Математический анализ

Математический анализ
Понятие функции.
Основные свойства функций
Математический анализ (лекция 2)
28 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен
в соответствие по некоторому правилу f единственный
элемент (значение) y множества Y , то говорят, что на
множестве X задана функция y = f (x).
Математический анализ (лекция 2)
29 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
При этом x называется независимой переменной (или
аргументом), y — зависимой переменной, множество
D(f ) = X — областью определения функции, а множество
E (f ) ⊆ Y всех значений функции — областью изменения
функции.
Математический анализ (лекция 2)
30 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Способы задания функций.
Аналитический способ — функция задается формулой
вида y = f (x). Одна функция может определяться и
набором формул: разным участкам области определения
функции соответствуют разные формулы (разные
аналитические выражения).
Табличный способ — функция задается таблицей,
содержащей значения аргумента x и соответствующие
значения функции y = f (x).
Математический анализ (лекция 2)
31 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Способы задания функций.
Графический способ — функция задается с помощью
графика — множества точек (x, y ) плоскости, абсциссы
которых есть значения аргумента x, а ординаты —
соответствующие им значения функции y = f (x).
Словесный способ — функция описывается правилом ее
составления.
Математический анализ (лекция 2)
32 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x), заданная на симметричном
относительно начала координат интервале,
называется четной (нечетной), если для любых
значений x из ее области определения f (−x) = f (x)
(f (−x) = −f (x)).
Функция, которая не является ни четной ни
нечетной, называется функцией общего вида.
Математический анализ (лекция 2)
33 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x), заданная на симметричном
относительно начала координат интервале,
называется четной (нечетной), если для любых
значений x из ее области определения f (−x) = f (x)
(f (−x) = −f (x)).
Функция, которая не является ни четной ни
нечетной, называется функцией общего вида.
Математический анализ (лекция 2)
33 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x), заданная на симметричном
относительно начала координат интервале,
называется четной (нечетной), если для любых
значений x из ее области определения f (−x) = f (x)
(f (−x) = −f (x)).
Функция, которая не является ни четной ни
нечетной, называется функцией общего вида.
Математический анализ (лекция 2)
33 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
График четной функции симметричен относительно
оси ординат (оси Oy ), а график нечетной функции
симметричен относительно начала координат.
Математический анализ (лекция 2)
34 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x) называется возрастающей (
убывающей / неубывающей / невозрастающей) на
промежутке X , если для любых x1 , x2 ∈ X ,
удовлетворяющих условию x2 > x1 , f (x2 ) > f (x1 )
(f (x2 ) < f (x1 ) / f (x2 ) ≥ f (x1 ) / f (x2 ) ≤ f (x1 )).
Математический анализ (лекция 2)
35 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Возрастающие, убывающие, неубывающие и
невозрастающие функции называются монотонными
(функции возрастающие и убывающие называются
строго монотонными).
Математический анализ (лекция 2)
36 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке
X , если существует такое число M > 0, что |f (x)| < M для
всех x ∈ X . В противном случае функция называется
неограниченной.
Математический анализ (лекция 2)
37 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x) называется периодической с
периодом T 6= 0, если для любых x из области
определения функции f (x + T ) = f (x).
Наименьший положительный период функции (если
он существует) называется основным периодом
функции.
Математический анализ (лекция 2)
38 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция y = f (x) называется периодической с
периодом T 6= 0, если для любых x из области
определения функции f (x + T ) = f (x).
Наименьший положительный период функции (если
он существует) называется основным периодом
функции.
Математический анализ (лекция 2)
38 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Функция называется явной, если она задана
формулой, в которой правая часть не содержит
зависимой переменной: y = f (x). Функция y
аргумента x называется неявной, если она задана
уравнением F (x, y ) = 0, не разрешенным
относительно зависимой переменной.
Математический анализ (лекция 2)
39 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Пусть функция y = f (x) с областью определения D(f ) и
областью значений E (f ) такова, что разным значениям
аргумента x соответствуют разные значения функции y .
Поставим в соответствие каждому y ∈ E (f ) единственное
значение x ∈ D(f ), при котором f (x) = y . Полученная
функция x = f −1 (y ) (так как обычно независимую
переменную обозначают через x, а функцию через y , то ее
обозначают также y = f −1 (x)) с областью определения E (f )
и областью значений D(f ) называется обратной (по
отношению к исходной функции).
Математический анализ (лекция 2)
40 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Связь между исходной функцией f и обратной к ней
функцией f −1 определяется следующими
соотношениями:
−1
D(f −1 ) = E (f ); E (f −1 ) = D(f );
f −1
= f (x);
f −1 (f (x)) = x, x ∈ D(f );
Математический анализ (лекция 2)
f (f −1 (x)) = x, x ∈ E (f ).
41 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Утверждение. Для любой строго монотонной
функции существует обратная функция.
Графики взаимно обратных функций симметричны
относительно биссектрисы первого и третьего
координатных углов.
Математический анализ (лекция 2)
42 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Математический анализ (лекция 2)
43 / 64
Понятие функции. Основные свойства функций
Пусть z = f (y ) — функция с областью определения Y , а все
значения функции y = ϕ(x) с областью определения X
содержатся в области Y . Тогда заданная на множестве X
функция z = f (ϕ(x)) называется сложной функцией
(композицией функций, суперпозицией функций).
Математический анализ (лекция 2)
44 / 64
Элементарные функции.
Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
45 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Степенная функция y = x a,
a ∈ R.
Математический анализ (лекция 2)
46 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
a ∈ N. Область определения функции D(f ) = R.
1
a четное. Область значений функции E (f ) = [0, +∞).
Функция является четной, убывает на (−∞, 0] и
возрастает на [0, +∞) .
2
a нечетное. Область значений функции E (f ) = R.
Функция является нечетной, возрастает на (−∞, +∞).
Математический анализ (лекция 2)
47 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
48 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
49 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
a — целое отрицательное число. Область определения
функции D(f ) = R \ {0}.
1
a четное. Область значений функции E (f ) = (0, +∞).
Функция является четной, возрастает на (−∞, 0) и
убывает на (0, +∞) .
2
a нечетное. Область значений функции E (f ) = R \ {0}.
Функция является нечетной, убывает на (−∞, 0) и
(0, +∞) .
Математический анализ (лекция 2)
50 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
51 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
52 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
a = n1 , n ∈ N.
1
n четное. Область определения функции D(f ) = [0, +∞).
Область значений E (f ) = [0, +∞).Функция возрастает на
всей области определения.
2
n нечетное. Область определения функции D(f ) = R.
Область значений функции E (f ) = R. Функция является
нечетной и возрастает на всей области определения .
Математический анализ (лекция 2)
53 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
54 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
55 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Степенная функция y = x a не является периодической ни при
каком a.
Математический анализ (лекция 2)
56 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Показательная функция y = ax , a > 0, a 6= 1. Область
определения функции D(f ) = R. Область значений
E (f ) = (0, +∞). Функция является функцией общего вида.
1
a > 1. Функция возрастает на всей области определения .
2
0 < a < 1. Функция убывает на всей области
определения.
Математический анализ (лекция 2)
57 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
58 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
59 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Показательная функция y = ax не является периодической ни
при каком a.
Математический анализ (лекция 2)
60 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a 6= 1. Область
определения функции D(f ) = (0, +∞). Область значений
E (f ) = R. Функция является функцией общего вида.
1
a > 1. Функция возрастает на всей области определения .
2
0 < a < 1. Функция убывает на всей области определения
.
Математический анализ (лекция 2)
61 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
62 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Математический анализ (лекция 2)
63 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Логарифмическая функция y = loga x не является
периодической ни при каком a.
Показательная функция y = ax и логарифмическая функция
y = loga x являются взаимно обратными.
Математический анализ (лекция 2)
64 / 64
Элементарные функции. Преобразование графиков
функций
Логарифмическая функция y = loga x не является
периодической ни при каком a.
Показательная функция y = ax и логарифмическая функция
y = loga x являются взаимно обратными.
Математический анализ (лекция 2)
64 / 64