оптимизация экономических функций

Министерство образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
БЕЗУСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Методические указания и контрольные задания
к выполнению самостоятельной работы
для студентов направления 521500 “Менеджмент”
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2003
Составитель:
Дайниченко Николай Владимирович
Рецензент
кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Серебряков
2
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить
соответствующие разделы курса по пособиям, рекомендуемым в списке
литературы. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых задач. Если
студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре
«Высшая математика и механика» Технологического института СГТУ.
На обложке тетради, в которой выполнена работа, студенту следует
разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в институт.
Если работа выполнена без существенных ошибок, то студент допускается к собеседованию, по результатам которого работа может быть зачтена либо не зачтена. При наличии существенных ошибок работа возвращается студенту для исправления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели
в управлении. - М.: Дело, 2000 .
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.:
Инфра-М, 2001.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. - Т. 1,2. - М.: Высшая школа, 1981.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука ,1980.
5. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике.
- М.: Наука , 1972.
6. Ларионов А.И., Юрченко Т.И., Новоселов А.Л. Экономикоматематические методы в планировании. – М.: Высшая школа,
1991.
3
ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЬНОМ АНАЛИЗЕ
В экономической деятельности наиболее часто возникает задача:
на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты, и
наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся.
Здесь применимо понятие дифференциального исчисления – производной
функции, так как в подобных задачах необходимо найти предел отношений приращений рассматриваемых величин или, как говорят, предельный
эффект.
Приложение дифференциального исчисления к экономике и бизнесу
называется предельным анализом. В нем практически значимыми являются задачи безусловной оптимизации экономических функций, то есть задачи поиска экстремальных (максимальных или минимальных) значений
экономических функций при отсутствии ограничений на переменные.
Рассмотрим два важнейших понятия из предельного анализа.
Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода R по количеству товара Q :
R Q/ =
dR
d
=
R (Q ) .
dQ dQ
Экономический смысл предельного дохода: R Q/ приближенно равен
изменению суммарного дохода при изменении количества реализованного
товара на единицу.
Предельные издержки определяются как производная от полных затрат (издержек) C по объему продукции Q
C Q/ 
dC
d

C(Q) .
dQ dQ
Экономический смысл предельных издержек: C Q/ приближенно равны
изменению полных издержек при изменении выпуска продукции на единицу.
ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Применим понятия предельного дохода и предельных издержек для
решения задачи о получении максимальной прибыли как функции одной
переменной – количества товара Q .
Прибыль – одно из важнейших понятий в экономике и бизнесе, позволяющее оценить эффективность деятельности предприятия или фирмы.
4
Если обозначить прибыль через π , полный доход – R , а полные затраты –
С , то
π  RC ,
где R  R (Q ), C  C(Q),
Q - количество произведенного товара.
Функция прибыли π(Q) может иметь максимум в стационарной точке
при выполнении условия
dR dC
dπ
 0, т.е.

 0.
dQ dQ
dQ
Это означает, что в стационарных точках равны предельный доход и предельные издержки:
R Q/  CQ/
Однако в стационарных точках может достигаться как максимум, так
и минимум, поэтому необходимо проанализировать знак второй производной от функции прибыли в стационарной точке. В случае максимума
должно выполняться неравенство
d2π
d /
d /

RQ 
CQ  0 ,
2
dQ
dQ
dQ
откуда следует условие достижения максимума
d /
d /
RQ 
CQ .
dQ
dQ
Экономическая функция имеет минимум в стационарной точке, если
вторая производная от функции положительна.
Используем полученные результаты для решения частной, но очень
распространенной задачи, когда фирма стремится осваивать несколько
различных рынков. Например, один рынок внутренний, а другой связан с
экспортными поставками. Возьмем для определенности кривые спроса:
P1  300  0.5  Q1 и P2  400  Q2 ,
где нижние индексы относятся к первому и второму рынкам соответственно.
Пусть суммарная функция издержек имеет вид
C  25000  10  Q ,
5
где первое слагаемое представляет постоянные затраты, второе – переменные, при этом
Q  Q1  Q 2 .
Необходимо определить ценовую политику фирмы, чтобы прибыль
фирмы была максимальной.
Для решения находим предельные издержки, одинаковые для обоих
рынков:
СQ/ 
dC
d

(Cf  10  Q)  10 .
dQ dQ
Суммарный доход для первого рынка составляет:
R 1  P1  Q1  ( 300  0.5  Q1 )  Q1  300  Q1  0.5  Q12 .
Соответствующий предельный доход для первого рынка:
R 1/ Q 
dR 1
d

( 300  Q1  0.5  Q1 )  300  Q1 .
dQ 1 dQ
В точке максимума прибыли R 1/ Q  CQ/ , поэтому:
300  Q1  10, т.е. Q1  290 .
Подставляя Q 1 в кривую спроса первого рынка, находим:
P1  300  0.5  Q1  300  145  155 ,
т. е. цену, по которой следует продавать товар на первом рынке для получения максимальной прибыли.
Аналогично суммарный доход для второго рынка составляет:
R 2  P2  Q 2  (400  Q 2 )  Q 2  400  Q 2  Q 22 .
Предельный доход:
R 2/ Q 
dR 2
d

( 400  Q 2  Q 22 )  400  2 Q 2 .
dQ 2 dQ 2
Приравнивая R 2/ Q и C Q/ , получаем : 400  2Q2  10 , т.е. находим количество товара Q 2  195 , продажа которого на втором рынке приносит мак6
симальную прибыль. Соответствующая цена находится из кривой спроса
второго рынка
P2  400  Q 2  400  195  205
Итак, определены цены P1  155 и P2  205 , по которым следует продавать товар на двух различных рынках с целью максимизации прибыли
фирмы.
ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Выше рассмотрена задача оптимизации экономической функции одной переменной – функции прибыли π(Q) . Последняя может быть функцией двух и более переменных и естественно предположить, что могут
быть сделаны обобщения.
Для решения задачи оптимизации экономических функций двух переменных можно использовать известный алгоритм. В соответствии с ним
для функции z  f ( x, y ) сначала находятся стационарные точки из системы двух уравнений с двумя неизвестными
f x/ ( x, y )  0
.
 /
f y ( x, y )  0
После того, как координаты стационарной точки (или точек) найдены
xa , y b,
необходимо определить вторые частные производные, вычислить их значения в стационарной точке
f xy// (a, b); f xx// (a, b); f yy// (a, b)
и составить выражение


2
B  f xx// (a, b)f yy// (a, b)  f xy// (a, b) .
Возможны три варианта :
1. Если B  0 и выполняются неравенства f xx// (a, b)  0 , f yy// (a, b)  0 , то в
стационарной точке (a, b ) функция f ( x, y ) имеет минимум.
2. Если B  0 и выполняются неравенства f xx// (a, b)  0 , f yy// (a, b)  0 , то в
стационарной точке (a, b ) функция f ( x, y ) имеет максимум.
3. Если B  0 , то в стационарной точке (a, b ) нет ни максимума, ни
минимума. В задачах оптимизации этот случай обычно интереса не представляет и позволяет “отсеивать” некоторые стационарные точки.
Остальные случаи требуют дополнительных исследований, для экономических задач не характерны.
7
Итак, общий план действий состоит, во-первых, в нахождении стационарных точек, во-вторых, полученные точки проверяются на наличие
максимума или минимума.
Для функции n переменных y  f (x1 , x 2 ....xn ) стационарные точки находятся из решения системы уравнений
f x/1 ( x 1 , x 2 ....x n )  0
 /
f x 2 ( x 1 , x 2 ....x n )  0
,

..........
..........
..........
.

f / ( x , x ....x )  0
n
 xn 1 2
т.е. приравниваются нулю все частные производные первого порядка.
Существуют и критерии достижения максимума или минимума в стационарных точках для функции n переменных 3 .
При решении экономических задач часто сам характер задачи подсказывает, что следует ожидать в стационарной точке – максимум или минимум.
Кроме того, существует простой способ анализа точки экстремума,
вытекающий из самого определения максимума (минимума).
Пусть (x10 , x02 ....xn0 ) - координаты стационарной точки, а f ( x10 , x02 ....xn0 ) –
соответствующее значение функции. Берется точка (x1 , x2 ....xn ) , близкая к
точке (x10 , x02 ....xn0 ) и вычисляется y  f (x1 , x2 ....xn ) .
Если f (x1 , x2 ....xn )  f ( x10 , x02 ....xn0 ) , то в точке (x10 , x02 ....xn0 ) имеет место максимум.
Если f (x1 , x2 ....xn )  f ( x10 , x02 ....xn0 ) , то в точке (x10 , x02 ....xn0 ) имеет место минимум.
В качестве примера рассмотрим задачу о максимизации функции
прибыли двух переменных при отсутствии ограничений на переменные
(безусловная оптимизация).
Фирма производит два вида товаров и продает их по ценам 800 и 1000
соответственно. Функция затрат (издержек) имеет вид
C  Q12  2  Q1  Q2  3  Q22 ,
где Q1 и Q 2 - соответствующие объемы выпуска товаров.
Требуется найти такие значения Q1 и Q 2 , при которых прибыль, получаемая фирмой, максимальна.
8
Для решения задачи определим суммарный доход R от продажи товаров в объемах Q1 и Q 2 :
R  800  Q1  1000  Q2 .
Прибыль представляет собой разницу между доходом R и издержками С
  R  C  800  Q1  1000  Q2  Q12  2  Q1  Q2  3  Q22 .
Функция прибыли достигает максимума в стационарной точке, для
нахождения которой определим частные производные функции π(Q1 , Q2 ) :
Q/ 1 (Q1 , Q2 )  800  2  Q1  2  Q2
Q/ 2 (Q1 , Q2 )  1000  2  Q1  6  Q2 .
Координаты стационарной точки определятся из системы:
800  2  Q1  2  Q 2  0
.

1000

2

Q

6

Q

0

1
2
Вычитая из второго уравнения первое, получаем: 200  4  Q2  0 , т. е.
Q 2  50
Тогда Q1 
800  2  Q 2
 400  Q 2  350 .
2
Следовательно, стационарная точка имеет координаты:
(Q1 , Q2 )  (350,50) .
Выясним, максимума или минимума достигает функция прибыли
π(Q1 , Q2 ) в стационарной точке. Вычисляем производные второго порядка:
  2 
 2π
 2π
  2


2

0


6

0
;
; 
Q12
Q 22

Q

Q
 1 2
и определяем знак выражения
2
 2  2   2 
  2  ( 6)  ( 2) 2  8  0 .

 
2
2
 Q 1 Q 2   Q 1 Q 2 
 2π
 2π


2

0
 6  0, то в стационарной точке
Так как при этом
и
Q12
Q 22
функция прибыли имеет максимум, а именно:
 max  ( 350,50)  800  350  1000  50  350 2  2  350  50  3  50 2  165000
Итак, при Q1  350 и Q2  50 прибыль фирмы будет максимальной.
9
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задачи составляются по таблицам в соответствии с последней цифрой
N номера зачетной книжки.
Задача 1. Производственная фирма поставляет продукцию на два
рынка. Кривая спроса для первого рынка: 1      Q 1 ; для второго рынка: 2      Q2 .
Суммарная функция издержек имеет вид:
С  Сf  C v  Q, Q  Q1  Q 2 ,
где Cf - постоянные издержки, C v - единичные переменные издержки.
Какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль
была максимальной?
Задача 2. Фирма производит и продает два вида товаров по ценам F и
G соответственно. Функция затрат (издержек) имеет вид
С  K  Q12  L  Q1  Q 2  M  Q 22 ,
где Q 1 и Q 2 - соответствующие объемы выпуска товаров.
Определить значения Q 1 и Q 2 , при которых прибыль, получаемая
фирмой, максимальна.
Числовые значения параметров задач 1 и 2 даны в табл.1.
Таблица 1.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
A
500
400
500
600
700
800
600
500
400
300
α
1
1
2
3
4
4
1,5
2,5
3,5
1,5
B
360
600
400
800
500
600
400
800
900
360
β
1,5
3
2
4
0,5
2
1
1,5
2,5
3
Cv
10
30
20
60
60
40
30
50
50
30
F
800
600
1000
1000
1000
1200
1200
1200
1000
800
G
400
1000
800
600
1100
800
1600
1000
1600
1200
K
1
1
2
2
2
3
3
2
3
1
L
1
1
2
1
3
2
3
2
2
3
M
1
2
1
1
2
1
2
3
2
3
СОДЕРЖАНИЕ
Рекомендации по выполнению контрольных работ……………………3
Литература………………………………………………………………...3
Понятие о предельном анализе………………………………………….4
Оптимизация экономических функций одной переменной…………...4
Оптимизация экономических функций нескольких переменных..…...7
Задачи для контрольных заданий………………………………………10
Дайниченко Николай Владимирович
Безусловная оптимизация экономических функций
Методические указания и контрольные задания