ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №1 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x2 ; a) x + y = 8, y = 2 2 2 3 3 b) x = 4 2 cos t , y = 2 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ; c) ρ = 1 + cos ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln cos x , 0 ≤ x ≤ 3 2 π 3 ; 4 b) x = 8at , y = 3a ( 2t − t ), y ≥ 0; c) ρ = aϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , a > 0 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = − x 2 + 5 x − 6, y = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) b) ∫ dx 2 −∞ x +4 x + 9 1 x −1 ∫ −1 3 x 5 ∞ ; c) ∫ 1 e−x x d) ∫ 0 2 dx ; sin 4 x 1 dx ; 5 3 3 2 2 (1 − x ) dx . 4 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ x dx по формулам трапеций и Симпсона, деля 0 отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №2 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) x = y, õ + y = 4, y = 3 x ; b) x = 2 cos t , y = 2 sin t , 0 ≤ t ≤ c) π 4 ; ρ 2 = a 2 cos 2ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) x = 1 2 1 y − ln y , 1 ≤ y ≤ 2 ; 4 2 5 5 b) x = a cos t , y = a sin t ,0 ≤ t ≤ 2π ; c) ρ = aϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями x x − ⎞ a ⎛⎜ a y = e + e a ⎟, x = a, x = − a . ⎟ 2⎜ ⎝ ⎠ Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ −∞ 3 b) ∫ 0 ∞ dx x 2 +4 x + 4 c) ∫ 2 5 dx (3 − x) ; 3 d) ; Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 0 3 ∫ 2 dx 2 x x −1 sin x cos 2 x x3 4 + sin 2 x ( x − 5) 2 dx ; dx . по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №3 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 a) y = 2 px, x = 2 py ; b) x = 4(t − sin t ), y = 4(1 − cos t ), y = 4 ( y ≥ 4, 0 < x < 8π ) ; c) ρ = 2 cos ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 ; 4 π 2 b) x = sin t , y = cos t , 0 ≤ t ≤ c) ρ = 5(1 − sin ϕ ), − π 2 2 ≤ϕ ≤ − π 6 ; . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = 3 sin x, y = sin x, 0 ≤ x ≤ π . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 2 0 b) ∫ −1 ∞ dx ; x ln x 1 ex x 2 c) ∫ 0 3 d) dx ; Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 2 4 dx ∫ x 2 ( x + 1) dx 3 4 x + x +1 + 3 ; cos x + 4 dx . x−2 по формулам трапеций и Симпсона, 2 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №4 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 a) y = 2 x − x , y = − x ; 3 3 b) x = 16 cos t , y = 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ; c) ρ = 4 sin 2ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln sin x , π 3 ≤x≤ π 2 ; t3 − t , y = t 2 + 2, 0 ≤ t ≤ 3; b) x = 3 c) ρ= 1 , π sin 2 (ϕ ) 2 2 ≤ϕ ≤ 3π . 2 Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = 5 cos x, y = cos x, x = 0, x ≥ 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ ∞ a) ∫ arctgxdx ; c) 1 1 b) ∫ −1 2 2 dx (2 − x) ∫ 3 d) ; Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 0 3 ∫ 2 dx 2 x x −1 sin x cos x x 3 dx ; 4 + sin 2 x cos x ( x − 2) 2 dx . по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №5 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 a) xy = 20, x + y = 41 (I четверть); b) x = 2 cos t , y = 6 sin t , y = 3 ( y ≥ 3) ; c) ρ = 2 sin ϕ cos 2 ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤ 4 π 4 ; 4 b) x = cos t , y = sin , 0 ≤ t ≤ c) π 2 ; ρ = aϕ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 4 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = sin 2 x, x = π 2 , y = 0. Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 1 1 b) ∫ 0 ∞ x 8 dx 10 x +x +1 c) ∫ 3 e −ax dx (a < 0) ; 0 1 dx (x − 1) ; ; d) ∫ 0 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ dx 01+ x 3 8 + sin x x 2 dx . по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №6 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = sin x, y = cos x, x = 0 ; b) x = 2 sin t , y = 3 sin 2t , 0 ≤ t ≤ 2π ; c) ρ = 4 cos 3 ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: x2 a) y = , 0 ≤ x ≤ 1; 2 5 5 b) x = a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ; c) ρ = aϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ 3 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2 x − x 2 , y = − x + 2, x = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 3 a) ∫ −2 ∞ b) ∫ π 2 dx x 1 3 ; c) 2 ∫ 0 cos x + 4 x 1 dx ; 1 d) 3 ∫ 0 e− x x dx ; x cos sin 4 x 2 dx . 8 7 x 1 xdx по формулам трапеций и Симпсона, деля x + 1 0 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №7 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 a) y = 0,25 x , y = 3 x − 0,5 x ; t t2 b) x = (6 − t ), y = (6 − t ) (петля); 3 8 c) ρ = 3 + 5 cos ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln ex +1 e −1 x , 0 ≤ x ≤ 5; b) x = 9(t − sin t ), y = 9(1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π ; c) ρ = aeϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = x2 , y2 − x = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 1 b) ∫ 0 ∞ dx ; 3− x c) 0 arccos 2 x 1− x ∫ 2 1 dx ; Задача 5. Вычислить интеграл I = d) ∫ 0 dx 3 4 x +1 sin 4 x 2 x −1 ; dx . 4 ∫ 1 + xdx по формулам трапеций и Симпсона, 2 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №8 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 2 a) y = 6 õ, õ + ó = 16 ; t3 b) x = t , y = t − (петля); 3 2 c) ρ = a sin 5ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln x , 3 ≤ x ≤ 8; b) x =e cos t , y = e sin t , 0 ≤ t ≤ ln π ; t c) t ρ = ϕ 2, 0 ≤ ϕ ≤ π . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x − x 2 , y = −x + 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 3 a) ∫ 0 ∞ b) ∫ 2 ∞ dx ; 2 x c) e x 2 sin 2 xdx ; 0 sin 3x + 2 7 ∫ − x5 dx ; 1 d) ∫ 0 Задача 5. Вычислить интеграл I = 4 ∫ x sin + 1 2 dx . 3 5 x 1 + x 2 dx по формулам трапеций и Симпсона, 2 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №9 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = ln x, y = 0, x = l ; b) x = 2 cos t (1 + cos t ), y = 2 sin t (1 + cos t ) ; c) ρ = a cos 3ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 3 2x 2 , 0 ≤ x ≤ 11; b) x = 8 sin t + 6 cos t , y = 6 sin t − 8 cos t , 0 ≤ t ≤ c) π 2 ; ρ = aϕ 3, 0 ≤ ϕ ≤ 4 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линией x 2 + ( y − 2) 2 = 1 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 1 1 b) ∫ 0 3x + x 2 x3 ∞ dx ; ∫ π arccos x 1− x c) 2 3 dx ; d) ∫ 0 9 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 1 dx 1− x 2 2 sin x cos 3xdx x8 ; cos 2 x dx . 3 x по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №10 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 a) y + 8 x = 16, y − 24 õ = 48 ; 3 b) x = 2 cos t , y = 3 sin t ; c) ρ = 2 sin ϕ , ρ = 4 sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: 2 x − x 2 − 1, a) y = 3 1 ≤ x ≤ 1; 4 3 b) x = àños t , y = b sin t , c) ρ= 3ϕ 3e 4 ,− π 2 ≤ϕ ≤ π 2 π 3 ≤t≤ π 2 ; . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = 1 − x 2 , x = 0, x = y − 1, x = 1. Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 1 a) ∫ −1 ∞ b) ∫ 2 3x 2 + 2 3 õ 2 ∞ c) dx ; dx ; 2 x ln x Задача 5. Вычислить интеграл I = d) ∫ 1 x 1 sin x ∫ 0 3 ∫ 1 ln( x 2 + 1) 5 dx ; 2 4 (1 − x ) dx . x2 +1 dx по формулам трапеций и Симпсона, x деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №11 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 2 a) x + y + 6 x − 2 y + 8 = 0, y = x + 6 x + 10 ; 2 3 b) x = t − 1, y = t − t , (петля); c) ρ = cos ϕ − sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = − x 2 3 − 1, 0 ≤ x ≤ 5 5 ; b) x = (t − 2) sin t + 2t cos t , y = ( 2 − t ) cos t + 2t sin t , 0 ≤ t ≤ π ; 2 c) 2 ρ = 2eϕ , − π 2 ≤ϕ ≤ π 2 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , y = 1, x = 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 1 a) ∫ 0,5 ∞ b) ∫ 2 dx 2 x ln x 1 ; c) ∫ 0 sin xdx 8 2 3 (1 − x ) ∞ xdx ; 2 x −1 d) ∫ 0 ; x13 5 3 ( x + x + 1) 3 dx . 2 xdx dx по формулам трапеций и Симпсона, 3 11+ x Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №12 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = e , y = e x −x , x = 1; 2 2 3 b) x = 2t − t , y = 2t − t (петля); c) ρ = 2 sin 4ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: 5 4 a) y = x 4 , 0 ≤ x ≤ 9 ; 5 b) x = 5(t − sin t ), y = 5(1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ π ; c) ρ = 1 − sin ϕ , − π π ≤ϕ ≤ − . 2 6 Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = x3 , y = x . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 1 b) ∫ 0 2x x2 +1 5 c) dx ; arcsin x 1− x ∫ 4 ∞ d) dx ; Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 2 16 ∫ 4 dx ; ( x − 3)( x − 5) dx 1+ x . dx по формулам трапеций и Симпсона, x +1 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №13 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x2 2 a) y = , y = 4 − x2; 3 3 b) x = t (t − 3), y = c) t (3 − t ) (петля); 3 ρ = 4 cos 4ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln cos x , 0 ≤ x ≤ π 3 ; b) x = 4(cos t + t sin t ), y = 4(sin t − t cos t ), 0 ≤ t ≤ 2; c) ρ = 3(1 + sin ϕ ), − π 6 ≤ ϕ ≤ 0. Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , õ = 2, y = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 1 0 b) ∫ −1 dx x 2 (x + 1) arcsin õ 1− x2 6 c) ; ∫ dx ; ( x − 4)( x − 6) ∞ ln(1 + x)dx . x 5 d) dx ; ∫ 1 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 0 xdx 1+ x 2 по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №14 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = tgx, y = 0, x = π 3 ; 2 b) x = 2 cos t , y = 3 sin t cos t ; c) ρ= 1 + cos ϕ . 2 Задача 2. Найти длину дуги кривой: 1 õ (1 − õ) , ≤ x ≤ 1 ; 2 3 a) y = b) x = e (sin t + cos t ), y = e (cos t − sin t ), 0 ≤ t ≤ π ; t c) t ρ = 6(1 + sin ϕ ), − π 2 ≤ ϕ ≤ 0. Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 + 1, y = x, x = 0, x = 1 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 1 x sin xdx ; c) 0 0 ∞ b) ∫ 1 ∫ e−x x 2 3 2 d) dx ; Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 0 1 ∫ sin x cos x + 1 x 3 4 + 12 x dx ; dx . x x 1 + x 2 dx по формулам трапеций и Симпсона, 0 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №15 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = 1 , y = 0, x = 5, õ = 3 ; õ 2 2 3 b) x = 2t − t , y = 2t − t (петля); c) ρ= 1 + sin ϕ . 2 Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 1 2 x , 0 ≤ x ≤ 2; 4 b) x = 2,5(t − sin t ), y = 2,5(1 − cos t ), c) ρ = 6 sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 3 π 2 ≤ t ≤ π; . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x − 1, ó = 0, ó = 1, õ = 0,5 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 2 b) ∫ 1 x x3 + 1 ∞ c) dx ; ln x dx ; x 1 3x + 7 2 6 + cos 2 x dx ; x −1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ d) ∫ 0 dx . x 3 ∫ xdx по формулам трапеций и Симпсона, деля 1 отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №16 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = x − π 2 , y = cos x, x = 0 ; 2 3 b) x = t − 4, y = t − 4t (петля); c) ρ = 6 sin ϕ , ρ = 4 sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 4 − 1 2 x , y ≥ 0; 2 b) x = 3,5( 2 cos t − cos 2t ), y = 3,5(2 sin t − sin 2t ), 0 ≤ t ≤ c) ρ = 2 sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 6 π 2 ; . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = ln x, ó = 0, õ = 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 1 0 b) ∫ −1 1+ x2 x3 e −1 x2 ∞ c) dx ; ∫ x3 + 1 x4 1 x 1 d) dx ; ∫ 0 dx ; cos x 5 2 2 (1 − x ) dx . 5 dx по формулам трапеций и Симпсона, деля x 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №17 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = x, y = π 2 sin x, x ≥ 0 ; 3 2 b) x = 1 + t − t , y = 1 − 15t (петля); c) ρ = 3 sin ϕ , ρ = 5 sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 4 x − 2 , 2 ≤ x ≤ 3 ; t6 t4 b) x = , y = 2 − , 0 ≤ t ≤ 4 8; 6 4 c) 3 4 ρ = 2ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = ( x − 1) 2 , ó = 1 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 ∞ b) ∫ π 2 π dx 3 x +1 2 + sin x x 2 c) ; ∫ 0 1 dx ; d) 3 ∫ 0 2 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ dx 3 1x sin 3 x x 1 dx ; 3 3 x + 11 3 x 7 dx . по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №18 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = 1 2 1 x , y = 3x − x 2 ; 4 4 b) x = 2 cos t (1 + cos t ), y = 2 sin t (1 + cos t ) ; c) ρ = 3 + 5 cos ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln ex +1 e −1 x , 0 ≤ x ≤ 5; 3 2 4 ≤ϕ ≤ 3π . 2 b) x = 8at , y = 3a ( 2t − t ), y ≥ 0; c) ρ= 1 sin 2 , π ϕ 2 2 Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = 5 sin x, y = sin x, x ≥ 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 4 a) ∫ 0 dx (4 − x) 3 ∞ c) ; 2 ∞ b) ∫ ∫ 1 d) arctgxdx ; 0 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 4 dx ∫ x 2 ( x + 1) sin xdx x2 ; sin 2 x 2 x −1 dx . по формулам трапеций и Симпсона, 2 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №19 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: à2 a) y = 2 à −õ 2 , y = 2à ; b) x = 2 2 cos t , y = 3 2 sin t , y = 3 ( y ≥ 3) ; c) ρ = cos ϕ + sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln x , 2 2 ≤ x ≤ 2 6 ; b) x = e cos t , y = e sin t , 0 ≤ t ≤ ln π ; t c) t ρ = 6 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 3 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 − 2 õ + 1, y = 0, x = 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: π a) ∫ 0 sin 3xdx 12 x 15 ∞ b) ∫ −1 5 ; ∫ 2 ∞ dõ 2 c) 3 4 x + x +1 d) ; ∫ dx ( x − 2) 2 ; e − kx dx (k > 0) . 0 3 x +1 dx по формулам трапеций и Симпсона, x 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №20 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 a) y = − x , y = x − 2 õ − 4 ; 3 3 b) x = 32 cos t , y = sin t , õ = 4 ( õ ≥ 4) ; c) ρ = sin 6ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = e , 0 ≤ x ≤ ln 7 ; x 3 3 b) x = cos t , y = sin t , 0 ≤ t ≤ c) ρ = 5ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 4 ; 12 . 5 Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x3 , y = x . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 5 a) ∫ 0 dx (x − 5) 3 π c) ; 0 ∞ b) ∫ ∫ ∞ sin xdx ; d) 0 ∫ 1 2 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ x+2 2 0 x +1 sin x cos 3x + 4 x4 dx ; dõ 2x + 3 x 2 + 1 + 5 dx по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №21 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = 6 x − 5 õ + 1, y = cos πx, 0 ≤ x ≤ 2 1 ; 2 b) x = 3 cos t , y = 8 sin t , y = 4( y ≥ 4) ; c) ρ = 1 + 2 sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: 2 a) y = ln( x − 1) , 2 ≤ x ≤ 5 ; 3 3 b) x = 6 cos t , y = 6 sin t , 0 ≤ t ≤ c) ρ = 8(1 − cos ϕ ), − π 3 ; 2π ≤ ϕ ≤ 0. 3 Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = ( x − 1) 2 , x = 0, x = 2, y = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 ∞ b) ∫ x3 + 7 x5 − x2 + 2 1 c) dx ; ∫ 0 3 −x xe dx ; d) ∫ 0 0 4 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 0 dx ; x dx x2 + 3 x . dx по формулам трапеций и Симпсона, x+2 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №22 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = sin 2 x, y = sin x, π 3 ≤ x ≤π ; b) x = 10(t − sin t ), y = 10(1 − cos t ), y = 15 (0 < x < 2π , y ≥ 15) ; c) ρ = 1 + 2 cos ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln sin x , π 3 ≤x≤ 2π ; 3 b) x = e (cos t + sin t ), y = e (cos t − sin t ), t c) t ρ = 8 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 4 π 6 ≤t≤ π 4 ; . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = sin x , y = cos x , y = 0 , x = 0 , x = π 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 3 a) ∫ 0 ∞ b) ∫ x2 9− õ 1 2 c) dx ; ∫ 0 dx 5 10 1− õ ∞ 2 −x x e dx ; d) 0 ∫ 0 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ dx 01+ õ 3 õdx 3 5 x +2 ; . по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №23 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = x, y = π 2 sin x, x ≥ 0 ; 3 2 b) x = 1 + t − t , y = 1 − 15t (петля); c) ρ = 3 sin ϕ , ρ = 5 sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln ex +1 ex −1 , 0 ≤ x ≤ 5; 3 2 4 ≤ϕ ≤ 3π . 2 b) x = 8at , y = 3a ( 2t − t ), y ≥ 0; c) ρ= 1 sin 2 , π ϕ 2 2 Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 − 2 õ + 1, y = 0, x = 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 ∞ b) ∫ x3 + 7 x5 − x2 + 2 1 c) dx ; ∫ 0 3 −x xe dx ; d) ∫ 0 0 dx ; x dx x2 + 3 x . 5 dx по формулам трапеций и Симпсона, деля x 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №24 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 2 2 a) 2 y = x , õ + y = 4 ó, 2 ó ≥ õ ; 2 3 b) x = t − 9, y = t − 9t (петля); c) ρ = 6 cos 3ϕ , ρ = 3 ( ρ ≥ 3) . Задача 2. Найти длину дуги кривой: x2 a) y = , 0 ≤ x ≤ 2; 4 3 3 b) x = 2 cos t , y = 2 sin t , 0 ≤ t ≤ c) ρ = 7(1 − sin ϕ ), − π 6 ≤ϕ ≤ π 6 π 4 ; . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y 2 = 4 x, x = y . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ x3 −1 2 ∞ b) x ∫ 0 2π dx ; c) ∫ 0 sin 2 x dx ; x 0 d) ∫ −2 3 dx ; sin x dx . ( x + 1)3 x + 1 6 dx по формулам трапеций и Симпсона, деля x − 1 2 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №25 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 a) y + x = 4, y − 3 x = 12 ; 2 3 b) x = t − 1, y = t − t (петля); c) ρ = 4 sin 3ϕ , ρ = 2 ( ρ ≥ 2) . Задача 2. Найти длину дуги кривой: x 2 ln x a) y = , 1 ≤ x ≤ 3; − 2 4 b) x = 5(t − sin t ), y = 5(1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ π ; c) 3 4 ρ = 4ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = arcsin x, x = 1, y = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 1 π b) ∫ 0 x4 5 e ( x + 1) sin x x 2 4 c) dx ; ∫ 0 e x dx ; x e −1 ∞ dx ; d) ∫ 0 xdx 3 7 x +1 . 5 dx по формулам трапеций и Симпсона, деля 3 x − 1 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №26 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 2 a) x + y = 2, y = 2 õ − 1, õ ≥ 1 ; 2 t (3 − t 2 ) (петля); b) x = t , y = 3 2 c) ρ = 4 cos 3ϕ , ρ = 2 ( ρ ≥ 2) . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) x = ln cos y , 0 ≤ x ≤ π 3 ; b) x = 4(cos t + t sin t ), y = 4(sin t − t cos t ), 0 ≤ t ≤ 2; c) ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 3 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = arcsin x, x = 1, y = 0 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 0 1 b) ∫ −1 x3 + 7 x5 − x 2 + 2 1 eõ dx x3 1 c) dx ; ∫ 0 ∞ ; d) ∫ 1 sin xdx 5 2 4 (1 − x ) dx ( x + 1) x ; . 5 dx по формулам трапеций и Симпсона, деля x 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №27 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 2 2 a) x + y + 6 x − 2 y + 8 = 0, y = x + 6 x + 10 ; 2 b) x = 2 cos t , y = 3 sin t cos t ; c) ρ = cos ϕ − sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = − x 2 3 − 1, 0 ≤ x ≤ 5 5 ; 2 2 b) x = (t − 2) sin t + 2t cos t , y = ( 2 − t ) cos t + 2t sin t , 0 ≤ t ≤ π ; c) ρ = 2eϕ , − π 2 ≤ϕ ≤ π 2 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , y = 1, x = 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 1 a) ∫ 0 ∞ b) ∫ 2 dx 2 x ln x xdx 2 x −1 1 c) ; ∫ 0 2 ; d) ∫ 0 2 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ xdx 11+ x 3 sin xdx 8 2 3 (1 − x ) xdx 2 x −1 ; . dx по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №28 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: a) y = 1 1 −õ 2 , y = 2; b) x = 2 2 cos t , y = 3 2 sin t , y = 3 ( y ≥ 3) ; c) ρ = cos ϕ + sin ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = ln x , 2 2 ≤ x ≤ 2 6 ; b) x = e cos t , y = e sin t , 0 ≤ t ≤ ln π ; t c) t ρ = 6 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 3 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями y = x 2 − 2 õ + 1, y = 0, x = 2 . Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: π a) ∫ 0 sin 3 x 4 x5 ∞ b) ∫ −1 5 dx ; ∫ 2 ∞ dõ 2 c) 3 4 x + x +1 d) ; ∫ dx (x − 2) 2 ; e −5 x dx . 0 3 x +1 dx по формулам трапеций и Симпсона, x 1 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №29 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x2 ; a) x + y = 8, y = 2 2 2 3 3 b) x = 4 2 cos t , y = 2 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ; c) ρ = 1 + cos ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) x = 1 2 1 y − ln y , 1 ≤ y ≤ 2 ; 4 2 5 5 b) x = a cos t , y = a sin t ,0 ≤ t ≤ 2π ; c) ρ = aϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской x x − ⎞ a ⎜⎛ a e + e a ⎟, x = a, x = −a . фигуры, ограниченной линиями y = ⎟ 2⎜ ⎝ ⎠ Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: ∞ a) ∫ 2 0 b) ∫ −1 ∞ dx ; x ln x 1 ex x 2 c) ∫ 0 3 d) dx ; Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ 2 4 dx ∫ x 2 (x + 1) dx x3 +4 x + 1 + 3 ; cos x + 4 dx . x−2 по формулам трапеций и Симпсона, 2 деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты. ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект №2 _____________________________________________________________________________________ Вариант №30 Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 2 a) y = 2 x − x , y = − x ; 3 3 b) x = 16 cos t , y = 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ; c) ρ = 4 sin 2ϕ . Задача 2. Найти длину дуги кривой: a) y = 1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤ 4 π 4 4 ; b) x = cos t , y = sin , 0 ≤ t ≤ c) π 2 ; ρ = aϕ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 4 . Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями y = sin 2 x, x = π 2 , y = 0. Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость: 3 a) ∫ −2 ∞ b) ∫ π 2 dx x 1 3 ; c) 2 ∫ 0 cos x + 4 x 1 dx ; 1 d) 3 ∫ 0 e− x x dx ; x cos sin 4 x 2 dx . 8 7 x 1 xdx по формулам трапеций и Симпсона, деля x + 1 0 Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.