Контрольная работа по теме "Вычислимые функции"

Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, весна 2011
Контрольная работа по теме Вычислимые функции
I вариант.
1. Постройте машину Тьюринга, допускающую слова x ∈ {0, 1}∗ , являющиеся двоичной записью чисел кратных 3, и отвергающая все остальные (в начальный момент
времени читающая головка указывает на младший разряд числа).
2. Рассмотрим множество номеров самоприменимых вычислимых функций (определенных на своём собственном номере в главной нумерации). Является ли это
множество разрешимым? Перечислимым?
3. Докажите, что существует программа, печатающая квадрат своего номера (в списке всех программ в алфавитном порядке).
4. Докажите, что в главной нумерации нигде не определённая функция имеет бесконечно много номеров.
5. Назовём сложностью слова x ∈ {0, 1}∗ минимальное число n такое, что существует машина Тьюринга с n состояниями, которая печатает x на пустом входе.
Докажите, что не существует машины Тьюринга, которая по всякому входу n
находит некоторое слово сложности более n.
Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, весна 2011
Контрольная работа по теме Вычислимые функции
II вариант.
1. Постройте машину Тьюринга, допускающую слова x ∈ {0, 1}∗ , являющиеся двоичной записью чисел кратных 3, и отвергающую все остальные (в начальный момент
времени читающая головка указывает на старший разряд числа).
2. Рассмотрим множество номеров вычислимых функций (в главной нумерации),
определённых на пустом входе. Является ли это множество разрешимым? Перечислимым?
3. Докажите, что существует программа для машины Тьюринга, которая допускает
свой собственный номер (в главной нумерации) и отвергает все остальные.
4. Докажите, что в главной нумерации тождественная функция
id : x 7→ x
имеет бесконечно много номеров.
5. Назовём сложностью слова x ∈ {0, 1}∗ минимальное число n такое, что существует машина Тьюринга с n состояниями, которая печатает x на пустом входе.
Докажите, что не существует машины Тьюринга, которая по всякому входу n
находит некоторое слово сложности более n.
Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, весна 2011
Контрольная работа по теме Вычислимые функции
III вариант.
1. Являются ли перечислимыми, разрешимыми следующие множества и их дополнения:
(а) Программы для машин Тьюринга, которые останавливаются на пустом входе.
(б) Программы для машин Тьюринга, которые на пустом входе останавливаются
за 10 шагов.
2. Рассмотрим множество номеров нигде не определённой функции (в главной нумерации вычислимых функций). Является ли это множество разрешимым? Перечислимым?
3. Докажите, что существует пара программ P, Q таких, что P печатает текст Q, а
Q печатает удвоенный текст P .
4. Докажите, что декартово произведение любых двух разрешимых множеств A, B ⊂
N разрешимо (декартовым произведением множеств A и B называется множество
пар A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}).
5. Назовём сложностью слова x ∈ {0, 1}∗ минимальное число n такое, что существует машина Тьюринга с n состояниями, которая печатает x на пустом входе.
Докажите, что не существует машины Тьюринга, которая по всякому входу n
находит некоторое слово сложности более n.
Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, весна 2011
Контрольная работа по теме Вычислимые функции
IV вариант.
1. Являются ли перечислимыми, разрешимыми следующие множества и их дополнения:
(а) Номера машин Тьюринга (в алфавитном порядке всех программ для машин
Тьюринга) имеющих чётное число внутренних состояний. (б) Номера машин Тьюринга (в алфавитном порядке всех программ для машин Тьюринга), которые не
останавливаются на своём собственном номере.
2. Рассмотрим множество номеров вычислимых функций (в главной нумерации),
определённых хотя бы на одном аргументе. Является ли это множество разрешимым? Перечислимым?
3. Докажите, что существуют три разные программы P, Q, R такие, что P печатает
текст Q, а Q печатает текст R, и R печатает текст P .
4. Докажите, что сумма разрешимых множеств A, B ⊂ N разрешима (суммой множеств A и B называется множество чисел A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}).
5. Назовём сложностью слова x ∈ {0, 1}∗ минимальное число n такое, что существует машина Тьюринга с n состояниями, которая печатает x на пустом входе.
Докажите, что не существует машины Тьюринга, которая по всякому входу n
находит некоторое слово сложности более n.
Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, весна 2011
Контрольная работа по теме Вычислимые функции
V вариант.
1. Являются ли перечислимыми, разрешимыми следующие множества и их дополнения:
(а) Программы для машины Тьюринга, которые не останавливаются ни на одном
входе чётной длины. (б) Программы для машины Тьюринга, которые определены
на пустом входе.
2. Являются ли (а) разрешимым, (б) перечислимым множество всюду определённых
программ для машины Тьюринга?
3. Докажите, что не существует универсальной вычислимой функции U (n, m) для
класса всюду определённых вычислимых функций f : N → N.
4. Докажите, что существует такая программа pn , которая для всякого входа i выдаёт i-ый бит своего номера n (в главной нумерации) если i ≤ log2 n, и не останавливается в противном случае.
5. Назовём сложностью слова x ∈ {0, 1}∗ минимальное число n такое, что существует машина Тьюринга с n состояниями, которая печатает x на пустом входе.
Докажите, что не существует машины Тьюринга, которая по всякому входу n
находит некоторое слово сложности более n.