§ 3. Нелинейные модели для валового внутреннего продукта

§ 3. Нелинейные модели для валового внутреннего продукта
3.1. Модели Рамсея-Солоу-Свена, Шелла
Основными характеристиками неоклассических моделей экономического
роста являются: 1) предположение о функционировании экономики в условиях
совершенной конкуренции, обеспечивающей гибкую систему цен и равенство
цен факторов производства их предельной производительности; 2) отсутствие
функции совокупного спроса, поскольку гибкая система цен постоянно
приравнивает объем совокупного спроса к объему совокупного предложения;
3) отсутствие функции инвестиций, так как при равновесии на рынке благ I = S;
4)
представление
взаимозаменяемыми
технологии
факторами
в
виде
производственной
производства
и
функции
постоянным
с
эффектом
масштаба (в виде неоклассической ПФ со степенью однородности один
(удовлетворяющей аксиомам 1-4 (см. § 10, Ч. 1))).
Основоположниками неоклассических моделей роста являются Р. Солоу1 и
Т. Сван2, еще раньше эту модель предложил Ф.Рамсей3.
Обозначим X  валовый внутренний продукт (ВВП). Справедливо
равенство X  I  C , I – инвестиции, C – конечное потребление, c  u 
доля
непроизводственного
потребления,
s 1 c  1 u 
I
X
–
C
–
X
доля
производственного накопления.
В наших моделях считается, что u = const. В курсе теории оптимального
управления полагают u = u(t), где u – управление.
Основное уравнение динамики ОПФ имеет вид K   I    K ,   норма
амортизации, 0    1 . Здесь предполагают, что L(t ) = L0  e t ,   0 , L(t) 
1
Solow R.M. A contribution to the theory of economic growth // Quart. J. Econ. – 1956. – V. 70. – P. 65-94.
Swan T. Economic growth and capital accumulation // Econ. Record. – 1956. – V. 32. – P 334-361.
3
Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. J. – 1928. – V. 38. – P. 543-559.
2
125
людские ресурсы, x (t ) 
X (t )
K (t )
– средняя производительность труда, k (t ) 
L(t )
L(t )
фондовооруженность (капиталовооруженность) труда, откуда K  kL .
Продифференцируем последнее выражение: K   (kL)  k L  kL . Далее, из
равенства K   I   K получим k L  kL  I   kL  это уравнение динамики.
При
этом
потребление
I  sX ,
X  F ( K , L, t )
–
неоклассическая
производственная функция со степенью однородности один, явно зависящая от
времени t.
Разделим обе части уравнения динамики на L:
k  k
L
X
K
 s   , k   sf (k , t )  (    )k ,
L
L
L
где
x (t ) 
X (t ) F ( K (t ), L(t ), t )
1
K (t ) L(t )


F ( K (t ), L(t ), t ) = F (
,
, t) =
L(t )
L(t )
L(t )
L(t ) L(t )
= F(
K (t )
,1, t )  F (k (t ),1, t )  f (k (t ), t )
L(t )
– средняя производительность труда (выраженная от фондовооруженности),
c(t ) 
C (t )
– фонд потребления на одного занятого.
L(t )
При   0 и u  u (t )  1  s (t ) получаем модель Ф.Рамсея. При   0 и
u  1  s  const
получаем
модель
Р.Солоу
и
Р.Свена.
При
 0
и
u  u (t )  1  s (t ) получаем модель К.Шелла1.
Окончательно модель в удельных (относительных) показателях имеет вид
 k   sf (k , t )  (    )k ,

 k (0)  k0  0.
При этом ставят следующие задачи оптимизации:
1
Shell K. Optimal programs of capital accumulation for an economy in which theory is exogenous technical change //
Essays on the theory of optimal economic growth. – New York; London, 1967. – P. 1-30.
126
T
T
 c(t )dt  max , или  e
0
 t
c (t )dt  max .
0
3.2. Исследование модели Рамсея-Солоу-Свена (РСС)
В модели РСС управление предполагается постоянным и задачу
оптимизации удается решить классическими методами, не прибегая к
применению принципа максимума Понтрягина1, особенно при отсутствии
влияния экзогенного научно-технического прогресса (НТП).
Модель РСС в относительных показателях имеет вид
k   sf (k , t )  (    )k .
Если заменить k  на k , то получим приближенное равенство
k  s  f ( k , t )  (   p ) k

прирост
фондовооруженности
одного
работника
с
постоянной
эффективностью труда определяется соотношением двух величин в расчете на
одного работника – инвестиций
sf (k , t ) , фактически произведенных в
экономике, и величины инвестиций, необходимых для того, чтобы сохранять
достигнутый уровень k в условиях роста населения с индексом роста  и
выбытием капитала с нормой  .
Исследуем
модель
методами
качественной
теории
обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ).
1) Проверка существования решения. Рассматриваемая модель
k   sf (k , t )  (    )k
 нестационарное неавтономное нелинейное ОДУ первого порядка, для него
необходимо проверить существование решения.
Решение существует, если: f (t , k ) непрерывна по t и k. В наших моделях
1
Лагоша Б.А., Апалькова Т.Г. Оптимальное управление в экономике: теория и приложения: учеб. пособие. – 2-е
изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 224 с.
127
предполагается непрерывность f (t , k ) при (t , k ) из области t  0 и k  0 .
2)
Решение
единственно,
если
выполнено
достаточное
условие
единственности решения:
а) существует
f
и непрерывна в рассматриваемой области;
k
б) если выполнено условие Липшица: существует L  0 для любого k1  0 ,
k2  0 следует |f (t , k1 )  f (t , k2 ) |  L | k1  k2 | для любого t  0.
3) Существование стационарной траектории (решения), то есть такой
траектории,
что
k (t )  const .
При
этом
траектория
k (t )  k *
либо
асимптотически устойчива (по Ляпунову), либо просто устойчивая (по
Ляпунову), либо неустойчивая (по Ляпунову). Пусть k (t )  k * . Подставим это
выражение в уравнение, получим
(k * )  0  sf (k * )
– (   )k * , отсюда
приходим к алгебраическому уравнению sf (k * )  (    )k *  0 .
В данном случае при k0 > 0 все траектории уравнения k  = sf (k , t ) –
(    )k
асимптотически устойчивы. Это называется асимптотической
устойчивостью (по Ляпунову) в целом (в данной области, то есть при t  0 и
k > 0).
В наших примерах решение при k0 > 0 существует и единственно, то есть
любой начальной точке соответствует одна единственная траектория.
3.2.1. Примеры1
1)
ПФ Кобба – Дугласа. Функция имеет вид F ( K , L)  aK  L , где a  0 ,
    1 ,  ,   0 . Вычислим функцию f(k) = ak и производную
f
a
k 0 
 a k  1  1 
  , где k  0 , t  0 , 1    1  0 .
k
k
1
Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под ред. И.В.Котова. 2-е изд., испр. и доп.
– Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. – Глава V, § 1.
128
Видим, что при k  0  достаточные условия единственности не выполнены.
Но они выполнены в любой ограниченной замкнутой при k  k0  0 области.
В
относительных
переменных
уравнение
модели
имеет
вид
k   ak   (    )k или k   (    )k  ak  . Уравнение решается в явном виде,
так как это уравнение Бернулли (J. Bernoulli). Его можно решить методом
Бернулли: решением k ищем в виде k  uv , где u , v  неизвестные. В итоге
получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
v  (    )v  0,


uv  a (uv) .
Первое уравнение решается в явном виде: v  e (    )t  это частное
решение.
Второе
уравнение
запишем
в
u
 av 1 ,

u
виде
u  du  ae(1 )(    )t dt  ae  (    ) t dt , где   1   .
u
a
C
Проинтегрируем обе части равенства:

e  (    ) t  , откуда
  (   )

1
 a

u 
e  (    )t  C 


1
 a

=
 Ce   (    )t 


1

 a

k  uv  
e (    )t  C 


,

e (    )t =

1
Далее учтем, что
C  k  (0) 
 a

k (0)  u (0)v(0)  u (0) , откуда k (0)  
C


,
a
.

1
 a

a    (    )t 
Окончательно k  
  k  (0) 
e

   
   


=
1
 a

=
1  e   (    )t   k  (0)e   (    ) t 

  

Итак,

при
всех
t0
решение
129

.
существует,
k (0)  k (0) ,
1
 a 
k (t )  k  

 
t 
2)


.
ПФ с постоянной эластичностью замещения (ПФПЭЗ). Функция
имеет вид F ( K , L)  a0 (b1K

 b2 K


)
1

 (aK



 bL )
1

, где a0  0 , 1  b1  0 ,
1  b2  0 , b1  b2  1 , a  a0  b1 , b  a0  b2 , 1    0 , и, может быть   0 , m=1 

степень однородности. В этом случае f (k )  F (k ,1)  (ak

 b)
1

.
Вычислим производную
1
f (k )  ( )(ak    b)

1
 1

(  )ak   1 =
(ak

 (1  )

 b)
k  1
a
.
Далее вычислим предел при   0
lim f (k )  lim
k 0 
(ak

k 0 
 (1  )

 b)
k  1
a
k 0 
a
= lim
1 
 
k 0 
a

(a  bk )
a
 lim
a
1 


 k (ak

a
1


 b) 
1 

=
.
Заметим, что lim f (k )   , когда 1    0 .
k 0 
Итак, при   0 предел lim f (k ) существует, поэтому достаточные
k 0 
условия единственности выполнены для любого k  0.
По достаточному условию существования решения, существует одно
решение задачи Коши для ПФПЭЗ при   0 :
1





 k   s( ak  b )  (    )k ,

 k (0)  k0  0.
3) ПФ с постоянными пропорциями (ПФПП) (ПФ Леонтьева). Функция
K
имеет вид F ( K , L)  min  ,
a
L
k 1
 , где a, b  0 , откуда f (k )  min  ,

b
a b
130
k1
1
k 1
совпало с , то есть 1  , то
a
b
a b
Заметим, что если в точке k1 значение
при 0 < a < 1 имеем k1 
получаем, что k1 
a 1
a 1
 . При a > 1 получаем, что k1   , при a = 1
b b
b b
1
.
b
f(k)
1/b
0<a<1
k 1= a
b
0
f(k)
k
1/b
f(k)
a>1
1/b
a=1
1/b
a=1
0
1/b
0
a
k 1=
b
1/b=k1
Итак, в модели k   sf (k )  (    ) видим, что f (k )  кусочно линейная
функция, то есть
131

k 1
 k   s min  ,   (   )k ,
a b


k (0)  k0  0.

Производная f (k ) существует всюду, кроме одной точки k1 
a
:
b
f (k )
1/a
f(k) = 0
0
k 1=
a
b
k
Видим, что max f (k )  1/ a , поэтому для любого k  0 функция f(k)
k 0
удовлетворяет условию Липшица с константой L = 1/a.
В силу достаточного условия решения одно существует при любом k0  0.
4) Линейная ПФ. Функция имеет вид F ( K , L )  aK  bL , где a  0 , b  0 ,
f (k )  ak  b . Получаем линейное ОДУ k (t )+ k (t )  sak (t )  sb , в случае
sa  
решаем его: k (t )  e ( sa  ) t k (0)+
sb
e( sa  ) t  1 . В случае

sa  
получаем: k (t )  k (0)  sbt . Итак, в случае sa   находим k  
132
sb
.
  sa
sa  
3.2.2. Примеры
Рассмотрим графики из примера 1. Это типичный случай.
секущая
хорда
()k
sf(k)
k*
0
k
Рассмотрим уравнение sf(k*) = (  )k*. Пусть sf′(0) =   >   
и
имеется строгая выпуклость вверх функции f(k).
Тогда существует единственная положительная стационарная траектория
(положительное равновесие) k*.
Рассмотрим пример 2 для   0 . Обозначим  (k )  sf (k ) – (   )k ,

 (k )  sf (k )  (    ) . Пусть sa
1

    , то есть sf (0)     , и имеется
строгая выпуклость вверх функции f (k ) , значит существует единственное
положение равновесия k *  0 .
133
()k
sf(k)
(k)
kˆ
0
Рассмотрим
пример
k*
2,
когда
нет
k
стационарной
точки.
Если
sf (0)     , то не существует положительной стационарной траектории.
( + )k
sf(k)
0
k
(k)
Рассмотрим
единственное
пример
положение
3.
Если
sf (0) 
равновесия
134
s
,
a
то
существует
k *  s /  b(    )  ,
где
 (k )  sf (k )  (    )k  разность двух графиков.
()k
s/b
sf(k)
^
k*
k
kˆ =k1=a/b
0
Если sf (0) 
(k)
k
s
    , то график такой, как показано ниже.
a
()k
sf(k)
s/b
a/b
1/b
k
0
f(k)=min{k/a,1}
(k)
В этом случае любая точка k *: 0  k * 
a
 это стационарная траектория. В
b
этой ситуации имеет место нестрогая выпуклость вверх, просто выпуклая вверх
функция.
Если sf (0) 
s
    , то нет положительной стационарной траектории
a
135
(нуль нас не интересует, так как не имеет экономического смысла).
(μ+ρ)k
sf(k)
s/b
a/b
k
(k)
3.2.3. Качественное поведение траекторий модели
в случае единственной стационарной точки1
Составим функцию  (k )  sf (k )  (    )k . Изучим поведение траекторий
модели k    ( k ) на основе свойств функции  (k ) в типичном случае. Будем
предполагать, что функция  (k ) дважды непрерывно дифференцируема при
k  0 . Известно, что  (k ) при k  k * функция строго убывает и в терминах
дифференцируемости это эквивалентно    0 . Далее заметим, что если k  k * ,
k * – единственная стационарная точка модели, то  (k ) отрицательно.
Действительно, из чертежа видим, что k   sf (k )  (    )   (k )  0 при k  k * .
(k )  k  0  производная сложной
Вычислим вторую производную: k   

0
0
функции по t, при k  k * видим, что  (k )  0 и k   0 , поэтому k   0 , то есть
1
Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под ред. И.В.Котова. 2-е изд., испр. и доп.
– Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. – Глава V, § 1.
136
график функции k(t) является выпуклым вниз.
(k )  k   0 . В этом случае график
Если kˆ  k  k * , то k    (k )  0 , k   

0
0
функции k(t) является выпуклым вверх.
(k )  k   0 . В этой точке график
Если k0  k  kˆ , то k    (k )  0 , k   

0
0
функции k(t) имеет перегиб, то есть  (kˆ)  0 .
(k )  k   0 . В этом случае график
Если 0  k  kˆ , то k    (k )  0 , k   

0
0
функции k(t) является выпуклым вниз.
k(t)
k*  стационарная
траектория
k*
k(t)
точки перегиба
kˆ
t
0
137
k0
()k
sf(k)
k*
kˆ
(k)
k0
0
k̂
k*
t
0
k
траектории, интегральные кривые
модели
Итак, показали, что k*  аттрактор модели (системы), притягивающее
множество, положение равновесия, причем траектория k*  асимптотически
устойчива по Ляпунову в целом (при k0 > 0). Более того, любая траектория при
k0 > 0 также асимптотически устойчива по Ляпунову в целом. Этот факт мы
оставляем без доказательства.
Рассмотрим теперь основные абсолютные показатели системы. Итак,
известно, что k * 
K * (t )
 фондовооруженность. Кроме того, известно, что
L * (t )
L  L(t )  L * (t )  L0 e t  входное воздействие модели, где  > 0  индекс роста
трудовых ресурсов.
Отсюда
видим,
что
K  K (t )  K * (t )  k * L * (t )  k
* L0 e t  K 0e t

K0  K (0)
динамика ОПФ на равновесной траектории. Далее введем обозначение
L0  L(0) . Аналогично выведем
 K (t )

X (t )  F  K (t ), L(t )   F 
 L (t ), L (t )  1 =
 L(t )

138
 K (t ) 
= L(t )  F 
,1  L(t )  f (k (t )) ,
 L(t ) 
X * (t )  L * (t )  f (k *)  L0e t  f (k *)  X 0e t ,
где X 0  X (0)  L0 f (k *) . Далее получим
C (t )  C * (t )  (1  s )Y * (t )  (1  s ) f (k *)  e t  L0  C0e t ,
где
C0  (1  s ) f (k *) L0 ,
I (t )  I * (t )  sY * (t )  sf (k *) L0e t  I 0e t ,
где I 0  sf (k *) L0 .
Итак, получили, что вдоль стационарных траекторий фондовооруженности
основные абсолютные показатели модели растут с постоянным индексом роста
(темпом прироста) , то есть рост идет по экспоненциальному закону. А
именно, по такому закону растут ОПФ K(t), трудовые ресурсы L(t), ВВП X(t),
потребление С(t), инвестиции I(t). Это всего лишь экстенсивный рост.
Вдоль стационарных траекторий фондовооруженность не изменяется;
поэтому не меняются следующие относительные (удельные) показатели:
 средняя производительность труда 
 средняя фондоотдача 
X (t )
 f (k *) ,
L( t )
X (t ) f (k *)
,

K (t )
k*
 удельное (подушевое) потребление 
139
C (t )
 c  (1  s ) f (k *) .
L(t )
3.3. Задача оптимизации удельного потребления в модели РСС
f(k)
()k
касательная
sf(k)
s1f(k)
0
k**
k1*
k*
k
Поставим задачу оптимизации, в том случае, когда f (k ) имеет место
строгая выпуклость вверх, причем sf (0)    k :
c  c
(k *)  c(k * ( s))  max .
k *0
0  s 1
Здесь c(k *)  (1  s ) f (k *)  f (k *)  (    )k * в точке k*, так как в этой
точке sf (k *)  (    )k * .
Отсюда выписываем
c(k *)  f (k *)  (   )  0
 это необходимое
условие экстремума. Здесь используется правило дифференцирования сложной
функции: cs (k * ( s ))  c(k *)  (k *)s  0 , (k *)s  0 – можно на этот множитель
сократить, получаем c(k *)  0  необходимое условие экстремума.
140
3.4. «Золотое правило накопления» Фелпса (E.S.Phelps1)
Геометрическая форма «золотого правила накопления» имеет вид: в
оптимальной
стационарной
точке
k **
касательная
к
графику
f (k )
параллельна секущей.
Кроме того, если вычислить вторую производную c(k **)  f ( k **)  0 ,
то видно, что k** есть точка максимума удельного потребления c(k**).
Действительно,
в
любой
точке
k*
выполняется
равенство
sf (k *)  (    )k *  необходимое условия экстремума, поэтому
s
(    )k *
.
f (k *)
Затем в точке k* выполняется равенство c(k **)  f (k **) –  (    )  0 .
Видим, что в точке k** выполняется равенство s ** 
Выведем общие закономерности, где k 
f (k **)k **
.
f (k **)
K
F f (k )k df / dk  k
, f (k )  ,

L
L
f (k )
f (k )
F K
d( )
L L = F  K  E F , поэтому s **  E F ( K **, L **) , откуда
=
K
K
K F
K F
d( )
L L
=K
s
**F =
инвест. в пр-во
F
 доход от капитала (от ОПФ). Последняя форма носит название
K
экономической формы «золотого правила накопления»
Итак, видим, что оптимальная норма накопления:
s ** 
(    )k ** f (k **)k **

 EKX ( K **, L **)
f (k **)
f (k **)
 эластичность ВВП по капиталу (или по ОПФ), еще одна форма «золотого
правила накопления».
1
Американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 2006 г. за «анализ межвременного
обмена в макроэкономической политике».
141
Если =1  степень однородности ПФ, то =1 – это эластичность по
масштабу производства от ПФ. В частности  KF   LF  1  это следствие
теоремы Эйлера об однородных функциях. Так как  KF ,  LF  0 , то 0   KF  1,
0   LF  1. Отсюда выводим, что 1  s ** = ELF ( K **, L **)  ELX ( K **, L **) , и
(1  s **) F = L
X
, то есть оптимальная норма потребления равна доходу от
L
труда.
Пример. Для ПФ Кобба – Дугласа имеем
s **   KX   , 1  s **  ELX  1   .
3.4.1. Задача Шелла
Рассмотрим модель РСС k   sf (k )  (    )k
в предположении, что
0  s  s (t )  1 , причем задано k (0)  k0 и ограничение на конечное состояние
T
k (T )  kT , будем искать
e
 t
c (k (t ))dt  max  подушевое интегральное
0
дисконтированное
потребление,
где
c(k (t ))  (1  s(t )) f (k (t )) ,
 0

коэффициент дисконтирования. Может быть  = 0  тогда получаем просто
подушевое интегральное потребление. В этом случае магистральный участок
траектории модели Шелла проходит по траектории оптимального стационара
модели Солоу.
142
k
kT
стационарная оптимальная
траектория  магистраль
k**
k0
0
Обобщение
модели:
T
k (t )  (    )k (t )  f (k (t ), t )  c(t ) ,
k (t0 )  k0 ,
T
0  c(t )  f (k (t ), t ) ,  e  (t t0 )U (c (t ))dt  max.
t0
3.5. Модель РСС с учетом запаздывания фондообразования1
Итак, баланс ВВП в абсолютных показателях имеет вид X  I  C , что
эквивалентно x  i  c  баланс в удельных показателях.
Здесь ВВП X  F ( K , L) , удельный ВВП на одного трудящегося имеет вид:
x
F ( K , L)
K L
K
= F ( , )  F ( ,1)  f (k )  по свойству однородности первой
L
L L
L
степени функции F ( K , L) .
Далее,
I  sX
соответственно
i  sx ,
C  (1  s ) X ,
соответственно
c  (1  s) x .
Динамика ОПФ:
dK
 V   K , где V  интенсивность ввода ОПФ в момент
dt
времени t.
Уравнение
dV
 nV  nI описывает инерционное звено запаздывания
dt
1
Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – 3-е стереотип. изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2005. – Глава 4, п. 4.2.
143
ввода реальных инвестиций, где I  запланированные инвестиции. Модель
1
можно записать в виде TV   V  I домножим на обратную величину T  .
n
Будем использовать обозначения k 
K
I
 фондовооруженность, i 

L
L
удельные инвестиции (накопления) на одного человека, c 
потребление (фонд потребления на одного занятого),
производительность
труда,
v
V
L
–
реальные
C
 удельное
L
f 
F
L
 средняя
инвестиции
на
одного
трудящегося.
Напомним, что x  i  c , где f (k )  средняя производительность труда,
i  sx , c  (1  s) x .
Из
равенства
K   k L  kL  V   kL .
k   k
K  kL
Разделим
K   k L  kL ,
получим
последнее
равенство
на
L,
откуда
получим
L
 v  k .
L
L(t ) L0  e t
Учтем, что

   0 , k   v   k   k , k   v  (    )k .
L(t )
L0 e  t
В уравнении
dV
 nV  nI подставим V  vL . Вычислим V   vL  vL ,
dt
откуда v  ni  (   n)v .
Получим систему двух уравнений первого порядка, запишем сразу задачу
Коши
 k   v  (    )k ,

v  nsf (k )  (n   )v,
 k (0)  k , v(0)  v .
0
0

144
касательная
(n+)()k*
nsf(k)
k**
0
Ищем стационарную траекторию
k
k  k (t )  k *  const , тогда
k *  0 ,
v  v(t )  v*  const , тогда v*  0 .
Получим
систему
нелинейных
алгебраических
уравнений
 0  v * (    )k *,

0  nsf (k *)  (n   )v *.
Из системы находим: v*  (    )k * , nsf (k *)  (n   )(    )k * .
Если nsf (0) > (n+)(+) и функция f(k) дифференцируема и строго
выпукла вверх при k  0 , то существует единственное положение равновесия
k* > 0.
Рассмотрим пример ПФ Кобба – Дугласа X  aK  L . В этом случае
1



an 
k*  
  стационарная траектория.
 (n   )(    ) 
Поставим задачу оптимизации (максимизации) удельного (подушевого)
c(k *)  c(k * (s ))  max,
потребления: 
 k *  0, и 0  s  1.
145
В точке k*:
V  V (t )  V (0)e t ,
X  X (t )  f (k *) L0e t = X (0)e t ,
K  K (t )  K (0)e t ,
I  I (t )  sf (k *) L0e t = I (0)e t ,
C  (1  s ) f (k *) 
L0e t =
L(t )
 C (0)e t . Все переменные растут по экспоненциальному закону с индексом
роста .
c
Вычислим
–
C
 (1  s ) f (k *)  f (k *)  sf (k *) = f (k *) 
L
(n   )(    )
(n   )(    )k *
k * . Заметим, что s* 
.
n
nf (k *)
Запишем
производную
с(k),
потребления: c(k **)  f (k **) 
s**
найдем

оптимальную
норму
(n   )(    )
1  0 .
n
(n   )(    ) / n - угловой коэффициент
касательная
k (n   )(    ) / n
f(k)
секущая хорда
0
k**
k
Итак, пришли к геометрической форме: золотое правило накопления
гласит, что оптимальная стационарная траектория  это точка, в которой
касательная графика параллельна хорде (секущей). Заметим, что для ПФКД:


an
s **   , c ** = c * = (1   )a 

 (n   )(    ) 
146


 это оптимальное удельное
потребление в случае запаздывания.
Оптимальное удельное потребление в случае ПФКД без запаздывания


 a 
имеет вид: c ** = (1   )a 
 . К предыдущей формуле добавлен
   
коэффициент
n
, который уменьшает удельное потребление.
n
Очевидно, что
n

1 , то есть при n   модель с запаздыванием
n   n
 к модели без запаздывания.
3.5.1. «Золотое правило накопления» Фелпса в модели с учетом
запаздывания фондообразования
Напомним, что s ** 
(n   )(    )k **
.
nf (k **)
Проверим, совпадает ли эта величина с эластичностью. В оптимальной
точке справедливо равенство:
f (k **) 
(n   )(    )
,
n
следовательно,
s ** 
f (k **)k **
 F ( K **, L **)
K **
,
 =  KF ( K **, L **) 

f (k **)
K
F ( K **, L **)
s **  F ( K **, L **) 
 F ( K **, L **)
 K ** ,
K
откуда видим, что инвестиции в ОПФ должны равняться доходу от капитала.
147
3.6. Модель РСС с учетом научно технического прогресса1
Научно технический прогресс (НТП) – развитие техники и технологии
производства,
а
также
рост
организации
производства,
повышение
технического уровня кадров, изменение их профессиональной структуры и
другие факторы, вызывающие расширенное производство.
НТП – совокупность всех явлений и мероприятий, которые приводят к
повышению выпуска продукции без повышения используемых ресурсов.
Экзогенный НТП – происходит в результате действия извне некоторых
социально-экономических
сил,
которые
автоматически
повышают
эффективность производства.
Эндогенный НТП – это означает, что ПФ содержит кроме труда и
капитала ещё один фактор – «человеческий капитал».
Экзогенный НТП
Моделирование
Индуцированный
Овеществленный
Автономный
НТП в виде
НТП
или
НТП
отдельной
(развитие
материализованный
отрасли
определяется всеми НТП (изучаются ОПФ
предыдущими
с учетом НТП,
инвестициями)
НТП материализуется
в ОПФ)
Автономный НТП – рост эффективности использования ресурсов не
зависит от капитала и труда, а привносится извне и выражен в зависимости ПФ
от времени.
Общий вид ПФ с учетом автономного научно-технического прогресса:
1
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть III,
Глава 1, § 6.
148
F ( K , L, t )  F0 ( AK (t ) K (t ), AL (t ) L (t )) ,
F0 – ПФ степени однородности один (линейно однородная функция), AK (t ) –
эффективность, темп роста использования капитала, AL (t ) – эффективность,
темп роста использования труда, K e (t )  AK (t )  K (t ) – эффективный капитал,
Le (t )  AL (t )  L(t ) – эффективный труд.
Нейтральный НТП – автономный НТП называется Ф-нейтральным,
если для некоторой функции Ф выполнено равенство
Ф( x, k , X L , X K , ELX , EKX , hLK , LK )  0 ,
X
–
ВВП,
x
X
L
–
средняя
производительность
фондовооруженность (капиталовооруженность),
XL 
X
L
труда,
и
K
L
–
Y
K
–
k
XK 
предельные производительности труда и капитала (предельная фондоотдача),
ELX и EKX – эластичности по труду и капиталу (по фондам), hLK 
предельная норма замещения труда капиталом,    LK
K
–
L
– эластичность
замещения труда капиталом.
1) Нейтральный НТП по Хиксу: рост экономической эффективности
вследствие совершенствования техники, сопровождающийся неизменным
распределением ВВП между трудом и капиталом: h  hLK   (k ) , то есть
предельная норма замещения зависит от капиталовооруженности, в этом случае
ПФ имеет следующий вид:
F ( K , L, t )  F0 ( A(t ) K , A(t ) L) = A(t ) F0 ( K , L) ,
F0 ( K , L) – линейно однородная ПФ, AK  AL  A – отдача капитала и труда
одинакова.
Нейтральный НТП по Хиксу означает равнодобавляющий, симметричный
научно-технический прогресс, нейтральный по труду и капиталу:
F ( K , L, t )
 A(t ) f 0 (k ) ,
L
149
A(t ) – темп роста производительности, f 0 (k ) – производительность без учета
НТП.
2) Нейтральный НТП по Харроду: рост экономической эффективности
вследствие
совершенствования
техники
при
неизменности
средней
и
предельной производительности капитала:
XK 
X
X
 
K
K

,

X
X
– предельный продукт,
– средний продукт, то есть предельный продукт
K
K
капитала зависит от среднего продукта.
ПФ в этом случае может быть записана в виде:
F ( K , L, t )  F0 ( K , AL (t ) L) = F0 ( K , Le (t )) .
Нейтральный
НТП
по
Харроду
означает
фондосберегающий
(капиталосберегающий), трудоемкий, трудодобавляющий, трудорасходующий
и, кроме того, удовлетворяет равенствам:
 k

 k 
F ( K , L, t )
 F0 (k , AL (t )) = AL (t ) F0 
,1  AL (t )  f 0 
.
L
 AL (t ) 
 AL (t ) 
Производительность эффективного труда:
F ( K , L, t )
K
K
k
 F0 (ke (t ),1) = f 0 (ke (t )) , ke 

=
.
AL (t )  L
Le AL (t )  L AL (t )
3) Нейтральный НТП по Солоу: рост экономической эффективности
вследствие
совершенствования
техники
при
неизменности
средней
и
предельной производительности труда:
XL 
X
X
 
L
L

,

предельный продукт труда зависит от среднего продукта труда. Нейтральный
НТП по Солоу означает трудосберегающий, капиталоемкий, фондоемкий,
капиталобавляющий, капиталорасходующий и, кроме того, удовлетворяет
равенствам:
F ( K , L, t )  F0 ( AK (t ) K , L) = F0 ( K e (t ), L) ,
150
F ( K , L, t )
 F0 (ke (t ),1) = f 0 (ke (t )k ) ,
L
ke 
K e AK (t ) K

.
L
L
Рассмотрим нейтральный НТП по Харроду, в этом случае удается свести
модель к модели в относительных показателях: Le (t )  A(t ) L(t ) , ke 
подставим
в
уравнение,
преобразуем
и
K
,
Le
получим

m



 A(t ) L(t ) 
ke  ke 

  sf (ke )   ke , m – темп прироста научно-технического
A
(
t
)
L
(
t
)




прогресса, то есть предположим, что A(t )  A0 e mt .
Если m = const, то ke  sf (ke )  (m     )ke , существует единственная
оптимальная
стационарная
траектория
ke ,
следовательно,
существует
максимальное удельное подушевое потребление
c**
 (1  s** ) f (ke** ) ,
e
k ** (t )
**
ke (t ) 
,
A(t )
отсюда
k ** (t )  A(t )ke** (t )  A0 ke**e mt ,
видим,
что
mt
фондовооруженность растет с индексом m. c* * (t )  A(t )  c**
– оптимальное
e e
удельное потребление растет с индексом m.
Таким образом, в моделях РСС оптимальное удельное потребление может
расти за счет НТП.
151
3.7. Двухсекторная динамическая нелинейная модель1,2
Выделяются два сектора экономики: I  сектор: производство средств
производства, II – производство предметов потребления. Кроме того, даны
производственные функции X 1  F1 ( K1 , L ) , X 2  F2 ( K2 , L2 )  в каждом секторе
своя ПФ, F1  ПФ производства средств производства, F2  ПФ производства
средств потребления.
Предполагаем, что F1 , F2 – неоклассические функции со степенью
однородности один.
Берется равенство L = L1 + L2 = const  взято для простоты. Далее
обозначим K1  ОПФ в первом секторе, K2  ОПФ во втором секторе.
Инвестиции в первом сектор равны I1 = sX1, где s  норма накопления.
Аналогично: I2 = (1  s)X1  то, что осталось от первого сектора, то есть
инвестиции во второй сектор.
Конечное потребление определяется равенством C = X2 = F2(K2, L2).
Распределение трудовых ресурсов постоянно: L1 = qL, L2 = (1  q)L, где q 
доля трудовых ресурсов, занятых в первом секторе (0  q  1).
Запишем систему ОДУ:
 K1  s  F1 ( K1 , L1 )   K1 ,
 K   (1  s)  F ( K , L )   K ,
1
1 1
2
 2
C  F2 ( K 2 , L2 ),
 L  qL, L  (1  q ) L,
2
 1
0  s  1, 0  q  1.
Здесь   норма амортизации, 0   < 1, мы будем рассматривать случай s,
q = const. Обозначим
1
Коркина Е.И., Хованский А.Г. «Золотое правило» для модели двухсекторной экономики // Методы
исследования сложных систем. – М.: ВНИИСИ, 1981. – С. 11-18.
2
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть III,
Глава 2, § 1.
152
k1 
K1
K
, k 2  2 , f1 (k )  F1 (k1 ,1) , f 2 (k )  F2 (k2 ,1) .
L1
L2
Тогда система примет вид:
 k1  sf1 (k1 )   k1 ,

q
 k2 
(1  s ) f1 (k1 )   k2 ,
1 q


 C  F2 ( K 2 , L2 )  (1  q )  F (k ,1)  (1  q ) f (k ),
2
2
2
2
1
L
1q  L2

 s  const, q  const,
0  s  1, 0  q  1.

Будем искать стационарные траектории, состояния равновесия, положения
равновесия, то есть k1 (t )  k1  const , k 2 (t )  k 2  const , получим систему
0  sf1 (k1 )   k1 ,

q

0

 1  q (1  s) f1 (k1 )   k2 .

Если каким либо образом нашли стационарную траекторию k1  , то отсюда
находим k2  
1 q
(1  s ) f1 (k1*) , поэтому c*  (1  q ) f 2 (k2 ) .
 1 q
Можно доказать, что найденное положение равновесия асимптотически
устойчиво.
Задача оптимизации: среди всех стационарных траекторий найти такую,
которая дает максимум потребления с*.
y2
y1
f1(k1)
f1( k1** )
f2(k2)
E
k1
B2
B1
A
A1
0
k **
1
k1
A2
153
0
k2**
k2
Классическое «золотое правило накопления» для первого сектора имеет
следующий вид: f1(k **)   .
Нужно найти смысл длин отрезков |0В1| и |0А1|. Для этого вычислим их
длины.
Запишем уравнение прямой А1В1 по точке ( k1** , f (k1** ) ) и угловому
коэффициенту
y1  f1 (k1** )   (k1  k1** ) ,
:
k1  0
при
находим
y1  0 B1  f 1 (k1** )   k1**  (1  s ) f1 (k1** ) , так как для любой стационарной
точки sf1 (k1** )   k1** .
Как известно, в прямом треугольнике отношение катетов как раз и есть
тангенс
0 A1 
угла,
откуда
tg (0 A1 B1 ) =
| 0 B1 |
=
| 0 A1 |
,
следовательно,
0 B1 1
 (1  s ) f1 (k1** ) .


Отложим на оси k2 отрезок |0А2| = |0А1| и проведем касательную к графику.
Чертеж позволяет найти стационарную траекторию k2** . Это и будет
оптимальная стационарная траектория.
Итак, нашли оптимальную стационарную траекторию (k1**, k2** ) .
Проверим,
что
0 B2  (1  q ) f 2 (k2** ) .
Найдем
длину
отрезка
|0B2|.
Используем подобие треугольников A20B2 и A2AE. Отсюда видим
EA
A2 A
A2 0  k2**
k2**
k2**
1
1
=


A2 0
A1 0
0 B2
A2 0
A2 0
 1
k2**
(1  s) f1 (k1** )
 1
q
1 q  q
1
.


1 q
1 q
1 q
Используем второе уравнение для стационарной траектории (k1**, k2** ) :
1
(1  s) f1 (k1** )   k1** .
1 q
154
Из чертежа EA  f 2 (k2** ) , только, что показали 0 B2  (1  q) EA , отсюда
0 B2  (1  q **) f 2 (k2** )  оптимальное потребление.
Далее находим оптимальную норму сбережения: sf1 (k1* )   k1* , отсюда
F K
 k1**
f (k1** )k1**
s ** 

 EKX11 , s **  1  1 ,
K1 F1
f1 (k1** )
f1 (k1** )
s
* F1

инвестирование
в I сектор
F1
 K1
K1



доход от капитала
в I секторе
 «золотое правило накопления» Фелпса.
Используем теорему Эйлера: ПФ F1 :
 F1
 F1
 K1 
 L1  F1 .
 K1
 L1






доходы от капитала
Отсюда находим, что
доходы от труда
 F1
 L1  (1  s **) F1 , то есть инвестиции во второй
 L1
сектор равны доходу от труда в первом секторе – «золотое правило
накопление» Фелпса.
Запишем уравнение касательной А2В2 по точке (k 2**, f 2 (k2** )) и угловому
коэффициенту f 2(k2** ) : y2  f 2 (k2** )  f 2(k2** )(k2  k2** ) . Далее, полагая k2 = 0
из уравнения касательной находим |0В2|:
y2  0 B2  f 2 (k2** )  k2**  f 2(k2** ) =
= (1  q** ) f 2 (k2** )  f 2 (k2** )  q** f 2 (k2** ) ,
получим
k 2** f 2(k2** )  q** f 2 (k2** ) .
k ** f (k ** )
Отсюда q**  2 2 2
 EKX22 .
f 2(k2** )
Таким образом, доля трудовых ресурсов в первом секторе равна
эластичности выпуска во втором секторе по капиталу второго сектора. Далее,
155
из
теоремы
Эйлера
следует,
 KX22   LX2 2  1,
или
 F2
F
K 2  2 L2  F2 ,
 K2
 L2
 F2 K 2 **
F2
 F2
q**  EKX22 

, q F2 
 K 2 , (1  q **) F2 
L2 .
 K 2 F2
K 2
L



доход от капитала
во II-м секторе
доход от капитала во II-м секторе
q
Таким образом,
=
, то есть

доход
от
труда
во
II-м
секторе
1 q
трудовые
ресурсы
между
первым
и
вторым
секторами
делятся
пропорционально соответственным доходам.
Пример. ПФКД:
F1  A1 K11 L11 , F2  A2 K 22 L22 , где 1  ELX11 , 1  ELX11 ,
 2  ELX22 ,  2  ELX22 .
Замечания.
1. Можно
рассматривать
экспоненциального
динамику
трудовых
ресурсов
L  L0e t ,
роста:
в
случае
их
L1  qL  qL0e t ,
L2  (1  q) L  (1  q ) L0e t .
2. Модель такого вида  это модель Х.Удзавы (H. Uzawa1): K  K1  K 2 ,
L  L0e t , K   I1   K  sF1 ( K1 , L1 )   K .
Позже рассматривали K1, K2 отдельно, но брали случай s = s(t). При
исследовании использовали принципы максимума Понтрягина.
3. Современную теорию многосекторных моделей можно найти2,3,4.
1
Интрилигатор М. Математические методы в оптимизации и экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой,
Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – Глава 16, 16.3.
2
Вагапова Я.Я. Моделирование экономического роста с учетом экологического и социального факторов. – М.:
МАКС Пресс, 2007. – 128 с.
3
Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и
систем: учеб. для студ. вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 296 с.
4
Шараев Ю.В. Теория экономического роста: учеб. пособие для вузов. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. – 256 с. –
(Учеб. Высшей школы экономики).
156
Задачи
Задача 1. Рассмотрите модель РСС с производственной функцией (ПФ)
f(k)=k0,5, где k – фондовооруженность труда, а f(k) – выпуск на одного рабочего.
Пусть норма сбережения составляет 30%, темп роста населения равен 1%, а
норма амортизации 2%. Найдите стационарный фондовооруженность труда,
ставку заработной платы и выпуск.
Задача 2. Модель РСС динамики валового внутреннего продукта (ВВП).
Записать исходное уравнение модели в абсолютных и относительных
1
показателях. Найти стационарную траекторию при s  . Найти оптимальную
5
норму сбережения для ПФ ВВП:
1) F ( K , L)  K 1/ 4 L3/ 4 , L(t )  100et /10 ,  
1
;
10
2) F ( K , L)  K 1/ 5 L4 / 5 , L(t )  100et /10 ,  
1
;
10
3) F ( K , L)  K 3 / 4 L1/ 4 , L(t )  100et /10 ,  
1
.
10
Задача 3. Рассмотрите модель РСС для случая, когда выпуск задается ПФ
F ( K , L)  a1K 1 L1  a2 K  2 L2 ,
a1 , a2  0 ,
0  1 ,  2 , 1 ,  2  1 ,
1   2 , 1   2 ,
1  1  1 ,  2   2  1 .
а) Проверьте соответствие ПФ свойствам неоклассической ПФ (проверить
аксиомы 1-4). Запишите основное дифференциальное уравнение модели
РСС.
Изобразите
функцию f (k )
графически
зависимости
производительности труда от фондовооруженности.
б) В чем отличие характера f (k ) от классического случая с ПФ Кобба –
Дугласа? Учтен ли в этой ПФ экзогенный НТП?
157
Список литературы к § 13
1. Агапова Т.А. Макроэкономика: Учеб. / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В.
Сидоровича. – 6-е изд., стер. / Т.А. Агапова, С.Ф. Серегина. – М.: Изд-во
«Дело и Сервис», 2004. – Глава 11. – (Учебники МГУ им. М.В.
Ломоносова).
2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. –
М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть III, Глава 2, § 1, 2.
3. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического
роста / Н.Б. Баркалов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – Глава 3.
4. Бергстром А. Построение и применение экономических моделей / Пер. с
англ. В.Я. Алтаева. Общ. ред. Б.Н. Михалевского / А. Бергстром. – М.:
Прогресс, 1970. – Глава 4.
5. Березнева Н.А. Математические модели экономики: сборник задач: учеб.
пособие для вузов / Отв. ред. д.э.н. Г.М. Мкртчян / Н.А. Березнева,
А.В. Комарова. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. – 143 с.
6. Бугаян И.Р. Макроэкономика: Учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов /
И.Р. Бугаян. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2000. – 3.4. – (Серия «Учеб., учеб.
пособия).
7. Бурда М. Макроэкономика. Европейский текст. – 2-е изд. / Пер. с англ.
Г.В. Борисова и др. Под ред. канд. экон. наук, В.В. Лукашевича, К.А.
Холодилина / М. Бурда, Ч. Виплош. – СПб.: Судостроение, 1998. – Глава
5.
8. Вагапова
Я.Я.
Моделирование
экономического
роста
с
учетом
экологического и социального факторов / Я.Я. Вагапова. – М.: МАКС
Пресс, 2007. – 128 с.
9. Голиченко О.Г. Экономическое развитие в условиях несовершенной
конкуренции:
Подходы
к
многоуровневому
О.Г. Голиченко. – М.: Наука, 1999. – Глава 2.
158
моделированию
/
10. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. пособие
для студ. вузов, обучающихся по спец. «Экон. кибернетика» /
А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1985. – Глава 2.
11. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики: Учебник для
студ. экон. вузов / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1988. – Глава 10.
12. Гурман В.И. Основы макроэкономического анализа: Учеб. пособие / В.И.
Гурман. – Тверь: Тверской гос. ун-т, 1995. – Глава 7.
13. Журавлев С.Г. Дифференциальные уравнения: Сборник задач: примеры и
задачи экономики, экологии и других социальных наук: Учеб. пособие
для вузов / С.Г. Журавлев, В.В. Аниковский. – М.: Изд-во «Экзамен»,
2005. – 128 с. – (Серия «Учебники для вузов).
14. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учеб. / Под общ. ред.
д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд.,
стереотип / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.:
Изд.-во «Дело и Сервис», 2004. – Глава 12. – (Учеб. МГУ им. М.В.
Ломоносова).
15. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной
экономической теории / Пер. с англ. Н.В. Островского под ред. В.В.
Лебедева и В.Н. Разжевайкина / В.-Б. Занг. – М.: Мир, 1999. – 3.1.
16. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов,
А.В. Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979. – Глава 2.
17. Интрилигатор
М.
Математические
методы
в
оптимизации
и
экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана /
М. Интрилигатор. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – Глава 16, 16.1, 16.3.
18. Китайгородский В.И. Моделирование экономического развития с учетом
замещения
невозобновляемых
энергетических
ресурсов
/
В.И.
Китайгородский, В.В. Котов. – М.: Наука, 1990. – 168 с.
19. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учеб. для студ. вузов, обуч. по
экон. спец. – 3-е стереотип. изд. / В.А. Колемаев – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2005. – Глава 4.
159
20. Колемаев
В.А.
Экономико-математическое
моделирование.
Моделирование макроэкономических процессов и систем: учеб. для студ.
вузов / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 296 с.
21. Коркина Е.И. «Золотое правило» для модели двухсекторной экономики //
Методы исследования сложных систем / Е.И. Коркина, А.Г. Хованский. –
М.: ВНИИСИ, 1981. – С. 11-18.
22. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учеб.
пособие / Под науч. ред. проф. Б.А. Суслакова / Е.С. Кундышева. – М.:
Изд.–торг. корпор. «Дашков и Ко», 2004. – Глава 3.
23. Кучин Б.Л. Управление развитием экономических систем: технический
прогресс, устойчивость / Б.Л. Кучин, Е.В. Якушева. – М.: Экономика,
1990. – 160 с.
24. Лагоша
Б.А.
Оптимальное
управление
в
экономике:
теория
и
приложения: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / Б.А. Лагоша, Т.Г.
Апалькова. – М.: Финансы и статистика, 2008. – Главы 3, 5.
25. Лебедев
В.В.
Математическое
и
компьютерное
моделирование
экономики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов / В.В. Лебедев, К.В.
Лебедев. – М.: НВТ-Дизайн, 2002. – Глава 11.
26. Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь:
Словарь
современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. /
Л.И. Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 520 с.
27. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование /
А.В. Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Глава 4.
28. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учеб.-прак.
пособие для вузов / В.И. Малыхин. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – Тема 6,
6.3.
29. Матвеенко В.Д. Модели экономической динамики. Учеб. пособие /
В.Д. Матвеенко. – СПб.: СПб. филиал ГУ-ВШЭ, 2006. – 108 с.
160
30. Математические методы и модели исследования операций: учебник для
студентов вузов / под. ред. В.А. Колемаева. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. –
Глава 6.
31. Математическая экономика на персональном компьютере: пер. с яп. / М.
Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива; Под
ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. – М.: Финансы и статистика, 1991. –
Главы 2, 3.
32. Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие для
экон. вузов и фак. / Под ред. В.С. Дадаяна. – М: Экономика, 1973. – Глава
XIII.
33. Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под
ред. И.В. Котова. – 2-е изд., испр. и доп. – Л.: Изд-во Ленинг. ун-та, 1990.
– Глава V.
34. Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч.
по спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой,
Ю.Н. Черемных. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 6.
35. Мэнкью Н.Г. Макроэкономика / Пер. с англ. Общая ред. Р.Г. Емцова,
И.М. Албеговой, Т.Г. Леоновой / Н.Г. Мэнкью. – М.: Изд-во МГУ, 1994. –
Глава 4.
36. Никифорова
А.А.
Макроэкономика:
научные
школы,
концепции,
экономическая политика: учеб. пособие / Под общ. ред. д-ра экон. наук,
проф. А.В. Сидоровича / А.А. Никифорова, О.Н. Антипина, Н.А.
Миклашевская. – М.: Изд-во «Дело и Сервис», 2008. – 534 с. – (Учебники
МГУ им. М. В. Ломоносова).
37. Нуреев Р.М. Экономика развития: модели становления рыночной экономики:
учеб.- 2-е изд., перераб. и доп. / Р.М. Нуреев.– М.: Норма, 2008. – Глава 2.
38. Основы теории оптимального управления: Учеб. пособие для экон. вузов
/ В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов и др.; Под ред. В.Ф. Кротова. –
М.: Высш. шк., 1990. – 432 с.
161
39. Панорама экономической мысли конца XX столетия / Под ред. Д.
Гринэуэя, М. Блини, И. Стюарта: В 2-х т. / Пер. с англ. под ред. В.С.
Автономова и С.А. Афонцева. – СПб.: Экономическая школа, 2002. – Т. 1.
– п. 19.
40. Просветов Г.И. Математические модели в экономике: Учеб.-мет. пособие
/ Г.И. Просветов. – М.: Изд-во РДЛ, 2005. – 152 с.
41. Селищев А.С. Макроэкономика. – 2-е изд., испр. / А.С. Селищев. – СПб.:
Питер, 2002. – Глава 17. – (Серия «Учебники для вузов»).
42. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию: Учеб.
пособие для вузов / А.Д. Смирнов. – М.: ГУ ВШЭ, 2000. – Лекция 4.
43. Столерю
Л.
Равновесие
и
экономический
рост
(принципы
макроэкономического анализа) / Пер. с француз. Науч. ред. и предисл.
Б.Л. Исаева / Л. Столерю. – М.: Статистика, 1974. – Главы 12, 13.
44. Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой / К. Сюдсетер, А. Стрём, П. Берк. –
СПб.: Экономическая школа, 2000. – Глава 27.
45. Тарасевич Л.С. Макроэкономика: учеб. – 6-е изд., испр. и доп. /
Л.С. Тарасевич, П.И. Гребенников, А.И. Леусский. – М.: Высш.
образование, 2008. – Глава 14, 14.2.
46. Теория капитала и экономического роста: Учеб. пособие / Под ред. С.С.
Дзарасова – М.: Изд-во МГУ, 2004. – Глава 9.
47. Тренев Н.Н. Макроэкономика: современный взгляд. Учеб. пособие для
вузов / Н.Н. Тренев. – М.: «Изд-во ПРИОР», 2001. – Глава 11.
48. Туманова Е.А. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода: Учеб.
/ Е.А. Туманова, Н.Л. Шагас. – М.: ИНФРА-М, 2007. – Главы 9, 11. –
(Учебники экон. ф-та МГУ им. М. В. Ломоносова).
49. Харрис Л. Денежная теория: Пер. с англ. / Общ. ред. и вступ. ст. В.М.
Усоскина / Л. Харрис. – М: Прогресс, 1990. – Глава 18, 18.2-18.5.
162
50. Хачатрян Н.К. Математическое моделирование экономических систем /
Н.К. Хачатрян. – М.: Изд.-во «Экзамен», 2008. – 158 с. – (Серия
«Учебники для вузов»).
51. Шагас Н.Л. Макроэкономика – 2 / Н.Л. Шагас, Е.А. Туманова. – М.:
ТЕИС, 2006. – Глава 12. – (Серия «Класс. универ. учеб.», посвящена 250-летию
МГУ им. М.В. Ломоносова).
52. Шараев Ю.В. Теория экономического роста: учеб. пособие для вузов /
Ю.В. Шараев. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. – 256 с. – (Учеб. Высшей
школы экономики).
53. Шуликовская В.В. Математическая экономика / В.В. Шуликовская. – М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ин-т компьютер.
исслед., 2006. – 96 с.
54. Экономико-математическое моделирование: Учеб. для студ. вузов / Под
общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд-во «Экзамен», 2004. – Глава 10.
55. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И.
Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия: Изд. Дом
«Инфра-М», 2003. – 668 с.
56. Chirichiello G. Intertemporal macroeconomic models, money and rational
choices / G. Chirichiello. – Houndmills; Basingstoke; Hampshire; Palgrave
Macmillan, 2000. – Chapters 1, 2.
57. Jensen B.S. The dynamic systems of basic economic growth models / B.S.
Jensen. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1994. –
Chapters 5, 7-9.
58. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving / F.P. Ramsey // Econ. J. – 1928.
– V. 38. – P. 543-559.
59. Shell K. Optimal programs of capital accumulation for an economy in which
theory is exogenous technical change / K. Shell // Essays on the theory of
optimal economic growth. – New York; London, 1967. – P. 1-30.
60. Solow R.M. A contribution to the theory of economic growth / R.M. Solow //
Quart. J. Econ. – 1956. – V. 70. – P. 65-94.
163
61. Swan T. Economic growth and capital accumulation / T. Swan // Econ. Record.
– 1956. – V. 32. – P 334-361.
164