    4  2cos   cos 2   d 
20
0


1
1




   4  2cos   1  cos 2   d    4,5  2cos   cos 2  d 
2
2


0
0

1
1


  4,5  4sin   sin 2   4,5  4sin   sin 2  4,5 (кв.ед.) .
4
4

0
Ответ: S  4,5 кв.ед.
Если криволинейная трапеция ограничена линиями y  f ( x) ,
y  g ( x) , х = а, x = b (рис. 9), то ее площадь находят как разность
площадей двух криволинейных трапеций:
b
S   ( f ( x)  g ( x))dx .
a
Рисунок 9
16
(11)
В случае, когда разность f ( x)  g ( x) не сохраняет знак на
отрезке [a, b], этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на
каждом из которых функция f ( x)  g ( x) сохраняет знак.
Пример 16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями x  0, x  2, y  2 x  x 2 , y  2 x .
Решение: Построим данные функции: y  2 x  x 2 – парабола с
вершиной в точке (1; 1), ветви которой направлены вниз; y  2 x –
показательная функция; х = 0 и х = 2 – прямые, параллельные оси Оу
(рис. 10).
Площадь фигуры находим по формуле (11), где пределы
интегрирования a = 0, b = 2:
2

S   2   2 x x
x
  dx   2
2
2
0
x
 2 x  x 2  dx 
0
2
 2x
x 2 x3 
22
23
2

2   
2  
ln
2
2
3
ln
2
3

0
 20
03 
4
8 1
3
4
2

0   
4 

 =
3  ln 2
3 ln 2 ln 2 3
 ln 2
Рисунок 10
1
4
 ln 2   кв.ед. .
3
3
1
4
Ответ: S  ln 2  кв.ед.
3
3
Пример 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
2
линиями y  , y  x  1, y  0, x  3 .
x
Решение: Построим данные функции: y = x + 1 – прямая; х = 3 –
уравнение прямой, параллельной оси Оу; у = 0 – уравнение оси Ох;
2
y  – гипербола (рис. 11).
x
На отрезке [–1; 1] над осью Ox расположен график прямой y = x
+ 1; на отрезке[1; 3] над осью Ox расположен график
17
2
гиперболы y  . Тогда площадь данной
x
неправильной трапеции ищем, как
сумму площадей двух правильных
трапеций:
1
 x2

2
S    x  1 dx   dx    x  
x
 2
 1
1
1
 (1) 2

1
3
 2ln x 1   1  
 1  2  ln 3  ln1 
2
 2

1
Рисунок 11

3
3 1
  1  2ln 3  0  2  2ln 3  кв.ед.
2 2
Ответ: S  2  2ln3 кв.ед.
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая АВ, заданная уравнением y  f ( x) , где a  x  b ,
лежит в плоскости Oxy (рис. 12).
Рисунок 12
Определение. Под длиной дуги АВ понимается предел, к
которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,
когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина
наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция y  f ( x) и ее производная y  f ( x) непрерывны
на отрезке [a, b], то длина дуги кривой АВ вычисляется по формуле:
18
b
b
l   1   f   x   dx   1  y2 dx .
2
a
Пример
18.
a
Вычислить
длину
Решение: Из условия задачи имеем a 
(12) получаем:


l


3
,b 


2
2
.
. По формуле

2
2
3


3
, x2 

2
3


2
cos 2 x
 1


1   ln sin x  dx   1  
 cos x  dx   1 
dx 
2
sin
x
sin
x




2
2
кривой y  lnsin x ,
дуги
заключенной между точками, для которых x1 

(12)
3




2
sin x  cos x
1
1
sin x
sin x
dx

dx

dx

dx

 sin 2 x  sin x  sin 2 x  1  cos2 x dx 
sin 2 x
2
2
3

2
d (cosx)
 

2
1

cos
x

3
1 t 1
 ln
2 t 1
0
1
2
2
2
2
3
3
3
cos x  t ; x 
x

2

3
 t  cos
 t  cos

2

3
0

3
1
2
0
0
2
2
dt
dt
 


2
2

1

t
t

1
1
1
1
1
1

1 0 1 1 2
1
1
1
1 1
 ln
 ln
 ln 1  ln 2  ln1  ln 
3
2 0 1 2 1 1 2
2
2
2 3
2
2
1 1 1
 0  ln  ln 3  ln 3  ед. .
2 3 2
Ответ: l  ln 3 ед.
 x  x(t ),
Если дуга кривой АВ задана параметрически 
t  [ ,  ] ,
y

y
(
t
),

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными
производными, то длина дуги кривой АВ вычисляется по формуле:
19


 x  t     y t   dt 
l
2

2
x2  y2 dt .
(13)

Пример 19. Найти длину дуги одной аркой циклоиды
 x  a(t  sint),
0  t  2 .

y

a
(1

cost),

Решение: Воспользуемся формулой (13). Предварительно
найдем х'(t), у'(t):
х(t )  (a(t  sint))  a(1  cost);
y(t )  (a(1  cost))  a(0  sint)  a sint.
2
l
2
2
0
2
a
a 2 1  2cost  cos 2 t   a 2 sin 2 t dt 
  a(1  cost)    a sint  dt  
2
0
1  2cos t  cos
2
2
2
t  sin t dt  a  2  2cos tdt  a  2 1  cos t dt 
2
0
0
2
0
2
2
2
t
t
t t
t
 a  2  2sin dt  2a  sin dt 4a  sin d  4a cos

2
2
2
2
2
0
0
0
0
2


 4a  cos
 cos0   4a  cos   1  4a  1  1  8a  ед. .
2


Ответ: l  8a ед.
Если дуга кривой АВ задана в полярных координатах
уравнением r  r ( ) , где  [ ;  ] , то длина дуги кривой АВ
вычисляется по формуле:
2

l


 r      r      d   
2
2
r 2  r 2 d  .

3
.
3
2
Решение: Воспользуемся формулой (14). Предварительно
найдем r    :
Пример 20. Найти длину дуги кривой r  a cos3

(14)
, 0  

 
 1
 

3 

r     a cos   a  3cos 2    sin    a cos 2 sin .
3
3 
3 3
3
3

20
l
3
2

0

3
2

0
2
2
3
2




sin 2 d   a 2 cos 4  cos 2  sin 2 d 
3
3
3
3
3
3
0
3
3
3
2
2
2 1  cos
a 2
2 
2
3
 a  cos d  a 
d   1  cos d 
3
2
2 0
3 
0
0
a 2 cos6




3 
2
a
cos


a
cos
sin

 
 d 
3 
3
3

 a 2 cos 4

3
2
a
3
2 
    sin
 
2
2
3 0
3 a
Ответ: l 
ед.
4
a  3 3
2  3
3
 3 a
 sin
 0  sin 0  
(ед.).

2 2 2
3 2
2
4

Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком
функции y  f ( x) , непрерывной на отрезке [a, b], осью Ox,
прямыми x = a и x = b, вращается вокруг оси Ox. Тогда объем
полученного тела вращения вычисляется по формуле
b
b
Vx    f ( x)dx    y 2 dx .
2
a
(15)
a
Пример 21. Вычислить объем тела, полученного вращением
вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox,
4
гиперболой y  , прямыми x = 1, x = 4.
x
Решение: Сделаем чертеж (рис. 13).
Из условия задачи следует, что a = 1, b = 4. По формуле (15)
получаем
2
4
4
4
1
4
Vx      dx  16  2 dx  16  x 2 dx 
x
x
1
1
1
4
x 1
1
1 
 16
 16
 16   1 
1 1
x1
4 
4
21
Рисунок 13
 3
 16      12 (куб.ед.) .
 4
Ответ: Vx  12 куб.ед.
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy
криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью
Oy и графиком непрерывной на отрезке [c, d] функции x   ( y) ,
определяется по формуле
d
d
Vy     ( y )dy    x 2 dy .
2
c
(16)
c
Пример 22. Вычислить объем тела, образованного вращением
x2 y 2
эллипса 2  2  1 вокруг оси Oу.
a
b
Решение: Из условия задачи следует, что с = –b, d = b. По
формуле (16) получаем
b
b

y2 
y2 
y3 
2
2
2
Vy    a 1  2  dy   a  1  2  dy   a  y  2  
b 
3b  b
 b 

b
b 
3

b   

b3 
1
1  4 2
2
2

  a  b  2   b 


a
b

b

b

b    a b (куб.ед.).



3b 
3b 2  
3
3

 3


b
4
Ответ: Vy   a 2b куб.ед.
3
22
Работа переменной силы
Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси Oх под
действием переменной силы F(х), зависящей от положения точки
x на оси. Тогда работа A, необходимая для перемещения
материальной точки из позиции x = a в позицию x = b вычисляется
по формуле:
b
A   F ( x)dx .
(17)
a
Пример 23. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть
пружину 0, 05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0, 01 м?
Решение: Согласно условию F = 100 H растягивает пружину на
х = 0, 01м. По закону Гука F = kx, следовательно, 100 = k∙ 0, 01. Тогда
k = 10000, F = 10000x. По формуле 17 находим работу
0,05
A

0
x2
10000 xdx  10000
2
0,05
 5000 x 2
0,05
0
 5000   0,052  0  
0
 5000  0,0025  12,5  Дж  .
Ответ: А = 12,5 Дж.
Вычисление координат центра тяжести
Центром тяжести совокупности материальных точек называется
центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках.
Для материальной дуги АВ плоской кривой y  f ( x)
прямоугольные координаты центра тяжести С определяются
b
формулами  a  x  b  : xc 
x
a
b

b
1   yx  dx
2
1   yx  dx
2
a
; yc 
y
1   yx  dx
2
a
b

. (18)
1   yx  dx
2
a
Для материальной однородной криволинейной трапеции,
прилежащей к оси Ox и имеющей верхнюю границу y  f ( x) , центр
тяжести имеет координаты
23
b
xc 
b
b
1 2
y dx
2 a
yc 

S
 xydx  xydx

a
S
a
b
,
 ydx
b
 y dx
2
a
b
(19)
.
2 ydx
a
a
Центр тяжести произвольной плоской, ограниченной графиком
функции y1  f1 ( x) сверху и y2  f 2 ( x) снизу, определяется
b
 x y
1
формулами
xc 
b
 y2  dx
a
,
b
 y
1
 y2  dx
yc 
1
2
2
y

y

1
2  dx
2 a
b
 y
1
a
(20)
.
 y2  dx
a
Пример 24. Найти координаты центра тяжести однородного
полукруга x 2  y 2  r 2 , расположенного над осью Ох.
Решение. Применим формулы (19). Так как полукруг
расположен над осью Ох, то верхняя граница задаётся уравнением
y  r 2  x 2 . В силу симметрии фигуры относительно оси ординат,
абсцисса xc центра тяжести равна нулю. Найдём ординату:
r
b
r
 2
x3 
1 2
1
2
2
y dx
r  x  dx  r x  



3  r
2a
1 2 2 r

yc 
 S  r 


2
1 2
S
2

r
r
2
3
r  

1  3 r3
1  3 2r 3 
1 4r 3 4r
3
 2  r    r  


.

 2r 

 r 
3
3   r 2 
3   r2 3
3
 4r
Координаты центра тяжести имеют вид  0;
 3
 4r 
Ответ:  0;
.
 3 
24

.

Задания для самостоятельного решения
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
a. ху = 4, х = 2, х = 4 и осью Ох;
b. у = – х, у = 2х – х2;
c. у = х2 – 2, у = 2х + 1;
d. 3x2 + 4y = 0, 2x + 4y – 1 = 0;
e. ху = 3, х + у = 4;
f. r  a cos;
r  2cos2  ;
1
r  sin 3 ;
2
g.
h.


r  3 cos  , r  sin   0     ;
2

 x(t)  3 t ,
1  t  4;

y
(
t
)

t

2,

 x(t )  a cost,

 y(t)  b sint;
i.
j.
k.

 x(t )  2 cos t ,
x  1  x  1 .


 y (t )  2 sin t ,
2. Найти длину дуги кривой :
4
a. y 2  x3 , отсеченной прямой x  ;
3
l.
b. x  ln cos y, 0  y 
2
3
2
3

3
;
2
3
c. x  y  a ;
 x(t )   t 2  2  sin t  2t cos t ,

d. 
2
 y (t )   2  t  cos t  2t sin t ;
25
3

 x(t )  7cos t , 
e. 
 t  ;
3
2

 y (t )  7sin t ,
f. r  4 1  sin   , 0   
g. r  2e , 

 


6
;
.
2
2
3. Вычислить работу, которую нужно затратить на
выкачивание воды из котла, имеющего форму полушара
радиуса R.
4. Найти центр тяжести дуги первой арки циклоиды:

 x(t)  a  t  sin t  ,
0  t  2 .

y
(
t
)

a
1

cos
t
,




5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями y  2 x  x 2 , у = 0 вокруг оси Ох.
6. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = 2х + 1, у = х + 4,
х = 0 и х = 1.
7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной линиями
y  3  x, y  3  x,
y  x  1.
8. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной линиями х = 2, у = – ln x и осью Ох.
9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной линией
 x(t )  ln t ,
2  t  3.

 y (t )  2t  3,
10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
 x(t )  a cost,
эллипса 
 y(t)  b sint.
26
Ответы
1. a) 4ln2;
f)
a2
4
2
c) 10 ;
3
b) 4,5;
;
g)
3
;
2
h)
k) ab;
j) 32,6;
112
2. a)
;
27
 5 
b) ln  tg
 ; c) 6a;
 12 
f) 8
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
 R4
4

;
16


3 2 ;
.
4
xc   a, yc  a .
3
16
.
15
16.
72
.
5
  8ln 2  3
.
2
3

2

3ln

 .
2

4
 ab 2 .
3
27
8
;
e) 4 – 3ln3;
27
5  6 3
i)
;
24
 2
l)
.
2
d)
3
d)
;
24

 
 2
g) 2  e  e 2  .


e) 10,5;
Библиографический список
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с.
2. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1. /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва :
Высшая школа, 2003. – 304 с.
3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике учебное
пособие для вузов. Изд. 15-е / В. П. Минорский. – Москва :
Издательство Физико-математической литературы, 2006. – 336с.
4. Письменный Л. Т. Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс / Л. Т. Письменный. – Москва : Айрис Пресс,
2006. – 608 с.
28
Учебное издание
Составители:
Белобородова Мария Викторовна
Гаврикова Светлана Федоровна
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО
ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 04.04.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 1,69 л. Уч.-изд. 1,89 л. Тираж 50 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
29
30