в психологии - Моисеев Сергей Игоревич

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский гуманитарно-экономический институт
Воронежский филиал
С.И. Моисеев
Математические методы
в психологии
методические указания по изучению дисциплины
Воронеж, 2006
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
УДК 519+338
ББК М 36
Моисеев С.И. Математические методы в психологии.
Методические указания по изучению дисциплины. Воронеж, ВФ
МГЭИ, 2006.- 46 с.
Методические указания предназначены для организации самостоятельной работы по дисциплине «Математические методы в психологии» для студентов специальности «Психология» Воронежского
филиала Московского гуманитарно-экономического института. Они
являются руководством к выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной формы обучения. Их также можно рекомендовать для организации самостоятельной работы студентам очной
и очно-заочной форм обучения.
Методическая разработка содержит основные разделы, предусмотренные учебной программой дисциплины. В методических указаниях кратко приведены основные определения, методы и формулы,
разобраны примеры решения типовых заданий, приведены задания для
самостоятельного решения. Для некоторых заданий, выполнение которых требует значительных вычислений, приведены примеры решения
их с помощью ЭВМ.
Печатается по решению учебно-методического совета Гуманитарного факультета Воронежского филиала Московского гуманитарно-экономического института.
Рецензент: Морозов Ю.Г., к.ф.-м.н., доцент.
 С.И. Моисеев, ВФ МГЭИ, 2006 г.
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ВВЕДЕНИЕ
Данная методическая разработка предназначена для организации самостоятельной работы по дисциплине «Математические методы
в психологии» для студентов специальности «Психология» Воронежского филиала Московского гуманитарно-экономического института.
Методические указания являются руководством к выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной формы обучения. Их также можно рекомендовать для организации самостоятельной
работы студентам очной и очно-заочной форм обучения.
Методические указания содержат основные разделы, предусмотренные учебной программой дисциплины: статистические методы
обработки измерений, оценивание выборочных параметров, проверка
статистических гипотез, элементы корреляционного и регрессионного
анализа и другие.
В методических указаниях кратко приведены основные определения, методы и формулы, разобраны примеры решения типовых заданий, приведены задания для самостоятельного решения, которые
являются заданиями на контрольную работу для студентов заочной
формы обучения. Для некоторых заданий, выполнение которых требует значительных вычислений, приведены примеры решения их с помощью ЭВМ с использованием пакета прикладных программ MS
EXCEL. Для более глубокого изучения материала студентам может
понадобиться дополнительная литература, библиографический список
которой также приведен в данной методической разработке. Кроме
того, в приложении содержатся основные статистические таблицы,
которые понадобятся студентам при решении задач.
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
В практической психологии очень часто приходится проводить исследования, основанные на результатах наблюдений за некоторой группой людей (респондентов). Исследователь, наблюдая за респондентами, получает некоторую совокупность данных какого-либо
показателя, и из анализа которых делаются выводы об основных свойствах этого показателя.
1.1. Основные сведения и формулы
Основным объектом исследования в математических методах
практической психологии является выборка. Выборкой объема n называются числа x1 , x2 , …, xn, получаемые на практике при n – кратном
наблюдении за некоторым показателем в неизменных условиях.
Вариационным рядом выборки x1 , x2 , …, xn называется способ ее
записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности x(1), x(2), …, x(n), где x(1) ≤ x(2) ≤
… ≤ x(n). Разность между максимальным и минимальным элементами
выборки x(n) – x(1) = ω называется размахом выборки.
При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы (разряды), представляя результаты опытов в виде статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбиваются на k непересекающихся интервалов. Вычисления значительно упрощаются, если эти интервалы имеют одинаковую длину b ≈ ω/k .
Каждый интервал соответствует определенному уровню исследуемого
показателя. Например, разбив диапазон значений на 5 интервалов
группировки, можно им присвоить значения «Очень низкий», «Низкий», «Средний», «Высокий», «Очень высокий». Данные категории
являются условными и выбираются исследователем исходя из конкретной задачи. После того как частичные интервалы выбраны, определяют частоты – количество ni элементов выборки, попавших в i-й
интервал (элемент, совпадающий с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу). Получающийся статистический ряд
в верхней строке содержит середины zi интервалов группировки, а в
нижней – частоты ni (i=1, 2, …, k). Наряду с частотами одновременно
подсчитываются также накопленные частоты Σni =
i
∑n
j =1
j ,
относи-
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
тельные частоты ωi=ni/n и накопленные относительные частоты
i
Σω i = ∑
j =1
nj
n
.
Полученные результаты сводятся в таблицу, называемую статистическим рядом. Для наглядности представления данных, по статистическому ряду строят графики и диаграммы. Рассмотрим основные из них.
Полигоном частот называется ломаная линия с вершинами в
точках (zi , ni ), i =1, 2, …, k, а полигоном относительных частот –
ломаная с вершинами в точках (zi , ω i = ni/nb), i = 1, 2, …, k. Таким
образом, полигон относительных частот получается из полигона частот сжатием по оси Оy в n раз.
Гистограммой частот называется ступенчатая функция, состоящая из прямоугольников, основания которых опираются на интервалы группировки либо серединами на элементы выборки, а высоты
равны или пропорциональны частотам ni.
Кумулятивной кривой (кумулятой) частот называется ломаная
линия, соединяющая точки с координатами точках (zi ,Σ ni ), i =1, 2, …,
k. Если вместо накопленных частот ,Σ ni взять относительные накопленные частоты ,Σ ωi , то получим кумулятивную кривую накопленных
частот, которая является приближением функции распределения генеральной совокупности.
Пусть x1, x2, …, xn – выборка объема n из некоторого распределения, называемого генеральной совокупностью, с функцией распределения F(x). Рассмотрим методы нахождения оценок параметров этого распределения. Числовые характеристики этого выборочного распределения называются выборочными (эмпирическими) числовыми
характеристиками. Оценками математического ожидания и дисперсии могут служить выборочное среднее x и выборочная дисперсия
S 2 , которые рассчитываются по формулам:
1 n
x = ∑ xj ;
n j =1
S2 =

1 n
1 n 2
2
(x j − x)2 =
∑x j −n(x)  .
∑
n −1 j=1
n −1  j=1

(1)
(2)
В случае группированного статистического ряда эти формулы
имеют вид:
5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
x=
1 k
∑ z i ni ;
n i =1
k
ni xi2 − n( x )
∑
k
1
.
S2 =
ni ( xi − x) 2 = i =1
∑
n − 1 i =1
n −1
*
Выборочной модой d X называется элемент выборки, встре2
чающийся с наибольшей частотой.
*
Выборочной медианой называется число h X , которое делит
вариационный ряд на две части, содержащие равное число элементов.
Если объем выборки n – нечетное число (т. е. n = 2l = 1), то
h *X = x (l +1) , то есть является элементом вариационного ряда со
средним номером. Если же n = 2l – четное, то медиана равна среднеарифметическому двух средних элементов
1
h = ( x (l ) + x ( l +1) ).
(3)
2
Рассмотрим основные методы обработки полученных данных на
примере.
1.2. Примеры решения задач
ЗАДАНИЕ. Были измерены показатели вербальной агрессии в
группе из 30 человек. По выборке построить статистический ряд, полигон, гистограмму и кумулятивную кривую. Вычислить основные
числовые характеристики: выборочное среднее, выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение, медиану и моду. Показатели
агрессии группы представлены в таблице:
55
59
71
63
66
68
74
65
71
65
70
81
68
69
76
64
75
57
73
58
65
68
75
70
73
71
70
71
67
71
РЕШЕНИЕ.
Рассмотрим решение приведенного примера.
Объем выборки n = 30. Размах выборки ω= 81-55 = 26. Построим
статистический ряд:
6
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Интервал [55;59) [59;63) [63;67) [67;71) [71;75) [75;79) [79;83)
*
57
61
65
69
73
77
81
xi
ni
ωi
∑n
∑ω
3
0,1
1
0,03
6
0,2
8
0,27
8
0,27
3
0,1
1
0,03
3
4
10
18
26
29
30
0,1
0,14
0,34
0,6
0,87
0,97
1
i
i
По статистическому ряду строим графики полигон:
10
8
6
4
2
0
57
61
65
69
73
77
81
гистограмму:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
[55;59) [59;63) [63;67) [67;71) [71;75) [75;79) [79;83) .
7
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
кумулятивную кривую:
35
30
25
20
15
10
5
0
57
61
65
69
73
77
81
Рассчитаем основные числовые характеристики по формулам (1)-(3).
Выборочное среднее:
x=
x=
1
(x1+x2+…+xn)
n
1
(55+71+66+74+71+70+68+76+75+73+65+75+73+70+67+59+
30
+63+68+65+65+81+69+64+57+58+68+70+71+71+71) = 68,3.
Выборочная дисперсия:
1
( x12 + x22 + ... + xn2 − n ⋅ ( x ) 2 )
S2 =
n −1
1
S2 =
(552+712+662+742+712+702+682+762+752+732+652+752+
30 − 1
+732+702+672+592+632+682+652+652+812+692+642+572+582+682+
+702+712+712+712-30(68,3)2) = 176,5.
Среднеквадратическое отклонение: S = S 2 , S = 176,5 ≈ 13,28 .
Для расчета медианы согласно формуле (3) расположим все элементы
выборки по возрастанию их значений и найдем полусумму двух средних элементов (т.к. объем выборки четное число):
55 57 58 59 63 64 65 65 66 67 68 68 68 69 70 70 70 71 71 71 71 71 73 73
70 + 70
= 70 .
73 74 75 75 76 81, h =
2
Мода: d1 = 71.
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1.3. Статистические методы обработки данных
с использованием ЭВМ
Рассмотрим решение рассмотренной ранее задачи на ЭВМ с использованием программы EXCEL, входящий в пакет прикладных программ MS OFFICE.
Построим статистический ряд и гистограмму. Откроем книгу
программы EXCEL. Введем в первый столбец (ячейки А1-А30) исходные данные. Определим область чисел, на которой лежат данные. Для
этого найдем максимальный и минимальный элементы выборки. Введем
в ячейку В1 подпись «Максимум», а в В2 подпись «Минимум», а в соседних ячейках С1 и С2 определим функции «МАХ» и «MIN». Для этого переводим курсор в ячейку С1, вызываем функция, нажимая на
кнопку панели инструментов fx , выбираем категорию «Статистические»
и в ней функцию МАХ и в качестве аргументов (в графе «число») обведем область данных (ячейки А1-А30). Аналогично в С2 вводим функцию МИН. Результатом будут 55 и 81. Видно, что все данные укладываются на отрезке [55;83]. Разделим его на семь (выбирается произвольно от 5 до 10) интервалов по 4 единицы каждый: [55;59) , [59;63) ,
[63;67) , [67;71) , [71;75) , [75;79) , [79;83) . В ячейки D1-D7 вводим верхние границы интервалов группировки, так, как сами границы в интервал
попадать не должны, а элементы выборки – целые числа, то вводим
число, чуть меньшее (например, на 0.1) чем сама граница, то есть числа
58.9, 62.9, 66.9, 70.9, 74.9, 78.9, 82.9. Для вычисления частот ni используют функцию ЧАСТОТА, находящуюся в категории «Статистические». Ставим курсор в ячейку Е1. Нажимаем на кнопку вызова функции fx . Выбираем категорию «Статистические». В окне функций выбираем функцию «Частота». В строке «Массив данных» введем диапазон
выборки (ячейки А1-А30). В строке «Двоичный массив» введем диапазон верхних границ интервалов группировки (ячейки D1-D7). Результат
функции является массивом и выводится в ячейках Е1-Е7. Для полного
вывода (не только первого числа в Е1) нужно выделить ячейки Е1-Е7,
обведя их мышью,
и нажать F2, а далее одновременно
CTRL+SHIFT+ENTER. Результат – частоты интервалов 3,1,6,8,8,3,1.
Для
построения
гистограммы
нужно
выбрать
ВСТАВКА/ДИАГРАММА или нажать на соответствующий значок
на основной панели (при этом курсор должен стоять в свободной
ячейке). Далее выбрать тип: ГИСТОГРАММА, вид по выбору, нажать
«ДАЛЕЕ», в строке «ДИАПАЗОН» обвести частоты Е1-Е7, перейти на
вкладку «РЯД», в строке « ПОДПИСИ ОСИ Х» ввести интервалы в
ячейках
D1-D7,
нажать
«ДАЛЕЕ»
ввести
название
9
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
«ГИСТОГРАММА», подписи осей «ИНТЕРВАЛЫ» и «ЧАСТОТА»,
нажать «ГОТОВО».
Для построения полигона выполняем все те же действия, которые описаны в предыдущем абзаце, только выбирается тип:
ГРАФИК вместо типа ГИСТОГРАММА.
Для построения кумулятивной кривой рассчитываем накопленные частоты. Для этого вводим в ячейку F1 формулу «=Е1» (кавычки не вводить!), а в ячейку F2 формулу «=F1+E2». Автозаполняем
результат на ячейки F2-F7, перемещая мышкой прямоугольник в нижнем правом углу ячейки. Результат – накопленные частоты
3,4,10,18,26,29,30. Обводим эти числа мышью, выделяя их и вызываем
мастер диаграмм кнопкой
, выбираем «ГРАФИК», а все остальные действия такие же как и для построения полигона.
Находим основные числовые характеристики выборки. Для
этого ставим курсор в свободную ячейку (например D11). Затем вызываем в меню «Сервис» подменю «Анализ данных». Если в меню «Сервис» отсутствует этот пункт, то в меню «Сервис» нужно выбрать
пункт «Надстройки» и в нем поставить флажок напротив пункта «Пакет анализа». После этого в меню «Сервис» появится «Анализ данных». В окне «Анализ данных» нужно выбрать пункт «Описательная
статистика». В появившемся окне в поле «Входной интервал» делаем
ссылку на выборку А1-А30. Оставляем группирование «По столбцам»
В разделе «Параметры вывода» ставим флажок на «Выходной интервал» и в соседнем поле задаем ссылку на верхнюю левую ячейку области вывода (например D11), ставим флажок напротив «Описательная
статистика», нажимаем «ОК». Результат – основные характеристики
выборки (сделайте шире столбец D, переместив его границу в заголовке).
2. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Методы проверки статистических гипотез являются центральными в математических исследованиях психологии. Данные методы
широко используются при решении задач, связанных с выявлением
различия между двумя или несколькими показателями.
2.1. Основные сведения и формулы
Статистической гипотезой называется некоторое предположение, которое принимается или отвергается на основании результатов
наблюдений. Основная проверяемая статистическая гипотеза обознача10
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ется Н0, если она отвергается, то принимается альтернативная гипотеза,
которая обозначается Н1. При проверке гипотез исследователем задается
некоторая маленькая вероятность α, называемая уровнем значимости.
Он имеет смысл вероятности совершить ошибку, заключающуюся в
принятии альтернативной гипотезы Н1, в то время, когда истинна основная Н0. Вместо α иногда задают величину р=1-α, называемую доверительной вероятностью. Ее можно интерпретировать как вероятность,
с которой можно доверять полученному результату. На практике обычно выбирают α=0.1, 0.05 или 0.01. Способ проверки статистической гипотезы называется статистическим критерием. Все критерии заключаются в вычислении по выборочным данным некоторого числа Z, называемого статистикой критерия, и сравнения этого числа с критическим значением Zкр, который выбирается из статистических таблиц.
Рассмотрим гипотезу об однородности (равенстве) средних характеристик некоторого показателя. Предположим, что имеются две
выборки, характеризующие показатель Х в разных условиях. Например,
показатель измеряется в двух различных группах и требуется доказать,
что он в них в среднем различается. Или показатель измеряется в одной
и той же группе, но в разных условиях, например, до и после тренинга и
нужно доказать, что тренинг привел к изменению показателя. Выборки,
по которым проверяется гипотеза, называются связанными, если каждому значению одной выборки xi соответствует элемент yi из другой выборки характеризующие показатели для одного и того же тестируемого,
но в различных условиях. Несвязанные выборки как правило характеризуют различные группы респондентов, например экспериментальную
группу сравнивают с контрольной.
Простейшим критерием для связанных выборок является критерий знаков.
2.1.1. Критерий знаков
Он применяется для проверки гипотезы H0 об однородности
рассматриваемого показателя по попарно связанным выборкам. Для
его применения выписывают пары значений первой и второй выборок
( xi , yi ), i = 1,2,..., n , затем находят разности между элементами первой
и второй выборок в каждой паре xi − yi и считают число положительных разностей r. При этом l – число ненулевых разностей.
Если предполагается, что средний показатель первой выборки
больше чем у второй, то это предположение можно считать справедливым, если выполняется неравенство:
11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
r
≥ F1−α (k1 , k 2 ) ,
l − r +1
(4)
где k1=2(l-r+1), k2=2r,
Если же предполагается, что средний показатель выше у второй выборке, то это читается справедливым, если выполняется неравенство
l−r
≥ F1−α (k1 , k 2 ) ,
(5)
r +1
где k1=2(r+1), k2=2(l-r).
Здесь Fp (k1 , k 2 ) - обратное распределение Фишера, его значения
находят по специальным статистическим таблицам (см. табл. 2
ПРИЛОЖЕНИЯ).
Если оба неравенства (4)-(5) не выполняются, то значения показателя в обеих выборках в среднем равны.
Если выборки являются независимыми и не связаны, то существует несколько критериев решения данной задачи. Рассмотрим основные из них.
2.1.2. Параметрический критерий Стьюдента
Это наиболее мощный критерий сравнения средних для связанных и несвязанных выборок объема n и m, однако, он применяется для
случаев, когда показатели, представленные выборками имеют закон
распределения близкий к нормальному [4,5,7,12]. В основе критерия
лежит сравнение основных выборочных параметров (средних и дисперсий), поэтому он называется параметрическим. Рассмотрим случай когда выборки независимы и несвязны.
Рассмотрим выборки ( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., ym ) .
На первом этапе по выборкам вычисляются выборочные средние
и дисперсии (1) - (2):
2
1
1
( x12 + x22 + ... + xn2 − n ⋅ ( x ) 2 ) ,
x = (x1+x2+…+xn), S x =
n
n −1
2
1
1
( y12 + y22 + ... + ym2 − m ⋅ ( y ) 2 ) .
y = (y1+y2+…+ym), S y =
m
m −1
На втором этапе сравниваются дисперсии. Для этого вычисляетmax(S x2 ; S y2 )
ся F =
, равное отношению большей дисперсии к меньmin(S x2 ; S y2 )
шей. Это число сравнивается с критическим значением
12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Fkr = F1−α (k1 , k 2 ) , взятым из табл. 2 ПРИЛОЖЕНИЯ. При этом
k1 = n − 1, k 2 = m − 1 , если S x2 > S y2 и k1 = m − 1, k 2 = n − 1 , если S x2 < S y2 .
Если F ≤ Fkr , то дисперсии можно считать равными, если F > Fkr , то
дисперсии различны.
На третьем этапе вычисляется статистика критерия Стьюдента:
t=
x− y
S 1 n +1 m
если дисперсии равны и
, где S =
t=
(n − 1)S x2 + (m − 1)S y2
n+m−2
,
(6)
x− y
S x2 n + S y2 m
,
(7)
если дисперсии различные.
По таблице обратного распределения Стьюдента (табл. 1
ПРИЛОЖЕНИЯ)
находят
критическое
значение
статистики
t kr = t1−α (n + m − 2) . Если t ≤ t kr , то средние значения показателей для
выборок не различаются.
2.1.3. Ранговый критерий Вилкоксона
Ранговый критерий Вилкоксона, (который в литературе встречается еще под названием критерия Манна и Уитни), является аналогом критерия Стьюдента, однако он менее мощный и точный. Но его
можно применять для всех выборок и он более простой с точки зрения
вычислений. В основе критерия лежат вычисления рангов выборок,
поэтому критерий называется ранговым. Рассмотрим две независимые
выборки объема n и m: ( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., ym ) .
Статистика W критерия определяется следующим образом.
Расположим n+m значений обоих выборок в порядке возрастания, т. е.
в виде общего вариационного ряда. При этом необходимо отмечать
принадлежности элементов к той или иной выборке, например, выделяя элементы первой выборки. Каждому элементу ряда поставим в
соответствие его номер в ряду – ранг. Если несколько элементов ряда
совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров.
Пусть R1 – сумма рангов первой выборки, R2 - сумма рангов
второй выборки. Вычислим значения ω1 и ω2 :
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
n(n + 1)
− R1 ,
2
m(m + 1)
ω2 = nm +
− R2 .
2
Правильность вычислений проверяется по формуле
ω1 + ω2 = nm .
Выборочное значение статистики W критерия есть наименьшее из чисел ω1 и ω2 :
W = min(ω1 , ω2 ) . Данное число на заданном
уровне значимости α сравнивается с критическим значением Wkr .
Таблица критических значений критерия Вилкоксона Wkr для уровня
значимости α=0,05 приведена в ПРИЛОЖЕНИИ (табл. 4). В ней по
вертикале указывается объем выборки с большим числом элементов n,
а по горизонтали – объем выборки с меньшим числом элементов m.
Если W > Wkr , то можно считать, что средние показатели не различаются.
Если объем каждой из выборок больше 8, то проверку гипотезы
можно проводить, используя приближенный метод. Для него статистика критерия равна:
1
nm − W
2
.
(8)
Z=
1
nm(n + m + 1)
12
Критическое значение критерия в зависимости от уровня значимости α выбирают из таблицы:
0,2
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
α
0,842
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
Z kr
ω1 = nm +
Если Z < Z kr , то можно считать, что средние значения показателя для двух групп не различаются.
Рассмотрим решение таких задач на примерах.
2.2. Примеры решения задач
ЗАДАНИЕ № 1. Психолог разработал методику, позволяющую, по его мнению, увеличить внимательности у старшеклассников.
Для проверки этого предположения были измерены уровни внимательности у 14 старшеклассников до x и после y проведения методики.
Можно ли с вероятностью 0,95 говорить о том, что методика действи-
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
тельно приводит к увеличению уровня внимательности, используя
критерий знаков.
x 73 76 77 76 76 75 74 72 75 79 76 78 71 75
y 70 71 83 76 79 71 74 66 80 81 78 69 73 85
РЕШЕНИЕ. Используем критерий знаков. Присвоим каждой
паре значений обоих выборок знаки по следующему правилу:
если xi > yi знак «+»,
если xi < yi знак «-»,
если xi = yi знак «0».
xi
73 76 77 76 76 75 74 72 75 79 76 78 71 75
yi
70 71 83 76 79 71 74 66 80 81 78 69 73 85
Знаки + +
0
+
0
+
+
l = 12 (число ненулевых разностей);
r = 5 (число разностей со знаком «+»);
доверительная вероятность р=0,95, следовательно уровень значимости
α=1-0,95=0,05.
Так как предполагается, что средний показатель второй выборки
выше, чем средний показатель у первой, то вычисляется левая часть
неравенства (5) по формуле:
l − r 12 − 5
F=
= 1,17 .
=
r +1 5 +1
Правая часть этого неравенства вычисляется по табл. 2
ПРИЛОЖЕНИЯ:
Fkr = F1−α (2(r + 1), 2(l − r ) ) = F0,95 (12,14) = 2,55 ,
Видно, что F < Fkr , то есть можно считать, что средние показатели для выборок из обеих групп статистически не различаются, т.е.
методика не привела к увеличению уровня внимательности.
ЗАДАНИЕ № 2. Ставится задача проверить предположение
о том, что агрессивность в среднем у мужчин и женщин различна. Для
проверки этого предположения тестированием были получены показатели агрессивности у 14 женщин и 12 мужчин. Можно ли по опытным
данным с доверительной вероятностью 0,95 говорит о том, что показатели агрессивности у мужчин и женщин различны?
а) Использовать параметрический критерий Стьюдента.
б) Использовать ранговый критерий Вилкоксона.
15
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23
25
23
16
27
29
Агрессивность у женщин
22 23 24 28 16 18 23
Агрессивность у мужчин
24 17 24 30 33 23 26
29
26
20
34
31
19
РЕШЕНИЕ.
а) Решим сначала задачу, используя критерий Стьюдента.
Первый этап. Объемы выборок равны n = 14; m = 12. Вычисляем
выборочные средние и дисперсии.
x
x
=
=
1
(x1+x2+…+xn);
n
1
(23+25+23+22+23+24+28+16+18+23+29+26+31+19) = 23,5;
14
S x2 = 1 ( x12 + x22 + ... + xn2 − n ⋅ ( x ) 2 ) ,
n −1
2
S x = 1 (232+252+232+222+232+242+282+162+182+
14 − 1
+232+292+262+312+192- 14(23,5)2) = 20,96,
y =
1
(y1+y2+…+ym),
n
1
(6+27+29+24+17+24+30+33+23+26+20+34) = 25,2 ,
12
S y2 = 1 ( y12 + y22 + ... + ym2 − m ⋅ ( y )2 ) ,
n −1
S y2 = 1 (162+272+292+242+172+242+302+332+232+
12 − 1
+262+202+342- 12(25,2)2) = 36,04.
Второй этап. Проверяем, можно ли считать средние равными:
max(S x2 ; S y2 ) 36,04
F=
=
= 1,7,
20,96
min(S x2 ; S y2 )
y =
По табл. 2 ПРИЛОЖЕНИЯ находим Fкр = F (11; 13) = 2,65.
Видно, что F < Fкр (т.к. 1,7 < 2,65), то есть дисперсии можно считать
равными. Исходя из этого на третьем этапе применяем формулу (6).
16
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Третий этап. Вычисляем статистику критерия:
x−y
1
t=
⋅
=
1 1
S x2 (n − 1) + S y2 (m − 1)
+
n m
n+m−2
=
23,5 − 25,2
20,96(14 − 1) + 36,04(12 − 1)
14 + 12 − 2
⋅
1
1
1
+
14 12
= 0,838 .
По табл. 1 ПРИЛОЖЕНИЯ находим критическое значение критерия:
tкр = t1-α (n+m-2)=t0,95(24)=1,711
Видно, что t < tкр (т.к. 0,838 < 1,711), следовательно для выборок
средние показатели различаются и можно говорить, что для данных
выборок показатели агрессивности у мужчин и женщин можно считать
статистически равными, а предположение о том, что агрессивность в
среднем у мужчин и женщин в данных группах различна отвергается
по выборочным данным.
б) Решим теперь задачу используя ранговый критерий Вилкоксона. Для этого объединим обе выборки в один вариационный ряд,
расположив элементы обоих выборок по возрастанию значений. При
этом будем выделять элементы второй выборки. Над элементами укажем их ранги:
1,5
1, 5
3
4
5
7
6
10
10
10
10
10
14
14
14
16
17 ,5
16 16 17 18 19 20 22 23 23 23 23 23 24 24 24 25 26
17 ,5
19
20
21, 5 21, 5
23
24
25
26
26 27 28 29 29 30 31 33 34
Вычисляем суммы рангов обеих выборок и их статистики:
R1 = 1,5+4+5+7+10+10+10+10+14+16+17,5+20+21,5+24 = 170,5 ,
R2 = 1,5+3+6+10+14+14+17,5+19+21,5+23+25+26 = 180,5 ,
 14 + 1 
ω1 = 14 ⋅ 12 + 14
 − 170,5 = 102,5 ,
 2 
 12 + 1 
ω2 = 14 ⋅ 12 + 12
 − 180,5 = 65,5.
 2 
Проверка:
ω1 + ω2 = n1 ⋅ n2 , 168 = 168 - верно.
W = min(ω1; ω2 ) = ω2 = 65,5 .
17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Из табл. 4 ПРИЛОЖЕНИЯ находим критическое значение критерия для n = 14, m = 12 : Wkr = 51 . Видно, что W > Wkr , следовательно
исследуемый показатель в обеих группах можно считать статистически одинаковым, значит предположение о том, что агрессивность у
мужчин и женщин в данных группах различна отвергается.
Рассмотрим теперь для примера второй приближенный метод
решения задачи. По формуле (8) вычисляем статистику критерия:
14 ⋅12
nm
− 65,5
−W
2
2
=
= 0,95
Z=
14 ⋅12
nm
⋅ (14 + 12 + 1)
⋅ (n + m + 1)
12
12
По таблице, при p=0,95, α=0,05 находим Zкр = 1,645. Видно, что
Z < Zкр (т.к. 0,95 < 1,645), отсюда можно сделать вывод, что агрессивность в обеих группах можно считать статистически одинаковой, значит предположение о том, что агрессивность у мужчин и женщин в
данных группах различна отвергается.
2.3. Проверка статистических гипотез
по критерию Стьюдента с использованием ЭВМ
Критерий Стьюдента является самым точным, однако он требует достаточно громоздких вычислений и для его применения часто
используют ЭВМ. Для этих целей также можно применить программу
EXCEL. Существует три разновидности критерия: один – для связанных выборок, и два для несвязанных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Если выборки не связаны, то предварительно
нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы определить,
какой из критериев использовать. Способы решения задач рассмотрим
на примерах.
ЗАДАНИЕ № 1. Психолог Петров разработал методику тренинга для снятия усталостной раздражительности сотрудников организации. Для подтверждения эффективности методики, Петров на экспериментальной группе сотрудников с помощью специально разработанных тестов, измерил раздражительность до и после проведения методики. Результаты оказались следующими:
Сотрудник
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
перед мето45 49 33 38 41 47 44 38 36 41 42
дикой
после мето44 46 34 32 40 45 42 39 33 40 42
дики
18
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Можно ли с вероятностью 0,95 (и с уровнем значимости α=1-р=
=1-0,95=0,05) утверждать, что методика приводит к среднему снижению показателя раздражительности?
РЕШЕНИЕ. Данные выборки являются связанными. Для решения задачи используем надстройку «Анализ данных». Открываем
электронный лист программы EXCEL. Вводим исходные данные в
электронную таблицу, как показано на рисунке:
Выбираем пункт меню СЕРВИС/АНАЛИЗ ДАННЫХ. Если данный пункт отсутствует в меню СЕРВИС, то вызываем
СЕРВИС/НАДСТРОЙКИ и ставим галочку напротив пункта ПАКЕТ
АНАЛИЗА. Для связанных выборок выбираем «Парный двухвыборочный t-тест для средних». В открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1» и «Интервал переменной 2» вводят ссылки на данные
(А2-L2 и А3-L3, соответственно), ставим флажок у надписи «Метки».
Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» - 0,05. Поле «Гипотетическая средняя разность» оставляют пустым. В разделе «Параметры вывода» ставят метку около «Выходной интервал» и поместив курсор в появившееся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в
ячейке В7. Вывод результата будет осуществляться начиная с этой
ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е, увеличив ширину столбцов
В, С и D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборок, t-статистику, критические значения
этих статистик и критические уровни значимости «P(T<=t) одностороннее» и «P(T<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика
меньше критического одностороннего, то средние показатели с заданной вероятностью равны. Если по модулю t-статистика больше критического одностороннего, то средние показатели с заданной вероятностью различаются. В нашем случае |2,539861| > 1,812462, следовательно, средние значения показателя раздражительности улучшились
при проведении психологического тренинга Петрова.
ЗАДАНИЕ № 2. Имеются данные о показателях запоминаемости образов в двух группах младших классов, в первой из которых
проводилась методика, которая, по мнению ее автора, должна повысить уровень запоминаемости, вторая группа по основным характеристикам ничем не отличается от первой, за исключением того, что в ней
такая методика не проводилась. Можно ли с вероятностью 0,98 гово19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
рить о том, что опытные данные подтверждают предположение о том,
что раздражительность после проведения методики автора в среднем
уменьшилась
Раздражительность с
16 19 14 15 17 16 19 16 19 14 15 19 13
применением методики
Раздражительность без 18 19 21 15 19 18 15 20 17 16 21 15
методики
РЕШЕНИЕ. По условию р=0,98, α=0,02, выборки не связаны,
критерий односторонний, т.к. нужно показать, что средние показателя,
представленного второй выборкой, больше чем у первой. Вводим в
ячейки А1-М1 и А2-L2 исходные данные. Т.к. выборки несвязанны
(даже различные их объемы), то выбирается в меню
СЕРВИС/АНАЛИЗ ДАННЫХ либо «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями», либо «Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями». Чтобы выбрать нужный тест, необходимо предварительно
сравнить дисперсии. Для этого в меню СЕРВИС/АНАЛИЗ ДАННЫХ
выбираем «Двухвыборочный F-тест для дисперсий». В появившемся
окне ставим курсор в поле «Интервал переменной 1» и обводим мышью ячейки А1-М1, делая на них ссылку. Аналогично, в ячейку «Интервал переменной 2» делаем ссылку на А2-L2. В поле «Альфа» вводим уровень значимости 0,02, нажимаем «ОК». На новом листе отобразятся результаты теста. Видно, что F-статистика (0,902) ближе к
единице, чем F-критическое (0,283). Следовательно, дисперсии равны
и нужно вызываеть t-тест с одинаковыми дисперсиями.
Переходим на ЛИСТ1 с данными, выбираем в меню
СЕРВИС/АНАЛИЗ ДАННЫХ «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми
дисперсиями». В открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1»
и «Интервал переменной 2» вводят ссылки на данные (А1-М1 и А2-L2,
соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у
надписи «Метки» (у нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее
вводят уровень значимости в поле «Альфа» - 0,02. Поле «Гипотетическая средняя разность» оставляют пустым. В разделе «Параметры вывода» ставят метку около «Выходной интервал» и поместив курсор в
появившееся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке
В7. Вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки.
Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е, увеличив ширину столбцов В, С и
D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные
характеристики выборок, t-статистику, критические значения этих статистик и критические уровни значимости «P(T<=t) одностороннее» и
«P(T<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше крити20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ческого одностороннего, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае |-1,7392| < 2,1769, следовательно, запоминаемость образов значимо не увеличилась.
3. ВЫЯВЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ
МЕЖДУ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Наряду с задачами выявления различия между несколькими
показателями не менее важными являются задачи определения связей
между факторами, влияния одного фактора на другой. Такие задачи
изучаются разделами прикладной математики и статистики – в регрессионном и корреляционном анализе.
3.1. Основные сведения и формулы
Рассмотрим два показателя Х и Y. Предположим, что они зависимы, то есть изменение одного из них влечет за собой изменение другого. Если при этом, зная точно значение одного показателя можно
точно определить значение другого, то связь между показателями называется функциональной. Однако на практике в подавляющем большинстве встречаются зависимости иного вида, когда изменение одного
показателя лишь в среднем приводит к изменению другого. Такие зависимости называются статистическими. При них, зная значение Х,
нельзя точно определить Y , так как на Y кроме Х влияет еще множество неучтенных факторов. Поэтому, зная Х можно лишь в среднем оценить значение Y. Примеры таких зависимостей в психологии: зависимости между уровнями раздражительности и возбудимости, степенями
внимательности и усталости, темпераментом и степенью эмоциональности и т.д. Характер статистической зависимости изучается в регрессионном анализе, а сила статистической связи – в корреляционном анализе.
3.1.1. Элементы регрессионного анализа
Предположим, что психологу необходимо исследовать зависимость между показателями Х и Y. Для этого он измеряет для одних и
тех же респондентов значения показателя Х и одновременно значения
Y, получая выборки пар значений ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ..., ( xn , yn ) . Необходимо определить характер статистической зависимости между Х и Y,
то есть уравнение вида y = f (x) , которое позволяет по значению переменной x оценить в среднем значение y, спрогнозировав его. Это
уравнение называется уравнением регрессии. Рассмотрим простейший
21
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
случай уравнения регрессии – линейную регрессию, когда уравнение
регрессии имеет вид прямой линии: y = ax + b . Можно показать, что в
соответствии с методом наименьших квадратов [4,5,7] для нахождения
неизвестных параметров а и b нужно использовать следующие формулы:
xy − x ⋅ y
, b = y − a⋅ x ,
(9)
a=
x 2 − (x ) 2
где
1
1
x = (x1+x2+…+xn), y = (y1+y2+…+yn),
n
n
1 2 2
(x1 +x2 +…+xn2),
n
1
(x1y1+x2y2+…+xnyn).
(10)
n
Для проверки полученных результатов можно построить график, на который наносятся исходные точки и линия регрессии (см.
пример).
x2 =
xy =
3.1.2. Элементы корреляционного анализа
Рассмотрим теперь вопрос оценки качества статистической
связи. Мерой оценки силы статистической зависимости между показателями Х и Y служит коэффициент корреляции r . Существует несколько способов расчета коэффициентов корреляции, рассмотрим два
из них.
а) Коэффициент парной корреляции Пирсона rx, y .
Он вычисляется по формуле:
xy − x ⋅ y
rxy =
,
2
2
2
2
( x − ( x ) )( y − ( y ) )
(11)
1 2 2
(y1 +y2 +…+yn2), остальные параметры вычисляются по
n
формулам (10).
б) Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs .
Для его вычисления каждому элементу xi выборки показателя
Х присваивается ранг – порядковый номер этого элемента в вариационном ряду (выборке, записанной по возрастанию значений элементов). Если несколько соседних элементов вариационного ряда равны
по величине, то их ранг равен среднеарифметическому их порядковых
где
y2
=
22
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
номеров. Пусть ~
xi - ранг элемента xi . Аналогично вычисляются ранги
~y элементов y второй выборки показателя Y. Тогда, коэффициент
i
i
корреляции Спирмена вычисляется по формуле:
n
rs = 1 −
6∑ ( ~
xi − ~
yi ) 2
i =1
.
(12)
n(n 2 − 1)
Коэффициент корреляции r (как Пирсона так и Спирмена) обладает следующими свойствами:
1. Коэффициент корреляции изменяется в пределах −1 ≤ r ≤ 1 .
2. Модуль коэффициента корреляции характеризует силу статистической связи, чем больше | r | , тем сильнее связь, в частности если
r = ±1 , то связь функциональная, если r близок к нулю, то связь слабая
или отсутствует.
3. Знак коэффициента корреляции характеризует направление
статистической связи, если r > 0 , то с ростом Х показатель Y также
растет, если r < 0 , то с ростом Х показатель Y убывает.
4. Величина R = r 2 называется коэффициентом детерминации,
его можно интерпретировать как среднюю долю влияния показателя Х
на Y.
Для ответа на вопрос: можно ли считать связь между показателями достаточно сильной, чтобы считать Х и Y зависимыми и уравнение их регрессии имеет смысл, используется методика проверки значимости коэффициента корреляции. Для нее вычисляется статистика
n−2
(13)
1− r2
и по табл. 1 ПРИЛОЖЕНИЯ определяется критическое значение
t kr = t1− α (n − 2) . Если t > t kr , то можно считать, что коэффициент корреляции значим, показатели Х и Y зависимы, уравнение регрессии
можно использовать для прогнозов и оценок. Если t ≤ t kr , то коэффициент корреляции незначим, показатели Х и Y независимы, уравнение
регрессии теряет смысл.
t= r ⋅
3.1.3. Зависимость между показателями,
заданными атрибутивно
В рассмотренных ранее примерах показатели Х и Y измерялись
численно. Однако часто в психологических исследованиях показатели
задаются атрибутивно (например, темперамент имеет четыре атрибу23
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
тивных признака: сангвиник, меланхолик, флегматик и холерик), либо
уровнями или диапазонами значений (например: слабый, средний,
сильный и т.д.). В таких случаях, для определения зависимости между
показателями используют методику, называемую критерием хиквадрат.
Рассмотрим показатели X и Y, которые принимают соответственно атрибутивные значения x1, x2, … ,xk и y1,y2, …,yl. Предположим,
что проведено n измерений показателей Х и Y, при которых nij раз показатель X принимает значение xi а показатель Y значение yj, (i=1,2,
l
k
j =1
i =1
…,k, j=1,2,…,l). Обозначим ni = ∑ nij , n j = ∑ nij , а статистику критерия рассчитаем по формуле:
 k 1  l nij2  
 k l nij2

Z = n ⋅  ∑∑
(14)
− 1 = n ⋅  ∑ ⋅  ∑  − 1 .
 n  n  
 i =1 j =1 ni n j

i
j
i
=
1
j
=
1



 

Критическое значение находим по таблице обратного распределения хи-квадрат (табл. 3 ПРИЛОЖЕНИЯ): Z kr = χ12− α ((k − 1)⋅ (l − 1)) .
Если Z > Z kr , то можно считать, что показателей Х и Y статистически
зависимыми.
2.2. Примеры решения задач
ЗАДАНИЕ № 1. Изучается зависимость между интеллектуальными способностями родителей и интеллектуальными способностями
их детей. Для решения задачи был разработан тест (аналог IQ-теста) и
протестированы интеллектуальные способности 10 семейных пар. Усредненные значения интеллектуального балла для родителей xi и для
их детей yi приведены в таблице:
Значения фактора xi 37 48 39 19 28 33 24 43 41 32
Значения фактора yi 32 39 27 21 21 36 26 34 30 34
Необходимо:
1) Найти коэффициент парной корреляции Пирсона, проверить
его значимость при p=0,9.
2) Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
3) По выборкам данных найти уравнение линейной регрессии
y=ax+b.
4) Построить график, нанеся на него опытные данные и линию
регрессию.
24
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
РЕШЕНИЕ.
1) Находим коэффициент парной корреляции Пирсона по формуле (11):
1
(37+48+39+19+28+33+24+43+41+32) = 34,4;
x =
10
1
y =
(32+39+27+21+21+36+26+34+30+34) = 30;
10
1
(372+482+392+192+282+332+242+432+412+322) = 1255,8;
x2 =
10
1
y2 =
(322+392+272+212+212+362+262+342+302+342) = 934;
10
1
(37 ⋅32 +48 ⋅39 +39 ⋅27 +19 ⋅21 +28 ⋅21 +33 ⋅36 +24 ⋅26 +43 ⋅34 +
xy =
10
+41 ⋅30 +32 ⋅34 ) = 1068,8;
1068,8 − 34,4 ⋅ 30
rxy =
(1255,8 − (34,4) 2 )(934 − (30) 2 )
= 0,742.
Проверяем коэффициент корреляции на значимость при доверительной вероятности p = 0,9 и уровне значимости α = 0,1 . Статистику
n−2
сравниваем с критическим значением tкр, полученным
1− r2
из табл. 1 ПРИЛОЖЕНИЯ:
10 − 2
= 3,131; tкр = tp (n-2) = t0,9 (8) =1,397,
t = 0,742 ⋅
1 − (0,742) 2
t > tкр (т.к. 3,131 > 1,397), отсюда можно сделать вывод, что коэффициент корреляции значим и показатели зависимы. Следовательно, между
интеллектуальными способностями родителей и интеллектуальными
способностями их детей есть зависимость.
2) Находим коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Для
этого вычисляем ранги элементов обоих выборок:
Значение фактора xi 37 48 39 19 28 33 24 43 41 32
6 10 7
1
3
5
2
9
8
4
Ранг фактора ~
xi
t= r⋅
Значение фактора yi
Ранг фактора ~y
i
32
6
39
10
27
4
21
1,5
21
1,5
36
9
26
3
34
7,5
30
5
34
7,5
25
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
По формуле (12) вычисляем коэффициент корреляции:
n
∑ ( ~x
i
i =1
− ~yi ) 2 = 0+0+32+0,52+1,52+42+12+1,52+32+3,52 = 52;
rs = 1 −
6 ⋅ 52
10(10 2 − 1)
= 0,685.
Коэффициент корреляции Спирмена также достаточно высок,
что подтверждаем предположение о том, что между интеллектуальными способностями родителей и интеллектуальными способностями их
детей существует зависимость.
3) Строим по формулам (9) уравнение линейной регрессии
y = ax + b :
1068,8 − 34,4 ⋅ 30
a=
1255,8 − (34,4) 2
= 0,51;
b = 30-0,51 ⋅34,4 = 12,5;
Отсюда, уравнение линейной регрессии имеет вид: y = 0,51 ⋅ x +12,5.
4) Строим график линии регрессии и опытных данных. Для построения прямой линии находим две произвольные точки уравнения y =
0,51 ⋅ x +12,5:
если x1 = 15, то y1 = 20,2;
если x2 = 50, то y2 = 38.
y
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
x
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
26
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ЗАДАНИЕ № 2. Исследуется зависимость между двумя показателями: агрессивностью X и тревожностью Y. Были разработаны тесты, позволяющие выявить уровень агрессивности: А1 – слабая агрессивность, А2 – средняя агрессивность, А3 – высокая агрессивность; и
уровни тревожности: Т1 – слабая тревожность, Т2 – средняя тревожность, Т3 – высокая тревожность. Результаты исследования (количество тестируемых, соответствующих каждым уровням агрессивности и
тревожности) приведены в таблице.
Т1 Т2 Т3 ni
А1 58 18 8
84
А2 11 22 22 55
А3 8
4 44 56
nj 77 44 74 195
Проверить на уровне значимости p=0,95 гипотезу о том, что уровень
агрессивности не зависит от уровня тревожности.
РЕШЕНИЕ: Показатели заданы атрибутивно, поэтому используем методику критерия хи-квадрат. Вычисляем величины ni и nj,
которые равны суммам значений показателей в столбцах и строках.
Т1 Т2 Т3
ni
А1 58 18 8
84
А2 11 22 22
55
А3 8
4 44
56
nj 77 44 74 n=195
Затем по формуле (14) вычисляется статистика критерия:
Z = 195⋅ (
582
182
82
112
22 2
22 2
+
+
+
+
+
+
77 ⋅ 84 44 ⋅ 84 74 ⋅ 84 77 ⋅ 55 44 ⋅ 55 74 ⋅ 55
82
42
442
+
+
− 1) = 88,54.
77 ⋅ 56 44 ⋅ 56 74 ⋅ 56
По табл. 3 ПРИЛОЖЕНИЯ находим критическое значение
критерия: Z kp = χ 2p ((k − 1) ⋅ (l − 1) ) = χ20,95 ((3 − 1) ⋅ (3 − 1)) = χ02,95 (4) = 9,488 .
+
Видно, что Z > Zкр (т.к. 88,54 >9,448), отсюда делаем вывод, что опытные данные подтверждают гипотезу о том, что уровень агрессивности
зависит от уровня тревожности.
2.3. Примеры решения задач на ЭВМ
Построение уравнения линейной регрессии и вычисление коэффициента корреляции Пирсона требует достаточно громоздких вычислений, поэтому рационально для решения таких задач использовать
27
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ЭВМ. Рассмотрим примеры решения таких задач с использованием
пакета прикладных программ EXCEL.
ПРИМЕР. Психолог предполагает, что агрессивность человека
пропорциональна ситуативной тревожности. Для подтверждения этого
предположения в группе из 12 человек были проведены тесты, измеряющие ситуативную тревожность Х и агрессивность Y. Результаты
тестирования приведены в таблице.
Испы1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
туемый
X
12 15 17 19 20 22 25 27 28 30 33 33
Y
34
42
45
49
53
55
61
68
67
71
75
74
Введем вторую и третью строки этой таблицы в ячейки А1-M2
электронной книги Excel. Просмотрим предварительно, как лежат точки на графике и ложатся ли они на линию. Для этого строим график.
Вызвав мастер диаграмм (Вставка/Диаграмма) и выбрав тип диаграммы «Точечная» нажимаем «Далее» и поместив курсор в поле «Диапазон» обводим курсором данные Y (ячейки В2-М2). Переходим на закладку «Ряд» и в поле «Значения Х» делаем ссылку на ячейки В1-М1,
обводя их курсором. Нажимаем «Готово». Как видно из графика, точки
хорошо укладываются на прямую линию, поэтому будем находить
уравнение линейной регрессии вида y = ax + b .
Для нахождения коэффициентов а и b уравнения регрессии
служат функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК категории «Статистические».
Вводим в А5 подпись «а=» а в соседнюю ячейку В5 вводим функцию
НАКЛОН. Для этого вызываем мастер функций fx , выбираем категорию «Статистические», функцию «НАКЛОН», ставим курсор в поле
«Изв_знач_у» задаем ссылку на ячейки В2-М2, обводя их мышью.
Аналогично в поле «Изв_знач_х» даем ссылку на В1-М1. Результат
1,923921. Найдем теперь коэффициент b. Вводим в А6 подпись «b=», а
в В6 функцию ОТРЕЗОК с теми же параметрами, что и у функции
НАКЛОН. Результат 12,78151. Следовательно, уравнение линейной
регрессии есть y = 1,92 x + 12,78 .
Построим график уравнения регрессии. Для этого в третью
строчку таблицы введем значения функции регрессии в заданных точках Х (первая строка) - y ( x i ) . Для получения этих значений используется функция ТЕНДЕНЦИЯ категории «Статистические». Вводим в
А3 подпись «Y(X)» и, поместив курсор в В3, вызываем мастер функций fx а в ней - функцию ТЕНДЕНЦИЯ. В полях «Изв_знач_у» и
«Изв_знач_х» даем ссылку на В2-М2 и В1-М1. В поле «Нов_знач_х»
28
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
вводим также ссылку на В1-М1. В поле «Константа» вводят 1, если
уравнение регрессии имеет вид y = ax + b , и 0, если y = ax . В нашем
случае вводим единицу. Функция ТЕНДЕНЦИЯ является массивом,
поэтому для вывода всех ее значений выделяем область В3-М3 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – значения уравнения регрессии в заданных точках. Строим график. Ставим курсор в любую свободную клетку, вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «Точечная», вид графика – линия без точек (в нижнем правом углу), нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» вводим ссылку на В3-М3. Переходим на закладку «Ряд» и в поле «Значения Х» вводим ссылку на В1М1, нажимаем «Готово». Результат – прямая линия регрессии. Посмотрим, как различаются графики опытных данных и уравнения регрессии. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм, категория «График», вид графика – ломаная линия с точками (вторая сверху левая), нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» вводим ссылку на вторую и третью строки В2-М3. Переходим
на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» вводим ссылку на В1М1, нажимаем «Готово». Результат – две линии (Синяя – исходные
данные, красная – уравнение регрессии). Видно, что линии мало различаются между собой.
Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона rxy служит функция ПИРСОН. Размещаем графики так, чтобы они располагались выше 25 строки, и в А25 делаем подпись «Корреляция», в В25
вызываем функцию мастер функций и в категории «Статистические» функцию ПИРСОН, в полях которой «Массив 1» и «Массив 2» вводим
ссылки на исходные данные В1-М1 и В2-М2. Результат 0,993821. Видно, что коэффициент корреляции близок к единице, что говорит об
очень сильной связи между факторами.
29
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ
для студентов специальности «Психология»
заочной формы обучения
В данном разделе приведены задания для самостоятельного выполнения студентами-заочниками. Формулировка заданий для всех
вариантов одинаковая, различаются исходные данные, которые выбираются каждым студентом индивидуально для своего варианта. Вариант задания определяется по номеру зачетной книжки (до дроби, обозначающей год поступления). Определите две последние цифры числа,
которое составляют номер вашей зачетной книжки. По этим цифрам
NN выберите из таблицы Ваш вариант:
NN
Вар.
NN
Вар.
NN
Вар.
NN
Вар.
NN
Вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Задание № 1
Были измерены показатели уровня тревожности в группе из 30
человек. По выборке построить статистический ряд, полигон, гистограмму и кумулятивную кривую. Вычислить основные числовые характеристики: выборочное среднее, выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение, медиану и моду.
Вариант
Выборка
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
18
14
22
24
37
27
46
45
72
75
52
41
44
34
59
63
18
14
65
65
68
70
5
9
15
15
18
20
19
19
23
21
32
32
43
46
74
70
51
54
44
38
60
59
19
19
72
70
63
69
21
13
22
20
13
19
21
16
23
17
29
38
36
47
69
75
46
60
46
42
65
57
21
16
69
66
72
78
16
18
19
16
22
28
18
14
22
19
32
38
44
44
71
71
43
52
45
44
50
65
18
14
68
75
62
73
24
15
18
25
12
23
16
14
21
27
28
32
39
48
73
69
50
52
49
42
55
56
16
14
62
66
58
64
21
15
12
16
8
14
19
22
20
26
32
29
47
46
68
72
50
59
44
35
64
66
19
22
71
74
77
71
20
31
21
24
27
21
18
14
21
25
33
30
41
48
73
69
53
49
47
43
66
59
18
14
74
75
67
69
18
19
24
25
17
19
16
21
18
21
35
39
47
46
77
78
57
51
47
45
63
59
16
21
74
84
67
73
26
14
24
34
17
23
17
18
16
26
30
39
41
51
76
72
48
50
36
39
55
60
17
18
70
87
71
71
25
7
20
37
21
21
18
16
22
19
36
31
50
41
77
67
55
47
37
33
62
61
18
16
67
71
72
71
23
8
17
21
22
21
15
12
18
24
32
30
50
47
76
72
56
49
35
39
60
65
15
12
76
69
75
68
15
18
26
19
25
18
22
19
25
20
28
31
49
51
76
81
45
57
40
45
58
59
22
19
73
67
73
65
25
20
23
17
23
15
18
18
13
18
34
39
41
52
76
75
55
54
35
47
67
50
18
18
79
67
70
66
23
21
29
17
20
16
17
18
23
23
32
29
40
40
64
72
51
54
39
41
58
64
17
18
77
75
66
69
20
21
27
25
16
19
22
15
17
18
32
33
50
47
65
69
55
42
41
45
65
63
22
15
70
60
73
74
17
21
20
10
23
24
31
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Выборка
35
39
45
45
48
50
65
69
75
75
78
80
70
56
39
42
15
19
25
25
59
63
40
39
54
46
72
75
46
49
28
30
51
43
52
50
43
49
81
73
82
80
73
79
59
62
41
45
31
23
32
30
60
59
41
41
59
47
74
70
44
44
23
29
46
48
49
46
52
58
76
78
79
76
82
88
57
56
35
39
26
28
29
26
65
57
37
39
55
44
69
75
39
47
32
38
54
45
48
55
42
53
84
75
78
85
72
83
62
57
41
39
34
25
28
35
50
65
37
38
57
52
71
71
46
44
22
33
51
45
42
46
38
44
81
75
72
76
68
74
49
63
42
35
31
25
22
26
55
56
40
44
44
49
73
69
47
44
18
24
50
61
51
54
57
51
80
91
81
84
87
81
63
59
38
41
30
41
31
34
64
66
42
37
42
48
68
72
44
51
37
31
48
49
54
55
47
49
78
79
84
85
77
79
59
55
41
36
28
29
34
35
66
59
39
41
52
56
73
69
44
42
27
29
56
44
54
64
47
53
86
74
84
94
77
83
60
58
41
36
36
24
34
44
63
59
43
42
55
40
77
78
46
39
27
33
55
37
50
67
51
51
85
67
80
97
81
81
57
62
36
39
35
17
30
47
55
60
38
45
49
52
76
72
41
45
31
31
53
38
47
51
52
51
83
68
77
81
82
81
66
61
45
41
33
18
27
31
62
61
41
40
53
46
77
67
45
49
32
31
45
48
56
49
55
48
75
78
86
79
85
78
64
60
40
43
25
28
36
29
60
65
45
43
51
46
76
72
40
44
35
28
55
50
53
47
53
45
85
80
83
77
83
75
57
59
39
40
35
30
33
27
58
59
44
35
50
45
76
81
40
43
33
25
53
51
59
47
50
46
83
81
89
77
80
76
59
59
41
41
33
31
39
27
67
50
48
44
61
52
76
75
41
37
30
26
50
51
57
55
46
49
80
81
87
85
76
79
58
61
41
38
30
31
37
35
58
64
43
44
59
59
64
72
40
45
26
29
47
51
50
40
53
54
77
81
80
70
83
84
59
63
40
44
27
31
30
20
65
63
28
44
53
57
65
69
44
46
33
34
32
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Задание № 2
Психолог разработал методику, позволяющую, по его мнению,
увеличить скорость чтения у старшеклассников. Для проверки этого
предположения были измерены скорости чтения у 14 старшеклассников до х и после у проведения методики. Можно ли с доверительной
вероятностью p=0,95 говорить о том, что методика действительно приводит к увеличению скорости чтения, используя критерий знаков.
Вариант
1.
x
y
2.
x
y
3.
x
y
4.
x
y
5.
x
y
6.
x
y
7.
x
y
8.
x
y
9.
x
y
10.
x
y
11.
x
y
12.
x
y
13.
x
y
14.
x
y
21
27
28
31
26
35
42
50
42
35
59
52
46
47
52
44
74
66
21
29
34
38
43
49
65
66
25
16
32
26
28
32
34
31
32
39
32
36
63
71
51
54
51
47
44
53
20
21
36
35
46
58
59
61
23
23
26
35
29
32
28
40
46
52
46
39
54
54
48
45
48
57
46
61
20
21
33
28
44
37
60
67
20
23
34
32
27
29
33
29
39
49
39
39
61
53
45
46
52
54
68
40
17
25
38
29
45
47
57
63
20
29
25
34
28
30
33
40
39
52
39
41
57
45
53
55
54
39
55
59
21
16
37
41
43
40
61
71
23
25
Выборка
33 31 32
33 32 19
27 29 29
31 30 30
26 21 23
31 29 31
37 35 38
49 45 37
37 35 38
48 33 41
52 54 61
59 48 58
51 46 53
51 46 56
50 51 51
65 46 51
41 57 72
37 54 32
22 23 19
23 22 27
36 40 34
41 46 36
46 47 41
36 39 32
66 64 66
66 67 70
17 20 22
21 24 24
28
25
30
29
31
36
35
49
35
35
63
71
48
53
52
58
42
41
25
31
34
29
48
48
62
62
22
17
33
31
30
29
23
33
42
40
42
38
61
61
53
51
52
46
47
69
21
27
37
35
45
46
62
57
19
18
28
25
29
30
27
35
39
45
39
43
56
59
49
49
53
62
60
42
20
22
35
43
49
55
67
67
23
16
34
30
28
30
24
37
40
39
40
36
55
65
58
50
56
52
43
66
17
32
36
33
44
45
63
67
19
20
27
30
29
30
24
36
38
44
38
36
55
74
56
56
51
65
49
43
21
27
38
37
47
37
66
61
19
23
26
28
29
31
29
36
47
24
47
39
55
63
49
56
50
47
47
60
22
22
35
40
48
49
59
60
26
20
33
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант
15.
x
y
16.
x
y
17.
x
y
18.
x
y
19.
x
y
20.
x
y
21.
x
y
22.
x
y
23.
x
y
24.
x
y
25.
x
y
26.
x
y
27.
x
y
28.
x
y
29.
x
y
30.
x
y
67
67
31
30
54
60
22
23
46
43
71
83
55
65
71
74
39
64
14
23
53
60
56
66
77
92
73
64
93
90
44
60
69
65
19
28
52
59
20
25
40
61
73
78
45
53
67
87
43
48
18
29
51
65
46
55
89
97
43
53
75
95
39
52
62
71
31
36
55
56
17
27
47
48
73
83
48
49
74
85
46
55
14
26
54
57
51
52
94
86
46
61
77
92
57
56
64
61
23
22
58
63
23
27
42
37
73
72
56
49
75
73
42
47
16
27
54
57
38
65
87
99
68
40
86
89
58
58
70
55
27
27
57
50
19
26
45
42
70
69
39
61
80
79
44
42
21
31
55
58
55
48
85
99
56
59
86
84
58
54
Выборка
59 66 64
67 67 66
24 20 22
28 22 29
58 51 55
66 69 69
16 19 24
32 24 27
48 46 39
39 46 61
70 77 73
67 89 86
37 50 33
53 53 44
81 73 68
66 75 85
44 43 38
44 51 44
22 17 25
28 21 30
54 54 54
67 52 61
37 48 62
67 59 46
83 81 86
90 93 92
41 57 72
37 54 32
87 69 88
91 91 93
49 47 45
45 55 54
67
61
31
32
57
61
23
27
49
45
75
83
37
42
66
90
45
44
20
25
58
58
55
55
76
86
42
41
91
88
47
62
64
67
28
29
53
62
19
30
45
44
70
67
56
44
70
79
47
45
19
21
55
47
40
55
84
99
47
69
90
85
57
44
69
66
25
29
54
64
22
33
43
50
72
69
34
51
68
79
49
50
22
31
55
55
53
52
89
92
60
42
79
95
62
53
66
65
28
27
52
60
22
18
43
63
78
84
45
42
67
84
44
44
24
25
54
60
65
53
96
86
43
66
98
86
54
62
69
72
26
31
51
58
21
31
48
55
74
72
39
44
64
59
40
29
24
24
59
56
56
60
86
88
49
43
90
83
47
52
67
64
27
25
53
63
20
30
46
64
66
70
39
61
73
64
41
58
20
27
57
53
46
58
85
93
47
60
91
98
59
55
34
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Задание № 3
Психолог выдвинул предположение, что у группы незнакомых
девушек старших классов средней школы чувство эмпатии сильнее,
чем у их сверстников – юношей. Для проверки этого предположения
были отобраны и протестированы две группы школьников: 14 девушек
и 12 юношей. Можно ли по опытным данным с доверительной вероятностью 0,95 говорить о том, что показатели эмпатичности у юношей и
девушек различны?
а) Использовать параметрический критерий Стьюдента.
б) Использовать ранговый критерий Вилкоксона.
Эмпатичность у женщин (одинаково для всех вариантов)
23 25 23 22 23 24 28 16 18 23 29 26 31
Вариант
Эмпатичность у мужчин (по вариантам)
1.
15 13 14 17 15 12
8 22 17
9 19
2.
22 21 15 17 19 18 14 19 20 10 13
3.
11 12 11 21 11
0 32 19 11 24 17
4.
23 21 17 15 12 16 19 22 20 21 15
5.
24 16
6 26 22 20 16 22 23 24 20
6.
24 14 24 14 15 19 18 21
9 20
7
7.
19
7 19
7 20 25 23 37 22 23 23
8.
10 13 15 20 14 22 30 16 10 20 11
9.
12 24 14 11
6 15 25 13 26 19 11
10. 23 17 21 12 20 21
9 22
9 24 14
11. 15 17 29 21 26 16 16 32 15
5
8
12. 18 16 13 12 23 15 16 24 12 20 12
13. 18 23
8 18 29 24 18 18 17
6 10
14. 13 26 16 20 24 11 25 13 15 25 17
15. 13 18 11 28 19 12 19 14 18 19 19
16.
7 23 18 19 14 20 18 15 23 10 26
17. 13
3 18 14 11 30
9 16 20 29 24
18. 22 26 14 17 16 13 14
8 16 19 27
19. 28 10
8 13 17 27 10 17 14 15 11
20. 18 13 25 16 29 18 21 21 16 12 26
21. 11 22 11 15
9 16 18 28 10 29 11
22. 21 24 11 16 15 18 25 17 25 16 20
23. 16 18 18
7
9 15 15 23 15
6 10
24. 32 20 13 19 20 20 25 20 11 17 16
25. 33 21 16 10 22 18 18 19 19 14 19
19
20
21
12
18
20
17
10
19
12
11
19
23
17
15
6
9
14
22
26
20
4
7
19
10
15
35
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант
26.
27.
28.
29.
30.
15
28
15
22
15
14
14
8
25
19
Эмпатичность у мужчин (по вариантам)
17 17 22 20 20 21
5 31
9 27 14 20 14 15 17 29
18 20 20 26 12 16 19 27
24 16 25 18 18 17 22 22
19 14 12 32 18 12 24 19
11
27
14
11
5
19
13
18
28
18
Задание № 4
Изучается зависимость между показателями вербального и невербального интеллекта у студентов - гуманитариев. Для решения задачи были протестированы интеллектуальные способности 10 студентов. Усредненные значения вербального интеллекта (в баллах) хi и невербального (в баллах) yi приведены в таблице. Необходимо:
1) По выборкам данных найти уравнение линейной регрессии
y = ax + b .
2) Построить график, нанеся на него опытные данные и линию
регрессию.
3) Найти коэффициент парной корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значимости p = 0,9 .
4) Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Вариант
37
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
79
52
107
136
98
52
37
125
46
107
Значения фактора хi (одинаковое для всех вариантов)
48
39
19
28
33
24
43
41
Значения фактора yi (по вариантам)
86
84
39
59
85
71
86
94
76
59
46
53
48
53
58
70
141 122
50
101 106
72
130 136
173 130
59
109 105
97
140 150
151 110
51
88
113
80
127 124
69
61
30
24
35
44
49
47
53
48
40
22
36
21
56
47
158 124
77
86
108
75
150 146
42
50
14
35
50
21
36
33
152 118
64
76
115
80
145 120
32
74
56
111
108
107
40
46
120
45
102
36
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вар.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
112
74
113
87
96
74
37
118
107
71
108
31
46
87
128
62
129
108
39
65
158
101
157
126
115
76
47
157
121
98
120
34
38
99
158
62
146
150
58
106
Значения фактора yi (по вариантам)
106
75
87
106
84
128
78
57
57
79
54
109
140
71
85
100
85
139
104
42
70
76
67
113
94
54
70
61
72
88
79
52
62
62
57
90
55
38
34
54
31
42
141
81
103
98
93
137
106
75
68
89
68
116
74
51
57
76
39
88
112
49
87
103
78
114
42
12
10
20
32
29
27
14
27
28
38
30
89
53
60
85
61
83
123
67
82
124
70
128
57
50
56
45
34
70
134
69
78
117
94
122
115
74
106
93
79
135
50
14
33
29
24
34
84
54
60
66
67
93
124
103
122
115
106
79
34
127
109
88
128
38
36
88
144
64
138
137
32
88
109
61
95
71
88
67
34
97
88
63
94
21
46
58
91
65
113
90
45
60
Задание № 5
Исследуется зависимость между двумя показателями: возбудимость Х и агрессивность Y. Были разработаны тесты, позволяющие
выявить уровень возбудимости: В1- слабая возбудимость, В2 – средняя
возбудимость, В3 – высокая возбудимость; и уровни агрессивности:
А1 – слабая агрессивность, А2 – средняя агрессивность, А3 – высокая
агрессивность. Результаты исследования (количество тестируемых,
соответствующих каждым уровням возбудимости и агрессивности)
приведены в таблице. Проверить на уровне значимости р=0,95 гипотезу о том, что уровень агрессивности не зависит от уровня возбудимости.
Вариант 1
А1 А2 А3
В1 75 69 63
В2 54 44 50
В3 44 58 69
Вариант 2
А1 А2 А3
19 10 89
18 10 23
46 93 41
Вариант 3
А1 А2 А3
63 85 19
45 62 55
60 57 25
Вариант 4
А1 А2 А3
60 74 58
58 62 91
49 80 73
37
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
В1
В2
В3
В1
В2
В3
В1
В2
В3
В1
В2
В3
В1
В2
В3
В1
В2
В3
В1
В2
В3
Вариант 5
А1 А2 А3
34 6
4
16 43 33
16 8
28
Вариант 9
А1 А2 А3
55 52 16
11 22 52
12 14 44
Вариант 13
А1 А2 А3
27 2
29
5
11 17
28 12 21
Вариант 17
А1 А2 А3
37 9
7
12 49 39
18 10 32
Вариант 21
А1 А2 А3
53 55 9
16 8
53
3
9
48
Вариант 25
А1 А2 А3
24 6
24
9
18 15
20 17 24
Вариант 29
А1 А2 А3
33 16 14
16 12 17
21 13 14
Вариант 6
А1 А2 А3
21 37 16
24 42 7
8
44 40
Вариант 10
А1 А2 А3
1
11 49
43 21 32
14 23 48
Вариант 14
А1 А2 А3
8
18 1
16 21 19
12 14 18
Вариант 18
А1 А2 А3
18 32 11
22 37 7
2
40 30
Вариант 22
А1 А2 А3
5
17 45
44 28 37
17 23 44
Вариант 26
А1 А2 А3
9
14 6
13 26 14
16 18 16
Вариант 30
А1 А2 А3
5
24 16
19 16 17
13 14 19
Вариант 7
А1 А2 А3
31 6
34
4
12 25
33 46 25
Вариант 11
А1 А2 А3
9
4
19
25 35 49
9
33 18
Вариант 15
А1 А2 А3
7
26 16
1
25 5
3
21 22
Вариант 19
А1 А2 А3
38 9
36
8
19 29
37 45 29
Вариант 23
А1 А2 А3
7
9
14
29 32 45
11 37 12
Вариант 27
А1 А2 А3
8
25 13
6
24 7
12 24 26
Вариант 8
А1 А2 А3
26 1
38
35 6
20
31 44 28
Вариант 12
А1 А2 А3
54 14 4
45 14 32
22 33 6
Вариант 16
А1 А2 А3
1
29 9
20 9
12
3
30 7
Вариант 20
А1 А2 А3
28 3
33
32 7
23
38 48 26
Вариант 24
А1 А2 А3
57 12 7
44 16 35
27 35 8
Вариант 28
А1 А2 А3
6
28 5
21 10 17
6
37 9
38
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ЛИТЕРАТУРА
1. Абдулгалимов А.М. Статистическое прогнозирование социально-экономических процессов. - Махачкала: Даг. кн. изд-во, 1998.
2. Айвазян C.А., Енюков И.C., Мешалкин Л.Д. Прикладная
статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика,
1985.
3. Бирхгофф Г. Математика и психология. М., Сов. радио,
1977.
4. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Гардарика, 1998.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов.- М.:
Высш. шк., 1999.
6. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в психологии / пер. с англ. Под общ. Ред. Ю.П. Адлера. М.: Прогресс, 1976.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – Изд-во «Высшая школа», 1998.
8. Захаров В. П. применение математических методов в социально-психологических исследованиях. Л.: ЛГУ, 1985.
9. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. –
М.: Высш. шк., 1998.
10. Ковалев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИНФРА-М, 1999
11. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии.- СПб.: ООО «Речь», 2002.
12. Справочник по прикладной статистике. М.: Финансы и статистика, 1990.
13. Суходольский Г.В. Основы математической статистики для
психологов. Л. ЛГУ, 1972.
14. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных
на компьютерах/Под ред. В.Э. Фигурнова. - М.: ИНФРА-М, 1998.
15. Урбах В.Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях. М.: Медицина, 1975.
39
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ПРИЛОЖЕНИЕ
Статистические таблицы
Таблица 1
Обратное распределение Стьюдента t p (n)
p
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
27
30
40
60
120
∞
0,8
0,9
0,925
0,95
0,975
0,99
0,995
0,999
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
0,859
0,858
0,858
0,857
0,856
0,855
0,854
0,851
0,848
0,845
0,842
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,314
1,310
1,303
1,296
1,289
1,282
4,165
2,282
1,924
1,778
1,699
1,650
1,617
1,592
1,574
1,559
1,548
1,538
1,530
1,523
1,517
1,512
1,508
1,504
1,500
1,497
1,494
1,492
1,489
1,487
1,485
1,482
1,477
1,468
1,458
1,449
1,440
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,703
1,697
1,684
1,671
1,658
1,645
12,71
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,052
2,042
2,021
2,000
1,980
1,960
31,82
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,473
2,457
2,423
2,390
2,358
2,326
63,66 318,29
9,925 22,328
5,841 10,214
4,604 7,173
4,032 5,894
3,707 5,208
3,499 4,785
3,355 4,501
3,250 4,297
3,169 4,144
3,106 4,025
3,055 3,930
3,012 3,852
2,977 3,787
2,947 3,733
2,921 3,686
2,898 3,646
2,878 3,610
2,861 3,579
2,845 3,552
2,831 3,527
2,819 3,505
2,807 3,485
2,797 3,467
2,787 3,450
2,771 3,421
2,750 3,385
2,704 3,307
2,660 3,232
2,617 3,160
2,576 3,090
40
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Таблица 2
Обратное распределение Фишера F0 ,95 ( k 1 , k 2 )
на уровне значимости α = 0,05
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
1
161,5 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9
2
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43
3
10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70
4
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86
5
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62
6
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94
7
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51
8
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22
9
5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01
10
4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85
11
4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72
12
4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62
13
4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53
15
4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46
16
4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35
18
4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27
20
4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20
22
4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15
24
4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11
26
4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07
30
4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01
40
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92
60
4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75
41
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Таблица 3
Обратное распределение хи-квадрат χ
p
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
27
30
40
50
75
100
200
0,7
0,8
0,9
1,074
2,408
3,665
4,878
6,064
7,231
8,383
9,524
10,66
11,78
12,90
14,01
15,12
16,22
17,32
18,42
19,51
20,60
21,69
22,77
23,86
24,94
26,02
27,10
28,17
30,32
33,53
44,16
54,72
80,91
106,9
210,0
1,642
3,219
4,642
5,989
7,289
8,558
9,803
11,03
12,24
13,44
14,63
15,81
16,98
18,15
19,31
20,47
21,61
22,76
23,90
25,04
26,17
27,30
28,43
29,55
30,68
32,91
36,25
47,27
58,16
85,07
111,7
216,6
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,64
12,02
13,36
14,68
15,99
17,28
18,55
19,81
21,06
22,31
23,54
24,77
25,99
27,20
28,41
29,62
30,81
32,01
33,20
34,38
36,74
40,26
51,81
63,17
91,06
118,5
226,0
2
p
(n )
0,925 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999
3,170
5,181
6,905
8,496
10,01
11,47
12,88
14,27
15,63
16,97
18,29
19,60
20,90
22,18
23,45
24,72
25,97
27,22
28,46
29,69
30,92
32,14
33,36
34,57
35,78
38,18
41,76
53,50
65,03
93,28
121,0
229,5
3,841
5,991
7,815
9,488
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
22,36
23,68
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
40,11
43,77
55,76
67,50
96,22
124,3
234,0
5,024
7,378
9,348
11,14
12,83
14,45
16,01
17,53
19,02
20,48
21,92
23,34
24,74
26,12
27,49
28,85
30,19
31,53
32,85
34,17
35,48
36,78
38,08
39,36
40,65
43,19
46,98
59,34
71,42
100,8
129,6
241,1
6,635
9,210
11,35
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,73
26,22
27,69
29,14
30,58
32,00
33,41
34,81
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
42,98
44,31
46,96
50,89
63,69
76,15
106,4
135,8
249,4
7,879
10,60
12,84
14,86
16,75
18,55
20,28
21,95
23,59
25,19
26,76
28,30
29,82
31,32
32,80
34,27
35,72
37,16
38,58
40,00
41,40
42,80
44,18
45,56
46,93
49,65
53,67
66,77
79,49
110,3
140,2
255,3
10,83
13,82
16,27
18,47
20,51
22,46
24,32
26,12
27,88
29,59
31,26
32,91
34,53
36,12
37,70
39,25
40,79
42,31
43,82
45,31
46,80
48,27
49,73
51,18
52,62
55,48
59,70
73,40
86,66
118,6
149,4
267,5
42
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Таблица 4.
Критические значения распределения Вилкоксона Wkr при α = 0,05 ,
n – объем большей выборки, m - меньшей
n
m 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
0
0
1
1
1
1
2
2
3
3
3
3
4
4
4
0
0
1
2
2
3
4
4
5
5
6
7
7
8
9
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
4
5
6
8
9
11
12
13
15
16
18
19
20
22
23
25
7
8
10
12
14
16
17
19
21
23
25
26
28
30
32
11
13
15
17
19
21
24
26
28
30
33
35
37
39
15
18
20
23
26
28
31
33
36
39
41
44
47
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
n
m 4
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
19
20
21
22
23.
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
35
36
37
38
39
5
6
7
8
26
28
29
31
32
33
35
36
38
39
41
42
43
45
46
48
49
51
52
53
34
36
37
39
41
43
45
47
48
50
52
54
56
58
59
61
63
65
67
69
41
44
46
48
50
53
55
57
59
62
64
66
68
71
73
75
77
79
82
84
49
52
55
57
60
62
65
68
70
73
76
78
81
84
86
89
92
94
97
100
27
31
34
37
41
44
48
51
55
58
62
34
38
42
46
50
54
57
61
65
69
42
47
51
55
60
64
68
72
77
51
56
61
65
70
75
80
84
61
66
71
77
82
87
92
72
77
83
88
94
100
83
89 96
95 102 109
101 109 116 123
107 115 123 130 138
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
57
60
63
66
69
72
75
79
82
85
88
91
94
97
100
103
106
109
112
115
65 73
69 77
72 81
75 85
79 89
82 93
86 96
89 100
93 104
96 108
100 112
103 .116
107 120
110 124
114 128
117 132
121 135
124 139
128 143
131 147
81
85
90
94
98
103
107
111
116
120
124
129
133
137
142
146
150
155
159
163
89
94
99
103
108
113
118
122
127
132
137
141
146
151
156
160
165
170
175
179
97
102
107
113
118
123
128
133
139
144
149
154
159
164
170
175
180
185
190
196
105
111
116
122
128
133
139
144
150
156
161
167
173
178
184
189
195
201
206
212
113
119
125
131
137
143
150
156
162
168
174
180
186
192
198
204
210
216
222
228
121
128
134
141
147
154
160
167
173
180
186
193
199
206
212
219
225
232
238
245
130
136
143
150
157
164
171
178
185
192
199
206
213
219
226
233
240
247
254
261
138
145
152
160
167
174
182
189
196
204
211
219
226
233
241
248
255
263
270
278
146
154
161
169
177
185
193
200
208
216
224
232
239
247
255
263
271
278
286
294
154
162
170
179
187
195
203
212
220
228
236
245
253
261
269
278
286
294
302
311
43
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Продолжение табл. 4
n
m 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
n
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
171
180
188
197
206
214
223
232
240
249
258
266
275
284
292
301
310
318
327
189
198
207
216
225
234
243
252
261
271
280
289
298
307
316
325
335
344
207
217
226
236
245
255
265
274
284
293
303
312
322
332
341
351
360
227
237
247
257
267
277
287
297
307
317
327
337
347
357
367
377
247
258
268
278
289
299
310
320
331
341
352
362
373
383
394
268
279 291
290 302
301 313
312 325
323 336
334 347
345 359
356 370
367 381
378 393
388 404
399 416
410 427
m 4
5
6
7
8
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
57
58
59
60
55
56
58
59
61
62
64
65
66
68
69
71
72
74
75
76
78
79
81
87
70
72
74
76
78
80
81
83
85
87
89
91
92
94
96
98
100
102
103
105
86
88
91
93
95
97
100
102
104
106
109
111
113
115
118
120
122
124
127
129
102
105
107
110
113
115
118
121
123
126
129
131
134
137
139
142
145
147
150
153
314
326
337
349
361
373
385
396
408
420
432
444
338
350
362
374
387
399
411
424
436
448
460
363
375
388
401
413
426
439
452
464
477
389
402 415
415 429
428 442
441 456
454 470
467 483
481 497
494 511
443
457
471
485
499
513
527
471
486
501
515
530
544
501
516
531
546
561
531
547 563
562 579 595
578 594 611 628
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
118
121
124
128
131
134
137
140
143
146
149
152
155
158
161
164
167
171
174
177
135
138
142
145
149
152
156
159
163
166
170
173
177
180
184
187
191
194
198
201
151
155
159
163
167
171
175
178
182
186
190
194
198
202
206
210
214
218
222
225
168
172
176
181
185
189
194
198
202
207
211
215
220
224
228
233
237
241
246
250
184
189
194
199
203
208
213
218
222
227
232
237
241
246
251
256
261
265
270
275
201
206
211
216
222
227
232
237
243
248
253
258
263
269
274
279
284
289
295
300
218
223
229
235
240
246
251
257
263
268
274
280
285
291
297
302
308
314
319
325
234
240
247
253
259
265
271
277
283
289
295
301
307
313
319
326
332
338
344
350
251
258
264
271
277
284
290
297
303
310
316
323
329
336
342
349
355
362
369
375
268
275
282
289
296
303
310
317
324
331
338
345
352
359
365
372
379
386
393
400
285
292
300
307
315
322
329
337
344
352
359
366
374
381
389
396
403
411
418
426
302
310
318
325
333
341
349
357
365
372
380
388
396
404
412
420
427
435
443
451
319
327
335
344
352
360
369
377
385
393
402
410
418
427
435
443
451
460
468
476
44
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Продолжение табл. 4
n
m 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
n
336
345
353
362
371
380
388
397
406
414
423
432
441
449
458
467
476
484
493
502
353
362
371
380
390
399
408
417
426
435
445
454
463
472
481
491
500
509
518
527
370
380
389
399
408
418
428
437
447
457
466
476
485
495
505
514
524
534
543
553
387
397
407
417
427
437
447
458
469
478
488
408
508
518
528
538
548
558
568
578
404
415
425
436
446
457
467
478
488
499
509
520
530
541
551
562
572
583
594
604
421
432
443
454
465
476
487
498
509
520
531
542
553
564
575
586
597
608
619
630
438
450
461
473
484
495
507
518
530
541
553
564
575
587
598
610
621
633
644
655
456
467
479
491
503
515
527
539
550
562
574
586
598
610
622
634
645
657
669
681
473
485
497
510
522
534
547
559
571
583
596
608
620
633
645
657
670
682
694
707
490
503
515
528
541
554
566
579
592
605
618
630
643
656
669
681
694
707
720
733
507
520
533
547
560
573
586
600
613
626
639
652
666
679
692
705
719
732
745
758
524
538
552
565
579
593
606
620
634
647
661
675
688
702
716
729
743
757
770
784
541
556
570
584
598
612
626
640
654
669
683
697
711
725
739
753
768
782
796
810
559
573
588
602
617
631
646
661
675
690
704
719
734
748
763
777
792
807
821
836
576
591
606
621
636
651
666
681
696
711
726
741
756
771
786
801
816
832
847
862
593
609
624
640
655
670
686
701
717
732
748
763
779
794
810
825
841
856
872
888
610
626
642
658
674
690
706
722
738
754
770
786
802
818
834
850
865
881
897
913
628
644
660
677
693
709
726
742
759
775
791
808
824
841
857
874
890
906
923
939
645
662
679
695
712
729
746
763
780
796
813
830
847
864
881
898
915
931
948
965
m 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
662
679 697
697 715 733
714 733 751 770
731 750 769 789 808
749 768 788 807 827 846
766 786 806 826 846 866 886
783 804 824 845 865 886 906 927
800 821 842 863 884 905 926 947 968
818 839 861 882 903 925 946 968 989 1010
835 857 879 901 922 944 966 988 101010321054
852 875 897 919 942 964 986 10091031105310761098
870 893 915 938 961 934 1006102710521075 095 11201143
887 910 934 957 980 100310261051107310961119114311661189
901 928 952 975 999 1023104410701091111311411165118912131236
922 946 970 994 101810421067 109 11151139116311871212123412601284
939 964 988 10131037106210871111113611611185121012351259128413091333
956 981 1007103210571082110711321157118212071232125712831308133313581383
974 999 1025105010761101112711521178120412291255128013061331135713831408
991 10171043106910951121114711731199122512511277130313291355138114071433
45
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………..3
1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ………………………………………4
1.1. Основные сведения и формулы ……………………………..4
1.2. Примеры решения задач …………………………………….6
1.3. Статистические методы обработки данных
с использованием ЭВМ ………………………………………...9
2. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ …………………….10
2.1. Основные сведения и формулы …………………………….10
2.1.1. Критерий знаков …………………………………...11
2.1.2. Параметрический критерий Стьюдента ………….12
2.1.3. Ранговый критерий Вилкоксона …………………..13
2.2. Примеры решения задач …………………………………...14
2.3. Проверка статистических гипотез по критерию Стьюдента
с использованием ЭВМ ……………………………………...18
3. ВЫЯВЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПОКАЗАТЕЛЯМИ …21
3.1. Основные сведения и формулы ……………………………21
3.1.1. Элементы регрессионного анализа ………………21
3.1.2. Элементы корреляционного анализа ……………..22
3.1.3. Зависимость между показателями, заданными
атрибутивно ………………………………………...23
2.2. Примеры решения задач ……………………………………24
2.3. Примеры решения задач на ЭВМ …………………………27
ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ………………………….30
Задание № 1 ……………………………………………………..31
Задание № 2 ……………………………………………………..33
Задание № 3 ……………………………………………………..35
Задание № 4 ……………………………………………………...36
Задание № 5 ……………………………………………………...37
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………….39
ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………40
46
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Моисеев Сергей Игоревич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ПСИХОЛОГИИ
Методические указания по изучению дисциплины
Лицензия ИД № 00668 от 05.01.2000 г.
Компьютерная верстка.
Подписано в печать 15.12.2005 г.
Формат 60х84/16.
Объем 3 п.л.
Тираж 100 экз.
Отпечатано в типографии ВФ МГЭИ
г. Воронеж, Московский проспект, 26
47
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com