МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Министерство Путей Сообщения Российской Федерации
Уральский государственный университет путей сообщения
__________________________________________________________________
Кафедра высшей математики
Т.В. Величко
П.П. Скачков
Г.А. Тимофеева
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Методические указания для студентов
заочной формы обучения
Екатеринбург
2004
УДК 519.216
В 27
Методические указания «Математические модели массового
обслуживания» содержат краткие сведения по теории марковских цепей и их
применению к исследованию простейших систем массового обслуживания,
примеры с решениями и изложением проблемных ситуаций. Указания
содержат индивидуальные задания по разделам «Марковские случайные
процессы» и «СМО с отказами и ожиданием»..
Это пособие составлено в соответствии с учебным планом и
используется при проведении занятий со студентами всех специальностей
заочной формы обучения.
Основой для данного пособия послужила работа, изданная в УрГУПС
в 2002 году и имеющая то же название.
Авторы: Т.В. Величко, ст. преподаватель,
П.П. Скачков, кандидат физ.-мат. наук, доцент,
Г.А. Тимофеева, доктор физ.- мат. наук, доцент.
Рецензент: С.С. Титов , доктор физ.-мат. наук, профессор,
Зав . кафедрой математики УрГАХА .
__________________________________________________________________
© Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2004
2
Содержание
1. Основные понятия теории марковских цепей .................................4
1.1. Марковские цепи с дискретным временем и конечным
числом состояний…………………………………………………………4
1.2. Однородные марковские цепи с непрерывным временем……………..9
1.3. Процесс гибели и размножения………………………………………….13
1.4. Задачи……………………………………………………………………...14
1.5. Варианты индивидуальных заданий……………………………………..15
2. Системы массового обслуживания...........................................................17
2.1.Основные понятия и классификация систем
массового обслуживания…………………………………………………..17
2.2. Простейший поток и его свойства………………………………………..18
2.3. Марковские системы массового обслуживания…………………………20
2.4. Показатели эффективности систем массового обслуживания………….21
2.5.Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга)……………………..26
2.6. Одноканальная СМО с неограниченной очередью……………………....26
2.7. Многоканальная СМО с неограниченной очередью………………….....29
2.8. Многоканальная СМО с ограниченным числом мест в очереди……......31
3. Эффективность работы СМО по стоимостным показателям..............35
3.1. Оптимальная стоимость обслуживания в
одноканальной СМО…………………………………………………………...36
3.2. Определение оптимального числа обслуживающих каналов…..……..37
4. Индивидуальные задания
……………………………………... …39
Библиографический список ….………………………..…………….....40
3
1. Основные понятия теории марковских цепей
1.1. Марковские цепи с дискретным временем и конечным
числом состояний
Пусть физическая система S находится в одном из состояний,
образующих конечное множество {S1,..., S n } , и переходит из одного
состояния в другое S i → S j случайным образом только в фиксированные
моменты времени t1 , t 2 , ... .
Тогда говорят, что в этой системе происходит случайный процесс.
Важным классом случайных процессов являются марковские процессы
(или процессы без последействия), введенные в научный обиход
математиком А.А. Марковым.
На интуитивном уровне это значит, что при известном состоянии
системы в данный момент времени прогноз о ее будущем поведении не
зависит от состояний, в которых находилась эта система в прошлом.
Поскольку множество состояний {S1,..., S n } конечно, а множество
моментов времени {t1 , t 2 ,...} состоит из изолированных точек, такой
случайный процесс называется марковской цепью с дискретным временем и
конечным числом состояний.
Как мы убедимся позже, такие цепи и некоторые их модификации могут
служить удобной математической моделью для описания многих интересных
и важных технических (в частности, транспортных) объектов.
Приведем математическое описание марковских цепей с дискретным
временем, полагая для упрощения выкладок, что система может находиться
только в трех состояниях S1 , S 2 , S 3 , т.е. принимая n = 3.
Обозначим символом p ij , i, j = 1,2,3 вероятность перехода системы из
состояния Si в состояние S j за один шаг. Такие вероятности образуют
матрицу Р вероятностей переходов за один шаг:
⎛ p11
⎜
P = ⎜ p21
⎜
⎝ p31
p12
p22
p32
p13 ⎞
⎟
p23 ⎟ .
⎟
p33 ⎠
(1.1.1)
Будем считать, что вероятности p ij не зависят от номера шага, на
котором осуществляется переход S i → S j , и называть такие цепи
4
однородными марковскими цепями. В дальнейшем будем рассматривать
только однородные марковские цепи.
Элементы матрицы (1.1.1) обладают следующими свойствами:
3
0 ≤ p ij ≤ 1 , i, j = 1,2,3; ∑ p ij = 1,
i = 1,2,3.
(1.1.2)
j =1
Однородную марковскую цепь принято изображать в виде размеченного
графа состояний.
p12
p11
S1
S2
p22
p21
p13 p31 p32 p23
S3
p33
Рассмотрим матрицу-строку Q( k ) = ( p1 ( k ), p2 ( k ), p3 ( k ) ) , где pi ( k ) −
вероятность того, что после k шагов система находится в состоянии S i ,
i = 1,2,3. Для элементов этой матрицы при любом k ≥ 0 выполняется
3
равенство ∑ pi ( k ) = 1. При k = 0 имеем матрицу Q( 0) = ( p1 ( 0), p2 ( 0), p3 ( 0) )
i =1
− начальное распределение вероятностей состояний.
Матрицы P, Q( k ), Q( 0) удовлетворяют следующим матричным
уравнениям
или
Q( k ) = Q( 0) P
(1.1.3)
Эти уравнения позволяют определить вероятности состояний после k-го
шага по известному начальному распределению и заданной матрице P
вероятностей переходов за один шаг.
Введем следующие понятия.
Определение 1.1.1. Состояние S i называется существенным, если,
выйдя из этого состояния, система может в него вернуться за один или
несколько шагов : pij ( n ) > 0 и существует k такое, что p ji ( k ) > 0.
Q( k ) = Q( k − 1) P
k
Состояние S i называется несущественным, если, выйдя из S i , система
не может вернуться в него: pij ( n ) > 0, p ji ( k ) = 0, для любого k.
Так марковская цепь, граф которой приведен ниже, имеет одно
несущественное состояние S1 .
5
1
3
1
3
S1
S2
1
3
1
2
1
2
1
2
S3
1
2
Определение 1.1.2. Распределение вероятностей состояний марковской
цепи называется стационарным, если оно не изменяется во времени.
Стационарное распределение Q удовлетворяет матричному уравнению
Q = Q⋅P ,
(1.1.4)
или в координатной форме
p1 = p1 p11 + p 2 p 21 + p3 p31
p 2 = p1 p12 + p 2 p 22 + p3 p32
p3 = p1 p13 + p 2 p 23 + p 3 p33
.
(1.1.5)
Для получения единственного решения к уравнениям (1.1.4) или (1.1.5)
всегда необходимо добавить условие нормировки:
p1 + p 2 + p 3 = 1 .
(1.1.6)
Определение 1.1.3. Марковская цепь называется регулярной, если из
любого существенного состояния можно попасть в любое другое
существенное состояние за конечное число шагов.
Определение 1.1.4. Вероятности ~
p i = lim p i ( n ) называются
n→∞
предельными (или финальными) вероятностями состояний системы.
Теорема 1.1.1. Если марковская цепь регулярна, то предельные
вероятности состояний системы совпадают со стационарными
вероятностями.
Пример 1.1.1. Для марковской цепи с тремя состояниями задана
матрица вероятностей переходов за один шаг:
⎛ 13
⎜
P = ⎜0
⎜1
⎝2
1
3
1
2
1
2
1⎞
3⎟
1 .
2⎟
0⎟⎠
1. Составить размеченный граф состояний этой марковской цепи,
определить, является ли цепь регулярной.
2. Найти матрицу P(2) вероятностей переходов за два шага.
3. Определить распределение вероятностей состояний системы за один,
два и три шага, считая начальным состояние S1 .
4. Найти стационарное распределение вероятностей состояний.
6
5. Найти финальные вероятности состояний системы.
Решение.
1. Составим граф состояний.
1
3
1
S1
S2
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
s3
По графу видно, что все состояния системы существенны, поэтому цепь
регулярна.
2. Найдем матрицу вероятностей переходов за два шага
P( 2) = P(1) ⋅ P(1) :
⎛ 13
⎜
P (2 ) = ⎜ 0
⎜1
⎝2
⎛ 158 188 158 ⎞
⎜
⎟
2
1
= ⎜ 14
.
4
4 ⎟
⎜ 2
5
5 ⎟
0 ⎟⎠
⎝ 12 12 12 ⎠
Заметим, что вероятность перехода из состояния S 2 в состояние S1 за один
1
шаг p 21 (1) = 0 , а за два шага p 21 ( 2) = ≠ 0 .
4
1
3
1
2
1
2
1⎞
3⎟
1
2⎟
⎛ 13
⎜
⎜0
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12
1⎞
3⎟
1
2⎟
1
3
1
2
1
2
3. Пусть Q(0) = (1, 0, 0). Найдем распределение вероятностей состояний
за один и за два шага, Q(1), Q(2):
⎛ 13
⎜
Q (1) = (1, 0 , 0 ) ⋅ ⎜ 0
⎜1
⎝2
⎛ 185
⎜ 1
Q (2 ) = (1, 0 , 0 ) ⋅ ⎜ 4
⎜ 2
⎝ 12
1
3
1
2
1
2
8
18
2
4
5
12
Q( 2) можно определить и по-другому:
7
⎞
⎟
1
2 ⎟ =
0 ⎟⎠
( 13 ; 13 ; 13 )
⎞
⎟
1
4 ⎟ =
5 ⎟
12 ⎠
(185 ; 188 ; 185 )
1
3
5
18
,
.
⎛ 13
⎜
1 1 1
(
)
Q(2 ) = Q(1) ⋅ P(1) = 3 ; 3 ; 3 ⎜ 0
⎜1
⎝2
⎞
⎟
⎟ = (185 ; 188 ; 185 ) = (0.28;0.44;0.28) .
0 ⎟⎠
1
3
1
2
1
2
1
3
1
2
Определим распределение вероятностей состояний после третьего шага:
Q( 3) = Q( 2) ⋅ P(1) =
(185 ; 188 ; 185 )
⎛1
⎜3
⋅⎜0
⎜1
⎝2
1⎞
3⎟
1⎟
2
1
3
1
2
1
2
⎟
0⎠
=
25 49 34
; 108 ; 108 ) = ( 0,23;0,45;0,32).
(108
4. По формулам ( 1.1.4 ) найдем стационарное распределение
вероятностей:
⎛ 13
⎜
p
,
p
,
p
⋅
( 1 2 3) ⎜0
⎜1
⎝2
1p
3 1
1p
3 1
1p
3 1
+ 12 p3 = p1
+ 12 p2 + 12 p3 = p2
1
3
1
2
1
2
1⎞
3⎟
1
2⎟
0⎟⎠
= ( p1 , p 2 , p 3 )
⎫
⎪⎪
1
1
p1 − 2 p 2 + 2 p 3 = 0⎬ .
⎪
p1 + 12 p 2 − p 3 = 0 ⎪⎭
− 23 p1 + 12 p 3 = 0
⇒
+ 12 p2 = p3
1
3
1
3
(1.1.7)
Система (1.1.7) имеет бесчисленное множество решений, причем одно
из уравнений является следствием двух других. Чтобы найти единственное
решение, отбросим лишнее уравнение и добавим условие нормировки
p1 + p 2 + p 3 = 1 .
Решим систему уравнений:
⎧− 23 p1 + 12 p3 = 0
⎪⎪
1
1
1
⎨ 3 p1 − 2 p 2 + 2 p3 = 0
⎪
⎪⎩ p1 + p 2 + p 3 = 1
Qстац. =
⇒
⎧− 4 p1 + 3 p3 = 0
⎪
⎨2 p1 − 3 p2 + 3 p3 = 0
⎪p + p + p = 1
2
3
⎩ 1
,
(133 ; 136 ; 134 ) = (0,231; 0,461; 0,308).
5. Марковская цепь регулярна, поэтому предельные вероятности совпадают
~
со стационарными. Получим p1 =
3 ~ 6 ~ 4
; p2 = ; p3 = .
13
13
13
Можно заметить, что вероятности всех трех состояний меняются на
каждом шаге, но сумма p1 + p 2 + p 3 = 1 остается неизменной.
8
1.2. Однородные марковские цепи с непрерывным временем
Физическая система S может находиться в одном из состояний
{S1, S2 , ..., S n } , однако, в отличие от предыдущего будем считать, что
переход из одного состояния в другое возможен в любой случайный момент
времени t, причем множество таких моментов перехода является
непрерывным. Если, как и ранее, выполняется марковское свойство
(независимость будущего от прошлого при известном настоящем), то будем
называть такой случайный процесс марковской цепью с конечным числом
состояний и непрерывным временем.
Обозначим символом Q( t ) = ( p1( t ), ..., pn ( t ) ) матрицу вероятностей
состояний системы S в момент времени t, p i ( t ) −вероятность того, что в
момент времени t система находится в состоянии S i . Ясно, что
n
∑ p i ( t ) = 1.
i =1
Для того чтобы найти эти вероятности, надо знать характеристики процесса,
аналогичные вероятностям перехода p ij за один шаг (см. п.1.1).
Определение 1.2.1. Интенсивностью λij перехода системы S i → S j
называется предел
λij = lim
Δt → 0
pij ( Δt )
Δt
,
(1.2.1)
где p ij ( Δt ) −вероятность перехода S i → S j ( i ≠ j ) на интервале времени
[ t , t + Δt ] .
Величины λij при i ≠ j в общем случае зависят от расположения
интервала [ t , t + Δt ] на оси времени (являются функциями времени). Если,
однако, λij = const при i ≠ j , то марковская цепь называется однородной.
Далее рассматриваются только такие марковские цепи.
Равенство (1.2.1) можно с точностью до бесконечно малых более
высокого порядка, чем Δt заменить следующим приближенным равенством
pij ( Δt ) ≈ λij Δt .
(1.2.2)
Положим, как и ранее, для упрощения выкладок n = 3 и рассмотрим
следующую матрицу интенсивностей переходов:
⎛ λ11 λ12
⎜
Λ = ⎜ λ 21 λ 22
⎜
⎝ λ31 λ32
λ13 ⎞
⎟
λ 23 ⎟ .
⎟
λ33 ⎠
(1.2.3)
Элементы матрицы интенсивностей Λ удовлетворяют условиям:
9
3
λij ≥ 0 при i ≠ j ; λii < 0 при i = 1, 2, 3; ∑ λij = 0 при i = 1, 2, 3.
(1.2.4)
j =1
Марковскую цепь с непрерывным временем можно изображать
размеченным графом состояний
λ12
λ21
S1
λ31
S2
λ13 λ23
S3
λ32
Матрица вероятностей состояний Q( t ) = ( p1 ( t ), p2 ( t ), p3 ( t ) ) удовлетворяет
системе дифференциальных уравнений Колмогорова. Эта система может
быть записана в матричной форме
Q ′ ( t ) = Q( t ) Λ
(1.2.5)
или в координатной форме
p1′ ( t ) = λ11 p1 ( t ) + λ21 p2 ( t ) + λ31 p3 ( t )
p ′ (t) = λ p (t) + λ p (t) + λ p (t)
2
12 1
22 2
32 3
(1.2.6)
p3′ ( t ) = λ13 p1 ( t ) + λ23 p2 ( t ) + λ33 p3 ( t ).
(
)
Здесь Q ′(t ) = p1′ (t ), p 2 ′ (t ), p 3 ′ ( t ) −матрица, составленная из
производных p i ′ (t ) , i = 1, 2, 3 вероятностей состояний в момент времени t.
Для решения системы (1.2.5) или (1.2.6) необходимо, как обычно, задать
начальные условия:
p1 (0) = p10 , p2 ( 0) = p20 ,
где p i0 , i = 1, 2, 3 −заданные числа, причем p10 +
p3 ( 0) = p30 ,
(1.2.7)
p20 + p30 = 1
Определение 1.2.2. Распределение вероятностей называется
стационарным, если вероятности p i состояний S i не зависят от времени
p1 (t ) ≡ p1 , p 2 (t ) ≡ p 2 , p3 (t ) ≡ p3 или Q(t ) ≡ Q = const .
Для стационарного распределения вероятностей системы Q ′(t ) ≡ 0 ,
тогда из (1.2.5) получаем систему алгебраических уравнений
Q⋅Λ = 0,
или в координатной форме:
10
λ11 p1 + λ21 p2 + λ31 p3 = 0
λ12 p1 + λ22 p2 + λ32 p3 = 0
λ13 p1 + λ23 p2 + λ33 p3 = 0.
(1.2.8)
Уравнения для стационарного случая можно составить непосредственно
по графу: сумма произведений λij pi для дуг, выходящих из состояния S i ,
равна сумме произведений λ ji p j для дуг, входящих в состояние S i .
Для многих практических задач важно знать, как ведут себя вероятности
состояний системы при неограниченном возрастании времени. Обозначим
~
pi = lim pi (t ), ~
pi называются предельными (финальными) вероятностями
t →∞
системы.
Понятия существенного (несущественного) состояния, регулярности
марковской цепи аналогичны тем, что даны для марковской цепи с
дискретным временем.
Если марковская цепь регулярна, то предельные вероятности состояний
совпадают со стационарными.
Система, для которой существуют предельные вероятности состояний,
называется эргодической и возникающий в ней случайный процесс −
эргодическим.
Пример 1.2.1. Задана матрица интенсивностей марковской цепи с
непрерывным временем:
1⎞
⎛− 2 1
⎟
⎜
Λ =⎜ 3 − 4 1 ⎟.
⎜ 0
1 − 1⎟⎠
⎝
Составить граф состояний, записать систему дифференциальных
уравнений Колмогорова для вероятностей состояний. Найти частное решение
системы при начальных условиях ρ1 (0) = 1, ρ 2 (0) = 0, ρ 3 (0) = 0. Найти
стационарное и предельное распределения вероятностей состояний системы.
Решение.
Граф данной марковской цепи изображен на рисунке
S1
3
1
1
1
S2
S3
1
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
11
1⎞
⎛− 2 1
⎜
⎟
p1′ (t ), p 2 ′ (t ), p 3′ (t ) = ( p1 (t ), p 2 (t ), p 3 (t )) ⋅ ⎜ 3 − 4 1 ⎟ .
⎜ 0
1 − 1⎟⎠
⎝
Тогда получим
p1′ (t ) = −2 p1 (t ) + 3 p 2 (t )
(1.2.9)
p 2′ (t ) = p1 (t ) − 4 p 2 (t ) + p 3 (t )
(
)
p 3′ (t ) = p1 (t ) + p 2 (t ) − p 3 (t )
(при расчете мы использовали правило умножения двух матриц).
Найдем стационарные вероятности системы, полагая, что p1′ = 0,
p 2 ′ = 0, p3′ = 0 . Получим систему линейных алгебраических уравнений:
⎧− 2 p1 + 3 p 2 = 0
⎪
⎨ p1 − 4 p 2 + p3 = 0 .
⎪p + p − p = 0
2
3
⎩ 1
Третье уравнение этой системы получается из первых двух. Отбросим
его и присоединим к системе уравнений условие p1 + p 2 + p 3 = 1 :
⎧− 2 p1 + 3 p 2 = 0
⎪
⎨ p1 − 4 p 2 + p3 = 0 .
⎪p + p + p =1
2
3
⎩ 1
Решая систему , получим:
3
2
5
⎛3 2 5⎞
Q = ⎜ ; ; ⎟.
p1 = ; p 2 = ; p 3 = .
10
10
10
⎝ 10 10 10 ⎠
Для отыскания предельного распределения вероятностей состояний
будем решать систему (1.2.9).
Исключая переменную p 3 = 1 − p1 − p 2 , получим:
⎧ p1′ = −2 p1 + 3 p 2
⎨
⎩ p 2′ = −5 p 2 + 1
Сведем систему двух уравнений 1-го порядка к линейному
дифференциальному уравнению 2-го порядка:
p1′′ + 7 p1′ + 10 p1 = 3 .
Характеристическое уравнение имеет вид k 2 + 7 k + 10 = 0 с корнями
k1 = −5, k 2 = −2 . Общее решение соответствующего однородного уравнения
p1 (t ) = C1e −5t + C 2 e −2t .
Частное решение будем искать в виде
3
p1∗ = A; тогда p1∗′ = 0; p1∗′′ = 0 и A = ,
10
12
p1 (t ) = C1e −5t + C 2 e − 2t +
3
10
1
2
p 2 (t ) = ( p1′ + 2 p1 ) = −C1t −5t + .
3
10
Используя начальные условия, запишем:
3
⎧
1
=
+
+
C
p
1
2
p1 (0) = 1 ⎪
10
⎨
p 2 (0) = 0 ⎪ 0 = −C + 2
1
10
⎩
2
5
C1 =
и C2 =
10
10
5
5
p 3 (t ) = 1 − p1 (t ) − p 2(t ) = − e −5t + .
10
10
Окончательно имеем:
2
5
3
p1 (t ) = e −5t + e − 2t + ;
10
10
10
2
2
p 2 (t ) = − e −5t + ;
10
10
5
5
p 3 (t ) = − e −5t + .
(1.2.10)
10
10
При t → ∞ получим финальное распределение вероятностей
3 2 5
~
Q = (~
p1 , ~
p2 , ~
p3 ) = ( , , ) ,
10 10 10
которое совпадает со стационарным распределением, а сами решения (1.2.10)
описывают переходный процесс, протекающий в рассматриваемой
марковской цепи.
Заметим, что при возрастании t вероятности состояний достаточно
быстро сходятся к стационарным значениям в соответствии с решениями
(1.2.10), а при t = 0 дают начальное распределение.
1.3. Процесс гибели и размножения
Процессом гибели и размножения называется однородная марковская
цепь с непрерывным временем, размеченный граф состояний которой имеет
вид:
λ0
S0
λ2
λ1
S1
μ1
S2
μ2
Sn
...
μ3
13
λ n−1
μn
Термин этот заимствован из математической биологии, а его суть
состоит в том, что за малое время Δt система практически может
перейти только в соседнее состояние (или остаться на месте), но не может
перескочить через одно или несколько состояний.
Найдем для этого процесса стационарное распределение. Составляя по
графу систему алгебраических уравнений, получим для стационарных
вероятностей p 0 , ..., p n следующую систему:
λ0 p0 = μ1 p1
(λ1 + μ1 ) p1 = λ0 p0 + μ2 p2
(1.3.1)
..............................................
λ n −1 pn −1 = μ n pn .
Выразим из этой системы p1,..., pn через p 0 и подставим в условие
нормировки p0 + p1 +...+ pn = 1 .
После несложных преобразований получим окончательно
⎛
λ
λ λ
λ K λ n −1 ⎞
p0 = ⎜ 1 + 0 + 0 1 +L+ 0
⎟
μ1 μ1μ 2
μ1K μ n ⎠
⎝
λ K λ i −1
pi = 0
p ,
i = 1,K, n.
μ1K μ i 0
−1
,
(1.3.2)
Эти формулы широко используются в следующих разделах, поскольку
процессы, изучаемые в теории массового обслуживания, как правило,
являются процессами размножения и гибели.
Отметим также, что этот процесс является регулярным, поэтому
стационарное распределение (1.3.2) совпадает с предельным.
1.4. Задачи
В заключительном параграфе этой главы приведем условия двух задач,
математическая формализация которых может быть построена в рамках
теории марковских цепей.
Задача 1.4.1. в городе N каждый житель имеет одну из трех профессий:
А, В, С. Дети отцов, имеющих профессии А,В,С, сохраняют
профессии отцов с вероятностями 3 , 2 , 1 соответственно, а
5 3 4
если не сохраняют, то с равными вероятностями выбирают
любую из двух других профессий.
Найти:
14
1) распределение по профессиям в следующем поколении, если в данном
поколении профессию А имело 20% жителей, В − 30%, С − 50%;
2) предельное распределение по профессиям, когда число поколений
растет;
3) распределение по профессиям, не меняющееся при смене поколений.
Задача 1.4.2. В прибор входят два устройства А и В. Интенсивность
отказов устройства А − λ1 = 1, устройства В − λ 2 = 2 .
После выхода из строя устройство сразу начинают
ремонтировать. Интенсивность ремонта устройства А −
μ1 = 2 , устройства В − μ 2 = 3 .
1. Описать состояния системы и составить граф состояний марковского
процесса.
2. Записать дифференциальные уравнения вероятностей состояний
системы.
3. Найти стационарное распределение и финальные вероятности.
4. Известно, что второе устройство более современно и имеет
производительность вдвое больше, чем первое. Первое устройство приносит
доход 5 условных единиц в единицу времени, а второе − 10 условных
единиц. Вычислить доход, который приносят эти устройства.
5. (Задача о рационализации.) Предлагается произвести рационализацию
процесса, в результате которой удастся сократить время ремонта вдвое. Но
мы можем (из-за финансовых трудностей) применить ее только к одному из
устройств. Показать расчетами, к какому из устройств надо применить
рационализацию.
Варианты индивидуальных заданий
1. Дана матрица переходных вероятностей марковской цепи с
дискретным временем.
a) Составить граф марковской цепи.
б) Найти вероятности переходов из одного состояния в другое за два
шага.
в) Определить финальные вероятности.
1.1
⎛1
⎜3
P = ⎜ 12
⎜1
⎝2
1
3
0
1
2
1.2
1⎞
3⎟
1⎟
2
⎟
0⎠
⎛1
⎜2
P = ⎜ 13
⎜⎜ 1
⎝2
0
0
1
4
15
1.3
1⎞
2⎟
2⎟
3
1 ⎟⎟
4⎠
⎛1
⎜2
P = ⎜ 23
⎜1
⎝3
1
2
1
3
1
3
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
3⎠
1.4
⎛1
⎜3
P = ⎜ 12
⎜⎜ 2
⎝3
1.5
1⎞
3⎟
1⎟
4
1 ⎟⎟
3⎠
1
3
1
4
0
⎛3
⎜4
P = ⎜ 23
⎜⎜ 1
⎝3
1.7
⎛1
⎜4
P = ⎜ 43
⎜⎜
⎝0
⎛0
⎜
P = ⎜ 23
⎜⎜ 1
⎝4
1⎞
2⎟
1⎟
4
1 ⎟⎟
3⎠
1
4
0
2
3
0
1
4
1
3
1⎞
4⎟
0
1
3
1
3
0⎟
1 ⎟⎟
3⎠
⎛5
⎜6
P = ⎜ 12
⎜⎜ 1
⎝2
0
1
4
1⎞
4⎟
1⎟
4
1 ⎟⎟
3⎠
1.9
1⎞
3⎟
2
3
1
3
1
4
0⎞
⎟
1⎟
2
1 ⎟⎟
4⎠
1
6
1.8
1.10
⎛3
⎜4
P = ⎜ 12
⎜⎜ 1
⎝3
1.6
0⎟
1 ⎟⎟
2⎠
⎛4
⎜6
P = ⎜ 13
⎜⎜ 1
⎝2
1.11
⎛1
⎜3
P = ⎜ 43
⎜⎜ 1
⎝3
1⎞
3⎟
1
3
1
4
0⎟
2 ⎟⎟
3⎠
0
1⎞
6⎟
1⎟
3
1
6
1
3
1
2
⎟
0 ⎟⎠
1.12
⎛1
⎜6
P = ⎜ 12
⎜⎜ 1
⎝2
2
3
1
4
2
3
1⎞
6⎟
1⎟
4
⎟
0 ⎟⎠
2. Задана матрица интенсивностей переходов непрерывной цепи
Маркова Λ .
а) Составить размеченный граф состояний системы, соответствующий этой
матрице.
б) Записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова.
в) Найти предельное распределение вероятностей состояний.
2.1
2⎞
⎛− 2 0
⎜
⎟
Λ = ⎜ 2 −3 1 ⎟
⎜
⎟
0 − 1⎠
⎝ 1
2.4
5⎞
⎛− 6 1
⎜
⎟
Λ =⎜ 3 −4 1 ⎟
⎜
⎟
0 − 2⎠
⎝ 2
2.2
2.3
2⎞
⎛− 4 2
⎜
⎟
Λ = ⎜ 0 −3 3 ⎟
⎜
⎟
1 − 2⎠
⎝ 1
3⎞
⎛− 4 1
⎜
⎟
Λ = ⎜ 0 −3 3 ⎟
⎜
⎟
0 − 2⎠
⎝ 2
2.5
0⎞
⎛− 2 2
⎜
⎟
Λ = ⎜ 2 −5 3 ⎟
⎜
⎟
3 − 4⎠
⎝ 1
16
2.6
2⎞
⎛− 3 1
⎜
⎟
Λ = ⎜ 1 −3 2 ⎟
⎜
⎟
1 − 2⎠
⎝ 1
2.7
2⎞
⎛− 5 3
⎜
⎟
Λ = ⎜ 1 −5 4 ⎟
⎜
⎟
1 − 1⎠
⎝ 0
2.8
2⎞
⎛− 4 2
⎜
⎟
Λ =⎜ 1 −2 1 ⎟
⎜
⎟
1 − 2⎠
⎝ 1
2.9
5⎞
⎛− 5 0
⎜
⎟
Λ = ⎜ 2 −3 1 ⎟
⎜
⎟
3 − 4⎠
⎝ 1
2.10
5⎞
⎛− 7 2
⎜
⎟
Λ = ⎜ 1 −5 4 ⎟
⎜
⎟
3 − 3⎠
⎝ 0
2.11
2⎞
⎛− 5 3
⎜
⎟
Λ =⎜ 1 −2 1 ⎟
⎜
⎟
2 − 5⎠
⎝ 3
2.12
3⎞
⎛− 8 5
⎜
⎟
Λ = ⎜ 2 −5 3 ⎟
⎜
⎟
7 − 8⎠
⎝ 1
2. Системы массового обслуживания
2.1. Основные понятия и классификация систем массового
обслуживания
При исследовании транспортных процессов, приходится сталкиваться с
работой своеобразных систем. Примерами могут служить билетные кассы,
АТС, справочные бюро, пункты экипировки локомотивов и другие.
Математический аппарат, изучающий закономерности
функционирования систем, удовлетворяющих массовый спрос, в том числе
образование очередей в такого рода системах, называется теорией массового
обслуживания.
Методы теории массового обслуживания все более широко
применяются на транспорте для расчета рациональной организации подачи
вагонов под разгрузку и погрузку, для расчета мощностей пунктов текущего
ремонта вагонов, для выбора рационального числа кассовых аппаратов на
вокзалах и станциях метрополитена. Поэтому современному инженеру
железнодорожного транспорта необходимо знать основы теории массового
обслуживания.
Заявкой (требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо
потребности. Далее примем, что все заявки однотипные. Удовлетворение
спроса называется обслуживанием заявки.
17
Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система,
предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в
случайные моменты времени. Устройство, непосредственно обслуживающее
заявку, называется каналом обслуживания. СМО может содержать одно
такое устройство, тогда она называется одноканальной. Если СМО содержит
несколько обслуживающих устройств, то она называется многоканальной.
Поступление заявки в СМО назовем событием. Последовательность
событий, состоящих в поступлении заявок в СМО, назовем входящим
потоком заявок. Последовательность событий, состоящих в выходе заявок из
СМО, назовем выходящим потоком заявок.
В зависимости от поведения заявки в СМО различают СМО с отказами
и СМО с очередью (или с ожиданием). В СМО с отказами заявка,
поступившая в момент занятости всех каналов, получает отказ и покидает
СМО. В СМО с очередью (или ожиданием) заявка, поступившая в момент
занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения
одного из каналов обслуживания.
Возможны СМО смешанного типа. Например, СМО с ограниченной
очередью. В такой СМО заявка становится в очередь при занятости всех
каналов, если очередь невелика и, скажем, не достигла длины m. Если все m
мест в очереди заняты, заявка покидает СМО. К СМО смешанного типа
относятся СМО с ограниченным временем ожидания. Заявка, поступившая в
момент занятости всех каналов, становится в очередь, но уходит из СМО
необслуженной, если время ожидания слишком велико.
СМО могут быть открытого и замкнутого типа. В открытых СМО
интенсивность поступающего в нее потока заявок не зависит от состояния
самой СМО, так как круг «клиентов» (поступающих заявок) практически не
ограничен. Примерами таких СМО являются вокзальные кассы,
метрополитен, телевизионные ателье больших городов и т.д. В СМО
замкнутого типа обслуживается ограниченный круг «клиентов», поэтому
интенсивность потока заявок существенно зависит от состояния системы.
Примерами таких СМО являются различные ремонтные системы в
автопарках, цехах и т.д.
СМО с очередью и смешанного типа различаются также по дисциплине
обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления или в
случайном порядке, или есть заявки, которые обслуживаются вне очереди
(СМО с приоритетом).
2.2. Простейший поток и его свойства
Рассмотрим входящий поток в СМО как последовательность точек
t1, t2 ,..., ti ,... моментов поступления заявок на оси времени Ot . Здесь t 0 –
начальный момент времени.
18
t0
t1
t2
t3 . . . t i . . .
t
Поток заявок назовем простейшим, если он удовлетворяет трем
условиям:
1. Отсутствие последействия. Это условие означает, что заявки
поступают в СМО независимо друг от друга, т.е. поступление заявки после
момента времени t не зависит от того, когда и в каком количестве
появлялись заявки до момента t .
2. Стационарность. Это условие означает, что вероятность поступления
некоторого числа заявок в СМО за время Δt зависит лишь от длины
интервала Δt = (t + Δt ) − t и не зависит от точки t отсчета этого интервала
на оси времени Ot. Если выполнено условие стационарности, то можно
говорить о среднем числе заявок, поступающих в СМО за единицу времени,
например, за один час, не указывая за какой именно час.
3. Ординарность. Это условие означает, что одновременное
поступление в СМО двух и более заявок маловероятно, т.е. вероятность
появления за бесконечно малое время Δt более чем одной заявки есть
бесконечно малая более высокого порядка малости, чем Δt .
Таким образом, если поток заявок простейший, то случайные моменты
времени t i (i = 1, 2, ...) поступления заявок в СМО распределены на оси
времени со средней плотностью λ (стационарность); эти точки попадают в
непересекающиеся интервалы независимо друг от друга (нет последействия);
заявки поступают в СМО поодиночке (ординарность). Величина λ
называется интенсивностью потока заявок и представляет собой среднее
число (математическое ожидание числа) заявок, поступающих в систему
за единицу времени.
Можно показать, что для простейшего потока вероятность p i (t )
поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле
pi ( t )
i
λt ) − λt
(
=
e ,
( i ≥ 0),
(2.2.1)
i!
т.е. вероятности p i ( t ) распределены по закону Пуассона с параметром λt . В
связи с этим простейший поток часто называют пуассоновским потоком.
Обозначим через Т интервал времени между поступлениями двух
последовательных заявок. Найдем функцию распределения случайной
величины Т
F (t ) = P(T < t ) = 1 − p0 (t ),
где P(T < t ) вероятность того, что случайная величина Т примет значение,
меньшее, чем t; p0 вероятность противоположного события (т.е. за время t в
СМО не поступила ни одна заявка). По формуле (2.2.1) имеем
19
p0 ( t ) =
( λt ) 0
0!
e − λt = e − λ t ,
откуда
F ( t ) = 1 − e − λt ,
( t > 0).
(2.2.2)
Найдем плотность распределения случайной величины Т:
f ( t ) = F ′ ( t ) = λ e − λt ,
( t > 0).
Определяя математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Т, получим
1
1
M [ T ] = , D[T ] = 2 , σ = D[T ] = 1 .
(2.2.3)
λ
λ
λ
2.3. Марковские системы массового обслуживания
Для задания СМО необходимо задать вероятностные характеристики
времени обслуживания одной заявки. Обозначим это время через Tобсл. .
Величина Tобсл. является случайной. Во многих задачах теории массового
обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается
показательным, т.е.
F t = P Tобсл. < t = 1 − e − μt .
( 2.3.1)
Параметр этого распределения μ есть величина, обратная среднему времени
обслуживания, т.е.
()
(
)
μ=
1
.
M [Tобсл. ]
( 2.3.2)
Часто μ называют интенсивностью потока обслуживания, которая
означает среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу
времени. При этом под потоком обслуживания понимается поток заявок,
обслуживаемых друг за другом одним непрерывно занятым каналом. Если
Tобсл. представляет собой случайную величину, имеющую показательное
распределение, то поток обслуживания является простейшим.
Если входящий поток и все потоки обслуживания простейшие, то
процесс, протекающий в СМО, является марковским случайным процессом
(цепью) с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поэтому
СМО, в которой все потоки простейшие, называют марковской СМО.
Таким образом, предположение о показательном законе распределения
времени обслуживания и интервала времени между двумя
последовательными поступлениями заявок играет исключительную роль в
теории массового обслуживания, так как упрощает аналитическое
исследование СМО, сводя его к исследованию цепей Маркова.
20
2.4. Показатели эффективности систем массового
обслуживания
Обычно практический интерес в теории массового обслуживания
вызывают предельные средние характеристики системы, которые
называются показателями эффективности СМО. В качестве показателей
эффективности для стационарного режима могут рассматриваться
следующие:
А − среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени. Эту
характеристику называют абсолютной пропускной способностью СМО;
Q − вероятность обслуживания поступившей заявки, или относительная
пропускная способность СМО. Очевидно,
Q=
A
λ
;
Pотк. − вероятность отказа, т.е. вероятность того, что поступившая
заявка не будет обслужена, Pотк. = 1 − Q ;
z − среднее число заявок в СМО (имеются в виду все заявки, как
обслуживаемые, так и ожидающие очереди, если она есть);
r0 − среднее число заявок в очереди, если она есть;
t сист. − среднее время пребывания заявки в СМО, как в очереди, если
она есть, так и в момент обслуживания;
tо − среднее время пребывания заявки в очереди;
k − среднее число занятых каналов.
Выбор показателей эффективности СМО зависит от типа СМО.
Например, абсолютная пропускная способность А, являясь основной
характеристикой обслуживания в СМО с отказами, совпадает с
интенсивностью потока для СМО с неограниченной очередью.
2.5. Многоканальная СМО с отказами
(задача Эрланга)
Задача Эрланга хронологически является одной из первых, классических
задач массового обслуживания. Возникла она из нужд телефонии и была
решена датским математиком Эрлангом.
Задача2.5.1. Пусть имеется n каналов обслуживания (линий связи), на
которые поступает поток заявок с интенсивностью λ . Поток обслуживания
имеет интенсивность μ . Потоки в СМО − простейшие.
Найти предельные вероятности состояний СМО, вычислить
характеристики эффективности ее работы:
A − абсолютную пропускную способность;
21
Q − относительную пропускную способность;
Pотк. − вероятность того, что заявка не будет обслужена;
k − среднее число занятых каналов.
Обозначим S 0 , S1,..., S n состояния системы массового обслуживания:
S 0 − в системе нет заявок,
S1 − в системе одна заявка,
..............................................
Sn − в системе n заявок.
Следующая заявка, пришедшая в систему, получит отказ.
pn − вероятность отказа нашей системы: p отк. = p n .
Граф состояний представлен на рисунке
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
S3
...
μ
2μ
3μ
4μ
λ
nμ
Sn
Входящий поток простейший с интенсивностью λ , поэтому переход из
состояния S i в S i +1 происходит с одной и той же интенсивностью (условие
ординарности).
Переходы из состояния S k в соседнее S k −1 происходит с
интенсивностью kμ (кратное количеству занятых каналов). Граф на рисунке
соответствует графу процесса гибели и размножения. Согласно формулам
(1.3.2) получим:
⎛ λ
λ2
λ3
λn ⎞
⎟
p0 = ⎜⎜1 + + 2 +
+...+
3
n⎟
μ
2μ
3!μ
n !μ ⎠
⎝
λi
pi =
⋅ p0 ,
i !μ i
Обозначим
−1
(2.5.1)
i = 1, 2,..., n .
λ
= ρ , тогда получим:
μ
⎛
ρ2
ρn ⎞
p0 = ⎜⎜1 + ρ +
+...+ ⎟⎟
n! ⎠
2!
⎝
−1
; pi =
ρi
i!
⋅ p0 , i = 1, 2,... n
(2.5.2)
Величина ρ определяет среднее число заявок, приходящее за среднее
время обслуживания одной заявки. Его называют коэффициентом загрузки
системы.
22
Вычислим коэффициенты эффективности работы системы массового
обслуживания с отказами:
Pотк = pn =
ρn
n!
⋅ p0 ; Q = 1 − Pотк = 1 −
ρn
n!
⋅ p 0 ; A = Q ⋅ λ . (2.5.3)
Найдем среднее число занятых каналов, составим ряд распределения
случайной величины k.
k
0
1
pi
p0
p1
...
...
n
pn
M [ k ] = k = 0 ⋅ p0 + 1 ⋅ p1 + 2 ⋅ p2 +...+ n ⋅ pn ,
⎛
ρ2
ρ3
ρn ⎞
k = ⎜⎜ ρ + 2 ⋅
+ 3 +...+ n ⋅ ⎟⎟ ⋅ p0 .
2!
3!
n! ⎠
⎝
(2.5.4)
Можно найти среднее число занятых каналов с помощью таких
рассуждений: А − абсолютная пропускная способность СМО, μ −
интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый канал в
единицу времени обслуживает в среднем μ заявок. Значит, среднее число
занятых каналов равно
⎞
⎛ ρn
p 0 ⎟⎟ .
k = = ρ ⎜⎜1 −
n!
μ
⎠
⎝
A
(2.5.5)
Пример 2.5.1. Простейшая СМО представляет собой автоматическую
телефонную станцию с пятью линиями связи (число каналов – n = 5).
Если заявка приходит в момент, когда все каналы заняты, то она
получает отказ. Интенсивность потока заявок λ = 0,7 заявки в минуту,
среднее время обслуживания одной заявки t обс = 3,4 мин.
1. Описать состояния СМО, построить ее граф.
2. Найти предельные вероятности состояний и характеристики
эффективности работы АТС. Оценить ее работу.
3. Найти зависимость среднего числа занятых каналов и пропускной
способности АТС от интенсивности входного потока, сделать выводы.
4. Сколько потребуется каналов для того, чтобы удовлетворить не менее
99% поступающих заявок? Какая доля каналов при этом будет простаивать?
5. Содержание каждого канала в течение месяца обходится в 10 тысяч
усл. ед. Каждая обслуженная заявка приносит доход в 1,5 усл. ед.
Определить приносит ли АТС доход от обслуживания всех заявок?
Решение.
1.Обозначим S0 , S1, S2 ,..., S5 − состояния СМО:
S 0 − в системе все каналы свободны,
23
S1 − один канал занят, 4 - свободны,
S 2 − два канала заняты, 3 - свободны,
S 3 − три канала заняты, 2 - свободны,
S 4 − четыре канала заняты, 1 - свободен,
S 5 − пять каналов заняты.
Следующая заявка, поступившая в СМО, получает отказ.
Граф системы массового обслуживания имеет вид :
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
S3
S4
S5
μ
2μ
3μ
4μ
5μ
2. Из условия задачи известно:
λ = 0,7 1 мин ; tобс = 3,4 мин ;
μ=
ρ = 0,7 1 мин ⋅ 3,4 мин = 2,38 .
1
tобс
=
1
= 0,29 1 мин
3,4
По формулам (2.5.2-2.5.5) найдем нужные вероятности и
характеристики:
3
5
⎛
( 2,38) 2 (2,38)
( 2,38 )4 (2,38) ⎞⎟
⎜
p0 = ⎜1 + 2,38 +
+
+
+
2
!
3
!
4
!
5! ⎟⎠
⎝
pi = p0 ⋅
−1
= 0,096 ,
ρi
i = 1,2,3, 4,5
i!
p1 = 0,228
...
p5 = 0,06100.
Тогда Pотк = p5 = 0,061 .
Это значит, что в нашей АТС 6% абонентов получают отказ:
Q = 1 − Pотк = 0,939
A = Q ⋅ λ = 0,657 1 мин .
Среднее число занятых каналов - k = 2,23 = z сист .
В системе заявка в среднем находится tсист = 319
, мин (по формулам
z
Литла: t сист = сист ).
λ
Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что при достаточно
высокой вероятности отказа, загруженность АТС составляет около 45%
каналов.
Дальнейшая работа проводится с использованием ПЭВМ .
3. Так как по условию мы можем менять лишь один параметр (число
каналов), то задавая значения n = 6,7.., получим значения для Pотк :
24
n
Pотк
5
0,061
6
0,023
7
0,008
Следовательно, для того чтобы Pотк < 0,01, достаточно использовать 7
каналов.
4. Расчет на ЭВМ при n = 5 дает:
0.7
1.0
2.0
4.0
10.0
50.0
200.0
λ
2.23
2.91
4.04
4.62
4.84
4.97
4.99
k
λ
A
0.7
0.66
1.0
0.85
2.0
1.17
4.0
1.34
10.0
1.42
50.0
1.46
200.0
1.47
Из таблиц следует , что обе рассматриваемые величины с ростом
интенсивности входного потока возрастают, стремясь к некоторым
предельным значениям. При этом среднее число занятых каналов стремится
к полному числу каналов в СМО (n = 5), а пропускная способность - к
некоторой величине, больше которой при данном числе каналов и среднем
времени обслуживания АТС пропускать не может. Отметим, что фактически
при больших λ СМО не работает из-за неприемлемых значений pотк (так
при λ = 200, pотк = 0.99).
5. На АТС обслуживается в среднем А = 0.66 (1/мин) с доходом d = 1.5
усл.ед., тогда прибыль за одну минуту, D = d ⋅ A = 0.99 усл.ед. мин , а
суммарный доход за месяц, Dm = D ⋅ 60 ⋅ 24 ⋅ 30 = 42768 усл. ед. На
содержание 5 каналов требуется 50 000 усл.ед., значит предприятие не
рентабельно.
2.6. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Из СМО с ожиданием самой простой является одноканальная СМО с
неограниченной очередью. Такие СМО часто встречаются в практике: врач,
обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ,
выполняющая заказы пользователей.
Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не
наложено никаких ограничений. На эту СМО поступает поток заявок с
интенсивностью λ ; поток обслуживания простейший и имеет интенсивность
⎛
1⎞
μ , ⎜ t обсл = ⎟ .
μ⎠
⎝
Найти предельные вероятности состояний СМО, а также характеристики
эффективности ее работы.
25
Запишем состояния СМО (состояния пронумерованы по числу заявок в
системе):
S 0 − канал свободен,
S1 − канал занят, очереди нет,
S 2 − канал занят, одна заявка в очереди,
..................................
S n − канал занят; n − 1 заявка в очереди,
и так далее.
Теоретически число состояний не ограничено (бесконечно). Граф
состояний показан на рисунке
λ
S0
μ
λ
S1
λ
S2
μ
μ
λ
...
...
μ
λ
Sn
μ
Существуют ли в этом случае предельные вероятности состояний, ведь
число состояний системы бесконечно?
Формула для определения p 0 имеет вид:
(
)
p0 = 1 + ρ + ρ 2 +...+ ρ n +...
−1
.
В скобке стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии. Если
знаменатель прогрессии ρ =
1 + ρ + ρ 2 +... =
λ
< 1 , то сумму можно вычислить по формуле
μ
1
.
1− ρ
Если ρ ≥ 1, то ряд расходится, сумма растет неограниченно, СМО не может
работать из-за неограниченно возрастающей очереди. Дальнейшие формулы
справедливы только при ρ < 1 .
p 0 = 1 − ρ;
p k = ρ k (1 − ρ ), k = 1,2...
(2.6.2)
Среднее число заявок в очереди одноканальной СМО и время ожидания
обслуживания равно
ρ2
rо =
;
1− ρ
to =
ρ2
λ (1 − ρ )
.
(2.6.3)
Среднее число занятых каналов - k = ρ. Найдем среднее число заявок в
системе:
z сист
ρ2
ρ
=
+ρ =
,
1− ρ
1− ρ
26
(2.6.4)
и среднее время нахождения заявки в системе:
t сист = t обсл + t o =
1
1
.
μ 1− ρ
⋅
(2.6.5)
Пример 2.6.1. На железнодорожную сортировочную горку прибывают
составы с интенсивностью λ = 2 состава в час.
Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равна 24
минутам. Составы, прибывшие в момент, когда горка занята, становятся в
очередь и ожидают в парке прибытия, где имеются три запасных пути, на
каждом из которых может ожидать один состав.
Состав, прибывший в момент, когда три запасных пути заняты, ставится
на внешний путь. Станция платит штраф за пребывание состава на внешнем
пути (а усл. ед. за 1 час).
1. Описать состояния системы и построить граф состояний.
2. Вычислить вероятности состояний СМО для стационарного случая и
коэффициенты эффективности работы горки. Сделать выводы о качестве ее
работы.
3. Вычислить штраф, который должна выплачивать станция за месяц изза ожидания обслуживания на внешних путях.
Решение.
1. Состояния СМО и ее граф приведены в пункте 2.6. Нас будут
интересовать те состояния, при которых составы попадают на внешний путь:
S 5 − один состав на горке, три в очереди на запасных путях станции,
один на внешних путях,
S 6 − один на горке, три на запасных путях, два на внешних путях и так
далее.
2. Вычислим стационарные вероятности состояний СМО:
λ = 2 сост/час; t обсл = 24 мин = 0,4 час.; μ = 2,5 сост./час.
⇒
p 0 = 1 − ρ = 0,2
p1 = 0,16; p 2 = 0,128; p3 = 0,102; p 4 = 0,082...
ρ = 2 ⋅ 0,4 = 0,8 < 1
Теперь найдем вероятность того, что прибывающий состав попадает на
внешний путь
ρ 4 (1 − ρ )
p( A) = p4 + p5 + p6 + p7 +...= ρ (1 − ρ ) 1 + ρ + ρ +... =
= ρ4
1− ρ
(
2
)
p( A) = ρ 4 ≈ 0,41
Таким образом, в 41% случаев состав попадает на внешний путь.
Вычислим коэффициенты эффективности работы горки.
Среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке, так и вне его) -
rо =
0,64
= 3.2 состава,
1 − 0,8
tо =
ro
λ
= 1,6 часа.
Среднее число составов в парке расформирования 27
z сист =
0,8
= 4 состава,
1 − 0,8
t сист =
z сист
λ
= 2 часа.
Таким образом, составу приходится более 1,5 часов стоять в очереди.
3.Вычислим среднее время ожидания на внешних путях. Составим
закон распределения случайной величины rвн ; rвн - число составов,
поставленных на внешних путях.
0
1
2
3
4
....
rвн
p ( 0)
pi
p5
p6
p7
p( 0) = p 0 + p1 + p 2 + p 3 + p 4
p8
(
....
)
M [ rвн ] = rвн = 1 ⋅ p5 + 2 ⋅ p 6 + 3 ⋅ p7 +K = ρ 5 (1 − ρ ) 1 + 2ρ + 3ρ 2 +K =
′
⎛ ρ ⎞
ρ5
1
5
= ρ (1 − ρ ) ρ + ρ + ρ +K = ρ (1 − ρ ) ⋅ ⎜
=
⎟ = ρ (1 − ρ ) ⋅
2 1− ρ
⎝1 − ρ⎠
ρ
1
−
( )
5
(
2
3
)
′
5
В нашем примере:
rвн =
( 0,8) 5
= 0,82;
r
t вн = вн = 0, 41
1 − 0,8
λ
Вычислим штраф за сутки:
Ш = 2 сост/час. · 24 час. · 0,41 · а = 19,66 а усл.ед.
2.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Рассмотрим многоканальную СМО с неограниченной очередью. Число
каналов n . В эту систему поступает простейший поток заявок с
интенсивностью λ ; среднее время обслуживания одной заявки
t обс распределяется по показательному закону.
Найти стационарные вероятности состояний СМО; оценить работу
СМО по коэффициентам эффективности работы, указанным в п. 2.4.
Запишем состояния системы, они пронумерованы по числу заявок в
системе, т.е. по числу занятых каналов, плюс число заявок в очереди.
S 0 − все каналы свободны,
S1 − один канал занят,
S 2 − два канала заняты,
......................
S n − n каналов заняты,
S n +1 − n каналов заняты, одна заявка в очереди,
28
S n + 2 − n каналов заняты, две заявки в очереди,
и так далее.
В этой СМО ни одна заявка не получит отказа: pотк = 0 .
Граф будет таким
λ
S0
μ
λ
S1
2μ
λ
S2
3μ
λ
...
nμ
λ
Sn
λ
S n +1
nμ
λ
Sn+ 2
nμ
nμ
...
Интенсивности переходов S i в S i +1 , i = 0,1, K , n − 1 одинаковы и равны
λ , т.к. входной поток заявок простейший.
Интенсивность обратных переходов кратны числу занятых каналов.
Запишем алгебраические уравнения для стационарного случая и
определим из них и нормировочного условия p0 :
⎛ λ
⎞
λ2
λ3
λn
λn +1
⎟⎟
p0 = ⎜⎜1 + +
+
+
L
+
+
+
L
n
n +1
2
3
μ
2!μ
3!μ
n !μ
n ⋅ n !μ
⎝
⎠
Обозначим
λ
= ρ , рассмотрим величину
μ
ρ
n
.
−1
.
Если
ρ
n
< 1 , то
вероятности стационарных состояний можно найти по формулам
⎛
ρ2 ρ3
ρn
ρ n+1 ⎞
⎜
⎟
p 0 = ⎜1 + ρ +
+
+L+
+
2
3
n
!
!
!
n !( n − ρ ) ⎟⎠
⎝
p1 = ρ ⋅ p0 ; p2 =
Если
ρ
n
ρ2
2!
p0 ;L; pn =
ρn
n!
p0 ; pn +1 =
−1
ρ n +1
n ⋅ n!
;
p0 ;L; pn + k =
(2.7.1)
ρ n+k
n k ⋅ n!
p0 .
≥ 1 , то предельные вероятности, также, как стационарные
вероятности, не существуют, очередь растет неограниченно и СМО не может
работать. Запишем формулы расчета коэффициентов эффективности работы
СМО для случая
ρ
n
< 1.
Pотк = 0, Q = 1 − Pотк = 1, А = λ
Среднее число занятых каналов -
k =
λ
= ρ.
μ
Среднее число заявок, стоящих в очереди 29
(2.7.2)
(2.7.3)
rо. =
ρ n +1 ⋅ p0
ρ⎞ 2
⎛
n ⋅ n !⎜1 − ⎟
⎝
n⎠
,
(2.7.4)
среднее время ожидания
t о. =
rо.
λ
.
(2.7.5)
Пример 2.7.1. Ателье по ремонту аппаратуры имеет 5 опытных мастеров. В
среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт 10
аппаратов. Общее число аппаратов, находящихся у населения, очень велико,
а выходят они из строя независимо друг от друга. Поэтому имеются
основания считать поток заявок простейшим. Пусть все мастера имеют
одинаковую квалификацию и в среднем могут отремонтировать 2,5 аппарата
в день каждый. Определить показатели качества обслуживания в данном
ателье.
Решение. Запишем данные задачи.
Интенсивность входящего потока заявок-аппаратов λ = 10 апп. в день
10 5
= апп. в час, мы считаем, что в ателье восьмичасовой рабочий день.
8 4
10
= 4;
Интенсивность потока обслуживания μ = 2,5 апп. в день. n = 5, ρ =
2,5
ρ 4
= < 1. Используем для расчета формулы 2.7.1 - 2.7.5:
n 5
λ=
−1
2
3
4
5
6 ⎞
⎛
0
,
8
0
,
8
0
,
8
0
,
8
0
,
8
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⎟ = 0, 01299
p0 = ⎜ 1 + 0,8 +
+
+
+
+
⎜
2
!
3
!
4
!
5
!
5
!
5
−
0
,
8
(
) ⎟⎠
⎝
p 0 = 0,013 ,
p1 = 0,052 . . .
Запишем состояния системы:
S 0 − все мастера свободны,
S1 − один мастер занят,
S 2 − два мастера заняты,
......................
S 5 − пять мастеров заняты ремонтом,
S 6 − все мастера заняты, один аппарат ожидает обслуживания,
S 7 − все мастера заняты, два аппарата в очереди и так далее.
Заметим, что вероятность того, что все мастера свободны, мала: p 0 = 0,013.
Среднее число аппаратов, ожидающих ремонта, и время ожидания rо = 2,22; t о = 0,22 р аб . дня = 1,76 ч.
Среднее число аппаратов, находящихся в ателье - z сист = 6,22 ,
30
t сист. = 0,62 раб.дня = 4,96 ч. ≈ 5 ч.
Как видно из расчетов, ателье сильно загружено работой, аппараты
находятся в ателье в среднем 5 часов.
Вычислим вероятность того, что все мастера заняты (событие А):
⎞ ρ5
ρ5 ⎛ ρ ρ 2
1
⎟=
⎜1 + +
⋅
⋅ p0
p( A) = p5 + p6 +L=
+
L
⎟
ρ
5! ⎜⎝
5 52
5
!
⎠
1−
5
p( A) = 0,554.
Все мастера заняты в 55,4% случаев.
2.8. Многоканальная СМО
с ограниченным числом мест в очереди
Пусть в СМО n каналов и m мест в очереди. Заявка, пришедшая в СМО,
когда все места в очереди заняты, получает отказ. В этой СМО интересной
характеристикой работы является вероятность отказа пришедшей заявке.
Состояния системы:
S 0 − в СМО нет заявок,
S1 − в СМО одна заявка,
.......................
S n − в СМО n заявок,
S n +1 − в СМО n заявок в обслуживании и одна заявка в очереди,
......................
S n + m − в СМО n заявок в обслуживании и m заявок в очереди.
Следующая заявка, пришедшая в СМО, получает отказ.
Заметим, что число состояний конечно: S 0 , S1 ,..., S n + m .
Граф СМО в этом случае имеет вид
λ
S0
μ
λ
S1
2μ
λ
S2
3μ
λ
...
nμ
λ
Sn
nμ
λ
S n +1
Вероятности состояний будут:
⎛
ρ2
ρ n ρ n +1 ρ n + 2
ρ n+ m ⎞
⎟
p0 = ⎜⎜1 + ρ +
+...+
+
+
+...+
2
m⎟
n
n
n
!
!
!
2
n!n
n!n ⎠
⎝
31
nμ
−1
=
S n+ m
()
⎛
ρ
ρ m +1 ⎞
−
⎟
⎜
ρ2
ρn ρn n n
⎟
⎜
= 1+ ρ +
+...+
+
⋅
ρ
!
n
!
n
!
2
⎜
1− n ⎟
⎠
⎝
Таким образом, если
ρ
n
ρ
n
.
(2.8.1)
≠ 1, то
m +1 ⎞
⎛
ρ
ρ
⎛
⎞
⎜
⎟
−⎜ ⎟
2
n
n
⎝
⎠
ρ
ρ
ρ
n
n
⎟
p0 = ⎜1 + ρ +
+L+
+
⋅
⎜
⎟
ρ
n! n!
2!
1
−
⎜
⎟
n
⎝
⎠
Если
−1
−1
.
= 1 , то расчет p0 проводят по формуле
⎛
ρ2
ρ n ρ n +1
ρ n+m ⎞
p0 = ⎜⎜1 + ρ +
+L+
+
+L+ m ⎟⎟
n
n
n
!
!
!
2
⋅
n ⋅ n !⎠
⎝
p1 = ρ ⋅ p0 ; p2 =
pn +1 =
ρ n +1
ρ2
2!
p0 ; . . . ;
pn + m =
p ; ...;
n ⋅ n! 0
pn =
ρn
ρ n+ m
n m ⋅ n!
n!
−1
,
p0 ,
(2.8.2)
.
(2.8.3)
p0
Таким образом, все вероятности состояний найдены.
Найдем коэффициенты эффективности работы СМО:
Pотк = pn + m =
Q = 1 − Pотк ;
ρn+m
p0 ,
n m ⋅ n!
A=λ⋅Q .
(2.8.4)
Среднее число занятых каналов -
⎛
⎞
ρn+m
k = = ρ ⎜⎜1 − m
⋅ p0 ⎟⎟ .
μ
n ⋅ n!
⎝
⎠
A
Среднее число заявок в очереди -
ro. =
ρ т +1
n ⋅ n!
⋅
⎛ ρ⎞
1 − ( m + 1) ⋅ ⎜ ⎟
⎝ n⎠
m
⎛ ρ⎞
+ m⎜ ⎟
⎝ n⎠
2
⎛ ρ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ n⎠
Среднее время ожидания 32
(2.8.5)
m +1
.
(2.8.6)
r
tо = о .
λ
Среднее число заявок в системе -
z сист = rо + k ,
z
tсист = сист .
λ
Пример 2.8.1. Автозаправочная станция имеет 2 колонки. Площадка
возле АЗС позволяет поставить в очередь не более четырех автомобилей.
Если вся площадка занята, то следующий автомобиль проезжает дальше без
заправки. Поток автомобилей простейший с интенсивностью λ = 1 авт мин
Время ожидания подчиняется показательному закону, t обсл = 3 мин .
1. Описать состояния СМО, построить граф состояний.
2. Найти стационарные вероятности состояний системы и
коэффициенты эффективности работы.
3. В условиях конкуренции требуется, чтобы отказ от обслуживания
получали не более 10% автомобилей, нуждающихся в заправке.
Удовлетворяет ли АЗС этому требованию? Что можно предпринять, если это
требование не выполняется?
Решение.
1. Запишем состояния АЗС:
S 0 − все колонки АЗС свободны, очереди нет,
S1 − одна колонка занята, очереди нет,
S 2 − две колонки заняты, очереди нет,
S 3 − две колонки заняты, одна машина в очереди,
...........................................
S 6 − две колонки заняты, четыре машины в очереди.
Следующая машина, пришедшая в АЗС, получит отказ.
Граф имеет вид
λ
λ
S0
μ
S1
2μ
λ
S2
2μ
λ
S3
2μ
λ
S4
λ
2μ
S5
2μ
S6
2. Найдем стационарные вероятности по формулам (2.8.1), (2.8.2),
(2.8.3):
33
()
⎛
ρ
ρ 5⎞
−
⎜
ρ2 ρ2 2 2 ⎟
⎜
⎟
p0 = 1 + ρ +
+
⋅
ρ
!
!
2
2
⎜
1− 2 ⎟
⎝
⎠
p 0 = 0,0158;
p1 = 0,047;
−1
, ρ = 3;
...
ρ
2
= 1,5 ≠ 1 ;
p 6 = 0,3596 .
Из расчетов видно, что АЗС почти не простаивает ( p 0 = 0,016).
Заметим, что лишь 6,3% всех автомобилей, пришедших в АЗС для
заправки, получат ее без очереди:
( p0 + p1) ⋅100% = (0,0158 + 0,0470) ⋅100% ≈ 6,3% .
Вероятность отказа в заправке pотк = p6 = 0,36 , поэтому около 36%
автомобилей не будут обслужены.
Относительная и абсолютная пропускные способности Q = 1 − p 6 = 0,64 , A = Q ⋅ λ = 0,64 заяв мин .
Среднее число занятых каналов -
k=
A
μ
= 1,92 .
Оно близко к 2, что свидетельствует о большой загрузке АЗС.
Среднее число автомобилей в очереди rо = 2,58 ≈ 3 автомобиля
t о = 2,58 мин
Среднее число автомобилей в системе и среднее время в системе z сист = 4,5 ,
t сист = 4,5 мин .
Анализ результатов расчета показывает, что 64% заявок, попавших в
систему, будут обслужены достаточно быстро ( t сист < 5 мин) , но большой
процент автомобилей получает отказ.
3. Заметим, что АЗС не удовлетворяет поставленному в этом пункте
условию, т.к. отказ получает 36 % автомобилей. Для решения этой задачи
можно либо увеличить число колонок, либо уменьшить t обсл (улучшение
технологии обслуживания). Возможно, что увеличение числа мест в очереди
(m) также снизит pотк . Пусть λ = 1 авт мин , t обсл = 3 мин., n = 2, а m
меняется, тогда получим зависимость, представленную в таблице
4
6
8
16
0,36
0,35
0,34
0,33
m
pотк
Увеличение мест в очереди слабо влияет на вероятность отказа.
34
Пусть теперь λ = 1; t обсл = 3 мин., m = 4, а n меняется.
2
3
4
5
0,36
0,13
0,046
0,002
pотк
Следовательно, увеличение числа работающих каналов до n = 4 решает
поставленную задачу.
n
3. Анализ эффективности работы СМО по
стоимостным показателям
Стоимостные модели массового обслуживания направлены на
определение такого уровня работы обслуживающей системы, при котором
достигается «компромисс» между следующими двумя экономическими
показателями:
1) прибылью, получаемой за счет предоставления услуг;
2)
потерями
прибыли,
обусловленными
задержками
в
предоставлении услуг.
Интуиция подсказывает, что увеличение функциональной мощности
обслуживающей системы должно приводить к сокращению времени
пребывания заявок в очереди. Это означает, что по мере того, как затраты,
связанные с обслуживанием, возрастают из-за повышения уровня
обслуживания, выраженные в стоимостных показателях потери, связанные с
ожиданием, должны уменьшаться.
Оптимальным уровнем обслуживания будет тот показатель, при котором
сумма обоих показателей будет наименьшей.
3.1. Оптимальная скорость обслуживания
в одноканальной СМО
Рассмотрим одноканальную СМО с неограниченной очередью, λ –
интенсивность входного потока заявок, μ - интенсивность выходного потока
или скорость обслуживания.
Допустим, что скорость обслуживания поддается регулированию.
Требуется определить ее оптимальные значения на основе некоторой
стоимостной модели.
Обозначим через c1 затраты на увеличение μ на единицу за единицу
времени, выраженные в стоимостной форме; c 2 − цена ожидания в единицу
времени и в расчете на одну заявку (т.е. обусловленные вынужденным
ожиданием экономические потери).
Представим стоимостный показатель в виде суммы:
с( μ ) = c1 ⋅ μ + c2 ⋅ z сист .
35
Известно, что z сист =
ρ
1− ρ
Тогда с( μ ) = с1 ⋅ μ + с 2 ⋅
=
λ
μ−λ
λ
μ−λ
.
.
Получили функцию от одной переменной, найдем ее оптимальное
значение:
c ′( μ ) = c1 − c2 ⋅
λ
( μ − λ )2
= 0 ⇒ μопт = λ +
c2
⋅λ .
c1
Пример 3.1.1.
Найдем оптимальную скорость обслуживания для
одноканальной СМО в примере 2.6.1: λ = 2 состава в час, средняя скорость
расформирования состава μ поддается регулированию. Найти ее
оптимальное значение, если известно, что выигрыш за счет увеличения
скорости обслуживания на единицу c1 = 50 усл. ед., а цена ожидания
расформирования одним составом в течение часа c 2 = 100 усл. ед.
Согласно критерию, оптимальная скорость будет
μопт = 2 +
100
⋅ 2 = 2 + 2 = 4 состава в час.
50
Тогда t обсл = 0,25 ч (у нас 0,4 ч).
Пусть длина очереди будет ограничена. Тогда стоимостную модель
можно изменить так, чтобы за счет увеличения числа m заявок в очереди
уменьшить число заявок, которые СМО может потерять. В данном случае m
можно рассматривать как управляющую переменную, оптимальное значение
которой вместе с μ определяется путем минимизации функции двух
переменных:
c( μ , m) = c1μ + c2 z сист + c3m + c4λpN ,
где c1 , c 2 имеют прежний смысл, а c 3 − стоимость увеличения числа мест,
с 4 − экономические потери из-за потери клиента, λ ⋅ pN − число клиентов,
потерянных в единицу времени.
3.2. Определение оптимального числа
обслуживающих каналов
Рассмотрим многоканальную СМО с неограниченной очередью, n −
число каналов и может изменяться, а λ и μ фиксированы.
1. Выберем стоимостный показатель в виде:
c( n ) = c1 ⋅ n + c2 ⋅ z сист ( n ) ,
36
где с1 − затраты на работу одного дополнительного канала в единицу
времени,
с 2 − цена ожидания в единицу времени в расчете на одно требование.
Число каналов увеличиваем на единицу и вычисляем c( n ) . Оптимальное
число каналов соответствует наименьшему значению c( n ) .
Пример 3.2.1.
На складе запасных частей производится замена
вышедших из строя механических узлов новыми. Заявки на замену
поступают с интенсивностью λ = 17,5 заявок в час; средняя скорость
обслуживания μ = 10 заявок в час. Затраты, связанные с добавлением к
штату обслуживающих одного человека, оцениваются в 60 усл. ед. в час.
Производственные потери из-за простоя станка в период замены тех или
иных вышедших из строя узлов составляют 300 усл. ед. в час. Сколько
человек должно быть в штате обслуживающего персонала на складе
запасных частей?
c( n ) = 60 ⋅ n + 300 ⋅ z ( n )
При n = 1 СМО не работает ( ρ > 1) .
c( 2) = 60 ⋅ 2 + 300 ⋅ 7,467 = 2360,1
c(3) = 60 ⋅ 3 + 300 ⋅ 2, 217 = 845,1
c( 4) = 60 ⋅ 4 + 300 ⋅ 1,842 = 792,6
c(5) = 60 ⋅ 5 + 300 ⋅ 1,769 = 830,7
z сист. (n ) вычисляется на компьютере для каждого значения n при
фиксированных λ и μ .
Заметим,
что
наименьшее
значение
стоимостной
функции
c(n) = 792,6 усл. ед. достигается при n = 4. Оптимальное число работников на
складе запасных частей четыре.
2. Выберем стоимостный показатель в виде:
c( n ) = c1 ⋅ n + c2 rо. ( n ) + c3kсв ( n ) ,
где c1 − затраты на работу одного дополнительного канала, отнесенные к
единице времени,
c 2 − цена ожидания одной заявки в единицу времени,
c3 − стоимостные потери от простоя одного канала в единицу времени.
При расчете c( n ) увеличиваем n на единицу, а rо и k св вычисляем для
каждого n. Оптимальным n будет то, которое соответствует наименьшему
c( n ) .
3. Выберем стоимостный показатель в виде
c( n ) = c1 ⋅ t1( n ) + c2 ⋅ t2 ( n ) ,
где c1 − стоимостные потери из-за простоя клиента в течение одного часа,
t1 ( n ) − среднее время простоя одного клиента в СМО,
37
c 2 − стоимость одного часа простоя канала СМО,
t 2 ( n ) − среднее время простоя канала.
Пример 3.2.2. Рассмотрим работу склада с инструментом.
Выдают инструмент n кладовщиков. Рабочие приходят на склад в
среднем с интенсивностью λ = 1,6 рабочих в минуту. (Информация получена
с помощью статистической обработки наблюдений за работой склада.) Время
, рабочих в минуту.
обслуживания одного рабочего кладовщиком − t обсл = 11
Пусть c1 − себестоимость одного часа рабочего. Она оценена в 6 усл.
ед., а себестоимость одного часа кладовщика в 3 усл. ед. Сколько должно
работать на складе кладовщиков, чтобы стоимость общего простоя
приводила бы к минимальным затратам? Сделаем предварительный расчет
потери рабочего времени рабочими и кла довщиками за смену (8 часов).
Заметим, что стационарный режим СМО существует только при n ≥ 2 , т.к.
ρ = 1,77 > 1 . В течение рабочего дня на склад приходят N рабочих:
N = λ ⋅ 60 ⋅ 8 = 768 чел.
Подсчитаем потери времени рабочего :
768 ⋅ 4
n = 2 , t”. = 4 мин , t (2) =
= 51,2 часа,
60
768 ⋅ 0,31
n = 3 , t”. = 0,31мин , t (3) =
= 3,96 часа,
60
768 ⋅ 0,06
n = 4 , t”. = 0,06 мин , t (4) =
= 0,76 часа.
60
Вычислим общее время обслуживания 768 рабочих кладовщиками:
tобсл. ⋅ 768 = 853 мин = 14,21 часа.
Ежедневная
продолжительность
простоя
кладовщиков:
n = 2; 2 ⋅ 8 часов - 14,21 часа = 1,79 часа,
n = 3; 3 ⋅ 8 часов - 14,21 часа = 9,79 часа,
n = 4; 4 ⋅ 8 часов - 14,21 часа = 17,79 часа.
Теперь вычислим общую стоимость потерь времени:
с( 2) = 6 ⋅ 51, 2 + 3 ⋅ 1,79 = 312,57 усл. ед.,
с(3) = 6 ⋅ 3,96 + 3 ⋅ 9, 79 = 53,13 усл. ед.,
с( 4) = 6 ⋅ 0, 76 + 3 ⋅ 17,79 = 57,93 усл. ед,
с(5) = 75,37 усл. ед.
Таким образом, лучше всего, чтобы на складе работало три кладовщика.
Впрочем, не следует абсолютизировать результаты расчета, ибо жизнь
сложнее нашей схемы. Например, управляющий нашим производством
решил, что лучше взять четырех кладовщиков. Если взять еще одного
кладовщика, то это потребует дополнительно 4,8 усл.ед. С другой стороны,
известно, что отсутствие служащих на своем рабочем месте занимает 8 %
38
рабочего времени. Поэтому при трех кладовщиках потери составят 20,75 усл.
ед., что почти в 5 раз превышает затраты на одного лишнего кладовщика.
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание № 1. Системы массового обслуживания с отказами.
АТС имеет 4 линии связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью
λ вызовов в минуту. Время переговоров распределено по показательному
закону, среднее время составляет t мин ( t обсл ). Информация об исходных
данных приведена в таблице.
1. Описать состояния СМО, построить граф состояний.
2. Найти предельные вероятности состояний системы. Найти показатели
эффективности работы АТС, проанализировать эти показатели.
3. Изучить зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной
пропускной способности АТС от интенсивности входного потока,
зависимости представить в виде таблиц и графиков.
4. Определить, сколько линий должна иметь АТС, чтобы вероятность
отказа не превышала 0,01.
5. Содержание каждого канала в месяц обходится в 10 тысяч усл. ед.
Каждая обслуженная заявка приносит доход в 1,5 усл. единицы. Определить,
приносит ли АТС доход от обслуживания всех заявок? Каким должно быть
число каналов, чтобы доход был максимальным?
Вар.
λ
t
1
0.9
2.9
2
0.7
2.4
3
0.8
0.9
4
1.3
2.6
5
0.7
2.5
6
0.8
2.4
7
0.9
2.5
8
1.2
2.6
9
1.3
2.8
10
1.1
2.3
Задание № 2. Системы массового обслуживания с очередями.
Задача 1
В приемно-отправочный парк станции поступает простейший поток
поездов со средней интенсивностью λ составов в час.
Одна бригада осмотрщиков обрабатывает состав со средней
продолжительностью t мин(t обсл. ) . Время обработки распределено по
показательному закону. Очередь не ограничена.
Исходные данные приведены в таблице
Вар.
1
2
3
4
5
6
39
7
8
9
10
λ
t
3.0
15
4.0
12
5.0
10
6.0
8
5.6
9
4.8
10
3.5
14
4.3
11
5.1
10
5.4
9
1. Описать состояния системы, построить граф состояний.
2. Найти вероятности состояний для стационарного случая и показатели
эффективности работы бригады осмотрщиков. Оценить эффективность
работы бригады.
3. Проверить, выгодно ли ограничить очередь ( m = 6) .
4. Известно, что в летние месяцы интенсивность потока составов
возрастает вдвое, время осмотра также возрастает в 1,5 раза за счет
увеличения длины состава. Определить необходимое число бригад для
нормальной работы станции.
Задача 2
На сортировочной станции работают две сортировочные горки. На
расформирование прибывает простейший поток составов с интенсивностью
λ составов в сутки. Горочный технологический интервал составляет
t мин ( &t&обсл ) . Время расформирования подчинено показательному закону.
Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице
Вар.
λ
t
1
140
12
2
130
10
3
120
11
4
110
13
5
100
11
6
150
11
7
160
12
8
144
11
9
125
10
10
134
10
1. Описать состояния системы, построить граф состояний.
2. Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и
показатели эффективности работы сортировочной станции. Определить
процент составов, идущих сразу в обработку.
3. В результате неполадок в горочном механизме время обслуживания
на одной из горок увеличилось в 1,5 раза. Как распределить поток составов
между горками? Провести соответствующие расчеты.
4. На соседней станции проведена реконструкция, и она может
обработать дополнительно 1/4 часть составов нашей сортировочной станции.
Можно ли в этом случае начать профилактический ремонт одного горочного
механизма?
Задача 3
СМО представляет собой автозаправочную станцию (АЗС) с n
колонками. Площадка возле АЗС позволяет ожидание в очереди не более m
40
автомашин. Если вся площадка занята, то следующий автомобиль не
обслуживается. Поток автомашин на заправку простейший, с
интенсивностью λ автомашин в минуту. Время заправки показательное со
средним значением t мин(t обсл. ) . Исходные данные приведены в таблице
Вар.
λ
t
n
m
1
1,0
3
3
4
2
2,0
2
4
5
3
1,5
4
5
5
4
3,0
3
7
4
5
1,5
3
4
4
6
2,0
4
9
4
7
1,5
4
5
5
8
1
4
3
5
9
1
3
3
4
10
2
3
5
5
1. Описать состояния системы, построить граф состояний.
2. Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и
показатели эффективности работы СМО, проанализировать их, оценить
работу АЗС.
3. В условиях конкуренции нужно, чтобы отказ от обслуживания
получили не более двух процентов автомашин, нуждавшихся в заправке.
Проверить, удовлетворяет ли АЗС этому условию. Если нет, то найти число
колонок, при котором это условие будет выполняться.
4. Найти оптимальное число колонок АЗС для исходных данных.
Использовать стоимостную функцию
с( n ) = c1 ⋅ n + c2 ⋅ rо. + c3 ⋅ k св.
Она должна иметь наименьшее значение.
Известно, что c1 = 100 усл. ед. − стоимость установки одной колонки (к
ед. времени); с 2 = 50 усл. ед. − цена ожидания заправки одной автомашиной
в течение одного часа; с 3 = 15 усл. ед. − стоимость потерь от простоя одной
колонки в течение одного часа.
41
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вентцель Е.С. Исследование операций (задачи, принципы, методология).− М.: Наука, 1988.
2. Кац И.Я., Скачков П.П., Толмачева М.А. Математические модели
массового обслуживания (программно-методический комплекс). − Екатеринбург, Изд-во УрГУПС , 1999.
3. Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций. − М.: Мир,
1981.
4. Скачков П.П., Толмачева М.А. Теория массового обслуживания в
задачах эксплуатации железных дорог. − Свердловск: Изд-во УЭМИИТ,
1988.
5. Таха Х. Введение в исследование операций. − М.: Мир, 1985.
6. Кац И.Я. Элементы теории массового обслуживания. − Свердловск:
Изд─во УЭМИИТ, 1981
43
Татьяна Владимировна Величко
Павел Павлович Скачков
Галина Адольфовна Тимофеева
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Методические указания для студентов
заочной формы обучения
620034 г. Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66, УрГУПС
Редакционно-издательский отдел
Подписано в печать
Бумага писчая №1
Тираж 200 экз.
Формат 60х84 1/16
Заказ
Усл.п.л.3,5 Уч.-изд.л.2,8