Л.Л. Мейснер Решение пространственных задач с использованием сетки Вульфа. (Спецпрактикум, часть 1). Содержание. 1. Понятие сетки Вульфа, правила построения. 2. Решение пространственных задач с использованием сетки Вульфа. Задача №1. Построение линий меридианов. Задача №2. Построение линий параллелей. Задача № 3. Построение линии меридиана, долгота которого равна λ. Задача № 4. Построение линии параллели, широта которой равна ϕ. 2 1. Понятие сетки Вульфа. Сетка Вульфа или стереографическая сетка представляет собой проекцию меридианов и параллелей сферической поверхности на плоскость одного из меридианов, называемого в этом случае ОСНОВНЫМ. Центром проекции является точка ЭКВАТОРА сферы, удаленная от основного меридиана на ( 1 4 Г ), например, если мы используем градусную систему счисления, то это будет 90 0 . Стереографическая проекция обладает тем важным свойством, что дуга любого круга на сфере изображается в этой проекции так же дугой круга. Для определенности на сетке вводятся следующие названия. Рис. 1. Определение 1. Окружность сетки P1Q2 P2 Q1 (рис. 1) ОСНОВНЫМ Это может называют ее P1 МЕРИДИАНОМ. быть ЛЮБОЙ из возможных меридианов. Q1 Q2 P2 Рис. 2. P1 Определение 2. Точки, в которых сходятся ВСЕ меридианы, называются ПОЛЮСАМИ СЕТКИ (рис. 2). Q1 Q2 P2 3 Определение 3. Диаметр Рис. 3. P1 P2 , проходящий через полюса сетки, P1 называется ОСЬЮ СЕТКИ (рис. 3). Q1 Q2 P2 Определение 4. Диаметр Рис. 4. Q1Q2 , P1 перпендикулярный к оси сетки, называется ЭКВАТОРОМ СЕТКИ (рис. 4). Q1 Q2 P2 4 2. Методика построения сетки Вульфа Все построения проведем в виде решения геометрических задач. Задача №1. Построение линий меридианов. Условие задачи. В исходной окружности, радиус которой равен R1 , линия меридиана, долгота которого равна λ , представляет собой дугу окружности, которая проходит через следующие точки (рис. 5): Точку B; Рис. 5 Точку A; B O1 Точку C. Точки В и С являются точками пересечения диаметра окружности A O1 с линией окружности. Точка А лежит на прямой, проходящей через центр окружности O1 , и C перпендикулярной диаметру ВС. Положение точки А на прямой определяется, как точка пересечения этой прямой с одной из сторон вписанного угла, вершиной которого является точка В, одной из сторон которого Рис. 6. является диаметр окружности O1 – B ВС, другой стороной угла является луч, проходящий через точку D, лежащую отстоящей на от расстоянии, меридиана окружности точки равном λ . Это С и A на долготе расстояние D λ C определяется длиной дуги CD . Таким образом, по положению трех точек (А, В. С) нужно определить радиус некоторой окружности O2 такой, что точки (А, В, С) принадлежат этой окружности. 5 Решение: 1). Введем обозначения: ∠ABC ≡ α , ∠BAC ≡ β , ∠BO2C ≡ γ , α = λ 2 – вписанный угол, опирающийся на дугу длиной λ и проведем построение, как показано на рис. 7. Рис. 7. Треугольник ΔABC – равнобедренный, так как точка А лежит на линии, которая проходит через центр окружности O1 и перпендикулярна диаметру BC . Отсюда: угол β = 180 − 2α = 180 − λ 2). Рассмотрим окружность O2 и найдем длину дуги BAC этой окружности. Угол ∠BAC является вписанным углом окружности O2 . Значит, дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет в два раза больше, чем сам угол: CQB = 2β = 360 − 2λ Дуга CAB является дополнением дуги CQB до полной окружности. Тогда длина дуги CAB определится как: CAB = 360 − CQB = 2λ Угол γ является центральным углом окружности O2 . Он опирается на дугу CAB , следовательно: γ = CAB = 2λ 6 3). Вычислим радиус окружности O2 . Для этого рассмотрим треугольник ΔO1 BO2 : ΔO1 BO2 – прямоугольный, в котором катет O1 B равен радиусу исходной окружности R1 , то есть O1 B = R1 , а катет O1 B лежит против угла, равного γ 2 . Следовательно: R2 = R1 γ Sin( ) 2 Учитывая, что γ = 2λ , окончательно: R2 = R1 . Sin(λ ) Задача №2. Построение линий параллелей. Условие задачи. В исходной окружности, радиус которой равен R1 , линия параллели, Рис. 8. широта которой равна ϕ , представляет собой дугу проходящую окружности, через следующие B C ϕ A Q1 O1 Q2 точки (рис. 8): Точку B; Точку A; Точку C. Точки В и С являются точками хорды BC , которая параллельна диаметру Q1 − Q2 окружности O1 , называемому ЭКВАТОРОМ. Хорда BC отстоит от экватора на расстоянии, определенном широтой параллели (угол ϕ , рис. 8). Точка А лежит на прямой, проходящей через центр окружности O1 и перпендикулярной экватору. Положение точки А на этой прямой определяется как точка пересечения этой прямой с одной из сторон вписанного угла, вершиной которого является точка В, одна из сторон – 7 Рис. 9 хорда окружности O1 - ВС(рис. 9), а другая сторона угла – луч, проходящий через B точку пересечения экватора окружности с A Q1 линией окружности (точка Q2 ). O1 Таким образом, по положению трех точек (А, В. С) нужно определить радиус некоторой окружности O2 , так чтобы эти точки (А, В, С) лежали на окружности O2 (рис. 10). Решение: 1). Введем обозначения: ∠ABC ≡ α , ∠BAC ≡ β , ∠BO2C ≡ γ , ∠BQ2Q1 ≡ δ . 2). Найдем величину угла α . Для этого рассмотрим является угол вписанным δ. Он углом окружности O1 и опирается на дугу, длина которой Следовательно, равна величина ϕ. угла δ равна половине дуги, на которую он опирается: δ = ϕ 2 . Очевидно, что угол α = δ , как накрест лежащие углы. Следовательно: α =ϕ2 3). Найдем величину угла β . Рис. 10. C ϕ Q2 8 Треугольник ΔABC - равнобедренный, так как точка А лежит на линии, которая проходит через центр окружности O1 и перпендикулярна хорде BC , параллельной экватору окружности O1 . Отсюда: β = 180 − 2α = 180 − ϕ 4). Рассмотрим окружность O2 и найдем длину дуги BAC этой окружности. Угол ∠BAC является вписанным углом окружности O2 . Значит, дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет в два раза больше, чем сам угол: CPB = 2β = 360 − 2ϕ Дуга BAC является дополнением дуги CPB до полной окружности. Таким образом, длина дуги BAC равна: BAC = 360 − CPB = 2ϕ 5). Найдем величину угла γ . Угол γ является центральным углом окружности O2 . Он опирается на дугу BAC , следовательно: γ = BAC = 2ϕ 6). Вычислим радиус окружности O2 . Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔO2 BD . Здесь – катет BD равен половине длины хорды BC ( Rϕ ) и лежит против угла, равного γ 2 . Следовательно: R2 = O2 B = Rϕ γ Sin( ) 2 Т.к. γ = 2ϕ , то: R2 = Rϕ Sin(ϕ ) , где Rϕ = R1 × Cos (ϕ ) . Таким образом, окончательно: R2 = R1 tg (ϕ ) 9 Задача № 3. Построение линии меридиана, долгота которого равна λ Воспользуемся теми выводами, которые получили ранее и проведем построение. Для этого: (1) Зададим размер стереографической сетки, т.е. определим величину радиуса стереографической R1 сетки (или окружности O1 ) (в кристаллографии, как правило, R1=200 мм). (2) Вычислим величину радиуса окружности O2 , дуга которой отображает искомую линию меридиана, по формуле: R2 = R1 Sin(λ ) (3) На листе бумаги обозначим центр Рис. 11. окружности Оси сетки стереографической проекции O1 и начертим окружность, которой равен радиус Экватор сетки R1 (рис. 11), проведем внутри этой окружности линии ЭКВАТОРА СЕТКИ (через точки Q1 и Q2) и ОСИ СЕТКИ (P1P2 и Q1Q2). (4) Из одного из стереографической полюсов сетки при помощи циркуля, раствор которого равен величине радиуса продолжении линии R2 , на экватора Q1 − Q2 , делаем засеку, ставим точку O2 (рис. 12). окружности, O2 дуга – центр которой (4) Не меняя раствора циркуля, из точки O2 , как центра окружности, отображает меридиана. Рис. 12. линию искомого 10 чертим дугу окружности (рис. 13). Эта дуга P1 − P2 Рис. 13. изображает линию искомого меридиана. Чтобы построить симметричную линию меридиана с долготой, равной ( − λ ), проведем построение, подобное сделанному для линии меридиана с долготой (λ ) . Для этого: (5) Из одного из стереографической полюсов сетки при Рис. 14. помощи циркуля, раствор которого равен величине радиуса продолжении линии R2 , на экватора Q1 − Q2 , делаем засеку, ставим точку O2 (рис. 14). O2 – центр окружности, дуга которой соответствует линии искомого меридиана. (6) Не меняя раствора циркуля, из Рис. 15. точки O2 , как центра окружности, чертим дугу окружности (рис. 15). Эта дуга P1 − P2 изображает линию искомого меридиана. Задача № 4. Построение линии параллели, широта которой равна ϕ. Воспользуемся теми выводами, которые получили ранее и проведем построение. Для этого: 11 (1) Зададим размер стереографической сетки, т.е. определим величину радиуса R1 стереографической сетки (или окружности O1 , как правило, в кристаллографии R1=200 мм). (2) Вычислим величину радиуса окружности O2 по формуле: R2 = R1 tg (ϕ ) Дуга этой окружности будет отображать искомую линию параллели. Рис. 16. (3) На листе бумаги обозначим центр окружности стереографической проекции O1 и начертим окружность, которой равен радиус R1 (рис. 16), проведем внутри этой окружности линии ЭКВАТОРА СЕТКИ и ОСИ СЕТКИ (рис. 16). Рис. 17. (4) Из центра окружности O1 под углом ϕ к линии экватора Q1 − Q2 проведем луч (рис. 17), обозначим точку пересечения луча с линией окружности – B . (5) Из точки B при помощи P1 − P2 , делаем засеку, ставим точку (рис. 18). Точка O2 является циркуля, раствор которого равен O2 величине центром окружности, дуга которой продолжении радиуса линии R2 , оси на сетки 12 будет отображать линию искомой Рис. 18. параллели. (6) Не меняя раствора циркуля, из Рис. 19. точки O2 , как центра окружности, чертим дугу окружности (рис. 19). Эта дуга изображает линию искомой параллели. Чтобы построить симметричную линию параллели, широта которой будет равна ( − ϕ ),проведем построение, подобное сделанному для линии параллели с широтой, равной (ϕ ) . Для этого: (7) Из центра окружности O1 под углом ( − ϕ ) к линии экватора Q1 − Q2 проводим луч, обозначим точку пересечения луча с линией окружности B (рис. 20). Рис. 20. 13 (8) Из точки B при помощи Рис. 21. циркуля, раствор которого равен величине продолжении радиуса R2 , линии оси на сетки P1 − P2 , делаем засеку, ставим точку O2 (рис. 21). Точка O2 является центром окружности, дуга которой будет отображать линию искомой параллели. (9) Не меняя раствора циркуля, из точки O2 , как центра окружности, чертим дугу окружности. Эта дуга изображает параллели. линию искомой Рис. 22.