построение наилучших круговых аппроксимаций множеств на

1575
УДК 514.174.3
ПОСТРОЕНИЕ НАИЛУЧШИХ КРУГОВЫХ
АППРОКСИМАЦИЙ
МНОЖЕСТВ НА ПЛОСКОСТИ И НА СФЕРЕ
А.Л. Казаков
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134
E-mail: kazakov@icc.ru
П.Д. Лебедев
Институт математики и механики УрО РАН
620990, Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16
E-mail: pleb@yandex.ru
Ключевые слова: чебышёвский центр, наилучшая сеть, хаусдорфово отклонение,
сферическая геометрия
Аннотация: Изучаются наилучшие аппроксимации множеств на плоскости наборами кругов и на сфере наборами сферических круговых сегментов. Основным компонентом их построения являются наилучшие n-сети и их обобщения. Предложен
алгоритм построения наилучших сетей на основе разбиения заданного множества на
подмножества и отыскания их чебышевского центра. Решены модельные примеры.
1.
Введение
При решении некоторых прикладных задач, в частности, относящихся к теории
оптимального управления [1], часто требуется проводить замену множеств со сложной геометрией более удобными в работе фигурами [2,3]. Помимо задач оптимального
управления, другим направлением практического применения подобных исследований является построение транспортных сетей и размещение логистических центров
обслуживания (см., например, [4–6]). На плоскости одним из самых легко реализуемых и одновременно сохраняющим информацию способов аппроксимации является
подмена исходного множества объединением конечного числа кругов равного радиуса [7]. Примеры реализации алгоритмов такой аппроксимации многоугольников приведены в статьях [8,9]. Близкие задачи об аппроксимации плоских фигур эллипсами
рассматривались в работах А.Б. Куржанского и его учеников [10, 11]. Вопросы существования и единственности оптимальных покрытий множеств шарами равного
радиуса в различных евклидовых пространствах были изучены А.Л. Гаркави [12–14]
и Е.Н. Сосовым [15]. В данной работе авторы рассматривают оптимальные покрытия
не многоугольников, а фигур M с криволинейной границей. Основным элементом их
построения является отыскание наилучшей n-сети множества M , которая является
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1576
обобщением понятия чебышевского центра для случая нескольких точек.
В ряде задач управления движения происходят не на плоскости, а на некоторой
замкнутой поверхности в трехмерном пространстве. Естественно, в этом случае возникает необходимость наилучшей аппроксимации множеств на поверхностях некоторым аналогами кругов на ней. В данной работе авторами рассмотрены покрытия
множеств на сфере единичного радиуса. Элементом покрытия принят сферический
круговой сегмент, т.е. пересечение сферы с шаром меньшего радиуса с центром, лежащим на данной сфере. Отметим, что близкая по своей математической постановке задача (покрытие полусферы равными сферическими сегментами) возникает при
проектировании систем охраны подводных объектов [16].
2.
Постановка задачи о наилучшем покрытии
Для сравнения того, насколько одно множество близко к другому в евклидовом
пространстве, Ф. Хаусдорфом [17] была введено соответствующее понятие.
Определение 1. Хаусдорфовым отклонением компактного множества A ⊂
Rm от компактного множества B ⊂ Rm называется число
h(A, B) = max{ρ(a, B) : a ∈ A}.
Здесь ρ(a, B) = min{ka − bk : b ∈ B} — расстояние от точки до множества,
норp
ма вектора a = (a1 , . . . , am ) понимается в евклидовой метрике kak = a21 + . . . + a2m ,
расстояние между точками a и b считается равным ka − bk. Размерность m евклидового пространства может быть любой, но для прикладных задач наибольший интерес
представляют случаи m = 2 и m = 3.
Первым шагом к построению аппроксимации является выделение точки, которая
является для множества центральной. Естественно, ее можно выделять из разных соображений. В механике часто рассматривают центр масс тела. В задачах, связанных
с покрытиями обычно пользуются определением, введенным А.Л. Гаркави [14].
Определение 2. Чебышевским центром компактного множества M ⊂ Rm
называется такая точка c(M ), что
(1)
h(M, {c(M )}) = inf{h(M, {x}) : x ∈ Rm }.
Иначе говоря, чебышевский центр– центр шара, являющегося надмножеством M ,
имеющего минимальный возможный радиус. Для любого компактного множества он
существует, является единственным и принадлежит его выпуклой оболочке co M [14].
Следующим шагом при построении аппроксимации фигуры является оценка ее
размеров.
Определение 3. Чебышевским радиусом r(M ) компактного множества M ⊂
m
R называется величина (1).
От выделения для множества одной точки, перейдем к набору из конечного числа
точек, которые описывают его наилучшим образом в определенном ниже смысле.
Определение 4. В пространстве Rm n-сетью называется непустое множество, состоящее не более чем из n точек.
Введем для n-сетей обобщение понятия чебышевского центра. Обозначим через
Σn множество всех n-сетей пространства Rm .
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1577
Определение 5. Сеть S ∗ называется наилучшей n-сетью компактного множества M ⊂ Rm , если выполняется равенство
h(M, S ∗ ) = min{h(M, S) : S ∈ Σn }.
Существование наилучшей n-сети компактного множества доказано в работах
[12, 13], но она в общем случае не единственна.
Сформулируем задачу о наилучшем покрытии плоского компактного множества.
Задача 1. Пусть задано ограниченное замкнутое множество M ⊂ R2 и наборы
кругов O(s1 , r), O(s2 , r), . . . , O(sn , r) равного радиуса r > 0 с центрами в точках s1 , s2 ,
. . . , sn . Требуется найти набор кругов, который при наименьшем r удовлетворяет
включению
M ⊆ O(s1 , r) ∪ O(s2 , r) ∪ . . . ∪ O(sn , r).
Назовем такой набор наилучшим для заданного множества M.
Решение задачи 1 сводится к построению наилучшей n-сети S множества M , точки которой совпадают с центрами кругов наилучшего набора. Радиус кругов равен
r = h(M, S).
В некоторых случаях прикладные задачи рассматриваются не на плоскости, а на
более сложных поверхностях, в частности, на сфере (сферическом сегменте) [16, 18].
Перейдем к рассмотрению множеств на сфере единичного радиуса с центром в начале
координат, которую обозначим Θ.
Определение 6. Сферическим расстоянием σ(a, b) между точками a ∈ Θ и
b ∈ Θ назовем минимальную из длин кривых Γ ⊂ Θ на сфере Θ, соединяющих точки
a и b.
Заметим, что кривой минимальной длины, соединяющий две точки a и b, является дуга большой окружности, проходящего через a и b. Здесь и далее под большой
окружностью подразумеваем пересечение сферы Θ с плоскостью, проходящей через
начало координат [18]. В случае, если точки лежат на концах одного диаметра сферы,
таких дуг бесконечно много.
Исходя из геометрии сферы следует, что сферическое расстояние между любым
двумя точками a ∈ Θ и b ∈ Θ и расстояние в трехмерном евклидовом пространстве
связаны взаимно-однозначным соотношением
(2)
σ(a, b) = 2 arcsin
ka − bk
.
2
Введем для сферы обобщения понятий хаусдорфова отклонения и наилучшей
n-сети.
Определение 7. Сферическим отклонением компактного множества A ⊂ Θ
от компактного множества B ⊂ Θ называется число
hσ (A, B) = max{ρσ (a, B) : a ∈ A}.
Здесь обозначено ρσ (a, B) = min{σ(a − b) : b ∈ B}.
Определение 8. Назовем сферической n-сетью непустое множество, состоящее не более чем из n точек на сфере Θ.
Обозначим через Σσn множество всех сферических n-сетей.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1578
Определение 9. Сферическая n-сеть S ∗ называется наилучшей сферической
n-сетью компактного множества M ⊂ Θ, если выполняется
hσ (M, S ∗ ) = min{h(M, S) : S ∈ Σσn }.
(3)
Сформулируем задачу о наилучшем покрытии компактного множества на сфере. Для этого введем понятие, сферического круга Oσ (s, r), как множества точек,
лежащих на сферическом расстоянии не более чем r на сфере Θ от s:
Oσ (s, r) = {o ∈ Θ : ρσ (o, s) 6 r}.
Здесь мы подразумеваем, что точка s принадлежит Θ, а на радиус r наложено ограничение r ∈ (0, π]. Сферический круг, по сути, есть сферический сегмент, образованный
пересечением сферы Θ с шаром, центр которого принадлежит Θ.
Задача 2. Пусть задано ограниченное замкнутое множество M ⊂ Θ и наборы
сферических кругов Oσ (s1 , r), Oσ (s2 , r), . . . , Oσ (sn , r) равного радиуса r ∈ (0, π] с центрами в точках s1 , s2 , . . . , sn . Требуется найти набор сферических кругов, который
при наименьшем r удовлетворяет включению
M ⊆ Oσ (s1 , r) ∪ Oσ (s2 , r) ∪ . . . ∪ Oσ (sn , r).
Назовем такой набор наилучшим для заданного множества M ⊂ Θ.
Решение задачи 2 сводится к построению наилучшей сферической n-сети S множества M , точки которой совпадают с центрами сферических кругов наилучшего
набора. Заметим, что Oσ (s, r), если рассматривать его как фигуру в трехмерном
пространстве, имеет чебышевский центр c, который не совпадает с s. Однако при
r < π/2 точки c и s лежат на одном радиусе сферы Θ. Если же r > π/2, то c
совпадает с началом координат [18].
3.
Методы построения наилучших n-сетей
В работах [7,8] авторами приведены аналитические и численные методы построения наилучших n-сетей для многоугольников. Однако в общем случае встречающиеся в прикладных задачах области могут иметь криволинейную границу. Рассмотрим
построение наилучших n-сетей для кругов. Поскольку все круги подобны, то можно ограничиться изучением круга O(0, 1) единичного радиуса с центром в начале
координат 0 = (0, 0).
Вычисление хаусдорфова отклонения круга от n-сети S сводится к отысканию
так называемых характеристических точек круга.
Определение 10. Множеством характеристических точек круга O(o, r) относительно n-сети S назовем объединение точек h, относительно которых выполняется одно из трех условий
A) Точка h лежит на окружности, ограничивающей круг O(o, r) (будем обозначать ее O(o, r)), и найдется такая точка s ∈ S, что o ∈ [s, h].
B) Найдутся такие точки es, s ∈ S, что h лежит на пересечении срединного
перпендикуляра Λ к отрезку [s, es] и окружности O(o, r), т.е.
kes − hk = ks − hk.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1579
C) Найдутся три такие точки s, es, bs ∈ S, что
ks − hk = kes − hk = kbs − hk.
Лемма 1. Для любой n-сети и для любого круга O(o, r) все точки x ∈ O(o, r),
в которых ρ(x, S) = h(O(o, r), S), являются характеристическими.
Доказательство леммы. В работе [19] введено разбиение множества M на
области Дирихле, т.е. подмножества, лежащие ближе к одной из точек n-сети S, чем
к остальным
M (si ) = {x ∈ M : ∀j = 1, n kx − si k 6 kx − sj k}.
По построению области Дирихле хаусдорфово отклонение M от S равно
h(M, S) = max{h(M (si ), {si }) : i = 1, n, M (si ) 6= ∅}.
Точка x∗ ∈ M , в которой достигается максимум h(M, S) значения функции ρ(x, S),
принадлежит одной из областей Дирихле M (si ) (таких точек может быть несколько
и они могут принадлежать к разным областям Дирихле). Из определения хаусдорфова отклонения следует, что на множестве M (si ) в точке x∗ достигается максимум
функции kx − si k, равный h(M (si ), {x∗ }).
При этом максимум функции ρ(x) = kx − si k на компакте M (si ) достигается в
точки одного из трех типов:
I. Точка максимума функции ρ(x) на границе ∂M множества M .
II. Точка пересечения линий
kx − si k = kx − sj k, i 6= j, i, j = 1, n
с границей ∂M множества M .
III. Точка, определяемая условием
kx − si k = kx − sj k = kx − sk k, i 6= j, i 6= k, j 6= k, i, j, k = 1, n.
Поскольку рассматриваемое нам множество есть круг, то точка, относящаяся к
одному из типов I–III, есть характеристическая точка круга. Точка типа I есть точка
типа A), поскольку максимум расстояния от произвольной точки si 6= o до точки x
на окружности O(o, r) единственный и достигается в точке, лежащей на пересечении
луча, проведенного из si через o. Если же si = o, то все точки окружности лежат
от si на равном расстоянии и также подпадают под условие 1. Точка типа II есть
точка типа B), потому что линия равного расстояния между двумя несовпадающими
точками si и sj есть срединный перпендикуляр, проведенный к отрезку [si , sj ]. Точка
типа III есть точка типа C), что следует из их определения.
Таким образом, точка в которой достигается расстояния до n-сети, является характеристической. Понятие характеристических точек можно обобщить на случай сферических кругов и n-сетей. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением сферических кругов у которых центром является точка (0, 0, 1).
Определение 11. Множеством характеристических точек сферического круга Oσ (o, r) относительно n-сети S назовем объединение точек h ∈ Oσ (o, r), относительно которых выполняется одно из трех условий
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1580
A) Найдется такая точка s ∈ S, что h лежит на пересечении дуги большой
окружности Π, проходящего через o и s и окружности Oσ (o, r) ( будем так обозначать множество точек на сфере o∗ ∈ Θ, для которых σ(o∗ , o) = r).
A∗ ) Найдется такая точка s ∈ S, что h = −s.
B) Точка h лежит на пересечении окружности Oσ (o, r) и дуги Π большой
окружности, образованной пересечением сферы Θ и плоскости, образованной срединными перпендикулярами к отрезку [es, s], где es, s ∈ S.
B∗ ) Точка h лежит на пересечении дуги Π большой окружности, образованной
пересечением сферы Θ и плоскости, образованной срединными перпендикулярами к
отрезку [es, s], и в ней достигается максимум сферического расстояния от точки es
на Π, где es, s ∈ S.
C) Найдутся три такие точки s, es, bs ∈ S, что
ρσ (s, h) = ρσ (es, h) = ρσ (bs, h).
y
1
0.8
Ξ
0.6
0.4
M
S
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
x
−1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Рис. 1. Множество M , аппроксимация S его наилучшей 6-сети и набор кругов
Ξ в примере 1
Теорема 1. Для любой сферической n-сети S и для любого сферического круга Oσ (o, r) с радиусом r ∈ (0, π/2] все точки x ∈ Oσ (o, r), в которых ρσ (x, S) =
hσ (Oσ (o, r), S), являются характеристическими.
Доказательство теоремы. Рассмотрим точку x ∈ Oσ (o, r), в которой выполняется равенство ρσ (x, S) = hσ (Oσ (o, r), S). Обозначим χ = ρσ (x, S). Поскольку согласно формуле (2) сферическое и обычное расстояние связаны монотонно возрастающей
функцией (2), то в x достигается и максимум расстояния от сети S на сферическом
круге Oσ (o, r), равный χ = h(Oσ (o, r), S). Рассмотрим множество ΩS (x) ближайших
к x точек сферической n-сети. Отображение x 7→ ΩS (x) является полунепрерывным
сверху [20]. Поскольку S состоит из конечного числа точек, то это означает, что для
для любой точки x найдется такое число R > 0, что
(4)
∀y ∈ U (x, R) ΩS (y) ⊆ ΩS (x).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1581
y
1
Ξ
M
0.5
0
S
−0.5
x
−1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Рис. 2. Множество M , аппроксимация S его наилучшей 12-сети и набор кругов
Ξ в примере 2
Здесь U (x, R) — шар в трехмерном пространстве с центром в x радиуса R.
Допустим, что в точке x не выполняется ни одно из условий A–C. Покажем, что
это приводит к противоречию.
Прежде всего, докажем, что для любой точки x ∈ Θ и для любой большой окружности Π имеет место
(5) x ∈ Θ, ∀y ∈ Π kx−yk < h(Π, {x}) ⇒ ∃ε > 0 : h((Oσ (y, ε)∪Π), {x}) > kx−yk .
Иначе говоря, если точка y ∈ Π не является наиболее удаленной от x, то в любом сферическом круге с центром в y содержится дуга окружности Π, на которой
найдутся точки y∗ , расположенные от x дальше, чем y.
Без ограничения общности полагаем, что большая
√ окружность Π лежит в плоскости z = 0, а точки x имеет координаты x = (x, 0, 1 − x2 ), x > 0. Если x = 0, то вся
окружность Π состоит из точек, лежащих на равном расстоянии от x. Если x > 0, то
наиболее удаленной от x точкой Π будет z = (−1, 0, 0). Расстояние от произвольной
точки y ∈ Π до x равно
p
p
(6)
ky − xk = ky − x∗ k2 + kx − x∗ k2 = ky − x∗ k2 + 1 − x2 .
Здесь мы обозначили x∗ = (x, 0, 0) — проекцию x на плоскость z = 0.
По построению x∗ находится в одной плоскости с окружностью Π, самой удаленной от нее точкой на Π является z. При этом расстояние от ky − x∗ k непрерывно
увеличивается при движении по дуге Π от (1, 0, 0) к (−1, 0, 0). Следовательно, в любой малой окрестности точки y ∈ Π при условии y 6= z найдется точка y∗ ∈ Π, для
которой ky∗ − x∗ k > ky − x∗ k. Из равенства (6) следует, что тогда ky∗ − xk > ky − xk.
Следовательно, выполняется (5).
Рассмотрим случай, когда множество ΩS (x) состоит ровно из одного элемента s.
Включение (4) означает, что найдется шар ненулевого радиуса с центром в x, для
всех точек которого единственной проекцией является s. Следовательно, найдется и
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1582
сферический круг Oσ (x, r∗ ), для всех точек которого s — единственная ближайшая
точка на S. Если не выполняется условие A∗ ), то x 6= s. В этом случае из (5) следует,
что в любом сферическом круге с центром в x найдутся точки, лежащие дальше от s,
чем x. Если x ∈
/ Oσ (o, r), то найдется сферический круг Oσ (x, r∗ ) ⊆ Oσ (o, r), содержащий точки, удаленные от s на расстояние большее, чем χ. Но в силу выдвинутого
предположения, это невозможно. Значит x ∈ Oσ (o, r). Рассмотрим дугу большой
окружности Π, проходящую через точки x и s. Если кривая Oσ (o, r) пересекает Π в
точке x под углом, отличным от π/2, то с одной из сторон на ней сферическое расстояние от x возрастает, а, значит, найдется точка окрестности x∗ ∈ Oσ (x, r∗ ) ∩ Oσ (o, r),
которая удалена от s на расстояние большее, чем χ. Следовательно остается вариант, что Π и Oσ (x, r∗ ) ортогональны в точке пересечения. Но поскольку Π — есть
большая окружность, то это возможно только в том случае, если Π содержит центр
o сферической окружности Oσ (o, r) [18]. Значит, точка x удовлетворяет условию A).
Рассмотрим вариант, когда множество ΩS (x) состоит ровно из двух элементов
s и bs. Возьмем большую окружность Π∗ , состоящую из точек, равноудаленных от s
и bs. По построению x ∈ Π∗ . Допустим, что условие B∗ ) не выполняется. Тогда x не
является наиболее удаленной от s и bs точкой на Π∗ . Если не выполняется условие B∗ ),
то x ∈
/ O(σ(o, r) и найдется сферический круг Oσ (x, r∗ ) ⊆ Oσ (o, r), для всех точек
которого множеством проекций на S является либо пара {s, bs}, либо одна из этих
точек. Значит, в силу (5), существует точка x ⊂ Π∗ ∩ Oσ (x, r∗ ) такая, что kx − sk > χ,
т.е. x не является наиболее удаленной от S точкой сферического круга Oσ (o, r). Вновь
получено противоречие.
Единственно оставшаяся возможность состоит в том, чтобы точка x имела множества проекций на S, состоящее не менее, чем из трех элементов. Но тогда она
удовлетворяет условию C). y
1
0.8
0.6
0.4
Θ
S
0.2
Ξ
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
M
−1
−1.5
x
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Рис. 3. Проекции множества M , аппроксимации S его наилучшей сферической
6-сети S и набора сферических кругов Ξ в примере 3
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1583
1
z
0.8
Ξ
S
0.6
Θ
0.4
0.2
0
M
1
0.5
y
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
x
Рис. 4. Множество M , аппроксимация S его наилучшей сферической 6-сети S
и набора Ξ в примере 3
4.
Примеры построения наилучших покрытий
множеств кругами
Рассмотрим несколько задач о наилучшем покрытии кругов. Их решение базируется на методах, предложенных в [21, 22]. Авторами был использован модернизированный программный комплекс, некоторые результаты работы которого ранее были
приведены в работах [7–9].
Для вычисления хаусдорфова отклонения круга M от n-сети разработана процедура, основанная на лемме 1. Она для некоторого начальной заданной в начале
n-сети S = {si }ni=1 находит характеристические точки hj , j = 1, m (обычно их число
m в несколько раз превышает n), а затем по ним строит области Дирихле M (si ).
Затем программный комплекс рассчитывает хаусдорфово отклонение h(M (si ), {si }),
как наибольшее из расстояний от каждой точки si до самой удаленной точки hj , принадлежащей ее области Дирихле M (si ). После этого хаусдорфово отклонение h(M, S)
вычисляется как наибольшее из значений h(M (si ), {si }), i = 1, n.
Пример 1. Требуется построить наилучшую 6-сеть и решить задачу 1 при
n1 = 6 для множества M = O(0, 1) — круга единичного радиуса с центром в начале
координат.
Решение задачи выполнено численным методами путем итерационного улучшения нескольких различных 6-сетей, вложенных в M .
Полученный численно результат: аппроксимация S наилучшей 6-сети имеет вид
S = {si }6i=1 ≈ {(0.375, 0.584), (0.534, 0), (−0.375, 0.584), (0.375, −0.584), (−0.534, 0),
(−0.375, −0.584)}.
Хаусдорфово отклонение круга O(0, 1) от аппроксимации 6-наилучшей сети r =
h(M, S) ≈ 0.56. Множество M , наилучшая 6-сеть S, набор кругов оптимального
покрытия Ξ = O(s1 , r) ∪ O(s2 , r) ∪ . . . ∪ O(s6 , r) представлены на рис. 1.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1584
y
1
0.8
M
0.6
0.4
0.2
Ξ
0
S
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
x
−1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Рис. 5. Проекции множества M , аппроксимации S его наилучшей сферической
12-сети и набора сферических кругов Ξ в примере 4
Пример 2. Требуется построить наилучшую 12-сеть и решить задачу 1 при
n2 = 12 для множества M = O(0, 1), такого же, как и в примере 1.
Решение задачи аналогично тому, что было построено в предыдущем примере.
Полученный численно результат: аппроксимация S наилучшей 12-сети имеет вид
S = {si }12
i=1 ≈ {(−0.002, 0.327), (−0.272, −0.147), (0.266, −0.122), (0.663, 0.407 ), (0.288,
0.859 ), (−0.678 0.346), (0.026, −0.738), (−0.513, −0.714), (−0.891, −0.190), (−0.364,
0.827), (0.857, −0.119), (0.581, −0.692)}.
Хаусдорфово отклонение круга O(0, 1) от наилучшей 12-сети r = h(M, S) ≈
0.362. Множество M , наилучшая 12-сеть S, набор кругов оптимального покрытия
Ξ = O(s1 , r) ∪ O(s2 , r) ∪ . . . ∪ O(s12 , r) представлены на рис. 2.
Результаты вычислений показывают, что с ростом числа точек наилучшей n-сети
√
хаусдорфово отклонение h(M, S) ведет себя как O(1/ n).
Рассмотрим несколько задач о наилучшем покрытии сферических кругов. Для
их решения авторам разработан новый модуль программного комплекса. Его основу
составляет процедура вычисления хаусдорфова сферического отклонения, основанная на теореме 1. Она аналогична процедуре вычисления хаусдорфова отклонения
круга от n-сети на плоскости.
Пример 3. Требуется построить наилучшую сферическую сеть 6-сеть и решить задачу 2 при n = 6 для множества M = Oσ (p, 1) — сферического круга единичного радиуса 1 с центром в верхней точке p = (0, 0, 1) сферы Θ.
Решение задачи выполнено численным методами с применением итерационного
алгоритма.
Полученный результат: аппроксимация S наилучшей сферической 6-сети имеет
вид S = {si }6i=1 ≈ {(0.395, 0.537, 0.744), (0.47, 0, 0.882), (0.395, −0.537, 0.744), (−0.395,
0.537, 0.744), (−0.47, 0, 0.882), (−0.395, −0.537, 0.744)}.
Сферическое отклонение множества M от S равно r = hσ (M, S) ≈ 0.547. Проекции сферы Θ, множества M , аппроксимации S сферической 6-сети и объединения
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1585
S
Ξ
z
1
0.8
0.6
M
0.4
0.2
1
0
0.5
1
0.5
y
0
0
x
−0.5
−0.5
−1
−1
Рис. 6. Множество M , аппроксимация S его наилучшей сферической 12-сеть и
набор Ξ в примере 4
Ξ = Oσ (s1 , r) ∪ Oσ (s2 , r) ∪ . . . ∪ Oσ (s6 , r) на плоскость xOy показаны на рис. 3. Вид
тех же множеств в трехмерном пространстве представлен на рис. 4.
Пример 4. Требуется построить наилучшую сферическую сеть 12-сеть и решить задачу 2 при n = 12 для множества M = Oσ (p, π/2), совпадающего с верхней
полусферой сферы Θ.
Решение задачи выполнено численным методами с применением итерационного
алгоритма.
Полученный результат: аппроксимация S наилучшей сферической 12-сеть имеет
вид S = {si }12
i=1 ≈ {(−0.428, −0.638, 0.639), (0.382, −0.814, 0.436), (0.322, −0.217, 0.921),
(0.906, −0.381, 0.179), (0.854, 0.234, 0.463), (0.58, 0.802, 0.141), (0.085, 0.535, 0.84),
(−0.267, 0.914, 0.303), (−0.784, 0.478, 0.395), (-0.449, 0.109, 0.886), (−0.318, −0.948,
0.001), (−0.951, −0.247, 0.184)}.
Сферическое отклонение множества M от S равно r = hσ (M, S) ≈ 0.512. Проекции на плоскость xOy множества M , аппроксимации S сферической 12-сети и набора
сферических кругов Ξ = Oσ (s1 , r) ∪ Oσ (s2 , r) ∪ . . . ∪ Oσ (s12 , r) показаны на рис. 5. Вид
тех же множеств в трехмерном пространстве представлен на рис. 6.
Результаты построения наилучших сферических n-сетей показывают, что их геометрия существенным образом обусловлена кривизной сферы Θ. При больших n
расположение их точек существенно отличается, от наилучших n-сетей кругов на
плоскости.
Работа выполнена при поддержке Программ президиума РАН «Качественная
теория и численные методы для задач динамики, управления и оптимизации» (проект № 12-С-1-1017/3) и «Управление в условиях конфликта и неопределенности.
Позиционные стратегии и гамильтоновы конструкции в задачах управления» при
финансовой поддержке УрО РАН (проект № 12-П-1-1002) и грантов РФФИ 13-01XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1586
96055-р_урал_а, 14-01-31319-мол_а, 14-07-00222.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
456 с.
Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Лебедев П.Д. Дефект стабильности в игровой задаче о сближении в момент // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика, механика, компьютерные науки. 2010.
Вып. 3. С. 87-103.
Ушаков В.Н., Лебедев П.Д., Матвийчук А.Р., Малев А.Г. Дифференциальные игры с фиксированным моментом окончания и оценка степени нестабильности множеств в этих играх
// Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2012. Т. 277. С. 275-287.
Казаков А.Л., Лемперт А.А. Об одном подходе к решению задач оптимизации, возникающих
в транспортной логистике // Автоматика и телемеханика. 2011. № 7. C. 50-57.
Лемперт А.А., Казаков А.Л., Бухаров Д.С. Математическая модель и программная система
для решения задачи размещения логистических объектов // Управление большими системами. 2013. Вып. 41. С. 270-284.
Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. К вопросу о сегментации логистических зон для
обслуживания непрерывно распределенных потребителей // Автоматика и телемеханика.
2013. № 6. С. 87-100.
Лебедев П.Д., Ушаков А.В. Аппроксимация множеств на плоскости оптимальными наборами кругов // Автоматика и телемеханика. 2012. № 3. С. 79-90.
Лебедев П.Д., Бухаров Д.С. Аппроксимация многоугольников наилучшими наборами кругов // Известия Иркусткого гос. Университета. Серия «Математика». 2013. № 3. С. 72-87.
Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Алгоритмы наилучшей аппроксмации плоских
множеств наборами кругов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика.
Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 88-99.
Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser,
1997. 220 p.
Гусев М.И. Оценки множеств достижимости многомерных управляемых систем с нелинейными перекрестными связями // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 82-94.
Гаркави А.Л. О существовании наилучшей сети и наилучшего поперечника множества в
банаховом пространстве // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, Вып. 2. С. 210-211.
Гаркави А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечении множеств в нормированном пространстве // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т. 26, № 1. С. 87-106.
Гаркави А.Л. О чебышевском центре и выпуклой оболочке множества // Успехи матем.
наук. 1964. Т. 19, Вып. 6. С. 139-145.
Сосов Е.Н. Метрическое пространство всех N -сетей геодезического пространства // Учен.
зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. Т. 15, Вып. 4. С. 136-149.
Бычков И.В.,Максимкин Н.Н., Хозяинов И.С.,Киселев Л.В. О задаче патрулирования границы акватории, охраняемой группой подводных аппаратов // Технические проблемы освоения мирового океана: материалы 5-ой Всерос. науч.-техн. конф. Владивосток, 2013. С. 424429.
Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: Комкнига, 2006. 304 с.
Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. Л.-М. ОГИЗ. 1948. 154 с.
Брусов В. С., Пиявский С. Л. Вычислительный алгоритм оптимального покрытия областей
плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11,
№ 2. С. 304-312.
Лейхтвейс К. Выпуклые множества / пер. с нем. В.А. Залгаллера, Т.В. Хачатуровой под
ред. В.А. Залгаллера. М.: Наука, 1985. 335 с.
Пиявский С.А. Об оптимизации сетей // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. № 1. С.
68–80.
Галиев Ш. И., Карпова М. А. Оптимизация многократного покрытия ограниченного множества кругами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т.
50, № 4. С. 757-769.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г