Общее равновесие в экономике c неопределенностью: модель Эрроу- Дебре

Ю.В.Автономов
НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2015
Общее равновесие в экономике c
неопределенностью: модель ЭрроуДебре
Описание модели: допустимые состояния
Индивидуальный и системный риск
Субъективная и объективная Парето-оптимальность
Равновесие, I и II теоремы экономики благосостояния для
модели Эрроу-Дебре.
Примеры задач.
В модели экономики Эрроу-Дебре место обычных благ
занимают контингентные блага – контракты на право
получения определенного физического блага в
определенном состоянии мира.
В предположении, что производство физических благ
отсутствует, эта модель является разновидностью
экономики обмена, и многие результаты,
справедливые для экономики обмена, справедливы и
здесь.
2
Предпосылки модели Эрроу-Дебре (M x L x S)
• L физических благ, i = 1, 2, …, L.
• M потребителей: k = 1, 2, …, M.
• S состояний мира: s = 1, 2, …, S.
• первоначальный запас потребителя k:
   ,  ,...,  ;...;  ,  ,..., 
k
k
11
k
21
k
L1
k
1S
• функция полезности потребителя k:
k
2S
k
LS

Uk ( xk )
• совокупный запас физ. блага i в состоянии s:
M
k
is
is   
k 1
3
Предпочтения и вероятность
В модели Эрроу-Дебре предполагается, что у каждого
потребителя есть субъективные представления о
вероятностях реализации того или иного состояния
мира (субъективные вероятности)
Эти представления учтены в его функции полезности
(не обязательно имеющей вид фон НейманаМоргенштерна)
В общем случае, субъективные вероятности у разных
потребителей могут различаться, и не обязаны
совпадать с объективными вероятностями
4
Допустимые распределения
будем называть допустимым распределением
комбинацию потребительских наборов
контингентных благ всех потребителей в
экономике:
1
11
1
L1
1
12
x  (x ,...,x ;x ,...,x
1
L2
M
x
M
;...;x1S ,...,x LS )
M
такую, что
x
k
is
 is , i  1...L, s  1...S
k 1
5
«Индивидуальный» и «системный»
риск
• Будем говорить, что потребитель несет
индивидуальный риск, если...
• Будем говорить, что в экономике присутствует
системный риск, если ...
6
«Субъективная» и «объективная»
Парето-оптимальность
• Пусть μk = (μ1k, …, μSk) – вектор субъективных вероятностей
состояний мира 1...S у потребителя k, а π = (π1, …, πS) –
вектор истинных (объективных) вероятностей этих
состояний.
• Обозначим полезность потребителя k как Uk(xk,μk), где xk –
набор всех достающихся ему контингентных благ.
• Теперь можно разграничить два подхода к оценке Паретооптимальности 
7
Будем называть допустимое распределение
x  (x 1 ,...,x M )
субъективно Парето-оптимальным, если не существует
другого допустимого распределения x̂ ,
такого, что:
и
8
Будем называть распределение
x  (x 1 ,...,x M )
объективно Парето-оптимальным, если не существует
другого допустимого распределения x̂ ,
такого, что:
и
9
Субъективная Паретооптимальность
Субъективная Парето-оптимальность предполагает, что
благосостояние потребителей оценивается с позиции тех
предпочтений, которыми они руководствуются, делая
выбор.
Тем же принципом мы руководствовались во всех моделях
общего равновесия, рассматривавшихся до сих пор.
Это значит, что все результаты, доказанные в рамках
экономики обмена для Парето-оптимальных
распределений, справедливы для (субъективно) Паретооптимальных распределений в экономике Эрроу-Дебре.
10
Равновесие Эрроу-Дебре
M
1
Вектор цен p и распределение (x ,..., x ) составляют
равновесие Эрроу-Дебре в экономике с
неопределенностью, если:
k
(1) Набор контингентных благ x является решением
задачи потребителя k:
k
k
k
max
U (x , )
k
x
 k
k
  p 
 px
(2) Рынки контингентных благ уравновешены:
M
M
i, s,  xis k  is k
k 1
k 1
11
Теоремы экономики
благосостояния в экономике
Эрроу-Дебре
Для субъективных Парето-оптимальных
состояний, в экономике Эрроу-Дебре обе
теоремы экономики благосостояния
справедливы при предпосылках, аналогичных
экономике обмена.
Для объективных Парето-оптимальных
состояний, они справедливы лишь если
...
12
Ящик Эджворта для экономики
Эрроу-Дебре с M = 2, L = 1, S = 2
Для анализа экономики Эрроу-Дебре с двумя
потребителями, одним физическим благом и двумя
состояниями мира применима стандартная
графическая модель ящика Эджворта:
13
Пример задачи - 1
*Рассмотрите экономику с риском, где есть только один
физический товар, два потребителя (А и В), и два состояния
мира. Первоначальные запасы контингентных благ составляют
ωA = (ω, 0) и ωB = (0, ω). Предпочтения каждого агента
представимы функцией ожидаемой полезности с
возрастающими дифференцируемыми элементарными
функциями полезности. Оба потребителя – рискофобы, но A
считает первое состояние мира более вероятным, чем B.
(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных
распределениях уровень потребления каждого агента выше в
том состоянии, которое он считает более вероятным.
(б) Будет ли верен результат п. (А), если потребитель А нейтрален
к риску?
* Балакина et al, 2013, c. 475
14
Пример задачи – 2.
Рассмотрите экономику c риском, в которой есть
единственное физическое благо, три состояния мира и три
потребителя (А, В и С). Пусть потребитель А владеет всем
начальным запасом в первом состоянии, потребитель В –
во втором, потребитель С – в третьем. Пусть, кроме того,
совокупные начальные запасы одинаковы по всем
состояниям мира и потребители оценивают вероятности
состояний мира одинаково. Будем считать, что все
потребители являются рискофобами с
дифференцируемыми элементарными функциями
полезности, не зависящими от состояния, но предпочтения
их различны.
(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных
состояниях потребление участников не зависит от
состояния мира.
(б) Найдите внутреннее равновесие Эрроу-Дебре.
15
Пример задачи - 3
* Рассмотрите экономику с риском, где имеется одно физическое благо,
три потребителя (A,B,C) и два состояния мира (1 и 2).
Первоначальные запасы заданы векторами ωA = (ω/3, 0),
ωB = (ω/3, 0), ωC = (ω/3, ω), ω > 0, а предпочтения потребителей
представимы функциями ожидаемой полезности фон НейманаМоргенштерна с дифференцируемыми, строго вогнутыми
элементарными функциями полезности. Известно, что, по мнению А,
первое состояние мира наступит с вероятностью 1/3. Кроме того,
известно, что во внутреннем равновесии все потребители не несут
индивидуального риска, и цены всех контингентных благ
положительны. Найдите недостающие параметры равновесия.
* Балакина et al, 2013, c. 476
16