ПОСТРОЕНИЕ УДАРНОЙ ИЛИ ДЕТОНАЦИОННОЙ АДИАБАТЫ

ПОСТРОЕНИЕ УДАРНОЙ ИЛИ ДЕТОНАЦИОННОЙ АДИАБАТЫ
РЕАГИРУЮЩЕЙ КОНДЕНСИРОВАННОЙ СРЕДЫ
ПО УДАРНОЙ АДИАБАТЕ ПРОДУКТА РЕАКЦИИ
В.С. ТРОФИМОВ
Институт структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН,
Черноголовка, Россия
В работе [1] предложено простое уравнение, которое позволяет рассчитать динамическую
(т. е. ударную или детонационную) адиабату конденсированной в общем случае пористой среды,
реагирующей с образованием конденсированного продукта, по ударной адиабате этого продукта
в монолитном (беспористом) состоянии. Уравнение основано на предположении, что в рассматриваемых состояниях продукта его коэффициент Грюнайзена зависит только от удельного объема. Наш
опыт общения с коллегами показал, что у них вывод и применение данного уравнения, как правило,
вызывают определенные трудности. Чтобы их устранить, в настоящей работе предлагается детальный вывод этого уравнения и его модификаций.
Обозначения
E  удельная внутренняя энергия, т. е. удельная мера всего (в том числе относящегося к химическим связям) внутреннего движения среды, согласно классическому определению внутренней энергии [2]; P  давление; V  удельный объем, ρ = 1/V  плотность; T  температура; S  удельная
энтропия; β  коэффициент объемного теплового расширения; CP и CV  удельные теплоемкости
соответственно при постоянном P и постоянном V; а  объемная скорость звука; G  коэффициент
Грюнайзена; QP  удельная теплота физико-химического превращения среды при постоянных P
и T. Индексом "0" обозначаются величины, относящиеся к начальному (перед ударным скачком)
монолитному состоянию продукта при измерении его ударной адиабаты. Индексом "00" обозначаются величины, относящиеся к начальному монолитному или пористому состоянию реагирующей
среды перед ударным скачком в рассматриваемом процессе. Если значения соответствующих величин у исходной среды и продукта реакции совпадают, они могут обозначаться одним и тем же индексом 0. Если из контекста ясно, к какому состоянию относится данная величина, то эти индексы
опускаются, чтобы не загромождать формулы.
Определим величину ∆E следующим выражением
∆E = E00 − E0 .
(1)
Согласно первому закону термодинамики [2],
∆E = Q + A ,
(2)
где Q и A  соответственно удельная теплота, отдаваемая средой вовне, и удельная работа, совершаемая средой над своим окружением, при ее переходе в процессе рассматриваемого физикохимического превращения из состояния P00, T00, V00 в состояние P0, T0, V0. Хотя Q и A зависят от пути такого перехода, их сумма определена однозначно начальным и конечным состояниями среды,
т.к. удельная внутренняя энергия является функцией состояния [2].
Рассмотрим один из таких переходов. Предположим, что среда сначала без физикохимического превращения совершает обратимый переход из состояния P00, T00, V00 в состояние
P0, T0, V (P0, T0 ), отдав вовне удельную теплоту Q1 и совершив над своим окружением удельную работу A1 . Затем среда в процессе физико-химического превращения при постоянных P и T совершает
Построение ударной или детонационной адиабаты по ударной адиабате продукта реакции
необратимый переход из состояния P0, T0, V (P0, T0) в состояние продукта P0, T0, V0, отдав вовне
удельную теплоту, которая, по определению, равна QP, и совершив над своим окружением удельную
работу AP . Отсюда при данном пути перехода среды из начального в конечное состояния имеем
∆E = Q1 + A1 + QP + AP.
(3)
5
В частности, если, как обычно, P00 = P0 = 10 Па и T00 = T0 = 293 K, то с достаточной точностью
можно положить ∆E = QP. Если при этом речь идет об ударном сжатии инертной пористой среды, то
с достаточной точностью имеем ∆E = 0.
Соотношения
β = ρ⋅(∂V/∂T)P .
(4)
CP = (∂E/∂T)P + P⋅(∂V/∂T)P, CV = (∂E/∂T)V .
(5)
2
a = − V2⋅(∂P/∂V)S .
2
G = V⋅(∂P/∂E)V = β⋅a /CP .
(6)
(7)
Последнее выражение в (7) выводится из предыдущего путем тождественных термодинамических
преобразований. Заметим, что в [3] стр.543 в эту формулу вместо CP ошибочно подставлена CV.
В общем случае G = G (P, V). Но в дальнейшем предполагается [3], что во всех рассматриваемых состояниях продукта в достаточно большой окрестности точки P0, V0 G = G (V). Предполагается, что
функция G (V) определена из независимых соображений. Часто достаточно положить G = const.
Вывод основных уравнений
Возьмем термодинамическое уравнение динамической (ударной или детонационной) адиабаты
реагирующей среды [4]
E (PD, V) − E00 = (PD + P00)⋅(V00 − V)/2 .
(8)
где подразумевается, что PD = PD (V) представляет собой зависимость P от V на детонационной адиабате реагирующей среды, а функция E (P, V), согласно применяемой в [3] терминологии, является
калорическим уравнением состояния продукта реакции. Предположим, что на некоторой термодинамической кривой продукта реакции (например, на ударной адиабате, изобаре, изотерме и др.)
известны E и P. Тогда с учетом (7) и условия (∂G/∂P)V = 0, находим
E (P, V) = EZ (V) + (P − PZ (V))⋅V/G(V),
(9)
где Z  символ данной термодинамической кривой. В частности для ударной адиабаты продукта
5
примем Z = Y, для изобары продукта P = P0 = 10 Па − Z = P.
Подставив (9) в (8), после несложных преобразований приходим к общему виду искомого выражения для динамической адиабаты
P V / G + E00 − EZ + P00 (V00 − V ) / 2
PD (V ) = Z
,
V / G + V / 2 − V00 / 2
(10)
где подразумевается, что PZ = PZ (V), EZ = EZ (V) и G = G (V)  известные функции.
5
Рассмотрим два практически важных частных случая Z = Y и Z = P при P00 = P0 = 10 Па,
T00 = T0 = 293 K. Как обычно, в окончательных выражениях воспользуемся приближением P0 = 0.
В.С. Трофимов
В случае Z = Y имеем [3, 4]
EY (V ) = E0 + ( PY (V ) + P0 )(V0 − V ) / 2 .
(11)
Отсюда с учетом равенств P00 = P0 = 0 и (3) при Q1 = A1 = AP = 0 получаем для числителя в (10)
следующее выражение
ЧИСЛ y = PY (V )(V/G + V / 2 − V2 / 2) + QP .
Подставив его в (10), приходим к выражению для PD (V) в [1] при V ≤ V0
P (V )(V / G + V / 2 − V0 / 2) + QP
PD (V ) = Y
.
V / G + V / 2 − V00 / 2
(12)
Здесь ограничение V ≤ V0 обусловлено тем, что функция PY (V) экспериментально определяется
только при V≤ V0, Если будет найден физически обоснованный способ продолжения данной функции
в область V ≥ V0, то указанное ограничение отпадет.
Во втором случае имеем PP (V) = P0 = 0. Отсюда для числителя в (10) получаем следующее выражение
ЧИСЛP = P0 ⋅(V/G − V/2 + V00 /2) + E00 − EP (V) = E00 − EP (V).
Подставив это выражение в (10), получаем
PD (V ) =
E00 − EP (V )
.
V / G + V / 2 − V00 / 2
(13)
Для экспериментального определения функции EP (V) нет принципиальных препятствий как при
V ≥ V0, так и при V ≤ V0+. Поэтому выражение (13) применимо по обе стороны от точки V = V0 ,
Если β = const и CP = const, то с учетом (47) получаем аналитическое выражение для функции EP (V)
2
EP = E0 + CP ⋅(T − T0 ) = E0 + a ⋅(V − V0 )/(V0 ⋅G) .
Подставив последнее выражение в (13), применив (1) при ∆E = QP, приходим к выражению для
PD (V), которое фактически применяется в [1] в случае V ≥ V0,
Q − a 2 (V − V0 ) /(V0G )
PD (V ) = P
.
V / G + V / 2 − V00 / 2
(14)
Это выражение применимо также при V ≤V0 , но при этом оно менее точное, чем (12), т. к. условие
β = const и CP = const, как правило, выполняется только приближенно. Поэтому в области V ≤ V0
лучше использовать выражение (12) с экспериментально определенной ударной адиабатой продукта.
При QP = 0 выражения (12), (14) определяют связь между ударными адиабатами инертной среды
в начальных монолитном и пористом состояниях. Каждую из них можно рассчитать через другую.
Некоторые сообщения
При P00 = P0 = 0 и T00 ≠ T0, согласно (3), имеем
∆E = Q1 + QP.
(15)
Здесь Q1  это удельная теплота, поглощенная исходной средой извне обратимо (т. е. без физикохимического превращения) при переходе из состояния P0, T0, V (P0, T0) в состояние P0, T00,
V (P0, T00). Повторив вывод выражений (12),(14) из (10) с использованием (15) вместо равенства
∆E = QP, находим, что в (12), (14) QP можно заменить суммой Q1 + QP. Таким образом, открывается
возможность расчета детонационной адиабаты реагирующей среды при начальной температуре
T00 ≠ T0.
Построение ударной или детонационной адиабаты по ударной адиабате продукта реакции
При QP = 0 и Q1 ≠ 0 получим выражения для ударной адиабаты пористой среды при начальной
температуре T00 ≠ T0. В частности, данное обстоятельство дает возможность проверить предположение (∂G / ∂P)V = 0.
Приведенные обобщения выражений (12), (14) предприняты автором по инициативе С.С. Бацанова, которому автор выражает благодарность за полезные обсуждения некоторых затронутых
в работе вопросов.
Литература
1. Торунов С.И., Трофимов В.С.//Химическая физика.  1998.  Т. 17.  № 11.  С. 123
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.  М.: Наука, 1964.
3. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических
явлений.  М.: Наука, 1966.
4. Дремин А.Н., Савров С.Д., Трофимов В.С., Шведов К.К. Детонационные волны в конденсированных средах.  М.: Наука, 1970.