§16 Формула Тейлора Формула Тейлора с остаточным членом в

92
§16 Формула Тейлора
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Известно, что наиболее простыми функциями в смысле вычисления являются
многочлены. Возникает вопрос о возможности замены функции f в окрестности точки
x 0 многочленом некоторой степени.
Из определения дифференцируемости функции f в точке x 0 следует, что если
y = f ( x ) дифференцируема в точке x 0 , то ее приращение можно представить в виде
Δf ( x 0 ) = f ′( x 0 ) Δx + o( Δx ) ,
т.е.
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) + o( x − x 0 ) .
Другими словами существует многочлен первой степени
P1 ( x ) = f ( x 0 ) + b1 ( x − x 0 ) ,
(1)
такой что при x → x 0
f ( x ) = P1 ( x ) + o( x − x 0 ) ,
причем P1 ( x ) удовлетворяет следующим условиям: P1 ( x 0 ) = f ( x 0 ) , P1′( x 0 ) = b1 = f ′( x 0 ) .
Поставим более общую задачу. Пусть функция, определенная в некоторой окрестности точки x 0 имеет в этой точке n производных f ′( x 0 )
f ′′( x 0 ), f ′′′( x 0 )... f ( n ) ( x 0 ) . Требуется выяснить, существует ли многочлен Pn ( x ) степени
не выше n такой, что
f ( x ) = Pn ( x ) + o( x − x 0 )
Найдем многочлен степени не выше n (запись которого аналогична (1))
2
n
Pn ( x ) = b0 + b1 ( x − x 0 ) + b2 ( x − x 0 ) +...+ bn ( x − x 0 ) ,
(2)
при условии. что значения многочлена Pn ( x ) и всех его производных до n-го порядка
включительно в точке x 0 совпадают со значениями функции f ( x ) и ее соответствующих производных в той же точке:
f ( x 0 ) = Pn ( x 0 ), f ′( x 0 ) = Pn′( x 0 ),..., f ( n ) ( x 0 ) = P ( n) n ( x 0 ) .
(3)
Определим коэффициенты b0 , b1 ,..., bn , так чтобы они удовлетворяли условиям
(3). Для этого предварительно вычислим производные Pn ( x ) :
Pn′( x ) = b1 + 2b2 ( x − x 0 ) + 3b3 ( x − x 0 ) +...+ nbn ( x − x 0 )
P ″ ( x ) = 2 ⋅ 1⋅ b + 3 ⋅ 2 ⋅ b x − x +...+ n( n − 1)b x − x
2
n
2
3
(
0
)
Pn′′′( x ) = 3 ⋅ 2 ⋅ b3 +...+ n( n − 1)( n − 2) bn ( x − x 0 )
n
n− 3
(
0
n−1
)
,
n− 2
,
(4)
,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Pn( n) ( x ) = n( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅ 2 ⋅ 1⋅ bn .
Подставляя в левые части равенств (2) и (3) вместо х значение x 0 получим значения
всех коэффициентов bi :
93
⎧b0 = f ( x 0 )
⎫ ⎪
f ( x 0 ) = Pn ( x 0 ) = b0 ,
⎪ ⎪b1 = f ′( x 0 )
f ′( x 0 ) = Pn′( x 0 ) = b1 ,
⎪ ⎪
1
⎪ ⎪b2 = f ′′( x 0 )
2!
f ′′( x 0 ) = Pn′′( x 0 ) = 2 ⋅ 1⋅ b2 , ⎪ ⎪⎪
⎬⇒⎨
1
f ′′′( x 0 ) = Pn′′′( x 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ b3 , ⎪ ⎪b3 = f ′′′( x 0 )
3!
⎪ ⎪
..............................................⎪ ⎪..........................
f ( n ) ( x 0 ) = P ( n ) n ( x 0 ) = n !bn , ⎪⎭ ⎪
⎪bn = 1 f ( n) ( x 0 )
⎪⎩
n!
Подставляя полученные значения коэффициентов в равенство (2), получаем многочлен вида
Pn ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) +
f ′′( x 0 )
2!
( x − x )+...+
f ( n) ( x 0 )
0
n!
(x − x )
0
n
,
который называется многочленом Тейлора функции f(x).
Обозначим, через Rn ( x ) разность значений данной функции и построенного
многочлена Тейлора:
Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x )
y
0
x
x
x0
Как видно из рисунка, Rn ( x ) есть погрешность, возникающая при замене функции
y = f ( x ) многочленом Pn ( x ) . Для значений х из окрестности точки x 0 , для которых
погрешность Rn ( x ) достаточно мала, многочлен Pn ( x ) дает приближенное представление функции.
Согласно определению многочлена Pn ( x ) , из условий (3) следует, что
Rn ( x 0 ) = Rn′ ( x 0 ) = Rn′′( x 0 ) =... = Rn( n ) ( x 0 ) = 0 .
Докажем, что
Rn ( x ) = o( x − x 0 ) ⇔ lim
n
x → x0
Rn ( x )
(x − x )
0
n
= 0.
94
Применим n раз правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
Rn ( x )
(x − x )
n
вида
0
Rn ( x )
lim
= lim
n
0
n −1
x → x0
Rn′′( x )
= lim
n( x − x )
(x − x )
R ( x ) = o( x − x ) при x → x
x → x0
т.е.
Rn′ ( x )
Rn ( x )
Rn( n) ( x )
=... = lim
= lim
=0
x → x 0 n !( x − x )
x→x0
n!
0
( n−1)
n( n − 1)( x − x 0 )
x → x0
0
0
0
n− 2
n
. Таким образом доказана следующая теорема
Теорема 8 Если функция y = f ( x ) определена и n раз дифференцируема в
Oδ ( x 0 ) , то при x → x 0 имеет место формула
n
0
0
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) +
или в краткой записи
n
f (x) = ∑
f ′′( x 0 )
f ( n) ( x 0 )
k=o
k!
2!
(x − x )
0
(x − x )
0
k
2
+...+
f ( n) ( x 0 )
n!
(x − x )
0
+ o( x − x 0 ) ,
n
n
+ o( x − x 0 )
n
(5)
где Rn ( x ) = o( x − x 0 ) -остаточный член в форме Пеано.
Формула (5) называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.
Если в формуле Тейлора положить x 0 = 0 , получим частный вид формулы, называемой формулой Маклорена
n
f ( x ) = f ( 0) +
f ′ ( 0)
f ′′( 0) 2
f ( n ) ( 0) n
x+
x +...+
x + o( x n )
1!
2!
n!
Тейлор Брук (Taylor Brook 18.8.1685-29.12.1731)английский математик . Нашел в 1712 общую формулу разложения функции в степенные ряды. Положил начало изучению задачи о колебании струны. Ему принадлежат заслуги в
разработке теории конечных разностей. Он также автор работ
о перспективе, центре качения, полете снарядов, взаимодействии магнитов, капиллярности и др.
Маклорен Колин (Maclaurin Colin) 1698 -14.6.1746
шотландский математик. Основные труды по теории рядов,
где известен ряд Маклорена (1742), исчислению конечных
разностей (формула Эйлера-Маклорена) и теории плоских
кривых высших порядков. Ряд работ по механике (равновесие тяжелой вращающейся жидкости, притяжение тяжелым
однородным эллипсоидом тяжелой вращающейся точки).
95
Пеано Джузеппе (Peano Giuseppe) 27.8.1858-20.4.1932
Итальянский математик, профессор Туринского университета.
Занимался изучением основных понятий математического анализа (вопрос о возможно более широких условиях существования решения дифференциальных уравнений, определение и объем понятия кривой и т.п.). Во всеобщее употребление вошла аксиома натурального ряда чисел(аксиома Пеано) Известен его
пример непрерывной (жордановой ) кривой , целиком заполняющей некоторый квадрат (кривой Пеано).
Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Получим представление остаточного члена Rn ( x ) формулы Тейлора в форме
Лагранжа.
Потребуем, чтобы функция f имела (n+1) производную в окрестности точки x 0 .
Введем функцию g( x ) = ( x − x 0 )
n+1
. Очевидно, что
g( x 0 ) = g ′( x 0 ) = g ′′( x 0 ) =... = g ( n ) ( x 0 ) = 0, g ( n +1) ( x ) = ( n + 1) ! ≠ 0.
Применим к функциям Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) и g( x ) = ( x − x 0 )
n+1
теорему Коши. То-
гда в силу условия Rn ( x 0 ) = Rn′ ( x 0 ) = Rn′′( x 0 ) =... = Rn( n) ( x 0 ) = 0 получим
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x 0 ) Rn′ ( c1 ) Rn′ ( c1 ) − Rn′ ( x 0 ) Rn′′( c2 )
=
=
=
=
=... =
g( x )
g( x ) − g( x 0 )
g ′( c1 )
g ′( c1 ) − g ′( x 0 ) g ′′( c2 )
=
Rn( n ) ( c n )
g ( n) ( cn )
=
Rn( n ) ( c n ) − Rn( n ) ( x 0 )
g ( n) ( cn ) − g ( n) ( x 0 )
=
Rn( n+1) (ξ )
g ( n+1) (ξ )
,
где c1 ∈( x 0 ; x ), c2 ∈( x 0 ; c1 ),..., c n ∈( x 0 ; c1 ), ξ ∈( x 0 ; c n ) ⊂ ( x 0 ; x ) . Таким образом мы показали.
что
Rn ( x ) Rn( n +1) (ξ )
= ( n +1)
,
g( x )
g
(ξ )
где ξ ∈( x 0 ; x ) . С учетом того, что g( x ) = ( x − x 0 )
имеем
f ( n+1) (ξ )
Rn ( x ) =
n+1
(x − x )
( n + 1) !
0
, g ( n+1) ( x ) = ( n + 1) ! , Rn( n ) (ξ ) = f ( n+1) (ξ ) ,
n +1
, ξ ∈( x 0 ; x )
(6)
Формулу (6) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Так как ξ ∈( x 0 ; x ) , то ξ можно представить в виде ξ = x 0 + θ ( x − x 0 ) , где
0 < θ < 1 т.е. остаточный член можно записать в виде
f ( n +1) ( x 0 + θ ( x − x 0 ))
n +1
Rn ( x ) =
( n + 1)!
(x − x )
0
,
Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно записать в виде