Приложение 3. Математика
advertisement
Приложение 3 1. Предметный цикл «Математика» 1.1. Математическая компетенция Математическая компетенция означает системное знание математических понятий и связей, а также способность пользоваться математикой при помощи присущего ей языка, символов и методов для моделирования различных заданий как внутри самой математики, так и в других учебных предметах и сферах жизни. Математическая компетенция охватывает общее умение решения проблемы, которое содержит в себе умение ставить проблему, находить подходящие стратегии решения и применять их, анализировать касающиеся решения идеи, проверять верность результата. Математическая компетенция означает умение логически рассуждать, обосновывать и доказывать, а также понимать и использовать различные методы представления (символы, формулы, графики, таблицы, диаграммы). Математическая компетенция включает в себя и интерес к математике, понимание социального, культурного и персонального значения математики, а также использование возможностей информационной и коммуникационной технологии (далее ИКТ). Выпускник гимназии: 1) ценит математику, способен оценивать и учитывать свои математические способности при планировании карьеры; 2) Имеет системный и связный обзор понятий из различных разделов математики, их связей и процедур; 3) понимает и анализирует математические тексты, представляет свои математические рассуждения как в устной, так и в письменной форме; 4) умеет рассуждать творчески и логически, находить подходящие для решения проблемных заданий стратегии и применять их; 5) умеет выдвигать математические гипотезы, обосновывать и доказывать их; 6) понимает управляющие окружающим миром квантитативные, логические, функциональные, статистические и пространственные связи; 7) умеет применять математические методы при изучении других учебных предметов и в различных сферах жизни, умеет представлять проблемы повседневной жизни на языке математики, а также интерпретировать и критически оценивать математические модели в контексте повседневной жизни; 8) умеет трактовать различные способы представления математической информации (график, таблица, формула, диаграмма, текст), выбирать подходящий способ представления и переходить от одного способа представления к другому; 9) умеет пользоваться в математической деятельности различными источниками информации (модели, справочники, средства ИКТ и т.д.) и критически оценивать содержащуюся в них информацию. 1.2. Учебные предметы цикла, обязательные курсы и курсы по выбору В цикл учебных предметов входит узкая математика, состоящая из 8 курсов, и широкая математика, состоящая из 14 курсов. Обязательные курсы узкой математики: 1. «Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства» 2. «Тригонометрия» 3. «Вектор на плоскости. Уравнение кривой». 4. «Вероятность и статистика» 5. «Функции I» 6. «Функции II» 7. «Плоские фигуры. Интеграл» 8. «Стереометрия» Обязательные курсы широкой математики: 1. «Числовые множества. Выражения» 2. «Уравнения и системы уравнений» 3. «Неравенства. Тригонометрия I» 4. «Тригонометрия II» 5. «Вектор на плоскости. Уравнение кривой» 6. «Вероятность, статистика» 7. «Функции I. Числовые последовательности» 8. «Функции» 9. «Предел и производная функции». 10. «Приложения функции» 11. «Интеграл. Повторение планиметрии» 12. «Геометрия I» 13. «Геометрия II» 14. «Математические приложения, исследование реальных процессов». В предметный цикл входит восемь курсов по выбору: «Логика», «Элементы экономической математики», «Элементы теории чисел I», «Элементы теории чисел II», «Элементы дискретной математики I», «Элементы дискретной математики II», «Планиметрия I. Геометрия треугольников и кругов» и «Планиметрия II. Геометрия многоугольников и кругов». 1.3. Описание предметного цикла Широкая математика и узкая математика различаются как по содержанию, так и по типу подхода. В широкой математике рассматриваются понятия и методы, необходимые для понимания сути математической науки. В отличие от широкой математики, основная задача обучения узкой математике не в изучении самой математики как отрасли науки, главное здесь – математические приложения для научного описания мира, окружающего человека, и для обеспечения способности решения жизненных проблем. Необходимая для этого среда создается через рассмотрение математических понятий, символов, свойств и связей, правил и процедур, а также через основанный на интуиции и логических рассуждениях ход мысли. Как узкая, так и широкая математика дают учащемуся средства и умения для применения математических методов при изучении других учебных предметов. Программа широкой математики не удовлетворяет потребностей в углубленном изучении математики. Учащиеся, которые более серьезно интересуются математикой, могут воспользоваться предметами по выбору, общегосударственными формами углубленного обучения и индивидуальной учебой. В учебной программе по предмету представлены курсы по выбору, которые можно добавить к курсам как узкой, так и широкой математики. К курсам узкой математики можно в качестве курса по выбору добавить и курсы широкой математики. Учащиеся, которые обучались по курсам узкой математики, при желании могут перейти на курсы широкой математики. Условия перехода устанавливает школа в своей учебной программе. Изучение курсов широкой математики позволяет продолжить учебы в сферах, где математика имеет важное значение и преподается в качестве отдельного предмета. Изучение курсов узкой математики позволяет продолжить учебы в сферах, где математика не имеет важного значения и не преподается в качестве отдельного предмета. 1.4. Формирование ключевых компетенций предметного цикла Через изучение математики наряду с математической компетенцией развиваются все остальные ключевые компетенции. Ценностная компетенция. Изучая математику, учащиеся знакомятся с достижениями математиков разных стран и эпох, благодаря чему получают возможность ощутить связь культур. Учащиеся учатся ощущать элегантность логического мышления и замечать гармонию геометрических форм в архитектуре и природе. Развивается усидчивость, объективность, точность и трудолюбие. Социальная компетенция. Чувство ответственности перед обществом и согражданами воспитывается через решение задач с соответствующим контекстом. При разработке идей решения проблемных задач через работу в группе и проектное обучение развивается навык сотрудничества. Наличие двух математических курсов разного уровня позволяет лучше учитывать разные математические способности учащихся. Компетенция самоидентификации. Через самостоятельное решение заданий разной степени сложности учащимся дается возможность оценивать и развивать свои математические способности. Для этого лучше всего подходят открытые проблемные задания. Познавательная компетенция. Через решение заданий развиваются умения поиска рациональных приемов анализа и критической оценки результатов. Развивается умение обобщения и использования аналогий, а также умение использовать усвоенные знания в новой ситуации. В учащемся формируется понимание того, что пути решения задания можно найти только путем его самостоятельного мышления. Коммуникативная компетенция. Развивается способность выражать свои мысли ясно, кратко и точно. Это происходит, прежде всего, через представление корректных дефиниций, формулировку гипотез и утверждений или теорем, а также через оформление решения задания. При решении текстовых заданий развивается функциональный навык чтения: учащиеся учатся отличать существенное от неважного и видеть связи между объектами. Математика играет важную роль в формировании готовности понимать, связывать и передавать информацию, представленную разными способами (текст, график, таблица, диаграмма, формула). Развивается способность формализовать представленную обычным языком информацию, и наоборот: представлять содержание математических символов и формул обычным языком. Развитие компетенции предприимчивости должно занимать в математике центральное место. Новые математические знания часто приобретаются через анализ свойств наблюдаемых объектов: изучаются общие свойства объектов, на основании этого формулируется гипотеза и ведется поиск идей для ее обоснования. В ходе такой деятельности развивается умение видеть и формулировать проблемы, генерировать идеи и проверять их качественность. Через решение заданий, связанных с теорией вероятности и функциями (прежде всего, с экстремумом), учащиеся учатся изучать изменения объекта, обусловленные различными параметрами, оценивать риски и искать оптимальные решения. Нахождение разных путей решения одного и того же задания развивает гибкость мышления и умение генерировать идеи. Компетенция предприимчивости развивается и через решение разных заданий с жизненными данными, а также через более продолжительные проекты. 1.5. Интеграция 1.5.1. Интеграция с общепредметными компетенциями и другими предметными циклами Вертикальные (внутри учебного предмета) предпосылки для интеграции при обучении математики создает предложенная в учебной программе последовательность курсов. Горизонтальнная интеграция обучения математики (с обучением другим группам учебных предметов и с информацией, лежащей вне учебных предметов) требует в каждой школе тесного сотрудничества учителей-предметников как при составлении школьной учебной программы, так и при ее реализации. В учебной программе школы необходимо подчеркнуть межпредметные и надпредметные темы, которые должны быть связаны, с указанием в программе по каждому предмету места этих тем в части времени и объема. Наиболее просто организовать интеграцию, если учителя разных учебных предметов при рассмотрении темы ссылаются на прежние или предстоящие контакты учащихся с этой темой при изучении других учебных предметов. Важно, чтобы учителя-предметники знали способ и глубину рассмотрения той же темы по другим предметам и могли обратить внимание на различия в этой части. Обычно тема рассматривается по времени раньше или одновременно в рамках математики, а затем на уроках по другим предметам. В то же время, возможна и обратная последовательность. Например, на уроках физики можно говорить о вертикальных величинах до рассмотрения вектора в математике. Независимо от того, по какому предмету вектор рассматривается раньше, оба учителя должны при рассмотрении этой темы обратить внимание на обычное различие в математике и физике. С одной стороны, у учащихся через использование по другим предметам математических методов формируется понимание о математике как об обладающей своим универсальным языком и методами базовой науке, поддерживающей другие группы предметов и переплетающейся с ними. С другой стороны, использование в математическом курсе заданий, вытекающих из других предметных циклов и из реальности, дает учащимся представление о возможностях применения математики и о ее тесных связях с окружающих учащихся миром. При рассмотрении таких тем, в которых необходимо интегрировать внутрипредметные, а также межпредметные и надпредметные аспекты, мультипредметный подход является особенно эффективным. Например, в качестве общей темы можно рассмотреть возникновение и распространение метрической системы, ее связь с Парижской коммуной, революцией в науке и технике и т.д. При углубленном раскрытии этой темы можно использовать как математику, так и историю, а также обществоведение, географию, литературу, иностранные языки и другие учебные предметы. Вероятно, в реальной школьной практике такие метатемы все же сложно включать в программу разных уроков по разным учебным предметам на одной и той же неделе, не нарушив логической структуры учебных предметов. Зато межпредметный взгляд на тему легко применять в творческих и исследовательских работах учащихся, при составлении коллективных докладов для ученических научных конференций, в проектном обучении и пр. Важно планировать в учебной программе школы уровень возникшей у учащихся внутренней интеграции. 1.5.2. Сквозные темы Приведенные в общей части учебной программы сквозные темы реализуются при обучении математике в гимназии, прежде всего, через целенаправленную организацию обучающей деятельности и жизненное содержание заданий. Сквозная тема «Непрерывное обучение в течение всей жизни и планирование карьеры» связывается через постепенное осознание в течение всего обучения потребности учиться и через развитие навыков самостоятельной познавательной деятельности. Реальная оценка своих познавательных способностей является одним из важнейших исходных условий дальнейшего планирования карьеры. Поэтому важно, чтобы молодой человек получил на уроках математики оценку своих возможностей абстрактного и логического мышления, чтобы на основе этого корректировать свое планирование карьеры, а также развивать свои познавательные способности. Сквозная тема «Окружающая среда и устойчивое развитие» входит в курс математики, прежде всего, через решаемые задания, в которых используются реальные данные об использовании природных ресурсов. В ходе анализа этих данных развивается бережное отношение к окружающей среде, учащиеся учатся ценить среду обитания. Возможно проведение уроков вне класса и учебных походов. При этом ставится цель добиться положения, при котором учащиеся научились бы брать на себя персональную ответственность за устойчивое развитие в будущем и приобретать соответствующие ценностные оценки и нормы поведения. Формируется критическое мышление и умение решать проблемы, а также анализируются перспективы окружающей среды и развития человека. При рассмотрении этой темы важное место занимает процентное исчисление, математика, описывающая изменения и связи, а также элементы статистики. При увязывании с математикой темы «Культурное самосознание» важное место занимает презентация элементов истории математики, а также связь развития общества и математической науки. На базе процентного исчисления и статистики можно описать происходящие в обществе процессы в сочетании с темой мультикультурности (разные национальности, различные вероисповедания, разное социальное положение в обществе и пр.). Рассмотрение сквозной темы «Гражданская инициатива и предприимчивость» реализуется, прежде всего, через деятельность, объединяющую математику с другими предметами и с повседневной жизнью (исследовательские работы, работы в группе, проекты и пр.). Особенное значение имеет тема «Технология и инновация». Через интеграцию математического курса с технологией и естественными предметами учащиеся получают представление о методах описания и моделирования технологических процессов. Учащихся ориентируют на использование ИКТ в решении жизненно важных проблем и в повышении эффективности своей учебы и работы. Обучение математике должно предусматривать всесторонние возможности самостоятельного обнаружения закономерностей, способствуя тем самым формированию творческой личности. Для раскрытия закономерностей используются различные виртуальные обучающие программы. Тема «Информационное общество» особенно тесно связывается в части, касающейся медийных манипуляций, с рассматриваемыми в рамках курса математики статистическими процедурами и процентным исчислением. Учащихся ориентируют на развитие умений критического анализа информации. Сквозная тема «Здоровье и безопасность» реализуется в курсе математики через задания, содержащие реальные данные о безопасности и здравоохранении (например, связь среды дорожного движения со скоростью движения транспортных средств, экспоненциальная суть распространения инфекционных заболеваний, процентные задания и графики, касающиеся других факторов риска). При обучении математике нельзя недооценивать возникновение у учащихся положительных эмоций (например, от красивых конструкций, захватывающих проблемных заданий). Тема «Ценности и нравственность» затрагивается при изучении математики, прежде всего, через ее нравственный компонент – при воспитании порядочности, прилежности, систематичности, последовательности, усидчивости и честности. На примере учителя важную роль играет формирование толерантного отношения к соученикам с разными способностями. 1.6. Физическая обучающая среда 1. Школа организует обучение в классе, имеющем средства для черчения на доске. 2. Школа при необходимости обеспечивает возможность пользования ноутбуками или настольными компьютерами с подключением к интернету из расчета не менее одного компьютера на пятерых учащихся. 3. Школа обеспечивает возможность использования комплектов плоских и объемных фигур. 4. Школа обеспечивает возможность пользования в классе комплектом карманных калькуляторов. 1.7. Оценивание При оценке результатов обучения математике за основу берутся познавательные процессы и их иерархическое построение. 1. Знание фактов, процедур и понятий: вспоминание, узнавание, нахождение информации, вычисление, измерение, классификация/выстраивание в последовательность. 2. Применение знаний: выбор методов, представление математической информации разными способами, моделирование и решение рутинных заданий. 3. Рассуждение: обоснование, анализ, синтез, обобщение, оценка результатов, решение нерутинных заданий, вытекающих из реальности. В качестве форм оценивания используется формирующее и обобщающее оценивание. Формирующее оценивание дает информацию об общем умении решать задания и о математическом мышлении, а также об отношении учащегося к математике. Формирующее оценивание выражается, в основном, не в цифровых оценках. 1. Во время урока или иной деятельности учащемуся дается обратная связь о знаниях и умениях по предмету, а также об установках и ценностях учащегося. 2. В сотрудничестве с соучениками и учителем учащийся на основе поставленных целей и результатов обучения получает стимулирующую и конструктивную обратную связь в отношении своих сильных и слабых сторон. 3. В части практических работ и заданий оценивается не только результат работы, но и процесс. 4. При оценивании письменных заданий исправляются и ошибки в правописании, которые при оценивании не учитываются. При обобщающем оценивании развитие учащегося сравнивается с приведенными в программе цеелвыми результатами учебы с использованием цифровой оценки. Достижение результатов учебы оценивается при помощи опросов на уроках и контрольных работ, а также при помощи других приемов контроля. Итоговая оценка за курс формируется на основании этих оценок и, при необходимости, результатов обобщающей контрольной формы. Знания и умения учащихся проверяются на указанных выше трех уровнях: знание, применение и рассуждение. Знания и умения учащегося оцениваются удовлетворительной оценкой, если он достиг указанных в учебной программе по математике целевых результатов учебы на уровне знаний и решения рутинных заданий, и отличной оценкой, если он достиг целевых результатов учебы на уровне рассуждения. Если результаты учебы достигаются на уровне применения знаний, то они оцениваются оценкой «четыре». 2. Узкая математика 2.1. Общие положения 2.1.1 Цели обучения Обучение ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) понимал информацию, представленную на языке математики; 2) использовал и трактовал различные способы представления математической информации; 3) применял математику при решении проблем в разных сферах; 4) ценил математику и ощущал радость от занятий математикой; 5) развивал свою интуицию, рассуждал логически и творчески; 6) пользовался в математических действиях разными источниками информации; 7) пользовался при изучении математики компьютерными программами. 2.1.2. Описание учебного предмета Цель узкой математики заключается в том, чтобы научить понимать представленную на языке математики информацию, пользоваться математикой в разных сферах повседневной жизни, обеспечивая тем самым социальную дееспособность. В рамках узкой программы обучение ведется в описательном и демонстрационном ключе, обоснование математических утверждений опирается на интуицию и аналогии. Важное место занимают прикладные задания. 2.1.3. Целевые результаты познавательной деятельности в гимназии Выпускник гимназии: 1) умеет составлять и применять подходящие математические модели, решая задания в различных сферах жизни; 2) умеет высказываться при помощи математического языка точно и кратко, рассуждать при решении заданий творчески и логически; 3) при изучении математики, а также при поиске и обработке данных пользуется средствами ИКТ; 4) умеет оценивать свои математические знания и умения, а также учитывать их при планировании дальнейшей деятельности; 5) понимает и различает функциональные и статические процессы; 6) умеет упрощать выражения, решать уравнения и неравенства; 7) умеет пользоваться тригонометрией при решении заданий, связанных с геометрическими фигурами; 8) умеет представлять основные плоские кривые при помощи формулы, скицировать данные кривые при помощи формулы; 9) умеет пользоваться вероятностью случайного события и числовыми характеристиками распределения, изучая явления в различных сферах жизни; 10) знает свойства изученных функций и применяет их; 11) умеет находить линейные элементы, площади и объемы геометрических фигур. 2.2. I курс. неравенства» «Числовые множества. Выражения. Уравнения и Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) различает рациональные, иррациональные и реальные числа; 2) различает равенство, тождественность, уравнение и неравенство; 3) объясняет используемые при решении уравнений и неравенств тождественные преобразования; 4) решает линейные, квадратные и простые уравнения с одним неизвестным и приводимые к ним уравнения; 5) совершает действия со степенями и корнями, преобразуя последние в степени с показателем степени рационального числа; 6) преобразовывает простые рациональные и иррациональные выражения; 7) решает линейные и квадратные неравенства, а также системы линейных неравенств с одним неизвестным; 8) решант простые текстовые задания, в т.ч. и вытекающие из реальной жизни, при помощи уравнений и систем уравнений. Содержание обучения Количество натуральных чисел N, количество полных чисел Z и количество рациональных чисел Q. Количество иррациональных чисел I. Количество реальных чисел R. Области реальных чисел на числовой оси. Абсолютная величина числа. Упрощение рациональных выражений. Корень числа в степени n. Обобщение понятия степени: Степень с полным и рациональным числовым показателем. Дробное уравнение. Представление корня числа в виде степени с рациональным числовым показателем. Действия со степенями и примеры действий с корнями, имеющие равные коренные показатели. Понятие и свойства неравенств. Линейные и квадратные неравенства. Решение простых, в том числе вытекающих из реальной жизни, текстовых заданий при помощи уравнений. 2.3. II курс «Тригонометрия» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) определяет синус, косинус и тангенс любого угла; 2) читает графики тригонометрических функций; 3) преобразовывает данный в градусной мере угол в радианную меру и наоборот; 4) преобразовывает простые тригонометрические выражения; 5) применяет формулы площади треугольника, теорему синуса и косинуса; 6) решает треугольники, вычисляет площадь треугольника, параллелограмма и многоугольника, вычисляет длину дуги окружности как части окружности и площадь сектора круга как части круга; 7) решает планиметрические задания прикладного содержания. Содержание обучения Обобщение понятия круга, радианная мера. Тригонометрические функции любого круга ( ), их величины при углах 00, 300, 450, 600, 900, 1800, 2700, 3600. Тригонометрические функции отрицательного угла. Графики функций , , . Основные , связи тригонометрии , , , , , , , , . Теорема синуса и косинуса. Формулы площади треугольника, их применение при вычислении площади многоугольника. Решение треугольника. Вычисление длины дуги как части окружности и площади сектора круга как части круга. Задания прикладного содержания. 2.4. III курс «Вектор на плоскости. Уравнение кривой» Целевые результаты познавательной деятельности Учащийся: 1) разъясняет понятие вектора и координаты вектора; 2) знает прямую, окружность и параболу и их уравнения, знает взаимное положение прямых на плоскости; 3) складывает и вычитает векторы и умножает вектор на число как в геометрической, так и в координатной форме; 4) находит скалярное произведение векторов, применяет признаки перпендикулярности и коллинеарности векторов; 5) составляет уравнение прямой, если прямая определена точкой и наклоном, наклоном и начальной ординатой, двумя точками; 6) определяет взаимное положение прямых на плоскости; 7) составляет окружности по центральной точке и радиусу; 8) чертит прямые, окружности и параболы по их уравнениям; 9) находит точки пересечения двух линий (одна из линий прямая); 10) пользуется векторами и уравнениями кривых при решении заданий прикладного содержания. Содержание обучения Определение местонахождения точки на плоскости. Расстояние между двумя точками. Понятие и обозначение вектора. Равенство векторов. Нулевой вектор, единичный вектор, противоположный вектор, связанный вектор, свободный вектор. Изображение силы в виде вектора. Координаты вектора. Длина вектора. Умножение вектора на число. Сложение и вычитание векторов (в геометрической и координатной форме). Угол между двумя векторами. Скалярное произведение двух векторов, его применение. Коллинеарность и перпендикулярность векторов. Уравнение прямой (прямая, определенная наклоном и начальной ординатой, двумя точками, точкой и наклоном); Взаимное положение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Уравнение параболы. Уравнение окружности. Нахождение точки пересечения кривых. Система уравнений, состоящая из линейного уравнения с двумя неизвестными и из линейного уравнения и квадратного уравнения. Задания прикладного содержания. 2.5. IV курс «Вероятность и статистика» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) различает случайное, достоверное и невозможное событие; 2) объясняет понятие вероятности события, а также значение произведения независимых событий и суммы и исключающих событий; 3) объясняет понятие факториала, перестановок и биномиального коэффициента; 4) объясняет суть распределения случайной величины и значение числовых характеристик случайной величины; 5) объясняет понятие выборки и генеральной совокупности, а также значение систематизирования данных и доверительности статистического решения; 6) вычисляет вероятность события и применяет ее при решении простых жизненных задач; 7) вычисляет числовые характеристики распределения случайной величины и делает из этого выводы относительно изучаемой проблемы; 8) находит по выборке средний уровень доверительности генеральной совокупности; 9) собирает данные и анализирует их при помощи компьютера с использованием статистических средств. Содержание обучения Событие. Виды событий. Относительная частота, статистическая вероятность. Классическая вероятность. Геометрическая вероятность. Произведение событий. Вероятность произведения независимых событий. Сумма событий. Вероятность суммы исключающих событий. Факториал. Перестановки. Комбинации. Биномиальный коэффициент. Дискретная случайная величина, закон ее распределения, полигон распределения и числовые характеристики (среднее значение, мода, медиана, стандартное отклонение). Генеральная совокупность и выборка. Сбор данных и их систематизация. Анализ статистических данных по одному признаку. Нормальное распределение (описательно). Доверительность статистических решений на примере доверительного интервала. Проект обработки данных, реализуемый при помощи компьютера (желательно в сотрудничестве с другим учебным предметом). 2.6. V курс «Функции I» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) объясняет понятие и общее обозначение функции, а также понятия, связанные с изучением хода функции, понятие обратной функции, понятие нечетной и четной функции; 2) скицирует зафиксированные в учебной программе по предмету графики функций (от руки или при помощи компьютера); 3) описывает основные свойства функции по графику функции; 4) объясняет понятие логарифма числа и его свойства, а также логарифмирует и потенциирует простые выражения; 5) решает наиболее простые экспонентные и логарифмические уравнения путем непосредственного применения определения степени и логарифма; 6) объясняет суть сложнопроцентного возрастания и убывания, а также решает при помощи этого простые связанные с реальностью задания; 7) трактует величины, которые в реальности и в других учебных предметах выражаются в процентах, в т.ч. связанные с займами расходы и риски; 8) решает на основании графика тригонометрические основные уравнения на заданном отрезке. Содержание обучения Функции , , (повторно). Понятие и общее обозначение функции. Способы представления функций. Интервал определения и изменения функции. Четные и нечетные функции. Нулевые точки функции, интервал позитивности и негативности. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Функции ( ). Понятие логарифма числа. Логарифм произведения, частного и степени. Логарифмирование и потенцирование (в объеме, позволяющем решать простые экспонентные и логарифмические уравнения). Обратная функция. Функции и . Сложнопроцентное возрастание и убывание. Примеры моделей, в которых встречается . Простые экспонентные и логарифмические уравнения. Понятия arcsin m, arccos m и arctan m. Примеры нахождения решений тригонометрических основных уравнений. 2.7. VI курс «Функции II» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) объясняет понятие числовой последовательности, а также арифметической и геометрической прогрессии; 2) применяет формулу общего члена арифметической и геометрической прогрессии, а также суммы n первого члена, решая простые жизненные задания; 3) объясняет понятие производной функции, понятие касательной графика функции и геометрическое значение производной функции; 4) находит производные предусмотренных учебной программой функций; 5) составляет уравнение касательной графика функции в данной точке касания; 6) объясняет связь возрастания и убывания функции с производной функции, понятие экстремума функции и правило нахождения экстремума функции; 7) находит нулевые точки функций, интервалы позитивности и негативности, интервалы возрастания и убывания, максимальные и минимальные точки, а также скицирует по ним график функции; 8) решает задания с экстремумом. Содержание обучения Понятие числовой последовательности, общий член последовательности. Арифметическая прогрессия, формула ее общего члена и суммы. Геометрическая прогрессия, формула ее общего члена и суммы. Геометрическое значение производной функции. Возрастание касательной кривой, уравнение касательной. Производные функций , , y = ln x. Производные суммы, разности, произведения и частного функции. Вторая производная функции. Изучение возрастания и убывания функции, нахождение экстремума при помощи производной. Простые задания с экстремумом. 2.8. VII курс «Плоские фигуры. Интеграл» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) определяет указанные в учебной программе геометрические фигуры и разъясняет основные свойства фигур; 2) пользуется геометрическими и тригонометрическими понятиями и основными связями при решении практических заданий; 3) разъясняет понятие первообразной функции и находит интегралы (из полиномов); 4) разъясняет понятие криволинейной трапеции и применяет формулу Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла; 5) вычисляет площадь плоской фигуры по определенному интегралу. Содержание обучения Треугольники, четырехугольники, правильные многоугольники, окружность и круг. Свойства этих фигур, связи между элементами, объемы и площади в заданиях прикладного содержания. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Криволинейная трапеция, ее площадь. Интегрирование простых функций. Вычисление площади плоской фигуры по определенному интегралу. Прикладные задания. 2.9. VIII курс «Стереометрия» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет координаты точки в пространстве, описывает взаимные положения прямых и плоскостей в пространстве, разъясняет понятие угла между двумя прямыми, прямой и плоскостью и двумя плоскостями; 2) разъясняет свойства указанных в программе многогранников и тел вращения, а также способы определения их площади и объема; 3) изображает на плоскости объемные фигуры и их простые разрезы; 4) вычисляет площади и объемы тел в соответствии с требованиями программы; 5) применяет знания по тригонометрии и планиметрии при решении простых стереометрических заданий; 6) использует объемные фигуры как модели при решении вытекающих из практики заданий. Содержание обучения Прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точки. Расстояние между двумя точками. Взаимное положение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Признак ортогональности прямой и плоскости. Взаимное положение двух плоскостей в пространстве. Угол между двумя плоскостями. Призма и пирамида. Полная площадь и объем прямой призмы и правильной пирамиды. Цилиндр, конус и шар, и полная площадь и объем. Примеры пересечения объемных фигур с плоскостью. Задания практического содержания с многогранниками (прямая призма и пирамида) и телами вращения. 3. Широкая математика 3.1. Общие положения 3.1.1. Цели обучения и воспитания Обучение ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) понимал представленную на языке математики информацию и представлял свои математические рассуждения как в устной, так и в письменной форме; 2) выбирал, трактовал и связывал различные способы представления математической информации; 3) рассуждал логически и творчески, развивал свою интуицию; 4) выдвигал математические гипотезы, обосновывал и доказывал их; 5) моделировал проблемы разных сфер в математическом плане и критически оценивал математические модели; 6) ценил математику и ощущал радость от занятий математикой; 7) умел пользоваться в математической деятельности различными источниками информации и критически оценивал содержащуюся в них информацию; 8) пользовался при изучении математики средствами ИКТ. 3.1.2. Описание учебного предмета Широкая математика дает представление о значении математики в развитии общества и о ее применении в повседневной жизни, технологии, экономике, естественных и точных науках, а также в других сферах жизни. Для этого решаются прикладные задания с использованием компьютера и соответствующего программного обеспечения. Важное место занимают доказывание и обоснование. Учебный предмет состоит из четырнадцати обязательных курсов. 3.1.3. Целевые результаты познавательной деятельности Выпускник гимназии: 1) понимает и применяет изученные математические методы и процедуры; 2) рассуждает логически и творчески, формализует свои математические рассуждения; 3) оценивает свои математические знания, понимает важность реального образования в обществе и учитывает это при планировании своей дальнейшей деятельности; 4) понимает и различает функциональные и статические процессы; 5) составляет и применяет подходящие математические модели, решая задания в различных сферах жизни; 6) пользуется при изучении математики средствами ИКТ; 7) преобразовывает иррациональные и рациональные выражения, решает уравнения и неравенства, а также системы уравнений и неравенств; 8) преобразовывает тригонометрические выражения и использует тригонометрию и векторы при решении геометрических заданий; 9) составляет уравнения кривой и чертит изученные кривые по их уравнениям; 10) пользуется вероятностью случайного события и числовыми характеристиками распределения, изучая явления в различных сферах жизни; 11) исследует функцию на основании производной; 12) знает свойства плоских и объемных фигур, находит площади и объемы геометрических фигур (в т.ч. и при помощи интеграла). 3.2. I курс «Выражения и числовые множества» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет свойства количества натуральных чисел N, количества полных чисел Z, количества рациональных чисел Q, количества иррациональных чисел I и количества реальных чисел R; 2) дает определение абсолютной величине числа; 3) отмечает на числовой оси интервалы реальных чисел; 4) преобразовывает двоичную систему натуральных чисел; 5) представляет корень числа в виде степени с рациональным числовым показателем и наоборот; 6) совершает действия со степенями и корнями с равными показателями; 7) преобразовывает простые рациональные и иррациональные выражения; 8) решает задания прикладного содержания (в т.ч. процентные задания). Содержание обучения Количество натуральных чисел N, количество полных чисел Z, количество рациональных чисел Q, количество иррациональных чисел I и количество реальных чисел R, их свойства. Области реальных чисел на числовой оси. Абсолютная величина числа. Системы счисления (на примере двоичной системы). Рациональные и иррациональные выражения. Корень числа в степени n. Обобщение понятия степени: степень с полным и рациональным числовым показателем. Действия со степенями и корнями. 3.3. II курс «Уравнения и системы уравнений» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет понятие равенства, тождественности и уравнения, решения уравнения, решения уравнения и системы неравенства, а также количества решений; 2) объясняет применяемые при решении уравнений и их систем тождественные преобразования; 3) решает линейные, квадратные, дробные и простые иррациональные уравнения с одним неизвестным и приводимые к ним уравнения; 4) решает простые уравнения, содержащие абсолютную величину; 5) решает системы уравнений; 6) решает текстовые задания при помощи уравнений (системы уравнений); 7) пользуется программой вычислительной алгебры при расчете детерминанта, а также при решении уравнений и систем уравнений. Содержание обучения Равенство, уравнение, тождественность. Тождественная величина уравнений, тождественные преобразования. Линейное, квадратное, дробное и иррациональное уравнение и приводимые к ним уравнения. Содержащее одну абсолютную величину уравнение. Системы уравнений, в которых хотя бы одно уравнение является линейным уравнением. Двухрядный и трехрядный детерминант. Текстовые задания. 3.4. III курс «Неравенства. Тригонометрия I» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет свойства неравенств, а также понятие числа решений неравенства и системы неравенств; 2) объясняет применяемые при решении неравенств и их систем тождественные преобразования; 3) решает линейные, квадратные и дробные неравенства, а также простые системы неравенств; 4) пользуется компьютером при решении неравенств и систем неравенств; 5) находить при помощи карманного калькулятора величины тригонометрических функций и по ним величину угла; 6) решает прямоугольный треугольник; 7) пользуется тригонометрическими функциями дополнительного угла; 8) пользуется тригонометрическими основными связями в заданиях на упрощение. Содержание обучения Понятие и свойства неравенств. Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Метод интервалов. Простые дробные неравенства. Системы неравенств. Синус, косинус и тангенс острого угла. Тригонометрические функции дополнительного угла. Тригонометрические основные связи в прямоугольном треугольнике. 3.5. IV курс «Тригонометрия II» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) преобразовывает градусную меру в радианную и наоборот; 2) вычисляет длину дуги как части окружности и площади сектора круга как части круга; 3) определяет синус, косинус и тангенс любого угла; выводит связи между синусом, косинусом и тангенсом; 4) выводит и знает точные величины синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 0o, 30o, 45º, 60o, 90o, 180o, 270o, 360o; применяет формулы приведения, формулы негативного угла и угла больше чем полный угол; 5) находит при помощи карманного калькулятора величины тригонометрических функций и по ним величину угла; 6) знает формулы суммы и разности двух углов; выводит и знает формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла; 7) преобразовывает простые тригонометрические выражения; 8) доказывает теорему синуса и косинуса; 9) решает треугольник и вычисляет площадь треугольника; 10) применяет тригонометрию при решении заданий в различных сферах деятельности. Содержание обучения Обобщение понятия угла. Величина угла в градусах и радианах. Тригонометрические функции любого угла. Точные величины синуса, косинуса и тангенса углов 0o, 30o, 45º, 60o, 90o, 180o, 270o, 360o. Связи между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Формулы приведения. Тригонометрические функции отрицательного угла и угла больше полного. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов. Тригонометрические функции двойного угла. Тригонометрические выражения. Длина дуги окружности, площадь сектора круга. Формулы площади треугольника. Теорема синуса и косинуса. Решение треугольника. Прикладные задания. 3.6. V курс «Вектор на плоскости. Уравнение кривой» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет понятия вектор, единичный вектор, нулевой вектор и противоположный вектор, координаты вектора, угол между двумя векторами; 2) складывает и умножает векторы на число как в геометрической, так и в координатной форме; 3) вычисляет скалярное произведение вектора и применяет векторы в заданиях физического содержания; 4) использует признаки перпендикулярности и коллинеарности векторов; 5) решает треугольник при помощи векторов; 6) находит координаты центральной точки отрезка; 7) выводит и составляет уравнение прямой (если прямая обозначена точкой и целевым вектором, точкой и наклоном, наклоном и начальной ординатой, двумя точками) и преобразовывает его в общее уравнение; определяет взаимное положение двух прямых на плоскости, в случае с пересекающимися прямыми находит точку пересечения прямых и угол между прямыми; 8) составляет уравнение гиперболы, параболы и окружности; чертит предусмотренные в программе кривые по их уравнениям; находит точки пересечения двух кривых. Содержание обучения Расстояние между двумя точками. Понятие и обозначение вектора. Нулевой вектор, единичный вектор, противоположный вектор, связанный вектор, свободный вектор. Равенство векторов. Векторные координаты. Длина вектора. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Координаты центральной точки отрезка. Угол между двумя векторами. Коллинеарность векторов. Скалярное произведение двух векторов, его применение. Перпендикулярность векторов. Решение треугольников при помощи векторов. Уравнение прямой. Общее уравнение прямой. Взаимное положение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Уравнение окружности. Парабола и гипербола Понятие уравнения кривой. Точка пересечения двух кривых. 3.7. VI курс «Вероятность, статистика» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) различает случайное, достоверное и невозможное событие и объясняет понятие вероятности события, виды и свойства; 2) объясняет значение пермутаций, комбинаций и вариаций, а также находит их число; 3) объясняет значение произведения зависимых и независимых событий и суммы исключающих и неисключающих событий; 4) вычисляет вероятность различных событий, в том числе связанных с реальной жизнью; 5) объясняет суть распределения величины и значение числовых характеристик случайной величины (средняя величина, мода, медиана, стандартное отклонение), описывает биномиальное и нормальное распределение; использует формулу Бернулли при вычислении вероятности; 6) объясняет понятие выборки и генеральной совокупности, а также значение систематизирования данных и доверительности статистического решения; 7) вычисляет числовые характеристики распределения случайной величины и делает из этого выводы относительно изучаемой проблемы; 8) находит по выборке средний уровень доверительности генеральной совокупности; 9) собирает данные и анализирует их при помощи компьютера с использованием статистических средств. Содержание обучения Пермутации, комбинации и вариации. Событие. Виды событий. Классическая вероятность. Относительная частота, статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Виды событий: зависимые и независимые, исключающие и неисключающие. Сложение и умножение вероятностей. Формула Бернулли. Дискретная и постоянная случайная величина, биномиальное распределение, полигон распределения и числовые характеристики (средняя величина, мода, медиана, дисперсия, стандартное отклонение). Прикладные задания. Генеральная совокупность и выборка. Сбор данных и их систематизация. Анализ статистических данных по одному признаку. Корреляционное поле. Линейный коэффициент корреляции. Нормальное распределение (на примерах). Доверительность статистических решений на примере доверительного интервала. Проект обработки данных, реализуемый при помощи компьютера (желательно в сотрудничестве с другим учебным предметом). 3.8. VII курс «Функции I. Числовые последовательности» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) объясняет понятие и общее значение функции, а также понятия, связанные с исследованием функции; 2) описывает свойства представленной в графическом виде функции; скицирует графики и чертит их при помощи компьютерных программ; 3) объясняет понятие обратной функции, находит обратную функцию простой функции и скицирует или чертит соответствующие графики; 4) представляет сложную функцию через простые функции; 5) находит область определения представленной функции, нулевые точки, область позитивности и негативности алгебраически; проверяет является функция четной или нечетной; 6) находит при помощи компьютера и описывает связь графика функции с графиками функций y = f (x) + a, y = f (x + a), y = f (ax), y = a f (x); 7) объясняет понятие числовой последовательности, а также арифметической и геометрической прогрессии и понятие убывающей геометрической прогрессии; 8) выводит формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессии и суммы убывающей геометрической прогрессии, а также применяет эти формулы и формулы общего члена и геометрической прогрессии при решении заданий; 9) разъясняет суть предела последовательности и вычисляет предел; знает значение чисел π и e; 10) решает практические задания на основе арифметической, геометрической и убывающей геометрической прогрессии. Содержание обучения Функции , , (повторно). Понятие и общее обозначение функции. Способы представления функций. Интервал определения и изменения функции. Четные и нечетные функции. Нулевые точки функции, интервал позитивности и негативности. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Степенная функция. Графики и свойства функций , , , , , , y = x-2, y = . Сложная функция. Обратная функция. Графики функций y = f (x), y = f (x) + a, y = f (x + a), y = f (ax), y = a f (x) на компьютере. Понятие числовой последовательности, общий член последовательности, виды последовательностей. Арифметическая прогрессия, ее свойства. Формула общего члена и формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия, ее свойства. Формула общего члена и формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Предел числовой последовательности. Вычисление предела. Убывающая геометрическая прогрессия, ее сумма. Число e в качестве предела. Длина окружности и площадь круга в качестве предела, число π. Прикладные задания. 3.9. VIII курс «Функции II» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет суть сложнопроцентного возрастания и убывания; 2) решает задания на сложнопроцентное возрастание и убывание; 3) описывает показательную функцию, в т.ч. свойства функции; 4) объясняет понятие логарифма числа и его свойства; логарифмирует и потенциирует простые выражения; 5) описывает логарифмическую функцию и ее свойства; 6) чертит графики показательной и логарифмической функции и считывает с графика свойства функции; 7) решает простые показательные и логарифмические уравнения и неравенства; 8) пользуется показательными и логарифмическими функциями при моделировании и исследовании реальной жизни. Содержание обучения Сложнопроцентное возрастание и убывание. Показательная функция, ее график и свойства. Логарифм числа. Логарифм произведения, частного и степени. Логарифмирование и потенцирование. Переход логарифма от одного основания к другому. Логарифмическая функция, ее график и свойства. Показательное и логарифмическое уравнение, их решение. Прикладные задания на показательные и логарифмические уравнения. Показательное и логарифмическое неравенство. 3.10. IX курс «Предел и производная функции» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет понятие периодичности функции, а также понятие функции синуса, косинуса и тангенса; 2) чертит графики функции синуса, косинуса и тангенса, а также считывает с графика свойства функций; 3) находит общие и специальные решения простых тригонометрических уравнений в заданной области, решает простые тригонометрические неравенства; 4) разъясняет понятие предела и производной функции, а также физическое и геометрическое значение производной; 5) выводит правила нахождения суммы, разности, произведения и частного производной функций, а также применяет их; 6) находит первую и вторую производную функции. Содержание обучения Периодичность функции. График и свойства функции синуса, косинуса и тангенса. Понятия arcsin m, arccos m, arctan m. Простые тригонометрические уравнения. Предел и непрерывность функции. Приращение аргумента и приращение функции. Мгновенная скорость. Наклон касательной графика функции. Понятие производной функции. Геометрическое значение производной функции. Производная суммы и разности функций. Производная произведения двух функций. Производная степенной функции. Производная частного двух функций. Производная сложной функции. Вторая производная функции. Производные тригонометрических функций. Производная представительной и логарифмической функции. Таблица производных. 3.11. X курс «Приложения производной» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) составляет уравнение касательной графика функции; 2) объясняет связь возрастания и убывания функции с производной функции, понятие экстремума функции и правило нахождения экстремума функции; 3) находит интервалы возрастания и убывания функции, а также экстремумы; интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, а также точку перегиба; 4) полностью изучает функцию и скицирует график на основании свойств функции; 5) находит максимальную и минимальную величину функции на заданном отрезке; 6) решает прикладные задания на экстремум (в т.ч. и экономического содержания). Содержание обучения Наклон касательной. Уравнение касательной кривой. Интервал возрастания и убывания функции; экстремум функции; необходимое и достаточное условие наличия экстремума. Максимальная и минимальная величина функции на отрезке. Интервал выпуклости и вогнутости графика функции, точка перегиба. Изучение функции при помощи производной. Скицирование графика на основании свойств функции. Прикладные задания на использование производной функции. Задания на экстремум. 3.12. XI курс «Интеграл. Повторение планиметрии» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет понятие первообразной функции и находит неопределенные интегралы простых функций по таблице основных интегралов, по свойствам интегралов и по замене переменной; 2) разъясняет понятие криволинейной трапеции и применяет формулу Ньютона-Лейбница при нахождении определенного интеграла; 3) вычисляет при помощи определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, площадь состоящей из нескольких частей поверхности и ограниченной двумя кривыми поверхности, а также площадь простого тела вращения; 4) разъясняет свойства геометрических фигур и их элементов, изображает соответствующие фигуры на чертеже; изучает при помощи компьютера свойства геометрических фигур и изображает соответствующие фигуры на чертеже; 5) разъясняет принципы конгруэнтности и подобия треугольников, свойства подобных многоугольников и вычисления периметра и площади фигур; 6) решает вычислительные и простые доказательные планиметрические задания; 7) использует геометрические фигуры как модели при исследовании объектов окружающего мира. Содержание обучения Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства интеграла. Замена переменной при интегрировании. Криволинейная трапеция, ее площадь в качестве предельной величины. Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Использование интеграла при вычислении площади плоской фигуры, площади многогранного тела вращения и работы; Треугольник, его внутренний и внешний угол, биссектриса внутреннего угла треугольника, ее свойства. Вписанная и описанная окружность треугольника. Медиана треугольника, свойства медиан. Средняя линия треугольника, ее свойства. Метрические связи в прямоугольном треугольнике. Многоугольник, его виды. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Подобие многоугольников. Отношение периметров и отношение площадей подобных многоугольников. Вписанная и описанная окружность многоугольника. Параллелограмм, его особые виды и свойства. Трапеция, ее виды. Средняя линия трапеции, ее свойства. Центральный угол и вписанный угол. Теорема Талеса. Секущая и касательная окружности. Вписанный и описанный многоугольник. Площадь треугольника. Прикладные геометрические задания. 3.13. XII курс «Геометрия I» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) описывает координаты точки в пространстве; 2) разъясняет понятие пространственного вектора, линейные действия с векторами, признаки коллинеарности и компланарности векторов, а также скалярного произведения векторов; 3) выводит уравнения прямой и плоскости и описывает взаимное положение прямой и плоскости; 4) вычисляет расстояние между двумя точками, длину вектора и угол между двумя векторами; 5) составляет уравнения прямой и плоскости; 6) определяет взаимные положения заданных уравнениями двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, а также вычисляет угол между ними; 7) использует векторы при решении заданий геометрического и физического содержания. Содержание обучения Основы стереометрии: угол между двумя прямыми, прямой и плоскостью и двумя плоскостями, ортогональность и параллельность прямых и плоскостей, теорема о трех перпендикулярах, площадь проекции многоугольника. Прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точки в пространстве, радиус-вектор точки. Координаты вектора в пространстве, длина вектора. Линейные действия с векторами. Коллинеарность и компланарность векторов, выражение вектора через три любых некомпланарных вектора. Скалярное произведение двух векторов. Угол между двумя векторами. Уравнения прямой в пространстве, уравнение плоскости. Исследование взаимного положения заданных уравнением прямых и плоскостей, точка пересечения прямой и плоскости, нахождение угла между заданными уравнениями прямыми. Прикладные задания. 3.14. XIII курс «Геометрия II» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) описывает виды многогранников и тел вращения, а также формулы вычисления их площадей; 2) выводит формулу объема цилиндра, конуса или шара; 3) изображает на чертеже призму, пирамиду, цилиндр, конус и шар, а также их простые пересечения с плоскостью; 4) вычисляет площадь и объем тел, а также площадь пересечения этих тел и плоскости; 5) использует многогранники и тела вращения как модели при исследовании объектов окружающего пространства. Содержание обучения Призма и пирамида, их площадь и объем, правильные многогранники. Тела вращения; цилиндр, конус и шар, их площадь и объем, сегмент шара, слой, пояс и сектор. Задания на многогранники и тела вращения. Пересечение многогранников и тел вращения с плоскостью. Прикладные задания. 3.15. XIV курс «Математические приложения, исследование реальных процессов» Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет общую суть математического моделирования и его процедур; 2) знает необходимые для составления простых моделей методы и функции; 3) пользуется некоторыми наиболее важными моделями и методами естествознания и экономической науки; 4) решает текстовые задания при помощи уравнений; 5) видит отдельные закономерности и связи сфер реального мира; 6) составляет математические модели легко моделируемых явлений реальности и использует их при изучении реальности; 7) пользоваться карманным и персональным компьютером при решении заданий. Содержание обучения Значение математической модели, этапы моделирования явления, оценка положительных качеств и применимости модели. Решение текстовых заданий (в т.ч. процентных заданий) при помощи уравнений как составления и решения математических моделей. Применяемые модели линейных, квадратных и показательных функций в естествознании и экономической науке, в технологии и других областях (например, связи физических величин, модели органического роста в биологии, функции спроса и предложения в экономической науке, расчеты расхода материала в технологии и т.д.). Изучение курса опирается на использование вычислительных средств (карманный и персональный компьютер). 4. Курс по выбору «Логика» 4.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) получил обзор исторического развития логики и некоторых сфер ее пользования; 2) правильно определял понятия и умел исправлять неправильные понятия; 3) понимал необходимость доказательства и умел пользоваться соответствующими математическими средствами; 4) определял истинное значение высказывания (зная истинное значение компонентных высказываний) по истинным значениям компонентных высказываний; 5) пояснял, как возникают парадоксы. 4.2. Краткое описание курса В курс входят понятия, знакомые учащемуся уже из основной школы (определение, теорема, предположение, утверждение), но добавляются и новые понятия (виды теорем, кванторы, высказывания, парадоксы). Внимание обращается на представление математических текстов при помощи кванторов и на определение истинного значения простых высказываний. Анализируются наиболее знакомые парадоксы, изучается, как возникают парадоксы. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) определяет содержание и объем понятия, а также разделяет понятия; 2) определяет понятия, находит неточности и ошибки в данных определениях; 3) выделяет в теореме предположение и утверждение, а также по данной теореме образует обратную теорему, противоположную теорему и обратно-противоположную теорему, а также доказывает теорему; 4) пользуется кванторами при написании математического текста; 5) совершает действия с высказываниями и определяет истинное значение высказывания; 6) объясняет возникновение парадоксов. Содержание обучения Чему учит логика? Исторический фон. Понятие. Определение и классификация понятий. Решение. Логическое высказывание. Истинное значение высказывания. Действия с высказываниями. Отрицание. Дизъюнкция и конъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Сложные высказывания, нахождение их истинного значения методом таблицы. Логические законы. Отрицание отрицания. Закон противоречивости. Закон исключенного третьего. Следственная связь. Доказательство. Аксиома. Теорема. Обратная теорема. Противоположная теорема. Обратнопротивоположная теорема. Доказательство от противного. Необходимые и достаточные условия. Парадоксы. 5. Курс по выбору «Элементы экономической математики» 5.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) получил представление об основных математических моделях, описывающих функционирование окружающего его мира, а также о методах их применения; 2) умел пользоваться математикой для принятия разумных решений в ходе своего экономического поведения. 5.2. Описание учебного предмета Курс состоит из трех основных частей: 1) применения для процентного исчисления при решении экономических заданий (индексы, формирование оценок, связанные с валютой вычисления); 2) моделирование экономических процессов при помощи функций (спрос, предложение, расходы, доходы, чистый доход, доход от рекламы, заказ товара); 3) основы финансовой математики (проценты, пени, займы). 5.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет значение и вычисление индексов цен как одно из применений процентного исчисления; 2) пользуется процентным исчислением для определения индексов цен, в том числе для вычисления и трактовки потребительских индексов; 3) разъяснять значение основных видов налогов (подоходный, социальный, с оборота, акцизный и пр.), а также ход начисления как внедрение процентного исчисления; 4) пользуется процентным исчислением при объяснении и формировании расходов на заработную плату и определении цены товара (наиболее простые случаи); 5) разъясняет основные понятия, связанные с деньгами и валютой (курс, конвертация, инфляция, реальная заработная плата), а также находит и вычисляет их в наиболее простых случаях; 6) разъясняет использование функций для моделирования спроса, предложения, баланса рынка, расхода, дохода и чистого дохода, а также дохода от рекламы, составляет и применяет эти модели (прежде всего, линейные) в наиболее простых случаях; 7) разъясняет понятие простой и сложной процентной ставки, а также применяет его в ситуациях, связанных с вкладами и займами (оплата счетов, пени, доходность вкладов, расходы по займам и погашение займов на примере учебного и жилищного займа). 5.4. Содержание обучения Основные задания процентного исчисления. Индексы. Потребительский индекс. Основные налоги, их начисление (на примере подоходного налога, социального налога, налога с оборота и акцизного налога). Расходы на заработную плату. Формирование цены товара. Курс и конвертация валюты. Определение инфляции при помощи потребительского индекса. Реальная заработная плата. Функции спроса и предложения. Баланс рынка. Функции расхода, дохода и чистого дохода. Функция дохода от рекламы. Простая и сложная процентная ставка. Счета и пени. Доходность вкладов. Расходы по займу на примере учебного и жилищного займа. 6. Курс по выбору «Элементы теории чисел I» 6.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) получил лучшее представление о полных числах в десятичной системе, о связях чисел, об основных результатах и приемах доказательства, важных на сегодняшний день в компьютерной сфере и в других сферах жизни; 2) понимал и мог использовать основные доказательные методы для подтверждения основных результатов и решения заданий; 3) развивал творческое и гибкое математическое мышление. 6.2. Описание учебного предмета Курс состоит из четырех основных частей: 1) представление целого числа в десятичной системе; 2) делимость целых чисел, арифметика остатков; 3) простые и составные числа, основная теорема арифметики; 4) классы чисел с особыми свойствами. 6.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) пользуется при решении заданий подходящим представлением составного числа в десятичной системе в качестве суммы (порядковых) чисел; 2) дает определение понятию делимости целого числа и доказывает основные свойства связи делимости; 3) пользуется основными свойствами делимости при выведении признаков делимости и при решении классических (доказательных) заданий; 4) определяет понятие деления на остаток и доказывает основы арифметики остатков; 5) пользуется арифметикой остатков при решении классических (доказательных) заданий; 6) определяет понятие наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного простого и составного числа, а также двух целых чисел; 7) формулирует (по возможности доказывает) основную теорему арифметики и пользуется этим при решении (доказательных) заданий; 8) объясняет алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного целых чисел и пользуется этим при решении (доказательных) заданий; 9) дает обзор происхождения и свойств некоторых видов чисел, относящихся к так называемым интересным числам (например, треугольные числа, дружественные числа и пр.). 6.4. Содержание обучения Представление целых чисел в десятичной системе: представление целого числа в виде суммы (порядковых) чисел. Последние цифры целого числа и его степеней в десятичном представлении. Делимость целых чисел и арифметика остатков. Делимость. Свойства связи делимости. Деление с остатком. Признаки делимости. Кратные и множители чисел. Простые и составные числа. Наибольший общий множитель, наименьшее общее кратное. Основная теорема арифметики. Интересные числа. Треугольные числа, совершенные и дружественные числа и пр. 7. Курс по выбору «Элементы теории чисел II» 7.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) получил лучшее представление о различных возможностях и принципах построения использующихся сегодня числовых систем, а также о нашедших применение в компьютерной сфере основных понятиях теории чисел и о результатах их применения; 2) понимал и мог использовать основные доказательные методы для подтверждения результатов и решения доказательных заданий; 3) развивал творческое и гибкое математическое мышление. 7.2. Описание учебного предмета Курс состоит из пяти основных частей: 1) принцип математической индукции; 2) конгруэнции; 3) системы счисления; 4) каноническое представление рациональных чисел; 5) алгоритм Евклида. 7.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) разъясняет суть и возможности применения принципа математической индукции, а также использует принцип математической индукции при решении (доказательных) заданий разной степени сложности; 2) определяет целые числа по равенству остатка или конгруэнтности по модулю и доказывает основные свойства конгруэнций; 3) применяет конгруэнтность при решении (доказательных) заданий; 4) разъясняет различные принципы построения систем счисления и приводит исторические примеры различных систем; 5) преобразовывает числа десятичной системы в числа системы с другой основой, и наоборот, совершает действия с числами системы, отличной от десятичной системы; 6) представляет натуральные числа в каноническом виде и находит для этого числа количество всех позитивных делителей и сумму делителей; 7) знает, как представить рациональные числа в виде несократимой дроби и в каноническом виде, а также пользуется этим при решении заданий; 8) пользуется алгоритмом Евклида при нахождении наибольшего общего множителя целых чисел и при представлении рационального числа в виде непрерывной дроби; 9) решает линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. 7.4. Содержание обучения Принцип математической индукции: принцип и его применение при решении заданий. Конгруэнции: конгруэнтность целых чисел по модулю. Основные свойства конгруэнций. Использование конгруэнций в (доказательных) заданиях на теорию чисел. Системы счисления: Позиционные и непозиционные системы счисления. Примеры систем счисления с разными основами и принципов их построения. Каноническое представление: каноническое представление положительного целого числа и его применение. Представление рациональных чисел в виде несократимой дроби и каноническое представление. Алгоритм Евклида: нахождение наибольшего общего множителя. Решение линейных диофантовых уравнений с двумя переменными. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби. 8. Курс по выбору «Элементы дискретной математики I» 8.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) получил представление о проблемах быстро развивающегося и важного раздела математики – дискретной математики, а также о первичных методах их решения (среди них принципа Дирихле, инварианты); 2) умел пользоваться свойственными для дискретной математики приемами обоснования и доказывания при решении наиболее простых (доказательных) заданий, а также оформлять решения корректно; 3) развивал творческое и гибкое математическое мышление. 8.2. Описание учебного предмета Курс состоит из трех основных частей: 1) задания на логику; 2) принцип Дирихле; 3) метод инвариантов. 8.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) решает перечисленные в содержании обучения наиболее простые типовые задания на логику, используя в случае необходимости подходящие таблицы, схемы и чертежи; 2) формулирует принцип Дирихле и доказывает его от противного; 3) применяет принцип Дирихле и его обобщение при решении наиболее простых вербальных и числовых (доказательных) заданий; 4) формулирует аналог принципа Дирихле в геометрии и пользуется этим при решении простых планиметрических заданий; 5) пользуется принципом Дирихле при решении простых (доказательных) заданий, связанных с окрашиванием частей поверхности; 6) разъясняет суть метода инвариантов и называет некоторые связанные с целыми числами инварианты (например, четность, суммы чисел, произведения, остатки); 7) решает наиболее простые задания из игр и таблиц чисел, выбирая подходящий инвариант. 8.4. Содержание обучения Задания на логику (нахождение соответствия между элементами множеств): задания типа «кто-есть-кто», задания по определению говорящих правду и лжецов, а также задания на взвешивание и наливание. Принцип Дирихле: суть принципа Дирихле и его доказательство (от противного). Обобщение принципа. Применение принципа при решении вербальных заданий и заданий по теории счисления. Аналог принципа Дирихле в геометрии и его применение при решении наиболее простых геометрических задач и задач на окрашивание. Инварианты: использование связанных с четностью и другими целыми числами инвариантов при решении простых заданий, связанных с играми и числовыми таблицами. 9. Курс по выбору «Элементы дискретной математики II» 9.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) получил представление о наиболее простых проблемах двух быстро развивающихся сегодня сфер дискретной математики – комбинаторике и теории графов, а также о методах их решения; 2) умел пользоваться свойственными для дискретной математики приемами обоснования и доказывания при решении наиболее простых (доказательных) заданий, а также оформлять решения корректно; 3) развивал творческое и гибкое математическое мышление. 9.2. Описание учебного предмета Курс состоит из трех основных частей: 1) математическая индукция; 2) элементы комбинаторики; 3) введение в теорию графов. 9.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) формулирует классический вариант принципа математической индукции (с шагом 1)и пояснять важность основы (базы) и шага индукции; 2) пользуется принципом математической индукции при решении (доказательных) заданий различной степени сложности; 3) формулирует основные правила комбинаторики (правило сложения и умножения) и разъясняет их суть, а также пользуется отвечающим контексту (доказательного) задания основным правилом при вычислении возможностей выбора объекта; 4) определяет объединение с повторениями (пермутации, вариации и комбинации) и выводит формулы нахождения их числа, используя их при решении (доказательных) заданий, исходя из контекста; 5) объясняет понятия объединений с повторениями (пермутаций, вариаций и комбинаций) и использует формулы их вычисления при решении наиболее простых заданий; 6) знает понятие графа и связанные с ним основные понятия и приемы (ребро, вершина, степень вершины, перечисление ребер), решает соответствующие задания; 7) формулирует и доказывает теорему о числе нечетных вершин графа и пользуется этим при решении простых заданий; 8) знает виды графов (граф Эйлера, связный граф, дерево, ориентированный граф) и решает наиболее простые задания; 9) формулирует необходимое и достаточное условие для того, чтобы граф являлся графом Эйлера, и решает при помощи этого условия наиболее простые задания; 10) описывает некоторые связанные с тематикой курса исторические проблемы или называет имена ученых, связанных с появлением понятий и доказательством результатов. 9.4. Содержание обучения Принцип математической индукции: принцип, основа и шаг индукции. Решение заданий с использованием принципа математической индукции. Элементы комбинаторики: правило сложения и умножения. Пермутации, вариации и комбинации без повторений, их свойства. Применение правил сложения и умножения при решении заданий. Пермутации, вариации и комбинации с повторениями. Введение в теорию графов: вершина и ребро графа. Перечисление ребер, степень вершины. Теорема: в произвольном графе имеется четное количество вершин с нечетной степенью. Граф Эйлера. Связный граф. Компоненты связности несвязного графа. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы граф являлся графом Эйлера. Дерево. Равносильные условия для того, чтобы граф являлся деревом. Ориентированный граф. 10. Курс по выбору «Планиметрия I. Геометрия треугольников и кругов» 10.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) знал основные понятия геометрии треугольников и круга и владел основными методами их доказывания (параллельность, конгруэнтность, подобие, метод вписанных углов); 2) умел пользоваться изученными методами при решении классических типовых задач синтетической геометрии и делать корректные чертежи; 3) развивал творческое и гибкое математическое мышление. 10.2. Описание учебного предмета Курс состоит из трех основных частей: 1) параллельные прямые; 2) конгруэнтность и подобие треугольников; 3) связанные с окружностью углы и отрезки, пересечение и касание окружностей. 10.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) знает определение понятия параллельности прямых, формулирует признаки параллельности и доказывает их; 2) пользуетсяься признаками параллельности и теоремой о лучах при решении типовых заданий и (доказательных) заданий; 3) определяет понятия равенства (конгруэнтности) и подобия треугольников, формулирует признаки равенства (конгруэнтности) и подобия и доказывает эти признаки; 4) пользуется методами конгруэнтности и подобия при решении (доказательных) заданий; 5) формулирует и доказывает теорему Пифагора, теорему Евклида и теорему о высотах треугольника и выводы из них, а также обратную теорему Пифагора; 6) разъясняет различие понятий равенства треугольников и равенства площадей треугольников и решает соответствующие задания; 7) знает неравенства треугольника и пользуется ими при решении (доказательных) заданий; 8) знает основные результаты в части величины угла между хордой и касательной окружности и использует их при решении (доказательных) заданий; 9) формулирует и доказывает теоремы о двух хордах, секущей, касательной окружности, а также о секущей и касательной, и пользуется результатами при решении (доказательных) заданий; 10) решает наиболее простые (доказательные) задания на пересечение и касание окружностей. 10.4. Содержание обучения Параллельные прямые. Параллельность прямых. Признаки параллельности прямых. Теорема о лучах. Исторический обзор вопроса о параллельности прямых (так наз. вопрос аксиомы параллелей). Треугольник. Определения и признаки равенства (конгруэнтности) и подобия треугольников. Теорема Пифагора, теорема Евклида и теорема о высотах треугольника, выводы из них. Обратная теорема Пифагора. Равенство площадей треугольников. Неравенство треугольников. Круг, окружность. Центральные и вписанные углы. Величина вписанного угла. Теорема Талеса. Угол между хордой и касательной. Теоремы о двух касательных окружности, о двух секущих окружности и о касательной и секущей окружности. Равенство проведенных к окружности из одной точки отрезков касательных. Потенция точки в отношении окружности. Внутреннее (внешнее) касание двух окружностей. 11. Курс по выбору «Планиметрия II. Геометрия многоугольников и кругов» 11.1 Цели обучения Курс по выбору ставит своей целью, чтобы учащийся: 1) знал основные понятия геометрии многоугольников и кругов и владел основными методами их доказывания (параллельность, конгруэнтность, подобие, метод вписанных углов, метод дополнительных конструкций); 2) умел творчески пользоваться изученными методами при решении (доказательных) заданий синтетической геометрии и корректно выполнял наиболее простые чертежи при помощи циркуля и линейки и/или компьютера, используя какую-либо из программ динамической геометрии; 3) развивал творческое и гибкое математическое мышление. 11.2. Описание учебного предмета Курс состоит из четырех основных частей: 1) классификация и основные (четырехугольников); 2) вписанный четырехугольник; свойства многоугольников 3) связанные с треугольником отрезки (средние линии, медианы, биссектрисы, высоты, средние перпендикуляры) и окружности (вписанная и описанная окружность); 4) конструкционные задания. 11.3. Целевые результаты познавательной деятельности По окончании курса учащийся: 1) выводит формулы нахождения суммы внешних и внутренних углов, а также числа диагоналей, и пользуется этим при решении (доказательных) заданий; 2) дает определение понятиям равенства (конгруэнтности) и подобия многоугольников, а также пользуется методами конгруэнтности и подобия при решении (доказательных) заданий; 3) знает определения и свойства четырехугольников (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция) и использует их при решении (доказательных) заданий; 4) формулирует и доказывает необходимые и достаточные условия для того, чтобы четырехугольник являлся вписанным, пользуется методом вписанных четырехугольников при решении (доказательных) заданий и при обосновании нахождения четырех точек на одной окружности; 5) дает определение понятия связанных с треугольником отрезков (средняя линия, медиана, биссектриса, высота, средний перпендикуляр) и доказывает их свойства, а также пользуется полученными результатами при решении (доказательных) заданий; 6) пользуется различными методами доказательства того, что три медианы любого треугольника (биссектриса, средняя линия, высота) пересекаются в одной точке; 7) знет, в пункте пересечения каких отрезков находятся центры вписанных и описанных окружностей, а также пользуется этим при решении (доказательных) заданий; 8) имеет некоторые навыки решения конструкционных заданий с помощью циркуля и линейки. 11.4. Содержание обучения Многоугольник: Выпуклые и невыпуклые многоугольники, правильные многоугольники. Сумма внутренних и внешних углов многоугольника. Диагонали многоугольника. Конгруэнтность (равенство) и подобие многоугольников. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы четырехугольник являлся квадратом (прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция). Вписанный четырехугольник. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы четырехугольник являлся вписанным: опирающиеся на одну и ту же дугу вписанные углы, находящиеся напротив вписанные углы, произведение длин отрезков диагоналей (свойство пересекающих хорд окружности), теорема Птолемея. О нахождении четырех точек на одной окружности. Отрезки и окружности в треугольнике: средние линии треугольника, свойства средних линий и образованного ими треугольника. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка находилась на биссектрисе данного угла (на среднем перпендикуляре данного отрезка). Теоремы о пересечении медиан треугольника (биссектрис, высот, средних перпендикуляров) в одной точке. Вписанная и описанная окружность треугольника. Конструкционные задания. Основные конструкции при помощи циркуля и линейки (конструирование биссектрисы данного угла, среднего перпендикуляра отрезка, перпендикуляра или параллели прямой из данной точки, конструирование вписанной и описанной окружности треугольника, конструирование касательной окружности, разделение отрезка в отношении заданного, конструирование многоугольников). Исторический обзор возможности выполнения классических конструкционных заданий (квадратура круга, дупликация куба, трисекция угла). Тынис Лукас Министр образования и науки
