Развертки поверхностей - ИжГТУ имени М.Т.Калашникова

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»
(ФГБОУ ВПО «ИжГТУ имени М.Т. Калашникова»)
Кафедра «Инженерная графика и технология рекламы»
Развертки поверхностей
Учебно-методические указания
Ижевск, 2012
УДК 744
Григорьева О.О.
Развертки поверхностей. Учебно-методические указания.
Ижевск: Издательство ИжГТУ, 2012 г. - 25с.
Методические указания составлены в соответствии
с рабочей программой по курсу “Инженерная графика” для
направления 261700.62 – «Технология полиграфического и
упаковочного производства» профиль «Технология и дизайн
упаковочного производства» РиД факультета Ижевского
государственного
технического
университета
имени
М.Т. Калашникова.
Указания утверждены на заседании кафедры “Инженерная
графика и технология рекламы” протокол № 88 от 13.12.2012 г.
2
Содержание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Введение...................................................................... 4
Общие понятия о развертывании поверхностей ....... 4
Порядок выполнения задания .................................... 5
Построение развертки призмы................................... 6
Построение развертки пирамиды............................... 10
Построение развертки цилиндра................................ 15
Построение развертки конуса .................................... 20
Литература .................................................................. 25
3
Введение
Данное методическое пособие предназначено для
выполнения домашнего задания по теме «Развертывание
поверхностей» по курсу «Инженерная графика» направления
261700.62 – «Технология полиграфического и упаковочного
производства» профиль «Технология и дизайн упаковочного
производства».
В пособии рассмотрены общие понятия о развертывании
поверхностей. Дан алгоритм решения задания и образец его
выполнения. Методическое пособие содержит всю необходимую
информацию для выполнения студентами самостоятельной
работы.
1. Общие понятия о развертывании поверхностей
Развертыванием называется такое преобразование
поверхности, в результате которого она совмещается с
плоскостью. Поверхность, которая может быть совмещена с
плоскостью
без
разрывов
и
складок,
называется
развертывающейся, а полученная при этом плоская фигура – ее
резверткой.
Все поверхности подразделяются на две группы:
1. развертываемые, которые можно развернуть согласно
правилу (торсы, поверхности
конусов и
цилиндров,
многогранники),
2. неразвертываемые.
Различают следующие виды разверток:
1. точные (при свертывании в поверхность не дают ни складок,
ни разрывов),
2. приближенные,
3. условные.
Графические способы развертывания поверхностей:
4
1. точные (раскатка, способ нормального сечения, способ
треугольников (триангуляция)),
2. аппроксимация
(приближенная
развертка,
условная
развертка).
Аппроксимацией называют замену одной поверхности
другой – аппроксимирующей, которая приближается к заданной
по каким-то определенным свойствам (форма, площадь,
кривизна) с той или иной степенью точности.
Помимо графических способов построения разверток,
существуют аналитические способы, применяемые для
построения точных и приближенных разверток.
На чертежах разверток линии сгиба изображают
штрихпунктирной линией с двумя точками, согласно ГОСТ
2.303-68.
2. Порядок выполнения задания
На рис. 1, 5, 10, 15 показаны варианты задания, по
которым необходимо выполнить следующие построения:
1. Построить заданные усеченные геометрические тела (призму,
пирамиду, цилиндр, конус) в системе трех плоскостей проекций.
 Определить вид линий пересечения плоскости
выреза с поверхностью геометрического тела.
 Построить проекции линий пересечения на
горизонтальной проекции.
 Построить профильную проекцию геометрического
тела и профильную проекцию линий пересечения.
2. Определить истинные величины фигур сечения.
 Определить способ решения метрической задачи
(способ вращения вокруг оси, способ замены
плоскостей проекций).
3. Вычертить развертки усеченных тел.
 Определить
вид и
способ развертывания
поверхности.
5

Найти действительные величины откладываемых
отрезков.
 Выполнить развертывание.
Образец выполнения заданий показан на рис. 4, 9, 14, 20.
3. Построение развертки призмы
Построение развертки призмы (рис. 1-4):
1. Строим усеченную призму (рис. 2).
 Плоскость α(α") пересекает все четыре грани
призмы по ломаной линии 124531.
 Анализируя положение граней призмы и плоскости
выреза, строим горизонтальную и профильную
проекции усеченной призмы.
2. Определяем истинную величину фигуры сечения,
образованную в результате пересечения призмы
фронтально-проецирующей плоскостью α (рис. 3).
 Для нахождения истинной величины фигуры
сечения 12453 применяем способ вращения.
 Находим местоположение оси вращения f.
 Поворачиваем фигуру сечения вокруг оси
вращения f на угол φº, получая ее фронтальную
проекцию 11"21"41"51"31".
 Строим горизонтальную проекцию 11'21'41'51'31',
являющуюся искомой действительной величиной
фигуры сечения.
3. Вычерчиваем развертку усеченной призмы (рис. 4).
 Применяем способ нормального сечения и строим
точную развертку фигуры.
 Нормальное сечение совпадает с основанием
призмы, поэтому на горизонтальной линии
откладываются четыре отрезка (по количеству
граней): [10080]=[10'8'], [8090]=[8'9'], [9070]=[9'7'],
[70100]=[7'10'].
6


Из точек 100, 80, 90, 70, 100 строим перпендикуляры
и откладываем на них отрезки натуральных
величин каждого ребра усеченной призмы:
[10010]=[10"1"],
[8030]=[8"3"],
[9060]=[9"6"],
[7020]=[7"2"]. Дополняем построение нахождением
точек 40 ([4060]=[4'6']) и 50 ([5060]=[5'6']).
Полученную развертку боковой поверхности
усеченной призмы 101008090701001020406040503010.
дополняем действительной величиной сечения
1020405030, частью верхнего основания 604050 и
нижним основанием 100809070.
Рис. 1
7
Рис. 2
Рис. 3
8
9
4. Построение развертки пирамиды
Построение развертки пирамиды (рис. 5-9):
1. Строим усеченную пирамиду (рис. 6).
 Плоскость α(α') пересекает две грани пирамиды по
ломаной линии 1541.
 Анализируя положение граней пирамиды и
плоскости выреза, строим фронтальную и
профильную проекции усеченной пирамиды.
2. Определяем истинную величину фигуры сечения,
образованную в результате пересечения пирамиды
горизонтально-проецирующей плоскостью α (рис. 7).
 Для нахождения истинной величины фигуры
сечения 154 применяем способ вращения.
 Находим местоположение оси вращения f.
 Поворачиваем фигуру сечения вокруг оси
вращения f на угол φº, получая ее горизонтальную
проекцию 11'51'41'.
 Строим
фронтальную
проекцию
11"51"41",
являющуюся искомой действительной величиной
фигуры сечения.
3. Вычерчиваем развертку усеченной пирамиды (рис. 8, 9).
 Способом триангуляции строим точную развертку
фигуры.
 Находим
способом
вращения
натуральную
величину ребер призмы l=[6"32"] и отрезка
b=[6"52"].
 Откладываем отрезок [6020]=[6"32"]=l. Через точку
20 проводим радиус R=l и, при помощи радиуса r,
отмечаем местонахождения точек A0, 20, 30, 40.
Дополняем построение нахождением точек 50
(b=[6"52"]=[6050]) и 10 ([1'2']=[1020]).
 Полученную развертку боковой поверхности
усеченной пирамиды 1020304050605010. дополняем
действительной величиной сечения 105040 и
основанием 10203040.
10
Рис. 5
Рис. 6
11
Рис. 7
12
13
14
5. Построение развертки цилиндра
Построение развертки цилиндра (рис. 10-14):
1. Строим усеченный цилиндр (рис. 11).
 Плоскость α(α") пересекает основание и боковую
поверхность цилиндра по линии 12345671.
 Строим горизонтальную и профильную проекции
усеченного цилиндра.
2. Определяем истинную величину фигуры сечения,
образованную в результате пересечения цилиндра
фронтально-проецирующей плоскостью α (рис. 12).
 Для нахождения истинной величины фигуры
сечения 1234567 применяем способ вращения.
 Находим местоположение оси вращения f.
 Поворачиваем фигуру сечения вокруг оси
вращения f на угол φº, получая ее фронтальную
проекцию 11"21"31"41"51"61"71".
 Строим
горизонтальную
проекцию
11'21'31'41'51'61'71',
являющуюся
искомой
действительной величиной фигуры сечения.
3. Вычерчиваем развертку усеченного цилиндра (рис. 13, 14).
 Применяем способ аппроксимации и строим
приближенную развертку фигуры. Применяем
способ нормального сечения и получаем точную
(если синусоида боковой поверхности построена по
точкам при помощи лекала) развертку цилиндра.
Оба способа применимы для прямого кругового
цилиндра.
 Выполняем
аппроксимацию
цилиндрической
поверхности
восьмигранной
призматической.
Тогда, длина развертки боковой поверхности
цилиндра d=8a, где а=[1'''2''']=[2'''3''']=[3'''4'''] и т. д.
При построении другим способом, нормальное
сечение совпадает с основанием цилиндра, поэтому
на вертикальной линии откладываем расстояние
длины окружности основания цилиндра d=2πR, где
R – радиус окружности цилиндра. В данном случае,
15


применяются графический и аналитический
способы развертывания поверхности. Нормальное
сечение делится на n (n=8) равных частей точками
1''', 2''', 3''', 4''' и т. д. С помощью этих точек строим
фронтальные
проекции
соответствующих
образующих цилиндрической поверхности.
Откладываем горизонтальные отрезки равные
длинам соответствующих образующих цилиндра:
A0B0, b1, b2, b3 и т. д.
Полученную развертку боковой поверхности
усеченного цилиндра В0А010203040506070А0В0А0В0
дополняем действительной величиной сечения
10203040506070, частью основания 10А070 и другим
основанием.
Рис. 10
16
Рис. 11
Рис. 12
17
18
19
6. Построение развертки конуса
Построение развертки конуса (рис. 15-20):
1. Строим усеченный конус (рис. 16).
 Плоскость α(α") пересекает основание и боковую
поверхность конуса по линии 1234567891.
 Строим горизонтальную и профильную проекции
усеченного конуса.
2. Определяем истинную величину фигуры сечения,
образованную
в
результате
пересечения
конуса
фронтально-проецирующей плоскостью α (рис. 17).
 Для нахождения истинной величины фигуры
сечения 123456789 применяем способ замены
плоскостей проекций.
 Переходим из одной системы плоскостей проекций
в другую, заменяя плоскость π1 на π4. Получаем
действительную
величину
фигуры
сечения
11'21'31'41'51'61'71'81'91'.
3. Вычерчиваем развертку усеченного конуса (рис. 18-20).
 Применяем способ аппроксимации и строим
приближенную развертку фигуры. Применяем
аналитический способ и получаем точную
развертку конуса.
 Выполняем
аппроксимацию
конической
поверхности
двенадцатигранной
пирамидой.
Способом вращения, находим действительную
величину образующей конуса l=[S"A1"] и отрезка
b=[21"A1"].
 Проводим дугу радиусом l и откладываем на ней
двенадцать отрезков равных а или, используя
аналитический способ, проводим дугу радиусом l
длиной 2πR и делим ее на n (n=12) равных частей.
В расчетах можно использовать угол ωº=360ºcosγº.
 Полученную развертку боковой поверхности
усеченной пирамиды 102030405060708090100110,
дополняем действительной величиной сечения
102030405060708090100110 и усеченным основанием.
20
Рис. 15
Рис. 16
21
Рис. 17
Рис. 18
22
23
24
Литература
1.
2.
3.
Королев Ю.И. Начертательная геометрия: Учебник для
вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2009. – 256с.
Талалай П.Г. Начертательная геометрия на примерах (ВУЗ):
Учебник для вузов. – СПб.: BHV, 2011. – 288с.
Тарасов Б.Ф., Дудкина Л.А., Немолотов С.О.
Начертательная геометрия: Учебник для вузов. – СПб.:
Лань, 2012. – 256с.
25