Глава III ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В двух

Г л а в а III
ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В двух предыдущих главах данная специфическая область
науки была охарактеризована в своих основных философскометодологических аспектах - выяснены природа математики,
роль логики в построении ее теорий, показаны особенности
идеализированных объектов, метода и предмета математики.
Картина была бы неполной, если бы мы не предприняли критический анализ основных программ обоснования этой отрасли знаний и не осветили тесно связанный с ними вопрос о парадоксах теории множеств.
§ 1. Парадоксы теории множеств
и их философская интерпретация
Парадоксы органически связаны с апориями и антиномиями; им присуще как общее, так и некоторые различия. Если
в антиномиях содержатся противоположные высказывания по
каким-то узловым научным проблемам, то в апориях формулируются положения, только последующий анализ которых
приводит к логическим парадоксам. При этом всякая антиномия выглядит парадоксальной, тогда как далеко не каждый
парадокс можно назвать антиномией. К тому же этот термин
в специальной литературе иногда употребляется для характеристики всякого рода противоположностей (индивида и общества, синхронии и диахронии и т. п.), т. е. расширительно.
Сущность антиномии, как известно, заключается в том, что в ней содержатся противоположные высказывания (S есть Р и не есть Р), которые в равной
степени можно обосновать. Формально-логически ни доказать, ни опровергнуть
ни одно из таких положений не представляется возможным. Анализ известных
кантовских антиномий показывает, что в материальной действительности имеют
место лишь объективные предпосылки для них. Сами же они являются след*
ствием особенностей рассудочной деятельности, вернее, дискурсивного мышления, и без обращения к диалектической логике удовлетворительно объяснены быть не могут.
Для иллюстрации сказанного обратимся к первой антиномии Канта, имеющей непосредственное отношение к математике. По его определению, с одинаковой долей доказательности можно утверж пять как о конечности, так и бес66
конечности мира в пространстве и времени. Очевидно, что здесь не обойтись без
рассмотрения ее с двух точек зрения. Для математики, как указывалось в первой главе, понятия „бесконечное", „множество", „изоморфизм", „гомоморфизм" имеют, так сказать, „разделительный" характер, так что конечное противопоставляется бесконечному абсолютно, отрывается от него. Диалектика же
предполагает рассмотрение конечного и бесконечного в неразрывном единстве,
как понятий соотносительных, жестко не привязывая их к дискретным представлениям. (В рамках обыденного сознания, соответствующего геометрии Евклида и ньютоновской механике, бесконечность невозможно представить себе
иначе как потенциальную.)
Антиномии, апории и парадоксы обладают общностью и в том отношении,
что их последующий анализ приводит к нарушению формально-логического закона противоречия. Что касается различий, то они, повторяем, имеют весьма
относительный характер. Это станет более очевидным при последующем выяснении природы парадоксов.
Прерывно-непрерывный процесс мышления, в котором
адекватно отображаются явления внешней действительности,
осуществляется в дискретных по своей форме сложных знаках - словах естественного языка. Поэтому для формальной
логики понятия есть нечто неизменное, статичное и дискретное. Данное реальное противоречие языка и мышления, в общем случае противоположность дискретного и непрерывного,
будучи главной причиной основного различия между диалектикой и формальной логикой, и порождает, с нашей точки зрения, парадоксы не только в математике, но и в логике, которая является необходимым способом ее построения, средством формально-дедуктивного метода.
В движении понятий, в их гибкости схватывается движение, присущее всем без исключения объектам внешнего мира,
но в силу особенностей формальной логики, правила которой
должны выполняться в каждом акте мышления, происходит
раздвоение единого на противоположности, фиксация отдельных сторон движения, в частности вычленение устойчивости и
дискретности в прерывно-непрерывном процессе мышления.
Подобная дихотомия и приводит к возникновению парадоксов. (Вопрос о причине такой дихотомии рассматривался нами
в § 2 гл. II.)
Итак, парадоксы - явление нормальное, вернее сказать,
закономерное, а не что-то случайное и аномальное. Верное
теоретическое объяснение им можно дать только в результате
философского анализа, одновременно наметив и путь, следуя
по которому можно избежать их.
Удовлетворяя нормативным правилам логики, мышление всегда фиксирует одну из двух противоположных сторон движения, вернее, его понятийного
образа, и тем самым свидетельствует о наличии в парадоксах элемента метафизичности. Стало быть, парадоксы не выражают диалектических противоречий,
но как бы их высвечивают.
В предыдущем параграфе было подробно показано, что
5*
67
формальная логика и математика фиксируют в материальном
движении и понятийном мышлении дискретность (либо непрерывность) и устойчивость. Такое разделение на взаимоисключающие противоположности в конце концов и приводит
к парадоксахМ. Следует заметить, что речь при этом идет об
огрублении диалектических, а не формально-логических понятий. Последние, как показали еще Гегель и Кант, фиксируют
только одну из двух противоположных сторон движения объектов реальной действительности и соответствующих ему диалектических понятий - устойчивость и дискретность. В результате этого и возникает неожиданная на первый взгляд
ситуация: избегая противоречий, формальная логика и дискретная математика сами неизбежно порождают своеобразные
коллизии в виде парадоксов121. Такова цена точности, непротиворечивости и однозначности в математике и формальной
логике.
Чтобы стал очевиднее этот тезис о парадоксах, целесообразно хотя бы вкратце остановиться на вопросе о том, как совершался прогресс математики, какую тенденцию при этом
можно было наблюдать.
Обычно выделяют четыре основные стадии ее развития:
первоначального накопления знаний; периоды элементарной
математики и переменных величин, когда стали описываться
процессы; современную ступень ее развития (А.Н.Колмогоров), период математики переменных отношении, точнее, абстрактных форм (Г.И.Рузавин). Некоторые ученые (В.Г.Болтянский, В. И. Данилов-Данильян) данные фазы изменений более определенно связывают с возникновением основных разделов этой отрасли знаний: арифметика и геометрия древних,
алгебра, классическая (аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, т. е. то, что принято называть высшей математикой) и современная математика.
Отмеченные стадии интересно рассмотреть и в ином плане
(см. схему 2). Если два первых этапа развития математики
свидетельствуют о четкой противоположности между дискретным и непрерывным (числом и фигурой, в частности), то уже с
введением переменной величины, с созданием дифференциального и интегрального исчисления (и особенно функционального анализа, в котором синтезируются идеи анализа и
топологии) наблюдается определенное сближение дискретного
с непрерывным, хотя принципиальное различие, „пропасть"
между ними остается. Сошлемся на такой характерный пример.
2
На первый взгляд кажется, что уравнение вида у = ах
121
Ильенков Э. В. Диалектическая логика. М., 1974. С. 233.
68
выражает и дискретность, и непрерывность: достаточно подставить какое-то действительное число в качестве аргумента х, и мы получим соответствующее дискретное значение
функции у 1 2 2 . Налицо как будто воплощение единства дискретного и непрерывного, их сочетание в одной и той же
формуле. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается,
что способ подстановки - всего лишь прием перехода от непрерывной функции к дискретному числу. Другими словами,
описываемой приведенным в качестве примера уравнением
параболе свойственна лишь непрерывность.
Возможность же перехода к прерывному, выражаемому
средствами дискретной математики, осуществляется обычно
связанным с огрублением методом аппроксимации и ни в
коем случае не может служить иллюстрацией того, что уравнение типа у = ах2 выражает и дискретность, и непрерывность
одновременно. О том же свидетельствует и обратный процесс - переход к непрерывной функции: такое движение осуществляется лишь путем „перехода к пределу", что невозможно без соответствующих упрощений и искусственных приемов.
А они в данном случае имеют концептуальный характер: как
известно, второй кризис методологических основ математики
подтвердил принципиальную несводимость непрерывного к
дискретному.
В настоящее время тенденция сближения дискретного с
непрерывным тоже просматривается, если иметь в виду, что
получившая значительное распространение теория множеств
не исчерпывается областью дискретного в том смысле, что
множеством может быть, например, и множество отрезков.
Тем не менее эта противоположность не ликвидируется. Нельзя, например, рассматривать фигуру в качестве множества
точек, в противном случае, замечает академик Л. Понтрягин,
мы не имели бы права говорить о равенстве двух разных треугольников, поскольку в теории множеств два множества могут быть равными только при полном совпадении. К тому же
континуум, как известно, не исчерпывается дискретным, не
сводится к дискретному.
122
Данное обстоятельство объясняет возможность возникновения аналитической геометрии - своеобразного синтеза алгебры и геометрии, а также факт
появления бесконечно малой величины.
69
Схема 2
Примерная последовательность возникновения основных разделов
математики (в левой части схемы изображены разделы дискретной
математики, в правой - математики непрерывных величин)
Интересно то, что в предлагаемой схеме достаточно четко проявляется закон отрицания отрицания. Так, создание системы символов для обозначения
переменных величин в алгебре (работы Ф. Виета), введение буквенного коэффициента в уравнения представляет собой как бы возврат к арифметике, но на
новой основе. В свою очередь, возникновение математического анализа (да и
аналитической геометрии, с которой он органически связан) есть не что иное,
как распространение понятия переменной величины из области дискретного на
область непрерывного с последующим освобождением функций от их геометрической интерпретации. Наконец, появление теоретико-множественного подхода определило перенесение центра тяжести снова на область дискретного 1 2 3 .
Все сказанное не означает, что возникновение последующих разделов математики „ставит крест" на использовании и развитии старых. Отнюдь нет. Она
как целостная система знаний применяет и развивает все дисциплины, хотя
удельный вес их в разное время изменялся, и притом в значительной степени.
Исторически всегда сосуществовали, например, арифметика и геометрия, так что
указанная схема значительно упрощает реальный процесс развития математического знания. Достаточно сказать, что любое измерение длины предполагает одновременное использование и арифметики, и геометрии.
Теперь, когда в общих чертах выяснена природа антиномий, апорий и парадоксов, перейдем к анализу парадоксов
теории множеств.
Выше говорилось, что в конечном счете причиной всех
парадоксов в математике является альтернативный характер
дискретного и непрерывного, исходных понятий в ней (число и
множество, с одной стороны, фигура и функция, с другой).
123
Если Платон считал, что „бог геометризирует", то П. Якоби, напротив, полагал, что „бог всегда арифметизирует"; если Паскаль утверждал: „Все, что выходит за рамки геометрии, выходит за рамки нашего мышления", то в начале
XX в. ученые предпочитали нечто обратное - все, что остается за рамками арифметики, оказывается вне нашего понимания.
70
Существует самая тесная связь кризисов оснований математики с этой альтернативой. „Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, - пишут по этому поводу А. Френкель и И. Бар-Хиллел, - или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных - пожалуй, даже
самая главная - проблема оснований математики" 124 . Во всяком случае за три основных кризиса, выпавших на долю оснований математики, всецело ответственна проблематика прерывности и непрерывности. Причина этих кризисов оказывается, как видим, той же самой, что и природа парадоксов в
формальной логике.
Чтобы посмотреть на парадоксы теории множеств с более
широких позиций, выявить их генезис, целесообразно хотя бы
кратко остановиться на всех трех кризисах, которые наблюдались в истории развития математики и которые каждый раз
стимулировали интерес к проблеме ее обоснования.
Первый кризис возник в результате обнаружения несоизмеримости отрезков. Оказалось, что диагональ квадрата со
стороной, равной единице (или, что то же самое, гипотенуза
равнобедренного треугольника с катетом, равным единице),
выражается числом
, которое не является рациональным, а
представляет собой бесконечную непериодическую дробь.
Иначе говоря, данное отношение не может быть выражено
дробью т/п, где m и n- натуральные числа. В казавшемся до
этого крепком здании науки обнаружилась своеобразная трещина, можно сказать, выявлен изъян в самом его фундаменте*.
Открытие несоизмеримости отрезков вызвало удивление и
замешательство ученых древнего мира, поскольку до тех пор
пифагорейцы, например, полагали, что любые два отрезка
имеют общую числовую меру, хотя бы и очень малую. Система
рациональных чисел всюду плотно покрывала числовую ось, и
на ней, казалось, не оставалось места для таких чисел, которые
впоследствии были названы иррациональными.
Это означало, что здание раньше возводилось на базе дискретной математики - арифметики натуральных чисел (отрицательных чисел и нуля древние
греки не знали). Совершенно естественно, что после такого кризиса стали стро————————
124
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.
* При определении несоизмеримости Пифагор, по-видимому, применил метод доказательства от противного. По мнению Аристотеля, он показал, что если
бы диагональ квадрата была соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы
нечетному. Использовалась, таким образом, теорема Пифагора, в честь открытия
которой он в свое время приказал принести в жертву сто быков.
71
ить здание на основе геометрии (это особенно хорошо видно из „Начал" Евклида), полагая, что ее объекты обладают более общей природой, чем числа. Затруднения античных ученых дали мощный толчок развитию математики; кризис ее
основании обернулся для нее своеобразным стимулом дальнейшего развития.
В наших целях важно отметить, что факт несоизмеримости
отрезков есть не что иное, как выражение невозможности свести непрерывное к дискретному. В результате установления
этого факта ученые древности были вынуждены обратиться,
как мы скажем сегодня, к понятию потенциальной бесконечности, хотя само понятие бесконечности было введено Анаксагором несколько ранее (V в. до н. э.).
Параллельно с обнаружением неожиданного, с точки зрения греков, явления несоизмеримости, в логике был выявлен
целый ряд парадоксов, тоже, как правило, связанных с представлениями о бесконечном. У одного Зенона Элейского их
насчитывалось сорок пять, из которых до нас дошло девять.
Наиболее характерными являются апории „дихотомия" и
„Ахиллес и черепаха", в которых отчетливо просматривается
несводимость непрерывного к дискретному, невозможность
в рамках формально-логических рассуждений выразить движение, в частности механическое перемещение предметов в
пространстве.
Так, в апориях „дихотомия" и „покоящаяся стрела" утверждается, что
движения нет и быть не может, поскольку то, что перемещается, должно дойти
до середины пути, прежде чем оно приблизится к концу его. Но чтобы достичь
середины, оно должно было бы дойти до середины первой половины' пути, и так
до бесконечности. Следовательно, движение не может начаться вообще 1 2 5 .
Показательной является и апория „Ахиллес и черепаха". Медленный в
беге никогда не может быть настигнут более быстрым, ибо тот, кто догоняет,
всегда должен сначала достичь точки, из которой начал движение убегающий,
так что последний всегда будет на некотором расстоянии от своего преследователя. Подобный ошибочный вывод обусловлен невозможностью в рамках формальной логики выразить простое перемещение теля (Ахиллес, черепаха), которое как бы находится в данной точке и вместе с тем его там нет. В самом
деле, если тело оказывается только в данной точке, то движения не получается:
из суммы точек, не имеющих протяженности, получить континуум невозможно. Если же тело отсутствует в данной точке, то оно не находится ни в другой,
ни в третьей, т. е. его нет ни в одной из точек траектории данного пути. В
первом случае абсолютизируется дискретность, во втором - непрерывность.
Всякое движение между тем суть единство дискретности и непрерывности,
устойчивости и изменяемости.
Очевидно, что во всех подобных случаях формальная ло125
Существует и противоположная интерпретация этого парадокса, согласно
которой то, что движется, вначале должно пройти половину пути, затем половину второй половины и т. д. без конца. Математически парадокс „дихотомия"
в этом случае может быть выражен формулой вида
72
гика фиксирует преимущественно устойчивость и дискретность реального движения (вернее, соответствующих мыслей
о нем), так что выразить его только в рамках формальной логики оказывается делом невозможным. Траектория пути не
может быть представлена суммой покоящихся точек. Иначе
говоря, не имеющие протяженности точки не могут образовать
линию, которая должна обладать протяженностью, вернее,
континуальностью.
Сложной для философской интерпретации является и апория "покоящаяся стрела", так как основной вывод, который в виде парадокса получается из
ее анализа, — „тело и находится в этой точке, и не находится в ней" - вступает
как бы в противоречие с формально-логическим законом недопустимости противоречия. Впрочем, как нами уже отмечалось, любой логический парадокс в
конце концов не согласуется с упомянутым законом. Потому-то он и является
парадоксом, который (в отличие от софизма и паралогизма) не связан с логической ошибкой.
Усилиями Теэтета, Евклида, Архимеда и Евдокса, которые
развили общую теорию пропорций (как геометрический эквивалент учения о положительных вещественных числах) и разработали метод исчерпывания - зачаточную форму теории
пределов, кризис был преодолен (для уровня знаний того периода, разумеется) и математическое здание вновь обрело
свою былую прочность. Однако она оказалась кажущейся:
спустя два тысячелетия опять возник кризис. Можно сказать,
что он был продолжением все того же кризиса в видоизмененной форме.
Второй кризис методологических основ математического
знания разразился в конце XVII - начале XVIII в. в ходе попыток обосновать исчисление бесконечно малых, которое было создано в XVII в., выявить статус понятия бесконечно малой величины, имеющей парадоксальный, формально-противоречивый характер.)
Известно, что начало этому этапу развития математики
положил Декарт. Он ввел в нее не только систему координат,
но и переменную величину, чем заложил основы аналитической геометрии. Дифференциальное и интегральное исчисление базировалось на тех представлениях о переменных величинах, которые в общем виде были сформулированы Декартом. "Поворотным пунктом в математике, - замечает в связи
с этим Ф.Энгельс, - была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым
диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом за126
вершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем" .
126
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 573.
73
Ньютон и Лейбниц не сумели рационально обосновать основные понятия математического анализа, как, впрочем, не
могли этого сделать и многие другие их современники. При
решении дифференциальных уравнений бесконечно малую
величину они приравнивали к нулю и отбрасывали. Такой
прием вызвал, конечно же, возражения со стороны многих
ученых. К. Маркс, основываясь на примере вычисления производной функции у = ах3, показал незаконность подобного
отбрасывания бесконечно малой величины, которая, по определению, должна быть отличной от нуля. Ученые, по его словам, „сами верили в таинственный характер новооткрытого
исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математики положительно неправильным путем. Таким образом,
сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, чем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие
отклик даже в мире неспециалистов"127.
Трудности, которые возникли в связи с обоснованием бесконечно малой
величины, использовал в своих целях английский епископ Беркли. Поводом к
этому послужил такой эпизод. Однажды один из его знакомых на смертном
одре отказался от священника на том основании, что положения христианства
не имеют такой же доказательной силы, как утверждения математики. Тогда
Беркли решил выступить с памфлетом „Аналитик, или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику" (имелся в виду Галлей), в котором
он не отрицал недоказуемость догм христианства, но утверждал, что принципы
исчисления бесконечно малых еще менее доказуемы, хотя математики руководствуются этими принципами и верят в них. При этом Беркли указывал на
ньютоновское определение скорости движения в данный момент времени (производную, „флюксию", по выражению Ньютона), которое означает его отсутствие. Заодно досталось и Лейбницу и его последователям, которые „без тени
сомнения сначала предполагают и затем отвергают бесконечно малые величины,
что не может не заметить любой мыслящий человек, наделенный ясным умом
и здравостью суждений".
„Разве математики, — вопрошал далее рассерженный Беркли, — столь чувствительные в вопросах религии, столь же скрупулезно придирчивы в своей
науке? Разве не полагаются они на авторитет, принимая многое на веру, и разве не веруют они в вещи, непостижимые для разума? Разве нет у них своих
таинств и, более того, своих несовместимостей и противоречий?"
Методологически важным является то, что в случае дифференциального и интегрального исчисления как двух противоположных действий в явном или неявном виде делается
попытка соединения непрерывного и дискретного путем использования бесконечно малой величины, которая в вычислениях приравнивается к нулю, так что потенциальное заменяется актуальным.
127
Маркс К. Математические рукописи. М., 1968. С. 169.
74
Перед исследователями вновь во весь рост встала все та
же сакраментальная проблема дискретного и непрерывного,
так как и в этом случае, по существу, имеет место принципиальная невозможность полностью стереть грань между ними, между нулем и бесконечно малой величиной, хотя в теоретических и практических целях математический анализ
оказался весьма эффективным.
Метко охарактеризовал это положение Ф.Энгельс. Он писал: „Когда в
математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была
распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, — тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила
от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с
тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра разногласий..." 1 2 8
Выход из второго кризиса заключался в создании теории
пределов (О. Коши, К. Вейерштрасс). Он был найден и осуществлен на путях последующей искусной арифметизации основных, исходных понятий анализа (производная, дифференциал,
интеграл и т. д.), введение которых было связано с вынужденным огрублением по причине „несводимости" кривой к касательной.
Было сформулировано понятие предела последовательности, которое легло в основу дифференциального и интегрального исчисления129. Фундамент математического здания снова
стал выглядеть прочным и незыблемым. По словам Вейля, учеными овладело убеждение, что „грандиозное здание анализа
приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно
обоснованным во всех своих частях".
Существенно, что в случае операции предельного перехода, когда нуль
рассматривается: как предел, к которому стремится бесконечно малая величина,
в явном виде используется абстракция бесконечности, которая мало чем отличается от классической потенциальной бесконечности в виде постоянно увеличивающегося ряда натуральных чисел.
Понятие актуальной бесконечности в неявном виде используется и при арифметизации анализа. Все это свидетель128
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 88-89.
129
Так, последовательность ап имеет своим пределом а при n, стремящемся
к бесконечности (л
), когда сколь угодно малому числу
0 можно поставить в соответствие такое целое число N (зависящее от ), что неравенство
выполняется для всех п, удовлетворяющих условию n N. Данное определение предела последовательности легко обобщается и на случай
функции: функция f(x) имеет предел а, когда х стремится к х0 и если для любого сколь угодно малого числа > 0 найдется такое число
> 0 (зависящее
от ), что неравенство
для всех значений х x0 будет удовлетворять неравенству
.
75
ствует о том, что разрешение второго кризиса методологических основ математики тоже было весьма относительным и
временным. Больше того, с известной долей смелости можно
говорить о том, что второй кризис фактически перерос в
третий.
Если античные мыслители в ходе преодоления первого
кризиса шли в направлении от арифметики к геометрии, то
здесь мы имеем нечто противоположное - движение к дискретной математике. Общая же задача этих предприятий в
целом остается прежней - осуществление органического соединения дискретного и непрерывного в математике, неизменно предполагающее обращение к понятию бесконечности,
преодоление „пропасти" между арифметикой и геометрией.
„Пропасть" между дискретным и непрерывным дает о себе знать и в
континуум-гипотезе Кантора, который высказал догадку, что между мощностью, кардинальным числом счетного множества (в случае конечного множества оно равно числу его элементов) и мощностью континуума не существует
никаких промежуточных мощностей. Иначе говоря, кардинальное число множества действительных чисел непосредственно следует за кардинальным числом
счетного множества. И это связано с самыми глубокими вопросами обоснования математики.
Процесс своеобразной элиминации геометрических представлений интуитивного порядка шел не только по линии
арифметизации исчисления бесконечно малых, но и путем создания неевклидовых геометрий, а также полуформальной аксиоматизации геометрии и арифметики (Гильберт, Пеано и др.).
В итоге такое развитие привело к необходимости использовать теорию множеств, которая становится важной областью
математического знания. Как отмечает Н. Бурбаки, „модели,
опирающиеся на арифметику, приобретают еще большее зна130
чение вследствие расширения аксиоматического метода" .
С возникновением и развитием теории множеств, которые
использовались в большинстве математических дисциплин,
на рубеже XIX-XX вв. возник связанный с новейшей революцией в математике третий кризис. Он до сих пор не нашел
своего удовлетворительного разрешения (во всяком случае,
по мнению некоторых ученых).
Все началось с парадоксов теории множеств, которые впервые были обнаружены итальянцем Ч. Бурали-Форти (1897 г.),
а через два года и самим Г. Кантором - создателем общей теории множеств (в основаниях геометрии он возник несколько
раньше, в связи с открытием неевклидовых геометрий). Оперируя с бесконечными (трансфинитными, необыкновенными)
130
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 35.
76
множествами, Кантор нашел, что в подобных случаях часть
равна целому, что уже само по себе парадоксально (в случае
обыкновенных множеств целое всегда больше своей части).
Пусть N — множество всех возможных множеств, а С — множество всех
подмножеств множества N. Поскольку мощность множества всех подмножеств
любого множества имеет мощность, большую мощности этого множества, то
мощность С должна быть больше мощности N. Но множество N есть множество
всех возможных множеств, стало быть.. С является подмножеством N. Мощность подмножества не больше мощности множества, следовательно, мощность
С не больше мощности N. В результате имеем явное противоречие - два исключающих друг друга суждения. Характерно, что Г. Кантор не опубликовал обнаруженного им парадокса. О нем стало известно общественности лишь в 1932 г.,
когда посмертно была напечатана переписка Кантора.
В 1902г. в теории множеств Б.Расселом был обнаружен
парадокс еще более общего плана, связанный с самим определением множества. Этот парадокс окончательно подорвал веру математиков в прочность методологических основ своей
науки.
Известно, что множества либо являются элементами самих
себя, либо нет. Например, множество всех множеств само есть
множество, а множество всех книг данной библиотеки книгой
не является. Пусть М - множество всех множеств, которые
являются элементами самих себя, а N - множество всех множеств, которые элементами самих себя не являются. Возникает вопрос: является ли N элементом самого себя? Если оно
является элементом самого себя, то оно есть элемент М, а не
N. В силу этого оно не является элементом самого себя и является элементом N, а не М, т. е. является элементом самого
себя.
Позже парадокс Рассела популяризировался в самых различных вариантах. Сам он разъяснял его на примере с парикмахером деревни, который взял на себя обязательство брить
только тех, кто не бреется сам. Возникает вопрос, как должен
поступить парикмахер по отношению к самому себе. Ведь если
он будет брить себя сам, то нарушит принятое условие. Если
же он не будет брить себя, то опять-таки придет в противоречие с взятым обязательством. Налицо явное неразрешимое
формально-логическое противоречие.
Примечательно, что такого рода неожиданные выводы были хорошо известны еще древним грекам и свидетельствуют
о единой природе логических и теоретико-множественных парадоксов, а также о том, что зачатки и второго (вспомним апории Зенона), и третьего кризисов имели место еще в период
становления математики, так что их, по-видимому, можно рассматривать как этапы одного и того же общего кризиса мето77
дологических основ математики, часто неправомерно расцениваемого специалистами как крушение ее самой.
В связи с обнаружением странностей теории множеств Гильберт писал:
„Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце
достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как
их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает
осечку"131.
„Теоретико-множественная установка, — говорит по этому же поводу академик А. Д. Александров, - оказалась подорванной, и вместе с нею оказалось
подорванным все стройное здание математики. В верхних этажах его шло энергичное строительство: кирпичи теорем, соединяемые цементом логики, укладывались в рамках уже определившихся разделов и воздвигались каркасы новых теорий, но в теоретико-множественном фундаменте обнаружились расширяющиеся трещины парадоксов и под ними зыбучие пески и топи логических
трудностей" 1 3 2 .
Среди известных парадоксов, тоже не связанных с понятием бесконечности, следует назвать парадокс „лжец", который считается классическим. Евбулиду (IV в. до н. э.), как
известно, приписывают следующую парадоксальную фразу:
„Утверждение, высказываемое мною, ложно". Если это утверждение истинно, то оно, согласно смыслу сказанного, ложно.
Если оно ложно, то содержание его оказывается истинным.
Как видим, любое предположение ведет к противоречию.
Еще более древний вариант этого парадокса („все критяне лжецы") приписывается философу Эпимениду (VI в. до
н. э.). Это внутренне противоречивое высказывание напоминает парадокс Рассела. В самом деле, если данное суждение
рассматривать как истинное, то оно оказывается ложным, поскольку сам автор высказывания является критянином. И
наоборот, если эту мысль считать ложной, то получается, что
она истинна, так как все критяне лгуны.
По преданию, древнегреческий философ Диодор Кронос
не сумел объяснить этого парадокса и скончался от огорчения.
Другой известный философ древности - Филипп Косский изза постигшей его в этом неудачи будто бы покончил жизнь
самоубийством.
Интересно, что оба указанных высказывания кажутся лишними, ненужными. Какой смысл критянину утверждать, что все критяне лжецы, а Евбулиду говорить о том, что он сам считает ложным? По-видимому, все это нужно
было для того, чтобы выявить „странности" формальной логики на этот счет
либо запутать соперника в словесном поединке, что называется, ошарашив его
131
Гильберт Д. Основания геометрии. С. 349.
132
Александров А. Д. Математика и диалектика // Сибирский математический журнал. 1970. № 2. С. 247.
78
неожиданным суждением (не случайно этот парадокс называют „бывшим софизмом"). Подобные парадоксальные высказывания в логике (да и в математике) оказываются соотнесенными, рефлективными, „самоприменимыми",
"циркулярными" 1 3 3 , одним словом, импредикативными: если бы, к примеру,
Евбулид говорил о ложности высказывания другого человека, а не самого себя, никакого парадокса бы не было.
Все существующие парадоксы австрийский логик Ф. Рамсей классифицировал на две группы. В первую группу он
включал математические и логические (синтаксические). Парадоксы второй группы имели чисто „семантическую" природу. Разрешение и устранение последних ему виделось в реконструкции существующего естественного языка, с чем, конечно, согласиться трудно. К тому же предложенная им классификация не является строгой, поскольку и „семантические"
парадоксы являются логическими. Имеет смысл, на наш
взгляд, подразделять математические парадоксы на те, которые связаны с применением понятия бесконечности, и те, которые являются результатом использования импредикативных определений (в случае бесконечных множеств оба фактора действуют одновременно).
Что же касается парадоксов общелогического порядка,
не связанных с математическими построениями, то они, в
свою очередь, тоже могут быть двух видов. В одном случае
это - импредикативные высказывания типа „лжец", в другом
(апории „дихотомия", „Ахиллес и черепаха" и т. п.) - сходны
с математическими, в которых используется понятие бесконечности. Все эти парадоксы обусловлены особенностями традиционной формальной логики, которая без помощи диалектической не в состоянии выразить реальное движение.
Импредикативные высказывания не всегда выражаются так лапидарно,
как это имеет место с „лжецом". Иногда они облекаются в сложную и экзотическую форму, так что распознать их оказывается делом нелегким. Приведем
подобный пример, известный еще древним под названием „женщина и крокодил".
Однажды египтянка гуляла с ребенком на берегу Нила. Заметивший их
крокодил выхватил малыша из рук несчастной женщины, которая со слезами
стала просить крокодила вернуть ей ребенка. Тот поставил ей условие, согласно
которому он обязуется это сделать, если она отгадает, возвратит он ребенка или
нет. Египтянка сказала, что крокодил его не отдаст. На это тот заявил, что она
ребенка не получит: если она сказала правду, то малыша он не может ей вернуть, иначе ее слова не будут правдой. Если же она сказала неправду, то ребенка крокодил не вернет по условию.
Однако женщине эти рассуждения показались неубедительными, и она ответила, что крокодил должен ей отдать ребенка. В самом деле, если она сказала
правду, то он обязан вернуть его по условию, если же не отгадала и сказала
неправду, то крокодил опять-таки должен возвратить ей малыша, поскольку
в противном случае то, что она сказала, не будет неправдой.
133
Ивин А. А. По законам логики. М., 1983. С. 198.
79
В ряду многочисленных способов и методов, которые помогли бы избежать подобных парадоксов и в какой-то мере
объяснить их, наибольшего внимания заслуживает требование
Рассела. Он предложил исключить из математики и логики
импредикативные предложения, в которых определение элемента множества зависит от последнего, что и приводит к
подобию порочного логического круга. В своем „принципе
порочного круга" Рассел формулирует правило, по которому
„никакое множество С не может содержать элементов m, определяемых лишь в терминах множества С, а также элементов
n, предполагающих в своем определении это множество".
Короче говоря, необходимо запретить использование множеств, которые являются элементами самих себя.
Подобное сужение понятия множества значительно ограничивает его использование в математике. Кроме того, хотя
исключение импредикативных определений помогает избежать парадоксов, оно далеко недостаточно для глубокого теоретического объяснения их природы и причин появления, коренящихся в дихотомии мышления и языка, в особенностях
формальной логики, в противоположности дискретного и непрерывного в общем случае (см. схему 3).
Схема 3
Структурно-логическая схема
генезиса парадоксов в математике и логике
Из схемы видно, что противоположность дискретного и
непрерывного как самая глубинная причина кризисов в математике проявляется не только через понятие бесконечности,
но и в виде импредикативных высказываний в математике и
логике. В последней парадоксы тоже могут быть вызваны тем,
что она сама по себе не в состоянии выразить реальное движение в силу своей дизъюнктивности, дихотомии языка и
80
мышления, невозможности непрерывное свести к дискретному, что подобно применяемой математической бесконечности.
Примечательно, что нельзя однозначно связывать даже
математические парадоксы с понятием бесконечности, как это
иногда делается. Противоположность непрерывного и дискретного не исчерпывается несводимостью первого ко второму и
потому не связана однозначным образом с математической
бесконечностью. Об этом свидетельствуют те парадоксы, которые не предполагают использование бесконечных множеств
(Пуанкаре, Рассел и др.). Впрочем, и первые два кризиса оснований математики можно рассматривать как результат использования понятия актуальной бесконечности, которая, в
отличие от потенциальной, дана одновременно всеми своими
частями. Преодоление этих кризисов всегда осуществлялось
путем, так сказать, перехода от актуальной бесконечности к
потенциальной. (Напомним, что последняя проявляется в
двух противоположных процессах - приближении к бесконечно малому и бесконечно большому.)
Ответ на вопрос о природе парадоксов, антиномий и апорий следует искать
не на путях употребления трех-, много- или бесконечнозначных логик, в отношении возможностей которых некоторые ученые проявляют необоснованный
оптимизм 1 3 4 , а в русле более тщательного анализа особенностей формальной
логики, которая является необходимым компонентом математических построений, наукой о последовательном и непротиворечивом мышлении. Как отмечалось в начале этого параграфа, конечной причиной этих парадоксов является то,
что формальная логика (как и дискретная математика) фиксирует в реальном
движении и понятии только одну из противоположных сторон — устойчивость
и дискретность. Это не дает возможности адекватно отразить средствами одной
формальной логики движение понятий, а в конечном итоге приводит к особого
рода противоречиям, именуемым парадоксами.
Итак, парадоксы теории множеств - закономерный результат развития математики, в котором выражаются особенности
формального способа описания действительности с помощью
искусственного языка. Именно в связи с этим кризис оснований математики рассматривается не как крушение этой науки, а как слабости ее философской аргументации. Этот кризис
методологических основ захватил математику, как и физику
конца XIX - начала XX в. Он послужил мощным толчком к
более тщательному обоснованию этих отраслей науки, но одновременно оживил здесь идеализм.
134
Иес Г., Ньюсом К. О математической логике и философии математики.
М., 1968. С. 36.
6. Н.И.Жуков
81