Таким образом мы получили алгоритм построения точки по

А.В.Пантуев, ст.преп. каф. информатики СУНЦ МГУ
Курс-практикум
«Моделирование в среде
Geometer's SketchPad»
для профильных классов.
Москва 2013
Аннотация
Динамическое визуальное моделирование в учебной виртуальной лаборатории - особый
вид моделирования, со своими уникальными возможностями и ограничениями.
В пособии отражен опыт построения, преподавания и внедрения элективного курса
«Математическое моделирование» (практикума по информатике) в СУНЦ МГУ и i-школе
(Центр образования «Технологии обучения») в 2000-2013 г.г.
60
Часть 3 (страницы 63-103).
Стереометрия .................................................... 63
Построение вращающейся модели вписанного в куб икосаэдра и ромбооктаэдра. ..... 63
Истоки задачи.................................................. 63
Этапы работы над моделью куба. ..................................... 63
Упрощенный вариант моделирования. .................................. 63
Базовая модель куба. .............................................. 65
Построение модели вращающейся пирамиды. ............................ 68
Построение сечений на вращающейся пирамиде. .......................... 69
Четыре точки на одной прямой. ...................................... 71
Поиск и решение в задаче о сечении. ................................... 71
О простоте задачи построения сечения на модели. ......................... 71
Построение модели куба. Сечения куба и другие задачи. ..................... 71
Построение инструмента «отрезок внутри отрезка» с параметром. .............. 73
Построение парам.модели многогр-ка, усеченный куб, икосаэдр и ромбододекаэдр. . 74
Задача из Г.Фройденталя ........................................... 75
Постановка задачи - куб наизнанку. ................................... 75
Два решения – лобовое и с использованием симметрии. ..................... 75
Возможное развитие задачи. ......................................... 76
Механика. ...................................................... 77
Построение моделей шарнирных механизмов и анализ траекторий. ............. 77
Механическое моделирование в работах П.Л.Чебышева .................... 77
Шарнирные механизмы и их математические модели. ..................... 78
Механизм Витгенштейна ........................................... 78
Определение механизма Витгенштейна ................................. 78
Как показать конструкцию, не давая при этом подсказки. .................... 78
Построение учащимися модели механизма. .............................. 78
Напоминание о способе построения засечки. ........................... 78
Алгоритм построения модели. ...................................... 79
Эксперименты с моделью: след и живой след. ......................... 79
Механизм, строящий параболу. ....................................... 80
Явное геометрическое определение параболы. ............................ 80
Неявное геометрическое определение параболы ........................... 81
Лабораторная установка для экспериментальной работы. .................... 81
Лабораторная установка по работе с явным определением. ................... 82
Переход к алгебраической (функциональной) характеризации кривой. ........... 82
Построение кривых учащимися по своим собственным алгоритмам. ........... 84
Построение Сергея Грибовского. .................................. 84
Частичное решение задачи получения уравнения. ...................... 86
Кривая, построенная Александром Петровым. ............................ 87
Параллелограмм Уатта. ............................................ 89
Кривые Уатта в математическом практикуме А.Н.Колмогорова. .............. 89
Межпредметные связи: кривые Уатта в мат. практикуме и в информатике. ..... 91
Примеры работы с моделью параллелограмма Уатта. .................... 91
Шарнирные механизмы П.Л.Чебышева и их моделирование. ................ 93
61
Обоснование выбора модели механизма для курса. ......................... 94
Краткое поэтапное описание хода работы по теме. ....................... 94
Сочетание динамического графика и геометрической модели. ............... 95
Бильярд в треугольнике и задача Фаньяно. .............................. 96
Обоснование выбора темы. ......................................... 96
Постановка задачи. ............................................... 96
Построение модели. .............................................. 97
Ограничения модели............................................... 97
Построение биллиардной траектории с помощью инструмента «отражение». ..... 97
Построение биллиардной траектории с помощью рекурсии. ................. 97
Особенности автоматизированного построения модели..................... 98
Когда и почему возникают особенности. ............................. 98
Ситуация конфликта с решением, неявно принятым в среде моделирования. ... 98
Один из способов разрешения конфликта. ............................ 99
Искусственные элементы управления - «ручки» в геометрических моделях. .... 99
Решение проблемы с помощью конструирования «псевдоручек». ........... 99
Конструкция простейшей «псевдоручки». ........................... 100
Об элементах объектного подхода и объектных средах проектирования. ..... 100
Исследования на модели треугольного бильярда. ......................... 100
Методика исследования модели, предлагаемая учащимся. ................. 100
Опорные математические результаты к уроку моделирования. .............. 101
Проговор и фиксация наблюдений в письменной форме. .................. 102
Межпредметные связи на занятии. .................................. 103
Об ошибках и ошибках-открытиях. ................................. 103
62
Стереометрия
Построение вращающейся модели вписанного в куб икосаэдра
и ромбооктаэдра.
Истоки задачи.
Это задание вдохновлено чертежом В.Н.Дубровского. Им разработана новая методика
решения стереометрических задач, существенно использующая возможность вращения
фигур и построений на проекциях, легко и естественно выполняемых в средах типа
«Живой Геометрии». (ссылка на Дубровский, ИНТ 2005)
Таким образом, компьютерные инструменты не только расширяют возможности
традиционного курса математики. Они уже сегодня дают новые, привлекательные и
мощные методы поиска, исследования и решения геометрических и стереометрических
задач, в том числе и вполне традиционных по постановке.
Этапы работы над моделью куба.
Работа над моделью также состоит из нескольких этапов, и каждый этап может быть
реализован с различным уровнем сложности.
63
Упрощенный вариант моделирования.
Самые простые варианты моделирования куба – построения
 по четырем точкам
 переносом квадрата
 из моделей параллелограммов
Эти модели не являются на своих областях определения наглядными и удобными
проекциями. Лишь при небольших перемещениях они создают иллюзию объема, позволяя
решать простейшие задачи. Но их преимущество – в простоте и в скорости построения.
Модель куба по четырем точкам и модель куба через сдвиг квадрата.
Пояснение. На первом рисунке достраиваются (путем параллельного переноса) вершины
проекции, задаваемой четырьмя свободными точками.
На втором рисунке построен квадрат, вектор переноса этого квадрата, и результат
переноса. Соединив вершины квадратов, получим простейшую проекцию квадрата, на
которой он выглядит объемным.
На этих чертежах можно получить параллельную проекцию куба на плоскость, но при
этом придется подбирать положение одной из точек, так как это модель не куба, а, в
лучшем случае, прямоугольного параллелепипеда, у которого одна сторона - квадрат..
Поэтому поворачивать ее также или на небольшой угол, или придется корректировать
неточности поворота, подтягивая другие остальные точки (кроме той, за которую
вращаешь).
Модель куба из параллелограммов: строим инструмент «параллелограмм», и им
строим модель. На этих двух рисунках представлены этапы получения еще одной
простейшей модели куба.
64
Пояснение. На первом строится инструмент «параллелограмм», на втором показано,
как с помощью этого инструмента строится модель. От первой модели она отличается
только выбором исходных точек - он более гибкий за счет двухуровневой схемы
построения модели (первый уровень -инструмент, второй - уже сама модель).
Все эти модели подходят для дальнейших этапов, но дополнительные задачи на них
выполнять или сложно, или невозможно. Потому, например, что модель из
параллелограммов далеко не всегда является проекцией куба, а на модели «сдвинутый
квадрат» моделируется поворот (небольшой) только вокруг «вертикальной» оси.
Базовая модель куба.
Следующий по трудоемкости построения вариант – модели с вращением (на 90
градусов или больше). одна – с вращением по одной оси, другая – с вращением по двум
осям. Обе эти модели опишем одновременно, так как по построению и управлению они
отличаются немногим.
Итак, выделим и опишем следующие этапы работы над моделью куба.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Построение модели вращающегося квадрата.
Построение модели вращающейся пирамиды.
Построение сечений на вращающейся пирамиде.
Построение модели куба. Сечения куба и другие задачи.
Построение инструмента «отрезок внутри отрезка» с параметром.
Построение параметрической модели многогранника на базе куба,
превращающегося в усеченный куб, икосаэдр и ромбододекаэдр.
Построение модели вращающегося квадрата.
Поскольку точное обоснование математической модели относится к предмету
«математика», на занятии по информатике мы, как обычно, ограничимся
«правдоподобными рассуждениями» (в духе Пойа []), правильными, но не доходящими до
доказательства по уровню строгости.
Если мы смотрим на окружность «сверху», мы видим окружность. Ее прямая проекция на
перпендикулярную ей плоскость также будет окружностью. Если мы смотрим на нее под
углом, то ее проекцией будет эллипс, так как соответствующая проекция наклонной
короче. Вначале выберем самый простой вариант проекции – когда по одной оси (ординат)
наклонная такова, что все проекции отрезков на этой оси ровно вдвое меньше самих
отрезков, а по другой оси – оси абсцисс – расстояния не меняются. Можно подобрать
проекцию так, что не будут меняться они и по третьей оси.
65
Пояснение (чертеж-иллюстрация) к понятию модели объемной фигуры – как параллельная
проекция на удобно расположенную плоскость может быть моделью пирамиды. Он
используется не для изготовления на занятиях, а для просмотра на вводной части занятия
по теме стереометрия. Иллюстрирует специфику параллельного проектирования.
Пояснение. При вращении этого чертежа важно дать увидеть, что одна пирамида объемна, а другая является чертежом на плоскости, и также уяснить специфику
параллельного проектирования. Для этого чертеж поворачивается, при этом может
включаться/выключаться видимость необходимых для пояснений параллельных линий и
параллельных плоскостей.
Это значит, что для построения проекции точки на окружности достаточно эту точку на
окружности заменить точкой, расстояние которой от некоторой оси проектирования будет
в два раза меньше (или, для модели с переменным наклоном, в некоторое – переменное количество раз меньше).
Ось также выберем самую простую – горизонтальную прямую, проходящую через центр
окружности.
66
Почему расстояние до оси проектирования уменьшается вдвое.
Чертеж-иллюстрация. Он используется не для изготовления на занятиях, а для просмотра
на вводной части занятия по теме стереометрия. Иллюстрирует специфику параллельного
проектирования.
Пояснение. Чертеж является упрощенной частью предыдущего чертежа. Он помогает
ответить на вопрос, почему часть отрезков при изготовлении проекции уменьшается
(например, вдвое), а другая часть - не изменяется в длине.
Если мы возьмем квадрат, вписанный в окружность (он полностью определяется одной
точкой на окружности и самой окружностью), то его проекция будет строиться по четырем
точкам вершин.
67
Строится проекция квадрата. На "линию горизонта" проектируются четыре вершины
квадрата.
Пояснение. Вершины квадрата построены как концы перпендикулярных диаметров. При
вращении вокруг центра они оставляют след - окружность. На рисунке видно, что точки,
взятые как проекции этих вершин, оставляют при таком движении след - эллипс, то есть
окружность при нашем проектировании перешла в эллипс, так как расстояния по
вертикали сжимаются (у нас - в два раза).
Их можно соединить отрезками, которые и будут проекциями сторон (доказывать это мы
тоже не будем, хотя стоит обратить внимание на необходимость доказательства).
Построение модели вращающейся пирамиды.
Пользуясь тем, что проекция по третьей оси не меняет расстояний, получим проекцию
отрезка на перпендикуляре к окружности из ее центра.
Соединив полученную проекцию с проекциями вершин, получим модель пирамиды.
68
Строится проекция пирамиды. Четыре вершины проекции квадрата и точка вершины
пирамиды соединяются отрезками.
Пояснение. Точка А - ведущая, она построена на окружности, и при ее движении
вращаются вершины квадрата, вращается и проекция. Эту точку нужно оставить,
остальные исходные пострения можно спрятать.
Двигая точку А мышкой, мы можем поворачивать проекцию. Вместе с проекцией будут
поворачиваться все построения, исходные точки которых ей принадлежат.
Построение сечений на вращающейся пирамиде.
Построим на ребрах, исходящих из вершины пирамиды, четыре свободные точки. По ним
построим многоугольник и закрасим его подходящим цветом.
Место для точек можно выбирать случайным образом, как вручную, так и автоматически.
На уроке более целесообразно выбирать вручную. При необходимости рандомизации
можно использовать команду мультипликация.
Вопрос: будет ли полученный многоугольник сечением данной пирамиды некоторой
плоскостью?
69
Строится проекция пирамиды, и многоугольник по четырем точкам на ее наклонных
ребрах. Будет ли полученный многоугольник сечением?
Поясненеие.
Двигая точку А мышкой, мы можем поворачивать проекцию. Вместе с проекцией будет
поворачиваться и многоугольник. Если при повороте в какой-то момент он сожмется в
отрезок, значит, четыре точки лежат в одной плоскости, и задают сечение.
На рисунке показано это вращение. Видно, что эти точки не задают сечения. При
некотором угле поворота многоугольник превратился в невыпуклый, что невозможно для
точек, задающих сечение. Но все же на этой модели невозможно всякое сечение
превратить в отрезок подходящим вращением - из-за фиксированности угла наклона
проекции в этой модели.
Ответить на этот вопрос, глядя на единственную проекцию, обычно непросто. Вращение
модели сразу дает ответ!
Но наша модель вращается только в одной плоскости, и не для всех расположений
четырех точек достаточно этого вращения.
Модификация модели несложна – вместо половины расстояния при построении проекции
нужно брать переменную долю, для всех четырех точек одинаковую, и зависящую от
параметра. При изменении параметра проекция будет поворачиваться уже в другой
плоскости. Построенной так дополнительной возможности поворота уже достаточно для
решения поставленной задачи.
Строится проекция пирамиды с переменным наклоном проекции, и многоугольник по
четырем точкам на ее наклонных ребрах.
70
Пояснение. Двигая точку А мышкой, мы можем поворачивать проекцию. Вместе с
проекцией будет поворачиваться и многоугольник. Если при повороте в какой-то момент
он сожмется в отрезок, значит, четыре точки лежат в одной плоскости, и задают сечение.
На рисунке показано это вращение. При некотором угле поворота многоугольник
превратился в невыпуклый, что невозможно для точек, задающих сечение.
Опыт решения нескольких таких задач может подсказать идею доказательства. Но здесь
мы снова вступаем на территорию предмета математики, и целесообразно оставить
доказательство на факультатив по математике (или другую форму дополнительных
занятий).
Четыре точки на одной прямой.
Можно доказать (опять же в курсе информатики мы этого делать не будем), что если эти
четыре точки задают плоскость, то при вращении возникнет ситуация, когда все они будут
на одной прямой, и не возникнет ситуации, когда многоугольник станет невыпуклым. Но
это утверждение на вращающейся модели становится в буквальном смысле очевидным!
Перебирая различные случайные конфигурации и корректируя их, двигая точки –
«кандидаты в точки сечения» - учащиеся могут сами сформулировать эту и ей подобные
теоремы, и догадаться о путях доказательства.
Поиск и решение в задаче о сечении.
На этой же модели естественно задать вопрос – а как получить четвертую точку, если три
уже заданы (модель позволяет понять, что именно три точки определяют сечение). Так мы
приходим к традиционной задаче построения точек сечения – от более гибкой модели к
более жесткой, через «ручную» работу, «ручную» вариацию параметров.
Этот путь понимания представляется нам более прямым, так как задача (или теорема)
появляются здесь не как ответы на еще не заданные вопросы, а как подсказка на пути
самостоятельного поиска (в худшем случае), или как самостоятельное открытие – хотя и в
рамках заданной модели.
О простоте задачи построения сечения на модели.
Все построения задачи поиска сечения на модели выполняются обычным образом,
поскольку при нашем проектировании параллельные остаются параллельными и
пересечения прямых остаются пересечениями прямых. Научить учащихся строить сечения
нетрудно, и получающиеся вращающиеся модели довольно эффектны, особенно если
дополнять их натуральными моделями (деревянными, пластмассовыми, картофельными и
т.п.).
Построение модели куба. Сечения куба и другие задачи.
Построить модель куба можно, например, так. Если вспомнить, что расстояния по третьей
оси тоже не меняются, и вершину пирамиды построить так, что ее высота будет равна
стороне квадрата, а затем из нее провести параллельные проекциям диагоналей квадрата,
то на их пересечениях с перпендикулярами из остальных вершин проекции квадрата и
получим недостающие 4 вершины модели куба.
Все сказанное о модели пирамиды можно повторить и о модели куба. Приведем пример
модели сечения, подготовленной учащимся 10-го класса СУНЦ.
71
Пример модели сечения (работа Андрея Румянцева, СУНЦ, 11-в, 2000 г.)
Пояснение. Работа по теме «сечения, включающая случайную анимацию по двум или
трем точкам сечения одновременно, и доказательство правильности сечения путем
подбора подходящего проектирования (поворот и наклон моделируются вручную).
Если выделить точку, определяющую квадрат, а затем образующую – ребро пирамиды,
куба или грань куба или пирамиды – и применить команду «геометрическое место точек» то мы получим модель поверхности вращения (или тела вращения) – цилиндр или конус.
Интересной задачей является построение поверхности вращения других отрезков прямых
в модели – в частности, легко получаются гиперболоид вращения и усеченный конус.
След вращения отрезка в кубе - гиперболоид вращения
Пояснение. При различных расположениях отрезка в кубе при вращении куба вокруг
центральной оси отрезок образует гиперболоид вращения и т.д..
72
Построение инструмента «отрезок внутри отрезка» с параметром.
Это типичный вспомогательный инструмент для сложных моделей. Данный инструмент,
несмотря на простоту, содержит все основные черты таких инструментов, включая
геометрически заданный параметр.
Строится он так – задается параметр в виде двух свободных отрезков, считывается их
отношение, и по этому отношению исходный отрезок делится точкой по команде
«гомотетия». Затем к исходному отрезку строится серединный перпендикуляр, и
относительно него отражается полученная точка.
По двум полученным точкам строится нужный отрезок, а по всей конструкции –
инструмент. Сценарий инструмента модифицируется – имена отрезков-параметров (или их
концов) объявляются «соответствующими объекту с тем же именем на чертеже», т.е.
имена фиксируются.
Теперь любое множество отрезков можно заменить на их пропорциональные длине доли,
да еще симметричные относительно середины отрезков.
Построение треугольника с помощью созданного инструмента "отрезок в отрезке".
Пояснение. Два отрезка вверху чертежа задают отношение, в котором отрезок
подвергается гомотетии относительно своего центра. Исходный отрезок прячется,
остаются только его концы (на рисунке он остался - пунктиром). Таким инструментом
73
можно работать точно так же, как стандартным инструментом "отрезок", как это и видно
из рисунка, где построенный треугольник двигается мышкой..
Построение параметрической модели многогранника, превращающегося в
усеченный куб, икосаэдр и ромбододекаэдр.
Проведем на каждой грани куба отрезок посередине, соблюдая симметрию, указанную на
чертеже. Зададим параметр – нанесем два свободных отрезка на чертеж с именами,
зафиксированными в инструменте «отрезок в отрезке». Теперь заменим каждый отрезок на
грани с помощью инструмента, и соединим концы новых отрезков.
Параметр нам нужно менять в таких пределах, чтобы фигура изменялась от усеченного
куба до от ромбододекаэдра. При некотором промежуточном значении параметра (при
равенстве всех ребер фигуры) мы получим икосаэдр.
Итоговый чертеж: три положения параметра – три знакомые фигуры.
В качестве домашнего задания (для тех, кто себе сам его не придумал) можно предложить
этот же прием повторить на октаэдре и тетраэдре, взяв отрезки не на гранях, а на ребрах.
74
Пример решения задачи для октаэдра.
Задача из Г.Фройденталя
Постановка задачи - куб наизнанку.
В книге замечательного математика-педагога Ганса Фройденталя (Фройденталь Г.
Математика как педагогическая задача в 2 томах. М. Просвещение 1982-1983г.)
предлагается представить себе, какая фигура получится, если куб, разрезанный на
пирамиды по линиям, соединяющим вершины с центром, «вывернуть наизнанку».
Как «вывернуть куб наизнанку», используя его симметрию.
Модель вращающегося куба очень удобна для решения этой задачи, так как дает ту
визуализацию поворотов, которой не хватает, чтобы уяснить форму получающейся
фигуры.
Два решения – лобовое и с использованием симметрии.
Задача полезна не только тем, что иллюстрирует важные стереометрические понятия из
теории многогранников.
Она допускает по крайней мере два простых пути решения.
Первое решение – лобовое. На каждой грани строим пирамиду, симметричную
соответствующей внутренней относительно этой грани.
Второе решение основывается на идее замены отражения пирамиды переносом. Если
заметить, что отраженная пирамида уже готова – а именно, она симметрична данной
относительно центра куба – то построение будет состоять в сдвиге куба в шести
направлениях, задаваемых его ребрами.
75
Заметим, что этот чертеж сразу дает и очевидное доказательство того, что грани новой
фигуры – ромбы. Для этого достаточно обратить внимание на плоскости, разрезающие
кубы через противоположные (симметричные относительно центра) ребра.
Результат трех таких сдвигов (из шести) показан на чертеже.
Теперь остается только спрятать невидимые линии, раскрасить грани полученной фигуры
и повращать ее для уяснения ее формы.
Этапы получения фигуры «куба наизнанку»
Возможное развитие задачи.
Описанная конструкция дает возможность учащимся самостоятельно строить трехмерные
графики и т.п.
В проектных работах на эту тему можно использовать материалы, поясняющие
построение таких конструкций, и выложенные на сайте создателей среды
(http://www.keypress.com).
76
Пример модели с трехмерным динамическим графиком из стандартной поставки
Geometer's SketchPad v.4.
Механика.
Построение моделей шарнирных механизмов и анализ траекторий.
Механическое моделирование в работах П.Л.Чебышева
С именем замечательного русского математика 19-го столетия Пафнутия Львовича
Чебышева связаны приложения математики к механике. Интересно, что Пафнутий
Львович сам вытачивал на станках свои шарнирные механизмы, в основном из бронзы. В
Санкт-Петербурге, в музее истории науки до сих пор хранится шкаф с его моделями.
Механика была источником постановки математических задач, блестяще решенных
Чебышевым. В частности, знаменитые многочлены Чебышева возникли при решения
задач механики.( Артоболевский И. И., Механизмы в современной технике, т, 1—2, М.,
1970—71.)
Так, классическая теория наилучших приближений функций возникла в процессе
усовершенствования П. Л. Чебышевым параллелограмма Уатта в паровой машине.
Помимо параллелограмма Уатта, Чебышев интересовался и другими шарнирными
механизмами, о чем свидетельствуют, например, такие его работы, как «О некотором
видоизменении коленчатого параллелограмма Уатта» (1861), «О параллелограммах»
77
(1869), «О параллелограммах, состоящих из трех каких-либо элементов» (1879) и др. Он
сам занимался конструированием механизмов, построил знаменитую «стопоходящую
машину», воспроизводящую движение животного при ходьбе, автоматический
арифмометр, механизмы с остановками и множество других механизмов.
Шарнирные механизмы и их математические модели.
Шарнир – сочленение стержней, оставляющее им возможность ограниченного движения.
Самый простой шарнир – общая ось двух стержней. Немного более сложный шарнир –
штанга, и т.д.
Мы рассмотрим модели следующих механизмов:
 Витгенштейна
 для построения параболы
 Уатта
 Чебышева (ШРМ «с задержками»
Механизм Витгенштейна
Определение механизма Витгенштейна
Этот пример неожиданно разнообразных и сложных форм кривых, получающихся при
работе простейших механизмов, дан выдающимся лингвистом и философом первой
половины XX века Людвигом Витгенштейном.
Механизм описывается так: дан стержень фиксированной длины, проходящий через
данную точку. Например, он продет в кольцо, которое закреплено на плоскости, но может
так вращаться, чтобы стержень беспрепятственно и поворачивался в нем, и скользил
внутри него.
Вопрос: если один конец этого стержня скользит по окружности, то какую траекторию
может описывать второй его конец?
Как показать конструкцию, не давая при этом подсказки.
Методический прием, который мы применяем при пояснении конструкции механизма,
таков – мы показываем движение построенного механизма, но при этом на таком коротком
отрезке траектории, чтобы это не было подсказкой, а было только пояснением именно к
конструкции.
Наиболее частая ошибка учащихся – предполагать, что движение второго конца стержня
также будет совершаться по окружности, поэтому пример движения не должен
противоречить этому ложному предположению – в его ложности учащиеся должны
убедиться сами, на построенной самостоятельно конструкции.
Построение учащимися модели механизма.
Напоминание о способе построения засечки.
При построении важно понять, что дано по условию, что может изменяться, и что
требуется найти. Для класса, хорошо успевающего по геометрии, это не составляет
никаких проблем.
78
Сильные учащиеся сразу строят правильный чертеж, как только они вспоминают о
команде «построить окружность из данной точки по данному радиусу, заданному
отрезком». Эту команду можно напомнить всем, как обычное средство построения засечек
на чертеже.
Алгоритм построения модели.
Начертим окружность инструментом «циркуль». Поставим инструментом «точка» две
точки – одну вне окружности, другую точно на окружности. Инструментом «отрезок»
начертим в углу чертежа отрезок, который будет задавать длину стержня. Из точки,
построенной на окружности, проведем луч через точку, построенную вне окружности. На
луче от вершины отложим отрезок, равный заданному – это делается с помощью
построения засечки на луче. Иначе говоря, нужно выделить вершину луча и построенный
отрезок (в углу чертежа), и выполнить команду «окружность по центру и радиусу» из
меню «Построение». После чего от точки пересечения до вершины луча построить отрезок
(не смущаясь, что он лежит на луче), а луч и вспомогательную окружность спрятать (а не
удалить!). Задав свойство точке конца отрезка «оставлять след» (команда «оставлять след»
меню «вид», или через контекстное меню, вызываемое правой кнопкой мыши), и задав
цвета и жирность точкам, отрезку и окружности , можно приступать к экспериментам.
Ход построения модели механизма Витгенштейна.
Пояснение. (Рисунок 1.) Вершина луча - на окружности. Луч проходит через
фиксированную точку на плоскости.( Рисунок 2.) Откладываем на луче данный отрезок,
делая засечку на нем. (Рисунок 3.) Луч спрятан. Построена модель стержня данной длины,
проходящего через данную точку, один конец которого скользит по окружности.
Эксперименты с моделью: след и живой след.
Двигая точку, изображающую конец стержня, по окружности, учащиеся обнаруживают,
что траектория сложнее, чем они предполагали. Они обнаруживают, что траектория
симметрична и непрерывна. Изменив длину стержня или взаимное расположение
исходных точек, они получают различные кривые. На этом этапе совершенствования
модели можно остановится, и создать коллекцию кривых.
Для этого достаточно сохранять каждую из избранных таким образом кривых в
графическом формате (это или WMF, или EMF), или делать скриншоты экрана.
Из полученных файлов можно сделать или альбом, или документ WORD, или любую
другую форму презентации, которой владеют ученики, в том числе и многостраничный
чертеж Живой Геометрии.
79
Коллекция скриншотов следа для механизма Витгенштейна при различных его параметрах
– длине стержня, радиуса окружности и положении «гвоздя».
Но есть и более мощный метод исследования такого рода чертежей. Там, где нужно
изучать конфигурацию следа точки, или отрезка, или окружности, или дуги и т.д.,
целесообразно построить новый динамический объект – «геометрическое место точек,
отрезков, окружностей, дуг и т.д., при всех возможных положениях точки-параметра».
Строится он просто – выделяется объект, чей след изучается, и выделяется точкапараметр. После этого выполняется команда «Геометрическое место точек» (locus, или, в
одной из версий, «Живой след») из меню Преобразования.
Теперь при изменении параметров чертежа новый объект-след будет также непрерывно
(непрерывность, здесь, конечно, компьютерная и заметно зависит от быстродействия
компьютера и заданного количества точек-звеньев) меняться. Этот объект тоже может, в
свою очередь, оставлять следы, но образовать от него, в свою очередь, «живой след» среда
не позволяет.
Рисунки показывают, как изменяетс я «живой след» при плавном уменьшении длины
стержня и как - при плавном увеличеснии радиуса окружности в модели Витгенштейна.
Механизм, строящий параболу.
Явное геометрическое определение параболы.
Простой, но полезной и эффектной моделью шарнирного механизма является модель
механизма, реализующего параболу. Из множества таких механизмов мы выбрали тот,
который ближе всего к школьному курсу.
Задача формулируется так: построить след пересечения серединного перпендикуляра к
отрезку, один конец которого движется по оси абсцисс, и перпендикуляра к оси абсцисс из
этой же точки. Второй конец отрезка закреплен на оси ординат.
80
Неявное геометрическое определение параболы
Эта задача получается из другого, неявного определения кривой:
построить геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной
точки.
По неявному определению можно построить кривую методом проб и ошибок, подбирая
точки, удовлетворяющие ему.
Это действие, сходное с решением уравнения методом подбора, близко к применению
методики «черного ящика». Действительно, предлагая выбранную точку, мы должны для
нее произвести заданную процедуру – измерить и сравнить некоторые расстояния, и тогда
только получить ответ, характеризующий точку – принадлежит она кривой или нет.
Лабораторная установка для экспериментальной работы.
Она вычисляет нужные расстояния для точки, которую мы можем перемещать курсором, и
при малой разнице между этими расстояниями включает свойство точки оставлять след на
чертеже.
Таким образом, перемещая курсор по чертежу, мы можем обнаруживать точки,
удовлетворяющие неявному определению. Для учащихся ставится задача – обнаружить
как можно больше таких точек на своем чертеже.
Об уровне сложности «экспериментальной установки».
Лабораторную работу можно делать на готовой «установке», а можно и построить её
прямо на уроке. Построение, конечно, предпочтительнее, но при малости времени или
других ограничениях приходится пользоваться готовыми моделями.
Когда и какие модели строить, а когда использовать готовые – зависит от оценки
эффективности работы по построению модели как элемента курса информатики. В
частности, и от такой характеристики модели, как её сложность.
Для данной модели, как и для большинства представленных моделей, можно выбрать или
более простой, или более универсальный вариант, соответственно алгоритм реализации
будет проще или сложнее.
Самый простой вариант – на чертеже с двумя уравниваемыми расстояниями от «пробной»
точки приготовить десятка два-три кружочков (копированием одного кружка), и
расставлять их в тех точках, где расстояния уравнялись.
Более сложный для построения, но более удобный в работе вариант – когда эта работа по
расставлению кружочков автоматизируется – «пробный кружок» сам оставляет свой след
на чертеже, если расстояния становятся очень близки.
В построении такой модели используется следующее свойство среды моделирования. Если
объекты пересекаются, то точка пересечения может быть исходной для каких-то
построений, например для отрезка. Но если в процессе перемещения каких-то элементов
чертежа (например, мышкой двигаем какую-то точку) отрезки перестанут пересекаться,
исчезнут с чертежа и точка пересечения, и все конструкции, построенные с ее помощью.
Так, лабораторная установка строится при помощи построения маленькой окружности
вокруг двигаемой точки, существование которой зависит от разности между
уравниваемыми расстояниями.
81
Работа на экспериментальной установке по изучению геометрического места точек,
заданного равенством.
Пояснение. Модель построена так, что при малой разности уравниваемых расстояний
передвигаемая мышкой точка начинает оставлять след, и оставляет его до тех пор, пока
разность расстояний не увеличиться. Таким образом мы делаем видимым геометрическое
место точек (конечно, приближенно, так как малая разность - все же не нулевая)
Лабораторная установка по работе с явным определением.
От экспериментальных результатов можно теперь перейти к получению явного
определения кривой. При этом качество и трудоемкость построения кривой по явному
определению будут настолько лучше этих результатов, что работа по получению явного
определения приобретает дополнительный смысл и мотивацию.
Явное определение связано с известным свойством равнобедренного треугольника, в
котором высота к основанию является и медианой. Используя это свойство, можно
доказать, что для нахождения всех точек параболы необходимо и достаточно найти все
точки пересечения двух перпендикуляров: серединного перпендикуляра к отрезку, один
конец которого движется по оси абсцисс, и перпендикуляра к оси абсцисс из этой же
точки.
Переход к алгебраической (функциональной) характеризации кривой.
Если теперь рассмотреть соответствующие геометрические закономерности, задающие
этот механизм, выписать их и выбрать простейшие единицы измерения (т.е. применить
простейшее «обезразмеривание»), то можно сделать следующий шаг.
82
Получение уравнения кривой, заданной геометрически.
Пояснение. Динамический чертеж помогает выделить и выписать закономерности в
алгебраической форме. Например, подобие треугольников хорошо заметно при движении,
изменяющем углы на чертеже. Все получаемые формулы можно проверять измерениями для контроля (на рисунке не показаны).
Теперь можно построить график кривой на том же чертеже, и проверить их совпадение
прямым наложением. Если нет ошибок, кривые совпадут.
Проверка совпадения геометрического и алгебраического определения кривой.
Пояснение. Проверка состоит в построении на одном чертеже двух кривых. Одна
построена как след некоторой точки, а другая - как график функции. При выборе
83
правильного масштаба их можно непосредственно наложить друг на друга, и визуально
убедиться в их совпадении.
Построение кривых учащимися по своим собственным алгоритмам.
После выполнения этой работы можно перейти к заданию построения собственных
механических кривых. Требования к ним минимальны – это не должна быть окружность,
механизм должен быть не слишком сложен, и использовать только построения циркулем и
линейкой. Конечно, алгоритм построения должен быть кратко, но ясно описан по шагам.
Приведем примеры выполнения учащимися этого задания.
Построение Сергея Грибовского.
Алгоритм построения (циркулем и линейкой) механической кривой Сергея Грибовского
(10в СУНЦ 2004/2005)
.
 Построим окружность (на рисунке - малую) данного радиуса R1 с центром в данной
точке B.
 На окружности построим точку G.
 Построим окружность (на рисунке - большую) по двум точкам - по точке G как
центру и по данной точке С, через которую окружность должна пройти.
 Отметим на прямой, соединяющей точки G и B, точку Е - точку пересечения с
«большой» окружностью.
 Построим точку F как середину отрезка EG.
 Зададим кривую как геометрическое место точек F при движении точки G по
«малой» окружности.
84
Алгоритм построения кривой, его геометрическое описание и модель.
Пояснение. Прямое построение геометрического места точек для фигуры, придуманной
Сергеем Грибовским. На чертеже измерены величины, параметризующие полученную
фигуру. Сергей выбрал их из интуитивных геометрических соображений. Теперь ему
нужно получить уравнение построенной кривой.
Сергей решил строить уравнение своей кривой в полярной системе координат, и выбрал
три параметра, исчерпывающе характеризующие кривую - радиус малой окружности и
полярные координаты точки С (центр системы координат он взял в точке В).
Получение уравнения по геометрическому описанию механизма. Работа Сергея
Грибовского, 10в, СУНЦ МГУ, 2005
Пояснение. После вычислений формула, задающая радиус точки кривой в полярных
координатах в зависимости от угла, была получена, и по ней построен график.
Он оказался похож на график механической кривой.
Уравнение своей кривой Сергей вывел в полярной системе координат, выбрав
три параметра, исчерпывающе характеризующие кривую - радиус малой окружности и
полярные координаты точки С (центр системы координат он взял в точке В).
85
Проверка наложением совпадения геометрической (механическая кривая) и
алгебраической (график функции) моделей.
Пояснение. После вычислений формула, задающая радиус точки кривой в полярных
координатах в зависимости от угла, была получена, и по ней построен график.
Он оказался похож на график механической кривой. Для более точной проверки обе
кривые были построены на одном графике, на основе одних и тех же параметров.
Для экспериментальной проверки совпадения кривых они накладываются друг на друга.
После этого производится вариация параметров, и совпадение должно сохраняться при
любых сочетаниях их значений (конечно, в пределах ОДЗ). Конечно, экспериментальная
проверка – не доказательство, но все же это аргумент в пользу правильности проведенных
рассуждений и построений. Зато несовпадение кривых вполне доказывает неверность
полученного уравнения для кривой (, если, конечно несовпадение не связано с
неточностью моделирования)..
Частичное решение задачи получения уравнения.
Иногда учащимся не удается получить уравнение для всех значений параметров, но
удается получить уравнение кривой для какого-нибудь частного случая. Такие варианты
также надо использовать и считать успешными.
Приведем пример такой работы, в которой уравнение получилось очень громоздким, зато
один из очевидных частных случаев давал очень простое уравнение.
Рассмотрим фигуру, которую построил Сергей Грибовский (10-в, СУНЦ, 2005).
Алгоритм построения кривой:
 Дана окружность с центром в точке О.
 N - любая точка.
 Точка В строится как пересечение окружности О и прямой NO
 А - точка на окружности
 М - точка пересечения прямой NA и окружности с центром N и радиусом АВ
 Кривая - геометрическое место точек М при пробегании точкой А окружности, на
которой она построена
86
Для некоторого частного случая (т.N совпадает с т.O) уравнение удалось существенно
упростить, и тот же механизм дает более простую картину.
Заметим, что особенность кривой дает себя знать при геометрическом ее получении –
строго говоря, нашим механизмом ее получить нельзя – ведь кривая пропадает при
приближении точки С к точке В. Предельный случай придется переопределить отдельно,
например, так: «если мышкой пододвинем точку N близко к точке O, у нас получится
кривая, очень близкая к кривой более простой, а именно, когда вместо прямой NA берется
просто горизонтальная прямая, а точка N сливается с точкой О».
Уравнение ее легко строится в полярных координатах, это
Если теперь на том же чертеже, где построена кривая, построить график кривой, то при
подборе масштаба они совпадут при наложении. Кривая хорошо известна, но работа
проводилась в самом начале обучения в СУНЦ, и учащиеся еще не изучали их.
Проверка наложением совпадения механической кривой и графика построенной по ней
функции. Геометрический алгоритм Сергея Грибовского (10-в, СУНЦ,2005)
Пояснение. После вычислений формула, задающая радиус точки кривой в полярных
координатах в зависимости от угла, была получена для частного случая кривой, и по ней
построен график. Он оказался похож на график механической кривой. Для более точной
проверки обе кривые были построены на одном графике. Теперь их можно наложить.
Кривая, построенная Александром Петровым.
Еще один пример - работа Александра Петрова(10в СУНЦ 2004/2005).
Его кривая задана несложно:
 Дана окружность с радиусом АD и центром А.
 На окружности построим точку В.
87


Проведем хорду ВD.
Перпендикулярно этой хорде из точки В проведем отрезок в направлении от центра
окружности.
 Длина отрезка берется равной радиусу. Пусть этот отрезок обозначен ВС.
 Построим геометрическое место точек С при всех положениях точки В, то есть при
ее движении по окружности.
Уравнение этой кривой находится из выражений для АС и угла DAC. Здесь естественным
образом возникает смена параметризация кривой, так как сначала она определялась по
углу DAB, а радиус-вектор ее уравнения направлен под другим углом - DAC. Но, как
видно из рассмотрения получившихся треугольников, эти углы связаны простой
закономерностью. А именно, угол DAC составляет три четверти угла DAB, и три угла
BAC.
Если убрать требование задавать направление отрезку от центра, а откладывать радиус
сразу в оба направления, то получится и вторая ветвь кривой, соответствующая
полученному уравнению. Но математический опыт и интуиция учащихся 10-го класса еще
не позволяют придумывать такие кривые сразу.
На рисунке оба варианта моделей – геометрическая и алгебраическая – сразу
представлены на одном чертеже. Заметим, что совпадение кривых здесь неполное, так как
геометрический смысл сдвоенных корней уравнения не раскрыт учащимся, но это пока и
не требовалось – найденная функция действительно дает именно ту кривую, след которой
вычерчивает придуманный учеником механизм, и еще некоторый «хвостик».
Кривая, алгоритм построения которой придуман Алексадром Петровым, (СУНЦ МГУ,
10в, 2005); ему удалось получить её уравнение и построить график.
Пояснение. При наложении кривые совпадают везде, кроме симметричной половины
графика, которого нет на механической кривой. Если изменить алгоритм построения так,
чтобы откладывать радиус сразу в оба направления, то получится и вторая ветвь кривой,
симметричная первой, и соответствующая графику, построенному по уравнению.
(График на рисунке показан не полностью, он симметричен относительно оси абсцисс.)
88
Параллелограмм Уатта.
Кривые Уатта в математическом практикуме А.Н.Колмогорова.
Эта задача, по предложению В.В.Вавилова, взята из математического практикума ФМШ
им.А.Н.Колмогорова. (А.Н.Колмогоров, В.В.Вавилов, И.Т.Тропин Физико-математическая
школа при МГУ / Знание,М.,1981)
Само по себе историческое, это задание имеет еще и замечательную историю в СУНЦ
МГУ (тогда еще 18-го интерната г. Москвы). Оно входило в «Математический
практикум», созданный А.Н.Колмогоровым, конечно, в бескомпьютерном варианте –
графики чертились на миллиметровке, а трудоемкость частично компенсировалась тем,
что различные варианты (точнее, различные значения параметров) раздавались на целый
класс, и потом только совмещались при анализе результатов. Ввиду принципиальной
важности формы и содержания практикума для построения нашего курса, приведем текст
[], где кратко описывется работа учащихся над этой темой.
«Параллелограмм Уатта - это шарнирный механизм, который был предложен Джеймсом
Уаттом в 1774 году, когда он решал такую проблему - как связать поршень с маховым
колесом, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение?
Кинематическая схема параллелограмма Уатта, смонтированного на первой паровой
машине (1769 г.).
89
Параллелограмм Уатта (вверху), как он смонтирован им на первой паровой машине (1769
г.).
Тщательно исследовав движение середины шатуна А1А2, Уатт (чисто эмпирически)
убедился, что когда вся система в целом приходит в движение, эта точка незначительно
уклоняется от прямой линии. Траектории движения этой точки (или точек, неразрывно с
ней связанных) называются кривыми Уатта.
Перед учащимися ставилась задача исследования этих кривых. Сначала они вручную
(с помощью циркуля и линейки) выполняли следующее задание.
По заданным параметрам d, R, l плоского шарнирного механизма
а) начертите по точкам кривую Уатта, описываемую серединой шатуна (d=3, R=4, l=5)
б) на построенной траектории определите длину наибольшего участка кривой,
отличающейся от отрезка менее чем на 5%.
При выполнении этого задания положение точки М отыскивалось учащимися так:
поставив одну ножку циркуля с раствором 2d в некоторую точку Р окружности с центром
в точке О1 радиуса R, найдем другой ножкой точку Q на второй окружности (с центром в
точке О2 радиуса R); середина отрезка PQ определяется при помощи линейки.
Данное задание для многих учащихся явилось началом серьезного исследования: найти
уравнение кривой Уатта, определить все возможные типы кривых Уатта, изучить, какие
типы кривых получаются, если точка М каким-либо образом жестко связана с механизмом
Уатта. Любую ли алгебраическую кривую можно начертить при помощи шарнирного
механизма?
Заметим, что всего существует только 12 типов кривых Уатта (под типом мы понимаем ее
форму). Задания учащимся раздаются таким образом, чтобы в итоге совместных усилий в
каждом классе все типы кривых были вычерчены».
90
Межпредметные связи: кривые Уатта в математическом практикуме и
спецкурсе по информатике.
Мы видим, что курс моделирования может взять на себя часть этой работы, а именно,
вооружить учащихся таким инструментом, что задача моделирования может быть
продвинута значительно дальше, например, может быть снято ограничение рассматривать
только симметрический случай R1=R2=R.
Виды кривых при различных вариантах жесткой связи также поддерживаются
компьютерным моделирование, причем именно динамическое моделирование здесь
наиболее удобно и наглядно – так как «поисковый» перебор вариантов жесткой связи
удобнее всего делать с помощью мышки, размышляя над закономерностями, по которым
видимо изменяется кривая Уатта..
Но и ручное построение имеет свои дидактические преимущества. Мы строим сначала
простейший вариант тетради (а не на миллиметровке), а потом, почувствовав построение
"пальцами", переходим к гораздо более точному построению по тому же алгоритму на
компьютере.
Возможно, преподаватель математики предпочтет часть построения все же выполнить на
миллиметровке, тогда нужно будет согласовывать программы курсов, так как ручное
построение психологически выгоднее провести до компьютерного, а не после.
Многие задания математического практикума могут быть эффективно поддержаны курсом
математического моделирования. Это требует взаимных согласованных усилий
преподавателей информатики и преподавателей математики. Такая работа постоянно идет
в СУНЦ МГУ, и в настоящее время математический практикум вновь начал свое
существование, но уже в компьютеризованной форме.
Задача курса моделирования пересекается с задачей математического практикума в
области технологии построения модели и методов ее визуального анализа. Но ставить
математическую задачу детального анализа полученных кривых можно именно на
математическом практикуме. Иначе говоря, это задача относится скорее к предмету
математики, а не информатики. Здесь виден водораздел между двумя предметами
Математическое исследование полученных моделей выходит за рамки сложности,
допустимой для математических действий учащихся в курсе информатики, даже в
профильном классе. На приведенных работах учащихся видно, что они действительно
подбирали параметры модели скорее из эстетических соображений, с интересом знакомясь
с множеством вариантов получающихся кривых и останавливаясь на наиболее
запоминающихся формах.
Можно привести такое сравнение – к задаче о поездах из Москвы в Санкт-Петербург
математика, физика и география подходят с совсем разных точек зрения, и это не значит,
что какой-либо из предметов при этом страдает – наоборот, явление становится более
объемным, более живым и осмысленным для учащихся.
Примеры работы с моделью параллелограмма Уатта.
Итак, компьютерное моделирование дает возможность возродить один из аспектов
практикума, значительно снизив трудоемкость как вычерчивания следа механизма, так и
построения графиков получающихся функций. Приведем для примера чертеж построения
механизма Уатта и чертеж с несколькими вариантами параметров.
91
Построение модели механизма Уатта.
Пояснение. На чертеже показано, как строится механизм Уатта, при этом показан общий
случай, когда значения длин (параметров) таково, что по ним можно построить два
различных механизма, и изображены два положения шатуна 3.
Варианты кривой Уатта (длина выступа, задающего простейшую жесткую связь, равна
нулю). Пояснение. Здесь собраны некоторые результаты работы с моделью
параллелограмма Уатта по рассмотрению типов кривых Уатта.
92
Параллелограмм Уат т а
Баскаков Олег 10 В
Параллелограмм Уатта.
Выполнил Чернышов Юрий Алексеевич 10В класс
Букашка
Несколько работ учащихся 2005-2006 года, экспериментировавших со своими моделями
параллелограмма Уатта.
Шарнирные механизмы П.Л.Чебышева и их моделирование.
Великий русский математик П.Л.Чебышев может считаться основоположником
математического моделирования в России. И не только потому, что его математические
конструкции входят в любой вузовский курс. Многие модели он воплощал буквально в
бронзе, так как этот материал был самым удобным для вытачивания деталей шарнирных
(и не только) механизмов. Эти факты могут дать увлекательный материал для проектной
работы. Широко известны его «суставчатый механизм с задержками» и «стопоходящая
машина». Из всех его механизмов, продолжающих тему "Параллелограмм Уатта" (над
которой сам Чебышев долго работал), мы предлагаем включить в курс модель шарнирного
механизма «с задержками».(Чебышев П. Л., Об одном механизме, Полн. собр. соч., т. 4,
М,—Л., 1948.). Это пятизвенный механизм, превращающий вращательное движение не
просто в движение по другой траектории, а в движение с задержкой. Это значит, что при
движении точки В по окружности звено FE движется, а затем на некоторое время
останавливается, затем снова движется и т.д. Происходит это оттого, что кривая, по
которой движется точка М, имеет некоторый участок, очень близкий к дуге радиуса
R=EM. Когда точка М движется по дуге радиуса R, звено FE неподвижно., когда она
сходит с окружности на свою траекторию, звено начинает двигаться, и двигается, пока
точка М опять не попадет на участок, близкий к окружности радиуса R (с центром,
конечно, в точке E).
93
Чертеж «суставчатого механизма с задержками» П.Л.Чебышева
Пояснение. При движении точки В по окружности звено FE движется, а затем на
некоторое время останавливается, затем снова движется и т.д.
Это происходит оттого, что кривая, по которой движется точка М, имеет участок, очень
близкий к дуге радиуса R=EM. Когда точка М движется по дуге радиуса R, звено FE
неподвижно.
Обоснование выбора модели механизма для курса.
Выбор этой модели обоснован двумя аргументами. Во-первых, эффектностью и
неожиданностью движения механизма. Это педагогическое воздействие побуждает
учащихся задуматься над секретами построения шарнирных механизмов. Во-вторых,
опыт приближения дуги окружности частью кривой параллелограмма Уатта подводит к
нескольким важным идеям – во-первых, к идее многопараметрической аппроксимации и
идее равномерного приближения, а во вторых, к идее приближения формы кривой,
независимо от масштаба. Ведь нужно получит именно горизонтальный участок кривой, а
не приблизить ту или иную конкретную кривую или отрезок! Учащиеся почувствуют, что
такая постановка задачи дает еще некоторые «степени свободы» при поиске решения,
поскольку нужно найти не одно конкретное решение, а любое решение из множества.
Точнее говоря, не просто подобрать кривую, на некотором интервале приближающую
отрезок, а подобрать кривую, приближающую любой отрезок, лишь бы он был
максимальной длины. Подбор же кривых осуществляется из уже знакомого им множества
кривых Уатта, где жесткая связь с шатуном задается углом изгиба и размерами звена
ВСМ. Именно эти идеи неявно определяют ход эмпирического поиска учащимися
наилучшего соотношения длин звеньев и угла изгиба рычага. Наилучшее же соотношение
параметров то, которое дает наиболее точную и длительную «задержку» одного из звеньев
при непрерывном и равномерном вращательном движении «ведущего» звена.
Краткое поэтапное описание хода работы по теме.
После вводного рассказа и показа иллюстраций на доске рисуется схема механизма.
Первый этап – построение модели и первая подгонка параметров – по кинематической
схеме П.Л.Чебышева. Можно оставить включенным проектор, показывающий эту схему,
94
или, наконец, раздать листочки с распечатанной схемой. Учащиеся строят чертеж
механизма, а затем, глядя на схему, подправляют параметры так, чтобы достигалось
подобие чертежа и схемы «на глаз».
Второй этап - экспериментальный подбор параметров. Длины звеньев корректируются
таким образом, чтобы задержка механизма была наилучшей, то есть время неподвижности
конечного звена должно стать максимальным.
Третий этап. После достижения некоторого результата модель достраивается дополняется графиком зависимости угла поворота конечного звена от угла поворота
начального звена. Теперь работа по уточнению параметров модели может быть
продолжена, так как время неподвижности конечного звена соответствует длине
горизонтального участка на графике, любое изменение длин и углов в модели
автоматически отразится на графике, и подбор параметров облегчится.
Заключительный этап и домашнее задание (для желающих). Наконец, наилучшими
наборами параметров учащиеся могут поделиться друг с другом, и, если есть время и
возможности, полезно изготовить (например, на базе «Лего-конструктора») не
виртуальную уже, а реальную действующую модель своего механизма.
Сочетание динамического графика и геометрической модели.
Перед Чебышевым встала задача: как подобрать простой шарнирный механизм так, чтобы
участок траектории точки М был близок к дуге радиуса R? Чтобы сделать еще один шаг
по направлению к математическому смыслу задачи, дополним модель динамическим
графиком, то есть графиком, непосредственно реагирующим на все изменения в
параметрах механизма.
Как и во многих других моделях, удачный подбор графика дает возможность добавить еще
одно измерение, сделать моделируемое явление математически прозрачным. Особенно
удачный вариант получается, если для движущейся по фиксированному закону
(зависящему обычно от параметров) геометрической модели построить график
зависимости положения моделируемой точки от времени.
Поскольку механизм переводит вращательное движение во вращательное, естественный
график для него - график зависимости угла поворота конечного звена от угла поворота
начального звена.
95
Модель построена для подбора подходящих параметров, максимизирующих задержку в
механизме Чебышева (Насыров Ренат, 10-в, СУНЦ, 2005)
Бильярд в треугольнике и задача Фаньяно.
Обоснование выбора темы.
Бильярдные траектории - одна из геометрических тем, простых по постановке и первым
результатам, но быстро выводящих на важные понятия современной математики. Эта тема
также выбрана из соображений эффективности ее моделирования – погружение в нее
удобно проводить именно на динамических моделях, сочетающих наглядность
первоначальной постановки задачи с легкостью получения первых неочевидных
результатов исследования. Кроме того, доказательства некоторых результатов также
доступны для школьников.
Как задача моделирования в среде «Живая Геометрия» была предложена автору
Г.Б.Шабатом на курсах МИУУ в 1996 году.
Постановка задачи.
В постановке задачи мы следуем А.Н.Землякову. (А.Земляков, Математика бильярда,
«Квант»,1976, №5 стр.17-24).
Согласно законам механики, при отражении абсолютно упругого биллиардного шара от
прямолинейного борта угол падения шара равен углу его отражения. Шар точечный, то
есть, как говорят физики,"его размерами можно пренебречь".
Таким образом, мы считаем, что биллиардный шар – это движущаяся точка, и поэтому
можно говорить о траектории биллиардного шара – о ломаной линии, по которой шар
движется в соответствии с вышеприведенным законом упругого отражения. Точки излома
этой ломаной лежат на «бортах биллиардного стола».
96
Наша модель будет построена для треугольных биллиардных столов. Более того,
треугольник наш будет остроугольным.
Проблема биллиарда для нашей области заключается в том, чтобы найти ответы на такие
вопросы:
 Существуют ли периодические траектории?
 Много ли их?
 Как они устроены?
 Как узнать, будет ли траектория, выходящая из данной точки в данном
направлении, периодической или непериодической?
 Как ложатся непериодические траектории в треугольнике?
И, конечно, по ходу изучения и расширения модели важно сформулировать и свои
вопросы, которые необходимо научиться сразу фиксировать письменно.
Построение модели.
Ограничения модели.
Кроме остроугольности треугольника, мы наложим гораздо более жесткое ограничение на
модель – будем рассматривать только те траектории, которые образованы
последовательными отражениями от трех сторон в повторяющемся
порядке:abcabcabcabc…
Для моделирования нам достаточно от 30 до 200 звеньев этой траектории – при меньшем
количестве, чем 30, трудно будет сделать некоторые наблюдения, а большее, чем 200,
только загромождает чертеж, не давая ничего принципиально нового.
Построение биллиардной траектории с помощью инструмента «отражение».
Самый простой способ построения модели – создание инструмента пользователя (личного
инструмента, или сценария) и применение его вручную нужное число раз. Инструмент
должен выполнять один шаг алгоритма. Здесь может быть два варианта – шагом можно
считать одно отражение от очередной стенки, а можно шагом считать сразу три отражения
подряд от трех стенок-сторон по порядку. Второй способ предпочтительнее, так как три
одинаковых построения на различных сторонах сделать ненамного дольше, чем одно, зато
применение такого инструмента будет намного более простым. Более того, от второго
способа – прямой путь к использованию рекурсии в ее простейшем виде – в виде
итерации.
Построение биллиардной траектории с помощью рекурсии.
Если мы построили алгоритм , отображающий две начальные точки, задающие
направление первого «удара», на те же самые стороны, по закону движения биллиардного
шара, то мы можем построить соответствующий итеративный процесс с помощью
команды «Итерация» из меню «Преобразование».
Для этого выделим две точки, задающие направление движения, и выполним эту команду.
В появившемся меню будет предложено отметить точки, в которые должны перейти при
итерации исходные точки. Отметим точки, куда придет шар после одного полного
"оборота" внутри треугольника, и в том же порядке. В том же порядке – значит, например,
что начальной точке на стороне а назначаем в соответствие точку на стороне а, а точке на
стороне b – точку на стороне b. При этом на чертеже проявится (выделенная более
бледным цветом) траектория, получающаяся сразу после трех итераций. Иначе говоря,
траектория при девяти последовательных отражениях от сторон треугольника.
97
Если учащиеся увидели, что траектория получается явно неверной (то есть не
соответствующей закону упругого отражения), можно исправить модель, переназначив
правильные точки для образов исходных точек. Если и это не помогает, надо отменить
итерацию (кнопкой «Отменить»), и построить отражения еще раз так, чтобы требования
команды «Итерация» были выполнены. Как правило, со второго-третьего раза у всех
получается верная конструкция. Тем же, у кого все же никак не получается правильной
траектории, можно помочь, предложив проконсультироваться у учащихся, верно
построивших траекторию и хорошо понявших, как строится модель.
Особенности автоматизированного построения модели.
Когда и почему возникают особенности.
Если строить модель чисто геометрически и вручную, не возникает никаких сложностей,
так как среда адекватно реализует построение циркулем и линейкой. Иначе говоря, если
учащийся ясно понимает решение задачи на построение некоторой фигуры, то именно ее
он и получит, без всяких неожиданностей.
Другое дело, если мы хотим сэкономить силы и время, и прибегнем к возможностям
автоматизации построений. Все эти возможности вынужденно содержат ряд неявных
соглашений, позволяющих отчуждать алгоритм от конкретного воплощения, и переносить
его на другие объекты, то есть выполнять для других данных автоматически. Как правило,
эти соглашения выбираются наиболее естественными, поэтому их даже не сразу можно
обнаружить. Но тем не менее, возникают ситуации, когда их приходится учитывать – и
обычно это требует некоторых искусственных дополнительных построений.
Именно такая типичная ситуация возникает с данным алгоритмом в среде Живая
Геометрия. Рассмотрим ее подробнее.
Ситуация конфликта с решением, неявно принятым в среде
моделирования.
Если мы попытаемся построить инструмент точно приведенным выше способом, и
первым, и вторым, то обнаружим, что ничего не получается!
98
Инструмент не будет работать, а команду итерации не удастся заставить работать!
Анализ ситуации показывает, что происходит это оттого, что команда «создать новый
инструмент» считает исходные точки, взятые на сторонах треугольника, случайными
точками на соответствующих отрезках! И соответственно этому не вводит их в число
аргументов созданного инструмента. Это неявное соглашение имеет ряд убедительных
причин, анализ которых – отдельная и очень интересная задача. (И, конечно, тема для
проекта или даже курсовой работы).
Но наша задача, вообще говоря, скромнее – построить правильно работающую модель!
Один из способов разрешения конфликта.
Сделать это можно, взяв в качестве исходного объект, заведомо попадающий в число
аргументов инструмента или исходных точек итерации. Учащиеся СУНЦ предложили для
этой цели создать отдельный движок, задающий положение начальных точек (начала и
конца кия) на соответствующих сторонах треугольника. Это предложение учитывает
одномерность параметра «положение точки на отрезке», но немного громоздко в
реализации. Мы использовали другой прием, совмещающий решение сразу двух проблем
– указанной проблемы и проблемы создания «ручки», или манипулятора для управления
параметрами модели.
Искусственные элементы управления - «ручки» в геометрических
моделях.
Дело в том, что движок, расположенный обычно в углу чертежа, из-за неявности своей
связи с регулируемым параметром, психологически хуже воспринимается, чем «ручка»,
находящаяся в непосредственной связи с управляемой точкой.
Кроме того, в данной модели, как и во многих других, «ручка» необходима, чтобы в
ситуации тесного расположения точек безошибочно потянуть именно ту точку, какую
надо! При числе точек более трех (а их у нас, кстати, от 30-ти до 200) перебор соседних и
мало различимых точек может быть весьма затруднителен!
В таких случаях обычную практику изменения чертежа с помощью перетаскивания
«мышкой» его точек приходится дополнять. К такой точке, доступ к которой затруднен
или невозможен, приходится присоединять искусственный элемент управления («ручку»).
Его цель - производить необходимые перемещения, не теряя при этом наглядности и
«непосредственности управления» геометрической динамической моделью. «Ручки» часто
используются в «движках» (геометрический аналог реостатов), но иногда удобно их
встраивать и непосредственно в чертеж.
Решение проблемы с помощью конструирования «псевдоручек».
Но все же создание «ручек» вместо исходных точек на сторонах треугольника может
решить только часть проблемы. Дело в том, что созданная «ручка», конечно, станет
частью исходных данных инструмента или итерации. Но тогда она же станет и объектом,
который должен будет каждый раз воспроизводиться при автоматическом повторении
процесса отражения! Ведь итерация включает в себя воспроизведение алгоритма
построения «управляющего элемента», как и любого другого!
Методическое решение, предложенное нами для этого типа моделей, таково.
Ручка при применении инструмента или при назначении образа при построении итерации
должна отобразиться (без потери общности) на управляемую точку.
Только тогда ряд последующих применений инструмента или повторений итерации даст
нужный результат – единственную «ручку» при сохранении цепочки управления, то есть
единственную ручку среди множества точек, каждая из которых является
99
«редуцированной ручкой», невидимой в качестве ручки, но несущей необходимую
информацию по положению точки на отрезке.
Конечно, не всякую «ручку» можно так отобразить. Назовем такую «ручку»
«псевдоручкой», хотя это и не совсем точно – функции «ручки» у нее остаются.
Мы используем одну из самых простых реализаций этой идеи. Опишем её.
Конструкция простейшей «псевдоручки».
Возьмем свободную точку на плоскости, и опустим из нее перпендикуляр на нужную
сторону треугольника. Нужна же нам та сторона, на которой расположится первая
исходная точка траектории шара. Построим пересечение перпендикуляра и этой стороны,
после чего спрячем перпендикуляр-прямую (по умолчанию строится именно прямая), и
построим по двум этим точкам отрезок (это будет перпендикуляр-отрезок). То же
проделаем и для второй исходной точки. При применении инструмента или отображении
этим точкам можно сопоставить точки на сторонах треугольника(!). Это получается
потому, что имеет смысл операция «опустить перпендикуляр из данной точки на отрезок»
даже если данная точка уже находится на отрезке! То же относится и к операции
«провести отрезок между двумя точками», - она имеет смысл, даже если обе эти точки уже
находятся на отрезке и совпадают! Нам даже не очень важно, какой именно смысл имеет
последняя операция – важно, что она не вызывает ошибки, и совместима в этом смысле с
алгоритмом построения «ручки».
Об элементах объектного подхода и объектных средах проектирования.
Естественность и неизбежность применения таких рассуждений и таких, на первый взгляд,
искусственных конструкций, исподволь подводит учащихся к понятию класса объектов.
Происходит это оттого, что объектное мышление не противоречит законам
конструирования в среде, и по простой причине – среда написана на С++ в соответствии с
принципами объектно-ориентированного программирования. Тем из учащихся, кого
заинтересуют детали строения классов, используемых в среде, можно порекомендовать ее
упрощенный вариант – JAVA-плеер, прилагаемый к среде, но открытый для изучения и
использования.
Итак, мы рассмотрели одно из неявных соглашений, принятых в данной среде
проектирования.
И такие соглашения неизбежны в любой среде проектирования.
Более того, именно система этих соглашений и делает возможной «среду», как средство
более высокого уровня по сравнению с набором базовых операций – в нашем случае
построений циркулем и линейкой. Именно удачность, естественность этих соглашений во
многом определяет удобство – а в конечном счете и успех такой «среды проектирования».
Исследования на модели треугольного бильярда.
Методика исследования модели, предлагаемая учащимся.
Данная модель характеризуется ясным механическим смыслом, и интуитивной
прозрачностью. Эти свойства позволяют положиться на интуицию в исследовании модели.
Так, мы даже не оглашаем вопросы, приведенные чуть выше в пункте "постановка
задачи".
Как только получены работоспособные модели, мы предлагаем учащимся методику
исследования. При этом говорится примерно следующее:
100
Изменяя все доступные параметры, отмечайте все достойные внимания варианты. Как
только вы заметите на экране что-то интересное, немедленно сделайте «копию документа»
через меню «файл» и команду «настройки документа». Затем оставьте лучшее и
несовпадающее из собранного, удалив совпадающие или не лучшие варианты.
Попробуйте расположить их в «естественной последовательности», перетаскивая мышкой
имена страниц в окне «настройки документа». Назовите, пожалуйста, то, что остановило
Ваше внимание, и попробуйте сформулировать связанные с этим предположения, если это
получится (всё напечатать на чертеже). Попробуйте связать главное в получившихся
конструкциях с известными Вам построениями и теоремами. Подпишите первую
страницу (Имя , фамилия, класс, школа, год).
Конечно, такой подход возможен только в профильном классе, настроенном на проектную
работу - в таком классе не задают после такой постановки задания вопросы "а что надо
сделать?.."
Опорные математические результаты к уроку моделирования.
Задача преподавателя - поддерживать направлять и поддерживать поиск математически
важных вариантов, и подсказывать те решения, которые не планируется получить
самостоятельно.
Для данной задачи большинство учащихся получают чертежи правильного треугольного
бильярда, сплошь заполненного траекториями, чертеж треугольной периодической
траектории и чертежи периодических траекторий, состоящих из треугольников, подобных
треугольной периодической траектории.
В этот момент можно поговорить о результатах, связанных с этими наблюдениями.
Во-первых, о том, что непериодическая траектория в правильном треугольнике (как,
кстати, и в прямоугольнике) заполняет его всюду плотно (эти задачи называются еще
задачами об освещаемости области (Гальперин Г.А. Земляков А.Н. , Математические
биллиарды, М.: Наука, 1990).
"Бильярд" треугольное поле.
Струк ов И. 10В
"Бильярд" треугольное поле.
Стру ков И. 10В СУНЦ
Любая непериодическая траектория в правильном треугольнике всюду плотно заполняет
весь треугольник.
Во-вторых, о том, что за треугольник получился как периодическая траектория. Опыт
работы по его получению подсказывает учащимся, что для данного треугольника такая
траектория единственная.
101
Полученный треугольник образован
основаниями высот.
Все треугольники внутри исходного подобны.
Здесь уместно дать некоторое время для наблюдений и проверки гипотез, что же это за
треугольник. Обычно многие замечают (а некоторые даже знают) что это треугольник,
построенный на основаниях высот исходного.
Гораздо менее очевидное утверждение о его экстремальных свойствах скорее всего
придется пересказать учащимся. Хотя доказательство и здесь несложно, и можно наметить
главный элемент доказательства - экстремальность траектории упругого отражения. Эта
траектория, очевидно, кратчайшая из всех, соединяющих точку , откуда вылетел шар, и
точку, куда он прилетел, при условии, что он должен "посетить" сторону, от которой
отражается.
Важно связать этот математический результат с великим физическим законом "принципом наименьшего действия" (в оптике он называется "принципом Ферма").
В нашей ситуации этот принцип можно сформулировать так - биллиардный шарик
"умный", и из всех возможных траекторий выбирает самую короткую.
Этот принцип в случае треугольника приводит к знаменитой "задаче Фаньяни": если в
данный остроугольный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра, то
вписанный треугольник дает периодическую биллиардную траекторию внутри исходного
треугольника. Верно и обратное утверждение (при наших ограничениях).
Таким вписанным треугольником и оказывается треугольник, построенный на основаниях
высот.
Несложный анализ распространит эти утверждения и на траектории, состоящие из того же
треугольника, но "с уголками", причем эти "треугольные уголки" в какой-то момент
совсем "поглощают" треугольник!
Проговор и фиксация наблюдений в письменной форме.
Важно научить учащихся проговаривать свои наблюдения, фиксировать их даже в такой,
нестрогой и образной форме.
В этом, кстати, тоже резкое отличие курса моделирования от школьного курса
математики, делающего принципиальный упор на абсолютной точности и строгости своих
формулировок, и приучающем записывать утверждения именно в такой, точной и строгой
форме.
Заметим, что эта задача, а именно проговор своих наблюдений, с каждым годом
становится все более трудной для учащихся. Это наблюдение имеет ряд социальнопсихологических объяснений, но нам важно противостоять тенденции обеднения языка,
так как здесь задача выговаривания неожиданной, ещё не сложившейся до конца гипотезы
или наблюдения, напрямую связана с содержанием учебного курса моделирования.
102
Межпредметные связи на занятии.
Работа с этими математическими результатами служит задаче упорядочить и осознать
полученный опыт моделирования, связать его с законами физики (или даже просто
наметить эту связь). То есть все же главная задача для нас в курсе - задача информатики,
задача практического освоения основ моделирования, в данном случае на материале
механики и математики.
На занятие уместно принести раздаточный материал - например, оттиски статей из
журнала "Квант", посвященные этой тематике. (Учащиеся СУНЦ обнаружат, кстати, что
одним из авторов таких статей является… их собственный преподаватель геометрии,
В.Н.Дубровский - и это тоже важный стимул, поддерживающий интерес к теме!).
Впрочем, текст можно заменить ссылками на Интернет-адреса материалов, хотя раздача
желающим бумажного варианта имеет свои (психолого-педагогические) преимущества.
Кроме того, у профильного класса (во всяком случае, в СУНЦ) есть возможности
участвовать в спецсеминарах и спецкурсах для школьников, где также встречаются
затронутые в курсе темы. Опыт моделирования помогает первичному ориентированию в
темах, снимает первоначальный стресс погружения в незнакомые понятия, а иногда
помогает и в исследовательских задачах.
Впрочем, здесь не надо преувеличивать практической роли курса - реальные задачи
моделирования, выполняемые в профессиональных средах, мало похожи на наши учебные
задания, как по методике работы, так и по решаемым проблемам. (см. ) Тем не менее
базовые понятия моделирования всегда остаются теми же, и практический опыт любого
компьютерного математического моделирования, полученный в школьные годы, остается
источником вдохновения надолго.
Об ошибках и ошибках-открытиях.
В практической работе преподавателю очень важно научиться различать ошибки-опечатки
и ошибки, происходящие от своеобразного, индивидуализированного видения задачи, не
совпадающего с предлагаемым преподавателем. Обычно в школе нет возможности идти за
каждым школьником (или даже за некоторыми) по его личному пути освоения новых
понятий. В спецкурсе и элективном курсе такая возможность появляется, и это одно из
важнейших их достоинств.()
Например, в работе по данной теме один из учеников СУНЦ (10-в, 2005) ошибся, и вместо
модели отражения построил итеративную модель последовательного опускания высот на
очередную сторону треугольника. С некоторой помощью преподавателя ему удалось
продвинуть свое исследование, и получить простые, но вполне самостоятельные
результаты, конечно, сильно отличающиеся от результатов одноклассников. Его
итеративный процесс оказался сходящимся, причем довольно быстро. Рассмотрев
периодическую траекторию (она оказалась единственной), он определил ее свойства, и
вплотную подошел к доказательству сходимости. За остальное время урока он предпочел
догнать своих одноклассников, но можно было и дальше продолжить изучать
получившуюся у него модель.
103