Руководство к выполнению заданий по математической

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И
СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ имени Н.И.Пирогова»
РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ
ЗАДАНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Учебно-методическое пособие для студентов медико-биологических
специальностей
Москва, 2012
1
Доцент Е.Н. Занина, старший преподаватель А.А. Парпара.
Руководство к выполнению заданий по математической статистике. – 2012.
Под редакцией профессора В.Н.Акимова
Задания по математической статистике составлены для статистической
обработки экспериментальных данных с целью выяснения закона
распределения, числовых характеристик и статических связей исследуемых
признаков. Они включают методологические разработки по четырем темам:
вариационный ряд и его числовые характеристики, точечные и
интервальные оценки, проверка статистических гипотез и корреляционный
анализ.
Задания рассчитаны на медиков и биологов, имеющих подготовку по
курсу математической статистики. Они с успехом могут быть использованы
практическими врачами при статистической обработке экспериментального
материала.
© Е.Н. Занина, А.А. Парпара, под редакцией В.Н.Акимова .2012.
© Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Российский государственный
университет Федерального агентства по здравоохранению и социальному
развитию», 2012.
2
Задание №1
Построение интервального ряда и вычисление основных статистических
характеристик
1.1. Предварительные сведения
1.1.1. Понятие таблицы данных
Наиболее распространѐнная форма, в которой представляются исходные
данные для статистических вычислений — это таблица данных. При постановке
эксперимента форма регистрации значений выбранного признака должна быть
наиболее простой и удобной для обработки экспериментальных данных. Выбор
формы, в свою очередь, зависит от вида признака (количественного или
качественного), числа регистрируемых признаков (переменных) и метода
обработки полученных данных. В этом случае выбирается несколько величин
признаков (переменных), каждая из которых измеряется одинаковое число раз,
причѐм измерения разных переменных, как правило, являются связанными, то
есть относятся к одному и тому же объекту или моменту времени. В статистике
набор измеренных значений переменной часто называют выборкой, а их
количество — объѐмом выборки по числу измеренных объектов.
Например, пусть в исследовании участвуют 50 пациентов. Для каждого из
них фиксируются 4 переменные: схема терапии, самочувствие (плохое,
удовлетворительное, хорошее, отличное), число сеансов терапии и температура
тела.
В таблице данных переменные откладываются в столбцах, а измеренные
значения — в строках. Так, в результате вышеописанного исследования
получится таблица из 4 столбцов и 50 строк, причѐм значения в каждой строке
будут связаны, потому что относятся к одному и тому же пациенту.
Нужно заметить, что в нашем примере все переменные имеют различные
типы. Это важно понимать, поскольку от типа данных зависит способ
статистической обработки. Типы статистических данных различаются в
зависимости от того, как они могут быть пронумерованы. Так, схемы терапии не
имеют никакого естественного способа подсчета: их можно нумеровать в любом
порядке любыми числами. Такой тип переменной называют неупорядоченным
фактором.
Уровень самочувствия отличается тем, что имеет естественный порядок: от
«плохого» к «отличному». Однако какая-либо определѐнная мера у него
отсутствует: нельзя сказать, во сколько раз «хорошее» самочувствие лучше
«плохого». Поэтому его уровни можно пронумеровать любыми четырьмя
различными числами, нужно только чтобы «плохому» соответствовало
3
наименьшее, «удовлетворительному» - следующее по величине, а «отличному»
— наибольшее. Такой тип называют упорядоченным фактором.
Число же сеансов терапии имеет свою меру: один сеанс, поэтому никакого
произвола в подсчѐте не допускает. Но эта величина может принимать лишь ряд
отдельных значений, между которыми промежуточные величины невозможны,
например, может быть проведено 5 или 6 сеансов, а 5,5 — уже нет. Такого типа
переменную называют дискретной.
о
Наконец, температура тела имеет меру (1 С) и может непрерывно
изменяться. Такую переменную называют непрерывной. Впрочем, нужно
заметить, что в статистике различие между дискретными и непрерывными
величинами не столь принципиально, как в теории вероятностей. Дело в том,
что статистика работает с данными измерений, а любой измерительный прибор
позволяет получать результат лишь с точностью до цены деления шкалы. Таким
образом, при измерении непрерывная величина неизбежно становится
дискретной.
1.1.2. Правила приближѐнных вычислений
Итак, если целочисленная переменная, как правило, известна абсолютно
точно, то вещественная — всегда с какой-то степенью точности. Вещественную
переменную характеризуют числом десятичных знаков или числом значащих
цифр.
Десятичные знаки (д.з.) — точно известные цифры после запятой. Если
последние цифры являются нулями, их записывают для обозначения точности,
например, 2,3 имеет 1 д.з., а 2,300 — 3 д.з.
Значащие цифры (з.ц.) — это все цифры числа от первой ненулевой до
последней точно известной. Например, 210,20 содержит 5 з.ц., а 0,00193 — 3 з.ц.
Если возникает необходимость округлить число до п з.ц., поступают
следующим образом. Если (п + 1)-я цифра меньше 5, лишние цифры просто
отбрасывают, если больше или равна 5 — п-ю цифру при этом увеличивают на
1, кроме случая, когда п-я цифра чѐтная, (п + 1)-я равна 5, а (п + 2)-я — 0. Так,
при округлении до 3 з.ц. числа 21,335, получаем 21,3, для 1,34708 - 1,35, для
344,512 - 345, для 7,45501 - 7,46, но для 33,450 - 33,4.
При вычислениях часто получаются неверные д.з., которые нужно
округлять. При сложении и вычитании нужно оставлять столько д.з., сколько
содержится в наименее точном слагаемом. Например, 2,78 + 3,9313 ≈ 6,71. При
умножении и делении оставляют столько з.ц., сколько содержится в наименее
точном множителе. Например, 0,0321 • 8,7678 ≈ 0,281. Обратите внимание, что
при сложении и вычитании имеет значение число д.з., которое характеризует
абсолютную погрешность числа, а при умножении и делении — число з.ц.,
характеризующее относительную погрешность. При возведении в степень и
извлечении корня следует оставлять столько з.ц., сколько имеет основание.
4
1.1.3. Данные для задания.
Для выполнения задания требуется таблица данных, содержащая две
вещественные выборки объѐмом п = 50, полученные на пятидесяти объектах.
Будем называть их А и Б. Каждая выборка содержит значения признаков
(переменных), измеренных у объектов определенного типа, например, площадь
(area) и оптическая плотность ядра лимфоцитов (ODR). Соответствующие
значения выборок А и В измерены у одного и того же объекта, поэтому их
можно рассматривать как связанные переменные.
При выполнении заданий с первого по четвертый используются оба
признака (к примеру area, ODR), представленные выборками А и В.
Каждому из студентов в группе выдаются две выборки А и В,
представляющие измерения двух признаков (например area, ODR) для одного из
2-х разных типов объектов (например лимфоцитов или сегментоядерных
нейтрофилов).
При выполнении первых двух заданий для построения вариационного ряда и
вычисления его основных числовых характеристик, а также для нахождения
точечных и интервальных оценок рассматриваемых признаков одного из типов
объектов, кроме исходных данных, дополнительных сведений не требуется.
Однако в третьем задании, посвященном проверке статистических гипотез,
требуется сравнить одинаковые признаки (например, area, ODR), относящиеся к
разным типам объектов (например, лимфоцитам и нейтрофилам).
При этом требуется знать оценки математического ожидания (МО)
и
дисперсии (σ2)
распределения вариационного ряда исследуемых признаков,
а также значения ошибок репрезентативности (представительности выборки)
представленных выборками А и В для разных типов объектов (например,
лимфоцитов и нейтрофилов).
,
Поэтому студенты, работающие в парах, изучают одни и те же признаки для
разных типов. В 3-ем задании они обмениваются полученными точечными
оценками для МО для
одинаковых признаков разных типов объектов.
Кроме того, для проверки статистических гипотез в задании 3 требуются
эталонные значения математического ожидания
и дисперсии
по одному
для каждого признака, а в задании 4 — эталонное значение коэффициента
корреляции r0 между этими признаками (переменными), которые содержатся в
задании или выдаются преподавателем.
1.2. Построение интервального ряда, заполнение статистической таблицы
Первый шаг при статистической обработке выборки — группировка данных.
Она нужна для следующих целей.
5
Для построения гистограммы, полигона и кумуляты, нахождения медианы
(Ме) и моды (Мо).
2. Для проверки гипотезы о законе распределения с помощью критерия
Пирсона
. (см. 3.2.1.)
3. Для составления корреляционной решетки при вычислении коэффициента
корреляции.
4. Для облегчения работы с большими выборками, если вычисления
производятся без помощи ЭВМ.
1.
=
Рисунок 1. Построение интервального ряда. Кружки – выборочные
данные,
- границы интервалов, - шаг разбиения,
и
минимальное и максимальное выборочные значения, - начальная точка
отсчета,
– середины интервалов, где k=
.
Итак, разделим числовой промежуток, в пределах которого изменяются
данные, на равные интервалы-классы (рис. 1) и подсчитаем количество
выборочных точек, попавших в каждый интервал. Таким образом, получим
возрастающий вариационный интервальный ряд — таблицу из двух столбцов, в
первом из которых записываются границы интервалов, а во втором —
выборочная частота, то есть число выборочных данных, которые попали в
интервал.
1.2.1. Работаем с исходной выборкой объѐма п.
1.2.2. Среди всех выборочных значений найдите минимальное
.
1.2.3. Среди всех выборочных значений найдите максимальное значение
.
1.2.4. Вычислите размах
.
1.2.5. Определите число интервалов
.
1.2.6. Определите длину интервала (шаг разбиения)
. Значение
округлите до числа десятичных знаков после запятой, содержащихся в
выборочных значениях
изучаемого признака (см. 1.1.2) так, чтобы на
конце была четная цифра.
1.2.7. Выбор точки отсчѐта .
1.2.7.1. Всем значениям выборок A и B приписываем номера от 00÷n-1: для
выборки А – значения ; для выборки В – значения , где к = 00
1.2.7.2. С помощью таблицы I случайных чисел приложений выберите 10
двузначных чисел (номеров) (можно с помощью генератора случайных чисел).
Например, для выборки А появились номера 01; 18; 34; …49. Всего 10 номеров.
1.2.7.3. Из исходной выборки выпишите 10 выборочных значений с этими
номерами, то есть
; ; ;…
(продолжение примера). Всего 10 значений
.
1.2.7.4. Вычислите
6
и округлите до стольких знаков после запятой, сколько имеется в .
1.2.8. Нахождение границ интервалов .
1.2.8.1. От отложите вправо и влево по значению
(см. рис. 1).
1.2.8.2. От полученных граничных значений отложите по целому значению .
1.2.8.3. От новых граничных значений ещѐ раз отложите
не будут покрыты
и
и так далее, пока
.
1.2.8.4. Полученные
таблица).
внесите в таблицу № 1 (статистическая
1.2.8.5. Рассчитайте середины интервалов:
или
;
где k: 2, 3, 4, …, s и внесите в таблицу №1.
1.2.8.6. При составлении статистической таблицы №1 к левой границе каждого
следующего интервала прибавляется единица последнего знака
правой
границы предыдущего интервала. Например,
интервала, - единица его последнего знака,
интервала, а
граница
– правая граница
- левая граница
- правая его граница. Если
интервала
, откуда левая
. Таким образом, каждый интервал
имеет открытую левую "( и закрытую правую
(при этом
, то
меняется от 0 до
] границы интервала, то есть
, где – число интервалов).
1.2.9. Подсчет частот.
1.2.9.1. Просмотрите по порядку все выборочные значения от
до
Для
каждого из них найдите интервал, в который оно попадает, и в
соответствующей строке столбца «Кодировка» таблицы 1 поставьте
вертикальную черту. Когда накапливаются 4 вертикальные черты,
перечеркивайте их горизонтальной, чтобы считать пятерками. Кодировка
«пятками»: 1- 2-ІІ; 3-ІІІ; 4-ІІІІ; 5-ІІІІ; 6-ІІІІ І; 7-ІІІІ І
12- ІІІІ ІІІІ ІІ …
1.2.9.2. В каждом интервале сосчитайте черты в столбце «Кодировка» и
запишите их количество в столбец « Частота» .
1.2.9.3. Сосчитайте накопленные частоты:
3, …, s.?
,
, где k: 2,
7
Таблица №1. Статистическая таблица.
№
Границы
интервала
Кодировка
Частота Накопленная
1 2 3 4 5 6 7 ...
частота
,
Середина
интервала
1
2
,
3
,
…
…
…
…
…
…
,
,
1.3. Графическое представление статистической таблицы.
С помощью статистической таблицы постройте гистограмму, полигон и
кумуляту. Гистограмма – это график зависимости выборочных частот от
значения переменной. Внутри интервала частота считается постоянной (рис. 2.),
Полигон отличается от гистограммы тем, что выборочные частоты
откладываются в серединах интервалов и соединяются отрезками прямых (рис.
2). Кумулята отличается от гистограммы тем, что на графике откладываются
накопленные частоты, то есть сумма выборочных частот во всех интервалах
левее данного включительно (рис. 3).
Гистограмма и полигон дают оценку плотности распределения
генеральной совокупности (ГС), а кумулята – еѐ функции распределения.
Гистограмму обязательно нужно строить перед началом анализа данных, чтобы
8
получить наглядное представление о характере их распределения. На графике
гистограммы можно приблизительно оценить основные характеристики
выборки (среднее, медиану, моду, стандартное отклонение), оценить
симметричность распределения и наличие выбросов.
Выбросами в статистике называют нетипичные наблюдения, которые
расположены далеко от основной массы данных. Они возникают обычно в
качестве ошибки при проведении эксперимента. Наличие выбросов может
сильно
исказить
результаты
статистического
анализа,
особенно
корреляционного. На гистограмме они выглядят как столбики с одной – двумя
точками, отделенные от остального графика несколькими пустыми интервалами
(рис. 4). Часто выбросы появляются из-за несоблюдения условий эксперимента
или случайного включения в выборку объектов, нетипичных для исследуемой
ГС (например, в выборку жителей Архангельска попал один уроженец Анголы).
В этом случае, возможно, следует исключить такое измерение из
статистического анализа.
5
10
15
k
0
0
5
10
15
k
Рисунок 2. Гистограмма (слева) и полигон (справа). Пунктирная линия –
плотность нормального распределения с параметрами равными выборочным
значениям среднего и дисперсии. По оси – значение переменной, по оси –
частота
.
– границы интервалов,
- середины интервалов.
9
Mk
0
10
20
30
40
50
k
Рисунок 3. Кумулята. По оси - значение переменной, по оси
частоты
.
- границы интервалов.
- накопленные
Примечание: При построении гистограммы, полигона и кумуляты вместо буквенных значений
и
,
записываются и отмечаются на графиках расчетные значения из табл.№1.
10
5
выброс
Рисунок 4. Выброс - наблюдение, далекое от основной массы данных.
1.3.1 Нахождение медианы
0
Медиана – это значение переменной, которое делит распределение
пополам, то есть вероятность того, что половина значений случайной величины
окажется медианы, равна вероятности того, что половина окажется
нее и
равна ½.
10
Для оценки значения медианы по гистограмме в таблице №1 выберете
первую строку, в которой накопленная частота
.
1.3.2. Рассчитайте оценку медианы по формуле
1.3.3. Нахождение моды (Мо).
Модой называется наиболее вероятное значение случайной величины, то
есть то значение, при котором достигается максимальная вероятность или
плотность вероятности.
Для оценки значения моды по гистограмме в таблице №1 выберите строку
с максимальной частотой
.
1.3.4. Вычислите оценку моды по формуле
1.3.5. Если
соседних интервалов от –го до – го имеют одинаковую
максимальную частоту, возьмите среднее арифметическое середин этих
интервалов
1.3.6. Если одинаковую максимальную частоту имеют 2 не соседних интервала,
нужно вычислить соответствующее количество мод. Возможно, имеется
бимодальное распределение.
11
40
50
15
20
30
10
10
5
0
0
M0
Mе
Рисунок 5. Мода и медиана. Слева. Нахождение моды: K –номер модального
интервала; γk-1 и γk – его левая и правая границы;
,
,
–
соответствующие частоты предмодального (k-1) , модального (k) и
постмодального (k+1) интервалов ,
– мода . Справа. Нахождение медианы:
K –номер интервала, содержащий медиану; γk-1 и γk – его левая и правая
границы; Мk – его накопленная частота, Мe – медиана. Показано, что Мk>n/2,
а Мk-1< n/2.
Таблица № 2. Метод произведений
yk+1
(yk+1)4
x1
m1
y1
m1y1
m1
m1
m1
y1+1
m1(y1+1)4
x2
m2
y2
m2y2
m2
m2
m2
y2+1
m2(y2+1)4
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
0
0
0
0
1
mi
a= xi max
12
…
…
…
Σ0
…
…
…
…
Σ1
Σ2
Σ3
Σ4
…
…
Σконтр.
1.4. Метод произведений для вычисления характеристик
вариационного ряда.
Характеристиками распределения вариационного ряда изучаемого
признака являются оценки неизвестных параметров генеральной совокупности,
из которой была сделана выборка. Точечными оценками МО, Мо, Ме являются
соответственно среднее значение
выборочные значения моды
и
медианы
е; оценками дисперсии
оценка
; оценками начальных и центральных моментов
соответственно
характеристики
являются смещенная
и
и
, где
и несмещенная
являются
Выборочные
являются точечными оценками соответственно
коэффициентов асимметрии
и эксцесса
в генеральной совокупности.
2
Для расчета оценок МО, дисперсии (σ ), асимметрии (AS) и эксцесса (EX)
понадобятся выборочные начальные и центральные моменты с первого по
четвертый порядок, то есть
Если объем выборки велик, их
вычисление без помощи ЭВМ становится слишком трудоемким. Поэтому можно
применить приближенный метод произведения. Уменьшение объема
вычислений достигается путем группировки данных и перехода к целым числам
с помощью изменения масштаба и переноса начала отсчета (метод «ложного
нуля»).
1.4.1. Работаем со статистической таблицей №1.
Статистическая таблица №1 используется для составления таблицы №2 (метод
произведения) и таблицы №3 (метод сумм), которые позволяют с помощью
замены переменной простейшим способом рассчитать выборочные начальные
моменты , где
1.4.2. Выберите в качестве «ложного нуля» a=xi середину интервала с
максимальной частотой mi ,где i=1
Если таких несколько, возьмите тот,
который ближе к середине интервального ряда.
13
1.4.3. Вычислите масштабированные значения
=(
интервальный ряд построен правильно, значения
и соседние
-a)/h , где k=1
. Если
должны получиться целыми,
должны отличатся на 1.
1.4.4. Вычислите столбцы
yk÷
слева направо, каждый раз числа, стоящие
в предыдущем столбце, умножая на
, где k=1
1.4.5. Сформируйте столбцы контрольных значений
+1 и (
+1)4
1.4.6. Найдите суммы по столбцам Σ0÷ Σ4 и Σконтр.
1.4.7. Проверьте правильность вычислений. Они произведены правильно, если
выполняется равенство Σконтр= Σ0+4 Σ1+6 Σ2+ 4Σ3+ Σ4.
1.4.8. Рассчитайте начальные моменты для масштабированной переменной y:
1.4.9. Рассчитайте центральные моменты для y по формулам.
;
=
1.4.10. Вычислите числовые характеристики исходной выборки по формулам.
1.5. Метод сумм
Метод сумм является контрольным для метода произведений при
вычислении начальных моментов
(l=1,2,3,4) для нахождения числовых
характеристик распределения частот вариационного ряда без применения
сложной вычислительной техники. Может применяться самостоятельно без
метода произведений.
14
1.5.1. Работаем с таблицей №2.
1.5.2. Перепишем три первых столбца в таблицу№ 3.
1.5.3. Столбцы (1); (2); (3); (4); (5) – столбцы накопленных частот
1.5.4. Строка, в которой
называется нулевой
.
―0‖ – й строкой,
относительно которой происходит накопление частот
сверху - вниз выше ―0‖ – й строки
снизу вверх ниже ―0‖ – й строки.
1.5.6. В столбце (1) накопление частот
из 3-го столбца таблицы №3
происходит вплоть до ―0‖ – й строки по правилу:
m1=m1
mk=mk-1+mk, k: 2, 3, … до ―0‖ – ой строки и
ms=ms
ms-1=ms+ms-1, s: 8, 7, … снизу вверх до ―0‖ – ой строки
(см. табл. № 3)
1.5.7. В каждом следующем столбце (2)÷(5) накопление происходит на строчку
меньше выше и ниже ―0‖ – й строки пока в строчках не останется частот.
1.5.8. В каждом из накопленных столбцов подсчитываем сумму частот под и над
нулевой строкой.
1.5.9. Рассчитываем
, где
1.5.9.1. Значения
моментов
, где
и
.
подставляем в формулы для нахождения начальных
.
15
1.5.9.2. Сравниваем полученные значения
с соответствующими значениями,
полученными методом произведений (совпадение абсолютное!).
Таблица № 3.
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
-3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
строка
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-2
-1
0
нулевая
1
2
3
4
…
…
…
…
…
…
…
…
0
1.6. Результаты выполненного задания представить в следующем виде:
1) Рисунки 1,2,3 (отметить характеристики распределения ,
на рис. 1, 3)
,
,
,
,
x
16
2) На основе полученных результатов выдвинуть гипотезу о законе
распределения изучаемого признака.
3) Таблицы с №1, 2, 3, 4.
Таблица № 4
№ зад
17
Задание №2
Оценки параметров распределения
2.1. Общие сведения
В данном задании мы научимся вычислять точечные и интервальные
оценки МО и дисперсии генеральной совокупности. Эти оценки имеют большое
значение в статистике. Первая дает представление о характерной величине
изучаемого признака, а вторая – о его разбросе.
Для того чтобы научиться вычислять значения оценок по точным
формулам и увидеть влияние объема выборки на точность оценивания, будем
проводить вычисления для выборки двух объемов: исходной
и
сокращенной
(малой выборки). В качестве второй возьмем первые 10
чисел
с номерами k=00
исходной выборки объемом =50 (Не путать с
10 числами, которые использовались в задании №1 для выбора точки отсчета
интервального ряда !).
Интервальные оценки вычислим двумя способами: 1) с помощью точных
распределений Стьюдента и
, а также 2) с помощью асимптотической
нормальной аппроксимации. Это нужно, чтобы иметь представление о точности
асимптотической нормальной аппроксимации при разных объемах выборки. Для
асимптотической интервальной оценки дисперсии необходима также оценка
четвертого центрального момента.
Обратите внимание на правила приближенных вычислений: оценка МО
должна иметь столько цифр после запятой, сколько имеют выборочные данные.
Оценки дисперсии и 4-го момента должны иметь столько значащих цифр,
сколько имеет размах выборки .
2.2 Точечные оценки параметров.
Таблица №5. Ошибки репрезентативности.
50
10
18
2.2.1. Построим таблицу №5. Заполняем первые три столбца верхней строчки
для
значениями, найденными в разделе 1.4 с помощью метода
произведений.
2.2.2. Точечную оценку
МО вносим в таблицу №5 без изменений.
2.2.3. В качестве оценки дисперсии
принимаем несмещенную оценку
;
2.2.4. Оценка четвертого центрального момента
2.2.5. Заполняем первые три столбца нижней строчки для
точных формул. Для удобства вычислений строим таблицу № 6.
с помощью
Таблица №6. Вычисление моментов для выборки объемом n = 10.
00
…
…
…
…
…
09
2.2.6. Во второй столбец заносим первые 10 чисел выборки с номерами k: 00÷09,
складываем их, делим на 10 и получаем
.
2.2.7. Вычитаем
столбец.
из каждого числа второго столбца и вносим в третий
2.2.8. Возводим каждое число третьего столбца в квадрат и вносим в четвертый
столбец. Складываем числа в четвертом столбце, делим на 9, получаем
(Примечание: при малых значениях
выделяем мантиссу и порядок)
2.2.9. Возводим каждое число четвертого столбца в квадрат и вносим в пятый
столбец. Складываем числа в пятом столбце, делим на 10, получаем
.
2.3. Асимптотические нормальные интервальные оценки.
19
2.3.0. Вычисляем ошибки репрезентативности:
- ошибка среднего значения;
– ошибка несмещенной оценки дисперсии по формулам из таблицы №5
соответственно для n=50 и n=10, используя данные второго и третьего столбцов.
2.3.1. Заполняем оставшиеся 2 столбца таблицы №5 следующим образом:
2.3.1.1. Ошибка среднего значения :
=
2.3.1.2. Ошибка несмещенной оценки дисперсии
:
2.3.2. Строим две таблицы №7 для выборок
и
. Заполняем каждую
из них для трех уровней значимости : 0,1, 0,05 и 0,01 следующим образом:
2.3.2.1.Используя таблицы II значений функции
приложений, найдем
значения статистик
для трех уровней значимости α: 0,1;0,05 и 0,01.
2.3.2.2. Вычисляем границы интервалов для МО:
,
2.3.2.3. Вычисляем границы интервалов для дисперсии
,
(значения
:
и
берем из таблицы
№5 для соответствующего объема n и исследуемого признака)
Таблица №7 (n=50) Интервальные оценки.
Пара-
Оценка
метр
0,1
0,05
0,01
Асимптоти
ческая
m
50
Точная
Асимптоти
20
ческая
Точная
Таблица №7 (n=10).
Асимптоти
ческая
m
Точная
10
Асимптоти
ческая
Точная
При заполнении таблицы № 7 обратите внимание, что первой записывается
левая граница интервала (меньшее число), второй – правая (большее число).
2.4. Точные интервальные оценки параметров нормального закона.
2.4.1. Продолжаем заполнять таблицу №7.
2.4.2. Точные интервальные оценки для МО:
2.4.2.1. Найдем число степеней свободы
2.4.2.2. Используя таблицы III приложений (Критерий Стьюдента ,
2Q),находим табличные значения статистики
для трех уровней
значимости α:0,1;0,05 и 0,01 .
21
2.4.2.3. Вычисляем границы интервалов для МО:
,
2.4.3. Точные интервальные оценки для дисперсии:
2.4.3.1. Находим табличные значения
и
для трех уровней
значимости α: 0,1;0,05;0,01; (Таблица XI приложений
для
графическая линейная интерполяция для неизвестных значений
2.4.3.2. Значения
и
+
).(Рис.6)
для объема выборки n=50 находятся по
формуле:
Рисунок 6. Графическая линейная интерполяция.
2.4.3.3. Вычислите границы интервалов для дисперсии:
22
2.4.4. Таблица №7 заполняется для объемов выборки
исследуемых признаков.
и
23
Задание №3
Проверка статистических гипотез
3.1. Общие сведения
В данном задании мы научимся проверять гипотезы о МО
(математическом ожидании) и дисперсии ГС (генеральной совокупности), из
которой была извлечена выборка. Во-первых, проверим гипотезы о равенстве
МО и дисперсии ГС заданным значениям (одно выборочные гипотезы).
Проверка этих гипотез может решить следующие практические задачи:
1. Извлечена ли данная выборка случайным образом из ГС с некоторым
эталонным значением МО ( ) или дисперсией ( )? Эта задача требует
проверки двусторонней гипотезы.
2. Превышает ли МО или дисперсия ГС, из которой извлечена данная
выборка, некоторое критическое значение? Здесь требуется проверить
одностороннюю гипотезу.
3. Укладывается ли МО или дисперсия ГС, из которой извлечена данная
выборка, в заданный интервал? Эта задача сводится к проверке двух
односторонних гипотез.
Во-вторых, будем проверять двух выборочные гипотезы о МО и
дисперсии. Для этого потребуется вторая выборка с тем же признаком, но
относящаяся к другому типу объектов (см. 1.1.3). Сравнение выборок позволяет
установить:
1. Отличаются ли ГС, из которых они были извлечены, по уровню величины
МО?
2. Отличаются ли эти ГС по разбросу величин?
Утверждение, которое требуется проверить, закладывается в нулевую
гипотезу и обозначается
. В противовес содержанию нулевой гипотезы
выдвигается альтернативная гипотеза и обозначается через
. Для проверки
каждой гипотезы в зависимости от ее содержания существует свое правило. Это
правило называется статистическим критерием значимости. Каждому критерию
значимости соответствует статистика, закон распределения которой известен из
теории вероятностей. Для принятия решения в пользу той или иной гипотезы
строится решающее правило, согласно которому если значение критерия
превышает критическое значение, то справедливо утверждение, что найдены
статистически значимые различия ( ). Если значение критерия меньше
критического, то статистически значимые различия отсутствуют (
).
Статистические критерии делятся на две большие группы:
параметрические и непараметрические. При использовании параметрических
критериев вид распределения ГС предполагается известным. Чаще всего
предполагается, что это нормальное распределение. И если это действительно
24
так, то параметрические критерии имеют наибольшую мощность. Но если в
действительности распределение ГС существенно отличается от нормального
распределения, то используя параметрические критерии, созданные для
нормального распределения, можно сделать совершенно необоснованные
выводы.
Поэтому перед применением параметрических критериев требуется
производить проверку гипотезы о законе распределения. Если гипотеза о
нормальности распределения отклоняется или данных для ее проверки
недостаточно
(объем
выборки
),
необходимо
пользоваться
непараметрическими критериями. За счет некоторой потери мощности эти
критерии позволяют не делать предположений о форме распределения ГС.
Часто свойства критериев значимости описывают в несколько иных
терминах: не вероятностью правильного результата, а вероятностью ошибки.
Каждую гипотезу будем проверять при трех уровнях значимости
и
. Максимально приемлемая вероятность ошибки I рода
называется уровнем значимости и обозначается α, то есть вероятность принятия
при справедливости
(α=Р(Н1/Н0)). Соответственно, если H0 отклоняется
при уровне значимости α, она отклоняется и при всех больших уровнях
значимости (то есть меньших α).
Ошибка первого рода
оказывается меньше минимального уровня
значимости, при котором отклоняется
, поэтому, когда хотят
охарактеризовать эту ошибку, пишут «
», например
.
На практике при проверке гипотез для заданных трех уровней значимости
α могут встретиться результаты принятия гипотез, которые описываются
следующим образом:
1.
принимается при всех
: нет оснований
предполагать справедливость .
2.
отклоняется при
и принимается при
и
:
можно предполагать с низкой степенью
достоверности.
3.
отклоняется при α=0,1 и 0,05 и принимается при α=0,01,
0,05:
принимается со средней степенью достоверности.
4.
отклоняется при всех
фиксированных α,
p 0,01: гипотеза H1
принимается с высокой степенью достоверности.
При формулировке вывода следует переписать соответствующий пункт
приведенного выше списка, заменяя
и
их словесными формулировками и
указав значение p. Например, если
МО двух ГС равны», а
МО
первой ГС больше, чем второй», возможны следующие выводы.
1. Нет оснований предполагать, что МО первой ГС больше, чем МО второй
.
2. Можно предполагать с низкой степенью достоверности, что МО первой ГС
больше, чем второй
, то есть при 10% уровне значимости.
25
3. МО первой ГС больше, чем МО второй со средней степенью достоверности
, то есть при 5% уровне значимости.
4. МО первой ГС больше, чем МО второй с высокой степенью достоверности
(p
, то есть при 1% уровне значимости.
Как правило, рассматриваются два вида альтернатив: двусторонние и
односторонние. В первом случае критическими являются как очень большие, так
и очень маленькие значения статистики, поэтому с обеих сторон ее
распределения отсекаются интервалы с вероятностью
. То есть H1
принимается, если
или
, где
значение статистики, а
квантиль ее распределения порядка p.
Если альтернатива односторонняя, то критическими являются только
очень большие (правая односторонняя альтернатива) или только очень
маленькие (левая) значения статистики. В случае правой альтернативы
критическим будет интервал
, а в случае левой
.
Таблица №8. Критерий Пирсона.
γk
…
…
…
…
…
…
…
1
=
3.2. Проверка гипотез о законе распределения
В этом разделе мы рассмотрим два критерия проверки сложной гипотезы о
нормальности.
H0: f(x)
=
- Распределение ГС является нормальным с
неизвестными заранее параметрами ГС математическим ожиданием m и
дисперсией .
H1: f
(m, )
(
) - Распределение ГС отлично от нормального.
3.2.1. Критерий согласия Пирсона (χ2)
Критерий χ2 это универсальный критерий для проверки гипотез о законе
распределения, которым можно пользоваться для распределения любого вида.
Кроме того, критерий Пирсона можно применять для проверки сложных
26
гипотез, когда параметры теоретического распределения оцениваются по
выборке.
Недостатком этого критерия является необходимость группировки
данных. В каждом интервале должно быть не меньше 5 значений. Это конечно
снижает мощность критерия, особенно при небольшом объеме выборки. Однако
если вычисления производятся вручную, это свойство имеет положительную
сторону: группировка данных снижает объем вычислений.
3.2.1.1. Заполняем табл.№8. Из статистической табл. 1 перепишите правые
границы интервалов и соответственно их частоты
.
3.2.1.2. Вычисляем нормированные границы интервалов
(используя
значения и
из табл. №4 первого задания).
3.2.1.3. По табл.II Значений функции F(x) стандартного нормального
распределения приложений найдем значения Фk соответствующие так что
=
). Учтите, что в таблице приведены значения
только для
.
Величины для
можно получить по формуле
.
3.2.1.4. Вычисляем теоретические вероятности :
,
для
к
3.2.1.5. Умножаем теоретические вероятности
на объем выборки .
3.2.1.6. Полученные значения
называются ожидаемыми частотами. Часто
оказывается, что в крайних интервалах вариационного ряда ожидаемых частот
очень мало, поэтому интервалы объединяются так, чтобы минимальная частота
(соответственно и
) была по возможности
, но при этом получилось
не меньше 4 интервалов. Количество интервалов после объединения
обозначается
3.2.1.7. Вносим в последний столбец слагаемые статистики , равные
3.2.1.8. Вычисляем статистику , сложив числа в последнем столбце таблицы
№8.
3.2.1.9. Сосчитаем число степеней свободы
, где - число
параметров, оцениваемых по выборке, равное в данном случае 2 ( и ); число новых интервалов после объединения.
3.2.1.10. В таблице XI квантилей распределения
приложений найдем
квантили
для
0,1, 0,05 и 0,01 для данного числа степеней свободы.
Гипотеза принимается, если
.
3.2.1.11. Сформулируйте вывод о законе распределения и представьте в виде
таблицы №9:
27
:
3.2.2. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова-Лильефорса
Классический - критерий Колмогорова-Смирнова рассчитан на проверку
простой гипотезы о виде распределения, когда все его параметры известны
априори. В этом случае распределение статистики не зависит от распределения
ГС. Когда параметры оцениваются по выборке, теоретическое распределение
фактически подгоняется к данным, поэтому невязка, естественно, будет меньше
при всех прочих равных условиях. Статистика
при этом не меняет вид
распределения, только уменьшается число степеней свободы. А вот
распределение – статистики становится другим. Более того, оно начинает
зависеть от вида распределения ГС. Критерий Колмогорова-Смирнова для
проверки сложной гипотезы о нормальности называется критерием Лильефорса.
Статистика вычисляется так же, как в классическом случае, но критические
значения будут другими. Статистика Лильефорса
считается по не
группированным данным следующим образом:
1. Расположите выборочные значения
в порядке возрастания.
2. Вычислите нормированные значения выборочных значений
(вычесть
среднее
и
поделить
на
оценку
, как выше описано в критерии
Пирсона).
3. Вычислите для каждого значения
функции стандартного
нормального распределения
( по табл.II (см. приложения),
умноженное на объем выборки
.
4. Запишите значения эмпирической функции распределения, умноженные на
n. Поскольку эта функция ступенчатая, каждому значению будут
соответствовать два значения
, справа и слева: k и k-1.
5. Найти максимальный модуль разности между теоретической и
эмпирической функциями распределения
. Поскольку для удобства
вычислений мы использовали значения функций, умноженные на , теперь
мы должны поделить на .
Таблица №10. Критерий Колмогорова-Смирнова-Лильефорса.
28
…
…
…
…
…
Но поскольку без помощи ЭВМ довольно сложно отсортировать 50 чисел, в
учебных целях будем считать критерий по группированным данным. Надо
подчеркнуть, что при группировке значение статистики уменьшается, и
мощность критерия заметно падает. Поэтому на практике следует проводить
вычисления по не группированным данным.
3.2.2.1. Заполните таблицу 10. Из статистической таблицы №1 перепишите
правые границы интервалов . Объединять интервалы не нужно, поскольку,
чем больше интервалов, тем больше мощность критерия.
3.2.2.2. Вычислите нормированные границы интервалов .
3.2.2.3. По таблице ΙΙ приложений функции стандартного нормального
распределения
найдите значения
, умножьте их на
.
3.2.2.4. Запишите накопленные частоты
для каждого интервала из таблицы 1.
3.2.2.5. Вычислите модули разностей между
и Mk (т. е. см. табл.10
) и, найдите максимальный из них
.
3.2.2.6. В Таблице YIII Критерий Колмогорова приложений найдите
критические значения статистики Лильефорса
для
и
0,1, 0,05 и
0,01, где ν=s-r-1. Гипотеза
принимается, если
.
3.2.2.7. Сформулируйте вывод о законе распределения и представьте в виде
таблицы:
Таблица № 11
L
:
3.3. Непараметрические критерии для проверки гипотез о
совпадении двух распределений.
29
Проверяется гипотеза о совпадении двух распределений:
При проверке данной гипотезы применяется непараметрические методы,
которые используют знаки, ранги, инверсии и не требуют знаний о законах
распределения в генеральной совокупности исследуемых признаков и .
Непараметрические критерии работают на малых выборках (
), на
связанных (зависимых) и несвязанных (независимых) совокупностях.
Зависимые совокупности
и
признаков
и
связываются, как
правило, через объект, причем объемы совокупностей должны быть равными, то
есть
= . Например, исследуется число сердечных сокращений (ЧСС) до
нагрузки
и после нагрузки – на одних и тех же объектах. Для
независимых совокупностей признак
и
(ЧСС) исследуется на разных
объектах (например,
контрольная совокупность,
экспериментальная),
при этом объемы выборок
и
не обязательно одинаковые, то есть
может
быть больше
или
. Итак, для связанных (зависимых) совокупностей
используется критерий знаков и парный критерий Уилкоксона.
При проверке гипотезы о совпадении двух распределений требуются данные
партнера, исследующего тот же признак только другого типа.
Таблица № 12.
…
…
…
3.3.1. Критерий знаков.
3.3.1.1. Формируем две связанные совокупности X: и
с номерами k
=
из исходных выборок одного и того же признака разных типов
(например, площадь лимфоцитов и нейтрофилов, или ЧСС до эксперимента и
ЧСС после эксперимента) одинакового объема
3.3.1.2. Вычитаем
,
(см. табл.12)
3.3.1.3. Статистика, соответствующая критерию знаков, равна
,
где
сумма
при положительных разностях;
сумма
при
отрицательных разностях.
3.3.1.4. Проверочная формула
3.3.1.5.По табл. XIII приложений находим критическое значение критерия
знаков.
3.3.1.6. Условие принятия гипотез:
отклоняется
(принимается )
3.3.1.7. Полученный результат принятия гипотез представляем в виде таблицы:
30
Таблица № 13.
:
3.3.2. Парный критерий Уилкоксона (Вилкоксона).
3.3.2.1.В таблице 12 отбрасываем знаки у разностей и расставляем порядковые
номера (ранги) по возрастанию модуля разностей от меньшего модуля к
большему.
3.3.2.2. Статистика парного критерия Уилкоксона
, где
сумма рангов при положитеьных разностях и
отрицательных разностях.
3.3.2.3. Проверочная формула
сумма рангов при
3.3.2.4. По табл.XIY приложений находим критическое значение
парного Tкритерия Уилкоксона.
3.3.2.5. Условие принятия гипотез: T
, то есть отклоняется
гипотеза , принимается .
3.3.2.6. Полученные результаты принятия гипотез представляем в виде таблицы:
Таблица № 14.
:
Для несвязанных (независимых) совокупностей мы проверяем гипотезы о
совпадении двух распределений, используя критерий Уилкоксона и критерий
инверсий.
3.3.3. Критерий Уилкоксона.
3.3.3.1. Составляем общий вариационный ряд признака своего задания и
такого же признака У из задания партнера, относящегося к другому типу
объектов по возрастанию признака, оставляя значения признака в своей строке.
Таблица № 15.
…
…
1
2
3
4
5
6
7
…
19
20
31
3.3.3.2. Присваиваем ранги по возрастанию признака (табл.№15).
3.3.3.3. По критерию Уилкоксона подсчитываем статистику
, где
сумма рангов при значениях ,
сумма рангов при значениях .
3.3.3.4. По таблицам приложений №XX находим теоретические значения
для независимых (несовместных) совокупностей критерия Уилкоксона.
3.3.3.5.Гипотеза
принимается, если
3.3.3.6. Проверочная формула:
+
=
.
3.3.3.7. Результаты принятия гипотез собираем в таблицу:
Таблица № 16.
:
3.3.4. Критерий инверсий
3.3.4.1.Выбираем статистику
, где
число инверсий по
(изменение порядка по отношению ), и
число инверсий по (изменение
порядка следования по отношению ).
3.3.4.2. Для этого выписывается общий ряд следования
x
x
y
y
y
y
x
x
x
…
x
x
y
3.3.4.3.Подсчитываем количество x-в перед каждым у-ом от начала ряда слева
направо. Полученные значения суммируем и обозначаем
. И, наоборот,
подсчитываем количество у-в перед каждым x-ом от начала ряда слева направо.
Полученные значения суммируем и обозначают
3.3.4.4. Проверочная формула: + =
3.3.4.5. По табл.XII приложений U –критерия Манна-Уитни находят
критическое значение
.
3.3.4.6. Гипотеза
принимается, если
Иначе, если U
)
3.3.4.7. Результаты принятия собираем в таблицу:
Таблица № 17.
32
3.4 Проверка гипотез о параметрах распределения
3.4.1. Критерий Стьюдента для одной выборки.
Критерий Стьюдента применяется для проверки гипотез о математическом
ожидании (МО).
Этот критерий позволяет сравнивать МО
с некоторым фиксированным
значением
. К критерию Стьюдента для одной выборки сводится так же
критерий для двух выборок, если ГС связанные. Альтернатива может быть как
двусторонней (2Q) , так и односторонней (Q).
3.4.1.1. Поверяем гипотезу
о совпадении со значением
против правой
односторонней альтернативы
. Впредь, гипотезы будем записывать в
следующем виде:
(Q)
указано в задании, расчеты выполняются и для
3.4.1.2. Вычислите статистику
, и для
, где значения n,
.
и
берутся из
табл.№5, ν=n-1 – число степеней свободы.
3.4.1.3. Найдите в таблице III приложений критерий Стьюдента для Q
критические значения
для
и трех
0,1, 0,05 и 0,01.
3.4.1.4. Сравните и
: гипотеза
принимается, если
3.4.1.5. Результаты оформите в виде 2-х таблиц №18: для n=50 и n=10
3.4.1.6. Запишите выводы.
3.4.1.7. Сравните выводы для
и
.
Таблица № 18 (n=50)
:
Таблица №18 (n=10)
33
3.4.1.8. Теперь проверим эту же гипотезу
альтернативы:
против двусторонней
:m=
:m
(2Q)
3.4.1.9 . Найдите в таблице III приложений критерий Стьюдента для 2Q
критические значения
для ν = n-1 и трех α = 0,1;0,05 и 0.01.
3.4.1.10. Сравните
и
: гипотеза
принимается, если
3.4.1.11. Результаты оформите в виде 2-х таблиц №19 для n=50 и n=10
Таблица №19 (n=50).
Таблица №19 (n=10).
3.4.1.12. Запишите выводы.
3.4.1.13. Сравните выводы для n = 50 и n = 10.
34
3.4.2. Критерий
Этот критерий позволяет проверить аналогичную гипотезу для дисперсии
, сравнивать ее с некоторым фиксированным значением . Правая
односторонняя альтернатива используется при контроле качества: если
дисперсия показаний прибора достоверно превышает паспортное значение,
возможна его неисправность.
3.4.2.1. Проверяем гипотезу
о совпадении с фиксированным значением
дисперсии
против двусторонней альтернативы :
(2Q)
указано в задании. Расчеты выполняются и для
3.4.2.2. Вычисляем статистику
, где
, и для
;nи
табл.№5.
3.4.2.3. Найдите в таблице XI приложений распределения
значения
и
.
берутся из
критические
для
и трех
0,1, 0,05 и 0,01.
3.4.2.4. Сравните
с критическими значениями: гипотеза
принимается, если
или
Либо принимается гипотеза
, если
3.4.2.5. Результаты оформите в виде 2-х таблиц №20 для n=50 и n=10.
3.4.2.6. Запишите выводы.
3.4.2.7. Сравните выводы для
и
.
Таблица № 20 (n=50).
Таблица №20 (n=10)
35
3.4.3. Критерий Фишера
Этот критерий позволяет сравнивать дисперсии двух генеральных
совокупностей
между собой для одноименной переменной, используя
полученные несмещенные оценки
для разных типов
объектов.
берется из табл.№5 своего задания, а
– из табл.№5 партнера для
одноименной переменной, но другого типа объектов.
3.4.3.1. Проверяем гипотезу
о совпадении двух дисперсий против
двусторонней альтернативы
(2Q)
Расчеты выполняются и для
3.4.3.2. Вычислите статистику
, и для
.
, если
, иначе
, если
То есть в числитель дроби ставите большую дисперсию из двух
дисперсий
и
, где
.
3.4.3.3. Найдите в таблицах IY, Y и YII критерия Фишера F критические
значения
для
и трех
,
3.4.3.4. Сравните
и
если
.
: гипотеза
0,1, 0,05 и 0,01.
принимается,
3.4.3.5. Результаты оформите в виде 2-х таблиц № 21 для n=50 и n=10 .
3.4.3.6. Запишите выводы.
3.4.3.7. Сравните выводы для
и
.
Таблица № 21(n=50).
Таблица № 21 (n=10)
3.4.4. Критерий Стьюдента для двух выборок.
36
Этот критерий позволяет сравнивать математические ожидания между собой и
доказывает достоверность различий двух ГС по уровню данного признака.
Критерий Стьюдента для двух выборок можно применять только при отсутствии
достоверных различий по дисперсии.
3.4.4.1. Используем критерий Стьюдента для проверки гипотезы
о
совпадении математических ожиданий
для одного и того же признака,
относящихся к разным типам объектов против двусторонней альтернативы
о
неравенстве МО. Значения
берутся из таблицы №5 своего задания, а
значения
того же признака, но относящегося к другому типу объектов, из
таблицы №5 партнера.
(2Q)
Расчеты выполняются и для
3.4.4.2. Вычислите статистику
, и для
.
.
3.4.4.3. Найдите в таблице III приложений критерия Стьюдента критические
значения
для 2Q и
для
и трех
0,1; 0,05 и 0,01.
3.4.4.4. Сравните и
: гипотеза
принимается, если
3.4.4.5. Результаты оформите в виде 2-х таблиц № 22 для n=50 и n=10.
3.4.4.6. Запишите выводы.
3.4.4.7. Сравните выводы для
и
.
.
Таблица № 22 (n=50).
Таблица № 22 (n=10)
37
Задание №4
Элементы корреляционного анализа
4.1. Общие сведения
В данном задании мы будем анализировать зависимость между двумя
признаками (переменными) X и Y. Во-первых, исследуем линейную зависимость
между признаками Χ и Υ в генеральной совокупности. Для этого вычислим
точечные
и интервальные оценки (
неизвестного параметрического
коэффициента корреляции Пирсона
в генеральной совокупности. Проверим
гипотезы о значимости вычисленных КК и о равенстве
КК
Пирсона
заданному значению . Во-вторых, исследуем нелинейную зависимость между
признаками Χ и Υ в генеральной совокупности с помощью непараметрических
коэффициентов корреляции ρ Спирмена и τ Кенделла.
Если КК оказывается, достоверно отличен от 0, это говорит о наличии
линейной
зависимости
между
переменными.
Условия
применения
параметрического и непараметрических КК аналогичны условиям применения
параметрических и непараметрических критериев при проверке статистических
гипотез
о
законах
распределения
и
параметрах
распределения:
непараметрические КК применяются при отличии распределения от
нормального, при
или если данные не являются числовыми.
4.2. Построение корреляционной решетки
Корреляционная решетка – это двумерная статистическая таблица, с
помощью которой можно оценить вид совместного распределения, наличие и
вид зависимости между переменными.
Для выполнения задания используем исходную двумерную выборку, где
первый столбец принимаем за X, второй за Y. Таким образом, получаем n пар (в
данной работе
) значений (хk,уk), где
и рассматриваем, как
точку с двумя координатами.
4.2.1. Работаем с исходной выборкой nx=ny=50 .
4.2.2. Для выборок X и Y границы интервалов берем из первого задания.
38
4.2.3. Строим корреляционную решетку, как на рис. 6, располагая границы
интервалов
для X по оси абсцисс, а
– по оси ординат для Y. Обратите
внимание, что
возрастает слева направо, а
– снизу вверх!
4.2.4. Просмотрите последовательно пары выборочных значений. Определяйте, в
какую клетку попадает пара, используя кодировку пятерками, как в задании 1.
4.2.5. Оцените наличие зависимости между переменными и ее характер (прямая
или обратная).
…
…
Рисунок №6. Корреляционная решетка.
4.3. Метод произведений для вычисления коэффициента корреляции
4.3.1. Заполняем табл. №23. Занесите в первую строчку слева направо середины
интервалов xk, а в первый столбец снизу верх - yk (из статистической таблицы
первого задания).
4.3.2. В середину каждой клетки запишите частоту совместного появления
mxy=muv, перенося значения из корреляционной решетки.
39
4.3.3. Выберите любую клетку поближе к середине таблицы с большой частотой
muv. В качестве ax, ложного нуля по x, возьмите xk, стоящее в столбце, в
котором находится выбранная клетка, а в качестве
в соответствующей
строке.
4.3.4. Заполните строку mu.=
. То есть mu. равно сумме всех
в данном
столбце. Найденные mu. должны в точности совпадать с частотами mk в табл. 1.
Аналогично заполните столбец m.v=
, складывая все
в данной строке.
4.3.5. Запишите значения
, аналогично -
4.3.6. Сформируйте строчки значений
и
. Аналогично столбцы
и
.
4.3.7. Найдите значения muvuv:
4.3.7.1. В нижнем левом углу ячейки запишите значение произведения uv.
4.3.7.2. В верхнем правом углу запишите произведение muv на uv.
4.3.7.3. Заполните столбец muvuv, суммируя значения, полученные в каждой
строке.
Таблица № 23.
x1
x2
… xk=ax
…
m.v
v
mvv
mvv2
muvuv
…
yk=ay
muvuv
muv
uv
…
y2
40
y1
mu .
n
Σv
Σuv
u
Σu
u2
4.3.8. Найдите суммы Σv,
, Σuv, Σu и
.
4.3.9. Вычислите оценку КК
4.3.10. Найдите значения ,
по формулам:
, ,
и ; и
должны точно совпадать с соответствующими значениями,
найденными в задании 1.
4.4. Вычисление доверительного интервала для
.
Для вычисления доверительных интервалов и проверки гипотезы о
значении КК используют преобразование Фишера
Таблица №24. Интервальные оценки коэффициента корреляции.
n
50
10
α
0,1
( ,
( ,
,)
,)
0,05
( , ,)
( , ,)
0,01
( , ,)
( , ,)
Обратное преобразование Фишера
41
z
Если выборка была сделана из двумерного нормального распределения, то
имеет распределение, близкое к нормальному распределению с
математическим ожиданием
и дисперсией
.
Поэтому, используя данное преобразование, можно вычислять интервальные
оценки для r с помощью квантилей нормального распределения.
4.4.1. Найдите преобразование Фишера от вычисленной оценки КК:
(таблица X приложения).
4.4.2. Вычислите ошибку z:
4.4.3. Для трех уровней значимости α найдите границы интервалов для z:
4.4.4. C помощью обратного преобразования Фишера перейдите к интервалам
для r:
,
.
(таблица IX приложения)
4.4.5. Занесите найденные значения в табл. № 24
4.5. Проверка гипотезы о значении коэффициента корреляции
Проверка этой гипотезы позволяет сравнить КК с заданным значением,
например, измеренным на очень большой выборке. Если же требуется сравнить
два КК 1 и 2, измеренные на выборках сравнимого объема, нужно действовать
аналогично, только статистика будет равна
где
.
42
Проверяем
гипотезу
против
двусторонней
альтернативы
(2Q)
указано в задании.
4.5.1. Вычислите статистику
, где
.
4.5.2. Найдите в таблице критические значения
4.5.3. Сравните t и
для трех α.
: H1 принимается, если
. Запишите вывод.
Таблица № 25 (n=50).
4.6. Проверка гипотезы о равенстве коэффициента корреляции нулю
Сравнивая КК с нулем мы можем доказать наличие зависимости между
двумя характеристиками объекта: если КК достоверно отличен от 0, то
зависимость есть. Однако обратное несправедливо: КК может быть равен нулю
при наличии зависимости, если она не является монотонной (линейной).
Проверяем
гипотезу
против
двусторонней
альтернативы
:r=0
(2Q)
4.6.1. Вычислите статистику
.
4.6.2. Найдите в таблице критические значения
4.6.3. Сравните
и
:
принимается если
для
и трех α.
. Запишите
вывод.
43
Таблица № 26 (n=50).
:
4.7. Прямой способ вычисления коэффициента корреляции
4.7.1. Работаем с первыми 10 парами выборочных значений исходной таблицы
, где k: (
)
4.7.2. Вычислите
4.7.3. Возьмите ,
и
,
для nx=ny=10 из второго задания (таблица №5).
4.7.4. Вычислите
4.7.5. Постройте интервальные оценки, используя
ошибку
для
преобразование Фишера и
для трех уровней значимости α: 0,1; 0,05; 0,01.
Полученные результаты впишите в таблицу № 24.
4.7.6. Проверьте для
гипотезы о значении КК и о равенстве его нулю.
4.7.7. Запишите выводы, сравните с результатами для
.
Таблица № 27 (n=10)
44
Таблица № 28 (n=10)
4.8. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ρ вычисляется так же, как
КК Пирсона r, но вместо самих выборочных значений берутся их ранги –
порядковые номера вариант, расположенных в виде возрастающего
вариационного ряда. Это позволяет сделать КК при отсутствии статистической
связи между случайными величинами (гипотеза H0) независимым от их
распределения. Кроме того, КК Спирмена близок по модулю к 1 не только в
случае линейной, но и в случае любой монотонной нелинейной зависимости.
Таблица № 29. Пример вычисления ранговых коэффициентов корреляции.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
523
466
438
436
409
408
379
351
294
264
y
519
877
806
802
235
231
661
590
448
373
6
1
2
3
9
10
4
5
7
8
Σ
25
1
1
1
16
16
9
9
4
4
86
5
8
7
6
1
0
3
2
1
0
33
5
0
0
0
4
4
0
0
0
0
13
4.8.1. Составьте и заполните таблицу, аналогичную табл.29.
4.8.2.
Выберите
первые
10
i=00
порядке убывания
пар
выборочных
значений
из исходной выборки. Расположите их в
Обратите внимание, что сортируется только x, а y
45
следует за своей парой, так как у них одинаковые индексы. Ни в коем
случае нельзя разрывать пары
!
4.8.3.
Каждому
присвойте ранг
, а каждому
большему значению варианты
– ранг
по правилу:
присваивается меньший ранг (у
минимального значения
будет ранг - n, у максимального
). Если
среди чисел есть одинаковые, им присваиваются одинаковые ранги,
равные среднему арифметическому суммы их рангов.
4.8.4. Если все ранги различны, можно вычислить
по упрощенной формуле.
Для этого запишите квадраты разностей рангов
и
воспользуйтесь формулой
4.8.5. Если в обоих сопоставляемых ранговых рядах
и
группы одинаковых рангов, то перед подсчетом коэффициента ранговой
корреляции необходимо внести поправки на одинаковые ранги и
;
, где u – объем каждой группы
=
одинаковых рангов в ранговом ряду
одинаковых рангов в ранговом ряду
,
.
v
- объем каждой группы
Тогда для подсчета рангового
коэффициента корреляции Спирмена используем формулу:
=1 6
.
Для вычисления рангового коэффициента корреляции можно использовать
также общую формулу, аналогичную формуле линейного коэффициента
корреляции
4.8.1.6. Проверьте гипотезу о равенстве
нулю:
46
:
:
Найдите в таблице критические значения для n =10 и трех уровней значимости
: 0,1;0,05;0,01. Таблицы ХХ приложений. Гипотеза
принимается, если
превышает критическое значение. Запишите вывод. Сравните с аналогичным
выводом для КК Пирсона.
a)
б)
в)
г)
Рисунок. 7. Интерпретация коэффициента корреляции Кенделла. а)
конкордантная пара точек; б) дискордантная пара точек; в), г) такие пары не
считаются ни конкордантными, ни дискордантными.
4.9. Коэффициент ранговой корреляции Кенделла
Коэффициент ранговой корреляции Кенделла τ обладает теми же
преимуществами, что и КК Спирмена, но также имеет простую интерпретацию.
Каждую пару выборочных значений можно изобразить точкой на плоскости. В
свою очередь, точки тоже можно брать парами. Всего можно составить
пар точек.
47
Если все числа разные, то пары точек могут быть двух типов. Если при
переходе от первой точки ко второй обе переменные меняются в одну сторону,
такую пару называют конкордантной, если в разные дискордантной (рис.7).
Так вот τ равен разности между количеством конкордантных пар P и
дискордантных
Q,
деленной
на
их
общее
Соответственно, если все пары конкордантные, τ
, если тех и других поровну,
количество:
, если дискордантные,
.
Если же среди чисел есть одинаковые, то появляются пары такие как на
рис. 7 в) и г). Они не учитываются при подсчете τ. А это значит, что общее
количество пар уменьшается и знаменатель формулы для τ должен быть уже
другим
4.9.1. Заполните оставшиеся 2 столбца табл. 10.
4.9.2.
Столбец
сформируйте по правилу: последовательно просматривая
строки табл. 10 сверху вниз, подсчитайте число строк, лежащих ниже
первой, в которых
строго больше
,а
строго больше
. Затем
число строк, лежащих ниже второй, в которых
строго больше
4.9.3.
Столбец
строго больше
,а
и т. д. вплоть до последней строки.
сформируйте по аналогичному правилу, только теперь
считайте строки, в которых
строго больше
,а
строго меньше
.
4.9.4. Вычислите суммы значений P и Q по обоим столбцам.
4.9.5 Если все ранги разные, вычислите τ по формуле
. Если все
сосчитано правильно, то P+Q должно быть равно n(n-1)/2.
4.8.6. Если же среди рангов есть повторяющиеся,
где
это количество одинаковых чисел для i-го повторяющегося
значения x, а
то же самое для y.
48
Допустим, например, что в выборке X ранг 3,5 повторяется 2 раза и 2 раза
повторяется ранг 7,5, а в выборке Y - 3 раза повторяется ранг 6. Это значит, что
. Тогда знаменатель формулы для
будет равен
4.9.7. Проверьте гипотезу о равенстве τ нулю. Найдите в таблице критические
значения для
и трех α. Гипотеза
принимается, если τ
превышает критическое значение. Запишите вывод, сравните с
аналогичным выводом для КК Пирсона и непараметрического КК ρ
Спирмена.
4.10. Построение линий регрессий
Итак, мы вычислили для двумерной случайной выборки
коэффициенты корреляции
и
для
малого
, где
для большого объема выборки
объема
.
Полученные
коэффициенты корреляции являются точечными оценками неизвестного
параметра генерального совокупности
. Для него построили интервальные
оценки
и
проверили
гипотезы
о
значении
коэффициента корреляции, которые указывают на наличие и силу линейной
зависимости между переменными и .
Известно, что линейный характер зависимости между
уравнением прямой
абсцисс,
, где
и
определяется
угловой коэффициент прямой к оси
отрезок, отсекаемый на оси ординат. Так как переменные
можно менять местами, то есть
, где
аргумент, а
, где
аргумент, а
и
функция, или
функция, то существуют две прямые линии,
которые определяют линейный характер зависимости между переменными и
и называются линиями регрессии. Таким образом, для каждого коэффициента
корреляции
, можно построить две линии регрессии.
Уравнение линии регрессии находится по методу наименьших квадратов и
имеет вид:
для
и
для
, где
;
–коэффициенты регрессии Y по X
и
X по Y
соответственно.
Из этих уравнений видно, что линии регрессии проходят через одну и ту
же точку
, если уравнение представить в виде:
49
(уравнение прямой, проходящей через заданную точку
с заданным
угловым коэффициентом).
Приведем уравнения к виду:
где
;
и
регрессии в виде
, то есть получим две линии
и
.
Поведение линий регрессии легко увидеть, если на корреляционной
решетке найти усредненную точку с координатами
на оси ординат
отложить отрезок
, а на оси абсцисс
.
Через точки полученные таким образом, проведем две линии регрессии:
первую через точку
на оси ординат и усредненную точку
, вторую через точку
и
на оси абсцисс и точку
На корреляционной решетке
одна и та же точка.
Усредненная точка
является центром эллипса рассеивания, около
которой группируются остальные точки с координатами
При стремлении
), k: 00÷49.
к единице эллипс рассеивания вытягивается вдоль
диагонали корреляционной решетки, в зависимости от знака коэффициента
корреляции, а угол между линиями регрессии стремится к нулю. При
стремлении
к нулю, эллипс рассеивания стремится к окружности, внутри
которой находится основная масса случайных точек
),
угол между линиями регрессии стремится к
, а сами линии регрессии
стремятся занять положение параллельное осям координат.
Расположение линий регрессий полностью отражает распределение частот
внутри корреляционной решетки, в которой проходят линии
регрессии.
Примечание: Каждый студент получает индивидуальное задание в виде
двумерной выборки объема n=50, представленное выборочными значениями,
как показано в Приложении.
50
51
Приложение.
Пример двумерной выборки для разных типов объектов
LYMPH, 7
m0 = 83.2; 18.1
= 908.1; 0.9007
rо = 0.353
FFACT
18.720
17.884
17.718
17.634
18.045
17.318
17.383
18.297
18.665
17.366
18.568
18.092
17.989
17.453
17.453
17.157
18.399
17.120
18.808
17.664
17.327
18.119
19.030
18.855
17.800
17.750
17.625
18.682
17.043
18.521
19.411
18.154
16.971
19.191
17.911
17.738
19.156
17.163
17.638
17.957
16.978
17.716
17.184
18.129
17.593
17.641
18.430
18.525
AREA
155.18
135.94
149.80
100.98
129.39
130.47
117.29
137.11
139.45
159.77
112.89
114.55
111.13
126.37
154.30
102.93
107.52
144.14
110.94
153.42
112.50
93.36
131.45
119.73
120.70
149.61
142.29
111.23
104.88
129.59
113.57
139.55
166.02
109.08
116.21
114.55
110.64
153.91
144.73
130.86
129.10
59.18
157.42
115.92
103.12
137.99
120.80
124.80
SEGM, 7
m0 = 130; 18.5
= 882.5; 1.221
rо = 0.295
FFACT
18.851
17.687
17.970
17.750
17.683
18.346
17.934
18.747
19.312
18.988
18.104
18.312
17.910
18.025
18.705
18.129
17.094
18.751
18.384
17.731
18.159
18.364
18.642
18.908
17.062
18.529
18.563
17.455
18.382
18.457
18.008
18.074
18.344
18.206
18.080
17.872
17.980
18.451
18.683
18.840
18.087
18.025
18.851
18.322
18.121
17.852
17.895
18.225
FFACT
18.851
17.687
17.970
17.750
17.683
18.346
17.934
18.747
19.312
18.988
18.104
18.312
17.910
18.025
18.705
18.129
17.094
18.751
18.384
17.731
18.159
18.364
18.642
18.908
17.062
18.529
18.563
17.455
18.382
18.457
18.008
18.074
18.344
18.206
18.080
17.872
17.980
18.451
18.683
18.840
18.087
18.025
18.851
18.322
18.121
17.852
17.895
18.225
52
18.228
18.259
118.85
103.42
18.156
17.237
18.156
17.237
Таблица I. Таблица случайных чисел
(1)
1534
6128
6047
0806
9915
2882
9213
8410
9974
3402
8188
3825
9801
5603
0714
4617
6789
6705
3840
7662
7639
3237
3917
9138
8358
1030
6606
4533
4258
5224
6872
8638
9958
0265
8987
5552
9383
9903
6530
8679
5765
7198
2385
0732
1642
4514
8744
3729
(2)
7106
8993
8566
5201
8274
7158
1223
9836
2362
8162
6596
7020
8788
1251
3757
5652
6279
4978
1086
3939
2868
7203
6271
9395
5896
5094
6305
8841
2012
5128
7492
8407
7172
3086
5441
3529
6640
4059
5070
8953
4987
2447
0605
8732
6094
1956
5580
6225
(3)
2836
4102
8644
5705
4525
4341
4388
3899
2103
8226
1492
1124
6338
6352
0378
7627
7306
8621
0774
2965
4391
4246
1721
6005
6286
1745
1564
4922
0992
8949
7962
7198
5822
2996
7878
9627
7394
0332
7589
8310
1639
6716
2678
8660
3795
7212
8038
5397
(4)
7873
2551
9343
7355
5695
3463
9760
3683
4326
0782
2139
7483
5899
6467
8266
0372
1856
1790
9241
3273
2950
7329
5469
6423
9242
2975
6668
9365
0106
7928
1867
0956
4224
0699
9404
9362
9592
9109
6928
2060
3512
0291
1399
5836
2600
0687
9087
6790
(5)
5574
0330
9297
1448
5752
1178
6691
1253
3825
3364
8823
9155
3309
0231
8864
8151
7028
4433
9297
0551
7122
7936
1914
7977
5040
2018
7822
1361
1542
7267
7437
0950
6701
3584
0487
6298
9903
0182
6014
6277
9843
5585
2371
9065
4532
7632
7222
2157
(6)
7545
2358
6751
9562
9630
5786
6861
1683
9079
7871
6878
4919
0807
3556
1374
3668
9043
6298
4239
1645
7325
0065
8653
1873
8509
7340
7142
6692
4760
0116
1526
7753
7559
9702
2939
6021
7699
6721
1832
1773
5286
1106
7968
4603
9740
2106
0424
3414
(7)
7590
6427
3500
7514
7172
1173
8214
6988
6187
4500
0613
3209
0968
2569
6687
1994
7161
0854
1739
8477
9727
4146
0387
7103
2941
6547
6564
1633
0392
1476
3516
5144
4985
1665
3805
0024
8939
9163
9307
7979
3786
5330
1212
0029
0376
0846
0028
6509
(8)
5574
7067
8754
9205
6988
0670
8813
9978
2721
5598
7161
5959
0539
9446
1221
4402
7526
9127
7734
1877
0080
0866
2756
4267
3913
0207
1659
6764
4057
2009
9129
3914
4856
0446
9172
9520
9972
9008
5107
6741
2384
0504
9569
8042
4384
7055
4511
5204
(9)
1202
9325
2913
0402
0227
0820
0611
8026
1489
9421
0241
2364
4205
4174
0678
2124
6913
3445
0119
5327
7464
4916
6073
9316
3028
5587
5369
0747
0092
1772
4153
5596
4461
9107
7887
9154
1257
2542
1354
6033
4919
6346
8650
0159
9203
4106
3191
4779
(10)
7712
2454
1258
2427
4264
5067
3131
6751
4216
3816
3834
2555
8257
9219
3714
0016
6396
1111
2436
8629
7947
8648
8984
7206
1563
0300
1659
3881
5203
3860
8084
6104
6147
6437
5197
0643
0994
4461
9257
3588
5611
3679
5841
0345
5387
9157
9846
5641
53
8858
3522
3147
5601
8410
6197
2783
6051
1290
3470
9796
8283
8873
5702
7585
0103
7185
8726
4726
5282
(14)
0835
5665
2487
9074
3196
2623
5119
8447
0368
8638
1013
5245
9083
0275
6565
5694
5402
3425
7497
5348
4707
3301
8851
9080
1704
4439
4998
1090
0424
0703
9629
4903
4220
5276
5761
3365
5773
0670
5735
8649
7085
8718
1217
2251
9484
0579
3197
4993
3623
6738
(15)
1988
7020
9477
7001
7231
7803
6350
0503
7890
6137
2867
5700
2254
0144
6981
0377
7937
7267
5969
1641
1880
4279
6432
5925
0345
7276
4298
8989
8924
1678
4819
5916
2533
2233
2575
1117
5412
3013
1469
8327
1129
7418
4732
0607
2577
8171
4919
0345
1973
7323
(16)
3912
9255
0864
6249
2918
8374
0120
5654
2473
8070
9938
5564
2435
8034
9842
5336
1993
7285
8682
3652
9660
4168
4635
8519
3275
6353
5204
7273
0005
0841
7219
6576
6345
3956
6837
2417
8114
1351
9545
0110
0460
8004
0150
4301
7859
8224
2792
8958
4112
5643
(17)
0938
7379
2349
3224
7380
2191
5026
3254
4240
5345
3930
7352
2965
8122
0171
6460
4332
1130
4191
0852
8446
4305
5757
0127
4738
6912
3965
3213
1969
7543
7241
8368
8227
4118
3336
3176
0930
3886
9331
4549
6821
3425
1637
8730
1976
8641
5991
1289
1795
4767
(18)
7460
7124
1012
6368
0438
0464
3684
7336
8652
4865
3203
0891
5154
3213
2284
9585
2327
7722
2976
5296
1883
9937
6656
9233
4862
0731
4028
1935
1636
0308
5128
3270
1904
8199
9322
2434
4697
3268
5303
7955
8373
3706
1097
7690
0623
7034
4058
8825
8465
0106
(19)
0869
7878
8250
9102
7547
0696
5657
9536
9435
2456
5696
6249
1209
7666
2707
3415
6875
0164
0361
4538
9768
3120
1660
2452
2556
9033
8936
9321
7237
9732
3853
6641
5138
6380
7403
5240
6919
9469
9914
5275
2572
8822
1040
6235
1418
3595
9769
6941
2110
2372
(20)
4420
5544
2633
2672
2644
9529
0304
1944
1422
5708
1769
6568
7069
0230
3008
2358
5230
8573
9334
4456
0881
5547
5389
7341
8333
5294
5148
4820
1227
1289
1921
0033
2537
6340
8345
5455
4569
2584
6394
2890
8962
1494
7372
3477
6685
3875
1918
7685
8045
9862
Продолжение таблицы I
(11)
5489
3522
7555
5759
6303
7351
7068
3613
5143
9815
5780
1187
4184
2916
5524
0146
4920
7978
7453
1473
8162
5642
2042
5470
4045
5880
9083
1762
2023
7965
7690
9292
0867
0505
6295
6323
8672
1422
2653
0438
2851
7962
3837
8542
0139
6687
6242
6859
6590
3482
(12)
5583
0935
7579
3554
6895
5634
7803
1428
4534
5141
1277
0951
2179
2972
1341
5291
2826
1947
0653
6938
8797
4219
1192
7702
1730
1257
4260
8713
2589
3855
0480
0426
1656
2127
9795
2615
8536
5507
1472
4376
2157
2753
4098
4126
0765
1943
5582
9606
1932
0478
(13)
3156
7877
2550
5080
3371
5323
8832
1796
2105
7649
6316
5991
4554
9885
9860
2354
5238
6380
3645
4899
8000
0807
1175
6958
6005
6163
5277
1189
1740
4765
8098
9573
7016
8255
1112
3410
2966
7596
5113
3328
0047
3077
0220
9274
8039
4307
5872
0522
6043
0221
54
Таблица II. Значения функции F ( х ) .
х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0
50000
53983
57926
61791
65542
69146
72575
75804
78814
81594
84134
86433
88493
90320
91924
93319
94520
95543
96407
97128
97725
98214
98610
98928
99180
99379
99534
99653
99744
99813
99865
99903
99931
99952
99966
99977
99984
99989
99993
99995
99997
1
50399
54380
58317
62172
65910
69497
72907
76115
79103
81859
84375
86650
88686
90490
92073
93448
94630
95637
96485
97193
97778
98257
98645
98956
99202
99396
99547
99664
99752
99819
99869
99906
99934
99953
99968
99978
99985
99990
99993
99995
99998
2
50798
54776
58706
62552
66276
69847
73237
76424
79389
82121
84614
86864
88877
90658
92220
93574
94738
95728
96562
97257
97831
98300
98679
98983
99224
99413
99560
99674
99760
99825
99874
99910
99936
99955
99969
99978
99985
99990
99993
99996
99999
3
51197
55172
59095
62930
66640
70194
73565
76730
79673
82381
84850
87076
89065
90824
92364
93699
94845
95818
96638
97320
97882
98341
98713
99010
99245
99430
99573
99683
99767
99831
99878
99913
99938
99957
99970
99979
99986
99990
99994
99996
99999
4
51595
55567
59483
63307
67003
70540
73891
77035
79955
82639
85083
87286
89251
90988
92507
93822
94950
95907
96712
97381
97932
98382
98745
99036
99266
99446
99585
99693
99774
99836
99882
99916
99940
99958
99971
99980
99986
99991
99994
99996
99999
5
51994
55962
59871
63683
67364
70884
74215
77337
80234
82894
85314
87493
89435
91149
92647
93943
95053
95994
96784
97441
97982
98422
98778
99061
99286
99461
99598
99702
99781
99841
99886
99918
99942
99960
99972
99981
99987
99991
99994
99996
—
6
52392
56356
60257
64058
67724
71226
74537
77637
80511
83147
85543
87698
89617
91308
92786
94062
95154
96080
96856
97500
98030
98461
98809
99086
99305
99477
99609
99711
99788
99846
99889
99921
99944
99961
99973
99981
99987
99992
99994
99996
—
7
52790
56749
60642
64431
68082
71566
74857
77935
80785
83398
85769
87900
89796
91466
92922
94179
95254
96164
96926
97558
98077
98500
98840
99111
99324
99492
99621
99720
99795
99851
99893
99924
99946
99962
99974
99982
99988
99992
99995
99996
—
8
53188
57142
61026
64803
68439
71904
75175
78230
81057
83646
85993
88100
89973
91621
93056
94295
95352
96246
96995
97615
98124
98537
98870
99134
99343
99506
99632
99728
99801
99856
99896
99926
99948
99964
99975
99983
99988
99992
99995
99997
—
9
53586
57535
61409
65173
68793
72240
75490
78524
81327
83891
86214
88298
90147
91774
93189
94408
95449
96327
97062
97670
98169
98574
98899
99158
99361
99520
99643
99736
99807
99861
99900
99929
99950
99965
99976
99983
99989
99992
99995
99997
—
55
Таблица III. Значение t при разных уровнях значимости и данном числе
степеней свободы .

1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

0,1
0,05
0,2
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,41
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,34
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,31
1,31
1,31
1,31
1,30
1,30
1,29
1,28
0,1
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
Уровни значимости для одностороннего критерия (Q)
0,025
0,01
0,005
0,0025
0,001
Уровни значимости для двустороннего критерия (2Q)
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
12,71
31,82
63,66
127,32
318,30
4,30
6,96
9,92
14,09
22,33
3,18
4,54
5,84
7,45
10,21
2,78
3,75
4,60
5,60
7,17
2,57
3,36
4,03
4,77
5,89
2,45
3,14
3,71
4,32
5,21
2,36
3,00
3,50
4,03
4,79
2,31
2,90
3,36
3,83
4,50
2,26
2,82
3,25
3,69
4,30
2,23
2,76
3,17
3,58
4,14
2,20
2,72
3,11
3,50
4,02
2,18
2,68
3,05
3,43
3,93
2,16
2,65
3,01
3,37
3,85
2,14
2,62
2,98
3,33
3,79
2,13
2,60
2,95
3,29
3,73
2,12
2,58
2,92
3,25
3,69
2,11
2,57
2,90
3,22
3,65
2,10
2,55
2,88
3,20
3,61
2,09
2,54
2,86
3,17
3,58
2,09
2,53
2,85
3,15
3,55
2,08
2,52
2,83
3,14
3,53
2,07
2,51
2,82
3,12
3,51
2,07
2,50
2,81
3,10
3,48
2,06
2,49
2,80
3,09
3,47
2,06
2,49
2,79
3,08
3,45
2,06
2,48
2,78
3,07
3,44
2,05
2,47
2,77
3,06
3,42
2,05
2,47
2,76
3,05
3,41
2,05
2,46
2,76
3,04
3,40
2,04
2,46
2,75
3,03
3,39
2,02
2,42
2,70
2,97
3,31
2,00
2,39
2,66
2,91
3,23
1,98
2,36
2,62
2,86
3,16
1,96
2,33
2,58
2,81
3,09
0,0005
0,001
636,61
31,60
12,92
8,61
6,87
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
3,88
3,85
3,82
3,79
3,77
3,75
3,73
3,71
3,69
3,67
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,29
56
Таблица IV. Значение F при  = 0,05
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

1
1
161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,22
4,21
4,20
4,18
4,17
4,08
4,00
3,92
3,84
2
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,23
3,15
3,07
2,90
3
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,84
2,76
2,68
2,60
4
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,61
2,52
2,45
2,37
5
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,54
2,53
2,45
2,37
2,29
2,21
6
234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,34
2,25
2,17
2,09
8
238,9
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,38
2 36
2,34
2,32
2,30
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,02
1,94
12
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
24
249,0
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,50
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,00
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,79
1,70
1,61
1,52

254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,52
1,39
1,25
1,00
57
Таблица V. Значения F при  = 0,025
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

1
1
647,79
38,51
17,43
12,22
10,01
8,81
8,07
7,57
7,21
6,94
6,72
6,55
6,41
6,30
6,20
6,12
6,04
5,98
5,92
5,87
5,83
5,79
5,75
5,72
5,69
5,66
5,63
5,61
5,59
5,57
5,42
5,29
5,15
5,02
2
799,50
39,00
16,04
10,65
8,43
7,26
6,54
6,06
5,72
5,46
5,26
5,10
4,96
4,86
4,76
4,69
4,62
4,56
4,51
4,46
4,42
4,38
4,35
4,32
4,29
4,27
4,24
4,22
4,20
4,18
4,05
3,92
3,80
3,69
3
864,16
39,16
15,44
9,98
7,76
6,60
5,89
5,42
5,08
4,83
4,64
4,47
4,35
4,24
4,15
4,08
4,01
3,95
3,90
3,86
3,82
3,78
3,75
3,72
3,69
3,67
3,65
3,63
3,61
3,59
3,46
3,34
3,23
3,12
4
899,58
39,25
15,10
9,60
7,39
6,23
5,52
5,05
4,72
4,47
4,28
4,12
4,00
3,89
3,80
3,73
3,66
3,61
3,56
3,52
3,48
3,44
3,41
3,38
3,35
3,33
3,31
3,29
3,27
3,25
3,13
3,01
2,89
2,79
5
921,85
39,30
14,88
9,36
7,15
5,99
5,28
4,82
4,48
4,24
4,04
3,89
3,77
3,68
3,58
3,50
3,44
3,38
3,33
3,29
3,25
3,22
3,18
3,16
3,13
3,10
3,08
3,06
3,04
3,03
2,90
2,79
2,67
2,57
6
937,11
39,33
14,74
9,20
6,98
5,82
5,12
4,65
4,32
4,07
3,88
3,73
3,60
3,50
3,42
3,34
3,28
3,22
3,17
3,13
3,09
3,06
3,02
3,00
2,97
2,94
2,92
2,90
2,88
2,87
2,74
2,63
2,52
2,41
8
956,66
39,37
14,54
8,98
6,76
5,60
4,90
4,43
4,10
3,86
3,66
3,51
3,39
3,28
3,20
3,12
3,06
3,00
2,96
2,91
2,87
2,84
2,81
2,78
2,75
2,73
2,71
2,69
2,67
2,65
2,53
2,41
2,30
2,19
12
976,71
39,42
14,34
8,75
6,52
5,37
4,67
4,20
3,87
3,62
3,43
3,28
3,15
3,05
2,96
2,89
2,82
2,77
2,72
2,68
2,64
2,60
2,57
2,54
2,52
2,49
2,47
2,45
2,43
2,41
2,29
2,17
2,06
1,94
24
997,25
39,46
14,12
8,51
6,28
5,12
4,42
3,95
3,61
3,36
3,17
3,02
2,89
2,79
2,70
2,62
2,56
2,50
2,45
2,41
2,37
2,33
2,30
2,27
2,24
2,22
2,20
2,17
2,15
2,14
2,01
1,88
1,76
1,64

1018,3
39,50
13,90
8,26
6,02
4,85
4,14
3,67
3,33
3,08
2,88
2,72
2,60
2,49
2,40
2,32
2,25
2,19
2,13
2,08
2,04
2,00
1,97
1,94
1,91
1,88
1,85
1,83
1,81
1,79
1,64
1,48
1,31
1,00
58
Таблица VI. Значения F при  = 0,01
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

1
1
4052
98,49
34,12
21,20
16,26
13,74
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,28
8,18
8,10
8,02
7,94
7,88
7,82
7,77
7,72
7,68
7,64
7,60
7,56
7,31
7,08
6,85
6,64
2
4999
99,00
30,81
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,20
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,53
5,49
5,45
5,42
5,39
5,18
4,98
4,79
4,60
3
5403
99,17
29,46
16,69
12,05
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,31
4,13
3,95
3,78
4
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,20
5,03
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,83
3,65
3,48
3,32
5
5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,05
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,86
3,82
3,78
3,75
3,73
3,70
3,51
3,34
3,17
3,02
6
5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,59
3,56
3,53
3,50
3,47
3,29
3,12
2,96
2,80
8
5981
99,36
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
2,99
2,82
2,66
2,51
12
6106
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,45
3,37
3,30
3,23
3,17
3,12
3,07
3,03
2,99
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,66
2,50
2,34
2,18
24
6234
99,46
26,60
13,93
9,47
7,31
6,07
5,28
4,73
4,33
4,02
3,78
3,59
3,43
3,29
3,18
3,08
3,00
2,92
2,85
2,80
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,29
2,12
1,95
1,79

6366
99,50
26,12
13,46
9,02
6,88
5,65
4,86
4,31
3,91
3,60
3,36
3,16
3,00
2,87
2,75
2,65
2,57
2,49
2,42
2,36
2,31
2,26
2,21
2,17
2,13
2,10
2,06
2,03
2,01
1,80
1,60
1,38
1,00
59
Таблица VII. Значения F при  = 0,005
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

1
1
16211
198,50
55,55
31,33
22,78
18,64
16,24
14,69
13,61
12,83
12,23
11,75
11,37
11,06
10,80
10,58
10,38
10,22
10,07
9,94
9,83
9,73
9,64
9,55
9,48
9,41
9,34
9,28
9,23
9,18
8,83
8,50
8,18
7,88
2
20 000
199,00
49,80
26,28
18,31
14,54
12,40
11,04
10,11
9,43
8,91
8,51
8,19
7,92
7,70
7,51
7,35
7,22
7,09
6,99
6,89
6,81
6,73
6,66
6,60
6,54
6,49
6,44
6,40
6,36
6,07
5,80
5,54
5,30
3
21 615
199,17
47,47
24,26
16,53
12,92
10,88
9,60
8,72
8,08
7,60
7,23
6,93
6,68
6,48
6,30
6,16
6,03
5,92
5,82
5,73
5,65
5,58
5,52
5,46
5,41
5,36
5,32
5,28
5,24
4,98
4,73
4,50
4,28
4
22 500
199,25
46,20
23,16
15,56
12,03
10,05
8,80
7,96
7,34
6,88
6,52
6,23
6,00
5,80
5,64
5,50
5,38
5,27
5,17
5,09
5,02
4,95
4,89
4,84
4,78
4,74
4,70
4,66
4,62
4,37
4,14
3,92
3,72
5
23 056
199,30
45,39
22,46
14,94
11,46
9,52
8,30
7,47
6,87
6,42
6,07
5,79
5,56
5,37
5,21
5,08
4,96
4,85
4,76
4,68
4,61
4,54
4,49
4,43
4,38
4,34
4,30
4,26
4,23
3,99
3,76
3,55
3,35
6
23 437
199,33
44,84
21,98
14,51
11,07
9,16
7,95
7,13
6,54
6,10
5,76
5,48
5,26
5,07
4,91
4,78
4,66
4,56
4,47
4,39
4,32
4,26
4,20
4,15
4,10
4,06
4,02
3,98
3,95
3,71
3,49
3,28
3,09
8
23 925
199,37
44,13
21,35
13,96
10,57
8,68
7,50
6,69
6,12
5,68
5,34
5,08
4,86
4,67
4,52
4,39
4,28
4,18
4,09
4,01
3,94
3,88
3,83
3,78
3,73
3,69
3,65
3,61
3,58
3,35
3,13
2,93
2,74
12
24 426
199,42
43,39
20,70
13,38
10,03
8,18
7,02
6,23
5,66
5,24
4,91
4,64
4,43
4,25
4,10
3,97
3,86
3,76
3,68
3,60
3,54
3,48
3,42
3,37
3,32
3,28
3,25
3,21
3,18
2,95
2,74
2,54
2,36
24
24 940
199,46
42,62
20,03
12,78
9,47
7,64
6,50
5,73
5,17
4,76
4,43
4,17
3,96
3,79
3,64
3,51
3,40
3,31
3,22
3,15
3,08
3,02
2,97
2,92
2,87
2,83
2,79
2,76
2,73
2,50
2,29
2,09
1,90

25 465
199,51
41,83
19,32
12,14
8,88
7,08
5,95
5,19
4,64
4,23
3,90
3,65
3,44
3,26
3,11
2,98
2,87
2,78
2,69
2,61
2,55
2,48
2,43
2,38
2,33
2,29
2,24
2,21
2,18
1,93
1,69
1,43
1,00
60
Таблица VIII. Критерий согласия Колмогорова. Значения 1-К()

0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0
99999
99719
96394
86428
71124
54414
39273
27000
17772
11225
06809
03968
02222
01195
00618
00307
00146
00067
00030
00013
00005
00002
1
99998
99603
95719
85077
69453
52796
37907
25943
17005
10697
06463
03751
02092
01121
00577
00285
00136
00062
00027
00011
00005
00002
2
99995
99452
94969
83678
67774
51197
36571
24917
16264
10190
06132
03545
01969
01051
00539
00265
00126
00057
00025
00010
00004
00002
3
99991
99262
94147
82225
66089
49619
35266
23922
15550
09703
05815
03348
01852
00985
00503
00247
00116
00053
00023
00010
00004
00001
4
99983
99027
93250
80732
64402
48063
33992
22957
14861
09235
05513
03162
01742
00922
00469
00229
00108
00048
00021
00009
00004
00001
5
99970
98741
92282
79201
62717
46532
32748
22021
14196
08787
05224
02984
01638
00864
00438
00213
00100
00045
00019
00008
00003
00001
б
99949
98400
91242
77636
61036
45026
31536
21114
13556
08357
04949
02815
01539
00808
00408
00198
00092
00041
00018
00007
00003
00001
7
99917
97998
90134
76042
59363
43545
30356
20236
12939
07944
04686
02655
01446
00756
00380
00186
00085
00038
00016
00007
00003
00001
8
99872
97532
88960
74422
57700
42093
29206
19387
12345
07550
04435
02503
01357
00707
00354
00170
00079
00035
00015
00006
00002
00001
9
99807
96998
87724
72781
56050
40668
28087
18566
11774
07171
04196
02359
01274
00661
00330
00158
00073
00032
00014
00006
00002
00001
61
Таблица IX. Значения величины r для значений z
от 0,00 до 2,99
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0000
0997
1974
2913
3800
4621
5370
6044
6640
7163
7616
8005
8337
8617
8854
9051
9217
9354
9468
9562
9640
9704
9757
9801
9837
9866
9890
9910
9926
9940
1
0100
1096
2070
3004
3885
4699
5441
6107
6696
7211
7658
8041
8367
8643
8875
9069
9232
9366
9478
9571
9647
9710
9762
9805
9840
9869
9892
9912
9928
9941
2
0200
1194
2165
3095
3969
4777
5511
6169
6751
7259
7699
8076
8397
8668
8896
9087
9246
9379
9488
9579
9654
9716
9767
9809
9843
9871
9894
9914
9929
9942
3
0300
1293
2260
3185
4053
4854
5580
6231
6805
7306
7739
8110
8426
8692
8917
9104
9261
9391
9498
9587
9661
9722
9771
9812
9846
9874
9897
9915
9931
9943
4
0400
1391
2355
3275
4136
4930
5649
6291
6858
7352
7779
8144
8455
8717
8937
9121
9275
9402
9508
9595
9668
9727
9776
9816
9849
9876
9899
9917
9932
9944
5
0500
1489
2449
3364
4219
5005
5717
6351
6911
7398
7818
8178
8483
8741
8957
9138
9289
9414
9518
9603
9674
9732
9780
9820
9852
9879
9901
9919
9933
9945
6
0599
1586
2543
3452
4301
5080
5784
6411
6963
7443
7857
8210
8511
8764
8977
9154
9302
9425
9527
9611
9680
9738
9785
9823
9855
9881
9903
9920
9935
9946
7
0699
1684
2636
3540
4382
5154
5850
6469
7014
7487
7895
8243
8538
8787
8996
9170
9316
9436
9536
9618
9686
9743
9789
9827
9858
9884
9904
9922
9936
9947
8
0798
1781
2729
3627
4462
5227
5915
6527
7064
7531
7932
8275
8565
8810
9015
9186
9329
9447
9545
9626
9693
9748
9793
9830
9861
9886
9906
9923
9937
9948
9
0898
1877
2821
3714
4542
5299
5980
6584
7114
7574
7969
8306
8591
8832
9033
9201
9341
9458
9554
9633
9699
9753
9797
9834
9864
9888
9908
9925
9938
9949
8
0,0802
0,1820
0,2877
0,4001
0,5230
0,6625
0,8291
1,0454
1,3758
2,2976
9
0,0902
0,1923
0,2986
0,4118
0,5361
0,6777
0,8480
1,0714
1,4219
2,6467
Таблица X. Значения величины z для значений r
от 0,00 до 0,99
r
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,0000
0,1003
0,2027
0,3095
0,4236
0,5493
0,6931
0,8673
1,0986
1,4722
1
0,0100
0,1105
0,2132
0,3206
0,4356
0,5627
0,7089
0,8872
1,1270
1,5275
2
0,0200
0,1206
0,2237
0,3317
0,4477
0,5763
0,7250
0,9076
1,1568
1,5890
3
0,0300
0,1308
0,2342
0,3428
0,4599
0,5901
0,7414
0,9287
1,1881
1,6584
4
0,0400
0,1409
0,2448
0,3541
0,4722
0,6042
0,7582
0,9505
1,2212
1,7380
5
0,0501
0,1511
0,2554
0,3654
0,4847
0,6184
0,7753
1,9730
1,2562
1,8318
6
0,0601
0,1614
0,2661
0,3769
0,4973
0,6328
0,7928
0,9962
1,2933
1,9459
7
0,0701
0,1717
0,2769
0,3884
0,5101
0,6475
0,8107
1,0203
1,3331
2,0923
62
Таблица XI. 2-Распределение. Критические (процентные) точки для разных
значений вероятности α и чисел степеней свободы ν
ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
5,0
3,84
5,99
7,82
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
22,36
23,68
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
38,88
40,11
41,34
42,56
43,77
44,93
46,19
47,40
48,60
49,80
51,00
52,19
53,38
54,57
55,76
56,94
58,12
59,30
60,48
61,66
62,83
64,00
65,17
66,34
2,5
5,02
7,38
9,35
11,14
12,83
14,15
16,01
17,54
19,02
20,48
21,92
23,34
24,74
26,12
27,49
28,84
30,19
31,53
32,85
34,17
35,48
36,78
38,08
39,36
40,65
41,92
43,19
44,46
45,72
46,98
48,23
49,48
50,72
51,97
53,20
54,44
55,67
56,90
58,12
59,34
60,56
61,78
62,99
64,20
65,41
66,62
67,82
69,02
70,22
, %
1,0
6,64
9,21
11,34
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,72
26,22
27,69
29,14
30,58
32,00
33,41
34,80
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
42,98
44,31
45,64
46,95
48,28
49,59
50,89
52,19
53,49
54,78
56,06
57,34
58,62
59,89
61,18
62,43
63,69
64,95
66,21
67,46
68,71
69,96
71,20
72,44
73,68
74,92
0,5
7;88
10,60
12,84
14,86
16,75
18,55
20,28
21,96
23,59
25,19
26,76
28,30
29,82
31,32
32,80
34,27
35,72
37,16
38,18
40,00
41,40
42,80
44,18
45,56
46,93
48,29
49,64
50,99
52,34
53,67
55,00
56,33
57,65
58,96
60,28
61,58
62,88
64,18
65,48
66,77
68,05
69,34
70,62
71,89
73,17
74,44
75,70
76,97
78,23
0,1
10,83
13,82
16,27
18,47
20,52
22,46
24,32
26,12
27,88
29,59
31,26
32,91
34,53
36,12
37,70
39,25
40,79
42,31
43,82
45,32
46,80
48,27
49,73
51,18
52,62
54,05
55,48
56,89
58,30
59,70
61,10
62,49
63,87
65,25
66,62
67,98
69,35
70,70
72,06
73,40
74,74
76,08
77,42
78,75
80,08
81,40
82,72
84,04
85,35
99,9
—
—
0,02
0,09
0,21
0,38
0,60
0,86
1,15
1,48
1,83
2,21
2,62
3,04
3,48
3,94
4,42
4,91
5,41
5,92
6,45
6,98
7,53
8,09
8,65
9,22
9,80
10,39
10,99
11,59
12,20
12,81
13,43
14,06
14,69
15,32
15,94
16,61
17,26
17,92
18,58
19,24
19,91
20,58
21,25
21,93
22,61
23,30
23,98
99,5
—
0,01
0,07
0,21
0,41
0,68
0,99
1,44
1,54
2,65
2,31
3,47
3,56
4,57
4,11
5,24
5,80
6,56
6,45
7,43
8,43
8,35
9,06
9,69
10,02
11,06
11,81
12,46
13,12
13,79
14,46
15,13
15,82
16,50
17,19
17,89
18,59
19,29
20,00
20,71
21,42
22,14
22,86
23,58
24,31
25,04
25,78
26,51
27,25
α, %
99,0
—
0,02
0,12
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,02
7,63
8,27
8,90
9,54
10,20
10,86
11,52
12,20
12,88
13,56
14,25
14,95
15,66
16,36
17,07
17,79
18,51
19,23
19,96
20,69
21,43
22,16
22,91
23,65
24,40
25,15
25,90
26,66
27,42
28,18
28,94
97,5
—
0,05
0,22
0,48
0,83
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,28
10,98
11,69
12,40
13,12
13,84
14,57
15,31
16,05
16,79
17,54
18,29
19,05
19,81
20,57
21,34
22,11
22,88
23,65
24,43
25,22
26,00
26,78
27,58
28,37
29,16
29,96
30,76
31,56
95,0
—
0,10
0,35
0,71
1,14
1,64
2,17
2,73
3,32
3,94
4,58
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,12
10,85
11,59
12,34
13,09
13,85
14,61
15,38
16,15
16,93
17,71
18,49
19,28
20,07
20,88
21,66
22,46
23,27
24,08
24,88
25,70
26,51
27,33
28,14
28,97
29,79
30,61
31,44
32,27
33,10
33,93
63
50
51
67,51
68,67
71,42
72,62
76,15
77,39
79,49
80,75
86,66
87,97
24,67
25,37
27,99
28,74
29,71
30,48
32,36
53,16
34,76
35,60
97,5
33,97
34,78
35,59
36,40
37,21
38,03
38,84
39,66
40,48
41,30
42,13
42,95
43,78
44,60
45,43
46,26
47,09
47,92
48,76
49,59
50,43
51,26
52,10
52,94
53,78
54,62
55,47
56,31
57,15
58,00
58,84
59,69
60,54
61,39
62,24
63,09
63,94
64,79
65,65
66,50
67,36
68,21
69,07
69,92
70,78
71,64
72,50
73,36
74,22
0,975
95,0
36,44
37,28
38,12
38,96
39,80
40,65
41,49
42,34
43,19
44,04
44,89
45,74
46,60
47,45
48,30
49,16
50,02
50,88
51,74
52,60
53,46
54,32
55,19
56,05
56,92
57,79
58,65
59,52
60,39
61,26
62,13
63,00
63,88
64,75
65,62
66,50
67,37
68,25
69,13
70,00
70,88
71,76
72,64
73,52
74,40
75,28
76,16
77,05
77,93
0,950
Продолжение таблицы XI
ν
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

, %
, %
5,0
69,83
70,99
72,15
73,31
74,47
75,62
76,78
77,93
79,08
80,23
81,38
82,53
83,68
84,82
85,97
87,11
88,25
89,39
90,53
91,67
92,81
93,94
95,08
96,22
97,35
98,48
99,62
100,75
101,88
103,01
104,14
105,27
106,40
107,52
108,65
109,77
110,90
112,02
113,14
114,27
115,39
116,51
117,63
118,75
119,87
120,99
122,11
123,22
124,34
0,05
2,5
73,81
75,00
76,19
77,38
78,57
79,75
80,94
82,12
83,30
84,48
85,65
86,83
88,00
89,18
90,35
91,52
92,69
93,86
95,02
96,19
97,35
98,52
99,68
100,8
102,00
103,16
104,32
105,47
106,63
107,78
108,94
110,09
111,24
112,39
113,54
114,69
115,84
117,00
118,14
119,28
120,43
121,57
122,72
123,86
125,00
126,14
127,29
128,42
129,56
0,025
1,0
78,62
79,84
81,07
82,29
83,51
84,73
85,95
87,17
88,38
89,59
90,80
92,01
93,22
94,42
95,63
96,83
98,03
99,23
100,4
101,6
102,8
104,0
105,2
106,4
107,58
108,77
109,96
111,14
112,33
113,51
114,70
115,88
117,06
118,24
119,41
120,59
121,77
122,94
124,12
125,29
126,46
127,63
128,80
129,97
131,14
132,31
133,48
134,64
135,81
0,01
0,5
82,00
83,25
84,50
85,75
86,99
88,24
89,48
90,72
91,95
93,19
94,42
95,65
96,88
98,11
99,33
100,6
101,8
103,0
104,2
105,4
106,6
107,8
109,1
110,3
111,50
112,70
113,91
115,12
116,32
117,52
118,73
119,93
121,13
122,32
123,52
124,72
125,91
127,11
128,30
129,49
130,68
131,87
133,06
134,25
135,43
136,62
137,80
138,99
140,17
0,005
0,1
89,27
90,57
91,87
93,17
94,46
95,75
97,04
98,32
99,61
100,89
102,17
103,44
104,72
105,99
107,26
108,53
109,79
111,06
112,32
113,58
114,84
116,09
117,35
118,60
119,85
121,10
122,35
123,59
124,84
126,08
127,32
128,56
129,80
131,04
132,28
133,51
134,74
135,98
137,21
138,44
139,67
140,89
142,12
143,34
144,57
145,79
147,01
148,23
149,45
0,001
99,9
26,06
26,76
27,47
28,17
28,88
29,59
30,30
31,02
31,74
32,46
33,18
33,91
34,63
35,36
36,09
36,83
37,56
38,30
39,04
39,78
40,52
41,26
42,01
42,76
43,51
44,26
45,01
45,76
46,52
47,28
48,04
48,80
49,56
50,32
51,08
51,85
52,62
53,39
54,16
54,93
55,70
56,47
57,25
58,02
58,80
59,58
60,36
61,14
61,92
0,999
99,5
29,48
30,23
30,98
31,74
32,49
33,25
34,01
34,77
35,54
36,30
37,07
37,84
38,61
39,38
40,16
40,94
41,71
42,49
43,28
44,06
44,84
45,63
46,42
47,21
48,00
48,79
49,58
50,38
51,17
51,97
52,77
53,57
54,37
55,17
55,97
56,78
57,58
58,39
59,20
60,00
60,82
61,62
62,44
63,25
64,06
64,88
65,69
66,51
67,33
0,995
99,0
31,25
32,02
32,79
33,57
34,35
35,13
35,91
36,70
37,48
38,27
39,06
39,86
40,65
41,44
42,24
43,04
43,84
44,64
45,44
46,25
47,05
47,86
48,67
49,48
50,29
51,10
51,91
52,72
53,54
54,36
55,17
55,99
56,81
57,63
58,46
59,28
60,10
60,93
61,75
62,58
63,41
64,24
65,07
65,90
66,73
67,56
68,40
69,23
70,06
0,990
64
Таблица XII. Критические значения U-критерия Уилкоксона (Манна-Уитни)
(односторонний критерий, =0,01)
n1
n2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
1
0
1
2
3
0
1
3
4
6
0
2
4
6
7
9
1
3
5
7
9
11
14
1
3
6
8
11
13
16
19
1
4
7
9
12
15
19
22
25
2
5
8
11
14
17
21
24
28
31
2
5
9
12
16
20
23
27
31
35
39
2
6
10
14
18
22
26
30
34
38
43
47
3
7
11
15
19
24
28
33
37
42
47
51
56
3
7
12
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
4
8
13
18
23
28
33
38
44
49
55
60
66
71
77
4
9
14
19
24
30
36
41
47
53
59
65
70
76
82
88
4
9
15
20
26
32
38
44
50
56
63
69
75
82
88
94
101
5
10
16
22
28
34
40
47
53
60
67
73
80
87
94
100
107
114
Продолжение таблицы XII (двусторонний критерий,  = 0,01)
n2
n1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
0
0
0
1
1
2
2
3
4
4
5
5
6
6
7
8
8
9
9
10
10
0
1
1
2
3
4
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
14
14
15
16
17
2
3
4
5
6
7
9
10
11
12
13
15
16
17
18
19
21
22
23
24
4
6
7
9
10
12
13
15
16
18
19
21
22
24
25
27
29
30
32
7
9
11
13
15
17
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
37
39
11
13
16
18
20
22
25
27
29
31
34
36
38
40
43
45
47
16
19
21
24
26
29
31
34
37
39
42
44
47
50
52
55
16
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
28
31
34
37
41
44
47
51
54
58
61
64
68
71
34
38
42
46
49
53
57
60
64
68
72
76
79
42
46
50
54
59
63
67
71
75
79
83
88
51
55
60
64
69
73
78
82
87
91
96
60
65 70
70 75 77 81
75 81 87 93
79 86 92 99
84 91 98 105
89 97 104 111
94 102 109 117
99 107 115 123
104 113 121 129
105
112
118
125
131
138
65
Таблица XIII. Критические значения z-критерия знаков при разных уровнях
значимости  и объеме выборки n
, %
п
5
6
7
8
8
9
10
10
11
12
12
13
13
14
15
15
16
17
17
18
18
19
20
20
21
0,05
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

1
—
—
8
9
10
11
11
12
13
13
14
15
15
16
17
17
18
19
19
20
20
21
22
22
0,01
п
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
—
, %
5
21
22
23
23
24
24
25
25
26
27
27
28
28
29
29
30
31
31
32
32
33
33
34
35
0,05
1
23
24
24
25
25
26
27
27
28
28
29
30
30
31
31
32
33
33
34
34
35
36
36
37
0,01
п
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
—
, %
5
35
36
36
37
37
38
39
39
40
40
41
41
42
42
43
44
44
45
45
46
46
47
48
48
0,05
1
37
38
39
39
40
40
41
41
42
43
43
44
44
45
46
46
47
47
48
48
49
50
50
51
0,01
п
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
—
—
, %
5
49
49
50
50
51
51
52
53
53
54
54
55
55
56
56
57
57
58
59
59
60
60
61
—
0,05
1
51
52
52
53
54
54
55
55
56
56
57
58
58
59
59
60
60
61
62
62
63
63
64
—
0,01
Таблица XIV. Критические значения парного Т-критерия Уилкоксона
(односторонний критерий)
Число парных
наблюдений п
5
6
7
8
9
10
11
12
13
α
Уровни значимости , %
5
1
—
0
2
0
3
0
5
1
8
3
10
5
13
7
17
10
21
12
0,05
0,01
Число парных
наблюдений п
14
15
16
17
18
19
20
21
22
—
Уровни значимости , %
5
1
25
16
30
19
35
23
41
28
47
33
53
38
60
42
67
50
74
56
0,05
0,01
66
Продолжение таблицы XIV, (двусторонний критерий)
Число парных
наблюдений п
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Уровни значимости , %
5
1
—
1
—
3
5
1
7
3
9
4
12
6
15
8
18
11
22
14
26
17
0,05
0,01
Число парных
наблюдений п
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
—
Уровни значимости , %
5
1
31
21
36
24
41
29
47
33
53
39
60
44
67
50
74
56
82
62
90
69
0,05
0,01
Примечание. Для n>25 критические значения Т-критерия можно определить
по формуле
nn  1 nn  12n  1
,
4
24
где n- число парных наблюдений; t зависит от принятого уровня значимости, т.
е. t0,05=1,96 и t0,01=2,58.
Tst 
Таблица XV. Критические значения коэффициента асимметрии As
Объем выборки n
Уровни значимости , %
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
125
150
175
200
5
0,711
0,661
0,621
0,587
0,558
0,533
0,492
0,459
0,432
0,409
0,389
0,350
0,321
0,298
0,280
1
1,061
0,982
0,921
0,869
0,825
0,787
0,723
0,673
0,631
0,596
0,567
0,508
0,464
0,430
0,403

0,05
0,01
Объем выборки n
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
—
Уровни значимости , %
5
0,251
0,230
0,213
0,200
0,188
0,179
0,171
0,163
0,157
0,151
0,146
0,142
0,138
0,134
0,130
0,127
0,05
1
0,360
0,329
0,305
0,285
0,269
0,255
0,243
0,233
0,224
0,215
0,208
0,202
0,196
0,190
0,185
0,180
0,01
67
Таблица XVI. Критические значения коэффициента эксцесса Ех
Объем выборки п
10
0,890
0,873
0,863
0,857
0,851
0,847
0,844
0,841
0,839
0,835
0,832
0,830
0,828
0,826
0,818
0,814
0,812
0,810
0,10
11
16
21
26
31
36
41
46
51
61
71
81
91
101
201
01
401
501

Уровни значимости , %
5
0,907
0,888
0,877
0,869
0,863
0,858
0,854
0,851
0,848
0,843
0,840
0,838
0,835
0,834
0,823
0,818
0,816
0,814
0,05
1
0,936
0,914
0,900
0,890
0,883
0,877
0,872
0,868
0,865
0,859
0,855
0,852
0,848
0,846
0,832
0,826
0,822
0,820
0,01
Таблица XVII. Критические значения величины нормированного
отклонения при оценке сомнительных вариант с учетом объема
выборки n и уровней значимости 
п
4
5
6
7
8
9
10
11
12

, %
5
1,71
1,92
2,07
2,18
2,27
2,35
2,41
2,47
2,52
0,05
1
1,73
1,97
2,16
2,31
2,43
2,53
2,62
2,69
2,75
0,01
п
13
14
15
16
17
18
19
20
21
—
, %
5
2,56
2,60
2,64
2,67
2,70
2,73
2,75
2,78
2,80
0,05
1
2,81
2,86
2,90
2,95
2,98
3,02
3,05
3,08
3,11
0,01
п
, %
23
24
25
26
27
28
29
30
5
2,84
2,86
2,88
2,90
2,91
2,93
2,94
2,96
1
3,16
3,18
3,20
3,22
3,24
3,26
3,28
3,29
—
0,05
0,01
68
Таблица XVIII. Критические значения критерия
п
4
5
6
7
8
9
10
11
12
α
Уровни значимости
, %
5
0,76
0,64
0,56
0,31
0,47
0,44
0,41
0,39
0,38
0,05
1
0,89
0,78
0,70
0,64
0,59
0,54
0,53
0,50
0,48
0,01
п
13
14
15
16
17
18
19
20
21
—
t1 
x 2  x1
x n 1  x1
Уровни значимости
, %
5
0,36
0,35
0,34
0,33
0,32
0,31
0,31
0,30
0,30
0,05
1
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,41
0,40
0,39
0,38
0,01
.
п
22
23
24
25
26
27
28
29
30
—
Уровни значимости
, %
5
0,29
0,28
0,28
0,28
0,27
0,27
0,27
0,26
0,26
0,05
1
0,38
0,37
0,37
0,36
0,36
0,35
0,35
0,34
0,34
0,01
69
Таблица XIX. Критические значения коэффициента корреляции rх,y
Степени
свободы ν=n-2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

Уровни значимости , %
5
1
0,75
0,71
0,67
0,63
0,60
0,58
0,55
0,53
0,51
0,50
0,48
0,47
0,46
0,44
0,43
0,42
0,41
0,40
0,40
0,39
0,38
0,37
0,05
0,87
0,83
0,80
0,77
0,74
0,71
0,68
0,66
0,64
0,62
0,61
0,59
0,58
0,56
0,55
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
0,49
0,48
0,01
Степени
свободы
ν=n-2
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
125
150
200
300
400
500
700
900
1000
—
Уровни значимости , %
5
1
0,37
0,36
0,36
0,35
0,33
0,30
0,29
0,27
0,25
0,23
0,22
0,21
0,20
0,17
0,16
0,14
0,11
0,10
0,09
0,07
0,06
0,06
0,05
0,47
0,46
0,46
0,45
0,42
0,39
0,37
0,35
0,33
0,30
0,28
0,27
0,25
0,23
0,21
0,18
0,15
0,13
0,12
0,10
0,09
0,09
0,01
Таблица XX. Критические значения коэффициента корреляции рангов при
различных уровнях значимости  и объемах выборки n
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

, %
5
0,94
0,85
0,78
0,72
0,68
0,64
0,61
0,58
0,56
0,54
0,52
0,50
0,05
1
—
—
0,94
0,88
0,83
0,79
0,76
0,73
0,70
0,68
0,66
0,64
0,01
п
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
—
, %
5
0,48
0,47
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,41
0,40
0,39
0,38
0,38
0,05
1
0,62
0,60
0,58
0,57
0,56
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
0,49
0,48
0,01
п
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
—
, %
5
0,37
0,36
0,36
0,36
0,34
0,34
0,33
0,33
0,33
0,32
0,32
0,31
0,05
1
0,48
0,47
0,46
0,45
0,45
0,44
0,43
0,43
0,42
0,41
0,41
0,40
0,01
70
Таблица XXI. Критические значения критерия Уилкоксона
(двусторонний критерий)
Нижняя граница
n1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
9
10
11
12
10
11
12
11
12
12
Уровни значимости 
0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
10
11
13
10
11
12
14
10
11
12
13
15
10
11
13
14
16
11
12
14
15
17
11
13
14
16
19
12
13
15
17
20
12
14
16
18
21
13
15
17
19
22
15
16
17
19
20
16
17
18
20
22
16
18
20
21
23
17
19
21
23
25
18
20
22
24
27
19
21
23
26
28
20
22
24
27
30
21
23
26
28
32
23
24
26
28
30
24
25
27
29
32
25
27
29
31
34
26
28
31
33
36
27
29
32
35
38
28
30
34
37
40
30
32
35
38
42
32
34
36
39
41
34
35
38
41
44
35
37
40
43
46
37
39
42
45
49
38
40
44
47
51
40
42
46
49
54
43
45
49
51
55
45
47
51
54
58
47
49
53
56
60
49
51
55
59
63
51
53
58
62
66
56
59
62
66
70
58
61
65
69
73
61
63
68
72
76
63
66
71
75
80
71
74
78
82
87
73
77
81
86
91
76
79
84
89
94
87
91
96
100
106
90
94
99
104
110
105
109
115
120
127
Верхняя граница
0.20
14
15
17
18
20
21
23
24
26
22
24
26
28
30
32
34
36
33
35
37
40
42
44
47
45
48
50
53
56
59
59
62
65
69
72
75
78
82
86
93
97
101
112
117
134
0.20
22
25
27
30
32
35
37
40
42
33
36
39
42
45
48
51
54
45
49
53
56
60
64
67
60
64
69
73
77
81
77
82
87
91
96
96
102
107
112
117
123
129
141
147
166
Уровни значимости 
0.10 0.05 0.025 0.01
23
25
26
26
28
29
30
29
31
32
33
32
34
35
37
35
37
38
40
37
40
42
43
40
43
45
47
43
46
48
50
46
49
51
53
35
36
38
39
38
40
42
43
42
44
45
47
45
47
49
51
48
51
53
55
52
54
57
59
55
58
61
63
58
62
64
67
48
50
52
54
52
55
57
59
56
59
61
63
60
63
65
68
64
67
70
73
68
71
74
78
72
76
79
82
64
66
69
71
68
71
74
77
73
76
79
82
77
81
84
87
82
86
89
93
86
91
94
98
81
85
87
91
86
90
93
97
92
96
99
103
97
101
105
109
102
106
110
115
101
105
109
112
107
111
115
119
113
117
121
126
118
123
127
132
123
128
132
136
129
134
139
143
136
141
146
151
147
153
157
162
154
160
165
170
173
180
185
191
0.005
34
38
41
45
48
52
55
40
44
49
53
57
61
65
69
55
60
65
70
75
80
84
73
78
84
89
95
100
93
99
105
111
117
115
122
128
135
139
147
154
166
174
195
71
ЛИТЕРАТУРА
1. Плохинский Н.А. Биометрия. 2-е изд.-М: МГУ, 1970, 368 стр.
2. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. 2-е изд.- М:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971.
3. Гублер Е.В., Генкин А.А. Применение непараметрических критериев в
медико-биологических исследованиях. – Ленинград: Медицина,
Ленинградское отд., 1971.
4. СидоренкоЕ.В. Методы математической обработки в психологии.- Речь,
Санкт-Петербург,2002 ,346 с.
5. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Теория вероятностей и
математическая статистика под ред. А.В. Ефимова. М: Наука, Главная
редакция физико-математической литературы, 1990.
6. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере.
Под ред.
В.В. Фигурнова. М: Финансы и статистика, 1995, 384 с.
7. Урбах В.Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских
исследованиях. М: Медицина, 1975, 295 с.
8. Кендел М. Ранговые корреляции. М: Статистика, 1975, 214 с.
9. Холлендер М. Вулф Д.А. Непараметрические методы статистики. Перевод
с анг. Под ред. Ю.П.Адлера и Ю.П. Тюрина. М: Финансы и статистика,
1983, 518 с.
10.Гланц С. Медико-биологическая статистика. Пер. с англ. Доктора ф-м
наук Ю.А. Данилова под ред. Н.Е.Бузикашвили и Д.В. Самойлова.
Практика, Москва, 1999, 459 с
11.Реброва О.Ю. Статистический анализ медицинских данных. Применение
прикладных программ СТАТИСТИКА. М: Издательство Медиа Сфера,
2002, 305 с
72
СОДЕРЖАНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задание 1. Построение интервального ряда и вычисление основных
статистических характеристик.
Задание 2. Оценка параметров распределения………………………….
Задание 3. Проверка статистических гипотез…………………………...
Задание 4. Элементы корреляционного анализа ……………………….
Приложение………………..........................................................................
Литература…………………………………………………………………..
73