О. А. Косоруков О. А. Свиридова МОДЕЛЬ МИНИМИЗАЦИИ ИЗДЕРЖЕК В СИСТЕМАХ

94 Вестник РЭА ● 2009 ● № 6
Д-р техн. наук О. А. Косоруков
О. А. Свиридова
МОДЕЛЬ МИНИМИЗАЦИИ ИЗДЕРЖЕК В СИСТЕМАХ
УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
В статье описана математическая модель оптимизации
для дискретного случая в условиях детерминированного
спроса и неопределенности времени поставок.
Ключевые слова: системы управления запасами, минимизация издержек, неопределенность, оптимизационная модель.
Любое предприятие заинтересовано в том, чтобы выстроить долгосрочные и выгодные отношения с заказчиками, четко и в срок выполнять принятые на себя обязательства, повышать сервис клиентов, при
этом снижая логистические затраты. От того, насколько рационально
осуществляется управление складами, процессами снабжения, отгрузки
продукции, зависит бесперебойное функционирование производства и
удовлетворение запросов клиентов. Важным элементом решения проблемы снижения издержек управления запасами являются математические модели, обеспечивающие планирование и оптимизацию поставок.
Провести анализ одновременно всех параметров, влияющих на
размер издержек, в рамках одной модели крайне затруднительно. В нашем исследовании в качестве управляющего фактора было выбрано
время назначения поставки, оптимизация которого позволяет достичь
значения параметров системы управления запасами, близких к оптимальным. Это в свою очередь позволяет снизить издержки, высвободить связанный в излишних запасах капитал и при этом обеспечить
бесперебойность производственного или торгового процесса, что в конечном итоге приводит к повышению рентабельности предприятия.
Практически каждая компания сталкивалась с проблемой появления нежелательных издержек, возникающих вследствие непрофессионального выполнения своих обязанностей поставщиками. Отбор надежных поставщиков – отдельная и довольно сложная задача, но даже
надежные поставщики не застрахованы на сто процентов от срывов или
несвоевременного выполнения поставок. Поэтому нами были поставлены задачи минимизации издержек, связанных с неопределенностями
спроса и времени поставок в системах управления запасами. При этом
необходимо преобразование входной информации, включающей в себя
данные о продажах и историю поставок товаров поставщиком, в опти-
Косоруков О. А. и др. Модель минимизации издержек в системах управления запасами
95
мальный оперативный план закупок товара с учетом оговоренных неопределенностей.
Задачи построения моделей оптимального управления запасами в
условиях неопределенности неоднократно ставились в работах авторов
учебников по моделированию логистических процессов, а также в диссертациях по экономико-математическому моделированию.
В частности, в работе Г. Л. Бродецкого1 описана модель оптимального управления запасами в условиях неопределенности для предприятий мясоперерабатывающей отрасли, где в рамках представленной
модели принято, что и годовое потребление товара, и цена его реализации неизвестны. В отличие от классических постановок здесь рассматривается задача максимизации прибыли, а не минимизации общих суммарных годовых издержек.
Модели управления запасами с учетом временной стоимости денег подробно описаны в учебном пособии «Управление запасами»2.
В работе профессора А. А. Смехова3 впервые рассматривается модель доставки грузов «точно в срок», минимизирующая потери, обусловленные отклонением фактической величины времени доставки от
договорной. Для оценки возможной задержки в доставке грузов используется теория надежности. Это позволяет рассмотреть задержку материального потока в каждом отдельном звене логистической цепи как
отказ и оценить вероятность безотказной работы всей цепи. Несмотря
на то, что в работе приведены аналитические зависимости для определения параметров доставки «точно в срок», их практическое использование не получило пока широкого распространения. Среди возможных
причин – трудность формализации и аналитического описания некоторых составляющих модели, а также отсутствие параметров расчета.
А. Е. Фараонов4 разработал комплекс экономико-математических
моделей эффективного взаимодействия объектов иерархической структуры многоуровневой торговой компании в процессе управления запасами, позволяющий оптимизировать финансовые потоки системы. А
Д. Н. Кузнецов5 разработал математическую модель управления многономенклатурными запасами в условиях случайного спроса на этапах
оперативно-календарного планирования, которая учитывает различные
1
См.: Бродецкий Г. Л. Модель оптимального управления запасами в условиях неопределенности // Логистика и управление цепями поставок. – 2008. – № 4 (27).
2
См.: Бродецкий Г. Л. Управление запасами : учебное пособие. – М. : Эксмо, 2007.
3
См.: Смехов А. А. Основы транспортной логистики : учебник для вузов. – М. : Транспорт,
1995.
4
См.: Фараонов А. Е. Экономико-математическое моделирование финансовых потоков при
решении задач управления запасами : дис. … канд. экон. наук. – СПб., 2006.
5
См.: Кузнецов Д. Н. Оптимизация затрат в системе управления запасами торгового предприятия в краткосрочной перспективе : дис. … канд. экон. наук. – Тамбов, 2007.
96 Вестник РЭА ● 2009 ● № 6
условия поставок, закупочные цены, сроки доставки, стоимость хранения, штрафы за предполагаемый дефицит, ограничения на суммы заказа
и т. д. Кроме того, им был предложен метод оптимизации затрат с использованием модели, а также алгоритм решения задачи управления
запасами с помощью усеченного лексиграфического перебора для нахождения оптимального плана закупок.
Предлагаемая экономическая многопродуктовая вероятностная
модель на основе получаемой от компании информации о выполнении
поставок за определенный период в прошлом позволяет скорректировать момент назначения следующей поставки. Критерием оптимизации
при этом будет служить минимум среднеожидаемых совокупных издержек. В состав общих издержек входят, во-первых, затраты, связанные с хранением продукции, а во-вторых, убытки, которые несет компания вследствие неполного удовлетворения спроса из-за несвоевременного подвоза продукции.
С одной стороны, возможные излишки вследствие раннего подвоза товара приводят к дополнительным издержкам на хранение и обслуживание, а также к потерям из-за неполной реализации товара (в частности, к потерям при ликвидации остатков запаса). С другой стороны,
возможный дефицит обусловливает либо упущенную выгоду, либо риск
потери клиентов, как настоящих, так и потенциальных. Кроме того, это
и издержки упущенных возможностей, возникающие по причине замораживания в запасах капитала, который мог бы быть размещен в других
сферах деловой активности и принести прибыль.
Для того чтобы рассмотреть поведение затрат, необходимо ввести
и описать параметры решаемой задачи.
Итак, нам необходимо определить время поставки t* исходя из неопределенности времени поставок. Сделаем допущение, что объем партии товара является фиксированной величиной и равен Q. Момент обнуления товара на складе обозначим через tA, а момент реальной поставки – через tA*. Величина t Δ характеризует время задержки или
преждевременного подвоза товара. Следовательно, с учетом неопределенности поставок реальный момент поставки равен
tA* = t* + t Δ .
В условиях рассматриваемой задачи будем интерпретировать неопределенность спроса через время, за которое распродается товар в
объеме Q. I (t A − t *A ) – функция издержек, связанных с хранением избыточного товара в объеме Q после поставки t *A на интервале времени до
момента реального обнуления товара t А > t *A в случае, когда поставка
товара осуществлялась в более ранний срок.
Косоруков О. А. и др. Модель минимизации издержек в системах управления запасами
97
Схематично поведение функции издержек хранения в линейном
случае показано на рис. 1.
I(t)
t
Рис. 1. Функция издержек хранения (линейный случай)
D(t *A − t A ) – функция издержек при неполном удовлетворении
спроса, связанных с дефицитом товара на промежутке от момента реального обнуления товара t A < t *A и до момента поставки t *A в объеме Q.
Схематично поведение издержек при неполном удовлетворении
спроса показана на рис. 2.
D(t)
t
Рис. 2. Функция издержек дефицита (линейный случай)
Таким образом, издержки хранения составят:
⎧⎪Q ⋅ c ⋅ (t A − t *A ), t A > t *A
I (t A − t *A ) = ⎨
,
⎪⎩0, t A ≤ t *A
где с = const – суточная стоимость хранения единицы продукции.
98 Вестник РЭА ● 2009 ● № 6
А издержки дефицита составят:
⎧Q
*
*
⎪ ⋅ z ⋅ (t A − t A ), t A > t A
*
,
D(t A − t A ) = ⎨ λ
*
⎪0, t ≤ t
A
A
⎩
где z = const – прибыль от продажи единицы продукции;
λ – интенсивность спроса, т. е. время, за которое распродается товар в объеме Q.
Q
представляет собой суточный объТаким образом, множитель
λ
ем продаваемого товара.
Рассмотрим дискретный случай с неопределенностью времени поставок и несколькими продуктами.
Предположим, что компания занимается реализацией m видов товаров. При этом Qj – количество товара j в предполагаемой поставке,
cj – стоимость хранения товара j, zj – прибыль от продажи единицы товара j, λj – величина спроса на товар j в единицу времени, j = 1, …, m.
Так как мы рассматриваем задачу с неопределенностью времени поставки и известным спросом, то мы можем сделать допущение, что момент обнуления товара j на складе известен и равен tQj .
Итак, мы имеем:
t Q* i = (t * + t Δ i ) – реальный момент поставки;
t* – искомый момент назначения следующей поставки;
tΔi – срок опоздания или преждевременной поставки.
Рассмотрим время отклонения срока поставки как дискретную
случайную величину. Предположим, что исходя из статистических наблюдений нам известны n значений случайной величины tΔ, а также
частоты τi, с которыми принимаются эти значения. Тогда можно рассчитать вероятности значений случайной величины, характеризующей
отклонение поставки от назначенного времени tΔ по формуле
τ
pi = i , i = 1, …, n.
∑ τi
i
Издержки для каждого случая опоздания или преждевременной
поставки будут равны:
I i (tQ
j
⎧m
j
j
*
*
⎪∑ Q j ⋅ c j ⋅ (tQ − tQi ), tQ > tQi
*
,
− tQi ) = ⎨ j =1
⎪0, t j ≤ t *
Q
Qi
⎩
Косоруков О. А. и др. Модель минимизации издержек в системах управления запасами
99
⎧ m Qj
j
*
*
j
⎪∑ ⋅ z j ⋅ (tQi − tQ ), tQi > tQ
j
*
,
Di (tQi − tQ ) = ⎨ j =1 λ j
⎪0, t * ≤ t j
Qi
Q
⎩
а математические ожидания издержек M(I) и M(D) составят:
n
M ( I ) = ∑ I i ⋅ pi ,
i =1
n
M ( D ) = ∑ Di ⋅ pi .
i =1
Тогда математическую модель поставленной задачи можно описать следующим образом:
M ( I ) + M ( D) → min,
t* ∈ Ζ + ,
j = 1, ..., m.
Пример. Компания предоставила информацию о выполнении поставок за 6 месяцев для трех видов товаров: А, В и С. Поставки в ней
осуществлялись каждую неделю
Информация о задержках товара и преждевременных поставках
собрана в табл. 1, при этом на основании статистики мы определили,
что товар не может прийти раньше, чем на 3 дня, и не может задержаться больше, чем на 4 дня. Таким образом, нам известны 8 (i = 8) значений случайной величины tΔ.
Таблица 1
Статистика по отклонениям в сроках привоза
Индекс
значения
i
Преждевременный
привоз/опоздание tΔ,
дни
Частота
τi
Вероятность значения
pi
1
2
3
4
5
6
7
8
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
0
1
1
1
5
6
6
4
0,00
0,04
0,04
0,04
0,21
0,25
0,25
0,17
100 Вестник РЭА ● 2009 ● № 6
В табл. 2 собраны предполагаемые к поставке объемы товаров,
стоимости хранения и прибыли от реализации, а также величины дневных спросов для трех видов товаров: А, В и С.
Таблица 2
Исходные данные по товарам
А
j =1
700
1
2
4
Наименование
Количество товара Qj
Стоимость хранения cj
Прибыль от продажи zj
Величина спроса λj
В
j =2
900
1
5
5
С
j =3
1000
1
6
7
Всего
2600
Для нахождения оптимального момента назначения поставки воспользуемся оптимизационной надстройкой Excel Поиск решения, задавая в качестве изменяемых ячеек t* (табл. 3).
Таблица 3
Модель оптимизации времени поставки
с использованием статистики
tΔ
Вер.
tQ *
I(1)
D(1)
I(2)
D(2)
I(3)
D(3)
Раньше
–3
0,00
1
2100
0
3600
0
6000
0
Раньше
–2
0,04
2
1400
0
2700
0
5000
0
Раньше
–1
0,04
3
700
0
1800
0
4000
0
Вовремя
0
0,04
4
0
0
900
0
3000
0
Позже
1
0,21
5
0
350
0
0
2000
0
Позже
2
0,25
6
0
700
0
900
1000
0
Позже
3
0,25
7
0
1050
0
1800
0
0
Позже
4
0,17
8
857,1429
Сумма
t*
tQ 1
4
4
0
1400
0
2700
0
µ
4200
3500
9000
5400
21000
857,1429 M(I) + M(D)
2
87,5
743,75
225
1125
1166,7
142,8571
tQ 2
3490,774
tQ 3
5
7
Таким образом, момент назначения поставки t* = 4 мы определяем
в процессе решения задачи минимизации совокупных издержек.
Для проверки эффективности данного подхода построим оптимизационную модель назначения дня поставки без использования стати-
Косоруков О. А. и др. Модель минимизации издержек в системах управления запасами
101
стики отклонений поставок от назначенного срока и найдем минимальные затраты (табл. 4).
Таблица 4
Модель оптимизации времени поставки
без использования статистики
tΔ
0
tQ*
5
I(1)
0
D(1)
350
tQ1
4
t*
5
tQ2
5
I(2)
0
D(2)
0
I(3)
2000
D(3)
0
Суммарные затраты
2350
tQ3
7
Оптимальный момент t* = 5, найденный во второй модели в
табл. 4, подставим в первую модель и определим минимальные средние
ожидаемые издержки (табл. 5).
Таблица 5
Расчет ожидаемых издержек для t* = 5
tΔ
Вер.
tQ *
I(1)
D(1)
I(2)
D(2)
I(3)
Раньше
–3
0,00
2
1400
0
2700
0
5000
0
Раньше
–2
0,04
3
700
0
1800
0
4000
0
Раньше
–1
0,04
4
0
0
900
0
3000
0
Вовремя
0
0,04
5
0
350
0
0
2000
0
Позже
1
0,21
6
0
700
0
900
1000
0
Позже
2
0,25
7
0
1050
0
1800
0
0
Позже
3
0,25
8
0
1400
0
2700
0
857,1429
Позже
4
0,17
9
0
1750
0
3600
0
1714,286
µ
2100
5250
5400
9000
15000
2571,429
M(I) + M(D)
2
29,167
1064,6
112,5
1913
583,33
500
4202,083
Сумма
t*
tQ 1
5
4
tQ 2
5
D(3)
tQ 3
7
Таким образом, в данном примере эффект экономии составит
Δ = 4202,08 – 3490,77 = 711,31 у. е.,
что составляет 20,38%.
Схематично эффект экономии изображен на рис. 3.
102 Вестник РЭА ● 2009 ● № 6
В заключение стоит сказать, что в данной статье рассматривается
только дискретная модель, а в качестве неопределенности выступает
только неопределенность времени поставок.
M(I) + M(D)
t*
t*опт
t
Рис. 3. Зависимость издержек от дня поставки
В настоящее время изучается также непрерывная модель и ставится более сложная задача, где рассматриваются обе неопределенности:
неопределенность спроса и неопределенность времени поставок.
Список литературы
1. Бродецкий Г. Л. Модель оптимального управления запасами в
условиях неопределенности // Логистика и управление цепями поставок. – 2008. – № 4 (27).
2. Бродецкий Г. Л. Управление запасами : учебное пособие. – М. :
Эксмо, 2007.
3. Модели и методы теории логистики : учебное пособие. –
2-е изд. / под ред. В. С. Лукинского. – СПб. : Питер, 2007.
4. Смехов А. А. Основы транспортной логистики : учебник для вузов. – М. : Транспорт, 1995.