МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ФУНКЦИИ

Федеральное агентство по образованию
Архангельский государственный технический университет
Н.Ю. Сабурова
МНОЖЕСТВА,
ОТНОШЕНИЯ,
ФУНКЦИИ
Учебное пособие
Архангельск 2008
Рассмотрено и рекомендовано к изданию
методической комиссией строительного факультета
Архангельского государственного технического университета
26 декабря 2006 года
Рецензент
А.В. Юфряков, канд. физ.-мат. наук, доц.
У Д К 510.2
Б Б К 22.12
Сабурова, Н.Ю.
С 12 Множества, отношения, функции: учеб. пособие / Н.Ю. Сабурова.
- Архангельск: Арханг. гос. тех. ун-т, 2008. - 80 с.
Подготовлено кафедрой прикладной математики.
В учебном пособии рассматриваются понятия "множество", "отно­
шение", "функция", с помощью которых строится, по существу, любая
математическая дисциплина. В основу положены лекции, которые автор
в течение ряда лет читала для студентов специальности "Прикладная
математика" Архангельского государственного технического универси­
тета. Пособие содержит также задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов I и I I курсов строительного факультета
специальности 230401.65 "Прикладная математика".
Ил. 6. Библиогр. 5 назв.
УДК 510.2
Б Б К 22.12
© Архангельский государственный
технический университет, 2008
© Сабурова Н.Ю., 2008
Основные понятия теории множеств
•
Множество
Понятие множества появилось в математике сравнительно недавно,
в конце 19 века.
Существенным в понятии "множество" является то, что мы объеди­
няем некоторые предметы в одно целое. Георг Кантор (1845-1950 гг.),
немецкий математик, создатель теории множеств, так подчеркнул это
обстоятельство: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое".
Что такое "множество" - ясно из самого слова без всякого определе­
ния. Тем более, что дать этому фундаментальному математическому по­
нятию определение невозможно. И не пробуйте. Лучше потратить свою
энергию на вечный двигатель или на что-нибудь другое, конкретное.
Множеством может быть множество деревьев в лесу, множество сту­
дентов в университете или даже множество бедных родственников в
Америке, которые могут выслать вам приглашение.
Множество состоит из элементов - деревьев, студентов, бедных род­
ственников. При этом никакой роли не играет, рассматриваем ли мы тех
же студентов в порядке алфавита или по успеваемости. Предполагает­
ся только, что для любых двух элементов данного множества имеется
возможность выяснить, различны они или одинаковы.
Кроме понятия множества есть еще лишь одно исходное базовое по­
нятие - и все. Остальное в этой теории производно. Так вот, второе
базовое понятие - это принадлежность (или "отношение принадлежно­
сти"). То есть элемент принадлежит множеству. Тут тем более нечего
определять.
Тот факт, что элемент х принадлежит множеству А (х является эле­
ментом множества А) записывается так: х € А. Если же х не является
элементом множества А (х не принадлежит множеству А) будем писать
х ф. А. При этом предполагается, что для любого конкретного элемента
и любого конкретного множества можно определить, принадлежит этот
элемент данному множеству или нет.
Важное предостережение. Вопросы, вроде: "Принадлежит ли студент
Сидоров множеству лысеющих людей?", уводят нас в сторону от теории
множеств, и мы такие вопросы будем просто игнорировать, справедливо
считая, что классическая теория множеств лысеющими просто не зани­
мается, коль скоро нет объективных оценок лысости. Можно, конечно,
сначала четко определиться с лысиной где-то в другом официальном
месте, а потом привлекать теорию множеств.
То есть предполагается, что мы четко знаем, что принадлежит данно­
му множеству, а что нет! Остальное считаем несуществующим вообще!!!
Множество называется конечным, если оно состоит из конечного чис­
ла элементов, и бесконечным - в противном случае.
Возможны различные способы задания множеств. Один из них со­
стоит в том, что дается полный список элементов, входящих в данное
множество. Так, множество учеников класса определяется списком в
журнале. Если множество А конечное, состоящее из элементов а\,..., а .
то используют обозначение А = {а\,...,
а }.
Но этот способ применим лишь к конечным множествам, да и то не
ко всем. Например, множество рыб в океане конечно, однако задать
списком, перечислить их трудно. К бесконечным множествам данный
способ вовсе не применим. Множество целых чисел таким способом за­
дать нельзя.
Имеется другой, универсальный, способ задания множеств. Это зада­
ние с помощью характеристического свойства множества А, т.е. такого
свойства, которым обладают все элементы множества А и не обладают
элементы, не принадлежащие А. Окружность радиуса 2 с центром в
начале координат - это множество всех таких х, что х есть точка плос­
кости, находящаяся на расстоянии в две единицы от начала координат.
Если Р(х) - характеристическое свойство множества А, то в этом
случае множество А обозначают так:
п
п
А = {х | Р{х)}
или
А = {х : Р{х)}.
Множество всех сенаторов США может быть определено с помощью
характеристического свойства: {х \ х - сенатор США}, и это задание
экономнее задания данного множества с помощью списка всех сенато­
ров.
Кстати, поскольку "множество" (set) в русском языке как бы наме­
кает на "много", а понятие "много" у каждого из нас свое, то во из­
бежание спора мы будем слово "множество" использовать для любого
количества элементов. Д а ж е для одного элемента. Д а ж е в случаях, ко­
гда в множестве нет ни одного элемента - такое множество называется
пустым и обозначается 0.
Далее, если мы хотим сказать, что все березки, находящиеся в дан­
ном лесу, принадлежат и всему лесному богатству нашей страны, а все
студенты, которые числятся в университете, числятся и студентами Рос­
сии, то используется понятие "подмножество", или "включено".
Определение 1. Пусть А и В - непустые множества. Если каждый
элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В,
то А называют подмножеством множества В (или А содержится в
В, или В содержит А, или А включено в В) и обозначают А С В.
Положим по определению, что пустое множество 0 есть подмноже­
ство любого множества В, в том числе и пустого. Это хорошо согла­
суется с определением подмножества в случае, когда А и В непусты.
Действительно, если бы соотношение 0 С В не имело места, то это
означало бы, что в пустом множестве есть элемент, который не принад­
лежит В. Однако в пустом множестве нет ни одного элемента.
Чтобы не запутаться нужно помнить одну простую вещь: "принад­
лежит" относится к случаю, когда "элемент принадлежит множеству",
а "включено" - когда "множество включено в множество". Потомуто второй вариант для обозначения "включено" - "подмножество", т.е.
какая-то часть множества.
Множество студентов университета "включено" в множество студен­
тов страны. То есть множество студентов университета есть "подмно­
жество" множества студентов страны.
Тем, кто не сломал при этом язык, ясно, что множество студентов
страны "включено" во всемирное множество студентов.
Пусть, например, С - множество всех комплексных чисел; К - мно­
жество всех действительных чисел; Q - множество всех рациональных
чисел; Z - множество всех целых чисел; N - множество всех натураль­
ных чисел. Тогда N C Z C Q C E C C .
Понятие подмножества определяет отношение между двумя множе­
ствами - отношение включения. Отметим простейшие свойства введен-
ного отношения включения:
•
1) А С. А, т.е. любое множество А является подмножеством самого
себя (рефлексивность);
2) если А\ С А<ь, А С Аз, то А\ С А
2
3
(транзитивность).
Чтобы в множестве А выделить подмножество В, добавляют к ха­
рактеристическому признаку множества А то или иное дополнитель­
ное свойство Р(х) и обозначают так: В = {х £ А | Р(х)}. Например,
{х £ К | х > 0} - множество всех положительных действительных
чисел.
Введем наряду с отношением включения множеств еще одно отноше­
ние - отношение равенства множеств.
Определение 2. Множества А и В называются равными, если каж­
дый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества
В, и обратно, каждый элемент множества В является и элементом мно­
жества А. Другими словами, множества А и В называются равными,
если выполняются два включения: А С В и В С А.
Так множества { 2 , 4 , 6 } и { 4 , 2 , 6 } равны, а { { 1 , 2 } } ^ { 1 , 2 } , так
как единственным элементом множества { { 1 , 2 } } является множество
{ 1 , 2 } , а множество { 1 , 2 } состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.
Отношение равенства двух множеств, очевидно, удовлетворяет сле­
дующим условиям:
1) А"= А (рефлексивность);
2) если А = В, В = С, то А = С (транзитивность).
Пример
Пусть А - множество всех натуральных четных чисел, В - множе­
ство натуральных чисел, представимых в виде суммы двух натуральных
нечетных чисел. Доказать, что А = В.
•
Два множества А и В равны тогда и только тогда, когда АС В и
В С А.
Пусть х £ А, тогда существует натуральное число тп, такое, что
х — 2т = {2т — 1) + 1. Следовательно, х Е В.
Пусть х £ В, тогда существуют целые положительные р и q, такие,
что х = (2р — 1) + (2д - 1) = 2(р + q — 1). Следовательно, х £ А. Ш
Отметим, что пустое множество единственно. Действительно,
пусть 0 j и 02 - два пустых множества. Так как для любого множе­
ства А имеем, что 0 С Л, то взяв в качестве А множество & \ , получим
02 Я 01, а взяв в качестве А множество 02, получим <2\ С 0 . Отсюда
2
01 = 0 2
Если А С В и А ^ В, то А называют собственным
подмножеством
множества В и обозначают А С В. Введенное отношение С называет­
ся отношением строгого включения. Например, N c Z c Q c R c C .
Отношение строгого включения удовлетворяет следующему свойству:
если Ai С А2 и А2 С A3, то А\ с A3 (транзитивность).
Совокупность всех подмножеств множества А обозначают через Р(А)
и называют множеством-степенью
А (булеаном множества А). Яс­
но, что 0 € Р{А), А б Р(А). Если, например, А = {а, Ь}, то
Р(А) =
{0,{а},{Ь},А}.
Если А - множество, состоящее из п элементов, то Р(А) состоит из
2" элементов.
Задачи и упражнения
1. Верно ли, что { 1 , 2 } £ { { 1 , 2,3}, { 1 , 3 } , 1, 2}.
2. Пусть Ai,... ,А п множеств. Показать, что
п
Ai С ... С А
п
С Ai
тогда и только тогда, когда Ai — ... — А .
3. Покажите, что А С 0 тогда и только тогда, когда А — 0.
4. Докажите каждое из следующих утверждений для произвольных
множеств Ai, А2, Л3:
а) если Ai С А и А2 С A3, то Ai С А ;
б) если Ai С Л2 и Лг С Л3, то A i С A3;
в) если Ai С А2 и А2 С A3, то Л1 С Л ;
г) если Л] С А и
С Л , то Ai С А .
5. Перечислить все элементы множества Р(А), где
п
2
3
3
2
3
3
А = {{1,2},{3},1}.
6. Укажите все элементы множества
Р{0).
7. Докажите, что для любых, не обязательно различных между собой
предметов а, Ь, с, d
{{а}, {а, Ъ}} = {{с}, {с, d}}
в том и только том случае, когда а = с и Ъ — d.
Операции над множествами
Во всех рассуждениях о нескольких множествах будем предполагать,
что они являются подмножествами некоторого фиксированного множе­
ства U, которое назовем универсальным. На практике это множество
часто не указывают, предполагая, что в случае необходимости оно мо­
жет быть восстановлено.
Определение 3. Пересечением множеств А я В называется мно­
жество An В, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат обоим множествам А и В.
Это определение символически можно записать так:
АП В = {х | х е А и х
е В}.
Например, если А - множество всех четных чисел; В - множество всех
простых чисел, то АПВ = { 2 } . Если А - множество студентов мужского
пола; В - множество мужчин старше 20 лет, то А П В - множество
студентов мужского пола старше 20 лет.
Определение 4. Объединением множеств А и В называется мно­
жество AUB,
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.
Это определение символически можно записать так:
A U В - {х | х G А или х Е В}.
Например, { 1 , 2 } U { 2 , 3 , 4 , 5 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } .
Определение 5. Разностью множеств А и В называется множе­
ство А \ В ("А без В"), состоящее из элементов, которые принадлежат
множеству А, но не принадлежат множеству В:
А\ В = {х | х G А и х ф. В}.
Если множество В является подмножеством множества А, то раз­
ность А\В также называют дополнением В до А.
Определение 6. Симметричной разностью множеств А я В назы­
вается множество ААВ, состоящее из элементов, которые принадлежат
ровно одному из множеств А и В:
ААВ
= (А \ В) U (В \ А) = (A U В) \ (А Л В).
Определение 7. Абсолютным дополнением множества А называет­
ся множество Л, состоящее из всех элементов, которые не принадлежат
множеству А:
А = и\А
=
{хеи\хфА}.
Введенные операции над множествами допускают очень наглядное
графическое истолкование с помощью так называемых кругов Эйлера
(или диаграмм Венна). Универсальное множество U изображается при
этом множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмноже­
ства - в виде круга. Если изобразить таким образом множества А к В,
то множества А Л В, A U В, А \ В, ААВ и А изображаются заштрихо­
ванными областями (рис. 1).
U
АГ\В
AUB
А\В
ААВ
Рис. 1
Приведем основные законы, которым подчиняются операции объеди­
нения, пересечения и абсолютного дополнения:
- коммутативности:
1) л и в = в и д
1') А П В = В П А;
- ассоциативности:
2) A U (В U С) = (A U В) U С,
2') А П (В П С) = {А П В) П С;
- дистрибутивности:
3) Л U (В Л С ) = (Л U В) Л (Л U С ) ,
3') Л П (Я U С) = {А Л В) U (Л Л С ) ;
4) A U 0 = А,
4') АП 0 = 0;
5) Л U Л = £/,
5') А Л Л = 0 ;
6) Л U Л = Л,
6') Л Л Л = Л;
7) Л U 17 = U,
Г) А Л U = Л;
- де Моргана:
8) Л и В = Л Л В,
8') Л л В = A U В ;
- поглощения:
9) Л U (Л Л В) = А,
9') Л Л (Л U В) = Л.
•
Докажем равенство 3. Д л я этого достаточно проверить два вклю­
чения:
а) Л U ( В Л С) С (Л U В ) Л (Л U С);
б) ( Л и В ) П (Л U С) С Л и (В Л С).
а) Пусть х € Л U ( В Л С). Тогда х € Л или х € В П С Если х € Л,
т о х G Л и В и х S Л и С, а следовательно х является элементом
пересечения этих множеств. Если х е В Л С , т о х £ В и х € С . Значит,
х е Л и В и х е Л и С , так что и в этом случае х есть элемент их
пересечения.
б) Пусть х 6 (Л U В) Л (Л U С). Тогда х е Л и В и х е Л и С .
Следовательно, х £ Л или же х € В и х £ С. Из этого вытекает, что
х£Ли(ВлС).
•
а
б
Рис. 2
Равенство 3 с помощью кругов Эйлера наглядно представлено па
рис. 2. На рис. 2, а множество Л заштриховано горизонтально, а В Л С вертикально; поэтому Л и ( В Л С ) - область, попадающая под вертикаль­
ную или горизонтальную штриховку. На рис. 2, б множество Л U В за-
штриховано горизонтально, a A\JC - вертикально; тогда
(AuB)D(AuC)
- область, попадающая под обе штриховки. Легко видеть, что обе эти
области совпадают.
•
Докажем равенство 8. Д л я этого достаточно проверить:
а) ТйВСАПЁ;
б) А П В С АлГВ.
а) Пусть х £ A U В. Тогда х £ AWB. Значит, х £ А и х £ В. Отсюда
х £ А и х £ В, поэтому х £ Л Л В.
б) Пусть х £ А Л В. Тогда х £ А и х £ В. Следовательно, х
А и
х ф В. Отсюда х ^ A U В, а поэтому х £ A\J В. Ш
Рис. 3
Равенство 8 наглядно представлено на рис. 3. На рис. 3, а множество
A U В заштриховано, поэтому A U В - незаштрихованная область. На
рис. 3, б множество А заштриховано горизонтально, а В - вертикально;
тогда А П В - область, попадающая под обе штриховки. Легко видеть,
что обе эти области совпадают.
У т в е р ж д е н и е . Следующие предположения о произвольных
множе­
ствах А и В попарно
эквивалентны:
1 ) 4 С В;
2)
АПВ
3) A U В = В.
•
Докажем эквивалентность первого и второго утверждений. Пусть
А С В, тогда очевидно, что А П В = А. Пусть х £ А, тогда х £ В, так
как А С В, следовательно, х £ АП В н, таким образом, А П В = А.
Пусть А П В = А, х £ А, тогда х £ А П В, т.е. х £ А и х £ В.
Следовательно, А С В.
Докажем эквивалентность второго и третьего утверждений. Предпо­
ложение АГ\ В — А равносильно тому, что A U В = (А П В) U В. Но
(Л П В) U JB = В по закону поглощения.
•
Задачи и упражнения
1. Изобразить с помощью кругов Эйлера множества А, В а С, если:
а) А С С, В С С, А \ В = 0;
б) АГ\Вф0,
АпСф0,
ВГ)Сф0,
Л П В П С ^ 0;
в) АГ\В = 0,АПС
=
0,ВГ\С^0.
2. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист
среди математиков - это один и тот же человек или (возможно) разные?
3. Каждый десятый математик - шахматист, а каждый шестой шах­
матист - математик. Кого больше - математиков или шахматистов?
4. Существуют ли такие множества А, В и С, что А П В ф 0,
Л П С = 0 , ( Л П В ) \ С = 0?
5. Доказать следующие равенства:
а) (Л П В ) U (Л П В ) = (Л U В) П (Л U В) = Л;
б)
(А\В)\С=(А\С)\(В\С);
в) Л А ( В Д С ) = ( Л Д В ) Д С ;
г) ( Л и в ) п л = л п в .
6. Доказать, что:
а) (A U В) С С тогда и только тогда, когда А С С и В С С;
б) А С В П С тогда и только тогда, когда А С В и А С С;
в) АП В С С тогда и только тогда, когда А С 5 U С;
г) Л С В U С тогда и только тогда, когда Л П В С С.
7. Показать, что для произвольных множеств Л, В и С равенство
(Л П В ) U С = Л П ( В U С) равносильно включению С С Л.
8. Доказать, что Р ( Л П В) = Р(А) П Р ( В ) .
9. Верны ли следующие утверждения:
а) если Л С В , В С С, то Л С С;
б) если Л п В С С и Л и В С С , т о Л п С ^ 0 ;
в) если Л ф В и В ^ С, то Л ^ С;
г) если Л С B U C и В С Л U С, то В = 0.
10. Найти множество X , удовлетворяющее системе уравнений:
, Г Л П Х = В,
где Л, В , С - данные множества, В С Л С С;
где А, В, С - данные множества, В С Л, Л П С = 0.
11. Обследование 100 студентов дало следующие результаты о ко­
личестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испан­
ский - 28; немецкий - 30; французский - 42; испанский и немецкий 8; испанский и французский - 10; немецкий и французский - 5; все три
языка - 3. Сколько студентов не изучает ни одного языка? Сколько
студентов изучает один испанский язык? Один немецкий язык? Один
французский язык?
12. Доказать, что симметричная разность обладает следующими свой­
ствами:
а) ААВ = ВАА (коммутативность);
б) AA0 = А (существование нейтрального элемента);
в) AAA = 0 (существование противоположного элемента);
г) А П (ВАС) — (АП В)А(А П С) (дистрибутивность П относитель­
но Д ) .
13. Доказать, что для любых множеств А и В А = В тогда и только
тогда, когда ААВ = 0.
14. Доказать:
а) если Xi С Х и У С У , то Х U У С Х U У ;
б) если Xi С Х и Yi С У , то Х П У С Х П У ;
в) если X i С Х , то Х П У С Х П У;
г) если X i С Х , то X i U У С Х U У.
15. Доказать:
а) если Х и У = 1 и г и Х п У = Х п г , т о У = г ;
2
2
х
2
2
х
2
х
2
2
2
2
2
2
2
б) если X U У = У и X П У = 0 , то X = 0 ;
в) е с л и Х и У = XHY,
то X = У.
16. Доказать:
а)
1-Х;
б) если X i С Х , то Х С Х\.
17. Доказать, что дополнение У множества X относительно множе­
ства U полностью определяется из следующего условия:
2
2
ХПУ = 0
и
Х и У = [/.
18. Доказать, что следующие условия равносильны
а) Х П Х = 0 и Х С Х ;
б) X i U Х = U и X i С Х .
х
2
2
2
х
2
19. Доказать, что:
а) условия Х\ С Х и Х \ Х = 0 равносильны;
б) если Хг\Х
= Х \ 9£ то Х = Х ;
в) (Хг \ Х ) \ Х = ( * i \ Х ) \ (Х \ Х );
г) Х \Х
=
Х \(Х ПХ );
д) X \(X UX )
=
(X \X )\X ;
е) Х \ (Х \ Х ) = (Х \ Х ) U (Хг П Х ) ;
ж) fa \ Х ) \ (Х \ Х ) С (Хг \ Х ) С (Хг \ Х ) U (Х \ Х ).
20. Упростить выражения:
а)
{X UX )\X ;
б)
(ХгПХ )\Хг;
2
2
2
1
х
2
2
х
3
1
1
2
1
2
3
г
3
2
1
2
3
2
3
г
2
3
2
1
2
ъ
2
3
2
3
г
3
2
2
3
1
2
в) ( X D X ) U X ;
1
2
г) (Хг UX U
2
1
Х ) U (Хг U Х ) U (Xj U Х );
3
2
3
д) ( ( ^ Ц ^ П ^ Ц Х з ) ) \ (Х U Х ) ;
е) ( X \ X ) n ( X U X ) .
2
1
2
1
3
2
21. Пусть А, В, С -- произвольные множества. Доказать (или опро­
вергнуть), что:
а) А \ В = А П В;
б) А С В тогда и только тогда, когда (B\A)U
А = В;
в) д л я того чтобы С С А С В достаточно, чтобы С П В = 0.
22. Доказать равносильность следующих утверждений:
а) (Л U В) С С и (Л С С, В С С);
б) Л С В П С и ( Л С В , Л С С ) ;
в) Л п В С С и Л С В и С ;
г) Л С В и С и Л п В С С .
23. Характеристической функцией множества А называется функ­
ция
1, если х £ А,
Х (х) =
О, если х ^ Л.
А
Доказать, что:
а) Х (х)
= А"л(ж) • Лв(ж);
б) Х \ (х)
= #a(s) - Х (х) • Х (х);
в) <*".4uz?(z) = Х (х) + Х (х) - Х (х) • Х (х);
г) * л ( г ) = 1 Х (х).
24. Доказать, что:
а) А = В тогда и только тогда, когда (А \ В) U (В \ А) = 0;
АпВ
А В
А
А
в
А
в
А
в
б) любое уравнение относительно множества X, в правой части ко­
торого стоит 0, равносильно уравнению (А ПХ) U (В П X) = 0 , где А и
В некоторые множества, в записи которых не содержится символ X;
в) система уравнений
Г Л П Х . = 0,
\ВПХ = 0
имеет решение тогда и только тогда, когда В С А; при этом условии ре­
шением системы является любое множество X, такое, что В С X С А.
Описать метод решения системы уравнений с одним неизвестным.
25. Пользуясь методом задачи 24, решить следующие системы урав­
нений:V.
' A U X = В П X,
{ Af)X = CUX;
Dj
Г А\Х
\ Х\А
=
=
Х\В,
С\Х;
АпХ = В\Х,
С U X = X \ А.
При каких А, В, С эти системы имеют решение?
Бинарные отношения
Декартово произведение множеств
Упорядоченную пару элементов обозначают (а, Ь), где a, b - элемен­
ты непустых множеств А и В соответственно, а - первая компонента
упорядоченной пары, 6 - вторая. Две упорядоченные пары равны тогда
и только тогда, когда совпадают их первые и вторые компоненты, т.е.
(а, 6) = (х,у) тогда и только тогда, когда а — х и Ь — у. Например,
(1,2) ^ ( 2 , 1 ) .
Определение 1. Декартовым произведением Ах В непустых мно­
жеств А я В называется совокупность всех упорядоченных пар вида
(а, Ь), где а £ A, b £ В:
Ах
В = {{а,Ь) \ аеА,Ье
В}.
Если хотя бы одно из множеств А или В пусто, то их декартовым про­
изведением будем называть пустое множество 0.
Пусть, например, А = { 1 , 2}, В — { 0 , 1 , 2}. Тогда
А х В = { ( 1 , 0), (1,1), (1,2), (2, 0), (2,1), (2,2)},
В х А = {(0,1), (0,2), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.
Заметим сразу, что А х В ^ В х А.
Если А = В, то А х В называют декартовым
ства А и обозначают А :
квадратом
множе­
2
2
А
= {(а,Ъ) \ а е A, b Е А}.
Пример
Упорядоченную пару (а, Ь), где a, b - действительные числа, будем
отождествлять с точкой плоскости, абсцисса которой равна а, а орди­
ната - Ь. Тогда К (R - множество всех действительных чисел) геомет­
рически изображается как плоскость Оху. Если же А — [1,3], В = [1,2],
2
то Л х В на плоскости изображается заштрихованным прямоугольни­
ком (рис. 4).
Упорядоченный набор из п элементов
(n-ку) будем обозначать (а\,... ,а ), где
Ч{ € Л» (г = 1,п). Элемент щ называется
при этом г-й компонентой, a n - длиной
этого упорядоченного набора. Два упоря­
доченных набора одной и той же длины
(йг,..., а ) и
..., Ь ) считаются равны­
ми тогда и только тогда, когда щ = Ъ{ для
О
всех i = 1 , . . . , п.
Рис. 4
Определение 2. Декартовым
произве­
дением А\ х ... х А непустых множеств
Аг,... А называется совокупность всех n-ок вида (оц,... , а „ ) , где а; € Л,- (г = 1,...,п):
п
п
п
п
п
Л1 х ... х Л„ = { ( а ... ,а„) \(Ц G Л», г = 1,... , п } .
ь
Если хотя бы одно из множеств А\,... ,А пустое, то декартовым про­
изведением множеств А\....,
А будем называть пустое множество.
Если А\ = ... = А = Л, то А\ х ... х А называют n-й декартовой
степенью множества Л и обозначают Л .
Заметим, что мы не дали определение упорядоченной пары. Нефор­
мально говоря, это способ из двух объектов х и у образовывать один
объект (х, у), причем этот способ обладает таким свойством:
п
п
п
п
п
(xi,yi)
= (х2,ш)
хг=х
w
2
2/1=2/2-
В принципе можно так и считать понятие упорядоченной пары неопре­
деляемым, а это свойство - аксиомой. Однако при формальном постро­
ении теории множеств удобно использовать трюк, придуманный поль­
ским математиком К.Куратовским, и избежать появления отдельного
понятия упорядоченной пары. Напомним, что {х} обозначает множе­
ство, единственным элементом которого является х, а {х, у} обозначает
множество, которое содержит х и у и не содержит других элементов.
Тем самым {х, у} = {х} = {у}, если X = у.
Т е о р е м а 1 ( У п о р я д о ч е н н а я пара по К у р а т о в с к о м у ) . Определим
(х,у) как {х, {х, у}}. Тогда выполнено указанное свойство:
\xi,yi)
(22,2/2)
xi = x
2
и
2/1 = 2/2-
•
= (£2,2/2)- По определению это означает, что
Пусть (xi,yi)
{xi, {х
ь
yi}} = {х , {х ,
2
у }}.
2
2
Теперь нужно разобрать случаи (не путая при этом х с {х}). Это удобно
делать в следующем порядке. Пусть сначала х\ ф у\. Тогда множество
{x\,yi}
состоит из двух элементов. Если оно принадлежит левой части
равенства, то принадлежит и правой. Значит, оно равно либо {£2}, либо
{х , у }. Первое невозможно, так как двухэлементное множество не мо­
жет быть равно одноэлементному. Значит, {х\,у\} — {х ,у }.
С другой
стороны, одноэлементное множество {х\} принадлежит левой части ра­
венства, поэтому оно принадлежит и правой, следовательно, равно {х }
(поскольку не может быть равно двухэлементному). Отсюда х\ = х и
Ух — У2, что и требовалось.
2
2
2
2
2
2
Аналогично можно разобрать симметричный случай, когда х ф у Осталось рассмотреть ситуацию, когда х\ = у\ и х = у . В этом
случае {х\, у\} = {х\}, поэтому левая часть данного нам равенства есть
{ { r c i } } . Аналогичным образом, правая его часть есть {{жг}}, и потому
х\ = х , так что все четыре элемента х\, х , y i , yi совпадают.
•
Заметим, что возможны и другие определения упорядоченной пары,
для которых аналогичное утверждение верно.
2
2
2
2
2
2
Задачи и упражнения
1. Пусть Ni = { 1 , 3 , 7 } , N — {1,3}- Из каких элементов состоят
множества:
а) N\ х N и N х N ;
б) (Ni х N ) П (Л^ x JVi) и (N1 x N ) U (N x N});
в) (JVi П N ) x (N2 П A^i) и (JVi U ЛУ x (N U N{).
2. Выписать элементы множества А , где A = { 1 , 2 , 3 } .
3. Пусть A = {ai,... ,a }, В = { 6 i , . . . ,b }. Доказать, что множество
Ax В состоит из пт элементов.
4. Пусть А = {а\,..., а }. Сколько элементов содержит множество А 1
5. Найти необходимое и достаточное условие для:
а) А х В = В х А;
б) {А х В) х С = А х (В х С).
6. Доказать, что:
а)
(АиВ)хС={АхС)и(ВхС);
2
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
n
m
т
п
б) А х (В U С) - (А х В) U (А х С);
в) (Л U В) х ( С U D) = (А х С) U (В х С) U (А х £>) U (В х В ) ;
г) (Л П В) х С = (А х С) П (В х С);
д) (А \ В) х С = (А х С) \ (В х С);
е) Ах{В\С)
= (Ах В) \ ( А х С ) ;
ж) U \ (А х В) = [([/ \ Л > х U) Up X р \ В)];
з) (А х С) U (В х В ) С (A U В) х (С U D).
Можно ли знак включения в последней формуле заменить на знак
равенства? Проверить соответствующую формулу для пересечения.
7. Используя решение предыдущей задачи, показать, что пересечение
двух областей на плоскости, ограниченных прямоугольниками с соот­
ветственно параллельными сторонами, снова есть область, ограничен­
ная прямоугольником (может быть вырожденным в прямую), или пу­
стое множество. Проверить, в каких случаях этот результат верен для
объединения двух таких областей.
8. Доказать, что если Х\ С Х и Y\ С У , то Х\ х Y С Х х Y .
Какие ограничения надо наложить на множества Xi и Y\, чтобы усло­
вия Х\ С Х , Y\ С Y и Х\ х Y\ С Х х Y стали равносильны?
9. Доказать, что при Z ф 0 следующие условия равносильны:
2
2
2
2
2
2
(X х Y) U (У х X) = Z х Z
x
2
2
2
и
X = Y = Z.
Дайте этому факту геометрическую интерпретацию.
10. Пусть А ф 0, В ф 0 и (А х В ) П (В х А) = С х D. Доказать,
что в этом случае А = В = С = D.
11. Найти геометрическую интерпретацию множества А х В , где А
- множество точек отрезка [0,1]; В - множество точек квадрата с вер­
шинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
12. Доказать утверждение теоремы 1 для упорядоченной пары по
Винеру (х,у) = { { 0 , { ж } } , { Ы } } .
Определение бинарного отношения
В математике (да и не только в математике) для обозначения свя­
зи между предметами или понятиями используют термин "отношение".
Например, отношение меньше в множестве действительных чисел, от­
ношение подобия треугольников, отношение включения подмножеств
некоторого множества, отношения родства и старшинства в множестве
людей и др.
Можно рассмотреть отношения и между тремя, четырьмя и более
элементами. Например, отношение "точка А лежит между точками В
и С " , отношение между целыми числами a,b,c,d, если они образуют
пропорцию а : Ь = с : d, отношение между действительными числами
o i , . . . , а , заключающееся в том, что их сумма равна 0, т.е.
п
о,1 + ... + а == 0.
п
Мы будем рассматривать только бинарные отношения.
Определение 3. Бинарным отношением, определенным на паре мно­
жеств А и В, называется любое подмножество их декартова произве­
дения А х В.
Если R С А X В - бинарное отношение, а упорядоченная пара (а, b),
где а £ А, Ь £ В , принадлежит R, то это записывают либо (о, Ъ) £ R,
либо aRb.
Если R С А х В - бинарное отношение и А = В, то R называют
бинарным отношением, определенным на множестве А (вместо того,
чтобы говорить, что R - бинарное отношение, определенное на паре
множеств А, А).
Определение 4. Пусть R С А х В - бинарное отношение, опреде­
ленное на паре множеств А и В. Областью определения отношения R
называется совокупность всех таких а £ А, что (о, b) £ R хотя бы для
одного Ъ £ В:
D R = {а £ А \ существует Ь £ В : aRb}.
Областью значений отношения R называется множество всех таких
b £ В, что (a, b) £ R хотя бы для одного элемента а £ А:
E R = {b £ В | существует а £ А : aRb}.
П р и м е р ы бинарных о т н о ш е н и й
1. { ( 1 , 2 ) , (2,4), (3,3), (2,1)} - отношение на множестве N.
2. Отношение равенства на множестве R
{(х, у) | х, у £ R и х равно у}.
Это отношение получило обозначение х = у. Область определения и
область значений этого отношения совпадает с К: D R = E R = R.
3. Отношение "меньше" на множестве Ъ
{(х, у) | х, у £ Z и х меньше у}.
Это отношение обозначается х < у, D R — E R = Z.
Пусть А - произвольное множество. Множество Ах А называют уни­
версальным (всюду истинным) отношением, определенным на множе­
стве А. Пустое подмножество множества А называют пустым (всюду
ложным)
отношением.
По аналогии с понятием бинарного отношения вводится и понятие
п-арного (n-местного) отношения.
Определение 5. Пусть А\,... ,А - непустые множества. Всякое под­
множество R их декартова произведения А\ х ... х А называется от­
ношением, определенным на системе множеств А\,...
,А .
Если А\ = ... = А = А, то отношение R, определенное на систе­
ме множеств А\,...,А ,
называют п-арным (n-местным) отношением,
определенным на множестве А.
2
п
п
п
п
п
Задачи и упражнения
1. Пусть R - отношение "быть отцом", т.е. "х является отцом у".
Найти область определения и область значений этого отношения.
2. Пусть А я В - конечные множества, состоящие и з п и т элементов
соответственно. Сколько существует бинарных отношений, определен­
ных на паре множеств А и В?
3. Чему равно число бинарных отношений, определенных на п-элементном множестве?
Операции над отношениями
Так как бинарные отношения, определенные на фиксированной паре
множеств А, В, являются подмножествами Ах В, то над ними можно
производить операции пересечения, объединения и дополнения. Так, ес­
ли R\,R-2 ~ два бинарных отношения, определенных на паре множеств
А, В, то для любых а £ А, Ь £ В a(R\ U Дг)Ь тогда и только тогда,
когда aR\b или aRzb; a(R\ П R )b тогда и только тогда, когда aR\b и
aR2b; a,R\b тогда и только тогда, когда не aR\b.
2
Рассмотрим, например, отношение равенства = , определенное на мно­
жестве N натуральных чисел, т.е. совокупность всех пар: (1,1), (2, 2),...
Тогда дополнением (в множестве N ) этого отношения является отно­
шение неравенства, обозначаемое обычно ф. Отношение < совпадает с
объединением отношений < и = , а пересечение этих отношений - пустое
(всюду ложное) отношение; объединение отношений < и > является
всюду истинным отношением, т.е. совпадает с N ; объединение отноше­
ний < и > есть отношение ф.
2
2
ц
Объединение отношений "х является отцом у" и х является мате­
рью у" есть отношение "ж является родителем (отцом или матерью) у",
а объединением отношений "х является мужем у" и "х является же­
ной у" служит отношение "хнусупруги".
Помимо указанных операций над отношениями, важное значение име­
ют еще две операции над ними: обращение и умножение отношений.
Определение 6. Пусть R С А х В - бинарное отношение, опреде­
ленное на паре множеств А, В. Отношением, обратным к бинарному
отношению R, называется отношение Д , определенное на паре мно­
жеств В и А и состоящее из всех тех и только тех пар (Ь, а), для которых
(а, Ъ) G R (а 6 А, Ъ £ В). Таким образом,
- 1
l
R~ CBxA
l
и
R~
= {(b,a) \ (a,b) €. R}.
Например, обратным к отношению < на множестве N натуральных
чисел является отношение > .
Если R - бинарное отношение "х является родителем у", то Я
отношение "х является ребенком (сыном или дочерью) у".
Определение 7. Пусть Ri С А х В - бинарное отношение, опреде­
ленное на паре множеств А, В, a R Q В х С - бинарное отношение,
определенное на паре множеств В, С. Произведением (или композици­
ей) отношений Ri и R называется бинарное отношение R\R
(или
R о Ri), определенное на паре множеств Л и С и состоящее из всех тех
и только тех пар (а, с), для которых существует элемент х т В, такой,
что aR\x и xR c.
Таким образом,
- 1
2
2
2
2
2
RiR
2
С Ах
С
и
R1R2 = {{о-, с) | существует х £ В : (а,х) 6 Ri и (х,с) 6 R }2
Пусть, например, < и > - бинарные отношения, определенные на
множестве N натуральных чисел. Тогда а ( < • >)6 тогда и только тогда,
когда существует такое натуральное число х, что а < х и х > Ь. Оче­
видно, это всюду истинное отношение на множестве N, т.е. < • > = N .
Рассмотрим произведение > • < : а ( > • <)Ь тогда и только тогда, когда
существует такое натуральное число х, что а > х и х < Ь. Следователь­
но, произведение > • < на множестве натуральных чисел не содержит
только пар вида (о, 1) и (1,6), все остальные пары находятся в этом
отношении. Отсюда вытекает, что отношения < и > , определенные на
множестве натуральных чисел, не перестановочны, т.е. < • >Ф> • <•
Пусть < - отношение, определенное на множестве натуральных чи­
сел. Рассмотрим отношение < : а < Ь тогда и только тогда, когда суще­
ствует такое натуральное число х, что а < х и х < Ь, т.е. а < х < Ь. Для
существования такого числа х необходимо и достаточно, чтобы а+1 < Ь.
Следовательно, а < Ъ тогда и только тогда, когда а + 1 < 6. Например,
1 < 3, 1 < 5, 2 < 4, но пары (1, 2), (2,3) не находятся в отношении < .
Пусть, например, R - отношение "а является отцом Ь". Рассмотрим
отношение R : aR h тогда и только тогда, когда "а является дедом 6".
Пусть, S - отношение супружества (т.е. aSb тогда и только тогда,
когда а и b - супруги), a D - отношение дочерности (т.е. aDb тогда и
только тогда, когда а является дочерью Ь). Рассмотрим произведение
SD : a(SD)b тогда и только тогда, когда существует такое х, что aSx
и xDb, т.е. а и х - супруги, а х - дочь Ь. Таким образом, a(SD)b тогда
и только тогда, когда "а является зятем по отношению к Ъ (тестю или
теще)", т.е. SD отношение зятя к тестю или теще.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Т е о р е м а 2. Пусть Ri С А х В, R С В х С, R3 С С х D - бинар­
ные отношения. Тогда произведения (RiR )R^
и Ri(R R3)
определены
и (R\R )Rj
= Ri(R R3).
Короче, умножение бинарных отношений ассоциагпивно.
2
2
2
•
2
2
Непосредственно проверяется, что
(Я1Л )Дз С А х D
2
и
#1(Д Дз)
2
QAxD,
т.е. оба этих отношения определены на паре множеств A, D. Первая
часть теоремы доказана, осталось проверить равенство
(Д,Д2)Дз =
туыь):
Пусть упорядоченная пара (a,d) £ (RiR )Rs,
а £ A, d £ D. Uo
определению произведения это равносильно тому, что существует эле­
мент с £ С, такой что a(R\R )c
и cR$d. Но a(R\R )c тогда и только
тогда, когда в В существует такой элемент 6, что aR\b и bR c. Итак,
a[(R\R )R^\d
тогда и только тогда, когда существуют такие элементы
с £ С и b £ В, что aRib, bR c и cR^d. Последнее равносильно тому,
что существует элемент b £ В, такой, что aR\b, b(R R^)d, а это тогда и
только тогда, когда a[Ri(R R3)]d.
Ш
Рассмотрим еще одно свойство введенных операций умножения и
обращения бинарных отношений.
2
2
2
2
2
2
2
2
Т е о р е м а 3. Пусть R \ C A x B , R C B x C - бинарные отноше­
ния. Тогда выражения (R\R )~
и R ~ R± определены и имеет место
равенство (RiR^
=
R^R^ .
2
l
1
2
1
2
-1
1
X
•
Непосредственно проверяется, что (R\R )~
и R
отношения, определенные на паре множеств С, А, т.е.
2
(Д1Д2)" С С х А
1
1
и
R^Ri
-
2
бинарные
С С х А.
Первая часть теоремы доказана, осталось проверить равенство
1
(R\R )
2
l
= R R\
•
2
_1
Пусть (с, а) £ (i?ii?2) (а £ А, с £ С). Это равносильно тому, что
(а,с) £ (RiR ).
Но (а,с) £ (RiR ) тогда и только тогда, когда суще­
ствует такой элемент х из В, что aR\x и xR c. Последнее равносильно
тому, что существует такой элемент х из В, что xR~[ a и cR x.
А это
по определению означает, что (с, а) 6 R^R^ .
Ш
2
2
2
l
l
2
1
Задачи и упражнения
1. Найти D , E , Я , R о R, R' о R, R о Д " отношений:
а) R = {(х, у) | х, у £ N и х делит у);
б) R — {(х, у) | х, у £ N и у делит х};
в) R = {(х,у)\х,у
£R и х + у<0};
г) R = {(х,у) \х,у £ R и 2х < Зг/};
- 1
R
д) Д =
1
1
R
\х,у
£
— — ,—
Hj/>sina;}.
2. Пусть Ri - отношение "ж является матерью у", & R "х и у - дети одной матери". Показать, что R =
R{ Ri.
2
x
2
отношение
3. Рассмотреть следующие семь отношений между людьми, а именно:
"быть отцом", "быть матерью", "быть ребенком", "быть братом", "быть
сестрой", "быть мужем", "быть женой". Выразить через них с помощью
операций над отношениями следующие отношения: "быть родителем,
внуком, невесткой, тещей, свекровью".
4. Пусть R, Ri - бинарные отношения, определенные на множестве А.
Доказать, что:
а) ( / Г ) " = Я;
1
1
1
1
б) из Д С Ri следует R' С Д Г ;
в) Л С
RR~ R.
5. Пусть R,S,T
- бинарные отношение, определенные на множе­
стве А. Доказать, что:
а)
{R^)='(R)-\
l
Х
1
1
б) ( Я и 5 ) - = Я " U S " ;
1
- 1
-1
в) (R П Sy
= Л Л S ;
г) R(S UT) = RSU RT;
д) (Rl)S)T=
RTUST.
Показать, что R(S Л Т) С RS Л RT и что возможно строгое включе­
ние.
6. Доказать, что:
а) D = 0&R
= 0&E
= 0;
R
R
б) D -i = En, В** = 1»л.
7. Для каких бинарных отношений R справедливо Я = R7
8. Образуют ли бинарные отношения группу относительно операций
умножения и обращения?
9. Доказать, что если R\ С R , то:
а) Q2ii С QR ;
б)
RiQCR Q.
R
- 1
2
2
2
Отображение
Одно из основных понятий математики - отображение (функция).
Поясним, что следует понимать под отображением.
Пусть X, Y - непустые множества. Если каждому элементу х £ X
соответствует единственный элемент у £ Y, то говорят, что задано ото-
бражение множества X в множество У, или задана функция, опреде­
ленная на множестве X со значениями в множестве У.
Понятие "отображение" (или "функция") может быть определено
как функциональное отношение.
Определение 8. Бинарное отношение / , определенное на паре
непустых множеств X и У, называется отображением множества X
в Y (или функцией, определенной на множестве X со значениями в Y),
если для каждого элемента х Е X существует один и только один эле­
мент у Е У, удовлетворяющий условию xfy.
Другими словами, отношение / , заданное на паре непустых множеств
X и У, является отображением X в У, если:
1) для любого элемента х £ X существует элемент у £ У, такой, что
xfy, т.е. область определения отношения / совпадает с X;
2) из xfyi и xfy следует у = у .
Например, отношение между х и у, определенное на множестве R
действительных чисел условием 2х + 3у = 12, является отображением R
в себя.
Отношение < на множестве Ъ всех целых чисел не есть отображе­
ние Z в себя, ибо для каждого целого числа х существует не одно, а
бесконечно много целых чисел у, таких что х < у.
Бинарное отношение между х иу, определенное на множестве R дей­
ствительных чисел условием х + у = 25, не является отображением Ж
в себя. Действительно, если \х\ > 5, то в R нет такого у, которое бы
с х было связано соотношением х + у — 25. Для \х\ < 5 в Ж есть
элемент у, который связан с х соотношением х + у — 25, но он не
единствен (число таких у равно 2).
Отношение "а; является отцом у", заданное на множестве людей, не
является отображением.
Отношение "х является сыном у", определенное на множестве людей
мужского пола, является отображением этого множества в себя. Если
данное отношение рассматривать определенным на множестве всех лю­
дей, то оно не есть отображение.
Отношение = на произвольном множестве X является отображением
множества X в себя. Оно называется тождественным, или единичным,
отображением, X в себя и обозначается ех, или просто е, если ясно,
какое множество X рассматривается.
2
х
2
2
2
2
2
2
2
Если / - отображение множества X в У , то это записывают так:
/:
или
ХЛУ.
Если / - отображение, то для каждого элемента х £ X существует
единственный элемент у из Y, такой, что xfy. Элемент у называют
образом элемента х при отображении / и обозначают f{x):
у = f(x)
или
/ : х н* у
или
x b
у.
Элемент ж называют при этом прообразом элемента у при отображе­
нии / .
Так как отображения - бинарные отношения, то можно говорить о
равенстве отображений (как о равенстве множеств). Пусть / . f X —> У ,
д : X —> Y - два отображения множества X в множество У . Отобра­
жение / состоит из пар вида (x,f(x)),
а д - из пар вида (х,д(х)), где
х £ X, f(x) £ У , д(х) £ У , причем для каждого х £ X в любом из этих
множеств есть в точности одна пара, первая компонента которой сов­
падает с х. Поэтому эти множества равны тогда и только тогда, когда
f(x) = д(х) для любого х £ X. Таким образом, приходим к обычно­
му определению равенства отображений: два отображения / : X -> У и
д : X —> У называются равными, если f(x) = д(х) для любого элемента
х £ X (т.е. результаты их действия одинаковы). Равные отображения,
как обычно, обозначают / = д.
Определение 9. Пусть f : X —)• Y - отображение, а А - непустое под­
множество множества X. Образом множества А при отображении /
называют совокупность образов всех элементов множества А и обозна­
чают f(A). Иначе говоря, f(A) — {f(x) \ х £ А}. Ясно, что f(A) С У .
Определение 10. Пусть / : X —> У - отображение, А - непустое
подмножество X. Сужением или ограничением отображения / на мно­
жество А называется отображение /а множества Л в У , при котором
образом каждого элемента х £ А является f(x) £ У .
Таким образом, ограничение отображения / : X —> У на подмноже­
ство А С X состоит их тех пар (x,f(x)),
первая компонента которых
принадлежит А.
Определение 11. Отображение / : X —¥ У называется инъективпым
(или инъекцией), если для любых х\,х
из множества X из равенства
f{x\) — f{x ) следует, что х\ = х .
2
2
2
Например, отображение / : R>o —>• Е, /(ж) = Igx инъективно, ибо из
l g i j = lgx по известному свойству логарифмической функции следует,
что х\ = Х2', аналогично отображение / : R>o —> R>o, f(x) = ж инъ­
ективно, так как если х\ = ж , x\,X2 £ R>o, то х\ — х - Отображение
/ : R —>• М>о, f(x) = х не является инъективным, так как, например,
/ ( 2 ) = / ( - 2 ) = 4, но 2 ф - 2 .
2
2
2
2
2
Определение 12. Отображение / : X —> У называется сюръективным (или сюръекцией), если для любого у £ У существует х £ X,
такой, что у = / ( ж ) .
Например, отображения / : R —> [—1,1], f(x) = sin а;, / : R -> Ж>о,
/ ( » ) = ж сюръективны, а отображения / : R -> R, /(ж) = sin ж и
/ : R —>! R, / ( ж ) = ж не являются сюръективными.
2
2
Д л я доказательства сюръективности отображения / : X —> У необ­
ходимо проверить, что для любого элемента уо £ У существует элемент
х £ X, такой, что уо = / ( ж ) , т.е. необходимо проверить что для лю­
бого элемента уо £ Y уравнение / ( ж ) = уо имеет хотя бы одно реше­
ние ж £ X.
Например, отображение / : R
—> R, /(ж) = 1§ж сюръективно, ибо
уравнение уо = lgx (уо £ R) имеет решение (единственное) относи­
тельно ж: ж = 10 , а отображение / : R -> R, /(ж) = 2* не является
сюръективным, так как уравнение уо = 2 (уо & R)
имеет решения,
если уо < 0.
> 0
№
1
н е
Определение 13. Отображение / : X —> У называется биективным
(или биекцией), если оно одновременно и инъективно и сюръективно.
Другое название биективного отображения / : X —> У - взаимно
однозначное отображение множества X на множество У.
Например, отображение / : R -> R, /(ж) = 2ж + 1 биективно, так как
из 2ж1 + 1 = 2x2 + 1 следует, что х\ = х - Кроме того, отображение /
сюръективно, ибо для любого уо £ R уравнение уо — 2х + 1 имеет
решение (и даже единственное) относительно ж: ж = (уо — 1)/2.
Так как отображения - частный случай бинарных отношений, то над
отображениями можно производить все известные операции над бинар­
ными отношениями: объединение, пересечение, дополнение, умножение
и обращение.
Применяя эти операции к отображениям, получаем бинарные отно­
шения, не являющиеся, вообще говоря, отображениями, хотя иногда они
будут отображениями. Выясним, в каких случаях это будет так.
2
Т е о р е м а 4. Объединение (пересечение) двух отображений
множес­
тва А в множество В тогда и только тогда является
отображе­
нием, когда оба заданных отображения совпадают друг с другом.
•
Пусть А и В
непустые множества, / и g - отображения А в В.
Тогда fug
состоят из пар вида (x,f(x)),
(x,g(x))
соответственно,
где х G А.
Если / = д, т.е. f(x) = д(х) для любого х £ А, то / U <? = / и
f п д = / , поэтому / U д и / П д являются отображениями множества А
в множество В.
Обратно, пусть / ф д, т.е. для некоторого а £ А / ( о ) ф д(а). Тогда
/ U # содержит две пары (a, f(a)), (а, д(а)), а / П # не содержит ни одной
пары с первым элементом, равным а. Таким образом,
fUgmfOgne
являются отображениями множества А в множество В. Ш
Если / - отображение множества А в множество В, то дополнение /
(в множестве Ах В) не является отображением А в В.
Задачи и упражнения
1. Пусть X
конечное множество. Доказать, что если отображение
/ : X —> X сюръективно, то оно и инъективно; и обратно: если отобра­
жение / : X —> X инъективно, то оно и сюръективно, т.е. для конечного
множества X условия инъективности и сюръективности отображения
/ : X —>• X равносильны.
2. Проверить, что следующие отображения
f(x) = \x\;
а) / 1 -*R,
б) / t > o - > R , f{x) = lgx;
в) / 1->K, f(x) = 2 + l;
г) / N -¥ N, / ( n ) = 2n, а отображение /
является инъективным.
3. Проверить, что следующие отображения
а) f : R ^ R
, f(x) = 2 ;
б) / : К -> Е, /(ж) = ж + 1;
в) / : R -> К, /(ж) = 2ж.
4. Проверить, что следующие отображения
ными:
а) / : N -» N, / ( п ) = = • » + ! ;
инъективны:
>0
x
: Ж -> К,
/(ж) = \х\ не
сюръективны:
x
>
0
не являются сюръектив-
х
б) / : R -» R , f(x) = 2 + 1;
в) / : N -> N, / ( п ) = 2п.
5. Пусть / : X -4 У, а Л С X , В С X . Доказать, что:
а) из Л С В следует / ( Л ) С / ( В ) ;
б) / ( Л U В ) = / ( Л ) U / ( В ) ;
в) / ( Л П В ) С / ( Л ) П / ( В ) ;
г) / ( Л ) \ / ( В ) С / ( Л \ В ) ,
причем возможно и строгое включение (привести примеры).
6. Пусть f:X->Y,a,ACX,BCX.
Доказать, что
> 0
/(ЛПВ) = /(Л)П/(В)
для любых множеств Aw В тогда и только тогда, когда / - инъективное
отображение множества X в Y.
7. Пусть / - отображение 1? в Z, такое, что
/ ( о , 6) =
а-Ь.
Инъективно ли /? Сюръективно ли /? Верно ли, что прообраз числа 5
содержит три элемента из Z ?
8. Доказать, что для любой функции /
2
/(Л) = 0
Л П В / = 0.
Умножение отображений
Покажем, что произведение двух бинарных отношений, являющихся
отображениями, есть отображение.
Т е о р е м а 5. Пусть fCXxY,gCYxZ~
бинарные отношения, а
h = fg - их произведение. Если / : X-+Yug:
Y—tZотображе­
ния, то бинарное отношение h является отображением
множества
X в множество Z и h(x) = g(f{x)) для любого х £ X.
•
Действительно, так как / С X х Y - отображение, то для любого
х £ X в множестве Y существует единственный элемент у, такой, что
xfy (в другой записи у = f(x)). Аналогично, так как g С YxZ - отобра­
жение, то для любого у G Y в множестве Z существует единственный
элемент z, такой, что ygz (в другой записи г — д{у))- Следовательно,
для любого х £ X в множестве Z существует единственный элемент z,
такой, что xhz, где h — fg - произведение бинарных отношений / и д.
Отсюда следует, во-первых, что h является отображением множества X
в множество Z (и поэтому позволительна запись z = h(x)) и, во-вторых,
что h{x) = z = д(у) — g(f(x)). Таким образом, h(x) = g(f(x)).
Ш
Т е о р е м а 6. Если f : X -> У, то fey — f, exf
—f•
•
Очевидно, что fey : X - f Y,
exf • X -» У. Таким образом,
для доказательства первого равенства теоремы остаюсь проверить, что
fey(x) = f(x) для любого элемента х G X. Пользуясь определением
произведения отображений, имеем fey(x) = ey(f(x)) — f(x).
Второе равенство теоремы проверяется аналогично:
exf(x)
= f(e (x))
x
для любого элемента х £ X.
=
f(x)
Ш
С л е д с т в и е 1. Если X — Y, т.е. если f : X —> X, то / е = е / = / .
Т е о р е м а 7. Пусть f : X -> У, д : У —> Z. Произведение fg инъективных отображений fug инъективно, а произведение fg
сюръективных
отображений f и g сюръективно.
•
Докажем сначала первое утверждение теоремы. Пусть fug
инъективны, т.е. если f[x\) = / ( х г ) , то х\ = х ; а из g(yi) = g(y ) следует,
что г/1 = 2/2 (xi,x
€ X; у\,у
£ У ) . Проверим, что fg инъективно.
Пусть gf{x\) = gf{x ).
Тогда, по определению произведения отобра­
жений, имеем g(f(xi))
= g(f(x )).
В силу инъективности g получим
f(x\) = f(x ), откуда в силу инъективности / получим х\ — х . Первое
утверждение доказано.
Докажем вторую часть теоремы. Пусть fugсюръективные отобра­
жения. Требуется доказать, что fg:X^Zсюръективное отображе­
ние, т.е. для любого z £ Z существует хотя бы один элемент х £ X, та­
кой, что z = fg{x). Пусть zo - произвольный элемент множества Z. Так
как g : У —> Z - сюръективное отображение, то ZQ является образом хо­
тя бы одного элемента из множества У. Пусть г/о - некоторый прообраз
элемента ZQ при отображении д т.е. ZQ = д{уо)- Аналогично в силу сюръективности отображения / : X -> У элемент уо является образом хотя
2
2
2
2
2
2
2
2
:
бы одного элемента из множества X. Пусть XQ - некоторый прообраз
элемента уо при отображении / , т.е. уо = / ( х о ) . Из полученных отноше­
ний z = д(у ) и уо = /(aso) выводим, что z = д{у ) = g{f{x ))
= fg(x ),
т.е. произвольный элемент ZQ £ Z есть образ элемента жо при отобра­
жении fg:X^Z.
Ш
0
0
0
С л е д с т в и е 2. Произведение
биективных
0
отображений
0
0
биективно.
Задачи и упражнения
1. Пусть:
/
:
g:M
i . -4 R,
/ ( * ) = J, ,
-4 R,
sinx;
2
Л ПН -> К,
Й(а0 = sinx ;
fc : I -> К,
k(x) = sin x.
2
Найти / , / g , g / , gft, hg, hk, kh, ft , A; , /5/1, ^ЛА;, / c r M , / , A; .
2. Доказать, что отображение / : X —> Y инъективно тогда и только
тогда, когда для любых отображений g и h, таких, что g : Y —> X и
h : Y —> X, из gf — hf следует g = h.
3. Доказать, что отображение / : X -> Y сюръективно тогда и толь­
ко тогда, когда для любых отображений g и h, таких, что g :Y ^ X и
h : Y —» X, из fg — fh следует g = h.
2
2
2
4
4
Обратное отображение
Перейдем к операции обращения бинарных отношений. Пусть бинар­
ное отношение / , определенное на паре множеств А, В, является ото­
бражением множества А в множество В. Обратное отношение, заданное
на паре множеств В, А, не обязано быть отображением множества В
в множество А. Пусть, например, / ( х ) = х - отображение множе­
ства R действительных чисел в себя. Тогда отображение / содержит
пары (2,4) и (—2,4), а потому обе пары (4,2) и ( 4 , - 2 ) с одинаковой
первой компонентой должны принадлежать обратному отношению
Следовательно, отношение /
не является отображением множества Ж
действительных чисел в себя. (Отношение /
не есть отображение еще
и потому, что f" не содержит пар, первая компонента которых отри­
цательна.)
2
_ 1
_ 1
1
Т е о р е м а 8. Пусть бинарное отношение /, определенное на паре мно­
жеств А, В, является отображением множества А в множество В.
Обратное отношение /
С В х А тогда и только тогда будет ото­
бражением множества В в множество А, когда f - биективное ото­
бражение.
_ 1
•
Действительно, пусть / - биективное отображение множества А в
множество В. Из условия того, что / - отображение А в В, вытекает,
что для любого х £ А в множестве В существует единственный эле­
мент у, такой, что xfy. В силу сюръективности / для любого у £ В в
множестве А существует элемент х, такой, что xfy. В силу же инъективности / этот элемент единственный. Так как по определению обратного
отношения yf~ x тогда и только тогда, когда xfy, то из биективности
отображения / вытекает, что /
- отображение множества В в мно­
жество А, а условие того, что / - отображение Л в В , дает, что /
биективное отображение В в А.
Обратно, пусть бинарное отношение /
С В х А является отобра­
жением множества В в множество А. Это означает, что для любого
у £ В в множестве А существует единственный элемент х, такой, что
yf~ x. Таким образом, для отображения / множества А в множество В
имеем, во-первых, что для любого у £ В в множестве А существует та­
кой элемент х, что xfy, и, во-вторых, что этот элемент единственный.
Первое из этих двух условий означает, что / - сюръективное, а второе,
что / - инъективное отображение множества А в множество В, т.е. / биективное отображение.
•
Если В С У, то / ( В ) является подмножеством в X всех тех эле­
ментов х £ X, для которых f(x) £ В а называется прообразом множе­
ства В. В частности, если В = {у}, то
есть множество всех тех
элементов х £ X, для которых f(x) = у, и называется полным прооб­
разом элемента у.
l
_ 1
_ 1
_ 1
l
_ 1
Задачи и упражнения
1. Показать, что каждое из следующих отображений обратимо, и
г) / : R ^ R
, /(20 = 10*;
д) / : R - » R , f(x) = x 2.
е) f:X-+X,
где Х = [0,1], / ( * ) =
>
> 0
0
> 0
т/Т-х*;
ж) / : X -> У, где X = [-2,1], Y = [2/3, со), / ( * ) =
я; - 1
2. Пусть / : X —> X. Доказать, что если / " = е, то / - биективное
отображение.
3. Пусть f : X ->Y, д :Y
Z, h : Z
U. Доказать, что если gh и
fg биективны, то и все отображения / , д, h биективны.
4. Доказать следующие свойства обратного отображения:
а) если АС В, то / ( Л ) С / ( В ) ;
_ 1
1
_ 1
1
1
б) Г ( Л и В ) = / - ( Л ) и Г ( В ) ;
1
1
в) Г (АПВ)
=
г) /~1(Л) =
д) / - 1 ( 0 ) = 0;
1
Г\А)ПГ {В);
1
1
е) / - ( Л \ В ) = Г ( Л ) \ Г ( В ) .
5. Доказать, что для любой функции /
/ - ( Л ) = 0 < ^ Л П £ = 0.
1
/
6. Доказать, что если А С Dj и В С Ef, то:
а) Л С Г Ч Д Л ) ) ;
б) / ( Г Ч В ) ) = В;
1
в) / ( Л ) П В = / ( Л П Г ( В ) ) ;
г) / ( Л ) П В = 0 тогда и только тогда, когда Л П / ( В ) = 0;
д) / ( Л ) С В тогда и только тогда, когда Л С / ( В ) .
_ 1
_ 1
Отношение эквивалентности
Определение 14. Бинарное отношение R, определенное на множе­
стве Л, называется рефлексивным, если для любого а 6 Л аДа, сгшметпричным, если для любых а, 6 € Л из аВЬ следует ЬВа, транзитив­
ным, если для любых а, 6, с 6 Л из аД6 и bRc следует aRc.
Например, отношение < на множестве R действительных чисел, а
также отношение включения подмножеств некоторого множества явля­
ются рефлексивными и транзитивными, но не являются симметричны­
ми. Отношение < на множестве действительных чисел транзитивно, но
не рефлексивно, не симметрично. Отношение "ж является матерью у"
не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно.
Определение 15. Бинарное отношение R, определенное на множестве
А, называется отношением эквивалентности, или просто эквивалент­
ностью, на множестве А, если R рефлексивно, симметрично и транзи­
тивно.
Примеры отношений эквивалентности:
1) отношение подобия на множестве треугольников в евклидовой плос­
кости;
2) отношение равенства на произвольном множестве;
3) отношение "учиться в одной группе" на множестве студентов
АГТУ;
4) отношение сравнимости по модулю п на множестве всех целых
чисел Z. Это отношение определяется так: х сравнимо с у по модулю п
(обозначается: х = y(modn)), если х — у делится на п.
Покажем, что последнее отношение действительно является отноше­
нием эквивалентности. Это отношение рефлексивно на Z, так как для
любого i £ Z х — х = 0, и, следовательно, делится на п. Это отношение
симметрично, так как если х — у делится на п, то у — х делится на п.
Это отношение транзитивно, так как если х — у делится на п, то для
некоторого целого t\ имеем х — у = t\n, а если у — z делится на п, то
для некоторого целого t имеем у — z = t n. Отсюда х — z = (t\ 4- t2)n,
т.е. х — z делится на п.
Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А, и пусть а 6 А.
Определение 16. Множество всех таких элементов х £ А, что xRa
называют классом эквивалентности,
порожденным элементом а, и
обозначают [а]д.
Иначе говоря, [O]R = {х 6 А | xRa}. Вместо [а]д часто пишут [а],
если относительно R нет никаких неясностей.
Например, отношение равенства на множестве Z порождает следую­
щие классы эквивалентности:
2
2
VzeZ
[х] = {х},
т.е. каждый класс эквивалентности состоит только из одного элемента
числа х.
Для отношения принадлежности к одной студенческой группе клас­
сом эквивалентности является множество студентов одной группы.
Отношение сравнимости по модулю числа п на множестве целых чи­
сел Z порождает следующие классы эквивалентности: вместе с любым
числом а £ Ъ в этом же классе эквивалентности содержатся все числа
вида а+кп, где к - целое. Очевидно, что числа 0 , 1 , . . . , п — 1 порождают
различные классы эквивалентности, которые обозначим [0], [ 1 ] , [ п - 1]
Они называются классами вычетов по модулю п. Все остальные классы
эквивалентности для этого отношения совпадают с ними, так как любое
число а € Z можно представить в виде а = qn + r, где 0 < г < п.
Т е о р е м а 9. Свойство I : а £ [а]. Свойство II: если aRb, то [а] = [Ь].
•
Свойство I вытекает из рефлексивности. Докажем свойство П.
Пусть aRb. Требуется доказать, что [а] = [6]. Для этого достаточно
проверить два включения: [а] С [Ь] и [Ь] С [а]. Проверим первое из этих
включений. Пусть а; 6 [а], тогда xRa. Из xRa и данного условия aRb,
в силу транзитивности R, получаем xRb, т.е. х £ [Ь]. Итак, включе­
ние [а] С [Ь] проверено. Докажем обратное включение: [Ь] С [а]. Пусть
х £ [Ь], тогда xRb. В силу симметричности из данного в теореме условия
aRb следует bRa. Тогда из условий xRb и bRa, в силу транзитивности
R, вытекает, что xRa, т.е. х £ [а]. Следовательно, и обратное включение
[Ь] С [а] тоже доказано. Итак, [а] = [6], если aRb. Ш
Содержательный смысл свойства I I состоит в том, что любой класс
определяется однозначно своим представителем, т.е. любые элементы
из одного класса равноправны при определении этого класса.
Отметим, что свойство I I допускает обращение, а именно: если
[а] = [Ь], то aRb. Действительно, пусть [а] ~ [Ь]. Тогда по свойству I
а £ [а} = [Ь]. Следовательно, aRb.
Таким образом, мы доказали лемму 1.
Л е м м а 1. Условия aRb и [а] — [Ь] равносильны.
Докажем еще одно нужное в дальнейшем утверждение, вытекающее
из свойства I I .
Л е м м а 2. Любые два класса эквивалентности
множества
ношению R либо не пересекаются, либо совпадают.
А по от­
•
Пусть [а] и [6] - два класса эквивалентности, [а]П[Ь] ф 0, с G [а]П[6].
Тогда по свойству I I [с] = [а] и [с] = [Ь]. Следовательно, [а] — Щ. Ш
Из леммы 2 вытекает, что различные классы эквивалентности не име­
ют общих элементов.
Определение 17. Совокупность всех различных классов эквивалент­
ности множества А по отношению R называется
фактор-множеством
множества А по эквивалентности R и обозначается A JR.
Определение 18. Каноническим отображением множества А на фак­
тор-множество A/R но эквивалентности R называется отображение, ко­
торое каждому элементу а £ А ставит в соответствие его класс эквива­
лентности [а] д.
Очевидно, это каноническое отображение сюръективно.
Отношения эквивалентности произвольного множества тесно связа­
ны с понятием разбиения этого множества.
Определение 19. Разбиением, множества А называется система S
непустых попарно непересекающихся подмножеств множества А, таких,
что каждый элемент из А принадлежит одному (и, следовательно, толь­
ко одному) подмножеству из системы S.
Пример
1. Пусть X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . Тогда { { 1 , 2 } , { 3 , 5 } , { 4 } } разбиение мно­
жества X.
2. Пусть X - множество студентов университета. Тогда разбиением
этого множества является, например, совокупность студенческих групп.
Рассмотрим связи между отношениями эквивалентности некоторого
множества и его разбиениями.
Теорема 10. Если R - отношение эквивалентности па множестве А,
то совокупность всех различных классов эквивалентности
множе­
ства А по отношению R является разбиением множества А.
•
Из свойства I классов эквивалентности вытекает, что каждый эле­
мент а £ А содержится в классе эквивалентности [а] и, кроме того, что
каждый класс эквивалентности не пуст. Далее, по лемме 2, различные
классы эквивалентности по отношению R не имеют общих элементов
(не пересекаются).
•
Т е о р е м а 11. Пусть S - разбиение множества A, a R - бинарное от­
ношение на множестве А, такое, что по определению xRy (х,у £ А)
тогда и только тогда, когда в S есть подмножество М, для кото­
рого х £ М, у £ М. Тогда R - отношение эквивалентности
на мно-
жестее А. Эта эквивалентность
отвечающей разбиению S.
R называется
эквивалентностью,
•
Д л я доказательства теоремы надо проверить, что отношение R,
определенное на множестве А, рефлексивно, симметрично и транзитивно. Ясно, что R симметрично. Далее R рефлексивно, ибо каждый эле­
мент х Е А попадает в некоторый класс разбиения, а тогда xRx для лю­
бого х £ А. Осталось проверить, что отношение R транзитивно. Пусть
xRy и yRz. Это означает, что х и у попадают в один класс разбиения,
скажем Mi, у и z тоже попадают в один класс разбиения, скажем МгТак как элемент у принадлежит М\ и Мг, то по определению разбие­
ния М\ = Mi- Следовательно, элементы х и г лежат в одном классе
разбиения и, значит, xRz. Ш
Среди различных приложений отношений эквивалентности имеется
и формализация математических понятий. Суть этой процедуры состо­
ит в том, что понятия определяются как множество всех элементов,
обладающих каким-либо свойством, характеризующим данное понятие.
Рассмотрим, например, следующую проблему: как определить положи­
тельные рациональные числа в терминах положительных целых чисел.
Для ее решения вводят на множестве пар целых положительных чисел
бинарное отношение
(х, y)R{u, v)
xv — yu,
т.е. если эти пары имеют равные отношения. Заданное таким обра­
зом бинарное отношение есть отношение эквивалентности. Рациональ­
ное число определяется как класс эквивалентности. Привычный символ
х/у оказывается сокращением для класса эквивалентности [(ж,г/)]. То
обстоятельство, что класс эквивалентности задается любым своим пред­
ставителем, приводит к тому, что в качестве имени для рационального
числа может быть выбран любой другой символ u/v, обладающий тем
свойством, что (u,v) G [(х,у)]. Например, 2/3 = 4/6, так как 2/3 и 4/6
- различные имена для одного и того же рационального числа.
Другим примером такого определения через абстракцию может слу­
жить понятие (свободного) вектора в геометрии. Вектором называется
класс эквивалентных друг другу направленных отрезков. При этом два
отрезка будут эквивалентными, если они имеют одну и ту же длину и
одинаково направлены, а эквивалентность направленных отрезков яв-
ляется отношением эквивалентности на множестве всех направленных
отрезков.
Задачи и упражнения
+1
2
1. Показать, что существует 2"(" >' симметричных бинарных отно­
шений на множестве А = {а\,..., а }Г
-1
2. Показать, что существует 2"'" ' рефлексивных бинарных отно­
шений на множестве А = {а\,...
,а }.
3. Привести примеры отношений:
а) не рефлексивного, но симметричного и транзитивного;
б) не симметричного, но рефлексивного и транзитивного;
в) не транзитивного, но рефлексивного и симметричного;
г) не транзитивного, но рефлексивного и антисимметричного;
д) не рефлексивного, но антисимметричного и транзитивного.
4. Доказать, что бинарное отношение R, определенное на множе­
стве А, тогда и только тогда является эквивалентностью, когда е С R
и RR- С R.
5. На множестве К действительных чисел определим отношение R
следующим образом: aRb
а — b - рациональное число, а , 6 £ 1 . До­
казать, что R есть эквивалентность.
6. Пусть R и S - отношения эквивалентности на множестве А. До­
казать, что пересечение Rf)S также является отношением эквивалент­
ности.
7. Доказать, что если R есть эквивалентность, то Д - также экви­
валентность.
8. В множестве пар целых неотрицательных чисел введем бинарное
отношение ~ , положив, по определению, (а, 6) ~ (с, d) тогда и толь­
ко тогда, когда а + d = b + с. Показать, что ~ является отношением
эквивалентности. Описать ~-классы эквивалентности.
9. На множестве прямых на плоскости рассмотрим отношения:
а) параллельности прямых (к\ — &г);
б) перпендикулярности прямых (fci&2 = —1).
Определить, будут ли эти отношения отношениями эквивалентности
на этом множестве?
10. Определить, является ли данное отношение рефлексивным, сим­
метричным, антисимметричным или транзитивным:
п
п
1
- 1
а) xRy&x<2y,
x , y e N = {l,2,...};
б) xRy <&\х-у\=2,
х,у£Щ
в) х Я у < » Н О Д ( х , у ) = 1,
x.yeN;
г) A B B
А В имеет целочисленные координаты, Л, В £ К .
11. Доказать, что объединение Ri U R двух отношений эквивалент­
ности Ri и R , заданных на множестве X, является отношением экви­
валентности тогда и только тогда, когда
2
2
2
i?i U R =
R\R .
2
2
2
12. На множестве R задано бинарное отношение R:
(a,b)R(c,d)
&b = d.
Доказать, что R - эквивалентность. Найти класс эквивалентности,
порожденный парой (3,4); дать геометрическую интерпретацию. Сколь­
ко элементов содержит любой класс эквивалентности? Описать фактор­
множество R /R и дать геометрическую интерпретацию.
13. Показать, что требование симметричности и транзитивности мож­
но заменить одним: из xRz и yRz следует xRy (при сохранении требо­
вания рефлексивности).
14. Доказать, что если отношения R\ и R антисимметричны, то
антисимметричны также отношения R\ П R и Щ .
15. Доказать, что если R есть транзитивное и симметричное отноше­
ние на множестве А и D R U E R = А , то R есть эквивалентность на А .
16. Доказать, что любое отношение R, симметричное и антисиммет­
ричное одновременно, является транзитивным.
17. Доказать, что если Ri и R - эквивалентности на А , то:
а) R\R\ = А тогда и только тогда, когда R\= А ;
б) R\R = А тогда и только тогда, когда R R\ = А .
18. Доказать, что произведение R\R двух эквивалентностей R\ и R
тогда и только тогда является эквивалентностью, когда R\R = R R\.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Частично упорядоченные множества
Определение 20. Бинарное отношение R, определенное на множе­
стве А , называется частичным порядком, или отношением
частичного
порядка, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) xRx для любого х € А (рефлексивность);
2) из xRy и yRz следует xRz для любых х, у, z £ А (транзитивность);
3) из xRy и yRx следует х = у для любых х,у £ А (антисимметрич­
ность).
Множество А, на котором задан какой-нибудь частичный порядок,
называется частично
упорядоченным.
Примерами отношения частичного порядка являются: отношение С
на множестве подмножеств некоторого множества; отношение < на мно­
жестве действительных чисел; отношение "х делит у" на множестве
натуральных чисел.
Отношение "любой простой делитель числа х является также и дели­
телем числа у" не будет отношением порядка на множестве натураль­
ных чисел (оно рефлексивно и транзитивно, но не симметрично).
Частичный порядок на множестве А будем обозначать символом •<,
и если а ^ Ь для некоторых а, Ь £ А, то будем говорить, что а меньше
или равно Ь. Если а •< Ь и а ф Ь, то будем писать а -< Ь и говорить, что
а строго меньше 6.
Определение 21. Элементы a, b множества А называются сравнимы­
ми относительно частичного порядка < на этом множестве, если а < b
или Ъ <а.
Определение 22. Пусть А - частично упорядоченное множество с ча­
стичным порядком < . Элемент а £ А называется наибольшим
элемен­
том, если х < а для любого х £ А. Элемент b £ А называется наи­
меньшим элементом, если b <х для любого х £ А.
Частично упорядоченное множество может обладать или не обладать
наименьшим или наибольшим элементом. Приведем соответствующие
примеры. Множество действительных чисел с обычным отношением <
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Множество неотри­
цательных действительных чисел имеет наименьший элемент (число 0),
но не имеет наибольшего элемента. Множество неотрицательных целых
чисел с отношением делимости в качестве отношения частичного поряд­
ка (т.е. т -<п тогда и только тогда, когда т делит п) имеет наименьший
(число 1) и наибольший (число 0) элементы.
Однако если частично упорядоченное множество обладает наиболь­
шим (наименьшим) элементом, то он единственный.
Л е м м а 3. В любом частично упорядоченном множестве
более одного наибольшего (наименьшего)
элемента.
имеется не
•
Пусть ai и а,2 - два наибольших элемента частично упорядочен­
ного множества А. Так как ai - наибольший элемент множества А, то
а ^ o i ; 02 - наибольший элемент множества А, то ai ^ а . В силу
антисимметричности отношения ^ из условий а ^ ai и ai :< а следует
ai = а . Утверждение о единственности наименьшего элемента доказы­
вается аналогично.
•
Определение 23. Максимальным элементом частично упорядочен­
ного множества А называется такой элемент a G А, что каждый эле­
мент х аз А либо не сравним с а, либо х <а, т.е., другими словами, если
А не содержит элементов, строго больших а. Минимальным,
элементом
частично упорядоченного множества А называется такой элемент b £ А,
что каждый элемент а; из А либо не сравним с 6, либо b < х, т.е. если
А не содержит элементов, строго меньших Ъ.
В отличие от наибольшего (наименьшего) элемента частично упоря­
доченное множество может содержать несколько максимальных (мини­
мальных) элементов. Так, например, в множестве целых положитель­
ных чисел, отличных от 1, с отношением делимости в качестве отноше­
ния частичного порядка минимальными элементами являются простые
числа.
2
2
2
2
2
Л е м м а 4. Всякий наибольший элемент частично упорядоченного мно­
жества является максимальным,
а всякий наименьший - минималь­
ным.
Обратное, вообще говоря, не имеет места. Действительно, предыду­
щий пример показывает, что в множестве целых положительных чисел,
отличных от 1, с отношением делимости минимальными элементами яв­
ляются простые числа, а наименьшего элемента нет.
Определение 24. Пусть a, b - элементы частично упорядоченного мно­
жества А. Элемент а называется непосредственно меньшим
(непосред­
ственно предшествующим) для элемента b, а 6 - непосредственно боль­
шим (непосредственно следующим) за а, если а -< b и не существует
элемента х £ А, который удовлетворял бы отношению а -< х -< Ъ.
Другими словами, непосредственно следующий за а элемент - это
минимальный элемент множества {х \ а -< х}, а непосредственно пред-
шествующий для а элемент - это максимальный элемент множества
{х\х < а).
Ясно, что элемент частично упорядоченного множества может во­
обще не иметь непосредственно следующего (непосредственно предше­
ствующего), а может иметь их несколько.
Строение конечных частично упорядоченных множеств задается ино­
гда при помощи диаграмм. С этой целью элементы множества изо­
бражаются точками, расположенными на разных горизонталях, причем
большие элементы располагаются выше меньших. Линиями соединяют
только непосредственно большие элементы с непосредственно меньши­
ми. Тогда можно без труда определить, какой из любых двух элементов
больше: элемент b оказывается большим а тогда и только тогда, когда
на диаграмме от Ъ можно перейти к а по опускающимся вниз линиям.
Действительно, если а < Ь, то b может быть непосредственно большим а.
В противном случае найдется элемент х\, такой, что а -< Х\ -< Ь. Че­
рез конечное число шагов придем к отношению а -< х\ -< ... -< x = Ь,
причем каждый из элементов а, ц,..., х , b непосредственно следует за
предыдущим. Таким образом, если непосредственно большие элемен­
ты соединять линиями с непосредственно меньшими элементами и если
а -< Ь, то от b к а можно перейти по опускающимся вниз линиям.
n
п
Рис. 5
Совокупность подмножеств трехэлементного множества, частично
упорядоченного посредством отношения включения С, представлена на
рис. 5, а. Точка, расположенная на самом низком уровне, изображает пу­
стое множество; точки, расположенные на следующем (втором) уровне,
- одноэлементные подмножества и т.д.
Определение 25. Частичный порядок на множестве А называется ли­
нейным порядком, если любые два элемента из А сравнимы относитель­
но [<-. Множество А, на котором задан какой-либо линейный порядок,
называется линейно упорядоченным множеством, или цепью. Приме­
ром линейно упорядоченного множества может служить множество всех
действительных чисел с обычным отношением < .
Линейно упорядоченное множество из пяти элементов представле­
но на рис. 5, б. Отсюда понятно происхождение названия "цепь" для
линейно упорядоченного множества.
На множестве R х R всех пар действительных чисел можно ввести ча­
стичный порядок, считая, что {x\,xi) ^ (2/1,2/2), если х\ < х и у\ < у .
Этот порядок уже не будет линейным, так как, например, пары (0,1) и
(1,0) не сравнимы.
2
2
На буквах русского алфавита традиция определяет некоторый поря­
док (а < б -< в < ... < я). Этот порядок линеен - про любые две буквы
можно сказать, какая из них раньше (при необходимости заглянув в
словарь).
На словах русского алфавита определен лексикографический поря­
док (как в словаре). Формально определить его можно так: если слово х
является началом слова у, то х -< у (например, кант ^ кантор). Если
ни одно из слов не является началом другого, посмотрим на первую
по порядку букву, в которой слова отличаются: то слово, где эта буква
меньше в алфавитном порядке, и будет меньше. Этот порядок также
линеен (иначе что бы делали составители словарей?).
Приведем теперь бытовой пример. Пусть есть множество X картон­
ных коробок. Введем на нем порядок, считая, что х •< у, если коробка х
целиком помещается внутрь коробки у (или если хнуодна и та же
коробка). В зависимости от набора коробок этот порядок может быть
или не быть линейным.
Отметим, что в случае линейно упорядоченного множества его мак­
симальный (минимальный) элемент является также наибольшим (наи­
меньшим).
Вот несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядочен­
ные множества из других.
Пусть Y - подмножество частично упорядоченного множества (X, •<).
Тогда на множестве Y возникает естественный частичный порядок, ин-
дуцированный
из X. Формально говоря,
Если порядок на X был линейным, то и индуцированный порядок на У,
очевидно, будет линейным.
Пусть X и У - два непересекающихся частично упорядоченных мно­
жества. Тогда на их объединении можно определить частичный порядок
так: внутри каждого множества элементы сравниваются как раньше, а
любой элемент множества X по определению меньше любого элемента
множества У. Это множество естественно обозначить XAY.
Порядок
будет линейным, если он был таковым на каждом из множеств.
Это же обозначение применяют и для пересекающихся (и даже сов­
падающих множеств). Например, говоря об упорядоченном множестве
N A N , берем две непересекающиеся копии натурального ряда { 1 , 2 , 3 , . . . }
и { 1 , 2 , 3 , . . . } и рассматриваем множество { 1 , 2 , 3 , . . . , 1,2,3,... } , причем
к ^ I при всех к и I, а внутри каждой копии порядок обычный.
Пусть (X, <х)
{У, ^у) - Два упорядоченных множества. Можно
определить порядок на произведении X х У несколькими способами.
Можно считать, что (x\,yi) ^ (^2,2/2), если х\ <х 2
2/i diY 2/2 (поко­
ординатное сравнение). Этот порядок, однако, не будет линейным, да­
же если исходные порядки и были линейными: если первая координата
больше у одной пары, а вторая - у другой, как их сравнить? Чтобы по­
лучить линейный порядок, договоримся, какая координата будет "глав­
ной" и будем сначала сравнивать по ней, а потом (в случае равенства)
- по другой. Если главной считать Х-координату, то (xi,y\) ^
( 2,У2),
если х\ -<х Х2 или если х\ — Х2, а у\ Ч у У2- Однако по техническим
причинам удобно считать главной вторую координату. Говоря о произ­
ведении двух линейно упорядоченных множеств как о линейно упоря­
доченном множестве, мы в дальнейшем подразумеваем именно такой
порядок (сначала сравниваем по второй координате).
и
х
и
Х
Т е о р е м а 12. Следующие свойства частично упорядоченного множе­
ства А равносильны:
1) условие минимальности.
Всякое непустое подмножество мноoicecmea А является частично упорядоченным множеством, содержа­
щим минимальные
элементы;
2) условие индуктивности.
Если все минимальные элементы мно­
жества А обладают некоторым свойством Р и из того, что все
элементы х из А, удовлетворяющие условию х -< а, обладают свой­
ством Р, вытекает, что элемент а тоже обладает свойством Р, то
свойством Р обладают все элементы множества А;
3) условие обрыва убывающих цепей. Для всякой цепочки элементов
из множества А
а\ У ... У а
п
найдется
У ...
такой номер п, что
Яга =
=
а
п + 2 — •••
•
Проверим, что из условия 1 следует условие 2. Пусть выполнены
посылки условия индуктивности. Обозначим через М множество всех
тех элементов х из А, которые не обладают свойством Р. Пусть, во­
преки доказываемому, М ф 0 . Тогда ввиду условия 1 в М имеется
минимальный элемент а. По условию этот элемент не может быть ми­
нимальным элементом частично упорядоченного множества А. Пусть
х -< а, х £ М и, следовательно, обладает свойством Р. Но тогда а
обладает свойством Р. Противоречие.
Проверим, что из условия 2 следует условие 3. Условимся считать,
что элемент а £ А обладает свойством Р, если всякая убывающая це­
почка, начинающаяся с элемента а обрывается, т.е. удовлетворяет усло­
вию 3. Всякий минимальный элемент т £ А обладает свойством Р,
так как для соответствующей цепочки имеем т = а\ = а = ... Если
а £ А таков, что все х -< а обладают свойством Р, то рассмотрим це­
почку а = а\ У 0 2 У ... Если знаки равенства стоят не всюду, то пусть
i
такой номер, что а\ = ... = a,_i и щ-\ >- а*. Но тогда элемент а;
обладает свойством Р, т.е. цепочка а,- У щ \ У ..., а потому и цепочка
а\ У ... У a,i У a , i У ... обрываются. Таким образом, элемент а облада­
ет свойством Р. В силу условия 2 все элементы множества А обладают
свойством Р. Это и означает, что А удовлетворяет условию 3.
2
+
+
Проверим, что из условия 3 следует условие 1. Пусть, вопреки дока­
зываемому, подмножество М множества А является частично упорядо­
ченным множеством без минимальных элементов. Пусть а\ - произволь­
ный элемент множества М и пусть уже построена цепочка
О] У а У ... У а элементов из М. Так как а не минимален в М, то в
2
п
п
М существует элемент а \ -< а . Таким образом, получаем бесконеч­
ную цепочку й] >- а >- ... У а >- ..., не удовлетворяющую условию 3.
Противоречие.
•
п+
2
п
п
Задачи и упражнения
1. Доказать, что бинарное отношение Д на множестве А тогда и толь­
ко тогда является частичным порядком, когда оно обладает следующи­
ми тремя свойствами: е С Д, R Л Д " С е, Д С Д.
2. Доказать, что если Д - частичный (линейный) порядок на мно­
жестве X и А С X, то Д Л А - частичный (линейный) порядок на
множестве А.
3. Рассмотрим множество {1,2,3,5,6,10,15,30}, элементы которого,
по сути, делители числа 30, с отношением делимости в качестве отно­
шения порядка. Изобразить диаграмму этого частично упорядоченного
множества. Указать максимальный и наибольший элементы (если они
есть).
4. Показать, что если Д - частичный порядок на множестве А, то
Д - также частичный порядок на А.
5. Пусть Д - транзитивное отношение на множестве А, обладающее
следующими двумя свойствами:
а) xRx не выполняется ни для какого х £ А (иррефлексивность);
б) если xRy, то yRx не имеет места.
Положим,
х <У
х — у или xRy.
1
2
2
- 1
Показать, что •< - отношение частичного порядка на А.
Обратно: пусть < - отношение частичного порядка, а
xRy <=?х^.уих
= у.
Доказать, что отношение Д транзитивно и обладает свойствами а и б.
6. Пусть < А ~ есть частичный порядок на множестве A,
- ча­
стичный порядок на множестве В. Назовем прямым произведением ча­
стично упорядоченных множеств А и В множество А х В с заданным
на нем отношением Ч:
( а Ь х ) •< { 0 2 , 6 2 )
ь
<=>
а\
<АО-2
И
by <в Ь .
Доказать, что < есть частичный порядок на А х В.
2
7. Пусть / : А х А —> А и для всех x,y,z
f(x,y)
f(x,f(y,z))
=
=
f(x,x)
Е А
f{y,x),
f(f(x,y),z),
= X.
Определим x < у
f(x,y)
— х. Доказать, что X есть частичный
порядок на Л.
8. Опуская требование антисимметричности в определении частич­
ного порядка, получаем определение предпорядка. Доказать, что лю­
бой предпорядок устроен так: множество делится на непересекающиеся
классы, при этом х •< у для любых двух элементов х и у из одного
класса, а на фактор-множестве задан частичный порядок, который и
определяет результат сравнения двух элементов из разных классов.
9. Сколько существует различных линейных порядков на множестве
из п элементов?
10. Доказать, что всякий частичный порядок на конечном множе­
стве можно продолжить до линейного ("продолжить" означает, что ес­
ли х •< у в исходном порядке, то и в новом это останется так).
11. Дано бесконечное частично упорядоченное множество X. Дока­
зать, что в нем всегда найдется либо бесконечное подмножество попар­
но несравнимых элементов, либо бесконечное подмножество, на котором
индуцированный порядок линеен.
12. (Конечный вариант предыдущей задачи.) Даны натуральные чис­
ла гп и п. Доказать, что во всяком частично упорядоченном множестве
из тп + 1 элементов можно указать либо т + 1 попарно несравнимых
элементов, либо п + 1 попарно сравнимых.
13. В строчку написаны тп + 1 различных чисел. Доказать, что
можно часть из них вычеркнуть так, чтобы осталась либо возрастающая
последовательность длины т+1, либо убывающая последовательность
длины п + 1. (Указание: можно воспользоваться предыдущей задачей.)
14. Пусть R - отношение предпорядка (рефлексивное и транзитив­
ное) на множестве А. Положим
а ~ Ь
Доказать, что:
(a, b) Е R и (6, а) £ R.
а) ~ есть отношение эквивалентности на А;
б) если а ~ ai, Ь ~ b\, (a, b) € R, то (oi, 61) 6 й ;
в)
есть отношение частичного порядка на А/ ~ , где
а, 6
€ Д <Ф а,о Ё R.
х
Вполне упорядоченные множества
Определение 26. Линейно упорядоченное множество, удовлетворяю­
щее условию минимальности (а следовательно, и остальным условиям)
теоремы 12, называется вполне упорядоченным множеством, а соот­
ветствующий порядок - полным.
Для линейных порядков понятия наименьшего и минимального эле­
мента совпадают, так что во вполне упорядоченном множестве всякое
непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Заметим, что частично упорядоченное множество, в котором всякое
подмножество имеет наименьший элемент, автоматически является ли­
нейно упорядоченным. Действительно, всякое двухэлементное множе­
ство имеет наименьший элемент, поэтому любые два элемента сравни­
мы.
Примерами вполне упорядоченных множеств являются конечное ли­
нейно упорядоченное множество и множество натуральных чисел N ,
упорядоченное естественным образом, множества N A N и N х N . Мно­
жество всех целых чисел относительно естественного порядка не будет
вполне упорядоченным, так как оно не имеет наименьшего элемента.
Однако оно станет вполне упорядоченным, если установить порядок
следующим образом:
1 •< 2 ,-< 3 -< ...
•<
О
-1
•<
- 2 Ч - 3 -<...
Другим примером не вполне упорядоченной цепи служит отрезок [0,1],
ибо, например, интервал (1/2,1) не содержит минимального элемента.
Наша цель - понять как могут быть устроены вполне упорядоченные
множества. Начнем с нескольких простых замечаний.
1. Вполне упорядоченное множество имеет наименьший элемент. (Не­
посредственное следствие определения.)
2. Для каждого элемента х вполне упорядоченного множества (кроме
наибольшего) есть непосредственно следующий за ним элемент у (это
значит, что у >- х, но не существует z, для которого у У z у х).В самом
деле, если множество всех элементов, больших х, не пусто, то в нем
есть минимальный элемент у, который и будет искомым. Такой элемент
логично обозначать х + 1, следующий за ним - х + 2 и т.д.
3. Некоторые элементы вполне упорядоченного множества могут не
иметь непосредственно предыдущего. Например, в множестве N A N есть
два элемента, не имеющие непосредственно предыдущего (наименьший
элемент, а также наименьший элемент второй копии натурального ря­
да). Такие элементы называют предельными.
4. Всякий элемент упорядоченного множества имеет вид z+n, где z предельный элемент, a n - натуральное число (обозначение z + n пони­
мается в описанном выше смысле). В самом деле, если z не предельный,
возьмем предыдущий, если и он не предельный, то - его предыдущий
и т.д., пока не дойдем до предельного (бесконечно продолжаться это не
может, так как множество вполне упорядочено). Очевидно, такое пред­
ставление однозначно (у элемента может быть только один непосред­
ственно предыдущий).
5. Любое ограниченное снизу множество элементов вполне упорядо­
ченного множества имеет точную верхнюю грань. (Как обычно, подмно­
жество X частично упорядоченного множества А называется ограничен­
ным, сверху, если оно имеет верхнюю границу, т.е. элемент а £ А, для
которого х <а при всех х £ X. Если среди всех верхних границ данно­
го подмножества есть наименьшая, то она называется точной верхней
гранью.)
Пусть А - произвольное вполне упорядоченное множество. Его наи­
меньший элемент обозначим через 0. Следующий за ним элемент обо­
значим через 1, следующий за 1 - через 2 и т.д. Если множество А
конечно, процесс этот оборвется. Если бесконечно, посмотрим, исчерпа­
ли ли мы все элементы множества А. Если нет, возьмем минимальный
элемент из оставшихся. Обозначим его w. Следующий за ним элемент
(если он есть) обозначим w + 1, затем w + 2 и т.д. Если и на этом мно­
жество не исчерпается, то возьмем наименьший элемент из оставшихся,
назовем его w • 2, и повторим всю процедуру. Затем будут w • 3, w • 4
и т.д. Если и на этом множество не кончится, минимальный из остав­
шихся элементов назовем w . Затем пойдут w + l,w + 2,... ,w + w,...,
w + w • 2,..., w • 2,..., w • 3,..., w ...
2
2
2
2
2
3
2
2
Определение 27. Если линейно упорядоченное множество А разбито
на две непересекающиеся части В и С, причем любой элемент В меньше
любого элемента С, то В называют начальным отрезком множества А.
Другими словами, подмножество В линейно упорядоченного множе­
ства А является начальным отрезком, если любой элемент В меньше
любого элемента А \ В. Еще одна переформулировка: В С А является
начальным отрезком, если из a, b £ А, b £ В к а <Ь следует, что а £ В.
Заметим, что начальный отрезок может быть пустым или совпадать со
всем множеством.
Отметим несколько простых свойств начальных отрезков.
1. Начальный отрезок вполне упорядоченного множества (как и лю­
бое подмножество) является вполне упорядоченным множеством.
2. Начальный отрезок начального отрезка есть начальный отрезок
исходного множества.
3. Объединение любого семейства начальных отрезков (в одном и том
же упорядоченном множестве) есть начальный отрезок того же множе­
ства.
4. Если х - произвольный элемент вполне упорядоченного множе­
ства А, то множества [0, х) (все элементы множества А, меньшие х) и
[О, х] (элементы множества А, меньшие или равные х) являются началь­
ными отрезками.
5. Всякий начальный отрезок / вполне упорядоченного множества А,
не совпадающий со всем множеством, имеет вид [0, а;) для некоторого
х £ А. В самом деле, если I ф А, возьмем наименьший элемент х в
множестве А \ I . Тогда все меньшие элементы принадлежат / , сам х
не принадлежит / и все большие элементы не принадлежат I , иначе
получилось бы противоречие с определением начального отрезка.
6. Любые два начальных отрезка вполне упорядоченного множества
сравнимы по включению, т.е. один есть подмножество другого. Это
свойство следует из предыдущего.
Задачи и упражнения
1. Доказать, что если R - полный порядок на множестве X и А С X,
то R Л А - полный порядок на А.
2. Доказать, что множество N X N является вполне упорядоченным.
2
Изоморфизмы
Определение 28. Два частично упорядоченных множества называ­
ются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, т.е. вза­
имно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.
Можно сказать и так: биекция / : А —> В называется изоморфизмом
частично упорядоченных множеств А и В, если
ai<a &
2
f(ai)
<
f{a )
2
для любых элементов а\,а G А (слева знак •< обозначает порядок в
множестве А, справа - в множестве В).
Очевидно, что отношение изоморфности рефлексивно (каждое мно­
жество изоморфно самому себе), симметрично (если X изоморфно Y,
то и наоборот) и транзитивно (два множества, изоморфные третьему,
изоморфны между собой). Таким образом, все частично упорядоченные
множества разбиваются на классы изоморфных, которые называются
порядковыми
типами.
2
Т е о р е м а 13. Конечные линейно упорядоченные
кового числа элементов
изоморфны.
множества
из одина­
•
Конечное линейно упорядоченное множество всегда имеет наимень­
ший элемент (возьмем любой элемент; если он не наименьший, возьмем
меньший, если и он не наименьший, еще меньший - и так далее; по­
лучим убывающую последовательность х у у у г У ..., которая рано
или поздно должна оборваться). Присвоим наименьшему элементу но­
мер 1. Из оставшихся снова выберем наименьший элемент и присвоим
ему номер 2 и так далее. Легко понять, что порядок между элемента­
ми соответствует порядку между номерами, т.е. что наше множество
изоморфно множеству { 1 , 2,... п}. Ш
Определение 29. Взаимно однозначное отображение частично упоря­
доченного множества А в себя, являющееся изоморфизмом, называется
автоморфизмом частично упорядоченного множества А.
Тождественное отображение всегда является автоморфизмом, но для
некоторых множеств существуют и другие автоморфизмы. Например,
отображение прибавления единицы (х >->• х + 1) является автоморфиз­
мом частично упорядоченного множества Z целых чисел (с естествен-
ным порядком). Для множества натуральных чисел та же формула не
дает автоморфизма (нет взаимной однозначности).
Вот несколько примеров не изоморфных линейно упорядоченных мно­
жеств.
Отрезок [0,1] (с обычным отношением порядка) не изоморфен мно­
жеству R, так как у первого есть наибольший элемент, а у второго нет.
(При изоморфизме наибольший элемент, естественно, должен соответ­
ствовать наибольшему.)
Множество Z (целые числа с обычным порядком) не изоморфно мно­
жеству Q (рациональные числа). В самом деле, пусть / : Z —> Q явля­
ется изоморфизмом. Возьмем два соседних целых числа, скажем, 2 и 3.
При изоморфизме / им должны соответствовать какие-то два рацио­
нальных числа / ( 2 ) и / ( 3 ) , причем / ( 2 ) < / ( 3 ) , так как 2 < 3. Но тогда
рациональным числам между / ( 2 ) и / ( 3 ) должны соответствовать це­
лые числа между 2 и 3, которых нет.
Более сложный пример - множества Z и Z A Z . Возьмем в Z A Z две
копии нуля (из той и другой компоненты) и обозначим их 0 и 0. При
этом 0 ^ 6 . При изоморфизме им должны соответствовать два целых
числа а и Ь, для которых а < Ь. Тогда всем элементам между 0 и 0 (их
бесконечно много: 1,2,3,..., —3, —2, —1) должны соответствовать числа
между а и Ь - но их лишь конечное число.
0
1
х
2
х
i
Рис. 6
Отображение х i-> \/2 х осуществляет изоморфизм между интервала­
ми (0,1) и (0, \/2). Но уже не так просто построить изоморфизм между
множествами рациональных точек этих интервалов (т.е. между Qn(0,1)
и Q П (0, у/2)), поскольку умножение на \Р1 переводит рациональные
числа в иррациональные. Тем не менее изоморфизм построить можно.
Для этого надо взять возрастающие последовательности рациональных
чисел 0 < х\ < Х2 < ... и 0 < у\ < у? < ..., сходящиеся соответственно к
1 и %/2, и построить кусочно-линейную функцию / , которая переводит
Xi в j/i и линейна на каждом из отрезков [xi, Xi i]
(рис. 6). Легко понять,
что она будет искомым изоморфизмом.
+
Задачи и упражнения
1. Доказать, что множество всех натуральных делителей числа 30 с
отношением "быть делителем" в качестве отношения порядка изоморф­
но множеству всех подмножеств множества {а, Ь, с}, упорядоченному по
включению.
2. Будем рассматривать последовательности натуральных чисел, у
которых все члены, кроме конечного числа, равны 1. На множестве та­
ких последовательностей введем покомпонентный порядок:
(ai,a ,...) Ч
2
(61,62,...).,
если a.j < b( при всех г. Доказать, что это множество изоморфно мно­
жеству всех натуральных чисел с отношением "быть делителем" в ка­
честве порядка.
3. Показать, что не существует автоморфизма упорядоченного мно­
жества N натуральных чисел, отличного от тождественного.
4. Пусть Р(А) - множество всех подмножеств некоторого fc-элементного множества А, частично упорядоченное по включению. Найти чис­
ло автоморфизмов этого множества.
5. Доказать, что линейно упорядоченные множества ZAN и ZAZ не
изоморфны. Будут ли изоморфны линейно упорядоченные множества
N A Z и ZAZ, Q A Z и QAN?
6. Показать, что множество рациональных чисел интервала (0,1) и
множество Q изоморфны.
Мощность множества
Понятие о мощности множества
Определение 1. Множество X назовем равномощным множеству У
(символически: X ~ У), если существует биективное отображение X
в множество У.
Л е м м а 5. Отношение равномощности
нием
эквивалентности.
множеств
является
отноше­
•
Для доказательства рефлексивности достаточно отметить, что еди­
ничное отображение е : X —> X является биекцией. Симметричность
вытекает из того, что если / : X —• У является биекцией, то /
: У —• X
- тоже биекция. Транзитивность же следует из того факта, что если
f:X-+Y,g:Y—>Z
- биективные отображения, то их произведение
fg:X—>Z
также биективно.
•
Пример
Покажем, что любые два отрезка [а, Ь] и [с, d] вещественной оси, а
также любые два интервала (а, Ь) и (с, d) равномощны.
•
Для доказательства достаточно указать биективные отображения
[а, Ь] в [с, d] и (а, Ь) в (с, d). Рассмотрим отображение
_ 1
ая-» у == с + [(d - с)/(Ъ - а)}(х - а)
множества действительных чисел в себя и покажем, что его ограниче­
ние на подмножество [а, Ь] (и на (а, Ь)) является искомым отображением.
Непосредственно проверяется, что при этом отображении а ь-» с, Ь н> d.
Далее пусть # 1 к> j / i , Х 2 ь> у и i j < Ж2- Так как (d — с)/(Ь — а) > О,
то г/1 < г/2- Таким образом, если а < х < Ь (или а < х < Ь), то и
с < у < d (соответственно с < 2/ < d), т.е. имеем дело с отображе­
нием [а,Ь] в [с,d] ((а,6) в (с,d)), причем различные точки переходят
2
при этом в различные точки, т.е. отображение инъективно. Сюръективность данного отображения вытекает из того, что обратное отображение
х = а + [(b — а) / (d — с)](у — с) обладает теми же свойствами, и, следова­
тельно, для каждого у из [с, d] найдется один прообраз х из [а, Ь] (то же
для интервалов). Этим доказано, что [а,Ь] <~ [с,d] и (а,6) N (c,d).
Ш
Определение 2. Множество называется конечным, если оно равномощно множеству N„ = { 1 , . . . , п} натуральных чисел, не превосходящих
некоторого натурального числа п. Пустое множество тоже называется
конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконеч­
ным.
Другими словами, непустое множество А называется конечным, если
существует биективное отображение / множества N в А. Обозначив об­
разы элементов 1,... , п при этом отображении а%,... ,а соответственно,
т.е. положив / ( 1 ) = a\,...,f(n)
= а , снабдим все элементы множе­
ства А номерами от 1 до п, все номера от 1 до п будут использованы
и различные элементы из А будут иметь различные номера. В соответ­
ствии с этим непустое конечное множество А можно записать в виде
А = { а ... , а „ } .
n
п
п
ь
Из свойств симметричности и транзитивности отношения равномощности множеств вытекает, что множество, равномощное конечному (бес­
конечному) множеству, само будет конечным (бесконечным).
Т е о р е м а 14 (Основная т е о р е м а о конечных м н о ж е с т в а х ) .
Конечное множество не может быть равномощно никакому собствен­
ному подмножеству и никакому собственному
надмножеству.
•
Каждое из этих утверждений (о подмножестве и надмножестве)
следует из другого. Действительно, если А ~ В, то из конечности одно­
го из множеств А и В следует, как отмечалось выше, конечность дру­
гого. Поэтому если конечное множество А равномощно собственному
подмножеству В, то, в свою очередь, конечное множество В равномощ­
но собственному надмножеству А, и обратно.
Следовательно, достаточно доказать одно из этих утверждений, на­
пример, что конечное множество А не может быть равномощно соб­
ственному подмножеству В.
Для пустого множества А = 0 теорема верна, ибо пустое множество
вообще не имеет собственных подмножеств.
Пусть А ф 0. Тогда, по определению конечного множества, А равномощно некоторому множеству N = {1,... , п } . Теорему будем дока­
зывать индукцией по числу п.
Пусть п = 1. Тогда А ~ Nj = {1}, и, следовательно, А содержит
лишь один элемент. Единственным собственным подмножеством множе­
ства А является пустое множество. Однако не существует никакого (тем
более биективного) отображения непустого множества в пустое множе­
ство, и, следовательно, непустое множество не может быть равномощно
пустому множеству. Итак, для п — 1 теорема доказана.
n
Предположим, что теорема доказана для натурального числа п. До­
кажем ее для числа п + 1. Пусть А ~ N i — { 1 , . . . , n + 1}. Обозначим
элементы множества А так: а\,...,а \.
Если В - пустое множество,
то, как указано выше, теорема верна. Поэтому пусть В ф 0, / - би­
ективное отображение А в В, причем В - собственное подмножество
множества Л, и / ( o i ) = a £ В. Рассмотрим отображение множе­
ства А в себя, которое элемент а переводит в а х, a i - в а „ а все
остальные элементы множества А оставляет на месте, т.е.
n +
п+
n +
s
8
п+
д — ( i • • • «-1 «
\ ai...a _i a i
а
a
а
s
a
а
n+
а
s + i • • • п п+\ \
a \.. .a a
J
n +
s+
n
s
Ясно, что g биективное отображение А в себя. Тогда gf : А -> В
биекция, причем gf{a ) = f(a +i) = a , т.е. a - "неподвижная точка"
отображения gf. Рассмотрим множества А' = А \ {a } и В' = В \ {a }.
Очевидно, что ограничение отображения gf на А' - биективное ото­
бражение А' в В'. Кроме того, В' - собственное подмножество А', ибо в
противном случае множество A' U {а } — А совпадало бы с множеством
В' U { a } = В. Таким образом, множество А' равномощно собственному
подмножеству В'. Это противоречит предположению индукции, ибо
s
n
s
s
s
s
е
s
А' — { o i , . . . , a _ i , a„+i, a i,...,
s
а„_ь a„} ~ N .
s+
n
С л е д с т в и е 3. Непустое конечное множество равномощно
ному множеству N = {1,... , п } .
•
единствен­
n
Действительно, если бы непустое конечное множество было равномощно двум различным множествам N и N (пф т), то по свойствам
равномощности N ~ N (п ф тп). Это противоречит теореме 14, так
n
n
m
m
как оба множества конечны и одно из них является собственным под­
множеством другого.
Определение 3. Однозначно определенное для данного непустого ко­
нечного множества А натуральное число п, такое, что А ~ N , назы­
вается числом элементов множества А. Числом элементов пустого
множества называется число 0.
Из теоремы 14 вытекает, что множество N всех натуральных чисел
бесконечно. Действительно, предположим обратное, получим, что ко­
нечное множество N равномощно некоторому собственному подмноже­
ству N„.
Определение 4. Множество, равномощное множеству всех натураль­
ных чисел, называется счетным.
Другими словами, множество А называется счетным, если существу­
ет биективное отображение / множества N в А. Обозначив образы эле­
ментов 1,... , п , . . . при этом отображении через а\,..., а ,...
соответ­
ственно, т.е. положив / ( 1 ) = ail ••• i f( ) — п , • ••, снабдим все элементы
множества А натуральными номерами, все натуральные числа будут
использованы в качестве номеров и различные элементы из А будут
иметь различные номера. Таким образом, счетное множество А можно
записать в виде А — {а\,..., а ,... } .
Приведем несколько примеров счетных множеств. Множество нату­
ральных четных чисел счетно, ибо, как легко проверить, биекцией явля­
ется отображение п ь+ 2п множества N в множество натуральных чет­
ных чисел. Множество натуральных нечетных чисел также счетно, ибо
биективно отображение п н-> 2п — 1 множества N в множество нечетных
чисел. Счетным является и множество { 1 0 , . . . , 10™,... } степеней чис­
ла 10, ибо биективно отображение п И> 10" множества N в множество
степеней числа 10.
Покажем, что множество Z всех целых чисел счетно. Для этого рас­
положим все целые числа в последовательность 0, —1,1, —2,2, —3,3,...
и каждому целому числу поставим в соответствие его номер в этой по­
следовательности, т.е. рассмотрим отображение множества Z всех це­
лых чисел в множество N : г н f(z), где
n
п
n
а
п
, , v _ Г 2z + 1, если z > 0;
~ \ 2\z\,
если z < 0.
Несложно убедиться, что это отображение биективно.
Множество всех рациональных чисел также является счетным. Дей­
ствительно, любое рациональное число, отличное от 0, однозначно за­
писывается в виде несократимой дроби p/q, где q > 0 (т.е. знак относим
к числителю). Из возможных записей для
0 = 0/1 = 0/2 = ...
выберем одну, например 0 / 1 . Тогда любое рациональное число одно­
значно запишется в указанном виде p/q. Высотой числа p/q назовем
натуральное число |р| - f д. Расположим все рациональные числа в по­
следовательность в порядке возрастания высоты, т.е. сначала выпишем
числа высоты 1, затем числа высоты 2 и т.д., причем числа с одинаковой
высотой расположим в порядке возрастания числителя. Таким образом,
получим последовательность
0, - 1 , + 1 , - 2 , - \ , + \ , +2, - 3 , - - ; + ! , +3, - 4 ,
3
2
1 1 2
3
~ 2'~3'~4' 4' 3' 2'
'"•
Так как чисел данной высоты п лишь конечное число, то перед каж­
дым данным числом в этой последовательности стоит лишь конечное
число чисел. Поэтому, пронумеровав члены последовательности нату­
ральными числами, действительно занумеруем все рациональные числа,
причем различные числа будут занумерованы различными номерами и
все натуральные числа будут использованы в качестве номеров. Это и
доказывает, что множество всех рациональных чисел равномощно мно­
жеству N.
+
+
+
+
Существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. На­
пример, несчетным является множество всех счетных последовательно­
стей натуральных чисел, т.е. множество всех последовательностей вида
m i , m , . . . , где гп{ - натуральные числа.
Действительно, это множество не конечно, ибо оно равномощно соб­
ственному подмножеству, состоящему из всех последовательностей с
четными координатами в силу биективности отображения
2
(mi, m , . . . ) н> ( 2 т
2
ь
2m ,...)
2
рассматриваемого множества в множество всех последовательностей с
четными натуральными координатами. Далее, если бы это множество
было счетным, то все последовательности можно было занумеровать с
помощью всех натуральных чисел. Обозначим последовательность, со­
ответствующую номеру г, так: тц,та,...
Тогда все последовательно­
сти можно расположить следующим образом:
ТПЦ, "112,
гпи,
77121, 777.22,
™ 2 3 , •••
тщ,
m
nl>
m , т
3 2
m
n2t
m
3 3
n3i
...
, ...
•••
Рассмотрим последовательность тц+1,77122+1,77133+1,... Она долж­
на иметь некоторый номер j . Тогда тттд — 777ц + 1, 7 7 i j = т
+ 1,
777j3 = 77733 + 1,... В частности, mjj = rrijj + 1, что, однако, противо­
речиво.
Это доказательство принадлежит Г. Кантору и носит название "диа­
гональной конструкции Кантора".
Возникает вопрос, счетно ли множество всех действительных чисел?
Можно доказать, что оно не счетно. Д л я этого достаточно показать
несчетность интервала (0,1), ибо множество всех действительных чисел
равномощно этому интервалу в силу биективности отображения
2
1
2
2
1
г/ ч = - arctgz-b f{x)
7Г
Z
множества К всех действительных чисел в интервал (0,1).
Каждое число этого интервала можно записать в виде бесконечной
десятичной дроби 0 , 0 1 0 2 0 3 . . . Способ доказательства несчетности мно­
жества таких дробей аналогичен примененному при доказательстве не­
счетности множества счетных последовательностей натурального ряда.
Отсюда сразу же вытекает, что множество всех действительных чисел
не может быть счетно.
Определение 5. Множество, равномощное множеству R всех действи­
тельных чисел, называется континуальным,
и говорят, что множество
имеет мощность континуума.
Множество точек интервала (—7г/2,7г/2) имеет мощность контину­
ума в силу биективности отображения х н> arctga; множества R всех
действительных чисел в интервал (—тг/2,7г/2).
Задачи и упражнения
1. Доказать методом математической индукции по п, что каждое
подмножество конечного множества А = {ai,... ,а } само конечно.
2. Доказать, что число элементов конечного множества А больше
числа элементов его собственного подмножества В.
3. Показать, что множество N U { 0 } , т.е. множество 0,1,2,..., счетно.
4. Доказать, что любые две окружности и два круга на плоскости
равномощны.
5. Пусть А - счетное множество точек на действительной прямой.
Можно ли выбрать а так, чтобы
п
{х + а | х 6 А} П А = 0?
Свойства конечных и бесконечных множеств
Т е о р е м а 15. 1. Подмножество счетного множества конечно или
счетно.
2. Всякое бесконечное множество содержит счетное
подмноже­
ство.
3. Объединение конечного или счетного числа конечных или счет­
ных множеств конечно или счетно.
•
1. Пусть В - подмножество счетного множества А — {ai,a ,
•••}•
Выбросим из последовательности 0 1 , 0 2 , . . . те члены, которые не при­
надлежат В (сохраняя порядок оставшихся). Тогда оставшиеся члены
образуют либо конечную последовательность (и тогда В конечно), либо
бесконечную (и тогда В счетно).
2. Пусть А бесконечно. Тогда оно непусто и содержит некоторый
элемент Ь\. Будучи бесконечным, множество А не исчерпывается эле­
ментом Ь\ - возьмем какой-нибудь другой элемент Ь и т.д. Получится
последовательность 61,621 •••; построение не прервется ни на каком ша­
ге, поскольку А бесконечно. Теперь множество В = {61,62,...} и будет
искомым счетным подмножеством. Заметим, что В вовсе не обязано
совпадать с А, даже если А счетно.
2
2
3. Пусть имеется счетное число счетных множеств А\,А ,...
Распо­
ложив элементы каждого из них слева направо в последовательность
2
(Ai — {ац,а{2,...})
и поместив эти последовательности друг под дру­
гом, получим таблицу
ап «12 «13 •••
021
«22
«23
«31
«32
«33 •••
•••
Теперь эту таблицу можно развернуть в последовательность, например,
проходя по очереди диагонали:
«11, «12, «21, «13, «22, «31, •••
Если множества Ai не пересекались, то мы получили искомое представ­
ление для их объединения. Если пересекались, то из построенной после­
довательности надо выбросить повторения.
Если множеств конечное число или какие-то из множеств конечны,
то в этой конструкции части членов не будет - останется либо конечное,
либо счетное множество.
•
Замечание. В доказательстве утверждения 2 теоремы 15 есть тон­
кий момент: на каждом шаге мы должны выбирать один из оставшихся
элементов множества А; такие элементы есть, но у нас нет никакого
правила, позволяющего такой выбор описать. При более формальном
построении теории множеств тут нужно сослаться на специальную акси­
ому, называемую аксиомой выбора. Законность этой аксиомы вызывала
большие споры в начале прошлого века, но постепенно к ней привыкли,
и эти споры сейчас почти не воспринимаются. В середине прошлого века
великий логик Курт Гедель доказал, что аксиому выбора нельзя опро­
вергнуть, пользуясь остальными аксиомами теории множеств, а в 1960-е
годы американский математик Пол Д ж . Коэн доказал, что ее нельзя и
вывести из остальных аксиом.
Приведем еще несколько примеров счетных множеств.
Как уже было доказано выше, множество Q рациональных чисел
счетно. Счетность множества Q можно доказать и на основании теоре­
мы 15. В самом деле, рациональные числа представляются несократи­
мыми дробями с целыми числителем и знаменателем. Множество дро­
бей с данным знаменателем счетно, и поэтому Q представимо в виде
объединения счетного числа счетных множеств.
Множество Z , элементами которого являются наборы из к целых
чисел, счетно. Это легко доказать индукцией по к. При к — 2 множеfc
2
ство Z — Z х Z пар натуральных чисел разбивается на счетное число
счетных множеств ..., {—1} x Z , {0} x Z , {1} x Z , . . . (элементами г-ro мно­
жества будут пары, первый член которых равен г). Поэтому Z счетно.
Аналогичным образом множество Z троек целых чисел разбивается на
счетное число множеств {г} х Z х Z. Каждое из них состоит из троек,
первый член которых фиксирован, и поэтому равномощно множеству
Z , которое счетно. Точно так же можно перейти от счетности множе­
ства Z*" к счетности множества Z * .
2
3
2
+ 1
Множество периодических дробей счетно. В самом деле, такая дробь
может быть записана как конечная последовательность символов из ко­
нечного множества (запятая, цифры, скобки); например, дробь 0,16666...
можно записать как 0,1(6). А таких последовательностей счетное мно­
жество.
Число называют алгебраическим, если оно является корнем ненуле­
вого многочлена с целыми коэффициентами. Множество всех алгебра­
ических чисел счетно, так как многочленов счетное число (многочлен
задается конечной последовательностью целых чисел - его коэффици­
ентов), а каждый многочлен имеет конечное число корней (не более п
для многочленов степени п).
Из этого факта следует, что несчетное множество К действительных
чисел не может совпадать со счетным множеством алгебраических чи­
сел и поэтому существует действительное число, не являющееся алге­
браическим (не являющееся корнем никакого ненулевого многочлена с
целочисленными коэффициентами). Такие числа называют трансцен­
дентными.
К моменту создания Кантором теории множеств уже было извест­
но, что такие числа существуют. Первый пример такого числа построил
в 1844 году французский математик Ж . Лиувилль. Доказательство те­
оремы Лиувилля не очень сложно, но все-таки требует некоторых оце­
нок погрешности приближения; на его фоне доказательство Кантора,
опубликованное им в 1874 году, выглядит чистой воды фокусом. Эта
публикация была первой работой по теории множеств; в ее первом па­
раграфе доказывается счетность множества алгебраических чисел, а во
втором - несчетность множества действительных чисел.
Т е о р е м а 16. Если множество А бесконечно, а множество
или счетно, то объединение A U В равномощно А.
В конечно
•
Можно считать, что В не пересекается с А (пересечение можно вы­
бросить из В, останется по-прежнему конечное или счетное множество).
Выделим в А счетное подмножество Р; остаток обозначим через Q.
Тогда нам надо доказать, что В U Р U Q равномощно Р U Q. Поскольку
В U Р и Р счетны, между ними существует взаимно однозначное соот­
ветствие. Его легко продолжить до соответствия между В U Р U Q и
Р U Q (каждый элемент множества Q соответствует сам себе).
•
Пример
Покажем, что отрезок [0,1] и интервал (0,1) равномощны.
•
Интервал (0,1) = А - бесконечное множество, множество { 0 , 1 } = В
конечно. Тогда на основании теоремы 16 множество A U В = [0,1] рав­
номощно А = (0,1).
•
Добавляя конечные или счетные множества, легко понять, что пря­
мая, все промежутки на прямой (отрезки, интервалы, полуинтервалы),
лучи, их конечные или счетные объединения равномощны друг другу.
Т е о р е м а 17. Любое бесконечное множество
рому собственному
подмножеству.
А равномощно
некото­
•
Действительно, по утверждению 2 теоремы 15 в А есть счетное
подмножество В = {а\,..., а ,... } . Обозначим С = А \ В и рассмотрим
отображение множества А в себя, определенное следующим образом:
f{a ) = а \, для п = 1,2,...; / ( с ) = с для всех с £ С. Легко про­
верить, что / - биективное отображение множества А на собственное
подмножество А \ {ai}.
Ш
Только что доказанная теорема говорит о том, что свойство конечно­
го множества не иметь равномощного собственного подмножества для
бесконечных множеств никогда не выполняется. Следовательно, можно
дать другое определение понятий конечного и бесконечного множеств,
не опирающееся на свойства натурального ряда.
Определение 6. Множество, не имеющее равномощного с ним соб­
ственного подмножества, а также пустое множество называются конеч­
ными. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
п
n
п+
Т е о р е м а 18. Отрезок [0,1] равномощен множеству
последовательностей
из нулей и единиц.
всех
бесконечных
•
В самом деле, каждое число х £ [0,1] записывается в виде беско­
нечной двоичной дроби. Первый знак этой дроби равен 0 или 1 в за-
висимости от того, попадает ли число х в левую или правую половину
отрезка. Чтобы определить следующий знак, надо выбранную половину
поделить снова пополам и посмотреть куда попадет х и т.д.
Это же соответствие можно описать и в другую сторону: последова­
тельности XQX\X2--соответствует число, являющееся суммой следую­
щего ряда
XQ
xi ,522,
2
4
8
Описанное соответствие пока что не совсем взаимно однозначное:
дроби вида т/2™ имеют два представления. Например, число 3/8 мож­
но записать как в виде 0,011000..., так и в виде 0,010111... Соответ­
ствие станет взаимно однозначным, если отбросить дроби с единицей в
периоде. Но таких дробей счетное число, поэтому на мощность это не
повлияет.
•
Теперь все готово для доказательства такого удивительного факта.
Теорема 19. Квадрат (со внутренностью)
равномощен
отрезку.
•
Квадрат равномощен множеству [0,1] х [0,1] пар действительных
чисел, каждое из которых лежит на отрезке [0,1]. По теореме 18 вме­
сто чисел на отрезке можно говорить о последовательностях нулей и
единиц. Осталось заметить, что паре последовательностей нулей и еди­
ниц (XQXIX2-..
, j/oJ/i?/2-••) можно поставить в соответствие последователь­
ность-смесь ХъУйХ\у\Х2у ...
и что это соответствие будет взаимно одно­
значным.
•
2
Этот результат был получен в 1877 году немецким математиком Ге­
оргом Кантором и удивил его самого, поскольку противоречил интуи­
тивному опгущению "размерности" (квадрат двумерен, поэтому вроде
бы должен содержать больше точек, чем одномерный отрезок).
Из теоремы 19 легко получить много других утверждений про равномощность геометрических объектов: круг равномощен окружности,
прямая равномощна плоскости и т.п.
Можно также заметить, что пространство (точки которого задаются
тремя координатами (х, у, г)) равномощно плоскости (надо закодиро­
вать пару {х, у) одним числом) и, следовательно, прямой. То же самое
верно и для пространств большей размерности.
Задачи и упражнения
1. Доказать, что любое множество непересекающихся восьмерок на
плоскости конечно или счетно. (Восьмерка объединение двух касаю­
щихся окружностей любых размеров.)
2. Доказать, что множество точек строгого локального максимума
любой функции действительного аргумента конечно или счетно.
3. Доказать, что множество точек разрыва неубывающей функции
действительного аргумента конечно или счетно.
4. Теорема 16 показывает, что добавление счетного множества к бес­
конечному не меняет его мощности. Можно ли сказать то же самое про
удаление? Доказать, что если А бесконечно и не является счетным, а В
конечно или счетно, то А \ В равномощно В.
5. Указать взаимно однозначное соответствие между множеством
[0,1] U [2,3] U [4,5] U ... и отрезком [0,1].
6. Доказать, что множество всех прямых на плоскости равномощ­
но множеству всех точек на плоскости. (Указание: и точки и прямые
задаются парами чисел - за небольшим исключением.)
7. Доказать, что полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну
сторону от некоторой прямой) равномощна плоскости. (Это верно неза­
висимо от того, включаем мы граничную прямую в полуплоскость или
нет.)
8. Доказать, что множество всех конечных последовательностей дей­
ствительных чисел равномощно множеству всех действительных чи­
сел R.
9. Доказать, что множество всех бесконечных последовательностей
действительных чисел равномощно множеству всех действительных чи­
сел R.
10. Доказать, что:
а) всякое подмножество конечного множества конечно;
б) объединение конечного числа конечных множеств конечно;
в) декартово произведение конечного числа конечных множеств ко­
нечно.
11. Какова мощность множества иррациональных чисел?
Теорема Кантора-Бернштейна
Определение равномощности уточняет интуитивную идею о множе­
ствах "одинакового размера". А как формально определить, когда одно
множество "больше" другого?
Говорят, что множество А по мощности не больше множества
В,
если оно равномощно некоторому подмножеству множества В (возмож­
но, самому В).
Отношение "иметь не большую мощность" обладает следующими
свойствами.
1. Если А и В равномощны, то А имеет не большую мощность, чем В.
Это свойство очевидно.
2. Если А имеет не большую мощность, чем В, в, В имеет не боль­
шую мощность, чем С, то А имеет не большую мощность, чем С. Дей­
ствительно, пусть А находится во взаимно однозначном соответствии с
В' С В, а, В находится во взаимно однозначном соответствии с С С С.
Тогда при втором соответствии В' соответствует некоторому множеству
С" С С С С , и потому А равномощно С".
3. Если А имеет не большую мощность, чем В, а, В имеет не большую
мощность, чем А, то они равномощны. Это вовсе не очевидное утвер­
ждение составляет содержание теоремы Кантора-Бернштейна, которая
сейчас будет доказана.
4. Для любых двух множеств А и В верно хотя бы одно из двух:
либо А имеет не большую мощность, чем В, либо В имеет не большую
мощность, чем А.
Теорема 20 ( К а н т о р а - Б е р н ш т е й н а ) . Если множество А равномощно некоторому подмножеству множества В, а В равномощно
некоторому подмножеству множества А, то множества А и В рав­
номощны.
•
Пусть А равномощно подмножеству В\ множества В, а В равномощно подмножеству А\ множества А. При взаимно однозначном соот­
ветствии между В и А\ подмножество В\ С В переходит в некоторое
подмножество А С А\. При этом все три множества А, В\ и А равномощны, и нужно доказать, что они равномощны множеству В , или, что
то же самое, А\.
2
2
Теперь можно забыть про множество В и его подмножество В\ и
доказать такой факт: если А С А\ С А и А равномощно А, то все три
множества равномощны.
Пусть / : А —• А2 есть взаимно однозначное соответствие между мно­
жеством А и его подмножеством А , а А\ - некоторое промежуточное
множество. Назовем множество X С А "хорошим", если оно содержит
А \ А\ и замкнуто относительно / , т.е.
2
2
2
(A\A )uf(X)CX.
1
Легко проверить, что пересечение любого семейства хороших множеств
хорошее, поэтому если мы пересечем все хорошие множества, то полу­
чим минимальное по включению хорошее множество. Назовем его М.
Легко проверить, что множество (А \ A i ) U f{X) будет хорошим, по­
этому в силу минимальности М включение в определении хорошего
множества превращается в равенство:
М=
(A\Ai)u/(M).
Теперь все готово для построения биекции д : А —> А\. Эта биекция
совпадает с / внутри М и тождественна вне М. Ш
Теорема Кантора - Бернштейна значительно упрощает доказатель­
ства равномощности; например, если мы хотим доказать, что бублик и
шар в пространстве равномощны, то достаточно заметить, что из бу­
блика можно вырезать маленький шар (гомотетичный большому), а из
шара - маленький бублик.
Если А равномощно некоторой части В, но В не равномощно никакой
части А, то говорят, что А имеет меньшую мощность, чем В.
Заметим, что мы уже долго говорим о сравнении мощностей, но воз­
держиваемся от упоминания "мощности множества" как самостоятель­
ного объекта, а только сравниваем мощности разных множеств. В прин­
ципе можно было бы определить мощность множества А как класс всех
множеств, равномощных А. Такие классы для множеств А и В совпада­
ют в том и только том случае, когда А и В равномощны, так что слова
"имеют равную мощность" приобрели бы буквальный смысл. Проблема
тут в том, что таких множеств (равномощных множеству А) слишком
много, поскольку все на свете может быть их элементами. Их настоль­
ко много, что образовать из них множество затруднительно, это может
привести к парадоксам.
Из этой ситуации есть несколько выходов. Самый простой по-преж­
нему говорить только о сравнении мощностей, но не о самих мощностях.
Можно также ввести понятие "класс" - такой большой совокупности
объектов, что ее уже нельзя считать элементом других совокупностей и
считать мощностью множества А класс всех множеств, равномощных А.
Еще один выход - для каждого А выбрать некоторое "стандартное"
множество, равномощное А, и назвать его мощностью множества А. Но
этот подход уже требует более формального (аксиоматического) постро­
ения теории множеств.
Кантор говорил о мощностях так: "Мощностью или кардинальным
числом множества М мы называем то общее понятие, которое полу­
чается при помощи нашей активной мыслительной способности из М,
когда абстрагируемся от качества его различных элементов т и от по­
рядка их задания. Так как из каждого отдельного элемента т, когда мы
отвлекаемся от качества, получается некая "единица", то само карди­
нальное число оказывается множеством, образованным исключительно
из единиц, которое существует как интеллектуальный образ или как
проекция заданного множества М в наш разум".
Т е о р е м а 21 ( К а н т о р а ) . Никакое множество X не равномощно
жеству всех своих
подмножеств.
мно­
•
Пусть / взаимно однозначное соответствие между X и множе­
ством Р(Х) всех подмножеств множества X. Рассмотрим те элементы
х £ X, которые не принадлежат соответствующему им подмножеству.
Пусть Z - образованное ими множество:
Z={xEX\x£f(x)}.
Докажем, что подмножество Z не соответствует никакому элементу
множества X. Пусть это не так и Z = f(z) для некоторого элемента
z Е X. Тогда
z £ Z
z £ f(z)
z £ Z
(первое - по построению множества Z, второе - по предположению
f(z) = Z). Полученное противоречие показывает, что Z действительно
ничему не соответствует, так что / не взаимно однозначно.
•
С другой стороны, любое множество X равномощно некоторой ча­
сти множества Р{Х). В самом деле, каждому элементу х Е X можно
поставить в соответствие одноэлементное подмножество {х}. Поэтому
можно сказать, что мощность множества X всегда меньше мощности
множества Р(Х).
В действительности мы уже приблизились к опасной границе, когда
наглядные представления о множествах приводят к противоречию. В
самом деле, рассмотрим множество всех множеств U, элементами ко­
торого являются все множества. Тогда, в частности, все подмножества
множества U будут его элементами, и P(U) С U, что невозможно по
теореме Кантора.
Это рассуждение можно развернуть, вспомнив доказательство тео­
ремы Кантора, - получится так называемый парадокс Рассела. Вот как
его обычно излагают.
Типичные множества не являются своими элементами. Скажем мно­
жество натуральных чисел N само не является натуральным числом
и поэтому не будет своим элементом. Однако в принципе можно себе
представить и множество, которое является своим элементом (напри­
мер, множество всех множеств). Назовем такие множества "необычны­
ми". Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Будет ли
оно обычным? Если оно обычное, то является своим элементом и потому
необычное, и наоборот. Как же так?
Модифицированная версия этого парадокса такова: будем называть
прилагательное самоприменимым, если оно обладает описываемым свой­
ством. Например, прилагательное "русский" самоирименимо, а при­
лагательное "глиняный" нет. Другой пример: прилагательное "трех­
сложный" самоприменимо, а прилагательное "двусложный" нет. Те­
перь вопрос: будет ли прилагательное "несамоприменимый" самопри­
менимым? (Любой ответ очевидно приводит к противоречию.)
Отсюда недалеко и до широко известного "парадокса лжеца", гово­
рящего "я лгу", или до истории о брадобрее, который должен был брить
всех тех, кто не бреется сам.
Возвращаясь к теории множеств, нужно дать себе отчет в том, что
плохого было в рассуждениях, приведших к парадоксу Рассела. Вопрос
этот далеко не простой, и его обсуждение активно шло всю первую
половину 20-го века. Итоги этого обсуждения приблизительно можно
сформулировать так.
1. Понятие множества не является непосредственно очевидным; раз­
ные люди (и научные традиции) могут понимать его по-разному.
2. Множества - слишком абстрактные объекты для того, чтобы во­
прос "а что на самом деле?" имел смысл. Например, в работе Канто­
ра 1878 года была сформулирована континуум-гипотеза:
всякое под­
множество отрезка либо конечно, либо счетно, либо равномощно всему
отрезку. (Другими словами, между счетными множествами и множе­
ствами мощности континуум нет промежуточных мощностей.) Кантор
написал, что это может быть доказано "с помощью некоторого метода
индукции, в изложение которого мы не будем входить здесь подробнее",
но на самом деле доказать это ему не удалось. Более того, постепенно
стапо ясно, что утверждение континуум-гипотезы можно считать ис­
тинным или ложным, при этом получаются разные теории множеств,
но в общем-то ни одна из этих теорий не лучше другой.
Тут есть некоторая аналогия с неевклидовой геометрией. Мы можем
считать "пятый постулат Евклида" (через данную точку проходит не
более одной прямой, параллельной данной) истинным. Тогда получится
геометрия, называемая евклидовой. А можно принять в качестве ак­
сиомы противоположное утверждение: через некоторую точку можно
провести две различные прямые, параллельные некоторой прямой. То­
гда получится неевклидова геометрия.
Вопрос о том, евклидова или неевклидова геометрия правильна "на
самом деле", если вообще имеет смысл, не является математическим скорее об этом следует спрашивать физиков. К теории множеств это
относится в еще большей степени (Кантор неоднократно обсуждал во­
просы теории множеств с профессионалами-теологами).
3. Если мы хотим рассуждать о множествах, не впадая в противо­
речия, нужно проявлять осторожность и избегать определенных видов
рассуждений. Безопасные (по крайней мере пока не приведшие к про­
тиворечию) правила обращения со множествами сформулированы в ак­
сиоматической теории множеств (формальная теория ZF, названная в
честь Цермело и Френкеля). Добавив к этой теории аксиому выбора, по­
лучаем теорию, называемую ZFC (англ. choice - выбор). Есть и другие,
менее популярные, теории.
Приведем неформальное описание ограничений, накладываемых во
избежание противоречий: нельзя просто так рассмотреть множество
всех множеств или множество всех множеств, не являющихся свои­
ми элементами, поскольку класс потенциальных претендентов слишком
"необозрим". Множества можно строить лишь постепенно. Например,
можно образовать множество всех подмножеств данного множества (ак­
сиома степени). Можно рассмотреть подмножество данного множества,
образованное элементами с каким-то свойством (аксиома выделения).
Можно рассмотреть множество всех элементов, входящих хотя бы в
один из элементов данного множества (аксиома суммы). Есть и дру­
гие аксиомы.
Задачи и упражнения
1. Доказать, что все геометрические фигуры, содержащие хотя бы
кусочек прямой или кривой, равномощны.
2. Доказать, что если квадрат разбит на два множества, то хотя
бы одно из них равномощно квадрату. (Указание. Если одна из ча­
стей содержит отрезок, то можно воспользоваться теоремой КантораБернштейна. Если, скажем, первая часть не содержит отрезков, то в
каждом горизонтальном сечении квадрата есть точка второй части, и
снова можно сослаться на теорему Кантора-Бернштейна.)
3. Доказать, что если отрезок разбит на две части, то хотя бы одна
из них равномощна отрезку.
4. Доказать, что счетное множество имеет меньшую мощность, чем
любое несчетное.
5. Доказать, что если А имеет меньшую мощность, чем В, а В име­
ет меньшую мощность, чем С, то А имеет меньшую мощность, чем С
(транзитивность сравнения мощностей).
6. Доказать, что для всякого несчетного множества Л С К можно
указать точку а. любая окрестность которой пересекается с А по несчет­
ному множеству. (Утверждение остается верным, если слова "несчетное
множество" заменить на "множество мощности континуума".)
7. Доказать, что любое непустое замкнутое множество А С К без
изолированных точек имеет мощность континуума.
8. Доказать, что любое замкнутое множество Л С К либо конечно,
либо счетно, либо имеет мощность континуума. (Указание. Рассмотреть
множество В С А, состоящее из тех точек множества Л, в любой окрест­
ности которых несчетно много других точек из Л. Если В пусто, то Л
конечно или счетно. Если В непусто, то оно замкнуто и не имеет изо­
лированных точек.)
9. Из плоскости выбросили произвольное счетное множество точек.
Доказать, что оставшаяся часть плоскости линейно связна и, более того,
что любые две невыброшенные точки можно соединить двухзвенной
ломаной, не задевающей выброшенных точек.
10. Доказать, что п < 2" для всех п — 0,1,2,...
Аксиома выбора
Мы упоминали уже несколько раз об аксиоме выбора. Эта аксиома,
высказанная Цермело в начале прошлого столетия, формулируется так:
Для любого семейства R попарно непересекающихся непустых мно­
жеств Z существует по меньшей мере одно множество N, содержа­
щее по одному и только одному элементу из каждого множества Z
семейства R.
Чтобы лучше понять трудности, связанные с принятием этой аксио­
мы, рассмотрим один пример. Пусть будут даны три непустые попарно
непересекающиеся множества Z\, Z , Z . Поскольку множество Z\ непу­
сто, мы можем из него выбрать какой-либо элемент а\. Аналогично мож­
но выбрать элемент а из множества Z и элемент аз из множества Z .
Множество N, образованное из элементов сц, а и аз, будет, очевидно,
как раз тем, о котором говорится в аксиоме выбора.
2
2
3
2
3
2
Вопрос кажется настолько простым, что можно было бы лишь по­
разиться, что он способен вызывать какие-то сомнения, если не гово­
рить о том обстоятельстве, что мы не определили, что значит выбор
какого-либо элемента из данного непустого множества. Выбрать какойто элемент - значит ли это определить этот элемент так, чтобы не было
сомнения, что все имеют в виду один и тот же элемент?
Допустим теперь, что вместо трех множеств Z\, Z и Z мы имеем бес­
конечную последовательность Zi,Z ,Zi,...,Z ,...
непустых и попарно
непересекающихся множеств. Как тогда получить множество N, содер­
жащее по одному и только одному элементу из каждого множества Z
(п = 1,2,...)? Можно ли в этом случае сказать: выберем элемент а\ из
множества Z\, затем элемент а из множества Z и так далее, а мно­
жество N, образованное из бесконечной последовательности элементов
ai, 0 2 , а з , . . . , будет тем, о котором говорится в аксиоме выбора? Имеется
ли возможность повторения выбора бесконечное число раз? Не потре2
2
3
n
n
2
2
буется ли для этого бесконечно долгое время? Некоторые математики
отвечают на это, что поскольку выбор возможен для каждого отдель­
ного множества Z , то он возможен также одновременно для всех мно­
жеств Z (где п — 1,2,...), так как выбор, как любая математическая
операция, должен рассматриваться как независимый от времени.
n
n
В отношении какой-либо аксиомы, не противоречащей нашей интуи­
ции и не вступающей в противоречие с другими принятыми уже аксио­
мами, можно занять две позиции: мы можем эту аксиому принять или
отвергнуть.
Что касается аксиомы выбора, то следует учесть еще следующие об­
стоятельства.
1. Многие следствия аксиомы выбора были доказаны без использо­
вания этой аксиомы.
2. Из аксиомы выбора выведено множество других следствий, ни од­
но из которых не привело к противоречию, а Гедель доказал, что акси­
ома выбора не противоречит другим общепринятым аксиомам теории
множеств (если сами эти аксиомы непротиворечивы).
3. При современном состоянии науки аксиома выбора необходима для
доказательства большого числа различных теорем теории множеств и
анализа и значительно упрощает многие разделы этих наук.
Многие важные следствия аксиомы выбора мы не умеем доказывать
без использования этой аксиомы. Вот один из примеров.
Если мы возьмем конечное множество и будем его элементы соеди­
нять каким-либо образом в пары, то или удастся все элементы соединить
в пары, или же останется один элемент без пары. Первый случай, оче­
видно, имеет место при четном числе элементов, второй - при нечетном.
Казалось бы, если взять бесконечное множество и объединять его
элементы в пары, то будет иметь место один и только один из двух слу­
чаев: как бы мы ни объединяли элементы нашего множества в пары или
все элементы удастся соединить в пары или же всегда будет оставаться
один элемент без пары.
Что так может и не быть, нас убеждает следующий пример. Рассмо­
трим множество натуральных чисел N. Если мы каждое нечетное число
объединим в пару с большим его на единицу четным числом, то очевид­
но, все элементы множества N будут объединены в пары. Однако если
мы каждое четное число объединим в пару с большим его на единицу
нечетным числом, то. очевидно, одно число, а именно 1, останется без
пары.
Таким образом, здесь может иметь место любой из рассматриваемых
двух случаев, в зависимости от способа объединения элементов множе­
ства в пары.
Возникает вопрос: будет ли так для любого бесконечного множества?
Как легко понять, для любого счетного множества это имеет место.
Но будет ли так для любого несчетного множества? Доказать это баз
использования аксиомы выбора не удается. Без помощи аксиомы выбора
мы не смогли бы доказать даже такое, казалось бы, почти очевидное
утверждение, что для любого множества имеет место по меньшей мере
одна из двух возможностей: или все элементы можно соединить в пары,
или же останется один элемент без пары. Заметим, что и вывод этого
утверждения из аксиомы выбора отнюдь не является простым делом.
В 1914 г. Стефан Мазуркевич доказал с помощью аксиомы выбора,
что существует множество точек на плоскости, такое, что любая
прямая на этой плоскости пересекает его точно в двух точках. Ни
одно такое множество мы не можем, однако, конкретно указать. Оче­
видно, на плоскости не имеется множества точек, которое любая прямая
на плоскости пересекала бы в одной и только одной точке. Не может
быть таковым множество, состоящее из одной единственной точки, так
как тогда на плоскости имелись бы прямые, не проходящие через эту
точку. Если же наше множество, кроме точки Pi, содержало бы еще
другую точку Р , то прямая, проходящая через Pi и Р , имела бы по
меньшей мере две разные точки (Pi и Р ) , общие с нашим множеством.
2
2
2
В то же время с помощью аксиомы выбора можно доказать, что для
любого натурального числа п > 1 существует на плоскости множество,
которое каждая прямая на плоскости пересекает точно в п точках.
Мы легко, без ссылки на аксиому выбора, можем указать множе­
ство точек на плоскости, которое каждая прямая на этой плоскости
пересекает в счетном количестве точек. Таковым является, например,
множество, образованное всеми концентрическими окружностями с на­
туральными радиусами.
Рассмотрим теперь все множества точек на прямой, не симметрич­
ные относительно некоторой точки О, выбранной на этой прямой. Разо­
бьем все эти множества на пары, зачисляя в одну пару два множества,
симметричные друг другу относительно точки О. Из аксиомы выбора
следует, что существует семейство множеств, которому принадлежит по
одному и только по одному множеству из каждой такой пары. Однако
мы не можем определить такое множество. Мы не сможем, следователь­
но, выбрать по одному множеству из каждой пары наших множеств.
Приведем еще одно интересное применение аксиомы выбора. Допу­
стим, что мы имеем дело с множествами точек на прямой, на плоскости
или в трехмерном пространстве. Мы знаем из элементарной геометрии,
что такое конгруэнтные (т.е. совпадающие при переносе, повороте или
симметричном отражении) геометрические фигуры (или вообще про­
извольные множества точек). Если каждое из двух наших множеств
А и В является объединением одного и того же конечного числа по­
парно непересекающихся множеств, например, А — А\ U A<i U ... U А ,
В — В\ U B<i U ... U В , где А\ конгруэнтно В\, А^ конгруэнтно Дг
и т.д., наконец, А конгруэнтно В , то говорят, что множества А и В
конгруэнтны при конечном разбиении.
т
т
т
т
В 1924 г. польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский вы­
вели из аксиомы выбора удивительное следствие, что любые два огра­
ниченных тела, хотя бы и разного объема (например, два куба разной
величины), конгруэнтны при конечном разбиении. Позднее было дока­
зано (тоже с помощью аксиомы выбора), что любой шар К является
объединением пяти непересекающихся множеств, из которых после со­
ответствующих переносов и поворотов мы получаем два непересекаю­
щихся шара, каждый из которых конгруэнтен шару К.
К сожалению, доказательство этого парадоксального утверждения
является так называемым чистым доказательством существования (осно­
ванным на аксиоме выбора) и не дает возможности практического по­
лучения из одного шара двух шаров такого же объема.
Заметим, что Банах и Тарский доказали, что для круга подобный
парадокс не имеет места. В то же время мы не знаем, конгруэнтен ли
круг при конечном разбиении квадрату с той же площадью. В этом
смысле проблема "квадратуры круга" еще не решена.
С помощью аксиомы выбора Цермело доказал, что любое множество
может быть вполне упорядоченным. Теорема Цермело, однако, также
является чистой теоремой существования, из нее нельзя извлечь ника­
кого явного описания закона упорядочения. Именно ее доказательства
положили начало дискуссии, связанной с аксиомой выбора.
Семейства
Введем понятие семейства элементов. Пусть / - непустое множе­
ство (и в дальнейшем / будет предполагаться непустым множеством).
Отображение множества / в некоторое множество А называется семей­
ством элементов множества А, индексированным множеством I , или
индексированным семейством элементов из А, и обозначается г i-> щ
или (a,-)ie/ или (а;), в тех случаях, когда это не может привести к недо­
разумению. Множество / называется множеством индексов, элемент
г £ / - индексом, а элемент a* £ А - г-й координатой
(компонентой).
Часто приходится рассматривать понятие индексированного семей­
ства множеств. В силу общего определения это понятие получается так.
Пусть / - множество индексов, а Р(А) - совокупность всех подмножеств
множества А. Отображение множества / в множество Р{А) - это и есть
семейство множеств, индексированное множеством / .
Используем понятие индексированного семейства множеств для опре­
деления операций пересечения и объединения произвольной совокупно­
сти множеств.
Определение 7. Пусть ( Л ) * ; - индексированное семейство множеств.
Пересечением этого семейства множеств называется совокупность
всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Ai для любо­
го i £ / . Обозначение: |~) Д- или f]Ai.
€
Символически это определение может быть записано следующим об­
разом:
Ai = {х | х £ А\ для любого i £ I } .
Определение 8. Пусть ( Д ) ; е / - индексированное семейство множеств.
Объединением этого семейства множеств называется совокупность
всех тех и только тех элементов, для которых существует такое г £ I ,
что х £ Ai. Обозначение: (J Д или | J Д , т.е.
Ai = {х | х € Ai для некоторого i £ / } .
Если / = { 1 , 2 } , то приходим к известным понятиям объединения и
пересечения двух множеств А\ U А и А\ П А .
2
2
Если в качестве / взять множество N всех натуральных чисел, то
00
оо
Р| А{ и У Ai иногда обозначают Г] А{ и (J Д соответственно.
iei
iei
t=i
i=i
Пусть, например, А - подмножество множества действительных чи­
сел, состоящее из всех таких х, что п — 1 < х < n (n £ N). Тогда
п
U
оо
An =
neN
U
An = R> , где R> = {х G R | х > 0}.
0
0
n=i
Пусть, например, А„ - множество всех п раз дифференцируемых
оо
функций типа R —> R (тг € N). Тогда f) А
п
n€N
— f] А
п
- класс беско-
n=l
нечно дифференцируемых функций.
Задачи и упражнения
1. Доказать, что если Г С / , то [J Ai С (J А< и f] A, D f\ А,.
iei'
iei
iei'
iei
2. Доказать обобщенные законы де Моргана:
а)
б)
П А = U А;
iei
iei
ie/
«6/
(JA = HA.
3. Пусть В - множество, ( A j ) ; / - индексированное семейство мно­
жеств. Показать, что:
а) Я П (ПА) = П ( Я П А);
€
б)
Sn(UA) =
и(ВПЛ);
в) в и ( П А ) = П(вид).
16/
:€/
Рекомендуемая литература
Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах / Н.Я. Виленкин.
ука, 1969. - 160 с.
М.: На­
Верещагин, Н.К. Лекции по математической логике и теории алго­
ритмов. Ч. 1. Начала теории множеств / Н.К. Верещагин, А. Шень. М.: МЦНМО, 1999. - 128 с.
Ерусалимский, Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, прило­
жения / Я.М. Ерусалимский. - М.: Вуз. кн., 2000. - 280 с.
Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и
теории алгоритмов / И.А. Лавров, Л.Л. Максимов. - М.: Наука, 1984. 224 с.
Нефедов. 13.11. Курс дискретной математики
пова. - М.: МАИ, 1992. - 264 с.
В.II. Нефедов, В.А. Оси-
Оглавление
О с н о в н ы е понятия теории м н о ж е с т в
Множество
Операции над множествами
Бинарные отношения
Декартово произведение множеств
Определение бинарного отношения
Операции над отношениями
Отображение
Умножение отображений
Обратное отображение
Отношение эквивалентности
Частично упорядоченные множества
Вполне упорядоченные множества
Изоморфизмы
Мощность множества
Понятие о мощности множества
Свойства конечных и бесконечных множеств
Теорема Кантора-Бернштейна
Аксиома выбора
Семейства
Рекомендуемая литература
Сабурова Наталья Юрьевна
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ФУНКЦИИ
Учебное пособие
Редактор О.О. Неверович
Выпускающий редактор Е.К. Сметанина
Подписано в печать 15.03.2008. Формат 60x84/16.
Усл. печ. л. 5,25. Тираж 50 экз. Заказ № 62.
Издательство АГТУ
Отпечатано в типографии ГОУ ВПО «Архангельский
государственный технический университет»
163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, 17
3
3
8
16
16
19
21
25
30
32
34
40
49
52
55
55
61
67
73
77
79