Алгоритмы построения регулярных и нерегулярных сеток в
advertisement
УДК 519.6 А.А.Андрекайте1, В.К. Исаев2 1 М осковский физико-технический институт (государственный университет) 2 Центральный аэрогидродинамический институт имени проф.Н.Е. Жуковского АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ И НЕРЕГУЛЯРНЫХ С ЕТОК В ОДНОСВЯЗНОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ В работе рассматриваются алгоритмы построения расчетных сеток, основанные на методе конечных элементов[1]. Главная цель при построении сетки – дать такое разбиение счетной области на ячейки или элементы, чтобы на этой сетке получалось наиболее точное решение дифференциальной задачи. Адаптивная сетка должна обладать рядом свойств, таких как гладкость, простота представления в ЭВМ и адаптивность, т.е. она должна сгущаться в областях, где происходит резкое изменение решения. М етод построения сетки должен обладать свойством эллиптичности, т.е. определять влияние каждого узла сетки на другие, соседние узлы. Отображение, используемое для построения сетки, должно быть непрерывно дифференцируемо и якобиан не должен обращаться в нуль. Это гарантирует взаимную однозначность отображения. Такие сетки получаются при использовании эллиптических уравнений для построения отображения расчетной области в параметрический квадрат в двумерном и в куб - в трехмерном случае. Не все эллиптические генераторы сохраняют свойства взаимной одноз начности отображения на дискретном уровне. Один из гарантирующих взаимную однозначность подходов основан на применении концепции выпуклых сеток. Этот метод обобщается на случай адаптивных сеток, в том числе, с использованием теории гармонических отображений поверхностей. Ставится задача построения гармонических координат на поверхности графика адаптируемой функции. Гармонические координаты строятся с помощью глобального отображения расчетной области на параметрический квадрат. Проекция этих координат на расчетную область даст искомую рег улярную адаптивно г армоническую сетку (АГС). Нерег улярная сетка представляет собой набор локальных координат, своих для каждой ячейки. Каждую ячейку, например, четырехугольник, можно отобразить на один и тот же параметрический квадрат с помощью гармонического отображения, а суммарную нерегулярную сетку с фиксированными связями искать путем минимизации суммы гармонических функционалов, выписанных для каждой ячейки. В данной работе на основе метода [2-3] рассматриваются алгоритмы построения двух типов АГС: регулярных и нерегулярных. Нерегулярные сетки необходимы для областей со сложной формой границы. В свою очередь, регулярные сетки могут иногда отражать свойства решения или даже являться решением задачи, например, если одно из семейств координатных линий сетки совпадает с линиями тока. Кроме того, регулярность структуры сетки приводит к регулярности дискретного аналога задачи. М етод построения регулярных сеток на плоскости, гарантирующий невырожденность отображения, был предложен Уинслоу[4]. В работе С.А. Иваненко [2] с использованием гармонических отображений он был развит на случаи двумерных АГС, АГС на поверхностя х и трехмерных АГС, как регулярных, так и нерегулярных. В настоящей работе с использованием разностного и вариационного метода С.А. Иваненко [2] были проведены вычислительные эксперименты по построению двумерных регулярных и нерегулярных АГС в односвязных двумерных областя х. В результате работы показано, что в невыпуклых областях разностный подход начинает генерировать сетки, содержащие самопересекающиеся ячейки, в то время как вариационный метод генерирует вполне удовлетворительные сетки. В качестве примера ниже приведены результаты работы программы для случая регулярных и нерегулярных АГС. Рис.2 Нерегулярная АГС. Рис.1 Регулярная АГС. Вариационная Вариационная постановка. В выпуклой постановка. В невыпуклой области области Рис.3 Регулярная сетка. Вариационная Рис.4 Регулярная сетка. Раз ностная постановка. В невыпуклой области постановка. В невыпуклой области 1. 2. 3. 4. Литература Зенкевич О. М етод конечных элементов в технике. – М .: М ир, 1975 Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки. – М .: ВЦ РАН, 1997 Иваненко С.А. Чарахчьян А.А. Алгоритм построения криволинейных сеток из выпуклых четырехугольников. – М .: Доклады АН СССР, Т.295, №2, стр.280-283, 1987 Winslow A.M. Adaptive mesh zoning by the equipotential method. UCID-19062, Lawrence Livermore Nat. Lab., University of California, 1981
