Задачи - Mathbaby

ÒË 2 × 2, èíôîðìàòèêà, 7Ì êëàññ 25 øêîëû
Òåìà 2: ïåðåìåííûå è ïîäñòàíîâêà
Êðàòêàÿ ñïðàâêà
 ïðîøëûé ðàç ìû ðàáîòàëè ñ áóëåâîé àðèôìåòèêîé (ïðè÷¼ì çà÷àñòóþ ìàíèïóëÿöèè ïðîèçâîäèëèñü òîëüêî ñ
ôîðìóëàìè; ê èíòåðïðåòàöèè ôîðìóë êàê îòîáðàæåíèé äâóõýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà ïðèõîäèëîñü ïðèáåãàòü äîâîëüíî ðåäêî). Áóëåâû ôóíêöèè îäíà èç ïðîñòåéøèõ ìîäåëåé âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà. Ñëåäóþùåé (è, íàâåðíîå,
âàæíåéøåé) ñòóïåíüþ ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå òåîðèè.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé:
1) Íàáîð îïåðàöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò íåîòðèöàòåëüíîå êîëè÷åñòâî ¾âõîäîâ¿ è íåîòðèöàòåëüíîå êîëè÷åñòâî
¾âûõîäîâ¿. Åñëè îïåðàöèÿ f èìååò a âõîäîâ è b âûõîäîâ, ìû áóäåì ïèñàòü f : [a, b].
2) Åñëè f : [a, b] è g : [b, c], òî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ gf : [a, c], íàçûâàåìàÿ ¾ðåçóëüòàòîì ïîäñòàíîâêè f â g¿. Åñëè
f, g, h îïåðàöèè, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû âûðàæåíèÿ h(gf ) è (hg)f , òî îïåðàöèè, çàäàííûå ýòèìè âûðàæåíèÿìè,
îäèíàêîâû (è ñêîáêè ìîæíî âîîáùå íå ñòàâèòü).
3) Åñëè f1 , f2 , . . . fn îïåðàöèè òèïà [a, 1], òî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ (f1 , f2 , . . . fn ) : [a, n]. Ïðè ýòîì (f ) = f .
4) Äëÿ êàæäîãî íåîòðèöàòåëüíîãî a îïðåäåëåíà ¾òîæäåñòâåííàÿ¿ îïåðàöèÿ id : [a, a] òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ f : [a, b] è
g : [c, a] âûïîëíåíî f (id) = f è (id)g = g .
5) Äëÿ êàæäîé ïàðû a 6 b ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ πab : [b, 1], íàçûâàåìàÿ ¾a-é ïåðåìåííîé èç
íàáîðà b ïåðåìåííûõ¿.1 Ïðè ýòîì äëÿ ëþáîãî íàáîðà îïåðàöèé f1 , f2 , . . . fb : [c, 1] âûïîëíåíî
πib (f1 , f2 , . . . fb ) = fi ,
à äëÿ ëþáîé îïåðàöèè f : [c, b] âûïîëíåíî
(π1b f, π2b f, . . . πbb f ) = f.2
6) Äëÿ êàæäîãî a ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îïåðàöèÿ () : [a, 0].
Çàäà÷è
1)  ìàòåìàòèêå ïðèíÿòà èíôèêñíàÿ çàïèñü íåêîòîðûõ áèíàðíûõ îïåðàöèé: çíàê îïåðàöèè ñòàâèòñÿ ìåæäó àðãóìåíòàìè. Íàïðèìåð, âûðàæåíèå +(1, 2) çàïèñûâàþò êàê 1 + 2. Çàïèñü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ââåä¼ííîé íàìè îïåðàöèè
ïîäñòàíîâêè, íàçûâàåòñÿ ïðåôèêñíîé (çíàê îïåðàöèè ñòàâèòñÿ ïåðåä àðãóìåíòàìè).3 Ïåðåâåäèòå èç èíôèêñíîé ôîðìû â ïðåôèêñíóþ:
à) 1 + (2 + 3); á) 2 · 3 + 4; â) 2 · 3 + 2 · 4 = 2 · (4 + 3). (Àêêóðàòíî: ðàâåíñòâî ÍÅ àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ.)
2)  íåêîòîðîì ó÷åáíèêå ïî àëãåáðå íàïèñàíî f (x, y) = x + 2 · y. Êàêóþ æå ôîðìóëó èìåë â âèäó àâòîð?
3) Ñïåöèàëèñò ïî àëãåáðàè÷åñêèì òåîðèÿì íàïèñàë â ó÷åáíèêå äëÿ íà÷àëüíîé øêîëû ôîðìóëó
∗(π13 , +(π23 , π33 )) = +(∗(π13 , π23 ), ∗(π13 , π33 )).
Íà ÷òî ñëåäóåò èñïðàâèòü å¼ ðåäàêòîðó èçäàíèÿ?
4) Äîêàæèòå, ÷òî id = (π1n , π2n , . . . πnn ). (Ïîäñêàçêà: ïðèìåíèòå 2 ñîîòíîøåíèå äëÿ π.)
5) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ âñåõ i âûïîëíåíî πib f = πib g, òî f = g. (Ïîäñêàçêà: ïðèìåíèòå 2 ñîîòíîøåíèå äëÿ π.)
6) Äîêàæèòå, ÷òî (f1 , f2 , . . . fn )g = (f1 g, f2 g, . . . fn g). (Ïîäñêàçêà: ïðèìåíèòå 1 ñîîòíîøåíèå äëÿ π è ïðåäûäóùèé
ïóíêò).
7) Ïóñòü f (x, y, z) = x · y + y · z, à h(x, y, z) = (y, z, x). Êàêîé ìíîãî÷ëåí çàäà¼ò f h?
8)  íåêîòîðîì òåêñòå íàïèñàíî: ¾Â ñîîòíîøåíèè f (x, y, z) = 5 ñäåëàåì çàìåíó y = g(z, x)¿. Âàñÿ ïîíÿë, ÷òî èñõîäíîå
ñîîòíîøåíèå èìåëî âèä f = 5(), à ïîëó÷èëîñü f h = 5()h = 5(), íî òàê è íå ïîíÿë, ÷åìó æå ðàâíî h. Ïîìîãèòå Âàñå!
9) Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò îïåðàöèè 0 : [0, 1], 1 : [0, 1] è ∧ : [2, 1], ïðè÷¼ì ∧(0, 0) = ∧(0, 1) = ∧(1, 0) = 0 è
∧(1, 1) = 1. Íàéäèòå çíà÷åíèå (äîëæíî áûòü 0 èëè 1) ôîðìóëû ∧(π23 , π23 )(π11 , ∧(0, 1)(), ∧(1, 1)()) ∧ (1, 1).
10) Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò îïåðàöèè 0 : [0, 1], 1+ : [1, 1] è + : [2, 1], ïðè÷¼ì âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
+(π12 , 1 + π22 ) = (1+) + (π12 , π22 ).
Îáîçíà÷èì 2 = 1 + 1 + 0 è 4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0. Äîêàæèòå, ÷òî +(2, 2) = 4.
1 Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â áîëüøåé ÷àñòè ëèòåðàòóðû â îáîçíà÷åíèè π b èíäåêñ b îïóñêàþò, ñ÷èòàÿ åãî î÷åâèäíûì. Áîëåå òîãî, ÷òîáû íå
a
ïóãàòü ÷èòàòåëÿ, çà÷àñòóþ îïóñêàþò äàæå πa , èñïîëüçóÿ âìåñòî π1 , π2 , π3 , . . . ìåíåå ñòðàøíûå x1 , x2 , x3 , . . . èëè äàæå ïðîñòî x, y, z, . . .
2  áûòó âìåñòî π b f ïèøóò ïðîñòî f , ÷òî, âïðî÷åì, íå âûçûâàåò îñîáîé ïóòàíèöû.
i
i
3 Åñòü åù¼ ïîñòôèêñíàÿ çàïèñü: â íåé îïåðàöèè ïèøóòñÿ â òîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êîòîðîé îíè ïðèìåíÿþòñÿ. Ñóùåñòâóþò ÿçûêè
ïðîãðàììèðîâàíèÿ, âû÷èñëèòåëüíàÿ ìîäåëü êîòîðûõ òðåáóåò èìåííî ïîñòôèêñíîé çàïèñè (ñàìûå èçâåñòíûå èç íèõ: Forth è PostScript).