Содержание 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ

3
Содержание
1.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.
ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКЦИИ
ДВУХ
НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1. Частные производные первого порядка
2.2. Частные производные высших порядков
3.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
5.
ЭКСТРЕМУМ
ФУНКЦИИ
ДВУХ
НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
5.1. Необходимое условие экстремума
5.2. Достаточные условия экстремума
6. ГРАДИЕНТ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
7. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
8. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
9. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
9.1. Непосредственное интегрирование
9.2. Метод замены переменной (подстановки)
9.3. Метод интегрирования по частям
10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
10.1. Простейшие дроби, их интегрирование
10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
10.3. Разложение правильной дроби
10.4. Нахождение коэффициентов
10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ,
ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
14.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4
1.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 1. Пусть даны 2 непустых множества D и M . Если каждой
паре действительных чисел  X ; Y  , принадлежащих множеству D , по
определенному правилу ставится в соответствие одно и только одно
действительное число Z из M , то говорят, что на множестве D задана
функция z  f x, y  с множеством значений из M .
Определение 2. Множество D называется областью определения
функции, а множество f (D) , состоящее из всех чисел вида z  f x, y , где
x, y  D , – множеством значений функции.
Определение 3. Значение функции z  f x, y  в точке М (х0, у0)
обозначают z0  f x0 ; y0  и называют частным значением функции.
Так, например, если z  f x, y   ln x 2  y , то значение функции в точке
M 1; 3 обозначают следующим образом:
z M  z1; 3  f 1; 3  ln 12  3  1,3863 .
Графиком функции f (x) является поверхность, состоящая из точек
(x,y,z), где x, y  D , z  f ( x, y) .
Аналогично определяется функция любого числа переменных
u  f x, y, z,...,t .
Определение 4. Линией уровня функции z  f x, y  называется
линия f x, y   h на плоскости XOY , в точках которой функция сохраняет
постоянное значение z  h .
Если положить h  h1 , h2 ,...,hn , выбрав эти числа в арифметической
прогрессии с разностью d , то мы получим ряд линий уровня, по взаимному
расположению которых можно судить о характере изменения функции: где
линии гуще – функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая
функцию, идет круче).
Пример 1. Найти область определения функции. Сделать чертеж.
z  4  x 2  y 2  ln y 2  x  1.
Решение. Данная функция определена и принимает действительные
4  x 2  y 2   0
x 2  y 2  4
значения при  2
или  2
.
(1)
y

x

1

0
y

1

x


Сделаем чертеж.
y
0
-2
1
2
Рис. 1
x
5
Замечание. Из системы неравенств (1) видно, что первому
неравенству будут удовлетворять координаты всех точек, лежащих внутри
круга и на окружности, а второму – координаты точек, лежащих вне параболы.
Таким образом, обоим неравенствам одновременно будут удовлетворять
координаты точек, лежащих вне параболы, но внутри круга.
На чертеже (рис. 1) получим заштрихованную часть плоскости.
Пример 2. Найти и построить линии уровня функции z  x 2  y 2 .
Решение. Положим z  h , тогда уравнение семейства линий уровня
примет вид x 2  y 2  h . При h  0 это будет семейство окружностей радиуса
h с центром в начале координат. Полагая h  0, 1, ..., получим следующие
уравнения окружностей: x 2  y 2  0 (точка О(0; 0)), x 2  y 2  1 и т. д. (рис. 2).
y
x
Рис. 2
2. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1. Частные производные первого порядка
Определение 5. Частной производной от функции z  f x, y  по
независимой переменной X или Y называется предел отношения
соответствующего
частного
приращения
функции
к
приращению
рассматриваемой независимой переменной, при стремлении последнего к нулю,
z
f x  x, y   f x, y 
 f xx, y   lim
 z x или
т. е.
x 0
x
x
z
f x, y  y   f x, y 
 f y x, y   lim
 z y .
x0
y
y
z
Заметим, что если от функции z берется производная
, то y считается
x
z
постоянным; если же находится
, то x считается постоянным. Для частных
y
производных справедливы формулы и правила вычисления производных
функций одной переменной.
Пример 3. Найти частные производные функции z  y  ln x 2  y 3 .
6
z
при условии, что y  const , а, следовательно,
x
Решение. Найдем
и ее производная
z
 0.
у
 



z
1
1
2 xy
.
 y  ln x 2  y 3 x  y 2
 x2  y3 x  y 2
 2x  2
3
3
x
x y
x y
x  y3


( y как const вынесли за знак производной).
z
z
Найдем
, считая, что x = const, а, следовательно, и производная
 0,
х
y
тогда

z
1

  y  y  ln x 2  y 3  y ln x 2  y 3 y  1  ln x 2  y 2  y 2
 3y 2 
y
x  y3

  





3y3
= ln x  y   2
.
x  y3
2
3
2.2. Частные производные высших порядков
Определение 6. Частными производными второго порядка от функции
z  f x, y  называются частные производные от ее частных производных
первого порядка.
Обозначаются частные производные 2-го порядка так:
  z   2 z
  2z 

  z xx ;
 z xy ;
 
y  x  xy
x  x 2 
  z   2 z 
 
 z yx ;
x  y  yx
Частные
производные
2z
xy
и
  z   2 z
 
 z yy .
y  y  y 2
2z
yx
называются
смешанными
производными.
Теорема: Если частные производные высшего порядка непрерывны, то
смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком
дифференцирования, равны между собой. В частности для z  f ( x, y) имеем
2z
2z

.
xy yx
Пример 4. Дана функция z  ln x 2  y 2 . Найти все ее частные
2z
2z

производные 2-го порядка и убедиться, что
.
xy yx
z
2x
z
2y
 2
 2
Решение.
;
;
2
x x  y
y x  y 2



 2 z   z   2 x  2 x x x 2  y 2   x 2  y 2 x  2 x
 
  

x 2 x  x   x 2  y 2 
x 2  y 2 2

2x 2  y 2   2 x  2 x
x
2
 y2 
2
7

2x2  2 y 2  4x2
x
2
 y2 
2

2 y 2  2x2
x 2  y 2 2 ;
 2
2
2
2 
 2 z   z   2 y   2 y y x  y   x  y y  2 y
 
  

2
2 2
y 2 y  y   x 2  y 2  y
x  y 



2 x2  y2  2y  2y
x
2
y

2 2


2 x2  y2
x
2
y

;
2 2


1 
2
 z
  z   2 x  
  2 x  y 2  x 2  y  2 x 1x 2  y 2   2 y 
     2
2 
xy y  x   x  y  y
2

4 xy
;
2
 y2 
1 
2
2 z
  z   2 y  
  2 y  y 2  x 2  x  2 y 1x 2  y 2   2 x 
     2
2 
yx x  y   x  y  x
4 xy

.
2
2 2
x  y 
2 z
2 z
4 xy


Из последних двух равенств видно, что
.
xy yx
x 2  y 2 2
x
2


у
y
Пример 5. Показать, что функция z  y x  sin  удовлетворяет
x
уравнению x z x  xyz y  y  z .
Решение.
Находим
y
y
z
 y
 y
 y  y 
 y x  ln y  2   sin    y x  cos     2  ;
x
 x 
 x
 x  x 
y
y
y
z  x
1 y x 1 
 y
 y 1
x
  y  ln y   y   sin    y  cos   .
y 
x x
 x
 x x

Подставим найденные значения в левую часть уравнения:
y
y
y
y
y
y
y x 1
1 x
 y
 y
 y
2
2
x
x
 x  2  y  ln y  sin    x  2  y  cos   xy   y  sin    xy   y 
x
x
x
x
 x
 x
 x
2
1
 y
 y
 y
 ln y  sin    xy  y x  cos   y  y x  sin    y  z .
x
 x
 x
 x
Получаем тождество, следовательно, функция z удовлетворяет данному
уравнению.
y
y
3. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть
z  f x, y 
есть
функция
двух
Зафиксируем y , а затем x . Тогда выражения dz x 
независимых
переменных.
z
z
x и dz y  y называют
y
x
8
z
z
x  y является полным
x
y
дифференциалом функции двух переменных. Положив z  x , получим, что
dx  x , а, положив z  y , получим dy  y . Формула для dz примет вид:
z
z
dz  dx  dy .
(2)
x
y
Пример
6.
Найти
полный
дифференциал
функции
3
z  sin y 4   e5 x  xy 2 .
z  z
Решение. Найдем
,
.
x  y
3
z
z
 cos y 4  4 y 3  2 xy .
 e 5 x  15 x 2  y 2 ;
y
x
частными дифференциалами, а выражение dz 


Тогда dz  e5 x  15x 2  y 2 dx  cos y 4  4 y 3  2 xy  dy .
3
4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Определение 7. Касательной плоскостью к поверхности в точке M 0
называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым,
проведенным на поверхности через точку M 0 .
Определение 8. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая
через точку касания M 0 и перпендикулярная касательной плоскости.
Если поверхность задана неявно, т. е. ее уравнение F x, y, z   0 , тогда
уравнение касательной плоскости в точке M 0 x0 , y0 , z0  к поверхности имеет
вид:
F
F
F
(3)
M 0  x  x0  
M 0  y  y0  
M z  z0   0
x
y
z 0
F
F
F
где
– значения частных производных функций,
M0 ,
M0 ,
M
y
x
z 0
вычисленных в точке M 0 x0 , y0 , z0  , а x , y , z – текущие координаты точки
касательной плоскости.
Уравнение нормали к поверхности в точке M 0 x0 , y0 , z0 
записывается в виде:
x  x0 y  y 0 z  z 0


(4)
F
F
F
M
M
M
x 0 y 0 z 0
Если уравнение поверхности задано явно, т. е. z  f x, y , то
формулы (3) и (4) примут вид:
f
f
(5)
M 0  x  x0  
M  y  y0   z  z 0
x
y 0
9
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
(6)
f
f
1
M
M
x 0 y 0
Пример 7. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности 3xyz  z 3  1 в точке M 0 0; 1 .
Решение. Определим третью координату точки касания, подставив
x  0 , y  1 в уравнение поверхности. Получим  z 3  1, откуда z  1 . Таким
образом, точка касания имеет координаты M 0 0; 1;1 .
Перепишем уравнение в виде F x, y, z   3xyz  z 3  1 и найдем
частные производные:
F
F
F
 3xz ;
 3zy ;
 3xy  3z 2 .
y
x
z
Подсчитаем их значения в точке M 0 0; 1;1 :
F
F
F

0
;
;


3
M
M
M  3 .
y 0
x 0
z 0
Применяя формулы (3) и (4), получим:
 3x  0  0 y  1  3z  1  0 или  3x  3z  3  0 .
Итак, x  z  1  0 – уравнение касательной плоскости,
x  0 y 1 z 1
– уравнение нормали.


3
0
3
Нуль в знаменателе означает, что направляющий вектор нормали, а
значит и сама нормаль перпендикулярны оси OY .
5. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
z  f x, y 
Определение
9.
Функция
имеет
в
точке
M 0 ( x0 , y0 ) максимум (или минимум), равный f x0 , y0  , если в окрестности этой
точки для всех точек M , отличных от M 0 , выполняется неравенство
f x, y   f x0 , y0  или  f x, y   f x0 , y0 .
Максимум и минимум функции называется ее экстремумами. Точка
M 0 , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
5.1. Необходимое условие экстремума
Если дифференцируемая функция z  f x, y  достигает экстремума
в точке M 0 x0 , y0  , то ее частные производные первого порядка в этой точке
равны нулю, т. е.
 f
 x M 0  0
(7)
 f
 M0  0
 y
10
Точки, в которых частные производные обращаются в нуль,
называются стационарными точками. Следует заметить, что не всякая
стационарная точка является точкой экстремума. Каждая их этих точек должна
быть проверена на экстремум с помощью достаточных условий.
5.2. Достаточные условия экстремума
Пусть точка M 0 x0 , y0  – стационарная точка функции z  f x, y .
Обозначим
2 f
2 f
2 f
B
C  2 M0 .
(8)
A  2 M0 ;
M ;
xy 0
y
x
Составим выражение   AC  B 2 . Тогда, если:
1)   0 , то функция имеет в точке M 0 x0 , y0  экстремум, а именно
максимум при A  0 (или C  0 ) и минимум при A  0 (или C  0 );
2)   0 , то в точке M 0 x0 , y0  экстремума нет;
3)   0 , то требуются дальнейшие исследования.
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию z  x 3  xy 2  6 xy .
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
 z x  3x 2  y 2  6 x
.


z

2
xy

6
x
y

Приравняем z x и z y к нулю и решим полученную систему уравнений:
3x 2  y 2  6 x  0
.

2
xy

6
x

0

Из второго уравнения 3x y  3  0  x  0 , y  3 .
Подставим полученные уравнения в первое уравнение, имеем для x  0
2
y  0  y  0 . Для y  3 получаем 3x 2  9  18  0 или x   3 .
Получим три точки, в которых может быть экстремум M 0 0, 0 ,


M 1  3,  3 , M 2  3,  3.
Найдем A , B , C по формулам (8):
A M0  0 ,
A M1  6 3
z xx  6 x ,
z xy  2 y  6 ,
B M0  6 ,
z yy  2 x ,
C
M0
A M2  6 3 .
B M1  2  3  6  0
 0,
C
M1
B M2  0 .
 2 3
C
M2
2 3.
Тогда  M 0  36  0 – экстремума в точке M 0 – нет,


 M1  6 3   2 3  0  36  0 – экстремум есть,
 M 2  6 3  2 3  0  36  0 – экстремум есть.
Выясним, какой экстремум в точках M 1 и M 2 . Это определяется по знаку


второй производной по переменной x . И так как в точке M 1  3,  3 A  0 , в
ней будет максимум, а в точке M 2  3,  3 A  0 , то в ней – минимум.
11
Z max  Z ( 3,3)  3 3  3 * 9  6 * 3 * 3  6 3
Z min  Z ( 3,3)  3 3  9 3  18 3  6 3
6. ГРАДИЕНТ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Определение 10. Градиентом функции z  f x, y  в точке М(х. у)
называется вектор, выходящий из точки M и имеющий своими координатами
частные производные функции z в этой точке:
z  z 
grad z(M) =
(9)
Mi 
M j.
x
y
Если имеем функцию трех переменных u  ux, y, z  , то
 u
 u

u
grad u(M) =
│M· i +
│M· j +
│M· k .
y
x
z
Чтобы ввести понятие производной по направлению, рассмотрим
функцию z  f x, y  в некоторой области, содержащей точку x, y  и

единичный вектор Q  cos , cos   любого направления.
Если функция z  f x, y  дифференцируема в точке x, y  , то
производная по направлению вычисляется по следующей формуле:
z z

 x
M
cos  
z
y
M
cos  .
(10)
Производная по направлению характеризует скорость изменения

функции в точке x, y  в направлении вектора a . Из векторной алгебры

известно, что cos и cos  есть направляющие косинусы вектора a , поэтому
x
y

если a  x, y, то cos 
;
(11)
cos


x2  y2
x2  y2
Пример 9. Найти grad z в точке A3; 4 и производную в точке A в



направлении вектора a  6i  8 j , если z  x 2  y 2 .
Решение. Найдем частные производные функции z и подсчитаем их
значения в точке A3; 4 :
z
2x
z
3
3
;
 ;

A 
2
2
x
9  16 5
x 2 x  y
z
4
.
A 
y
5
3 4 
По формуле (9) grad z  i  j .
5
5
Чтобы найти производную по направлению

направляющие косинусы вектора a , используя формулы (11):
6
3
4
4

cos 
 , cos  
.
5
36  64
36  64 5
z
2x
;

y 2 x 2  y 2
(10),
найдем
12
Найдем производную по направлению:
z z
z

A cos  
A cos  ,
a x
y
z 3 3 4  4 
7
        ;
a 5 5 5  5 
25
z
7
  .
a
25
7. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате эксперимента получена таблица значений
функции y для ряда значений независимой переменной x :
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
…
…
xn
yn
Если точки M 1 x1 , y1  , M 2 x2 , y2  , M 3 x3 , y3  , … , M n xn , yn 
примерно располагаются на одной прямой, это означает, что зависимость
между x и y близка к линейной: Y  ax  b . Подберем неизвестные
коэффициенты a и b так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом
описывала рассматриваемый процесс.
Широко распространенным методом решения данной задачи
является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем.
Рассмотрим сумму квадратов разностей значений yi , даваемых
экспериментом, и функции Yi  axi  b в соответствующих точках, т. е.
n
n
i 1
i 1
2
2
 Yi  yi    axi  b  yi  .
Подбираем параметры a и b так, чтобы эта сумма имела наименьшее
значение. Поскольку xi и yi – постоянные, то указанная сумма есть функция
параметров a и b :
n
a, b    axi  b  yi  .
2
i 1
Чтобы найти значения параметров a и b , воспользуемся необходимыми
условиями экстремума функции двух переменных: найдем частные
производные от a, b  по переменным a и b и приравниваем их к нулю:
n

 2 axi  b  yi xi  0 ,
a
i 1
n

 2 axi  b  yi   0 .
b
i 1
Параметры a и b найдем из этой системы. Для этого перепишем ее в
следующем виде:
13
n
n
2
 n


a
x

b
x

xi yi



i
 i 1 i
i 1
i 1
(12)

n
n

a  xi  bn   yi
i 1
i 1

Для определения чисел a и b получили систему двух уравнений
перовой степени. Можно доказать, что эта система всегда имеет единственное
решение и что для найденных чисел a и b функция a, b  достигает
минимума. Подставляя найденные значения a и b в уравнение Y  ax  b ,
получим линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость
между величинами a и b , полученными из опыта.
Пример 10. Полученные из опыта значения функции при различных
значениях независимой переменной приведены в таблице:
0
1
1,5
2,1
3
x
(13)
y
2,9
6,3
7,9
10 13,2
Методом наименьших квадратов найти функцию y  f x  в виде
Y  ax  b .
Решение. Для решения этой задачи составим таблицу.
xi
yi
xi  yi
xi2
1
0
2,9
0
0
2
1,0
6,3
1
6,3
3
1,5
7,9
2,25 11,85
4
2,1 10,0 4,41
21
5
3,0 13,2
9,0
39,6
∑
7,6 40,3 16,66 78,75
Воспользуемся для нахождения параметров a и b системой (12), в
которой
5
 xi  7,6 ;
i 1
n
 yi  40,3 ;
i 1
n
 xi2  16,66 ;
i 1
n
 xi yi  78,75 ;
i 1
16,66a  7,6b  78,75
.

 7,6a  5b  40,3
Решим систему. Для этого выразим b из второго уравнения:
5b  40,3  7,6
b  40,3  7,6/ 5
Подставим в первое уравнение:
7,6
40,3  7,6a   78,75
16,66a 
5
16,66a  61,25b  11,552a  78,75
5,108a  17,494
a  3,42 .
40,3  7,6  3,42
 2,86 .
Отсюда b 
5
получим
14
Итак, a  3,42 ,
b  2,86 , и, следовательно, искомая функция
имеет вид:
(14)
y  3,42 x  2,86 .
Правильность вычислений легко проверить, сделав чертеж. На
координатной плоскости строим точки (х, у) (табл. 13) и график полученной
прямой (14). В случае верного решения точки будут расположены близко к
прямой. (Рис. 3)
Рис. 3
8. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение 11.Функция F x  называется первообразной для f x  ,
на интервале (a,b), если для любого x  (a, b)
выполняется равенство:
(15)
F x   f x 
или
(16)
dF x   f x dx
x   5x
Пример 11. F x   x 5 есть первообразная для f x   5x 4 , так как
или 5 x 4 dx .
Пример 12. F x   sin 2 x есть первообразная для f x   2 cos 2 x , так

как sin 2 x   2 cos 2 x или d sin 2 x   2 cos 2 x .
Всякая непрерывная функция f x  имеет бесчисленное множество
первообразных, которые отличаются друг от друга на константу.
Так в 11-м примере для f x   5x 4 первообразной будут, кроме
1
F1 x   x 5 , F2 x   x 5  1 , F3 x   x 5  3 , F4  x   x 5  , и другие. Все они
2
удовлетворяют условию (15) и (16). Вообще в общем виде можно записать
5
4
15
первообразную в виде F x   x  c , где c – произвольная постоянная.
Действительно,

F x   x 5  c   5 x 4  f x 
или
dF x   F x dx  5x 4 dx  f x dx .
Определение 12. Общее выражение F x   c совокупности всех
первообразных для функции f x  называется неопределенным интегралом от
этой функции и обозначается:
(17)
 f x dx  F x   c .
При этом d F x   c  f x dx , где
f x dx – подынтегральное выражение,
f x  – подынтегральная функция.
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют
интегрированием.
Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную
дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (15)
соответствуют формула интегрирования (17).
1
 1
Пример 13. d  sin 2 x  c   cos 2 x 2dx  cos 2 xdx
2
 2
1
  cos 2 xdx  sin 2 x  c ,
2
где c – const.
Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу
можно проверить дифференцированием.
Таблица основных интегралов
1.  adu  au  c
( a  R , c – const, u  ux )
5
u m1
2.  u du 
c
m 1
du
2.1. 
2 u c
u
du
 ln u  c
3. 
u
au
u
c
4.  a du 
ln a
5.  eu du  eu  c
m
6.  cosudu  sin u  c
7.  sin udu   cosu  c
8.
du
 cos2 u  tgu  c
(для любого m  1)
2.2.
du
 u2
c
( a  R , a  0 , a  1)
16
9.
du
 sin 2 u  ctgu  c
10.

u

arcsin
c

du
a

a 2  u 2  arccosu  c
a

u
 1
arctg
c

du
a
a
11.  2 2  
1
u
а u
 arcctg  c
a
 a
12.

13.

1)
du
u2  a2
du
(aR)
(aR)
 ln u  u 2  a 2  c
1 ua
ln
c
u 2  a 2 2a u  a
При интегрировании используются свойства интегралов.
Свойства интегралов
d  f x dx   f x dx

 dF x   F x   c , в частности,  dx  x  c
 d sin x  sin x  c ,
 d ln x  ln x  c
3)
 k  f x dx  k  f x dx , где k  const
4)
  f x   g x dx   f x dx   g x dx
2)
Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
9. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Существуют три способа интегрирования: непосредственное,
заменой переменной и по частям.
9.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное
интегрирование
состоит
в
том,
что
подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с
использованием формул алгебры и тригонометрии, а также, используя свойства
(3) и (4), сводят к табличным интегралам.
Рассмотрим несколько примеров.
3x 31
3
3
3
 x  c  x4  x  c .
Пример 14.  3x  1dx  3 x dx  3 dx 
3 1
4
(Использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, u  x ).
Правильность ответа проверяем дифференцированием:
3

3 
d  x 4  x  c   d  x 4   dx  d c   3x 3  1dx .
4

4 
17
3 x
dx
dx
dx
 3 1
dx    2  dx  3 2    3 x 2 dx   
2
x
x
x
x
x
x
21
x
3
3
 ln x  c    ln x  c .
 2 1
x
(Свойства 3, 4; табличные интегралы 2.2 и 3).
Пример16.
1
2 t
2 t
 cos 2 dt  используем формулу cos 2  2 1  cost 
1
1
1
1 1
  1  cost dt   dt   costdt  t  sin t  c .
2
2
2
2 2
(Свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 6).
Пример 15.

9.2. Метод замены переменной (подстановки)
Для вычисления интеграла  f x dx сделаем замену x   t  , где
 t  выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой
переменной t , получился интеграл, который берется непосредственно.
Предварительно находим dx   t dt , тогда
(18)
 f x dx   f  t  t dt .
После нахождения первообразной F t  необходимо вернуться к
первоначальной переменной « x ».
x  t2

xdx
t  2tdt
t 2 dt
t 2  1  1
Пример 17. 


 2
 2
dt 
t 1
t 1
t 1
x  1 dx  2tdt
1 
dt
t2

 2  t  1 
dt

2
tdt

2
dt

2

2
 2t  2 ln t  1  c 




t

1
t

1
2


x  2 x  2 ln x  1  c .
x 1 t
2

x2
t  1
t 2  2t  1
dx  dx  dt   10 dt  
dt 
Пример 18. 
t
t 10
x  110
x  t 1
t 7 2t 8 t 9
1
1
1
 t dt  2 t dt   t dt   7   8   9  c   7t 7  4t 8  9t 9  c 
1
1
1



c.
7
8
9
7x  1 4 x  1 9x  1
Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной
заменой:
2
2
x  a sin t ;
dx  a costdt ;
 R x, a  x dx ,
8
9

 R x,
a2  x2
10

dx ,
x  atg t ;
dx 
a
dt ;
cost
18
 R x,


x 2  a 2 dx ,
x
a
;
sin t
dx 
 costdta
dt .
sin 2 t
Пример19.
x  sin t
xdx
sin t costdt
sin t costdt



  sin tdt 


2
2
dx

cos
tdt
cos
t
1 x
1  sin t
  cost  c  t  arcsin x   cosarcsin x   c   1  x 2  c ,
т. к. cosu  1  sin 2 u .
Формулой (18) часто пользуются справа налево:
(19)
 x   t .
 t x  x dx   f t dt ,
При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального
выражения должен быть дифференциал функции f x  .
Такой метод называется подведением под знак дифференциала
(19’)
 f  x  x dx   f  x d  x .
При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей
дифференциалов.
Таблица дифференциалов
1
aR
1. du  d au  c  ,
c – const, u  ux ,
a
1
2. u m 
d u m1  c 
m 1
m 1
du
3.
 d ln u  c 
u
d a u  c 
u
a  0,
a  1,
aR
4. a du 
,
ln a
5. eu du  d eu  c 
6. sin udu  d cosu  c 
7. cosudu  d sin u  c 
du
 d tgu  c 
8.
cos2 u
du
 d ctgu  c 
9.
sin 2 u
u
 

d  arcsin  c 

du

a
 ,
 
aR
10.
2
2
u


a u
d   arccos  c 
 
a

u
 1 

d  arctg  c 

du
 a 
a
 ,

aR
11. 2
 1
2
u


a u
 d  arcctg  c 
 a 
a

19
Пример 20. Найти интеграл:  sin 4 xdx .
Решение.
1
1
Согласно таблице дифференциалов, dx  d ax  c , dx  d 4 x  .
4
a
1
1
1
 sin 4 xdx   sin 4 x 4d 4 x   4  sin 4 xd 4 x   4 x  u  4  sin udu 
1
1
 cosu  c   cos 4 x  c .
4
4
dx
Пример 21. 
.
5  6x
1
Решение. По таблице дифференциалов, 1, dx  d ax  c , положим
a
1
a  6 , c  5 , u  x , dx   d  6 x  5.
6
dx
1 d 5  6 x 
1 du
1
1
 5  6 x   6  5  6 x  u  5  6 x   6  u    6 ln u  c   6 ln 5  6 x  c
.
ln 2  x  1
Пример 22. 
dx – можно найти двумя способами:
x 1
1 способ.
dx  d  x  1
ln 2 x  1
2
 x  1 dx  dx  d x  1  d ln x  1    ln x  1d ln x  1  
x 1
x 1
u3
1
ln x  1  u   u 2 du   c  ln 3 x  1  c ;
3
3
ln  x  1  t
ln 2 x  1
t3
1
2 способ. 
dx  dx
  t 2 dt   c  ln 3  x  1  c .
 dt
x 1
3
3
x 1
3 arctgx  8
Пример 23. 
dx .
1  x2
1
4
arctgx  8  u
3 arctgx  8
3 3
3
3
dx
1 способ. 
dx 
  u du   u du  u  c 

du
1  x2
4
1  x2
4
3
8
arctgx  8  c ;
4
2 способ.
dx
3 arctgx  8
 d arctgx  8
  3 arctgx  8d arctgx  8 
 1  x 2 dx  1  x 2
( табл. диф - ов, 11)
4
3
arctgx  83  c .
4
20
Пример24.
 tgxdx  
sin xdx sin xdx  dcos x 
dcos x 

 

cos x
cos x
 ln cos x  c .
9.3. Метод интегрирования по частям
(20)
 udv  uv   vdu
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом
имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например,
2 x
x
 x e dx или  x  1ln xdx ,  xarctgxdx или  e sin 2 xdx .
udv – это все подынтегральное выражение, часть которого мы
обозначаем за u , а часть за dv . При этом:
1)
за u принимается функция, которая дифференцированием
упрощается;
2)
за dv – та часть, интеграл от которой известен или легко может
быть взят;
3)
в состав dv обязательно входит dx .
В итоге верного выбора u и dv интеграл в (20) должен быть проще
исходного.
u  2 x  1 dv  e x dx
x
Пример 25.  2 x  1 e dx 
 2 x  1 e x   2e x dx 
x
du  2dx
ve
2 x  1 e x  2e x  c  2 x  1 e x  c .
Замечание. Метод интегрирования по частям может применяться в
одном примере несколько раз.
Замечание. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к
уравнению искомого интеграла  f x dx  u  v  k  f x dx , k  1, если
J   f x dx , то получаем уравнение: J  uv  kJ , откуда
J  kJ  uv 
uv
1  k J  uv

J
1
uv
k 1
или
 f x dx  k  1  c .
Пример 26.  e x cos xdx – решить методом интегрирования по
частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:
1
J  e x cos x  sin x   c .
2
Только по частям берутся интегралы:
m -ой
u  Pm x   a0 x m  ...  am
а)  Pm x cos xdx ,
многочлен
степени, в частности одночлен.
 Pm x sin  xdx ,
21
 Pm x e
x
dx ,
б)  Pm x arcsin xdx ,
 Pm x arctgxdx ,
n
 Pm x ln xdx ,
cos xdx

dv   sin  xdx ,
 ex dx

arcsin x

u   arctg x ,
 ln n x

dv  Pm x dx ,
в)  ex sin  xdx ,
 sin  x
,
u
cos

x

u  ex ,
 sin  xdx
или dv  ex dx .
dv  
cos  xdx
Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.
u  ln 3x dv  x 2  x dx
Пример 27.  x 2  x ln 3x dx 
dx
x3 2x x 
du 
v

x
3
3
3
1
1 x  2x x
1
1
2
 x 3  2 x x ln 3x  
dx  x 3  2 x x ln 3x   x 2 dx   xdx 
3
3
x
3
3
3
x
e
cos  xdx ,








1 3
x3 4x x
 x  2 x x ln 3x  
 c.
3
9
9
Рассмотрим отдельные классы
интегрирования.


функций
и
способы
их
10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
10.1. Простейшие дроби, их интегрирование
К простейшим дробям относятся дроби вида:
Ax  B
p2
A
A
D

 q  0,
1.
,
2.
,
3.
,
при
4
x 2  px  q
xa
x  a k
Ax  B
p2
 q  0 ( A , B , a , p , q  R , k  N ).
4.
, при D 
4
x 2  px  q k
При интегрировании дробей типа 1 – 2 достаточно ввести
подстановку x  a  u , dx  du (или dx  d x  a ), тогда
Adx
dx
du
1.
 x  a  A x  a  A u  A ln u  c  A ln x  a  c ;
22
Adx
d x  a 
u  k 1
A
k

A

A
u
du

A
c
 c,
 x  a k  x  a k

1 k
1  k x  a k 1
2.
( k  1).
Чтобы проинтегрировать дроби типа 3 – 4, необходимо выделить полный
квадрат из квадратного трехчлена, затем свести интеграл к табличному.
dx
Пример 28.  2
.
2x  4x  3
Решение. Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
2
2
2 x  4 x  3  2x 2  2 x   3  2x 2  2 x  1  1  3  2x  1  2  3  2x  12   1
.
dx  d x  1
dx
dx
=


 2x2  4x  3 
2
2x  1  1 (ттабл диф - ов, 1)
d x  1
1
du
1 1
u
1
x 1



arctg

arctg
c
 2 x  12  0,5 2  u 2  0,5 2 0,5
0,5 2 0,5
0,5
(табл. интегр., 11).
Замечание. При интегрировании дробей типа 3 – 4 можно
воспользоваться справочником.


10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
P x 
Определение 13. Дробь m
называется рациональной, где Pm x  ,
Qn  x 
Qn x  – многочлены m -ой и n -ой степеней.
Если m  n , дробь неправильная.
Если m  n , дробь правильная.
Неправильную дробь представляют в виде суммы целой части и
правильной дроби. Операция выделения целой части может быть выполнена
делением числителя на знаменатель.
x3  2x 2  1
Пример 29. Дробь
неправильная ( m  3 , n  2 , m  n ).
x2  1
Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.
x3  2x 2  1 x 2  1
x3  2x 2  1
x 1
3
x x
.
x2

x

2

x2  1
x2  1
2x 2  x  1
2x 2
2
 x 1
x3  4x
Пример 30. Дробь
правильная, т. к. m  3 ,
x  12 x  3x  6
n  4, m  n .
2x  4
Пример 31. Дробь
неправильная ( m  1 , n  1 , m  n ).
3x  6
23
2 x  4 3x  6
2x  4 2 3
8
2x  4 2
8
.
 
3x  6 3 3x  6
10.3. Разложение правильной дроби
Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть
представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.
B x 
Пусть дробь m
правильная. Разложим знаменатель дроби Qn x 
Qn  x 
на множители. Найдем его корни, т. е. значения x , при которых знаменатель
обращается в нуль. Тогда многочлен Qn x  разложится на множители:
Qn x   A0 x n  A1 x n1  ...  An  A0 x  a x  b  ... x 2  px  q , где
a, b – действительные корни многочлена. Множитель x 2  px  q не
p2
 q  0.
разложим на линейные множители, т. к. D 
4
Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется
корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя
соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая
дробь соответствует:
x  a   A
xa
x  a k  A1  A2 2  ...  Ak k
x  a  x  a 
x  a 
2
x 2  px  q   2 Ax  B , если D  p  q  0 .
4
x  px  q
x 2  px  q k  2A1 x  B1  2A2 x  B2 2  ...  2Ak x  Bk k ,
x  px  q x  px  q 
x  px  q 
p2
 q  0.
если D 
4
A1 , A2 , Ak ... , B1,... – пока неизвестные коэффициенты.
Разложить на простейшие дроби.
x 1
A
B
C


 .
Пример 32.
x  2x  3x x  2 x  3 x
Пример33.
A3
A
A2
B B
2  3x
 1 

 1  22 
3 2
2
3
2
x  1 x x  x  2 x  1 x  1 x  1 x x
C x  C2
 21
x x2
2
x  x  2  0 – не имеет действительных корней, т. к. D  0 .
24
1
x
2
2

1

 4 x 2  3x x 3 x 2  4 x 4 x  3
A1 A2 A3 A4
C x  D1 C2 x  D2
B
.
 2  3  4 
 12
 2
x x
x
x
x3
x 4
x 4
x2  3
x2  3
Пример 35. 2
x  2 x  1x 2  3x  10  x  12 x 2  3x  10 
Пример 34.
2
A1
A2
Bx  C
,

 2
2
x  1  x  1
x  3x  10
x 2  3x  10  0 – не имеет действительных корней, т. к. D  0 .

10.4. Нахождение коэффициентов
I способ.
Qm x 
A
B
Cx  D
, m n, D  0.


 ...  2
Pn x  x  a x  b
x  px  q
Написанное равенство есть тождество, а поэтому:
а) приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные
многочлены в числителях справа и слева;
б) приравняем числители;
в) а затем их коэффициенты при одинаковых степенях;
г) получим систему уравнений для определения коэффициентов.
Пример 36. Рассмотрим пример 32.
а) Приведем дробь к общему знаменателю:
x 1
x 2  A  B  C   x3 A  2 B  C   6C

.
xx  2 x  3
xx  2 x  3
б) Приравняем числители:
x 2  A  B  C   x3 A  2B  C   6C  x  1.
в) Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
x2 A  B  C  0
x 3 A  2B  C  1
x0
 6C  1
Пусть
г) Решив систему, получим:
2
1
A  0,3 ;
B ; C .
6
15
Получили разложение
x 1
3
2
1



.
xx  2 x  3 10x  2  15x  3 6 x
II способ.
Приравняем многочлены в числителях слева и справа, как в I
способе:
д) Придадим x частные значения, вычислим значения многочленов.
Получим также систему с неизвестными коэффициентами.
25
В качестве x удобно брать те значения, при которых знаменатель
обращается в ноль.
2x  1
A
B
C



Пример 37.
,
x  1x  2x  3 x  1 x  2 x  3
2x  1
Ax  2 x  3  Bx  1x  3  C x  1x  2

а)
x  1x  2x  3
x  1x  2x  3
б) 2 x  1  Ax  2x  3  Bx  1x  3  Cx  1x  2
1
д) x  1
3  A3 4  0  A 
4
x  2
 3  A  0  B 3  B  1
5
 5  0  C   4   - 1  C  
x  3
4
2x  1
1
1
5



В итоге
.
x  1x  2x  3 4x  1 x  2 4x  3
III способ.
Комбинируют I и II способы.
10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо:
1)
Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь
неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.
2)
Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших
дробей.
3)
Найти неизвестные коэффициенты.
4)
Проинтегрировать простейшие дроби.
x3  1
Пример 38.  3 dx  J .
x 1
3
x 1
Дробь 3
неправильная,

x 1
x3  1 x3  1
x3  1 1
2
x3  1
2

1

x3  1
x3  1
2
Дробь  3
– правильная, разложим знаменатель дроби на множители:
x 1
D  1  4  3  0
x 3  1  x  1 x 2  x  1,
2
A
Bx  C
2
2x  4





x  1 x 2  x  1 x  1 x 2  x  1 x  1 3x 2  x  1
 2  Ax 2  x  1  Bx  C x  1   A  B x 2  C  A  B x  A  c
26
B   A; C  2  A
2
 A  2  A  A  0  3A  2
 A
3
2
4
B ; C
3
3

2
2x  4 
2
2
2x  1
J   1 

arctg

dx  x  ln x  1 
2




3
x

1
3
x

x

1
3
3
3


1
 ln x 2  x  1  c .
3
x2
A B0 

x  A  C  B  0
x 0 A  C  2 
11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
Основным методом решения интегралов от иррациональных
выражений является метод замены переменной.
Цель замены – преобразовать данное иррациональное выражение к
рациональной дроби.
 dt
 2
при a  0
dx
t  d2
1.
сводится
к
,
 dt
 2
при
a

0
ax  bx  c

 d 2  t 2
предварительно необходимо выделить полный квадрат под знаком корня,
сделать замену и проинтегрировать по таблице интегралов, 10 и 12.
Пример 39.
dx
dx
dx






2
2
3 9
 x  3x  2
 x  3x   2

  x 2  3x     2
4 4

x  1,5  t
dx
dx




2
dx  dt
9 9
 2


0
,
25

x

1
,
5
  x  3x     2
4 4

dt
t


arcsin
 c  arcsin 2x  1,5  c .
0,5
0,25  t 2
2.
1)
2)

Ax  B
ax 2  bx  c
.
Числитель представлен как производная подкоренного выражения.
Разбить на два интеграла, один из которых степенной, а другой вида
1.
Пример 40.

хdx
x 2  2x  2
хdx
Решение:

x 2  2x  2
=
1
dx
1 2x  2dx

2


2  x 2  2x  2 2  x 2  2x  2
27
│(х2 + 2х +2)' = 2х + 2│
1

1
  x 2  2 x  2 2 d x 2  2 x  2  
2
- ln x  1 
x  12  1  С 
d x  1

1
 2 x 2  2x  2

x  12  1 2

1
2

x 2  2x  2  ln x  1  x 2  2x  2 + С.
  ax  b   ax  b   
ax  b s
3.  R  x, 
подстановка
t ,
 ,
 
cx

d
cx

d
cx

d






s – наименьший общий знаменатель дробей  и  .
1  x 2  1  x 3 dx
1 x  3 1 x
dx


1
4
1 x
1  x 4
1
Пример 41. J  
1
1
1
ax  b
1
играет 1  x ,   ;   ;   , наименьший
2
4
cx  d
3
общий знаменатель этих дробей 12 , следовательно, подстановка 1  x   t 12 ,
вычислим dx  12t 11dt
Здесь роль
t   t  12t
J 
t 
1
12 2
1
12 3
1
12 4
11
dt  12
t
6
 t 15 t 13 
 t 4 t 11
14
12
    c 


dt

12
t

t
dt

12

t3
 15 13 
1
1
15
13 
 12 12 1  x   12 1  x    c .
13
 15

x  atg t ;
4.  R x, a 2  x 2 dx ,

 Rx,
 Rx,
a2
x2

 x dx ,
 a dx ,
2
x  a sin t ;
2
x
a
.
sin t
5.  x m a  bx n  dx – дифференциальный бином интегрируется в трех
случаях:
1) p – целое, p  0 – интегрируется непосредственно,
p
p  0 – подстановка x  t  , где  – общий знаменатель
дробей
m и n;
m 1
n
s
– целое (  0 ,  0 ,  0 ) подстановка a  bx  t , где s –
n
q
знаменатель дроби p  ;
s
2)
28
3)
m 1
 p – целое (  0 ,  0 ,) подстановка a  bx n  t s x n .
n
Пример 42.  x 7 1  x 4 dx   x 7 1  x
m  7; n  4; p 
 dx  m  1
1
4 2
n

1
2
7 1
 2 - целое
4
1 x  t
1
4 x 3 dx  2tdt
1 2
1 4 2
1  t5 t3 
3
4
4 2






  x  x 1  x dx   t  t  1 tdt   t  t dt       c 
2
2
2 5 3
x4  t 2  1
t  1  x4
4
1 

2

1  x 
4 5
5
2

1  x 
4 3
3

  c.


12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
x
1.  Rsin x, cos x dx решается универсальной подстановкой tg  t ,
2
2
1 t
2t
2dt
, cos x 
;
.
 sin x 
dx 
2
2
1 t
1 t2
1 t
dx
2dt
2dt
Пример 43. 




2
2
3 sin x  cos x
t

6
t

1


2
t
1

t
1  t 2 3 2  2 
1 t 
 1 t
x
tg  3  10
dt
2
t  3  10
1
 2

ln

c

ln 2
 c.
2
10 tg x  3  10
t  3  10 2 10 t  3  10
2
В некоторых случаях полезнее использовать подстановки, которые
дают лучший результат, чем при использовании универсальной подстановки.
2. Если в подынтегральном выражении при замене sin x на  sin x  и
cos x на  cos x  функция не меняет своего знака, т. е. если
 Rsin x, cos x dx   R sin x, cos x dx ,
то применяют подстановку tg x  t .
dt
tg x  t x  arctg t dx 
dx
1 t2 

Пример 44.  2
t
1
sin x  2 sin x cos x  1 sin x 
,
cos
x

1 t2
1 t2
29

dt



t
1
 2



1
2
2
 1  t 2 

1 t
1 t


1  t 
2
2
t

dt

2t  2t  1
2
1
dt
1
  2arctg 2t  1  c  arctg 2tg x  1  c .

2
2  1
1 2
t   
4
 2
3. Если  Rsin x, cos x dx   R sin x, cos x dx , т. е. при замене sin x на
(  sin x ) подынтегральная функция меняет знак, то подстановка cos x  t .
Пример45.
cos x  t
1  t 2    dt  
sin 3 xdx
sin 2 x  sin xdx



sin
xdx

dt

 1  cos x  1  cos x

1 t
2
2
sin x  1  t

t2 1
t2
1
dt   t  1dt   t  c  cos2 x  cos x  c .
t 1
2
2
4. Если  Rsin x, cos x dx   Rsin x, cos x dx , т. е. при замене cos x на
 cos x подынтегральная функция меняет знак, то подстановка sin x  t .
Пример46.
sin x  t
cos xdx
dt


 1  sin 2 x cos xdx  dt  1  t 2  arctg t  c  arctg sin x  c .
1  cos 2 x
1  cos 2 x
5.  cosn xdx ;
при n – четном, sin 2 x 
; cos2 x 
2
2
n
при n – нечетном по правилу 3 или 4.
 sin xdx ;

 1  cos 2 x 
Пример 47.  cos xdx   cos x  dx   
 dx 
2


1
1
1
1 1  cos 4 x
  1  2 cos 2 x  cos2 2 x dx  x  sin 2 x  
dx 
4
4
4
4
2
1
x sin 4 x 
  x  sin 2 x  
  c.
4
2
8 
Пример48.
1  cos6 x
1
1
1
sin 6 x
2
 sin 3xdx   2 dx  2  dx  2  cos6 xdx  2 x  12  c .
Пример 49.  cos3 xdx   cos2 x  cos xdx   1  sin 2 x d sin x  sin x  t 
2
4
2
2
t3
sin 3 x
  1  t dt  t   c  sin x 
c.
3
3
1
6.  sin ax cosbxdx   sin a  b x  sin a  b xdx ,
2
1
 sin ax sin bxdx  2  cosa  b x  cosa  b xdx ,
2
30
 cos ax cosbxdx  2  cosa  b x  cosa  b xdx .
1
Пример50.
1
1 1

 sin 3x cos 4 xdx  2  sin 7 x  sin x dx  2   7 cos7 x  cos x   c .
13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ,
ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция f (x) , причем знак
f (x) на [a,b] безразличен. Составим для нее интегральную сумму. Для
этого разобьем произвольным способом числовой отрезок [a,b] на “n” малых
отрезков с помощью промежуточных значений x1 , x2 ,.....xn и обозначим длины
этих отрезков xk  xk  xk 1 k  1,2,....n .
Выберем в каждом отрезке произвольные числовое значение x  xk ,
вычислим соответствующие значения f ( xk ) функции f (x) и составим
произведения f ( xk )  xk . Сумма  n всех таких произведений называется
интегральной суммой для функции f (x) , составленной на отрезке [a,b].
n
 т   f ( xk )xk
(21)
k 1
Определение 14. Определенным интегралом
b
 f ( x)dx
от функции f (x) на
a
отрезке [a,b] называется предел к которому стремится интегральная сумма (21),
когда наибольшая из длин элементарных отрезков стремится к нулю:
b

a
f ( x)dx 
n
lim
max xk 0
 f (x
k 1
k
)x k .
a и b – нижний и верхний пределы интегрирования;
[a,b] – отрезок интегрирования;
f (x) - подынтегральная функция;
f ( x)dx - подынтегральное выражение;
x – переменная интегрирования.
Если: 1) a и b конечны;
2) f x  непрерывна на a, b и имеет первообразную F x  , то
определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен
по формуле Ньютона-Лейбница:
b
 f x dx  F x  a  F b   F a .
b
a
 x 3 5x 2  1 1 5   1 5  2
   
  .
Пример 51.  x  5 x dx   
2  1 3 2  3 2  3
1
 3
1
2

Интегралы а)
 f x dx ;
a

b
б)
 f x dx ;

в)
 f x dx

(21’)
31
относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не
выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и
б) или оба (случай в)) не являются конечными, а условие (2) выполнено.
Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (21’), при этом
F   считается как предельное значение, которое может быть конечным,
бесконечным или не иметь смысла.
Пример52.

b

dx
2 x  lim 2 x  2  4   .
 x  2 x  F    F 4  lim
b
b
4
4
4
2
1 1 d x 2  1
1
 
  x 2  1

Пример 53. 
3
3
2
2  x 2  1
4
 x  1

1


1
1
1
1
1

.
lim  



lim



0


2
2
2
2

a 
a 
2

4
8
8
4a  1
 4x  1 a 
Пример54.


dx
  
arctg b  lim arctg a        .
 1  x 2  arctg x  lim
b
a 
2  2


Если в результате вычислений получили конечное число, то
несобственный интеграл называется сходящимся (примеры 53, 54), в противном
случае интеграл расходится (пример 52).
1
1
xdx
b
Те интегралы
 f x dx , для которых не выполняется условие (2), а
a
условие (1) выполнено, относятся к несобственным интегралам II-го рода, а
функция f x  имеет бесконечный разрыв в одной или нескольких точках.
Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их
сходимости или расходимости можно проводить по формуле НьютонаЛейбница, определив точки бесконечного разрыва.
1
dx
1
Пример 55. 
; f x  
; эта функция имеет бесконечный
x
x
0
разрыв на 0, 1 в точке x  0 , т. к. f 0   .
1

0
1
dx
 2 x  2  0  2 , интеграл сходится.
x
0
 2
Пример 56.
 tg xdx ;
f x   tg x имеет бесконечный разрыв на
0


 
 
x

0
,
f

tg
 .
в
точке
,
т.
к.


 2 
2
2
2
 
 2
 2
 2
sin xdx
 d cos x 
 tg xdx   cos x   cos x   ln cos x
0
0
0
    0   , интеграл расходится.
 2
0
  ln cos

2
 ln cos0   ln 0  ln 1 
32
8
dx
1
; f x   3
имеет бесконечный разрыв в точке
x
1 x
x  0 , которая принадлежит  1; 8 . В этом случае данный интеграл разбиваем
на два интеграла точкой разрыва:
0
0
8
dx 0 dx 8 dx 3 3 2
33 2
33
33 2 3
2
 3 x   3 x   3 x  2 x  2 x  2 0  3  1  2 8  0 
1
1
0
1
1
 3 3 4 9

 , интеграл сходится.
2
2
2
Пример 57.


 

33
Таблица 1
Система
координат
Вид уравнения
кривой
а) y  f (x)
a xb
Площадь плоской фигуры
Длина дуги
b
1а)
S   f ( x)dx
Объем тела вращения
b
2а)
L   1  ( y ' ) 2 dx
a
a
d
d
3а)
Площадь поверхности
вращения
b
4а)
a
S x  2  y 1  ( y ' ) 2 dx
d
4б)
V x    y 2 dx
b
Декартовы координаты
a
x   ( y)
c yd
б)
1б)
S    ( y )dy
2б)
L   1  ( x' ) 2 dy
c
c
t2
t2
3б)
V y    x 2 dy
c
S y  2  x 1  ( x' ) 2 dy
c
 x  x(t )

 y  y (t )
t1  t  t 2
в)
1в)
S   y (t ) x' (t )dt
2в)
L   ( x't ) 2  ( y 't ) 2 dt
t1
t2
3в)
V x    y 2 (t ) x' (t )dt
t1
t1
t2
V y    x 2 (t ) y ' (t )dt
t1
y1  f1 ( x)
y 2  f 2 ( x)
1г)
   ( )
1     2
1д)
г)
Полярные
координат
ы
d
b
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x))dx
a

д)
S
1 2 2
 ( )d
2 1
2д)
L
 25


1
 2  (  ' ) 2 d
34
14. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
При помощи определенного интеграла можно вычислить площади
плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие
задачи.
В зависимости от того, в какой системе координат решается задача
и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по
таблице.
Для определения пределов интегрирования необходимо сделать
чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и
провести вычисления.
Пример 58. Вычислить площадь, ограниченную параболой
2
y  2  x и прямыми y  x и y   x .
Решение. Выполним чертеж. Графиком y  2  x 2 является
парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед x 2 ) и приподняты на
2 единицы по оси oy (рис. 5). Искомая площадь симметрична относительно оси
OY , следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат,
т.е. S  2S1 .
y
2
0 1
x
Рис. 5
Для вычисления пределов интегрирования решим систему:
1 9
D9
 y  2  x2
2-x 2  x
x1, 2 
,

2
2
x


2
y

x
x

x

2

0
1

x2  1
Площадь фигуры равна:
1
1

x3 x 2 
7
7
2
S1   2  x   x dx   2 x     ;
S  (кв. ед.).
3
2 0 6
3
0

Пример 59. Вычислить площадь, ограниченную линией
 x  sin 2t
0  t  .
,

4
y

cos
2
t

35
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к.
задано изменение параметра t . Уравнение линии рассматривается в декартовых
координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в)
табл.
t2
 4
t1
0
S   yt   xt dt 
 4
2
0


cos 2t sin 2t  dt 
1
1  cos 4t dt   t  sin 4t 
2
4 

 4

 4
cos 2t 2 cos 2t dt  2  cos2 2tdt 
0

4


4
0
.
0
Пример 60. Вычислить площадь, ограниченную линией
  3 cos 2 .
Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую
площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться
формулой (1д), табл.1. Пределы интегрирования не заданы, поэтому
необходимо сделать чертеж (рис. 6). Линию   3 cos2 2 построим по точкам,

давая  значения через равный промежуток, например,
, начиная от   0 до
12
  2 . Вычислим 18 искомой площади.
y
2
0
x
Рис. 6
1
9 4 4
9  4 1  cos 4 
4
d 
  d  2  9 cos 2d  2  cos 2d  2 
4
0
0
0
0

 

 4
4
9
9 4 1
1  cos8

2
 1  2 cos 4  cos 4 d     sin 4  
d  
8
8
2
2

0
0
 0

1
S1 
2
 4
 4
2
2
9 1
 1

   sin     sin 8  
8 4 2
 2 16

9 3 27
 

8 8
64

4
0
9
 1

   0   sin 2  
8 4
8 16

36
27
(кв. ед.).
8
Пример 61. Найти длину дуги y 2  x 3 , отсеченную прямой x  4 .
Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.
y
Воспользуемся формулой (2а), табл. 1.
S  8  S1 
b
L   1   y  dx .
А
2
a
О
4
Из чертежа видно, что
пределы интегрирования
будут x  0 и x  4
(рис. 7).
L  2L
x
OA
3
3
y   x1 2 
x.
2
2
Рис. 7
L  
OA
12
2
4
9x
4 4 9   9  4 2 9
3 
1 
x  dx   1  dx   1  x  d 1  x    1  
4
9 0 4   4  9 3 4
2 
0
4
0

32 4

8
1  93 2  1  8 103 2  1  7,7
27
27
L  L  15,4 (кв. ед.).
OA
OA
Пример 62. Вычислить длину одной арки циклоиды x  Rt  sin t 
y  R1  cost  (рис. 8).
Решение. Из соотношения x  Rt  sin t  видно, что значение x0  0
соответствует t1  0 ,
y
x A  2R соответствует t 2  2 ,
t1  t 2 . Так как уравнение линии
задано в декартовых координатах
(вид в), то используем формулу (2в),
А x
табл.: xt  R1  cost  , yt  R sin t .
0
t2
L

2
xt 2   yt 2 dt 
Рис. 8
t1
2
2
R 1  cost   R sin t dt  R 

2
2
2
2
0
1  2 cost  cos
2
t  sin 2 t dt 
0
2
2
 R  2  2 cost dt  R 
0
0
2
t
t
t

2  2  sin dt  R  2  sin dt 2 R  cos   2
2
2
2

0
2
2
 4Rcos  cos0  8R .
Пример 63. Вычислить длину кардиоиды   31  cos ,
соответствующую 0     .
0


0
37
Решение. Уравнение кривой задано в полярных координатах,
следовательно, при решении воспользуемся формулой (2д), табл. 1. Изменение
 задано, следовательно, выполнение чертежа необязательно.
L
2
 
1
2

     91  cos    3sin   d 
2
2
2
0


 3 1  2 cos  cos2   sin 2  d  3 2  2 cos d 
0
0




 

3 4 cos2 d  6 cos d  12 sin
 12 sin  sin 0   12 (ед. длины).
2
2
2 0
2


0
0
Пример 64. Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси OX фигуры, ограниченной параболой y  1  x 2 и осью OX (рис. 9).
Решение. Парабола y  1  x 2 расположена ветвями вниз, вершина
находится в точке 0; 1 , и ось OX пересекает в точках x  1. Для решения


воспользуемся формулой (3а), табл. 1.
b
1
a
1


Vx   y 2 dx    1  x 2 dx 
2
1

2 3 x5 
16
 2  1  2 x  x dx   2  x  x   
(куб. ед.).
3
5  0 15
0

1
2
4
y
0
x
-1
1
Рис. 9
Пример 65. Вычислить объем тела, образованного вращением
x2 y2
гиперболы

 1 , отсеченной прямыми y  1 , вокруг оси OY .
9
4
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.1
d
V y    x 2 dy ;
c
2
выразим х из уравнения гиперболы:
9
x2  9  y2 ,
4
1

y2 

V y    91  dy 
4 
1 
38
1


y2 
y3 
 2  9 1  dy  18  y   
4 
12  0
0

13 39
 18  
(куб. ед.).
12
2
Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать
рекуррентную формулу:
1
 2
 2
0
0
J n   sin n xdx   cosn xdx 
 n  1!! 
при
n - четной
 n!!  2 ,
 n  1!!
при
n - нечетной

,
 n!!
Знак n!! (двойной факториал) означает произведение целых чисел,
начиная с n , через одно с убыванием. Например, 7!! 7  5  3  1 (только
нечетные множители).
39
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 4

I.
Дана функция z  z x; y , точка M 0 x0 , y0  , вектор a . Требуется
а) Найти частные производные I и II порядка;
б) Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M 0 ;
в) Исследовать на экстремум;

г) Найти производную функции z в направлении вектора a в точке M 0 .



1. z  x 2  xy  y 2  6 x  9 y , M 0 1; 2 ,
a  4i  3 j



2. z  y 2  x 2  y  6x  3 ,
M 0 2; 1 ,
a  6i  8 j



3. z  x 2  y 2  6xy ,
a  3i  4 j
M 0 1;  1 ,

 
4. z  x 2  5y 2  15xy ,
a  3i  4 j
M 0  1; 1 ,



5. z  2y 2  x 2  5y  x 2 ,
a  3i  4 j
M 0  1; 2 ,

 
6. z  x 2  y 2  2xy  5 ,
a  3i  4 j
M 0 1;  3 ,



7. z  7x 2  6xy  3y 2  4x  12 , M 0 1; 1,
a  6i  8 j



8. z  y 2  x 2  2xy ,
a  6i  8 j
M 0 2;  1 ,

 
9. z  x 2  xy  y 2  6y  20 ,
a  5i  12 j
M 0  1; 0,



10. z  y 2  8x 2  16xy  1 ,
a  5i  12 j
M 0  1;  1 ,
II.
Полученные из опыта значения функции при различных значениях
независимой переменной приведены в таблице. Методом наименьших
квадратов найти функцию y  f x  в виде y  ax  b . Сделать чертеж.
1.
x
y
-2,1 -1,3 0,1
28,6 23,1 13,3
0,9
7,7
1,5
3,5
2,1
-0,6
3,4
3,9
4,2
5,3
-9,8 -13,2 -15,5 -23,2
x
y
7,4
-7,7
10,3 12,8 14,9 15,3
-4,6 -2,1 -0,1 0,2
16,9
1,8
18,1
3,0
x
y
-0,2 0,5 1,2
16,8 14,8 10,6
1,8
7,1
2,3
4,3
3,1
-0,5
3,8
-4,9
4,1
-6,5
5,2
6,3
-13,1 -19,8
x
y
-2,7
-20,2
-1,4
-4,1
-0,8
1,1
-0,2
3,9
1,4
9,9
2,2 3,8
13,8 21,9
5,7
31,3
6,9
37,4
7,8
39,6
8,1
42,9
x
y
8,2
-6,9
9,6
-5,3
10,4 11,3 13,2 15,1 16,9
-4,8 -3,6 -1,9 0,2 1,8
17,9
2,3
18,3
3,4
20,4
5,3
21,7
6,6
2.
8,2
-6,7
9,6
-5,3
19,5
4,4
20,3
5,2
3.
4.
5.
40
6.
x
y
-1,5 -0,6
-20,9 -15,5
0,2
0,8 1,3
-10,9 -7,3 -4,2
2,1
0,5
2,8
4,9
3,4
8,5
4,2
13,1
5,3
19,8
6,1
24,5
x
y
-6,1 -5,4 -3,2 -2,1 -1,5
29,1 26,7 17,5 13,5 10,9
-0,9
8,5
1,1
0,6
1,8
-2,2
2,5
-4,9
3,7
-9,8
4,5
-12,9
x
y
-0,1 -0,3 -0,9 -1,5
20,3 18,8 14,6 10,6
-2,6
2,7
-3,2
-0,7
-3,8
-5,6
-4,1
-7,7
-5,0 -6,3 -7,8
-13,8 -23,2 -33,5
x
y
-1,9 -0,5 0,3 1,1
-13,5 -12,1 -0,8 -7,1
1,7
-2,4
2,1
-0,8
2,7
5,6
3,2
9,7
3,8
14,5
4,2
17,5
x
y
-0,3
0,6
-19,9 -14,3
3,2
1,2
3,9
5,5
4,2
7,2
5,3
13,6
6,5
20,9
7.
8.
9.
4,7
21,7
10.
1,3
1,9 2,4
-10,1 -6,4 -3,5
III. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
2
1. а)  e sin x sin 2 xdx
x3  1
в)  2
dx
x x
xdx
2. а) 
x 2  46
3x 3  1
в)  2
dx
x x
x 3 dx
3. а) 
1  x8
x 3  17
в)  2
dx
x  4x  3
dx
cos2 x3tg x  1
2x3  5
dx
в)  2
x x2
cos3xdx
5. а) 
4  sin 3x
4. а) 
б)  arctg xdx
dx
г)  3
1 x 1
б)  e x sin 1  3e x dx
г) 
dx
sin x  tg x
б)  x3 x dx
г) 
dx
x  3  3  x  3
xarctg x
dx
б) 
1  x2
x2  1  x
dx
г)  3
x 1
б)  x 2 e 3 x dx
2
41
2x3  1
dx
x2  x  6
3x 2  25
 x 2  3x  2dx
sin x
dx
3
2
cos x
x  arctg x
 1  x 2 dx
x3  2x 2  1
 x  2 x  3dx
arctg x
 1  x 2 dx
3x 3  2 x 2  1
 x  2 x  3dx
sin xdx

3  2 cos x
x 3 dx
 x 2  3x  2
cos x
dx
1  cos x
1
б)  x arcsin dx
x
4
x  1 dx
г) 
x 44 x
в) 
6. а)
в)
7. а)
в)
8. а)
в)
9. а)
в)
г) 


б)  x ln x 2  1dx
б) 
x5
dx
1 3 x  5
б)  x sin 2 xdx
г) 
dx
3 cos x  4 sin x
б)  x 2 sin 4 xdx

г) 
4  ln x
dx
x
x 3  3x  12
в)  2
dx
x  5x  6
10. а) 


3

x 1
3
6
x2
dx
x 1
б)  x 2 ln xdx
г) 
dx
2 sin x  cos x  2
Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость.
IV.

1. а)  xe
 x2
2
0
3
2. а) 
1
4. а) 
x
xdx
 1

2x  1
dx
3. а)  2
1 x  x  1

2
x 2 dx
1  x3
2
dx
5. а) 
2
1  x  1
2
dx
6. а) 
2
3  x  3
0
dx
2
0 x  2
3
2dx
б) 
3
1 3  x 
1
dx
б) 
2
1 3  x  1
б) 
dx
2

xdx
2
1 x 1
б) 

б)  x 2 e  x dx
3
2

б) 
3
x
xdx
2
 2
3
42

3x 2 dx
3
1 x  1
6
dx
б) 
3
1  x  1

dx
б) 
2
e x ln x
2
dx
8 x 2

dx
8. а) 
2 x ln x
4
dx
9. а) 
2
0 3 x  2

2 x  4dx
10. а)  2
 x  4  5
б) 
7. а) 
3
xdx
2
09 x
б) 
V.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.
Сделать чертеж.
1. y  x 2 ;
y x
2. y  2 x  x 2 ;
yx
3. y  4 x  x 2 ;
y0
1 2
x ;
2
4
7. y  ;
x
2
8. y  x  2 ;
4. y  x  4 x ;
5. y  x 3 ;
yx4
y  2x
9. y  x  4 x  2 ;
y  2x  2
10. y  x 3 ;
y  8;
x0
2
6. y 
2
y2
3
x
2
y 5 x
yx
43
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Литература
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука,
1985. – 129 с.
Сборник задач по математике для втузов / Под ред. Ефимова Л.В. и
Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1986. – 527 с.
Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах:
В 2 ч. – М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1. – 304 с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров
и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 644 с.
Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк.,
1986. – 480 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 1. – М.: Наука, 1966. – 608 с.