2-25 изучение стоячих волн в натянутом шнуре

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Зав. кафедрой ОФ
_____________А.М. Лидер
«___»_____________2014 г.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2-25
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
по курсу «Общая физика» по теме «Колебания и волны»
для студентов всех специальностей
Томск-2014
УДК 53.01
Изучение стоячих волн. Методические указания к выполнению
лабораторных работ по курсу «Общая физика» для студентов всех
специальностей. - Томск. Изд. ТПУ, 2014.- 14 с.
Составители Т.Н. Мельникова
2
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ
Цель работы: изучение стоячих волн, определение скорости
распространения волны в натянутом шнуре, определение объёмной
плотности шнура.
Приборы и принадлежности: звуковой генератор; экспериментальная
установка с вертикально натянутым шнуром, снабжённая шкалой; набор
грузов, микрометр.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется
волновым процессом (упругой волной).
Упругая волна называется продольной, если частицы среды
совершают колебания в направлении распространения волны.
Продольные волны обусловлены объемной деформацией упругой среды
(деформация и растяжения) и поэтому могут распространяться в любой
среде: газообразной, жидкой и твердой.
Если частицы среды совершают колебания в направлении,
перпендикулярном распространению волны, волна называется
поперечной. Поперечные волны обусловлены упругой деформацией
сдвига и следовательно, могут распространяться только в средах,
обладающих упругостью форм, т.е. в .твердых телах.
Волна, переносящая энергию колебаний в пространстве, называется
бегущей волной.
При интерференции двух бегущих волн, распространяющихся
навстречу друг другу, возникает стоячая волна.
Рис. 1
Так как стоячая волна является результатом сложения двух волн,
распространяющихся в противоположных направлениях, то при
равенстве амплитуд волн поток энергии, переносимый в одном
направлении, равен потоку энергии, переносимому в противоположном
направлении. Результирующий поток энергии равен нулю, т.е. стоячие
3
волны не переносят энергию. В силу этой особенности они и получили
свое название. На опыте стоячая волна возникает, если на пути бегущей
(прямой) волны перпендикулярно к направлению распространения
поставить хорошо отражающую преграду. Падающая на преграду волна
(прямая) и бегущая ей на встречу отраженная (обратная) волна,
интерферируя, образуют стоячую волну.
Получим уравнение одномерной стоячей волны. Поскольку каждая
точка среды одновременно участвует в двух колебаниях, то
результирующее смещение Y(x,t) точек среды с координатой х в момент
времени t можно найти путем алгебраического сложения смещений, т.к.
они происходят вдоль одной и той же прямой. Для простоты
рассмотрим случай, когда прямая и встречная волны имеют одинаковые
амплитуды А. Пусть уравнение прямой волны, распространяющейся в
положительном направлении оси х, имеет вид:
Y1(x,t) = A cos(t – kx + 1),
(1)
а уравнение обратной волны:
Y2(x,t) = Acos(t + kx + 2),
(2)
где 1, 2 – начальные фазы, k – волновое число,  – циклическая
частота.
Тогда для результирующего смещения (уравнение стоячей волны),
сложив левые и правые части уравнений (1) и (2) и используя формулу
для суммы косинусов, получим:
 -
  1
(3)
Y x, t   2 A cos(kx  2 1 ) cos(t  2
).
2
2
Для упрощения уравнения (3) выберем начало отсчета координаты х
так, чтобы разность начальных фаз (2 - 1) стала равной нулю, а начало
отсчета времени t так, чтобы оказалась равной нулю сумма (2 + 1).
2
Если учесть, что волновое число k 
, где  – длина волны, то

уравнение (3) примет вид:
2
(4)
Y  x, t   2 A cos( x) cost . .

Согласно (4) колебание в каждой точке стоячей волны происходит с
циклической частотой  бегущей волны. По аналогии с бегущей волной
в уравнении стоячей волны модуль множителя стоящего перед cos(t):
2
2 A cos x
(5)

4
является амплитудой результирующего колебания. Из (5) видно, что
амплитуда одномерной стоячей волны является периодической
функцией, зависящей от координаты х колеблющейся точки. В точках,
координаты которых удовлетворяют условию:
2
(6)
x  m m  0,  1,  2,  3, ... ,

так как
cos(m) = ± l
(7)
амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А. Эти точки называют
пучностями стоячей волны (рис. 2).
Из (6) координаты пучностей:

(8)
m  0,  1,  2,  3, ....
xпучн  m
2
B точках, координаты которых удовлетворяют условию:
2π
π
(m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) .
(9)
x = (2m + 1)
λ
2
Так как
π
(10)
cos(mπ + ) = 0 ,
2
то амплитуда результирующего колебания обращается в ноль. Эти
точки не совершают колебаний и потому называются узлами стоячей
волны (рис. 2). Координаты узлов из (9):
λ
(m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) .
(11)
xузл = (2m + 1)
2
Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя
соседними пучностями из (8) и (11) одинаковы и равны половине длины
волны.
5
Если стоячая волна устанавливается в закрепленном с обоих концов
натянутом шнуре (струне), то поскольку в местах закрепления шнура
должны располагаться узлы, в нем возбуждаются только такие
колебания, половина длины волны которых укладывается на длине
струны целое число раз (рис.3).
Рис. 3
Отсюда
nλ
(n = 1, 2, 3, ...)
2
где l – длина шнура, n – число пучностей.
Из уравнения (12) получим формулу для длины волны:
2l
λ= .
n
Фазовая скорость волны:
 = ,
l=
(12)
(13)
(14)
где  – частота колебаний. Тогда с учетом (13) уравнение (14)
представим в виде:
2lν
(15)
υ=
.
n
Рассмотрим, как зависит скорость распространения волны в
натянутом шнуре от силы натяжения.
6
Известно, что скорость распространения поперечной волны не
ограничена в среде в твердом теле:
G
(16)
υ
,
ρ
где G – есть модуль сдвига,  – объемная плотность.
Скорость распространения поперечной волны в натянутом шнуре
может быть найдена из соотношения (15), только предварительно
необходимо установить какая величина в этом случае играет роль
модуля сдвига.
Предположим, что деформации натянутого шнура, связанные с
поперечными колебаниями, малы. Тогда при малых колебаниях можно
пренебречь изменениями величины силы натяжения Т, обусловленными
изгибом струны.
В этом приближении силы натяжения Т, действующие на конце
выделенного участка АВ (рис.4) шнура вдоль его оси равны друг другу.
Их составляющие, касательные к основанию участка АВ, как видно
из рис.4, равны:
T sin  T,
(17)
где  – угол сдвига.
Поэтому величина касательного
напряжения
(напряжение
численно равно отношению силы
к площади поперечного сечения
струны),
действующего
на
основание,
рассматриваемого
Рис.4
участка АВ, равна:
T
(18)
τ = γ,
S
где S – площадь поперечного сечения шнура.
Касательное напряжение связано с модулем сдвига соотношением:
 = G.
(19)
Из уравнений (18) и (19) получим
T
(20)
.
S
Подставив (20) в (16), для скорости распространения бегущей волны
в натянутом шнуре получим выражение:
T
υ=
.
(21)
Sρ
G=
7
Учитывая (13), из соотношения (21) объёмная плотность шнура
определяется формулой
4T
ρ= 2 2 2,
(
22)
λ ν πd
где d – диаметр шнура.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Схема экспериментальной установки для проведения экспериментов
представлена на рис.5. На нижний конец вертикально
натянутого шнура подвешены подвес А и чашка Р для
гирь. Верхний конец шнура прикреплен к языку
электромагнитного
вибратора,
служащего
для
возбуждения колебаний в шнуре. Установка снабжена
шкалой В, которая может быть использована для
измерения длины волны.
Если к электромагнитному вибратору подключить
звуковой генератор (ЗГ), от вибратора по шнуру будет
распространяться поперечная волна. Эта волна отражается
от конца шнура. В результате волны накладываются друг
на друга и при определенных частотах ЗГ в соответствии с
(12) образуется стоячая волна. При изменении частоты ЗГ
Рис. 5
при постоянной силе натяжения число пучностей n
стоячей волны в соответствии с (14) и (19) изменится.
Искажения стоячих волн бегущей волной, выражающиеся в размытии
узла стоячей волны, несущественны, если потери энергии (трение о
воздух, потери энергии через концы шнура и т.д.) за период малы по
сравнению с запасом колебательной энергии в шнуре. Это условие
имеет вид:
(23)
A2 << y02 ,
где А – амплитуда бегущей волны, у0 – амплитуда стоячей волны
(определенной в пучности, примыкающей в узлу).
Если при проведении эксперимента условие (23) выполняется
недостаточно хорошо, необходимо уменьшить выходную мощность ЗГ.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Соберите электрическую цепь (выводы вибратора присоедините к
клеммам выхода ЗГ).
8
2. Прикрепите к нижнему крючку нити чашку с первоначальным
весом  1Н (Сила натяжения шнура Т равна общему весу подвеса,
чашки и гирь; общая масса подвеса, чашки и гирь = 109 гр.).
3. Включите ЗГ в сеть. Тумблер «сеть» ЗГ переключите в положение
«Вкл.». Установите по шкале вольтметра ЗГ максимальное
напряжение. Переключатель частот установите в положение 1. Ручку
лимба «Частота генератора» поверните против часовой стрелки до
упора.
4. Вращая ручку лимба ЗГ, добейтесь образования в шнуре стоячей
волны с n = 1. Силу натяжения, частоту ЗГ, число пучностей занесите
в таблицу 1. Определите по формуле (12), измеряя расстояние межу
узлами, длину волны, а по формуле (14) величину скорости
распространения волны в шнуре.
Таблица 1
№ Масса Сила Число Длина Длина Часто- Ско- Плотопы- груза, натя- пучно- шнура, волны,
та,
рость ность,
та
m, кг жения, стей,
l, м
, м
, Гц , м/с , кг/м3
Т, Н
n
1
2
…
n
Изменяя частоту ЗГ при той же силе натяжения шнура получите
стоячие волны с (1  4) пучностями и проведите аналогичные
измерения и расчеты. Результаты также занесите в таблицу 1.
5. Аналогичные опыты и расчеты выполните, увеличивая вес гири на
54, 108, 162, 216 гр. Результаты занесите в таблицу 1.
6. Измерьте диаметр шнура микрометром.
7. По формулам (13) и (21) вычислите для всех измерений величины
скорости распространения бегущей волны в натянутом шнуре и
объёмной плотности шнура.
8. Найдите среднее значение скорости распространения волны в
шнуре и оцените абсолютную и относительную погрешности
измерений.
9. Запишите окончательные результаты.
9
10. Постройте график зависимости квадрата скорости (2)
распространения бегущей волны в натянутом шнуре от силы
натяжения (T) шнура.
11. Из уравнения (21) следует, что в координатах 2 от Т зависимость
υ2 = T/Sρ – линейная. Следовательно, тангенс угла наклона прямой
равен tgα = 1/Sρ. Используя эту зависимость, вычислите объёмную
плотность шнура по формуле
1
(24)
ρ=
.
Stgα
12. Сравните результаты вычислений объёмной плотности шнура по
формулам (21) и (24), а также с табличным значением  для шнура,
равным 1150 кг/м3.
13. Сделайте выводы по работе.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какой процесс называется волновым процессом (упругой
волной)?
2. Какая волна называется гармонической?
3. Запишите уравнение гармонических колебаний и его решение.
4. Что называется длиной волны?
5. Дайте определения амплитуды, фазы, начальной фазы, периода,
частоты, циклической частоты колебания.
6. Что такое волновой фронт?
7. Дайте определение волновой поверхности.
8. Какую волну называют плоской? Сферической?
9. Какие волны распространяются в газах и в жидкостях? Почему?
10.Дайте определение продольных и поперечных волн.
11. Как распространяются продольные и поперечные волны в разных
средах (в жидкостях, в твердых телах)?
12.Какая волна называется стоячей волной? Чем она отличается от
бегущей волны?
13.Как связаны между собой скорость, длина волны и частота
колебаний частиц в волне?
14.Какие точки называются узлами (пучностями) стоячей волны?
15.Чему равно расстояние между соседними узлами (пучностями)
стоячей волны?
16.Как определить длину волны, зная положение узлов и пучностей?
17.Как расположены узлы и пучности в стержне, закрепленном
посередине? закрепленном с обоих концов?
10
18.Найти отношение скорости распространения бегущей волны в
неограниченной среде и скорость распространения волны в
натянутом шнуре?
19.Как образуется стоячая волна в экспериментальной установке,
используемой в этой работе?
20.Получите формулу для расстояния между соседними узлами,
соседними пучностями, соседними узлами и пучностями.
21.Что называют объемной плотностью шнура?
22.В чем состоит различие бегущей и стоячей волны?
23.Как зависит скорость распространения колебаний в шнуре от
силы натяжения шнура?
24. Как зависит основная циклическая частота ω от натяжения Т, от
плотности ρ и от длины струны l?
25.Энергия стоячей волны.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т.1– М.: Наука, 1974. – 519 с.
2. Кухлинг Х. Справочник по физике. – М.: Мир, 1982. – 520 с.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 4, Волны. Оптика. – М.:
Наука: Физматлит, 1998.-256 с.
ГЛОССАРИЙ
1. Бегущими волнами называются волны, которые переносят в
пространстве энергию.
2. Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к
другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах.
3. Волновая поверхность — геометрическое место точек,
испытывающих возмущение обобщенной координаты в
одинаковой фазе. Если источником волны является точка, то
волновые поверхности в однородном и изотропном пространстве
представляют собой концентрические сферы.
4. Волновой фронт — это поверхность, до которой дошли
колебания к данному моменту времени.
5. Модуль упругости – физическая величина, характеризующая
способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго
деформироваться при приложении к нему силы.
6. Модулем
сдвига
называется
отношение
напряжения к сдвиговой деформации.
11
касательного
7. Объёмная плотность – широко используемый термин в
различных областях науки для обозначения плотности
распределения тех или иных физических величин в единице
пространства.
8. Плоская волна — волна постоянной частоты, волновые фронты
которой являются бесконечными плоскостями, нормальными к
вектору фазовой скорости. Такие волны в реальности не
существуют, так как плоская волна начинается в точке - и
заканчивается в точке +, чего, очевидно, быть не может. Тем не
менее, конечная плоская волна существует и называется
«квазиплоской». Если квазиплоская волна обладает достаточной
длиной, то её приближённо можно считать плоской (под длиной
здесь подразумевается протяжённость волны, длина же волны 
здесь
будет
называться
«пространственным
периодом
колебаний»).
9. Поперечная волна – волна, распространяющаяся в направлении,
перпендикулярном к плоскости, в которой происходят колебания
частиц среды (в случае упругой волны) или в которой лежат
векторы
электрического
и
магнитного
поля
(для
электромагнитной волны).
10. Продольными волнами называются волны, в которых
колебания совершаются вдоль направления распространения.
11. Сферическая волна — волна, радиально расходящаяся от
источника. Её волновой фронт представляет собой сферу.
Простейшим примером почти сферической волны является
световая волна, испускаемая лампочкой.
12.Циклическая частота – число колебаний за 2π секунд.
12
Учебное издание
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ
Методические указания к выполнению лабораторной работы 2-25
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Составитель
МЕЛЬНИКОВА Тамара Николаевна
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати 01.02.2014. Формат 60х84/16. Бумага
«Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 9,01. Уч.-изд.л. 8,16.
Заказ . Тираж 10 экз.
Национальный исследовательский Томский
политехнический университет
Система менеджмента качества
Издательства Томского политехнического университета
сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS
EN ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
13