Введем несколько важных синтаксических понятий, относящихся

Введем несколько важных синтаксических понятий, относящихся к языку логики предикатов.
Область действия квантора.
В формулах вида ∀αA и ∃αA формула А называется областью действия квантора (∀ или
∃) по переменной α.
Например, в формуле ∀х(∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z)) областью действия квантора ∀ по переменной х
является формула ∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z), а областью действия квантора ∃ по переменной у – формула
¬P(х, у):
∀х(∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z))
область действия квантора ∃ по у
область действия квантора ∀ по х.
В произвольной формуле каждая предметная переменная встречается некоторое число раз (это
число может быть равно 0, 1, 2 и т. д.). Иначе говоря, переменная имеет некоторое число вхождений в
данную формулу. Например, в формуле ∀х(∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z)) переменная x имеет два вхождения, у
– три вхождения, z –одно вхождение, а остальные переменные – ни одного вхождения.
Свободные и связанные вхождения переменных.
Вхождение предметной переменной в некоторую формулу называется связанным, если
оно следует непосредственно за квантором или же находится в области действия
квантора по данной переменной. В противном случае вхождение переменной называется
свободным.
Например, в формуле, указанной выше, первые вхождения переменных х и у связаны, поскольку
они следуют непосредственно за кванторами ∀ и ∃. Второе вхождение х находится в области
действия квантора ∀ по переменной x, т. е. в формуле ∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z), а второе вхождение у
расположено в области действия квантора ∃ по переменной у, т. е. в формуле ¬P(х, у), поэтому
указанные вхождения являются связанными. Что же касается третьего вхождения переменной у и
единственного вхождения z, то они являются свободными.
∀х(∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z))
свободные вхождения переменных
связанные вхождения переменных
Свободные и связанные переменные.
Предметная переменная называется свободной в некоторой формуле, если существует по
крайней мере одно ее свободное вхождение в эту формулу. Переменная называется
связанной в формуле, если существует по крайней мере одно ее связанное вхождение в
эту формулу.
Например, в рассматриваемой формуле свободными являются переменные у и z, а связанными –
переменные x и у. Обратим внимание на то, что одна и та же переменная может быть и свободной, и
связанной в некоторой формуле. В нашем примере такой переменной является у, которая имеет как
свободное, так и связанное вхождение в указанную формулу.
Местность терма.
Местность терма есть число входящих в него различных предметных переменных.
Замкнутые термы.
Терм, не содержащий в своем составе предметных переменных, называется замкнутым.
Например, терм f(x, у, z) является трехместным, так как именно это число различных переменных
встречается в его составе, термы f(x, b, z) и f(х, у, у) – двухместные, терм f(x, b, а) – одноместный, а
терм f(c, b, a) – нульместный, т. е. замкнутый терм. Замкнутые (нульместные) термы являются
аналогами имен естественного языка; поэтому и р е з ул ьт а т о м п е р е в о д а л ю б о г о и м е н и
е сте ственного я зыка на я зык логики предикатов должен явля ться им енно
замкн утый терм .
Не следует путать местность функтора и местность терма, который строится из функтора и
имеющихся термов за счет их конкатенации (сочленения). В нашем примере функтор f не изменяет
свою местность и постоянно остается трехместным, так как именно это количество аргументов
требуется для построения с его помощью именных форм (термов). Сами же термы могут быть разной
местности – как меньшей, чем местность функтора, так и большей.
Местность формулы.
Местность формулы логики предикатов первого порядка есть число входящих в нее
различных свободных предметных переменных.
Замкнутые формулы (предложения).
Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой. Замкнутые
формулы есть предложения.
Обратите внимание на принципиальное отличие определения местности формулы в логике
высказываний и логике предикатов. Если в логике высказываний местность формулы определялась
простым подсчетом числа различных пропозициональных переменных, входящих в ее состав, то в
логике предикатов мы должны подсчитывать не просто различные индивидные переменные,
входящие в формулу, а именно различные с в о б о д н ы е и н д и в и д н ы е п е р е м е н н ы е . С учетом
только что сказанного, формула ∀х(∃у¬P(х, у) ⊃ Q(у, z)) является двухместной, поскольку она
содержит две различные свободные переменные – у и z, а формула ∃z∀х(∃у¬P(х, у) ⊃ ∀yQ(у, z)) не
имеет ни одной свободной переменной, поэтому она нульместная, т. е. замкнутая. Р е з ул ьт а т о м
перевода произвольного высказывания е сте ственного я зы ка обя зательно
д о л ж н а б ы т ь з а м к н у т а я ф о р м ул а .
Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства у отдельного предмета,
записываются в языке логики предикатов посредством формул вида П1(t), где t есть терм,
соответствующий имени предмета, а П1 – одноместная предикаторная константа, соответствующая
знаку свойства. Например, переводом высказывания «Ромео – юноша» может быть формула Р(а), где
предметная константа а соответствует имени «Ромео», а одноместная предикаторная константа Р –
знаку свойства «юноша». Высказывание «Отец Ромео храбр» может быть записано в виде Q(f(a)),
если одноместному предметному функтору «отец» сопоставить одноместную предметнофункциональную константу f, а знаку свойства «храбрый» – одноместную предикаторную константу
Q.
Высказывания, в которых отрицается наличие свойства у отдельного предмета, переводятся на
язык логики предикатов посредством формул вида ¬П1(t). Например, переводом высказывания «Отец
Ромео не является юношей» будет формула ¬Р(f(а)).
Высказывания, в которых утверждается наличие отношения между двумя предметами,
записываются в виде формул П2(t1, t2), где П2 – двухместная предикаторная константа,
соответствующая знаку двухместного отношения, a t1 и t2 – термы, соответствующие именам
предметов. Например, высказывание «Ромео любит Джульетту» может быть записано в виде R(a, b),
где R соответствует двухместному предикатору «любит», а а и b – именам «Ромео» и «Джульетта»,
соответственно. Переводом высказывания «Джульетта любит саму себя» будет формула R(b, b), a
переводом высказывания «Джульетта любит своего отца» – R(b, f(b)).
Высказывания, в которых отрицается наличие отношения между двумя предметами,
выражаются с помощью формул вида ¬П2(t1, t2). Например, переводом высказывания «Отец Ромео
не любит отца Джульетты» является формула ¬R(f(a), f(b)).
Вообще, высказывания о наличии отношения между п предметами записываются в виде Пn(t1,
t2,..., tn), где Пn – n-местная предикаторная константа, соответствующая знаку n-местного отношения.
Например, высказывание «Джульетта любит Ромео больше, чем своего отца» может быть записано в
виде формулы R1(b, a, f(b)), где R1 – трехместная предикаторная константа, соответствующая
трехместному отношению «любит больше, чем».
Высказывания об отсутствии отношения между п предметами переводятся посредством формул
вида ¬Пn(t1, t2,..., tn).
Высказывания, в которых говорится о существовании объекта, удовлетворяющего некоторому
условию, записываются в языке логики предикатов посредством формул вида ∃αА(α), где α –
индивидная переменная, пробегающая по области объектов, о которых идет речь в высказывании, а
А(α) – формула, выражающая утверждение о том, что α удовлетворяет условию А. Например,
высказывание «Кто-то является храбрым» может быть переведено формулой ∃xQ(x), где х здесь и
далее пробегает по классу людей, а Q – одноместная предикаторная константа, соответствующая
предикатору «храбрый». Высказывание «Кто-то не является храбрым» может быть записано как
∃x¬Q(x). Высказывание «Кто-то любит Джульетту» переводится с помощью формулы вида ∃xR(x,
b), где R соответствует двухместному предикатору «любит», a b – имени «Джульетта».
Высказывание «Джульетта любит кого-нибудь» может быть записано в виде ∃xR(b, x), а
высказывание «Кто-то не любит самого себя» – в виде ∃x¬R(x, x).
Высказывания, в которых утверждается, что условию А удовлетворяет любой объект предметной
области, переводятся на язык логики предикатов формулами вида ∀αA(α). Например, высказыванию
«Все являются храбрецами» соответствует ∀xQ(x), высказыванию «Всякий любит Джульетту» –
∀xR(x, b), высказыванию «Никто не любит отца Ромео» – ∀x¬R(x, f(a)), высказыванию «Отец Ромео
не любит никого» – ∀x¬R(f(a), x).
Простые высказывания могут содержать в своем составе несколько кванторов. Поясним на
примерах, каким образом осуществляются переводы на язык логики предикатов в подобных случаях.
Высказыванию «Каждый любит кого-нибудь» соответствует формула ∀x∃yR(x, у); высказыванию
«Кто-то кого-то не любит» – формула ∃x∃y¬R(x, у); высказыванию «Кто-то любит Ромео больше, чем
кого-либо» – формула ∃х∀уR1(х, а, у).
В состав каждого из рассмотренных ранее высказываний входил только один предикатор –
«юноша», «храбрый», «любит» или «любит больше, чем». Однако простые высказывания могут
содержать два, три и более предикаторов. Каким же образом осуществляется их формальная запись?
Если подобное высказывание содержит квантор, то его переводом будет формула вида ∃αА(α) или
∀αA(α) с той лишь разницей, что условие А(α) будет иметь более сложную структуру.
Начнем с формальной записи высказываний, содержащих два одноместных предикатора.
Высказывание «Некоторый юноша храбр» может быть переведено на формальный язык посредством
формулы ∃х(P(х) & Q(х)), которая имеет следующий буквальный смысл (с учетом того, что
константам Р и Q соответствуют предикаторы «юноша» и «храбрый») – «Существует объект х
(человек), который является юношей и является храбрым». Этот смысл в точности соответствует
смыслу исходного высказывания. Высказывание «Всякий юноша храбр» может быть записано как
∀x(P(x) ⊃ Q(x)). Буквальный смысл этой формулы – «Для всякого объекта х (из класса людей) верно,
что если он юноша, то он храбр» – также соответствует смыслу исходного высказывания.
Отрицательные высказывания «Некоторый юноша не храбр» и «Ни один юноша не храбр» могут
быть переведены соответственно формулами ∃х(P(х) & ¬Q(х)) и ∀x(P(x) ⊃ ¬Q(x)).
Рассмотрим теперь простые высказывания с одним одноместным и одним двухместным
предикатором.
Например, переводом высказывания «Некоторый юноша любит Джульетту» будет формула
∃х(P(х) & R(x, b)) – «Существует человек х такой, что он является юношей и любит Джульетту».
Переводом высказывания «Джульетта любит какого-то юношу» является формула ∃х(P(х) & R(b, x))
– «Существует человек х такой, что он является юношей и Джульетта любит его». Переводом
высказывания «Каждый юноша любит Джульетту» является формула ∀x(P(x) ⊃ R(x, b)) – «Для
всякого человека х верно, что если он юноша, то он любит Джульетту».
Более трудными являются случаи, когда в состав высказываний об отношениях входят несколько
одноместных предикаторов. Рассмотрим, например, высказывание «Всякий юноша любит какуюнибудь девушку». Как и раньше, предикаторам «юноша» и «любит» сопоставим константы Р и R, а
одноместному предикатору «девушка» сопоставим одноместную предикаторную константу S. Тогда
формальная запись нашего высказывания может иметь следующий вид: ∀x(P(x) ⊃ ∃у(S(у) & R(x, у))).
Буквальный смысл этой записи с учетом принятых обозначений – «Для всякого x из класса людей,
верно, что если он юноша, то существует у из этого же класса такой, что он девушка и х любит у» – в
точности соответствует смыслу исходного высказывания. Высказывание «Некоторые юноши любят
всякую девушку» может быть выражено формулой ∃х(Р(х) & ∀х(S(y) ⊃ R(x, у))) – «Существует
человек х из класса людей такой, что он юноша и для всякого человека у верно, что если у – девушка,
то х любит у». Соответствующим переводом высказывания «Некоторые юноши не любят ни одной
девушки» является формула ∃х(Р(х) & ∀y(S(у) ⊃ ¬R(х, y))).
Приведем еще несколько достаточно трудных примеров формальной записи простых
высказываний естественного языка:
«Всякий храбрец является юношей или девушкой» –
∀х(Q(х) ⊃ (Р(х) ∨ S(х)));
«Всякая храбрая девушка не любит ни одного нехраброго юношу» –
∀х((S(х) & Q(х)) ⊃ ∀у((Р(у) & ¬Q(у)) ⊃ ¬R(х, у)));
«Всякий юноша любит некоторую девушку больше, чем отца этой девушки» –
∀х(Р(х) ⊃ ∃у(S(у) & R1(х, у, f(у))));
«Некоторая девушка, отец которой храбр, любит его больше, чем некоторого не храброго юношу» –
∃х(S(х) & Q(f(х)) & ∃у((Р(у) & ¬Q(у)) & R1(х, f(х), у))).