Неклассические логики и представление знаний

Реляционные структуры
Модальные языки
Неклассические логики и представление
знаний
Реляционные структуры и модальные языки
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры и модальные языки
Языки модальной пропозициональной логики —
пропозициональные языки с модальными
операторами
Пригодны для описания реляционных структур
Реляционная структура — непустое множество с
определенным на нем набором отношений
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
План
на ноябрь
Реляционные структуры — определения и примеры
Модальные языки — синтаксис базового модального языка и
некоторых его расширений
Модели и фреймы — как использовать модальные языки
для рассуждения о реляционных структурах
Общие фреймы — между моделями и фреймами
Нормальные модальные логики — аксиоматика и вывод
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Определение (Реляционная структура)
F = hW, R1 , R2 , . . . , Rn i
W — универсум (домен) структуры F
R1 , R2 , . . . , Rn — отношения на W
n≥1
Элементы W — точки, состояния, узлы, миры и т.д.
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Реляционные структуры
Пример (Строгий частичный порядок)
(W, R) со следующими свойствами:
иррефлексивность: ∀x(¬Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Реляционные структуры
Пример (Строгий частичный порядок)
(W, R) со следующими свойствами:
иррефлексивность: ∀x(¬Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Например: Rxy ⇔ x 6= y и x — делитель y
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Реляционные структуры
Пример (Строгий частичный порядок)
(W, R) со следующими свойствами:
иррефлексивность: ∀x(¬Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Например: Rxy ⇔ x 6= y и x — делитель y
Пример (Линейный (полный) порядок)
(W, R) — строгий частичный порядок со следующим
свойством:
трихотомия: ∀xy(Rxy ∨ x = y ∨ Ryx)
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Реляционные структуры
Пример (Строгий частичный порядок)
(W, R) со следующими свойствами:
иррефлексивность: ∀x(¬Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Например: Rxy ⇔ x 6= y и x — делитель y
Пример (Линейный (полный) порядок)
(W, R) — строгий частичный порядок со следующим
свойством:
трихотомия: ∀xy(Rxy ∨ x = y ∨ Ryx)
Например: (N, <), (Z, <), (Q, <), (R, <)
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Частичный порядок)
рефлексивное замыкание строгого частичного порядка:
(W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий
частичный порядок
рефлексивность: ∀x(Rxx)
антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Частичный порядок)
рефлексивное замыкание строгого частичного порядка:
(W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий
частичный порядок
рефлексивность: ∀x(Rxx)
антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Например: Rxy ⇔ x = y или x — делитель y
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Частичный порядок)
рефлексивное замыкание строгого частичного порядка:
(W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий
частичный порядок
рефлексивность: ∀x(Rxx)
антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Например: Rxy ⇔ x = y или x — делитель y
Пример (Рефлексивный линейный (полный) порядок)
(W, R) — частичный порядок со следующим свойством:
связность: ∀xy(Rxy ∨ Ryx)
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Частичный порядок)
рефлексивное замыкание строгого частичного порядка:
(W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий
частичный порядок
рефлексивность: ∀x(Rxx)
антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Например: Rxy ⇔ x = y или x — делитель y
Пример (Рефлексивный линейный (полный) порядок)
(W, R) — частичный порядок со следующим свойством:
связность: ∀xy(Rxy ∨ Ryx)
Например: (N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤), (R, ≤)
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Реляционные структуры
Пример (Система помеченных переходов)
(W, {Ra | a ∈ A})
W — непустое множество состояний
A — непустое множество меток
∀a ∈ A Ra ⊆ W × W
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Система помеченных переходов)
(W, {Ra | a ∈ A})
W — непустое множество состояний
A — непустое множество меток
∀a ∈ A Ra ⊆ W × W
Абстрактная модель вычислений
Состояния — состояния компьютера
Метки — программы
(u, v) ∈ Ra — в начале выполнения программы a компьютер
находится в состоянии u, а в конце — в
состоянии v
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Семантические сети)
Способ представления знаний в искусственном
интеллекте
Граф:
Узлы — объекты
Дуги — отношения между объектами
Маша
прочитала
книга
Неклассические логики и представление знаний
любит
Петя
написал
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры
Пример (Конечные деревья)
S
S — предложение
NP — группа
существительного
VP
NP
PN
NP
TV
VP — группа глагола
PN — имя собственное
PN
Неклассические логики и представление знаний
TV — транзитивный глагол
Реляционные структуры
Деревья
Определение (Транзитивное замыкание)
W — непустое множество
R ⊆ W × W — бинарное отношение на W
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Деревья
Определение (Транзитивное замыкание)
W — непустое множество
R ⊆ W × W — бинарное отношение на W
R+
— транзитивное замыкание R:
T
R+ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 транзитивно}
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Деревья
Определение (Транзитивное замыкание)
W — непустое множество
R ⊆ W × W — бинарное отношение на W
R+
— транзитивное замыкание R:
T
R+ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 транзитивно}
R∗ — рефлексивное транзитивное замыкание R:
T
R∗ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 рефлексивно и
транзитивно}
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Деревья
Определение (Транзитивное замыкание)
W — непустое множество
R ⊆ W × W — бинарное отношение на W
R+
— транзитивное замыкание R:
T
R+ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 транзитивно}
R∗ — рефлексивное транзитивное замыкание R:
T
R∗ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 рефлексивно и
транзитивно}
uR+ v ⇔ есть последовательность элементов
u = w0 , w1 , . . . , wn = v из W , такая что wi Rwi+1 для всех
i<n
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Деревья
Определение (Дерево)
Дерево T — реляционная структура (T, S), такая что
1
Множество узлов T содержит единственный корень
r ∈ T : ∀t ∈ T (S ∗ rt)
2
У каждого узла t 6= r существует единственный
S-предшественник t0 ∈ T : St0 t
3
Отношение S ациклично: ∀t(¬S + tt)
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Деревья
Определение (Дерево)
Дерево T — реляционная структура (T, S), такая что
1
Множество узлов T содержит единственный корень
r ∈ T : ∀t ∈ T (S ∗ rt)
2
У каждого узла t 6= r существует единственный
S-предшественник t0 ∈ T : St0 t
3
Отношение S ациклично: ∀t(¬S + tt)
NB: S иррефлексивно
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Деревья
Дерева может быть
недостаточно
S
(T, S, LEFT-OF, S, NP, VP, PN,
TV) — древовидная структура
VP
NP
PN
NP
TV
S, NP, VP, PN, TV — унарные
отношения
— бинарное отношение
(порядок слов в предложении
имеет значение)
LEFT-OF
PN
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Стрелочные структуры
В системах помеченных переходов переходы — сущности
«второго рода»
В логике первого порядка переходам соответствуют
предикатные символы, тогда как состояниям —
константы
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Стрелочные структуры
В системах помеченных переходов переходы — сущности
«второго рода»
В логике первого порядка переходам соответствуют
предикатные символы, тогда как состояниям —
константы
В стрелочных структурах переходы рассматриваются
как сущности «первого рода»
Объекты в стрелочных структурах — все, что можно
изобразить в виде стрелок
вектора
функции
программы
действия
...
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆W ×W ×W
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R⊆W ×W
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I⊆W
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U )
SU = (U × U, C, R, I), где
Cabc ⇔
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U )
SU = (U × U, C, R, I), где
Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U )
SU = (U × U, C, R, I), где
Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0
Rab ⇔
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U )
SU = (U × U, C, R, I), где
Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0
Rab ⇔ a0 = b1 , a1 = b0
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U )
SU = (U × U, C, R, I), где
Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0
Rab ⇔ a0 = b1 , a1 = b0
Ia ⇔
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Стрелочные структуры
Определение (Стрелочный фрейм)
F = (W, C, R, I)
C ⊆ W × W × W — композиция
R ⊆ W × W — обратное отношение
I ⊆ W — тождественные стрелки
Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U )
SU = (U × U, C, R, I), где
Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0
Rab ⇔ a0 = b1 , a1 = b0
Ia ⇔ a0 = a1
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y)
асимметричность: ∀xy(Rxy → ¬Ryx)
Приведите пример асимметричного отношения, не
являющегося антисимметричным, или докажите, что
такого отношения не существует.
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y)
асимметричность: ∀xy(Rxy → ¬Ryx)
Приведите пример асимметричного отношения, не
являющегося антисимметричным, или докажите, что
такого отношения не существует.
Приведите пример антисимметричного отношения, не
являющегося асимметричным, или докажите, что такого
отношения не существует.
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
Какими свойствами обладает отношение, заданное
следующей таблицей?
a
b
c
d
a
×
Неклассические логики и представление знаний
b
×
×
×
c
×
d
×
×
×
Реляционные структуры
Упражнение
Квазипорядок
(W, R) со следующими свойствами:
рефлексивность: ∀x(Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
Квазипорядок
(W, R) со следующими свойствами:
рефлексивность: ∀x(Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Определим отношение ∼ на W : s ∼ t
⇔
Rst и Rts.
Обозначим [s] = {t | s ∼ t}.
Определим отношение ≤ на множествах [s] для s ∈ W :
[s] ≤ [t]
Неклассические логики и представление знаний
⇔
Rst.
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
Квазипорядок
(W, R) со следующими свойствами:
рефлексивность: ∀x(Rxx)
транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz)
Определим отношение ∼ на W : s ∼ t
⇔
Rst и Rts.
Обозначим [s] = {t | s ∼ t}.
Определим отношение ≤ на множествах [s] для s ∈ W :
[s] ≤ [t]
⇔
Rst.
Докажите, что ≤ — частичный порядок.
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый модальный язык
Модальные языки произвольного типа сходства
Базовый темпоральный язык
Язык пропозициональной динамической логики
Язык логики стрелок
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Реляционные структуры и модальные языки
Определение (Базовый модальный язык)
Множество пропозициональных переменных Φ
p, q, r, . . .
Унарный модальный оператор ♦
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ♦ψ
p∈Φ
ψ, χ — формулы
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры и модальные языки
Определение (Базовый модальный язык)
Множество пропозициональных переменных Φ
p, q, r, . . .
Унарный модальный оператор ♦
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ♦ψ
p∈Φ
ψ, χ — формулы
Модальный оператор , двойственный оператору ♦:
φ := ¬♦¬φ
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Реляционные структуры и модальные языки
Определение (Базовый модальный язык)
Множество пропозициональных переменных Φ
p, q, r, . . .
Унарный модальный оператор ♦
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ♦ψ
p∈Φ
ψ, χ — формулы
Модальный оператор , двойственный оператору ♦:
φ := ¬♦¬φ
φ & ψ := ¬(¬φ ∨ ¬ψ)
φ → ψ := ¬φ ∨ ψ
φ ↔ ψ := (φ → ψ) & (ψ → φ)
> := ¬⊥
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ —
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ —
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’
φ → ♦φ —
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’
φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’
φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’
φ → ♦φ —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’
φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’
φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то необходимо, что оно
возможно’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример
♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’
φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ —
‘необходимо φ’
φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’
φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’
φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то необходимо, что оно
возможно’
♦φ → ♦φ — ‘если φ возможно, то необходимо, что оно
возможно’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Kφ → φ —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’
φ → Kφ —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’
φ → Kφ — ‘если φ истинно, то субъект об этом знает’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’
φ → Kφ — ‘если φ истинно, то субъект об этом знает’
‘Если субъект знает φ, то он знает, что он это знает’ —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные операторы
Пример (Эпистемическая логика)
Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’
Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’
φ → Kφ — ‘если φ истинно, то субъект об этом знает’
‘Если субъект знает φ, то он знает, что он это знает’ —
Kφ → KKφ
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные операторы
Пример (Логика доказуемости)
φ — ‘φ доказуемо (в рамках некоторой
формальной теории)’
(p → p) → p — формула Лёба
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Обобщение базового модального языка
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Обобщение базового модального языка
Более одного ♦
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Обобщение базового модального языка
Более одного ♦
Не только унарные модальные операторы
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Обобщение базового модального языка
Более одного ♦
Не только унарные модальные операторы
Определение (Модальный тип сходства)
τ = (O, ρ)
O — непустое множество модальных
операторов
4, 40 , 41 , . . .
ρ — функция O → N, указывающая арность
для каждого оператора 4 ∈ O
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Обобщение базового модального языка
Более одного ♦
Не только унарные модальные операторы
Определение (Модальный тип сходства)
τ = (O, ρ)
O — непустое множество модальных
операторов
4, 40 , 41 , . . .
ρ — функция O → N, указывающая арность
для каждого оператора 4 ∈ O
Унарные операторы обозначаются ♦a или hai, где a —
индекс из некоторого множества
Предполагая арность операторов известной, не
различаем τ и O
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Определение (Модальный язык)
M L(τ, Φ)
τ = (O, ρ) — модальный тип сходства
Φ — множество пропозициональных переменных
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные языки
Определение (Модальный язык)
M L(τ, Φ)
τ = (O, ρ) — модальный тип сходства
Φ — множество пропозициональных переменных
F orm(τ, Φ) — множество модальных формул над τ и Φ:
φ := p | ⊥ | ¬φ1 | φ1 ∨ φ2 | 4(φ1 , . . . , φρ(4) )
p∈Φ
φi — формулы
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Модальные языки
Определение (Модальный язык)
M L(τ, Φ)
τ = (O, ρ) — модальный тип сходства
Φ — множество пропозициональных переменных
F orm(τ, Φ) — множество модальных формул над τ и Φ:
φ := p | ⊥ | ¬φ1 | φ1 ∨ φ2 | 4(φ1 , . . . , φρ(4) )
p∈Φ
φi — формулы
Определение (Двойственные операторы)
O(φ1 , . . . , φn ) := ¬4(¬φ1 , . . . , ¬φn )
Унарный O — a , [a]
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
O = {hF i, hP i}
hF iφ — ‘φ будет истинным в какой-то момент времени
в будущем’
hP iφ — ‘φ было истинным в какой-то момент времени
в прошлом’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
O = {hF i, hP i}
hF iφ — ‘φ будет истинным в какой-то момент времени
в будущем’
hP iφ — ‘φ было истинным в какой-то момент времени
в прошлом’
Обычно пишут F и P вместо hF i и hP i
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
O = {hF i, hP i}
hF iφ — ‘φ будет истинным в какой-то момент времени
в будущем’
hP iφ — ‘φ было истинным в какой-то момент времени
в прошлом’
Обычно пишут F и P вместо hF i и hP i
Gφ — ‘φ всегда будет истинным’
Hφ — ‘φ всегда было истинным’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ —
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’
Fφ → FFφ —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’
F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени
есть третий’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’
F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени
есть третий’
GF p → F Gp —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’
F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени
есть третий’
GF p → F Gp — ‘если p всегда будет истинным в какой-то
момент в будущем, то оно в конце концов станет
истинным навсегда’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Базовый темпоральный язык
Примеры утверждений
P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’
F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени
есть третий’
GF p → F Gp — ‘если p всегда будет истинным в какой-то
момент в будущем, то оно в конце концов станет
истинным навсегда’
Можно ли на базовом темпоральном языке записать
следующее утверждение?
φ когда-нибудь станет истинным, а до тех пор
будет истинно ψ
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Бесконечное множество модальных операторов hπi
π — (недетерминированная) программа
hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Бесконечное множество модальных операторов hπi
π — (недетерминированная) программа
hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
[π]φ — ‘любое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Бесконечное множество модальных операторов hπi
π — (недетерминированная) программа
hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
[π]φ — ‘любое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
Выбор: программа π1 ∪ π2 недетерминированно
выполняет π1 или π2
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Бесконечное множество модальных операторов hπi
π — (недетерминированная) программа
hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
[π]φ — ‘любое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
Выбор: программа π1 ∪ π2 недетерминированно
выполняет π1 или π2
Композиция: программа π1 ; π2 выполняет сначала π1 ,
затем π2
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Бесконечное множество модальных операторов hπi
π — (недетерминированная) программа
hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
[π]φ — ‘любое выполнение программы π в
текущем состоянии приведет к состоянию, в
котором истинно φ’
Выбор: программа π1 ∪ π2 недетерминированно
выполняет π1 или π2
Композиция: программа π1 ; π2 выполняет сначала π1 ,
затем π2
Итерация: программа π ∗ выполняет π конечное
(возможно, нулевое) число раз
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Пропозициональная динамическая логика
Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то
hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор
hπ1 ; π2 i — модальный оператор
hπ1∗ i — модальный оператор
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Пропозициональная динамическая логика
Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то
hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор
hπ1 ; π2 i — модальный оператор
hπ1∗ i — модальный оператор
Пример
hπ ∗ iφ ↔ φ ∨ hπ; π ∗ iφ
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то
hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор
hπ1 ; π2 i — модальный оператор
hπ1∗ i — модальный оператор
Пример
hπ ∗ iφ ↔ φ ∨ hπ; π ∗ iφ — ‘оказаться в состоянии, в котором
истинно φ, выполнив программу π конечное число раз,
можно тогда и только тогда, когда или в текущем состоянии
φ истинно, или в такое состояние можно попасть, выполнив
программу π конечное число раз, но не менее одного раза’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то
hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор
hπ1 ; π2 i — модальный оператор
hπ1∗ i — модальный оператор
Пример
hπ ∗ iφ ↔ φ ∨ hπ; π ∗ iφ — ‘оказаться в состоянии, в котором
истинно φ, выполнив программу π конечное число раз,
можно тогда и только тогда, когда или в текущем состоянии
φ истинно, или в такое состояние можно попасть, выполнив
программу π конечное число раз, но не менее одного раза’
Пример (Аксиома Сегерберга)
[π ∗ ](φ → [π]φ) → (φ → [π ∗ ]φ)
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Проверка: программа φ? проверяет истинность φ
если φ истинна, продолжаем работу
если φ ложна, завершаем работу неудачей
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Проверка: программа φ? проверяет истинность φ
если φ истинна, продолжаем работу
если φ ложна, завершаем работу неудачей
Пример
hφ?iψ —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Проверка: программа φ? проверяет истинность φ
если φ истинна, продолжаем работу
если φ ложна, завершаем работу неудачей
Пример
hφ?iψ — ‘φ & ψ’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Проверка: программа φ? проверяет истинность φ
если φ истинна, продолжаем работу
если φ ложна, завершаем работу неудачей
Пример
hφ?iψ — ‘φ & ψ’
(p?; a) ∩ (¬p?; b) —
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Проверка: программа φ? проверяет истинность φ
если φ истинна, продолжаем работу
если φ ложна, завершаем работу неудачей
Пример
hφ?iψ — ‘φ & ψ’
(p?; a) ∩ (¬p?; b) — ‘if p then a else b’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Пропозициональная динамическая логика
Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ
Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет
π1 и π2
hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние,
достижимое из текущего состояния обеими
программами, в котором истинна формула φ
Проверка: программа φ? проверяет истинность φ
если φ истинна, продолжаем работу
если φ ложна, завершаем работу неудачей
Пример
hφ?iψ — ‘φ & ψ’
(p?; a) ∩ (¬p?; b) — ‘if p then a else b’
В ДПДЛ рассматриваются детерминированные
программы
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Язык стрелок
τ→ — тип логики стрелок
Не только унарные модальные операторы
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ψ ◦ χ | ⊗ψ | 10
p∈Φ
ψ, χ — формулы
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Язык стрелок
τ→ — тип логики стрелок
Не только унарные модальные операторы
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ψ ◦ χ | ⊗ψ | 10
p∈Φ
ψ, χ — формулы
10
⊗φ
φ◦ψ
тождественное
обратное
композиция
‘пропустить’
‘φ в обратном направлении’
‘сначала φ, затем ψ’
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Feature Logic
Логика категорий (?)
Feature structures — ориентированные ацикличные графы,
кодирующие лингвистическую информацию
Матрицы «атрибут – значение» используются для описания
feature structures
Пример

 AGREEMENT
CASE
Неклассические логики и представление знаний
PERSON
1st
NUMBER plural
dative


Реляционные структуры
Модальные языки
Feature Logic
Логика категорий (?)
Feature structures — ориентированные ацикличные графы,
кодирующие лингвистическую информацию
Матрицы «атрибут – значение» используются для описания
feature structures
Пример

 AGREEMENT
CASE
PERSON
1st
NUMBER plural
dative


hAGREEM EN T i(hP ERSON i1st&hN U M BERiplural)&hCASEidative
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Описательная логика
Язык описания онтологий
Пример
‘убийца на зарплате у бандита’
Killer u ∃employer.Gangster
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Описательная логика
Язык описания онтологий
Пример
‘убийца на зарплате у бандита’
Killer u ∃employer.Gangster
killer & hemployerigangster
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Описательная логика
Язык описания онтологий
Пример
‘убийца на зарплате у бандита’
Killer u ∃employer.Gangster
killer & hemployerigangster
Используются числовые модальности
«не более трех переходов требуется, чтобы перейти в
состояние, где истинно φ»
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Подстановка
Определение
Подстановка — отображение σ : Φ → F orm(τ, Φ)
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Подстановка
Определение
Подстановка — отображение σ : Φ → F orm(τ, Φ)
σ индуцирует отображение
(·)σ : F orm(τ, Φ) → F orm(τ, Φ)
⊥σ = ⊥
pσ = σ(p)
(¬ψ)σ = ¬ψ σ
(ψ ∨ θ)σ = ψ σ ∨ θσ
(4(ψ1 , . . . , ψn ))σ = 4(ψ1σ , . . . , ψnσ )
Неклассические логики и представление знаний
Модальные языки
Реляционные структуры
Модальные языки
Подстановка
Определение
Подстановка — отображение σ : Φ → F orm(τ, Φ)
σ индуцирует отображение
(·)σ : F orm(τ, Φ) → F orm(τ, Φ)
⊥σ = ⊥
pσ = σ(p)
(¬ψ)σ = ¬ψ σ
(ψ ∨ θ)σ = ψ σ ∨ θσ
(4(ψ1 , . . . , ψn ))σ = 4(ψ1σ , . . . , ψnσ )
χ — (подстановочный) пример ψ, если существует
подстановка τ , такая что ψ τ = χ
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Подстановка
Пример
σ: σ(p) = p & q
σ(q) = ♦♦q ∨ r
Неклассические логики и представление знаний
σ(r) = r
Реляционные структуры
Модальные языки
Подстановка
Пример
σ: σ(p) = p & q
(p & q &
r)σ
σ(q) = ♦♦q ∨ r
=
Неклассические логики и представление знаний
σ(r) = r
Реляционные структуры
Модальные языки
Подстановка
Пример
σ: σ(p) = p & q
(p & q &
r)σ
σ(q) = ♦♦q ∨ r
σ(r) = r
=(p & q) & (♦♦q ∨ r) & r
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
Запишите следующие утверждения, используя модальные
операторы K (‘знает’) и B (‘убежден’):
1
Если субъект знает что-то, из чего, как он знает, следует
нечто другое, то он знает, что это другое истинно.
2
Никто не может знать, что нечто является
одновременно истинным и ложным.
3
Если субъект что-то знает, то это что-то истинно.
4
Если субъект что-то знает, то он знает, что он об этом
знает.
5
Если субъект чего-то не знает, то он знает, что он об
этом не знает.
6
Если субъект убежден в чем-то, из чего, как он убежден,
следует нечто другое, то он убежден в этом другом.
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
Запишите следующие утверждения, используя модальные
операторы K (‘знает’) и B (‘убежден’):
7
Никто не может быть убежден, что нечто является
одновременно истинным и ложным.
8
Если субъект в чем-то убежден, то он убежден в том,
что он в этом убежден.
9
Если субъект в чем-то не убежден, то он убежден в том,
что он в этом не убежден.
10
Любой субъект убежден в том, что он знает.
11
Любой субъект убежден в том, что он знает то, в чем
убежден.
12
Субъект убежден в чем-то тогда и только тогда, когда
он это знает.
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
Житель страны, населенной рыцарями (говорящими только
правду) и плутами (которые всегда лгут), заявляет:
Вы не знаете и никогда не узнаете, что я рыцарь.
Как записать эту информацию на языке модальной логики?
Неклассические логики и представление знаний
Реляционные структуры
Модальные языки
Упражнение
из домашнего задания по описательным логикам
Введем оператор 4 и будем использовать его для записи
понятий вида
4(r1 . . . rn )(s1 . . . sm ),
где r1 . . . rn , s1 . . . sm — роли. Например, понятие
4(brother f riend)(sister enemy)
описывает индивидов, все друзья братьев которых являются
врагами их сестер.
Вопрос
Как это можно записать на языке модальной логики?
Неклассические логики и представление знаний