КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Для специальностей ПСМ и ТМС всех форм обучения
Лекция 1.
Лекция 2.
Лекция 3.
Лекция 4.
Лекция 5.
Лекция 6.
Лекция 7.
Лекция 8.
Лекция 9.
Лекция 10.
Лекция 11.
Лекция 12.
Лекция 13.
Лекция 14.
Лекция 15.
Лекция 16.
Лекция 17.
Лекция 18.
Лекция 19.
Лекция 20.
Лекция 21.
Лекция 22.
Лекция 23.
Лекция 24.
Лекция 25.
Лекция 1
Введение в курс теории механизмов и машин.
Основные понятия теории механизмов и машин
Цель лекции: ознакомиться с сущностью курса теории механизмов и
машин; ознакомиться с основными понятиями структуры механизмов.
Задачи:
1. Ознакомиться с понятием и проблемами теории механизмов и машин.
2. Ознакомиться с основными понятиями теории механизмов и машин.
3. Ознакомиться с основными понятиями структуры механизмов.
Желаемый
результат:
студенты
должны
усвоить
основную
проблематику теории механизмов и машин и ознакомиться с основными
понятиями науки.
Учебные вопросы:
1. Понятие теории механизмов и машин.
2. Основные проблемы теории механизмов и машин.
3. Основные понятия теории механизмов и машин.
4. Основные понятия структуры механизмов.
Теория механизмов и машин – это наука, изучающая строение,
кинематику и динамику механизмов и машин в связи с их анализом и
синтезом.
Проблемы теории механизмов и машин могут быть разбиты на две
группы.
Первая
группа
проблем
посвящена
исследованию
структурных,
кинематических и динамических свойств существующих механизмов, т.е.
анализу механизмов.
Вторая группа проблем посвящена проектированию механизмов,
имеющих заданные структурные, кинематические и динамические свойства и
предназначенных для осуществления требуемых движений, т.е. синтезу
механизмов.
Курс теории механизмов и машин содержит научные основы анализа и
синтеза механизмов. Основные задачи курса ТММ – установление общих
принципов, по которым строится механизм и объяснение того, что механизм
есть четко упорядоченное соединение твердых тел, осуществляемое по
определенным законам; исследование и разработка научных положений и
технических приемов анализа и синтеза механизмов.
Излагаемые в ТММ методы пригодны для проектирования любого
механизма и не зависят от его технического назначения, а также физической
природы рабочего процесса машины.
Научные основы и технические приемы, изучаемые в ТММ, базируются
на общих законах теоретической механики. Но эти законы используются в
ТММ не только для анализа, но и для синтеза (проектирования) механизмов.
В этом заключается инженерная направленность курса ТММ.
Машина – это механизм или комплекс механизмов, предназначенных
для совершения полезной работы, преобразования энергии одного вида в
другой и для облегчения физического и умственного труда человека.
С точки зрения функционального назначения машины делятся на
следующие классы (представить в виде схемы):
1) энергетические машины (двигатели и генераторы);
2) рабочие машины (технологические и транспортные);
3)
информационные
машины
(контрольно-управляющие
и
математические);
4) кибернетические машины.
Энергетические машины предназначены для преобразования одного
вида энергии в другой вид. Машины-двигатели преобразуют различные виды
энергии в механическую, а машины-генераторы – наоборот.
Рабочие машины предназначены для выполнения механической работы.
Технологические машины выполняют функции преобразования формы,
свойств и состояния материала или обрабатываемого объекта. К ним
относится
основное
оборудование
промышленных
предприятий:
металлообрабатывающие, деревообрабатывающие станки, прокатные станы,
кузнечно-прессовые машины, машины литья под давлением и т.п.; роботыманипуляторы, предназначенные для выполнения основных технологических
операций (сварка, сборка, окраска). Транспортные машины используются
для изменения положения перемещаемого объекта. К ним относятся
автомобили, локомотивы, водный и воздушный транспорт, ракеты-носители,
подъемно-транспортные машины; роботы-манипуляторы, предназначенные
для выполнения транспортных операций.
Информационные
преобразования
машины
информации.
предназначены
для
получения
Контрольно-управляющие
и
машины
преобразуют получаемую контрольно-измерительную информацию с целью
управления энергетической или рабочей машинами. Математические
машины
преобразуют
математических
информацию,
образов,
заданных
получаемую
в
форме
в
виде
отдельных
различных
чисел
или
алгоритмов.
Кибернетическими машины обладают элементами искусственного
интеллекта
и
заменяют
или
имитируют
различные
механические,
физиологические или биологические процессы, присущие человеку и живой
природе.
Механизм – это механическая система тел, предназначенная для
преобразования движения одного или нескольких тел в требуемые движения
других тел.
По функциональному назначению механизмы делятся на:
1) механизмы двигателей и преобразователей;
2) передаточные механизмы;
3) исполнительные механизмы;
4) механизмы управления, контроля и регулирования;
5) различные механизмы более узкой специализации.
Механизмы двигателей осуществляют преобразование различных видов
энергии в механическую работу. Механизмы преобразователей (генераторов)
осуществляют преобразование механической работы в другие виды энергии.
Передаточные механизмы предназначены для передачи движения от
двигателя к рабочей машине или исполнительным механизмам.
Исполнительными называются механизмы, которые непосредственно
воздействуют на обрабатываемую среду или объект.
Механизмами управления, контроля и регулирования называются
различные механизмы и устройства для контроля различных параметров
обрабатываемых объектов, различные регуляторы.
Как правило, современные машины представляют собой т.н. машинные
установки, т.к. имеют достаточно сложную структуру и состоят из
нескольких
машин.
Состав
типичной
машинной
установки
можно
представить в виде схемы:
ПРИВОД
Двигатель
Передаточный
механизм
Исполнительный
механизм (или
рабочая машина)
Система управления
Таким образом, как сложные системы, машины состоят из следующих
функциональных частей: механическая часть, двигатели, источники питания,
система
управления
движением.
Механическая
часть
служит
для
преобразования механической энергии двигателей в энергию требуемых
движений рабочих органов машины. Механическая часть, как правило,
состоит из нескольких отдельных механизмов. Двигатели, по принципу
действия, могут быть тепловыми (например, двигатели внутреннего
сгорания),
электрическими,
гидравлическими
или
пневматическими.
Источники питания могут быть как автономными, так и стационарными.
Система
управления
движением
осуществляет
контроль
внутреннего
состояния машины, управляемых перемещений и состояния внешней среды с
помощью
датчиков,
информация
с
которых
подается
на
входы
вычислительной системы, управляющей энергией источников питания
машины. Современные машины, системы управления движением которых
построены на основе микропроцессорных средств, образуют особый класс
машин – мехатронные системы.
МОДУЛЬ 1.
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ.
1.1. Структура механизмов
В состав механизмов входят твёрдые тела, которые называются
звеньями. Звенья могут быть и не твёрдыми (например, ремень). Жидкости и
газы в гидро- и пневмомеханизмах звеньями не считаются.
Условное изображение звеньев на кинематических схемах механизмов
регламентируется ГОСТом. Примеры изображения некоторых звеньев
приведены на рис. 1.1. На кинематических схемах звенья обозначаются
арабскими цифрами: 0, 1, 2 и т.д.
Рис. 1.1. Примеры изображения звеньев
на кинематических схемах механизмов
Звенья бывают:
– входные (ведущие) – отличительным признаком их является то, что
элементарная работа приложенных к ним сил положительна (работа силы
считается положительной, если направление действия силы совпадает с
направлением движения точки её приложения или под острым углом к ней);
– выходные (ведомые) – элементарная работа приложенных к ним сил
является отрицательной (работа силы считается отрицательной, если
направление действия силы противоположно направлению движения точки
её приложения);
– подвижные;
– неподвижные (станина, стойка).
Подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев называется
кинематической парой. Она допускает возможность движения одного звена
относительно другого.
Классификация кинематических пар
1.
По
элементам
соединения
звеньев
кинематические пары делятся:
– на высшие (они имеются, например, в зубчатых и кулачковых механизмах) – соединение звеньев друг с другом происходит по линии или в точке:
– низшие – соединение звеньев друг с другом происходит по
поверхности. В свою очередь низшие соединения делятся:
на вращательные
в плоских механизмах;
поступательные
цилиндрические
сферические
в пространственных
механизмах.
2. По количеству наложенных связей.
Тело, находясь в пространстве (в декартовой системе координат X, Y, Z)
имеет 6 степеней свободы. Оно может перемещаться вдоль каждой из трёх
осей X, Y и Z, а также вращаться вокруг каждой оси (рис. 1.2). Если тело
(звено) образует с другим телом (звеном) кинематическую пару, то оно
теряет одну или несколько из этих 6 степеней свободы.
Рис. 1.2. Степени свободы тела в пространстве
По
количеству
утраченных
телом
(звеном)
степеней
свободы
кинематические пары делят на 5 классов. Например, если телами (звеньями),
образовавшими кинематическую пару, утрачено по 5 степеней свободы
каждым, эту пару называют кинематической парой 5-го класса. Если
утрачено 4 степени свободы – 4-го класса и т.д. Примеры кинематических
пар различных классов приведены на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Примеры кинематических пар различных классов
По структурно-конструктивному признаку кинематические пары
можно
разделить
цилиндрические и др.
на
вращательные,
поступательные,
сферические,
Вопросы для самопроверки:
1. Что изучает теория механизмов и машин?
2. Охарактеризуйте понятие «машина».
3. На какие типы разделяются машины по функциональному назначению?
4. Что называют механизмом?
5. На какие типы разделяются механизмы по функциональному назначению?
6. Что называют машинной установкой?
7. Что называют мехатронной системой?
8. Что называют деталью механизма, звеном, кинематической парой?
9. По каким признакам классифицируют кинематические пары?
Лекция 2
Цель лекции: изучение понятия кинематической цепи и основ учения о
степенях свободы кинематических цепей.
Задачи:
1. Ознакомиться с понятием кинематической цепи.
2. Рассмотреть классификацию кинематических цепей.
3. Изучить понятие степени свободы кинематической цепи.
4. Изучить понятие избыточных связей и лишних степеней свободы.
Желаемый результат: студенты должны усвоить основы учения о
степенях свободы кинематических цепей.
Учебные вопросы:
1. Понятие кинематической цепи.
2. Классификация кинематических цепей.
3. Понятие степени свободы кинематической цепи.
4. Структурные формулы Сомова-Малышева и Чебышева.
5. Понятие избыточных связей.
6. Понятие лишних степеней свободы.
Кинематическая цепь
Несколько звеньев, соединённых между собой кинематическими
парами, образуют кинематическую цепь.
Кинематические цепи бывают:
замкнутые
простые;
разомкнутые
сложные
.
Чтобы из кинематической цепи получить механизм, необходимо:
– одно звено сделать неподвижным, т.е. образовать станину (стойку);
– одному или нескольким звеньям задать закон движения (сделать
ведущими) таким образом, чтобы все остальные звенья совершали
требуемые целесообразные движения.
Число степеней свободы механизма – это число степеней свободы всей
кинематической цепи относительно неподвижного звена (стойки).
Для пространственной кинематической цепи в общем виде условно
обозначим:
количество подвижных звеньев – n,
количество степеней свободы всех этих звеньев – 6n,
количество кинематических пар 5-го класса – P5,
количество связей, наложенных кинематическими парами 5-го класса на
звенья, входящие в них, – 5Р5,
количество кинематических пар 4-го класса – Р4,
количество связей, наложенных кинематическими парами 4-го класса на
звенья, входящие в них, – 4Р4 и т.д.
Звенья кинематической цепи, образуя кинематические пары с другими
звеньями, утрачивают часть степеней свободы. Оставшееся число степеней
свободы кинематической цепи относительно стойки можно вычислить по
формуле
W = 6n – 5P5 – 4P4 – 3P3 – 2P2 – P1.
Это структурная формула пространственной кинематической цепи, или
формула Малышева, получена П.И. Сомовым в 1887 году и развита А.П.
Малышевым в 1923 году.
Величину W называют степенью подвижности механизма (если из
кинематической цепи образован механизм).
Для плоской кинематической цепи и соответственно для плоского
механизма
W = 3n – 2P5 – P4.
Эту формулу называют формулой П.Л. Чебышева (1869). Она может
быть получена из формулы Малышева при условии, что на плоскости тело
обладает не шестью, а тремя степенями свободы:
W = (6 – 3)n – (5 – 3)P5 – (4 – 3) P4 .
Величина W показывает, сколько должно быть у механизма ведущих
звеньев (если W = 1 – одно, W = 2 – два ведущих звена и т.д.).
Избыточные связи
В некоторых случаях при проектировании механизмов для повышения
жёсткости конструкции, улучшения условий передачи сил вводятся так
называемые избыточные (пассивные) связи (дополнительные звенья), (рис.
1.8).
Избыточная (пассивная) связь
Рис. 1.8. Механизм с избыточной связью
В этом случае степень свободы вычисляется по формуле
W = 3n – 2P5 + q = 3 4 - 2 6 + 1 = 1,
где q – число избыточных (пассивных) связей.
Лишние степени свободы
Лишние степени свободы используются для упрощения кинематической
схемы механизма, сокращения потерь при передаче мощности, повышения
механического
коэффициента
полезного
действия
механизма. Например, между кулачком 1 и толкателем
2 кулачкового механизма устанав-ливается ролик 3 для
устранения трения (рис. 1.9).
Рис. 1.9. Кулачковый механизм с роликовым толкателем
В этом случае степень подвижности механизма, вычисленная по
формуле П.Л. Чебышева, будет равна 2:
W = 3n – 2P5 – P4 = 3 3 – 2 3 – 1 = 2.
Здесь явно присутствует лишняя степень свободы, а именно вращение
ролика под действием силы трения качения. Её следует учитывать при
проведении структурного анализа данного механизма. Ведь очевидно, что
данный механизм может функционировать и без ролика 3. Но при этом
трение качения будет заменено трением скольжения между кулачком и
толкателем (высшей кинематической парой), что увеличивает потери
мощности в механизме на преодоление сил трения.
Тогда степень свободы такого механизма вычисляется по формуле
W = 3n – 2P5-P4-q,
где q – количество лишних степеней свободы.
Вопросы для самопроверки:
1. Дайте определение кинематической цепи.
2. Приведите примеры простых и сложных, замкнутых и незамкнутых
кинематических цепей.
3. Что понимают под степенью свободы кинематической цепи?
4. Разъясните смысл структурной формулы Сомова-Малышева.
5. Преобразуйте структурную формулу пространственной кинематической
цепи в структурную формулу Чебышева для плоской цепи.
6. Какие кинематические цепи называются механизмами?
7. Приведите примеры механизмов с лишней степенью свободы и с
пассивной связью.
Лекция 3
Цель лекции: изучение структурной классификации плоских рычажных
механизмов.
Задачи:
1. Ознакомиться с видами классификаций механизмов.
2. Изучить основные принципы структурной классификации плоских
рычажных механизмов, разработанной Л.В. Ассуром.
3. Изучить все виды групп Ассура II класса.
Желаемый результат: студенты должны усвоить основы структурной
классификации плоских рычажных механизмов.
Учебные вопросы:
1. Классификации механизмов.
2. Понятие структурных групп (Ассура).
3. Свойства групп Ассура.
4. Классификация групп Ассура.
5. Виды групп Ассура II класса.
1.2. Классификация механизмов
Количество типов и видов механизмов исчисляется тысячами, поэтому
классификация их необходима для выбора того или иного механизма из
большого ряда существующих, а также для проведения синтеза механизма.
Универсальной классификации нет, но наиболее распространены 3
вида классификации:
1) функциональная.
По
принципу
выполнения
технологического
процесса механизмы делятся на механизмы: приведения в движение
режущего инструмента; питания, загрузки, съёма детали; транспортирования
и т.д.;
2) структурно-конструктивная.
Предусматривает
разделение
механизмов как по конструктивным особенностям, так и по структурным
принципам. К этому виду относят механизмы: кривошипно-ползунный;
кулисный; рычажно-зубчатый; кулачково-рычажный и т.д.;
3) структурная. Проста, рациональна, тесно связана с образованием
механизма, его строением, методами кинематического и силового анализа,
была предложена Л.В. Ассуром в 1916 году и основана на принципе
построения механизма путем наслоения (присоединения) кинематических
цепей (в виде структурных групп) к начальному механизму. Согласно этой
классификации, любой механизм можно получить из более простого
присоединением к последнему кинематических цепей с числом степеней
свободы W = 0, получивших название структурных групп, или групп Ассура.
Недостаток данной классификации – неудобство для выбора механизма с
требуемыми свойствами.
1.3. Структурные группы для плоских рычажных механизмов
Условие существования любой структурной группы описывается
формулой
W = 3n – 2P5 = 0.
Так как количество звеньев n и количество кинематических пар P5 –
целые числа, то
n
2
P5
3
P5
– кратно 2, то есть чётно,
3
n
2
– кратно 3.
Все структурные группы принято разделять на классы – со 2-го по 4-й.
Примеры структурных групп и начального механизма приведены на рис.
1.4.
Двухповодковая структурная группа 2-го кл.
Структурная группа 2-го кл.
Структурная группа 3-го кл.
Структурная группа 4-го кл.
Механизм 1-го кл. (начальный механизм)
Рис. 1.4. Примеры структурных групп
При добавлении к механизму 1-го класса различных структурных групп
можно получить механизм, состоящий из одной или нескольких структурных
групп и механизма 1-го класса.
Механизмам присваивается определённый класс, соответствующий
наивысшему классу входящих в него структурных групп. Примеры
механизмов различных классов приведены на рис. 1.5.
Не путать класс механизма, класс структурной группы
и класс кинематической пары!
2-й кл.
3-й кл.
4-й кл.
Рис. 1.5. Механизмы различных классов
Порядок структурной группы равен числу свободных кинематических
пар, которыми группа присоединяется к более простому механизму.
Свободные пары показаны стрелками (рис. 1.6).
Структурная группа 2-го кл., 2-го порядка
(все структурные группы 2-го кл. имеют 2-й
порядок)
Структурная группа 3-го кл., 3-го порядка
Структурная группа 4-го кл., 2-го порядка
Рис. 1.6. Примеры структурных групп различных классов
Наиболее
распространённые
структурные
подразделяются на 5 видов (модификаций) (табл. 1).
группы
2-го
класса
Таблица 1
Кинематическая схема
структурной группы, вид
Механизм, содержащий такую
структурную группу
Примечание. 1 – ведущее звено; 2 и 3 – звенья, образующие
структурную группу.
Для определения класса механизма его расчленяют на структурные
группы, начиная с конца механизма. За начало механизма принимают
ведущее звено (начальный механизм).
От конца механизма отделяются поочерёдно простейшие структурные
группы до тех пор, пока не останется лишь механизм 1-го класса (начальный
механизм, их может быть несколько).
По классу структурных групп определяют класс механизма. Количество
начальных механизмов равно величине W.
Пример расчленения плоского рычажного механизма на структурные
группы
показан
на
рис.
1.7.
Предварительно
вычисляют
степень
подвижности механизма W по формуле
W = 3n – 2P5 – P4.
В данном случае W = 1, а это значит, что в механизме должны быть одно
ведущее звено и соответственно один начальный механизм.
а
б
в
г
Рис. 1.7. Расчленение механизма на структурные группы:
а – исходный механизм; б – начальный механизм;
в – 2-й класс, 1-й вид; г – 2-й класс, 2-й вид
Вопросы для самопроверки:
1. В чем заключается принцип образования плоских рычажных
механизмов, сформулированный Л.В. Ассуром?
2. Какой механизм называют первичным?
3. Дайте определение структурных групп Ассура и охарактеризуйте их
основные свойства.
4. Чем определяется класс и порядок структурных групп Ассура?
Приведите примеры структурных групп II, III, IV, V классов.
5. Как определяется класс сложного рычажного механизма?
6. Каковы цели проведения структурного анализа механизмов? В какой
последовательности выполняется структурный анализ плоских механизмов?
МОДУЛЬ 2
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
Лекция 4
Цель лекции: ознакомиться с целями, задачами и основными методами
кинематического
анализа
механизмов;
изучить
графический
метод
кинематического анализа.
Задачи:
1. Ознакомиться с понятием кинематического анализа механизмов.
2. Ознакомиться с целями и задачами кинематического анализа механизмов.
3. Ознакомиться
с
основными
методами
кинематического
анализа
механизмов.
4. Рассмотреть графический метод кинематического анализа механизмов.
Желаемый результат: студенты должны усвоить цели, задачи и методы
кинематического анализа механизмов, а также изучить графический метод
кинематического анализа механизмов.
Учебные вопросы:
1. Понятие кинематического анализа механизмов.
2. Цели и задачи кинематического анализа механизмов.
3. Основные методы кинематического анализа механизмов.
4. Графический метод кинематического анализа механизмов.
2.1. Цели и задачи кинематического анализа
Синтез механизма – проектирование – имеет значительные трудности
теоретического
характера,
поэтому
при
выполнении
прикладных
инженерных задач менее распространен, чем анализ.
Анализ механизма – исследование его основных параметров с целью
изучения законов их изменения и на основе этого выбор из ряда известных
наилучшего механизма. По сравнению с синтезом анализ механизма широко
используется в практике.
Цели:
1.
Определение кинематических характеристик звеньев: перемещение;
скорость; ускорение; траектория движения; функция положения при
известных законах движения входных (ведущих) звеньев.
2.
Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного)
звена.
3.
Определение необходимых численных данных для проведения
силового, динамического, энергетического и других расчётов механизма.
Задачи:
1) о положениях звеньев механизма. Определение траекторий движения
точек;
2) о скоростях звеньев или отдельных точек механизма;
3) об ускорениях звеньев или отдельных точек механизма.
Методы:
графический (или метод графиков и диаграмм);
графоаналитический (или метод планов скоростей и ускорений);
аналитический;
экспериментальный.
2.2. Графический метод кинематического анализа
Преимущество этого метода заключается в наглядности и простоте. Он
хорош для кинематического анализа звеньев, совершающих возвратнопоступательное движение. Недостаток метода – невысокая точность, которая
зависит от точности графических построений.
Задача о положениях решается построением нескольких совмещённых
планов
механизма
в
выбранном
масштабе
длин
при
различных
последовательных положениях ведущего звена.
Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением графиков
(диаграмм) перемещений, скоростей и ускорений исследуемой точки.
Последовательность кинематического анализа:
1.
Сначала строят несколько (чаще всего 12 и более) совмёщенных
планов механизма в произвольно выбранном масштабе длин.
2.
звена,
Затем строят график пути (перемещения) исследуемой точки или
для
чего
используют
совмещённые
планы
механизма
и
последовательные положения на них исследуемой точки или звена.
3.
Графическим дифференцированием графика перемещений строят
график скорости исследуемой точки.
4.
Графическим дифференцированием графика скоростей строят
график ускорений.
Графическое дифференцирование можно производить методом хорд и
методом касательных. С целью повышения точности удобно использовать
оба метода одновременно.
Пример
Даны кривошипно-ползунный механизм, длины звеньев которого –
кривошипа и шатуна – LOA и LAB соответственно, и угловая скорость
кривошипа
1
= const.
Определить скорости и ускорения ползуна при различных положениях
кривошипа.
Решение
Выбираем масштабы длин
L OA
L
AO
, м/мм, где AO – длина отрезка, мм,
изображающая кривошип длиной LОА на строящемся плане механизма; эта
длина выбирается произвольно с учётом того, что совмещённые планы
механизма должны разместиться на отведённом месте чертежа, а сам
масштаб длин был бы удобен для дальнейших расчётов.
Вычисляем длину отрезка
L AB
AB
, мм, изображающего шатун на
L
плане механизма. При построении совмещенных планов механизма
используют метод засечек (рис. 2.1).
Для построения графиков скоростей и ускорений (рис. 2.1) выбираются
полюсные расстояния h и ha, где h – полюсное расстояние при построении
графика скоростей, которое выбирается произвольной длины; рекомендуется
его величину выбирать в пределах h
30…40 мм; ha – полюсное расстояние
при построении графика ускорений; его рекомендуется принимать в пределах
ha 30…40 мм.
Масштабы времени, скорости и ускорения вычисляют по формулам,
вывод которых приводится ниже.
Масштаб времени можно вычислить по формуле
T
t
,
LX
где Т – период одного оборота кривошипа, с; LX – длина отрезка между
точками 1 и 1 на графике (диаграмме) перемещений, мм.
Так как период Т можно вычислить по формулам
T
2
, или
60
T
, с,
n1
1
где ω1 – угловая скорость кривошипа, 1/с; n1 – частота вращения
кривошипа, об/мин, то масштаб времени
2
t
1
60
LX
n1L X
, с/мм.
Масштаб скорости можно вывести из условия, что скорость
исследуемой точки является производной перемещения S по времени:
dS
d ( yS
dt
d ( xt
)
S
t
)
S
dy
s
S
t
dx
t
t
tg
i
.
Здесь предполагается, что масштаб перемещений μs и масштаб времени
μt являются постоянными величинами.
Так как
S
t
y
tg
h
i
,
Масштаб
, то
h
м /с
мм
S
tg
S
y
t
h
i
t
y
, отсюда
.
ускорения,
вывод
которого
аналогичен
предыдущему,
вычисляется по формуле
a
t
ha
,
м /с
мм
2
.
Для определения величины скорости или ускорения в каком-либо
положении точки В необходимо длину ординаты соответствующего графика
умножить на масштаб
или
a соответственно.
Вопросы для самопроверки:
1. Назовите основные цели и задачи кинематического анализа механизмов.
2. Назовите основные методы кинематического анализа механизмов.
Укажите
и
сравните
достоинства
и
недостатки
графических
и
аналитического методов.
3. Объясните принцип построения планов положений механизмов методом
засечек. Что называют масштабным коэффициентом?
4. Как построить траекторию движения точки механизма?
5. Объясните метод графического дифференцирования кинематической
диаграммы. Как вычисляют масштабный коэффициент кинематической
диаграммы, получаемой таким методом?
Рис. 2.1. Совмещённые планы механизма,
графики перемещений, скоростей и ускорений
Лекция 5
Цель лекции: ознакомиться с методикой кинематического анализа
механизмов графо-аналитическим методом.
Задачи:
1. Рассмотреть графо-аналитический метод кинематического анализа на
примере нескольких механизмов.
2. Изучить понятие и свойства плана скоростей механизма.
3. Изучить понятие и свойства плана ускорений механизма.
Желаемый результат: студенты должны усвоить методику выполнения
кинематического анализа основных типов механизмов графо-аналитическим
методом.
Учебные вопросы:
1. Графо-аналитический метод кинематического анализа.
2. План скоростей механизма и его свойства.
3. План ускорений механизма и его свойства.
4. Графический метод кинематического анализа механизмов.
2.3. Графоаналитический метод кинематического анализа
Графоаналитический метод называют методом планов скоростей и
ускорений.
Задача о положениях решается графическим методом, то есть
построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном
масштабе длин.
Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов
скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных)
положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных
уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.
Преимущество этого метода по сравнению с графическим в том, что он
менее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их
величину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для
множества точек механизма.
Недостатком метода является то, что требуется построить планы
скоростей и ускорений для нескольких положений механизма (если
необходимо определять скорость и ускорение при различных положениях
механизма и его звеньев).
2.4. Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенник
При решении задач такого типа известны угловая скорость
1
ведущего
звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.
Последовательность решения задачи:
1. Строится план механизма (рис. 2.2) в выбранном масштабе длин:
L OA
L
AO
, м/мм,
где LOA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего
кривошип на плане механизма, мм.
Для построения плана механизма остальные длины звеньев и
координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2)
переводятся масштабом длин
в отрезки:
L
AB = LAB/ L, мм,
BC = LBC/ L, мм,
OC = LOC/ L, мм.
2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных
точек, принадлежащих звеньям механизма.
Векторное уравнение для звена 2 (шатуна)
VВ = VА + VВА,
(2.1)
где VА = VАО – скорость точки А, которая равна скорости точки А
относительно оси вращения кривошипа точки О; VВА – вектор относительной
скорости
точки
В
шатуна
относительно
перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.
А
имеет
направление,
Векторное уравнение для звена 3 (коромысла)
VВ = VС + VВС.
(2.2)
Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость
равна нулю (VС = 0), а вектор относительной скорости точки В относительно
С (VВС) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане
механизма.
3. Строится план скоростей механизма – это не что иное, как
графическое изображение на чертеже векторных уравнений (2.1) и (2.2) в
каком-либо масштабе.
План скоростей механизма и его свойства
План скоростей желательно строить рядом с планом механизма
(рис.
2.2). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:
A
1
L OA
, м/с.
Затем выбирается масштаб плана скоростей
A
PV a
где
A
,
м /с
мм
по соотношению
2
,
– скорость точки А, м/с; PVa – длина отрезка, изображающего на
будущем плане скоростей скорость VA, выбирается произвольной длины в
мм; при выборе желательно придерживаться условий: во-первых, план
скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во-вторых,
численное значение масштаба
должно быть удобным для расчётов (
должно быть круглым числом).
После этого можно приступать к построению плана скоростей
механизма. Его следует проводить в последовательности, соответ-ствующей
написанию векторных уравнений (2.1) и (2.2).
Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом
механизма точки Р (полюса плана скоростей) вектор скорости VА, который
перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину PVa,
выбранную нами при определении масштаба плана скоростей
через точку
a
. Затем
проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана
механизма, а через полюс PV – линия, перпендикулярная отрезку ВС.
Пересечение этих линий даёт точку
b.
В соответствии с векторными
уравнениями (2.1) и (2.2) на построенном плане наносятся направления
(стрелки) векторов VВ и VВА.
Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно
записать векторные уравнения скоростей:
VК = VА + VКА,
VК = VВ + VКВ,
где вектор скорости VКА перпендикулярен отрезку АК на плане
механизма, а вектор VКВ – отрезку КВ.
Построением этих векторных уравнений получаем точку
скоростей. При этом из точки
a
k
на плане
плана скоростей проводим линию,
перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана скоростей – линию,
перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К
можно вычислить по формуле
VК = (РVk)
,
V
где РVk – длина соответствующего вектора на плане скоростей.
Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане
механизма подобны:
abk ~
ABK
,
так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно
использовать
для
определения
скорости
любой
другой
точки,
принадлежащей какому-либо звену механизма. Отсюда следует теорема
подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют
фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма.
Стороны фигур взаимно перпендикулярны.
Угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по
формулам
( ab )
BA
2
3
L AB
, c-1,
L AB
BA
( PV b )
L BC
L BC
, c-1.
Направления угловых скоростей определяются по направлениям
векторов VВА и VBC. Для этого вектор VВА условно переносится в точку В
плана механизма. Куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А, в ту
сторону и будет направлена угловая скорость шатуна ω2.
Аналогично поступают со скоростью VВА. В каком направлении будет
вращаться коромысло относительно точки С, туда и будет направлена
угловая скорость ω3.
План ускорений механизма и его свойства
Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма
аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере
механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2). Примем угловую
скорость кривошипа постоянной (
распространённым
и
1
= const, что является наиболее
рациональным
видом
движения
в
реальных
механизмах).
Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошипа)
аА = аАО = аnАО + а АО ,
где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O
рассчитывается по формуле
a
n
2
AO
1
L OA
.
Вектор аnАО параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная
составляющая ускорения а АО рассчитывается по формуле
a AO
1
L OA
.
В нашем случае угловое ускорение кривошипа
1=
0, тогда
а
0
АО
.
Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатуна)
аВ = аА + аnВА + а ВА,
где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А
рассчитывается по формуле
a
n
2
BA
2
.
L AB
Вектор аnВА параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а
тангенциальная составляющая а ВА перпендикулярна АВ.
Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла)
аВ = аС + аnВС + а ВС,
где ускорение точки С аС = 0; нормальная составляющая ускорения
n
точки В относительно точки С рассчитывается по формуле a BC
2
3
L BC
.
Вектор аnВС направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к
С, а вектор а ВС – перпендикулярно ВС.
n
Выбираем масштаб плана ускорений:
n
отрезка, изображающего ускорение а АО
a AO
a
paa '
,
м /с
2
мм
, где Раа’ – длина
на плане ускорений. Его длина
выбирается произвольно из расчета, чтобы план ускорений разместился на
отведенном месте чертежа и численное значение μа было удобным для
расчетов (μа должно быть круглым числом).
Тогда ускорение аnВА будет изображаться на плане ускорений вектором,
n
имеющим длину
,
a n2
a BA
, мм, а ускорение аnВС – вектором длиной
a
n
Pa n 3
a BC
, мм.
a
Затем
строится
план
ускорений
(рис.
2.2)
с
использованием
составленных векторных уравнений ускорений. Из произвольно выбранного
полюса Ра параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор
ускорения
а
n
АО
, длина которого Раа′ была выбрана произвольно при расчете
масштаба μа. Из конца этого вектора (точки а′) проводится вектор ускорения
n
а ВА
длиной а′n2, который должен быть параллелен отрезку АВ плана
механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через
точку n2 проводят прямую. Затем из полюса Ра проводят вектор ускорения
n
а ВС
длиной Раn3. Перпендикулярно ему через точку n3 проводят прямую до
пересечения с прямой, проведенной через точку n2 перпендикулярно отрезку
АВ. Точка пересечения обозначается буквой b′, которая, будучи соединена с
полюсом Ра, образует отрезок Раb′, изображающий вектор полного ускорения
точки В.
Используя план ускорений, можно вычислить ускорения
,
aB
( Pa b )
a
,
,
, a ВА
(a b )
L AB
4
2
2
2
.
Запишем
a BA
где
2
и
2
,
,
(a b )
a
– угловые скорость и ускорение шатуна.
,
a b
,
L
АВ
где
2
и
2
,
4
2
2
2
,
a
не зависят от выбора (расположения) полюса Ра плана ускорений,
а отношение масштабов постоянно (
const) для данного плана
L/ a=
ускорений. Поэтому для любой точки (например, К, принадлежащей шатуну)
можно записать пропорции
Отсюда
формулируется
a 'b '
a 'k '
b 'k '
AB
AK
BK
теорема
.
подобия:
отрезки
полных
относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру,
подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.
Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле
ak
,
( Pa k )
a
.
Угловые
ускорения
направление
3
2
звеньев
шатуна
2
,
a BA
(n 2b )
L BA
L AB
a
,
c-1,
определяются по а ВА; угловые ускорения звеньев коромысла
,
a BC
(n 3b )
L BC
L BC
Так как
a
2
, c-1, направление
и
2
3
– по а Вс.
направлены в противоположные стороны, вращение
шатуна является замедленным.
Использование плана скоростей и плана ускорений
для определения радиуса кривизны траектории движения точки
Радиус кривизны траектории движения точки (например, точки К)
можно вычислить по формуле
2
K
K
n
aK
( PV k )
2
2
V
,
( mk )
,
a
где аnК – нормальная составляющая ускорения точки К.
Для определения величины (и направления) аnК следует вектор полного
ускорения
аК на плане ускорений разложить на нормальную и
тангенциальную составляющие, причём аnК
перпендикулярна вектору
скорости VК, а К параллельна последнему. Для этого сначала через полюс
плана ускорений Ра проводится прямая, параллельная вектору скорости
точки К, а через точку k` – перпендикуляр к этой прямой; на их пересечении
получают точку m.
Рис. 2.2. План механизма, скоростей, ускорений
Использование плана скоростей и плана ускорений
для определения мгновенного центра скоростей (МЦС)
и мгновенного центра ускорений (МЦУ) звена
Для определения МЦС и МЦУ используют теорему подобия, а на плане
механизма строят фигуры, подобные фигурам (треугольникам) на планах
скоростей и ускорений (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Определение положений мгновенных центров скоростей PV2
и ускорений Ра2 шатуна
Из теоретической механики известно, что плоскопараллельное движение
звена механизма в каждый момент времени может быть представлено как
вращение вокруг некоторой точки, которую называют мгновенным центром
вращения или мгновенным центром скоростей (МЦС). Если данная точка
относится к станине (стойке) механизма, т.е. является неподвижной, то
соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в
абсолютном движении рассматриваемого звена. Таким образом, если мы
представим, что точка PV2 принадлежит шатуну (рис. 2.3), то её скорость
будет равна нулю.
Если же рассматривается движение звена относительно любого
подвижного
мгновенным
звена
механизма,
центром
то
скоростей
соответствующий
в
МЦС
относительном
называют
движении
рассматриваемых звеньев.
Аналогично может быть найдена условная точка, принадлежащая звену,
абсолютное ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта
точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) звена. Если звено
механизма совершает сложное плоскопараллельное движение, то меняются и
положения МЦС и МЦУ.
2.5. Планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма
Последовательность
построения
планов
скоростей
и
ускорений
кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4) аналогична той, которая
приведена в предыдущем случае. В дальнейшем некоторые подробности
(расчёты масштабов, длин
е,
масштабов планов скоростей
v
и ускорений
а
и т.д.) будут пропущены.
План скоростей кривошипно-ползунного механизма начинают строить
после построения плана механизма в заданном положении, в выбранном
масштабе длин
L,
составления векторного уравнения скоростей и выбора
масштаба плана скоростей
v.
Векторное уравнение скоростей шатуна 2 (рис. 2.4)
VВ = VА + VВА,
где VА =
1
LOA – скорость точки А, м/с; вектор этой скорости направлен
перпендикулярно прямой ОА кривошипа 1 (рис. 2.4) на плане механизма; VВА
–
вектор
скорости
точки
В
относительно
А;
имеет
направление,
перпендикулярное прямой АВ на плане механизма; VВ – вектор полной
(абсолютной), скорости ползуна 3; должен быть параллельным направлению
движения ползуна.
Для построения плана скоростей сначала из полюса плана Рv
(рис.
2.4) проводится вектор скорости точки А относительно О – VА, т.е. векторный
отрезок Рva. Затем через точку а проводится перпендикуляр к прямой АВ
плана механизма и через полюс Рv – прямая, параллельная движению ползуна
3. На пересечении этих двух прямых получается точка b. Направления
векторов скоростей VВ и VВА обозначают стрелками.
Например, необходимо определить скорость точки S2, принадлежащей
шатуну 2 и расположенной на середине отрезка АВ. Используя теорему
подобия, на отрезке ab плана скоростей находят его середину (точка S2),
которая, будучи соединенной с полюсом Рv, даст вектор VS2, изображающий
абсолютную (полную) скорость точки S2.
Рис. 2.4. Построение планов скоростей
и ускорений кривошипно-ползунного механизма
Рассчитаем величину линейных скоростей и угловую скорость шатуна:
BA
B
( ab )
, м/с,
(P b)
, м/с,
(P S2 )
S2
BA
2
L AB
, м/с,
, с-1.
Направление вектора угловой скорости шатуна
2
определяется
следующим образом. Вектор скорости VВА условно переносится в точку В
плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки А, в ту
сторону и направлена угловая скорость
2
шатуна.
План ускорений кривошипно-ползунного механизма строят после того,
как будет составлено векторное уравнение ускорений шатуна, учитывая, что
он совершает сложное движение:
аВ = аА + аnВА + а ВА,
где аА – ускорение точки А; его величину и направление можно определить,
используя векторное уравнение ускорения точки А относительно оси О
вращения кривошипа:
аА = аО + аАО,
причём ускорение точки А относительно О можно разложить на две
составляющие – нормальное ускорение аnАО и тангенциальное а АО, т.е.
аАО = аnАО + а АО.
Так как точка О неподвижна и ускорение её равно нулю (аО = 0 и а АО =
0 при условии, что угловая скорость вращения кривошипа постоянна:
const и его угловое ускорение
1
1
=
= 0), то векторное уравнение ускорения
точки А можно записать в виде
аА = аnАО.
Величина
нормальной
составляющей
ускорения
(нормальное
ускорение) рассчитывается по формуле
n
2
a AO
1
L AO
(его вектор направлен по радиусу вращения кривошипа от точки А к точке О).
Затем вычисляется нормальное ускорение точки В относительно А по
формуле
n
2
a BA
2
L AO
(его вектор направлен от В к А).
n
После выбора масштаба плана ускорений по формуле
a OA
a
Pa a '
величина нормального ускорения anBA переводится этим масштабом в
векторный отрезок длиной
n
a'n2
a BA
a
, мм.
Затем строится план ускорений (см. рис. 2.4). Из произвольно
выбранного полюса Ра параллельно отрезку ОА плана механизма проводится
вектор ускорения anAО, длина которого
расчёте масштаба
а.
Pa a '
была выбрана произвольно при
Из конца этого вектора (точки
ускорения anBA длиной
a'n2 ,
a')
проводится вектор
который должен быть параллелен отрезку АВ
плана механизма и направлен от точки В к А. Перпендикулярно ему через
точку n2 проводят прямую до пересечения с прямой, проведённой через
полюс Ра параллельно линии движения ползуна 3. Полученная точка их
пересечения b' определяет длины векторов ускорений aBA и aB.
Для нахождения величины ускорения точки S2, принадлежащей
шатуну, можно применить теорему подобия. При этом необходимо на
векторе, изображающем на плане ускорений относительное ускорение aBA,
найти соответствующую точку S2', делящую отрезок a'b' в той же пропорции,
что и точка S2 делит отрезок АВ на плане механизма.
Угловое ускорение шатуна вычисляется по формуле
2
a BA
(n 2b' )
L AB
L AB
a
, с-1,
где n2b' – длина вектора на плане ускорений, изображающего тангенциальное
ускорение а BA .
Для определения направления вектора углового ускорения шатуна
2
необходимо вектор тангенциального ускорения а BA условно перенести в
точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки
А, в ту сторону и направлено ускорение
2 шатуна.
2.6. Планы скоростей и ускорений кулисного механизма
Чтобы построить план скоростей, необходимо составить векторное
уравнение скоростей. При этом следует иметь в виду, что точка А1
(рис.
2.5), принадлежащая кривошипу 1, и точка А2, принадлежащая ползуну 2 и
совпадающая на плане механизма с точкой А1, вращаются вокруг оси О с
одинаковыми линейными и угловыми скоростями:
VА1 = VА2 и
1
=
2
.
Рис. 2.5. Построение планов скоростей и ускорений кулисного механизма
Если задана величина
1
, то величину линейной скорости рассчитывают
по формуле
VА1 = VА2 =
1
LОА, м/с.
Векторы скоростей VА1 и VА2 направлены перпендикулярно радиусу ОА1.
Скорость точки А3, принадлежащей кулисе 3, можно найти по векторному
уравнению скоростей
VА3 = VА2 + VА3А2,
где VА3А2 – вектор скорости точки А3 кулисы относительно точки А2 ползуна,
параллельный прямой А1В плана механизма.
После выбора масштаба плана скоростей
(см. предыдущие примеры
v
механизмов) строят план скоростей. Из полюса Рv (см. рис. 2.5)
перпендикулярно отрезку ОА плана механизма проводится вектор скорости
VА1, совпадающий с вектором скорости VА2 (см. рис. 2.5, вектор
PV a 1
). Через
точку а1 проводят прямую, параллельную прямой А1В, а через полюс Рv –
прямую, перпендикулярную А1В. На их пересечении получают точку а3 и
наносят
направление
векторов
(стрелки),
руководствуясь
векторным
уравнением скоростей.
Вычисляют величины скоростей:
, м/с,
(P a3)
A3
, м/с,
( a 1a 3 )
A3A2
где Рv a3 и а1 а3 – длины векторов, измеренные на плане скоростей.
Угловая скорость коромысла 3 вычисляется по формуле
A3
3
L A1 B
,с-1.
Для построения плана ускорений составляются векторные уравнения
аА3 = аА2 + а A
кор
3
+ аA A ,
отн
A2
3
2
аА3 = аВ + а A В + а A B ,
n
3
где аА2 – ускорение ползуна; а A
кор
3
A2
3
– ускорение Кориолиса точки А3
относительно А2 (возникает тогда, когда есть относительное движение двух
точек с одновременным вращением их вокруг какой-либо оси; в данном
случае точка А3 движется относительно А2, вместе они вращаются вокруг
неподвижной точки В; направление вектора а A
кор
3
A2
определяется так:
необходимо условно повернуть вектор скорости VА3А2 по направлению
вращения кулисы 3 – это и будет направление ускорения Кориолиса); а A
отн
3
A2
–
относительное ускорение точки А3 относительно А2 (его вектор параллелен
А3В); аВ – ускорение точки В (аВ = 0, так как точка В неподвижна); а A
n
3В
–
нормальное ускорение точки А3 относительно В (направление вектора от А3 к
точке В); а A
3B
– тангенциальное ускорение точки А3 относительно В (вектор
направлен перпендикулярно А3В).
Вычисление величины ускорения Кориолиса и нормальных ускорений
можно произвести по формулам
аА2 = а A O =
n
2
1
1
LОА, м/с2,
а A A = 2 3 VА3А2, м/с2,
кор
3
2
аA В =
n
2
1
3
LА3В, м/с2.
Масштаб плана ускорений выбирают, используя формулу
a A2
a
м /с
,
Pa a ' 2
мм
2
,
где Ра а'2 – длина вектора, изображающего ускорение аА2 на плане ускорений;
она выбирается произвольно с таким расчётом, чтобы будущий план
ускорений разместился на отведённом месте чертежа и масштаб был удобен
для использования в дальнейших расчётах.
Остальные известные величины ускорений переводятся масштабом в
векторные отрезки соответствующих длин:
кор
a2 'k
a A3A2
n
, мм;
Pa n 2
a
a A3A2
, мм.
a
Затем строится план ускорений. Из произвольно выбранного полюса –
точки Ра – проводится вектор ускорения а A O с длиной Раа'2. Из точки а'2
n
1
перпендикулярно А2В проводится вектор ускорения а A
кор
3
A2
с длиной a'2k. Через
точку k проводится прямая, перпендикулярная этому вектору. Таким
образом, будет выполнено графическое изображение первого векторного
уравнения ускорений из двух, ранее составленных. Затем приступают к
построению второго векторного уравнения. Из полюса Ра параллельно
прямой А3В проводится вектор ускорения а A
n
3В
длиной Ра n2, а через точку n2 –
перпендикулярная ему прямая до пересечения с прямой, проведённой ранее
через точку k. На пересечении этих прямых получается точка а'3. Вектор,
соединяющий точки Ра и а'3, – полное ускорение аА3 точки А3.
Угловое ускорение кулисы вычисляется по формуле
3
где
n2a'3
–
длина
a A3B
( n 2 a '3 )
L A3B
А3 В
вектора,
a
, с-2,
L
изображающего
на
плане
ускорений
тангенциальное ускорение точки А3.
Направление углового ускорения определяется, как и в предыдущем
примере
(для
кривошипно-ползунного
механизма),
по
направлению
условного вращения кулисы 3 вектором ускорения а A B : условно перенести
3
этот вектор в точку А3 плана механизма и посмотреть, в каком направлении
он будет «вращать» кулису.
Вопросы для самопроверки:
1.
В чем Вы видите основные достоинства и недостатки графоаналитического метода кинематического анализа механизмов?
2.
Что
называют
планом
скоростей
механизма?
В
какой
последовательности производят его построение?
3.
Укажите основные свойства плана скоростей.
4.
Как определяется модуль и направление угловой скорости звена?
5.
Что называют планом ускорений механизма?
6.
Как определяется модуль и направление углового ускорения звена?
7.
Как определяют радиус кривизны траектории движения точки с
помощью плана скоростей и плана ускорений механизма?
8.
Как находят мгновенный центр скоростей (МЦС) и мгновенный центр
ускорений (МЦУ) звена с помощью плана скоростей и плана ускорений
механизма?
Лекция 6
2.7. Аналитический метод кинематического анализа
2.7.1. Общие сведения о методе
Графический (метод диаграмм) и графоаналитический методы (метод
планов скоростей и ускорений) кинематического анализа механизмов имеют
недостатки: невысокая точность, определяемая точностью графических
построений, и большая трудоёмкость. При иcпользовании графического
метода необходимо построить диаграммы перемещений, скоростей и
ускорений для каждой исследуемой точки механизма, а при использовании
графоаналитического метода – несколько планов скоростей и ускорений
механизма, чтобы определить динамику изменения скорости и ускорения
интересующих нас точек (т.е. при различных положениях механизма).
Эти недостатки отсутствуют в аналитическом методе. Но при этом
необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости
(формулы) и иметь возможность решать их с использованием компьютерных
техники и технологии, что в последнее время возможно и доступно.
Методы аналитического исследования:
метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева) удобен для
кинематического анализа практически всех используемых в технике
несложных рычажных механизмов;
метод преобразования координат (метод Морошкина) удобен для
кинематического анализа многозвенных механизмов типа манипуляторов
промышленных роботов.
Прежде чем говорить об аналитическом методе, введем некоторые
понятия и определения.
2.7.2. Функция положения. Аналог скорости. Аналог ускорения
Положение любого звена механизма может определяться параметрами:
углом
К
относительно какой-либо координатной оси или координатами ХК и
YК (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Схема механизма
Функция положения – это аналитическая зависимость положения или
координаты К-го звена (
К
К,
ХК или YК ) от положения ведущего звена
( 1) или XK( 1) и YK( 1), где
1
, т.е.
XK и YK – координаты, определяющие
К,
положение К-го звена (ведомого), а угол
– угол, характеризующий
1
положение ведущего звена.
Аналог
скорости.
Угловая
скорость
К-го
звена
определяется
зависимостью
d
K
d
где
d
K
d
K
dt
d
K
dt
d
1
1
d
1
d
K
,
(2.3)
1
– аналог скорости К-го звена (первая передаточная функция)
1
dx
для вращающегося звена, величина безразмерная;
K
d
и
1
dy
– аналоги
K
d
1
скорости К-го звена, движущегося поступательно, величины безразмерные.
Аналог
ускорения.
Угловая
скорость
К-го
звена
определяется
зависимостью, получаемой дифференцированием уравнения (2.3) по dt:
d
K
K
dt
d
dt
1
d
d
d
K
1
1
2
K
2
d
1
d
d
1
1
dt
d
K
2
1
1
d
d
2
K
2
.
1
При дифференцировании предполагается, что угловая скорость К-го
звена
к
определяется зависимостью
K
а угол
к
является функцией угла
1
:
1
d
K
d
1
,
f(
K
d
Величина
1
).
2
K
– аналог ускорения К-го звена, совершающего
2
d
1
2
вращательное движение, величины
d xK
2
d
1
и
d
2
yK
2
d
– аналоги ускорения К-го
1
звена, двигающегося поступательно, в проекциях на оси X и Y.
Введение в кинематический анализ понятий аналогов отделяет
геометрические свойства механизма от кинематических.
Величину
выражение
d
K
d
1
d
K
d
1
называют ещё передаточным отношением, так как
можно преобразовать, умножив и разделив его на величину
dt:
d
K
d
K
dt
K
d
1
d
1
dt
1
.
Отношение угловых скоростей в механике называют передаточным
отношением U K
K
.
1
1
Аналог скорости звена также называют первой передаточной функцией.
Задачи кинематического анализа и пути их аналитического решения
приведены в табл. 2.
Таблица 2
Функции положения
Задача о скоростях
Определение аналогов
скоростей
d
Определить
функции положения:
K
(
1
K
d
1
;
dx
K
d
1
)
yK (
1
)
K
d
1
d
K
1
d
dx
Kx
1
K
K
d
Ky
1
d
d
2
2
K
d xK
;
2
,
1
;
d
2
yK
2
d
1
Вычисление ускорений
K
1
1
,
a Kx
1
a Ky
1
K
1
dx
K
d
d
2
1
d
dy
K
1
2
d
1
d
1
dy
d
1
Вычисление скоростей
)
xK (
;
dy
Задача об ускорения
Определение
аналогов ускорений
d
2
K
2
d
;
1
2
2
1
1
d xK
2
d
;
1
2
K
2
1
1
d yK
d
2
.
1
Как следует из приведенной таблицы, для решения задачи о положениях
звеньев исследуемого механизма необходимо найти функции положения (
К
или ХК и YК ), предварительно составив векторное уравнение замкнутого
векторного контура кинематической цепи и уравнения проекций его на
координатные оси Х и Y. Из этих уравнений находят функции положения
(зависимости положений исследуемого звена от положения ведущего звена).
При известном (заданном) законе движения ведущего звена задаются шагом
и вычисляют координаты исследуемых звеньев (угловые координаты для
вращающегося звена и прямоугольные для звена, совершающего возвратнопоступательное движение).
Для решения задачи о скоростях необходимо найти аналоги скоростей
исследуемых звеньев и, умножив их на угловую скорость ведущего звена,
получить формулы расчета искомых скоростей.
Для решения задачи об ускорениях находят также аналоги ускорений
звеньев и по формулам, приведенным в таблице, находят величины
ускорений. Ниже приводится пример кинематического анализа кривошипноползунного механизма аналитическим методом.
2.7.3. Аналитическое исследование кривошипно-ползунного механизма
Используем метод замкнутых векторных контуров (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Замкнутый векторный контур
кривошипно-ползунного механизма
Рассмотрим
замкнутый
векторный
контур
Соблюдая
OABCO.
единообразие отсчёта углов, определяющих положение звеньев, составим
векторное уравнение

L1

a

L2

xc .
(2.4)
Спроектируем (2.4) на координатные оси Х и Y:
L 1 cos
a
L 2 cos
1
L 1 sin
1
xc ;
2
L 2 sin
2
(2.5)
(2.6)
0.
Решение задачи о положениях
Определим функции положения ползуна Хс( 1) и шатуна
(2.6) получаем
получаем
xc
sin
L 1 cos
a
2
L 1 sin
1
L2
1
L 2 cos(arcsin
, откуда
a
L 1 sin
L2
arcsin
2
a
L 1 sin
L2
1
).
2( 1).
1
Из
, из (2.5)
Решение задачи о скоростях
Определим аналог скорости ползуна
dx
c
d
1
и шатуна
d
2
d
1
, для чего
продифференцируем уравнение (2.5) и (2.6):
L 1 sin
L 1 cos
L 2 sin
1
2
L 2 cos
1
2
d
2
dx
c
d
1
d
1
d
2
d
1
;
(2.7)
(2.8)
0.
Из (2.8) получаем аналог скорости шатуна
d
2
L1
d
1
L2
cos
1
a
cos(arcsin
L 1 sin
1
,
)
L2
тогда угловая скорость шатуна
2
1
d
2
d
1
.
Из (2.7) получаем аналог скорости ползуна
dx
d
c
L 1 sin
a
L 2 sin(arcsin
1
L 1 sin
1
)
L2
1
L1
cos
L2
1
a
cos(arcsin
L 1 sin
1
,
)
L2
dx
тогда скорость ползуна вычисляется по формуле
C
1
C
d
.
1
Решение задачи об ускорениях
d
Определим аналоги ускорений шатуна
d
2
xC
и ползуна
2
d
2
2
2
d
1
, для чего
1
продифференцируем уравнения по dφ1 (2.7) и (2.8):
L 1 cos
L 1 sin
1
1
L 2 cos(
L 2 sin(
d
d
d
2
d
2
1
)
2
L 2 sin
2
L 2 cos
d
d
d
2
2
d
1
)
2
d
d
1
2
xC
2
;
(2.9)
1
2
2
2
1
0.
(2.10)
2
d
Из (2.10) получим аналог ускорения шатуна
2
2
d
, тогда угловое
1
ускорение шатуна можно вычислить по формуле
d
2
1
d
2
2
1
1
2
d
2
d
2
.
1
d
Из (2.9) получим аналог ускорения ползуна
2
xC
d
2
, тогда ускорение
1
ползуна можно вычислить по формуле
2
dx C
aC
1
d
2
1
1
d xC
d
2
.
1
2.8. Кинематическое исследование зубчатых механизмов аналитическим
методом
2.8.1. Зубчатые механизмы с неподвижными геометрическими осями колес
Важнейшей кинематической характеристикой зубчатого механизма
является
передаточное
отношение.
Передаточным
отношением
u1N
называется отношение угловой скорости ведущего звена 1 к угловой
скорости ведомого звена N в механизме с одной степенью свободы:
u1N
где n1, nN
1
n1
N
nN
,
(2.11)
частота вращения колес 1 и N.
Для колес с параллельными осями передаточное отношение имеет знак.
Передаточное отношение u 12
зубчатой пары внешнего и внутреннего
зацепления определяется формулой
u 12
1
.
(2.12)
2
Положительное передаточное отношение имеет место для пары
внутреннего зацепления (зубчатые колеса вращаются в одном направлении),
а отрицательное – для пары внешнего зацепления (колеса вращаются в
противоположных направлениях).
Известно, что
1
rb
2
2
rb
1
.
Диаметр основной окружности
db
d cos
mZ cos
, тогда (2.12)
можно преобразовать к виду
u 12
Значения
передаточных
1
Z2
2
Z1
отношений
.
для
(2.13)
одной
зубчатой
пары
составляют: при цилиндрических колесах 1 6, конических колесах 1 4.
Реечное зацепление является частным видом трехзвенного зубчатого
механизма. Для него скорости связаны очевидным условием:
V2
где V2
скорость рейки;
1
1 r1
,
(2.14)
угловая скорость колеса; r1
радиус
делительной окружности колеса.
Все зубчатые механизмы можно подразделить на две группы:
1) механизмы с неподвижными геометрическими осями колес;
2)
механизмы
с
подвижными
геометрическими
осями
колес
(эпициклические механизмы).
В свою очередь, механизмы с неподвижными геометрическими осями
образуют две подгруппы:
ступенчатые передачи;
рядовые передачи.
Ступенчатые зубчатые передачи
В этом зубчатом механизме на каждый промежуточный вал посажено по
два колеса. Каждое из колес входит лишь в одно зацепление. Ступенчатый
механизм, изображенный на рис. 2.8, состоит из двух зубчатых пар внешнего
зацепления (Z1 Z2, Z3 Z4) и пары внутреннего зацепления (Z5 Z6). Общее
передаточное отношение всего механизма равно
u 16
1
6
. Определим
передаточное отношение для каждой пары колес. Имеем:
u 12
1
2
;
u 34
3
4
;
u 56
5
6
.
Рис. 2.8
Перемножив полученные передаточные отношения, получим
u 12 u 34 u 56
Так как
1
6
u 16
3
5
1
2
4
6
6
.
, то
u 16
где Z1 Z6
1
u 12 u 34 u 56
Z2
Z4
Z6
Z1
Z3
Z5
,
числа зубьев на колесах.
Таким образом, передаточное отношение многоступенчатой зубчатой
передачи есть произведение (взятых со своими знаками) передаточных
отношений отдельных его ступеней.
В общем случае для передаточного отношения ступенчатого механизма
можно написать:
u1n
u 12
u 34  u
n
1 n
m
1
,
(2.15)
,
(2.16)
или
u1n
где m
Z2
Z4
Z1
Z3

Zn
Zn
1
m
1
число пар внешнего зацепления. Множитель
1
m
позволяет
определить знак передаточного отношения механизма.
Рядовые зубчатые передачи
Эта передача характерна тем, что на каждом промежуточном валу сидит
по одному колесу, но это колесо находится в двух зацеплениях. Для
определения передаточного отношения рядового механизма (рис. 132),
состоящего из пары внешнего зацепления (Z1 Z2) и пары внутреннего
зацепления (Z2 Z3), воспользуемся формулами (2.15) и (2.16):
u 13
u 12 u 23
Z2
Z3
Z1
Z2
.
(2.17)
Как видно из (2.17), величина общего передаточного отношения не
зависит от промежуточных зубчатых колес (паразитных). Роль паразитных
колес заключается в обеспечении большого межосевого расстояния либо
требуемого направления вращения выходного вала.
Рис. 2.9
В общем случае для рядового механизма передаточное отношение
u1n
1
Zn
n
Z1
1
m
.
(2.18)
Лекция 7
2.8.2. Зубчатые механизмы с подвижными геометрическими осями колес
Такие
механизмы
с
одной
степенью
подвижности
называются
планетарными (рис. 2.10), а с двумя и более степенями свободы
дифференциальными механизмами или просто дифференциалами (рис. 2.11).
Планетарные механизмы могут воспроизводить очень большие (или
очень малые) передаточные отношения при малых габаритах и малом числе
зубьев.
Назначение дифференциальных механизмов
сложение и разложение
движений. В первом случае эти механизмы используются для приведения в
движение одного рабочего органа от двух независимых источников движения.
Во втором случае такой механизм применяется для привода в движение двух
рабочих органов от одного источника энергии (дифференциал автомобиля).
В эпициклических механизмах колеса с подвижными осями вращения
называются сателлитами (звено 2
рис. 2.10, а, рис. 2.11; звено 2 3
2.10, б, в, г). Звено H, на котором располагается ось сателлитов,
а
б
в
Рис. 2.10
водило.
г
рис.
Зубчатые колеса с неподвижной осью вращения 1, 4 (рис. 2.10)
называют центральными или солнечными. В планетарных механизмах есть
неподвижное колесо 3 (рис. 2.10, а), колесо 4 (рис. 2.10, б, в, г).
Связь между угловыми скоростями дифференциального механизма
(рис. 2.11) установлена формулой Виллиса.
Примем метод обращенного движения. Сообщим звеньям механизма
угловую скорость –
H,
т. е. скорость, равную угловой скорости водила H, но
направленную в противоположном направлении. Относительные движения
звеньев при этом не изменяются. Скорости же соответственно меняются (см.
табл. 3).
Таблица 3
Звено
Факт. угл. скорость
Угл. скорость
в обращенном движ.
Колесо 1
1
1
Н
Колесо 2
2
2
Н
Колесо 3
3
3
Н
Водило
Н
0
Рис. 2.11
В этом случае водило становится неподвижным, а дифференциал
превращается в механизм с неподвижными осями колес (обращенный
механизм). Тогда передаточное отношение от звена 1 к звену 3 при
неподвижном водиле u 13H определится формулой
H
u 13
1
H
3
H
(2.19)
или в общем виде
H
u1n
где n
1
H
n
H
,
(2.20)
номер ведомого колеса.
Формула Виллиса (2.200 для дифференциала позволяет определить
передаточное отношение планетарного механизма.
Вычислим, к примеру, передаточное отношение u 1 H
планетарного
механизма (рис. 2.10, г). Запишем формулу Виллиса для аналогичного
дифференциального механизма (при свободном колесе 4):
H
u 14
В планетарном механизме
4
1
H
4
H
0
.
(2.21)
, тогда (2.21) преобразуется к виду
H
u 14
1
H
H
.
(2.22)
Разделив почленно правую часть уравнения (2.22), получим
H
u 14
1
H
1.
Отсюда
u1H
H
1 u 14 .
(2.23)
Выражение (2.23) называется формулой Виллиса для планетарного
механизма.
Если известно число зубьев Z1, Z2, Z3, Z4, то можно вычислить
передаточное
отношение
u1H
.
Предварительно
найдем
передаточное
отношение u 14H обращенного механизма (с неподвижными геометрическими
осями колес):
H
u 14
Z2 Z4
u 12 u 34
Z1 Z 3
.
Тогда (2.23) примет окончательный вид:
u1H
Z2 Z4
1
.
Z1 Z 3
(2.24)
Запишем (без вывода) формулы для определения передаточного
отношения планетарных механизмов различных типов.
Тип а (рис. 2.10, а):
u1H
Z3
1
Z1
;
тип б, в (рис. 2.10, б, в)
u1H
1
Z2
Z4
Z1
Z3
.
(2.25)
Для планетарного механизма с ведущим водилом можно записать:
uH1
1
u1H
.
(2.26)
В табл. 4 приведены ориентировочные передаточные отношения
планетарных механизмов, применяемые при практических расчетах.
Таблица 4
Передаточное
отношение
4
u1 H
4
uH 1
1
u4 H
1
uH
4
Тип
а
Тип
б
2,3 9
0,445 111
Тип
в
Тип
г
2 150
32 1500 и
более
0,5 0,067
1,77 1,125
2,0 1,071
0,565 0,888
0,5 0,993
2.9. Графический метод кинематического исследования
зубчатых механизмов
Графический метод кинематики зубчатых механизмов включает в себя
построение плана скоростей и плана чисел оборотов всех звеньев заданного
механизма.
План скоростей
Вначале рассмотрим построение плана скоростей зубчатого колеса
построенного в масштабе
l
(рис. 2.12). Проведем вертикальную ось y.
Проектируем на ось y точки A и O. Подсчитаем скорость точки A:
VA
В масштабе
V
1 l OA
.
от точки a откладываем отрезок aa
V A (м / c)
значение скорости VA. При этом масштаб
V
aa
( мм )
масштабное
. Соединим точку O
с точкой a, получим план скоростей зубчатого колеса. Таким образом, для
того, чтобы построить план скоростей колеса, необходимо знать скорости его
двух точек. Для определения скорости произвольной точки B ее требуется
спроектировать на вертикальную ось Y. Из точки b проводим прямую,
перпендикулярную оси y до пересечения с прямой аО. Точка пересечений
отсекает отрезок bb, который в масштабе
VB
V
bb
изображает скорость т. B.
V
.
Перейдем к построению плана скоростей для механизма, изображенного
на рис. 2.13. Пусть заданы числа зубьев всех колес и число оборотов n1
ведущего звена 1. Изобразим механизм в масштабе
e.
Проектируем все
характерные точки плана механизма на вертикальную ось y (рис. 2.13, б).
Определим скорость VA точки A:
VA
n1
30
l OA .
Откладываем от точки a отрезок аа – масштабное значение скорости VA.
Соединим точку O с точкой a, треугольник Oaа является планом скоростей
колеса 1, а прямая Оа – линией распределения концов (годографом)
скоростей точек колеса 1.
Рис. 2.12
Затем строим план скоростей сателлитов 2, 3, для чего соединяем точки
a и c прямой ac. Точка B принадлежит одновременно сателлитам и водилу H,
поэтому, проектируя ее на план ac, получим точку b и отрезок bb –
масштабное значение скорости VB. Линия ob является планом скоростей
водила H и жестко связанного с ним колеса 5. Проектируя точку D на план
ob, получаем отрезок dd – масштабное значение скорости VD. Для построения
плана скоростей колеса 6 соединим точки d и e. Линия de является искомым
планом.
План чисел оборотов
Для данного механизма построим план чисел оборотов (рис. 2.13, в).
В любом месте проведем горизонтальную прямую и ниже ее, на
произвольном расстоянии, выберем полюс P плана чисел оборотов. Через
полюс P проведем лучи P1, P2, P3, ... P6, параллельные планам скоростей
соответствующих звеньев зубчатого механизма. Эти лучи отсекают на
горизонтальной прямой отрезки 01, 02, 03, … 06, которые в масштабе
изображают числа оборотов колес 1, 2, ...6.
Покажем это. Рассмотрим передаточное отношение u 1 H (рис. 2.13, б):
u 16
1
VA
aa
6
VD
dd
V
/ OA
l
V
/ ED
l
aa
Oa
dd
ed
tg
tg
1
.
6
б
а
в
Рис. 2.13
Из плана чисел оборотов (рис. 2.13, в) видно, что
tg
0 1
1
;
0 6
tg
6
P 0
,
P 0
следовательно,
u 16
tg
1
0 1
tg
6
0 6
.
Это и требовалось показать. Расчет масштаба
ведем по формуле
n
об / мин
0 1
мм
(2.27)
n
плана чисел оборотов
, т.е.
n1
n
0 1
.
(2.28)
Из плана чисел оборотов (рис. 137, в) видно, что 1 и 6 колеса вращаются
в противоположные стороны, так как отрезки 01 и 06 расположились по
разные стороны от точки О.
Число оборотов ведомого колеса 6 найдем по формуле
n6
0 6
n
.
Таким образом, план скоростей позволяет вычислить скорость любой
точки зубчатого механизма, а план чисел оборотов
определить число
оборотов звена механизма, величину и знак передаточного отношения.
Лекция 8
МОДУЛЬ 3. СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ
И УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
В этом модуле рассматривается первая основная задача динамики, к
которой относится определение неизвестных внешних сил, действующих на
звенья механизма, и усилий в кинематических парах, возникающих при
движении механизма. При этом законы движения должны быть известны. К
первой задаче принадлежит также вопрос об устранении дополнительных
динамических нагрузок от сил инерции при помощи уравновешивания масс
звеньев.
3.1. Силовой расчет механизмов
Классификация сил
Известны два вида сил: внешние и внутренние. Внутренние силы
обуславливаются
внутренним
взаимодействием,
внешние
силы,
действующие со стороны внешних систем. Внутренние силы нетрудно
перевести в разряд внешних сил, пользуясь принципом освобождаемости от
связей. Например, силы взаимодействия R 12 и R 21 звеньев в кинематической
паре А (рис. 3.1, б) взаимно уравновешиваются (в теоретической механике
установлено, что главный вектор и главный момент внутренних сил равны
нулю:
вн
Ri
0,
M
вн
0
). Переведем одну из сил взаимодействия в разряд
внешних сил. Для этого отбросим какое-либо из звеньев – 2-е или 1-е (рис.
3.1, в). Тогда мера действия этого звена на другое определится силой
R 21 .
R 12
или
а
б
в
Рис. 3.1
Внешние силы, в свою очередь, делят на две группы: силы движущие и
силы сопротивления. Движущие силы приложены к ведущим звеньям, они
приводят механизм в движение, направлены в сторону движения, работа этих
сил всегда положительна. Силы сопротивления приложены к ведомым
звеньям, направлены в сторону, противоположную движению, работа их
всегда отрицательна. Силы сопротивления делятся на две подгруппы: силы
полезного сопротивления и силы вредного сопротивления. Силы полезного
сопротивления
это такие силы, для преодоления которых и предназначен
механизм. Они приложены непосредственно к ведомому звену. Силы
вредного сопротивления возникают в основном вследствие трения.
Определение сил инерций для звеньев, совершающих различные
виды движения
1. Плоскопараллельное движение (рис. 3.2)
Здесь силы инерции приводятся к главному вектору и главному моменту
сил инерции и определяются по формулам:
Pu
M
u
maS ,
(3.1)
JS ,
(3.2)
где
ускорение центра масс; m
aS
относительно центра масс S,
масса звена; J S
момент инерции
угловое ускорение звена.
Направление силы инерции Pu противоположно направлению ускорения
центра масс a S , момент сил инерции M
u
направлен противоположно
угловому ускорению .
Рис. 3.2
Рис. 3.3
2. Вращательное движение:
а) центр тяжести лежит на оси вращения (рис. 3.3):
aS
M
т. е. Pu
0,
u
при
J
S
0
;
;
=0 Mu
0;
б) центр тяжести не лежит на оси вращения (рис. 3.4):
Pu
maS ;
M
u
J
S
.
3. Поступательное движение (рис. 3.5):
Рис. 3.4
M
u
0;
Pu
ma
Рис. 3.5
S
.
Рассмотрим обозначение реакций в различных кинематических парах.
В поступательной паре реакция перпендикулярна оси движения ползуна
(рис. 3.6). Следовательно, известно направление реакции, но неизвестны
величина и точка приложения. Реакция во вращательной паре проходит через
центр шарнира и неизвестна по величине и направлению (рис. 3.7). На
рисунке пунктирной линией показано отсутствующее звено в момент, когда
кинематическая пара разомкнута. При определении реакции во вращательной
паре целесообразно разложить ее на две составляющие
нормальную и
тангенциальную (рис. 3.8). В кинематической паре второго класса реакция
направлена по нормали, а неизвестной является ее величина (рис. 3.9).
Рис. 3.6
Рис. 3.8
Рис. 3.7
Рис. 3.9
Лекция 9
Задачи силового расчета:
1) определить усилия (меру взаимодействия между звеньями) в кинематических парах;
2) определить движущий момент, который нужно приложить к ведущему звену, чтобы привести механизм в движение (если заданы силы сопротивления), либо определить силы полезного сопротивления, которые
может преодолеть данный механизм при заданном движущем моменте.
Результаты силового исследования используются для расчета звеньев
механизма на прочность, подбора подшипников, выбора соприкасающихся
поверхностей и т. д., для определения необходимой мощности, по которой
выбирают двигатель.
Применяются следующие методы силового расчета: метод решения
уравнений динамики, метод кинетостатики, т. е. решение задачи динамики
методами статики. В основе метода кинетостатики лежит принцип
Д'Аламбера: "Если ко всем действующим на механизм силам добавить силы
инерции, развиваемые звеньями механизма, то механизм будет находиться в
состоянии условного (формального) равновесия". Этот принцип нетрудно
вывести из второго закона Ньютона:
mas
P
Js
где m
P
Pi ;
масса системы; aS
JS
Pi ,
M
(3.3)
M i,
ускорение центра масс;
P
главный вектор сил,
центробежный момент инерции относительно оси, проходящий
через центр масс системы;
угловое ускорение системы;
момент системы относительно центра масс,
M
M
главный
M i.
Перенеся члены уравнений из правой части в левую, получим:
Pi
maS
M
JS
i
0,
(3.4)
0.
Обозначим
центру масс;
mas
Js
главный вектор сил инерций, приложенный к
Pu
главный момент сил инерции относительно
M u
центра масс. Тогда уравнения (3.4) приобретут вид:
Pi
M
Pu
i
0,
M
u
(3.5)
0.
Уравнения (3.5) являются уравнениями равновесия.
Таким образом, при силовом расчете в число заданных сил включают
силы инерции. Это позволяет определить неизвестные силы (реакции,
движущий момент) при помощи уравнений статики.
Порядок силового расчета
1. Вычертить в масштабе кинематическую схему механизма в заданном
положении.
2. Построить план скоростей и ускорений. Методом подобия определив
ускорения центров масс звеньев, найти угловые ускорения звеньев.
3. Определить силы и моменты сил инерции.
4. Разложить механизм на группы Ассура (так как группа Ассура имеет
нулевую степень подвижности, то она является статически определимой
системой).
5. Нагрузить группы Ассура всеми внешними силами и силами инерции.
6. Произвести силовой расчет каждой группы отдельно, начиная с
последней, наиболее отдаленной от ведущего звена.
7. Произвести силовой расчет ведущего звена.
Пример силового расчета (без учета сил трения)
Силовой расчет шарнирного четырехзвенника (рис. 3.10). Заданы:
размеры звеньев
l1 , l 2
,
l3
,
l4
, массы от
m1, m 2
,
m3,
моменты инерции
звеньев относительно центров их масс, момент полезного сопротивления
M
nc
, приложенный к ведомому звену 3; угловая скорость
1
ведущего звена;
положение механизма, определяемое обобщенной координатой
1
ведущего
звена.
Рис. 3.10
Найти реакции во всех кинематических парах и уравновешивающий
момент
M
ур
.
Решение. Для определения величин и направлений сил и моментов сил
инерции предварительно построим план скоростей и план ускорений
механизма.
Запишем уравнения для плана скоростей:
VA
V
B
V
BC
l OA
1
V
A
.
BA
BA
OA
Строим план скоростей (рис. 3.11, а) в масштабе
V
Запишем уравнения для плана ускорений (м/с2):
2
1
1) a A
aB
a
A
a
a
II
O
C
n
BA
|| BA
2)
aB
l OA
a
n
BC
|| BC
,
a
BA
,
BA
a
BC
BC
.
.
Вычислим масштаб плана ускорений:
aA
a
;
a
2
aA
a
(м / с )
( мм )
a
,
где a – отрезок произвольной длины в мм.
Вычислим нормальные ускорения:
2
V BA
n
a BA
2
ab
l BC
2
2
a
;
l AB
pb
VB
n
BC
V
l BC
V
.
l BC
Рассчитаем масштабные значения нормальных ускорений:
n
n
an
a BA
1
a BC
n2
;
.
a
a
Построим план ускорений (рис. 3.11, б) в масштабе
ускорения центров масс по подобию:
as 2
AS
ab
AB
2
as 2
ab
AS
AB
2
.
а
б
Рис. 3.11
Рассчитаем угловые ускорения звеньев 2 и 3:
a BA
2
l BA
n1b
l BA
a
;
a BC
3
l BC
n2b
l BC
a
.
a.
Определим
Изобразим группу Ассура в масштабе
l
(рис. 3.12).
Определим силы инерции и моменты сил инерции согласно (3.1) и (3.2):
для звена 2
для звена 3
Pu
m2 aS
2
Pu
0;
3
m 2 s2
2
M
u
JC
3
a
;
M
JS
u2
2
2
;
3.
Рис. 3.12
Нагружаем группу Ассура силами (рис. 3.12), раскладывая реакции в
шарнирах А и С на взаимно перпендикулярные составляющие (вдоль звена и
перпендикулярно ему), силовой расчет проводим методом кинетостатики.
Группа Ассура содержит четыре неизвестные реакции. Две реакции
найдем с помощью уравнений моментов всех сил относительно некоторой
общей точки. Оставшиеся две реакции определим из плана сил. Составим
уравнение моментов сил относительно точки В для звена 2:
M
R 12 AB
l
R 12 AB
M
M
u
2
2
B
Pi
G2
h
G2
h
0,
'
2
l
2
Pu
Pu
h
2
'
2
0,
l
(3.6)
или
u
/
2
l
h
2
'
2
0
Из этого уравнения определим составляющую реакции
.
R 12
.
Составим уравнение моментов сил относительно точки В для звена 3:
M
R 03 BC
l
M
3
B
Pi
0,
G 3 h3
u3
l
M
nc
Из этого уравнения определим составляющую реакции
(3.7)
0.
R 03
.
Запишем векторное уравнение равновесия для всей системы сил:
Pi
n
R 12
R 12
G2
2 ,3
Pu
0,
G3
2
n
R 03
R 03
0
.
(3.8)
Решим графически уравнение (3.8), т. е. построим план сил. Вычислим
масштаб сил
P max
P
100
H
и каждую из известных сил разделим на
мм
150
него. В результате получим отрезки, изображающие в масштабе величины
сил. Далее строим замкнутый многоугольник сил из этих отрезков,
проведенных параллельно вектором соответствующих сил. Для этого из
произвольной точки плоскости (рис. 3.13, а) откладываем масштабное
значение силы
R 12
, прибавляем к ней силу
G2
. Продолжим геометрическое
сложение сил в порядке, указанном в уравнении (3.8). Затем из начала
отрезка, изображающего
(перпендикулярно
R 03
R 12
, проводим линию действия реакции R 12n
R 12
). Далее из конца последнего отрезка, изображающего
, проводим линию действия реакции R 03n (перпендикулярно
пересечения
составляющих
этих
n
R 02
двух
и
прямых
n
R 03
.
определит
Необходимо
направление векторов. Полные реакции
R12
и
величины
соблюсти
R 03
n
R 12
R 12 ;
R 03
). Точка
нормальных
последовательное
могут быть получены как
результирующие согласно уравнениям:
R 12
R 03
n
R 03
R 03 .
u
а
б
Рис. 3.13
Для определения реакции в кинематической паре В
равновесии одно звено, например третье. Искомую реакцию
рассмотрим в
R 23
найдем из
уравнения равновесия:
G3
R 03
R 23
0.
(3.9)
Для решения (3.9) строим план сил (рис. 3.13, б). Реакцию R 23 можно
было определить на плане сил (рис. 3.13, а).
Переходим к силовому расчету ведущего звена. Изобразим ведущее
звено в масштабе
l
(рис. 3.14, а) и нагрузим его силами:
R 21
R 12 ,
МУР
уравновешивающий момент (уравновешивает все силы, приложенные к
ведущему звену),
R 01
реакция в кинематической паре О.
В данном случае сила инерции
Pu
0
1
(так как центр масс звена 1 лежит
на оси его вращения 0); момент сил инерции
Определению подлежат
M
УР
и
R 01
M
u1
0
(так как
1
0
. Составим уравнение моментов сил
относительно точки О:
M
0
Pi
0,
M
УР
R 21
Из уравнения (3.10) определим:
h1
M
:
(3.10)
0.
l
УР
M
УР
R 21
h
l
.
Запишем векторное уравнение равновесия для ведущего звена:
Pi
).
0,
G1
R 21
R 01
0
.
(3.11)
Уравнение (3.11) решим графическим методом, построив план сил в
масштабе
P
(рис. 3.14, б).
Рис. 3.14
3.2. Теорема о «жёстком» рычаге Жуковского
Теорема используется для определения уравновешивающей силы
или уравновешивающего момента

M
ур

P ур
без предварительного определения
реакций в кинематических парах механизма и является графической
интерпретацией
принципа
возможных
перемещений.
Для
реального
механизма эти возможные перемещения являются реальными.
Исходя из принципа сохранения энергии сумма работ всех внешних сил,
приложенных к звеньям механизма, равна нулю. Это условие можно записать
в виде
Pi dS
i
cos
i
P ур dS
ур
cos
ур
0
,
(3.12)
где Pi – все внешние силы, в том числе силы полезного и вредного
сопротивления, силы инерции и веса, действующие на звенья механизма
(силы реакции здесь не учитываются); dSi – элементарные перемещения
точек приложения этих сил;
i
– угол приложения внешних сил, или угол
давления (угол между вектором силы и вектором скорости).
Разделим уравнение (3.12) на бесконечно малый интервал времени dt и
получим (при условии, что dS/dt = )
Pi
i
cos
P ур
i
ур
cos
0
ур
,
(3.13)
то есть сумму мгновенных мощностей, равную нулю.
Для определения величины мгновенных мощностей можно выполнить
решение следующей графической интерпретации. Дано звено ВС с известной
скоростью


D
точки D и приложенной к этой точке силой Pi (рис. 3.15).
Построим план скоростей, повёрнутый на 900, где
Вычислим момент силы
M
С
(
Pi h i
учётом
P ур h ур )
Pv

Pi

( Pi )
0
Так как масштаб
( Pv d )
v
,
( Pv d )
D
.
относительно полюса Рv плана скоростей:
Pi h i
этого
v
D
v
Pi ( Pv d ) cos
уравнение
i
(3.13)
v
Pi
D
cos
можно
i
.
записать
как
.
v
0
, то можно сформулировать теорему Жуковского:
(
Pi h i
P ур h ур )
0
,
(3.14)
или алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, перенесенных с
механизма в соответствующие точки повёрнутого на 900 плана скоростей,
относительно полюса равна нулю.
Рис. 3.15. План звена с повёрнутым на 900 планом скоростей
Последовательность
Жуковского:
определения
Pур
в
механизме
по
теореме
1. Построить повёрнутый на 900 (в любую сторону) план скоростей
механизма.
2. В соответствующие точки плана скоростей нанести все ранее
определённые внешние силы (включая силы инерции и силы веса),
действующие на механизм, в том числе и уравновешивающую силу Pур.
3. Составить уравнение вида (3.14). Плечи моментов сил брать из
повёрнутого плана скоростей.
4. Из составленного уравнения определить Pур.
Пример. Заданы внешние силы, действующие на звенья механизма Р2 и Р3.
Найдём уравновешивающую силу Рур, для чего построим план механизма в
масштабе длин (рис. 3.16) и повёрнутый на 900 план скоростей (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Повёрнутый на 900
Рис. 3.16. План механизма
план скоростей
Приложим силы в соответствующие точки k и b3 повёрнутого плана
скоростей, обозначаем плечи сил. Составляем уравнение моментов сил
относительно полюса плана скоростей:
M
Pv
P ур ( P v a )
P2 h 2
P3 ( P v b )
0
.
Отсюда
P ур
P2 h 2
P3 ( P v b )
Pv a
.
Если сила Pур получается с отрицательным знаком, то её предварительно
выбранное направление следует поменять на противоположное.
Лекция 10
3.3. Уравновешивание механизмов
При движении звеньев механизма возникают переменные динамические
силы, которые воспринимаются станиной через кинематические пары,
передаются на фундамент машины и перекрытия здания. Динамические
давления вызывают вибрационные явления: колебания машины, перекрытий.
Это приводит к снижению качества работы машины, ее прочности и
долговечности. Поэтому снижение виброактивности машины является одной
из актуальных задач машиностроения.
Один из методов снижения виброактивности
механизмов.
Механизм
будет
уравновешивание
уравновешенным,
если
динамические
давления, приложенные к его стойке, образуют уравновешенную систему
сил.
Рассмотрим некоторый механизм, имеющий n подвижных звеньев, и
запишем для него уравнения кинетостатики:
Ф
P
R
0
Ф
P
M
где
n
P
n
Pi , Ф
Фi, R
i 1
i 1
n
R i0
M
0
M
0
R
0
M
0
Ri0
(3.15)
0
0
главные векторы внешних сил, сил инерции
i 1
и реакций стойки на звенья соответственно;
M
,
R
M
P
0
M
0
Pi ,
M
Ф
0
M
0
Фi ,
главные моменты внешних сил, сил инерции, реакции
стойки относительно некоторой точки 0 соответственно.
Для уравновешенности механизма необходимо выполнение равенств
n
n
R i0
0,
i 1
M
0
R i0
0.
(3.16)
i 1
Из (3.15) следует, что для этого должны выполняться условия:
n
n
Pi
i 1
n
Ф
i 1
i
0,
n
M
i 1
0
Pi
M
i 1
0
Фi
0.
(3.17)
Таким образом, активные силы и силы инерции должны составлять
уравновешенную систему сил. Если активные силы уравновешены, то задача
сводится к уравновешиванию сил инерции его подвижных звеньев, т. е. к
обеспечению условий
n
Ф
0,
i
(3.18)
i 1
n
M
0
Фi
0
.
(3.19)
i 1
Уравновешивание сил инерции механизмов
Для механизмов с нелинейными функциями положения (рычажных,
кулачковых) в большинстве случаев возможно лишь выполнение условия
n
Ф
0.
i
В
таком
случае
уравновешивание
не
всегда
оказывается
i 1
эффективным. Силы, действующие на стойку механизма, приводятся к паре
сил, которая может вызвать угловые колебания машины.
Рассмотрим методы уравновешивания главного вектора сил инерции
механизма. Как известно из кинетостатики,
n
Ф
mas ,
i
(3.20)
i 1
где m
суммарная масса всех звеньев,
as
ускорение центра масс системы.
Следовательно, равенство (3.18) будет обеспечено, если
Vs
const .
механизма
as
или
0
Для выполнения условия уравновешивания (3.19) центр масс
должен
двигаться
неподвижной стойке должно быть
равномерно
Vs
0.
и
прямолинейно,
а
при
В этом случае главный вектор сил
тяжести звеньев занимает неизменное положение по отношению к стойке.
Следовательно, при этом все статические реакции оказываются
постоянными, не изменяющимися при движении механизма.
Для того чтобы центр масс механизма оставался неподвижным, к его
звеньям добавляют дополнительные массы, называемые противовесами.
Рассмотрим уравновешивание главного вектора сил инерции на примере
кривошипно-шатунного механизма (рис. 3.18, а). Пусть
звеньев;
m1,
m2,
массы звеньев;
m3
l1 ,
длины
l2
центры их масс. Покажем,
S1, S 2 , B
что при помощи противовесов можно привести общий центр масс в
неподвижную точку
O
.
Рассмотрим систему координат
Введем противовес массой
X
2
AY
2
(рис. 3.18, б) для второго звена.
связанный со звеном 2. Расположим его так,
m n2 ,
чтобы центр масс звеньев 2 и 3 оказался в точке
A.
Для этого должны быть
выполнены условия:
Задаваясь
величиной
m 2 xs2
m 3l2
m n 2 x 11
m 2 y s2
m n 2 y 11
массы
m n2 ,
0
можно
0
.
(3.21)
определить из
(3.21)
координаты установки противовеса:
m 2 xs2
x 11
Далее вводится противовес
x 1 oy 1
,
mn2
m 2 y s2
y 11
В системе координат
m 3l2
m n2
m n1 ,
.
связанный со звеном 1 (рис. 3.18, в).
можно записать следующие равенства при
условии, что центр масс механизма окажется в точке О:
m2
m 1 y s1
m3
mn2
m n1 y I
l1
0
m 1 s s1
m n1 x I
0
.
(3.22)
Уравнения (3.22) позволяют вычислить координаты x I и y I противовеса
при заданном значении массы m n 1 . Скорость центра масс механизма V 0 0 ,
следовательно, согласно (3.20) главный вектор сил инерции
n
Ф
i 1
уравновешивание произведено.
i
0,
а
б
в
Рис. 3.18
Рис. 3.19
Рассмотрим уравновешивание главного вектора сил инерции на примере
шарнирного четырехзвенника (рис. 3.19). Пусть
m2,
m3
массы звеньев;
S1, S 2 , S 3
двумя точечными массами
масс остался в точке
m
и
A
m
длины звеньев;
m1,
центры их масс. Заменим массу
m2
l1 , l 2 , l 3
с таким расчетом, чтобы общий центр
B
S2.
Тогда
mA
mA
m 2 , m A a2
m B l2
a2
или
mA
Введем противовесы
m n1
был в точке
O1 ,
m n1
m2
l2
и
a2 , m B
l2
l2
a2 .
(3.23)
так, чтобы общий центр масс
m n2
а центр масс
m2
m
B
и
, m3
m n2
в точке
O2.
m
A
, m1
и
Для этого
необходимо выполнить условия
m A l1
m 1 a1
m 3 l3
m3a3
m n1 a n1 ,
m n2 an2 .
(3.24)
Методы уравновешивания требуют введения противовесов, имеющих
значительную
массу.
Поэтому
ограничиваются
частичным
уравновешиванием по одной из схем:
а) уравновешивание одной из составляющих главного вектора сил
инерции;
б) уравновешивание отдельных гармоник сил инерции, могущих вызвать
резонансные колебания в случае, если действующие силы являются
периодическими функциями времени.
Избежать постановки противовесов можно, создавая конструктивно
уравновешенные
механизмы.
Например,
спаривая
два
кривошипно-
ползунных механизма, в которых полностью удовлетворяются условия
уравновешивания.
Частичное
конструктивное
уравновешивание
обеспечивается в многоцилиндровых двигателях внутреннего сгорания, в
которых цилиндры расположены по одну сторону от коленчатого вала.
Уравновешивание вращающихся масс
Большая скорость вращающегося звена вызывает значительные силы
инерции. Они вращаются вместе со звеном и превосходят его силу веса в
тысячи раз. Неуравновешенные силы инерции вызывают вибрации машины,
дополнительные напряжения в звеньях, преждевременный износ, а при
резонансе – поломки и аварии. Чтобы избежать этого, необходимо тщательно
уравновешивать силы инерции.
Все силы инерции (как сказано выше) можно привести к главному
вектору сил инерции
Ф
и главному моменту сил инерции
M
Ф
0
.
Если
Ф
0,
то центробежные силы инерции создают статическую неуравновешенность.
Она возникает в случае, когда центр вращающихся масс не лежит на оси
вращения звена.
С помощью противовеса (как показано выше) обеспечим скорость
центра масс равную нулю. Тем самым переместим этот центр на ось
вращения звена. При этом будем иметь
Ф
где
mi
i-я неуравновешенная масса;
вращения звена,
2
m i ri
0
,
(3.25)
расстояние i-й массы до оси
ri
угловая скорость вращения. Так как
0,
то условием
статического равновесия вращающегося звена является выражение
m i ri
0
(3.26)
0,
(3.27)
или
Di
где
Di
статический дисбаланс i-й массы, вычисляемый по формуле
Di
m i ri .
(3.28)
Уравновесим массу m 1 , которая находится на расстоянии
звена, вращающегося с угловой скоростью
дисбалансом
D
m n rn
2
D1
m 1 r1
, причем
противовеса;
rn
ri
от оси
(рис. 3.20). Массу с
можно уравновесить противовесом с дисбалансом
D1
D2
согласно (3.26). Здесь
0
mn
масса
радиус установки противовеса.
Рис. 3.20
Рассмотрим две вращающиеся в разных плоскостях массы, дисбаланс
которых
D1
D2
(рис. 3.21). Общий центр тяжести этих масс лежит на оси
вращения, но система не уравновешена, так как момент
реактивный момент и на опоры
и
RB.
A
и
B
M
Dl
вызывает
действуют вращающиеся реакции
R
A
В этом случае вращающаяся масса неравномерно распределена вдоль
оси вращения звена и возникает динамическая неуравновешенность.
Рис. 3.21
Следовательно, главный момент центробежных сил инерции
свою очередь, для
M
Ф
0
Ф
li
Ф
0.
0
В
имеем:
M
где
M
2
m i ri l i
0
,
(3.29)
расстояние неуравновешенной массы до некоторой точки
O.
Условие динамического равновесия запишем как
Ф
M
Так как
0,
2
m i ri l i
0
(3.30)
0.
то выражение (3.15) преобразуется к виду
m i ri l i
M
i
Di
0
,
где
M i Di
m i ri li
(3.31)
D i li
называют динамическим дисбалансом i-й массы.
Итак,
любые
противовесами,
вращающиеся
массы
расположенными
перпендикулярных
оси
в
вращения
можно
двух
уравновесить
произвольных
(статическое
и
двумя
плоскостях,
динамическое
уравновешивание).
Условием полной уравновешенности вращающихся масс являются
уравнения (3.32):
1.
Di
2.
M
m i ri
i
Di
mr c
0,
m i r i li
(3.32)
0,
где с – центр масс (центр тяжести)
Уравнение (3.32) можно решить графически с помощью векторных
многоугольников и аналитически с помощью проекций на оси координат.
Если взять ось вращения за ось Z, то аналитические выражения
уравнения (3.32) будут иметь вид:
xc
Из
этого
следует,
0
,
ус
что
0
,
y zx
0
,
y zy
вращающееся
0
.
тело
будет
полностью
уравновешено, если его ось вращения является главной центральной осью
инерции.
Рассмотрим
способ
неуравновешенных масс
уравновешивания
m1, m 2 , m 3
трех
вращающихся
(рис. 3.22, а).
1. Определим дисбаланс заданных масс двух противовесов, которые
расположим в двух произвольных плоскостях, перпендикулярных оси
вращения, проходящих через точки
D1
m 1r1
, D2
m 2 r2 , D 3
A
( m п1 )
m 3 r3 , D п1
и
B
(mп2 )
, по формуле (3.28):
m п1 rп1 , D п 2
m п 2 rп 2 .
2. Рассчитаем моменты дисбалансов масс относительно точки А:
D1l1 ; M
M1
2
D 2l2
; M3
D 3 l3 ; M
0
п1
; M
m п2 L
п2
.
Используя условие полной уравновешенности вращающихся масс,
согласно формулам (3.32) запишем:
D1
M1
D2
D3
D п1
D п2
M
M3
M
M
2
п1
п2
0,
(3.33)
0.
(3.34)
Сначала решаем уравнение (3.34), так как в нем одно неизвестное
M
п2
M
п1
. Строим в масштабе многоугольник моментов дисбалансов
0
(рис. 3.22, б). Замыкающий вектор является моментом дисбаланса
противовеса ( m п 2 ).
С помощью масштаба определяем величину момента дисбаланса
M
п2
m п 2 rп 2 L
. Затем находим величину дисбаланса противовеса
или, задаваясь массой
m п2
, рассчитываем радиус
rп 2
Dп2
m п2
m п2
Dп2
rп 2
.
Устанавливаем данные противовеса в пл. В параллельно вектору
M
п2
.
Для определения второго противовеса составляем уравнение дисбалансов по
формуле (3.33). Решая данное уравнение графически (рис. 3.22, в),
определяем
D п1 .
противовеса
m п1 .
Замыкающий вектор многоугольника является дисбалансом
Так же как и в первом случае, задаваясь
или, задаваясь массой
противовес
m п1
m п1 ,
rп 1 ,
определяем массу
находим радиус
в плоскости А параллельно вектору
rп 1
D п1
m п1
D п1 .
в
Рис. 3.22
D п1
rп 1
. Устанавливаем
а
б
m п1
Статическая и динамическая балансировка
Вращающиеся звенья нужно проектировать так, чтобы они были
уравновешены. Однако вследствие неточности изготовления, сборки,
неоднородности материала, эксцентричной посадки звено оказывается
неуравновешенным. Уравновешивание звеньев и узлов на специальных
приспособлениях и станках называется балансировкой. Конструктор должен
заранее предусмотреть плоскости размещения противовесов или съема
лишнего металла.
Статическая
параллелях
1,
балансировка
производится
на
балансировочных
представляющих собой две стальные закаленные призмы
(рис. 3.23). Они установлены строго горизонтально и параллельно друг
другу. На параллели кладут балансируемое звено
2,
которое будет
перекатываться до тех пор, пока его центр тяжести не займет низшее
положение.
Рис. 3.23
Сверху наклеивают кусочек пластилина и выводят балансируемое звено
из равновесия. Если деталь по-прежнему занимает устойчивое положение, то
меняют количество пластилина, добиваясь того, чтобы деталь заняла
безразличное равновесие. Затем взвешивают пластилин, определяя таким
образом
неуравновешенный
дисбаланс.
Далее
прикрепляют
соответствующий противовес или, чаще, высверливают лишний металл со
стороны центра тяжести.
Динамическая балансировка производится на специальных станках
различных
типов.
Рассмотрим
метод
резонансной
динамической
балансировки роторов на устройстве, разработанном в Московском
институте железнодорожного транспорта. Станок состоит (рис. 3.24) из
маятниковой рамы
2,
которая может поворачиваться вокруг горизонтальной
оси O и соединена пружиной 3 с фундаментом.
Рис. 3.24
Балансируемый
ротор
балансировочная плоскость
устанавливают
1
II
на
раме
так,
чтобы
проходила через ось O , а ось ротора была
горизонтальна. Ротор приводится во вращение со скоростью, несколько
большей, чем
(критическое, резонансное число оборотов). Затем
n кр
наблюдается замедление вращения ротора. Наибольшая амплитуда
Z
колебаний
4
рамы
(в
момент
резонанса)
измеряется
индикатором
.
Установлено, что между дисбалансом D 1 (который находится в плоскости 1) и
амплитудой Z существует зависимость
D1
где K
KZ
1,
(3.35)
масштабный коэффициент, он определяется заранее опытным путем
для роторов данной серии (по хорошо отбалансированному ротору).
По (3.35) рассчитывают дисбаланс D 1 . Для удобства крепления
противовеса выбирают расстояние
r
от противовеса до оси вращения ротора,
находят массу противовеса m 1 . В произвольном месте балансировочного
кольца радиуса
r
прикрепляют противовес весом G 1 , делают второй разгон и
определяют амплитуду Z 2 резонансных колебаний.
По амплитудам Z 1 и Z 2 определяют длину хорды h1 , на которую нужно
сместить противовес G 1 по окружности радиуса
r
из его произвольного
положения в истинное, из следующих соображений.
а
б
Рис. 3.25
При первом разгоне (без противовесов) можно считать, что в
балансируемой плоскости 1 находится на радиусе
G0
r
неуравновешенный груз
(рис. 3.25, а), который создает колебания Z 1 . При втором разгоне
поместим
груз
G1
(имеющий
дисбаланс,
равный
дисбалансу
неуравновешенного груза D 1 D 0 ) в произвольную точку A . Максимальная
амплитуда Z 2 при втором разгоне пропорциональна суммарному дисбалансу
груза G 0
и противовеса G 1 . Таким образом, амплитуда
Z2
будет
геометрической суммой амплитуды Z 1 , пропорциональной дисбалансу D 0
груза G 0 и амплитуды Z 2 , пропорциональной дисбалансу D 1 противовеса
G1 :
Z
2
Z1
Z
2
.
Так как дисбалансы груза G 0 и противовеса G 1 равны, то амплитуды Z 2
и Z 1 равны по величине. Поэтому Z 2
равнобедренного треугольника (рис. 3.25, б)
будет являться гипотенузой
AOB
KFE
, отсюда
следует, что треугольники AOB
и KFE
подобны. Следовательно, чтобы
противовес G расположить противоположно неуравновешенному грузу G 0 ,
его необходимо переместить из произвольного положения A в положение
B
, которое определяется хордой
h
. Хорду
h
найдем из подобия
треугольников AOB и KFE :
h
r
Z2
Z1
,
откуда
h
r
Z2
Z1
.
(3.36)
Далее груз G 1 переносят из точки A на величину h (в произвольную
сторону). Производят третий разгон. Если колебания ротора наблюдаются, то
груз G 1 переносят из точки A на величину h в противоположную сторону.
После
того
как
установлен
противовес
G1
в
нужном
месте,
балансируемый ротор переставляют, т. е. меняют местами балансирующие
плоскости
I
и
II
(рис. 3.24), и все операции повторяют. Для балансировки
большого количества одних и тех же деталей существуют станки-автоматы.
Лекция 11
МОДУЛЬ 4.
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С
ЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ
4.1. Анализ движения механизмов под действием заданных сил
Перейдем к рассмотрению второй задачи динамики
установлению
истинного закона движения по заданным внешним силам и массам.
Три стадии движения машины
Процесс
движения
машины
включает
три
периода:
разгон,
установившееся движение и выбег (рис. 62). Разгон характеризует
увеличение скорости главного вала машины. При этом происходит
нарастание кинетической энергии, это наблюдается при пуске машины в ход
или при переводе ее с меньшей скорости на большую. При выбеге (tВ)
скорость главного вала уменьшается, происходит убывание кинетической
энергии. Разгон и выбег относятся к неустановившемуся движению и
называют переходными процессами.
Aдв>Асопр
Адв=Асопр
Адв=0
ср
t
Разгон
Установившееся
движение
Останов
Рис. 4.1
При установившемся движении (tД) скорость главного вала изменяется
периодически. При этом кинетическая энергия и угловая скорость остаются
постоянными или колеблются относительно среднего значения.
Уравнения движения машины
Уравнение Лагранжа второго рода
Для определения закона движения механизма с одной степенью
подвижности (таких механизмов большинство) достаточно найти закон
движения одного звена (ведущего), на основании которого положения
остальных звеньев легко уставить методами кинематики. Для этой цели
обычно применяют уравнение Лагранжа второго рода либо уравнение,
устанавливаемое теоремой об изменении кинетической энергии системы.
Уравнение Лагранжа второго рода имеет вид
d
dE
dE
dE
dt
d
d
d
Q
,
(4.1)
где Е – кинетическая энергия механизма; Q – обобщенная сила;
–
обобщенная координата.
С решением данного уравнения подробнее ознакомимся ниже.
Уравнение кинетической энергии
В общем виде уравнение, выражающее теорему об изменении
кинетической энергии системы, следующее:
E
где
Ei
1
Ei
Ak
,
(4.2)
Ei+1 – текущее значение кинетической энергии системы;
Ei – предыдущее значение;
Ak – сумма работ всех сил и моментов сил, приложенных к системе
при перемещении последней из положения i в положение i+1.
Кинетическая энергия E механизма, машины, машинного агрегата равна
сумме кинетических энергий отдельных звеньев. В плоском механизме
звенья могут совершать поступательное, вращательное, плоскопараллельное
движение. Если звено движется поступательно, то его кинетическая энергия
E
mV
2
2
, где m – масса звена, V – скорость тела.
Если звено находится во вращательном движении вокруг неподвижной
оси, то его кинетическая энергия
2
J0
E
, где J0 – момент инерции звена
2
относительно оси вращения;
угловая скорость звена. Если звено
совершает плоскопараллельное движение, то кинетическая энергия такого
звена определяется по формуле
2
S
mV
E
2
где m, VS, JS,
2
JS
,
2
масса, скорость центров масс, момент инерции, угловая
скорость звена соответственно. Следовательно, кинетическая энергия
системы (механизма, машинного агрегата) определяется по формуле
n
2
n
E
m k V Sk
Ek
k
1
k
2
1
2
k
J Sk
,
2
(4.3)
где n – количество подвижных звеньев; k – номер звена. Для определения
работы всех сил, действующих на механизм, можно использовать формулу,
известную из курса теоретической механики:
n
A
n
S
j 1
Ak
k 1
j 1
Pk dS
k 1
S
k
cos
M
k
j
k
d
k
,
(4.4)
j
где Pk – сила, приложенная к k-й точке звена; Mk – момент пары сил k-го
звена; Ak – работа силы Pk (момента силы Мk);
элементарным перемещением
k
– угол между силой Pk и
j – номер положения.
dS ;
k
Подставляя 4.3 и 4.4 в 4.2, получаем
n
1
2
m k V Sk
J Sk
2
2
n
2
k
m k V Sk
S j 1
S j
2
k
J Sk
2
1
j 1
2
j 1
j 1
Pk ds
1
2
n
k
cos
M
k
k
d
k
.
j
Это уравнение – очень громоздкое со многими неизвестными.
Построение динамической модели (приведение масс и сил)
При исследовании движения механизма (с одной степенью свободы),
находящегося под действием сил, достаточно получить закон движения
одного из звеньев. За такое звено обычно принимают ведущее и называют
его звеном приведения. К нему приводят массы всех звеньев и силы,
действующие на звенья механизма. Звено приведения с приведенными
параметрами является динамической моделью механизма. Звено приведения
может совершать поступательное движение (рис. 4.2, а) и вращательное
движение (рис. 4.2, б).
а
б
Рис. 4.2
Положение
механизма
с
одной
степенью
свободы
(рис.
4.2)
определяется одной координатой, которую называют обобщенной. В
качестве ее можно принять линейную координату точки или угловую
координату вращающегося ведущего звена. Так, обобщенной координатой
может быть дуга S и угол
(см. рис. 4. а, б). При этом (рис. 4.2, а) точка А,
звено ОА, в дальнейшем будет динамической (условной, расчетной) моделью
механизма, машины, машинного агрегата (точкой приведения или звеном
приведения).
Приведение масс и сил к точке и к вращающемуся звену
Возьмем в качестве точки приведения точку А, а в качестве обобщенной
координаты
линейную координату точки А – дугу s
(см. рис. 4.2, б).
А0 А
Умножив и разделив выражение (4.3) на V A2 , а выражение (4.4) на dsА –
элементарное перемещение точки А, получим:
n
E МЕХ
Ek
n
S
n
A
k
j 1
Ak
k
mk
2
1
k
1
S
1
ds
Pk
1
2
n
1
ds
j
V Sk
JS
2
A
V
2
k
k
V
j 1
k
cos
d
M
k
A
2
VA
2
A
k
k
ds
ds
(4.5)
.
A
(4.6)
A
j
Умножив и разделив выражение (4.3) на
,
и выражение (4.4) на
2
1
d
1
,
получим:
n
E МЕХ
Ek
n
A
Pk
1
1
ds
d
k
JS
2
1
1
n
Ak
V Sk
mK
2
1
2
n
1
cos
k
2
k
2
1
k
M
1
2
1
dy
k
d
k
d
,
(4.7)
.
1
(4.8)
1
Каждый член скобки выражения (4.5) имеет размерность массы, а также
условный смысл массы, сосредоточенной в точке А.
В уравнении (4.7) каждый член скобки имеет размерность момента
инерции. При этом согласно (4.5) масса и момент инерции каждого звена
приводятся к точке А отдельно и имеют следующие условные значения:
2
2
m ПР
1
m1
VS
1
2
m ПР
;
VA
2
VS
m
2
2
m ПР
2
VA
J Sn
n
2
n
2
.
(4.9)
VA
Согласно (4.7) масса и момент инерции каждого звена приводятся к
вращающемуся звену ОА (рис. 4.3) и тогда приведенный момент инерции
каждого звена имеет значения:
2
J ПР
1
m1
VS
1
2
1
2
J ПР
2
m2
VS
2
2
1
J ПР
n
JS
2
n
n
2
1
.
(4.10)
а
б
Рис. 4.3
Таким образом, выражение в фигурной скобке (4.5) представляет собой
приведенную массу механизма (машины, машинного агрегата), которая
складывается из приведенных масс всех звеньев и частей данного механизма,
т. е.
2
n
mk
k
V Sk
V
1
JS
2
A
k
V
2
k
2
A
m ПР
(4.11)
n
m ПР
m ПР
1
.......
2
m ПР
m ПР i .
n
k
1
Выражение в фигурной скобке (4.7) представляет приведенный момент
инерции всего механизма (машинного агрегата), который складывается из
приведенных моментов инерции всех звеньев и частей машины, т. е.
2
n
mk
k
1
V Sk
2
1
J Sk
2
k
2
1
n
J ПР
J ПР
1
J ПР
...
2
J ПР . п
J ПР . k . (4.12)
k
1
Подставив (4.9) в (4.5), получим
2
n
E
Ek
k
m ПР V A
.
2
1
(4.13)
Подставив (4.5) в (4.7), получим
n
E
Ek
k
1
J ПР
2
2
1
.
(4.14)
Из равенства выражений (4.5) и (4.7), а также с учетом того, что
VA
1
l OA
определим
,
зависимость
между
приведенной
массой
и
приведенным моментом инерции. Разделив (4.12) на (4.11), получим
J ПР
На
основании
(4.11)
дадим
2
m ПР l ОА
(4.15)
.
определение
приведенной
массы.
Приведенной массой механизма называется условная масса, сосредоточенная
в точке приведения, кинетическая энергия которой равна кинетической
энергии механизма. Приведенная масса одного звена – это условная масса,
сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна
кинетической энергии данного звена.
На основании (4.12) дадим определение приведенного момента инерции.
Приведенным моментом инерции механизма называют условный момент
инерции
звена
приведения,
кинетическая
энергия
которого
равна
кинетической энергии всего механизма. При необходимости можно массу
любого звена привести к звену приведения.
Теперь обратимся к левой части уравнения (4.2), т. е. к выражениям (4.8)
и (4.10). Каждый член скобки (4.8) имеет размерность силы (Н), а также
условный смысл силы, приведенной к точке А и направленной параллельно
скорости VА (перпендикулярно звену ОА):
PПР
P1
1
ds 1
ds
cos
PПР
1 ;
2
P2
A
ds
ds
2
cos
2 ; PПР k
M
k
A
d
k
ds
A
.
(4.16)
Каждый член скобки выражения (4.10) имеет размерность момента силы
(Н
м
), а также условный смысл момента силы, приведенного к звену ОА, где
M
ПР 1
P1
ds 1
d
1
cos
M
1;
ПР 2
P2
ds 2
d
1
cos
2; М
ПP k
M
k
d
k
d
1
. (4.17)
Таким образом, выражение в квадратной скобке формулы (4.8) можно
представить как
n
Pk
k
1
ds
ds
k
cos
M
k
d
k
ds
А
k
A
(4.18)
n
PПР
PПР
PПР
1

2
PПР
PПР k .
k
k
1
Выражение в квадратной скобке (4.10) представляет собой суммарный
приведенный момент силы:
n
ds
Pk
k
d
1
k
cos
d
M
k
k
k
M
ds 1
1
ПР
(4.19)
n
M
M
ПР 1

ПР 2
M
ПР
M
k
k
ПР
.
k
1
Подставив (4.18) в (4.8), получим
n
A
Ak
k
где
P ПР ds
A
PПР ds
A
,
(4.20)
.
(4.21)
1
работа приведенной силы.
Подставляя (4.19) в (4.10), получаем
n
A
Ak
k
M
ПР
d
1
Из равенства выражений (4.20) и (4.21) и принимая во внимание, что
ds
А
l ОА d
, определим зависимость между приведенной силой (PПР) и
приведенным моментом сил (МПР). Так как
P ПР ds
А
M
ПР
d
,а
ds
А
l ОА d
,
то
M
ПР
PПР l ОА
.
(4.22)
Приведенную силу (PПР) и приведенный момент сил удобнее вычислять
через мощность как первую производную от работы по времени
N
dA
dt
.
Запишем выражение элементарной работы для приведенной силы, см.
(4.18):
dA
( Pk ds k cos
k
M kd
k
)
PПР ds
A
,
(4.23)
dA
( Pk ds
k
cos
M
k
k
d
k
)
M
ПР
.
d
(4.24)
Разделив обе части одинаковых равенств (4.24) и (4.23) на dt, получим:
dA
ds i
Pi
dt
cos
dt
M
i
d
i
i
PПР
dt
ds
A
M
dt
d
ПР
,
dt
или
N
где
N
P ПР
N
M
М
Pi v i cos
M
i
P ПР V A
i
M
ПР
1
,
(4.25)
– мощность приведенной к точке А силы;
А
– мощность приведенного момента сил к вращающемуся звену
ПР
ОА;
Pi V i cos
M
i
i
сумма мощностей всех сил, приложенных к
i
механизму (машине).
На основании формулы (4.25) дадим определение приведенной силы и
приведенного момента. Приведенной силой называется условная сила,
приложенная к точке приведения, мощность которой равна сумме мощностей
всех внешних сил, приложенных к механизму.
При необходимости любую силу можно привести к точке приведения,
см. (4.16). Приведенным моментом сил называют условный момент силы
(пары сил), приложенной к звену приведения, мгновенная мощность
которого равна мгновенной мощности всех сил, приложенных к механизму.
При необходимости любую силу можно привести к звену приведения, см.
(4.17).
Подставив (4.11) и (4.20) в уравнение (4.2) и отделив движущие силы от
сил сопротивления
P ПР .С
, получим
2
E
Si 1
2
m ПР V А
m ПР V А
2
2
i 1
Si 1
PПР .
i
Si
ДВ
ds
PПР .С ds
A
А
. (4.26)
Si
Уравнение (4.26) является исходным при определении истинного закона
движения точки А или тела, совершающего поступательное движение.
Математическое описание динамической модели дано на рис. 4.2, б.
Подставив выражения (4.12) и (4.21) в уравнение (4.2), получим
E
J ПР
2
2
J ПР
2
2
i 1
i 1
i 1
M
i
ПР . ДВ
d
M
i
ПР . C
d
.
(4.27)
i
Уравнение (4.27) является исходным при определении истинного закона
движения вращающегося звена 1 (ОА).
Звено, к которому приведены все силы и массы, является динамической
расчетной моделью механизма. Его называют звеном приведения. Связь
между приведенной массой и приведенным моментом инерции выражена
формулой (4.15). Связь между приведенной силой и приведенным моментом
сил выражается формулой (4.22).
J ПР
m ПР
2
l ОА ,
M
ПР
PПР
l OA
.
Решив уравнения (4.26) и (4.27) для последовательных положений
механизма, можно определить характер изменения приведенной силы и
приведенного момента сил (мощности всех сил механизма) работ движущих
сил, сил сопротивления, кинетической энергии и приведенного момента
инерции за цикл движения механизма в зависимости от обобщенной
координаты φ механизма.
Лекция 12
Уравнение движения машины в дифференциальной форме
В соответствии с законом изменения кинетической энергии (4.2)
дифференциал dE кинетической энергии массы равен элементарной работе
dA приложенной к ней сил:
dE
dA.
(4.28)
Имея в виду, что
2
J ПР
E
i
;
A
M
2
,
d
ПР
0
получим (4.28) в дифференциальной форме:
d
2
J ПР
i
d
M
ПР
2
d
M
d
ПР
,
0
или
2
J ПР
d
d
M
Если приведенный момент инерции
угла поворота
J
.
ПР
2
(4.29)
J
ПР
является функцией
ПР
звена приведения, то (4.29) дифференцируют как функцию
двух независимых переменных
M
ПР
и Jp:
2
d
J ПР
d
2
dJ
2
ПР
(4.30)
.
d
2
Производная сложной функции:
d
d
2
2
d
2
dt
2
dt
d
d
dt
2
1
2
d
.
(4.31)
dt
Дифференциальное уравнение (4.30) с учетом (4.31) примет вид
M
ПР
J ПР
d
dt
2
2
dJ
d
ПР
.
(4.32)
Когда силы и массы приводятся к точке, то аналогичным (4.32)
уравнением движения будет такое:
PПР
m ПР
dV
V
dt
2
dm
2
ПР
.
ds
(4.33)
Приведенные массы (моменты инерции), приведенные силы (моменты
сил) можно определить аналитическим, численным или графоаналитическим
методами. Суть решения задачи (определения истинного закона движения
машины) состоит в анализе характера изменения этих характеристик,
полученных на основе исходных данных (линейных размеров, масс, звеньев
механизма, сил, действующих на них, и т. д.).
Чтобы определить характер изменения массы или приведенного момента
инерции (кинетической энергии) механизма (машины, машинного агрегата)
за цикл движения машины, необходимо вычислить их значения в конкретных
последовательных положениях механизма.
Можно отметить несколько характерных свойств приведенной массы (и
приведенного момента инерции).
1. Приведенная масса, приведенный момент инерции вращающегося
звена, связанного со звеном приведения постоянным передаточным
отношением, есть величина постоянная.
2. Приведенные массы (моменты инерции) остальных звеньев механизма
– величины переменные, а следовательно, приведенная масса (момент
инерции) машины есть величина переменная.
Поэтому величину приведенного момента инерции можно записать так:
J ПР
J
ПР I
J ПР
II
const
var
J ПР
I
J ПР
II
,
- постоянная часть приведенного момента инерции;
- переменная часть приведенного момента инерции.
Так может быть определен приведенный момент инерции любого
механизма, машины, машинного агрегата. Для ряда механизмов (зубчатых и
других) переменное слагаемое равно нулю. Для таких механизмов
приведенный
момент
инерции
(приведенной
массы)
есть
величина
постоянная.
3. В выражение приведенного момента инерции входят лишь первые
передаточные функции (аналоги скоростей), величина которых в данном
положении механизма не зависит от величины скорости точки или звена
приведения. Значит, закон изменения приведенной массы (приведенного
момента инерции) не зависит от скорости звена приведения. Следовательно,
приведенная масса (приведенный момент инерции) является функцией
положения механизма (функцией обобщенной координаты) или
m ПР
;
m ПР s
J ПР
J ПР ( ) .
4.2. Установившееся движение машины
В установившемся режиме угловая скорость главного вала двигателя
или входного звена исполнительного механизма является периодической
функцией времени, период которой равен времени одного цикла (рис. 4.4). В
общем случае угловая скорость близка к постоянной и отличается от нее на
некоторую периодическую функцию (t):
0
где
(t )
;
(t
tЦ )
(t ) ,
tЦ – период цикла установившегося движения.
Рис. 4.4
Лекция 13
Неравномерность движения машин в установившемся режиме,
средняя скорость, коэффициент неравномерности
Неравномерность движения отдельных звеньев в механизмах зависит не
только от характера внешних сил, распределения масс, но и от структуры
механизма, его геометрии. Например, в рычажных механизмах все звенья,
совершающие поступательные и плоскопараллельные движения, движутся
неравномерно с переменными скоростями и ускорениями. В таких
механизмах кинетическая энергия, мощность приведенной массы, моменты
инерции, приведенные моменты сил являются функциями положения
ведущего звена. Следовательно, динамическая модель механизма, машины,
машинного агрегата – звено приведения, функцию которого выполняет
ведущее звено, нагруженное переменным приведенным моментом сил и
обладающее переменной кинетической энергией, движется неравномерно.
Ведущее звено в механизме обычно имеет наибольшую скорость по
сравнению с другими звеньями. Следовательно, неравномерность движения
ведущего звена усилит неравномерность остальных звеньев, вызывает
появление дополнительных реакций в кинематических парах, упругие
колебания в звеньях, вызывает появление дополнительных реакций в
кинетических парах, упругие колебания в звеньях. Все это вредно
сказывается
на
работе
машины,
прочности
ее
звеньев,
точности
выполняемых операций.
Каждой машине соответствует свой коэффициент неравномерности ,
который определяет степень максимального отклонения скорости (в сторону
увеличения до
max
, уменьшения – до
(
ср
max
(
max
min )
от ее среднего значения
min
)/
min
ср
.
ср
,
(4.34)
)/2
.
(4.35)
Допустимые коэффициенты неравномерности хода машины имеются в
справочниках машиностроителя, некоторые из них приводятся в табл. 5.
В машинах, в которых требуется высокая точность наполняемых
операций, например в станках, коэффициент неравномерности
в двигателях внутреннего сгорания
= 1/30–1/50,
= 1/50–1/80, в механизмах с очень
высокой скоростью ведущего звена (например, в электрогенераторах,
авиационных двигателях, турбогенераторах) коэффициент неравномерности
еще меньше:
= 1/100–1/300. В механизмах и машинах с небольшой
скоростью вращения ведущего звена (не более 100 об/мин) и с невысокими
требованиями
к
точности
выполняемых
операций
коэффициент
неравномерности колеблется от 1/5 до 1/30 (в насосах, сельскохозяйственных
машинах).
Задача динамического анализа
определить на основе исходных данных
(геометрических параметров, масс, сил) и результатов кинематического
анализа истинного закона изменения угловой скорости ведущего звена, для
того чтобы сравнить фактическую неравномерность с допускаемой. Если
фактический коэффициент неравномерности превышает допустимый, то
следует
предусмотреть
меры,
снижающие
неравномерность
до
определенного предела.
Таблица 5
Типы машин
Насосы
Сельскохозяйственные машины
Металлообрабатывающие станки
Ткацкие, полиграфические,
мукомольные
Бумагопрядильные
Судовые двигатели
Двигатели внутреннего сгорания
Компрессоры
Электрич. генераторы
постоянного тока
Авиационные двигатели
Турбогенераторы
Коэффициенты
неравномерности хода
1/5–1/30
1/5–1/50
1/20–1/50
1/10–11/50
1/60–1/100
1/20–1/150
1/80–1/150
1/50–1/100
1/100–1/200
1/200 и менее
1/200 и менее
Решение уравнений динамики графоаналитическим методом
Для решения интегральных уравнений (4.26), (4.27) предложено
несколько графоаналитических методов: методы Мерцалова, Зиновьева,
Гутьяра и других. Сущность этих методов
построение ряда диаграмм,
показывающих изменение приведенной силы (момента сил), работ движущих
сил (АД) и сил сопротивления (АС) их алгебраической суммы (АД АС), равной
изменению кинетической энергии (
E
), приведенной массы ( m ПР ) или
приведенного момента инерции ( J ПР ) в зависимости от времени или угла
поворота ведущего звена. Решим уравнение (4.27) на базе диаграммы
энергомасс. Диаграмма представляет зависимость между кинетической
энергией E машины и ее приведенным моментом
J
ПР
(рис. 4.5).
Рис. 4.5
Кривая
E
E J
ПР
позволяет определить угловую скорость
звена
приведения в любом положении механизма. Возьмем, например, точку,
соответствующую k-му положению механизма, и соединим ее с началом
координат (рис. 4.5).
Кинетическая энергия вращающегося звена приведения (машины) в k-м
положении определится как
J ПР
Ek
2
k
k
,
2
откуда
2Ek
2
k
где
Ek
yk
T
,а
J ПР
xk μ I
k
J ПР
,
(4.36)
k
.
Формула (4.36) является основанием для построения диаграммы
энергомасс. yk и xk – отрезки, изображающие в соответствующих масштабах
кинетическую энергию и приведенный момент инерции машины. Подставив
два последних равенства в (4.36), получим:
2
k
2
E
yk
I
xk
E
2
tg
(4.37)
k
I
Таким образом можно определить угловую скорость
k
звена
приведения для любого положения механизма. Наибольшая угловая скорость
(наименьшая
max
min
) будет там, где угол
принимает наибольшее
(наименьшее) значение. Это соответствует тому положению, где прямая OB
( OA ) касается кривой (рис. 4.7). При этом
2
max
E
2
tg
max
,
(4.38)
I
а
min
определится из уравнения
2
min
2
E
tg
.
min
(4.39)
I
Неполная диаграмма энергомасс
Известно (см. выше), что
E
где E, E0
E0
E
;
J ПР
J ПР
I
J ПР
II
,
кинетическая энергия машинного агрегата в конце и начале
рассматриваемого движения; E
приращение кинетической энергии;
J
ПР
приведенный момент инерции машинного агрегата;
J ПР
I
,
J ПР
II
постоянная
и переменная составляющая приведенного момента инерции машинного
агрегата.
Приращение кинетической энергии
E определяет формула (4.27),
формула (4.36) определяет зависимость между кинетической энергией
приведенным
моментом
инерции
J
и
ПР
служит
и
E
основанием
для
определения истинного закона изменения угловой скорости ведущего звена
на основе диаграммы энергомасс
E , J ПР
II
.
Для машинного агрегата сложно определить
полной диаграмме энергомасс
E
E J ПР
II
E
E J
ПР
E
, поэтому переход к
ведут от неполной диаграммы
.
Взяв в качестве динамической модели вращающееся звено (звено
приведения) и исходя из формулы (4.27), получим диаграммы энергомасс:
1) диаграммы приведенных сил сопротивления и движущих сил
[M
ПР.ДВ
,
]
и [M
ПР.С
,
];
2) диаграммы работ сил сопротивления и работ движущих сил
[ AC ,
],
];
[ A ДВ ,
3) диаграммы приращения кинетической энергии
[ E
A ДВ
AC ,
];
4) диаграммы переменной части приведенного момента инерции
[ J ПР
II
,
];
5) диаграммы энергомасс
[ E , J ПР
II
].
Рассмотрим построение зависимости
E
E J ПР
II
. Вычертим 12
совмещенных планов положений механизма, соответствующих одному
обороту ведущего звена. Если рабочий цикл машины завершается за два
оборота ведущего звена, то механизм вычертим в 24 положениях. Построим
12(24) планов скоростей и с помощью рычага Жуковского осуществим
приведение сил – найдем приведенный момент сил сопротивления
M
ПР .С
.
Силы сопротивления обычно задаются индикаторной диаграммой. В
расчетах учитываются также силы тяжести некоторых звеньев (если они
составляют
не
менее
10 15%
от
сопротивления). Построим зависимость
звена в выбранных масштабах
M
и
максимального
M
ПР .С
значения
от угла поворота
силы
ведущего
(рис 4.6, а).
Графически проинтегрировав диаграмму
M
, получим диаграмму
ПР .С
работ сил А, сил сопротивления за период (рис. 4.6, б). На этом графике
строим диаграмму работ движущих сил
что приведенный момент
M
ПР .д
Aд
. При этом предполагается,
Aд
движущих сил – величина постоянная и,
следовательно, его работа пропорциональна углу поворота ведущего звена.
Это выражается прямолинейным графиком. При установившемся движении
за период
Aд
. Поэтому для построения графика
Aс
прямой начальную и конечную точки диаграммы
Aд
Методом графического дифференцирования
приведенного момента
M
ПР.д
Aд
.
Aс
Aд
нужно соединить
строим диаграмму
движущих сил.
Произведем алгебраическое сложение ординат диаграмм
Aд
и
Aс
на
основе уравнения
E
Aд
Aс ,
E
E
и построим график приращения кинетической энергии (рис. 4.6, в).
Вычислим для всех положений приведенные моменты инерции
механизма по формуле (4.12). Построим диаграмму
J ПР
II
J ПР
в масштабе
II
J
(рис. 4.6, г).
Методом графического исключения параметра
E
E
и
J ПР
II
J
ПР II
Виттенбауэра (рис. 4.6, д).
на основе графиков
строим неполную диаграмму энергомасс
петлю
а
г
б
в
д
Рис. 4.6
От неполной диаграммы энергомасс легко перейти к полной диаграмме
E
E J ПР
, имея значение коэффициента неравномерности хода
формулы для вычисления углов
max
и
.
Выведем
(см. рис. 4.5). Ранее было
min
показано
max
min
ср
max
;
min
2
.
ср
Отсюда
max
min
max
min
2
ср
ср
;
.
Решив данную систему уравнений, получим
max
ср
1
/2 ;
min
ср
1
/2
.
(4.40)
Возведя эти уравнения в квадрат и пренебрегая членом
2
/4
ввиду
малости, имеем
2
max
2
min
(4.41)
.
1
ср
,
1
ср
Подставив (4.41) в (4.38) и (4.39), можно выразить
tg
tg
J
max
2
2
,
(4.42)
E
J
min
2
ср
1
1
2
ср
.
E
Проведем к петле неполной диаграммы энергомасс касательные под
углами
max
и
min
(рис. 4.7), которые соответствуют
и
max
min
.
Рис. 4.7
Получим новый центр координат и полную диаграмму энергомасс
E
E J ПР . .
Расстояния между осями координат соответствуют
(начальное значение кинетической энергии) и
приведенного момента инерции).
J ПР
I
a
J
E0
yK
E
(постоянная часть
Приближенное определение закона изменения угловой скорости звена
приведения (силы зависят от положения звена приведения) методом
Д.М. Мехонцевой.
Для определения истинного закона изменения угловой скорости
углового ускорения
t
и
ведущего звена воспользуемся неполной и полной
t
диаграммами энергомасс (рис. 4.7). Точки 0, 1, 2, . . . К, . . . на петле
Виттенбауэра (соответствующие углам поворота ведущего звена
0
. . .) соединим с началом координат диаграммы
E J ПР
.,
k
E
,
1
,
2
..
,
. Точки
пересечения лучей 01, 02, . . ., 0К, . . . c осью координат E отметим как 0, 1,
2, . . ., K, . . . . Введем следующие обозначения
y0
C0
,
C1, y2
y1
C2
, . . .,
yk
CK
a
OC
,
y min
AC
,
y max
BC
,
, . . . . Используя (4.37) и геометрические
соотношения (рис. 4.7), запишем
2
2
k
E
2
tg
j
где
J
a
J ПР
yk
E
k
j
2
a
E
J ПР
yk
,
(4.43)
I
постоянная часть приведенного момента инерции.
I
2
E
/ J ПР
2
I
.
(4.44)
yk .
(4.45)
Подставив (4.44) в (4.43), получим:
2
k
Из отрезков
отрезок
y min
2
k
. . . .,
yk
. . ., лежащих на ординате
и обозначим полученные разности
Этой разности
2
k
y 0 , y1 , y 2 ,
2
2
min
,
yк
y1 ,
y0 ,
. . .,
E
yk
, вычтем
yk
y min .
соответствует разность квадратов угловых скоростей,
так как согласно (3.105)
2
k
2
k
2
2
yk
yk ,
.
2
min
2
y min .
Значит,
(4.46)
Согласно (4.46) можно построить график зависимости приращения
квадрата угловой скорости
этого отложим отрезки
Функцию
2
yk
2
ведущего звена от угла его поворота . Для
на соответствующих ординатах (рис. 4.8, а).
продифференцируем по :
2
d
d
d
2
2
min
d
2
d
2
d
d
d
dt
d
,
окончательно:
2
d
d
d
2
d
2
d
d
2
d
d
dt
d
2
.
(4.47)
Следовательно, для получения закона изменения углового ускорения
достаточно построить диаграмму
2
(рис. 4.8, б).
a
б
Рис. 4.8
и продифференцировать ее
Рассмотрим метод определения закона изменения угловой скорости
при малом коэффициенте неравномерности хода
. В этом случае угол
поворота ведущего звена примерно пропорционален времени
Значит, ось
можно заменить осью
получить диаграмму
2
2
ср
При этом кривые диаграмм
t .
ср
и, интегрируя диаграмму
t
t
t
.
t ,
t,
и
совпадают. Диаграммы будут отличаться лишь положением осей
абсцисс. Расстояния между осями абсцисс определяются значениями
постоянных интегрирования. Приняв во внимание, что
d
ср
d
и
dt
ср
,
dt
подставим эти выражения в (4.47), тогда имеем:
2
d
2
ср
d .
Интегрируя части этого равенства, находим:
2
2
2
С
ср
,
С '.
2
cр
Из второго уравнения следует, что кривые диаграмм
одинаковый вид. Постоянные
ср
Си
и
2
имеют
учитывают с помощью масштабов
C
и расстояний между осями абсцисс.
2
2
2
ср
ср
2
2
с р
,
(4.48)
,
(4.49)
2
ср
где
2
ср
С
;
C
ср
(4.50)
2
Установим степень точности данного приближения. Обозначим
2
y1
f1
2
ср
ср
2
;
y2
f2
.
Угловую скорость
представим как
1
K /2
определяет степень отклонения
от
ср
Максимальная относительная погрешность
y1
y2
коэффициент
K
,
ср
0
.
K
Переменный
.
также будет иметь
y1
место при максимальном коэффициенте
Выразим
.
1
max
min
/2
из (4.40):
.
ср
Подставим это выражение в y 1 и y 2 . Тогда относительную погрешность
покажем как
0 , 005 .
2
/ 8.
Эта величина очень мала, например, при
Поэтому степень приближения
y2
Масштабы диаграмм
Определим масштабы диаграмм
к
2
[
y1
высока.
и
,
и
2
0 ,2
].
,
. Воспользуемся формулой
(4.43). Из нее видно, что
2
2
/ J ПР
E
.
1
(4.51)
Из (4.41) следует, что
2
max
2
min
2
ср
.
Из рис. 4.7
2
max
2
min
AB
2
.
Тогда
Выше было показано, что
max
(рис. 4.7), тогда
max
min
ср
/ AB
(4.52)
/ AB .
min
приращение угловой скорости
y
2
ср
2
2
ср
При малом коэффициенте
пропорционально приращению ординат
AB
.
Следовательно,
или
2
/2
ср
(4.53)
.
Расстояние между осями абсцисс
Расстояние между осями ординат диаграмм
2
min
(рис. 4.8, а). Следовательно, расстояние
y min
и
2
2
min
/
2
2
.
соответствует
Расстояние между
осями ординат S диаграмм
2
Оно соответствует
.
S
ср
/2
и
найдем по постоянной С' из (4.50).
2
Следует отметить, что при малом коэффициенте неравномерности хода
углы наклона касательных к петле (рис. 4.7)
max,
min,
друг от друга. Поэтому при построении диаграммы
эти углы одинаковыми и равными
Определим согласно (4.37)
k
мало отличаются
можно принять
2
ср .
2
ср
J
tg
ср
2
, где
n / 30
ср
(n – число
E
об/мин). Далее из точек 0, 1, 2, . . , K, . . . на петле Виттенбауэра (рис. 4.9)
проводим лучи, параллельные лучу
проведенная под углом
AK
yk
ср).
A
A
. (Луч
A
Отрезки на оси
A
касательная к петле,
y1 ,
E A1
, . . . используем при построении диаграммы
2
A2
y2
, ... ,
.
Рис. 4.9
При больших значениях углов
пересекают ось
A ,1 , 2 ,
. . .,
K ,.
E
касательные к петле и другие лучи не
в пределах чертежа. Они пересекают ось
. . (рис. 4.10). В этом случае отрезки
yk
J ПР
II
в точках
можно вычислить
следующим образом (рис. 4.11):
yk
AK
,
в свою очередь,
AK
AO
O K.
(4.54)
Рис. 4.10
Рис. 4.11
Из треугольника
KO K
следует, что
AO A
O K
видно, что
K O tg ψ
k
AO
A O tg
min
. Из треугольника
. Тогда, с учетом значений
AO
и
O K
,
имеем:
AK
При малом заменим
A O tg
max
и
k
yk
K O tg
min
на
ср
k
.
. Окончательно получим:
A K tg
ср
.
(4.55)
В частном случае, если углы
max
и
O K
K O tg
k
близки нулю (когда
приведенный момент инерции является постоянной величиной), закон
изменения угловой скорости описывается тем же графиком, что и
зависимость
.
E
Порядок построения диаграмм угловой скорости и углового ускорения
Из сказанного выше следует такой порядок определения законов
изменения угловой скорости и углового ускорения звена приведения.
Исходной
E
E J ПР
max
4
min
ср

, то вычислим
,а
2
ср
J
2
является
неполная
. Сначала определим углы
II
1
tg
базой
т
ср
max
диаграмма
и
min
энергомасс
из (4.41). Если
по формуле (4.36), из которой
ср
. Из точек 0, 1, 2, . . ., K, . . . кривой неполной
30
E
диаграммы энергомасс (рис. 4.9) проведем параллельные лучи под углом
к оси
J срII
цифрами
до пересечения с осью E. Точки пересечения отметим теми же
0
, 1,
2
, . . .,
K
, . . .. Нижнюю точку А примем за начало отсчета.
Построим диаграмму разности квадратов угловых скоростей
Для этого из точек 0, 1, 2, . . ., 12 (рис. 4.12, а) оси
A1, . . .,
ср
2
.
отложим ординаты A0,
(рис. 4.9) соответственно. Учитывая, что полученная кривая
A12
изображает одновременно диаграммы
диаграммы
2
,
2
,
проведем ниже оси
еще две оси абсцисс для диаграммы
2
2
и
.
Запишем формулы для определения расстояния между осями (рис. 4.12):
y min
y ср / 2
Диаграмму углового ускорения
2
2
ср
/
2
/2
;
.
построим, дифференцируя график
, рис. 4.12, б. Масштабы диаграмм вычислим по формулам (4.52),
(4.53), а
2
/2
H
.
а
б
Рис. 4.12
Регулирование установившегося движения машины
Периодическое (установившееся) движение машины характеризуется
колебаниями угловой скорости ведущего звена (звена приведения). Эти
колебания количественно оцениваются коэффициентом неравномерности
хода
(4.34). Изменение угловой скорости вызывает в кинематических
парах дополнительные (динамические) давления, которые снижают КПД
машины, ее надежность и долговечность, ухудшают рабочий процесс
машины. Поэтому каждой машине соответствует свой коэффициент
Некоторые допустимые значения приведены в табл. 5.
.
Если коэффициент неравномерности
машинного агрегата превышает
допустимый, то возникает задача уменьшить его до допустимых пределов.
Проанализируем уравнение (4.27).
Пусть
I ПР
II
0,
тогда
1
2
I ПР
I ПР
I ПР
const
I
2
i 1
I
2
i
. Согласно (4.27)
A дв
Ac
2 A дв
Ac
,
откуда
2
i 1
2
2
i
J ПР
.
I
Отсюда следуют 2 способа уменьшения колебаний угловой скорости:
1)
0
, когда
I ПР
и 2)
I
0
, когда
A дв
Aс
0
.
Второй метод регулирования колебаний угловой скорости заключается в
создании дополнительных переменных моментов, противоположных по
знаку
возмущающим
моментам.
Это
можно
достичь
применением
разгружателей. Введение разгружающего устройства (за счет наличия в нем
сил трения) приводит к увеличению сил сопротивления и, следовательно,
расходу энергии.
Подробнее рассмотрим способ увеличения приведенного момента
инерции
J
ПР
. Ранее было показано, что приведенный момент инерции
складывается из двух частей: постоянной
Переменная часть
J ПР
II
J ПР
I
и переменной
J ПР
II
.
обусловлена неравномерным распределением масс
звеньев, движущихся с ускорениями относительно центра масс системы. Это
вызывает появление сил инерции и реактивных сил в звеньях механизма,
опорах, фундаменте. Следовательно, увеличивать
J ПР
II
нельзя, его нужно
уменьшать. Поэтому неравномерность хода можно уменьшить лишь
увеличением постоянной части
J ПР
I
приведенного момента инерции. Эта
часть представлена массами и моментами инерции звеньев, движущихся с
постоянной угловой скоростью. Массы и моменты инерции звеньев связаны с
массой (моментом инерции) звена приведения постоянными передаточными
отношениями.
Если при фактическом моменте инерции
превышает
пределы
допустимой,
то
J ПР
неравномерность хода
I факт
разность
(необходимым) приведенным моментом инерции
определит дополнительный момент инерции
J
M
между
J ПР
расчетным
и фактическим
I рас
Его может обеспечить
.
установка в машине дополнительной (маховой) массы маховика. Момент
J
M
рассчитывают как
JM
J ПР
J ПР
I расч
.
факт
I
(4.56)
В свою очередь,
J ПР
где
J ПР.
п. м.
J ПР.кр
,
(4.57)
приведенный к кривошипу момент инерции ротора двигателя;
J ПР.р
J ПР.п.
J ПР.р
I факт
приведенный к кривошипу момент инерции передаточного
м.
механизма;
J ПР.
момент инерции кривошипа.
кр
Для заданного коэффициента
момент инерции
J ПР
определим расчетный приведенный
. Выше было показано (рис. 4.7), что
I расч
J ПР
Поскольку
J ПР
a
I ( расч )
J
.
(4.58)
входит в формулу (4.43), то для его определения
I ( расч )
приравняем правые части одинаковых равенств (4.41) и (4.42). Получаем:
2
Е
/ J ПР
I ( расч )
2
2
СР
Е
AB
/ AB
.
Отсюда следует, что
J
ПР I ( расч )
2
.
(4.59)
СР
При больших значениях углов
энергомасс пересекают не ось
Переход к
AB
E,
max
а oсь
и
J ПР
min
II
касательные к диаграмме
(рис. 4.11) в точках
A
и
B .
проводим по формуле (дается без вывода)
AB
O A tg
max
O B tg
min
.
(4.60)
Для определения момента инерции маховика методом Виттенбауэра
(при
M
) предварительно построим диаграмму энергомасс (рис. 4.7).
const
дв
Далее на основе заданного коэффициента
рассчитываем момент
маховика
J
M
J ПР
находим отрезок AB
и
по (4.59). Вычисляем момент инерции
I расч
(4.56).
Маховик представляет собой стальное или чугунное колесо, основная
масса которого сосредоточена в ободе (рис. 4.13). Маховик является
аккумулятором кинетической энергии механизмов машины, накапливая ее во
время ускоренного движения и отдавая обратно при замедленном движении.
Собственный момент инерции маховика определяется как
где D
2
/ 4,
(4.61)
средний диаметр обода маховика; m
масса маховика. Выразим
JM
массу m через объем и плотность
Определим
объем
mD
материала маховика.
обода
маховика
как
объем
равновеликого
параллелепипеда:
D ср b h ,
V
где
k1
в / D, k2
h/D
тогда
( k1 , k 2
m
V
1/5
1 / 10
Подставив значение массы
m
3
D ср k 1 k 2 ,
).
в (4.61), получим:
5
D
D ср b h
4JM /
(4.62)
k1k 2 .
Из уравнения (4.61) следует, что для уменьшения металлоемкости
маховика выгодно увеличивать его диаметр. Однако это противоречит
требованию
малых
габаритов.
Увеличение
диаметра
ограничивается
критической угловой скоростью.
При посадке маховика на вал, угловая скорость которого
i
кр
кривошипа, должно соблюдаться условие равенства кинетических энергий:
J Mi
2
i
/2
JM
2
кр
/ 2,
следовательно, момент инерции маховика на валу i
,
J Mi
JM
кр
/
2
i
JM
2
i кр .i .
(4.63)
Рис. 4.13
Таким образом, при посадке маховика на быстроходном валу момент
инерции его уменьшается обратно пропорционально квадрату передаточного
отношения
i кр .i .
Соответственно меньше будут габариты маховика.
Статическую характеристику двигателя при расчете маховика можно
учесть, если подставить в формулу (4.59) уточненное значение отрезка A n B n .
Лекция 14
4.3. Учет сил трения в силовом расчете
Трение в кинематических парах
Сила, препятствующая движению одного тела по поверхности другого,
называется силой трения. Трение является причиной износа деталей машин и
увеличения расхода смазки, топлива и энергии. При динамическом анализе и
синтезе механизмов в числе прочих сил требуется учитывать силы трения,
которые вызваны следующими физическими причинами.
Поверхности тел не абсолютно гладкие, а шероховатые и покрыты
большим количеством неровностей. Если поверхности А и В (рис. 51, а)
двигать относительно друг друга, то выступы будут задевать друг за друга,
деформироваться, возникнет сухое трение. Если же между поверхностями А
и В имеется такой промежуточный слой смазки, что поверхности не
соприкасаются, то такой вид трения называется жидкостным (рис. 4.14, б).
Существует также полусухое и полужидкостное трение.
б
a
Рис. 4.14
Природа сухого и жидкостного трения совершенно различна, поэтому
различны методы учета сил трения.
По видам относительного движения различают трение скольжения,
трение качения, трение качения со скольжением. Трение скольжения
при
котором поверхность одного тела скользит по поверхности другого. Такой
вид трения встречается как в низших, так и в высших кинематических парах.
Трение качения
при котором одна поверхность перекатывается по другой.
Оно встречается в высших парах.
Трение скольжения в поступательной паре (рис. 4.15, а)
Пусть на ползун действуют следующие силы:
ползуна (нагрузка),
нормальная реакция,
N
При движении ползуна вместо
жении, причем
F тр
F тр
0
. Здесь
F тр
N
R
0
P,
F тр
Q
движущая, P
вес
сила трения при покое.
0
действует сила трения
F тр
при дви-
а полная реакция
F тр
N .
(4.64)
Полная реакция R отклонена от нормальной реакции N на угол , (угол
трения) в сторону, противоположную движению ползуна. При трогании с
места угол трения равен углу трения
покоя. Определим его: по закону
0
Кулона
F тр
где f
f
N ,
(4.65)
коэффициент трения скольжения.
Из рисунка 4.15, а следует, что
F тр
tg
0
0
,
N
имея в виду (4.65), получаем
f
tg
0
;
0
arctg
f
.
(4.66)
Коэффициент трения f зависит от материалов соприкасающихся
поверхностей и чистоты их обработки.
Если изменять направление движения ползуна, то соответственно будет
отклоняться и полная реакция. Геометрическое место полных реакций
образует коническую поверхность, которая называется конусом трения (рис.
4.15, б). Если результирующая
движущей силы
Pрез
Q
и веса
P
проходит
вне конуса трения, то ползун будет двигаться. Иначе возникает явление
самоторможения.
Конус
трения
движ ени я
Конус
трения
п о ко я
а
б
Рис. 4.15
Трение при скольжении ползуна по наклонной плоскости
Пусть ползун под действием горизонтальной силы Q равномерно
движется вверх (рис. 4.16, а). Требуется определить величину этой силы. На
ползун действуют четыре силы: вес
сила нормального давления
N
P
, движущая сила
. Заменим силы
F тр
Q
, сила трения
F тр
и N одной полной
реакцией R, которая отклонена от нормальной реакции на угол трения
Тогда на ползун действуют три силы:
Q
,
R
,
.
, P .
Составим треугольник сил (рис. 4.16, б) согласно уравнению:
P
R
Q
0
.
Из треугольника сил находим движущую силу
Q
P tg
.
(4.67)
а
б
Рис. 4.16
При равномерном отпускании ползуна сила Q определится формулой
Q
P
tg
(4.68)
.
Наклонная плоскость обладает коэффициентом полезного действия,
который является отношением работы сил полезного сопротивления к работе
движущих сил. В данном случае полезной работой можно считать (рис. 4.17,
а) подъем ползуна весом P на высоту h. Тогда
(КПД) наклонной плоскости
найдем как
An
Ag
P h
.
(4.69)
Q l cos
С ам ото рм ож ен и е
н а п р ям ом ход е
С ам ото рм ож ен и е
н а о б р а т н о м хо д е
а
б
Рис. 4.17
Подставляем в (4.69) выражение Q по формуле (4.67) и, учитывая, что
h l
sin
,
получаем
P sin
P
tg
,
cos
или
tg
(4.70)
.
tg
При опускании ползуна под действием силы Q коэффициент полезного
действия
равен
tg
,
tg
(4.71)
так как в этом случае Q определяется по (4.68) и сила Р является движущей.
Рассмотрим условия возникновения самоторможения. При подъеме, если
90
90
, то из (4.70) следует, что
0.
Следовательно, движения
ползуна не будет (самоторможение). Максимальное значение КПД будет при
(найдем, если возьмем производную от (4.70) и приравняем ее к
45
2
нулю). На рис. 4.17, б показана зависимость
от угла
на подъеме
(изображена толстой линией).
Из (4.71) следует, что при опускании КПД оказывается отрицательным
при значениях угла , лежащих в пределах от 0 до . В этих пределах
движение под действием силы Р невозможно
самоторможения. Зависимость
от
наблюдается явление
при опускании ползуна показана на
рис. 4.17, б пунктирной линией.
Трение клинчатого ползуна
В данном случае поверхность касания ползуна 1 (рис. 4.18, а) и направляющей 2 имеет вид симметричного двухгранного угла. К ползуну 1 приложены: движущая сила
Q
, вес
P
, две нормальные реакции
N
и две равные
силы трения
Fт1 .
Сила трения
F тр
, равная
F тр
2 Fт1 ,
определится по
формуле
F тр
2N
f
.
(4.72)
Далее имеем уравнение равновесия в векторной форме:
N
N
P
0.
(4.73)
Строим треугольник сил (рис. 4.18, б) согласно (4.73). Из треугольника
имеем
P
2N
.
(4.74)
sin
Тогда (4.72) примет вид
F тр
f
P
,
(4.75)
f ,
(4.76)
,
(4.77)
sin
или
F тр
P
где
f
f
sin
где f'
коэффициент трения клинчатого ползуна, который больше
коэффициента трения f плоского ползуна.
а
б
Рис. 4.18
Трение в винтовой кинематической паре
При рассмотрении трения в винтовой паре делают ряд допущений:
1) давление гайки на винт (или наоборот) приложено по средней линии
резьбы;
2) действие сил в винтовой паре сводится к действию сил на ползун,
находящийся на наклонной плоскости (рис. 4.19, а).
Развертывая среднюю линию винтовой резьбы на плоскость, сводим
пространственную задачу к плоской (рис. 4.19, б).
Пусть на гайку А действует сила Р и некоторая пара сил в плоскости,
перпендикулярной оси винта. Момент М этой пары представим в виде
момента силы
Pk ,
приложенной на расстоянии r1 от оси z z , т. е.
M
Pk
r1 .
Чтобы гайка двигалась равномерно вдоль оси z z в направлении,
противоположном направлению силы Р, необходимо обеспечить равенство
Pk
где Q
r1
(4.78)
Q r,
сила, необходимая для равномерного перемещения тела А (гайки) по
наклонной плоскости В (рис. 4.19, б), угол подъема которой равен углу
подъема винтовой резьбы ; r
радиус средней линии резьбы.
Запишем векторное уравнение равновесия сил, действующих на гайку А:
P
Q
N
F тр
0.
(4.79)
Построим план сил согласно (4.79), из него имеем (рис. 4.19, в)
Q
P
tg
(4.80)
,
следовательно, с учетом этого выражения (4.78) примет вид
Pk
r1
P
,
r tg
(4.81)
или
Pk
P
r
r1
tg
.
(4.82)
Равенство (4.82) связывает величину Р с параметрами винтовой пары и
углом трения .
При движении гайки в направлении, совпадающем c направлением силы
Р, формула (4.82) примет вид
Pk
При
<
P
r
tg
.
r1
(4.83)
механизм винт-гайка является самотормозящимся, т. е. гайка
под действием силы Р не будет перемещаться (по аналогии с наклонной
плоскостью).
При треугольной резьбе (рис. 4.20) весьма приближенно считают, что
движение гайки аналогично движению клинового ползуна по желобу, у
которого угол между вертикалью и стенками желоба равен 90
угол подъема резьбы. Тогда коэффициент трения f
, где угол
клинчатого ползуна
согласно (3.28) будет равен
f
f
sin ( 90
f

)
,
cos
следовательно,
f
tg
tg
cos
.
(4.84)
Для учета трения в винтовой паре с треугольной резьбой нужно
пользоваться формулой (4.82), подставляя вместо угла
угол
, найденный
из (4.84).
Трение в треугольной резьбе больше, чем в прямоугольной. Поэтому
прямоугольная резьба называется ходовой (домкрат, ходовой винт токарного
станка и т.п.), а треугольная резьба
крепежная и применяется для
неподвижного соединения двух деталей. КПД резьбы можно подсчитать по
формуле (4.70).
б
в
а
Рис. 4.19
Рис. 4.20
Трение скольжения во вращательной кинематической паре
Предположим, что вал 1, располагающийся в подшипнике 2, находитcя
под действием силы P и внешнего момента М и вращается с постоянной
угловой скоростью
(рис. 4.21, а). Между валом и подшипником имеется
радиальный зазор. Тогда при вращении вала (при наличии трения) он будет
набегать на подшипник. Пусть касание вала и подшипника происходит в
точке А. Реакция R параллельна силе Р и отклонена от нормали N на угол
трения .
Величина силы трения
F тр
f
N
f
R cos
f
P cos
(4.85)
,
так как при равновесии вала R = P.
Момент М, приложенный к валу, уравновешивается моментом трения
M
где
r sin
F тр
тр
r
f
P r cos
P r sin
P
,
(4.86)
.
а
б
Рис. 4.21
Если из центра вала О описать радиусом
окружность (рис. 4.21, б), то
полная реакция R будет направлена по касательной к этой окружности. Круг
радиуса
считать
называют кругом трения. Так как угол трения мал, то можно
sin
tg
, тогда
r
f
, а момент трения определяется по формуле
M
где f
тр
P r
f ,
(4.87)
коэффициент трения во вращательной паре. f изменяется в
значительных пределах в зависимости от материалов, состояния трущихся
поверхностей и т. п.
Для неприработавшихся цапф f = 3/2f, для приработавшихся цапф
f
= 4/3 f, где
f
коэффициент трения плоских соприкасающихся
поверхностей из того же материала.
Пускай вращательная пара выполнена в виде пяты А и подпятника В
(рис. 4.22), нагруженных осевой силой Q. В этом случае на поверхности касания пяты и подпятника возникает сила трения верчения.
Если принять распределение давления равномерным по всей ширине
кольца, то величина удельного давления
Q
P
2
.
2
( r2
(4.88)
r1 )
Рис. 4.22
Выделим на пяте кольцо радиуса r , ширина которого равна бесконечно
малой величине dr (рис. 4.22).
Элементарный момент трения
dM
dM
Элементарную силу трения
dF тр
где
dP
на этой площади равен
r.
dF тр
тр
dF тр
f
тр
(4.89)
определим по формуле
n
dF тр
f
(4.90)
P 2 r dr ,
нормальное ускорение на кольцо, следовательно,
dM
f
тр
2
P 2
(4.91)
r dr .
Интегрируя (4.91) в пределах от r1 до r2, получаем
r2
M
тр
2
f
2
2
P r dr
f
3
r1
3
P r2
3
r1
,
(4.92)
или с учетом (4.88)
M
2
тр
3
3
Q
f
3
r2
r1
2
r2
2
r1
.
(4.93)
Если пята сплошная, то r1 = 0 и r2 = r, равенство (4.93) примет вид
M
2
тр
Q
f
r.
(4.94)
3
Трение качения
Рассмотрим вопрос об определении момента трения качения Мтр. В зоне
касания цилиндра, нагруженного силой Q, и плоскости возникает местная
деформация контактного сжатия на площадке шириной b (рис. 4.23, а).
Напряжения приближенно распределены по эллиптическому закону, а
равнодействующая N этих напряжений совпадает с линией действия силы Q.
Начнем
перекатывать цилиндр (рис. 4.23, б). Тогда участок ас площадки
контактного сжатия будет находиться в зоне нарастающих деформаций.
Следовательно, равнодействующая N напряжений смещена вправо на
величину k. При качении необходимо преодолеть некоторый момент Мтр
момент трения качения, определяемый по формуле
M
где k
тр
Q k,
(4.95)
коэффициент трения качения, измеряемый в мм.
Пусть под действием силы Р цилиндр равномерно (без скольжения)
перекатывается по плоскости (рис. 4.23, в). Равномерное перекатывание
цилиндра происходит под действием пары сил Р и F0.
F0
сила трения покоя, равная по величине Р. Пара сил, под действием
которой цилиндр перекатывается по плоскости, имеет момент М =Р r.
При равномерном качении должно быть выполнено условие
M
M
P r
Q
тр
или
k,
(4.96)
.
(4.97)
откуда
P
k
Q
r
а
б
в
Рис. 4.23
Под
действием
силы
Р
при
перекатываться, а при других
одних
условиях
цилиндр
может
скользить. Чтобы цилиндр равномерно
скользил, необходимо
P
F0
f0 Q.
(4.98)
Условия качения определяются равенством (4.96).
Чтобы цилиндр только скользил, необходимо чтобы кроме (4.98)
удовлетворялось еще условие
P
r
Q
k
f0
Q
r
, откуда
k
Q
или
k
f0
(4.99)
.
r
Чтобы цилиндр только перекатывался, необходимо, чтобы, кроме (4.96)
еще удовлетворялось условие
P
f0
Q
откуда
f0
k
r
.
(4.100)
Коэффициент полезного действия (КПД) машин
КПД машин определяется по формуле
A пc
,
A дв
где
(4.101)
работа сил полезного сопротивления,
A пc
В свою очередь,
A дв
A п.c
A в.с.
, где
A дв
работа движущих сил.
A в.с.
работа сил вредного
сопротивления, тогда
A
1
в.с .
A дв
отношение
A в. с.
,
(4.102)
коэффициент потерь.
A дв
Если
A дв
A в. с. ,
то
= 0. В этом случае движение механизма возможно,
но без совершения какой-либо работы (холостой ход).
Если
A дв
A в. с. ,
то движения механизма не может быть, это явление
носит название самоторможения. Получение при расчетах отрицательного
значения кпд служит признаком самоторможения или невозможности
движения механизма в заданном направлении.
Таким образом, КПД механизма может изменяться в пределах
1.
0
(4.103)
КПД последовательно соединенных механизмов
Рассмотрим определение
нескольких механизмов, соединенных
последовательно друг с другом (рис. 4.24, а).
A1
КПД первого механизма равен
A3
3
A2
и, наконец, n-го
An
n
A n -1
1
.
A дв
, второго
A2
2
A1
, третьего
Значение этого коэффициента можно получить, если перемножить КПД
всех механизмов:
1n
1
2
3
...
n
A1
A2
A3
A дв
A1
A2
...
An
An
An
1
(4.104)
A дв
а
б
Рис. 4.24
КПД параллельно соединенных механизмов
Определим КПД n механизмов, соединенных параллельно (рис. 4.24,
б). В этом случае работа сил полезного сопротивления
A nc
A nc
A дв
i
i
i.
(4.105)
Работа движущих сил A дв определяется по формуле
A дв
A дв
(4.106)
i
Следовательно, общий КПД согласно (4.106) для всей машины
A дв
об
При
1
2
...
n
об
A дв
i
.
i
i
.
i
(4.107)
КПД параллельно соединенных механизмов с одинаковыми КПД равен
КПД отдельного механизма.
Согласно формулам (4.104) и (4.107) низкий КПД отдельного механизма
при параллельном соединении меньше влияет на КПД всей машины, чем при
последовательном соединении механизмов.
Лекция 15
МОДУЛЬ 5.
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН С УПРУГИМИ
ЗВЕНЬЯМИ
а
б
в
Рис. 5.1
г
5.1 Структура динамического расчета
5.2 Динамические модели
Рис. 5.2
Физический объект – привод машины (рис. 5.3).
Рис. 5.3
Рис. 5.4
Рис. 5.5
Рис. 5.6
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Параметры диссипации и их приведение
Рис. 5.9
Рис. 5.10
5.3. Математические модели
Рис. 5.12
Рис. 5.13
Динамическая модель
Рис. 5.14
Математическая модель
5.4. Решение уравнений движения
9.5. Оптимизация колебательного процесса
Рис. 5.15
Лекция 16
МОДУЛЬ 6
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
6.1. Задачи и методы кинематического синтеза
Задача кинематического синтеза рычажного механизма состоит в
определении
постоянных
параметров
его
кинематической
схемы
удовлетворяющих заданным условиям.
Условия синтеза в общем случае разделяются на основные и
дополнительные. Основное условие – воспроизведение заданного движения
ведомого объекта с требуемой степенью точности. В качестве ведомого
объекта может выступать ведомое коромысло, шатун (или точка, прямая,
плоскость, связанная с этим звеном). Дополнительные условия синтеза
обеспечивают существование кривошипа в механизме, благоприятные углы
давления, ограничивают длины звеньев, габариты механизма и т. п.
Задачи синтеза рычажных механизмов включают:
1) задачи синтеза передаточных механизмов;
2) задачи синтеза направляющих механизмов.
Передаточным механизмом называется механизм для воспроизведения
заданной функциональной зависимости между перемещениями звеньев,
образующих кинематические пары со стойкой.
В свою очередь, в синтезе передаточных механизмов рассматриваются
две задачи:
а) воспроизведение ведомым звеном заданной непрерывной функции
положения на некотором диапазоне поворота ведущего звена;
б) воспроизведение нескольких дискретных положений ведомого звена.
Рассмотрим подробнее постановку задачи синтеза передаточного
механизма на примере шарнирного четырехзвенника (рис. 6.1). В общем
случае его кинематическая схема характеризуется пятью постоянными
параметрами: a, b, c,
0,
0.
Переменные параметры:
ведущего звена, отсчитываемый от линии начала отсчета I;
– угол поворота
– угол поворота
ведомого звена, отсчитываемый от линии II.
Шарнирный четырехзвенник может обеспечить некоторую функцию
положения ведомого звена
=
( , a, b, c,
0,
0),
которая зависит от угла
и пяти постоянных параметров кинематической схемы (рис. 6.2). Для
воспроизведения механизмом заданной функции положения f = f ( ) с
достаточной степенью точности следует подобрать такую комбинацию
параметров синтеза, при которой обе функции мало отличаются друг от
друга на заданном диапазоне поворота ведущего звена: 0
m,
где
m
правая граница диапазона. Степень малости определяется как максимальное
или среднеквадратическое отклонение функций.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Шарнирный четырехзвенник позволяет воспроизвести дискретные
положения ведомого звена. В этом случае заданная функция положения f = f
( ) должна точно совпадать с функцией
=
( , a, b, c,
0,
0),
воспроизводимой механизмом в точках, соответствующих заданным углам
поворота ведущего звена
1,
2,
n
(рис. 6.3). Путем подбора постоянных
параметров кинематической схемы механизма можно обеспечить равенство
fk =
k
(k = 1, 2, ..., N)
и, следовательно, решить задачу синтеза. Здесь k
количество дискретных
положений механизма.
Направляющим
механизмом
называется
механизм,
в
котором
траектория некоторой точки звена, образующего кинематические пары
только с подвижными звеньями, приближенно (точно) совпадает с заданной
кривой на всем ее протяжении или на некотором участке (погрешность
изготовления не принимается во внимание).
В общем случае кинематическая схема направляющего шарнирного
четырехзвенника (рис. 6.4) характеризуется постоянными параметрами: a, b,
c, e, xa, ya,
2,
0.
4,
постоянных параметров
x
Все они могут быть обозначены через вектор
. Пусть траектория точки М задана уравнением
F(x, y) = 0.
Задача
синтеза
направляющего
постоянных параметров механизма
x
механизма
состоит
в
подборе
таким образом, чтобы траектория
точки М, воспроизводимая механизмом, мало отличалась от заданной.
Координаты точки М полученной траектории имеют вид:
XM = XM ( , x ), YM = YM ( , x ).
Рис. 6.3
При синтезе рычажных механизмов используются следующие методы:
1) точные методы (позволяют точно воспроизводить движение);
2)
приближенные
методы
(позволяют
приближенно
воспроизводить
движение). Приближенные методы, в свою очередь, разделяются на
алгебраические и геометрические. Алгебраические методы основаны на
теории
приближения
приближении,
функций:
наилучшем
интерполировании,
приближении.
квадратическом
Геометрические
методы
используют кинематическую геометрию;
3) оптимизационные методы.
Рис. 6.4
4.2. Условия существования кривошипа и
угол давления в рычажных механизмах
Условия существования кривошипа
Прежде чем приступить к вопросам синтеза, рассмотрим свойства
шарнирного четырехзвенника, являющегося основой многих рычажных
механизмов. Предварительно отметим, что в шарнирном четырехзвеннике
(рис. 6.5, а) звено, совершающее полный оборот относительно неподвижной
оси, называется кривошипом; звено, совершающее неполный оборот
относительно
неподвижной
оси,
называется
коромыслом;
звено,
образующее кинематической пары со стойкой, называется шатуном.
не
Выведем условия существования кривошипа. Если ведущее звено АВ
кривошип, то за один оборот (цикл) механизм имеет два крайних положения,
в которых кривошип оказывается на одной прямой с шатуном BC
(рис. 6.5, б, в). Так как длина любой стороны треугольника меньше суммы
двух других его сторон, то согласно рис. 6.5, б имеем:
a + b < d + c.
(6.1)
Для рис. 6.5, в, запишем неравенство
c<b
или
a+d
a + c < b + d.
(6.2)
б
a
в
г
Рис. 6.5
На рис. 6.5, г показано характерное положение механизма, для него
имеет место неравенство:
a + d < b + c,
(6.3)
Неравенства (6.1), (6.2), (6.3) преобразуем к виду
a
b+c+d>0,
a+b
c+d>0,
a+b+c
d>0.
(6.4)
Выражение (6.4) называется условиями существования кривошипа
условиями Грасгофа.
Складывая почленно неравенства выражения (6.4), получаем:
a < b,
a < c,
a < d.
(6.5)
Рассмотренные неравенства (6.1), (6.2), (6.3), (6.5) приводят к
формулировке теоремы Грасгофа: наименьшее звено является кривошипом,
если сумма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин
остальных двух звеньев.
В случае когда сумма длин кривошипа и шатуна равна сумме длин
коромысла и стойки:
a + b = c + d,
(6.6)
получается двухкривошипный механизм, в котором звено CD также будет
делать полный оборот.
Если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев больше суммы
длин
двух
других
звеньев,
то
четырехзвенник
оказывается
двухкоромысловым, т. е. ни одно звено не может совершать полный оборот.
В кривошипно-ползунном механизме (рис. 6.6) условия существования
кривошипа a определяются очевидным неравенством:
a+e<b
или
a<b
e,
(6.7)
где e – дезаксиал.
Для кулисного механизма (рис. 6.7) из очевидных геометрических
соображений следует, что кулиса с будет кривошипом, если
a > d + e.
(6.8)
Кулиса с будет коромыслом, когда
a < d + e.
(6.9)
Рис. 6.6
Рис. 6.7
Угол давления в рычажных механизмах
Важной задачей синтеза является обеспечение благоприятных условий
передачи
сил
в
проектируемом
механизме.
Этого
ограничением угла давления. Углом давления
можно
достичь
называют угол между
направлением вектора силы, действующей на ведомое звено, и вектором
скорости точки приложения силы.
В шарнирном четырехзвеннике (рис. 6.5, а) угол давления
векторами силы
P
и скорости
Vс
. Как видно из рисунка, сила
Q
образован
, затраченная
на преодоление сил сопротивления, определяется как
Q = P cos .
(6.10)
Из (6.10) следует, что с уменьшением угла давления возрастает
движущая сила Q, уменьшаются потери на трение, увеличивается КПД
механизма. Поэтому при синтезе рычажных механизмов для рабочего хода
задается
передачи
передачи
max
max
min
300, а для холостого
= 900
max
450. Можно использовать угол
. В этом случае необходимо, чтобы минимальный угол
был больше некоторого допустимого угла
доп
согласно
неравенству
min
доп.
(6.11)
Лекция 17
4.3. Некоторые вопросы синтеза рычажных механизмов графическим
методом
Проектирование механизмов по заданному ходу ведомого звена
На практике часто требуется спроектировать механизм, у которого
задано перемещение звена между его крайними положениями (ход звена).
Рассмотрим, как решена эта задача для шарнирного четырехзвенника,
кривошипно-ползунного и кулисного механизмов.
Шарнирный четырехзвенник
Пусть требуется спроектировать механизм, у которого коромысло CB
имеет крайние положения CB/ и CB//, при этом угол размаха коромысла –
(рис. 6.8). Выберем за ось вращения кривошипа произвольную точку O.
Соединив точки O и B//, получим отрезок OB//, равный сумме длин
кривошипа a и шатуна b:
a + b = OB//.
Соединив точки O и B/, получим отрезок, равный разности длин шатуна
и кривошипа:
b
a = OB/.
Величины всех параметров определим, замерив соответствующие
отрезки. Так как длины отрезков c и d выбраны произвольно, то задача имеет
множество решений.
Целесообразно при синтезе механизма обеспечить условия (6.11). Угол
передачи меняется с изменением положения звеньев механизма и достигает
минимального значения в одном из крайних положений.
Пусть величина
min
задана для крайнего правого положения коромысла.
Тогда точку O (ось вращения коромысла) можно выбрать в любом месте
прямой I (или выше ее), проведенной через точку B// под углом
min
к правому
крайнему положению коромысла CB// (рис. 6.9). Угол
min
задан для крайнего
левого положения коромысла.
Рис. 6.8
Рис. 6.9
Центр O вращения кривошипа может быть выбран в любом месте
прямой II (или ниже ее), проведенной через точку B/ под углом
min
к левому
крайнему положению коромысла CB/ (рис. 6.9). Очевидно, чтобы текущий
угол передачи
min
был больше
min
, необходимо ось O вращения кривошипа
назначить в произвольной точке между прямыми I и II. Дальнейший расчет
размеров кривошипа и шатуна аналогичен предыдущему.
Кривошипно-ползунный механизм
Пусть задан ход ползуна H между его крайними положениями B/ и B//
(рис. 6.10). Произвольно выберем ось вращения кривошипа (точка O).
Соединим точки O и B//, полученный отрезок равен
a + b = OB//,
(6.12)
где a – длина кривошипа; b – длина шатуна.
Отрезок OB/, полученный соединением точки O и B/, равен
a = OB/.
b
(6.13)
Измерим отрезки OB/ и OB//, определим согласно (6.12) и (6.13) величину
кривошипа a и b. В кинематической схеме синтезированного механизма
параметр e называется дезаксиалом.
Рис. 6.10
Так как положение оси O кривошипа выбрано произвольно, возможно
множество решений данной задачи. Учтем при ее решении ограничение на
угол давления
(или угол передачи
механизма угол давления
). Для кривошипно-ползунного
– это угол между шатуном и вектором скорости
ползуна (рис. 6.10). Он принимает максимальное значение (а угол передачи –
минимальное),
когда
кривошип
находится
в
верхнем
вертикальном
положении. Чтобы не превысить заданное максимальное значение угла
давления
max,
параметры
удовлетворять неравенству
спроектированного
механизма
должны
е
a
sin
.
max
b
(6.14)
На практике часто применяют центральные кривошипно-ползунные
механизмы (e = 0). Очевидно, что для таких механизмов
H = 2a.
(6.15)
Таким образом, у всех центральных механизмов с одинаковой длиной
кривошипа a будет одинаков ход H.
Для нецентральных механизмов ход ползуна близок двум радиусам
кривошипа:
H
2a.
В кривошипно-ползунном механизме уменьшение угла давления
ведет
к уменьшению ускорения и силы инерции ползуна. Одновременно
увеличивается параметр b и, следовательно, габариты механизма. Поэтому в
автомобильных двигателях, где уменьшение габаритов имеет особое
значение, принимают
λ
a
1
1
b
3
4
.
В стационарных поршневых насосах
λ
1
1
4
5
,
в поршневых насосах и кривошипных прессах
λ
a
1
1
b
5
8
.
Кулисный механизм
Рассмотрим проектирование кулисного механизма по заданному ходу H
(углу размаха
) кулисы (рис. 6.11). На рисунке показаны крайние
положения кулисы 3. В этих положениях кулиса касательна окружности
радиуса кривошипа r. Поэтому из прямоугольного треугольника O1A/O
следует
r
l OO
По заданному углу
sin
2
1
.
(6.16)
из выражения (6.16) вычислим отношение r / lOO1.
Значения параметров r и lOO1 определим на основании некоторых
конструктивных соображений.
Проектирование механизмов
по заданному коэффициенту изменения скорости
На рис. 6.8 видно, что коромысло CB при переходе из одного крайнего
положения в другое поворачивается на один и тот же угол
кривошип OA поворачивается на разные углы
р
. При этом
(на рабочем ходе) и
х
(на
холостом ходе). Следовательно, при постоянной скорости вращения
кривошипа время перехода из одного крайнего положения в другое
оказывается различным, соответственно различной оказывается и средняя
угловая скорость коромысла.
Отношение средних скоростей выходного звена за время движения в
прямом и обратном направлениях называют коэффициентом K изменения
средней скорости выходного звена. Он равен
K
где Θ
р
Θ
к
Θ
,
(4.17)
угол между положениями шатуна соответствующими крайним
положениях коромысла.
При заданном значении K угол Θ находится по формуле, полученной
из (6.17):
Θ
K
1
K
1
.
(6.18)
Рис. 6.11
Рис. 6.12
Коэффициент изменения средней угловой скорости K имеет место также
для нецентрального кривошипно-ползунного и кулисного механизмов. Для
кулисного механизма
Θ
(рис. 6.11).
На практике часто требуется спроектировать механизм с наперед
заданным коэффициентом K. Рассмотрим в качестве примера синтез
кривошипно-коромыслового механизма.
Пусть заданы крайние положения коромысла СB/ и CB//. Проведем через
точку B/ в произвольном направлении прямую B/I, а через точку B// под углом
Θ
к этому направлению – прямую B//II (рис. 6.12). Точка O пересечения этих
прямых может быть выбрана центром вращения кривошипа. Однако это не
единственное решение. Другие возможные варианты найдем следующим
образом. Проведем окружность через точки B/, B// и O. Любую точку,
например A, лежащую на этой окружности, можно принять за центр
вращения кривошипа. Доказательством этого является то, что лучи,
соединяющие выбранную точку с точками B/ и B//, образуют угол, равный
Θ
(как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). При этом возможно учесть
ограничение на угол давления и конструктивные соображения.
Лекция 18
МОДУЛЬ 7
СИНТЕЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
Зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного
движения от одного вала к другому с заданным отношением угловых
скоростей.
Передача непрерывного вращательного движения от одного вала к
другому может осуществляться как с помощью промежуточного гибкого
звена (ременная, цепная, канатная передачи), так и путем непосредственного
взаимодействия ведущего звена на ведомое (зубчатые колеса). В зубчатой
передаче
оба
звена
имеют
выступы
определенной
формы
(зубья),
разделенные впадинами. Во время работы передачи зубья одного звена
последовательно
входят
во
впадины
другого.
В
зависимости
от
расположения осей зубчатых колес различают следующие передачи:
цилиндрическая
оси колес параллельны. Цилиндрическая пара бывает с
внешним (рис. 7.1, а) и внутренним (рис. 7.1, б) зацеплением зубьев.
Частным случаем цилиндрической передачи является реечная передача (рис.
7.1, в); коническая
оси колес пересекаются (рис. 7.2); гиперболоидная
колес скрещиваются (рис. 7.3). Частные
7.4), винтовая передача.
случаи
оси
червячная передача (рис.
Рис. 7.1
Рис. 7.3
Рис. 7.2
Рис. 7.4
7.1. Основы теории эвольвентного зацепления
Основная теорема зацепления
Профили зубьев двух колес, передающих непрерывное вращательное
движение с постоянным отношением угловых скоростей, не могут иметь
произвольный
вид.
Условия,
которым
должны
отвечать
кривые,
очерчивающие эти профили, устанавливает основная теорема зацепления.
Пусть зубья колес 1 и 2, вращающихся с угловыми скоростями
1,
2,
касаются друг друга в точке A (рис. 7.5). Запишем формулировку основной
теоремы
зацепления:
общая
нормаль
к
профилям
зубчатых
колес,
проведенная в точке их касания (зацепления), делит межцентровое
расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.
Докажем теорему. Для того чтобы колеса 1 и 2 были в постоянном
соприкосновении, необходимо обеспечить равенство
n
V1
где V1 n , V 2n
нормаль n
n
V2 ,
(7.1)
проекции скоростей V 1 и V 2 точки A касания звеньев 1 и 2 на
n (рис. 7.5).
– касательная.
В свою очередь,
V1
n
V 1 cos
1
n
,
V2
V 2 cos
2
.
(7.2)
Учитывая, что
V1
1
1
,
V2
2
2
,
(7.3)
получаем из (7.2)
1
1
cos
1
2
2
cos
2
.
(7.4)
Восстановим из точек O1 и O2 перпендикуляры O1K и O2L на нормаль n n.
Из треугольников O1AK и O2AL имеем:
O1 K
1
cos
1
,
O2L
2
Подставим (7.5) в (7.4), получим равенство
1O 1 K
2O 2
L
cos
2
.
(7.5)
или
1
O2L
2
O1 K
.
(7.6)
Из рис. 7.5 видно, что
O 1 KP
O 2 LP .
Из подобия следует пропорция
O2L
O2P
O1K
O1P
.
(7.7)
Подставив (7.7) в (7.6), получим:
1
O2P
2
O1 P
Рис. 7.5
.
(7.8)
Пропорция (7.8) является доказательством теоремы зацепления. Из
уравнения (7.8) следует: постоянство отношения угловых скоростей
1
2
,
которое называется передаточным отношением, возможно, когда точка P
(полюс) пересечения нормали n
n с линией центров O1O2 занимает на этой
линии постоянное положение. Кривые, удовлетворяющие этому требованию,
называются сопряженными и могут быть использованы для образования
боковых поверхностей зубчатых колес. Таких кривых много, но на практике
чаще всего используется эвольвента. Полюс P является мгновенным центром
скоростей колес при их относительном движении. Действительно, из (7.8)
скорости точки P равны
1O 1 P
2O 2
P
.
Лекция 19
Геометрия, уравнение и свойства эвольвенты
Эвольвентой называется кривая, которую описывает какая-либо точка
прямой, катящейся без скольжения по окружности. Прямая линия называется
производящей, а окружность
основной (радиуса rb).
Пусть дана основная окружность радиуса rb и некоторая точка P вне ее.
Требуется построить эвольвенту, проходящую через эту точку. Проведем
через точку P (рис. 7.6, а) касательную к основной окружности. Расстояние
PA разделим на несколько равных частей (например на 6). Длину малого
отрезка, получившегося в результате деления, обозначим через h. Далее, из
точки A касания образующей прямой делаем 6 засечек на основной
окружности раствором циркуля, равным h, нумеруем точки (рис. 7.6, а).
Через все промежуточные точки проводим касательные к основной
окружности. На каждой касательной откладываем такое число отрезков h,
которое совпадает с номером соответствующей точки на основной
окружности. Полученные точки 0, 1', 2', ..., P соединяем плавной кривой,
являющейся искомой эвольвентой. Эвольвенты, описываемые различными
точками B, C, ... образующей прямой при ее качении по окружности, одинаковы.
Выведем уравнение эвольвенты в полярных координатах (рис. 7.6, б) r и
, где r
полярный радиус;
полярный угол.
Так как образующая перекатывается по основной окружности без
скольжения, то
AP
Подставим в (7.9)
AP
AK .
и
rb tg
tg
AK
(7.9)
, имеем
rb
inv
.
(7.10)
Функция (7.10) носит название инволюта. Существуют специальные
инволютные таблицы, позволяющие определить
соответствующий угол
inv
, или по этой функции
. Радиус r найдем из зависимости
r
rb cos
.
(7.11)
а
б
Рис. 7.6
Формулы
(7.10)
и
(7.11)
выражают
уравнение
эвольвенты
в
параметрической форме.
Для теории зацепления важное значение имеют следующие основные
свойства эвольвенты:
1) эвольвента начинается на основной окружности и всегда проходит
вне ее;
2) образующая прямая в каждой точке нормальна к эвольвенте и
одновременно касательна к основной окружности;
3) форма эвольвенты зависит только от радиуса rb основной окружности;
4) эвольвента – кривая без перегибов.
7.2. Основные геометрические параметры нулевого зубчатого колеса
Рассмотрим
сечение
нулевого
зубчатого
перпендикулярной его оси вращения (рис. 7.8).
колеса
плоскостью,
Рис. 7.8
Одна из окружностей зубчатого колеса является делительной, и ее
диаметр обозначается d. Запишем выражение для длины этой окружности:
d
где P
(7.12)
шаг-расстояние по делительной окружности между одноименными
точками соседних зубьев; Z
числу
PZ ,
число зубьев на колесе. Отношение шага P к
назвали модулем m (мм):
m
.
P
(7.13)
Величина модуля m определяется из расчета на прочность и уточняется
по таблице стандартных модулей. Имея в виду (7.13), записываем формулу
для вычисления диаметра делительной окружности:
d
mZ
.
(7.14)
В связи с этим уточним определение делительной окружности,
расчетной
окружности
стандартного
модуля
и
шага.
Часть
зуба,
выступающая за пределы делительной окружности, называется головкой
зуба. Для нулевого колеса ее высота h a m . Часть зуба, проходящая ниже
делительной окружности, носит название ножки зуба. Высота ножки
нулевого колеса
hf
1, 25 m
.
Диаметр окружности вершин (головок) d a (рис. 7.8) равен
da
m Z
2
,
(7.15)
а диаметр окружности впадин (ножек) определяется как
d
f
m Z
2 ,5
.
(7.16)
Шаг P складывается из толщины зуба S и ширины впадины e, при этом в
нулевом колесе:
S
0 ,5 P .
e
(7.17)
Расстояние между осями двух колес равно
a
m Z1
Z
2
.
(7.18)
2
Радиус основной окружности rb определяется формулой (7.11):
rb
где
r cos
,
(7.19)
профильный угол рейки (см. параграф 7.4).
Как видно, все геометрические параметры колеса вычисляются через
модуль m, который является основным параметром геометрии зубчатого
колеса.
Лекция 20
Эвольвентное зацепление и его свойства
Пусть вращательное движение передается при помощи зубьев, профили
которых выполнены по эвольвентам Э1 и Э2 основных окружностей rb1 и rb2
(рис. 7.7). На основании теоремы зацепления и свойства эвольвенты можно
показать, что отношение угловых скоростей в этом случае постоянно:
1
2
const
. Докажем это.
Нормаль к эвольвенте проходит касательно к основной окружности. Раз
нам нужно провести общую нормаль, то проводим общую касательную к
основным окружностям N1N2.
Рис. 7.7
Действительно, общая касательная N1N2 к основным окружностям
нормальна к каждой из эвольвент и поэтому проходит через
точку их
касания (точку K). Согласно основной теореме зацепления нормаль N1
N2 (к
эвольвентам Э1 и Э2) делит межосевое расстояние O1O2 на части, обратно
пропорциональные угловым скоростям
1
2
O 2 P O1 P
. Так как прямая N1
N2 касается одних и тех же основных окружностей, то при вращении колес
она все время занимает одно и то же положение и постоянно пересекает
межосевое расстояние в точке P. Следовательно, при любом положении
зубчатых колес имеем передаточное отношение
1
2
const
. Так как
эвольвенты Э1 и Э2 были выбраны произвольно, то и другие эвольвенты,
например Э`1 и Э`2, касаются по прямой N1
Прямая N1
N2 (в точке K`).
N2 является геометрическим местом контакта двух
эвольвентных профилей и называется линией зацепления. Так как линия
зацепления занимает одно и то же положение, то сила давления одного зуба
на другой не меняет своего направления. Это положительно сказывается на
прочности передачи. Точка P пересечения линии зацепления с линией
центров O1O2, определяющая мгновенный центр скоростей двух профилей в
их относительном движении, является полюсом зацепления.
Окружности радиуса
rW
, касающиеся друг друга в полюсе P и в
относительном движении перекатывающиеся друг по другу без скольжения,
носят название начальных.
Эвольвентное зацепление (как внешнее, так и внутреннее) допускает
изменения межосевого расстояния O1O2 с сохранением передаточного
отношения. Рассмотрим треугольники O1N1P и O2N2P, они подобны. Из этого
следует пропорция
O2P
rb
2
O1 P
rb
1
и тогда
1
rb
2
2
rb
1
.
Таким образом, передаточное отношение
1
2
зависит от радиусов
основных окружностей, а они не меняются при изменении межосевого
расстояния.
7.3. Изготовление зубчатых колес
Рассмотрим в самых общих чертах методы нарезания эвольвентных
зубчатых колес. Они обычно нарезаются на фрезерных станках двумя
методами: I) методом обкатки и 2) методом копирования.
Метод копирования
При методе копирования режущая кромка фрезы имеет очертания
впадины между зубьями. Фреза 1 (рис. 7.9) вращается вокруг своей оси и
перемещается вдоль боковой поверхности образующей зуба заготовки 2. По
прохождении всей впадины фреза возвращается в исходное положение.
После этого нарезаемое колесо поворачивается на величину угла
2
Z
,
где Z – число зубьев нарезаемого колеса, и процесс повторяется. На рис. 7.9, а
показано нарезание колеса дисковой фрезой, а на рис. 7.9, б – пальцевой фрезой.
Недостатком этого метода является невысокая точность. Это вызвано
тем, что одной фрезой точно можно нарезать колесо с определенным числом
зубьев, так как форма впадины зависит от радиуса основной окружности и,
следовательно, от числа зубьев. Для уменьшения парка инструментов
составлен стандартный ряд фрез, каждая из которых используется для
нарезания колес определенного диапазона чисел зубьев. Тем самым заведомо
допускается неточность изготовления колеса.
а
б
Рис. 7.9
Рис. 7.10
Метод обкатки
Метод обкатки заключается в том, что режущему инструменту и
заготовке сообщают то относительное движение, которое имели бы два
колеса, находящиеся в действительном зацеплении. В таком случае режущий
инструмент также представляет собой зубчатое колесо. Инструмент может
быть выполнен в виде зубчатого колеса (долбяка), инструментальной рейки,
червячной фрезы.
На рис. 7.10 показан процесс нарезания зубчатого колеса долбяком.
Долбяк совершает поступательное движение параллельно оси нарезаемого
колеса. Одновременно долбяку и заготовке сообщается вращательное
движение с тем же отношением угловых скоростей
Д
, как если бы они
находились в зацеплении. Практически процесс долбления имеет ряд
последовательных операций вверх (холостой ход) и вниз (рабочий ход),
поворота нарезаемого колеса и т. д. Все движения строго согласованы с
кинематическими соотношениями, определяющими долбяк и заготовку как
два колеса, находящихся в зацеплении.
Профиль нарезаемого колеса получается как огибающая всех положений
режущей кромки долбяка. Инструмент как бы обкатывает нарезаемое колесо.
Так как для любого зубчатого колеса может быть спроектирована
сопряженная
с
ним
рейка,
то
вместо
колеса-инструмента
может
использоваться инструментальная рейка.
Сечение червячной фрезы (широко используемой в зубонарезании)
плоскостью, проходящей через ее ось, является профилем инструментальной
рейки.
7.4. Геометрия инструментальной рейки
Производящий контур инструментальной рейки показан на рис. 7.11.
Прямая, для которой толщина зуба S равна ширине впадины e:
S
e
P 2,
(7.20)
называется средней прямой рейки. Поскольку режущие кромки зубьев
прямолинейны, то шаг P по любой делительной прямой рейки (параллельной
средней)
величина постоянная. Высота головки и высота ножки
стандартной рейки одинаковы и равны
ha
где
ha
1
hf
ha m ,
коэффициент высоты головки зуба.
Рис. 7.11
(7.21)
Для обеспечения соответствующей глубины впадины колеса вводится
величина
радиальный зазор
переходной кривой зуба
стандартной рейки
20
f

0,4 m
c m
. Коэффициент
. Угол
c
0 . 25
. Радиус
профильный угол рейки. Для
.
Часть инструментальной рейки, ограниченная штриховой линией на
высоте головки ha , называется исходным контуром рейки. Эвольвентную
часть зуба нарезает только исходный контур, а часть зуба рейки выше
исходного контура образует галтель зуба колеса.
Лекция 21
7.5. Расчет геометрических параметров эвольвентной передачи
Станочное зацепление (зацепление колеса с инструментальной рейкой)
В процессе нарезания зубчатого колеса некоторая делительная прямая
рейки касается делительной окружности колеса и перекатывается по ней без
скольжения. Прямая передает свой шаг делительной окружности. При этом
толщина зуба колеса по делительной окружности будет равна ширине
впадины рейки, а ширина впадины колеса
толщине зуба рейки.
Параметры нарезаемого колеса зависят от того, какая из делительных
прямых рейки катится по делительной окружности колеса. Расстояние между
делительной окружностью и средней прямой рейки называется абсолютным
смещением рейки xm. Здесь x
относительное смещение рейки. В
зависимости от смещения рейки могут быть получены три вида колес.
Когда средняя прямая рейки касается делительной окружности колеса,
нарезается нулевое зубчатое колесо (рис. 7.12, а). Сместим рейку от оси
заготовки так, чтобы средняя прямая располагалась на расстоянии xm
(положительное смещение) от делительной окружности. В этом случае
формируется положительное колесо (рис. 7.12, б). Если придвинуть рейку к
оси колеса на величину xm (средняя прямая рейки пересекает делительную
окружность), то будет нарезано отрицательное колесо (рис. 7.12, в).
а
б
Рис. 7.12
в
Сравнивая
геометрические
параметры
нулевого
колеса
с
положительным и отрицательным (рис. 7.12), отметим: толщина зуба по
делительной окружности S, диаметр окружности вершин da, диаметр
окружности впадин df у положительного колеса больше, а у отрицательного
меньше, чем у нулевого колеса. Как говорилось выше, размеры с рейки
переносятся на дугу делительной окружности колеса. Поэтому ширина
впадины рейки e (по некоторой делительной прямой, которая касается
делительной окружности) равна толщине зуба колеса S по делительной
окружности. Найдем S с помощью рис. 7.13.
S = e=
P
m
2
2
2 xm tg
2
,
окончательно:
S
m
2 x tg
2
" "
.
(7.22)
для колес с внутренними зубьями.
Рис. 7.13
Смещение
инструмента
не
меняет
шага
по
дуге
делительной
окружности, а лишь соотношение между толщиной зуба и шириной впадины
зубчатого колеса.
Рис. 7.14
Дно впадины зуба колеса профилируется вершиной зуба рейки. Поэтому
радиус впадин rf определяется глубиной внедрения hf зуба рейки в заготовку.
Для вычисления rf воспользуемся рис. 7.14.
Из него видно, что
h
rf
*
(ha
f
r
*
c )m
*
m (ha
c
xm ,
*
x) .
(7.23)
Эвольвентное зацепление двух колес
На рис. 7.15 показано эвольвентное зацепление двух зубчатых колес.
Выше были рассмотрены следующие геометрические параметры
зубчатого колеса:
радиусы делительных окружностей;
r1 , r 2
rb , rb
2
rf ,rf
2
1
1
радиусы основных окружностей;
радиусы окружностей впадин.
Рис. 7.15
Теперь обратимся к начальным окружностям радиуса rW1 (понятие о них
см. параграф 7.1). За любой промежуток времени общая точка P проходит
одинаковые расстояния (так как начальные окружности вращаются без
скольжения). Следовательно, шаг по начальной окружности PW для обеих
колес одинаков.
Определим радиус начальной окружности rW 1 , рассмотрев
(рис. 7.15):
O1 N 1 P
rW
где
W
угол зацепления
rb
1
1
,
cos
(7.24)
W
(угол между линией зацепления и общей
касательной к начальным окружностям).
Имея в виду
rb
, окончательно получаем формулу для
r1 cos
1
rW
1
:
cos
rW
Межосевое расстояние
W
r1
1
.
cos
W
зубчатой пары найдем как
cos
W
rW
rW
1
r1
2
.
r2
cos
(7.25)
W
Устанавливаем связь между шагами PW и P , используя (7.24) и заменяя
радиусы rW 1 и r1 через число зубьев и соответствующий шаг. Тогда вместо
(7.24) будем иметь:
PW Z 1
PZ
2
cos
1
2
cos
W
или после упрощения
cos
PW
P
.
cos
(7.26)
W
Между окружностью вершин одного колеса и окружностью впадин
другого существует радиальный зазор c*m. С учетом этого обстоятельства
рис. 7.15 позволяет составить формулу для вычисления радиуса окружности
вершин ra:
ra
1
W
rf
2
ra
2
W
rf
1
c m ,
c m .
(7.27)
Сопряженные точки. Активная часть линии зацепления, рабочие
участки профилей зубьев
Выше (эвольвентное зацепление и его свойства) показано, что линия
зацепления как геометрическое место точек касания эвольвентных профилей
зубьев является прямой линией и занимает постоянное положение.
Сопряженными точками называются точки профилей зубьев, встречающиеся
на линии зацепления.
Возьмем точку М на профиле зуба 1-го колеса. Найдем сопряженную ей
точку М на профиле зуба 2-го колеса.
Для этого:
1) найдем точку контакта на линии зацепления, проведя дугу из т. О1
радиусом ОМ до пересечения с линией зацепления;
2) радиусом О2М проведем дугу до пересечения с профилем зуба 2-го
колеса.
С помощью сопряженных точек легко определить рабочий участок
линии зацепления и рабочие участки профилей зубьев. Рабочий участок
линии зацепления ограничивается точками пересечения окружностей
выступов обеих колес с линией зацепления АВ (рис. 7.15). Рабочие участки
профилей зубьев определяются методом сопряженных точек. Радиусом О1А
проводится дуга до пересечения с профилем зуба 2-го колеса, тем самым
определяются крайние точки на ножках зубьев, вступающих в зацепление
(рис. 7.17).
Угол зацепления
определим из условия беззазорного зацепления
W
зубчатой пары. В этом случае соблюдается равенство
2
SW
где
SW
1
,
SW
2
1
SW
2
PW
rW
Z1
1
2
rW
Z2
2
,
(7.28)
толщина зуба по начальной окружности.
Предварительно получим формулу для вычисления толщины зуба S W .
Сумма углов равна
W
W
(рис. 7.16), откуда при
S
SW
,
2r
W
,
2 rW
,
inv
inv
W
(см. параграф 7.1)
W
имеем
S
inv
SW
inv
W
2r
,
2 rW
значит,
SW
S
2 rW
inv
inv
W
2r
.
(7.29)
Рис. 7.16
Подставив в равенство (7.28) вместо
SW
1
и
SW
2
их значения из формулы
(7.29), получим
2 rW
1
2 rW
Z1
Принимая
S1
1
во
inv
inv
2 r1
внимание,
2 rW
W
что
rW
2
S2
2
inv
inv
rW
Z2
1
и
Z1
r2
.
W
2 r2
r1
Z2
Z1
,
после
преобразований имеем:
inv
S1
W
S 2 Z1
2 r1 Z 1
2
r1
Z2
inv
.
(7.30)
Подставив в (7.30) величины S1 и S2 , найденные по формуле (7.22), и
величину
r1
mZ
1
2
, окончательно получим
inv
2 x1
W
x2
Z1
tg
inv
Z2
.
(7.31)
Формула (7.29) может использоваться для определения толщины зуба по
любой окружности. Она позволяет проверить, не имеет ли зуб заострения, т.
е. не пересекаются ли боковые профили зуба в точке S. На окружности
заострения радиуса rs (рис. 7.16) толщина зуба равна нулю. Следовательно, в
(7.29) необходимо положить SW = 0, rW = rS,
S
S
Определив
S
(угол
S),
inv
2r
W
inv
S
. Тогда имеем:
.
2r
можно найти величину радиуса rS окружности
заострения из условия
rS
r
cos
.
S
Лекция 22
Виды зацеплений зубчатых колес
Различают следующие виды зацеплений зубчатых колес, зависящие от
значений коэффициентов относительного смещения x:
1) нулевое зацепление x1 0 , x 2 0 . В зацепление входят нулевые колеса;
2) равносмещенное зацепление x1
x2
. В зацепление входят положительное
и отрицательное колеса, нарезанные с одинаковым по модулю смещением.
Для 1 и 2 характерно
W
, aW
a
.
3) положительное зацепление x1 x 2 0 . В зацепление могут входить
положительные, отрицательные и нулевые колеса при условии, что по
модулю положительное смещение больше отрицательного. В этом случае
W
, aW
a;
4) отрицательное смещение
x1
x2
0
. В зацепление могут входить
положительные, отрицательные и нулевые колеса. При этом модуль
отрицательного смещения должен быть больше модуля положительного
смещения. Тогда имеют место условия
W
, aW
a
.
7.6. Построение картины эвольвентного зубчатого зацепления
Для построения картины эвольвентного зацепления должны быть
известны: Z1 и Z2
количество зубьев на колесах, m
модуль, x1 и x2
коэффициенты относительного смещения.
Работу проведем в такой последовательности (рис. 7.17):
1. Вычислим угол зацепления
межцентровое расстояние
W.
W
, радиусы начальных окружностей rW 1 , rW 2 и
Проведем линию центров, отметим на ней
центры O1 и O2, полюс P , нанесем начальные окружности.
2. Через полюс P проведем общую касательную к начальным окружностям и
к ней под углом
W
линию зацепления. Из центров O1 и O2 восстановим
перпендикуляры
O1N1,O2N2
к
линии
зацепления.
Длины
этих
перпендикуляров являются радиусами основных окружностей ( rb1 и rb 2
соответственно). Вычертим эти окружности.
Рис. 7.17
3. Вычислим радиусы делительных окружностей r1 и r2 , вершин зубьев ra1 и
ra
2
, впадин зубьев r f1 и r f 2 , нанесем их на чертеж.
4. Перекатывая линию зацепления сначала по одной основной окружности, а
затем
по другой, опишем точкой P этой линии эвольвенты (профили)
зубьев в пределах от основной окружности до окружности вершин (эти
эвольвенты касаются в полюсе P ). Если r f
rb
, то весь профиль зуба от
окружности впадин до окружности вершин очерчивается по эвольвенте.
Когда r f
впадин
rb ,
часть профиля между основной окружностью и окружностью
выполняется
отрезком
радиальной
прямой,
сопряженной
с
эвольвентой.
5. Вычислим толщину зуба S1 и S2 по делительной окружности. От точки
пересечения эвольвенты 1 колеса с делительной окружностью радиуса r1
отложим толщину зуба S1 и проведем симметричный эвольвентный профиль.
Таким же образом построим зуб второго колеса.
6. Вычислим шаг P по делительной окружности. Далее выполним шаблоны
для зубьев и с их помощью построим другие зубья на расстоянии P друг от
друга.
7. Построение рабочего участка линии зацепления рабочих профилей зубьев
см. с. 163.
7.7. Явление подрезания зубьев
Из свойств эвольвенты известно, что она не может проходить внутри
основной окружности радиуса rb (см. параграф 7.1). Поэтому если линия
головок рейки в процессе нарезания зубчатого колеса будет пересекать
линию зацепления ниже точки N (рис. 7.18, а), то произойдет подрез зуба у
его
основания
(рис.
7.18,
б).
Для
предотвращения
этого
явления
инструментальную рейку надо сместить как минимум так, чтобы линия
головок рейки проходила через точку N (рис. 7.18, а). Определим
минимальное абсолютное смещение рейки xminm на основе рис. 7.18, а:
x min m
ha m
PE
.
(7.32)
В свою очередь,
PE
Так как
ha
1,
а
r
mZ
2
PN sin
, PN
r sin
.
, то (7.32) преобразуется к виду
x min m
m 1
Z
2
sin
2
.
(7.33)
При
20

sin
2
1
2
17
.
Тогда минимальное относительное смещение xmin рейки, гарантирующее
отсутствие подреза, определим формулой
x min
17
Z
.
(7.34)
17
Если нарезать нулевое колесо, то подрез будет отсутствовать при
минимальном числе зубьев Zmin = 17. Это условие получено из равенства xmin= 0.
а
б
Рис. 7.18
7.8. Качественные показатели зацепления
Активный участок линии зацепления
Зацепление зубьев происходит не на всей линии зацепления N1N2
(рис. 7.19), а лишь на ее активном участке AB. Действительно, касание двух
зубьев начинается в точке A пересечения окружности вершин ведущего
колеса с линией зацепления. Заканчивается касание в точке B
пересечения окружности вершин ведомого колеса с линией зацепления.
точке
Дуга зацепления, коэффициент перекрытия
Найдем теперь путь, пройденный любой точкой начальной окружности
за время зацепления одной пары профилей. В момент начала зацепления
профиль зуба колеса I занимает положение I. В конце зацепления тот же
профиль находится в положении II. Дуга зацепления СС' – расстояние,
проходимое точкой зуба (по начальной окружности) за время зацепления
одной пары зубьев.
Длина дуги СС' (рис. 7.19)
CC
rW
1
1
.
(7.35)
Длина дуги d d (рис. 7.19)
dd
rb
1
,
1
(7.36)
откуда
dd
1
rb .
1
(7.37)
Подставив выражения (7.37) в (7.35), получим
rW
CC
1
dd .
rb
(7.38)
1
Из свойств эвольвенты следует
dd
N 1d
N 1d
NB
NA
AB .
Далее, из (7.24) имеем
rb
1.
rW cos
1
1
Теперь равенство (7.38) можно переписать так:
CC
rW AB
AB
1
rW cos
1
W
cos
.
(7.39)
W
Для плавной и безударной работы зубчатой пары должно быть
выполнено условие непрерывности смены пар зубчатых профилей, т. е.
вторая пара зубчатых профилей должна начать зацепление раньше, чем
первая пара выйдет из зацепления. В этом случае шаг по делительной
окружности PW должен быть больше дуги зацепления
дуги
CC
CC
. Отношение
к шагу PW называется коэффициентом перекрытия
Принимая во внимание формулу (7.39), получаем
CC
AB
PW
.
PW cos
Коэффициент перекрытия
(7.40)
W
характеризует качество передачи и в
практике принимает значения от 1 до 2. Коэффициент
может быть
определен и аналитически.
Коэффициенты удельного скольжения
При зацеплении профили зубьев одновременно участвуют в процессе
качения и скольжения. При этом на боковых поверхностях зубьев возникают
силы трения качения и скольжения. Трение качения мало по сравнению с
трением скольжения и в расчетах им пренебрегают.
Трение скольжения вызывает дополнительные затраты мощности и износ
зубьев. Скорость скольжения является одним из главных факторов,
определяющих износ, ее характеризует коэффициент удельного скольжения .
Запишем формулы для :
1
2
где AM, BM
1
AM
BM
1
BM
AM
u 12
,
u 12
,
(7.41)
расстояние от точки A(B) начала (конца) активного участка AB
линии зацепления до точки M касания профилей, и12
передаточное
отношение зубчатой пары.
Допустимый коэффициент
меняется от 1,5 (для быстроходных
передач) до 8 (для тихоходных передач).
На рис. 7.17 приведен график распределения удельных скольжений по
активному участку AB линии зацепления.
Рис. 7.19
7.9. Выбор коэффициентов относительного смещения
инструментальной рейки
Нарезание зубчатых колес со смещением преследует определенные
цели:
предотвращение
подрезания
ножек
зубьев
(при
Z
<
17);
предотвращение заострения головок зубьев, недопущение заклинивания
зубчатого зацепления; обеспечение заданного межцентрового расстояния
зубчатой
увеличение
пары;
улучшение
коэффициента
качественных
показателей
перекрытия;
выравнивание
зацепления;
значений
коэффициента удельного скольжения; повышение контактной прочности
зуба; повышение изгибной прочности зуба.
Рис. 7.20
Конструктор,
проектируя
зубчатую
передачу,
часто
должен
компромиссно удовлетворить противоречивым требованиям к ней. В выборе
оптимальных коэффициентов смещения x1 и x2 помогут специальные
блокирующие контуры. Блокирующий контур строится для конкретной пары
чисел зубьев Z1 и Z2 (рис. 7.20) в системе координат x1 и x2. Каждая точка
внутри контура с координатами x1 и x2 соответствует работоспособной
зубчатой паре (например точка K). На блокирующий контур наносится ряд
линий, ограничивающих выбор коэффициентов x1 и x2 по различным
условиям. Если выбрать x1 левее прямой x1min, то будет допустимый подрез
зубьев у колеса I, а выбрав x2 ниже прямой x2min, имеем подрез зубьев колеса
2, которое будет работоспособным.
По кривой
= 1,2 передача будет иметь именно такой коэффициент
перекрытия для любой точки, левее и ниже этой линии коэффициент
перекрытия
– выше. Линии S a1 и S a 2 определяют толщину зуба по
окружности вершин.
Линии а и б определяют значения коэффициентов смещения, при
которых прочность зуба на изгиб будет наибольшей. Прочность растет при
движении по линии в направлении стрелки. Кривая а рассматривается в
случае, когда ведущим колесом является I, а кривая б – при ведущем колесе 2.
По линии
1=
2
передача будет иметь равные коэффициенты удельного
скольжения (следовательно, хорошую износоустойчивость) для любой точки.
Выбор коэффициентов смещения x1 и x2 можно провести по таблицам
ЦКБР (для открытых передач), они построены по заданным минимальным
значениям коэффициента перекрытия
и выровненного наибольшего
коэффициента удельного скольжения .
Таблицы, предложенные В. Н. Кудрявцевым для закрытых передач,
разработаны по условию максимальной выносливости рабочих поверхностей
зубьев и выравниванию коэффициентов удельного скольжения.
Лекция 23
7.10. Передачи с косыми зубьями
Косозубые
колеса
передают
вращательное
движение
между
параллельными валами.
Образование боковой поверхности косого зуба можно представить, если
рассмотреть качение (без скольжения) плоскости S (рис. 7.21, а) по
основному
цилиндру.
Если
на
плоскости
S
выбрать
прямую
AA,
составляющую с образующей цилиндра некоторый угол, то каждая из точек
прямой AA опишет эвольвенту. Сама прямая опишет поверхность,
называемую развертывающимся геликоидом. Пересечение поверхности
геликоида с основным цилиндром представляет собой винтовую линию BB.
Угол
b,
образованный осью колеса и винтовой линией, носит название
угла наклона зубьев по основному цилиндру (рис. 7.21, б). Два сопряженных
колеса должны иметь равные углы наклона зубьев. При внешнем зацеплении
винтовая линия на колесе должна быть левой, а на другом – правой. При
внутреннем зацеплении винтовые линии должны быть либо обе правыми,
либо обе левыми.
Вследствие наклона зубьев увеличиваются длина дуги зацепления и
коэффициент перекрытия. Длина добавочной дуги зацепления (рис. 7.21, б)
cd
где
b
ширина венца колеса,
,
b tg
угол наклона зубьев по делительному
цилиндру (рис. 7.22).
Углы
и
b
связаны соотношением
tg
r
rb
tg
b
.
Рис. 7.21
Из схематического изображения развертки обода косозубого колеса
(рис. 7.22) видно, что следует различать два шага зацепления по
делительному цилиндру: торцовый Pt и нормальный Pn. Торцовый шаг
получается в пересечении колеса плоскостью, перпендикулярной оси O O
делительного цилиндра в торцовом сечении. Нормальный шаг Pn получается
пересечением колеса плоскостью, нормальной к винтовой линии на
делительной окружности. Связь между шагами (рис. 7.22) имеет следующий
вид:
Pt
Pn
cos
.
(7.42)
Рис. 7.22
Рис. 7.23
Соответственно может быть установлена связь между модулем mt в
торцовом сечении и модулем mn в нормальном сечении. Стандартным
модулем является mn. Заменим в формуле (7.42) шаг на модуль, получим
mn
mt
Коэффициент перекрытия
cos
v
.
(7.43)
в передаче с косозубыми колесами
определяется по формуле
b tg
v
Pt
.
(7.44)
Из (7.44) следует, что коэффициент перекрытия косозубых колес может
быть значительно больше, чем у прямозубых. Нагрузка в этих передачах
распределяется на несколько зубьев. Поэтому косозубые колеса широко
применяются для передач с большими скоростями и мощностями.
Особенностью косозубой передачи является появление осевого усилия.
Для устранения этого недостатка используют колеса с шевронными зубьями
(рис. 7.23), представляющими собой как бы два косозубых колеса с
симметричным расположением зубьев. У этих колес осевые усилия взаимно
уравновешиваются.
7.11. Зацепление Новикова
М.Л. Новиков предложил косозубое зацепление с неэвольвентными
профилями зубьев. Зубья располагаются по некоторым винтовым линиям,
имеющим равные углы наклона
. Профили зубьев зацепления Новикова
вообще могут быть выполнены по различным кривым. Наиболее простыми
являются профили, очерченные в торцевом сечении по окружностям.
Рис. 7.24
Построение профилей указанного типа производится следующим
образом (рис. 7.24). На прямой n n, образующей с общей касательной к
начальным окружностям угол
, выбирается точка K. Профиль зуба малого
колеса 1 очерчивается по дуге радиуса
= PK и является выпуклым.
1
Профиль зуба большого колеса 2 очерчивается по дуге окружности радиуса
2,
несколько большего, чем радиус
вогнутым. При малой разнице радиусов
участке K
1
Профиль зуба колеса 2 является
и
2
профили зубьев на некотором
почти совпадают, что снижает удельные давления на зубья.
K
Радиус
1.
rа
окружности вершин большого колеса следует выбрать
2
равным радиусу
rw
начальной окружности.
2
Толщины зубьев S1 и S2 колес 1 и 2 выбираются по условию
S1 = (1,3 1,5), S2 и S1 + S2 несколько меньше шага P.
Рекомендуется придерживаться следующих соотношений: угол
20 30 , угол наклона
(1,03 1,10)
= 5 40 , радиус
1
= 1,35m, радиус
=
2
=
1.
К недостаткам зацепления Новикова надо отнести то, что коэффициент
перекрытия
меньше, чем в косозубых колесах с эвольвентным профилем.
7.5. Пространственные зубчатые передачи
Коническая передача
Коническая передача образована качением двух конусов ОР1Р и ОР2Р
(рис. 7.7). Они называются начальными конусами. В точке Р окружные
скорости
OP
sin
1
обоих
1
OP
конусов
sin
имеет выражение U
1
2
2
равны
р2
,
или
O1P
1
O2P
2
;
. Передаточное отношение конической передачи
1
sin
2
2
sin
1
2
р1
.
Рис. 7.7. Геометрические параметры конической передачи
Для расчета геометрических параметров конических зубчатых колес
используют те же формулы, что и для цилиндрических, вводится понятие
эквивалентных цилиндрических колес. Для них числа зубьев
z1
'
z1
'
, z2
cos
1
z2
cos
.
2
Различают геометрические параметры конических зубчатых колес (рис. 7.8):
делительная окружность
mz
r
;
2
основная окружность
rb
r cos 20
окружность выступов
ra
r
окружность впадин
rf
высота головки зуба
высота ножки зуба
hf
конусное расстояние
ширина колеса
B
L
;
m cos
r
ha
0
1, 2 m cos
m
;
1, 2 m
;
OP
;
4 ... 12 m
.
;
;
Рис. 7.8. Основные геометрические параметры конического колеса
Достоинства конической передачи:
– возможность передачи вращательного движения между осями под
различными углами;
– больший коэффициент перекрытия, чем у цилиндрической (см. размеры
эквивалентной цилиндрической передачи, у которой радиусы колес больше,
чем у конической, значит, и возрастает величина практической линии
зацепления ab).
Недостатки конической передачи:
–
сложность
изготовления
зубчатых
колес
(по
сравнению
с
цилиндрическими);
– повышенная чувствительность к изменению конусного расстояния;
– пониженная нагрузочная способность по сравнению с цилиндрической изза консольного расположения одного из колес и несимметричного
расположения второго относительно опор.
Гиперболоидные передачи
Гиперболоидные передачи образуются условным качением двух
гиперболоидов (рис. 7.9а) Г1 и Г2 друг по другу при вращении их вокруг
перекрещивающихся осей О1 и О2, где γ – угол между осями. Прямая τ – τ
является общей касательной гиперболоидов. Углы между нею и осями
вращения О1 и О1 равны соответственно β1 и β2.
Если условно «вырезать» средние части гиперболоидов (горло) и
нарезать на них зубья, то получится винтовая передача (рис. 7.9б).
Рис. 7.9. Принципиальные схемы отдельных разновидностей
гиперболоидных передач: а – зацепление двух гиперболоидов;
б – винтовая передача
Если же «вырезать» другие части, то получится гиперболоидная
передача.
Чем дальше от горлового сечения выбраны части гиперболоидов, тем
меньше будет отношение скорости скольжения к окружной скорости колеса
и соответственно выше механический коэффициент полезного действия.
Передаточное отношение гиперболоидной передачи вычисляется по
формуле
U1
1
z2
r 2 cos
2
2
z1
r1 cos
1
2
,
где Z1 и Z2, r1 и r2 – числа зубьев и радиусы делительных окружностей
зацепляющихся колес.
Из
формулы
следует,
что
в
отличие
от
цилиндрических
в
гиперболоидных передачах можно воспроизводить необходимое передаточное
отношение, подбирая не две, а четыре величины (r1 и r2, β1 и β2).
Недостатком таких передач является то, что сопряженные профили
зубьев соприкасаются в точке, а не по линии. Следовательно, возникают
значительные удельные давления, которые в совокупности с большими
скоростями скольжения зубьев друг по другу вызывают их быстрый износ.
Червячная передача (рис. 7.10) является одной из разновидностей
винтовой передачи. Чаще всего угол между осями
=900.
Рис. 7.10. Кинематическая схема червячной передачи
Как правило, ведущим звеном является червяк. При этом передаточное
отношение
U
Ч
Ч
zК
К
zЧ
К
, где
zК
– число зубьев колеса;
zЧ
– число
заходов червяка.
Величина передаточного отношения может составлять UЧ-К=10…100,
что дает преимущество по сравнению с другими зубчатыми передачами.
Недостатком
гиперболоидных
передач
является
невысокий
механический КПД. В ряде случаев для его увеличения используют разные
материалы, из которых изготовлены зубчатые колеса или их венцы. Это
снижает коэффициент трения скольжения в месте контакта зубьев.
Например, в червячной передаче червяк изготавливают из стали или чугуна,
а венец зубчатого колеса – из бронзы.
Лекция 24
Модуль 8
Синтез кулачковых механизмов
8.1. Общие сведения
Кулачковым механизмом называется механизм, содержащий высшую
кинематическую пару и звено – кулачок 1, профиль которого имеет сложное
криволинейное очертание (рис. 8.1). Кулачковые механизмы применяются
для воспроизведения любого, наперед заданного, движения толкателя 2 с
остановками требуемой продолжительности. Так как кулачки являются
программоносителями, то их набор на распределительном валу позволяет
управлять работой машин-автоматов.
а
б
Рис. 8.1
Для уменьшения износа поверхности кулачка трение скольжения в
высшей кинематической паре 1 2 заменяют трением качения, используя
ролик 3 (рис. 8.1, б).
Кулачковые механизмы имеют ряд недостатков. Требуется замкнуть
высшую кинематическую пару. Это возможно силовым способом
установкой пружины (рис. 8.2, а) или кинематическим (рис. 8.2, б). Высокое
удельное давление в высшей кинематической паре ведет к интенсивному
износу кулачка. Поэтому для его изготовления требуются специальные
материалы и термообработка. Процесс изготовления кулачков тоже
представляет определенные трудности.
Виды кулачковых механизмов
Основные виды кулачковых механизмов можно классифицировать по
четырем признакам:
1) по характеру движения кулачка
кулачок вращается (рис. 8.3, а, б, в, д),
кулачок движется поступательно (рис. 8.3, г);
2) по характеру движения толкателя
толкатель движется поступательно
(рис. 8.3, а, б), толкатель качается (рис. 8.3, г, д), толкатель совершает
плоскопараллельное движение (рис. 8.3, в);
3) по конструктивному оформлению кулачка
дисковый кулачок
(рис.
8.3, а, б, в, д), торцовый кулачок (рис. 8.3, г);
4) по конструктивному оформлению толкателя
плоский (рис. 8.3, а, д),
сферический (рис. 8.3, б), роликовый (рис. 8.3, в, г).
а
б
Рис. 8.2
Геометрия кулачка
Изобразим профиль кулачка (рис. 8.4, а). Расстояние от оси кулачка до
точек профиля называется радиусом-вектором профиля, при этом rmin
минимальный радиус профиля кулачка. В общем случае профиль кулачка
включает четыре участка: ab и cd очерчены дугами окружностей с центрами
на оси вращения, участки bc и da имеют переменный радиус-вектор.
Движение толкателя возможно, когда он касается части профиля bc и da,
дуги ab и cd соответствуют остановке толкателя.
а
б
г
в
д
Рис. 8.3
а
б
Рис. 8.4
Таким образом, на протяжении одного оборота кулачка различают
четыре фазы движения толкателя: фаза удаления (толкатель удаляется от
центра кулачка); фаза верхнего стояния (толкатель стоит неподвижно в
положении, наиболее удаленном от центра вращения кулачка); фаза
приближения (толкатель приближается к центру O); фаза нижнего стояния
(толкатель стоит неподвижно на минимальном расстоянии от центра O).
Кулачок поворачивается за это время на центральные углы, называемые
соответственно фазовыми углами удаления
приближения
n,
нижнего стояния
y
вс
н.с.
n
y
, верхнего стояния
вc,
, т.е.
н.с.
360

.
Познакомимся с другими геометрическими параметрами кулачкового
механизма. Расстояние между крайними (верхним и нижним) положениями
толкателя носит название хода толкателя H (рис. 8.4, а). У качающегося
коромыслового толкателя аналогичный параметр называется углом размаха
коромысла . Кроме того, на рис. 8.4 показаны геометрические параметры: e
эксцентриситет, l
длина коромысла, A – межосевое расстояние.
8.2. Кинематический анализ плоских кулачковых механизмов
Задачей
кинематического
анализа
является
определение
закона
движения толкателя по известному профилю кулачка.
Графический метод
Графический метод кинематического исследования рассмотрим на
примере
центрального
кулачкового
механизма
с
остроконечным
поступательно движущимся толкателем (рис. 8.5).
Применим метод обращенного движения (инверсии). Он заключается в
том, что всему механизму сообщается вращательное движение с угловой
скоростью
(угловая
k
скорость
кулачка).
Благодаря
этому
кулачок
останавливается, а толкатель придет во вращательное движение со
скоростью
k.
При этом относительное движение сохраняется прежним.
Рассмотрим построение диаграммы перемещения толкателя S в функции
угла поворота кулачка . Кулачок, вычерченный в масштабе
l
, расположим
так, чтобы линия действия толкателя проходила через точку A0
фазового угла
фазовые углы
у
y
,
начало
(рис. 8.5, а). Определим величину хода толкателя H,
вc,
Разделим углы
y
n,
и
нc.
n
на некоторое число равных частей (в примере на
четыре). По оси абсцисс системы координат S( ) отложим фазовые углы в
масштабе
360
L
(град/мм), а фазовые углы удаления и приближения
разделим на то же число равных частей, как на кулачке.
а
б
Рис. 8.5
Перейдем к определению перемещений толкателя. Вместо того чтобы
поворачивать кулачок на угол
1
, согласно методу обращенного движения
повернем толкатель на этот угол в направлении
k
(рис. 8.5, а). Линия
толкателя займет положение 1. Для определения перемещения толкателя
нужно радиусом O1A1 сделать засечку на действительной линии движения
толкателя.
Отрезок A 0 1 есть искомое перемещение толкателя. В точке 1 (рис. 8.5, б)
по ординате откладываем отрезок 1 1 , вычисленный по формуле
11
A0 1
l
,
s
где
s
принятый масштаб диаграммы S( ).
Далее поворачиваем толкатель на угол
2
, определяем отрезок 0 2 ,
вычисляем отрезок 22' и откладываем его в точке 2 по ординате диаграммы
S( ).
Такую процедуру выполним для всех точек, выбранных на фазовых
углах
y
Для
и
n
кулачка, получим диаграмму S( ).
получения
графически
диаграммы
аналога
продифференцировать
скоростей
диаграмму
дифференцирование даст диаграмму аналога ускорений
требуется
dS/d
Вторичное
S( ).
2
d S d
2
.
Построение плана скоростей и ускорений целесообразно вести на
основе замены высшей пары низшими.
Техника замены такова:
1. Определить центры кривизны элементов высшей пары.
2. Поместить в них низшие вращательные пары (если радиус находится
в бесконечности, то заменить вращательную пару поступательной).
3. Отрезок, соединяющий низшие кинематические пары, фиктивное
звено. На рис 8.6, а – это звено АВ.
Таким образом, кулачковый механизм в данном положении заменен
кривошипно-шатунным, для которого и строим план скоростей и ускорений:
V
B
|| y
Модуль
найдем
VA
V
A
V
BA
BA
(8.1)
.
как скорость точки, совершающей вращательное движение,
из выражения
VA
l OA
. Вектор этой скорости направлен
перпендикулярно радиусу lOA. Скорость V
относительного движения
BA
направлена перпендикулярно отрезку AB. В связи с тем, что толкатель
совершает поступательное движение, скорость V
B
направлена по вертикали.
Уравнение (8.1) содержит две неизвестные и может быть решено графически –
построением плана скоростей (рис. 8.6, б).
Масштаб плана скоростей
V
VA
м/с
a
мм
.
Истинное значение:
VB
b
V
.
а
б
в
Рис. 8.6
8.3. Динамический синтез кулачкового механизма
Задача синтеза кулачкового механизма заключается в определении
профиля кулачка, обеспечивающего заданный закон движения толкателя. На
этапе проектирования кулачка можно получить благоприятные условия
передачи сил с учетом угла давления. Поэтому можно говорить о
динамическом синтезе механизма.
Выбор закона движения толкателя
При выборе закона движения толкателя могут встретиться три ситуации:
1) закон движения диктуется технологическим процессом; 2) требуется
переместить толкатель на определенную величину за определенный
промежуток времени; 3) необходимо осуществить остановку толкателя
любой продолжительности.
Во втором и третьем случаях конструктор имеет возможность подбирать
оптимальные законы движения толкателя на фазах удаления и приближения.
Рассмотрим некоторые законы движения:
1. Толкатель движется с постоянной скоростью (рис. 8.7, а). На
диаграмме ускорения видно, что в точках A, B, где скорость за бесконечно
малый промежуток времени меняется на конечную величину, ускорение
возрастает теоретически до бесконечности. Практически, из-за упругих
свойств материала кулачка и толкателя, ускорение конечно.
Однако "скачок" ускорения в этом случае велик, вызывает значительные
силы инерции и соответственно жесткий удар в кулачковом механизме.
Поэтому закон движения толкателя с постоянной скоростью используется в
неответственных тихоходных механизмах.
2. Толкатель движется с постоянным ускорением (рис. 8.7, б). На
диаграмме ускорения видно, что в точках A, B, C происходит скачок
ускорения на конечную величину. Это вызывает появление конечных сил
инерции, что приводит к мягким ударам.
3. Закон движения толкателя
косинусоидальный (рис. 8.7, в). Здесь,
как и в предыдущем случае, наблюдается явление мягкого удара.
Законы движения толкателя, вызывающие мягкий удар, используются в
кулачковых механизмах со средними оборотами.
4. Закон движения толкателя – синусоидальный (рис. 8.7, г). Как видно
из рисунка, ускорение меняется плавно, без скачков. Это безударный закон
движения и может быть использован в быстроходных кулачковых
механизмах.
Рис. 8.7
Лекция 25
Угол давления в кулачковом механизме
Сила давления P со стороны кулачка на толкатель направлена по
нормали к поверхности кулачка в точке касания с толкателем (рис. 8.8, а).
Угол, образованный направлением силы давления и вектором скорости
толкателя, является углом давления . Разложим силу на две составляющие –
по направлению движения толкателя P1 и перпендикулярно ему – P2. Из
рис. 8.8, а видно, что P2 – сила сопротивления. Она изгибает толкатель,
прижимает его в направляющих (поступательной паре), увеличивает силу
трения FTP. Движущей силой является P1. Кулачковый механизм может
работать только в случае, если движущая сила будет больше силы трения FTP, т.е.
P1
F ТР ,
(8.2)
так как
P1
,
P cos
(8.3)
а
F ТР
fP 2
fP sin
,
(8.4)
где f – коэффициент трения, то при уменьшении угла давления увеличивается
движущая сила P1 и уменьшается сила трения FTP. Следовательно, угол
давления не может принимать большие значения, иначе может быть
нарушено условие (8.2) и произойдет заклинивание толкателя.
Условие незаклинивания:
cos
f sin
, т. е.
tg α
1
.
f
Максимальный угол давления должен быть меньше допустимого:
доп
max
На практике принято
доп
= 30
.
(8.5)
для кулачкового механизма с
поступательно движущимся толкателем (рис. 8.4, а) и
механизмов с коромысловым толкателем (рис. 8.4, б).
доп
= 45 – для
Определение угла давления в любом положении механизма
Выясним, как найти угол давления, если известны закон движения
толкателя и положение оси вращения кулачка. Рассмотрим кулачковый
механизм (рис. 8.8, б) и проведем следующие дополнительные построения.
Построим с помощью заменяющего механизма (рис. 8.8, б) план
скоростей – для данного положения (рис. 8.8, в). Из т. О проведем прямую,
перпендикулярную
пересечения с
направлению
движения
нормалью n n. Рассмотрим
а
(скорости)
толкателя
треугольник ОКА и
до
ba.
б
в
Рис. 8.8
Они подобны, т. к. соcтавлены взаимоперпендикулярными сторонами
ba), откуда получаем:
( OKA
x
b
OA
a
x
;
OA
l
l
b
V
a
V
x
;
l OA
l
VB
VA
ds / dt
l OA
d
dt
ds
l OA
d
;
тогда
x
ds
Здесь
l
ds
ds
d
d
.
d
ds
– масштабное значение
d
масштабов
ds
. При численном равенстве
d
l
S
ds
получим формулу
d
ds
x
d
.
(8.6)
Таким образом, для определения угла давления не нужно знать профиль
кулачка. Достаточно вычислить по данному закону движения толкателя
величину отрезка X (аналог скорости). Отложить от центра ролика толкателя
расстояние, равное X (в том же масштабе). Полученную точку C соединить с
центром вращения кулачка и измерить угол между направлениями этого луча
и скорости толкателя.
Определение минимального радиуса кулачка
Выше установлено, что угол давления (помимо закона движения)
зависит от радиуса r профиля кулачка. Выясним величину минимального
радиуса rmin профиля кулачка, при котором текущий угол давления не
превысит
max.
Для этого решим задачу, сформулированную следующим
образом. Известны закон движения толкателя и максимальный угол
давления. Требуется определить rmin.
Графический метод решения рассмотрим на примере кулачкового
механизма (рис. 8.4, а), толкатель которого имеет косинусоидальный закон
движения (рис. 8.9).
Построим диаграмму
соблюдая равенство
масштабе
s
s
S
ds
S dS d
d
путем исключения параметра
,
(рис. 8.10). Для чего по оси ординат в
отложим от начала координат перемещения толкателя II, 22, ...,
12 12 согласно графику S( ). Через полученные точки 1, 2, ..., 12 проведем
прямые,
параллельные
оси
абсцисс.
На
этих
прямых
отложим
соответствующие отрезки 1 1, 2 2, ..., 12 12 с диаграммами аналога
скоростей (рис. 8.9, б). Причем для фазы удаления эти отрезки
откладываются в сторону вращения кулачка, а для фазы приближения
в
обратную. Соединив плавной кривой концы построенных отрезков, получим
кривую [S, dS/d ].
Проведем к этой кривой касательные под углами
max
к оси dS/d . За
центр вращения кулачка можно принять любую точку, лежащую внутри
заштрихованной области (рис. 8.10). В этом случае текущий угол давления в
кулачковом механизме будет меньше
max.
Если за центр вращения кулачка
принять точку O1 пересечения касательных, то получим наименьшее
значение радиуса rmin и соответствующую величину эксцентриситета e (в
нашем примере в этом случае e = 0). Пусть величина e задана (рис. 8.4, а),
тогда проведя прямую
точку
O1
на расстоянии e (в масштабе
S
) от оси S, найдем
пересечения этой прямой с касательной. В данном случае
r min
.
O 1O
Построим диаграмму плеч для коромыслового кулачкового механизма
(рис. 8.4, б) для определения rmin и межосевого расстояния A. Закон движения
толкателя используем тот же (рис. 8.9).
Переход от угловых величин к линейным проведем с помощью формулы
S
l
, где l – длина коромысла,
– угол размаха коромысла (в рад). На
основании графика S( ) строим положения коромысла в том же масштабе
S
(рис. 8.11). Затем вдоль каждого из этих положений от точки A (центра
ролика) в масштабе
dS d
S
отложим соответствующие значения dS/d .
Причем если кулачок и коромысло на фазе удаления вращаются в одну и ту
же сторону, то отрезки dS/d
откладываются в направлении к центру
вращения коромысла. Иначе, они откладываются в противоположную
сторону. Через концы каждого из этих отрезков проводим прямые под углом
max
45

к соответствующему направлению коромысла (эти прямые, за
исключением двух определяющих, на рис. 8.11 опущены). За центр вращения
кулачка O1 можно взять любую точку внутри заштрихованной области. В
этом случае текущий угол давления
будет меньше
max.
Для лучшей работы
кулачкового механизма траектория движения центра ролика должна
проходить через центр вращения кулачка или вблизи него. Исходя из этих
требований выберем точку O1, тогда расстояние B0O1 = rmin.
а
б
Рис. 8.9
Рис. 8.10
Рис. 8.11
Профилирование кулачка
Для построения профиля кулачка необходимы следующие исходные
данные: структурная схема механизма, закон движения толкателя, величина
и направление угловой скорости кулачка.
Профилирование
поступательно
кулачка
движущимся
рассмотрим
на
примере
толкателем
(рис.
8.4,
механизма
б).
с
Выберем
косинусоидальный закон движения толкателя (рис. 8.9). Минимальный
радиус кулачка rmin определен ранее (рис. 8.10).
Кулачковый механизм с поступательно движущимся толкателем
Перейдем к построению профиля кулачка методом обращенного
движения. Для чего кулачок останавливается, а толкатель перемещается с
угловой скоростью
k
(см. параграф 8.2).
Выбираем положение центра вращения кулачка O1 и в масштабе
S
описываем окружности радиусами, равными e (если e задано) и rmin (рис. 8.12).
Рис. 8.12
Касательно к окружности радиуса e проведем линию движения
толкателя y y согласно ее положению на диаграмме плеч S dS d . Точка
пересечения A0 этой прямой с окружностью rmin определит положение центра
ролика, соответствующее началу удаления. От прямой O 1 A 0 вдоль линии у у
откладываем перемещение толкателя. Точка A 6 определит положение центра
ролика, соответствующее концу удаления. От прямой O 1 A 6 в сторону,
противоположную вращению кулачка, отложим фазовые углы
y
,
вc,
n,
н.c..
Проведем окружность радиуса O1A6 и разделим дуги, стягивающие углы
и
n
у
на равные части согласно делению этих углов на графике S( ). Через
полученные точки деления 1, 2, ... проведем касательные к окружности
радиуса e. Из центра вращения кулачка O1 радиусами O1A1, O1A2, ... проведем
концентрические дуги до пересечения с соответствующими касательными.
Точки пересечения 1', 2', ... представляют собой положения центра ролика в
обращенном механизме. Соединив полученные точки плавной кривой,
получим теоретический профиль кулачка. Определим радиус ролика rp. Во
избежание пересечения частей профиля кулачка rp должен быть меньше
минимального радиуса
min
кривизны теоретического профиля
Радиус ролика rp по конструктивным соображениям
Определим
практический
профиль
rp
кулачка,
rp
0 , 4 r min
.
для
чего
0 ,8
min
.
строим
эквидистантную кривую.
Кулачковый механизм с коромысловым толкателем
За исходную базу профилирования кулачка принимаем рис. 8.11.
Переносим центр вращения кулачка вместе с минимальным радиусом О1B0
кулачка,
начальным
положением
коромысла,
последовательным
перемещением центра ролика толкателя согласно графику [s, ] на его
максимальном перемещении, соответствующем максимальному углу размаха
коромысла (
max).
Получаем т. 0, 1, 2… (рис. 8.13).
Из центра кулачка строим основную окружность кулачка минимального
радиуса. От начального положения (отрезок О1B0) разбиваем полный угол
поворота кулачка на фазовые углы
фазовые углы
графике [s,
уд
уд
,
в .с .
,
ПР
,
н.с.
. Дуги, стягивающие
, делим на равные части согласно делению этих углов на
]. Через полученные точки деления проводим радиальные
прямые из центра вращения кулачка О1. Из того же центра радиусами О1,
О2… проводим концентрические дуги до пересечения с соответствующими
радиусами. Точки пересечения 1 , 2 , … представляют собой положения
центра ролика. Соединив эти точки плавной кривой, получим теоретический
профиль кулачка. Полученные точки 1', 2', ... соединим плавной кривой
имеем теоретический профиль кулачка (рис. 8.13). Выбор радиуса ролика и
построение практического профиля проводим методом, описанным выше.
Рис. 8.13
Список использованных источников
1. Мехонцева Д.М., Синенко Е.Г. Механизмы и машины. Структура,
кинематика, динамика: учеб. пособие. – Красноярск: изд-во КГТУ,
2003. – 243 с.
2. Пузырев Н.М. Теория механизмов и машин: учеб. пособие. – Тверь:
ТГТУ, 2006. – 120 с.
3. Ефанов А.М., Ковалевский В.П. Теория механизмов и машин: Учеб.
пособие. – Оренбург: ОГУ, 2004 – 267 с.