ПЗ № 2

Практическое занятие № 2
Расчёт структурной надёжности
невосстанавливаемых объектов
Задача № 1
Система представляет собой последовательное соединение элементов в
структурной схеме надежности. Известны интенсивности отказов каждого из
элементов. Определить интенсивность отказов системы, вероятность
безотказной работы и вероятность отказов системы на момент времени t =
100000 ч.
0,210- 6
2310- 6
510- 6
Решение.
Первый метод.
Для определения интенсивности отказов используем формулу
𝑛
𝜆С = ∑ 𝜆𝑖 = 0,2 ∙ 10−6 + 23 ∙ 10−6 + 5 ∙ 10−6 = 28,2 ∙ 10−6 ч−1
𝑖=1
Вероятность безотказной работы при экспоненциальном законе
распределения показателей надежности
−6 ∙105
𝑃С (100000) = 𝑒 −28,2∙10
= 𝑒 −2,82 = 0,0596
Вероятность отказа
𝑄С (100000) = 1 − 𝑃(100000) = 1 − 0,0596 = 0,9404
Второй метод.
Определяем вероятность безотказной работы каждого элемента
−6
5
𝑃1 (100000) = 𝑒 −0,2∙10 ∙10 = 𝑒 −0,02 = 0,9802
−6
5
𝑃2 (100000) = 𝑒 −23∙10 ∙10 = 𝑒 −2,3 = 0,1003
−6 ∙105
𝑃3 (100000) = 𝑒 −5∙10
= 𝑒 −0,5 = 0,6065
1
Используя формулу произведения вероятностей безотказной работы
для последовательного соединения элементов определяем вероятность
безотказной работы системы
𝑃𝐶 (100000) = 𝑃1 (100000) ∙ 𝑃2 (100000) ∙ 𝑃3 (100000)
= 0,9802 ∙ 0,1003 ∙ 0,6065 = 0,0596
Выводы, вытекающие из решения задачи
1. Чем больше элементов, составляющих систему с последовательным
соединением элементов, тем выше интенсивность отказов и, следовательно,
ниже надёжность системы.
2. Итоговая вероятность безотказной работы системы ниже
вероятности безотказной работы самого ненадёжного элемента.
Задача № 2
Система представляет собой параллельное соединение элементов в
структурной схеме надежности. Известны интенсивности отказов каждого из
элементов. Определить вероятность безотказной работы и вероятность
отказов системы на момент времени t = 100000 ч.
0,210- 6
2310- 6
510- 6
Решение.
Определяем вероятности безотказной работы каждого элемента
−6
5
𝑃1 (100000) = 𝑒 −0,2∙10 ∙10 = 𝑒 −0,02 = 0,9802
−6
5
𝑃2 (100000) = 𝑒 −23∙10 ∙10 = 𝑒 −2,3 = 0,1003
−6 ∙105
𝑃3 (100000) = 𝑒 −5∙10
= 𝑒 −0,5 = 0,6065
Определяем вероятности отказов элементов
𝑄1 (100000) = 1 − 0,9802 = 0,0198
𝑄2 (100000) = 1 − 0,1003 = 0,8997
𝑄3 (100000) = 1 − 0,6065 = 0,3935
2
Определяем вероятность отказа системы с параллельным соединением
элементов в структурной схеме надёжности
𝑄𝐶 (100000) = 𝑄1 (100000) ∙ 𝑄2 (100000) ∙ 𝑄3 (100000)
= 0,0198 ∙ 0,8997 ∙ 0,3935 = 0,007
Искомая вероятность безотказной работы системы
𝑃С (100000) = 1 − 𝑄𝐶 (100000) = 1 − 0,007 = 0,993
Интенсивность
элементов
отказов
системы
из
параллельно
соединённых
5
𝑙𝑛𝑃С (100000) = 𝑙𝑛 𝑒 −𝜆𝑐∙10
𝑙𝑛0,993 = −𝜆𝑐 ∙ 105
𝜆𝑐 =
𝑙𝑛0,993 0,007025
=
= 0,07025 ∙ 10−6
5
5
−10
10
Выводы, вытекающие из решения задачи
1. Чем больше элементов, составляющих систему с параллельным
соединением элементов, тем ниже интенсивность отказов и, следовательно,
выше надёжность системы.
2. Итоговая вероятность безотказной работы системы выше
вероятности безотказной работы самого надёжного элемента.
Задача № 3
Задана структурная схема надёжности смешанного соединения
элементов системы. Известны вероятности безотказной работы элементов,
входящих в систему. Определить вероятность безотказной работы системы.
а)
1
0,9
2
0,95
б)
7
5
6
0,7
0,8
3
0,85
4
в)
0,8
8
0,75
0,8
9
0,8
3
Для решения задачи применяем метод свёртки, чтобы свести сложную
структуру смешанного соединения к схеме, которая будет содержать только
последовательное соединение элементов.
Для этого:
1. Определяем вероятность безотказной работы последовательного
соединения элементов 1 и 2
𝑃12 = 𝑃1 𝑃2 = 0,9 ∙ 0,95 = 0,855
2. Определяем вероятность безотказной работы последовательного
соединения элементов 3 и 4
𝑃34 = 𝑃3 𝑃4 = 0,8 ∙ 0,85 = 0,68
3. Участок схемы а) представляет собой параллельное соединение
элементов 1, 2 и 3, 4. Отсюда вероятность безотказной работы участка схемы
𝑃𝑎 = 1 − (1 − 𝑃12 )(1 − 𝑃34 ) = 1 − (1 − 0,855)(1 − 0,68) = 1 − 0,145 ∙ 0,32
= 1 − 0,0464 = 0,9536
4. Структура участка схемы б) представляет собой последовательное
соединение элементов 5 и 6, тогда
𝑃б = 𝑃5 𝑃6 = 0,7 ∙ 0,75 = 0,525
5. Структура участка схемы в) представляет собой параллельное
соединение элементов 7, 8 и 9. Причём, элементы имеют одинаковую
надёжность, тогда
𝑃в = 1 − (1 − 𝑃7 )(1 − 𝑃8 )(1 − 𝑃9 ) = 1−(1 − 0,8)3 = 1 − 0,23 = 1 − 0,008 = 0,992
Окончательно
𝑃𝑐 = 𝑃𝑎 𝑃б 𝑃в = 0,9536 ∙ 0,525 ∙ 0,992 = 0,4966
4
Задача № 4
Структурная схема надёжности системы представляет собой произвольное
соединение элементов (мостиковая схема). Заданы вероятности безотказной
работы каждого элемента. Определить вероятность безотказной работы
системы Pс используя метод разложения структуры относительно базового
(ключевого) элемента.
1
4
0,95
0,9
3
2
0,7
5
0,8
0,85
Решение:
1. В качестве ключевого элемента выбираем 3-й элемент, так как он
имеет набольшее количество соединений с соседними элементами среди
других элементов.
2. Принимаем гипотезу, что ключевой элемент находится в
работоспособном состоянии, т.е. Р3 = 1. На его месте ставим соединение. Для
учёта надёжности ключевого элемента последовательно к преобразованной
схеме присоединяем элемент с надёжностью ключевого элемента.
Структурная схема системы принимает вид:
1
4
0,95
0,9
2
0,8
3
5
0,7
0,85
Используя метод «свертки» определяем вероятность безотказной работы
PС1 =[1-(1-P1)(1-P2)][1-(1-P4)(1-P5)]0,7 =
= [1–(1–0,9)(1–0,8)] [1–(1–0,95)(1–0,85)] 0,7=
(1-0,10,2)(1-0,050,15)0,7 = 0,980,99250,7 = 0,680855
3. Принимаем гипотезу, что ключевой элемент находится в состоянии
отказа, т.е. Р3 = 0. На месте третьего элемента производим разрыв схемы. Для
учёта надёжности ключевого элемента последовательно к преобразованной
схеме присоединяем элемент, имеющий вероятность отказа ключевого
элемента.
5
Структурная схема системы принимает вид:
1
4
0,95
0,9
2
3
0,3
5
0,8
0,85
Используя метод «свёртки» определяем вероятность безотказной работы
PC2 = [1-(1- P1 P4)(1- P2 P5)]0,3 = [1 –(1 – 0,90,95)(1- 0,80,85)]0,3 =
= [1-(1-0,855)(1-0,68)] 0,3 = [1-0,1450,32] 0,3 =
= (1-0,0464)  0,3 = 0,9536 0,3 = 0,28608
4. Вероятность безотказной работы исходной системы определится по
формуле:
𝑃𝐶 = 𝑃𝑐1 + 𝑃𝑐2 = 0,680855 + 0,28608 = 0,966935
Задача № 5
Структурная схема надёжности системы представляет собой произвольное
соединение элементов (мостиковая схема). Заданы вероятности безотказной
работы каждого элемента. Определить вероятность безотказной работы
системы Pс используя метод преобразования соединения «треугольник» в
соединение «звезда».
1
4
0,9
0,95
3
2
0,8
0,7
5
0,85
6
Методика преобразования ясна из представленного рисунка
Py
1
4
Py
Px
3
Px
PZ
PZ
2
5
Используя формулы приближенного определения вероятностей
безотказной работы элементов преобразованной схемы, найдём
𝑃𝑥 = 1 − (1 − 𝑃1 )(1 − 𝑃2 ) = 1 − (1 − 0,9)(1 − 0,8) = 1 − 0,1 ∙ 0,2 = 0,98
𝑃𝑦 = 1 − (1 − 𝑃1 )(1 − 𝑃3 ) = 1 − (1 − 0,9)(1 − 0,7) = 1 − 0,1 ∙ 0,3 = 0,97
𝑃𝑧 = 1 − (1 − 𝑃2 )(1 − 𝑃3 ) = 1 − (1 − 0,8)(1 − 0,7) = 1 − 0,2 ∙ 0,3 = 0,94
Применив метод «свёртки» к преобразованной схеме, вычислим
вероятность безотказной работы системы
PC = [1-(1- Py P4)(1- PZ P5)]PX = [1 –(1 – 0,970,95)(1- 0,940,85)]0,98 =
= [1-(1-0,9215)(1-0,799)] 0,98 = [1-0,07850,201] 0,98 =
= (1-0,0157785)  0,98 = 0,98422 0,98 = 0,96454
Метод
расчёта
надёжности
преобразованием
соединения
«треугольник» в соединение «звезда» является приближенным. Этим
объясняется расхождение в результатах расчётов с методом разложения по
«ключевым элементам».
Задача № 6
Структурная схема надёжности системы представляет собой произвольное
соединение элементов (мостиковая схема). Заданы вероятности безотказной
работы каждого элемента. Определить вероятность безотказной работы
системы Pс используя логико-вероятностный метод.
1
4
0,95
0,9
3
2
0,8
0,7
5
0,85
7
Логико-вероятностный метод позволяет определять показатели
надёжности для любого соединения элементов в структурной схеме
надёжности. Применяя метод, полагают, что элементы системы могут
находиться в двух взаимоисключающих состояниях – работоспособном и
неработоспособном. Составляется таблица истинности, в которой
работоспособному
состоянию
присваивается
значение
«1»,
неработоспособному – «0». Число рассматриваемых состояний, в которых
может находиться система, равно 2n, где n – число элементов составляющих
систему.
В нашем случае число состояний 25 = 32.
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Номер элемента
3
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
4
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
5
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Функция надёжности
Q1 Q2 Q3 Q 4 Q5
Q1 Q2 Q3 Q 4 Р 5
Q1 Q2 Q3 Р 4 Q5
Q1 Q2 Q3 Р 4 Р 5
Q1 Q2 Р 3 Q 4 Q5
Q1 Q2 Р 3 Q 4 Р 5
Q1 Q2 Р 3 Р 4 Q5
Q1 Q2 Р 3 Р 4 Р 5
Q1 Р 2 Q3 Q 4 Q5
Q1 Р 2 Q3 Q 4 Р 5
Q1 Р 2 Q3 Р 4 Q5
Q1 Р 2 Q3 Р 4 Р 5
Q1 Р 2 Р 3 Q 4 Q5
Q1 Р 2 Р 3 Q 4 Р 5
Q1 Р 2 Р 3 Р 4 Q5
Q1 Р 2 Р 3 Р 4 Р 5
Р 1 Q2 Q3 Q 4 Q5
Р 1 Q2 Q3 Q 4 Р 5
Р 1 Q2 Q3 Р 4 Q5
Р 1 Q2 Q3 Р 4 Р 5
Р 1 Q2 Р 3 Q 4 Q5
Р 1 Q2 Р 3 Q 4 Р 5
Р 1 Q2 Р 3 Р 4 Q5
Р 1 Q2 Р 3 Р 4 Р 5
Р 1 Р 2 Q3 Q 4 Q5
Р 1 Р 2 Q3 Q 4 Р 5
Р 1 Р 2 Q3 Р 4 Q5
Р 1 Р 2 Q3 Р 4 Р 5
Р 1 Р 2 Р 3 Q 4 Q5
Р 1 Р 2 Р 3 Q4 Р 5
Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 Q5
Р1 Р2 Р3 Р4 Р5
8
Из всех наборов функций надёжности выбираем те, которые отвечают
работоспособному состоянию системы. Суммируем их. В результате
получаем численное значение вероятности безотказной работы системы
PC = Q1 Р2 Q3 Q4 Р5 + Q1 Р2 Q3 Р4 Р5 + Q1 Р2 Р3 Q4 Р5 + Q1 Р2 Р3 Р4 Q5 +
+ Q1 Р2 Р3 Р4 Р5 + Р1 Q2 Q3 Р4 Q5 + Р1 Q2 Q3 Р4 Р5 + Р1 Q2 Р3 Q4 Р5 +
+ Р1 Q2 Р3 Р4 Q5 + Р1 Q2 Р3 Р4 Р5 + Р1 Р2 Q3 Q4 Р5 + Р1 Р2 Q3 Р4 Q5 +
+ Р1 Р2 Q3 Р4 Р5 + Р1 Р2 Р3 Q4 Р5 + Р1 Р2 Р3 Р4 Q5 + Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 = 0,966935
9