методология учебного познания как цель изучения математики

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова»
М.В.ШАБАНОВА
МЕТОДОЛОГИЯ УЧЕБНОГО ПОЗНАНИЯ
КАК ЦЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Монография
Архангельск
Поморский университет
2004
УДК51(07)+001.8
Б Б К 22.1 р.в
Ш 123
Р е ц е н з е н т ы : доктор педагогических наук, профессор кафедры методики препо­
давания математики М П Г У В.А. Гусев;
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры мате­
матического анализа и геометрии П Г У имени М . В . Ломоносова
Э.О. Зеель;
•
д о к т о р философских наук, профессор кафедры философии П Г У
имени М . В . Ломоносова Е . В . Кудряшова
Печатается по решению
совета Поморского
редакционно-издательского
университета
Шабанова М.В.
Ш 123
М е т о д о л о г и я учебного познания как цель изучения математики: М о ­
нография. - Архангельск: Прморский университет, 2004. - 402 с.
I S B N 5-88086 451-0
7
Монография посвящена проблеме реализации интенсивного пути совершен­
ствования содержания математического образования. В теоретическом разделе
работы описывается авторская концепция решения данной проблемы через фор­
мирование знаний о методологии учебного математического познания. В при­
кладном разделе обсуждаются пути и средства методологической подготовки
учащихся старших классов к изучению математики в вузе.
Издание адресовано специалистам в области методики преподавания матема­
тики, студентам педагогических вузов, аспирантам и учителям.
У Д К 51(07)+001.8
Б Б К 22.1 р.в
ISBN 5-88086г451-0
©
Шабанова М . В . , 2004
© Поморский университет, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
5
Г л а в а ! . Р о л ь и место методологических знаний в содержании ма­
тематического образования
9
1.1. Иерархизация внутренней структуры содержания образования
как основная тенденция его совершенствования на современ­
ном этапе
i
1.2. Методологические знания как
9
основа управляющей метаси­
стемы содержания образования
19
1.3. Содержание методологической составляющей учебных матема- ,
t
тических курсов (концептуальная модель проектирования)...
32
1.3.1. Понятие концептуальной модели процесса проектирова­
ния содержания учебного предмета
33
1.3.2. Основные принципы отбора содержания
методологиче­
ской составляющей математических курсов
41
Глава 2. Теоретические основы развития методологических зна­
ний при изучении математики
80
2.1. Основные подходы к решению проблемы формирования мето­
дологических знаний в педагогической литературе
80
2.2. Рационализация и генерализация как основной путь ф о р м и р о ­
вания методологических знаний в процессе самопознания нау­
ки и в обучении
.>
83
2.3. Методические условия развития системы знаний о методологии
учебно-познавательной деятельности в процессе обучения ма­
тематике
98
2.3.1. Знания о методологии учебно-познавательной деятельно­
сти в структуре учебного материала математических кур­
сов
99
2.3.2. Отражение содержания- знаний о методологии учебнопознавательной
деятельности
в методической
работе
учителя математики
134
2.3.3. Методологическая рефлексия как ведущее условие «вы­
явления», «опредмечивания» и использования методоло­
гических знаний в учебном процессе
152
Глава 3. М е т о д о л о г и ч е с к а я подготовка учащихся старших клас­
с о в к и з у ч е н и ю математики в вузе
191
3.1. И з м е н е н и е ф о р м ы учебного математического познания как
один из аспектов проблемы преемственности школьного и
вузовского математического образования
3.2. Задачи методологической подготовки учащихся
191
старших
классов к изучению математики в вузе
211
3.3. Возможности различных форм профильного о б у ч е н и я ' в р е ­
шении задач методологической подготовки учащихся
3.4. Р е ш е н и е з а д а ч . м е т о д о л о г и ч е с к о й подготовки учащихся в
242
,
рамках элективного курса «Задачи на исследование свойств
,. классов функций»
294
Заключение
327
Список литературы
330
С л о в а р ь научных т е р м и н о в
347
П р и л о ж е н и е . Пакет п р о г р а м м элективных курсов по математике..
351
J
Введение
......
В связи с переходом к постиндустриальной стадии общественного разви­
тия, характеризуемой стремительным ростом объема информации и повышением
ее значимости в профессиональной деятельности человека, возникает серьезная
. •
' h - C" ' - - I •
J»
L J
образовательная проблема, вызванная невозможностью дальнейшего совершен­
ствования содержания образования за счет расширения учебных программ (не­
возможность реализации экстенсивного подхода). Повышение эффективности
учебного процесса за счет использования его внутренних, скрытых резервов
(реализация интенсивного подхода) является на сегодняшний день наиболее ак­
туальной проблемой педагогической и методической науки.
В последнее время
все чаще ее решение связывают с включением в содержание школьного образования знаний о путях и методах получения научной информации - методологи­
ческих знаний. Так, в Концепции непрерывного образования отмечается, что
"«важнейшее значение приобретает методологическая составляющая содержания
' образования, обеспечивающая важнейшие компоненты общей культуры мышле" ния и формирования мировоззрения личности» (72, 7).
У с и л и я м и ученых, являющихся представителями разных областей
науки:
В.А. Бажанов'ым, А!Я. Блохом, В.В. Давыдовым, А.Л. Ж о х о в ы м , Н . М . Зверевой,
Л.Я. Зориной, Т.А. Ивановой, Т\ Кун, М . Полани, Г. И. Саранцевым, Л.Б. Султа­
новой, В.А.Тестовым,
М.А. Холодной, В.Т. Фоменко, С.А.
Шапоринским,
И.С. Якиманской и многими другими, доказано, что развитие как научного, так и
личностного предметного знания (положений математики, физики,' х и м и и и т.п.),
•сопровождается развитием знаний о самой познавательной деятельности"(мёто1
дологических знаний). •
Передача методологического знания и его развитие осуществляется в процессе
учебного взаимодействия: наблюдения за методической деятельностью учителя,
осмысления его требований, рекомендаций и указаний, анализа образцов дея­
тельности и подражания им и т.п. М н о г и е трудности, связанные с отторжением
предметных знаний или нев'ерным осмыслением учебной и н ф о р м а ц и и , вызваны
несоответствием м е т о д о л о г и ч е с к и х , у с т а н о в о к участников учебного процесса.
К р о м е того, научными исследованиями доказано, что методологические знания
являются более стабильными, так как составляют фундамент, на котором проис­
ходит становление и развитие предметных знаний.
Эти д а н н ы е позволяют говорить о возможности интенсификации учебного
процесса'за счет создания методических условий, обеспечивающих целенаправленность развития и использование методологических знании в учебном процессе.
В методической науке данная идея получила свою реализацию уже в не­
скольких предметных областях: в обучении физике учащихся средних школ
(Н.В. Кочергина), в изучении педагогических дисциплин студентами педвузов
(А.Н. Х о д у с о в ) , в изучении технических д и с ц и п л и н студентами высших военнотехнических у ч и л и щ (В.И. Наливайко) и др.
Реализация данной идеи в образовательной области «Математика» является
более с л о ж н о й задачей в связи с относительностью границ между предметным и
методологическим знанием в математике, недостаточностью научных данных о
методологии математической деятельности, нерешенностью вопроса о соотно­
шении методологии учебного и научного математического познания.
В п е р в ы е у ч е н ы е обратились к проблеме включения методологических знаний
в с о д е р ж а н и е школьного и вузовского математического образования на рубеже
X I X - X X в е к о в (период р е ф о р м ы Клейна) в связи с задачей приведения содержа­
ния м а т е м а т и ч е с к о г о образования в соответствие с действующей парадигмой ма­
тематической науки. В этой связи рассматривались вопросы о сближении между
собой р а з л и ч н ы х математических предметов, об отражении в содержании этих
п р е д м е т о в особенностей связи математического знания с реальностью, об обо­
г а щ е н и и содержания обучения математике элементами истории науки. .Даль• I. '
•
*
"*
н е й ш е е р а з в и т и е данная идея получила в нашей стране в период колмогоровской
р е ф о р м ы (60-70-е годы X X в.). К этому периоду относятся работы П.С. Алексан­
дрова, Г.П. Бевза, А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, Ш.Х. Михеловича,
А.Я. Х и н ч и н а и др. Здесь решалась задача включения в содержание школьного
6
математического образования элементов логики и теории множеств, а также за­
дача
перестройки
содержания
школьного
курса математики
на
теоретико-
множественной основе. В этот период методологические знания рассматрива­
}
лись как предметные, поэтому, формирование их осуществлялось в соответствии
с общедидактическими и методическими положениями, принятыми для органи­
зации усвоения п р е д м е т н ы х , математических знаний.(возможно, это и явилось
одной из причин неудачи колмогоровской реформы). Исследования этого перио­
да внесли огромный вклад в решение рассматриваемой проблемы. Б ы л широко
исследован вопрос о взаимосвязи структур м ы ш л е н и я с основаниями математических знаний (Ж. Пиаже, П.П. Блонский, Л.С. Выготский и др.), выявлен ряд
условий ознакомления школьников в той или иной степени с основаниями со­
временной математической науки, проделана большая работа по отбору и мето­
дической обработке методологических знаний.
Однако выявление специфики образовательных функций методологических
знаний стало возможным л и ш ь в 80-е годы X X в. в связи с появлением и разви­
тием дидактического подхода к трактовке и построению содержания образова­
ния (И.Я. Лернер, В.В. Краевский, М.Н. Скаткин и др.), а также в связи с разви­
тием
деятельностного
подхода
к
обучению
в
педагогической
психологии
( С Л . Рубинштейн, Н.А. Леонтьев, П.Я. Гальперин, В.В. Д а в ы д о в и др.). В 80-е
годы проблема включения методологических знаний в содержание образования
стала рассматриваться как проблема конструирования знаниевой базы вспомога­
тельного характера. К этому периоду относятся работы А.Д. Александрова,
В.Г. Болтянского, А.Я. Блоха, Б.В. Гнеденко, Е.И. Л я щ е н к о , А.А. Столяра,
Н.А. Терешина и многих других. И м и было показано, что методологическая со­
ставляющая содержания обучения математике может быть представлена в форме
«неявных» содержательно-методических линий: логической, алгоритмической и
прикладной. Наиболее значимым результатом работы этих авторов является раз­
работка методических условий использования методологических знаний в каче­
стве средств формирования различных компонентов содержания математическо-
го образования (предметных знаний, опыта репродуктивной деятельности, опыта
эмоционально-ценностных отношений, опыта творческой деятельности).
Современный этап
вновь характеризуется обращением внимания ученых
(Т.А. Ивановой, А.Л. Жохова, Ю . Ф . Ф о м и н ы х и др.) к проблеме формирования
методологических знаний, но отличительной его особенностью является признак
• н и е : н а л и ч и я ' с п е ц и ф и ч е с к и х особенностей их развития и функционирования в
процессе обучения математике.
В главе 1 «Роль и м е с т о методологических знаний в содержании математиче­
ского образования» представлена авторская концепция разработки методологи­
ческой составляющей содержания математических курсов. В главе 2 «Теорети­
ческие о с н о в ы развития методологических знаний при изучении математики»
описана методика целенаправленного развития знаний о методологии учебнопознавательной деятельности в учебном процессе с учетом специфики знаний
этого вида. В главе 3 «Методологическая подготовка учащихся старших классов
к и з у ч е н и ю математики в вузе» показано применение авторской концепции раз' вития методологических знаний учащихся при изучении математики к р е ш е н и ю
п р о б л е м ы методологической преемственности школьного и вузовского'матема­
тического образования.
Глава 1. Роль и место методологических знаний в
• >' содержании математического образования
1.1. И е р а р х и з а ц и я в н у т р е н н е й с т р у к т у р ы с о д е р ж а н и я о б р а з о в а н и я к а к
о с н о в н а я т е н д е н ц и я е г о с о в е р ш е н с т в о в а н и я на с о в р е м е н н о м э т а п е
П о д содержанием образования (конкретного *ученика на данном этапе его раз­
вития) с точки зрения современных дидактических представлений
следует по-
нимать «...содержание процесса прогрессивных изменений свойств и качеств
личности» (89, 26). В условиях процесса обучения развитие содержания образо­
вания является проектируемыми и направляемыми. Основным средством его
развития выступает содержание обучения - система продуктов социального опы­
та (отобранных в соответствии с целями обучения, педагогически адаптирован­
ных, представленных в форме учебной информации), п о д л е ж а щ а я ' у с в о е н и ю в
процессе обучения. Заметим, .что принципиально новой для педагогической нау­
ки является не сама трактовка этих основных категорий, а понимание их соот­
ношения, так как еще совсем недавно в дидактике эти понятия использовались
как тождественные. Об этом свидетельствуют труды В.В. Краевского, И.Я. Л е р нера, М.Н. Скаткина и др., в которых данные термины используются как сино­
н и м ы . И з м е н е н и е взглядов связано с исследованиями В.В. Давыдова, М.А. Хо­
лодной, И.С. Якиманской и др. в области педагогической психологии. Ими дока­
зано, что результат обучения связан с содержанием личностного опыта ученика,
п р е д ш е с т в у ю щ е г о усвоению учебной информации, и с формой учебной деятель­
ности, сопровождающей сам процесс усвоения.
t
\
i
-••
Содержание^ образования, как утверждает В.В. Сериков, складывается «из
дидактически,переработанного социально-культурного опыта,
существующего
д о и независимо от процесса обучения, в виде .учебно-программных материалов
(«образовательный стандарт»), и личностного опыта, приобретаемого на основе
субъект-субъектного общения и обусловленных им жизненных ситуаций, проте­
к а ю щ и х в.форме •переживания, смыслотворчества, саморазвития» (144,30).
Н е с м о т р я на всю свою индивидуальность, желаемые результаты развития со­
д е р ж а н и я образования учащихся могут б ы т ь зафиксированы. Ф о р м о й их выра­
ж е н и я являются общие, этапные и предметные образовательные цели. Таким
образом, с точки зрения современного подхода к трактовке содержания образо-,
вания под образовательными целями следует понимать теоретическое описание
желаемых
прогрессивных изменений свойств личности, выступающих в качест­
ве запланированных
цесса.
результатов
определенного этапа
про-
Д а н н о е определение показывает, что основу определения целей состав­
л я ю т теоретические представления:
•
образовательного
о субъектах
целеобразования
г
(ими могут являться сами учащиеся, их за­
к о н н ы е представители, другие реальные участники образовательного про­
цесса, например, учителя, общество в целом как потребитель результатов
этого процесса или его отдельные представители, выражающие социаль­
н ы й заказ общества) и их долевом участии;
•
об объективных
результатах
.. н и и и способах фиксации;
•
о роли
и месте
образования
образовательного процесса, их соотноше-
^
в процессе жизнедеятельности человека (ко­
н е ч н о е образование - как этап становления личности, подготовки челове­
ка к общественной ж и з н и или непрерывное образование - как основа его
. жизнедеятельности), об этапах образовательного процесса, о способах йе„т
рархизации и других взаимосвязей целей.
• •'>
Э т и теоретические представления постоянно меняются в связи с развитием 66I ' щ е с т в а (его технико-экономическими и социальными потребностями) и развити­
е м психолого-педагогических наук, что обуславливает вариативность постановки
-•• как о б щ и х , так и предметных образовательных целей. Доказательством данного
в ы в о д а могут служить изменения в образовательных целях, обусловленными
т а к и м и в е д у щ и м и направлениями перестройки действующей образовательной
системы, как переход к непрерывной форме образования, провозглашение >демо­
кратизации и гуманизации системы образования.
. „Так, целью непрерывного образования, декларируемой в концепции является
«переориентация учебно-воспитательного процесса с воспроизводства образцов
прошлого опыта на освоение методов преобразования
ние средствами и методами самообразования,
действительности, овладе­
умениям учиться, то есть преиму-
щественное^ обращение образования к развитию познавательных
способностей
и
личности» (72, 6). И д е я демократизации системы
творческих
образования
проявляется не только в переходе к разумному сочетанию общественных и лич­
ностных потребностей, но и в постановке качественно^ новой образовательной
цели
- ориентации образования на
создание условий для ее самореализации»
«обеспечение самоопределения
личности,
(57,11).
Необходимость переориентации образовательного процесса с формирования
качеств личности (знаний, умений и навыков, мировоззрения и моральных ка­
честв), обеспечивающих готовность к общественно-полезной исполнительской
деятельности, на формирование способности к самоопределению, саморазвитию
и к культуро-созидающей творческой деятельности отмечается и р я д о м ведущих
специалистов нашей страны в области педагогики, психологии и методики пре­
подавания математики (В.А. Гусевым, В.В. Давыдовым,
Г.В. Д о р о ф е е в ы м ,
B.C. Ледневым, Г.И. Саранцевым, В.В. Сериковым, М.А. Холодной и др.).
Описанные в ы ш е изменения в формулировке образовательных целей являются
отражением объективных закономерностей повышения общественных требова­
ний (в связи с процессом общественного^ развития) к уровню функционирования
человека в обществе. Объективные закономерности личностного,развития обу­
славливают существование инвариантной части в постановке образовательных
целей. Инвариантная составляющая образовательных целей выражается извест­
ной формулой: «целостное, всестороннее и гармоническое развитие личности»
[57], провозглашенной еще V - I V в. д о н.э. в древней Греции. Эта ф о р м у л а , с о ­
ставляла основу представлений об образовательном идеале личности на всем
протяжении развития педагогической мысли. Проведенный В.А. Г у с е в ы м [43]
анализ ее содержания показывает, что в формуле нашли отражение с л е д у ю щ и е
основные принципы проектирования образовательного процесса:
•
направленность образования на развитие всех личностных свойств челове­
ка («всесторонность развития личности»);
•
учет объективных взаимосвязей личностных качеств в процессе их разви­
тия («целостность развития личности»);
•
признание необходимости концентрации внимания на развитии тех спо­
собностей человека, которые создают д о м и н и р у ю щ у ю направленность его
л и ч н о с т и , обеспечивают его гармоническое взаимоотношение с окружаю­
щ е й действительностью («гармоническое развитие личности»).
О д н а к о в связи с непрерывностью процесса личностного развития в процессе
жизнедеятельности человека, данная формула не может быть использована для
выражения теоретических представлений об этапных результатах образователь­
ного процесса. Этот факт отмечается м н о г и м и специалистами в о б л а с т и п ё д а г о гики и методики преподавания математики (В.А. Гусевым, Г.И. Саранцевым,
Н.М. Зверевой и др.). Так, например, В.А. Гусев по этому поводу пишет: «Важно
понимать, что цель воспитания не м о ж е т состоять в развитии личности, ибо про­
цесс развития бесконечен» (43, 5):
Таким образом, для обеспечения возможности образовательными целями фик­
сировать результат обучения, их формулировка должна быть дополнена:
'1) описанием видов общественно-полезной и личностно-значимой деятель­
ности, которую д о л ж е н научиться осуществлять человек на том или ином
этапе личностного развития, а также описанием уровня самостоятельности
его в этой деятельности;
2) о п и с а н и е м психических свойств личности обеспечивающих "желаемый
у р о в е н ь самостоятельности и функциональную направленность личности.
Н а общедидактическом уровне эта задача решается за счет построения струк­
т у р н о й м о д е л и содержания образования, являющейся отражением модели струк­
т у р ы л и ч н о с т и , в ы д е л я ю щ е й в ней л и ш ь те характеристики личности, которые
и м е ю т р а з л и ч н у ю ф у н к ц и о н а л ь н у ю направленность.
^
Так основоположники дидактического подхода к построению содержания об­
разования И Л . Лернер и М . Н . Скаткин выделяют следующие структурные эле­
менты содержания образования:
•
научные знания (о .природе, обществе, мышлении, технике и способах
деятельности), которые «обеспечивают формирование картины мира и
вооружают методологическим подходом к познавательной и практиче­
ской деятельности»;
•
опыт осуществления известных способов деятельности, который во­
площается, в умениях и навыках личности - обеспечивающий «воспро­
изведение культуры и сохранение ее»;
•
, .
г
... .
опыт осуществления-творческой, поисковой деятельности по решению
новых, возникающих перед обществом проблем -
обеспечивающий
«дальнейшее развитие культуры»;
•
опыт отношения к миру, друг к другу - «регулирует ^соответствие_ дея­
тельности человека его потребностям и в свою очередь расширяет сфе­
р у этих потребностей» (157, 102).
Л е г к о заметить, что выделенные элементы содержания образования находятся
в иерархическом подчинении. «Предшествующие элементы могут существовать
отдельно от последующих, хотя каждый последующий невозможен без предше­
ствующих» (там же). Вместе с тем, выделенные компоненты обладают и некото­
рой степенью свободы, что доказано исследованиями Л.Я. Зориной, классифици• • • v.
•
.
р у ю щ е й у ч е б н ы е предметы по признаку «ведущего компонента в содержании
образования». В этой классификации учебный предмет «математика» характери­
зуется как биполярный, то есть и м е ю щ и й два ведущих компонента: научные
знания, умения и навыки.' Преимущественное формирования этих двух компо­
нентов в процессе обучения математике существенно ограничивает" функцио­
нальные возможности личности (гарантируя л и ш ь осуществление математической'деятельности на исполнительском уровне).
С о в р е м е н н ы м и исследованиями в области педагогической психологии и ди­
дактики предлагается'включить дополнительные компоненты в описание струк-
С о в р е м е н н ы м и исследованиями в области педагогической психологии и д и дактики предлагается включить дополнительные компоненты в описание струк­
туры содержания образования. Т а к , М . А . Холодная в [170] предлагает дополнить
т р а д и ц и о н н ы й перечень' реально ф о р м и р у е м ы х и оцениваемых компонентов со­
держания образования - З У Н о в е щ е одной группой компонентов, являющихся
показателем интеллектуального развития - К И Т С У (компетентность, инициати­
ва, творчество, саморегуляция, уникальность склада ума). К р о м е того, большое
распространение получили идеи процессуального проектирования различного
р о д а з а м ы к а н и й в структурной организации содержания образования: формиро­
в а н и е з н а н и й на основе творческой деятельности
в концепциях развивающего
обучения (В.В. Давыдова, Б.Д. Эльконина, Л:Н. Занкова); формирование знаний,
у м е н и й и навыков на основе личностного опыта учащихся в концепциях личностно-ориентированного обучения, (В.В. Серикова, И.С. Я к и м а н с к о й и др.). Так,
н а п р и м е р , основу концепции развивающего обучения В.В. Д а в ы д о в а составляет
теория учебной деятельности, ведущим положением которой является «усвоение
знаний, умений и навыков происходит л и ш ь ' в форме учебной деятельности» (45,
247). П р и этом учебная деятельность, по представлению В.В. Давыдова, должна
носить хоть и коллективно-распределенный, но творческий характер, должна яв­
ляться у ч е б н о й м о д е л ь ю реальной исследовательской деятельности.
Т а к и м образом, содержание образования, с точки зрения современного подхо­
да м о ж е т рассматриваться как сложная система особым образом организованных
элементов, функционирующая в среде.
Р а с с м а т р и в а я систему содержания математического образования с этих пози­
ций, попытаемся сделать выводы о тех изменениях в ее структурной организа­
ц и и , которые обусловлены новыми требованиями к уровню ее функционирова­
ния (саморазвитие и ориентация на преобразующую деятельность).
В качестве методологической основы такого анализа м ы считаем необходи­
м ы м использовать о б щ у ю теорию систем, разработанную И.Д. П е х л е ц к и м [120],
в связи с ориентированностью данной теории на изучение механизмов процесса
обучения. Приведем здесь основные ее положения.
г
Основу построения определения понятия системы в данной теории составляет
принцип выделения основной структуры системьь «Качественный смысл прин­
ц и п а - как отмечает автор - заключается в т о м , что всякое научное рассмотрение,
анализ или моделирование достаточно сложной абстрактной и л и реальной сис­
т е м ы невозможны без реализации процесса выдвижения на п е р в ы й план некой
части структуры системы, которая с позиции цели исследователя считается ос• •< ,!.'*>:'
[~.z*-* ., 1 •
\' > ,
новной (главной) по отношению ко всей основной структуре» (120, 31).
•-.-;Xi.'.-4 • ' " > . .
.
• •••
- ; <• i
v
П о д абстрактной системой S И.Д. Пехлецкий понимает совокупность {А;/}, где
А -
множество элементов любой природы, а /
-
отображение
множества
В с Р(А)в некоторое множество С. Здесь Р(А) - множество всех подмножеств А.
Л ю б о й элемент о е А называется элементом системы, а любой элемент be В блоком системы. О т о б р а ж е н и е / о п р е д е л я е т основную структуру системы.
В дидактической теории содержания образования роль м н о ж е с т в а А- играют
свойства и качества личности, изменяемые в образовательном процессе. Четыре
описанных выше структурных элемента содержания образования (знания, опыт
воспроизводящей деятельности, опыт творческой деятельности и о п ы т эмоцио­
нально-ценностных отношений) представляют собой интегративные
качества
личности- - подмножества множества А, которые «выполняют специфическую,
не подменяемую другими функцию в формировании личности» (47, 102). Эти
элементы связаны отображением / ,
характеризуемым как ф о р м и р у ю щ а я связь
элементов, то есть усвоение каждого влияет на уровень и качество усвоения других элементов. Характеризуя эту взаимосвязь, И Л . Лернер и М . Н . Скаткин пи­
шут: « П р и всем различии перечисленных видов содержания образования не­
трудно заметить, что все они взаимосвязаны. У м е н и я без знаний невозможны,
творческая деятельность осуществляется на определенном содержательном ма­
териале знаний и умений, воспитанность предполагает знание о той действи­
тельности, к которой устанавливается то или иное отношение, о той деятельно­
сти, которая вызывает те или другие эмоции, предусматривает поведенческие
навыки и умения» (47,109).
К а ж д ы й из четырёх выделенных элементов содержания образования также
представляет собой сложную систему элементов, включенных в различные ви­
д ы связей. Так, например, В.П. Зинченко [60] выделяет в структуре первого
к о м п о н е н т а содержания образования четыре комплекса знаний:
•
знание д о знания ( м и р о о щ у щ е н и е , предзнаковые формы знания, неконцептуализируемые образы 'мира, бессознательные обобщения и умозак­
л ю ч е н и я , житейские понятия и т.п.)', т.е. «неявное» знание;
•
з н а н и е как таковое, то есть предметное осознанное знание ( ф о р м ы знания,
с у щ е с т в у ю щ и е в образовательных системах и науке);
•
знание о знании (отрефлексированные формы знания), т.е. знания о спо­
собах получения, хранения, переработки и использования знаний;
•
знание о незнании (влекущая сила: «Я знаю только то, что ничего не
знаю»).
—
С о д е р ж а н и е образования представляет собой сложную д и н а м и ч е с к у ю сис­
тему с памятью.
Все реальные системы, в том числе и содержание образова­
ния, не являются изолированными от «среды», которая каким-то образом воз­
действует на них. Как известно,'воздействие* обучающей среды приводит к
ф у н к ц и о н и р о в а н и ю содержания образования, в результате которого система пе­
реходит из одного состояния в другое.
.
&г;.- .* .••
В своей теории [120] И.Д. Пехлецкий выделяет в способах функционирования
систем несколько иерархических уровней.
I.
Детерминированное
функционирование,
то есть такое, которое одно­
значно определено памятью системы и воздействием среды. Примером
с
детерминированного функционирования содержания образования яв­
ляется исполнительская деятельность человека (деятельность по алго­
р и т м у или образцу). В этом случае воздействие среды на систему счи­
тается д о п у с т и м ы м и не приводит к каким-либо существенным
изме-
н е н и я м ни в состоянии самой системы, ни в состоянии среды.
И.
Недетерминированное
функционирование
в форме
приспособления
к
среде. Допустим, что оказанное средой на систему воздействие оказа16'
лось не допустимым, то есть, в памяти системы нет фиксированной ре­
акции на это воздействие (примером такого воздействия в условиях
процесса обучения математике является постановка алгоритмически
неразрешимой, эвристической или творческой задачи). В этой ситуа­
ции детерминированное функционирования
v
оказывается
невозмож­
н ы м . Н о в ы й вид функционирование системы связан с изменением ее
состояния
(изменение состояния
содержания .образования
связано,
.прежде всего, с вариацией памяти системы).
III.
Недетерминированное
функционирование
в форме преобразования
сре­
ды. Д а н н ы й .тип функционирования осуществляется т а к ж е в условиях
возникновения недопустимого воздействия, но осуществляется уже з а ,
счет варьирования состояния среды в связи с невозможностью приспособления к ее состоянию. П р и м е р о м функционирования содержания
образования на этом уровне является инновационная деятельность че­
ловека (создание искусственной среды обитания, средств производства
t
и т.п.).
Сопоставляя уровни функционирования с особенностями структурной ор­
ганизации систем, И.Д. Пехлецкий отмечает существование двух основных
путей реакции системы на недопустимые воздействия среды:
1. Повышение степени соответствия (сходства, подобия) структур сис­
т е м ы и воздействий среды, при котором усовершенствования закре­
пляются в структурной организации системы.
2. Создание структуры системы, допускающей ш и р о к о е множество
возможных состояний и способов их вариации.
Применяя это положение к анализу особенностей структурной организации
содержания образования, легко заметить, что экстенсивный путь его развития,
связанный с накоплением фактологических знаний, умений и н а в ы к о в предмет­
ной деятельности, представляет собой реализацию первого пути совершенство­
вания структурной организации системы. С точки зрения с о в р е м е н н ы х пред­
ставлений когнитивной психологии, развиваемых в трудах М . А . Х о л о д н о й ,
Р.Клацки, У. Найссера и др.^' этот ггуть соответствует развитию репрезентатив­
ных когнитивных структур личности по «горизонтальному» принципу. Анали­
зируя результаты исследований психологов применительно к содержанию ма­
тематического образования, В.А. Тестов приходит к следующей трактовке по­
нятия репрезентативных когнитивных структур: «это внутренние психологиче­
ские структуры, которые складываются в процессе жизни и обучения в голове
человека, э т о способ о п и с а н и я ' и хранения знаний в долговременной памяти»
(162, 58). М . А . Холодная в своей монографии дает следующую характеристику
структур, р а з в и в а ю щ и х с я по «горизонтальному» принципу: « . . . э т о фиксиро­
в а н н ы е ф о р м ы о п ы т а . . . в в и д е прототипов, перцептивных схем, фреймов, сцена­
риев, семантических универсалий и т.п.» (170, 145).
В т о р о й путь совершенствования содержания образования м о ж е т б ы т ь . о х а ­
рактеризован как процесс иерархизации его структуры, то есть как изменение
структур н е только по «горизонтальному», н о и «вертикальному» принципу.
С т р у к т у р ы , реализующие этот путь развития, характеризуются М . А . Холодной
как «являющиеся продуктом интеграции всех предшествовавших этапов позна­
вательного развития и в «снятом» виде содержат различные ф о р м ы познавательного отражения» (170, 145).
«Нетрудно заметить, - отмечает И.Д. Пехлецкий, - что недетерминированное
функционирование возможно л и ш ь в системах, которые потенциально распола­
гают м н о ж е с т в о м вариантов преобразования своего состояния, то есть возмож­
ностью «пополнения» своей структуры за счет устранения какой-то неопределенности» (120, 43-44). Этот же факт отмечается и М.А. Холодной: «Своеобра­
зие и р а з р е ш а ю щ и е возможности интеллекта в первую очередь определяются,
по всей вероятности, степенью сформированности когнитивных структур вто­
р о г о типа (170,145).
Р е з у л ь т а т ы этих исследований приводят нас к выводу о т о м , ч т о необходимым
условием, о б е с п е ч и в а ю щ и м
способность человека к осуществлению недетер-
м и н и р о в а н н о й деятельности (т. е. способности к саморазвитию, самостоятель-
ному принятию решений и творческому преобразованию действительности), яв­
ляется выделение
в структуре
содержания образования
метасистемы.
К р о м е того, проведённый нами анализ позволяет утверждать, что выделение в
структурной организации содержания образования метасистемы д о л ж н о осуще­
ствляться не путем механического п р и с о е д и н е н и я ^ и м е ю щ и м с я репрезентатив­
н ы м структурам новой (управляющей) системы знаний, а за счет ее внутренней
реорганизации - перехода системы на новую ступень организации за счет пере­
центровки ее структуры, т о есть выдвижение на первый план и развития «верти­
кальных» связей.
Н е о б х о д и м ы м внешним условием изменения структурной организации со­
держания образования является появление «недопустимых» воздействий среды и
создание специфических внешних условий, п о б у ж д а ю щ и х у ч а щ и х с я не к поиску
дополнительной информации о свойствах « с р е д ы » , . к поиску н о в ы х способов
реагирования.
1.2. Методологические знания как
основа управляющей
метасистемы содержания образования
В структуре содержания образования метасистема играет вполне определен­
ную роль. В теории сложных систем [22] эта роль описывается с л е д у ю щ и м обра­
зом: «Рассмотрим некоторую с л о ж н у ю систему (систему 1), взаимодействую­
щ у ю с внешней средой и в ы п о л н я ю щ у ю возложенную на нее ф у н к ц и ю .
Пусть,
кроме того, существует другая система (система 2), к о н т р о л и р у ю щ а я качество
работы системы 1 путем оценки тех воздействий, которые в н е ш н я я среда оказы­
вает на систему 1. Если воздействия внешней среды на-систему 1 находятся в
допустимых пределах, зафиксированных в памяти системы 2, система 2 выдает
сигнал, подтверждающий этот факт. Когда ж е воздействия в н е ш н е й среды на
систему 1 выходят за допустимые пределы, система 2 вырабатывает команды,
способные изменять свойства системы 1. Наиболее распространенными спосо­
бами
изменения
свойств
системы 1 являются:
изменения
значений
пара-
м е т р о в некоторых элементов, изменение управляющих алгоритмов системы 1, а
также и з м е н е н и е структуры за счет р а з р ы в а некоторых связей и л и подключения
новых. П о с л е д н е е мероприятие позволяет включать в состав.системы 1 новые
(резервные) элементы и л и , наоборот, выключать элементы, находящиеся в ее
составе. В зависимости от свойств системы 2 свойства системы 1 изменяются
либо целенаправленно, л и б о случайным образом» (22, 21).
\
. Таким образом, н а ш а задача состоит в выделении и характеристике т о й части
структуры личности, которая реализует регулировочные функции в жизнедея­
тельности человека.
<
Для решения этой задачи необходимо обратиться к анализу результатов ис­
следований структуры личности (представителями «узкого» подхода Л.М. Б о ж о в и ч е м , С Л . Рубинштейном, К.К. Платоновой, В.И. Анциферовой и . д р . ) . В
понятие личности ими вкладывается способность человека управлять своим по­
ведением, быть, в известной мере, автономным по о т н о ш е н и ю к в н е ш н и м воз­
действиям. Так, например, В.В. Сериков выделяет следующие о с н о в н ы е функ­
ции личности в жизнедеятельности человека: «избирательность, рефлексию,
смыслообразование, ответственность, автономизация от о к р у ж а ю щ е й среды,
сохранение индивидуальности, духовность, обеспечение внутренней преграды
редукции человека к реактивности,.вещности, прагматизму» (144, 57-58).
Та­
1
к и м образом, именно личностный опыт в осуществлении этих поведенческих
актов (видов деятельности) и составляет существо метасистемы содержания об­
разования. П р о ц е с с приобретения этого опыта в когнитивной-психологии ха­
рактеризуется как «формирование метакогнитивных механизмов интеллекту­
альной саморегуляции» (170, 204).
В этой связи М . А . Холодная пишет: «Психологической основой регулирую­
щ и х э ф ф е к т о в в работе интеллекта являются, н а мой взгляд, особые ментальные
структуры, о б р а з у ю щ и е метакогнитивный опыт человека. И х основное назначе­
ние - определять, где, когда и как будут использоваться н а л и ч н ы е индивиду­
альные интеллектуальные ресурсы» (170,'204). В составе метакогнитивного
опыта М.А. Холодная выделяет четыре типа ментальных
структур,
обеспечи­
вающих различные формы саморегуляции интеллектуальной активности:
•
непроизвольный
интеллектуальный
контроль
(особенность
построения
мысленного образа проблемной ситуации, особенность ее структурирова­
ния, подавление импульсивности в принятии решений, особенность выбо­
ра оснований для построения оценок и суждений, особенность ориенти­
ровки в течении субъективного времени);
•
произвольный
интеллектуальный
контроль
(способность планировать
-
выдвигать цели и подцели собственной интеллектуальной деятельности,
способность предвосхищать последствия принимаемых р е ш е н и й , способность оценивать качество отдельных шагов собственной интеллектуаль­
ной деятельности, способность прекращать или притормаживать интел­
лектуальную деятельность на л ю б о м этапе ее выполнения, способность
выбирать стратегию собственного обучения и модифицировать ее под
влиянием новых требований и с учетом своих интеллектуальных возмож­
ностей);
•
метакогнитивная
осведомленность
— «это особая ф о р м а ментального
опыта, характеризующая уровень и тип интроспективных проявлений че­
ловека о своих'индивидуальных интеллектуальных ресурсах» (170, 211)
(знание особенностей своей памяти, мышления, оснований своей интел­
лектуальной деятельности, умение оценивать свои индивидуальные ин-теллектуальные качества, готовность использовать п р и ё м ы стимулирова­
ниями настройки работы собственного интеллекта);
•
открытая
познавательная
-
позиция - «особый тип познавательного отно­
шения к миру, при котором индивидуальное умозрение отличается'вариативностью и разнообразием субъективных способов осмысления одного и
того же события, а также адекватной восприимчивостью по о т н о ш е н и ю к
необычным, в том числе потенциально психотравматичным
аспектам
происходящего» (170, 212) (осознание возможности множества разнооб­
разных мысленных «взглядов» на одно и то же явление, готовность ис-
пользования множества варьирующих способов описания и анализа явле­
ния, осознание необходимости учета точки зрения другого человека, го­
товность принимать л ю б ы е н е о б ы ч н ы е сведения без каких-либо субъек­
т и в н ы х защитных искажений, относительный характер индивидуальных
суждений)..
В современной педагогической'психологии имеется ряд исследований, дока­
з ы в а ю щ и х возможность целенаправленного развития метакогнитивных струк­
тур в процессе предметного обучения. Так, например, резюмируя результаты
собственных экспериментальных исследований, В.И. Слуцкий и А.К. М о р р и с
отмечают: « . . . дети, обучающиеся по программам, ориентированным на фор­
мирование метакомпонентов дедуктивных рассуждений, лучше понимают логи­
ческую необходимость при построении как алгебраических, так и вербальных
рассуждений, чем дети, обучающееся по программе, ориентированной на фор­
м и р о в а н и е трансформационных компонентов» (146, 80).
Метакогнитивные
из
приобретенных
структуры
в
представляют собой образования, состоящие
процессе
жизнедеятельности
функционирующих знаний о процессе
Причем
знания
эти
в
познания,
человека
познавательной
структуре л и ч н о с т н о г о
опыта
и
активно
деятельности.
человека
могут
функционировать не только в явной, но и неявной форме (М. Полани). Отмечая
этот факт, М . А . Холодная говорит: «Дело не только и даже не столько в
развитии
интеллектуальной
рефлексии,
метакогнитивного опыта во всем многообразии
сколько
в- -
формировании
составляющих его компонент.
И, в о з м о ж н о , чем более сформированы метакогнитивные механизмы регуляции
интеллектуальной
деятельности,
тем
реже
интеллектуальной рефлексии как таковой» (170,
человек
обращается
к
214).
.. Знания этого вида И.Я: Л е р н е р называет методологическими. Характеризуя
этот вид знаний, он пишет: «Методологические знания включают знания о ме­
тодах, процессе и истории познания, о конкретных методах науки, о различных
способах деятельности» (91, 10). В Б о л ь ш о й ' С о в е т с к о й энциклопедии дается
с л е д у ю щ а я характеристика этого вида^знаний: "Методологическое знание вы-
ступает в форме как предписаний и норм, в которых функционирует содержа­
ние и последовательность определенных видов действий (нормативная методо­
логия), так и описаний фактически выполненной деятельности (декриптивная
методология). В обоих случаях основной функцией этого знания является внут­
ренняя организация и регулирование процесса познания и л и практического
преобразования какого-либо объекта" (107,164).
Методология как наука зародилась в глубокой древности и за время своего
исторического развития претерпела р я д существенных изменений, которые в
значительной мере повлияли и на сущность самого понятия «методологическое
знание». Э т и изменения представлены в таблице 1.
Таблица
1
Особенности трактовки понятия «методологические з н а н и я » ' ( М З ) в
различные исторические периоды развития методологии как науки
Характеристика
исторического
I. Зарождение
Особенности
понимания
категории
МЗ
этапа
методологии
(IV-I
в. до н. э.)
>
Основная проблема - разработка пред­ Выделяются две противоположные
точки
писаний, осуществления познаватель­ зрения на сущность МЗ:
ной
деятельности,
обеспечивающих
1. МЗ - как априорно существующее орудие
истинность получаемого научного зна­ истинного познание («органон» Аристоте­
ния.
" " " •
ля);
2. 'МЗ - как знания, не принадлежащие ни
субъекту,' ни объекту познания, получаемые
каждый раз заново (Платон).
//. Возникновение
методологии
как науки (XVв. н. э.)
Родоначальником является английский МЗ рассматриваются как знания об истин­
философ Ф. Бэкон. Он разработал сис­ ном методе, априорно существующем, но
тему научных методов, изложенных в скрытом от непосредственного наблюдения.
«Новом Органоне», обосновал эмпи­ Содержание
МЗ
составляют
рический подход к познанию (индук­ правила рассуждений.
тивная
логика). Основная
проблема
логические
науки - поиск истинного метода лознания.
III. Становление
предмета
Р. Декарт сформулировал
познания
как
методологии
(XVI-XVIII
в,н. э.)
*
проблему МЗ как знание о способах мышления. В со­
проблему. отношения держание МЗ входят только знания о форме
субъекта и объекта. Поставил вопрос о существования знаний или форме их полу­
не сводимости мышления к отражению чения.
,
действительности. Это привело к сис­ Отмечается регулятивная функция МЗ.
тематическому обсуждению ее в фило­
софии. При этом методология перепле­
талась с теорией познания.
И. Кант обосновал особый статус ме­
тодологии, проведя различие между
конструктивными
и
регулятивными
принципами познания.
IV. Формирование
философских
основ научной методологии
(XVIII-XIX
И. Фихте занимался построением уни­ МЗ как «абсолютное знание», то есть
вв.)
зна-
версальной теории деятельности, кото­ ние являющееся результатом познания са­
рая достигла своей вершины в идеали­ мого себя. МЗ рассматриваются как метод,
стической диалектике Г. Гегеля.
Г
- •': > ' ••' •
.1
'< •
V. Дифференциация
методологии
Быстрый
повышения
рост
МЗ,
позволяющий контролировать работу мысли
в процессе познания.
и специализация
ее областей
(XX в.)
их МЗ перестали сводиться к философским во­
удельного веса в общем массиве науч­ просам познания, приобрели многоуровне­
ного знания
связан
с
повышением вый характер: философия науки, методоло­
уровня абстракции научных исследо­ гия общенаучная, междисциплинарная, чаваний, с превращением науки в массо­ стнонаучная. Расширился круг вопросов. МЗ
вую профессию, с распространением утратили статус всеобщности (интуициони­
комплексных проблем.
стская школа, конструктивистский подход и
ДР-)-
(
Представляя собой основу как научной, так и учебной деятельности, методо­
логические знания являются составной.частью всякого ее результата, любого
акта познания, научного или учебного общения. Таким образом, л о г и ч н о пред­
положить, что методологические знания во всем своем многообразии
естественным
образом
включенными
ния образования как его фоновый
являются
в структуру каждого э л е м е н т а содержа­
компонент.
Для доказательства справедливо­
сти этого положения обратимся к анализу научных данных о сущности четырех
основных компонентов содержания образования (научных знаний, опыта вос­
производящей деятельности, опыта творческой деятельности и о п ы т а эмоцио­
нально-ценностных отношений).
Знания,
рассматриваемые как результат обучения, в педагогической психоло­
гии определяются как «индивидуальные образы вещей, свойств, процессов и
отношений объективной действительности, возникающие благодаря закрепле~
••
-
>>;-
нию и обобщению объективного содержания психических образований и сохра- *
. •
•
няющиеся в памяти в виде представлений, понятий, суждений» (131, 82). Со­
временная психология и гносеология, признавая не эквивалентность объективизированного
и личностного знания, выделяет в структуре последнего два ос­
новных плана: «эксплицитный и имплицитный» (185, 80), которые характери­
зуются как явный и неявный. Знания, формирующиеся у ребенка в процессе
обучения, и м е ю т несколько источников: социальный опыт, л и ч н о с т н ы й опыт
реципиента (ребенка), личностный опыт коммуникатора (учителя), познавательную деятельность,
деятельность использования информации. В с е эти ис-
точники находят свое отражение в индивидуальных образах изученного.
Сле­
довательно, содержание знания как результата обучения оказывается значи­
тельно шире содержания знания как предмета изучения (а п р и неправильном
обучении может и не содержать его полностью* или частично). ' О т м е ч а я этот
факт, В.И. Гинецинский, говорит: «Рассматривая внутреннюю структуру даже
какой-либо элементарной единицы знания, можно выделить базисные, ядерные
его компоненты и периферийные, производные» (38, 33). В современной психо­
логии, дидактике и методиках преподавания отдельных предметов периферий-
н ы е компоненты знания получили название «контекста» (П. Линдей, Д. Норман,
Б.Ф. Л о м о в , Е.Н. Сурков, А.Б. Брушлинский, А.А. Вербицкий, Л . В . Ш к е р и н а и
ДР-)А.А. Вербицкий, определяя это понятие, пишет: «Контекст - это система
внутренних и внешних условий поведения и деятельности человека, которая
влияет на восприятие, понимание и преобразование субъектом конкретных ситуаций, придавая смысл и значение этой ситуации как целому и ее компонентам» (25, 23). Д.Н. Завалишина, Б.Ф. Л о м о в , В . Ф . Рубахин [56] выделили три
системы семантик, связанных с понятием контекста и влияющих на то, как че­
ловек отражает и анализирует мир:
•
семантика, связанная с социальными нормами, профессиональным языком и т.п.;
•
ситуационная или функциональная семантика, в которой значения эле­
м е н т о в обусловлены целью деятельности;
•
индивидуальная семантика, определенная личностной значимостью.
Опираясь на эти данные, м ы приходим к выводу, что периферийные компоненты знания являются носителями данных методологии науки (о нормах мате­
матической деятельности, приведших к введению этих знаний в науку, о нормах
их языкового выражения, о роли и месте в системе современных научных знаний), методологии учебно-познавательного общения (о целях изучения, способах обоснования, особенностях языкового обозначения, особенностях преемственных и функциональных связей и т.п.), а также методологии индивидуальной
познавательной деятельности учащихся (о специфике обработки полученной
и н ф о р м а ц и и в сознании).
К р о м е того, становится очевидным, что для формирования этих периферий­
н ы х компонент, знания огромное значение имеет «обучающий контекст» (учеб­
ная ситуация, приводящая к . и х возникновению, учебно-познавательная дея­
тельность, специфика мировоззрения учащегося).
П р е ж д е чем переходить к описанию специфики остальных
структурных
компонентов содержания образования, следует отметить, что в современной
психологии и дидактике все ближе подходят к мысли об условности их выделе­
ния. Так,
О.Ф. Теребилов указывает: «Нам представляется, что необходимо
дать более последовательную трактовку моментов сходства и р а з л и ч и я компо­
нентов, которые обычно выделяются в содержании образования и в структуре
индивидуального опыта: знания, умения, навыки, нормы (ценности). С нашей
точки зрения все они суть знания. С той л и ш ь разницей, что если в приведенном
перечне знания - это, прежде всего, когнитивные образы, т о умения и навыки это способы реализации (потенциальной и актуальной) когнитивного образа в
формах активности субъекта, а ценности - это знания, включаемые в структуру
самого субъекта его конституирующие» (160, 16).
В традиционной дидактике опыт
деятельности
воспроизводящей
(детерминированной)
характеризуется приобретением умений и навыков, которые
трактуются, как «возможность эффективно выполнять действия (деятельность)
в соответствии с целями и условиями, в которых приходится действовать»
[118]. Основным недостатком данного описания, на наш взгляд, является отсут­
ствие какой-либо характеристики психических новообразований, обеспечиваю­
щ и х эту возможность. Эти психические образования, обеспечивающие готов­
ность личности к осуществлению деятельности, описаны в работе М . И . Дьячен­
ко и др., где отмечается, что «состояние готовности личности к деятельности
следует понимать как сложное образование. Оно имеет д и н а м и ч е с к у ю структу­
ру, между компонентами которой существуют функциональные зависимости»
(50, 37). В качестве таких компонентов он выделяет: м о т и в а ц и о н н ы й , ориенти­
ровочный, операционный, волевой, оценочный.
С точки зрения современных представлений о знаниевой основе деятельности,
опыт воспроизводящей деятельности может быть охарактеризован как
«неявных
знаний»
система
об особенностях использования предметных знаний для дос­
тижения различных целей. Эта система «неявных знаний» имеет деятельност-
н у ю природу и характеризуется устойчивостью
связей. Этой точки зрения при­
держиваются М. Полани, И.И. Ильясов, М.А. Данилов, В . И. Орлов и др.
Так, например, И.И. Ильясов считает необходимым различать «знания о
предметах и знания о предметах и действиях с ними в различных ситуациях с
различными целями» (65, 118). Для осуществления действий - п и ш е т о н / - «не­
обходимо иметь полное достаточное знание не только о его предмете, но и зна­
ние о способе действия в ' ш и р о к о м смысле, включая сюда и чувственную инф о р м а ц и ю д л я действий» (65, 118). Недостатком этих знаний и объясняется, по
его м н е н и ю , явление в учебной практике, характеризуемое как «разрыв>>'мёжду
знанием и действием.
,
'
1
С п е ц и ф и к а воспроизводящей (детерминированной) деятельности состоит в
достижении цели в условиях оперирования достаточным количеством знаний.
Т а к и м образом, готовность к ее осуществлению, характеризуемая как умения и
1
навыки, обеспечивается не только знаниями о способе преобразования предмета
П
деятельности в соответствии с ц ё л ь ю (трансформационный компонент опыта
деятельности), но и с л о ж н ы м набором знаний (часто «неявных»), в ы п о л н я ю щ и х
иные ф у н к ц и и : м о д е л и р у ю щ и е (определение условий деятельности как допус­
т и м ы х воздействия среды), планирующие (конструирование
основе у с в о е н н ы х
способов действии),
контролирующие,
деятельности
на
корректирующие
[172] ( р е г у л и р у ю щ и й компонент о п ы т а ' деятельности)^ Большинство из этих
знании, как показано нами в [172], носят методологический характер.
Р е г у л и р о в о ч н ы й компонент опыта воспроизводящей деятельности формиру­
ется в условиях процесса обучения математике на основе осуществления дея­
тельности по р е ш е н и ю «задач - упражнений». Осознаваемой целью деятельности .учащихся в этих условиях является л и ш ь удовлетворение т р е б о в а н и ю зада­
ч и : найти значение выражения, построить фигуру, представить выражение в ви­
де произведения и т.п. Познавательная же задача, и м е ю щ а я целью определение
границ варьирования условий применения способа деятельности и выработку
ориентиров и х установления, ставится и'решается на подсознательном
зачастую подменяясь задачей «запоминания
28
образцов
использования».
уровне,
Кроме
того, при недостаточно продуманном подборе системы тренировочных упраж­
нений у учащихся формируются неполные
или даже ложные
ориентиры,
что
фиксируется в практике обучения как появление «типичных о ш и б о к » учащихся.
Опыт творческой
(недетерминированной) деятельности
является
компо­
нентом содержания образования, «призванным обеспечить готовность к поиску
решения новых проблем, к творческому преобразованию действительности»
(47, 106). Эта готовность, по мнению И.Я. Л е р н е р а и В.В. Краевского, обеспе­
чивается формированием способностей учащихся к самостоятельному осущест­
влению: переноса знаний и умений в новые условия, видения проблем,-струк->
туры объекта, его новой функции, альтернативных путей решения,' комбиниро­
вания известных способов деятельности и построения принципиально новых
способов деятельности. Осмысливая данную трактовку опыта творческой дея­
тельности с позиции когнитивной п с и х о л о г и и , , м ы приходим к выводу, что
именно данный компонент содержания образования является о с н о в н ы м носите­
лем
«вертикальных» репрезентативных структур, о б е с п е ч и в а ю щ и х действен­
ность методологических компонент знаний (об источниках п р о б л е м н ы х ситуа­
ций, способах преодоления интеллектуальных затруднений и приемах поиска
этих способов т.п.), накопленных человеком в процессе предыдущей познава­
тельной деятельности. П р и традиционном (изолирующем, поэтапном) подходе к
формированию различных компонентов содержания образования в условиях
обучения математике формирование опыта творческой деятельности осуществ-
..--V
. .. - ..->..- • •
ляется за счет постановки время от времени перед всеми (или ч а щ е некоторыо•• • '
'
ми) учащимися задач «повышенной сложности» (нестандартных, проблемных,
.
• . "О - С "
. . . .
3^ > V С: •
. •
исследовательских, творческих). Эти задачи решаются ими и л и самостоятельно
во внеучебное время на основе описаний способов решения с х о д н ы х задач в
учебной литературе и приемов работы с задачей
в методической литературе
(Д. Пойа, Л . М . Фридман, Е.Н. Турецкий и др.), или с п о м о щ ь ю учителя, на спе­
циально отведенных занятиях (факультативах, кружковых занятиях, спецкур­
сах) . Т в о р ч е с к и е акты учащихся в этих условиях не связаны с процессом приоб­
р е т е н и я ' н а у ч н ы х ' з н а н и й и формированием умений и навыков и даже зачастую
и з о л и р о в а н ы от других творческих актов. Содержание методологических зна­
н и й при таком способе обучения носят фрагментарный, часто чисто индивиду­
альный (субъективный) характер или в л у ч ш е м случае межличностный. Такси
опыт не является носителем социального опыта научного
математического
творчества (даже входящего в качестве структурных элементов в другие к о м п о ненты содержания образования) и ' п о т о м у недостаточен для осуществления
творческих актов в реальных, а не учебных условиях.
Н а и б о л е е удачными, с нашей точки зрения, являются попытки преодоления
отмеченной разобщенности в системах развивающего
и обогащающего обуче­
ния (М.А. Х о л о д н о й , В . В . Давыдова, Б.Д. Эльконина, Л.В. Занкова и др.), где
процесс приобретения опыта творческой деятельности интегрирован с процес­
сом приобретения научных знаний и формированием опыта их использования.
П о определению И.Я. Лернера и В.В. Краевского опыт
ценностных
отношений
эмоционально-
представляет собой усвоенные общественные нормы
отношения к миру, т. е. как э м о ц и о н а л ь н о в о л е в а я воспитанность, состоящая
в оценочно-эмоциональном отношении к миру," к деятельности [47]. Т а к и м об­
разом, психическими л и ч н о с т н ы м и образованиями, входящими в этот компо­
нент, являются те черты личности, которые определяют ёе направленность
(наиболее о б щ и м и из них являются мировоззрение и установки).''
г
'
«Мировоззрение, - отмечает Н.А. Терешин, - представляет собой обобщен­
н у ю систему взглядов, у б е ж д е н и й и идеалов, в которых человек выражает свое
отношение к о к р у ж а ю щ е й действительности» (161, 11-12). «Установки - это зак р е п л е н н ы е психические образования, отражающие субъективное отношение к
объектам, общественным явлениям и самому себе» (131, 82). В е д у щ е й функцией мировоззрения является онтологическая, то есть восприятие и оценка действительности в соответствии с современной научной картиной мира. Установки
•-
• ,
•
•»
I
*•
ж е являются основой, определяющей л и н и ю поведения личности.
(
В п е р и о д становления дидактического подхода к с о д е р ж а н и ю образования
данный компонент содержания образования в наибольшей степени являлся носителем
общественных
идеологических
30
установок. Формирование
данного
(
компонента происходило посредством «вплетения» различными способами в со­
держание обучения вопросов методологии математики: «1) связи математики с
реальной действительностью; 2) развитие математики под в л и я н и е м задач, воз­
никающих вне математики, в других областях для удовлетворения потребностей
этих областей знаний; 3) построение математических моделей как о д и н из наи­
более плодотворных методов математического исследования явлений действи­
тельности; 4) способы математических абстракций; 5) способы установления ис­
тинности в математике (аксиоматический метод)» (154, 233).
Формирование
опыта эмоционально-ценностных отношений осуществлялось т а к ж е через отра­
жение в содержании учебных курсов связей математики с д р у г и м и науками и с
производством.
В связи в реализации идей гуманизации и демократизации обучения этот ком­
понент содержания образования теперь все ч а щ е трактуется и как опыт, форми­
руемый не только на основе усвоения общественных норм, н о и становления
собственных индивидуальных личностных норм деятельности ( Г . В . Дорофеев,
А.Л.-Жохов, В.В. Сериков, Л.В. Зеленцова и др.). Так, н а п р и м е р , А.Л. Жохов,
ссылаясь на закон Российской Федерации «Об образовании», отмечает, что «со­
временное российское общество отошло от трактовки этой задачи как формиро­
вание единого правильного
мировоззрения»(53, 14). Н е о б х о д и м о с т ь такого отхо­
да диктуется не только процессом демократизации общества, но и ускорением
процесса развития научного взгляда, приводящим к п о с т о я н н ы м изменениям в
научной картине мира.
С а м ы м главным результатом обучения (в рамках рас­
сматриваемого компонента содержания образования) д о л ж н о . с т а т ь не принятие
«правильных» позиций, а осознанность и обоснованность с о б с т в е н н ы х устано­
вок и готовность к конструктивному
их пересмотру. «Развитие самосознания
критически мыслящего современного ч е л о в е к а , - как отмечает И.А. Герасимова, предполагает аналитическую способность к четкому р а з д е л е н и ю границ собст­
венного и чужого менталитета (знания, мнения, веры)» (35, 200).
Н а м представляется продуктивной позиция А.Л. Жохова, связанная с признат
н и е м необходимости построения процесса обучения не на основе непосредст-;
венного усвоения современных, научных представлений и истории развития нау-.
ки, а на основе постепенного совершенствования собственной математической
культуры учащихся в направлении сближения ее с современными научными
представлениями и нормами научно-познавательной деятельности.
Формирова­
ние данного компонента содержания сегодня м о ж е т осуществляться л и ш ь на ос­
н о в е построения процесса обучения как последовательности поведенческих ак­
тов («учебно-мировоззренческих актов» - по терминологии А.Л. Жохова, «гно­
сеологических циклов» - по терминологии Т.А. Ивановой). Такой способ создает
благоприятные условия для проявления в деятельности собственных установок,
взглядов и убеждений и для конструктивной переоценки их самими учащимися
в результате сопоставления с установками, взглядами и у б е ж д е н и я м и других
л ю д е й (учителя, учащихся, авторов учебных пособий, у ч е н ы х математиков, р е ­
альных или условных представителей той или иной профессии).
Проведенный анализ показывает, что процесс иерархизации структуры с о д е р ­
жания образования связан с изменением^формы существования (из неявной к я в ­
ной) и статуса (переход из статуса,вспомогательного элемента к статусу,управ­
л я ю щ е г о элемента) методологических ориентиров учебно-познавательной дея­
тельности.
1.3, Содержание методологической составляющей учебных
математических
курсов
(концептуальная
модель
проектирования)
Постановка новой образовательной цели в условиях непрерывного образова­
ния - формирования способности учащихся к дальнейшему саморазвитию своего содержания образования, требует, как нами было показано в ы ш е , внесения
изменений не только в методику организации учебного процесса, но и в содер­
жание обучения. Эти изменения связаны с потребностью целенаправленного
j
• проектирования методологической составляющей учебных математических кур32
сов. Необходимость решения этой задачи является в настоящее время у ж е не ча­
стным мнением отдельных ученых (В.А. Гусева, Г . В . Дорофеева, А . Л . Жохова,
1
Т.А. Ивановой, Г.И. Саранцева, Н.А. Терешина, В;А. Тестова; Ю . Ф. Фоминых,
М.А. Холодной, И.С. Якиманской, и др.), а частью официальной образователь­
ной политики, получавшей отражение в н о р м а т и в н ы х ' д о к у м е н т а х , определяю­
щ и х перспективные изменения в содержание обучения математике.-Так, в проек­
те Концепции математического образования 12-летней школы отмечается у ж е н е
только необходимость смещения акцентов в преподавании в сторону методоло­
гических знаний, но и очерчивается в первом приближении круг знаний этого
вида, и м е ю щ и х образовательное значение: «Содержание математического обра­
зования можно представить в виде нескольких крупных блоков: арифметика, ал­
гебра, функции, геометрия, анализ данных. Наряду с этими блоками естественно
выделить методологические принципы, в которых содержание прослеживается с
точки зрения развития общих методологических п о н я т и й - и идей:-математиче­
ские методы и приемы рассуждений, математический язык, м а т е м а т и к а и внеш­
ний м и р , история математики» (71, 5). В федеральный компонент государствен­
ного стандарта общего образования по математике
в к л ю ч е н ы сегодня следую­
щ и е в и д ы методологических знаний: «Определения, доказательства, аксиомы и
теоремы; следствия. Необходимые и достаточные условия. К о н т р п р и м е р . Дока­
зательство от противного. Прямая и обратная теоремы. П о н я т и е о б аксиоматике
и аксиоматическом построении геометрии. П я т ы й д о с т у л а т Е в к л и д а и его исто­
рия. Множество. Элементы множества, подмножество. Объединение и пересече­
ние множеств. Диаграммы Эйлера» (165,4).
,
^
]г
Р е ш е н и е стоящей перед нами задачи представляет собой п р о ц е с с построения
концептуальной модели проектирования метасистемы содержания образования
на предметном уровне, то есть модели разработки содержания обучения.
1.3.1.'
Понятие
содержания
концептуальной
учебного
модели
процесса
проектирования
предмета
«Модель» (от латинского modulus) означает образ, стандарт, н а который ори­
ентируются ученые и практики в преобразовании педагогической действитель33
ности. Н а у ч н ы й метод моделирования известен давно. Однако, как метод ди­
дактического и методического исследования он стал использоваться л и ш ь в
70-е годы X X века ([82], [107]). М е т о д моделирования характеризуется как вос­
произведение характеристик некоторого объекта-(процесса) на другом объекте,
специально созданном для их изучения, и называемом моделью.
ная модель
Концептуаль­
- это система в е д у щ и е идей, раскрывающая авторскую трактовку
сущности изучаемого объекта или процесса, а также система принципов и метоА
'"'
-
дов, с п о м о щ ь ю которых раскрывается способ его понимания и преобразования
[17]. Концептуальная модель процесса методического конструирования содер­
ж а н и я обучения призвана выступать промежуточным звеном между теорией
развития содержания образования в процессе обучения предмету и практикой
разработки содержания учебных курсов. Таким образом, основным
адресатом
разрабатываемой нами концепции являются авторы учебных пособий и про­
грамм учебных математических курсов, реализующие задачу целенаправленно­
го проектирования их методологической д о с т а в л я ю щ е й с целью формирования
способностей у ч а щ и х с я - к саморазвитию содержания
образования как собст­
венно математического, .так и внематематического на основе • математических
знаний, у м е н и й и навыков,
-а. .
О т н о ш е н и е м е ж д у м о д е л ь ю и оригиналом регламентированы совокупностью
с л е д у ю щ и х основных требований: 1) целенаправленность модели, то есть м о ­
дель д о л ж н а позволять получить н о в у ю информацию об оригинале,' соответст­
в у ю щ у ю ц е л я м его исследования; 2) подобие модели оригиналу, то есть пра­
вильное отражение м о д е л ь ю существенных для исследования качеств оригина­
ла; 3) относительная простота модели, то есть упрощения в модели тех сторон
оригинала, которые, не являясь существенными с точки зрения цели исследова­
ния, з а т р у д н я ю т процесс его осуществления. Применяя эти т р е б о в а н и я х модели
п р о ц е с с а проектирования
курсов, в и д и м , что:
методологической
составляющей
математических
1) основная
ее задача - создание о б щ и х представлений об этапах и норма­
тивах осуществления процесса проектирования методологической со­
ставляющей математических курсов;
2) с точки зрения цели построения этой модели, в ней д о л ж н а быть учтена
специфика функций, динамика развития невзаимодействия методологиче­
ской составляющей с предметным содержанием курсов;
-
•
'
3) как упрощенный прототип, модель процесса проектирования методоло­
гической составляющей должна не только абстрагироваться от структур­
ных, содержательных и целевых особенностей конкретных-математиче­
ских курсов, но и предусматривать возможность их учета в процессе ее
использования.
Кроме того, данная модель как частный случай дидактической м о д е л и проек­
тирования содержания образования на предметном уровне д о л ж н а быть с ней
согласована.
-
С точки зрения общедидактических представлений к м о д е л ь н о м у описанию
этого этапа проектирования содержания образования ([77], [157]), перед нами
стоит задача характеристики
процесса
«опредмечивания»
жания образования материальными носителями - элементами
ного
м е т а с и с т е м ы содер­
содержания
учеб­
предмета.
Учебный предмет
- одно из главных средств реализации с о д е р ж а н и я образо­
вания. Дидактическая модель учебного предмета, разработана Л.Я. Зориной
[63]. С точки зрения этой модели учебный п р е д м е т в н е р а з р ы в н о м единстве
включает в себя ведущий компонент содержания обучения и средства его усвоения. Модель учебного
предмета,
по ее представлению, состоит из двух бло­
ков: основной, в к л ю ч а ю щ и й содержание, ради которого у ч е б н ы й предмет вве­
ден в учебный план, и блок средств (процессуальный блок), обеспечивающий
усвоение знании, формирование умений. Все учебные предметы Л.Я. З о р и н а ,
разделяет по характеру ведущего компонента в его содержании, к о т о р ы й опре­
деляется главной целью изучения предмета.
М а т е м а т и к а отнесена ею к биполярным предметам, т о есть и м е ю щ и м два
ведущих компонента: научные знания и способы деятельности. П р и ч е м при раз­
л и ч н ы х способах их построения, акцент на практике смещается то в сторону
одного, то другого компонента. Так, например, курсы математики начальной
школы и 5-6 классов, алгебры,основной ш к о л ы , высшей математики для непро­
фильных специальностей
традиционно ориентированы на формирование спо-
собов математической деятельности. Ориентация математических курсов на
способы деятельности часто оставляет не выявленными для у ч а щ и х с я (студен­
тов) н а у ч н ы е основания усваиваемых правил деятельности и потому приводит к
жесткой привязанности сформированных у м е н и й и навыков к и с х о д н ы м образ­
цам.
Курсы
геометрии основной и старшей школы, курсы, излагающие раз­
л и ч н ы е разделы высшей математики для студентов математических специаль­
ностей, ориентированы в первую очередь на передачу научных знаний и рас­
к р ы т и е перед учащимися их системы. Однако и здесь научные знания не высту­
п а ю т как конечная цель обучения, так как основная их задача - служить средст­
вом познания в профессиональной деятельности, быту и д а л ь н е й ш е м развитии
собственно математических знаний, поэтому смещение акцента в изучении таких курсов в сторону передачи научных знаний также пагубно сказывается на
р е ш е н и и этой конечной задачи.
П о н а ш е м у м н е н и ю , р е ш е н и е этой проблемы может быть осуществлено пу­
тем установления диалектического взаимодействия между научными знаниями
и способами деятельности. Такое взаимодействие предусматривает, изложение
н а у ч н ы х з н а н и й п о д углом зрения формируемых способов деятельности в логи­
ке и х причинно-следственных связей. В модельных представлениях о структуре
учебного предмета «математики» эти связи будут проявляться, во-первых, через
введение параметра времени при определении блока, к которому д о л ж е н быть
отнесен рассматриваемый компонент содержания обучения, а во-вторых, через
выделение блока знаний (состоящего из знаний методологического характера),
у п р а в л я ю щ и х взаимодействием блоков.
м е 1.
:
Эти изменения представлены на схе­
Учебный предмет: «математика»
Блок управления взаимодействием
Основной блок
*
*•
Научные знания
" -
1
•
Блок средств
Способы деятельности и др.
•> : с '*•. г..: ,
Способы деятельности
•. i
Научные, знания и др.
*—
Схема 1. Модель учебного предмета «математика»
Эти изменения существенным образом меняют представления о категории
«ведущего компонента» содержания обучения. И з целевого компонента
он
превращается в компонент, который не только соответствует основной цели
курса,
но
и
«ведет
за
собой»
процесс
учебного
предмета
развития
комплекса
остальных
компонентов содержания.
Единицами
содержания
в дидактике с ч и т а ю т с я его эле­
менты, значимые для структуры содержания на уровне учебного предмета (76,
210). Формой
учебные
фиксации
их системы на уровне учебного предмета выступают
программы.
Основными
единицами
каждого учебного предмета считаются элементы веду­
щего для него компонента содержания. Так, например, о с н о в н ы м и единицами
содержания в предметах с ведущим компонентом «основы наук» считаются за­
коны, системы понятий, факты, теории. О с н о в н ы м и единицами
содержания
предметов с ведущим компонентом «способы деятельности» являются элементы
умений.
Содержание учебных математических курсов, в этой связи, т р а д и ц и о н н о опи­
сывалось через характеристику системы научных знаний (понятий, утвержде­
ний), которыми должен был овладеть учащихся, а также через описание умений
в осуществлении элементарных действий, которые д о л ж н ы б ы т ь сформированы
на их основе.
Так, например, т е м а «Векторы» в программе школьного курса геометрии
А . В . Погорелова характеризуется с л е д у ю щ и м образом: «Вектор. Абсолютная ве­
л и ч и н а и направление вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сло­
жение векторов и его свойства. У м н о ж е н и е вектора на число. Скалярное произ­
ведение векторов. Угол между векторами. . ..Основное внимание следует уделить
ф о р м и р о в а н и ю практических умений учащихся, связанных с вычислением коор­
динат вектора, его а б с о л ю т н о й величины, выполнением сложения и вычитания
векторов, у м н о ж е н и я вектора на число. ...» (130, 164).
^
И з м е н е н и е представлений о характере ведущего компонента содержания ма­
т е м а т и ч е с к и х курсов требует внесения изменений и в характеристику основных
е д и н и ц у ч е б н о г о предмета. Методологическая составляющая математического
к у р с а в ы п о л н я е т интегративную
функцию,
то есть обеспечивает диалектиче­
с к у ю взаимосвязь между компонентами предметного содержания обучения в
процессе их изучения. Установление этой взаимосвязи приводит к необходимо­
сти характеристики предметного содержания с точки зрения определения его ро­
ли и места в реализации стратегических направлений развития содержания ма­
тематического образования (системы научных представлений и способностей к
математической деятельности). Эти стратегические направления определяются
и з б р а н н ы м и методологическими
принципами
и видами формируемой деятельно­
сти. Р а н е е б ы л о доказано, что методологический компонент, являясь неотъемле­
мой частью содержания образования, сам подлежит целенаправленному проек­
т и р о в а н и ю в содержании обучения предмету (как его управляющий компонент).
Т а к о е проектирование осуществляется через описание элементов методологиче­
ских знаний (проблем, принципов, идей, эвристик,
структуры
и методов иссле­
дования и т.п.) и их роли в содержании формируемых представлений и способ­
ности к осуществлению математической деятельности.
П р о и л л ю с т р и р у е м эти изменения на примере характеристики содержания расf
i
•
X.4I
«
.
.
.
с м о т р е н н о й в ы ш е темы в рамках определенных автором требований к уровню
обученности учащихся: «.Формирование
ской теории
величин
отличных
знаний
от скалярных
о существовании
в
математиче­
через ознакомление учащихся с
понятием вектора и изучение его на основе сравнения
характеристик векторных
и скалярных геометрических величин,, установление общего и особенного в
осуществлении операций над величинами этих видов и в характерах устанавли­
ваемых на их множествах отношений. Формирование
ной природе
ждения
математических
понятия вектора
величин
представлений
через демонстрацию процесса
модель­
происхо­
на основе обобщения и абстрагирования характери­
стик известных учащимся физических величин (скорости, силы и др.).
рование
представлений
знаний
через ознакомление с
приложениями
о
о практической
и научной значимости
Форми­
математических
некоторыми физическими и геометрическими
векторного аппарата, а также формирование способности к при­
менению векторного
метода
на уровне самостоятельного выбора
программ
осуществления элементарных действий над векторами (определение абсолют­
ной величины, координат, осуществление операций над векторами) в
сти от характера
данных,
определяемых
контекстом
задач».
зависимо­
Методологиче­
ская составляющая темы выделена в представленном описании курсивом.
Как
мы видим, при таком ракурсе представления содержания темы п р е д м е т н ы е зна­
ния и способы деятельности выступают в качестве средств д о с т и ж е н и я более
общих мировоззренческих и прагматических целей. Таким образом, значимость
предметного содержания рассматривается не сама по себе, а оценивается через
степень вклада предметных знаний и умений в решение более о б щ и х задач.
Необходимость явного отражения методологической составляющей учебных
курсов в содержании программ отмечается многими
учеными-методистами
(Г.В. Дорофеевым, Г.И. Саранцевым и др.). Так, например, Г.И. Саранцев [141]
пишет: « . . . в содержание образования (имеется в виду его п р е д м е т н ы й уро­
в е н ь ) . . . д о л ж н ы быть включены не только аксиомы, теоремы, определения, но и
действия, адекватные им, общенаучные методы познания, а т а к ж е специальные
эвристические приемы и различные эвристики». Более того, в стандартах сред­
него общего математического образования при описании уровня возможности
эта задача частично реализована. Так, например, в описании содержания линии
«Геометрические фигуры» указывается, что учебный материал д о л ж е н дать
в о з м о ж н о с т ь «осознать, что геометрические формы являются.идеализирован­
н ы м и образами реальных объектов; научиться и с п о л ь з о в а т ь . геометрический
язык д л я описания предметов окружающего мира, получить,представление о
некоторых областях применения.геометрии в быту, науке, технике,.искусстве»
(165, 52). Однако, н е . о п и с ы в а е т с я знаниевая база, интегрирующая предметное
;
содержание курса для решения этих образовательных задач.
- Процесс «опредмечивания»" содержания образования описывается в дидакти­
ке как состоящий «в определении'функций учебного предмета и в зависимости
от этих функций в определении объема и соотношений р а з л и ч н ы х элементов
состава, а также в выделении ведущего элемента (единицы содержания)» (170,
205). Дидактика также занимается разработкой самых общих нормативов (ди­
дактических оснований), регулирующих все этапы этого процесса.
•"'
В.В. Краевский [76] выделяет три основных принципа проектирования содер­
ж а н и я образования, реализующихся на всех уровнях проектирования:
•
соответствие содержания во всех его элементах и на всех уровнях конструирования требованиям общества;
•
учет единства содержательной и процессуальной сторон обучения;
•
структурное единство содержания образования на разных уровнях его
формирования при д в и ж е н и и от о б щ и х к более частным и, в конечном
счете, к конкретным ф о р м а м его реализации в процессе обучения.
В качестве дидактических оснований, регулирующих процесс отбора содер­
ж а н и я у ч е б н о г о предмета, Л.Я. Зориной (63,224) выделяются:
I
. . . . . . .
•
О р и е н т а ц и я на формирование системности научных знаний в тех учеб­
н ы х предметах, где они являются ведущими;
•
,
Ориентация на разработку достаточного .комплекса научных знаний в
тех у ч е б н ы х предметах, где ведущим к о м п о н е н т о м являются способы
д е я т е л ь н о с т и или видение мира;
•
Ориентация на отражение целостности, структуры основ теории - веду­
щ е й дидактической единицы содержания образования по основам наук и
отбор фактов, подчиненных этому требованию;
•
~1 '•
Ориентация на отражение в учебных предметах воспитательного аспекта
знаний.
Требование согласованности частных концептуальных моделей с более общи­
ми ставит задачи: детализации описания этапов проектирования методологиче­
ского компонента содержания учебных курсов; конкретизации и дополнения
общедидактических нормативов с учетом специфики моделируемого процесса..
1.3.2. Основные
принципы
составляющей
отбора
содержания
математических
методологической
курсов
Первым этапом конструирования содержания образования на уровне учебно­
го предмета является отбор элементов ведущего компонента содержания обуче­
ния, реализующих основную функцию учебного предмета, то есть «целевых эле­
ментов содержания».
В настоящее время образовательная область «Математика» рассматривается
как реализующая две основные функции: «общеобразовательную» и «специали­
з и р у ю щ у ю » , обозначаемые во всех нормативных документах с некоторыми со­
держательными и терминологическими вариациями. Так, например, в проекте
концепции математического образования в 12-летней школе «общеобразователь­
ная функция» трактуется как образование с п о м о щ ь ю математики, то есть «по­
вышение средствами математики уровня интеллектуального развития человека
для полноценного функционирования в обществе, обеспечение функциональной
грамотности каждого члена общества» (71, 2); «специализирующая» функция
1
трактуется как собственно математическое о б р а з о в а н и е , ' т о есть рассмотрение
математики в к а ч ё с т в е э л е м е н т а профессиональной подготовки учащихся к соот­
ветствующим областям деятельности после окончания учебного заведения и
продолжения профессионального образования. В пояснительной записке к ком­
плекту программ .по математике для общеобразовательных учреждений
также
отмечается
наличие
двух
сторон
41-
назначения
[130]
математического
образования, которые обозначаются как «практическая» и «духовная»: практи­
ческая связана «с созданием и применением инструментария, необходимого че­
ловеку в его продуктивной деятельности», а духовная связана «с мышлением
человека, с овладением определенным методом познания и преобразования ми-,
ра математическим методом» (130, 3).
-. Соотношение выделенных функций различно на разных ступенях обучения.
Так, на у р о в н е (начального и основного) общего образования, приоритет отда'ется [128] общеобразовательной функции. Причем, в начальной ш к о л е целевой
считается ее прагматическая составляющая - формирование функциональной
грамотности, а в основной - общеинтеллектуальная. Н а уровне старшего звена
о б щ е г о среднего образования допускается варьирование [128] соотношения об­
щеобразовательной и специализирующей функций в зависимости от потребно­
стей у ч а щ и х с я (профиля обучения). На уровне профессиональной подготовки
основной считается специализирующая функция при определенном уровне реа­
лизации и общеобразовательной.
В этой связи нам представляется более правильным говорить о функциональ­
ной направленности не учебного предмета (учебной дисциплины) в целом, а о
направленности того или иного учебного курса. П р и этом под у ч е б н ы м курсом,
вслед за Д ж . Б р у н е р о м [21], м ы будем понимать систему средств обучения (про­
грамма, у ч е б н ы е тексты, система задач, контрольно-измерительные материалы'
и т.п.), о р и е н т и р о в а н н у ю на д о с т и ж е н и е определенного образовательного ре­
зультата. Т а к о е понимание позволяет говорить о различиях курсов математики
не только по целевой направленности, содержанию, адресату, но и по авторско­
му м е т о д и ч е с к о м у р е ш е н и ю . Н а необходимость принятия такой трактовки дан­
ного понятия обращает внимание В.А. Гусев. В этой связи о н пишет: «Пред­
ставленный п о д х о д заслуживает самого серьезного внимания, так как в нем раз-,
вернуто представление о курсе обучения как о совокупности средств обучения,
н о с я щ и х ц е л о с т н ы й характер» (42, 17). > : .
а
.
•
Соотнося функциональную направленность
математических курсов, с дидак­
тическими принципами ее учета в процессе конструирования содержания обуче­
ния [63], м ы приходим к следующему выводу:
•
'
проектирование методологической с о с т а в л я ю щ е й ' с о д е р ж а н и я 'математических курсов д о л ж н о быть ориентированб'на формирование
нального
комплекса
их
функцио­
( а ' н е системы, отражающей систему научных теоре-
' тических представлений о методологии математики), что определяется
ориентацией математического образования на формирование способности
к математической деятельности при любом соотношении общеобразова­
тельной и специализирующей функций в учебном математическом курсе,
а также отсутствием в методологии математики адекватной системы зна­
ний {Принцип
функциональной
значимости
МС).
Доказательством необходимости выдвижения данного принципа являются сле­
д у ю щ и е соображения.
''
Методология науки (в том числе и математики) является предметом изучения
целого комплекса наук разного уровня, причем не имеющих четного статуса и
предметных границ. Так, характеризуя методологию математической науки с
точки зрения ее источников, В.В. Мадер [99] выделяет следующие научные об­
ласти, занимающиеся раскрытием отдельных
ее аспектов на основе свойствен-
ных и м методов исследования: гносеология, психология творчества (в том числе
математического), логика, метаматематика, история математики, семантика на­
у ч н ы х я з ы к о в и др. Н а у ч н ы е данные о методологических 'закономерностях мате­
матического познания в настоящее время представляют' собой л и ш ь отдельные,
достаточно узкие научные теории, не только не согласованные между собой, но
и часто конкурирующие. Я р к и м примером.несогласованности научных,воззре­
ний на м е т о д о л о г и ю ; математического познания является сосуществование в
науке различных логик, возникших из проблемы обоснования математики: клас­
сической
и конструктивной (А.Н. Колмогоров, В.И. Гливенко, А.А. Марков),
двузначной,и многозначной, а также нерешенность вопроса о предмете и структуре.математики.
Б о л е е того, содержание математических теорий, а, следовательно, и предмет­
н о е содержание математических курсов, жестко связано с их историческими ос­
н о в а н и я м и (историческими взглядами на м е т о д ы познания, характер связи'мате­
матической теории с реальностью, и т.п.). Так, например, исторически сложив­
м
ш и м с я критерием истинности и осмысленности положений элементарной (евк­
лидовой геометрии) является соответствие их геометрической практике людей
(наблюдениям, измерениям, конструктивным действиям), а и с х о д н ы м критерием
и с т и н н о с т и п о л о ж е н и й неевклидовых геометрий выступала и х непротиворечи­
вость. Содержание математических теорий во многом определяется также и ин­
д и в и д у а л ь н ы м и методологическими установками их создателей. Так, например,
исследователи творчества Г.В. Лейбница [112] находят, что
его философские
п р и н ц и п ы сыграли значительную роль в создании основ дифференциального и
интегрального исчисления. «Оснрвными принципами философии Лейбница яв­
л я ю т с я : 1) принцип всеобщих различий; 2) принцип тождественности неразли­
ч и м ы х вещей; 3) принцип всеобщей непрерывности; 4) принцип монадной (мо­
нады - «атомы» бытия, аналоги человеческих душ) дискретности; 5) принцип
полноты и совершенства мира» (112, 38, 62). Так, О.Ф. Теребиловым установле­
но, что «при построении теории дифференциального и интегрального исчисления он использовал принципы непрерывности, полноты и совершенства м и р а (и
связанный с н и м принцип предустановленной гармонии), закон достаточного ос­
нования и др.» (160, 150).
В с е э т о доказывает,.что в силу объективных причин,содержание методологи­
ч е с к о й составляющей обучения математике не может и не д о л ж н о б ы т ь отраже­
нием к а к о й б ы то ни было методологической теории.
К р о м е того, н и на одном этапе обучения математике методологические зна­
ния в своей объективно научной форме не выступают в качестве конечной цели.
И х образовательная значимость определяется их функциональными возможно­
стями (служить средством интеграции и стратегической ориентации предметных
' з н а н и й и умений, контекстом,'"обеспечивающим
понимание
сущности изучае­
м о й математического содержания, а также недостающим звеном, обеспечи-
в а ю щ и м способность содержания образования к самоуправлению и саморазви­
тию).
.
•
•-
В этой связи, методологическая составляющая содержания обучения матема­
тике должна
представлять
димый и достаточный
ского образования
.собой комплекс
для реализации
в рамках
методологических
их функций
в содержании
ведущей функции учебного
знаний,
необхо­
математиче­
математического
курса.
Этот комплекс представляет собой систему, обладающую не только специфи­
ческими функциями, но и неоднородную п о составу. В качестве теоретической
основы определения состава методологической составляющей математических
курсов воспользуемся общедидактическим положением о путях определения
состава содержания образования.
И.Я. Лернером описываются следующие основные пути определения состава
содержания образования:
•
отражение составом содержания образования на всех у р о в н я х проектиро­
вания состава
социального
опыта
(за единицу которого принимается
«акт целенаправленной деятельности» (90, 146));
•
отражение
составом
практическая,
содержания
познавательная,
образования
коммуникативная,
ценностная и художественная) и отраслей
(производственная,
видов
(материальноориентационно-
общественной деятельности
научная, 'искусство^ социальная,
управленческая,
учебная, бытовая, и др.) (90,152).
Основанием для выделения компонентов при этом служат «специфика содер­
жания и функций элементов в развитии культуры» (90, 150), а справедливость
этих оснований, по м н е н и ю И.Я. Лернера, подтверждается спецификой способа
их усвоения.
Применения этих положений на предметном уровне для определения состава
л и ш ь одного их компонентов содержания обучения требует и х конкретизации.
Для р е ш е н и я этой задачи необходимо обратиться к характеристике структур-
н о й организации деятельности, рассматриваемой с точки зрения современных
психологических воззрений.
•,.
Представления о четырехэлементном составе содержания образования были
порождены «линейно-этапными» представлениями о б . о р г а н и з а ц и и деятельно­
сти. В дидактике она описывается как состоящая из «...знаний о целях, средст­
вах, способах и результате деятельности, умения способ деятельности осущест­
вить, готовности видоизменять способ в случае возникших затруднений и адапт и р о в а т ь его к новым условиям, наконец, потребности, мотива в отношении
этой деятельности» (158, 146).
Современные
представления
о
структуре
деятельности
(«структурно-
уровневые»), развиваемые в трудах И.Н. Семенова, С Ю . Степанова, связаны с
в ы д е л е н и е м в ее структуре двух основных иерархических уровней: «регулируе­
мого»
и «регулирующего».
Причем, «регулируемый»
уровень
«образуется
предметным и операциональным компонентами», а «регулирующий» представ­
лен «четырьмя видами рефлексии: интеллектуальной, личностной, коммуникативной и кооперативной» (142, 26).
v
X
Методологический компонент содержания
образования функционирует на «регулирующем» уровне деятельности. Эти соображения позволяют нам выдвинуть следующее основное положение нашей
концепции:
•
состав
методологического
компонента
учебных математических курсов
д о л ж е н представлять собой отражение
состава
нента
деятельности
познавательной
циональной
полноты
математической
регулирующего
(Принцип
компо­
функ­
МС).
Ограниченность л и ш ь рассмотрением состава познавательной деятельности в
области математики определяется, во-первых, сущностью категории «методоло­
гия», которая рассматривается как'«учение о структуре, логической организа­
ции, м е т о д а х и средствах научно-познавательной деятельности» (15, 164), а вовторых, спецификой содержания математических курсов, в к л ю ч а ю щ и х математйческие знания, я в л я ю щ и е с я результатом научно-познавательной деятельности
и средством научного познания мира и его творческого преобразования.
.46
Состав «регулирующего» компонента деятельности, без учета специфики по­
знавательных процессов, исследовался в работах О.А. Конопкина, В.И. Степанского, П.К. Анохина, Н.А. Бернштейна и многих других. Н а и б о л ь ш е е признание
и распространение в психологии получила точка зрения О.А. Конопкина. Он
выделяет в [69] следующие функциональные блоки в.структуре системы само­
регуляции деятельности: «блок цели», «блок создания модели значимых усло­
вий деятельности», «блок создания программы деятельности», «блок оценки р е ­
зультатов», «блок принятия решений о коррекции деятельности». Их взаимо­
действие показано на схеме 2. •
Память (опыт)
Цель
.-Блок программы
Модель значи­
мых условий
Блок оценки результатов
Система критериев успеха'
Информация о
рассогласовании
Программа ис­
полнительских
действий
Решение о коррекциях
Информация о результатах
Реализация программы
Схема 2. Функциональная система саморегуляции деятельности по О.А. Конопкину
J
/
,
.
.
•
'
'
.
•.
•
.
.
•
.
'
..
Раскроем особенности функционирования в данной системе каждого из вы*
.>.' .
. •>
деленных информационных блоков в соответствии с описанием, представлен­
н ы м автором.
1. Регулятивная функция цели деятельности может быть в наиболее общем
(
виде определена как системообразующая, благодаря которой весь процесс са­
морегуляции формируется как векторное образование, то есть целью задана ее
направленность.
• 2.
Субъективная модель значимых условий деятельности представляет собой
к о м п л е к с информации, которой располагает в данный момент субъект, о тех ус­
ловиях, учет которых необходим по.его м н е н и ю . В соответствии с этой инфор­
м а ц и е й определяется программа исполнительских действий. Эта информация в
процессе деятельности подвергается постоянным изменениям (пополняется новой,'уточняется, переосмысливается).
-т..
,
-
3. ^ П р о г р а м м а исполнительских действий включает и н ф о р м а ц и ю о характе­
ре, с п о с о б а х и последовательности действий, которые позволят достичь постав­
л е н н о й ц е л и в имеющейся модели значимых условий.
4.
.и
Б л о к оценки результатов функционирует как «компенсирующее регули­
р о в а н и е » или регулирование «по возмущению», то есть на основе информации
о результатах реализации намеченной программы, однако для его функциони­
р о в а н и я необходима предварительная информация о критериях успеха, которые
определяются целью деятельности, но в ряде случаев не сводятся к ней.
5.
Информация о рассогласовании используется для коррекции программы
действий. Осуществления скорректированной программы позволяет получить
новое значение рассогласования, которое вновь учитывается для коррекции про­
граммы.
'
f
Ф у н к ц и о н и р о в а н и е каждого из выделенных блоков осуществляется на основе
I
.
.
.
.
использования методологических знаний, носителем которых является память
человека.
Н а л и ч и е функциональной дифференциации
в системе регулирующего компо­
нента деятельности (в т о м числе и математической) приводит нас к выводу о
целесообразности выделения в составе методологического
жания
обучения
5 функциональных
компонента
содер-
блоков: «знания об источниках математиче­
ских проблем и целях математической деятельности»; «знания о специфике
п р е д м е т а математической'деятельности»; «знания 6 принципах, методах мате­
матической деятельности»; «знания о параметрах и критериях оценки ее резуль­
татов»; «знания о направлениях и методах самокоррекции математической дея­
тельности».
J
'
Исследователями механизмов саморегуляции различных видов деятельности
установлено, что содержательное наполнение выделенных нами функциональ­
ных блоков знаний определяется множеством факторов. К их числу, в первую
очередь, относится характер выполняемой человеком деятельности. Отмечая
значимость этого фактора, И.Л. Энгельс классифицирует все эталоны результата,
входящие в функциональный блок «знания о критериях успешности деятельно'
• • •* * •<•••.
1
- г
•
-•
УХ
сти» по видам деятельности, в которых они формируются и проявляются. К их
числу относятся опознавательные эталоны (прототипы - типичные представите­
ли д а н н о г о класса объектов, абстракты - общий элемент для всех объектов дан­
ного класса), эталоны движения («перцептивный след» - идеальный образец дей­
ствия, «центральный результативный разряд» - идеальный образец результата
действия), эталоны поведения (установка, «модель потребного будущего»). Кро­
ме того, автор отмечает, что следует считать установленным «!.. что" далеко не
всегда субъект использует те критерии оценки успешности,' которые задаются
ему извне. В некоторых случаях человек руководствуется собственными внут­
р е н н и м и критериями и эталонами для оценки успешности выполняемой деятель­
ности» (180, 26). Этот факт говорит о том, что содержание знаний о регулиро­
вочных основах деятельности определяется не только предоставляемой человеку
и н ф о р м а ц и е й о параметрах оценки успешности деятельности, но также и субъ­
ективным опытом ее использования. Существенным элементом этого опыта яв­
ляются представления о максимально допустимых отклонениях результата от за­
данного эталона, или альтернативные критерии успешности.
.
с*.
Н а л и ч и е этих двух факторов отмечается и К л о ч к о В.Е. в своем исследовании
механизмов инициации мыслительной деятельности. О н а показывает, что одним
из ведущих «пусковых механизмов» деятельности является смыслообразование
в предъявленной цели деятельности («мотивообразующих смыслах»), характери­
зуемое привлечением « . . . дополнительных собственных целей, существующих
вне сознания, но проявляющихся в расширении действий, направленных
на
осознаваемую конечную цель» (69, 217). Значимость субъективного опыта дока­
зывается ею посредством выявления признаков «устойчивого поведения челове-
ка» в р а з л и ч н ы х проблемных ситуациях, «устойчивости ф о р м включаемости в
м ы с л и т е л ь н у ю деятельность и «уходов» от н е е . . . » (69, 233).
'' '
1
В экспериментальной психологии получены также д а н н ы е о значимости кон­
текста деятельности в выборе субъектом ее регулятивов. Так, проведенные
М . Коулом и А.Р. Лурии в 1971 - 1975гг. исследования этнических особенностей
м ы ш л е н и я позволили обнаружить, ч т о учащиеся, у с п е ш н о р е ш а в ш и е логические
задачи в стенах учебного заведения, возвращались к прежним способам оценки
с у ж д е н и й (основанным на использовании метода наблюдения) после возвраще­
ния в п р е ж н и е условия жизни. К числу факторов, существенным
образом
в л и я ю щ и х н а выбор норм деятельности, многие психологи относят также и ее
в р е м е н н ы е рамки (151,414-417).
Т а к и м образом, можно считать доказанным, что содержательное наполнение
в ы д е л е н н ы х блоков методологических знаний является производным от кон­
кретного
которого
вида математической
рассматривается
деятельности,
в качестве
курса, а также от контекста
его
ведущей
способность,
цели учебного
к
осуществлению
математического
осуществления.
В о п р о с выделения и методологической характеристики отдельных видов ма­
тематической деятельности является предметом исследования как самих ученых
- математиков (Ж. Адамар, Г. Вейль, А. Пуанкаре и др.) и специалистов в облас­
ти философии математики (И.Г. Тимошенко, И.С. Кузнецова, В . Э . Войцеховича,
В . В . М а д е р а и т.д.), так и методистов (Т.И. Ивановой, А.А. Столяра, М . Клякля,
А . Л . Ж о х о в а и др.)
_
В исследовании Т.А. Ивановой (64, 132) показано, что целостный гносеологи­
ческий цикл в математическом познании н е имеет'специфических особенностей. О н
представлен следующими основными этапами (схема 3): накопление фактов; выдви­
жение гипотез; проверка истинности гипотез; построение теории; в ы х о д в практику.'
Накопление
Выдвиже­
фактов
ние гипотез
i
•
Проверка истинно­
сти доказательством
t
Общенауч­
ные эмпи­
рические
методы: на­
блюдение,
сравнение,
анализ.
Частные ме­
тоды: вы­
числение, ' '
построение,
измерение,
моделиро­
вание.
;
Построение
теории
Выход в
практику
Аксиоматиче­
ский метод.
Математи­
ческое мо­
делирова­
ние..
• ii
Гипотетикодедуктивные: анализ,
синтез, ана-^
логия, не­
полная ин­
дукция,
, обобщение,
абстрагиро­
вание, ин­
туиция
конкретиза­
ция, дедук­
ция.
-
Доказательство, пра­
вила вывода, законы
логики, 'методы до­
казательства и опро­
вержения: синтетический,
аналитиче­
ский, от противного,
полной
индукции,
исчерпывающих
• проб,
математиче­
ской индукции, контрапозиции,
контр­
примеры, специальные методы.
Схема 3. Гносеологический цикл в математическом познании по Т.А. Ивановой
Однако процесс реализации этих этапов в математике часто оказывается значи­
тельно
растянутым
во
времени.
Это
позволяет
многим
исследователям
(К.А. Рыбникову, Ф. Клейну, Л.С. Фрейману), говорить о возможности выделения в
истории развития
математики
так называемых
«творческих»
и
«критических»
периодов. Характеризуя эти периоды, Ф. Клейн пишет: « . . . развитие математики
идет от творческих периодов, когда создаются новые теории, не думая об их обосно­
вании, к критическим периодам, когда'формирование нового знания отступает на
задний план, а отыскание основ установленных фактов начинает доминировать» (68,
31). Подтверждением этому служат факты существования в математической науке
многочисленных работ,-направленных на формулировку проблем (например, доклад
Гильберта на Парижском конгрессе, в ' к о т о р о м он сформулировал 2 3 - п р о б л е м ы ,
относящиеся к 11 областям математической науки), выдвижение гипотез (например,
гипотеза Гольбаха, гипотеза Ферма).
М н о г и е математические открытия далеко не сразу находят область своего приложения. Этот факт подтверждается выделением в математической науке «чистой» и
«прикладной» математики. Так, например, английский математики Харди, работая в
о б л а с т и ч и с т о й математики (теории" чисел и теории функций), был уверен, что
п о л у ч а е м ы е и м результаты не имеют, и никогда не будут иметь прикладного значе­
ния. Н о он ошибся, как и те, кто б ы л убежден в' «бесполезности» неевклидовой
геометрии, теории Галуа, математической логики и т.д. Его результаты были приме­
нены в ядерной физике, также как геометрия Римана - в теории относительности
Эйнштейна, теория Галуа - в кристаллографии.-математическая логика - в вычислительной технике.
П р и в е д е н н ы е факты позволяют утверждать, что отдельные этапы гносеологиче­
ского цикла в математике могут рассматриваться как относительно самостоятельные
виды математической деятельности:
•
математическое
творчество
- деятельность, направленная на получение
нового математического знания (конструирование новых математических'
понятий, получение новых математических утверждений - гипотез);
•
математическое
обоснование
- деятельность, направленная на обоснова­
ние истинности нового математического знания;
•
математическое
пользование
- деятельность, направленная на определе-
н и е области применимости и разработку способов использования имею­
щегося математического знания. • -
.
К этой же мысли в своих исследованиях приходят В . Новак, А . А . С т о л я р ,
И.Г. Т и м о ш е н к о . Так, В . Новак считает необходимым выделить следующие ви­
д ы математической деятельности: творческая деятельность, рациональная аргу­
ментация, приложения математики. И.Г. Тимошенко утверждает, что познава­
тельный процесс в математике представлен единством трех р е ф л е к с и в н ы х цик­
лов м ы ш л е н и я , олицетворяющих познавательные процедуры синтеза, обосно­
вания и смыслоформирования. А А . Столяр говорит о существовании таких ви­
д о в математической деятельности как: 1) математическое описание конкретных
с и т у а ц и й или математизация эмпирического материала ( М Э М ) ; 2) логическая
организация математического материала, полученного в результате первого аспекта деятельности ( Л О М М ) ; 3) применение математической теории, полученной в результате второго аспекта деятельности ( П М Т ) .
Такая классификация математической деятельности, несмотря на относитель­
ность, является значимой для нашего исследования, так как позволяет
учесть
специфику ведущей цели математических курсов при проектировании их мето­
дологической составляющей. Здесь следует заметить, что ведущей
зывать
цель математического
курса, реализованную
теме (содержании
изучаемых
вопросов,
ния процессуальной
стороны
обучения).
структуре
мы будем
в его методической
курса, технологии
на­
сис­
построе­
Декларируемые в программах учебных
курсов цели обучения математике гораздо шире ведущей цели курса, однако не
все они представлены в обязательныхрезультатах изучения курса и обеспечены
спецификой построения учебного процесса.
П о признаку ведущей цели все математические курсы м о ж н о условно под­
разделить на три вида.
•
Технологические
курсы - курсы, ведущая цель изучения'которых состоит в
формировании умений и навыков применять' математические знания к
: - р е ш е н и ю задач, в основном алгоритмического типа. В э т о й ' с в я з и ведущая
роль при проектировании их содержания принадлежит ф у н к ц и о н а л ь н ы м
связям (информация
курсов связывается
по принципу
цель-средство
• -'• • • (см. схему 4)).
1
•
Развивающие
курсы - курсы, ведущая цель которых состоит в развитии
качеств мышления, необходимых для самостоятельного получения мате­
матических знаний. В этой связи ведущая роль при проектировании их
содержания принадлежит генетическим связям ( и н ф о р м а ц и я курсов свя­
зывается по принципу: причина-следствие (см. схему 4)).
•
Научно-теоретические
курсы - курсы, ведущая цель которых состоит в
формировании системных знаний о содержании математических теорий.
В этой связи ведущая роль при проектировании их с о д е р ж а н и я принадле­
ж и т формально-логическим связям
(информация курсов связывается по
принципу: посылка-следствие (см. схему 4)).
Следует отметить, что в большинстве учебных математических курсов ве­
д у щ и е отношения учебных элементов дополняются и другими в и д а м и связей в
•'53
ситуациях: невозможности осмысления учащимися способа получения ведущей
связи (в этом случае она заменяется альтернативной); неоправданности,затрат
. у ч е б н о г о времени на демонстрацию ведущей связи; многовариантности (не ли­
нейности) порядка, определяемого ведущим видом связи (в этом случае веду­
щ и е связи дополняются вспомогательными). Представителями курсов со сме­
ш а н н ы м и связями являются систематические школьные к у р с ы математики для
у ч а щ и х с я 7-11 классов.
1
•
<
:
Образовательно-значимые -виды математической деятельности (математиче­
с к о е творчество, обоснование и пользование) в определенной степени характе­
р и з у ю т компонентный состав функциональной системы методологических зна­
ний. О б этом свидетельствуют данные, представленные в таблице 2..К р о м е знания целевой направленности математической деятельности" для
описания содержания выделенных блоков методологической составляющей ма.тематических курсов требуется знание стиля, математического
мышления,
ф о р м и р у е м о г о в процессе учебного познания. Образовательная значимость сти­
л е в ы х особенностей мышления п о д ч е р к и в а е т с я Ю . В . Сенько. В этой связи она
пишет:-«Элементом социального опыта является и стиль м ы ш л е н и я . В .общем
виде он выступает как система нормативных предписаний, о п р е д е л я ю щ и х под­
ход к деятельности,!!,ее-результатам. Нтобы у с п е ш н о осуществлять познава­
тельную и л и практическую деятельность, необходимо усвоить нормы стиля
м ы ш л е н и я » (143,9).
Технологические
Развивающие
курсы
курсы
Научно-теоретические
Проблема нахождения всех
делителей целого числа.
Задача разложения составного
числа на простые множители.
Представление целого
числа в виде произве­
дения простых делите­
лей.
Опреде­
ление
взаимно
простых
чисел
Понятие
разложения
на множи­
тели
курсы
Опреде­
ление
простого
числа
Опреде­
ление, со­
ставного
числа
Т. Если а;Ь - взаимнопростые,
то 3u;veZ:au+bv=l
Т. Если ab: р и р — простое,
Алгоритм
Признаки.
Понятия
простого
сти целых
ного це­
лых чисел
то а:рили
gs I
s a g s
I 8 i ?
8 5 1
S
£
1 2
So. »
Обобщенное свойство делимости
произведения на простое число.
С з 5
Теорема о раз­
ложении.
т
s
ного чис­
ла.
Ь:р
0J о н о
t=( 5 s х
О.
U
s о
С X о
CL
u
ч
£• 5
Определение
канонического
разложения.
Виленкин Н.Я. и др. «Математика: учеб­
Гельфман Э.Г. и др. «Делимость чисел»:
Куликов Л.Я. «Алгебра и теория'чисел» -
ник для учащихся V I класса - СПб.: Ма­
учебное пособие для учащихся 5-6 кл. -
М : Высшая математика, 1979 - С.365-367.
кет, 1995 - С.18-19.
Ч.И. Изд. I V -Томск: ТГУ, 2001 - С.8085.
Схема 4. С т р у к т у р а т е м ы « Р а з л о ж е н и е с о с т а в н о г о ч и с л а н а п р о с т ы е м н о ж и т е л и »
Таблица
2
'Зависимость содержательного наполнения блоков методологической составляющей математических курсов
от с п е ц и ф и к и их целевой направленности
Jtodbi
курсов
(~~~~>^
Блоки МС^~^j •
-,. Знания
о
Развивающие
(математическое
курсы
творчество)
Научно-теоретические
(математическое
обоснование)
П р о б л е м ы , п р и в о д я щ и е к постановке П р о б л е м ы , п р и в о д я щ и е
задачи к о н с т р у и р о в а н и я н о в ы х ма­ становке
цели
курсы
задачи
т е м а т и ч е с к и х объектов и у т в е р ж д е ­ математических
Технологические
(математическое
к по­ П р о б л е м ы ,
курсы
пользование)
приводящие
к
по­
обоснования становке задачи разработки с п о ­
у т в е р ж д е н и й . собов использования м а т е м а т и ­
н и й , о них. Ф у н к ц и и математических' С у щ н о с т ь категорий: «доказуе-„ ч е с к и х у т в е р ж д е н и й . С у щ н о с т ь
Знания
о
у т в е р ж д е н и й в р е ш е н и и этих п р о ­ мость», «истинность», « о с м ы с ­ категорий:
«разрешимость»,
- с*.
блем. С в я з ь видов математических ленность» математического ут­
«вычислимость», «правило»,
у т в е р ж д е н и й с их прагматическими в е р ж д е н и я .
« а л г о р и т м » , «формула», « о б ­
ф у н к ц и я м и и местом в теории.
ласть применимости».
С в о й с т в а изучаемых объектов или В и д ы м а т е м а т и ч е с к и х утвер-, С м ы с л о в ы е з н а ч е н и я м а т е м а т и ­
значимых
процессов, п р е п я т с т в у ю щ и е р а с п р о ­ ж д е н и й
условиях
с т р а н е н и ю н а них наличных матема­ структуре и м е с т у в' м а т е м а т и ­ м и ч е с к и е возможности, о п р е д е ­
достижения
т и ч е с к и х з н а н и й . Связи этих с в о й с т в ч е с к о й т е о р и и . Логические, со- л я е м ы е и х логической структу­
цели
по
их
логической ческих утверждений.
Алгорит­
с ранее и з у ч е н н ы м и свойствами о б ъ - д е р ж а т е л ь н ы е и иерархические рой и с м ы с л о в ы м и значениями.
ектов, или процессов. Р е а л ь н ы е п р о ­ связи м а т е м а т и ч е с к и х п о л о ж е ­ П р и з н а к и п р и м е н и м о с т и п р а в и л ,
образы
способов
сведения
(редук­ н и й .
и алгоритмов.
ц и и ) одних свойств объектов к дру­
гим.
Знания
о
Виды
познавательных
способы
методах
их
барьеров
преодоления.
и Виды
математических
Методы ждений,
утвер­ В и д ы задач и связанные с н и м и
п о н я т и й и теорий
и
•" *
основные
достижения
стратегии
решения.
правдоподобных рассуждений, эври­ связанные с н и м и м е т о д ы обос­
М е т о д ы поиска способа р е ш е ­
стики. П у т и и м е т о д ы конструирова­ нования:
цели
ния математических понятий.
метод
дедуктивный
вывод,
интерпретаций,
индук­
н и я задач и его реализации.
т и в н а я проверка на в с е х ' воз­
Е
можных,
типичных,
частных
или предельных случаях. Н о р ­
мативные
основы
реализации
этих методов.
Знания
о
критериях
И с х о д н ы е представления о результа­ И с х о д н ы е представления о р е ­ И с х о д н ы е представления о р е ­
тах
(функциональной
успешности
характеристиках,'' их
достижения
держании). Принципы
цели
ского творчества.
значимости, зультатах ( а л ь т е р н а т и в н ы х ан­ зультатах (результаты п р и к и д к и
исходном
со­ титезисах). П р и н ц и п достаточ­ значении результата,
функцио­
математиче­ ного основания и связанные с\ н а л ь н ы х возможностях). П р и н ­
О б щ е п р и з н а н н ы е ним критерии: уровень строго- ц и п ы математического
пользо-
критерии о ц е н к и результатов: кор­ сти, ясность и убедительность вания. Критерии правильности,
ректность - определений,
тельные
и
о б ъ я с н и ­ обоснования.
предсказательные
воз­
ческой значимости,
можности, непротиворечивость, н о ­
гарантиро-
ванности результата, м и н и м а л ь • 4 1 " -b-.v
ность риска, у с т о й ч и в о с т и с п о -
визна, научная и ' п р а к т и ч е с к а я зна­
чимость, эстетичность:
п о л н о т ы аргументации, практи­
• •
'
Л.Г
соба р е ш е н и я н а условиях, ра­
циональности способа р е ш е н и я
и т.п.
у
' Знания о на­ Т и п и ч н ы е
правлениях
способах
коррекции
ошибки
и определений,
их
причины,
ф о р м у л и р о в к и Т и п и ч н ы е о ш и б к и в обоснова­ Т и п и ч н ы е -ошибки в
выдвижения
методы
гипотез, н и и математических у т в е р ж д е - р а з л и ч н ы х
выявления
о ш и б о к и с п о с о б ы их устранения.
.
«...
нии
,
. . 1 .
математиче­
с к и х задач (на построение а л г о ­
теоретиче­ ритма, п о л у ч е н и и ф о р м у л ы , в ы ­
При­
числение,
преобразование
и
ч и н ы появления этих ошибок,
т.п.). М е т о д ы о б н а р у ж е н и я этих
м е т о д ы их выявления и спосо­
о ш и б о к и и х устранения.
б ы устранения.
• в.
ские,
(логические,
видов
решении
психологические).
Дискутируя о содержании категории «стиль мышления», А.Д. Родин пишет:
« . . . всякая научная деятельность, ^в том числе и всякое научное рассужде­
ние, помимо логической «правильности» характеризуется еще и особым
стилем» (136, 26). «Высказывание «то ж е самое^иначе» означает сменить
стиль изложения. Верно, что таким образом стиль оказывается чем-то несу­
щественным по сравнению с содержанием знания. Н о также верно, что со­
держание не существует вне стилей ...»(136, 35). «Стиль это не остаток,
который остается в математическом рассуждении за вычетом существа дела,
а способ действия мысли в локальном .контексте» (136,35).
Когнитивный стиль, по определению М.А. Холодной, - «это процессу­
альная (инструментальная) характеристика интеллектуальной деятельности,
определяющая способ < получения того или иного когнитивного продукта»
(169, 5). Однако единой т о ч к и зрения на соотношение понятий когнитивно­
г о стиля и методологических основ деятельности в научной литературе нет.
П р о в е д е н н ы й нами анализ научных данных позволяет выделить д в е крайние
позиции:: отождествление понятия когнитивного стиля и понятия методоло­
гических оснований деятельности; противопоставление этих понятий. П р и ­
м е р о м первой позиции может являться высказывание Ю . В . Сенько: «науч­
н ы й стиль м ы ш л е н и я является методологическим знанием и отражает логи­
ку научного исследования. Научный стиль мышления выступает как система
методологических принципов и характеристик, которыми в д а н н у ю эпоху
руководствуются ученые в своем подходе к исследованию и его результа­
там» (143, 10).
Пример противоположной точки зрения -
утверждение
М.А. Розова: «Что же следует понимать под стилем применительно к науке
или к научному м ы ш л е н и ю ? Да, конечно, мышление одной э п о х и отличает­
ся от мышления эпох предыдущих и последующих. П е р в о б ы т н ы й человек
мыслит не так, как мыслит современный ученый. У нас другие м е т о д ы , дру­
гой арсенал средств ... у нас другие задачи, другие вопросы, другие требо­
вания к ответам, мы просто стоим на другом уровне понимания природы . . . .
Н е у ж е л и все это следует называть с т и л е м ? ' Д у м а ю , что нет, ибо все выше
перечисленное характеризует не стиль, а технологию познания и мышле­
ния» (136, 19). Е щ е одним термином, используемым в н а у к е д л я обозначе­
ния специфики деятельностной "стороны познания, является^ понятие «фор­
ма» исследования. Р а с к р ы в а я е г о содержание, В:Э. Войцехович пишет: «Под'
содержанием исследования будем понимать отражение того, что относится к
о б ъ е к т и в н о й ' р е а л ь н о с т и ' - м а т е р и и й ее" атрибутам. К форме исследования
отнесем пути, способы, м е т о д ы познания материальной действительности,
относительно независимые от содержания исследования» (27,''97). Относя
математику к формальным'метаисследов'аниям (то есть наукам, изучающим
ф о р м ы исследования реального мира), В.Э. Войцехович, тем не менее, счи­
тает возможным и в ней выделить две стороны деятельности: содержатель-,
ную и формальную. «К форме метаисследования отнесем - п и ш е т он, - ме­
тоды познания процесса исследования, относительно н е з а в и с и м ы е ' о т со­
держания метаисследования» (27, 97). Трактовка.понятияк<форма исследо­
вания», данная В.Э. Войцеховичем вполне согласуется с содержанием поня­
тия «стиль мышления» (в смысле определения М.А. Холодной). Это позво­
ляет нам считать (с учетом з а м е ч а н и я ' М . А . Розова), что методологические
знания являются структурной составляющей всякого стиля деятельности (в
т о м ч и с л е научного и.учебного.познания), определяя его форму. Содержа­
ние этой методологической составляющей зависимо от множества факторов,
о п р е д е л я ю щ и х , в конечном счете, своеобразие стиля м ы ш л е н и я . О д н и м из
таких факторов являются индивидуально-психические различия. Этот факт
был п о д м е ч е н еще А . , П у а н к а р е . Рассуждая о типах математического м ы ш ­
ления, он писал: «Часто об одних говорят, что они аналитики, других назы­
вают геометрами, но это не мешает т о м у , ч т о первые остаются аналитиками,
д а ж е когда занимаются вопросами геометрии, в т о время как другие являют­
ся г е о м е т р а м и ^ даже если занимаются чистым анализом. С а м а природа и х
у м а д е л а е т их «логиками» или «интуитивистами» (132, 103). Я р к и м приме­
р о м проявления • когнитивных стилей я в л я ю т с я различия в способах и ре­
зультатах работы ученых* над одними и теми ж е проблемами. Сравнением
стилей м ы ш л е н и я ^ у ч е н ы х -математиков .занимались
В.Э.
Войцехович,
И.М. Я г л о м и другие. Изучению были подвергнуты стили работы таких пар
ученых, как И. Ньютон и Г.Лейбниц, Гильберт и Брауэр, П и ф а г о р и Фалес,
Аристотель и Платон, Я . Бойаи и Н И . Лобачевский. Результатами.этих ис­
следований явилось не только вскрытие психических причин различий в их
взглядах на одну и ту ж е п р о б л е м у , н о и установление соответствия стилей
их м ы ш л е н и я культуре их стран и исторической э п о х е . Так, подводя итоги
сравнительному анализу стилей м ы ш л е н и я И.Ньютона
и Г.
Лейбница,
В.Э. Войцехович пишет: « ...хотя стиль каждого ученого глубоко индиви­
дуален, а выдающихся - просто неповторим, тем не менее, м о ж н о сделать
вывод, что стиль Ньютона в основном геометро-механический, а стиль
Лейбница - алгебро-логический. Это вполне соответствует и культуре их
стран» (27, 498). Войцехович В . Э. считает значимыми для образования сти­
ля математического мышления следующие группы факторов: 1) личностные
особенности; 2) особенности, определяемые спецификой предмета познания; 3) особенности, определяемые социально-культурным контекстом [27].
Таким
учебного
познания:
образом,
учащимися
проектировании
курса необходим
особенностей
особенностей
пособия
при
подхода
и учителя,
учет
факторов,
предметной
к раскрытию
а также
(возрастные
и
В е д у щ и м средством
методологической
определяющих
составляющей
стиль
учебного
составляющей
содержания
этого содержания
авторов
особенностей
осмысления
этого
курса;
учебного
содержания
индивидуальные).
проектирования
формы
учебного познания при
построении содержания учебных курсов и организации учебного процесса
являются специальные
методы
обучения математике,
так как по своей сути
они « . . . о т р а ж а ю т основные методы познания, используемые в математике»
.(139, 154). П р и этом метод обучения рассматривается как « ф о р м а движения
содержания обучения» (139, 157), а не как способ взаимосвязанной деятель- ности учителя и учащихся в учебном процессе, не зависящий от содержания
обучения. Такое понимание специальных методов обучения математике де61
лает возможным
сближение содержательной и процессуальной стороны
обучения за счет рассмотрения специальных методов обучения математике
не только в качестве средств организации учебного процесса, но и в качест­
ве содержания обучения. Л о нашему мнению, суть перехода от экстенсив­
ного пути модернизации содержания образования к интенсивному состоит в
решении
проблемы
реализации
возможностей
совместной
учебно-
познавательной деятельности в обогащении содержания математического
образования учащихся.
"
v
Т а к и м образом, мы приходим к выводу о том, что в качестве
содержания
обучения
(являющаяся
отражением
жения,
деятельность
этой информации,
сти источников
может
выступать
системы
(учащегося,
совершаемая
не только учебная
научных
учителя)
в процессе
источника
знаний),
но и форма
по получению
обучения
информация
и
ее
изло­
использованию
(принцип
комплексно­
МС).
Реализация данного принципа требует, в первую очередь сближения форм
научного и учебного познания" О б с у ж д е н и ю возможности и необходимости
такого сближения посвящены многочисленные работы психологов, педаго­
гов и методистов. Подробный анализ различных точек зрения на соотноше­
ние процессов научного
и
учебного познания представлен
к работе
С.А. Ш а п о р и н с к о г о [178]. Проведенный им анализ показывает, что все учё­
н ы е е д и н о д у ш н ы в утверждении о том, что научное исследование и препо­
давание - процессы взаимосвязанные, но отнюдь не тождественные. Приве­
дем в качестве примера образное высказывание Луи де Бройля о соотноше­
н и и рассматриваемых процессов. «Преподавание, по крайней мере, на выс­
ш е м уровне, и исследовательская работа являются как б ы д в у м я братьями врагами, о б ъ е д и н е н н ы м и ' т е с н ы м и родственными узами, к о т о р ы е никогда
нельзя разорвать, но между н и м и ; тем не менее, существуют своеобразные
секреты и постоянный антагонизм.'Исследование непременно предполагает
вечное беспокойство, преподавание как таковое стремится к установлению
невозмутимой уверенности, которая противопоставляется
беспокойству»
(96, 344-345).
О д н а к о п р и з н а н и е . э т о й нетождественности л и ш ь , у с и л и в а е т стремление
..исследователей найти способы отражения научного - познания в .учебном
. процессе, так как все они отмечают значимость такого с б л и ж е н и я для дос­
тижения цели формирования способности учащихся к самостоятельной на­
у ч н о й деятельности. Так, в
[106]
говорится: «Стерильное
абстрактно-
отвлеченное от методологических оснований преподавание в лучшем случае
продуцирует знание материала, а не умение специалиста самостоятельно
ставить научные проблемы, вести творческий поиск истины, определять
стратегию научного исследования» (106, 6). «Раскрытие науки как деятель­
ности - п и ш е т Л.Я. Зорина - необходимо для полноценного усвоения знаний
и формирования научного м ы ш л е н и я учащихся, для подготовки их к совре­
менному труду» (61, 42). Результатом научных поисков в этой области явилась разработка методов проблемного обучения: эвристическое изложение,
эвристическая беседа, частично-поисковый метод, исследовательский метод
[103]. В педагогике и методике преподавания математики получила свое
развитие идея историко-генетического метода. Эта идея была впервые высказана и реализована Дж. Валлисом (1685г.) в его «Историческом и практическом трактате по алгебре». Суть данного метода, во всех его вариациях,
сводится к
тому, что в учебном процессе «в сжатой сокращенной форме
воспроизводится действительный исторический процесс рождения и разви­
тия ... знаний» (67, 152). Общепризнанным в системе Российского матема­
тического образования является факт использования данного метода в качестве основы проектирования системы учебных математических курсов (историкб-научный подход к построению содержания математического образо­
вания).
У ч е б н ы е математические курсы, в связи с реализацией историко-научного
подхода, принято соотносить (хотя и приближенно) с определенными историческими периодами развития математической науки. Так, период элеменi
-
..'-14
. . .
63
тарной математики (V в. д о н.э; - X V I в н.э.), характеризуемый Ф.Энгельсом
с л е д у ю щ и м образом: «Элементарная математика, математика постоянных
величин, движется, по крайней мере в о б щ е м и целом, внутри границ фор­
мальной логики» (182,'127). В толковом словаре понятие элементарная ма­
тематики описывается как несколько'неопределенное понятие, охватываю[
'
•
щее в основном разделы математики в объеме средней школы.
" П р а к т и ч е с к о е ж е использование такого соответствия требует введения
м н о г о ч и с л е н н ы х оговорок, связанных с реализацией принципа эклектично­
сти при построении содержания школьных математических курсов, и постоянной тенденцией к сближению содержания обучения с передовыми рубе­
ж а м и математической науки. Этот факт подчеркивает и А.А. Столяр, гово­
ря: « О б ы ч н о говорят, что в школе изучается «элементарная математика».
О д н а к о с применением этого термина часто связаны недоразумения, ввиду
того, что он используется для обозначения двух различных понятий. С одной стороны, этим термином обозначают в с ю математику д о X V I I в., т.е.
. он
. •
«совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не
пользуются о б щ и м и понятиями переменной, функции, предела и тем более,
о б щ и м понятием множества», с другой - школьный предмет, т.е. «совокуп­
ность математических дисциплин, изучаемых в средней общеобразователь­
ной ш к о л е » ' ( 1 5 4 , 26).
Противоречия здесь связаны, в первую очередь, с
ж. -
тем, ч т о систематические курсы школьной математики часто включают в
себя элементы содержания научных теорий, возникших в более поздний ист о р и ч е с к и и период: элементы аналитической геометрии, векторной алгебры,
дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и т.п.
С другой стороны, исторические периоды развития математической науки также не обладают содержательной определенностью. Свидетельством
этого являются историко-научные исследования периодов развития матема­
тики А . П . ЮшкевичаГ А.Н. Колмогорова и др.,' которые отмечают отсутствие синхронности прогресса математики в различных регионах и странах.
Так, А . П . Ю ш к е в и ч отмечает, ч т о «Термин «элементарная математика» бо64
лее подходит, правда, с рядом оговорок, к длительному периоду
примерно
с V по X V I вв., хотя и здесь имелись существенные, более спорадические,
чем систематические, подъемы на в е р ш и н ы неэлементарной 'математики»
1
(184, 15).
."-*'•
' '. ' ' "
Все это ставит под сомнение целесообразность установления однозначно­
го содержательного соответствия между историческими этапами развития
математической науки и учебными математическими курсами, однако, с
точки зрения отражения в учебных курсах ведущих исторических форм на­
учного познания установление такого соответствия нам представляется воз­
м о ж н ы м . Доказательством образовательной значимости проведения этой
параллели
являются
данные
психологической
науки
(В.В. • Давыдов,
Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, Э.В. Ильенков и др.). И м и установлено, что
учащиеся присваивают культурные ф о р м ы в процессе учебной деятельно­
сти, осуществляя при этом мыслительные действия, адекватные тем, посред­
ством которых исторически вырабатывались продукты духовной культуры.
Эту же мысль высказывают и сами математики. Так, в 1904г. французский
математик А. Пуанкаре писал: «Зоологи считают, что за короткий период
развития эмбриона животного он воспроизводит историю своих предшест­
венников всех эпох. Кажется, что то же самое происходит в развитии ума.
Задача воспитания - дать уму ребенка пройти то, что изведали его предки,
пройти быстро определенные этапы, но не опустить ни одного из них. Для
достижения этой цели история науки должна служить поводырем»
(133,
52). Возможность описания истории развития математики с точки зрения
характеристики ведущих форм научного познания доказана исследованиями
Т. Куна, И. Лакатоса, В.Э. Войцеховича, А.Г. Новикова и др.
Так, анализ данных, представленных В.Э. Войцеховичем [27], позволяет
дать характеристику исторических этапов развития математической науки с
точки зрения характеристики форм научного познания (таблица 3).
Таблица 3
С п е ц и ф и к а исторических ф о р м научного м а т е м а т и ч е с к о г о познания
(по В.Э. Войцеховичу)
\Пе| риод
Связь
математики
с другими
науками
и
Особенности
математической
познавательной
деятельности
практикой
по­ Метаэмпирическая
Практические
о
требности:
индукция
-
сравнение
измере­ свойств определенного класса идеализирован­
ние и сравнение ве­ ных мысленных образов с ц е л ь ю открытия то­
«3
5
ад
£
Ч
'Я
а
личин,
построение го общего, что относится к ним. Это общее
о б ъ е к т о в и т.п. (раз­
витие
от
фиксируется
м е т а э м п и р и ч е с к и м и - . , законами
естество­ (например, 5 ^ « З г •). Знания носят^ рецептур­
2
знания).
н ы й характер. Истинность законов обосновы­
в
ад
вается о п ы т н ы м путем (например, измерением
нескольких кругов с р а з л и ч н ы м и радиусами).
Сомнения
ческого знания, по­
лученного
ж
«о
ад
философии
математи­ дедукции как средства доказательства сужде­
верности
яад
в досто- Проникновение в математику из
ний, выдвинутых посредством метаэмпириче-
индук­ ской индукции (обоснование суждений путем
т и в н ы м путем (раз­ аналитического вывода их из практически ис­
витие
математики тинных утверждений). Основной целью дея-
от философии).
тельности стало не открывать истины, а обос­
новывать их.
Функциональная
Основным методом выдвижения гипотез стал
г-
дифференциация
метод метаэмпирической индукции. Под ней
I
двух .
Е
развития,: математи­ предположений,- фиксирующих повторяющие­
источников подразумевалось выдвижение' правдоподобных
ки: философии и ес­ ся свойства математических объектов опреде­
"5
0
a
тествознания.
ленного класса.. Основным
методом
доказа­
тельства справедливости г и п о т е з стала дедук­
1
ция.
Сближение
, • .
матема­ Под гипотезой Понимается индуктивное обоб­
тики и естествозна­ щение (теорема). Новая теория, не получившая
К
3
§
в
к
3
а:
ж
§•
к
ния.
применения на практике, не считается гипоте­
тической, если имела наглядную
эмпириче­
скую интерпретацию. М е т о д индукции как ме­
тод математического исследования т о недо­
оценивается, то практически приравнивается к
доказательству. Конец периода характеризует­
3
S
о
5
ся постоянно растущими требованиями к стро­
гости дедукции. Впервые математики обраща­
ю т внимание на метод комбинирования поня­
тий и выбора подходящей комбинации, на роль
вероятности и случайности в и х науке.
,
пере­ Н о в ы е умозрительные конструкции",'! которым
стает быть
нагляд­ долго не удается найти интерпретацию, отно­
ной.
Укрепляется сят К гипотезам, также как и утверждения, по­
союз
м а т е м а т и к и - с лученные методом метаэмпирической индук­
я
S
а
логикой ' и v ф и л о с о ­ ции. Методом их проверки выступает метод
S
ственными, общест­ чивость теорий, некоторые ученые
>a
о
в е н н ы м и и техниче­ также возможности их использования в естест­
фией,' а также есте­ интерпретаций,
ж
•
Математика
с к и м и науками.
ад
доказывающий
непротиворе­
требуют
вознании. Индукция перестает быть ведущим
методом выдвижения новых понятий, на пер­
8
•"О
о
я
о»
вый план выходят методы комбинирования и
выбора. Аксиоматический и генетический ме­
тоды изложения теорий развиваются в связи с
проблемами обоснования. Требования к стро­
гости возрастают в связи с р о с т о м абстрактно­
сти теорий.
Образовательная значимость учета исторических форм познания при
проектировании с п о с о б а ' и з л о ж е н и я предметного содержания учебных ма­
т е м а т и ч е с к и х . курсов подтверждается е щ е и тем, что в силу специфики
предмета математической науки исторические формы познания не замеща­
ю т в ней одна другую, а обогащают и взаимно дополняют друг друга. Так,
И . С . К у з н е ц о в а в своем докторском исследовании выделила~две ведущие
ф о р м ы познания, характерные для развитого математического знания: метаэ м п и р и ч е с к о е и метаумозрительное исследование. Для метаэмпирического
исследования, по ее м н е н и ю , характерно получение новых математических
утверждений на основе индуктивного обобщения тех данных, которые были
п о л у ч е н ы в других науках. Раскрывая специфику содержания данной ф о р м ы
математического познания, она пишет: «метаэмпирический уровень иссле­
д о в а н и я - это та математика, которую традиционно относят к прикладной»
( 8 1 , 103). К р о м е того, е ю доказывается, что специфика метаэмпирического
исследования сохраняется и в том^ случае, когда метаэмпирическими факта­
ми выступают уже не естественнонаучные теории, а разделы прикладной
математики. Это позволяет сделать вывод о возможности выделения в метаэмпирическом исследовании ,, несколько сосуществующих
иерархических
уровней. И.С. Кузнецова выделяет 4 уровня, характеризуя их с л е д у ю щ и м
образом:
• « о б о б щ а ю т с я результаты изучения истории формирования естественнона­
у ч н ы х т е о р и й / в которых фигурируют числа, фигуры, но не в явном виде;
обобщаются результаты исследования операций, процедур, приводящих к
;
• н е к о т о р ы м ' з н а н и я м , т о г д а в о з н и к а ю т ' м е т а э м п и р и ч е с к и е 'понятия, формируются-метаэмпирические з а к о н ы ; '
'
•
•'•'<
• о б о б щ е н и ю могут подвергаться наряду с естественнонаучными теориями
математические утверждения, математические теорий," относящиеся к об­
ласти прикладной математики;
-
i
1
*
• метаэмпирическими фактами являются разделы чистой математики;
• обобщение результатов в области континуальной математики сочетается
с синтезом идей из других разделов математического знания, понятия
дискретной математики проникают в континуальную.
Необходимость выделения нескольких уровней в метаэмпирическом ис­
следовании отмечалась еще И. Лакатосом [188], который считал необходи­
м ы м применительно к математическому творчеству ряда исследователей
X V I I I - X X века использовать термин «квазиэмпирическое познание»,'то есть
познание, состоящее в последовательном обобщении одних математических
теорий другими, способом,.сходным;с процессом эмпирического познания.
Д а н н ы й способ познания в математике И. Лакатос противопоставлял «евклидовому» (одноуровневому), состоящему в распространении истины лишь
в направлении от аксиом к теоремам.
Отдельным разновидностям метаэмпирического исследования, по мнению
И.С. Кузнецовой, следует противопоставить метаумозрительное исследова­
ние, специфика которого состоит в том, что объектом исследования высту69
п а ю т метаумозрительные понятия, содержание (смысловое значение) кото­
р ы х ограничивается лишь совокупностью исходных утверждений о них, то
есть, л и ш е н о образной основы. Оперирование такими понятиями осуществ­
-
ляется в соответствии с-системой строго'оговоренных правил, т о е с т ь и с ­
ключается полностью возможность оперирования образами понятий.
При­
м е р о м таких понятий я в л я ю т с я конструктивные числа (натуральные, целые
и др.), конструктивные функции и т.п. Кроме разделов конструктивной ма­
т е м а т и к и к примерам метаумозрительных теорий она относит и алгебру ква­
т е р н и о н о в , при построении которой Гамильтону пришлось отказаться от ис­
пользования аналогии обобщения и использовать идею з а м е щ е н и я элемен­
т о в в гештальте, в качестве которого была использована операциональная
м о д е л ь о б ы ч н о й алгебры [81]. Эти соображения позволяют нам выдвинуть
с л е д у ю щ е е основное положение концепции ^проектирования. методологиче­
ской составляющей учебных математических курсов:
•
содержание
. учебного
функциональных
математического
формы математического
метного
содержанием
предметной
блоков
методологической
"курса должно
познания,
с учетом
обусловленности
быть
определяемой
особенностей
составляющей
адекватно
спецификой
его трактовки
характеру
его
пред­
(принцип
МС).
• Реализация выдвинутого принципа требует, в первую очередь, классифи­
кации учебных математических курсов по характеру ведущей ф о р м ы учеб­
ного познания, определяемого спецификой трактовки их предметного со­
д е р ж а н и я . В основу такой классификации положим классификацию истори­
ч е с к и х ф о р м научной математической деятельности.'
П р и в е д е н н ы е выше д а н н ы е историко-научных исследований позволяют
нам разделить
всё математические
курсы на 4 основных
вида'ио
характеру
ведущей формы учебного познания, определяемой характером предметного
содержания:
•
математические курсы метаэмпирического
познания
(пропедевтические
курсы математики) - курсы, предметное содержание которых составля­
ю т метаэмпирические понятия и метаэмпирические законы (МЭ);
•
математические курсы метаэмпирического
познания-с,элементами
де-
дукции (систематические школьные курсы алгебры и геометрии,;вузов­
ские курсы прикладной математики) - курсы, предметное содержание
которых составляют метаэмпирические дедуктивные теории или разде­
л ы этих теорий (МЭсД);
•
^
математические курсы квазиэмпирического
познания
(базовые вузов­
ские к у р с ы содержательной математики) - курсы, предметное содержа­
н и е которых составляют содержательные математические теории, не
и м е ю щ и е непосредственной связи с реальностью (КП);
•
математические курсы метаумозрительного
познания
(курсы абстракт­
ной и конструктивной математики) — курсы, предметное содержание
которых составляют формальные математические теории ( М У П ) .
Предметная детерминированность выбора ведущей ф о р м ы познания при
проектировании
учебного
курса
определяется
наличием
определенных
взаимосвязей между содержательной и формальной стороной познавательной деятельности. Однако, эти связи носят не жесткий характер, допуская
некоторое варьирование учебно-познавательных форм. Результатом такого
варьирования является появление различных подходов к трактовке того или
иного научного понятия, к раскрытию сущности математической теории, к
доказательству справедливости утверждения, к организации учебной дея­
тельности. В с е это определило необходимость введения оговорки учета спе­
цифики трактовки содержания в формулировку принципа предметной обу­
словленности.
Однако, как показывает опыт перестройки содержания ш к о л ь н ы х мате­
матических курсов, осуществленный в рамках колмогоровской
реформы
школьного математического образования, а также попытки включения в
ш к о л ь н ы й курс математики элементов вузовского курса, такое варьирование
д о п у с т и м о только в рамках одной й той ж е базовой формы познания. Фор­
м и р о в а н и е современных представлений о том или ином научном понятии
м о ж е т быть достигнуто л и ш ь путем поэтапного включения его во все исто­
рические формы научного,познания, начиная с тех, которые привели к его
появлению.-В противном случае содержание понятий существенным обра­
зом обедняется и л и . и с к а ж а е т с я , идейная сторона математических положе­
ний оказывается недоступной для восприятия учащихся.
•
В о з м о ж н о с т и варьирования трактовок математических понятии и утвер­
ж д е н и й в рамках одной и той же ведущей ф о р м ы учебного познания дока­
з ы в а ю т с я наличием альтернативных учебных математических курсов, а
т а к ж е р а з л и ч н ы х методик организации их изучения. Сравнительному анали­
зу этих трактовок посвящены главы диссертационных исследования, моно­
г р а ф и й и учебников по методике преподавания математики.
Полученная классификация ведущих ф о р м учебного познания позволяет
уточнить содержание методологической составляющей учебных математических курсов за счет выбора характерных для той или иной ведущей формы
. \
>.-,
:
«...
*
. Ж,,
..
• •
•'-Ч-.А
учебного познания специальных методов обучения математике и описания
• ,
lis' .. V.V
f '•
"•- - 1 К. .
• •
з н а н и й об этих методах, которые могут быть получены у ч а щ и м и с я в учеб­
н о м процессе (таблица 4).
Таблица
4
З а в и с и м о с т ь с о д е р ж а н и я м е т о д о л о г и ч е с к о й с о с т а в л я ю щ е й м а т е м а т и ч е с к и х к у р с о в о т целевой н а п р а в л е н н о ­
сти и способа т р а к т о в к и их п р е д м е т н о й с о с т а в л я ю щ е й
• • Развивающие
Виды
• -„.и
курсов
Метаэмпи-
курсы
".
Научно-теоретические
.' • ;•'.!•..
•
.'
Технологические
курсы
»•«
Знания о практической деятельности
1-1
курсы
З н а н и я о методе м а т е м а т и -
. .-.г,,ь--.-
рическое
как источнике математических
познание
блем. З н а н и я о
про-
методе математиче­
ческого м о д е л и р о в а н и я
ведущем
способе
как
решения
ского м о д е л и р о в а н и я как способе по-
прикладных и практических
л у ч е н и я н о в ы х математических поня-
задач. З н а н и я об
,
I " .
. 1
• - •
тий. З н а н и я о методах эмпирического
исследования и метаэмирической и н д у к ц и и как способах вьщвижения
и
верификации математических гипотез.
•
/
' - J ' '
условиях
.!.
••:(:
практической
деятельности
Тг • .У" ' . s. • . ' •
з н а ч и м ы х д л я оценки э ф ф е к тивности правил м а т е м а т и • .•'
•» • .
ческой деятельности, значи­
м о с т и п о л у ч е н н ы х результа­
тов.
Метаэмпи-
Знания о существовании двух путей
рическое
происхождения
познание
математических
Знания о с у щ н о с т и систематизи­ Знания
о
функциональных
(ак­ р а з л и ч и я х у т в е р ж д е н и й
ут­ р у ю щ е й ф у н к ц и и д е д у к ц и и
ма­
с верждений: э м п и р и ч е с к о м и теорети­ с и о м а т и ч е с к о м методе как п р о ц е ­ тематической т е о р и и . З н а н и я
ческом. Знания о внутриматематиче- дуре
дедукции
ских и внематематических проблемах н ы х знаний). Знания об условиях д а ч
как источниках развития математических
знаний,
. г.
зависимости
• '
систематизации
накоплен­ о видах м а т е м а т и ч е с к и х за­
элементами
и
сущности
'.ft:,
выбора и с х о д н ы х понятий и ут­ с о в е р ш а е м ы х по
степени в е р ж д е н и й , определении и дока­ р е ш е н и я :
'
-
I-*'
поня­ т а ц и и ,
условиях
,.'<1Г' , • • •
•
.«^•_.
практическую
- -""J
проверку
-
, <
. J
•Д. > ! I -'GC
об о т н о ш е н и я х л о г и ч е с к о г о сле­
вения п р о б л е м ы истинности в математ и к е (получение з н а н и й , не д о п у с - д о в а н и я и предшествования
кающих
..
осуществ-
т и й и у т в е р ж д е н и й к и с х о д н ы м , ления. Знания о м е т о д а х как
т о д е как ведущей п р и ч и н е возникно-'
.
их
направ-
-«• ' J J » .
ского сведения остальных
' X.
ходу
целевой
зательстве как о способах логиче­ ленности, способах аргумен-
достоверности получаемого знания от
метода познания, о дедуктивном ме­
действий,
их о т н о ш е н и я х
задающих
как
порядок
о б о б щ е н н ы х способах м а т е матйческой
деятельности.
Знания об этапах и стратегиистинности), знаний о специфике ма­ на м н о ж е с т в е п о н я т и й и у т в е р ­ я х работы с задачей.
т е м а т и ч е с к и х у т в е р ж д е н и й и требова­ ж д е н и й математики. З н а н и я спо­
ниях к и х ф о р м у л и р о в к а м ?
1
собах варьирования этого поряд­
ка.
Квазиэм­
Знания о разновидностях проблем са­ З н а н и я о с у щ н о с т и аксиоматиче­ З н а н и я о р о л и м е т о д о в ф о р ­
пирическое
мопознания
познание
выявление оснований м а т е м а т и ч е с к и х м а л ь н о й » ф о р м е и его роли в раз­ в р е ш е н и и задач
математической
науки: ского
метода
в
его
«полуфор­ мализации и интерпретации
(Средства
действий, поиск внутренних связей в вертывании математических т е о ­ п е р е ф о р м у л и р о в к и
м а т е м а т и ч е с к о м знании, определение рий. З н а н и я о с у щ н о с т и п р о б л е м о б о б щ е н и я
задач,
теоретических
роли и с х о д н ы х д о п у щ е н и й в р е ш е н и и о б о с н о в а н и я а б с т р а к т н ы х аксио­ о с н о в и м е т о д о в м а т е м а т и ­
математических проблем, границ
их м а т и ч е с к и х
„теорий
(непроти­ ческой деятельности).
варьирования и т.п.^ З н а н и я о специ­ воречивость теорий, оценка пол­
ф и к е п р и р о д ы математических поня­ ноты и
т и й , ' : о б особенностях
независимости
системы
гносеологиче­ аксиом). Знания о с у щ н о с т и м е ­
ского цикла в математике. Знания о тода и н т е р п р е т а ц и й и его р о л и в
роли внутриматематических связей в р е ш е н и и этих п р о б л е м . >Знания о
творчестве математиков.
методе ф о р м а л и з а ц и и как основе
получения ; математических • к о н ­
структов
Знания
и
обобщении
теорий.
об и з о м о р ф н ы х и гомо-;
м о р ф н ы х о т н о ш е н и я х математи­
ческих теорий. .
•
Г
•
Метаумоз-
Знания о ф о р м а л ь н о й системе и ее Знания о структуре математиче­
рительное
структуре. З н а н и я о специфике л о г и ­ ских теорий, с п е ц и ф и к е символи­
познание
ческого и интуитивного познания
в ч е с к и х языков, об у р о в н я х фор­
м а т е м а т и к е и их месте в научном ш ь м а л и з а ц и и а к с и о м а т и ч е с к и х т е о ­
знании. Знания об основных видах ма­ р и й .
тематических
•
проблемах
абстракций.
Знания
математической
Знания
о
доказательности
о как о возможность формального
науки, (вывода.
Знания
правил ^логиче­
п р и в е д ш и х к п о я в л е н и ю д а н н ы х т е о ­ ского вывода и у с л о в и я х д о п у с ­
рий:
установление
в с е о б щ и х -основ т и м о с т и их использования.
математики, установление связи
ма­
т е м а т и к и и логики, определение п р а в ­
доподобности
исходных* п р и н ц и п о в
классической математики и т.пг')
-
Таким образом', концептуальная .модель проектирования методологической
составляющей учебных математических курсов состоит из следующих основ­
ных положений:
-
1: Система методологических знаний рассматривается нами как управляющий
компонент в'структуре"учебных"математических курсов, то есть компонент
«ведущий за собой» в процессе'учебного познания'развитие остальных ком­
понентов содержания образования
2. В процессе учебного познания система методологических знаний выполняет
следующие основные функции:" интегрирующую (обеспечивает диалектиче­
скую взаимосвязь между, ведущими к о м п о н е н т а м и предметной составляю­
щей математических курсов), р е г у л и р у ю щ у ю (является,условием саморегу­
ляции учебно-познавательной деятельности).
,
•
3. Проектирование содержания методологической составляющей ( М С ) матема­
тических курсов должно осуществляться в соответствии со с л е д у ю щ и м и ос, .новными принципами и правилами их реализации.
Принципы
проектирования
Принцип
Правша
Г. Описание цели математического образования в
- ори­ терминах формирования способности к осущест­
ентирован на формиро­ влению
вание
реализации
МС
функциональ­
ной значимости
их
определенного
вида
математической
функционального деятельности.
комплекса при проекти- 2. Учет целевой направленности у ч е б н ы х мате­
ровании М С .
матических
курсов
(развивающая,
при
проектировании
технологическая,
МС
научно-
теоретическая).
3. Учет функций М С в структуре у ч е б н о г о курса
при ее проектировании.
Принцип
функциональ­
Обязательное
содержательное
наполнение
- отраже­
каждого функционального б л о к а ' М С при про­
ние составом М С соста­
ектировании учебных курсов (знания о цели по­
ной полноты
ва функциональной сис-. п а д а н и я , знания о значимых условиях достиже­
темы
саморегуляции
деятельности..
ния цели, знания о методах и способах дости­
жения цели, знания о критериях ^ успешности
а
познания, знания о(Направлениях
• самокоррекции).
Принцип
МС
-
t
Отражение в М С исторических ф о р м позна­
предметной
обусловленности
и„способах
ния предметного содержания
математических
содержанием
курсов (метаэмпирическая, метаэмпирическая с
М С ф о р м а л ь н о й основы
элементами дедукции, квазиэмпирическая, ме-
предметной
таумозрительная).
отражение
составляю­
'*^»-' '
'
щ е й курса.
Принцип
комплексно­
сти источников
1. - Отражение в М С методологических основ
МСл-^ процесса учебно-математического познания.
разумное сочетание трех
источников методологи-
2.
Учет при проектировании М С возможной
специфики индивидуального стиля
математиче­
ческих знаний п р и проектировании М С (научн ы е данные, опыт мате­
матической
деятельно­
ской деятельности участников образовательного
процесса.
3.
Рассмотрение в качестве источника М С не
сти участников учебного только научных данных (истории, методологии
*
..
.
^~.
.«
математической науки, психологии математиче­
взаимодействия 'и' созда­ ского творчества, методики преподавания мате­
телей учебного курса).
м а т и к и и т.п.), но опыта математической дея­
тельности ученых-математиков, авторов учебно­
>
го пособия, у ч и т е л е й и у ч а щ и х с я .
J.
Используя интерпретацию И.Я. Лернера (90, 152),получаем с л е д у ю щ у ю про­
странственную модель состава содержания методологической
обучения математике:
составляющей
Глава 2.
Теоретические
основы
развития
методологических знаний при изучении
математики
2.1. Основные подходы к решению проблемы формирования
методологических знаний в педагогической литературе
В с а м о м прямом "смысле термин формирование означает придание чему-либо
определенной формы. Таким образом,,проблема-формирования знаний в про­
цессе обучения, связана с поиском ответов на следующие основные вопросы:
какую ф о р м у необходимо придать знаниям, чтобы достичь поставленных обра­
зовательных целей, и какие условия обучения обеспечат достижение этой фор­
м ы ? Ответ на второй вопрос существенным образом зависит от того, как отве­
ч а ю т на первый. Поэтому, для выделения и анализа различных подходов к ре­
ш е н и ю проблемы формирования методологических знаний в процессе обуче­
ния обратимся к особенностям видения различными исследователями результаS
тов этого процесса. »
if'
И с х о д я и з особенностей функционирования методологических знаний в
процессе научного познания, большинство исследователей характеризуют их
сформированность как возможность осознанного использования методологиче­
ских знаний в различных видах предметной познавательной деятельности, опи­
сывая п р и этом соответствующие виды умений или типы познавательных за­
дач.
• '
Так, Н . М . Зверева, А.А. Касьян [58] выделяют следующие признаки сформи­
р о в а н н о е ™ методологических знаний у студентов Нижегородского пединститута: « умение наблюдать, анализировать и объяснять данные наблюдений, от­
делять существенные факты от несущественных; умение проводить экспери­
мент (имеется в виду его постановка, объяснение и оформление результатов);
осознание гносеологического цикла (факты - модель - гипотеза - следствия экспериментальная проверка следствий) и умение осуществлять активный по-
иск на его отдельных этапах; понимание структуры теоретического знания: по­
строение на основе опытных д а н н ы х ' идеализированной модели, нахождение
связи между количественными и качественными сторонами явлений, получение
выводов, следствий, установление границ применимости; овладение общенауч­
н ы м и идеями и принципами; умение выделить главное в с л о ж н ы х явлениях
природы, абстрагироваться, анализировать и обобщать материал; осознание ме­
тодов научного познания в естествознании, их соотношения с общенаучной ме­
тодологией; умение рассматривать явления и процессы во взаимосвязи, вскры­
вать сущность предметов и явлений, видеть их противоречия» (58, 12). - ^
Л.Я. Зорина, исходя из специфики задач включения методологических зна­
ний в содержание школьного образования (как вспомогательного
средства
формирования системности знаний) в качестве показателей усвоения использу­
ет следующие виды типовых заданий: «1) выполнение заданий на опознание
различных элементов теории; 2) анализ учебных и не у ч е б н ы х текстов с целью
выделения статуса тех или иных частей текста; 3) анализ текстов для выяснения
обоснованности того или иного утверждения; 4) системное и з л о ж е н и е различ­
ных видов учебного знания (системное изложение означает рассказ, построен­
ный в определенной последовательности, в зависимости от структуры объекта,
о котором идет речь)» (61 ,-74).
В ' с о о т в е т с т в и и с этим подходом процесс формирования методологических
знаний должен идти по пути ознакомления учащихся с н е к о т о р ы м и вопросами
методологии с последующим приданием методологическим з н а н и я м ф о р м ы
умений и навыков. Так, Л.Я. Зорина описывает этот путь с л е д у ю щ и м образом:
« . . . усвоение им (учащимся) методологических знаний возможно л и ш ь путем
восприятия соответствующей информации и применения ее к анализу учебных
текстов и в процессе выполнения специфических заданий» (61, 71).
П о д спе­
цифическими заданиями Л.Я. Зорина понимает здесь задания, специально на­
правленные на "овладение содержанием методологических знаний. Этот путь
формирования знаний полностью согласуется с процессом произвольного фор­
мирования предметных знаний, описываемым в традиционной д и д а к т и к е : вос81
п р и я т и е информации, осмысление ее, запоминание, применение, так как-он свя­
зан с явным включением методологической и н ф о р м а ц и и в содержание учебных
пособий и организацией специальной работы по ее усвоению (такой путь при­
нято условно называть « п р я м ы м » ) .
:
~ И н у ю схему ф о р м и р о в а н и я методологических знаний предлагают в своих
исследованиях В . Ф . Е ф и м е н к о [52], Г.В. Лаврентьев [87], О.А'. Сотникова [152].
О н а обусловлена надпредметным характером методологических знаний. При
этом п о д х о д е методологические знания принимают форму тех или иных смы­
слов п р е д м е т н ы х знаний.? Таким образом, методологические з н а н и я ' ф о р м и р у ­
ются, так называемым, «косвенным путем» в процессе осмысления предметных
знаний, то есть путем непроизвольного их освоения. Для реализации данного
подхода требуется организация
деятельности, ориентированной на решение
других дидактических задач, не и м е ю щ и х специальной установки на запомина­
ние и усвоение методологических знаний. Формирование знаний этого вида
происходит в результате постоянного их использования в процессе осуществ­
ление деятельности. Так, О.А. Сотникова, отмечает, что « В ы п о л н е н и е действий
логико-математического анализа содержания вузовского курса алгебры и тео-,
р и и чисел раскрывает структуру теоретических знаний, методологию матема­
тики, а процессуально - методологию научения» (152, 12). П р и этом, к дейст­
виям логико-математического анализа, совершаемым при изучении определе­
ний и теорем, она относит: раскрытие логического и содержательного смысла
к а ж д о г о слова определения (теоремы); запись предложения с п о м о щ ь ю матема­
тической символики, установление вида предложения; конструирование н о в ы х
п р е д л о ж е н и й путем изменения логической структуры и м е ю щ и х с я ; раскрытие
особенностей использования определений и теорем при решении задач.
О б а о п и с а н н ы х в ы ш е подхода обладают как определенными достоинствами,
так и недостатками. Т а к , , п р и прямом пути формирования методологических
знаний мы достигаем явного уровня существования их в системе личностного
знания, однако э т о т , п у т ь . т р е б у е т больших дополнительных затрат учебного
времени, к р о м е того, (как м ы отмечали в ы ш е ) утрачивается с п е ц и ф и к а научно82
го статуса методологических знаний. Специфическим недостатком косвенного
, пути формирования является отсутствия этапа выявления методологического
знания, а также осознание его как самостоятельного знания, что, как показано
М. Полани, сужает область его использования.
•.
£
Р е ш е н и е проблемы состоит не в выборе одного из описанных в ы ш е подходов
на основании установления преимуществ одного перед другим, а в осмыслении
'•их как отдельных эволюционных этапов формирования методологических зна­
ний, моделируемых в учебном процессе.
'
2.2. Рационализация и генерализация как основной путь
формирования
методологических знаний в процессе
самопознания науки и в обучении
Методологические знания, являясь непременным атрибутом всякой познава­
тельной деятельности, проходят длительный путь своего развития, в процессе
которого происходят существенные изменения как в форме их существования,
так и в содержании этих знаний.
По ф о р м е существования все знания (в том числе и методологические) при­
нято делить на два основных вида: личностные
(их носителем является кон­
кретная личность) и надличностные. «Надличностное знание, - п и ш е т Л.Б. М о торина, - существует как объективная, по отношению к отдельной личности,
система" знаний (взглядов, идей, теорий). П о форме" бытия оно "интёрсубъективно, опредмечено, то'есть, отчуждено от своего конкретного создателя и объ­
ективизировано в знаковых системах и предметах человеческой культуры»
(111,54).
'
В.А. Героименко, однако, отмечает, что, во-первых, надличностно не только
объективизированное знание, но и отдельные виды межличностного неформа­
лизованного знания (например, «парадигмальные смыслы», являющиеся дос­
тоянием научного сообщества). Во-вторых, надличностое знание м о ж е т быть и
необъективизированным (в знаковых моделях, объектах человеческой культу83
р ы ) . В связи с этим он пишет: «Надличностное знание может быть и необъект и в и з и р о в а н н ы м надличностным, и составлять ядро содержания личностного
знания индивидуального субъекта (например, «подсознательное», по термино­
логии М.Г. Ярошевского). Личностное знание является результатом трансляции
надличностного знания (обучения), а также результатом собственной познава­
тельной деятельности индивида (научения)» (36, 24).
у
Т а к и м образом, классификацию знаний по форме их существования можно
',• '
•
•,.
у
'
представить схемой 4.
Личностное субъективное
Явное
Неявное
Схема 4. Классификация знаний по форме их существования
П у н к т и р н о й линией в этой схеме обозначены пути трансляции надличностного
знания. О н и показывают, что необъективизированное надличностное знание
м о ж е т б ы т ь передано только в процессе межличностного общения (например,
совместной познавательной деятельности), а объективизированное знание мо­
ж е т передаваться путем восприятия и личностного освоения информации,,хранящейся в символьной форме (например, в процессе самостоятельной работы
учащегося с у ч е б н ы м материалом).
Д а д и м характеристику выделенных ф о р м существования методологическо­
го знания.
. -
1. Личностное
знание.
Приоритет в исследовании неявного личностного
знания принадлежит основоположнику исторического направления в англоамериканской философии науки М. Полани [124]. О н констатировал факт существования двух уровней знания: центрального (явного) и периферийного
(неявного). Явное знание находится в «фокусе» внимания, неявное,
ментальное
инстру-
- за его пределами, на «периферии». О н показал, что неявное зна­
ние играет исключительно важную роль для развития научного познания вообще~(в том числе и математического) и для учебного познания. М. Полани на•>
•
..'
i
.
~>
г.'
-
•
-':
"Ч ' • •
J
-
-
стаивал также и н а неявности самих процессов продуцирования неявного знания и интегративных механизмов внедрения его в прошлый опыт, что согласу•
„•-
I.
"
а. •
•
ется с результатами исследований в области научной рефлексии.
В ы д е л я я структуру неявного знания в математике, Л.Б. С у л т а н о в а [156] установила, что к неявным м о ж н о отнести
1. Неявные математические м е т о д ы и приемы, п р и м е н я ю щ и е с я на чисто интуитивном уровне и бессознательно. Например, Л. Эйлер при нахождении
-
У ' " т применил правило, относящееся к алгебраическим уравнениям, к
~ Пt
у р а в н е н и ю неалгебраическому, то есть неявно воспользовался м е т о д о м све­
дения бесконечного к конечному.
2. Предпосылки, содержание которых мы усваиваем, когда учимся говорить на
определенном языке, содержащем названия различных объектов.
Этими
предпосылками, по выражению М. Полани, наполнены учебники. К ним от­
носятся первоначальные математические
интуиции, связанные с символи-
. зацией математических знаний. И м е н н о в связи с существованием неявного
знания этого вида для развития.математики столь огромное значение имел
правильный выбор обозначений.
3. Фундаментальный общий элемент для всего комплекса неявного знания,
присущего конкретной личности. П о мнению автора, в нем м о ж н о выделить
две подструктуры с о - с в о б о д н о й границей. Самым «базисным»
является
«комплекс неосознаваемых ощущений». Непосредственно за ним располага-
ется второй элемент базиса, содержание которого составляют физические и
метафизические представления личности. Например, представление о трех­
мерности пространства, которое -рассматривает А. Пуанкаре в своей работе
..... <V7 ,
'
'
'
ч
[132]. О н отмечает, что это представление никак не м о ж е т быть обосновано
или выведено, логически, а только исходя из наших ощущений.
1
В работах М . Полани [ 1 2 4 ] , В.А. , Героименко [36], Л.Б. Султановой [156] ус­
тановлено, что между выделенными ф о р м а м и личностного знания существуют определенные взаимосвязи как иерархического, так и динамического
характера. Так, В.А. Героименко, подтверждая точку зрения М. Полани, пишет: «Неявное знание
служит фундаментом, на котором возвышается
осознаваемое, явное знание, а также другие личностные ф е н о м е н ы . . . » ( 3 6 ,
25). Л.Б. Султанова в своем исследовании убедительно доказывает возмож­
ность выявления некоторых видов неявного знания. В этой связи она пишет:
« П о л о ж е н и е о нерационализуемости неявного знания в теории неявного зна<н
ния (М. Полани) имеет принципиальный характер. Автор диссертации на• -
-Г
стаивает, что это не так. Какие-то моменты верхнего слоя неявного знания
могут быть рационализированы в известных пределах - до первоначальных
математических интуиции» (156,74).
В с е это показывает, что методологическое знание (как знание инструмен­
тальное, базисное) первоначально возникает и долгое время существует в нау­
ке в ф о р м е неявного личностного знания, продуцируемого математиками, об­
л а д а ю щ и м и наиболее развитой интуицией. Например, А. ^Коши обладал такой
сильнейшей математической интуицией, что публикации в основном носили
«все более с п е ш н ы й , эскизный характер» (81, 75). Кроме того, становится яс­
н ы м , что хотя при определённых условиях (рефлексии познавательной деятель­
ности) методологическое знание может изменить форму своего существования,
большая часть («глубинные'слои» методологических установок личности) ока-'
жутся за пределами нашего внимания.
2. Надличностное
знание. Исследованием специфики форм существования над­
личностного методологического знания занимался Т. Кун [83]. Е г о носителем,
по м н е н и ю Т. Куна, является научное сообщество - объединение ученых, меж­
ду которыми существуют коммуникативные связи и которые разрабатывают
сходные проблемы. Методологическое знание, по м н е н и ю Д . К у н а , функциони­
рует в науке как составная часть парадигмального знания, то есть знания, вы­
полняющего функцию внешнего регулятива научных исследований.
Парадигмальное знание в первоначальном понимании Т.Куна сводится к м е ж ­
личностному знанию. Однако в последующих его работах он разводит эти по­
нятия. Парадигма - это та часть межличностного знания, которая консолидиру­
ет научное сообщество в особого рода целостность, объединяет всех его чле­
нов. Такими системообразующими свойствами, по Куну, обладает знание, во­
площенное в общепризнанных образцах. Образцы - это конкретные эталоны
решения проблем науки. Общепризнанные образцы научной деятельности со­
держат методологическое знание в неявном виде. «Этот вид знания не достига­
ется исключительно вербальными средствами, - пишет Кун, - скорее, он обле­
кается в слова вместе с конкретными п р и м е р а м и того, как они ф у н к ц и о н и р у ю т
на деле. ... Заимствуя еще раз удачную фразу М . Полани, я хочу подчеркнуть,
что результатом этого процесса является «неявное знание», которое приобрета­
ется скорее практическим участием в научном исследовании, чем усвоением
правил, регулирующих научную деятельность» (83, 249).
Таким образом, Т. Кун рассматривает два основных уровня (вида) парадиг­
мального знания: дисциплинарное з н а н и е - и образцы. Дисциплинарное (гло­
бальное) парадигмальное знание включает совокупность знаний, р а з д е л я е м у ю
членами научного сообщества. Этот вид знания позволяет соотнести м е ж л и ч ­
ностное знание (групповое мнение) с объективным (общепризнанным) знанием.
Локальное парадигмальное знание содержится в образцах научной деятельно­
сти и служит для данной общности ученых основным консолидирующим фак­
тором. О н о является неявным парадигмальным знанием. Парадигмальное зна­
ние надличностно, независимо и частично отчуждено от
индивидуального
субъекта носителя, оно отчасти объективизировано в текстах учебников и клас­
сических произведений, отчасти представлено в неявной форме в образцах на-
у ч н о й деятельности и личностном знании основных членов научного сообще­
ства,
v
:
.
.
Таким образом, современные философские исследования в области пробле­
м ы бытия научного методологического знания позволяют делать вывод, что ме­
тодологическое знание фиксирует общественно-исторический и индивидуаль­
ный о т л т познавательной деятельности субъекта* Личностные методологические установки складываются в'процессе научно-познавательной деятельности
индивида п о д влиянием йндивидуальнь1Х психологических свойств личности, в
результате усвоения объективизированных образцов научной деятельности и
м е ж л и ч н о с т н о г о опыта.
Методологическое знание возникает в форме неявного личностного знания регулятивной основы познавательной деятельности в результате р а б о т ы интуи­
ции. П р и этом источники этой интуиции могут иметь самый различный харак­
тер. Так, например, на облик классической математики довольно о щ у т и м ы й от­
печаток наложили такие особенности человеческой психики, как уверенность в
принципиальной разрешимости любой проблемы (принцип всеведения), тен­
денция к опредмечиванию абстрактных представлений (принцип опредмечива­
ния), ограниченность восприятия (принцип простоты и однозначной; опреде­
ленности). Источниками других принципов в классической математике являют­
ся математическая практика, исторически сложившиеся обычаи и традиции,
философские установки и т.п. Н а этом этапе развития основу содержания мето­
дологического знания составляет психологическая составляющая, которая де­
лает его личностным. М. Полани [124] выделяет следующие элементы этой со­
с т а в л я ю щ е й : во-первых, это интеллектуальная убежденность, которая по тео­
р и и неявного знания является «последним основанием наших убеждений»; вовторых, это вера, которая с точки зрения М. Полани является в а ж н е й ш и м эле­
м е н т о м психологической составляющей неявного знания; в-третьих, это воля;
в-четвертых, страстность.^ Вера, как элемент психологической составляющей
неявного знания - это убежденность ученого в своей правоте, основанная наинтеллектуальной самоотдаче. « Н о это не просто некая иррациональная вера,
^родственная религиозной, а вера,-являющаяся неотъемлемым элементом эври­
стической интуиции, то есть такой интуиции, которая ведет исследователя в
творческом поиске - страстном поиске решения» (156, 67).
Давая характеристику данного этапа развития методологического знания в
своем диссертационном исследовании, Л.Б. Султанова пишет: «На этом этапе
мх даже нельзя отнести к частным эвристическим приемам. Они едва намечены,
едва .угадываются за сложными математическими построениями и рассужде­
ниями. В качестве эвристик или тем более полноценных математических мето­
дов они не рассматриваются даже их первооткрывателями. Словом, это неосоз­
наваемые эвристические приемы не оставляющие как именно таковые никаких
следов в конечной записи решения математической задачи, интересовавшей
первооткрывателя этого метода» (156, 80). Таким образом, м о ж н о сделать в ы ­
вод, что в начале этого этапа методологические знания неотделимы от образцов
решения научных проблем, а, следовательно, уникальны по своей природе, не
транслируемы и не переносимы в другие условия, что говорит о-значимости
процессуальной компоненты в содержании методологического знания в этот
период. • В ходе дальнейшей эволюции, сохраняя свою личностную неявную
форму, эти методологические знания приобретают вид индивидуальных мето­
дологических установок, то есть постепенно отчуждаются от процесса их воз­
никновения и осознаются как невыразимый, но значимый результат познава­
т е л ь н о й деятельности. Они определяют основу индивидуального стиля научно­
го м ы ш л е н и я , характерную для того или другого исследователя.?Так, например,
в математике-нарицательным стал стиль научного мышления К. Вейерштрасса
- «вейерштрассова строгость». П о определению В.Н. Ворожцова их содержание
теперь включает в себя наряду. с психологическими компонентами и другие
структурные элементы: «Методологические установки представляют собой ин­
тегрированное явление, существующее в единстве предметно-логических, со­
циально-научных и личностно-психологических компонент» (29, 12).
С л е д у ю щ и м этапом в развитии-методологических знаний является переход
и х к неявной межличностной форме, в которой методологические знания могут
транслироваться вместе с образцами научной деятельности и использоваться
довольно длительное время. История математики содержит множество приме­
ров такой ф о р м ы существования методологических знаний. Так, например,
'Д.Я. Стройк отмечает, что «большие-математики всегда признавали, что они
обязаны Эйлеру м н о г и м » (155,~156). В доказательство этого он приводит не­
сколько изречений великих математиков: «Читайте Эйлера, - о б ы ч н о говорил
м о л о д ы м математикам Лаплас, - читайте Эйлера, это н а ш общий учитель».
А. Гаусс, - пишет он - выразился еще более определенно: «Изучение работ Эй­
лера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто
д р у г о е н е м о ж е т это заменить» (155, 156). Другим примером, д о к а з ы в а ю щ и м
существование неявной межличностной формы методологического" знания и
возможности его трансляции в этот период, является «Арифметика» Диофанта.
О н а составлена из 189 задач с решениями и пояснениями, р а с п о л о ж е н н ы х так,
чтобы иллюстрировать, раскрывать общие определенные методы, однако сами
методы, отдельно от задач, в ней не формулируются. В этой ф о р м е методоло­
гическое знание выполняет функции парадигмы, определяющей особенности
стиля исследований, характерных для той и л и иной научной школы и л и исто­
рического периода развития научных знаний. Содержание методологических
знаний на этом этапе постепенно утрачивает как свои процессуальные, так и
л и ч н о с т н ы е компоненты.
Н а и б о л е е значимым для развития науки является этап выявления методологических знаний, то есть переход от неявной формы их существования к явной с
п о с л е д у ю щ е й объективизацией. Этот процесс обуславливается, в п е р в у ю оче­
редь, самим развитием науки в рамках сложившейся парадигмы. Э т о развитие
приводит к . п о я в л е н и ю ' н а у ч н ы х фактов, входящих в противоречие с традици­
о н н ы м и представлениями.
Так, например, фактическим критерием надежности математики б ы л а прак­
тика. У с п е х и математики в описании и предсказании явлений п р и р о д ы были
1
настолько ^внушительными,-что математики* X V I I I века нисколько не сомнева­
лись в «истинности» своей науки. Характерная особенность математики того
времени заключалась в т о м , что математические понятия рассматривались как
прямое отражение свойств ' р е а л ь н ы ? вещей. Н о в начале X I X века появились
теории, которые не были «скопированы» непосредственно с каких-либо извест"-'
ных явлений. Появилась геометрия Лобачевского. Была разработана алгебра
кватернионов Гамильтона. Такая самостоятельность формирования математи­
ческих теорий в то время в ы г л я д е л а х т о л ь 'непривычной, что сами создатели
сомневались
в " правильности
собственных
построений.
Так,
например,
Н.И.'Лобачевский, для обоснования своей геометрии в духе времени обращался"
д а ж е ' к астрономическим измерениям.'Эти и подобные ситуации порождали у
ученых сомнения в правильности исходных принципов и п р и м е н я е м ы х мето­
дов,'что заставляло их в явной форме обращаться к рефлексии, ц е л ь ю которой
было прояснение тех оснований, на которые неявно опиралась научная дея­
тельность.
Процесс выявления и объективизации методологических
знаний
приводил к значительным изменениям в их содержании, которые состоят не
1
только в утрате ими личностных смыслов, но и в постепенном у т о ч н е н и и их
когнитивных компонентов, что связано с поиском наиболее адекватных спосо­
бов словесного выражения методологических знаний. Однако следует отме­
тить, что на этом этапе выявленными являются далеко не все и н ф о р м а ц и о н н ы е
элементы методологического знания, что в значительной мере затрудняет его
использование при информационном восприятии;
Именно этим о б ъ я с н я е т с я , '
например, необходимость «осторожного обращения» с п р и н ц и п о м непрерыв­
ности В . Понселе, который он - пишет Д.Я. Стройк - формулировал следую­
щ и м образом: "Если одна фигура получается из другой н е п р е р ы в н ы м измене­
нием и столь ж е обща, как и первая, тогда без дальнейших соображений м о ж н о
отнести свойства, доказанные для первой фигуры, ко второй" (155, 207).
Д а л ь н е й ш е е развитие методологического знания идет по пути более полного
выявления и уточнения словесных описаний.
М о м е н т превращения его из эвристической идеи в строгий научный метод
является по выражению Л.Б, Султановой «поворотной точкой в э в о л ю ц и и ма­
тематической эвристики» (156, 84)-'Это, по сути, завершающий этап существо­
вания методологического знания как такового, то есть из средства познания
оно превращается в цель познания, при этом на первый план в его содержании
выдвигаются когнитивные (информационные) составляющие.
ритеоретической рефлексии методологическое знание
В случае внут-
и вовсе
становится
п р е д м е т н ы м . Так, например, получил статус математического понятия принцип
с и м м е т р и и , который существовал ранее как средство познания реальной дейст­
вительности, обусловленное существованием реальных прообразов и внутрен­
ним психологическим стремлением человека к гармонии. Так, Герман Вейль
писал: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на про­
тяжении веков пытался постичь -и создать порядок, красоту и совершенство»
(24,38).
Таким образом, мы приходим к выводу, что процесс эволюции методологиче­
ских знаний связан как с последовательной сменой форм их существования, так
и с изменением их содержания.
Процесс эволюции методологических знаний от неявной ф о р м ы существо­
вания к явной (вербализация) и сопутствующий ему процесс изменения их со­
держания, связанный как с уточнением в научных понятиях и терминах, так и с
объективизацией, принято называть [143] рационализацией
знаний. Этапы этого процесса представлены в таблице 5.
методологических
Таблица
О с н о в н ы е э т а п ы процесса р а ц и о н а л и з а ц и и м е т о д о л о г и ч е с к и х з н а н и й ( М З )
Характеристика
Этапы'
Формы
особенностей
.
МЗ на этапе
существования
5
Условия
Содержания
наступления
этапа
1. Зарож­
МЗ существует как неявное личностное. Основу составляют личностные
дение
Оно неотделимо от образца применения в процессуальные компоненты'.
и Восприятие
образцов,
или инсайд (озарение).
самом начале этапа и является частью ме­
тодологической
установки
личности
п
конце.
2. Распро-
МЗ существует в форме необъективизиро- Постепенно уменьшается роль лич­ Осознание его экстра­
странение
ванного межличностного знания, выполняя
ностных
роль общепринятых норм деятельности.
составляющих
и
процессуальных познавательной
значи­
мости,
3. Выявле­
МЗ выступает как частично объективизи­ Основу составляют когнитивные со­
ние
рованное, надличностное знание, то есть ставляющие,
однако
Сомнения
определенное ности .
j,
в правиль­
уложившихся
имеет форму эвристических идей, методов, значение имеют и психологические, методологических
ус­
приемов.
что затрудняет использование МЗ.
тановок.
4. Опред­
МЗ существует в; форме объективизиро­
Состоит только из когнитивных (ин­
Потребности в адекват­
мечивание
ванного, строгого научного метода
формационных) элементов.
ном выражении и обос­
новании.
<
К р о м е того, процесс рационализации методологических знаний характеризует­
ся с л е д у ю щ и м и основными особенностями:
1. О с н о в н ы м условием, обеспечивающим динамику этого процесса, является
развитие научных знаний.
2. В различные исторические периоды развития науки одновременно сущест­
вуют и ф у н к ц и о н и р у ю т методологические знания, находящиеся на разных
стадиях процесса своего развития.
3. П р о ц е с с э в о л ю ц и и различных видов методологических знаний, проходя че­
рез одни и те же этапы своего развития, имеет свои особенности.
Л.Б. С у л т а н о в а в своем исследовании выделяет следующие особенности про­
цессе рационализации отдельных видов методологических знаний: «Это разли­
чия, п р е ж д е всего, во времени эволюции, в длительности ее различных этапов.
П р и ч и н у этих различий, по-видимому, следует искать в особенностях первона­
чального этапа эволюции метода, чем глубже укоренен рассматриваемый эври­
стический прием в подпочве неявного знания, тем более он связан с метафизи­
ческой подструктурой эмпирического базиса неявного знания, тем более развит
в нем элемент метафизики, тем труднее его осознать» (156, 83). Другим суще­
ственным различием, которое он выделяет, является предельная степень рационализируемости различных методологических знаний. Наличием этих особенностей обуславливаются, например, трудности эвристического программирова­
ния.
,.
.
-
П о н я т и е методологического знания исторически возникло в связи с потреб­
ностью обобщения опыта познавательной деятельности, поэтому е щ е одной из
основных тенденций его развития является генерализация. В энциклопедиче­
ском словаре данное понятие трактуется следующим образом: «Генерализация
- от латинского generalis ( о б щ и й / главный) - обобщение, л о г и ч е с к и й переход
от частного к общему, подчинение "частных явлений общему принципу» (33,
76).
:
В научной литературе принято выделять обобщение двух видов: эмпириче­
ское и теоретическое. С методологической и психологической точки зрения эти
два вида обобщения рассмотрены В.В. Давыдовым [44]. Характеризуя эти виды
обобщений, он выделяет в них как содержательные, так и процессуальные раз­
личия. Так, эмпирическое обобщение он характеризует как мысленное выделе­
ние внешних признаков, отмечая, что основу э м п и р и ч е с к о г о . о б о б щ е н и я со­
ставляют наблюдение и чувственные представления.-Теоретическое
обобще­
ние, по его мнению, отражает внутренние связи и отношения м е ж д у объектами.
Рассмотренное нами в ы ш е понятие рационализации методологических знаний
включает в себя лишь процесс перехода от одной ф о р м ы , и х существования к
другой и те содержательные изменения,, которые и м обуславливаются (утрата
личностных и процессуальных компонентов, уточнение). Поэтому обратимся
теперь к анализу особенностей взаимосвязи процессов рационализации и гене­
рализации методологических знаний.
Первоначально всякое методологическое знание возникает как регулятивное
средство конкретного познавательного акта, составляя с ним единое неделимое
целое, что делает невозможным его самостоятельное рассмотрение и повторе­
ние в других условиях. Это свойство методологического знания названо М. По­
лани [124] «необратимостью».
При этом «обратимость означает п о ш а г о в у ю
повторяемость с любого момента в любом порядке» (156, 94). Таким образом,
на этапе возникновения методологическое знание выступает как единичное
знание о способе осуществления конкретного познавательного акта. В о время
интенсивного практического применения методологического знания на этапе
«распространения»
происходит его обобщение, что в данном случае означает
применение идеи ко все более широкому кругу познавательных задач. П р и этом
основным способом обобщения выступает, так называемая, «тривиальная» ана­
логия [164]. Характеризуя этот вид аналогии, А.И. Уемов [164]
'.It
. . . .
отмечает, что
• Г
.
:
она относится в основном к объектам одного и того ж е класса и заключается в
установлении возможности применения к ним одних и тех же приемов, мето­
дов и правил на том основании, что они обладают общими свойствами, которые
••I
являются свойствами этого класса объектов в целом. Однако, к а ж д ы й раз при­
менение методологического знания (как эвристической идеи) приводит к час-
тичному изменению и его содержания. В результате этого процесса появляются
все новых и новые формы (модификации) этого знания, которые рассматрива­
ются как самостоятельные. Так, например, использование идеи о существова­
нии актуальной бесконечности в канве математических выкладок в неявном виде осуществлялось с античных времен до конца X I X века, что привело к появ. л е н и ю множества законов и методов. Существование общности между ними
даже не подразумевалось (метод «неделимых», закон исключения третьего, ко­
т о р ы й исходит из предположения о возможности перебора элементов любого
м н о ж е с т в а и установления для любого предиката Р(х): ЗхР(Х)'
тж'ЪхР(х),
и
др.). Т а к и м образом, на втором этапе своего развития методологическое знание
становится частично обратимым, то есть воспроизводимым в некоторых своих
частях.
Количественное накопление в опыте научной деятельности образцов неяв­
ного использования одной я той же методологической идей в определенный
м о м е н т приводит к осознанию их как общности. Потребность в осмыслении
методологического знания как объединяющей идеи приводит не т о л ь к о ' к ее
выявлению, но и к абстрагированию её содержания от конкретных ситуаций
использования. Этот этап может быть по классификации В.В. Давыдова [44]
охарактеризован как эмпирическое обобщение.
Методологические знания на
Этом этапе являются в основном обратимыми процедурами, хотя и содержат
определенное количество необратимых элементов (например, метод дополни­
тельных построений).
*
. .
J
v
'
. . . '-О
С л е д у ю щ и й этап э в о л ю ц и и методологических знаний связан с и х теоретиче­
ским обобщением. В результате такого обобщения методологическое знание
абстрагируется от тех своих элементов, которые обуславливают его необрати­
мость. В результате такого обобщения содержание методологического знания
нередко утрачивает те свои характеристики, которые связаны с описанием познавательной деятельности. Это происходит в том случае, если о н и не носят
принципиальный характер. Ярким п р и м е р о м этого процесса являются содержа«
-"5:.
Я-
'
J
96
тельные изменения, произошедшие с методами математического анализа в про­
цессе развития на их основе строгой математической теории.
Таким образом, процесс эволюции методологического з н а н и я х в я з а н также
с обобщением и абстрагированием его содержания.
Н е о б х о д и м о отметить, что различные методологические знания обладают
различной потенциальной возможностью к обобщению и абстрагированию, что
по м н е н и ю Л.Б. Султановой связано с глубиной-укоренения метода в подпочве
неявного знания. Для доказательства этого утверждения она показывает, что
эвристические идеи в отличие от приемов и методов обладают гораздо большей
(«на несколько порядков») степенью «эвристической эффективности» (156, 83),
то есть возможной применимостью в как м о ж н о более различных областях ма­
тематики.
В процессе своего исследования ей удалось выявить следующие основные осо­
бенности генерализации отдельных видов методологических знаний:
1. Если эвристические приемы и методы могут быть ф о р м а л и з о в а н ы , т о они
преобразуются в первую очередь в математические понятия и строгие мате­
матические методы.
2. Эвристические идеи могут не быть формализованы в рамках самой матема­
т и к и , так как они носят общематематический характер.
3. Эвристические идеи порождают сразу несколько математических методов, в
которых они проявляются различным образом.
В доказательство этих особенностей эволюции эвристических идей она прово­
дит подробный анализ процесса развития идеи'интерпретации, где показывает,
что эта идея, эволюционируя, дает два математических метода: алгоритмиче­
ский и принцип интерпретаций. Эвристические идеи вследствие их общемате­
матического характера эволюционируют в методы математической
логики
(принцип математической индукции).
В заключение отметим, что описанные закономерности развития методологи­
ческого знания, полученные на основе анализа историко-научных данных, пол-
н о с т ь ю согласуются с результатами психологических исследований М.А. Х о ­
лодной [170] и исследований в области методики преподавания математики
В.А. Тестова [162] о закономерностях развития когнитивных схем м ы ш л е н и я .
2.3.
Методические условия развития системы знаний о
методологии учебно-познавательной деятельности в
процессе обучения математике
О д н и м из в е д у щ и х оснований выделения нового элемента в составе содер­
ж а н и я образования, с точки зрения дидактического подхода (158, 48), является
наличие ярко выраженной специфики закономерностей его усвоения (разви­
тия).
-
'
В параграфе 2.2. было показано, что процесс развития методологических
знаний в значительной мере отличается как от закономерностей
усвоения
предметных знаний, так и опыта предметной деятельности. В своем развитии
методологические знания проходят цикл метаморфоз (описываемых процесса­
м и «рационализации» и «генерализации»). Первоначально они выступают в ка­
честве методических условий усвоения предметной составляющей математиче­
ских курсов, затем принимают форму традиций учебно-познавательной дея­
тельности, при определенных условиях преобразуются в рефлексивное знание
об учебно-познавательной деятельности, а некоторые виды методологического
знания на определенном этапе обучения становятся даже элементом изучаемой
математической теории. Разработка механизмов моделирования закономерно­
стей развития.методологических знаний системой методических средств явля­
ется основной задачей проектирования содержания методологической состав­
л я ю щ е й математических курсов на уровне учебного материала.
Д л я р е ш е н и я этой задачи необходимо:
•
разработать требования к тем методическим условиям обучения матема­
т и к е , которые являются носителями содержания методологической со­
ставляющей содержания математического образования;
•
разработать систему методических условий, м о д е л и р у ю щ и х процессы
«рационализации» и «генерализации» методологических знаний в учеб­
н о м процессе.
Р е ш е н и ю этих задач и посвящен данный параграф.
2.3.1
Знания
о методологии
структуре
учебного
•
учебно-познавательной
материала
деятельности
математических
в
курсов
«Учебный материал - это отрезок содержания, вбирающий в себя в разной
мере и разном соотношении все виды содержания, и, таким образом, учебный
материал включает текст, наглядность, задания, в которых предписывается дея­
тельность разного рода» (158, 158). В е д у щ и м носителем содержания образова­
ния на уровне учебного материала выступает учебник. В методике преподава­
ния математики учебный материал, представленный в учебнике, принято разде­
лять на два основных блока: теоретический
тематические
задачи,
материал
(учебные тексты) и ма­
подчеркивая тем с а м ы м вспомогательную р о л ь нагляд­
ности в формировании содержания математического образования. В связи с
этим, ограничимся рассмотрением л и ш ь анализом специфики о т р а ж е н и я мето­
дологической составляющей учебных математических курсов в тексте учебника
и в заданном материале.
Различные структурные компоненты содержания образования в у ч е б н и к е
фиксируются по-разному, при этом способ фиксации определяется и х приро­
дой. Так, И.Я. Лернер отмечает, что «Знания, например, ф и к с и р у ю т с я в виде
текста и изобразительных средств, несущих определенную и н ф о р м а ц и ю , и в
виде заданий, выполнение которых приводит к новым знаниям. О п ы т осущест­
вления способов деятельности фиксируется в виде и н ф о р м а ц и и о способах дея­
тельности, то есть инструктивных материалов (образцов, п а м я т о к и т.п.), и в
виде заданий на их воспроизведение; о п ы т творческой деятельности фиксиру­
ется в форме проблемных познавательных и практических задач, т р е б у ю щ и х
для своего решения творческого поиска. О п ы т эмоционально-чувственного от­
ношения предполагает тексты, точно рассчитанные на эмоциональное воздей­
ствие, задания, учитывающие психологию данного возраста, в о з м о ж н ы е р а з н о 99
о б р а з н ы е склонности обучаемых, эти задания должны быть рассчитаны на
д и ф ф е р е н ц и р о в а н н о е использование» (48, 43-44).
М е т о д о л о г и ч е с к а я составляющая учебных курсов (в том числе и математи­
ческих) традиционно представляется в виде относительно
у ч е б н ы х текстов по методологическим вопросам науки.
самостоятельных
О д н а к о полученные
н а м и д а н н ы е о роли и месте методологической составляющей в структуре
у ч е б н ы х курсов и закономерностях естественного развития методологических
з н а н и й ставят под сомнение правильность такого способа фиксации методоло­
г и ч е с к о й составляющей в структуре учебного материала математических кур­
сов.
'
Д л я р е ш е н и я возникшей проблемы обратимся к данным литературоведче­
ских исследований, посвященных анализу структуры и функциональных воз­
м о ж н о с т е й различных составляющих текста.
С точки зрения данных, представленных в монографии Ю . М . Л о т м а н а [95],
всякий текст представляет собой знаковую модель информации. Для учебных
математических текстов характерно использование смешанного языка: естест­
венного и символьного с тенденцией постепенного увеличения д о л и символь­
ных кодов информации.- Второй важнейшей характеристикой всякого текста
является его структура. Структура текста определяется не только семантикой
рассматриваемых языков, но и содержанием информационного сообщения (в
художественном тексте в качестве такой элементарной единицы информации
выступает «событие»), а т а к ж е формой связи отдельных сообщений (последо­
вательностью событий).
В параграфе 1.3. нами б ы л о показано, что последовательность информацион­
н ы х сообщений и их характер в учебных текстах определяется целевой направ­
л е н н о с т ь ю математических курсов. Так, основными и н ф о р м а ц и о н н ы м и едини­
цами научно-теоретических курсов являются определения, аксиомы, теоремы и
описание их доказательств (последовательности дедуктивных умозаключений).
Последовательность их предъявления определяется их логическими связями. В
технологических курсах элементарными,единицами теста являются: задачи, ал-
горитмы, правила и т.п. Последовательность их расположения в тексте опреде­
ляется функциональными связями.
Связи между и н ф о р м а ц и о н н ы м и сообщениями (событиями) в художествен­
ном тексте фиксируются посредством сюжета.
Наиболее значимой функцией
сюжета, по мнению Г.П. Поспелова, является способность « в ы р а ж а т ь идейнотематическую концепцию произведения» (23, 198). Эта ж е ф у н к ц и я сюжета
указывается и в [93]: « С ю ж е т произведения является одним из важнейших
средств воплощения содержания о б о б щ а ю щ е й «мысли» писателя, его идейноэмоционального осмысления реальных характерностей ж и з н и . . . » (С.431). При­
веденные цитаты показывают, что сюжет является не только средством вскры­
тия связи информационных сообщений, обосновывая последовательность
раз­
вертывания событий в пространстве и времени, но и Средством вскрытия их
идейных основ.
Сравнивая сюжетные тексты с бессюжетными,
Ю . М . Л о т м а н отмечает:
«Бессюжетные тексты имеют отчетливо классификационный характер, о н и ут­
верждают некоторый мир и его устройство. ... Все остальное п р о с т о не сущест­
вует. . . . Другим важным свойством бессюжетного текста б у д е т у т в е р ж д е н и е
определенного порядка внутренней организации этого мира. Текст строится не­
которым определенным образом, и передвижение элементов его так, чтобы у с ­
тановленный порядок подвергся нарушению, не допускается» (95,286-287).
В силу принятых в методической и математической науке т р а д и ц и й изложе­
ния научной информации, как научный, так и учебный тексты строятся п о схе­
ме бессюжетного. На недостатки такого построения в последнее время все ча­
ще обращают внимание н е только методисты и педагоги, н о и у ч е н ы е . Приве­
дем в доказательство этого факта несколько примеров.
1. В.И. Арнольд: «Отсутствие примеров, отсутствие анализа ч е р т е ж е й и рисун­
ков - столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутст­
вие внематематических приложений и мотивировок понятий м а т е м а т и к и »
196).
(6,
2. Г. Б о н д и : «Научная статья ч а щ е всего ничего не говорит читателю о том, как
был получен тот или иной результат. ... Что же касается вопроса, почему автор
занялся именно этой проблемой, то лишь самые отчаянные авторы позволяют
себе сделать едва уловимый намек» (16, 7).
3. Стремление к чрезмерной логизации знаний, к абстрактному обезличенному
и з л о ж е н и ю результатов ^исследования и учебной информации приводит, по м н е н и ю авторов статьи [106], « . . . к . а б с т р а г и р о в а н и ю от самых существенных
мировоззренческих мотивов.научно-исследовательской деятельности, к забве­
н и ю методологических аспектов науки» ( С 5 ) . ,
Э т и авторы указывают, что использование в учебных целях бессюжетных
математических текстов существенным образом обедняет содержание матема­
тического образования учащихся, ставя перед учителем т р у д н у ю задачу выяв­
ления «подтекста»
- педагогического замысла учебника на основе анализа ма­
териалов учебника. Необходимость решения этой задачи является общепри­
знанной в методиках,и дидактике. И.М. Грицевский, С.Э. Грицевская отмеча­
ют, что «Материалы учебника рассматриваются учителем в двух направлениях.
С одной стороны, рассматривается то содержание, которое непосредственно
воспринимается по тексту. Т а к о е . р а с с м о т р е н и е учебника позволяет о с у щ е с т
:
вить «перевод» его материалов для учеников . . . . С другой стороны, учитель
выявляет какие общенаучные положения, в том числе и методологического ха­
рактера, получили конкретное воплощение в этих материалах, каковы целевые
установки, которым подчинены эти материалы, в чем выразилась реализация в
этих материалах известных педагогических принципов и закономерностей» (40,
14).
В методической литературе понятие сюжета используется л и ш ь для характе­
ристики специфики структуры «сюжетной задачи» и рассматривается как сино­
ним понятия «фабула» - описание реальной или в ы м ы ш л е н н о й ситуации. Так,
например, Е.И. Л я щ е н к о пишет: «Сюжетной задачей называют т а к у ю задачу, в
которой д а н н ы е и связь между н и м и включены в фабулу.
Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую
ситуацию, более или менее близкую к жизни» (86, 74). В литературоведении
эти понятия чаще всего разводятся. Так, Л . С . Левитан, Л.М. Ц и л е в и ч , проводя
сравнительный анализ этих понятий, приходят к выводу: « С о о т н о ш е н и е фабу­
л ы и сюжета выражает антиномию конечности-бесконечности, завершенностинезавершенности художественного мира. Фабула замыкает цепь действитель­
ность - произведение на ее « в х о д е » . . . . С ю ж е т размыкает цепь произведение действительность на ее «выходе»: в виде д и н а м и к и художественного м и р а выражаются закономерности бесконечного мира действительности» (88,48).
Данные литературоведческих исследований показывают, что с ю ж е т н ы й текст
строится на основе бессюжетного как его отрицание. « Д в и ж е н и е с ю ж е т а - это
пересечение т о й запретной границы, которую утверждает б е с с ю ж е т н а я струк­
тура» (95, 288). Таким образом, бессюжетная система первична и м о ж е т быть
воплощена в самостоятельном тексте. С ю ж е т н а я — вторична и всегда представ­
ляет собой пласт, наложенный на основную б е с с ю ж е т н у ю структуру. П р и этом
отношение между обоими пластами всегда конфликтное: и м е н н о то, невозмож­
ность чего утверждает бессюжетная структура, составляет с о д е р ж а н и е сюжета.
С целью решения задачи структурного выделения в тексте с ю ж е т н о й состав­
л я ю щ е й в литературоведческих исследованиях иногда используется термин
«метатекст». Е.З. Имаев определяет это понятие следующим образом: «Метатекст - часть собственного текста (имеется в виду художественного, с ю ж е т н о ­
го), который фиксирует те или иные ф о р м ы отчуждения ... представляет собой
описание и одновременно инструкцию п о п о н и м а н и ю теста» (66,'70).
Специфика роли и места методологической составляющей в структуре учеб­
ных математических курсов показывает, ч т о задача
фиксации
ской составляющей
преобразования
логического
ровании
«подтекста»
учебных
наложение
в тексте учебников
в «метатекст».
математических
на пласт предметной
тодологических
сведений
- это задача
Решение
текстов
может
информации
(содержание
этой задачи
методо­
при
проекти­
быть достигнуто
за счет
(бессюжетной
сюжета).
методологиче­
структуры)
ме­
Д а н н ы й вывод, в общем и целом, согласуется с результатами исследований
Л.Я. З о р и н о й , О.А. Сотниковой, Н.М. Зверевой Т.А. Ивановой и др., которые
говорят о необходимости «вплетения» методологических знаний в «ткань»
у ч е б н о г о предмета.
Задача преобразования бессюжетного (учебного математического) текста в
форму
сюжетного
требует, в * первую очередь,
по д а н н ы м
исследований
Е.З. И м а е в а , Ю . М . Лотмана, Л.С. Левитана, Л . М . Цилевича и д р . обогащения
..
мира, описываемого б е с с ю ж е т н ы м текстом, новыми персонажами - субъектами
.* . , i .J.
i.. .
(героями) действия. Так, Ю . М . Лотман пишет: «Неизбежными элементами всякого с ю ж е т а являются: 1) некоторое семантическое поле, разделенное на два
взаимно-дополнительных подмножества; 2) граница между э т и м и подмножест­
в а м и , которая в обычных условиях непроницаема, однако в д а н н о м случае (сю­
ж е т н ы й текст говорит о данном случае) оказывается проницаемой для героя действия; 3) герой - действия» (95,290-291).
В буквальном переводе термин «семантическое поле» означает поле смысло­
в ы х значений слов и словосочетаний, входящих в текст. В условиях учебного
математического текста границьгсемантического поля определяются количест­
вом связей учебной математической и н ф о р м а ц и и с личностными знаниями
учащихся.
И с х о д н ы м пунктом сюжетного движения является «...установление между
героем-действователем и о к р у ж а ю щ и м его семантическим полем отношения
отличия и взаимной свободы: если герой совпадает п о своей сущности со своим
о к р у ж е н и е м или н е наделен способностью отделиться от него, - развитие сю­
ж е т а невозможно» (95, 291). Создание необходимых условий д л я развития сю­
жета в учебных математических текстах возможно л и ш ь путем перехода к пер­
сонализированному изложению содержания образования.
И д е я перехода от объективно ориентированного способа представления зна­
ний к субъективно-ориентированному способу в учебном математическом тек­
сте н е нова. П р и м е р о м реализации данной идеи являются т е к с т ы учебникасобеседника авторского коллектива Л.Н. Ш е в р и н , А.Г. Г е й н , И . О . Коряков,
104
М . В . Волков [102]. Г л а в н ы м героем действия в данном учебнике является Смекалкин. Д а н н ы й герой характеризуется авторами как « ; . . внимательный и очень
пытливый ученик» (102, 6), выводящий читателей в пограничную область из­
вестного и неизвестного. Так, при введении понятия обыкновенной дроби как
частного от деления одного натурального числа на другое, С м е к а л к и н выводит
учащихся на проблему расширения смысла понятия частного, задавая следую­
щ и й вопрос: «Что же, делимое может быть м е н ь ш е делителя? А ведь м ы при­
выкли с п о м о щ ь ю деления узнавать, во сколько раз делимое больше делителя».
Ответом на него являются разъяснения, идущие от лица «автора-учителя»:
«Конечно, если делимое м е н ь ш е делителя, т о спрашивать, во сколько раз оно
больше делителя, было бы смешно. В т а к о м случае спрашивают, к а к у ю часть
делителя составляет делимое» (102, 161). Т а к и м образом, учебное содержание
представляется учащимся в виде диалога между условным учеником и учите­
лем. Основными функциями «Ученика» являются с л е д у ю щ и е : постановка во­
просов, внесение предложений, совершение ошибок при в ы п о л н е н и и заданий;
учителя - постановка заданий, объяснение, наставление, ответы на вопросы.
Персонализированное представление знаний используется и авторами вузов­
ских учебных пособий (а также и научных математических текстов) в тех слу­
чаях, когда раскрытие смысла математического понятия возможно л и ш ь в сис­
теме: «субъект-объект». Например, для характеристики понятий: «постоянная и
переменная величина», «зависимая и независимая величина», «переменная и
параметр» и т.п.
Субъектно-ориентированные формы представления знаний по д а н н ы м эпиг
стемиологических исследований И.А. Герасимовой [35] приводят к выделению
в структуре учебного текста нескольких планов (как минимум двух): коммуни­
катора (учителя, ученого, автора и т.п.) и реципиента (учащегося, пользователя,
исследователя
и т.п.). Наличие этих планов по утверждению И.А. Герасимо­
вой является необходимым условием выявления в тексте учебника когнитивной
коммуникативной динамики.
В т о р ы м условием, обеспечивающим развитие сюжета, является установле­
ние к о н ф л и к т н ы х отношений между героем-действователем и границами се­
мантического поля. «В отношении к границе сюжетного (семантического) поля
- пишет Ю . М . Лотман, • - действователь выступает как преодолевающий ее, а
граница в отношении к нему — как препятствие. Поэтому все в и д ы препятствий
будут в тексте, как правило, сконцентрированы на границе и структурно всегда
представляют собой ее часть» (95, 291). Таким образом, функции коммуникато­
ра и реципиента в учебном т е к с т е ' д о л ж н ы быть существенно различны (а в не­
которых случая даже конфликтны): коммуникатор осуществляет передачу ин­
ф о р м а ц и и (о сущности положений математической теории), а реципиент оце­
нивает ее (на осмысленность, правильность, новизну, согласованность с ранее
полученной, значимость, посредством фиксации и использования методологи­
ческих знаний).
••• i .
t
«Преодолевая границу, действователь вступает в семантическое «антиполе»
по о т н о ш е н и ю к исходному. Для того, чтобы движение остановилось, он дол­
жен с ним слиться, превратиться из подвижного персонажа в неподвижный. Ес­
л и же этого не происходит,
- с ю ж е т не закончен и д в и ж е н и е продолжается»
(95, 292).
Таким
образом, задача
проектирования
учебных
математических
курсов может
учебным
текстам
•
следующих
Предметный
основных
методологической
быть решена
составляющей
за счет предъявления
к
требований:
план учебных математических курсов, представленный сис­
т е м о й единиц учебной математической информации, должен быть допол­
нен методологическим
планом,
выполняющим ф у н к ц и ю сюжетной линии
учебного математического курса.
•
Методологический
довательностью
нажами
сюжета.
план учебного курса д о л ж е н быть представлен
событий
- познавательных
актов, совершаемых
послеперсо­
Последовательность и содержание познавательных ак­
т о в определяются логикой развития математического образования уча­
щ и х с я в направлении, определяемом целью обучения.
106
•
Структурными составляющими познавательного
акта должны быть: се­
мантическое поле ("поле представлений о познавательной деятельности, ее
ф о р м е и содержании), его границы (описание препятствий, возникающих
в х о д е познавательной деятельности), характеристика возможностей ге­
роя-действователя (познавательных средств, используемых героем, нали­
чие или отсутствие возможностей их заимствования и т.п.).
•
Способ
представления
предметного
субъектно-ориентированным,
содержания
курсов д о л ж е н быть
с выделением нескольких (по крайней ме­
ре, двух) позиций: автора, героя-действователя, пассивных героев,, по­
м о щ н и к о в героя-действователя, его противников и т.п..
Приведем пример реализации этих требований при проектировании нами
текста учебника [26]. В качестве героя-действователя н а м и избран «исследо­
ватель», образ которого построен на основе модели специалиста - выпуск­
ника технического университета по специальности «Прикладная математи­
ка». В е д у щ е й целью обучения, положенной в основу построения курса, яв­
ляется формирование способности «исследователя»
развитию знаний о средствах и способах
к
самостоятельному
исследования свойств ф у н к ц и о ­
нальных зависимостей, а также исследованию области п р и м е н е н и я этих
средств. В связи с этой целью знания студентов о свойствах ф у н к ц и о н а л ь ­
н ы х зависимостей развиваются по следующему сюжету:
1 познавательный
акт. «Исследователь» узнает о с у щ е с т в о в а н и и в ма­
тематической науке различных определений понятия ф у н к ц и и и хочет вы­
брать из них одно наиболее правильное, так как твердо уверен в том, что од­
но и т о ж е понятие в математической теории не м о ж е т б ы т ь определено два­
ж д ы . Однако все его усилия приводят л и ш ь к осознанию того, что все опре­
деления эквивалентны, а их «создатели» л и ш ь по разному расставляли ак­
центы в описании этого понятия, вынося на первый план т о одну характери­
стику функции, то другую. • .
2 познавательный
акт. «Исследователь» предполагает, что в ы б о р того
или иного определения в качестве основы понимания функции зависит от
целей исследования ее свойств.'.В ходе проверки этого предположения он
устанавливает, что понимание^числовой функции как величины, принимаю­
щ е й числовые значения, позволяет переносить на функции некоторые свой­
ства чисел; понимание функции как множества позволяет переносить на нее
свойства, установленные для множеств, а понимание функции как закона
соответствия делает в о з м о ж н ы м исследование свойств операций.
Развитие намеченного сюжета приводит к включению в содержание мате­
матического образования студентов не только предметных знаний о харак­
теристиках функций и их свойствах, но и методологических знаний о пара­
м е т р а х и средствах оценки определений, об их роли и месте в математиче­
ской теории, о причинах использования в математических теориях эквива­
л е н т н ы х определений.
Я р к о выраженная тенденция математической науки к самопознанию выража­
ется в возможности сближения функций методологического и предметного
планов учебных математических текстов и д а ж е их взаимопревращения.
В этой связи логично выделять два вида с ю ж е т н ы х математических текстов:
•
методологически-ориентированные
•
учебные
математические
тексты
учебные
математические
с усиленной
тексты;
методологической
со­
ставляющей.
В
методологически-ориентированных
учебных текстах
методологическая
и н ф о р м а ц и я выступает не только средством реализации когнитивного движе­
ния в познавательном акте, но и его основным результатом. Основу развития
с ю ж е т н о й л и н и и в текстах этого вида составляют методологические
проблемы
- п р о б л е м н ы е ситуации, связанные с несоответствием традиционной формы по­
знавательной деятельности новому содержанию.
В качестве примера методологической проблемы приведем т и п и ч н у ю для
у ч а щ и х с я ситуацию переноса метода р е ш е н и я неполного квадратного уравне­
2
ния вида: ах = Ь, ab > 0, на квадратичные неравенства. И д е я решения квадрат1
ного уравнения этого вида состоит в последовательном подведении ситуации
под использование определения квадратного корня из неотрицательного числа:
1
ах = l o i
вида
!
= — «>х =
1
ах ~Ъ,аЬ>0,
.
приводит, к
ах —Ь о х — о х—±Л—.
<
,
<а
Распространение этого же метода на неравенства
< .\а
весьма
устойчивой
ошибке,
учащихся:
Решение данной методологической п р о б л е м ы состо>
ит в отказе от использования определения квадратного'корня в качестве сред­
ства преобразования неравенства и в нахождении другого теоретического осно­
вания для реализации решения задачи (например, тождества s / ? ' = f i | ) :
У ч е б н ы е математические тексты с усиленной методологической составляю­
щ е й ориентированы на
развитие знаний о сущности математической теории.
И х методологическая составляющая выступает средством, о б е с п е ч и в а ю щ и м
когнитивное движение. П р и этом происходит развитие и методологических
знаний, однако, это развитие является л и ш ь побочным продуктом. В основе
развития сюжетной линии текстов этого вида л е ж а т математические
проблемы
- проблемные ситуации, связанные с недостаточностью с о д е р ж а н и я математи­
ческой теории для достижения поставленной цели познавательной деятельно­
сти. Разрешение математической проблемы может иметь два исхода: сопрово­
ждаться появлением нового методологического знания или п р о и с х о д и т ь в рам­
ках традиционных форм математической деятельности.
Так, например, решение проблемы обоснования с у щ е с т в о в а н и я
площади
круга сопровождается появлением нового метода доказательства - метода ис­
ч е р п ы в а н и я , а решение проблемы получения формулы п л о щ а д и треугольника
требует л и ш ь использование ранее известного метода - метода квадратур.
П р и в е д е н н ы й ранее пример, описывающий последовательность познаватель­
ных актов, направленных на систематизацию и развитие знаний о свойствах чи­
словых функций,'является примером учебного математического текста второго
вида, так как-ведущая функция этого текста - служить средством передачи ин­
формации о характеристиках и видах свойств числовых функций, а побочная -
,
случить средством накопления опыта оперирования методологическими пред­
ставлениями.
Р о л ь и место учебных математических текстов выделенных видов в струк­
туре учебных математических курсов определяется не только целями этих кур­
сов, но и закономерностями развития методологических знаний, определяемы­
ми процессами «рационализации»' и «генерализации». Анализ этих закономер­
ностей показывает, что методологически-ориентированные у ч е б н ы е математи­
ческие тексты могут быть использованы с,целью «выявления» и «опредмечива­
ния» методологических знаний на з а в е р ш а ю щ е м этапе достижения целей обу­
чения, т о есть этапах, характеризуемых в методической литературе как этапы
о б о б щ а ю щ е г о повторения и систематизации, так как с точки зрения деятельностного подхода к обучению математике основной задачей этих этапов является
ф о р м и р о в а н и е способности к осуществлению целостной деятельности на осно­
ве р а н е е полученных теоретических знаний, умений и навыков.
П р и в е д е м в качестве примера реализации выделенных выше требований при
проектировании методологически-ориентированного текста, описание сюжета
и основного содержания разработанного нами элективного курса для учащихся
10-11 классов: « М е т о д равносильных преобразований при р е ш е н и и уравнений
и неравенств» [174]. Ведущая цель этого курса — выявление и систематизация
знаний о наиболее о б щ и х методах сведения уравнений и неравенств к про­
стейшим, формирование представлений об описании решения уравнения и неравенства как о доказательстве равенства найденного множества значений пе­
р е м е н н о й области истинности уравнения (неравенства):
.
'
Г. С
Сюжетная линия курса
Основное содержание
курса
1. У ч а щ и й с я узнает, что математика Теоремы о корнях уравнений и р е ­
з а н и м а е т с я . разработкой утверждений,- шениях
с в я з ы в а ю щ и х з н а ч е н и я , числовых _ко- теорем
эффициентов
систем.
для
Применение
нахождения
этих
множеств
у р а в н е н и й , (неравенств, .решений уравнений и систем, а так­
их систем) со .значениями и х корней ж е для нахождения значений числоу
(решений), и исследует цели и условия вых коэффициентов.
их использования.
%
2. Однако в ходе исследования оказы­ Определение
вается,
что
в
большинстве
- -
г
~
понятия
г
равносиль­
случаев ность уравнений (неравенств)
применение этих теорем должно пред­ нятия «отношение
и по­
следования»
на
варяться «цепочкой» i преобразований. множестве уравнений и неравенств.
Учащийся узнает, что
использование
этих преобразований может привести к
неправильным результатам.
3. У ч а щ и й с я узнает, что для контроля Определение понятий: равносильные
за правильностью решения задач надо и
неравносильные
преобразования.
либо иметь предварительные сведения Т е о р е м ы о равносильных преобразо­
о множестве возможных решений, ли- ваниях и их доказательство.
,
бо уметь распознавать преобразования,
сохраняющие равносильность. Составл'яет список таких преобразований и
применяет его для проверки правиль­
ности
решения
уравнений
и
нера­
венств.
4. Учащийся узнает, что очень часто в
Определение понятий: система и со­
процессе решения задач, оказывается вокупность уравнений (неравенств),
невозможным заменить данное урав- преобразование
нение
(неравенство)
ему
изменения
логиче­
равносиль- ской структуры уравнения (неравен-^
ным. О н узнает, что в этих ситуациях ства). М е т о д ы : исследования на про­
математики прибегают к использова- межутках ОДЗ, разложения н а мно­
нию систем и совокупностей, старается жители; их теоретические
осмыслить и развить эту идею.
основы,
структура, признаки использования,
цели применения.
5. Учащийся узнает, что иногда при М е т о д замены переменной, его раз­
р е ш е н и и задач очень трудно опреде­ новидности, теоретические
основы,
лить первоочередное направление пре­ цели и область использования.
образований. Вспоминает, как он по­
ступал в таких ситуациях, узнает, что
существуют и другие варианты замены
переменной.
Выясняет
особенности
использования идеи замены перемен­
ной в различных ситуациях.
6. В процессе исследования оказывает­ Понятие универсальной
ся, что часто за новую
подстанов­
переменную ки. Особые виды уравнений и сис­
п р и н и м а ю т одно и то же выражение, и тем, решаемые методом замены пе­
выясняет причины такого явления.
ременной с использованием универ­
сальных подстановок.
С ю ж е т н о е построение учебных математических текстов позволяет пред­
ставить читателям не только содержание математической теории, подлежащее
усвоению, но и сам процесс познания, состоящий из последовательности взаи­
мосвязанных познавательных актов, направленных на достижение поставлен­
ной образовательной цели. Описание сюжета учебного
примеры, представляет собой описание
действователя.
познавательной
текста,
как показывают
деятельности
героя-
Отождествляя себя с героем-действователем (или, по крайней
мере, стремясь'сделать это) у ч а щ и й с я сможет заимствовать и его методологи­
ческие установки, ф у н к ц и о н и р у ю щ и е в описываемой познавательной деятель­
ности.
Бессюжетные математические тексты также содержат описания дея­
тельности (доказательства теорем, решения задач), которые призваны выполнять аналогичные ф у н к ц и и . О д н а к о подобные описания носят обезличенный
характер, что, во-первых, не дает возможности отражения в них личностных
характеристик деятельности (отражение содержания проблем, в о з н и к а ю щ и х по
ходу деятельности, причин принятия тех или иных р е ш е н и й и т.п.), а вовторых, не побуждает учащихся к их критической оценке, а л и ш ь к восприятию
i • • ^~
112
и подражанию. Личностная окраска описания познавательной деятельности в
сюжетном тексте позволяет варьировать способ описания в зависимости от об­
разовательных задач:
•
средство ознакомления с образовательно-значимым
способом
тельности (образец правильной деятельности);
•
1
дея­
-
средство ознакомления с направлениями варьирования способа дея­
тельности (образец альтернативной деятельности);
•
средство ознакомления с т и п и ч н ы м и ошибками в осуществлении дея­
тельности (образец неправильной деятельности);
•
'
средство передачи методологических оснований (руководящей идей)
деятельности (образец сходной деятельности);
•
средство предъявления познавательной проблемы (образец личностнозначимого конфликта при выполнении деятельности).
Кроме того, личностная окраска позволяет варьировать отношение читателя к
позиции субъекта описываемой деятельности:
•
отождествление позиции читателя с позицией действователя;
•
критическая оценка позиции действователя читателем;
•
восприятие читателем действователя как соучастника в деятельности;
•
восприятие читателем действователя как противника в деятельности.
П р и в е д е м пример варьирования описания задачи «Избавиться от иррациональности в знаменателе выражения:
25-х
•
,
=— » в зависимости от его функцио(5-V*V
••
•
нальной направленности:
1. Демонстрация
типичной
ваний, не связанных
с целью
ошибки учащихся
- осуществление
преобразо­
деятельности
«Избавиться от иррациональности в знаменателе м о ж н о , у п р о с т и в выраже­
ние», - подумал Петя. Заметив, что числитель дроби представляет собой раз­
ность квадратов
;
числа 5 и выражения
V x , он решил сократить
дробь:
2
25-х
2
5 -(Vx)
(5-Vx)'(5 + Vx)
( 5 - V x ) ' - - -( 5 - V x ) .••>
4
(5-%/х)
2
5 + Vx
„
—г. Поскольку дальнейшее упрощение
.5-4х
л
2
2
:
выражения оказалось невозможным, он посчитал задание выполненным.
С ю ж е т н ы е дополнения (методологический план) в представленном описа­
нии решения являются средством передачи информации о причинах возникно­
вения о ш и б к и - выбор в качестве^ ведущего критерия успешности деятельности
реализованность н а м е ч е н н о й п р о г р а м м ы действий.
-I,
•
2. Демонстрация^
^ •
-
.
образца оформления
решения
задачи
Учитель сказал, что оформление р е ш е н и я задачи д о л ж н о удовлетворять
двум требованиям: 1) полученное в результате преобразований выражение то­
ждественно равно данному выражению; 2) оно не содержит переменной под
знаком арифметического корня в знаменателе дроби. Затем он записал на доске
р е ш е н и е задачи так, чтобы всем было видно.
«Решение:
2
1) . У м н о ж и м числитель и знаменатель дроби на выражение (5 + V x ) . Полу25-л-
чим:
2
(25-х)(5
+ Л)
„
,
г=г = —г- - - А , • Это преобразование тождественное, так как
( 5 - V x ) "(5-л/х) (5 + л/х)
2
2
2
О Д З , = О Д 3 = [0;25)U(25;+a>)'.
2
2) . Преобразуем знаменатель дроби с п о м о щ ь ю тождеств:
1
1
(а - b)(a + Ь) - а -Ъ
25-х
(5-Vx")
и
_ (25-x)(5 + V x )
2
2
2
(5-л/х") (5 + 7х")
{-/^=а.
_ (25-x)(5+Vx)
2
а" Ь" =(аЬ)",
Получим:
2
Все эти преобразования тожде­
(25-х)
ственные, так как О Д З , = О Д 3 = О Д 3 = [0;25)U(25;+oo).
2
„
25-х
(25-x)(5
Ответ:
=
(5-л/х)
2
3
2
+ -Jx)
А
, —
(25-х)
- '-
Л
-..
•
».
2
Кто-то их ребят заметил, что полученную дробь м о ж н о сократить на выра­
жение ( 2 5 - х ) . Учитель ответил: «Конечно, вы правы. М о ж н о и продолжить
решение этой задачи, тогда в ответе получим:
=— = i
<-. Н о , если вы
не сократите дробь, то требование задачи все р а в н о будет уже выполненным,
поэтому оба ответа являются верными».
1
• -' - •
Л
В ы д е л е н и е в описании р е ш е н и я д в у х позиций - учителя и у ч а щ и х с я - по­
зволяет в данном фрагменте сделать обозримыми параметры оценки учителем
деятельности учащихся (методологическая с о с т а в л я ю щ а я ) - и создает условия
для анализа связи этих требований с условием задачи. - '•
3. Демонстрация
способа рассуждения
при решении
- t
п
-•
задачи
«Избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит заменить данное
выражение таким тождественно р а в н ы м ему выражением, которое не содержит
-
переменной <под знаком арифметического корня в знаменателе», - рассудила
Катя. П о с т а р а ю с ь в с п о м н и т ь , ' к а к и е т о ж д е с т в е н н ы е ' п р е о б р а з о в а н и я применя­
лись р а н ь ш е для-решения задач с таким же требованием. Вспомнила!. Иногда
помогает сокращение дроби. Д а н н у ю дробь м о ж н о • сократить, с д е л а ю это:
25-х
т=-г =
(5-Va-)'
2
2
5 -(vx)
(5-л/7)(5 + ^ )
рИг =
-^7=-,—(5-Vx)
(5-Vx)
2
=
2
5+ V I '
,
г= • К сожалению, избавиться от ирра, ,
. . . ,
,
У
5 • \/д-
У
циональности в знаменателе это мне не помогло. Что ж е е щ е м о ж н о сделать?
Вспомнила! М о ж н о умножить числитель и знаменатель д р о б и на выражение,
сопряженное знаменателю, то есть такое, которое в произведении со знамена­
телем даст рациональное выражение. В данном случае его легко
,,
/-.
тт
5 + Vx
(5 + V x ) . Продолжу решение: - — т = =
5-Vx
\5 + 4Х\5
—
(5 + V x )
+ 4Х)
г^
2
Т 1
• Ну вот, от
=
( 5 - V x ) ( 5 + Vx)
найти:
25-х
корня в знаменателе избавилась. Теперь осталось проверить, является ли полу­
ченное выражение тождественно равным данному в ы р а ж е н и ю на его О Д З , если
нет, надо указать множество, на котором тождественное равенство справедли­
во. Так, сокращение не изменило О Д З исходного выражения, у м н о ж е н и е на со­
пряженное И применение формул: а" -Ь" -(аЬ)",
2
1
(а - Ь)(а + Ь) - а -Ъ
и (~JaJ =а
тоже, следовательно, полученное выражение тождественно р а в н о данному на
ОДЗ, = О Д 3 = [0;25)U(25;+oo)».
2
В данном случае персонализированное описание деятельности позволяет
обратить внимание читателя на такие методологические ориентиры деятельно-
сти, как значимость опыта р е ш е н и я задач для осуществления поисковых дейст­
вий, а т а к ж е на содержание смыслового значения требования задачи «избавить­
ся от иррациональности в знаменателе» и его контролирующую ф у н к ц и ю в ре­
шении.
-
- В о з м о ж н о с т и средства «описание деятельности» в решении задачи форми­
рования методологических знаний
ограничены функциями
коммуникатора
(передача запланированного методологического основания деятельности уча­
щ и м с я , п р е д ъ я в л е н и е и н ф о р м а ц и и , побуждающей учащихся к переоценке соб­
с т в е н н ы х методологических установок).
Эта ограниченность
обусловлена
о б ъ е к т и в н ы м и свойствами данного дидактического средства: во-первых, асп е к т н о с т ь ю («однобокостью») представления деятельности через ее описание,
во-вторых, пассивностью читателя, так как его функции ограничены л и ш ь за­
дачей п о н и м а н и я содержания текста.
, -
З н а н и я , явившиеся результатом этого восприятия, могут получить даль­
н е й ш е е развитие лишь в условиях включения их в собственную деятельность.
В е д у щ и м методическим средством, активизирующим учащихся, являются ма­
тематические задачи.
П о н я т и е этой категории в методической науке пока не получило однознач­
н о й трактовки из-за нерешенности вопроса о включенности субъекта деятель­
ности в структуру задачной ситуации. Н а и б о л е е распространенной является
трактовка понятия задачи как открытой системы (задачной ситуации), меняю­
щей
свое
состояние
в
процессе
взаимодействия
с
решающей
системой
( Ю . М . К о л я г и н , В.И. Крупич, A . M . М а т ю ш к и н , Г.И. Саранцев, Л . М . Ф р и д м а н ,
и др.). Э т а особенность задачи
тельных
функций
- включение
ную (математическую)
и определяет характер
учащихся
деятельность.
ее ведущих
в образовательно-значимую
образова­
предмет­
Успешность этой деятельности обеспе­
чивается, как нами было показано в [173], ц е л ы м комплексом я в н ы х или неяв­
н ы х з н а н и й , составляющих по определению Ю . М . Колягина базис р е ш е н и я за­
дачи:
•
исполнительский
базис решения задачи составляют положения математи­
ческой теории, выполняющие функцию аргументов для логического вы­
вода новой информации об объекте задачи из заданной и л и ранее полу­
ченной;
•
.
.
.
.
>
•
•
контролирующий
базис решения задачи составляют положения матема-
•
тической теории, выполняющие функцию средств распознавания объек­
т о в задачи как понятий, на которые распространяются положения мате­
матической теории, входящие в исполнительский базис;
•
стратегический
базис
решения задачи состоит из знаний, в ы с т у п а ю щ и х
средствами выбора или конструирования исполнительского базиса (к
числу таких знаний относятся поисковые схемы, позитивные и негатив­
ные эвристики);
•
ориентировочный
базис
решения
задачи
составляют
знания-
представления о смысловых значениях терминов, л е ж а щ и х в основе фор­
мулировки цели деятельности, принятых нормах ее достижения (крите­
р и и выбора аргументов и степени полноты аргументации и т.п.);
•
мировоззренческий
базис
решения
задачи
составляют
знания-
представления о структуре математической деятельности, специфике ма­
тематических объектов, об особенностях структуры математической тео­
р и и и связях между ними и т.п.
• < -
Представленные описания показывают, что л и ш ь . з н а н и я поверхностных
уровней (исполнительского и контролирующего базисов р е ш е н и я задач) имеют
предметный характер, то есть являются элементами математической теории.
Знания же, функционирующие на уровнях стратегического, ориентировочного
и мировоззренческого базисов решения задачи, носят методологический харак­
тер. П о л у ч е н н ы й нами вывод подтверждает представленное в § 2.2. описание
понятия опыта как когнитивной системы, включающей как я в н ы е знания о
предмете деятельности, так и неявные знания о самой деятельности. Таким об­
разом, доказано, что математические задачи, используемые в у ч е б н о м процессе,
могут рассматриваться и как средство формирования
не только предметных
(математических), но и методологических знаний (об особенностях оперирова­
ния э т и м и предметными знаниями).
Традиционно, з а д а ч н ы й ' м а т е р и а л учебника математики представлен сово­
к у п н о с т ь ю относительно самостоятельных подразделов, которые могут быть
в ы н е с е н ы даже в отдельное учебное пособие - задачник. Наиболее часто выде­
ляются с л е д у ю щ и е виды таких разделов: « З а д а ч и к пункту № . . . » , «Задачи на
повторение», «Задачи повышенной трудности» и т.п. Такое распределение тео­
р е т и ч е с к о г о и задачного материала в структуре учебника, по всей видимости,
определяется одним или несколькими факторами: 1) теоретический материал в
б е с с ю ж е т н о м учебном математическом тексте
средство
рассматривается л и ш ь
как
представления содержательной стороны обучения,.а задачный - как
н а б о р средств для проектирования технологической стороны обучения (14, 35);
2) теоретический материал рассматривается как средство представления обра­
зовательно-значимых фактов математической теории, а задачный материал
-
как средство представления ситуаций приложения этих фактов (154, 60-61);
3) структура учебника по п о л о ж е н и ю дидактической теории д о л ж н а быть «мо­
д е л ь ю структуры дидактического процесса» (14, 25).
С ю ж е т н о е построение учебных математических курсов существенным обра­
зом меняет характер связи теоретического и задачного материала, а, следова­
тельно, и м е с т о задач в структуре учебника.
Н а необходимость изменения характера этой связи указывал е щ е А.А. Сто­
л я р . В [154] он утверждал, что обучение математической деятельности предпо­
лагает ш и р о к о е использование схемы: «задачи —> теория —> задачи». В этой
технологической цепочке задачи выступают у ж е не только средством осмысле­
н и я математической теории.и формирования умений применять теоретические
положения в математической деятельности, но и средством мотивации развития
теории. И д е й н о й основой реализации этой с х е м ы является теория проблемного
обучения, развитая в трудах В.Т. Кудрявцева [80], Д.С. Л ю д м и л о в а [98] и др. В
методике построения современного урока математики данная схема использу-
ется у ж е довольно широко, однако возможность ее использования при структу­
рировании материала в учебных пособиях исследована пока недостаточно.
Задача активизации учащихся при работе с с ю ж е т н ы м у ч е б н ы м математиче­
ским текстом приводит к необходимости использования математических
дач в качестве
методических
деятельности
тех или иных персонажей,
реальной
деятельностью
средств,
учащихся.
создающих
условия
участвующих
за­
замещения
описания
в развитии
сюжета,
П р и этом в зависимости от с ю ж е т н ы х
функций персонажа, дидактические функции математических задач в структуре
учебного текста могут быть существенно различным.
В с ю ж е т н о м учебном тексте для реализации события - познавательного ак­
та, по д а н н ы м литературоведческих исследований Ю . М . Лотмана, Л.С. Леви­
тана, Л.М. Цилевича, А.Б. Есина, и др. необходимо введение персонажей трех
основных видов:
•
Герой-действователь
(главный п о д в и ж н ы й персонаж, лидер) — его веду­
щая функция в развитии сюжета состоит в обнаружении ограниченности
поля представлений о познавательной деятельности и ее преодолении.
Возможность выполнения этих функций обеспечивается
тем, что герой-
действователь обладает разрешением на некоторые действия, для других
запретные (нарушает традиционные методологические установки при со­
вершении учебно-познавательных действий).
•
Противник
героя
действователя
его основная функция
(главный неподвижный персонаж)
-
в сюжетной линии — создание запретов, границ
осуществления познавательной деятельности. Возможность*выполнения
• этих функций обеспечивается наличием у данного персонажа четких кри­
териев
оценки
событий
и знаний
о традициях
и
нормах
учебно-
познавательной математической деятельности, а также стремлением к
в ы н е с е н и ю оценочных суждений (требует оперирования традиционными
представлениями о математической деятельности).
•
Помощник
героя действователя
(второстепенный неподвижный персо­
наж) - его основная функция - помощь герою действователю в создании
поля представлении о познавательной деятельности или ее составляющих
(элементах формы, содержания) н а основе актуализации собственного
опыта деятельности или осуществления исследовательских действий (по­
з н а н и е в границах заданных методологических норм).
Т а к и м образом, математические задачи, используемые для з а м е щ е н и я дея­
тельности героя-действователя, должны обладать с л е д у ю щ и м и функциями в
р а з в и т и и методологического знания:
А
I. Включение
учащихся
нанию необходимости
наружение
'
в математическую
развития
деятельность,
имеющихся
границы»).'
приводящую
методологических
•
к осоз­
знаний
-
(«об­
• <-'
Н а п р и м е р , осознанию необходимости уточнения смыслового значения часто
в с т р е ч а ю щ е г о с я в формулировке задач требования «Упростить выражение»
м о ж е т способствовать постановка перед учащимися
последовательности двух
задач, связанных выявляющими проблему рассуждениями героя-действователя:
2
«Задача
1. Представьте квадратный трехчлен: -х
+ Зх(2 - х) +16 в виде, в кото­
р о м наиболее просто: а) определить, является л и значение трехчлена положи­
тельным числом при заданном значении переменой; б) найти значение трехчле­
на при х = 0 ; в) найти его наибольшее значение.
Р е ш е н и е этой задачи показывает, - может заметить п ы т л и в ы й ученик, - что
в ы б о р н а и б о л е е простого вида выражения зависит от цели п о с л е д у ю щ е й дея­
тельности. Н о тогда, - скажет он, - возникает вопрос, как ж е р е ш а т ь задачи, в
которых требуется просто упростить выражение, то есть заменить его более
п р о с т ы м и н е указывается д л я какой цели?
Задача
2. «Среди указанный в ы р а ж е н и й выберите те, которые м о ж н о , по Ва­
ш е м у м н е н и ю , сравнивать д р у г е д р у г о м «по простоте»:
1)
о
5 )
6 4
3
2
4
г
* ' ~ " У • 2)
х+2
9у -\6х
'
х - З х - 4 х + 12
*~2
(*-3)(*-2)'
3
Л
6
2
ч 1 . ч 1 .
Т х '
~ Г
7
)
7
)
3-х
* - 5 х + б'
г
й
ч
,
8
)
3
"
2
'
16х
2
>
х+2
(х -4)(х-3)
3-х
(х-2)(х-3)'
. „,х.
У
16х +12ху +9/
4^3?
•
2
9
)
.
Щ
2
п Л
2
)
Х
У
'
В ы б е р и т е из сравнимых по «простоте» выражений" самое простое. Объясните
свой выбор».
•
Задача 1 в представленной серии является носителем двух дидактических
функций: 1) закрепление предметных у м е н и й представлять квадратный трех­
член в виде произведения линейных сомножителей, в стандартном виде, выде­
лять в нем полный квадрат; 2) получение методологического знания* о зависи­
мости выбора направления преобразования от цели последующей деятельности.
Задача 2 выполняет лишь одну дидактическую ф у н к ц и ю — создание условий
для осмысления учащимися обнаруженного героем-действователем противоре­
чия как личностно-значимого. Задача 2 побуждает учащихся к осуществлению
действий на основе интуитивных представлений о смысловом значении цели с
п о с л е д у ю щ и м сопоставлением результатов собственной деятельности с резуль­
татами деятельности других учащихся.
2. Включение
учащихся
в математическую
витию методологических
Например,
'
деятельность,
знаний («преодоление
границы»).
приводящую
к раз­
"-'
к обнаружению значимости понятия тождественного равенства
для вычисления значений выражения может способствовать постановка перед
у ч а щ и м и с я задачи:
Задача 3. Найти значение каждого выражения при х=11,5.
2
3
2х +3х ,
''х -2,25'
1
33
(2х + Зх)(Л + УЗ")
' ' (х -2,25)(V3-V2)
2
3
2
2
2
2
2л/2х -2л/зУ ' ,
2
(1,5х-х )л/5^2Уб'
8
3
4
2 (^)
х(2х + 3)(4 + 2Уб),
x -f
2
4
2
32(8* -12х)-
Опишите способ, который позволил В а м сократить количество необходимых
для решения задачи вычислений.
Задача 3 является носителем двух дидактических функций: 1) формирование
предметных
умений,-комплексного использования для преобразования выра­
жений: формул сокращенного умножения, сложного корня, свойств степени и
т.п.; 2) формирование методологического знания о практической значимости
понятия тождественного преобразования. Содержание задач этого типа подби­
рается таким образом, чтобы достижение поставленной цели на основе п р и 121
в ы ч н ы х н о р м деятельности оказалось затруднительным для у ч а щ и х с я (техни­
чески т р у д н о осуществимым), а обнаружение нового способа деятельности
м о г л о б ы т ь осуществлено л и б о самими у ч а щ и м и с я , л и б о с использованием не­
значительной п о м о щ и учителя. В данном случае выражения представлены в та­
ком виде, чтобы гипотеза об и х тождественном равенстве могла явиться р е ­
зультатом наблюдения и м ы с л е н н о г о преобразования их структуры.
М а т е м а т и ч е с к и е задачи, используемые для замещения деятельности против­
н и к а героя-действователя, должны' обладать с л е д у ю щ и м и ф у н к ц и я м и в разви­
т и и методологического знания:
3. Включение
учащихся
ции их внимания
ских нормах
в контрольно-оценочную
на значимых
для осуществления
(«установление
деятельность
деятельности
с целью
фикса­
методологиче­
границ»).
П р и м е р о м задачи этого типа может служить задача 4, а к ц е н т и р у ю щ а я внима­
н и е у ч а щ и х с я на значимости контроля за равносильностью преобразований при
р е ш е н и и уравнений и неравенств:
Задача
4. Назовите преобразования, использованные при р е ш е н и и данного
уравнения. Проверьте, являются ли п о л у ч е н н ы е корни корнями
исходного
уравнения (с п о м о щ ь ю подстановки их в д а н н о е уравнение).
x = (JhTx+\)(Jl
2
+ x~ + x + x - 7 ) - ^ ( V i 7 I - l ) x = ( V l + I - ^
-^-kVI+7 - \)х=((^/m)'
+х-7)
2
- i ) ( V m + х + х - 7)
2
2
- ^ - K V I + I - \)х = (1 + х - 1 ) ( л / т + х '+ х - 7) -^-»(л/Г+х~ - \)х = x ( V T + I + х + х - 7)
—3->x*J\ + x-x
2
= xJl + x + x* +х
3
-1х—^->х
2
+х -6х
2
= 0—?-*х(х
+х-6) =0
К о р н я м и полученного у р а в н е н и я являются числа: 0; 2; -3..
Задача 4 также является носителем двух дидактических ф у н к ц и й : 1) подго­
т о в к а у ч а щ и х с я к систематизации и корректировке знаний о с о д е р ж а н и и тео­
рем
о ^равносильных
преобразованиях;
2)- демонстрация
контролирующей
ф у н к ц и и этих теорем. Задачи этого типа содержат описание какой-либо дея­
тельности и требования ее оценки по.заданным параметрам и критериям.
4. Включение
учащихся
тодологических
в деятельность
норм математической
мами («противостояние»,
«
сопоставления
деятельности
индивидуальных
с общезначимыми
ме­
нор­
конфликт»).
П р и м е р о м задачи с этой дидактической функцией м о ж е т случить задача 5,
приводящая к столкновению
привычной логики рассуждений, о б о с н о в ы в а ю ­
щ е й замену уравнения или неравенства системой (совокупностью) более про­
стых уравнений или неравенств с логикой, диктуемой содержанием теорем о
равносильности:
Задача
5. Обоснуйте неравносильность указанных переходов с помощью
теорем, лежащих в основе преобразования «изменение логической структу­
р ы » уравнения или неравенства:
У-4
5.5. | 2 х - 3 | = х - 2 - >
= 0.
2х-3=х-2
2х - 3 = 2 - х
2х-3>4-5х
5.6.|2д:-3|>4-5х->
Ъ-2х >
4-5х
П р и в е л и ли они к приобретению или потере корней в д а н н ы х задачах?
Основу проектирования задач с этой дидактической функцией составляет
идея актуализации опыта
использования учащимися рассуждений, основанных
на использовании стихийно с л о ж и в ш и х с я методологических установок, с поста­
новкой задачи анализа результатов этих рассуждений с точки зрения других
норм деятельности. В данном случае содержание задачи побуждает учащихся к
сопоставлению рассуждений, являющихся следствием стихийного переноса ус^ ловий истинности д и з ъ ю н к т и в н ы х и конъюнктивных высказываний о числах на
п р е д и к а т и в н ы е утверждения о выражениях с переменными с рассуждениями, ос­
н о в а н н ы м и н а использовании теорем о равносильности.
Х а р а к т е р и с т и к а функций персонажа помощник героя-действователя в разви­
т и и с ю ж е т а приводит к необходимости выделения математических задач, об­
л а д а ю щ и х следующими функциями в развитии методологического знания:
5.
Включение учащихся в математическую деятельность осознанного опе­
рирования методологическими нормами («движение в границах норм деятель­
ности»).
Задачи этого вида позволяют включить учащихся в математическую дея­
тельность практической апробации и п р и с в о е н и ю методологического знания в
ф о р м е структурного компонента опыта деятельности. С этой целью формули­
ровка таких задач содержит дополнительные указания о необходимости ис­
пользования того или иного методологического знания (или подражания образ­
цу, д е м о н с т р и р у ю щ е м у реализацию этого знания) в качестве основания дея­
тельности. Задачи этого вида подбираются таким образом, чтобы использова­
ние д а н н о й методологической установки не только обеспечивало р е ш е н и е за­
д а ч и , но и позволяло оценивать эту установку как наиболее э ф ф е к т и в н у ю . Рас­
с м о т р и м пример задачи этого типа:
Задача 6. Решите следующие уравнения (неравенства, системы) графическим
методом:
v
П е р е ч и с л и т е правила преобразования графиков функций,
использованные
В а м и при решении каждой из этих задач. Назовите свойства функций, исполь­
зованные В а м и для обоснования правильности полученного результата. '
' В е д у щ е й дидактической функцией данной задачи является .развитие знаний
учащихся о сущности графического метода решения уравнений, неравенств и
систем
за счет выявление положений математической теории, используемых
для реализации его отдельных шагов. О д н а к о данное задание способствует и
развитию предметных знаний и умений: умения строить эскизы
графиков
функций, пользуясь правилами преобразования графиков, и з н а н и я м и р графи­
ках основных элементарных функций и уравнением окружности; у м е н и е иссле­
довать свойства функций (знакопостоянство, монотонность, скорость измене­
ния).
б. * Включение
знаний
учащихся
о спектре
(«исследование
в математическую
функциональных
семантического
деятельность
возможностей
поля норм
получения
методологических
новых
норм
деятельности»).
Деятельность по решению задач данного вида призвана выступать в качестве
предмета экспериментального исследования, поэтому правильнее будет гово­
рить не о функции отдельной задачи в развитии методологического знания, а о
функции системы
соответствии
системам
таких задач (репрезентативной выборки), построенной как в
с общими
задач,
экспериментальной
методическими
так и в соответствии
требованиями,
с
требованиями,
предъявляемыми
к
предъявляемыми
к
группе.
В методике преподавания математики категория «система задач» получила
теоретическое обоснование в работах В.А. Гусева, М . Б . Воловича, В . И . Крупича, Г.И. Саранцева, Ю.М. Колягина, А.А. Столяра и др. Они считают необхо­
д и м ы м предъявлять к системе математических задач с л е д у ю щ и е о б щ и е требо­
вания:
1. Все задачи системы должны быть направлены на достижение определен­
ной общей цели.
Комментируя необходимость выдвижения этого требования, В . И . К р у п и ч
пишет: «С целью осуществления в обучении математике т е о р и и у ч е б н о й дея125
т е л ь н о с т и необходимо, чтобы системы задач состояли из конкретных учебных
задач, направленных на достижение обобщенной цели учебной деятельности»
(78, 152). Конкретизируя содержание этого принципа, Г.И. Саранцев отмечает,
что реализуя данный принцип при проектировании систем у п р а ж н е н и й (задач),
необходимо «различать о б щ и е и.частные цели» упражнений,
так как «дости­
жение о б щ е й цели осуществляется', через достижение частных целей» (140, ,18).
Т а к и м образом, построение, системы задач д о л ж н о начинаться с формулировки
основной образовательной цели и её'таксонометрии.
2. С о в о к у п н о с т ь задач, входящих в систему, должна быть полной, то есть
достаточной для
«овладения всеми действиями адекватными формируемой
деятельности» (140, 18).
В ы д в и ж е н и е этого требования обосновывается тем, что с точки зрения, деятельностного подхода к обучению достижение образовательной цели возможно
л и ш ь на основе поэтапного проведения учащихся через все умственные дейст­
вия, адекватные природе формируемого компонента содержания образования.
Таким образом, в систему задач д о л ж н ы входить задачи, п о б у ж д а ю щ и е уча­
щихся к осуществлению всех образовательно-значимых действий. А.А. Столяр
р а с к р ы в а е т содержание этого требования с л е д у ю щ и м образом: « М н о ж е с т в о ча­
с т н ы х задач некоторого класса (К) назовем полной системой частных задач
( П С Ч З ) этого класса, если в нем содержится, по крайней мере, по одной задаче
(по о д н о м у представителю) из каждого класса эквивалентности» (154,
В . И . К р у п и ч , трактует данное требование следующим образом:
173).
«Система
у ч е б н ы х задач школьного курса математики должна обладать свойством струк­
т у р н о й полноты, то есть, построена с учетом принципа целостности» (78, 153).
О с н о в н о е различие приведенных трактовок состоит в оценке значимости для
д о с т и ж е н и я образовательной цели наличия в системе задач, р е ш е н и е которых
требует установления взаимосвязей между усвоенными действиями. П о поло­
ж е н и ю В.И. К р у п и ч а в систему задач д о л ж н ы входить задачи, п о б у ж д а ю щ и е к
о с у щ е с т в л е н и ю отдельных действий, з н а ч и м ы х для формирования деятельно­
сти отдельных комбинаций этих действий, а т а к ж е целостной деятельности.
3. С и с т е м а задач должна быть структурирована, сообразно постепенному на­
р а с т а н и ю сложности решения задач, причем пошаговая степень нарастания
сложности должна соответствовать возможностям учащихся..
При
реализации
данного
требования
различными
исследователями
по-
разному раскрывается понятие сложности задач. Так, В.И. К р у п и ч трактует это
понятие как «сложность алгоритма р е ш е н и я задачи по времени» (78, 144-147).
С л о ж н о с т ь алгоритма решения задачи определяется числом элементарных ис­
полнительских действий, входящих в структуру алгоритма решения задачи.
В.А. Гусев [42] положил в основу трактовки данного понятия сложность аналитико-синтетической структуры умственной деятельности, совершаемой
при
р е ш е н и и задачи: синтез -»анализ^> синтез через анализ - > анализ через синтез.
4. Система задач должна включать достаточное число задач для усвоения
знаний, формирования прочных умений и навыков.
О с о б ы й вклад в разработку методических условий реализации данного требо­
вания внесли работы
М.Б. Воловича, П.М. Эрдниева, БХ1. Эрдниева и др.
М.Б. Воловичем доказано, что построение систем задач с использованием
большого количества «однотипных упражнений»
приводит « . . . к механиче­
скому, бездумному решению учащимися задач и примеров», а следовательно не
позволяет удовлетворить требованию прочности. Ведущим средством реализа­
-
ции данного требования, * по мнению М.Б. Воловича, является
постоянное
«...варьирование несущественных признаков» (28, 189) при постановке зада­
ний. П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев в [183] показали различные с п о с о б ы варьиро­
вания несущественных признаков задачи при построении систем упражнений.
К числу таких способов варьирования относятся: замена деятельности учащих­
ся по р е ш е н и ю задач на деятельность по восстановлению пропусков в решении,
составления задачи; переход от решения данной задачи к р е ш е н и ю обратной,
сходной, более общей или более частной. Развитием идеи варьирования несу­
щественных условий деятельности при построении систем задач является вве­
дение П . М . Эрдниевым, Б.П. Эрдниевым в [183] понятие «матрицы (таблицы)
упражнений». Доказывая образовательную значимость матричной ф о р м ы пред-
ставления
системы задач учащимся, они пишут: «Способ передачи человече­
ских з н а н и й посредством речи линеен: слова располагаются во фразе во време­
ни одно за д р у г и м . . . . Однако, информация, передаваемая в мозг основным ка­
налом зрительной системы, по меньшей м е р е двумерна» (114, 184). Ссылаясь
на утверждение В.П. Зинченко о том, что визуальное м ы ш л е н и е - это человече­
ская деятельность, продуктом .которой является порождение н о в ы х образов,
создание н о в ы х визуальных форм, несущих определенную нагрузку и делаю­
щ и х значение в и д и м ы м , они утверждают, что
матричное представление уп­
ражнений способствует возникновению комплекса внутрисистемных ассоциа­
ций между «носителями информации» одного уровня. Н а основе использование
матиц упражнений в практике обучения математике в школе и вузе ими доказа­
но, что визуальный образ системы упражнений способствует осознанию уча­
щ и м и с я варьируемых условий^ деятельности как несущественных. В этой связи
они пишут: «Работая над системой задач, расположенных в таблице, школьник
постигает динамику явления и полноту представлений, - это и есть один из спо­
собов приобщения к диалектике м ы с л и » (183,186)
Рассматривая систему задач на исследование семантического поля задавае­
мого той или иной методологической нормой
математической деятельности
как экспериментальную группу учебных математических задач, мы должны
осуществлять реализацию о б щ и х . т р е б о в а н и й к системе задач
требований выборочного метода.
(1-4) с учетом
«Под выборочным методом понимается ста­
тистическое исследование, при котором характеристики изучаемой совокупно­
сти устанавливаются по некоторой ее части» (176, 56). При этом вся подлежа­
щая и з у ч е н и ю совокупность называется генеральной совокупностью, а подвер­
г а ю щ а я с я обследованию называется выборкой. О с н о в н ы м требованием, предъ­
я в л я е м ы м к выборке, является требование репрезентативности, т о есть она
д о л ж н а «давать обоснованное представление о генеральной совокупности» (20,
8). В статистике описываются различные способы образования выборок: собст­
венно случайная выборка (с возвращениями, без возвращений), механическая,
типическая и серийная.
,
Способ образования выборки определяется целями экспериментального ис­
следования. Так как система задач должна представлять собой выборку, пред­
назначенную для выявления спектра возможных проявлений исследуемой методологической нормы математической деятельности, то в основу построения
системы задач должен быть положен принцип образования с е р и й н о й выборки.
С точки зрения этого принципа:
•
система задач должна включать полный спектр условий, существенных
для исследуемых особенностей
реализации изучаемой н о р м ы деятель­
ности, то есть система д о л ж н ы быть полной в смысле А.А. Столяра;
•
система задач должна быть составлена из типичных представителей всех
групп задач, на которые распространяется исследуемая н о р м а деятельно­
сти, т о есть быть составлена в соответствии с принципом варьирования
несущественных условий применения н о р м ы в смысле В.Б. Воловича.
В связи с тем, что основная цель экспериментатора состоит в сведении к ми­
нимуму неконтролируемых воздействий на ход исследуемого процесса, система
задач этого типа должна включать л и ш ь те задания, в р е ш е н и и которых изу­
чаемая норма деятельности функционирует максимально изолировано от дру­
гих норм, т а к и м образом, получаем еще одно требование:
•
сложность процесса решения задач системы в смысле В.И. Крупича
должна быть минимизирована и в соответствии с положением о матрице
упражнений П.М. Эрдниева и Б.П. Эрдниева должна быть по возможно­
сти одного уровня.
Построенную в соответствии с этими п о л о ж е н и я м и матрицу упражнений м ы
будем называть таблицей
демонстрационных
заданий,
так как ее ведущей
функцией является формирование у учащихся представлений об области дейст­
вия изучаемой методологической нормы учебно-познавательной деятельности
и условиях варьирования ее смыслового значения (демонстрация связей между
содержанием и нормой деятельности).
В качестве примера таблицы демонстрационных заданий рассмотрим систе­
му задач, исследование процесса решения которых позволит у ч а щ и м с я устано129
вить связь между целями использования метода исследования н а промежутках
О Д З и особенностями выражений, входящих в уравнения и неравенства разных
типов.
Таблица б
Д е м о н с т р а ц и о н н ы е з а д а ч и п о т е м е «Метод исследования на промежут­
ках О Д З »
<
Виды
Уравнение
Неравенство
Целые
| х - 3 | + |х + 2 | - ] х - 4 | = 3
|2x-3|>4-5x
Система
J*-M=-i
2
lx +/=2
Дробные
х
5
_
г
х -1
х
3
(х-1)х
|x+3l+x
,
•— < 1
x+2
i
f
-
-
[\x-2\+y
Тригонометриче­
ские
Иррациональные
COSX
(x + f )
| COS X |
2
г
п
V 3 - 3 x = 2x + l .
Показательно-
l + cos2x >
f | cosx-11= 2
>cosx(l+|l-2cosx|)
[2^ + cosx = 5
Vx
2
-4>x-l
U2x + y=x + 3
\
y-6x
1
x = 2y
= \7
2
х^ '=Ух"
степенные
Логарифмические и
показательно-
=2
|з"*"' + | х - 2 | = ^
k*,(.-2x)
3
J
2_2
log,(y + x) = 0
=5x
логарифмические
А н а л и з процесса решения задач, представленных в таблице, позволит уча­
щ и м с я прийти к выводу, ч т о ведущим признаком необходимости обращения к
д а н н о м у методу является невозможность получения однозначного результата
при выполнении запланированных преобразований на О Д З уравнения, неравен­
ства или системы, а также при возможности оценки запланированного преобра­
зования как равносильного л и ш ь на отдельных промежутках О Д З .
С о о т н о с я функциональные возможности математических задач и описаний
математической деятельности с этапами процесса развития методологических
130
знаний, м ы получаем целостные представления о возможностях использования
учебных материалов в качестве методических условий развития методологиче­
ского знания при изучении математики (таблица 7).
Таблица 7
Методические условия развития методологических знаний при изучении
математики
Этапы
Дидактические
функции
развития
учебных материалов в
МЗ
развитии МЗ
Зарождение
Включение
нового
структуру акта
тической
МЗ
матема­
деятельности
(возникновение его как
побочного
продукта
этой деятельности)
Виды учебных материалов,
являющиеся
носителями этих функций.
1. Описание
процесса
обнаружения
математической п р о б л е м ы и рассу­
ждений
героя-действователя,
при­
водящих к ее р е ш е н и ю .
2. Постановка перед у ч а щ и м и с я задач
1 и 2 типов.
3. Постановка перед у ч а щ и м и с я задачи
1 типа с последующим
описанием
процесса решения п р о б л е м ы героемдействователем .
4. Описание
проблемы
процесса
обнаружения
героем-действователем
последующей
постановкой
с
перед
учащимися задачи 2 типа.
Распро­
Формирование
странение
оперирования М З в раз­
ности, содержащее
личных ситуациях.
особенностей о п е р и р о в а н и я М З (в
опыта
1. Описание познавательной
процессе
деятель­
характеристику
деятельности
или
при
оформлении решения задачи)
2. Постановка перед у ч а щ и м и с я задач
3, 5 и 6 типов.
-
Выявление
Создание методологиче­
1. Описание математической деятель­
ской проблемной ситуа­
ности, связанной с неоправданным
ций, то есть
ситуации,
использованием М З .
вскрывающей
ненадеж­
ность
формы
2. Постановка перед у ч а щ и м и с я задач
1,4 типов.
традиционной
математической
деятельности.
Опредме­
Развитие знаний о мето­
чивание
дологических
нормах
деятельности
(причинах
эффективности,
области
использования,
функ­
циональных
возможно­
1.
Описание
учебно-познавательной
деятельности, направленной на раз­
витие методологических знаний.
2.
Описание
учебно-познавательной
деятельности на основе осознанного
оперирования М З .
стях и т.п.) и формиро­
3. Постановка перед учащимися задач
вание опыта осознанно­
3, 5, 6 типов.
го оперирования М З .
П р о ц е с с развития различных видов методологических знаний, как в естественных условиях научного познания, так и в условиях учебно-познавательной
деятельности идет неравномерно.
С к о р о с т ь протекания этого процесса обусловлена многими факторами:
•
•
н а л и ч н ы м содержанием предметных знаний и задачами их развития;
•
в о з р а с т н ы м и и индивидуальными особенностями учащихся;
•
степенью погруженности методологического знания в структуру опыта
деятельности.
В связи с подчиненностью развития методологических знаний в н е ш н и м ус­
л о в и я м проектирование
учебных
материалов,
обеспечивающих целенаправ­
ленное д в и ж е н и е этого процесса, является довольно трудной задачей,
щей предварительного
методического
анализа:
требую­
•
содержания методологического опыта учащихся (наличие или отсутствие в
структуре опыта математической деятельности данного методологического
знания, условия его использования.в математической деятельности: часто­
та использования, область действия);
•
.
.
функционально значимых свойств методологического знания, определяе­
м ы х его ролью в учебном познании (в ближайшей перспективе развития
сюжетной линии учебного математического курса);
•
степени готовности учащихся к осознанной корректировке и р а з в и т и ю ме­
тодологического знания в избранном направлении.
Х о р о ш и м примером решения этой задачи, на основе детального методическо­
го анализа, является диссертационное исследование О.Л. Б е з у м о в о й [11], в ко­
тором представлен процесс проектирования логической составляющей пропедевтических курсов геометрии с целью создания базы логических прёдставлений, необходимых учащимся для поэтапного перехода о т геометрических пред­
ставлений к понятиям.
Наивысшей скоростью развития обладают методологические знания, входя­
щие в стратегический базис деятельности: методы, эвристики, алгоритмы, пра­
вила. Элементы содержания этих видов знания наиболее часто находят отраже­
ние в тесте учебника, указаниях к р е ш е н и ю задач, формулировках заданий. Они
легко отделяются от содержания математической деятельности и достаточно
просто поддаются речевому оформлению. Большинство в ы п у с к н и к о в средних
общеобразовательных школ
знают название одного или нескольких методов
решения задач, а также приемов преобразования заданной ситуации. Наиболее
часто учащиеся называют методы: доказательства «от противного», векторнокоординатный, дополнительных построений, замены переменного, интервалов
и т.п. Некоторые из учащихся могут достаточно четко описать структуру этих
методов математической деятельности.
Знания ориентировочного и мировоззренческого базиса с о х р а н я ю т свое со­
стояние длительное время даже при условии специального обучения, а также
легко возвращаются в прежнее состояние при изменении условий деятельности.
С в и д е т е л ь с т в о м этого факта являются ш и р о к о распространенные затруднения
у ч а щ и х с я , связанные с осмыслением роли чертежа в решении задач, с различе­
нием смысловой и истинностной • оценки математических предикатов и т.п.
Эти особенности развития методологических знаний в значительной мере по­
в ы ш а ю т требования не только к содержанию обучения, представленному в
учебнике, но и к методической деятельности учителя, как носителя и коммуникатора методологических знании.
2.3.2.
Отражение
содержания
учебно-познавательной
учителя
знаний
деятельности
о
методологии
в методической
работе
математики
У ч е б н ы й материал представляет собой, с точки зрения дидактического под­
хода к построению содержания образования, «воплощение педагогических ц е с
лей» (158, 121). Это объясняет тот факт, что методологическая составляющая
м о ж е т б ы т ь зафиксирована в учебном тексте и задачном материале л и ш ь в той
мере, в какой происходит ее целенаправленное развитие.
Отсутствие
пользованию
в содержании
учебных
текстов указаний
тех или иных методологических
знаний
или описаний
говорит л и ш ь о том, что
на д а н н о м этапе обучения эти знания выступают в роли
средств
развития
других компонентов
вания. Рассмотрение
данном этапе обучения
их как целевых
не считается
содержания
компонентов
по ис­
вспомогательных
математического
содержания
функционально
образо­
образования
на
необходимым.
О д н а к о использование методологических знаний в качестве средств учебно­
го п о з н а н и я способно вносить определенные коррективы в содержание этих
знаний, что определяется как частотой использования методологических зна­
н и й и частотой актуализации тех или иных контекстов (условий) их функцио­
нирования, так и характером оценки результатов его применения.
Это п р и в о д и т к тому, что редко используемые методологические знания по­
степенно утрачиваются (стираются из памяти), содержание других постепенно
искажается п о д влиянием условий функционирования.
Так, например, ознакомление учащихся с понятием приближенного значения
величин (приближенного числа) обязательно сопровождается вскрытием при­
чин появления приближенных значений, одной из которых являются измере­
ния. Однако оперирование с результатами измерений в процессе решения сю­
жетных задач зачастую не рассматривается как оперирование с п р и б л и ж е н н ы ­
ми значениями, что приводит к полной утрате этого знания.
Ярким примером, показывающим возможность постепенного искажения со­
держания методологического знания в процессе его функционирования, явля­
ются изменения представлений учащихся о сущности описания решения урав­
нения (неравенства). П р и ч и н о й обострения методологического конфликта вы­
явилось введение Единого государственного экзамена п о математике.
Разра­
ботчики К И М о в составляли критерии оценивания описания р е ш е н и я уравнения
(неравенства) исходя из того, что это описание д о л ж н о представлять собой до­
казательство
ременной
утверждения
множеству
о равенстве
решений
множества
данного уравнения
найденных
(неравенства).
значений
пе­
В школьной
же практике описание решения уравнение (неравенства) принято рассматривать
как описание
способа
нахождения
множества
значений
переменной.
Такая
трактовка содержания этого понятия объясняется доминированием в учебном
процессе целей формирования умений применять алгоритмы нахождения кор­
ней над целью формирования потребности
в обосновании правомерности ис­
пользования того или иного алгоритма.
Покажем, чем различаются описания решения | х | - , 1 +
+х = 4
V
с точки
4х-3
зрения этих представлений:
Доказательство
L
l
+X
4 Ux-3
4
=
Описание
X
+
способа
X
^ 4 J-^-
1
Ч
+
4 х - 3
по теореме о равносильности преобразо­
вания «перенос слагаемого».
iX
4
X
4%x-3= -
+
Х
-
4
нахождения
2. П р и х е (4;+оо) уравнение не имеёт,корней,
так как
|x|Jl +
>0>4-х
V 4х - 3
2
х
'
1+-^— =(4-х)
4x-3j
2
(по
Зх
2
х +
о п р е д е л е н и ю арифметического корня).
2
= 16-8х + х
4х-3
2
2
3. П р и хе(0;"-] уравнение не и м е е т с м ы с ­
ла
(по
определению
Зх
4х-3
А6-&Х
арифметического
2
Зх = ( 1 6 - 8 х ) ( 4 х - 3 )
квадратного корня).
Зх
4. П р и xe(-oo;0]U(j;4]
2
2
=88х-32х -48
2
3 5 х - 8 8 х + 48 = 0
1*1,1 + 4 х - 3
:4-Х
3
С> X
1+
V 4х-3
=(4~х)
2
п о т е о р е м е о равносильности преобразо­
вания «возведение частей уравнения в
44 + 16
X.
'
квадрат».
•-(4-ху
=
,,
= 11
7
35
_ 44-16 _ „
* ~
35
~
5. П р и xe(-a>;0]U(l;4]
х' 1+- 3
4х-3
2
^ = (44) -35-48 = 256>0
4
г
2
<=>35х - 8 8 х + 48 = 0
по теоремам о равносильности преобра­
зований: « у м н о ж е н и е н а в ы р а ж е н и е с пе­
Т
Проверка:
\Ц-I- 11 + — —
+ JZ JZ
i+ _1L_
а/
4. ji _ з
u / 4-8 - 2 1
7
7
7
- J i . Щ j-Л - Л x J2-4
~ 7 VI
l " l !
~
T
р е м е н н о й » , «тождественные
=
T
4
7
,
преобразо­
вания», «перенос слагаемого».
6.
При
х 6 (-a>;0]U("-;4]
уравнение:
2
3 5 х - 8 8 х + 48 = 0 имеет два к о р н я : х, = f и
Ответ:
Ответ:
{±;Ц}.
{|;lf}.
П р и в е д е н н ы е п р и м е р ы показывают, что проектирование содержания методо­
логической составляющей математических курсов не заканчивается уровнем
разработки у ч е б н ы х материалов. Н е о б х о д и м о учитывать и наличие четвертого
уровня рассмотрения содержания образования - уровня процесса обучения, то
есть, по словам И.Я. Лернера, «реализации содержания образования непосред­
ственно в деятельности обучения» (158,119).
Причем, в силу того, что система методологических знаний выступает сред­
ством
развития других компонентов содержания математического образова­
ния, проектирование методологической составляющей математических курсов
на этом уровне должно носить двусторонний характер:
•
разработка условий деятельности обучения, обеспечивающих целесооб­
разное использование методологических знаний;
•
разработка условий деятельности обучения, обеспечивающих целена­
правленное развитие методологических знаний.
> • •
Деятельность обучения представляет собой совместную деятельность учителя
и учащихся, ведущим средством проектирования которой в ы с т у п а ю т теорети­
ческие представления о методах обучения. Носителями содержания методоло­
гической составляющей учебных математических курсов я в л я ю т с я специаль­
ные методы обучения математике.
Г.И. Саранцев указывает на необходимость отражения в о п р е д е л е н и и спе­
циальных методов обучения математике специфики их взаимосвязи с процессу­
альной и содержательной стороной учебного процесса. С этой точки зрения
«метод обучения математике следует рассматривать, - утверждает Г.И. Саран­
цев, - как способ движения (развития) деятельностей учителя, у ч е н и к а и мате­
матического содержания» (141, 91). Разработанный им подход позволяет опре­
делить роль специальных методов обучения математике в
проектировании
учебного взаимодействия учителя и учащихся, а также уточнить ф у н к ц и и этих
методов по отношению к процессу развития предметной с о с т а в л я ю щ е й с о д е р жания математического образования. « П о характеру
учебно-познавательной
деятельности и организации содержания материала, - пишет Г.И. Саранцев, м о ж н о выделить следующие методы обучения: индуктивно-репродуктивный,
индуктивно-эвристический,
репродуктивньш,
индуктивно-исследовательский,
дедуктивно-эвристический,
дедуктивно-
дедуктивно-исследовательский,
обобщенно-репродуктивный,
Г обобщенно-эвристический,
исследовательский» (141,-91).
обобщенно-
1
В этой классификации уточнение' содержания специальных методов обучения
(дедуктивный, индуктивный м е т о д ы , метод обобщения) достигается за счет со­
гласования ведущего способа оперирования с учебным материалом (например,
дедуктивного) с характером распределения функций учителя и учащихся в этой
деятельности (например, репродуктивный: учитель отбирает теоретическое по­
л о ж е н и е , н е о б х о д и м о е для дедуктивного вывода, определяет ситуацию его
п р и м е н е н и я ; у ч е н и к - осуществляет логический вывод).
Развивая д а н н у ю идею, м ы получаем возможность установить
между
содержанием
функционально-значимых
левым распределением
учителя
и учащихся
методологических
в учебно-познавательной
взаимосвязь
знаний
и ро­
деятель-
ю­
ности.
З н а ч и м о с т ь функционально-ролевого распределения для развития методоло­
гических знаний доказана исследованиями А.К. Белоусовой, М.Г. Ярошевского,'
Я.А. Пономарева, И.Н. С е м е н о в а и д р .
В педагогической (В.В..Давыдов, М . В . Кларин, А.Н. П о д д ь я к о в и др.) и ме­
тодической науке (В.Г. Коваленко, Г.Н. Щ е г л о в и др.) накоплен уже достаточно
большой опыт реализации идеи функционально-ролевого
учебной деятельности.
распределения
в
Списки устанавливаемых ролей меняются в зависимо­
сти от концепции. Так, М.Г. Ярошевский выделил такие роли: генератор идей,
эрудит, критик. Е.Н. Емельянов дополнил этот список следующими: координа­
тор, мастер, коммуникатор. И.Б. Бовина дополнила роли, введенные М.Г. Ярош е в с к и м , следующими ролями: лидер, эмоциональный стабилизатор, коорди­
натор обсуждения. В этих концепциях названия ролей заимствованы из назва­
ний должностей и функций в общественных и производственных организациях.
В у с л о в и я х учебного взаимодействия названия ролей, по м н е н и ю А. Гина [37],
д о л ж н ы либо указывать на характер героя, определяющий специфику его
функций в учебном процессе, например «Фома неверующий» - выполняет
функции пытливого, критически настроенного ученика или ученика, постоянно
138
нарушающего нормы деятельности, устанавливаемые учителем; либо
на из­
вестные учащимся профессиональные обязанности, которые могут быть ими­
тированы в условиях обучения: «Штурман», «Адвокат»; либо на цели учебного
взаимодействия: «Подводящий итог», «Спонсор знаний», и т.п. В своей работе
А. Гин также отмечает, что ролевое распределение является средством снятия
трудностей, связанных с недостаточностью знаний учащихся или с их индиви­
дуальными психологическими особенностями.
Функциональная система методологических знаний состоит из 5 блоков: зна­
ния о цели познания, значимых условиях ее достижения, знаниях о способах
достижения цели, критериях успешности деятельности, направлениях и спосо­
бах ее корректировки. В условиях совместной деятельности эта система может
складываться из знаний нескольких участников учебного процесса. П р и этом
каждый участник выступает носителем
определенной ролевой функции
в
структуре общей познавательной деятельности.
В связи с необходимостью
основных
закономерностей
целенаправленного
вого распределения
коллективной
математического
развития
деятельности,
саморегуляции
процессом
познания
методологических
в совместной
лем методологических
системы
отражения
учебно-познавательной
(схема
относящихся
5).
в основу
деятельности
ее участник
к одному
математике
при постановке
знаний, положим
в которой каждый
знаний
обучения
является
функциональному
задачи
роле­
модель
носите­
блоку
Заказчик ' (пользователь математиче­
ских знаний, определяющий цель
учебно-познавательной деятельности).
Математик
интерпретатор
(участник
познавательной • дея­
тельности, осуществляющий пере­
вод условий достижения цели на
язык той или иной математической
теории).
Математик-исследователь
(уча­
стник познавательной деятельно­
сти, осуществляющий разработку
способа достижения цели)
Эксперт
(математик или
пользователь
математиче­
ских знаний, оценивающий
успешность
учебнопознавательной деятельно­
сти)
Математикконсультант
(участник
познавательной
деятельности определяющий
направления и способы кор­
ректировки действий других
участников).
Математик - исполнитель (участник познавательной дея­
тельности, реализующий программу достижения цели)
Схема 5. Ролевое распределение участников учебно-познавательной матема­
тической деятельности
" .
Распределение этих ролей м о ж е т быть различным в зависимости о т количест­
ва участников, наличия или отсутствия необходимых методологических зна­
ний, а также от целей организации учебно-познавательной деятельности.
Этот факт подтверждается исследованиями психологов в области социально­
го взаимодействия. А.Н. Поддьяков показывает (123, 157), что постановка раз­
л и ч н ы х задач целенаправленного обучения и развития неизбежно приводит к
необходимости выбора тех способностей обучаемого, которые д о л ж н ы активи­
зироваться в учебном процессе и тех способностей, которые д о л ж н ы подав­
ляться, так как их активность может «затемнить картину» развития содержания
образования.
Необходимость концентрации внимания учащихся на тех или и н ы х аспектах
системы саморегуляции за счет передачи соответствующих ф у н к ц и й возникает
в тех случаях, когда методологические знания я в л я ю т с я . п р е д м е т о м изучения,
или когда характер методологических с р е д с т в . познания получает образова­
тельно-значимое отражение в структуре предметного к о м п о н е н т а содержания
математического о б р а з о в а н и я . .
.
Так, например, если предметом изучения являются критерии успешности ма­
тематической деятельности по р е ш е н и ю уравнений и неравенств, то концен­
трация внимания учащихся на этом аспекте деятельности м о ж е т . б ы т ь - д о с т и г ­
нута посредством ограничения
их ролевых функций л и ш ь ф у н к ц и я м и «Экс­
перта», остальные функции в решении уравнения (неравенства) берет на себя
учитель. Здесь помогает использование известного приема «запланированная
ошибка» (учитель просит учащихся наблюдать за ходом его рассуждений, со­
общая о количестве ошибок, которые он совершит при в ы п о л н е н и и задания).
Существование зависимости между характером содержания
предметной
составляющей математического образования и формой учебно-познавательной
деятельности отмечается многими методистами, педагогами и психологами.
Так, С.А. Шапоринский пишет: «Конечно, и прежде прогрессивная дидактика
стремилась приобщить учеников и к процессу научного познания как средству
развития учащихся. Сейчас вопрос стоит по-другому, а и м е н н о : в какой мере
усвоение
современного
научного знания
вообще
возможно
без
усвоения
средств и способов его получения» (178, 20). В качестве примера учета такой
зависимости при организации учебного взаимодействия р а с с м о т р и м
способ
концентрации внимания учащихся на обусловленности содержания математи­
ческого утверждения представлениями о его функциональной направленности
(при формулировке теоремы о виде сечения выпуклого многогранника плоско­
стью).
Учитель, выступая в роли «Заказчика», демонстрирует ряд ф о р м у л и р о в о к за­
дач, в которых используется термин «сечение», и чертежей, о т р а ж а ю щ и х ре­
зультаты деятельности по построению сечений, и просит у ч а щ и х с я сориенти141
ровать его в выборе утверждения, которое удобно использовать при оценке
правильности выполнения заданий. Учащиеся, выступая в роли « М а т е м а т и к а интерпретатора», осуществляют перевод задачи на язык общематематических
терминов - из перечня существенных свойств составляют определение понятия
сечение, признак этого понятия и т.п. Учитель, выступая в роли «Исследова­
теля», подыскивает в справочной литературе утверждение о сечении много­
гранника плоскостью, соответствующее модели «Интерпретатора», затем в ка­
честве « И с п о л н и т е л я » осуществляет попытки оценить чертежи на основе най­
д е н н ы х утверждений. Учащиеся в это время выступают в роли «Экспертов»,
оценивая удачность использования найденного утверждения с заданной целью.
В обязанности их также входит принятие решения о необходимых корректи­
р о в к а х способа использования утверждения или способа его выбора (роль
«Консультанта»).
Процесс
^
совместной
учебно-познавательной
деятельности,
как
показано
О.Б. Е п и ш е в о й [51], является необходимым методическим условием передачи
методологических,оснований деятельности от учителя к учащимся. Доказывая
этот .факт, она пишет: «Деятельность учителя опосредованно входит в состав
у ч е б н о й деятельности учащихся, и ее результаты содержатся в результатах дея­
тельности учащихся. П р и этом ученик стремится к внешним результатам, а
учитель - к внутренним, к изменениям личности ученика. ... соотношение вы­
п о л н я е м ы х функций учителя и ученика в ходе педагогического процесса долж­
но меняться. Учитель как бы вытесняется учеником, передавая ему свои функ­
ц и и , с м е щ а я акценты деятельности ученика на внутренние результаты, изменяя
стиль его мышления» (51,127).
Следует отметить, что данный эффект достигается л и ш ь в условиях
тости
методологических
руемой учителем
для
основ Математической
деятельности,
откры­
демонстри­
учащихся.
П р и н ц и п «открытости методической работы учителя» был впервые сфор­
м у л и р о в а н И М . Смирновой [148] в связи с разработкой методики обучения ма­
тематике учащихся гуманитарных классов. Необходимость его введения обос142
новывалась ею следующим образом: «Ученик не только должен понимать цели
обучения, но и представлять себе, почему, например, они доказывают теорему,
решают данную з а д а ч у . . . » (148, 15).
,
'' 'Z
Ф у н к ц и и этого принципа в учебном процессе могут быть существенно рас­
ширены за счет конкретизации его содержания применительно к отдельным
видам методической работы.
О с н о в н ы м и функциями учителя в учебном процессе, по м н е н и ю Е.И. Л я щенко, являются следующие: « . . . планировать
свою работу и учить планиро­
вать учебную работу учащихся; организовать
различные в и д ы деятельности
учащихся, помогать их выполнять и в определенной мере управлять
нивать
ими; оце­
свою деятельность и деятельность учащихся, учить их оценке и само­
оценке» (86, 5). Данное описание согласуется с в ы д е л е н н ы м и нами ролевыми
функциями в системе саморегуляции учебно-познавательной математической
деятельности, что позволяет говорить об отдельных аспектах
работы
учителя,
являющихся
ниях учебно-познавательной
•
деятельность
носителями
знаний
методической
о методологических
основа­
деятельности:
по проектированию
широких и узких целей обучения явля­
ется носителем знаний о целях учебно-познавательной математической
деятельности учащихся и их таксонометрии;
•
деятельность
телем
по проектированию
знаний
о
значимых
содержания
условиях
обучения
достижения
является носи­
целей
учебно-
познавательной деятельности и способах их определения;
•
управление
учебно-познавательной математической деятельностью
уча­
щихся является носителем знаний о методах, приемах и способах дости­
жения цели, их структуре, условиях использования, критериях выбора и
способах комбинирования;
•
контрольно-оценочная
деятельность
учителя является носителем знаний
о параметрах и критериях оценки успешности учебно-познавательной ма­
тематической деятельности и основах их выбора;
•
деятельность
по
выявлению
причин
ошибок
учащихся
в
познавательной математической деятельности и их устранению
учебноявляется
носителем знаний о признаках необходимости коррекции, в о з м о ж н ы х на­
правлениях и способах корректировки математической деятельности.
Рассмотрим в качестве примера систему действий учителя, в ы т е к а ю щ у ю из
необходимости реализации принципа открытости методической р а б о т ы в описанном н а м и смысле, по работе с упражнением № 474, содержащемся в учеб­
нике [2]:
:
' .
"
Н а й т и значение выражения:
а) V 4
7
б) 4¥
в) лЯб
7
г)^2?
Д) Л Й 6 2
ж) л/750-270
е) V96-486
з) л/853776
Е г о ведущая функция, по замыслу авторов учебного пособия,' состоит в фор­
мировании умений применять свойства арифметического квадратного корня
в
комбинации со свойствами степени с натуральным показателем и представле­
нием числа в виде произведения. Следовательно, при работе с этим упражнени­
ем учитель д о л ж е н :
1) продемонстрировать у ч а щ и м с я место формируемой к о м б и н а ц и и дейст­
вий в структуре вычислительной деятельности (например, через демонст­
р а ц и ю ситуаций, когда использование какого-либо тождества требует
подготовительных вспомогательных преобразований выражения);
2) вскрыть дидактическую ф у н к ц и ю задания № 474 (например, путем ее
комментирования);
•,
.
_
:
3) добиться концентрации.внимания учащихся на тех особенностях содер­
жания вычислительных заданий в данном упражнении, которые являются
признаком использования этой комбинации действий (например, через
о р г а н и з а ц и ю д е я т е л ь н о с т и . у ч а щ и х с я п о сопоставлению в ы р а ж е н и й , со­
д е р ж а щ и х с я в данном задании, с выражениями, д о п у с к а ю щ и м и изолиро­
ванное использование свойств арифметического корня);
4) привлечь учащихся к поиску общего алгоритма вычислительных дейст­
вий и его использованию (через организацию эвристической беседы);
5) раскрыть перед учащимися параметры оценки успешности их деятельно­
сти (возможность точного вычисления значения выражения, возможность
устного вычисления, обоснованность преобразований с п о м о щ ь ю теорем
- свойств, правильность вычислений) и связи их с п р е д п о л а г а е м ы м и на­
правлениями корректировки решения.
Как показывает пример, реализация
работы
учителя
собственных
достигается
действий
принципа
открытости
за счет комментирования
или привлечения
учащихся
к их
методической
учителем
оснований
обсуждению.
Введение принципа открытости методической работы учителя выводит нас
на проблему описания специальных методов обучения математике как методов
согласованного взаимодействия методического проектирования учебного про­
цесса учителем и методов учебно-познавательной м а т е м а т и ч е с к о й деятельно­
сти учащихся.
Следует отметить, что в методической науке на сегодняшний д е н ь у ж е имеется
ряд фундаментальных работ, посвященных р е ш е н и ю этой п р о б л е м ы . В этой
связи можно, например, выделить работу В.А. Гусева [42]. Результаты его ис­
следования позволяют описать методы анализа и синтеза как методы, л е ж а щ и е
в основе проектирования «цепочек» математических задач, р е а л и з у ю щ и х идею
непрерывной дифференциации учащихся в учебном процессе, и как основу раз­
личных методов мыслительной деятельности учащихся. Данная р а б о т а показы­
вает, что решение этой проблемы м о ж е т быть достигнуто путем: дополнения
описания схемы рассуждений характерных для данных м е т о д о в , описанием
спектра их методических форм, определяемых целью деятельности.
Опираясь на результаты исследований С Л . Рубинштейна, Д.И. Богоявленской,
Н.А. Менчинской, В.А. Гусев в [42] убедительно доказал, что м е т о д ы анализ,
синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, т р а д и ц и о н н о относи­
мые к специальным методам обучения математике, лежат в основе всякой м ы с ­
лительной деятельности, и потому сами по себе не являются с п е ц и ф и ч н ы м и
145
для методической деятельности учителя и учебной деятельности учащегося.
этой связи нам кажется правильнее
дах обучения
деляемой
математике,
теми
говорить
а О характере
или иными
не приемах
мышления
мыслительной
специальными
методами
как
деятельности,
обучения
В
мето­
опре­
математике.
Этот тезис доказан нами в [64].применительно к операциям сравнения и анало­
гии. В э т о й , работе нами дана .характеристика функционирования операций
сравнения и аналогии п р и использовании их в качестве основы методов поиска
р е ш е н и я задач и конструирования'систем о б у ч а ю щ и х упражнений.
К р о м е того, в описании специальных методов обучения математике
должна
получить отражение связь этих методов с формой учебного математического
познания и с целевой направленностью учебного математического курса,.кото­
рая определяет условия их использования.
Т а к и м образом, мы получаем" систему
нию
специальных
методов
обучения
требований,
математике
предъявляемых
в методических
к
описа­
руково­
дствах:
•
•
описание
специальных
рировать
связь их содержания
описание
специальных
методов
средством
раскрытия
условий
учителя
•
(преподавателя)
описание
средством
специальных
ся.
обучения
с методами
обучения
математике
математике
математических
характера
содержания
обучения
должно
математического
их использования
методов
раскрытия
ской составляющей
'
методов
демонст­
познания;
должно
служить
в методической
работе
дисциплин;
математике
их вклада
в развитие
математического
должно
служить
методологиче­
образования
учащих-
1
П о к а ж е м применение этих требований к уточнению описаний м е т о д о в обуче­
ния математике, п о б у ж д а ю щ и х - у ч а щ и х с я к осуществлению действий, входя­
щ и х в структуру метода математического моделирования, содержащихся в
учебниках по методике преподавания математике.
М е т о д математического моделирования является одним из наиболее древних
методов математического познания. А.А. Самарский и А.П. М и х а й л о в выделя­
ют три исторических этапа его развития: «Элементы математического модели­
рования использовались с самого начала появления точных н а у к . . . . Второе
«рождение» этой методологии пришлось на конец 40-х - начало 50-х годов X X
века и было обусловлено по крайней мере'двумя причинами. Первая из них появление Э В М (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но, тем
не менее, избавивших у ч е н ы х от огромной по объему рутинной вычислитель­
ной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ - выполнение нацио­
нальных программ С С С Р и С Ш А по созданию ракетно-ядерного щита, которые
не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моде­
лирование справилось с этой задачей: я д е р н ы е взрывы и полеты ракет и спут­
ников были предварительно «осуществлены» в недрах Э В М с п о м о щ ь ю мате­
матических моделей и л и ш ь затем претворены на практике. ... С е й ч а с матема­
тическое моделирование вступает в третий, принципиально в а ж н ы й этап своего
развития, «встраиваясь в структуру так называемого « и н ф о р м а ц и о н н о г о обще­
ства» ... Н у ж н ы надежные способы переработки информации «сырья» в гото­
вый продукт, то есть в точное знание» (138, 6-7).
Основная функция данного
метода состоит в установлении взаимосвязей между математическим знанием и
реальной действительностью. Основной категорией, относящейся к данному
методу, является понятие математической модели. Е е содержание и структура
данного метода раскрывается в научно-популярной литературе и в некоторых
учебных курсах. «Математическая модель - это приближенное описание како­
го-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с п о м о щ ь ю математиче­
ской символики» (149, 21). М е т о д математического моделирования состоит из
трех основных этапов: построение математической модели, исследование ма­
тематической модели средствами математики, интерпретация и оценка по­
лученных
зависит
результатов. Очевидно, что
от
наличия
осуществимость
определенных
видов
каждого из
математических
этапов
знаний:
адекватного математического языка для описания исследуемого объекта или
явления, теоретических
положений
для
147
получения требуемых
выводов
о
характере поведения модели, средств оценки погрешности полученных резуль­
татов и степени их устойчивости. Поэтому д а н н ы й метод способен выполнять
д в е ф у н к ц и и в научном познании: являться средством применения математиче­
ских знаний к р е ш е н и ю проблем общественной практики и являться средством
развития самих математических знаний. И м е н н о эта вторая функция и позволя­
ет рассматривать метод математического моделирования как основу методов
обучения математике.
1
"
М е т о д математического моделирования, как показывает анализ учебных по­
собий по математике и методических руководств,
может использоваться для
д о с т и ж е н и я следующих'дидактических целей: формирование представлений о
р е а л ь н о й практике как об источнике развития математического знания (матема­
т и ч е с к и х гипотез, математического языка), осмысления содержания математи­
ческих понятий и математических утверждений, а также для обоснования ис­
т и н н о с т и утверждений. Поставив в соответствие каждой из выделенных целей
определенный метод обучения математике, получим следующие разновидности
специальных методов обучения математике:
1.
Метод «подводящих»
прикладных
и практических
задач — изучение ново­
го материала предваряется включением у ч а щ и х с я в деятельность анализа при­
ч и н н е р а з р е ш и м о с т и прикладной или практической задачи в рамках и м е ю щ и х ­
ся знаний с целью раскрытия образовательно-значимого направления развития
знаний. Д а н н ы й метод ш и р о к о используется как в школьных, так и вузовских
курсах математики в качестве средства мотивации дальнейшего развития зна­
н и й о положениях математической теории, и м е ю щ е й связь с практикой. На­
п р и м е р , в качестве средства м о т и в а ц и и введения понятия отрицательного числа
в 6 классе может выступать задача подсчета количества в ы и г р ы ш н ы х и проиг­
р ы ш н ы х очков в настольной игре. В вузовском курсе математического анализа
введение понятия производной рекомендуется предварять постановкой задачи,
т р е б у ю щ е й определения мгновенной скорости п р и неравномерном движении.
2.
Метод
эксперимента
с реальными
прообразами
математических
объек-
тов - введение нового математического утверждения или правила предваряется
включением учащихся в экспериментирование с реальными прообразами математических объектов с целью раскрытия источников нового знания в математи­
ке. Д а н н ы й метод широко используется в практике преподавания математики в
школе. Это определяется спецификой содержания школьных курсов математи­
ки и особенностями развития мышления учащихся школьного возраста. На­
пример, в курсе геометрии данный метод может быть использован при получе­
нии аксиомы задания плоскости (экспериментирование с моделью плоскости и
количеством необходимых опор). В курсе алгебры данный метод м о ж е т быть
положен в основу открытия учащимися утверждения о том, что графиком ли­
нейной функции является прямая (построение точек с координатами, удовле­
творяющими уравнению линейной функции).
3.
Метод
метаэмпирического
конструирования
математических
понятий
- введение нового математического понятия предваряется в к л ю ч е н и е м уча­
щихся в деятельность выделения значимых свойств реальных объектов, кото­
рые могут быть выражены в математических терминах с п о с л е д у ю щ и м сопос­
тавлением полученных описаний с содержанием известных математических
понятий. Данный метод применяется в основном в практике преподавания ма­
тематики в школе в двух случаях: 1) когда изучаемое математическое понятие
может рассматриваться как математическая модель хорошо известных у ч а щ и м ­
ся реальных объектов или явлений; 2) когда содержание математического поня­
тия не поддается формализации. Примером использования данного метода в
школьном курсе геометрии является введение понятия равенства фигур через
их совпадение при наложении. В вузовском курсе математического анализа введение понятия переменной как величины, изменяющей свое значение в дан­
ном исследовании.
4.
Метод опытной
математических
..
проверки
утверждений
*
'
истинности
содержательной
-
.
интерпретации
- логическое доказательство истинности мате­
матического утверждения дополняется или заменяется включением учащихся в
деятельность по проверке истинности интерпретации математического утвер­
ждения, переформулированного для реальных прообразов математических п о ­
нятий. В чистом виде он используется л и ш ь в 1-6 классах общеобразовательной
149
ш к о л ы в связи с тем, что урбвень развития учащихся не позволяет использовать
в качестве средства обоснования логический вывод. Например, правило пере­
носа слагаемого в у р а в н е н и и ' м о ж е т б ы т ь обосновано учащимся 6 класса через
осуществление действий с ч а ш а м и весов, аналогичных переносу слагаемых.
П р и переходе к изучению систематических курсов данный метод используется
как средство демонстрации недостаточности опытной проверки для обоснова­
1
ния истинности утверждений в связи с неосуществимостью полной практиче­
ской проверки из-за общности утверждений или использования
абстракции
бесконечности.
5. Метод
иллюстрации
внематематические
смысла
математических
интерпретации
утверждений
через
их
- формулировка математических утвер­
ж д е н и й сопровождается включением учащихся в деятельность по осмыслению
ее содержания на основе сопоставления с аналогичными внематематическими
у т в е р ж д е н и я м и . Использование данного метода позволяет создать основу об­
разного
восприятия
содержания
утверждения.
Например,
формулировка
свойств зеркальной симметрии может сопровождаться рассмотрением их ин­
терпретации относительно реального объекта и его отражения от зеркальной
поверхности. Д а н н ы й метод применим в вузовских курсах, ориентированных
на ф о р м и р о в а н и е способности к использованию математической .теории. Так,
например, понять с м ы с л действий над матрицами могут п о м о щ ь задачи анализа
табличных данных.
6.
Метод
.
,
практического
.
.
.
.
применения
[
,
математической
.
теории
- формиро­
вание умений применять математическую теорию завершается
включением
у ч а щ и х с я в деятельность р е ш е н и я прикладных и практических задач, с целью
в к л ю ч е н и я учащихся в деятельность по оценке области применения теории и
выделения условий-признаков ее использования или формирования умений
применять метод математического моделирования. В зависимости от степени
готовности учащихся к целостному использованию метода математического
моделирования при реализации этого метода могут использоваться как сюжет­
ные математические задачи, так и задачи - практические ситуации. Варьирова-
ние сложности деятельности по работе с такими задачами может достигаться и
путем частичной реализации процедур метода самим учителем.
Связь выделенных методических форм метода математического моделиро­
вания с целевой направленностью и математическим содержанием учебного
курса может быть представлена в виде таблицы 8.
„
.
,
Таблица 8
Связь метода математического моделирования с ф о р м а м и учебного
познания
Ведущие
обучения
обоснование
творчество
Метаэмпирическая
цели
пользование
1,2,3,4,5
1,3,4,5
1,3,5,6
1,2,3,4,5
1, 3, 4 (как допол­
1,3,5,6
Ведущие формы познания
индукция
Метаэмпирическая
индукция с элемен­
t
нительный), 5
тами дедукции
Квазиэмпирическое
1
1
1,5,6
познание
Метоумозрительное
5,6
познание
Приведенная таблица использования методических форм метода математиче­
ского моделирования в учебном процессе показывает, ч т о принятие решения о
возможности использования той или иной формы не является'Произвольным
(зависит от формы и цели учебного познания). Форма учебного
деляемая
совокупностью
включения
учащихся
варьирования
мере
степени
согласована
ляющей
развития
используемых
методов
обучения
в совместную
деятельность
(с учетом
и характера
их активности),
должна
с наличным
содержания
учителем
уровнем
математического
и с ее функциональной
развития
151
учащихся,
и
опре­
средств
возможности
быть
методологической
образования
структурой.
познания,
в
полной
состав­
с целями
ее
2.3.3.
Методологическая
рефлексия
«опредмечивания»
и использования
учебном
как ведущее
условие
методологических
«выявления»,
знаний
в
процессе
П р и использовании в процессе обучения таких приемов, как организация
функционально-ролевого распределения коллективной учебно-познавательной
деятельности, согласование используемых специальных методов обучения с
целями развития методологических знаний, методологическая открытость дея­
тельности учителя и т.п., происходит целенаправленное развитие методологи­
ческой составляющей опыта учебно-познавательной деятельности учащихся,
но без ее осознания.
Превращение же методологических знаний из средств
у ч е б н о г о познания в его предмет (переход к этапам: «выявления» методологи­
ческого знания и его «опредмечивания») требует, как показывают результаты
психологических и науковедческих исследований, «выхода в рефлексивную
п о з и ц и ю » (термин Г.П. Щедровицкого). Такой выход представляет собой от­
странение от осуществляемой математической деятельности и ее самоанализ в
ситуациях возникновения методологического конфликта (проблемы).
Термин рефлексия в науке был впервые использован Д. Л о к к о м , который оп­
ределял его как наблюдение за действием. Сегодня, благодаря философским
трудам И. Фихте и Г. Гегеля, рефлексия понимается как мыслительная дея­
тельность особого вида. .
• Экспериментальными исследованиями И.Н. Семенова, С Ю . Степанова [153]
доказано, что рефлексия представляет собой не специфический в и д м ы ш л е н и я ,
а уровень мыслительной деятельности, функционирующий в условиях интел­
лектуальных затруднений. Представленная ими системно-уровневая
м ы ш л е н и я имеет с л е д у ю щ и й вид (схема 7):
модель
Уровень личностной рефлексии
>• Уровень интеллектуальной рефлексии
Предметный уровень мышления
Операциональный уровень мышления
«блокада»
реализация
неадекватных пред­
ставлений
•
в
«озарение»
движение
блокаде
реализация
принципа
верного ре­
шения.
Схема б. Уровневая модель м ы ш л е н и я
Н а схеме стрелками показано направление мыслительной деятельности в про­
цессе решения творческой задачи. В отсутствии интеллектуального затрудне­
ния деятельность осуществляется на операциональном и предметном уровнях
м ы ш л е н и я . Решение интеллектуальной проблемы по д а н н ы м этих учетных,
требует перехода на более высокие уровни мышления: личностной и интеллек­
туальной рефлексии.
Существование нескольких уровней мыслительной деятельности признается
и исследователями проблем самосознания науки. Так, В.Н. Б о р и с о в [18] утверждает, что структура познавательного акта включает в себя два уровня - пред­
метный и рефлексивный (или протопредметный). Н а первом у р о в н е происхо­
дит оперирование с самим предметом исследования^ на втором — предварительное планирование и управление познавательным процессом, которое пред­
полагает корректировку программ деятельности, в случае необходимости, в со­
ответствии с полученной обратной информацией о ходе познавательного про­
цесса. Следует заметить, что науковедческими исследованиями доказана воз­
можность временного разделения предметного и рефлексивного уровней по­
знания. Доказательством этого факта является существование в истории наук
153
J
довольно длительных периодов,,в которых познание происходило без явных
о б р а щ е н и й к рефлексии, и периодов, называемых «научными революциями», в
которых познание носило в основном рефлексивный характер. Эта же возмож­
ность сохраняется и в процессе учебного познания. Эти д а н н ы е позволяют го­
ворить о целесообразности рассмотрения двух относительно самостоятельных
видов учебно-познавательной математической деятельности:
t
•
Предметная
(математическая)
учебно-познавательная
деятельность
>то деятельность, целью которой является развитие
математического
знания, т о есть знания о математических объектах (их видах, свойствах,
отношениях), составляющих предмет изучаемой математической теории.
•
Рефлексивная
учебно-познавательная
деятельность
- это деятельность,
ц е л ь ю которой является развитие знаний о самой предметной учебнопознавательной деятельности (о методологических нормах, правильности
и ценности полученных результатов для общества или субъекта деятель­
ности, знания о вкладе этих результатов образ мира субъекта и т.п.).
Эти два вида познавательной деятельности характерны и для научного по­
знания. Однако, отличительной особенностью учебно-познавательной предметной деятельности является т о , что она является не только формой развития ма­
тематического знания учащихся, но и средством формирования у них опыта математической деятельности (репродуктивной и творческой), а вместе с т е м и
средством развития методологических знаний как побочного неосознаваемого
продукта этой деятельности.
Рефлексивная
деятельность
В.В.Давыдова [45]) средством
в учебном
познании
выступает
(по
теории
«объективизации для ребенка его собственных
изменений, происходящих в процессе обучения» (45, 246). Т а к и м образом,
предметом учебно-познавательной рефлексивной деятельности являются изме­
нения, происходящие^ в м ы ш л е н и и , в образе мира, в представлениях о себе и
своем м е с т е в м и р е и т.п.. Поскольку, вообще говоря, содержание рефлексии
значительно ш и р е , чем задача анализа методологических норм познавательной
деятельности, возникает необходимость-введения особого термина для обозна­
чения интересующего нас вида учебно-познавательной рефлексии:
Методологической
познавательной
гических
деятельности,
оснований
ное использование
рефлексией
мы
целью которой
математической
в учебном
будем
называть
является
деятельности,
вид
осознание
их развитие
учебнометодоло­
и
сознатель­
процессе'.
С х о д н у ю трактовку данного термина м о ж н о найти в работах Г.В. Баранова,
В.В.
Краевского, А.Н.
Ходусова,
A . M . Адаменко
и др. Так,
например,
A . M . Адаменко, решая проблему разработки общей концепции научной реф­
лексии, дает следующее определение этому п о н я т и ю : «Методологический тип
рефлексии - это исследование и разработка средств научного познания и меха­
низмов их применения в познавательной деятельности» ( 1 , 44). В.Н. Борисов в
[19] определил методологическую рефлексию как нормативное обеспечение
более или менее стандартных задач. Введенное определение показывает, что
необходимость включения учащихся в методологическую р е ф л е к с и ю возникает
на этапах «выявления» и «опредмечивания» методологических знаний, а также
на этапе осознанного использования методологических знаний
в качестве
средств регулирования учебно-познавательной деятельности.
Экспериментальными исследованиями И.Н. Семенова и С.Ю.
Степанова
доказано, что в качестве методического средства, стимулирующего «выход в
рефлексивную позицию», могут быть использованы задачи, я в л я ю щ и е с я носи­
телем методологической проблемы (проблемы выбора или отсутствия методо­
логической основы деятельности, проблемы ее адаптации к условиям использо­
вания и т.п.). Виды таких задач представлены нами в пункте 1 д а н н о г о пара­
графа (задачи типа 1, 4, 6).
В качестве внешних условий, п о б у ж д а ю щ и х к ме­
тодологической "рефлексии, могут быть использованы рефлексивные
или
вопросы
задания.
Рефлексивными
вопросами
(или заданиями)
мы будем называть вопросы
(или задания), целью которых является получение и н ф о р м а ц и и о субъекте
предметной деятельности.
В методической литературе такие вопросы и задания иногда называют субъектно-ориентированными или личностными. Так, В.А. Петровский, рассматри­
вая вопросы активности личности в ходе р е ш е н и я интеллектуальных заданий,
говорит о необходимости выделения в самостоятельную категорию субъектноориентированной задачи. П о его мнению, задачу этого вида м о ж н о охарактери­
зовать, как «...задачу, направленную на определение того, что может потенци­
ально
характеризовать
субъекта,
на
«Я»»(119,128).
построение
образа
потенциального
У '
1
"...
'• г\
С х е м а т и ч е с к о е представление деятельности учащегося при выполнении реф­
лексивного знания (или 'получении ответа на рефлексивный вопрос), дающее
образное представление о ее специфике, дано Н.Г. Алексеевым.
Знаковая форма 1.
Знаковая форма П'
А
Ситуативное со­
держание 1.
Ситуативное со­
держание п
=>
1
Схема 7. Деятельность по в ы п о л н е н и ю рефлексивного задания
«В н и ж н е м ряду г р а ф е м ы представлены конкретные ситуативные содержа­
ния . . . . Вертикальные стрелки означают совершаемые в процессе р е ш е н и я дей­
ствия - выделения фрагментов ситуаций, их обозначения в знаках. Верхний ряд
к о м п о н е н т - получаемые при этом знаковые формы, то есть речевые фиксации
во внутреннем и в н е ш н е м плане . . . . - Ф и г у р н ы м и скобками обозначены дейст­
вия, связанные с анализом полученных фиксаций и ситуативного содержания»
(5,17).
Исследованиями психологов доказано, ч т о ' ф у н к ц и и методологической реф­
лексии по отношению к предметной деятельности могут быть существенно раз­
л и ч н ы м и . ' Т а к , Н.Г. Алексеевым," А.З. Заком, Г.К. Щ е д р о в и ц к и м установлено,
что результатом методологической рефлексии является осознание оснований и
средств выполнения предметной деятельности. Ю.Н. К у л ю т к и н ы м , И.Н. Семе­
новым, В.К. Зарецким доказано, что методологическая рефлексия м о ж е т вы­
полнять ф у н к ц и ю осознанного регулирования и контроля предметной деятель­
ности. Н.В. Жуковой установлено, что рефлексия выступает средством прогно­
зирования результатов предметной деятельности.
Поскольку методологическая рефлексия в процессе обучения математике при­
звана выполнять вполне определенные функции:
•
осознания методологических оснований учебно-познавательной матема­
тической деятельности (на этапе «выявления»);
•
корректировки и развития методологических знаний (на этапе «опредме­
чивания»);
•
прогнозирование результатов и управление учебно-познавательной мате­
матической деятельностью на основе сознательного использования мето­
дологических знаний (на этапе развития предметной составляющей со­
держания математического образования),
возникает необходимость выделения отдельных видов методологической реф­
лексии и соответствующих им рефлексивных заданий с целью разработки усло­
вий реализации закрепленных за ними образовательно-значимых функций.
1. Конструктивная
рефлексия
- методологическая рефлексия, и м е ю щ а я це­
л ь ю осознание (выявление из опыта) содержания методологических норм
деятельности.
По д а н н ы м экспериментальных исследований И.Н. Семенова и С Ю . Степа­
нова рефлексия данного вида является разновидностью рефлексии интеллекту­
ального уровня, и рассматривается ими в качестве основного механизма обра­
зования речевых моделей предметной деятельности. Комментируя специфику
функции конструктивной рефлексии в решении проблем, они п и ш у т : « В а ж н о
157
подчеркнуть, что конструктивная рефлексия является одним из механизмов
гештальтобразования (возникновения гештальтов, как принципов р е ш е н и я или
моделей предметного видения субъектом предметной ситуации и их смены)»
(153, 100). С.С. Розов относит р е ф л е к с и ю данного вида к парадигмальной, то
есть такой, когда.человек (ученый, учащийся) находится во внутренней пози­
ции относительно с л о ж и в ш е й с я формы познавательной деятельности. Он пи­
шет:.«Этот тип научной рефлексии состоит в осознании ученым у ж е и м е ю щ и х ­
ся н о р м и о б р а з ц о в деятельности в их фиксации и в их реализации» (137, 35).
Н е о б х о д и м ы м условием активизации рефлексии данного вида по данным
И . Н . С е м е н о в а и С Ю . Степанова является
сти, п р и в о д я щ а я к потребности
осознания
«блокада» предметной деятельно­
- «что надо делать?» (например, за­
дачи, п р и в о д я щ и е к осознанию необходимости
знаний -
1 типа). А также, по мнению
рефлексивного
вопроса
или задания
м е т н о й деятельности (рефлексия
учебного процесса (рефлексия
развития методологических
Г.П. Щедровицкого [180]
на описание
постановка
выполняемой у ч а щ и м с я пред­
на себя) или деятельности другого участника
на другого):
«Расскажи, что т ы делаешь», «Рас­
скажи, что ты думаешь, когда делаешь», «Расскажи, как ты поступал раньше»,
«Расскажи, что ты думал, когда делал», «Расскажи, что он (я) делал», «Расска­
ж и , что о н (я), по твоему м н е н и ю , думал, когда делал».
В о п р о с ы и задания, п о б у ж д а ю щ и е учащихся к конструктивной ретроспек­
т и в н о й рефлексии м ы будем называть рефлексивными
на обобщенное
описание
но-познавательной
методологических
деятельности,
оснований
заданиями
(вопросами)
ранее выполненной
учеб­
так как основная их дидактическая функция
состоит в «выявлении» методологических оснований деятельности, закреплен­
н ы х в опыте учащихся (то есть, перевод методологического знания из неявной
ф о р м ы существования в явную, обогащение содержания методологического
знания за счет дополнения знания о совокупности образцов деятельности, в ко­
т о р ы х оно функционировало, о б о б щ е н н ы м описанием совершаемых действий).
В е р б а л ь н о конструктивная рефлексия проявляется в ф о р м е гипотетических
или у т в е р ж д а ю щ и х высказываний о предметной деятельности.
158
В зависимости от учебных целей степень обобщенности получаемых описаний м о ж е т варьироваться. В качестве предметной
щенных
описаний
ранее выполненной
удовлетворяющие
•
методологических
предметной
основ
деятельности
деятельности
следующим
основы
получения
обоб­
выступают
или их фрагменты
акты
(два и более),
условиям:
использование описываемой методологической нормы в условиях этих ак­
тов деятельности д о л ж н о быть обусловлено сложившимися
традициями
деятельности (или непосредственно задано);
•
функционирование
описываемой н о р м ы д о л ж н о быть изолировано
функционирования других методологических норм во всех
от
фрагментах
(актах) предметной деятельности;
•
несущественные с точки зрения функционирования о п и с ы в а е м о й нормы
деятельности
элементы
содержания
предметной
деятельности
должны
варьироваться в этих актах;
•
способ представления актов предметной деятельности-должен предостав­
лять максимум возможностей для их сопоставления с точки з р е н и я описы­
ваемой методологической нормы.
Средством, побуждающим учащихся к конструктивной рефлексии, являются
рефлексивные
задания
на обобщенное
описание
методологических
норм
дея­
тельности.
В качестве примера рефлексивного задания данного типа может
служить следующее:
Пример
1. Дополните записи р е ш е н и я з а д а ч 1-4 обоснованиями, п о з в о л я ю щ и ­
ми понять, как и для чего использовалась теорема 1 при их р е ш е н и и . Объясни­
те, почему метод решения уравнений (неравенств), основанный н а ее использо­
вании, называется, методом исследования на промежутках О Д З .
Теорема 1. Уравнение (неравенство) вида / ( * ) — 0 с областью д о п у с т и м ы х
значений А равносильно совокупности:
хе А
г
если Л = A, L M U - . и Л » п р и ч е м при \ <i± j<n
2
1. | Зх - 81 - 1 Зх - 21= б
и Л, ГМ, = 0 .
2
2. л / х - 2 4 > х + 4
ОДЗ: Я = (-»;i)U[f,2§)U[2f;+«>)
ОДЗ : (-оо;-2ч/б] U |2л/б ;+°о) =
хе(-оо;|)
=
U ([- 4 ; - 2 7 б ] и [2л/б;+оо))
[1.2]о
х е [- 4;-2л/б]и [27б;+оо)
8-Зх + Зх-2 = 6
[11]«
xe[f;2j)
8-Зх-Зх +2=6
х б (-ю;-4)
и Т.Д.
2
х - 2 4 > ( х + 4)
и
т:д.
2
x e [2j;+°o)
Зх-8-Зх +2 =6
2
3. l o g , ( x - 8 x + 16)>0
4. |х
ОДЗ :(0;4) U (4;5) U (5;-ню) =
ОДЗ:(-«>;0)11(0;+а>) =
= (0;4)U((4;5)U(5;+«>)
= ( ( - * ; - l ) U (1;+<=°))U {- 1;1}U ((-1;0) U (0;1))
'
х е (0;4)
2
[1.3]<
х -8x + 16sl
[1.4]
xe(4;5)U(5;+oo) и Т.Д.
о
х = -1
х=1
х б (-оо;-1) U (-1;0) U (0;1) U (1;+°°)
х -2х= 0
2
2
х - 8 х + 16>1
и т.д.
В связи с тем, ч т о при выполнении подобных заданий происходит выявление
методологических з н а н и й , в о ш е д ш и х в опыт у ч а щ и х с я под воздействием
ме­
тодических действий учителя по управлению учебной деятельностью учащих­
ся, содержание заданий этого типа д о л ж н о являться отражением специальных
м е т о д о в обучения (использовавшихся на этапе распространения методологичеСких з н а н и й ) с ц е л ь ю передачи методологических знаний, относящихся к раз­
личным
функциональным
блокам
системы
саморегуляции
познавательной математической деятельности (таблица 9).
учебно-
Таблица 9
В и д ы рефлексивных заданий на описание методологических норм дея­
тельности
Блоки
системы
саморегуляции
1. Знания о
Виды рефлексивных
на обобщенное
Задание
на
описание
изменение
-
цели
заданий
функционирующих
формулировки
цели
норм
учебно-
1*'
познавательной деятельности через:
- описание ранее встречавшихся разновидностей результатовее достижения;
-описание общих свойств результатов актов деятельности,
и м е ю щ и х одинаковую цель;
- использование синонимов терминов, входящих в формули­
ровку, раскрывающих с м ы с л о в ы е значения цели.
2. Знания о
Задание на описание условий нескольких актов деятельности
значимых ус­
с помощью одних и тех же математических терминов или
ловиях дости­
символов.
жения цели
Задание на выделение общих свойств предметов деятельно­
сти в рассматриваемых актах.
Задание на обобщенное описание области действия метода,
правила, приема и т.п..
Задания на выбор из совокупности предложенных обобщен­
ных способов описания предметов деятельности, з н а ч и м ы х с
точки зрения цели деятельности.
3. Знания о
Задание на обобщенное описание способов деятельности в
способах дос­
нескольких ситуациях.
тижения цели
Задание на разработку алгоритма деятельности.
Задание на одновременное управление
исполнительскими
действиями нескольких участников учебного процесса.
4. Знания о
Задание на разработку общих критериев оценки успешно­
критериях и
сти деятельности.
параметрах
Задание на обобщенное комментирование оценок несколь­
оценки у с п е ш ­
ких актов деятельности.
ности дости­
Задание на выдвижение общих требований к осуществле­
ж е н и я цели
н и ю деятельности.
5. Знания о на­
Задание на разработку диагностических указаний (описание
правлениях и
типичных ошибок и их возможных причин).
способах кор­
Задание на обобщенное комментирование решений о кор­
р е к ц и и дея­
ректировке деятельностей.
тельности
Задание на одновременное управление
корректирующей
деятельностью нескольких участников учебного процесса.
2. Реконструктивная
рефлексия
- методологическая рефлексия, имеющая
целью корректировку'(внесение изменений) методологических норм дея­
тельности.
Рефлексия данного"вида имеет по определению С.С; Розова внепарадигмальный характер. «Внепарадигмальная рефлексия - пишет он, - осуществляется
у ч е н ы м , когда он находится во внешней позиции относительно своих научных
исследований» (137, 36). И.Н. Семенов и С Ю . Степанов относят рефлексию,
в ы п о л н я ю щ у ю функцию реконструкции методологических знаний, к рефлек­
сии личностного уровня, так как для такой реконструкции человек должен вы­
ступать не только субъектом рефлексии, но и ее объектом. Раскрывая существо
различий м е ж д у рефлексией интеллектуального и личностного уровней, они
пишут": «В ф о р м е интеллектуальной
ности
проблемной
рефлексии человек осмысляет предмет­
ситуации, определяющиеся
содержанием
задачи, и их
операциональные преобразования, а личностная рефлексия обращена на са­
мого человека, оказавшегося в процессе поиска в конфликтном состоянии, и
соответственно приводит к переосмыслению всей его деятельности в целом»
(153, 100-101).
В качестве предметной
основы реконструктивной
рефлексии
могут высту­
пать:
•
деятельность учащихся по работе с задачей, являющейся носителем ме­
тодологической проблемы (содержащей по терминологии И.Н. Семенова
и С Ю . Степанова проблемно-конфликтную ситуацию») - по нашей клас­
сификации это задачи 4 типа;
•
наблюдаемая деятельность или описание деятельности других участни­
ков учебного процесса в том случае, если результат использования тра­
диционной
методологической
нормы
деятельности
не
соответствует
ожиданиям учащихся, или в том случае, если применение методологиче­
ской нормы представляется учащимся «традиционно запрещенной» для
условий этой деятельности.
Столкновение человека с методологической проблемой по д а н н ы м экспери­
ментальных исследований И.Н. Семенова и С Ю . Степанова проявляется в вы­
сказываниях следующих типов: «самооценки» - высказывания об отношении
субъекта к ситуации, «квалификации» - высказывания об основаниях принятия
им решения об использовании (или отказа от использования) д а н н о й м е т о д о л о ­
гической нормы деятельности; «феноменологизации» - высказывания о сущно­
сти наблюдаемого явления (феномена); «проблематизации» - в ы с к а з ы в а н и я о
сущности стоящего за этим явлением противоречия.
Высказывания «самооценки» являются вербальным проявлением включения
себя (личности субъекта рефлексии) в поле рефлексивной деятельности й отПО-- хм nm.i
••
.
,
"
*
странение себя от субъекта предметной деятельности (рассмотрение себя как
другого,), высказывания «квалификации» показывают, что предметом рефлек­
сии является не только акт предметной деятельности, вызвавший появление ме­
тодологической проблемы, но образцы предметной деятельности, в х о д я щ и е в
состав опыта субъекта. Таким образом, реконструктивная рефлексия при л ю б о й
предметной основе выступает как рефлексия на себя и на другого одновремен163
н о и в т о ж е время как рефлексия деятельности, совершенной ранее (ретроспек­
ция), и деятельности, совершаемой теперь (рефлексивное сопровождение).
В ы с к а з ы в а н и е «проблематизации» выступает предпосылкой, вскрывающей
готовность человека к реконструкции собственных представлений о сущности
методологического знания. •
Рефлексивное
нию привычных
одних ситуациях
(вопросом)
задание
'
(или вопрос),
норм деятельности
и неэффективности
на оценку и критический
побуждающий
(объяснению
•
учащихся
к
переосмысле­
причин их эффективности
в других), мы будем называть
анализ методологических
норм
в
заданием
деятельно­
сти.
В качестве примера рефлексивного задания на оценку и критический анализ
методологических норм деятельности рассмотрим следующее:
П р и м е р 2.
Восстановите ход рассуждений человека, который при решении
у р а в н е н и й (неравенств) сделал с л е д у ю щ и е записи. Объясните п р и ч и н ы нерав­
носильности преобразований основанных на этих рассуждениях.
2
Гг _ 4 - 0
2
2.1. (х -4)л/хТТ = 0 - »
. ,
<Vx
Г
2
fx" <х
/ ,
2.3.x
—
Lvx+T = o-
+ Х - 2 - Н
+х-2
,
2
[х +х-2>0
- ^ .
•
2х-3 = х - 2
2.5. 2 х - 3 | = х - 2 - >
|_2х-3 = 2 - х
2.7.
' '
2
1
2.2. ( x - l ) V x - x - 2 > 0 ^ (
*
- °
\х -х-2>0.
2
^ . i
2.4. V l 2 - x = x - ^
{12-х>0
[12-х = х
2.6.
2х-3 >4-5х->
Г2х-3>4-5х
[2х-3<5х-4
[4-Зх<1-2х
4-Зх <1-2х->^
[4-Зх>2х-1
Д а н н ы й вид заданий (вопросов) является средством коррекции и развития
методологических знаний (разных функциональных блоков) на этапе их «оп­
р е д м е ч и в а н и я » . В этой связи виды заданий данного типа могут б ы т ь получены
из анализа видов возможных рассогласований м е ж д у условиями функционирования методологических знаний и представлениями об их содержании (таблица
10).
Таблица
Виды
рефлексивных
заданий
деятельности
Блоки
,„.- '
системы
саморегуляции
на
Виды рефлексивных
анализ
методологических
•
.
заданий
методологических
-»
норм
норм
.
на критический
10
4
,
анализ * •'
деятельности
1. Знания о це­ Задания на оценку соответствия смыслового значения цели
ли
учебно-познавательной математической деятельности:
виям деятельности;" в о з м о ж н ы м результатам
деятельности;
!
способам деятельности.
2.
Знания
значимых
ловиях
усло­
''
о Задание на оценку значимости выделенных условий деятельус­ ности для достижения цели. Задание на оценку правильности
дости­ отражения полученной интерпретацией ( м о д е л ь ю ) значимых
жения цели
условий деятельности. Задание на выделение свойств интер­
претации (модели), не я в л я ю щ и х с я условиями деятельности.
3.
Знания
способах
о Задания на оценку соответствия способа деятельности: ее ус­
дос­ ловиям; цели деятельности. Задание на оценку п о л н о т ы аргу­
тижения цели
ментации способа деятельности. Задание на оценку правиль­
ности аргументов, лежащих в основе способа деятельности.
4.
Знания
критериях
параметрах
о Задания на проверку соответствия критериев и параметров
и оценки успешности деятельности: смысловому з н а ч е н и ю це­
ли деятельности, избранному способу деятельности. Задание
оценки успеш­ на установление полноты параметров о ц е н к и
ности
успешности
дости­ деятельности.
жения.цели •
Задание на проверку степени обоснованности у с т а н о в л е н н ы х
границ варьирования
значений
критериев
успешности
деятельности.•
5. Знания о на­ Задание на оценку соответствия направления и способа кор­
правлениях
способах
рекции
ности
и рекции деятельности характеру обнаруженной ошибки в
кор­ осуществлении исполнительских действий.
деятель­ Задание на,оценку степени полноты осуществления коррек­
т и р у ю щ и х действий.
3. Интегрирующая
рефлексия
- методологическая рефлексия, направленная
н а установление функциональных взаимосвязей между методологиче­
скими нормами деятельности.
О п и с а н и ю специфики функций рефлексии данного вида в развитии методоло­
гического знания посвящены работы И.С. Ладенко [133].
О н отмечает, что
« и н т е г р и р у ю щ а я рефлексия лежит в основе формирования логических систем
методов» (133, 16). Характеристика этих функций
сертационном исследовании
представлена также в дис-
A . M . Адаменко [1]. Здесь он отмечает, что «По­
средством интегрирующей рефлексии формируется
система методов, необхо­
д и м ы х и достаточных для проведения некоторого исследования» (1,41).
Развитие методологических знаний состоит не только в уточнении их содер»
i
. -.
•
i'
жания и обоснования их эффективности, но и в их генерализации, осуществляемой в рамках (по данным исследований И.С. Ладенко и A . M . Адаменко) ин­
т е г р и р у ю щ е й рефлексии.
В качестве предметной
•
основы интегрирующей
рефлексии
могут выступать:
деятельность учащихся по р е ш е н и ю задач, представленных в форме де­
монстрационной таблицы (задачи 6 типа по нашей классификации);
•
наблюдаемая или описываемая деятельность других участников учебного процесса, представляющая альтернативный способ достижения поставленной цели или ее осмысления;
•
деятельность учащихся или других участников учебного процесса, свя­
занная с необходимостью самоопределения в ситуациях методологиче­
ской неопределенности.
Средством
включения учащихся в сравнительный анализ методологических
норм функционирующих в этих актах предметной деятельности, являются реф­
лексивные
задания
(вопросы)
между методологическими
на установление
нормами
функциональных
деятельности.
взаимосвязей
В качестве п р и м е р а р е ф ­
лексивного задания, п о б у ж д а ю щ е г о учащихся к интегрирующей" рефлексий,
рассмотрим следующее:
' "
. . . .
....
П р и м е р 3. Перечислите все в о з м о ж н ы е способы косвенной постановки задач
на решение уравнений и неравенств, предварительно переформулировав сле­
д у ю щ и е задачи на их язык:
..
,
2
3.1. Найдите все абсциссы точек пересечения графиков ф у н к ц и й у = х +х
1
1
-+—-
х
х
у =
3.2. Найдите промежутки, на которых функция у = (х -3)Vx' + 4 - х
1
и
+ 9 не при­
нимает положительных значений.
3.3. Найти промежутки, на которых график функции
y = sinx р а с п о л о ж е н не
ниже графика функции у = cosx.
3.4. Найти значения
2
переменной х, при которых интеграл '^^--9x ^dy
при­
нимает значения не меньшие 4.
3.5. Пусть производная функцииf(x)
2
имеет вид f'(x) = x(\-x){x
- 7 х + 10). Н а й т и
суммарную длину промежутков возрастания этой функции.
3.6. Найти все целочисленные значения переменной х, при которых в ы р а ж е н и е
Vlbr-18-x
!
неотрицательно.
!
14 + л : - 9 * '
В и д ы таких заданий должны являться отражением р а з н о в и д н о с т е й ф у н к ц и о ­
нальных взаимосвязей между методологическими знаниями о д н о г о ф у н к ц и о ­
нального блока: преемственность функций, альтернативность в р а м к а х одной
функции, родовидовая подчиненность (таблица 11).
!
'• -
1
'•
' ' С
.' " •
Таблица
11
В и д ы рефлексивных з а д а н и й на установление ф у н к ц и о н а л ь н ы х взаимо­
связей методологических норм деятельности
Блоки
системы
Виды рефлексивных
заданий на установление
ных взаимосвязей
саморегуляции
1. З н а н и я о ц е ­ Задание
на таксонаметрию
деятельности.
ли
методологических
целей
норм
функциональ­
деятельности
учебно-познавательной
,
Задание на установление характера взаимосвязей между целями нескольких актов предметной деятельности.
Задание на вскрытие причин отнесения целей предметной
деятельности к указанному виду.
Задание
на
определение
причин
выбора
цели
учебно-
познавательной деятельности одним участником учебного
взаимодействия (учителем) для другого (ученика).
2.
о Задание на обоснование отнесения условий рассматриваемо­
Знания
значимых
ловиях
у с ­ го акта деятельности к тому или иному виду.
дости­ Задание на установление характера взаимосвязей между ус­
ж е н и я цели
л о в и я м и деятельности в нескольких актах.
-,[.
.. <
Задание на иерархизацию условий деятельности по степени
и характеру их значимости для достижения цели.
Задание на установление взаимосвязей ..между р а з л и ч н ы м и
интерпретациями условий деятельности.
3.
о Задание на установление иерархизации ф у н к ц и й различных
Знания
способах,
дос­ методов при комплексном их использовании в деятельности.
тижения цели
Задание на определение и обоснование возможности отнесе­
ния способа деятельности к нескольким видам.
Задание на установление причин отнесения различных мето-
дов и приемов деятельности к одному виду.
Задание на установление возможности
достижения
одной
цели различными методами деятельности.
4.
Знания
критериях
о Задание на установление иерархических связей между пара­
и метрами оценки успешности деятельности.
параметрах
Задание на вскрытие причин отнесения параметров и крите­
оценки
успеш­
ности
дости­
риев оценки к одному виду.
Задание на обоснование возможностей оценки успешности
жения цели
деятельности посредством использования р а з л и ч н ы х пара­
метров и критериев оценки.
5. Знания о на­ Задание на обоснование причин отнесения р а з л и ч н ы х оши­
правлениях
и бок к одному виду.
способах
кор­
рекции
дея­
V. •
Задание на обоснование возможности использования раз­
личных способов коррекции деятельности.
тельности
Задание на характеристику иерархических связей корректи­
рующих действий, входящих в комплекс.
4. Управляющая
рефлексия
- методологическая рефлексия, направленная на
управление ходом предметной деятельности посредством сознательного
использования методологических норм.
Методологические знания в процессе познания выполняют ф у н к ц и ю регули­
рующей основы предметной деятельности. Реализация этой ф у н к ц и и методоло­
гического знания по данным психологических исследований осуществляется в
рамках специфического вида деятельности - у п р а в л я ю щ е й р е ф л е к с и и , сопро­
вождающей предметную деятельность.
И.Н. Семенов и С Ю . С т е п а н о в [153]
исследовали специфику проявления рефлексии данного вида в у с л о в и я х реф­
лексивного сопровождения собственной предметной деятельности и с п ы т у е м ы м
при наличии установки «рассуждай вслух». И м и установлено, что вербальным
проявлениям управляющей саморефлексии являются высказывания с л е д у ю щ и х
в и д о в : «установки», «фиксации» -промежуточных шагов и достигнутых резуль­
татов, «вопросы» к неясным м о м е н т а м в предметном движении, «оценки» соб­
ственных действий. В.А. Лефев'р [92] при построении алгебры рефлексивных
процессов рассматривал т а к называемое «рефлексивное управление», т о есть
р е ф л е к с и ю , с о п р о в о ж д а ю щ у ю деятельность другого, и осуществляемую с це­
л ь ю передачи и н ф о р м а ц и и , необходимой для принятия решений. О с н о в н ы м от­
л и ч и е м р е ф л е к с и в н о г о управления от прямого является то, ч т о не содержит
у к а з а н и й , о т н о с я щ и х с я к характеру деятельности. Управляющее воздействие
о с у щ е с т в л я е т с я за счет выделения и предъявления человеку
значимых д л я
п р и н я т и я р е ш е н и й условий.
Р а с с м о т р и м в качестве примера системы вопросов и указаний, выступающие
с р е д с т в о м прямого и рефлексивного управления процессом р е ш е н и я задачи:
3
« Н а й т и все значения параметра а, при которых уравнение х~ -2asin(cosx) + o =0
и м е е т единственное решение».
Прямое
управление
Косвенное
1. К а к будет звучать фор­
м у л и р о в к а этой з а д а ч и - н а
ф у н к ц и о н а л ь н о м языке?
обладают
входящие
f(a,x)
1. К какому виду относится данная задача?
2. Какие методы решения задач д а н н о г о вида
Вам известны?
2. К а к и м и о б щ и м и свойст­
вами
управление
3. К а к определить, какой метод р е ш е н и я следует
функции, выбрать?
в
1
*
класс
1
= х -2asin(cosx) + а 1
4. Использование, каких из названных вами м е ­
тодов оказалось невозможным и почему?
3. В каком случае четная
5. Какой метод д л я р е ш е н и я данной задачи В ы
ф у н к ц и я имеет единствен­
выбрали и почему?
ный ноль?
6. И з каких шагов состоит д а н н ы й м е т о д ?
4.
Как
использовать
свойство д л я
это
нахождения
значения параметра а?
7. К а к о в результат переформулировки задачи?
8. Какие возможности для поиска значений па-
5.
Подставьте
значение
общую
найденное раметра предоставляет функциональный язык?
параметра
формулу,
а
и
в
про­
9. К а к и м и свойствами "функций м о ж е т опреде­
ляться требуемое свойство графика ф у н к ц и и ?
верьте, имеет ли получен­
10. Наличие,
каких
необходимых
для
этого
ная функция единственный
свойств исключает общая формула класса функ­
ноль.
ций и почему?
6. Если значение найдено
11. Встречались л и В а м ранее ф у н к ц и и , обла­
неверно, т о проверьте пра­
д а ю щ и е тем ж е свойством, что и данный класс
вильность
решения
урав­
функций, но и м е ю щ и е один ноль? К а к и м и х о б ­
нения:
щ и м свойством определялось наличие
2
О -2a-sin(cos0) + a
2
одного
=0.
нуля?
12. Сформулируйте полученное В а м и
правило
нахождения значения параметра а и реализуйте
его.
13. Есть ли необходимость в п р о в е р к е правиль­
ности решения задачи? Чем она в ы з в а н а ?
14. Какие способы проверки В а м и з в е с т н ы ?
15. Какой из них следует выбрать и почему?
Основным средством включения учащихся в р е ф л е к с и в н у ю деятельность
данного вида (направленную на себя или другого) является постановка
на рефлексивное
управление
сти с использованием
принятием
имеющихся
решений
в ходе предметной
методологических
задания
деятельно­
знаний.
П р и м е р 4. Решить уравнения, указав ту особенность задачной ситуации, к о ­
торая определила выбор метода решения:
4.1. Vx + 2x' + log,(x + 2 ) - \ / l - j c = 4;
4.2.
4.3.
4.4. y 2 5 - 2 4 c o s x = 4 c o s x - 3 .
-1+2УЗх + 2 = 4 + л/3^х;
COSTZX =
A - - 4 Х + 5;
2
С о д е р ж а н и е рефлексивных заданий данного типа, по нашему м н е н и ю , долж­
но у ч и т ы в а т ь наличие взаимосвязей между методологическими знаниями, от­
н о с я щ и м и с я к различным блокам системы саморегуляции деятельности, а так­
ж е учитывать особенности содержания предметной деятельности (таблица 12).
, i
'
-
Таблица
12
В и д ы р е ф л е к с и в н ы х заданий на управление процессом принятия реше­
ний на о с н о в е осознанного оперирования методологическим знанием
Блоки
системы
Виды заданий
-
саморегуляции
1. Знания о ц е л и
на рефлексивное
принятия
управление
процессом
решений
Задания на обоснование выбора одного из смысловых
значений целей деятельности в качестве рабочего: спе­
цификой предмета деятельности, местом данной дея­
тельности в структуре учебного процесса.
Задания на постановку вопроса (разработку указания),
управляющего поиском информации, значимой для выбора смыслового значения цели деятельности.
2. Знания о зна­ Задания на обоснование выбора критерия оценки значи­
чимых
условиях мости условий деятельности: спецификой цели деятель­
достижения цели
ности, требованиями способа осуществления деятельно­
сти.
Задание на постановку вопроса (разработку указания),
управляющего выбором критерия оценки значимости ус­
ловий деятельности.
,•
Задания на обоснование выбора способа интерпретации
(моделирования)
условий
деятельности:
содержанием
эвристик, соответствием, значимым условиям деятельно­
сти.
Задание на постановку вопроса (разработку указания),
управляющего выбором способа интерпретации значи­
м ы х условий деятельности.
'
.
3. Знания о спосо­ Задания на обоснование выбора метода д о с т и ж е н и я цели
бах
достижения или комплекса методов: спецификой цели деятельности,
цели
интерпретацией значимых условий деятельности."
Задание на постановку вопроса (разработку указания),
управляющего выбором метода достижения цели или их
комплекса.
4. Знания о крите­ Задание на обоснование выбора критериев оценки ус­
риях и параметрах пешности
оценки
деятельности:
смысловым
значением
цели
успешно­ деятельности, р о л ь ю деятельности в учебном процессе,
достижения таксонометрией целей.
сти
цели .
Задание на постановку вопроса (разработку указания),
управляющего выбором критериев оценки у с п е ш н о с т и
деятельности.
5.
Знания
о
на­ Задание на обоснование необходимости к о р р е к ц и и дея­
правлениях и спо- тельности, ссылкой на несоответствие результата крите­
' собах
коррекции р и ю успешности деятельности.
деятельности
Задание на определение направления или способа кор­
рекции деятельности по характеру несоответствия р е ­
зультата критерию успешности деятельности.
Задание на постановку вопроса (разработку указания),
управляющего выбором направления и способа коррек­
ции деятельности.
5. Перспективная
рефлексия
- методологическая рефлексия, направленная
на прогнозирование предметной деятельности с позиции м е т о д о л о г и ч е ­
ских норм.
Методологические знания в научном и учебном познании выполняют не
только регулирующую, но и прогностическую ф у н к ц и ю , то есть способствуют
п р е д в о с х и щ е н и ю (прогнозированию) дальнейшего хода и результатов позна­
ния. Общественная значимость именно этой прогностической функции методо­
логического знания, как показывает исследования Л.Е. Лойко [94], и привела к
в ы д е л е н и ю методологии в самостоятельный раздел науки. Реализация этой
функции методологического знания в обучении математике в о з м о ж н а л и ш ь в
том случае, если конкретный акт учебно-познавательной деятельности
пред­
стает п е р е д у ч а щ и м и с я не как самостоятельная самоценная единица (решение
конкретной задачи, усвоение определения или теоремы),
а рассматривается
и м и как составная часть целостного познавательного процесса.
Исследования­
ми А.А. Вербицкого, Н.В. Жуковой, Л.В. Шкериной показано, что основу реа­
л и з а ц и и данной функции методологических знаний в условиях образовательно­
го процесса составляет идея контекстного обучения. В этой связи Н.В. Жукова,
пишет: «Контекстное обучение выступает «школой м ы ш л е н и я » , индивидуаль­
ного и совместного действия и поступка. Студент, опираясь на прошлое (усваи­
ваемые) н а у ч н ы е знания и собственный опыт, как бы разворачивается лицом к
б у д у щ е м у - и тем вероятностным ситуациям профессиональной деятельности и
о б щ е н и я , овладение способами разрешения которых и составляет личностный
с м ы с л для б у д у щ е г о специалиста. Эти условия наиболее благоприятны для по­
рождения процессов рефлексии и антиципации, для их интеграции в единый
психологический механизм регуляции мышления и, более широко - всей учеб­
но-познавательной деятельности студента» (54, 27). А.А. Вербицкий, отмечая
значимость контекста, говорит: « . . . настоящее приобретает для человека смысл
только в контексте прошлого и будущего» (25', 24).
С точки зрения идеи контекстного обучения акт учебно-познавательной
деятельности должен рассматриваться учащимися, во-первых, как учебная м о ­
дель реальной математической деятельности (в контексте будущей деятельно­
сти), на формирование умений осуществлять которую направлен весь процесс
обучения, а во-вторых, как составная часть настоящего движения
процесса
учебного познания (в контексте процесса учебного познания). Таким образом,
предметной
основой
перспективной
рефлексии
могут выступать л и ш ь связи
между актами предметной деятельности:
•
актом учебно-познавательной деятельности и сходным с н и м актом ре­
альной математической деятельности;
•
актом настоящей учебно-познавательной деятельности и актом деятель­
ности ее породившим;
•
актом настоящей учебно-познавательной деятельности и актом порож­
даемой ею деятельности.
Средством же включения учащихся в р е ф л е к с и ю данного вида являются за­
дания на рефлексивное
вызванных
исследование
учебно-познавательной
их дальнейшего
развития
или
изменений
в содержании
деятельностью,
знаний
и
и прогнозирование
умений,
условий
использования.
Примером рефлексивного задания данного типа м о ж е т являться с л е д у ю щ е е :
П р и м е р 5. Обоснуйте, можно ли применить способ решения задачи: «Опреде­
2
лите, каким отношением связаны уравнения [ylx-])\x
4
2
- 9 ) = 0 и х -\0х
+ 9 = 0,
если известно, что их корни находятся среди чисел 0;±1;±2;±3» к р е ш е н и ю зада­
чи: «Определите,
х-3
каким отношением связаны уравнения: х-Ъ + 4х = 2x + Jxn
= 2х». Сделайте вывод о направлении дальнейшего развития знаний о рав­
носильности уравнений и неравенств.
Дальнейшая классификация рефлексивных заданий выделенного т и п а должна,
по нашему мнению, осуществляться в соответствии с характером прогностиче­
ских возможностей отдельных видов методологических знаний по о т н о ш е н и ю
к процессу развития и использования элементов содержания математического
образования (таблица 13). *
Таблица
В и д ы рефлексивных заданий на прогнозирование условий
13
развития
п р е д м е т н ы х знаний
Блоки
системы
Виды заданий
держании
саморегуляции
на рефлексивное
исследование
знаний и умений
и прогнозирование
дальнейшего
изменений
условий
в со­
их
развития.
1. Знания о ц е ­
Задание
на целеполагание в учебной деятельности через
ли
оценку образовательной значимости результатов ранее осу­
ществленной деятельности.
Задание на определение степени соответствия целей новой
учебно-познавательной деятельности или внеучебной мате­
матической
деятельности
целям
ранее , осуществленной
учебно-познавательной деятельности.
2.
о Задания на исследование причин изменения условий данной
Знания
значимых
ловиях
ус­ учебно-познавательной деятельности по о т н о ш е н и ю к ранее
д о с т и ­ осуществленной.
ж е н и я цели
Задания на прогнозирование направления дальнейших изме­
нений условий учебно-познавательной деятельности.
Задания на определение степени соответствия условий новой
учебно-познавательной или внеучебной математической дея­
тельности
условиям
ранее
осуществленной
учебно-
познавательной деятельности.
3.
Знания
способах
о Задания на прогнозирование результатов реализации мето­
дос­ дов деятельности на основе результатов их применения в
тижения цели
предшествующих актах деятельности.
Задания на прогнозирование способов использования в ма­
тематической деятельности теоретических фактов.
Задание на прогнозирование направления дальнейшего раз-
вертывания теории на основе знаний об области действия
методов, основанных на^использовании у ж е и м е ю щ и х с я ее
элементов и целей развития теоретических знаний.
4.
о Задания на исследование влияния на оценку
Знания
и учебно-познавательной деятельности критериев, характер­
критериях
ных для другой деятельности (реальной математической, ра-
параметрах
оценки
ности
результатов
успеш­ нее
осуществляемой
учебно-познавательной,
генетически
дости­ исходной деятельности).
< ? j - - . .
жения цели
• '
Задания на прогнозирование направления развития знаний,
связанные с изменением параметров оценки деятельности
или допустимым значением критерия оценки ее успешности.
5. Знания о на­ Задание на прогнозирование характера изменений в деятель­
правлениях
и ности при изменении одного или нескольких элементов ее
способах
кор­ регулировочной основы: цели, значимых условий достиже­
рекции
дея­ ния, метода деятельности, критериев у с п е ш н о с т и .
тельности
Специфика рефлексивной деятельности проявляется не только в особенностях
ее функциональной направленности, но и в особенности структуры рефлексив­
ного акта. Исследованиями Н.Г. Алексеева [5] доказано, что рефлексивный акт
может быть представлен последовательностью следующих э л е м е н т а р н ы х ша­
гов (схема 8):
Остановка
предметной
деятельно­
сти
(остановка)
—•
Выделение МЗ
из контекста
деятельности
(фиксация)
—>
Анализ выделен­
ной нормы пред­
метной деятель­
ности
(объективизация)
—•
Схема 8. Структура акта методологической рефлексии
Отделение ре­
зультата анализа
от предметной
деятельности
(отстранение)
Н а л и ч и е ярко выраженных отличительных особенностей акта рефлексии от
акта предметной деятельности приводит нас к постановке задачи разработки
методики
управления
деятельностью
учащихся
по решению
ими
рефлексивных
заданий.
С х е м а 8 показывает, что отправной точкой методологической рефлексии вы­
ступает остановка
предметной
учебно-познавательной
деятельности,
которая
м о ж е т б ы т ь вызвана л и б о ситуацией «блокады» внутри этой деятельности
(схема 6), л и б о , как было показано ранее, постановка рефлексивного задания
(или вопроса).
С л е д у ю щ и й этап состоит в фиксации
методологического
знания,
выделяю­
щ е г о с я из контекста предметной деятельности либо в связи с неэффективно­
с т ь ю его функционирования (в ситуации «блокады»), либо содержанием реф­
л е к с и в н о г о вопроса или задания. П р и использовании в качестве средства оста­
новки предметной деятельности рефлексивного вопроса или задания необходи­
м о с т ь фиксации для учащегося является очевидной, а содержание и способ
фиксации определены условием задания (или базисом вопроса). Остановка ж е в
предметной деятельности, вызванная обнаружением методологической про­
блемы, сама по себе не является достаточным условием для перехода к этапу
фиксации (в устной или письменной речи) сущности методологической про­
б л е м ы . Б о л е е того, практика обучения показывает, что наличие методологиче­
ской проблемы вызывает у большинства учащихся л и ш ь фиксацию факта не­
у д а ч и («Не получается», «Не знаю, как», «Не понимаю» и т.п.) или фиксацию
э м о ц и о н а л ь н о г о отношения к ситуации («Как странно», «Ерунда какая-то» и
т.п.), а не ее сущности. Так, например,
постановка перед у ч а щ и м и с я (и даже
у ч и т е л я м и ) задачи 5 (пункта 1 данного параграфа): «Обоснуйте неравносиль­
ность указанных переходов с п о м о щ ь ю теорем, л е ж а щ и х в основе преобразова­
н и я «изменение логической структуры» уравнения или неравенства ...» у
б о л ь ш и н с т в а испытуемых вызывала л и ш ь фиксацию недоумения: «странно,
почему не равносильны, я б ы т о ж е так стал(а) решать» или «но, я всегда так делал(а) и счйтал(а), что это правильно»., ,•
В этих условиях необходимы методические средства, п о б у ж д а ю щ и е учащих­
ся к корректировке фиксации в направлении, проясняющем существо возник­
шего противоречия. В качестве таких средств вновь могут б ы т ь использованы
дополнительные
рефлексивные
предшествовавших
вопросы
обнаружению
на описание
предметных
действий,
проблемы.
Так, в примере 2, изменение содержания фиксации (описанных в ы ш е ) дости­
гается за счет дополнения вопроса о неравносильности преобразований (задачи
5) вопросом о ходе рассуждений человека, сделавшего эти записи. Содержание
этого дополнительного вопроса приводит к появлению ф и к с а ц и и ' с л е д у ю щ и х
рассуждений:
2
1. (х -4)л/7+Т = 0->
У -4 = 0
У*"+Т = 0
Произведение двух в ы р а ж е н и й д о л ж н о
быть р а в н о н у л ю , д л я этого достаточно,
чтобы хотя б ы одно' из этих выражений
было р а в н о нулю.
2
п
2. (x-l)Jx -x-2>0^\
f
X-I>Q
Произведение двух в ы р а ж е н и й должно
2
[х - х - 2 > 0
быть неотрицательно. Так как одно из
этих выражений не отрицательно п р и
всех допустимых значениях переменной,
то для решения этого неравенство доста­
точно найти те удовлетворяющие О Д З
значения переменной, п р и которых дру­
гое выражение также неотрицательно.
и т.д.
Необходимость постановки дополнительных в о п р о с о в ' в ситуациях «бло­
кады» предметной деятельности отпадает л и ш ь в т о м случае, если учащийся
обладает способностью самостоятельно задавать себе рефлексивные вопросы и
отвечать н а них. Указывая н а образовательную значимость этой способности
человека, Г.П. Щедровицкий пишет: «Человек знает самого себя и свое дейст­
вие через рефлексию, в рефлексивном сознании. Кстати, отсюда следует, ч т о
богатство человеческого опыта определяется рефлексией, тем, насколько чело-
единица. Единицей является не действие, а действие плюс последующее реф­
лексивное продумывание, наше переживание: как я действовал, и ч т о происхо­
дило?» (180,127).
П о м н е н и ю Е.Н. Солововой, наиболее значимой является письменная фиксация
проблемы и л и какого-либо' аспекта деятельности. В этой связи она пишет:
«Проделанные действия мало остановить, их надо удержать. Н е в о з м о ж н о и не­
н у ж н о восстанавливать все, достаточно выделить узловые м о м е н т ы и характер
переходов (причинные связи) между ними. Здесь возникает трудность в выборе
лаконичной формы фиксации, так как большинство людей привыкли фиксиро­
вать м ы с л и в развернутой форме, и фиксирование на уровне ключевых слов,
с и м в о л о в и л и знаков может вызвать значительные затруднения. Ф и к с а ц и ю на­
д о делать письменно на бумаге и л и на доске» (150,38). Снятию затруднений, на
которые указывает Е.Н. Соловова, способствует, п о нашему м н е н и ю ,
зация требований
к содержанию
и форме
конкрети­
записей.
Так, например, с целью письменной фиксации учащимися методологических
оснований деятельности по п р и м е н е н и ю т е о р е м ы 1 к р е ш е н и ю задач 1-4 (смот­
ри п р и м е р 1) рефлексивное задание на уточнение описаний их р е ш е н и я : «До­
полните записи р е ш е н и я задач 1-4 обоснованиями, п о з в о л я ю щ и м и понять, как
и для чего использовалась теорема», м о ж е т б ы т ь конкретизировано с л е д у ю щ и м
образом:
- выделите в структуре уравнений (неравенств) те выражения, исследование
свойств которых помогло разбить О Д З на указанные промежутки (обозначьте в
описании р е ш е н и я э т и выражения специальными символами или подчеркива­
нием);
- з а п и ш и т е название преобразования, осуществление которого
потребовало
проведения исследования свойств этих в ы р а ж е н и й ;
- изобразить н а оси О х . О Д З уравнений (неравенств) и разделить ее н а п р о ­
межутки точками, в которых и л и при переходе через которые м е н я ю т с я иссле­
дуемые свойства выражений;
- поставить над полученными промежутками О Д З специальные символы,
обозначающие результаты исследования».
Д а н н ы й пример показывает, что снижению,трудностей в ы п о л н е н и я рефлек­
сивных заданий на письменную фиксацикГ'математической деятельности спо­
собствует использование в их формулировке указаний, в ы п о л н я ю щ и х ту или
иную функцию в системе саморегуляции деятельности:
•
указания на цель использования фиксаций (функция «заказчика» - обос­
нования должны позволять понять, как и для чего использовалась теоре­
ма 1);
•
указания на значимые с точки зрения цели характеристик предметной
деятельности (функция «интерпретатора» - исследуемые выражения, их
свойства, преобразование, осуществление которого
потребовало прове­
дения исследования свойств этих выражений);
•
указания на возможные способы словесной фиксации этих характеристик
(функция «исследователя» - обозначить в описании р е ш е н и я эти выраже­
ния специальными символами или подчеркиванием; записать название
преобразования; изобразить на оси Ох О Д З уравнений (неравенств) и
разделить ее на промежутки точками; поставить над п о л у ч е н н ы м и п р о ­
межутками ОДЗ специальные символы, обозначающие результаты иссле­
дования);
•
сведения о параметрах оценки полученных описаний (функция «экспер­
та» - исследование свойств выражений помогло разбить О Д З на указан­
ные промежутки; в выделенных точках или при переходе через них ме­
няются выделенные свойства исследуемых выражений).
Содержание следующего этапа акта методологической р е ф л е к с и и (объекти­
визация) составляет анализ
полученных
фиксаций,
осуществляемых в соответ­
ствии с целями рефлексивной деятельности (указанными в формулировке реф­
лексивного задания). В качестве ведущего методического условия перехода к
этому этапу м о ж е т б ы т ь использованы дополнительные
саций.
задания на анализ
фик­
Пример
3. Результатом письменной фиксации особенностей использования
т е о р е м ы 1 в задачах 1.-4 (пример 1) являются следующие у т о ч н е н н ы е описания
решения:
1. | 3 х ^ _ 8 | - | 3 £ - 2 | = 6 .
/
_
п
'
Д л я р а с к р ы т и я модулей
исследовать
2
2. V x - 2 4 > x + 4 '
s .
Для
необходимо
определения
знакопо- сильности
промежутки^
стоянства в ы р а ж е н и й I и I I .
условий
равно­
преобразования
«возведе­
ние в квадрат» необходимо
исследо­
Н а й д е м т о ч к и , п р и переходе через ко­ вать
промежутки
знакопостоянства
т о р ы е в ы р а ж е н и я I и I I м е н я ю т знак: выражения I . Найдем точку, при пере­
г - 2-2- • х = i
ходе через которую выражение I меня­
Тогда: ОДЗ: R = (-oo;j) (J [f;2f )U [2f;+«.)
ет знак: х, = - 4 . Тогда:
Т а к как: _ i
ОДЗ: (-оо;-2 7б ] U (2л/б;+оо) =
=
U {-4;-2у[б
]U [2л/б;+«. 1
то, п о д а н н о й теореме и определению Так как:
i
-2у[б
1
^
-2-Л
модуля
"Г
то
X €(-«,;|)
[8-Зх + З х - 2 = 6
[1.1]
о
8-Зх-Зх +2 =6
по данной теореме, у с л о в и я м рав­
носильности
и т.д.
хб[2|;+«=)
дения
в
преобразования
квадрат»
и
определению
арифметического корня
Зх-8-Зх +2 =6
х 6 (-<ю:-4)
х б [- 4;-2л/б{и (2л/б;+оо) и т.д.
[1.2]«
2
х - 2 4 > ( х + 4)
3.
«возве­
2
2
I o g , ( x - 8 х + 16)>0
4. | х
S
-А
1
Для
осуществления
операции
лога­
Д л я осуществления операции потен­
рифмирования
цирования
необходимо
необходимо
вать промежутки
промежутки
исследо­
исследовать
монотонности по­
монотонности л о г а р и ф ­
казательной
функции,
зависящие . о т
мической ф у н к ц и и , зависящие от зна­
чения в ы р а ж е н и я I . Н а й д е м значение
переменой, в котором и при переходе
значения выражения I .
Н а й д е м значение переменной, в кото- j
через которое меняется
исследуемое ром и п р и переходе через которое ме­
свойство: х, = 5 . Тогда:
няется исследуемое свойство:
ОДЗ : (0;4) Ц (4;5) Ц (5;+оо) =
Тогда:
= (0;4)U((4;5)U(5;+oo)
ОД?:(-°о;0)и(0;+оо) =
Так как:
= ((-«>;-l) U (1;+<*>)) U {- l;l} U ((-l;0) U (0;1))
f
О
^ \ ^ "
/
4
/
S / *
х = ±1.
Так как:
то по данной теореме и свойствам м о ­
нотонности
и
непрерывности
рифмической функции:
то п о данной теореме и свойства м о н о ­
тонности
х е (0;4)
[1.3]<
- 8 х + 16<1
xe(4;5)U(5;+oo)
const
лога­
ит.д.
и
непрерывности
показа­
тельной функции:
х = -1 •
х- - 8 х + 16>1
[1.4]
о
х=1
х е (-oo;-l) U (-1;0) U (0;1) U (1;+=»)
2
х -2х =0
ит.д.
Так как на этапе «выявления» целью анализа является п о л у ч е н и е о б о б щ е н н о г о
описания с п о м о щ ь ю фиксаций, которые должны рассматриваться у ч а щ и м и с я
как различные проявления функционирования одной и той ж е м е т о д о л о г и ч е ­
ской н о р м ы деятельности, то сравнительному анализу фиксаций будет способ­
ствовать постановка следующего дополнительного
задания:
«Данная т е о р е м а
составляет теоретическую основу так называемого метода « и с с л е д о в а н и я н а
промежутках О Д З » , применяемого при решении уравнений и н е р а в е н с т в . П о л ь ­
зуясь полученными описаниями, объясните причину использования такого на­
звания метода».
На этапе «опредмечивания» анализ фиксаций, осуществляемый с ц е л ь ю кор­
ректировки и развития знаний о методологической норме д е я т е л ь н о с т и , пред­
ставляет собой более сложную деятельность, так как требует сопоставления
полученных фиксаций с содержанием имеющихся методологических знаний и
логической обработки результатов сравнения. Так, например, анализ фиксаций
в примере 2 преследует т р и цели: осознание методологических о с н о в представ-
л е н н ы х рассуждений; обоснование их ошибочности; уточнение знаний о допус­
т и м о й области использования этой методологической нормы.
В качестве средства управления деятельностью учащихся
могут быть использованы «цепочки»
вспомогательных
на этом этапе
рефлексивных'заданий
(то есть - по определению В.А. Гусева [44] - последовательности заданий, ди­
дактические функции которых обладают преемственными связями), состав­
л я ю щ и х основу рефлексивно-аналитической
Рефлексивно-аналитическая
(вопросы
беседа
и задания)
беседы.
Основные результаты
.
веты на
1. И з м е н е н и е , каких слов и словосоче­
заданий
и от­
вопросы
(на примере
1)
таний в р а с с у ж д е н и я х , ' сопровождав­
ш и х преобразование:
«Произведение
:
—
2
( x - 4 ) V x + l = 0->
[г - 4-0
двух
выражений
5
д о л ж н о быть равно нулю, для этого
,
[Ух + 1 = 0
достаточно, чтобы хотя бы одно из
не приведет к искажению содержания этих выражений было равно нулю».
этих р а с с у ж д е н и й ?
2. К а к и м и математическими" термина­
м и их м о ж н о з а м е н и т ь ? '
•- •
ч...
.•
•
Произведение двух чисел равно ну­
•
3. С ф о р м у л и р у й т е положение матема­ л ю тогда и только тогда, когда хотя
тической теории, лежащее в
основе бы одно из них равно нулю.
этих рассуждений.
4. О п р е д е л и т е по форме записей, какой Метод разложения на м н о ж и т е л и .
метод р е ш е н и я уравнений (неравенств)
здесь б ы л использован?
5. Восстановите шаги решения данного
уравнения до получения сходного вы­
вода с использованием, теорем, лежа­
щ и х в основе этого метода.
j
по То разлоус,
на
^
о
2
(х -4)Vx + l = 0
' с
6. Почему использование описанного в
задаче рассуждения привело к появле­
| \К - 4
ГГ г ' '
х - 4=0
2
1
по законам лотки
X + 1 ^
* Ч V*+T = o
=0
0
1
гг—г-'л' "Vx+1=0
0
i^nх+1>0
нию постороннего корня?
множители
-
i
| Д х + 1>0
'--
2
Г|х '-4 = о
\
v
[ Д х + 1>0
Первоначальные
L
х+1 =0
рассуждения
не
учитывали возможность расширения
О Д З п р и замене^ у р а в н е н и я совокуп­
ностью уравнений.
7. Объясните, почему свойство про­
Свойство
произведения с ф о р м у л и ­
l
изведения сформулировано без учета р о в а н о для^чисел, п о э т о м у с м ы с л о ­
*
вое значение в ы с к а з ы в а н и я н е изме­
возможного несовпадения смыслового
няется.
-значения сомножителей и их произве­
Произведение двух в ы р а ж е н и е р а в н о
дения?
нулю при т е х и только тех значениях
| .8. И з м е н и т е формулировку утвер­
переменной из ОДЗ
произведения,
ж д е н и я о равенстве нулю произведе­
которые обращают в ноль хотя бы
н и я так, чтобы оно было применимо и
одно из этих в ы р а ж е н и я .
!к» выражениям, содержащим перемен­
Данное у т в е р ж д е н и е
ные.
|
9.«Можно.» ли. считать
полученное весной
является
формулировкой
сло­
известной
р т в е о ж д е н и е . н о в о й . т е о р е м о й о равно- т е о р е м ы о р а в н о с и л ь н о с т и :
^ильности?^Обоснуйте ответ.
,Л(х) • В(х) = 0 о
j [в(х)
= 0 . где D - об-
ласть д о п у с т и м ы х значений
•q.v. .
Wr-*-"'
ного уравнения.
1
исход-
У с п е ш н о с т ь данной беседы-зависит от способности учащихся подводить за­
фиксированное рассуждение под о б щ у ю методологическую норму, варьировать
способ рассуждений, оценивать, используемые методологические н о р м ы с точ­
ки зрения области их действия и сопоставлять их.
Приведенные примеры показывают, что рефлексивный анализ требует одно­
временного удержания учащимися в поле зрения двух планов: плана предметной деятельности и содержания функционирующего в ней методологического
знания и оперирования ими. Если учесть, что эти планы зачастую могут вклю­
чать несколько актов предметной деятельности (анализируемое поле функцио­
н и р о в а н и я зафиксированного методологического знания) и л и несколько видов
методологического знания (сравнительный анализ фиксаций), то становится
п о н я т н ы трудности учащихся при проведении рефлексивного анализа.
С н и ж е н и ю трудностей, связанных с удержанием нескольких планов деятель­
н о с т и и нескольких фиксаций, способствует письменная форма их представле­
н и я : в виде правил, описаний деятельности или составленных из них таблиц.
Рефлексивно-аналитическая
беседа,
определяемая Т.В. Белозерцевой [13] как
беседа, п о б у ж д а ю щ а я у ч а щ и х с я к оценке предметной деятельности в опреде­
л е н н о й заданной позиции,
. позволяет ориентировать учащихся не только в
п р о м е ж у т о ч н ы х целях рефлексивного анализа, н б ' и
в использовании тех или
и н ы х п л а н о в деятельности и фиксаций.
З а к л ю ч и т е л ь н ы м этапом рефлексивного акта является «отстранение», то есть
отделение
методологического
го анализа, от объекта
знания,
рефлексии
являющегося результатом рефлексивно­
(предметной
деятельности).
Результатом
отстранения выступает обобщенное описание методологического знания.
На­
п р и м е р , результатом отстранения методологического знания от п о р о ж д а ю щ и х
его ситуаций предметной деятельности в примере 1 является описание структу­
р ы и условия применения метода исследования на промежутках О Д З :
«Если для р е ш е н и я уравнения (неравенства) необходимо осуществить рав­
носильное преобразование, которое не имеет однозначного результата на О Д З
уравнения (неравенства), т о принимается р е ш е н и е о необходимости использо186
вания метода исследования на промежутках О Д З . Данный метод состоит из
следующих основных этапов:
Л
.
•
.
"
Этап 1 (определение цели исследования). Определяется преобразование, р е ­
зультат которого на является однозначным на ОДЗ д а н н о г о уравнения (нера­
венства).
,л • •
---.<.
Этап 2 (определение объекта исследования). В структуре уравнения (нера­
венства) выделяют выражение или несколько выражений, изменения свойств
которых является причиной неоднозначности результата преобразования.
Этап 3 (определение "предмета исследования). Устанавливают свойства вы­
деленных выражений, условия изменения которых подлежат исследованию.
Этап 4 (проведение исследования). О Д З уравнения (неравенства) разбивают
на промежутки точками, в которых или при переходе через которые меняются
исследуемые свойства выражений. Для каждого выделенного п р о м е ж у т к а уста­
навливают комбинацию свойств исследуемых выражений.
Этап 5 (применение результатов исследования). Данное уравнение (неравен­
ство) заменяют совокупностью систем (пользуясь теоремой, л е ж а щ е й в основе
метода), и на каждом выделенном промежутке осуществляют запланированное
преобразование».
Приведенный пример показывает, что получение обобщенного описания тре­
бует дополнения инвариантных составляющих фиксаций предметной деятель­
ности, которые состоят из математических терминов и слов естественного язы­
ка, у к а з ы в а ю щ и х на характер действий с м а т е м а т и ч е с к и м и ' о б ъ е к т а м и (глаго­
лов), методологическими (общенаучными, метатерминами) т е р м и н а м и (иссле­
дование, предмет, объект, метод). Осуществление такого действия требует не
только знания методологического языка науки, но и умения устанавливать
связь нового методологического знания с выявленными ранее.
Задача расширения у учащихся знаний методологической терминологии ма­
тематической науки требует от учителя привлечения
а также описаний
содержания
и функций
187
этимологических
сведений,
общенаучных т е р м и н о в в я з ы к е , со-
п р о в о ж д а ю ш д х их введение. Раскрытие содержания общенаучных терминов на
з а в е р ш а ю щ е м этапе рефлексивного акта д о л ж н о осуществляться л и ш ь в тех
пределах, которые необходимы для его правильного использования в получае­
м о м обобщенном описании.
Так, например, получение у ч а щ и м и с я обобщенного описания метода иссле­
дования на промежутках О Д З мбжет быть предварено с л е д у ю щ и м описанием
основных характеристик исследования, сопровождающимся постановкой зада•' '
' •
ний на осмысление
'_i
фиксаций,'с
•
точки зрения общенаучных
терминов:
- В с я к о е исследование начинается'с определения его цели, то есть с формули­
ровки желаемого результата исследования. В. задаче,.1. ж е л а е м ы м результатом
исследования (то есть его целью) является выделение п р о м е ж у т к о в значений
п е р е м е н н о й , на которых уравнение с модулями м о ж н о заменить равносильным
ему у р а в н е н и е м , их не содержащим.
* ч
- С ф о р м у л и р у й т е цели и исследования уравнений (неравенств) в задачах 2-4.
- Н и к а к о е исследование не м о ж е т начаться, пока не определен его объект, то
есть та часть действительности, которая подлежит изучению или испытанию. В
задаче 1 объектом исследования являются подмодульные в ы р а ж е н и я I и I I .
- Назовите объекты исследования в задачах 2-4.
- Д а л е к о не все свойства объекта исследования являются в а ж н ы м и для дости­
ж е н и я цели. Так, в задаче 1 в а ж н ы м является л и ш ь свойство знакопостоянства
в ы р а ж е н и й . Свойство объекта исследования важное для достижения его цели,-н а з ы в а ю т предметом исследования.
- Н а з о в и т е предметы исследования в задачах 2-4».
' '
В качестве основного методического средства, п о б у ж д а ю щ е г о у ч а щ и х с я к от­
странению результатов рефлексивного анализа от содержания предметной деятельности с п о м о щ ь ю известных методологических терминов, является поста­
новка рефлексивного'задания
ности.
на формулировку
обобщенного
правила
деятель­
П р и м е р о м такого рефлексивного задания может являться следующее
«Дайте характеристику этапов метода исследования на промежутках О Д З , если
188
известно, что эти этапы носят следующие названия: 1 ) определение цели иссле­
дования;
2) определение объекта "исследования; 3)" определение предмета ис­
следования; 4) осуществление исследования; 5) применение результатов иссле­
дования».
-
. - .
Поскольку критерием правильности методологических норм деятельности
является их практическая эффективность, з а в е р ш а ю щ и м этапом рефлексивного
акта (а также началом этапа осознанного использования
знания) является постановка заданияна
сформулированного
правила
методологического
оценку практической
и его корректировку.
эффективности
В качестве предметной осно­
вы выполнения этого задания могут выступать математические задачи на осоз-"
нанное применение методологических норм деятельности (5 типа) и л и установ­
ления границ их действия (3 типа).
Таким образом, методика управления деятельностью у ч а щ и х с я п о выполне­
нию рефлексивных заданий состоит в использовании набора методических
средств, отнесенных к определенным этапам акта методологической рефлексии
(см. таблицу 14).
J->
Таблица
Методические средства, у п р а в л я ю щ и е деятельностью у ч а щ и х с я
14
при
выполнении рефлексивных заданий
Этап
Математические задачи 1,4, 6 типов (приводящие к
остановки
вению «блокады» предметной деятельности).
Рефлексивные,
вопросы и задания.
Этап
возникно­
фикса­ Рефлексивные задания на устное или п и с ь м е н н о е
,
описание
предметных действий. Конкретизирующие указания (о цели,
ции
значимых аспектах деятельности, способе фиксации, парамет­
рах оценки)
Этап
объек­ Рефлексивные задания на анализ фиксаций и их «цепочки».
тивизации
Рефлексивно-аналитическая беседа.
Этап
от­ Этимологические сведения и описания общенаучных терминов.
странения
Рефлексивные задания на осмысление фиксаций с точки зрения
общенаучных терминов. Рефлексивные задания на обобщенное
описание методологической н о р м ы деятельности. Рефлексив­
ные задания на оценку и корректировку описания методологической нормы деятельности с использованием математических
задач 3, 5 типа.
. . В коллективной деятельности. возможности методологической
рефлексии
значительно расширяются. Так, И.С. Ладенко, В . А. Лефевр отмечают, что ме­
тодологическая рефлексия м о ж е т выступать средством организации и управле­
ния о д н и м и участниками
группы деятельностью других, а также выступает
средством передачи оснований деятельности от одних участников группы дру­
г и м , а т а к ж е средством корректировки методологических установок одних уча­
с т н и к о в группы под воздействием установок других.
Э т и возможности рефлексивной коллективной деятельности зафиксированы
В.А. Л е ф е в р о м посредством введения специального термина - «рефлексивное
управление». Содержание этого термина автор раскрывает с л е д у ю щ и м обра­
зом: « П р о ц е с с передачи оснований для принятия р е ш е н и я о д н и м из персона­
жей д р у г о м у м ы будем называть рефлексивным управлением» (92, 39). С у щ е ­
с т в е н н ы м отличием рефлексивного управления от прямого указания является
то, что «... управление осуществляется не в результате прямого навязывания ...
своей воли, а за счет передачи ему «оснований», из которых тот, как бы д е д у к - '
т и в н о выведет предопределенное другим ... решение» (там же). Осуществление
р е ф л е к с и в н о г о управления требует предварительного осознания у п р а в л я ю щ и м
персонажем образа ситуации предметной деятельности, который имеется у
управляемого.
• • , ,-.
В зависимости от направления методологической рефлексии содержание
р е ф л е к с и в н ы х заданий м о ж е т б ы т ь конкретизировано.
Глава
3.
Методологическая
подготовка
учащихся
старших классов к изучению математики в >
вузе '
3.1.
Изменение формы учебного математического познания как
один из аспектов проблемы преемственности школьного и
вузовского математического образования
П р о б л е м а преемственности школьного и вузовского математического обра­
зования с философской точки зрения представляет собой нарушение диалекти­
ческого закона «отрицания отрицания» в системе « ш к о л а - в у з » .
И з у ч е н и ю сущности этой проблемы посвящены м н о г о ч и с л е н н ы е экспери­
ментальные исследования, проводимые по инициативе математических кафедр
вузов, а также в рамках индивидуальных исследований п р и подготовке доктор­
ских и кандидатских диссертаций.
М н о г и м и исследователями этой проблемы отмечается, что абитуриенты, даже
прошедшие конкурсный отбор, не обладают математическими знаниями, у м е ­
ниями и навыками, необходимыми для усвоения вузовской программы по ма­
тематике. Так, А.П. Сманцер и Н.А. Березович [147] отмечают, что « О б ы ч н о
первокурсники неплохо владеют отдельными фактами школьной математики,
но при самостоятельном р е ш е н и и какой-либо задачи затрудняются в простых
преобразованиях, с которыми они должны быть знаком со ш к о л ы , не* могут
вспомнить необходимые формулы и правила» (С.58). П о ' и х м н е н и ю , д л я у с ­
пешного изучения математики в вузе первокурсники д о л ж н ы обладать проч­
ными навыками: тождественных преобразований алгебраических и трансцен­
дентных выражений, равносильных преобразований, р е ш е н и я у р а в н е н и й и не­
равенств первой и второй степени, а также их систем, геометрической иллюст­
рацией решения неравенств и систем уравнений.
Ю.В. Сидоров [145] отмечает значимость прочных знаний, у м е н и й и навыков,
связанных с исследованием свойств функций элементарными методами для
191
изучения
математики
в вузе.. К
числу
знаний, необходимых
студентам-
первокурсникам для изучения математического анализа, он относит: определе­
ния свойств функций^ правила преобразования графиков, свойства и способы
задания основных элементарных функций, теоремы о сохранении свойств ком­
бинацией элементарных функций. В а ж н ы м и он считает следующие умения:
аналитически исследовать свойства комбинации элементарных функций без
использования производной, исследовать свойства функций по графику, стро­
ить г р а ф и к и ф у н к ц и и .
Эти д а н н ы е позволяют трактовать проблему преемственности школьного и
вузовского математического образования как разрыв
обучения
математике
готовки
студентов
тематических
в школе и требованиями
результатами
к уровню математической
первого курса, определяемыми
курсов.
между
содержанием
под­
вузовских
ма­
v
Н а и б о л е е остро проблема преемственности в рассматриваемом
аспекте
встает перед вузами и факультетами/технической и экономической направлен­
ности, а также перед коммерческими вузами, заочными и вечерними отделе­
ниями математических и физико-математических факультетов и вузами с невы­
соким конкурсом (2- 4 человека н а место).
В.А. Тестов утверждает, что причина антагонизма между требованиями про­
грамм по математике в средней и высшей ш к о л е кроется в том, что « . . . школа
имеет д е л о с учениками е щ е очень м о л о д ы м и , среди которых только меньшин­
ство одарено способностями к изучению математики, что обуславливает до­
в о л ь н о строгие ограничения по отношению к программам преподавания в этой
ш к о л е . С другой стороны, сложность новейших математических .теорий не дает
в о з м о ж н о с т ь перенесения их в программы высшей школы» (162, 152).
Р е ш е н и е м этой проблемы является ликвидация пробелов в знаниях и умениях
абитуриентов в рамках обучения "на
факультетах довузовской подготовки и
подготовительных курсах при вузах, а также у студентов-первокурсников на
д о п о л н и т е л ь н ы х занятиях по математике в вузе. Это подтверждается опытом
р а б о т ы преподавателей математических кафедр многих вузов с т р а н ы и бли-
жайшего зарубежья: Р Г П У (г. Санкт-Петербург), А Г Т У , П Т У (г. Архангельск),
Б Г У , Б П И (г. Минск), Р П И (г. Рига) и многих других.
М н о г и е исследователи указывают на то, что немаловажной составляющей
частью проблемы преемственности в системе «школа-вуз» является различие
способах
организации
учебного
процесса:
в
резкое п о в ы ш е н и е д о л и самостоя­
тельной учебной работы, снижение контроля за результатами у ч е б н о г о труда,
переход от классно-урочной системы проведения учебных занятий к лекционно-семинарской. Характеризуя эту часть проблемы, С:А. М о и с е е в и Н . М . Суво­
ров пишут: «В школе: спрашивают к а ж д ы й день; жесткая трудовая дисципли­
на; тесный контакт администрации с родителями; новый материал разворачива­
ется постепенно; действует хорошо отлаженная с и с т е м а ' п о в т о р е н и я пройден­
ного; администрация в значительной м е р е контролирует загруженность "уча­
щихся домашними заданиями; формы учебной р а б о т ы п р и в ы ч н ы : В вузе: серь­
езно спрашивают один раз в полгода; свободное посещение; контакта с родите­
лями нет; новый материал поступает к студенту лавинообразно; повторение
пройденного отсутствует; контроль за объемом д о м а ш н и х заданий не осущест­
вляется;... формы учебной работы новы. К этому надо добавить, что многие
студенты именно в момент поступления в вуз отрываются от семьи и остаются
один на один со многими бытовыми и социальными проблемами» (128, 30).
Опрос
студентов
первого курса Б Г У
имени
М.В Ленина,
проведенный
А.П. Сманцер и Н.А. Березович, показывает, что причинами трудностей, возни­
кающих у студентов первого курса при изучении математики, я в л я ю т с я : «.. от­
сутствие систематического контроля за учебной деятельностью, б о л ь ш о й объем
учебного материала, большие домашние задания по каждому предмету," недос­
таточная подготовленность к самостоятельной работе, неумение работать с ли­
тературой и др.» (147, 53).
Разрешению данного противоречия, по м н е н и ю многих
лей-практиков,
способствует
внедрение
элементов
ш к о л ь н ы х учите­
лекционно-семинарской
системы в процесс изучения математики в школе: урок-лекция, урок-семинар,
урок-зачёт, урок-консультация и т.п.; а также организация работы по ф о р м и р о ­
ванию у учащихся старших классов общеучебных умений, з н а ч и м ы х для про193
д о л ж е н и я образования в вузе:- обучение конспектированию, самостоятельной
работе с научной и учебной литературой, планированию д о м а ш н е й учебной ра­
боты.
Б о л ь ш о е значение идеи переноса и адаптации лекционно-семинарской
системы обучения в условия средней школы придается и в нормативных доку­
м е н т а х , где указывается, ч т о «наряду с уроком - основной формой учебного
процесса - в старших классах школ, профтехучилищах й средних специальных
у ч е б н ы х заведениях надо ш и р е практиковать лекции, семинарские занятия, со­
беседования, практикумы, консультации» (117,46).
'.
г'
В п о с л е д н и е годы наметилась тенденция и к поиску путей сближения условий
обучения студентов первокурсников в вузе со школьными: замена традицион­
н ы х ф о р м учебного процесса (лекции и семинары) некоторыми новыми синте­
т и ч е с к и м и занятиями, обучение технологии чтения специальной литературы,
обучение конспектированию на основе использования опорных
л е к ц и й [128], внедрение рейтинговой системы оценки
и
конспектов
других элементов
технологии модульного обучения в систему вузовской подготовки [12].
Е щ е одним аспектом,проблемы преемственности является разрыв
тельных
связей между
вузовским
и школьным
курсами
математики.
содержа­
Необхо­
димость установления связей.между содержанием курсов разного уровня объ­
ясняется спецификой развития математического знания (наличием логических
связей между положениями теории, иерархических связей между математиче­
скими понятиями, отношений изоморфизма и гомоморфизма между математи­
ч е с к и м и теориями и структурами). «Поэтому - утверждает В.А. Тестов, - осо­
бенно в а ж н о , чтобы вузовская математика и по содержанию, и п о методам, и по
терминологии, и по символике была естественным продолжением школьной
математики. Понятия о математических структурах, сохраняясь в их первона­
ч а л ь н о м смысле с возможными уточнениями, дополнениями и обобщениями,
как р а з и могут обеспечить в наиболее полной мере такое продолжение. С дру­
гой-стороны,
следует отметить необходимость . у ч и т ы в а т ь . при
написании
ш к о л ь н ы х учебников по математике терминологию и символику, общеприня­
тую в вузовской математике» (162,156).
Установлению этих взаимосвязей, по м н е н и ю многих математиков и мето­
дистов
(А.Г. Мордковича, Г.Г. Хамова, М . В . Потоцкого, А.А.
Столяра,
В.А. Тестова, Ю . М . Колмогорова, Ф. Клейн .и многих других), будет способст­
вовать разработка интегрированных курсов высшей и элементарной математи­
ки. Первым интегрированным курсом стал курс «Элементарная математика с
точки зрения высшей» (1924-1925г), разработанный Ф. Клейном. В д а л ь н е й ш е м
реализация этой идеи стала осуществляться в двух основных направлениях:
•
пропедевтика базовых вопросов содержания вузовских курсов при изуче­
нии математики в старших классах средней общеобразовательной школы
(перенос разделов вузовской математики и л и их основных элементов в
курс средней школы, дополнение школьного курса математики вопроса­
ми, базовыми для вузовских курсов);
•
•• .*'»•-.
... •
разработка интегрированных курсов элементарной и в ы с ш е й математи­
ки для вузов.
Примером идеи, связанной с реализацией первого направления, является
включение в школьный курс математики темы «Многочлены с о д н о й перемен­
ной». Необходимость ее изучения, по мнению Г.В. Дорофеева [49], определяет­
ся потребностями таких разделов математики в вузе, как интегрирование ра­
циональных функций, линейные операторы, дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Второе направление реализует, например, в своей докторской диссертации
Г.Г. Хамов [168]. Он осуществил интеграцию элементарной и в ы с ш е й матема­
тики при разработке программы курса алгебры и теории чисел. Д а н н а я идея по­
лучила свою реализацию и в учебном пособии к курсу а н а л и т и ч е с к о й геометриилГЬС'. >Атанасяна [8]. На значимость такой интеграции о б р а щ а л внимание
М . ' В Ж о т о ц к и й . Он говорил, что «Эта связь облегчит п о н и м а н и е в ы с ш е й мате­
матики^ конкретизируя многие ее проблемы, свяжет новое со с т а р ы м и тем са­
мым.облёгЧйт^понимание и запоминание этого нового» (127, 181). В.А. Тестов
также^Ьтмечаеткшачимость данного направления для решения п р о б л е м ы со­
держательной1преемственности. О н пишет: «Включение в курсы в ы с ш е й м а т е -
матики вопросов .из элементарной позволяет обеспечить наиболее естествен­
ную постановку преподавания, поскольку высшая математика возникла в. р е ­
зультате развития элементарной.- Такое включение позволяет осуществить важ­
н у ю в педагогическом о т н о ш е н и и преемственность между элементарной и
в ы с ш е й математикой. Э т а связь облегчает понимание высшей математики, кон­
кретизируя многие ее п р о б л е м ы , связывает новое со старым и тем самым, об­
легчая п о н и м а н и е и запоминание этого нового» (162,158).
-
. О ч е н ь ч а с т ь к содержательному аспекту проблемы преемственности школь­
ных и
вузовских математических курсов относят и так называемую
преемственности
методов
изложения
учебного
материала
проблему
в школе и вузе.
Так, А . Г . М о р д к о в и ч в своем диссертационном исследовании [ П О ] , доказыва­
ет, ч т о в основе проблемы преемственности лежит существенный разрыв между
в у з о в с к и м и и школьными курсами математики, как по содержанию, так и по
м е т о д а м изложения.
К проявлениям этой стороны проблемы О.А. Сотникова [152] относит сле­
д у ю щ и е особенности изложения материала в вузовских курсах:
1) структура ( о п р е д е л е н и я ; в вузовских курсах значительно сложнее, чем в
ш к о л ь н о м курсе математики, где практически все определения у м е ю т р о д о ­
в и д о в у ю структуру с одним видовым отличием; ,
2) способ введения математических понятий в вузовских курсах абстрактнодедуктивный, а в школьном курсе преобладает конкретно-индуктивный;
3) в вузовском курсе огромное значение и м е ю т теоремы о существовании, при
и з у ч е н и и математики в школе утверждения этого вида не и м е ю т р е ш а ю щ е г о
значения.
А . П . С м а н ц е р и Н.А. Березович подходят к характеристике данной стороны
п р о б л е м ы преемственности через описание перечня основных математических
категорий, которыми д о л ж н ы уметь оперировать студенты-первокурсники, и
описание основных общелогических умений и навыков. Результаты проведен­
н ы х ими экспериментальных исследований показывают, что «большинство оп­
р о ш е н н ы х учащихся (65%) не могут отличить определение от описания» (147,
22). В качестве одной из причин этих затруднений учащихся они н а з ы в а ю т от196
несение авторами учебных пособий для школьников к определениям предло­
жений, нарушающие те и л и иные логические требования. Постановка же перед
учащимися и студентами первого курса задания на подведение математических
объектов под одну из основных категорий (формула, фигура, теорема и т.п.) по
их данным приводит к о ш и б о ч н ы м результатам в 68 - 87%. В своей работе они
также отмечают и факт не понимания учащимися старших классов, « . . . почему
при наличии определения требуется доказывать существование определяемого
понятия» (147, 26).
М.И. Ш а б у н и н пишет: «опыт показывает, что даже многие из тех студентов,
которые обучались в школах и классах с углубленным изучением математики,
недостаточно подготовлены к тому, чтобы в условиях дефицита времени глубо­
ко и прочно освоить курс математического анализа. Р е ч ь н е и д е т о навыках
дифференцирования и интегрирования (они п р и о б р е т а ю т с я , с р а в н и т е л ь н о лег­
ко), а, прежде всего о слабом знании элементов математической логики (прямая
и обратная теоремы, необходимость и достаточность, доказательство от про­
тивного, построение отрицания выражений, содержащих слова « л ю б о й » , «су­
ществует»). Эти элементы логики часто используются в курсе математического
анализа, и было бы крайне важно уделить и м больше внимания при
углуб­
ленном изучении математики в средней школе» (177,19).
Многочисленные попытки решения этой части проблемы путем переноса м е ­
тодов изложения учебного материала, характерных для вузовских математиче­
ских курсов, в школу, а также путем включения элементов математической л о ­
гики и теории множеств в содержание школьного курса м а т е м а т и к и (реформа
50-70^ годов X X . века), не привели к желаемому результату, ч т о доказывает нербходимость.выделения ее в самостоятельный аспект п р о б л е м ы преемственно­
сти школьного и вузовского математического образования.
, -,, Под. проблемой,
ч
методологической
ского, математического
дических^ условий,
:
щению, школьной
образования
способствующих
формы учебного
преемственности
школьного
мы будем понимать
отсутствие
постепенному
математического
и
(«безболезненному»)
познания
вузовской.
вузов­
метозаме­
Р а н е е нами было показано' что д л я процесса изучения математики в 7- И
классах средней школы характерна метаэмпирическая форма учебного позна­
ния с элементами дедукции, а для базовых вузовских курсов математики - ква­
зиэмпирическая форма. П р о ц е с с перехода от одной формы научного познания к
другой подробно описан Т. К у н о м [83]. Для обозначения связанной с ним про­
блемы он в в е л ' п о н я т и е парадигмального кризиса. П о д парадигмой научного
знания он п о н и м а л систему устойчивых, стабильных, понятных всем специали­
стам д а н н о й научной области и принятых знаний, которые служат теоретиче­
ской и и д е й н о й основой научных исследований, а также систему образцов ре­
ш е н и я н а у ч н ы х проблем. Носителем парадигмальных знаний, по его мнению,
является научное сообщество - объединение ученых, разрабатывающих сход­
ные п р о б л е м ы . Появление научных знаний, результатов исследования, выхо­
д я щ и х за р а м к и парадигмальных ожиданий, Т. Кун назвал
аномальными' си­
т у а ц и я м и или просто аномалиями. •
Следует заметить, что Т. К у н считал, что «Изучение парадигм является тем,
что главным образом и подготавливает студента к членству в т о м или ином на­
учном сообществе» (83,29).
« П о я в л е н и е новой парадигмы -'как утверждает Т. Кун, - это очень болезнен­
н ы й процесс для научного сообщества, так как он заключается в коренной лом­
ке научных традиций," проверенных опытом, ставших частью мировоззрения
у ч е н ы х » (83, 35). К основным проявлениям парадигмального кризиса в науке
Т. К у н относит «...упорное сопротивление всяким изменениям в парадигме»
(83, 94). Н а л и ч и е негативных эмоциональных проявлений по о т н о ш е н и ю к
а н о м а л ь н ы м ситуациям у испытуемых показывают
и экспериментальные ис­
следования Д ж . Брунера и Л. Постмена [186]. Они зафиксировали, что осозна­
н и е аномалии приводило испытуемых в состояние замешательства, порождало
сомнения в правильности осмысления ситуации, невозможность выполнить за­
дание вызывало чувство' досады. На этом основании, м ы делаем вывод о том,
что в н е ш н и м и проявлениями парадигмального кризиса у студентов являются:
отказ от следования
требованиям,
учебно-познавательной
предъявляемым к способу осуществления
деятельности,
невозможность
198
осуществления
дея-
тельности
в аномальных условиях, отказ от принятия
научных
фактов,
по­
лученных на основе реализации непринимаемых норм деятельности.
Это позволяет нам выделить разновидности типичных аномальных учебных си­
туаций и связанные с ними реакции (см. таблицу 15).
Таблица
15
А н о м а л ь н ы е учебные ситуации, характеризующие переход от метаэмпирической ф о р м ы познания с элементами дедукции к квазиэмпирической
Аномальные
учебные
Их проявления
в реакции
студентов
ситуации
I . Аномальные учебные ситуации, вызванные нарушением непосредственной
связи математического знания с реальностью
1.1.
Обнаружение
тельной
относи­ Отказ от оценки истинностного значения вы­
независимости
ис­ сказываний через истинностную оценку ато­
тинностной оценки математи­ марных высказываний и использование опре-^
ческих
утверждений
от
смыслового значения
их делений логических понятий. П о д м е н а оцен­
кой истинностного значения через осмысление
содержания высказываний.
Невозможность осмысления
содержания
вы­
сказывания приводит к отказу от выполнения
задания или к действиям наугад.
Отказ от использования тех н а у ч н ы х д а н н ы х
об истинностном значении высказываний, ко­
торые не подтверждаются оценкой их смысло­
вого значения.
1.2.
Необходимость
обосно­ Трудности вскрытия причин софизмов, осно­
вания существования матема­ ванных на противоречивости д а н н ы х .
тических
объектов,
удовле­ Опущение теорем о существовании при вос­
творяющих определению ма­ произведении теории, а также отказ от их ис­
тематического понятия
пользования в качестве теоретической
решения задач.
базы
П о д м е н а доказательства существования мате­
•
V
матических объектов обоснованием существо­
вания их реальных прообразов.
1.3.
'•
1
-'
4
несоответ­ Использование в качестве теоретической базы
Обнаружение
ствия результатов логическо­ рассуждений знаний (правил), полученных в
го познания результатам эм­ результате чувственного восприятия действи­
пирического познания
тельности даже при наличии противоречащих
им научных фактов (альтернативных правил).
1.4.
Необходимость
проведе­ Подмена дедуктивных рассуждений об объек­
ния логических рассужДений тах, не имеющих чувственного образа', индук­
о
математических
не п о д к р е п л е н н ы х
понятиях, тивными (подмена доказательства примерами
чувствен­ ситуаций).
н ы м образом
Потеря ориентировки (направления) в процессе
осуществления'логических рассуждений с уча­
стием математических объектов, которые не
подкреплены чувственным образом.
1.5.
Необходимость
рования
образа
ского объекта:
варьи­ Невозможность проведения рассуждений, тре­
математиче­ б у ю щ и х отказа от восприятия класса эквива­
класс эквива­ лентности как конкретного
овеществленного
лентности или его представи­ объекта.
тель
Отказ от распространения на математические
объекты понятий, требующих его
осмысления
как класса эквивалентности.
1.6. Необходимость варьиро­ Использование в качестве критериев у с п е ш н о вания критериев успешности сти математической деятельности учительских
р е ш е н и я задачи в зависимости требований, закрепленных в опыте.
от в н е ш н и х условий.ее поста­ Невозможность изменения критериев успеш­
новки (потенциально и акту­ ности при изменении условий осуществления
ально р а з р е ш и м ы е задачи; ус­ деятельности.
ловная, позиционная,
метри- Отказ от использования результатов математи-
ческая разрешимость и т.п.)
ческой
деятельности,
не
соответствующих
субъективным критериям успешности.
I I . А н о м а л ь н ы е учебные ситуации, вызванные иерархизацией предметных об­
ластей математической науки
2.1.
Необходимость
мысления
ранее
математических
точки
зрения
переос­ П о д м е н а
содержательного описания свойства
известных абстрактного математического понятия свой­
понятий
новых,
общих понятий _
.
с ствами его содержательных моделей.
более П о л н ы й перенос свойств содержательных м о ­
"
делей абстрактного понятия на само это поня­
тия.
с
Переход от рассуждений об абстрактных поня­
тиях к рассуждениям об его содержательных
2.2.
ности
моделях.
.
1.
возмож­ Трудности иллюстрации абстрактных матема­
Обнаружение
сопоставления
жательно далеких
ческих понятий
содер­ тических понятий содержательными моделями,
математи­ относящимися к р а з л и ч н ы м
математическим
теориям.
Невозможность выделения свойств, с точки
зрения которых содержательно далекие мате­
матические понятия являются сопоставимыми.
Отказ от отождествления содержательно дале­
ких математических понятий в рамках абст­
рактной математической теории.
2.3.
Возможность
менимости
понятий
самопри­ Трудность
определения
содержательного
математических смысла высказываний, связанных с самопри­
менимостью понятий.
Отказ от использования математических
ут­
верждений, основанных или я в л я ю щ и х с я р е ­
зультатом самоприменимости понятий.
I I I . А н о м а л ь н ы е учебные ситуации, связанные с выявлением логической струк­
т у р ы математических утверждений и математической теории
3.1.
ния
Необходимость
логической
математических
измене^ Трудность выделения логической
структуры
структуры с л о ж н ы х высказываний и предикатов.
утверждений Отказ от использования методов, основанных
в процессе их о б о с н о в а н и я , на изменении логической структуры высказыиспользования, а также полу­ вании.
'
чения н а и х основе новых ут­ Отказ от использования утверждений на том
верждений
основании, что его логическая структура не со­
ответствует цели использования, без преобра­
зования его логической структуры.
3.2. О б н а р у ж е н и е факта зави­ Неумение осуществлять оценку области ис­
симости
истинностного
зна­ тинности и области задания сложного предика­
ч е н и я утверждения от его ло­ та по знанию области истинности и области за­
дания его атомов.
гической структуры
I V . А н о м а л ь н ы е учебные ситуации, связанные с интеграцией понятийного ап­
парата математической науки
4.1.
Необходимость .
варьирования
Трудности при осуществлении деятельности свя­
образа занной с комплексным использованием несколь­
(трактовки) . м а т е м а т и ч е ­ ких образов (трактовок) одного математического
ского понятия в зависи­ объекта (понятия).
мости
от
ситуации
пользования
ис­
Невозможность
адаптации образа
(трактовки)
математического объекта (понятия) к условиям
оперирования с ним.
4.2. О б н а р у ж е н и е
дественности
нетож­ Трудности, связанные с изменением ф о р м ы опи­
языковой сания (способа задания) математического объекта.
(символьной) формы мате­ Невозможность проведения рассуждений о мате­
матического объекта само­ матическом объекте, заданного в форме, для ко­
му объекту
торой не установлены необходимые правила опе­
рирования.
Трудности распознавания в математических объ- |
ектах понятий, заданных в вырожденной форме.
Восприятие одних и тех же математических поня­
тий, обозначенных разными т е р м и н а м и или сим­
волами, как различных, не связанных понятий.
Практика показывает, что далеко не все студенты могут сами найти выход
их этих ситуаций, так как их решение требует принятия новых методологиче­
ских установок на основе рефлексивного анализа довольно большого количест­
ва познавательных актов.
Таким образом, в проблеме преемственности школьного и вузовского мате­
матического образования можно выделить четыре относительно самостоятель­
ных аспекта:
•
целевой
"- ^
- разрыв между результатами обучения математике в ' ш к о л е и
требованиями к уровню математической подготовки студентов первого
курса;
•
содержательный
- разрыв в развитии содержания математического обра­
зования п р и переходе от изучения школьных к вузовским математиче­
ским курсам;
•
организационно-процессуальный
- резкое изменение способов организа­
ции учебного процесса при переходе из ш к о л ы в вуз;
•
методологический
- резкое изменение методологической ф о р м ы учебно-
познавательной математической деятельности при переходе из ш к о л ы в
вуз.
С целью определения путей решения проблемы методологической преемст­
венности школьного и вузовского математического образования обратимся к
сущности категории «преемственность». Данная категория ч а щ е всего тракту­
ется как «связь между различными этапами или ступенями развития, сущность
которой состоит в сохранении элементов целого или отдельных его характери­
стик при переходе к новому состоянию» (167, 507).
В.П. Ж у к о в с к и й , К. Поппер, В С Ш в ы р е в утверждают, что наиболее продук­
тивно с точки зрения решения проблем преемственности подходить к раскры­
т и ю сущности этой категории с позиции категориального аппарата гегелевской
диалектики: тезис, антитезис и синтез. По терминологии Г. Гегеля, и тезис, и'
антитезис - посредством синтеза - оказываются редуцированными до компо­
нентов (синтеза) и тем с а м ы м отмененными (подвергнутыми отрицанию, анну­
л и р о в а н н ы м и , отвергнутыми или оставленными) и в то ж е время сохраненными
( с б е р е ж е н н ы м и , с п а с е н н ы м и или удержанными) и п о в ы ш е н н ы м и (или подня­
т ы м и н а более высокий уровень).
.
•,
•
Э т а «диалектическая т р и а д а , - пишет К. Поппер, - довольно х о р о ш о описывает
о п р е д е л е н н ы е ступени в истории мышления, особенно в развитии идей и тео­
р и й , а т а к ж е социальных движений, опирающихся на идеи и теории» (125, 120).
П р о ц е с с разрешения противоречий, связанных с переходом от одной формы
у ч е б н о г о познания к другой, следует, по нашему мнению, рассматривать исхо­
дя из понятия единичного акта преемственности.
Первая характеристика этого, понятия была дана Ю . А . К у с т о в ы м [85]. Со­
гласно Ю . А . Кустову, развитие понятия представляет собой совокупность еди­
н и ч н ы х актов преемственности, образующих определенную структуру в виде
возрастающих в своем р а з м е р е звеньев (схема. 9).
« К а ж д о е звено,— пишет. Ю . А . Кустов, - состоит из элемента, вносимого нового, отрицаемого или с н и м а е м о г о элемента. Динамика самого перехода от од­
ного звена к другому предполагает выполнение следующих условий:
- в п р е д ш е с т в у ю щ е м этапе или звене явно заметны признаки последующего;
- в п о с л е д у ю щ е м сохраняется сердцевина предыдущего в преобразованном ви­
де;
- получает развитие то новое, что было в предыдущем состоянии;
- получает закрепление и развитие сердцевина формируемого; ,
- при переходе от одного этапа или звена к другому отбрасывается, отрицается
часть предыдущего» (85, 6).
Звено1
Ядро (целое)
Зародыш будущего
Вносимое новое
Отрицаемое
Звено 2.
(аналогично)
Схема 9. Акт преемственности по Ю . А . Кустову
, •
„ ,
,
-,
.-
В.П. Жуковский [55] считает необходимым внести уточнения в эту схему
(схема 10). Акт преемственности он описывает следующим образом: «Согласно
диалектической схеме учебную деятельность обозначим как тезис.
Тезис в
своем развитии на определенном этапе внутри этой же образовательной систе­
мы вызывает противоположение, которое является по отношению к тезису ан­
титезисом и направлен против него.
Звено 1.
Тезис 1
(ядро)
Антитезис 1
(вносимое но­
вое)
^ WEI
Синтез
(тезис 2)
^i->
fSffi
11-a. li„- -
:
L ^ i
Антитезис 2.
=j f ft.
IP
"f
Li'
Схема 70. Акт преемственности по В.П. Жуковскому
a
Синтез 2
(тезис 3)
J*
«Борьба» между тезисом и антитезисом продолжается до тех пор, пока не находится такое решение, которое является в ы с ш и м тождеством тезиса и антитезиса
в некоторой теоретической структуре, предполагающей, с одной стороны,
взаимополагание, взаимопредположение, взаимоотрицание и тезиса и антитези­
са, с другой - сохраняет их достоинство и относительную ценность. Это реше­
ние, которое является третьим диалектическим шагом, называется синтезом»
(55, 28). О н обращает внимание на то, что «синтез» никоим образом не заложен
в с о д е р ж а н и и тезиса и антитезиса; помимо старых идей, которые синтез «со­
х р а н я е т » , он всегда воплощает новую идею, которую нельзя редуцировать к
б о л е е р а н н и м стадиям диалектического развития.
С х е м а единичного акта преемственности, представленная В.П. Жуковским,
дает в о з м о ж н о с т ь не только вскрыть механизмы спонтанного выхода из ано­
м а л ь н о й ситуации (возможность..которого зафиксирована экспериментальными
исследованиями Дж. Брунера и Л. Постмена [186]), но и наметить пути созда­
ния методических условий, благоприятствующих активизации этих механизмов
•»••/.•
,•- •
в учебном процессе.
Для р е ш е н и я первой задачи постараемся интерпретировать схему 11 как
•T •
'
'•'
••
•"'
i-
схему методологической преемственности. Методологическими исследованиям и к р и з и с н ы х периодов в математике доказывается, что исходным пунктом из­
менения
методологической
формы
познавательной
деятельности
является
столкновение с аномальной ситуацией, то есть с научным фактом, нарушаю­
щ и м парадигмальные ожидания.
Опираясь на эти представления, м о ж н о ин-
терпретировать тезис 1 на схеме 2 как математическое утверждение, явившееся
следствием применения методологической нормы деятельности (парадигмальное ожидание), а антитезис 1 как научный факт, входящий в противоречие с те­
з и с о м 1. Таким образом, система тезис 1 - антитезис 1 - это содержательное
противоречие, порожденное устоявшейся формой познавательной деятельности
и неразрешимое в ней.
И с т о р и ч е с к и м и примерами таких противоречий, относящихся к разным пе..*г
^
'
риодам развития математической науки, являются следующие:
1) проблема поиска квадратуры круга (V век до н.э.): тезис 1 - «существует
квадрат, площадь которого равна п л о щ а д и круга», антитезис 1 - «нет ко­
нечного алгоритма построения такого квадрата с п о м о щ ь ю циркуля и ли­
нейки»;
2) парадокс Рассела (1903г): тезис 1 - «существуют н о р м а л ь н ы е множества,
то есть такие множества, которые удовлетворяют условию Хех»,
таким
образом, справедливо определение: VX(X е R <-> X е X), где R - м н о ж е с т в о
всех нормальных множеств; антитезис 1 - «ReR<->
ReR»,
данное утвер­
ж д е н и е является п р я м ы м следствием определения нормального множест­
ва, получаемое путем рассмотрения множества Х = R.
Заметим, что методологическая форма является н е только условием возник­
новения таких противоречий, н о и условием их неразрешимости.
-• ' •"
Э т о доказывает тот факт, что звено
1 на схеме 10 должно быть дополнено
еще одним элементом - методологиче­
ской
формой
познания,
•
-
-
•
Гсзис ]
Антитезис 1
содержащей
систему тезис 1 - антитезис 1 (форма 1
на схеме Па).*
I
Схема Па. Возникновение аномаль­
ной ситуации
Разрешение противоречия между тезисом 1 и антитезисом 1, т о есть появ­
ление их синтеза (тезиса 2 на схеме 10) требует выхода за пределы с о д е р ж а щ е й
их ф о р м ы л о з н а н и я (формы 1 на схеме П а ) . В представленных в ы ш е историче­
ских примерах этот выход характеризуется следующими и з м е н е н и я м и в мето­
дологических нормах познавательной математической деятельности:
1) отказ от использования конструктивного Метода (основанного на использо­
вании циркуля и линейки) как единственного средства доказательства сущест­
вования площади фигуры и получения вычислительных формул, и принятие
положения о том, что вывод о квадрируемости фигуры может являться следст­
вием применения других конструктивных средств, а также обнаружения о б щ е ­
го предела у последовательностей значений площадей в л о ж е н н ы х и о б ъ е м л ю ­
щих квадрируемых фигур;
2) отказ от неосознаваемого использования предположения о том,"что множест­
во R является обычным множеством, и принятие положения о т о м , что множе­
ство R является понятием иного иерархического уровня.
Э.А. Баллером отмечается, что существуют две основных ф о р м ы преемст­
венности: преемственность на одном уровне и преемственность на различных
уровнях. «Преемственность н а одном уровне - пишет он, - связана с количест­
в е н н ы м и изменениями (эволюцией). Преемственность на разных уровнях ха­
рактерна для качественных изменений (скачков)» ([165], С.17).
. В ы х о д за п р е д е л ы методологиче-
г
ской ф о р м ы - это качественный
скачок в познании. Фиксация это­
го факта п р и схематическом изо­
б р а ж е н и и акта методологической
преемственности требует перехо­
да к трехмерному
(схема 116).
изображению
'
Схема 116. Разрешение противоречия, лежащего в основе аномальной ситуации
Специфика перехода от одной ф о р м ы математического познания к другой по
д а н н ы м , представленным в трудах Т. Куна, В . Э . Войцеховича, В . В . М а д е р а и
др., состоит в . т о м , что появление новой ф о р м ы не влечет за собой отказа от
старых ф о р м , а приводит л и ш ь к их переосмыслению и специализации.
Так, в рассматриваемых нами примерах, разрешение противоречий вызвало
с л е д у ю щ и е изменения в формах познания:
1) у т о ч н е н а область применимости конструктивного метода (основанного на
использовании циркуля и линейки) в математике; переосмыслена роль и место
ограничений, накладываемых школой Платона на средства р е ш е н и я конструк­
т и в н ы х задач;
2) исследованы функции принципа' самоприменимости в математике: «этот
принцип - п и ш е т В.В. М а д е р , -.может быть использован вполне корректно при
доказательстве невозможности принадлежности некоторого предмета опреде­
ленному м н о ж е с т в у или невозможности,его существования в о о б щ е » (99, 235);
доказана невозможность отказа от его использования и вместе с тем определе­
ны границы его применимости.
Таким образом, прежняя форма позна­
ния (форма 1) сменяется ее проекцией
/
Синтез
/
(форма 1') на новую форму (форму 2), в
которой эта проекция функционирует как часть целого (схема 11в).
Й Н Т И ТР5ИС
Следовательно, нами установлено, что
акт методологической преемственности
представляет собой единство
следую-»
щих этапов, иллюстрируемых
схемой
Схема Не. Проецирование старой фор­
мы познания на новую ""•
12 (а, б, в):
1) возникновение аномальной ситуации (неразрешимого противоречия меж­
ду парадигмальным ожиданием и научным фактом) в р а м к а х действую­
щ е й формы познания;
2) разрешение противоречия, лежащего в основе аномальной ситуации за
счет.выхода за пределы этой формы познания;
3) проецирование старой формы познания на новую.
Обратимся теперь к вопросу определения путей создания методических ус­
ловий, способствующих активизации механизмов методологической преемст­
венности в учебном математическом познании. Представленное нами описание
элементарного акта методологической преемственности показывает,, что от­
правной точкой перехода от старой формы учебного познания (метаэмпирической ф о р м ы учебного познания с элементами дедукции) к новой ф о р м е (квази­
эмпирической) является целенаправленное моделирование аномальных ситуа­
ций (в первую очередь тех, что представлены в таблице 11) при подготовке
учащихся к изучению математики в вузе. Такое моделирование требует выде­
ления в школьном математическом познании тех норм, которые могут быть по­
ложены в основу получения взаимно-противоположных утверждений, обра­
зующих аномальную ситуацию. Эти нормы учебно-познавательной
ческой деятельности,
должны
удовлетворять
209
следующим
математи­
требованиям:
• являться составной частью-опыта учебно-познавательной математической
деятельности учащихся;
• д о л ж н ы быть переосмыслены в квазиэмпирической форме познания;
• занимать в квазиэмпирической форме учебного математического познания
ведущее положение.
К р о м е того, н е о б х о д и м о определение содержания, в котором функционирова­
ние в ы д е л е н н ы х норм познания может привести к возникновению аномальной
ситуации. С точки зрения представленного выше описания акта методологиче­
ской преемственности в качестве такого содержания
вопросы
ным
школьного
курса математики,
могут быть
удовлетворяющие
использованы
следующим-основ­
требованиям:
•
о н и д о л ж н ы иметь дальнейшее развитие за счет изменения формы учеб­
ного познания;
•
.
-
"
!
необходимость развития содержания этих вопросов д о л ж н а являться
следствием задачи его функционирования в математической деятельно­
сти, являющейся целью формирования в учебном процессе.
Р а с с м о т р и м в качестве примера методические условия, способствующие вы­
я в л е н и ю и корректировке знаний о природе математических п о н я т и й . '
Для в к л ю ч е н и я учащихся в деятельность, п р и в о д я щ у ю к возникновению ано­
м а л ь н о й ситуации, и м может б ы т ь предложена задача: « Р е ш и т ь уравнение
Й
2
х*'~"* > х » . П о п ы т к и выполнения данного задания приводят учащихся к осоз­
н а н и ю существования неразрешимого противоречия, вызванного
наличием
веских аргументов как в пользу существования отрицательных р е ш е н и й этого
неравенства (при х = -\ данное неравенство обращается в в е р н о е ' ч и с л о в о е не­
равенство), так и в пользу их отсутствия (для х < 0 понятие степени с действи­
т е л ь н ы м показателем не определено в школьном курсе математики).
В к л ю ч е н и е учащихся в рефлексивную деятельность приводит к фиксации ис­
т о ч н и к а - п р о т и в о р е ч и я (отсутствие нормы в ы б о р а теоретической основы для
оценки области допустимых значений показательно-степенного
выражения).
Обоснование возможности перехода от решения данной задачи на основе
обобщенного понятия степень с действительным показателем, к ее решению на
основе более частных понятий (степень числа с натуральным, целым, рацио­
нальным показателем) при
х < О, требует переосмысление роли ограничений,
•
. • ••.
def
накладываемых условным определением: х е Л ->Т(х) «• Р(х) н а множество А объектов, для которых вводится новое понятие.
Использование подобных определений при изучении математики в школе
приводит к формированию у у ч а щ и х с я стойких представлений о з а п р е щ а ю щ е й
функции подобных ограничений - если условие не выполнено ( х г А), то при­
своение термина данному объекту недопустимо.
пись х", где meZ,neN
Н а п р и м е р , если х < 0 , то за-
бессмысленна. Н а самом ж е деле эти ограничения ука­
зывают л и ш ь на то факт, что в п о д о б н у ю запись не м о ж е т быть в л о ж е н смысл,
указанный
в определении
понятия
степени
с рациональным
показателем
( х » * ^ ) .
о
Обсуждение с учащимися этого вопроса является п о л е з н ы м не только для
разрешения исходного противоречия, но и для подготовки их к д а л ь н е й ш е м у
развитию этих понятий, введенных через условные определения на основе рас­
ширения их смыслового поля.
3.2. Содержание методологической подготовки учащихся
старших классов к изучению математики в вузе
Инвариантная (общая для всех) составляющая индивидуального парадиг­
мального кризиса у студентов-первокурсников связана п е р е х о д о м от метаэмпирической ф о р м ы познания с элементами дедукции к квазиэмпирической. Таким
образом, с н и ж е н и ю остроты этого кризиса будет способствовать установление
преемственных связей между содержанием тех норм учебно-познавательной
математической деятельности, которые функционируют в ш к о л ь н о м математи­
ческом образовании и получают свое дальнейшее развитие в вузовском. О с н о в ­
ными их разновидностями, по нашему мнению, являются с л е д у ю щ и е :
- н о р м ы , регламентирующие характер связи математического знания с реальной
действительностью и другими науками;
- требования к развитию понятийного аппарата математической науки;
'•м
•
• •
- .
- требования к р а з в е р т ы в а н и ю математической теории;
- нормы, р е г л а м е н т и р у ю щ и е связи математических теорий.
Д о к а ж е м соответствие этих норм учебно-познавательной математической дея­
тельности в ы д в и н у т ы м требованиям..
1. Нормы
связи
стью и другими
математического
'
знания
•
с реальной
'
действительно­
науками
П р е д с т а в л е н и я учащихся о содержании и функциональной значимости норм,
р а с к р ы в а ю щ и х особенности отражения математикой реальной действительно­
сти, при изучении школьного курса математики складываются на о с н о в е : ,
•
реализации модельного подхода к изложению учебного материала (форму­
лировке и обоснованию'утверждений);
•
включения сведений о сущности метода математического моделирования в
содержание обучение (Г.Д. Мордкович [109]);
•
д е м о н с т р а ц и и приложений математической теории к р е ш е н и ю прикладных
и практических проблем;
•
обучения р е ш е н и ю с ю ж е т н ы х и прикладных задач в школе;
• -'использования м е ж п р е д м е т н ы х связей математики с другими дисциплина­
ми, и з у ч а е м ы м и в школе.
В о п р о с о предмете математики не обсуждается в процессе обучения, в отли­
ч и е от вопроса о предмете других наук (химии, физики, биологии и т.п.). О д ­
нако постоянное обращение к числовым зависимостям и метрическим свойст­
вам объектов при изучении математики в ш к о л е формирует представление о
том, что предметом математической науки являются количественные свойства
объектов реальной действительности. Концентрация содержания школьного
курса геометрии вокруг отдельных видов геометрических фигур формирует
представление о том, что предметом математической науки являются также
пространственные формы и свойства взаимного расположения объектов реаль­
ной действительности, а также особенности оперирования с этими свойствами.
Переход
к квазиэмпирической
учащихся
к переносу
альной
акцента
действительности
форме
с изучения
на изучение
познания
требует
подготовленности
свойств математических
отношений
между
моделей
этими
ре­
свойствами
(математических структур). В своей монографии В.А. Тестов показывает, что
под математической структурой с
системной социокультурной точки зрения
следует понимать « . . . совокупность устойчивых связей, обеспечивающих цело­
стность математического объекта (математической системы, "математической
модели). Эта совокупность устойчивых связей задана различными способами
(аксиоматически, конструктивно, описательно, в виде наглядных
образов)»
(162,25).
Концентрация содержания современных математических курсов в вузе (как
математическом, так и нематематическом) вокруг математических структур ос­
новных видов (алгебраических, топологических, порядковых,
проективных,
метрических, комбинаторных и т.п.), по м н е н и ю Л.Д. Кудрявцева, объясняется
тем, что математические структуры являются удобным аппаратом для изучения
математических моделей различной природы. «Современные темпы развития
науки и техники - пишет он, - таковы, что в силу быстрого изменения конкрет­
ных условий работы делается невыгодным готовить узких специалистов. Сей­
час все больше растет потребность в специалистах, которые могут быстро ори­
ентироваться при изменении ситуации, способных правильно оценивать проис­
ходящие изменения, приводящие иной раз к качественно совершенно н о в ы м
явлениям» (167, 73).
С примерами описанных выше изменений в предмете учебно-познавательной
математической деятельности студенты сталкиваются у ж е на первых этапах
изучения математики в вузе:
Ч
<•
• в курсе математического анализа функций одного действительного пере•<-;'•'.'
it
'.
'•
менного от изучения элементарных функций (их свойств и особенностей
графиков) переходят к изучению отношения между характером непре-
р ы в н о г о изменения значений зависимой и свободной переменных, свя­
з а н н ы х функциональной зависимостью;
•
в курсе линейной алгебры от изучения способов решения систем линей­
н ы х уравнений переходят к изучению отношений, заданных на множест­
ве матриц коэффициентов, определяющих эти системы;-
-
•
в курсе аналитической геометрии рассматривают не свойства конкретных
.
геометрических фигур, а зависимость этих свойств от характера преобра-
I- . з о в а н и я плоскости.
'
,
П е р е н о с акцентов с изучения математических моделей реальной действи­
тельности на математические структуры приводит к необходимости
мысления
и последующего
для достижения
варьирования
критериев
отбора условий,
той или иной цели учебно-познавательной
деятельности.
переос­
значимых
математической
• •-
t
x
Так, например, для решения задачи: «Доказать, что функция у =
J
гогра1+ х
ничена на всей числовой оси» существенным является вид ф о р м у л ы , задающей
функцию, а для решения задачи: «Пусть положительная функция f возрастает
на [0;+°о) и lira
= 1 „ Д о к а ж и т е , что для любого с>0
Дх)
сх
lim ^ ^
= 1» в и д форДх)
м у л ы , з а д а ю щ е й ф у н к ц и ю / , является уже несущественным, в а ж н ы м и являют­
ся л и ш ь ее свойства.
Д а н н ы й переход приводит т а к ж е к невозможности апеллирования к свойст­
вам прообразов математических объектов в учебно-познавательной математи­
ческой деятельности, так как математические структуры в отличие от матема­
тических моделей обладают полной онтологической свободой.
Так, в курсе аналитической геометрии задачи на вычисление расстояний ме­
жду фигурами ставятся не только для случаев двумерного и т р е х м е р н о г о евкл и д о в о г о пространства, но и
n-мерного. П р и этом, например, при решении
о б о б щ е н н о й задачи: «В прямоугольной декартовой системе координат задана
гиперплоскость
2
уравнением: а +а х+а х +...+а„х"
0
}
2
=0 и точка Mo (xj;x \..x ").
0
0
В ы ч и с л и т ь расстояние d от т о ч к и М о ' д о #„_,» исключается в о з м о ж н о с т ь ис-
пользования наглядного образа взаимного расположения этой точки и плоскости д а ж е при условии придания'конкретного значения заданным параметрам.
Невозможность.использования в качестве опоры деятельности образа матема­
тического объекта, с одной стороны, требует способности
деятельности
на основе
осознанного
другой открывает возможности для
чими»
образами
математических
использования
свободного
объектов
к
формальных
выбора
осуществлению
правил,
и обращения
с
а с
«рабо­
(свободной фиксации элементов
образа, изменения вида его элементов, дополнения образа результатами потенциально осуществимых операций и т.п.).
. .
Н а п р и м е р , при доказательстве теоремы: «Если р а н г г м а т р и ц ы из коэффици­
ентов системы линейных однородных уравнений меньше числа неизвестных п,
то всякая фундаментальная система р е ш е н и й этой системы состоит из n-г ре­
шений» А.Г. К у р о ш качестве рабочего образа системы использует следующий:
а х,+а х
п
п
+ ... +
2
а х„=0
]п
а, х, + а х + . . . + а „ х „ = 0
2
22
2
a +a x +....
sA
s2
2
+ a „x =0
2
s
n
Условность этого образа позволяет ему произвольно выбрать из набора пере­
менных, входящих в его состав: (х,;х ...х )
2
л
n-г свободных переменных. Он пи­
шет: « . . . пусть свободными будут неизвестные х„,;х„ ...х„» (84, 85). Затем он
2
доказывает возможность дополнения этого образа образом фундаментальной
системы решений: «Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель
d порядка n-г, который з а п и ш е м в следующем виде:
С
].г+1 1,г+2 ••' \ff
С
C
а =
Беря элементы i-ой строки этого определителя, 1 < / < « - г , в качестве значений
свободных неизвестных, м ы , как известно, получим однозначно определенные
значения для неизвестных х,,х ...х,, то есть придем к вполне определенному
2
р е ш е н и ю системы у р а в н е н и й (1)» (84, 85). Для дальнейшего доказательства
д а н н о й теоремы автор пособия решает заменить исходный образ системы фун­
д а м е н т а л ь н ы х решений образом системы векторов: « . . . запишем это решение в
виде вектора a, = (c ,c ,...,c ,c ,c ,...,c„).
n
а а ...а„.
1!
2
г
l2
lr
lrtl
IJtl
Полученная нами система векторов
служит для системы уравнений (1) фундаментальной системой реше­
ний» (84, 85). Далее доказывается потенциальная возможность линейного выр а ж е н и я через эту систему векторов произвольного решения системы (1).
2. Требования
к развитию
понятийного
аппарата
математической
науки
С о д е р ж а н и е субъектного опыта учащихся о специфике математической дея­
тельности, направленнбй на расширение языка математической науки,'при изу­
чении математики в школе формируется под воздействием:
'
• •
образцов методической деятельности по введению нового математиче­
ского понятия "(обоснования необходимости введения, выбор термина,
способа раскрытия его содержания и т.п.)
•
включения в содержание курса математики сведений об особенностях
математического языка (А. Г. Мордкович [109]);
•
постановки заданий на формулировку или проверку корректности опре­
делений математического. понятия (основу их выполнения составляет
критерий соответствия описания интуитивному образу понятия).
П р и изложении школьного курса математики обычно используется два ос­
н о в н ы х способа обоснования необходимости введения нового математического
понятия: распространенность объектов, процессов и явлений реального мира,
которые описываются данной математической моделью, и необходимостью ее
дополнительного изучения; отсутствием способа языкового обозначения ре­
зультата математической деятельности с у ж е имеющимися математическими
понятиями (при наличии доказательства существования такого результата).
П е р в ы й способ используется, например, для обоснования
необходимости
' введения понятия системы уравнений. «Многие реальные ситуации при пере­
в о д е н а математический язык - пишет А.Г. М о р д к о в и ч , - оформляются в виде
математической модели, состоящей „из двух линейных уравнений с двумя
переменными. С такой ситуацией мы встретились в § 28 в задаче про двух са­
довников Иванова и Петрова: математическая модель состояла из двух уравне­
ний: 5х-2у
=0
и Зх + 2 у - 1 6 = 0, причем нас интересовала такая пара значений
(х;у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и другому у р а в н е н и ю . В та­
ких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит из двух
уравнений, а говорят,-.что математическая модель' представляет собой систему
уравнений» (109, 146). Примером, иллюстрирующим второй способ обоснова­
ния необходимости введения понятия, является понятие умножения вектора на
число в [169]. А.В. Гусев пишет: «После определения операции сложения век­
торов естественно м о ж е т возникнуть потребность в сложении двух, трёх или
более одинаковых векторов: а+а; а + а + а ; а + а+а + а и т.д. Такие суммы, как и
в алгебре, удобно записывать 2а; За; 4а и т.д. Эта процедура подсказывает опре­
деление операции умножения вектора на число» (169,42).
Использование таких обоснований в комплексе с конкретно-индуктивной
схемой введения математических понятий порождает представление о том, что
эти понятия являются л и ш ь
описаниями реально с у щ е с т в у ю щ и х объектов,
процессов, явлений, в которых фиксируются значимые с точки зрения предмета
математики
их свойства в терминах обыденного и математического (в терми­
нах ранее введенных математических понятий) языка.
С точки зрения этих представлений процесс образования математических по­
нятий по своему содержанию не отличается от процесса образования понятий
естественных наук и укладывается в основном в схему, о п и с а н н у ю Д ж . Л о к к о м
в книге « О п ы т ы о человеческом разуме». «Предметы реальной действительно­
сти отображаются через ощущения в образы восприятия. П о с л е д н и е обобща­
ются и превращаются в образы представления. Затем, процесс сравнения при­
водит к выделению группы сходных представлений. После этого м ы с л е н н о ис­
ключается все несущественное и случайное и удерживается одно только общее,
существенное, что приводит к отождествлению сходных представлений, в ре­
зультате чего возникает понятие» (99, 117). Специфичным для математических
п о н я т и й этого вида (метаэмпирических понятий) является замещение, в'неко­
торых случаях, абстракции-отождествления абстракцией-идеализацией.
Реализация данной схемы в "учебном процессе обуславливает наличие
держании
математических
— фиксируемые
свойства
и развиваемые
прототипов
них свойств
первого
понятий
свойств
двух видов: внутренние
в математической
математических
понятий,
теории и внешние
обуславливающие
в со­
свойства
свойства —
наличие
у
типа. Например, содержание понятия "«точка» складывает­
ся из свойств, ф и к с и р у е м ы х системой аксиом, и из свойств, являющихся свой­
ствами ее наглядного образа: «отсутствие размеров». Переход от изучения
ш к о л ь н о й математики в вузовской требует освобождения
матических
понятий
от подобных
дополнений,
содержания
мате­
что обусловлено изменением
характера взаимосвязи математического познания с реальной действительно­
стью.
Так, например, введенное в школьном курсе геометрии понятие вектора по­
лучает дальнейшее развитие в курсах геометрии, математического анализа и
в ы с ш е й алгебры. Основу^ содержания этого понятия в школе составляют свой­
ства его наглядного образа (направленный отрезок). Развитие этого понятия в
вузе исключает эти свойства из числа существенных свойств понятия в связи с
его о б о б щ е н и е м . «Упорядоченная система п чисел, - пишет А.Г. К у р о ш , а - (а,;а ...;а„) называется n-мерным вектором. ... В качестве примеров векторов
2
у к а ж е м с л е д у ю щ и е : 1) В е к т о р ы - отрезки, выходящие из начала координат на
плоскости или в трехмерном пространстве, будут при фиксированной системе
координат соответственно двух - и трехмерными векторами в смысле данного
определения. 2) Коэффициенты всякого линейного уравнения с п неизвестными
составляют «-мерный вектор. 3) Всякое решение любой системы линейных
у р а в н е н и й с п неизвестными будет п мерным вектором. 4) Если дана матрица из
5 строк и п столбцов, т о ее с т р о к и б у д у т n-мерными векторами, столбцы s м е р н ы м и векторами. 5) Сама матрица из * строк и п столбцов м о ж е т рассматриваться как sn - м е р н ы й в е к т о р . . . » (84, 61).
Изучение математики в вузе требует также готовности
ятию
понятий,
понятий.
имеющих
природу,
отличную
а
_
студентов
от природы
к воспри­
метаэмпирических
v
В дополнение к метаэмпирическим понятиям,.представляющим собой мате­
матические модели реальной действительности, Кузнецова И.С. выделяет поня­
тия, полученные иным способом:
•
метаконструкты - понятия, полученные в результате конструирования из
метаэмпирических понятий; ~
•
метаидеалы - обобщения результатов идеализации - предельно общие
представления;
•
метамодели - понятия, полученные в результате операции замещения
- элементов в метаэмпирическом понятии [81].
Д а н н ы е понятия характеризуются, во-первых, иными мотивами их введения в
науку. В качестве таких мотивов может выступать необходимость реализации
внутренних принципов математического познания (принцип всеведения, свер­
тывания, подстановки, симметрии, абстракции, выбора, простоты и однознач­
ной определенности, преемственности [99] и т.п.); во-вторых, иной схемой соз­
дания [81] и, в-третьих, иными условиями существования [99] (в отличие от ме­
таэмпирических понятий, понятия квазиэмпирической
и метаумозрительной
теории н е существуют вне ее рамок).
Например, решение задачи обобщения основных положений алгебры много­
членов над полем комплексных чисел на случай произвольного поля, приводит
к необходимости уточнения понятия многочлена. Необходимость уточнения
связана с тем, что две существующие точки зрения (формально-алгебраическая
и теоретико-функциональная) на понятие многочлена, равносильные для случая
числовых полей, оказываются неравносильными при переносе их на случай
произвольного поля, что противоречит принципу однозначной определенности
математического понятия.
Так, например, в поле Z
7
- классов целых чисел,
сравнимых по модулю 2 (поле состоит из двух элементов: 0 - класс чисел с ос-
татком 0 и / - класс чисел с остатком / при делении на 2; в нем установлены
правила
сложения:
0+0=0; 0+1=1+0=1;
1+1=0 и умножения:
0x0=0;
2
0x1=1x0=0; 1x1=1) многочлены, дг + 1 и х +1 являются различными с формаль­
но-алгебраической точки зрения (не равны их коэффициенты при соответст­
венных степенях п е р е м е н н ы х ) , н о с теоретико-функциональной точки зрения
они равны, так как задают одну и т у же функцию (при соответственных значе­
ниях п е р е м е н н о й х п р и н и м а ю т одинаковые значения). Обнаружение необходи­
мости отказа о т использования теоретико-функциональной трактовки понятия
м н о г о ч л е н а приводит к необходимости выяснения ее функций в теории много­
ч л е н о в (так как реализация принципа преемственности математических теорий
в процессе их обобщения требует полной редукции более общей теории к менее
о б щ е й ) . А н а л и з определений производных понятий и доказательств утвержде­
ний теории многочленов над полем комплексных чисел показывает, что данная
трактовка не только определяет вид аналитической формулы, з а д а ю щ е й много­
член, н о и используется при обосновании
алгебры.
Таким
образом,
уточнение
справедливости основной теоремы
формально-алгебраической
трактовки
должно быть направлено на получение описания ф о р м ы выражения многочлена
через систему его коэффициентов" и. переменную, причем так, чтобы получен­
ная ф о р м а сохраняла ранее установленные правила сложения и умножения
многочленов, что является гарантией сохранения в новой теории основных ут­
верждений старой.
П е р е х о д от использования метаэмпирических понятий к понятиям другой
п р и р о д ы вызывает необходимость
делениям.
изменения
отношения
студентов
к их опре-.
В связи с тем, что понятия школьного курса математики предстают
перед учащимися к а к математические описания реальной действительности,
возникает убеждение в том, что изменение способа описания н е влияет н а со­
д е р ж а н и е математического понятия. Это убеждение подкрепляется и образцами
методической деятельности учителя, связанными с введением математических
понятий через описание, а также с многократным изменением этого описания в
процессе обучения.
Суть этого убеждения Л.Д.. Кудрявцев объясняет следующим образом: «В
тех вопросах, где математический язык применяется лишь для описания явле­
ния (как, например, термин график при графическом изображении работы
сердца на кардиограмме), о математических понятиях можно говорить любую
чепуху л и б о ничего не>говорить - это не имеет никакого значения и не может
влиять на дальнейшее. ... В тех ж е случаях, когда употребленное абстрактное
понятие приходится использовать по существу, наглядное представление о нем
может л и ш ь предварить его четкое определение, но не заменить его» (80, 103104). Наиболее опасна, утверждает Л.Д. Кудрявцев, подмена определений ин­
туитивными представлениями о математическом понятии в случаях использо­
вания математического аппарата в качестве метода исследования. Это объясня­
ется тем, что математическое понятие (как было показано Г . Фреге) - это лишь~)
предикативная форма, областью истинности которой являются все те и т о л ь к о те объекты, которые обращают ее в истинное высказывание. Эта о б л а с т ь ' и с ­
тинности и составляет объем понятия. Определение же математического поня­
тия выполняет функцию информационного базиса, логическое развертывание
которого позволяет получить содержание понятия в целом. С
формально­
логической точки зрения выбор этого базиса из содержания понятия является
произвольным, однако, с точки зрения генезиса понятия и дальнейшего развер­
тывания его содержания это не совсем так. В некоторых случаях оказывается,
что генетически исходное определение в дальнейшем не вполне у д о б н о для ло­
гического развертывания теории (например, определение понятия действитель­
ного числа как числа, представимого в виде десятичной дроби привязывает
теорию к десятичной форме записи чисел, другие способы определения этого
понятия не согласуются с генезисом этого понятия в представленном в школь- ном курсе математики [81]). П р и разработке содержания ш к о л ь н о г о курса ма­
тематики проблема выбора определения математического понятия обычно ре­
шается автором учебного пособия в пользу генетически исходного (в субъек­
тивном смысле). П р и построении вузовских математических курсов иногда
прибегают к введению сразу нескольких определений. Такое методическое р е ­
шение проблемы требует готовности
студентов,
221
как к обоснованию
эквива-
лентности
определений,
ходе оперирования
так и к варьированию
понятием.
. ;
-
-
смыслового
значения
термина
в
_ . ,
В ш к о л ь н о м курсе математики;достаточно много понятий, вводимых через
определение, однако спецификой метаэмпирической формы познания обуслов­
лена известная однородность их логической структуры (определения большин­
ства понятий школьного курса математики представляют собой реальные о п р е - .
деления). В.вузовских курсах с квазиэмпирической формой познания наиболее
р а с п р о с т р а н е н н ы м и логическими формами определений являются аксиомати­
ческая и номинальная. Наиболее острой является проблема изменения
ской формы
математики.
определений
понятий,
известных
студентом
из школьного
логиче­
курса
Необходимость такого переопределения обусловлена тем, что ак­
сиоматическая форма определений позволяет отделить свойства понятий от
свойств их образов, а номинальная форма - осуществить свертывание термино­
логического обозначения понятий и интеграцию понятийного аппарата науки.'
Использование аксиоматических-и номинальных определений п р и в о д и т - к
появлению в содержании вузовских математических курсов . у т в е р ж д е н и й о
существовании объектов, принадлежащих понятию. Утверждения п о д о б н о г о .
р о д а , х о т ь и встречались в школьном курсе математики (например, теорема осуществований и единственности окружности,..вписанной в треугольник),.но
в ы п о л н я л и там несколько и н у ю функцию - обоснования осмысленности после­
д у ю щ е г о введения о б о б щ е н н ы х утверждений и алгоритмов относительно этих
понятий.-Образовательная значимость подобных теорем для подготовки спе­
циалистов в области приложения математики обосновывается Л.Д. Кудрявце­
в ы м следующим образом: «Доказательство теорем существования служит, свое-1
образной проверкой,- математическим экспериментом, д а ю щ и м
оправдание
и з у ч е н и ю рассматриваемой модели для данного явления. Если удается доказать
теорему существования, единственность р е ш е н и я и корректность самой поста-,
новки задачи, то как правило, создается объективная уверенность в том, что ис­
следования проводятся в правильном направлении. Значение этого трудно пе­
реоценить: успех
в работе в первую очередь определяется правильным пони-
1
манием задачи и правильной ее постановкой, правильным направлением даль­
нейшего поиска» (80, 124)>
>
--у''> - '
"
Таким образом, изучение математики в вузе требует пересмотра
ся представлений
матической
о роли теорем
о существовании
теории.
Затребования
и единственности
сложивших­
в мате­
"~
к развертыванию
математической
теории
Формирование первичных представлений о системологии
математической
науки-является одной из ведущих целей систематических курсов математики
[165]. Достижение этой,цели обеспечивается:
-
<
•
локально-дедуктивной структурой систематических курсов;
•
выделением совокупности первичных геометрических понятий и их ос-"
новных свойств;
•
-.
•
'~~
использование специальных названий для изучаемых утверждений (опре­
деление, теорема, признак, свойство, критерий, следствие, аксиома);
•
демонстрацией образцов доказательных рассуждений и постановкой за­
д а ч на доказательство;
•
включением в перечень требований к описанию решения задач требова­
ния полной аргументации решения;
•
включением в содержание обучения информации о сущности аксиомати­
ческого метода и его роли в математике, о структуре гносеологического
цикла в математике (А.Г. Мордкович, Т.А. Иванова);
•
включение в содержание учебных курсов элементов логики;
•
использование в практике обучения мнемонических п р и е м о в , оснсшанн ы х на использовании логических связей.
Математическая теория представляет собой множество и с т и н н ы х положений,
описывающих какую-либо систему или даже класс однотипных систем объек­
тов (предметов и отношений между ними). Эти объекты выражаются в теории
соответствующими понятиями. Предложения теории выражают свойства этих
понятий или отношения между ними. На множестве понятий и на множестве
предложений математической теории задан определенный порядок (отношени-
ем предшествования на множестве понятий теории и отношением логического
следования на множестве утверждений теории). В.И. Нечаев описывает схему
построения неформальных математических теорий (которые характерны для
квазиэмпирической .формы познания) следующим образом: « П р и построении
аксиоматической теории о б ы ч н о исходят из некоторой достаточно развитой
интуитивной теории и предполагают известной интуитивную-систему класси­
ческой л о г и к и . . . П е р в ы м шагом в построении аксиоматической теории являет­
ся составление перечня основных объектов данной теории и выбор символов
для их о б о з н а ч е н и я . . . В т о р ы м шагом в построении аксиоматической теории
является составление; перечня основных свойств отобранных объектов. Эти
свойства называются аксиомами... После этого, следуя принципам принятой
с и с т е м ы логики, выводят из аксиом теоремы и определяют на основе первич­
н ы х т е р м и н о в другие используемые в теории термины» (113, 44). Являясь от­
р а ж е н и е м математической теории, школьный^курс математики
ни по своему
содержанию, ни по структуре не м о ж е т сам рассматриваться в качестве математической теории. Это объясняется тем, что
для школьного курса математики
характерным является одновременное развитие нескольких
содержательно-
м е т о д и ч е с к и х линий, входящих в состав одного учебного предмета. Например,
курс алгебры основной ш к о л ы состоит из 4 основных линий: числовая, функ­
циональная, уравнений и неравенств, выражения и их преобразования. Связи
содержательных элементов школьного курса математики весьма разнообразны
(наряду с логическими связями б о л ь ш у ю роль играют функциональные, гене­
тические связи и другие типы связей). В отличие от школьного курса математи­
ки отдельные разделы базовых вузовских курсов имеют вид содержательных
д е д у к т и в н ы х теорий с четко выделенным предметом изучения и структурой,
удовлетворяющей требованиям аксиоматико-дедуктивного метода.
изучению математики в вузе требует сформированности
структуре
аксиоматико-дедуктивного
необходимость
требованиями
развертывания
этого метода.
метода
математической
;
и причинах,
теории
Переход к
представлений
о
обуславливающих
в соответствии
с
Необходимость ^оперирования этими представлениями возникает у студен­
тов при переходе к изучению таких разделов высшей математики, как
теория
действительных чисел, общая теория систем линейных уравнений, теория оп­
ределителей (при аксиоматическом ее построении), теория групп и т.п.
Для методики преподавания математики в школе является характерным со­
четание дедуктивного метода обучения с индукцией, аналогией, эмпирически­
ми методами познания. П р и этом дедуктивный метод оказывается не единст­
венным критерием истинности математических утверждений. Так, например,
к
для обоснования справедливости свойства а" • а* = а"* в ш к о л ь н ы х учебниках
алгебры принято использовать неполную индукцию, так как изучение метода
полной математической индукции не входит в программу обучения в общеоб­
разовательной школе. В качестве метода обоснования справедливости утвер­
ждения о том, что графиком линейной функции является прямая, в школьном
курсе алгебры используется конструктивный эксперимент. Справедливость ут­
верждений о равносильности алгебраических неравенств устанавливается на
основании аналогии их с утверждением о свойствах числовых неравенств. Ог­
раниченное использование дедуктивного
как средства,
позволяющего
чаях, когда обращение
возможной
метода приводит
устанавливать
к практике
или затруднительной.
истинность
к истолкованию
положений
по тем или иным причинам
положений
теории
не­
Изучение математики в вузе требует изме­
и правдоподобных
изучаемой
в тех слу­
оказывается
нения этих представлений в сторону полного отказа от использования
ческих методов
его
рассуждений
и правильности
при обосновании
решения
задач.
эмпири­
истинности
Индуктивный
метод используется в вузе л и ш ь как средство получения гипотез и определения
последовательности изучения математических теорий. « И н д у к т и в н ы е м е т о д ы
изложения материала, при котором происходит последовательное обобщение
понятий - пишет Л.Д. Кудрявцев, - представляются более благоприятствующи­
ми активному усвоению материала студентами» (80, 130).
И з л о ж е н и е математики в вузе характеризуется также частичной, выявленностью логических оснований дедуктивных рассуждений, что обусловлено повыш е н и е м сложности логической структуры математических утверждений, необ­
х о д и м о с т ь ю преобразования этой структуры в ходе доказательства их справед­
ливости и использования специальных методов доказательных рассуждений
(метода полной математической индукции, метода доказательства противоре­
чием,'доказательства с п о м о щ ь ю закона контрапозиции и т.п.).
И с п о л ь з о в а н и е логических символов и законов логики облегчает понимание
с м ы с л а рассматриваемого утверждения и способа его доказательства.
Н а п р и м е р , достаточнбе условие существования критической т о ч к и функции
на з а д а н н о м промежутке (теорема Ролля), читается следующим образом: «Вся­
кая ф у н к ц и я , непрерывная на отрезке, дифференцируемая в к а ж д о й его внут­
р е н н е й точке и принимающая на концах отрезка р а в н ы е Значения, имеет крити­
ческую
точку
на
этом
отрезке».
С
помощью
логической
и
теоретико-
множественной символики она ж е может быть представлена в следующем виде:
Vy = Ах),[а;Ь](Ухе(а;Ь)3/Хх)лДа)^/(Ь)->Эсе(а-,Ь):/'(с)-0).
Символьная . за­
пись этой теоремы позволяет; понять смысл названия теоремы, выделить ее ус­
ловие и з а к л ю ч е н и е и произвести их логический анализ. Эти действия необхо­
д и м ы для доказательства теоремы (использовать части элементарных условий в
качестве самостоятельных посылок в дедуктивных умозаключениях) и для под­
готовки ее к п р и м е н е н и ю (заключение теоремы дает указания на цель исполь­
зования данной теоремы, а система элементарных условий - на область ее дей­
ствия). Однако ознакомление студентов с логическими основами математики не
является специальной задачей ни одного базового вузовского курса. Вузовские
преподаватели наиболее часто р е ш а ю т эту проблему л и б о за счет краткого из­
л о ж е н и я элементов логики на вводной лекции, либо ограничиваются введением
и разъяснением смыслового значения соответствующей символики п о ходу из­
л о ж е н и я основного материала. В некоторых случаях студенты оказываются
в ы н у ж д е н н ы м и самостоятельно заполнять этот пробел в своих знаниях. Таким
образом, переход
к изучению
математики
в вузе требует
выявления
тех
логи-
ческих представлений,
которые
гического
математических
обозначения
ских доказательств.
лежат в основе конструирования,
предложений
и методов
терминоло­
математиче­
Речь должна идти именно о выявлении и развитии этих
представлений, а не об их формировании именно потому, что на этом уровне
логические знания и теоретико-множественные представления представляют
собой знание методологического-характера, Опредмечивание этого знания в
математической теории (теории множеств,.математической логике) будет осу­
ществляться позже. Передача учащимся (студентам) этих знаний в опредмеченной форме, как показывает практика обучения и.исследования в области
психологии (смотри параграфы 2.1 и 2.2), приведет к невозможности рассмот­
рения этих знаний как субъективно-значимых средств учебно-познавательной
деятельности. Учет, а не игнорирование содержания субъективного опыта уча­
щихся, является, по данным психологии, необходимым условием .повышения
эффективности учебного процесса. «Образование - п и ш е т И.С. Якиманская, (в отличие от прямого научения) предполагает порой т р у д н у ю работу по «со­
гласованию» заданного и личностного значимого. Н о для этого необходимо
поддерживать и культивировать в ученике работу с его личностными смысла­
ми» (185, 80).
4. Нормы
тической
установления
связей между
различными
разделами
матема­
науки
Представления о специфике связей между различными разделами математи­
ческой науки складываются у учащихся за счет:
•
_
реализации принципа эклектичности при конструировании содержания
математических курсов (включение в ш к о л ь н ы й курс м а т е м а т и к и таких
разделов как элементы векторной алгебры, элементы теории геометриче­
ских преобразований, аналитической геометрии и т.п.);
•
включения учащихся в деятельность, направленную на систематизацию
и обобщение изученного;
•
использования методических средств усиления внутрипредметных свя­
зей при обучении математике (В.А. Далингер [171]);
•
демонстрации образцов использования метода переформулировки (внут­
р и математического моделирования, интерпретации) при доказательстве
теорем и решении задач и Обучения его применению;
•
в к л ю ч е н и я в содержание школьного курса математики элементов теории
множеств.
К о н ц е н т р а ц и я содержания вузовских курсов вокруг математических структур
требует готовности
студентов
понятий
в школе)
(изучаемых
множественных
представлений!
к переосмыслению
с целью
интеграции
многих
математических
их на основе
Это объясняется тем, что
теоретико-
математические
структуры с внутриматёматической точки зрения представляют собой множе­
ства с установленным на них набором отношений, которые исследуются с точ­
н о с т ь ю д о изоморфизма.
—
-
С т е р м и н о м «множество» ^ п р и м е р а м и множеств математических объектов
у ч а щ и е с я встречаются еще в школьном курсе математики. Так, например, в со­
д е р ж а н и е обучения математике традиционно входят знания о числовых множе­
ствах (натуральных чисел, целых,"рациональных, действительных); знания о
числовых промежутках (числовой отрезок, интервал, луч, прямая); знания о то­
чечных множествах (геометрические фигуры, геометрические места точек). Н а
этом материале формируются представления и о содержании термина «отно­
шения н а множестве»: отношения равенства и подобия фигур, параллельности,
перпендикулярности прямых, отношения больше, меньше и равно на числовых
множествах и т.п. Таким образом, задача
щихся о понятии
абстрактного
жет рассматриваться
множества
как задача обобщения
формирования
представлений
и отношения,на
этих
множестве
уча­
мо­
знаний.
Необходимость отрыва теоретико-множественных представлений учащихся
от их содержательной основы обуславливается р я д о м причин, во-первых, тем,
что п р и р о д а элементов множества в вузовских курсах математики не является
значимой с точки зрения их содержания. Так, оперирование понятием группы в
алгебре и геометрии преобразований требует отказа от ассоциирования этого
понятия с множеством чисел,-на котором задана операция у м н о ж е н и е (обычная
для школы), так как студенты встретятся с примерами групп не только отлич­
ных от данной по своей природе,' но и обладающих другими свойствами. На­
пример, множество подстановок п - о й степени по у м н о ж е н и ю составляет ко­
нечную группу порядка п!, кроме того, эта группа не коммутативна уже при
и > 3 . Во-вторых, тем, что содержательная; связь
теоретико-множественных
представлений затруднит осмысление студентами содержания как абстрактных
понятий (метаидеалов) и предельно обобщенных рассуждений, так и содержа­
ние утверждений, относящихся к частным разделам математики. Я з ы к теории
множеств вместе с языком логики используется в-вузовских математических
курсах в качестве метаязыка, то есть языка,' в терминах которого фиксируются
методологические нормы учебно-познавательной математической деятельности
(в школьном курсе математики эту ф у н к ц и ю выполняет л и ш ь естественный
язык).
-
• • ( • ' • > ' .
Например, для понимания необходимости доказательства следствия из опре­
деления предела последовательности: «Последовательность не м о ж е т иметь два
различных предела» необходимо оперирование представлениями о множестве
(последовательностей, и м е ю щ и х предел) и разбиении множества на классы
(отношением эквивалентности - «иметь одно и тоже количество пределов»).
Использование этих представлений позволит рассматривать цель «доказать
справедливость следствия» как цель «определить количество
классов разбие­
ния, задаваемых отношением эквивалентности». Такое рассмотрение цели при­
ведет к идее доказательства этого следствия, основанной на д о п у щ е н и и суще­
ствования хотя бы еще одного класса, состоящего из последовательностей с
двумя различными пределами.
Огромное значение для изучения математики в вузе и м е ю т представления о
существовании различных видов связей между отдельными р а з д е л а м и матема­
тической науки. Основу этих представлений составляют понятия и з о м о р ф и з м а
и гомоморфизма.
Интуитивные представления о существовании изоморфных связей математи­
ческих теорий формируются при изучении школьного курса м а т е м а т и к и за счет
использования альтернативных трактовок математических п о н я т и й , использо229
вания в х о д е решения задач и доказательства теорем отдельных разновидностей
метода переформулировки (в ф о р м е перевода условия задачи с языка
математической теории на д р у г у ю ) . Например,
одной
в учебнике А . В . Погорелова
изучение темы «Движение» заканчивается обсуждением вопроса о возможно­
сти использования различных определений равенства треугольников: « . . . ра­
венство треугольников, определяемое через совмещение движением, и равенст­
во, как м ы его понимали д о сих пор, выражают одно и то же (как равенство
личин всех соответственных
элементов
треугольников)»
ве­
(122, 50). В.А. Гусев
в разделе «Применение векторов к решению задач» пишет: «Применение век­
т о р о в основано на том, что различные случаи взаимного расположения точек,
п р я м ы х и плоскостей в пространстве могут быть сформулированы на «вектор­
н о м я з ы к е » . . . . Это позволяет свести геометрическую задачу к векторному ра­
венству. Векторное равенство, в свою очередь, может быть сведено к алгебраи­
ческому равенству или к системе алгебраических равенств». (41, 49). Особен­
ностью представления учащихся является локальность и з о м о р ф н ы х связей и
невыявленность их оснований; Этих представлений недостаточно для изучения
математики в вузе; так как для восприятия интегрированных математических
курсов необходимо
рий/а
оперирование
не их отдельных
представлениями
положений.
об изоморфизме
целых
тео­
Так, изучение курса линейной математики,
разработанного П.М. Э р д н и е в ы м и Б.П. Эрдниевым, требует от учащихся уме­
ния осуществлять «...перевод м ы с л и , выраженной в алгебраических терминах,
на язык геометрических понятий ...» (183, 280). Рассмотрим в качестве примера
п р о ц е с с выяснения причин сохранения значения определителя матрицы при
прибавлении к любой ее строке линейной комбинации других строк, описан­
н ы й в [183].
Пусть д а н а матрица \
х
* ' ] . С геометрической точки зрения она
представ-
ляет собой систему двух векторов, расположенных в некоторой координатной
плоскости СЦ(а,;6,) и
ОА (а ;Ь ).
г
г
г
В общем случае они задают треугольник АА,ОА .
2
Определитель
, таким
образом, представляет собой площадь этого треугольника. Н а й д е м сумму вто­
рой строки этой матрицы и первой строки, умноженной на ч и с л о X. Новая мат(
рица ^
ОА,(а,\Ь,)
а,
Ь,
Ха
Ь
и ОС(а
2
\
з
ЛЬ)
а
д
а
е
т
н
а
к о о
РД
и н а т н о и
плоскости с и с т е м у векторов
+ Ла,;Ь + ЛЬ,). П р и этом вектор ОС = ОА + ХОА,. И з геометри­
2
2
ческих соображений видно, что S
=S
MpA!
(так как у этих треугольников рав­
w x :
ны основания OA,, а в е р ш и н ы А и С равноудалены от прямой OA,). Это и объ­
2
ясняет справедливость равенства
о,
6,
а,
Ь,
а
Ъ
а + Ла,
Ъ + ЛЬ,
2
2
2
2
Н о в ы м для студентов направлением использования и з о м о р ф н ы х связей явля­
ется явное привлечение сведений об их существовании при обосновании необ­
ходимости и возможности построения обобщенной теории на базе нескольких
частных. Например, в курсе высшей алгебры А.Г. К у р о ш а необходимость вве­
дения понятия линейного пространства обосновывается с л е д у ю щ и м образом:
«Определение n-мерного векторного пространства... начиналось с определения
n-мерного вектора как упорядоченной системы п чисел. ... П е р в ы м и примерами
векторных пространств являются совокупности векторов-отрезков... . Однако,
встречаясь с этими примерами в курсе геометрии, м ы не всегда считаем необ­
ходимым задавать векторы их компонентами в некоторой фиксированной сис­
теме координат, так как и сложение векторов и их умножение на скаляр опре•
• >•
-1k.
-
деляются геометрически... Целесообразно и в о б щ е м случае дать «без коорди­
натное» определение векторного пространства, т.е. определение, не требующее
задания векторов упорядоченными системами чисел» (84, 184). Возможность
введения обобщенного понятия и развития на этой основе теории обосновыва­
ется при этом с помощью введения понятия изоморфизма л и н е й н ы х про­
странств (разной природы) и доказательства изоморфизма пространства векто­
ров-отрезков пространству, составленному из и-ок действительных чисел. Д а н ­
ный пример показывает, что в содержание методологической подготовки уча-
щихся к изучению математики в вузе д о л ж н ы быть включены знания об
ях существования
однозначного
няющего
изоморфных
соответствия
отношения,
(обобщение
связей
'между
а также
- возможности
предметными
их новые функции
теорий).
установления
областями
теории,
в математическом
услови­
взаимно­
сохра­
познании
,„
П р и изложении вузовских курсов широко используются и гомоморфные свя­
зи теории. О н и применяются в качестве средства развития содержания матема­
тических к у р с о в (последовательное обобщение теорий в процессе обучения),
и л л ю с т р а ц и и положений теории, а также в качестве метода проверки справед­
ливости о б о б щ е н н ы х теорий и их отдельных положений через справедливость
с о о т в е т с т в у ю щ и х им частных теорий (моделей) и частных положений (интер­
претаций). Например, этим приемом пользуется В.И. Нечаев для доказательст­
ва независимости аксиомы индукции от других аксиом содержательной теории
натуральных чисел. «Чтобы доказать независимость аксиомы индукции от дру­
гих аксиом - пишет он, - достаточно указать такую интерпретацию нашей тео­
р и и из объектов непротиворечивой теории, на которой
выполняются все ак­
сиомы, корме нее» (113, 68). В качестве такой интерпретации он насматривает
м н о ж е с т в о М = j^y^ | о е Л"|. За единицу принимает число
1 =
-у-> сложение и
у м н о ж е н и е определяет с л е д у ю щ и м образом:
а
Ма,р е М(а ©/?<=><* +уЗ;а<8>/?<=> ^ @\.
Н а этой интерпретации выполняются все
а к с и о м ы теории натуральных чисел, кроме аксиомы индукции. Действительно,
если в качестве подмножества М рассмотреть множество натуральных чисел,
т о очевидно, что N * М хотя и обладает свойствами: \ eN , а е N -> а © 1 е N .
В ш к о л ь н о м курсе математики связи этого вида представлены л и ш ь в форме
метода интерпретаций, используемого для решения задач и подтверждения
справедливости теорем. Так, например, А.Г. Мордкович в (109, 66-68) исполь­
зует геометрические интерпретации формул сокращенного у м н о ж е н и я , в качестве средства д а ю щ е г о наглядное подтверждение их справедливости для положйтельных значений переменных. Представления учащихся о сущности и роли
гомоморфных связей математических теорий, формируемые п о д воздействием
этих образцов математической деятельности, являются явно недостаточными
для изучения математики в вузе. Таким образом, в содержание методологиче­
ской подготовки учащихся должны войти знания об условиях установления го­
моморфных связей математических теорий и их отдельных положений (воз­
можность установления отображения предметной области одной теории на
другую, сохраняющего отношения, заданные на них) и направлениях их исполь­
зования.
Проведенный нами анализ сущности проблемы методологической
преемст­
венности школьного и вузовского математического образования показывает,
что методологический кризис в учебном математическом познании вызван, в
первую очередь, переходом от метаэмпирической ф о р м ы познания с элемента­
ми дедукции с квазиэмпирической форме. Следовательно, основными задачами
методологической подготовки учащихся к изучению математики в вузе явля­
ются следующие (таблица 16).
Таблица 16
О с н о в н ы е задачи методологической подготовки у ч а щ и х с я к изучению
математики в вузе (описание методологического знания на частнонаучном
уровне)
~
Направления,
подготовки
1.
ч
.
в
держании
.
Задачи
подготовки
-
Подготовка к
изменению
,
1.1. Формирование знаний о необходимости
перехода
со­ от изучения свойств математических моделей реальной
норм действительности к изучению отношений (связей) м е ­
связей математиче­ ж д у этими свойствами.
ского знания с р е ­
альной
1.2. Выявление и корректировка знаний о нормах связи
действи­ целей учебного познания с моделью значимых условий
тельностью и дру­ ее достижения; с последующим формированием уме­
гими науками.
ний осуществлять самостоятельное конструирование и
варьирования модели значимых условий («рабочего»
образа ситуации) на основе сознательного использова­
ния критериев оценки значимости условий
учебно-
познавательной деятельности. Г.З. Формирование способности к осуществлению ма­
тематической деятельности на основе осознанного ис­
пользования формальных правил
(устанавливаемыми
определениями, аксиомами, теоремами).
.2. П о д г о т о в к а к из­ 2.1. Формирование знаний о необходимости исключе­
менению
требова­ ния из содержания математических понятий свойств их
н и й к р а з в и т и ю по­ реальных прототипов, не фиксируемых в математиче­
нятийного аппарата ской теории.
математической
2.2. Выявление знаний о природе метаэмпирических;
науки.
понятий с целью подготовки учащихся к появлению
математических понятий, и м е ю щ и х д р у г у ю природу, с
последующей демонстрацией примеров таких понятий.
2.3. Формирование знаний о роли определений в мате­
матической теории, необходимости предъявления оп­
- •
ределенных требований к определениям.
2.4. Формирование знаний о необходимости обоснова­
ния эквивалентности
различных определений одного
математического понятия и возможности варьирования
смыслового значения термина с п о м о щ ь ю эквивалент­
ных определений.
^
'-з
2.5. Выявление знаний о функциях теорем о существовании и единственности в математической теории с це­
л ь ю подготовки учащихся к р а с ш и р е н и ю этих функций
(в связи с появлением метаумозрительных понятий).
3. Подготовка к из­ ' 3 . 1 . « Ф о р м и р о в а н и е
менению
знаний
об
аксиоматико-
требова­ дедуктивном методе как 'основе построения нефор-*
ний - к * развертыва- м а л ь н ы х м а т е м а т и ч е с к и х теорий.
нию
математиче- 3.2. Уточнение функций дедуктивного метода, э м п и р и ­
У
ской теории.
ческих методов и методов п р а в д о п о д о б н ы х рассужде­
ний в структуре гносеологического цикла. .
,
3.3. Выявление, корректировка и развитие логических
представлений учащихся, л е ж а щ и х в основе построе­
ния математических предложений и наиболее р а с п р о ­
страненных методов математических доказательств.
4. Подготовка к из­ 4.1. Отрыв от содержательной основы и обобщение
менению норм свя­ знаний о множествах и отношениях их элементов.
зей м е ж д у
ными
различ­ 4.2. Демонстрация наличия и з о м о р ф н ы х и г о м о м о р ф ­
разделами н ы х связей между отдельными ,разделами математиче­
математической
ской науки. Систематизация и развитие з н а н и й . о б их
науки.
функциях в математическом познании. Ознакомление
со способами обоснования существования связей этих
видов.
Представленные в таблице 16 задачи, являясь конкретизацией дидактических
целей, отражают в первую очередь желаемый результат методологической под­
готовки учащихся к изучению математики в вузе, однако ничего не говорят о
предметной основе их решения. Как нами было показано в ы ш е , в ы б о р пред­
метной основы должен осуществляться в соответствии со с л е д у ю щ и м и основ­
ными требованиями:
•
предметное содержание д о л ж н о иметь возможность дальнейшего разви­
тия за счет изменения формы учебного познания;
•
необходимость развития предметного содержания д о л ж н а являться след­
ствием использования математических знаний в деятельности, которая
является целью формирования в учебном процессе.
Прагматическая сторона подготовки учащихся средней ш к о л ы к продолже­
нию математического образования в вузе состоит в подготовке их к прохожде­
нию конкурсных испытаний, где уровень математической культуры у ч а щ и х с я
проверяется через умение решать задачи («конкурсные») на основе приобре-
т е н н ы х в школе математических знаний (т.е. через математическое пользова­
ние). Следовательно, основные виды этой математической деятельности (как
целевые) и должны быть п о л о ж е н ы в основу определения предметной базы ме­
тодологической подготовки учащихся.
Анализ принципов разработки контрольно-измерительных материалов Еди­
ного государственного экзамена по математике, содержания сборников конкурсных задач и экзаменационных заданий, предлагаемых на вступительных
испытаниях в различные вузы (АГТУ, Л Г У , М Г У , М П Г У , ПТУ, Р Г П У и др.),
позволяет выделить следующие основные виды деятельности математического
пользования, на формирование способности осуществлять которые должна
б ы т ь ориентирована подготовка учащихся средних школ:
•
нахождение значения величины в сюжетных задачах (на смеси и сплавы,
движение, экономическое планирование: на работу, куплю-продажу, бан­
ковские операции и т.п.);
•
нахождение оптимального значения величины в с ю ж е т н ы х задачах;
•
исследование свойств числовых зависимостей и последовательностей;
•
р е ш е н и е уравнений, неравенств и их систем;
•
доказательство тождеств и неравенств;
•
приведение выражений к указанному виду;
•
исследование'свойств элементарных функций и построение и х графиков;
•
вычисление значений геометрических величин в планиметрических и
стереометрических конфигурациях;
•
доказательство справедливости свойств плоских и
пространственных
геометрических фигур;
•
построение изображений плоских и пространственных геометрических
фигур по их элементам;
•
построение касательных к графикам функций;
•
вычисление производных и первообразных элементарных функций.
Е щ е одной немаловажной целью подготовки учащихся к п р о д о л ж е н и ю об­
разования в вузе является профориентация. В этой связи ц е л е в ы м и являются
также представления об особенностях использования и направлениях дальней­
шего р а з в и т ш математических знаний, обусловленные спецификой будущей
ч
профессиональной деятельности. Р е ш е н и е этой задачи в практике обучения ма­
тематике осуществляется за счет обучения р е ш е н и ю прикладных и практиче­
ских задач (планирование экономических процессов, конструирование алго­
р и т м о в ^ исследование физических свойств реальных явлений и процессов и
;(
Т
П
- -)-
. •
,..
_
В рамках выделенных видов математической деятельности функционирует
целый комплекс методологических знаний, в ы п о л н я ю щ и х различные.функции
в системе ее саморегуляции. Этот комплекс знаний представляет^собой иерар­
хическую систему [31], так как в его состав входят методологические знания
разного уровня: внутритеоретического (стратегический базис), частнонаучного
(ориентировочный), общенаучного и философского (мировоззренческий базис).
В связи с тем, что эти уровни методологических знаний состоят в преемствен­
ных связях, то изменение содержания методологических знаний одного уровня
неизбежно влечет за собой изменение состава или характера системы знаний
соподчиненных ему уровней.
Задачи методологической подготовки учащихся, представленные в таблице
12, требуют изменения
содержания
знаний частнонаучного
уровня,
поэтому для
определения предметной основы их, решения необходимо, в первую очередь,
дать характеристику вызываемых ими изменений^ в системе
знаний внутритеоретического
уровня.
методологических
А у ж затем, определив область
дейст­
вия выделенных .внутритеоретических методологических знаний, зафиксиро­
вать предметную
основу решения
задач методологической
подготовки.
Описание изменений в системе знаний внутритеоретического уровня представ­
лено в таблице 17.
Таблица
17
О п и с а н и е основных задач методологической подготовки учащихся к
и з у ч е н и ю математики в вузе на уровне внутритеоретической методологии
1
№
Изменения
подсистемы
методологических
ского уровня, функционирующих
по
табл. 12
1.1.
-
ности по решению
в системе
«конкурсных»
знаний
внутритеоретиче-
саморегуляции
математических
деятель­
задач:
Расширение знаний о целях математической деятельности за счет
постановки задач, требованиями которых определена необходимость
исследования характера зависимости между их свойствами математи­
ческих объектов: задач с параметрами, многовариантных геометриче­
ских задач, задач на исследование свойств числовых зависимостей и
последовательностей и т.п.
Выявление критериев оценки существенности и несущественности
1.2.
условий задачи в связи с постановкой задач, решение которых требу­
ет видоизменения определенного ее условием образа математическо­
го объекта путем варьирования несущественных свойств: изменение
пространственного расположения геометрической конфигурации или
i
ее отдельных элементов; осуществление дополнительных построений,
введение переменной, параметра, изменение точки зрения на пара­
i
метр, гипотетическое отнесение математического объекта к его част­
н о й разновидности и т.п.
1.3.
П о в ы ш е н и е требований к уровню строгости описания решения за­
д а ч за счет введения требований теоретической аргументации воз­
можности осуществления намеченных преобразований данных: обос­
нование тождественности, равносильности преобразований, исключение возможности использования информации, полученной с помо­
щ ь ю чертежа геометрической фигуры, графика ф у н к ц и и . '
2.1.
'
fi
И з м е н е н и е интуитивных представлений о критериях оценки суще­
ственности свойств математических понятий (за счет дополнения их
требованием значимости этих •свойств для развития математической
теории) под влиянием решения задач, условиями которых заданы
объекты, являющиеся новыми моделями ранее известных математи­
ческих понятий: текстовые задачи с не стандартными с ю ж е т а м и ; за­
дачи на исследование свойств нечисловых функций; арифметические
задачи с числами, записанными в системах счисления, о т л и ч н ы х от
десятичной и т.п.
2.2.
,
Выявление и развитие знаний о сущности метода математического
моделирования при решении сюжетных задач, т р е б у ю щ и х использо­
вания неявных данных, перехода от предметных переменных к мате­
матическим. Корректировка представлений о роли этого метода в раз­
витии понятийного аппарата математической науки,под влиянием об­
наружения прикладных и практических задач, решение которых тре­
бует введения новых понятий (задачи линейного программирования,
задачи на сложные проценты и т.п.) и математических задач, решение
которых также требует развития понятийного аппарата (задачи на ис­
следование свойств классов функций, задачи на р е ш е н и е уравнений и
неравенств с параметрами, задачи на доказательство тождеств и нера­
венств на множестве, функциональное решение у р а в н е н и й и нера­
венств и т.п.).
2.3.
Систематизация знаний о методах и приемах р е ш е н и я задач, осно­
ванных на идее подведения заданного объекта под понятие: метод
вспомогательной окружности, метод подведения под класс функций
(под класс уравнений, неравенств) и т.п.. В ы я в л е н и е и корректировка
знаний о сущности и функциях определений в р е ш е н и и задач, уста­
новление связи определений с теоремами-свойствами, теоремами
-
признаками и критериями за счет предъявления т р е б о в а н и й : аргумен­
тации действий подведения под понятие, развертывания термина.
2.4.
Систематизация знаний о методах решения задач, связанных с ис­
пользованием альтернативных смысловых значений п о н я т и й : «метод
оценки»
для доказательства
неравенств
и исследования
свойств
функций; функциональные методы исследования свойств алгебраиче­
ских выражений и решения уравнений и неравенств; применение ме­
тода геометрических,преобразований к р е ш е н и ю геометрических за­
дач и задач на построение графиков функций ' и исследование их
свойств и т.п.
2.5.
' •••
Расширение представлений о роли и месте утверждений о существовании и единственности в решении задач за счет предъявления требо­
ваний предварительной проверки существования результата решения
задачи и обоснования полноты решения задачи, постановки задач, со­
д е р ж а щ и х скрытые противоречия и и м е ю щ и х неоднозначный резуль­
тат: уравнений и неравенств пустой областью допустимых значений;
с ю ж е т н ы х и геометрических задач с противоречивыми данными; за­
дач на преобразование выражений с неоднозначным результатом
и
т.п.
3.1.
Выявление и корректировка знаний о критериях выбора аргументов
для решения задач на доказательство справедливости математических
утверждений, за счет постановки задач на доказательство справедли­
вости свойств первичных или неопределяемых в школьном курсе ма­
тематических понятий, на доказательство справедливости нескольких
логически взаимосвязанных свойств и т.п.
3.2.
Функциональная классификация методов, используемых при реше­
нии математических задач: выделение методов анализа условия зада­
чи, поиска способа ее решения, прогнозирования ее результатов, ме­
тодов решения, метода контроля за правильностью решения, исследо­
вания результата в процессе решения задач, т р е б у ю щ и х развернутой
поисковой и исследовательской деятельности («нестандартных» за­
дач).
3.3.
'
1
•
-
В ы я в л е н н о й корректировка приемов и методов р е ш е н и я задач, осно­
ванных на использовании определений'логических понятий и законов
"логики:
метод доказательства «противоречием», доказательства по
закону контрапозиции, решение уравнении и неравенств н а основе
преобразования их логической структуры и т.п.. .
4.1.•
, - ..)
,
f i J
Генерализация частных методов решения задач: метода Г М Т решения
планиметрических и стереометрических задач на построение, графи­
ческого метода решения уравнений, неравенств их совокупностей,
систем и задач, к ним сводящихся, и т.п., и формирование на этой ос­
нове знаний о сущности и теоретических основах обобщенного мето­
да теоретико-множественной интерпретации решения задач на веро­
ятностный и логический анализ данных.
4.2.
-
.
...
Развитие знаний о сущности обобщенных методов переформули­
ровки и внутриматематического моделирования, и х теоретических
основах через систематизацию и обобщение знаний о векторном ме­
1
тоде, методе координат, методе геометрических преобразований ре­
шения алгебраических и геометрических задач, геометрических и
функциональных методов решения алгебраических задач.
И з таблицы 13 видно, что решение поставленных задач в о з м о ж н о л и ш ь при
условии самого широкого варьирования предметной основы ф о р м и р у е м о й дея­
тельности, что может быть достигнуто л и ш ь в рамках специально организован­
ных методологически ориентированных курсов.
Эти задачи методологической подготовки составляют л и ш ь ее инвариант­
ную часть. Ранее было показано, что составляющими «парадигмального кризи­
са» являются также изменения в системе методологических знаний, вызванные
изменением учебной среды (например, замена школьного учителя математики
вузовскими преподавателями, я в л я ю щ и м и с я носителями иной парадигмы; пе­
реход от общего математического образования к образованию ориентирован­
ному на ту или иную профессиональную деятельность). Поскольку эти измене­
ния являются индивидуальными, подготовка к их появлению м о ж е т осуществ­
ляться л и ш ь через формирование
знаний учащихся,
как способность
такого качества
к
системы
саморазвитию.
методологических
. В методической литературе необходимость формирования этого качества
системы методологических знаний долгое время отвергалось. Так, например,
Б.В. Г н е д е н к о , говоря о задачах методологического воспитания учащихся, ука­
зывал: « . . . известно, что среди д а ж е крупных представителей математической
науки распространены о ш и б о ч н ы е точки зрения на природу математического
знания, на его место в познании окружающего нас мира, на роль практики в
развитии .математики, на происхождение математических понятий и т.д. М ы
обязаны е щ е в ш к о л е дать учащимся правильные точки зрения на все эти во­
п р о с ы , п о м о ч ь им в будущем избежать философских шатаний» (39, 52). Одним
из аргументов, доказывающих невозможность принятия этой точки зрения на
задачи методологического воспитания учащихся, является сосуществование в
с о в р е м е н н о й математической науке теорий и направлений, опирающихся на
р а з л и ч н ы е , часто конкурирующие
методологические
установки
(например,
о п и р а ю т с я на различные виды н е к л а с с и ч е с к и х л о г и ч е с к и х теорий). Необходи­
мость подготовки учащихся к « . . . неоднократной смене своих представлений,
мировоззрения, мироощущения» (135, 7) является, по мнению, В.М. Розина,
одной из основных задач современного образования.
3.3. Возможности различных форм профильного обучения в
решении задач методологической подготовки учащихся
Р е ш е н и е выделенных видов задач методологической подготовки требует
создания специфических условий обучения:
- выделение в отдельную учебную группу учащихся, планирующих продолжить
математическое образование в вузе;
- в к л ю ч е н и е учащихся в деятельность по изучению методологически ориенти­
р о в а н н ы х математический курсов;
- в о з м о ж н о с т ь включения в предметную составляющую таких курсов функцио­
нально-значимых вопросов, п о л у ч а ю щ и х развитие при переносе их в новую
форму учебного познания;
- создание в учебном процессе'условий, способствующих осознанию возмож­
ности варьирования методологических норм учебного познания на основе иерархизации системы методологических знаний.
Идея предоставления
ния
реализовыватъ
фессиональным
обучения.
учащимся
возможности
свои образовательные
выбором,
в настоящее
в условиях
потребности,
время носит
общего
образова­
определенные
называние
про­
профильного
Д а н н ы й термин пришел на смену термину «фуркация» в связи с из­
менением, содержания в период колмогоровской реформы в нашей стране. Од­
нако и по сей день смысл этого термина не перестает изменяться в связи с по­
явлением новых организационных форм, позволяющих р е ш а т ь задачи про­
фильного обучения. Проведем их ретроспективный анализ с целью определе­
ния места решения задач методологической подготовки у ч а щ и х с я п р и изучении
математики в школе.
П о д а н н ы м социологических исследований [171]
., к 15-16 годам у большин­
ства учащихся (70-75%) складывается ориентация на сферу б у д у щ е й профес­
сиональной деятельности, что создает благоприятные условия д л я их специали­
зированной подготовки еще в стенах школы к продолжению образования в
в ы с ш и х учебных заведениях (в том числе, и для решения задач методологиче­
ской подготовки к изучению математики в вузе). Необходимость учета профес­
сиональных интересов учащихся при обучении математике в старшей школе
отмечалась еще в резолюции I и I I Всероссийских съездов учителей математики
в 1911 -1914гг. (период клейновского движения). В р е з о л ю ц и и , п е р в о г о съезда,
в частности, говорилось: «Съезд признает желательной п о д р о б н у ю разработку
вопросов о такой организации преподавания в средней школе, которая, сохра­
няя общеобразовательный характер, допускала бы специализацию
старших
классов, приноровленную к индивидуальным способностям у ч а щ и х с я » (163,
210)
Реализация этой идеи в тот период виделась как разделение у ч е б н ы х про­
грамм по математике для учащихся старших классов на два основных вида. Ос­
новное различие между ними состояло в расстановке акцентов: в одной про­
грамме основное внимание уделялось математической и логической дедукции,
и функциональной связи величин; а в другой программе - индукции, комбина­
торному анализу, кореллятивной связи (частичная
фуркация).
Практическое воплощение в н а ш е й стране и дальнейшее развитие эта идея
получила в период колмогоровской реформы. В этот период для р е ш е н и я зада­
ч и массовой подготовки специалистов, умеющих использовать
прикладные
возможности математики, б ы л и созданы школы и классы с у г л у б л е н н ы м изу-,
чением р я д а предметов. Н е с к о л ь к о позже (в 1967г.) для решения задач разви­
тия м а т е м а т и ч е с к и х способностей учащихся и формирования и х интереса к ма­
тематике и ее изучению в учебные планы средних общеобразовательных школ
на основной и старшей ступени (7-10 классы) были введены факультативные
занятия.
1. П р о ф и л ь н ы е предметы в школах и классах с у г л у б л е н н ы м изучением
v
математики
*•
В настоящее время среди школ и классов с углубленным теоретическим и
практическим изучением математики м о ж н о выделить два типа. К первому от­
носятся школы и школы-интернаты, созданные и функционирующие при вузах
(ЛГУ, М Г У , М И Ф И и др.). К о второму типу относятся математические школы
и классы, созданные в общеобразовательных школах.
Д о с т и ж е н и е повышенного уровня математической подготовки у выпускников
школ и классов с -углубленным изучением математики осуществлялось за счет
включения
в • содержание
обучения
дополнительных
вопросов,
«...непосредственно п р и м ы к а ю щ и х к общеобразовательному курсу и углуб­
л я ю щ и х его по основным и д е й н ы м линиям» (129, 33), а также вопросов, само­
стоятельных разделов, к о т о р ы е « . . . являются важными содержательными ком­
понентами современной системы непрерывного математического образования»
(129, 33). Р е ш е н и е этой задачи обеспечивалось также за счет включения уча­
щихся в самостоятельную деятельность по р е ш е н и ю задач п о в ы ш е н н о й слож­
ности, по подготовке докладов, рефератов, самостоятельной проработки теоре­
тического материала и т.п., а также за счет изложения учебного материала на
строго дедуктивной основе.
J
•
Эти изменения позволили предъявить к математической подготовке учащихся следующие дополнительные требования: «...„излагать собственные^рассуждения при решении задач и доказательстве теорем;... правильно проводить-ло­
гические рассуждения,- формулировать утверждение, обратное данному, его
контрапозицию и отрицание; приводить примеры и к о н т р п р и м е р ы ; . . . и с п о л ь ­
зовать наиболее употребимые эвристические приемы» (105, С.33-34).
Введе­
ние ш к о л и классов с углубленным изучением математики позволило осущест­
влять подготовку учащихся к продолжению образования в вузе
ально-организационном^ плане
за
счет
введения
элементов
в процессу­
лекционно-
семинарской системы в практику преподавания в школе. «При обучении мате­
матике
в
математических
классах
полезно
использовать
.лекционно-
семинарскую форму изложения учебного материала, дополненную занятиями,
построенными по образцу семинарских» (105, 304).
Углубленное изучение математики в школе способствует подготовке уча­
щихся к изучению вузовских математических курсов не только в содержатель­
ном, процессуальном и целевом аспекте, но и методологическом.
Так, в [181]
указывается, что углубленное изучение математики должно способствовать по­
н и м а н и ю учащимися структуры математической теории, роли доказательств в
ней. Формирование этих представлений в этом пособии предлагается осущест­
влять за счет приведения как можно более полных доказательств, аксиоматиче­
ское построения части курса геометрии, ознакомления с прикладными аспекта­
ми математической науки и т.п.
Анализ учебных пособий для школ и классов с углубленным изучением ма­
тематики показывает, что в большинстве из них методологическая составляю­
щая представлена в форме подтекста, хотя необходимость и возможность яв­
ного методологического сопровождения предметного содержания курса опре­
деляется в методических руководствах. Так, в [105] указывается, что «Повидимому, организация более или менее обширной системы изучения историко-методологического материала не даст положительного эффекта. Для нее
курс математики в математических классах недостаточно глубок, в нем по по­
нятным причинам уделяется большее внимание изучению конкретных понятий,
245
м е т о д о в , приемов, нежели их историко-методологическому осмыслению. Наи­
более целесообразно в этой связи освещать те вопросы, которые естественно
напрашиваются при изучении материала. П о д о б н ы х мест в курсе очень много»
(105, 315). В пособии для учителя к курсу геометрии [4].А.А. Окунев указывает
на необходимость организации специальных занятий - мастерских, на которых
бы обсуждались методологические вопросы геометрии. Для у ч а щ и х с я 8 класса,
например,'им
предусмотрены
[115] мастерские со следующей
тематикой:
« О б о б щ е н и я в геометрии»,-«Поиски цодхода к р е ш е н и ю задач», «Метод «ма'лых ш е в е л е н и й » » ; для учащихся 9 класса - «Аксиоматическое построение гео­
метрии (Вера и доказательство)», «Что значит слово «Доказать»?» [116]. Одна­
ко распространения в практике обучения методологически ориентированные
т е м а т и к и занятий не получили. Несмотря на это, углубленное изучение матема­
тики в ф о р м е выделения профильных школ и классов существенным образом
снижает остроту проблемы преемственности школьного и вузовского матема­
тического образования, в том числе и в методологическом его аспекте. В каче­
стве условий решения задач методологической подготовки учащихся к перехо­
ду от метаэмпирической ф о р м ы познания с элементами дедукции к квазиэмпи­
рической, обеспечиваемых особенностями изучения математики в спецшколах
и классах, м о ж н о называть следующие:
•
•
-
J
в к л ю ч е н и е в содержание школьного курса математики элементов вузов­
ских курсов (квазиэмпирических теорий);
•
•
"' "
--г
перенос в школьный курс математики методов построения учебного ма­
териала, характерных для вуза (аксиоматический метода построения
•
разделов школьного курса, повышение уровня строгости дедуктивных
рассуждений);
•
• *•
сближение rid целевой направленности и степени самостоятельности
- • учёбно-познавательной математической деятельности учащихся средних
ш к о л с деятельностью студентов вузов;
• - объединение в'класс учащихся, о б л а д а ю щ и х «математическим» стилем
' мышления.
'
Следует отметить, что организация спецшкол и классов, работающих при
вузах, предоставляет
дополнительные возможности, связанные с реализацией
вариативной составляющей методологической подготовки у ч а щ и х с я за счет организации учебного взаимодействия учащихся таких школ и классов с препода­
вателями вуза и студентами.
. .
Однако практика показывает,, что этих условий недостаточно для р е ш е н и я
проблемы методологической преемственности школьного и вузовского матема­
тического, образования^ (об этом же свидетельствуют и данные теоретического
анализа, смотри таблицу 18). Это объясняется слабой переносимостью неявных
методологических знаний в условия содержательно новой математической дея­
тельности. Такой деятельностью является деятельность по изучению субъек­
тивно новых разделов: дифференциальные уравнения и уравнения в частных
производных, элементы абстрактной и компьютерной алгебры, дискретная ма­
тематика, математическая логика, дифференциальная геометрия, топология,
функциональный анализ и др.
Перенос системы методологических представлений на новый контекст дея­
тельности, требует их осознанности студентами и целенаправленной работы,
направленной на преобразование старой формы учебного математического по­
знания в новую.
2. Ф а к у л ь т а т и в ы по м а т е м а т и к е
Возможность переноса акцента с изучения предметной составляющей содер­
жания математических курсов на изучение методологической составляющей
предоставляется факультативными занятиями. Цели организации факультати­
вов в основном те же, что и цели организации математических классов. Разли­
чия в деятельности факультативных групп и математических классов связаны с
тем, что первые не требуют перестройки системы обучения математике. Фа­
культативные занятия призваны дополнить общеобразовательный курс. В связи
с этим о н и представляют собой более массовую форму повышенной математи­
ческой подготовки учащихся. Кроме того, к тематике и целевой направленно­
сти курсов не предъявляется столь жестких требований, как к с о д е р ж а н и ю кур­
сов математики для. школ и классов с углубленным изучением математики:
'
2
4
7
'
« . . . о п ы т н ы м учителям школ предоставлено право самим составлять программы
факультативных курсов и работать по ним после утверждения педагогическим
советом школы. Такое ж е право предоставлено педагогическим институтам и
университетам» (114, 14). Это открывает возможности для разработки и ис­
пользования методологически направленных факультативных курсов.
!
' '
Разработанные лабораторией обучения математике Н И И С и М О А П Н С С С Р
(и Р Ф ) факультативные курсы можно условно подразделить на три основных
вида: «За страницами учебника математики», «Подготовительный факульта­
тив», « Д о п о л н и т е л ь н ы е главы к школьному курсу математики». Эти курсы су­
щ е с т в е н н ы м образом различаются как по целям и задачам углубленного изуче­
ния м а т е м а т и к и , так и по содержанию и характеру их связи содержанием об­
щ е г о курса. «Факультатив «За страницами учебников математики» имеет дос­
таточно о б щ и е цели - углублять знания учащихся, получаемые ими при изуче­
н и и основного курса, развивать их интерес к предмету, любознательность, сме1
калку, повышать их логическую культуру. П р о г р а м м а этого
факультатива
представлена «крупноблочно», представляя известную свободу при отборе со­
ответствующего содержания» (114,15). Примером факультативного курса этого
в и д а ' я в л я е т с я курс, разработанный'Л.Ф. П и ч у р и н ы м [121]. В предисловии по­
собия автор выделяет профориентационную ф у н к ц и ю факультативных занятий
в качестве ведущей, что обуславливает специфику построения его содержания:
- тематика курсов этого вида не имеет жесткой связи с содержанием школьного
курса математики, хотя знания получаемые учащимися в школе, должны со­
ставлять достаточную базу для изучения таких факультативных курсов;
- предметная составляющая ориентирована в основном на раскрытие дополни­
т е л ь н ы х вопросов математической теории и ее приложений, сопровождаемое
методологическим метатекстом и историческими справками.
С о в с е м иначе построены курсы «Дополнительные главы к школьному курсу
математики». Примерами их являются курсы Ю Н . Макарычева, Н.Г. М и н д ю к
[100], Л . С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С Б . Кадомцева и др. [34]. Основная за­
дача факультативов данного вида - «расширение и углубление ... сведений,
представленных в главах основного.курса» (89, 3). Здесь вводятся новые поня-
тия, рассматриваются новые интересные факты,.дается обоснование некоторых
утверждений, которые в рамках основного курса принимаются без доказатель­
ства. Эти задачи факультативов данного вида обуславливают жесткую связь их
тематики с предметным содержанием школьного курса математики.^ Таким об­
разом, ориентация на методологическую составляющую математического обра­
зования оказывается невозможной.
о ч
.
Подготовительный факультатив имеет существенно более узкую и конкрет­
ную направленность. « О н п р и з в а н заполнять «брешь» между уровнем среднего
математического образования в условиях всеобуча; предусмотренным
про­
граммой обязательного курса, и уровнем, необходимым д л я п р о д о л ж е н и я обра­
зования в вузе (техническом, или каком-либо другом, д а ю щ е м п р о ф е с с и ю , тре­
б у ю щ у ю знания математики)» (114, 15). Таким образом, подготовка учащихся к
сдаче вступительных экзаменов выступает конечной целью таких факультати­
в о в . . Несмотря на деятельностную направленность факультативных
занятий
(обучение решению конкурсных задач, как, например, в [ 126]), такая постанов­
ка задачи обучения существенным образом ограничивает возможности факуль­
татива в решении проблем методологической подготовки, так как их решение
требует выхода за пределы содержания элементарной математики.
Таким образом, факультативные курсы разных типов обеспечивают следую­
щие дополнительные возможности решения задач методологической подготов­
ки учащихся к изучению математики в вузе:
•
отсутствие жестких временных границ и требований к результатам обу­
чения предоставляет возможность превращения методологического под­
текста в метатекст;
•
отсутствие жестких содержательных связей предметных составляющий
основного курса математики и факультатива («За страницами учебников
математики») открывает возможности для смещения акцента с изучения
предметного содержания на методологическое;
•
деятельностная ориентация факультативных занятий («Подготовительные
факультативы» и «За страницами учебников математики») создает благо-
приятные условия для введения функционально значимых методологиче­
ских дополнений;
•
выход за пределы содержания школьного курса математики, постановка
задачи повышения} уровня строгости изложения, учебного материала (в
курсах «Дополнительные главы к учебнику») м о ж е т выступать основой
изменения ф о р м ы учебного математического познания.
..
Сравнительный анализ этих возможностей представлен в таблице 18.
„Однако р е ш е н и е задач методологической подготовки требует
комплексной
реализации всех этих возможностей. Кроме того, необязательность факульта­
1
т и в н ы х занятий для посещения учащимися, не заинтересованность ш к о л в ре­
ш е н и и проблем
методологической подготовки учащихся к изучению матема­
тики в вузе не позволяют рассматривать их в качестве эффективной альтерна­
т и в ы ш к о л а м и классам с углубленным изучением математики (особенно при
вузе) в плане решения проблемы преемственности школьного и вузовского ма­
тематического образования.
Таблица
18
Д а н н ы е о в о з м о ж н о с т я х р а з л и ч н ы х ф о р м п р о ф и л ь н о г о о б у ч е н и я в р е ш е н и и задач м е т о д о л о г и ч е с к о й подготовки
у ч а щ и х с я к и з у ч е н и ю м а т е м а т и к и в вузе
Параметры
анализа
/. Выделение
учащихся
специальную
группу
в
2.
Методологическая
ориентация
3. Возможности
рования
курсов.
и
системы
спец­ Возможность
Для
и ется
школ
ческого
отсут­
Для
сов на подготовку к про­
венного развития
школ
классов должению
при вузе
математиче­
ского образования в вузе.
дополни­ Возможность
математи­ ется
образова­
ния в ЗМШ
определя­
метной
отсут­
пред­ Возможность
составляющей тавляется
вклю­
во­
просов.
Возможность
предос­
предос­
включени­
ем в содержания обу­
чения математики эле­
за счет при­ ментов вузовских кур­
содержания математиче­ влечения студентов и ву­ сов.
ского образования.
зовских преподавателей
Возможность
Возможность
индивидуальной ется
формой обучения
чения у «сквозных»
из-за стабильно­ тавляется
преимущест­ сти учебных требований.
ходимость
4. Возможность
.
Возможность
в связи с необ­ ствует
стью таких школ и клас­
Курсы
тельного
определя­ Возможность
ориентированно­ ствует
классов
и
методологиче­
1 ских знаний.
курсов.
чения математики
Курсы углубленного изу­
Виды
варьи­
иерархизации
определя­
деятельностной тавляется
ориентацией подготовки.
предос­ • Возможность
за счет взаи­ тавляется
предос­
за
счет
модействия .. , учащихся, включения в содержа­
как со школьными учи­ ние элементов . вузов­
телями, так и преподава­ ских курсов.
телями вуза.
«За
страни­ Возможность
определя- Возможность
цами учебни­ ется тем, что группы для ствует
ка
отсут­ Возможность
в связи с пред­ ствует
математи­ факультативных занятий метной ориентированно­
ки»
комплектуются
из уча- стью курсов.
S
£ •
гематически.
св
-е-
is
S
тельные
-
гла­
Возможность
ческую подготовку.
ствует
из-за
предметного
математики»
г
держания факультатива с
содержанием
«Подготови­
Возможность
тельные
тавляется
культативы»
знаний
Возможность
тавляется
со-
предос­
ориентиро­
- ванностью содержания
-
курса
основных
курсов.
на
вопросов
»,
развитие
,,основного
курса.
предос­ Возможность
отсут­ Возможность
отсут­
ориентацией ствует из-за ограничен­ ствует
курсов на формирование ности
обобщенных
деятельности.
мате­
учащихся. ,
жесткой
связи
фа­
факультатив­ матических
отсут­
вы к учебнику
4
1i
и
ных курсов.
полнительную математи-
предос­
ориентиро­
метной ориентированно­ ванностью содержания
тельно,
желающих получить до­
«Дополни-
в связи с пред­ тавляется
сти основных, а следова­ на расширение
щихся одной параллели,
а«
s
отсут­ Возможность
прагматическими ограниченности
способов целями - подготовка к содержания
сдаче вступительных эк­
заменов.
из-за
;
рамками
школьной программы.
Элективные матема­ Возможность
определя­
Возможность
тические курсы при ется тем, что в учебную ется
вузе
определя­
Возможность
широким спектром тавляется
группу могут быть вклю­ функциональных
воз­ янного
предос­
за счет посто­ тавляется
пожелавшие
изучать.
его личием
лями вузов, читающими ванию.
элективные курсы.
<-/»
UJ
за
счет
ма­ подготовку к профес-
«надпредмет- тематики с преподавате­ сиональному
ных» курсов.
предос-
взаимодействия ориентации курсов на
чены учащиеся из разных можностей курсов и на­ школьного учителя
школ,
Возможность
образо-
3. Д о п о л н и т е л ь н ы е курсы математики в заочной математической ш к о л е
Е щ е одной формой подготовки учащихся к изучению математики в" вузе яв­
ляются заочные математические школы ( З М Ш ) . «Заочная математическая ш к с ла - по определению 41.И. Мельникова, - форма дистанционного обучения ма­
тематике ... по переписке в виде заданий и рецензий на выполненную работу.
... Ее особенностью является' использование специальных методических посо­
бий, которые ученик должен самостоятельно изучить, прежде чем он приступит
к в ы п о л н е н и ю задания» (104, 23).
"
•
О с о б е н н о с т ь ю методических пособий, создаваемых для заочной ф о р м ы обуче­
ния, по м н е н и ю И.И. Мельникова, является: высокая степень подробности из­
л о ж е н и я ; постепенное нарастание трудности; детальный разбор типовых задач;
т е с н ы е внутрипредметные и межпредметные связи.
Заочные математические
ш к о л ы создаются при вузах в связи с необходимостью р е ш е н и я задачи
товки учащихся, не имеющих, возможность посещать
подго­
специализированные
ш к о л ы и классы (учащиеся сельских школ). Н а и б о л ь ш у ю известность в нашей
стране получила Всероссийская заочная математическая
школа при
МГУ,
и м е ю щ а я давние традиции математической подготовки школьников (более 30
лет).
О необходимости развития такой формы обучения говорится в Концепции раз­
вития школьного математического образования: «Развитие идеи З М Ш видится
i.
в более ш и р о к о м распространении основных ее принципов путем укрепления
базы З М Ш и ее филиалов, создания на ее основе центра заочного математиче­
ского образования, включая возможность очных сессий, как для учеников, так и
для преподавателей школ. Идея подобного центра представляется особенно
значимой в свете очевидных трудностей реализации
дифференцированного
подхода в сельских школах» (73, 9).
Д а н н а я форма обучения позволяет включать учащихся в деятельность мате­
матического самообразования под руководством преподавателей вуза. Содер­
жание обучения в такой школе складывается как из вопросов элементарной ма­
тематики (дополняющих содержание школьного курса), так и элементов вузов-
ских курсов. В программу подготовки учащихся З М Ш при М Г У традиционно
включаются и вопросы, относящиеся ктоснованиям математики: элементы ма­
тематической логики,и теории множеств. Усвоение программы обучения про­
веряется через способность решать задачи конкурсного уровня, а также некото­
рые виды задач базовых вузовских курсов математики. Таким образом, данная
форма обучения имеет все возможности для решения задач методологической
подготовки учащихся (таблица 18).
Д л я , п р о в е р к и эффективности данной ф о р м ы обучения при решении задач
методологической подготовки учащихся при математическом факультете По­
морского государственного университета и м е н и М . В . Л о м о н о с о в а была орга­
низована заочная математическая школа. Р е ш е н и е задач
методологической
подготовки учащихся З М Ш осуществляется за счет использования специализи­
р о в а н н ы х ' м е т о д и ч е с к и х разработок, реализующих программу обучения, по­
строенную по модульному принципу.
. .
'
,.
К а ж д ы й раздел программы ориентирован на обучение р е ш е н и ю задач опре­
деленного вида: текстовых задач, задач на исследование свойств ф у н к ц и й , д о ­
казательство тождеств и неравенств, целевые преобразования выражений, пла­
ниметрических задач на построение, задач на построение в стереометрии и т.д.
Содержание обучения, представленное в методических разработках, склады­
вается из описания теоретического базиса решения задач этого вида, методоло­
гических основ деятельности по решению этих задач, образцов их использова­
ния при решении «фокус-задач» и рефлексивных заданий и вопросов к каждому
образцу. Материалы методической разработки дополняются п р и л о ж е н и е м , со­
стоящим из набора задач для самостоятельного решения и контрольной работы.
Термин «фокус - задачи» введен М.А. Х о л о д н о й (170, 330), однако его со­
держание ею не раскрывается. Под «фокус - задачей»
м ы понимает задачу, яв­
ляющуюся средством демонстрации учащимся реализации целого комплекса
образовательно:Значимых методологических норм. Необходимость использо­
вания подобных задач в пособиях для заочного обучения вызвана существен­
ной ограниченностью их объема. По своим образовательным ф у н к ц и я м «фокус
- задачи» в значительно степени' отличаются от «задач - образцов». Описание
р е ш е н и я «задач - образцов» предназначено для запоминания и последующего
использования в качестве опоры решения сходных задач (решения по аналоs
"
-
гии). Описание решения « ф о к у с - задач» предназначено для постановки зада­
ний на его рефлексивный анализ с последующим использованием результатов
этого анализа в качестве опоры решения других задач (не обязательно сходных
по в н е ш н е м у виду).
П р и м е р о м «фокус - задачи» может являться задача: «Одновременно из пункта
А в п у н к т В выезжает велосипедист и выходит пешеход. Скорость велосипеди­
ста вдвое больше скорости пешехода. В то же время навстречу им из пункта В в
пункт А выходит второй пешеход. Время между встречами второго пешехода с
.
2
велосипедистом и первым пешеходом составляет — от времени его перехода
15-
-
из В в А. Какой из пешеходов и во сколько раз шел быстрее, если оба они шли
д о встречи больше 0,25 всего пути из А в В». Данная задача позволяет проде­
монстрировать учащимся:*
•
р е а л и з а ц и ю и целевое назначение приема предварительного введения
п р е д м е т н ы х переменных (позволяющих сохранить физический смысл
алгебраических соотношений величин) с последующим переходом к ма-
- тематическим переменным, не и м е ю щ и м физического смысла; • • '
•
особенности реализации алгебраического метода р е ш е н и я сюжетных за­
дач, приводящей к необходимости решения системы, состоящей из урав­
нений и неравенств;
•
. . .
структуру основную метода переформулировки.
Решение
О б о з н а ч и м v„j - скорость первого пешехода; v„2- скорость второго пешехо­
да; t\2 - время от начала движения д о встречи велосипедиста со вторым пеше­
х о д о м ; г 2 - время перехода второго пешехода из В в A; S - расстояние между
в
пунктами А й В.
/.
Перевод условий задачи на язык
1.1.
«Скорость
велосипедиста
математики
вдвое
больше
скорости
i
пешехода»
-
v =2v„,.
e
1.2.
«Время между встречами второго пешехода с велосипедистом и п е р ;
2
-
'
•
вым пешеходом составляет, — от времени его перехода из В в А» 2
f
=
'12 - e2
1.3.
2
^5* '
« О б а пешехода шли д о встречи больше 0,25 в с е г о . п у т и и з А в В » :
fv„i-'l2>0,25.S
[v„ -t
2
1.4.
> 0,25-5'
n
Т а к как движение равномерное и прямолинейное, т о м е ж д у введен­
ными переменными м о ж н о установить с л е д у ю щ и е дополнительные
соотношения:
S
S
*i2=
6i =
(
;
v
v
v
n\
+ n2
S
- ; ' 2 = — •
e + n2
n2
v
v
Использование этих соотношений позволит у м е н ь ш и т ь количество п е ­
р е м е н н ы х , необходимых для описания ситуации:
1
1
v
v„l+ *2
..
n\
'
v
15v„
n2
0
2
, 2 5
v
+ n2
^2__>0,25
+ n2
n\
1.5.
n]
^ _ >
v
2
2v +v
v
Т а к как требованием задачи: «Какой из пешеходов и во сколько раз
шел быстрее?» определена л и ш ь необходимость у с т а н о в л е н и я 'значения отношения: ——, а по у с л о в и ю задачи предварительное нахождеv
n2
ние значений каждой из величин v \;
n
v „ 2 не представляется возмож-
н ы м , т о введем переменную х =
, тогда получим следующую ал-
гебраическую задачу:
1
Г
х+.1
2х + \
1
« Р е ш и т ь систему:
1+
JC +
//.
Решение
1
1
х +\
2х + \
полученной
Г
15
> 0,25 -
».
- > 0,25
1
математической
задачи
х=2
15
-Ц->0,25
1+ х
х = 0,25
х е (-°°;-1) U ( | ; + ° ° ) <=> х = 2
*е(-1;3)
>0,25
дг + 1
///.
Перевод результата
решения
на язык исходной
В е р н е м с я к прежним переменным: 2 =
задачи
. Полученное равенство означает,
v
n2
что скорость первого пешехода в 2 раза больше скорости второго. *
Для в к л ю ч е н и я учащихся в деятельность рефлексивного анализа представлен­
ного описания решения фокус - задачи, оно сопровождается постановкой спе­
ц и а л ь н ы х заданий и вопросов, требующих ответа в письменной форме. Данная
задача в [75] сопровождается следующими вопросами:,
1. П о ч е м у в решении данной задачи неудобно в качестве искомых исполь­
зовать скорости пешеходов?
2. К а к о в а р о л ь содержательных переменных в решении задачи?
3. К а к а я разновидность метода переформулировки была использована при
р е ш е н и и задачи?
. 4 Я в л я ю т с я ли дополнительные соотношения, _ привлеченные к решению
t
задачи, результатом перевода ее условий на математический язык? Если
нет, то чем определялся их выбор.
, ,5. К а к о в а роль неравенств в нахождении значения искомой величины?
Для демонстрации возможностей заочного обучения в р е ш е н и и задач мето­
дологической подготовки учащихся рассмотрим особенности построения со­
держания раздела «Стереометрические задачи на построение» в [74].
Р е ш е н и е большинства стереометрических задач связано с необходимостью
-выполнения дополнительных построений на проекционном чертеже (конструк­
тивный метод, решения стереометрических задач), однако в школьном курсе
стереометрии формированию умений решать задачи на построение не уделяет­
ся "должного внимания, что п р и в о д и ^ к массовым ошибкам учащихся при ре­
шении задач Единого государственного экзамена и вступительных .экзаменов в
вузы. Эти соображения и определили необходимость включения данного раз­
дела в содержание дополнительной математической подготовки учащихся в
рамках З М Ш . Кроме того, задачи этого типа являются х о р о ш е й содержатель­
ной основой для решения следующих задач методологической
подготовки
учащихся к изучению математики в вузе:
•
формирование знаний об обусловленности требований к степени соответ­
ствия объекта (определенной условием задачи геометрической конфигу­
рации) и его «рабочей» модели (изображение конфигурации на проекци­
онном чертеже) целями и задачами исследования;
•
формирование знаний о причинах перехода от использования образов в
качестве основы умозаключений к использованию формальных правил;
•
формирование знаний о роли утверждений о существовании и единствен­
ности в математике;
•
подготовка учащихся к варьированию критериев успешности, средств и
методов" решения задачи в зависимости от ее данных (условно разреши­
м ы е , позиционные и метрические задачи) и целей использования резуль­
тата. <
Прагматическая цель этого раздела состоит в формировании умений решать
стереометрические задач на построение на уровне, достаточном для решения
конкурсных задачи конструктивным методом. В этой связи, содержание теоре­
тической и методологической составляющей данного раздела было отобрано, в
первую очередь, в соответствии с данными о наиболее распространенных видах
дополнительных построений, используемых п р и их решении: построение сече­
ний многогранников и тел вращения плоскостью; построение углов и перпен­
д и к у л я р о в ; центра вписанного или описанного около многогранника шара.
Н е о б х о д и м о с т ь формирования умений решать стереометрические задачи на
построение определило следующее содержание обучения (таблица 19).
Таблица
19
С о д е р ж а н и е курса «Стереометрические задачи на построение» д л я З М Ш
Блоки
мы
систе­
Предметная
саморегу­
ния
Знания
цели
реше­
Методологическая
задач
ния
основа
реше­
задач
у
ляции
1.
основа
о О п р е д е л е н и я ' п о н я т и й сече­ Отличительные
ние, перпендикуляр, линей­ шения
особенности
стереометрических
ре­
задач
ный угол двугранного угла на построение от планиметриче­
и т.п.
ских. Понятие степени разреши­
мости задач на построение, виды
задач по степени их разрешимо­
сти. Роль определений различных
видов
геометрических
установлении '
фигур
в
конструктивных
элементов.
2.
Знания
о Виды отношений взаимно­ Цели
использования
з н а ч и м ы х ус­ го расположения геометри­ признаки
ловиях
условно
результата,
разрешимых,
ческих фигур-в пространст­ позиционных и ' метрических за­
ве. Параллельное проекти­ д а ч / В и д ы -конструктивных инст­
рование.
Проекционное рументов и их возможности.
изображение.
3. .Знания
о Теоретическая база методов Функциональные
методах
связи
между
решения задач на построе­ решениями у с л о в н о разрешимых,
ние: теоремы о существо­ позиционных и метрических за­
вании, теоремы о взаимном дач.
Методы
решения
условно
расположении в простран­ разрешимых, позиционных и мет­
стве,
теоремы
о
пропор­ рических задач: аксиоматический
циональном делении отрез­ метод
ков,
формулы
следов,
вспомогательных
аналитиче­ плоскостей, вычислительный ме­
ской геометрии.
тод, векторно-координатный - це­
л и их использования, • структура,
теоретическая
применения.
4.
Знания
о Свойства
проектирования
успешности
ные с ними правила изо­ ционных
ских и
фигур.
5.
Знания
о
коррекции
.
область
<-
параллельного Требования к о ф о р м л е н и ю реше­
критериях
бражения
основа,
и
связан­ ния условно р а з р е ш и м ы х , пози­
и
метрических
задач.
планиметриче­ Требования к и з о б р а ж е н и ю гео­
стереометрических метрических фигур на проекци­
онном чертеже.
Наиболее типичные о ш и б к и : не­
правильность изображения, не на­
глядность, недостаточная обосно­
ванность, отсутствие учета м н о ­
говариантности.
В связи с методологической ориентированностью модулей раскрытие пред­
метного содержания
осуществлялось в контексте обсуждения методологиче­
ских вопросов темы.
Например, определения фигур, наиболее часто высту­
п а ю щ и х в качестве цели конструктивных действий, предъявлялись учащимся в
следующем контексте:
« Задачи на построение в стереометрии очень часто являются составной ча­
стью вычислительных задач. Наиболее распространенными их требованиями
являются: построение сечений многогранников и тел вращения плоскостью;
построение углов и перпендикуляров; центра вписанного или описанного около
многогранника шара. П р и этом полезно знать, что применение определений
этих понятий позволяет свести задачу к построению элементов, из которых они
г
образованы:
*
Образующие
Фигура
ее
элементы
1. С е ч е н и е многогранни-,
Все точки пересечения секущей плоскости с ребра­
ка плоскостью
ми многогранника и все отрезки пересечения секу­
щей плоскости с гранями многогранника.
2. Угол между скрещи­
Две пересекающиеся прямые, параллельные дан­
в а ю щ и м и с я прямыми
ным.
3. Угол между прямой и
Сама прямая и ее ортогональная проекция на рас­
плоскостью
сматриваемую плоскость.
4. Л и н е й н ы й угол дву­
Д в а луча с началом в точке, принадлежащей линии
гранного угла (угол меж­
пересечения этих плоскостей, перпендикулярные к
ду плоскостями)
этой линии и лежащие в рассматриваемых плоско­
''
стях.
5. Ц е н т р шара, описанно­
Точка пересечения перпендикуляров к плоскостям
го около многогранника
граней многогранника, проходящих через центры
описанных около этих граней окружностей.
6. Ц е н т р шара, вписанно­
Точка пересечения биссекторных плоскостей дву­
го в многогранник
гранных углов многогранника (т. е. плоскостей, ка­
ждая из которых задается ребром двугранного угла
и биссектрисой любого его линейного угла).
Содержание теорем раскрывалось в контексте описания методов решения за­
дач на построение.
1. Аксиоматический
метод состоит в непосредственном использовании
утверждений стереометрии в качестве правил осуществления построений. Он
составляет основу осуществления действий следующих видов:
•" *
•
-
i -*
доказательство существования конструктивных элементов с заданными
свойствами, определения их количества;
•
построение изображений конструктивных элементов, сводящихся к прове­
дению прямой через две заданные точки или прямой, параллельной данной и
проходящей через данную точку;
• переформулировка задачи, т.е. замена свойств конструктивных элементов,
не сохраняемых проекционным чертежом, другими свойствами (замена отно­
шения перпендикулярности на свойство параллельности и л и на знание о виде
геометрического места точек, которому принадлежит и с к о м ы й конструктивный
элемент).
Заметим, что название метода объясняется не тем, что он допускает использо­
вание л и ш ь аксиом стереометрии, а тем, что решение задач на построение мо­
жет быть осуществлено без использования специальной теории построений на
проекционном чертеже.
При использовании метода как основы доказательства существования кон­
структивного элемента используются наиболее часто с л е д у ю щ и е утверждения:
•
Через три точки, не лежащие на одной прямой (прямую и не л е ж а щ у ю на
ней точку; две пересекающиеся или параллельные п р я м ы е ) проходит и
притом одна плоскость.
•
Если две плоскости имеют общую точку, то они и м е ю т и о б щ у ю прямую,
через нее проходящую.
•
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную данной, и притом одну.
П р и использовании метода как основы построения изображений ч а щ е всего
используются
•
теоремы:
Если две точки прямой принадлежат заданной плоскости, то и вся пря­
мая принадлежит этой плоскости.
•
Если две плоскости и м е ю т две общие точки, то прямая, проведенная че­
рез эти точки, является прямой пресечения данных'шюскостей.
•
Е с л и д в е параллельные плоскости пересечены третьей, т о полученные
л и н и и пересечения параллельны.
•
Е с л и прямая и плоскость параллельны, а через прямую проходит другая
плоскость, т о линия пресечения плоскостей параллельна данной прямой.
З а м е т и м , что эти теоремы можно использовать также при проверке правиль­
ности построения выполненных построений.
Пример
-
'"•
1. В результате решения задачи на построение
•1?-"
сечения куба плоскостью, проходящей через точки
К
М, Q и К, получено следующее изображение (рис. 1)
Отрезки SQ и KN - результат пересечения плоскости
j
=
(^ ~Т~~~
Q
а с параллельными плоскостями передней и задней
граней куба, следовательно, они д о л ж н ы быть парал­
лельны. О д н а к о , представленное изображение проти
/
у''
\ N
м
воречит этому утверждению, что доказывает о ш и ­
бочность полученного результата.
Рис. 1
Воспользуемся теперь аксиоматическим методом для решения этой задачи.
Решение
1. Плоскости верхней и нижней грани параллельны и верхняя грань имеет
пересечение с плоскостью а , следовательно, плоскость нижней грани пересе­
кается с ос по прямой M M / / / Q K . .
2. S- т о ч к а пересечения стороны нижней грани с прямой ММ,.
3. Точки S и Q принадлежат плоскости передней грани и секущей плоско­
сти, следовательно, прямая SQ - линия пересечения этих плоскостей.
4. Плоскости передней и задней граней куба параллельны, передняя грань
пересечена плоскостью а по прямой SQ, следовательно, плоскость задней грани
пересекается с плоскостью а по прямой КК/
5. N-
IISQ.
точка пересечения стороны задней грани с прямой K K
6. Точки N и М-
h
две общие точки плоскости а и правой боковой грани, сле­
довательно, прямая NM - линия их пересечения.
Многоугольник QKNMS - искомое сечение.
."'
. •
При использовании аксиоматического метода как средства переформулировки
задачи наиболее часто используются
теоремы:
• Прямая, лежащая в плоскости (или параллельная ей), перпендикулярна
наклонной тогда и только тогда, .когда она перпендикулярна к ортогональной
проекции этой наклонной на данную плоскость {обобщенная
теорема
о трех
перпендикулярах).
• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и
другая ей перпендикулярна.
• Если точка равноудалена от вершин многоугольника, л е ж а щ е г о в плоско­
сти, то основанием опущенного из этой точки перпендикуляра является центр
описанной около этого многоугольника окружности.
• Если точка равноудалена от сторон многоугольника, л е ж а щ е г о в плоско­
сти, то основанием опущенного из этой точки перпендикуляра является центр
окружности, вписанной в этот многоугольник.
2. Метод следов состоит в построении изображений о б щ и х точек заданной и
искомой фигур по изображениям следов и их проекций, а т а к ж е в последующем
использовании этих точек для восстановления изображения следа и с к о м о й фи­
гуры на заданной.
Следом прямой на плоскости называется точка пресечения этой п р я м о й с этой
плоскостью. Для построения следа прямой необходимо найти п р о е к ц и и (при
в ы б р а н н о м способе проектирования) двух задающих ее точек на заданную
плоскость, и тогда искомым следом будет точка пересечения данной прямой и
ее проекции на плоскость: • • ~ '
Следом
плоскости
на другой плрскбсти называется линия пресечения этих
плоскостей. /Для построении следа плоскости на другой плоскости необходимо
найти две о б щ и е точки этих плоскостей, тогда прямая заданная этими точками,
и будет и с к о м ы м следом.
Пример
2. Дана пирамида ABCDS,
основанием которой является трапеция
(AD || ВС). Построить л и н и ю пересечения плоскостей, содержащих ее боковые
грани ASB и DSC.
Решение
1.
Т о ч к а S - общая точка боковых граней, ~
у
следовательно, линия пересечения р а с с м а т ­
риваемых плоскостей проходит через эту
точку.
2.
Рассмотрим в качестве второй опорной
точки след линии пересечения этих плоско­
стей
на
плоскости
основания
О б о з н а ч и м искомую точку за Х 3. X &(ASB) и Xe(ADC),
Рис. 2
пирамиды.
,
-
J
следовательно, X принадлежит линии пересечения
этих плоскостей, т.е. прямой АВ.
4.
X e(DSC)
и X e(ADC),
следовательно, X принадлежит линии их пересече­
ния - прямой DC
5.
Построим точку X как точку пересечения прямых АВ и DC.
6.
П р я м а я SX-искомая
Метод
линия пересечения плоскостей боковых граней.
следов составляет основу построения изображений конструктивных
элементов фигур по изображению их следов или проекций в позиционно раз­
р е ш и м ы х задачах.
М е т о д позволяет решать задачи на построение сечений многогранников
плоскостью при ее явном задании, то есть если указаны следующие элементы,
задающие плоскость сечения:
•
, , •
три данные не лежащие на одной прямой точки; две д а н н ы е пресекающиеся
прямые;
•
данная прямая и не лежащая на ней точка;'' две данные параллельные пря­
мые.
.
Применение метода следов к построению сечений осуществляется по следую­
щей основной схеме: в секущей плоскости выбирают две прямые а и Ъ, не па­
раллельные плоскости рассматриваемой грани; находят их проекции а '.и Ъ' на
эту грань; находят точки пересечения: A = af]a' ; В = Ъ П V; прямая А В - ' с л е д
секущей плоскости на плоскости рассматриваемой грани.
3. Метод
вспомогательных
плоскостей
состоит в привлечении вспомога­
тельной плоскости к решению задач на построение, для сведения задачи по­
строения конструктивного элемента или расчета элементов, з а д а ю щ и х его по­
ложение, к соответствующей планиметрической задаче.
Пример
3. Дана пирамида SABCD, основанием которой является произволь­
ный четырехугольник ABCD.
На изображении этой пирамиды построить угол
между двумя скрещивающимися прямыми BQ (Q е SD) и PL (PeSB;
Т-середина
LeBT,
где
ребра DC).
Решение
1. Для сведения задачи построения прямой, параллельной BQ и пересекаю­
щей прямую PL, к планиметрической, рассмотрим вспомогательную плоскость,
проходящую через точку L и прямую BQ - плоскость а .
2. Изображением плоскости а может служить треугольник BQT.
параллельные прямые в параллельные
прямые,
следовательно, изображение прямой Ъ может быть
построено с помощью циркуля и линейки
как
прямая, параллельная изображению прямой BQ и
проходящая через изображение точки L .
4. Т о ч к а X пересечения изображения прямых Ъ
и QT является следом прямой <*Ь на плоскости
боковой грани SDC (ее построение обеспечивает
полноту изображения).
5. У г о л ZPLX-
"
Рис. 3
искомый.
М е т о д вспомогательной
,
*
плоскости
применяется при р е ш е н и и задач на по­
строение л и ш ь в комплексе с другими методами, выполняя в р е ш е н и и опреде­
л е н н ы е функции:
:
.
-
i r i
Виды задач
Ф у н к ц и и метода
Задачи на построение сечении, в которых
Метод позволяет выявить недос-
секущая плоскость задана частично услов-
т а ю щ и й конструктивный элемент
,,,
-
Л 8 Г
. •
.
-
.
<>"
(прямую или точку, л е ж а щ и е в се-
но:
•
Я в н о указана одна точка, принадле­
ж а щ а я секущей плоскости и установлено
одно из с л е д у ю щ и х условий:
перпендикулярна"данной
плоскость
прямой;
плос­
кость параллельна д а н н о й плоскости или
двум не параллельным прямым.
•
Явно указана-прямая,
У
, l
'*
принадлежа­
щая с е к у щ е й плоскости и установлено од­
но из с л е д у ю щ и х условий: плоскость пер­
пендикулярна заданной плоскости; парал-
кущей плоскости), необходимый
,--w*
.
......
,
для однозначного определения ее
положения. П о с л е э т о г б Ъ р й м е н я ется аксиоматический метод или
метод «следов».
данным углом к плоскости; параллельна
заданной плоскости; находится под задан­
ным углом к заданной прямой.
Задачи на построение угла между скрещи- Метод
позволяет
jt ~-
вающимися прямыми
бражение
v-,
следа
получить
прямой,
изо-
парал-
.
дельной одной из данных скрещи­
вающихся прямых, на изображе­
нии какой-либо из заданных плос­
костей
(обеспечивает
изображения):
.
-полноту
-'«\.*~.
Задачи на построение угла между прямой
М е т о д ' позволяет поставить и 'ре­
и плоскостью; угла между плоскостями;
шать планиметрическую задачу на
центра описанного или вписанного в мно­
вычисление
гогранник шара.
для
или
получения
доказательство,
дополнительных
данных (сохраняемых на проекци­
онном изображении)
о месте по­
ложения конструктивного элемен­
та. Применяется в комплексе с ме­
тодами
решения
планиметриче­
ских задач на построение или вы­
числительным м е т о д о м .
4. Вычислительный
метод
состоит в использовании геометрической теории
для получения дополнительных данных о взаимном р а с п о л о ж е н и и конструк­
тивных элементов с элементами заданных фигур, с целью з а м е н ы характеристик
конструктивных элементов, не сохраняемых на проекционном чертеже, на свой­
ства пропорционального деления отрезков.
Вычислительный метод составляет основу действий расчета
положения
конструктивных элементов на основе метрических теорем планиметрии и п о -
этому применяется лишь в метрически разрешимых
задачах на построение,
причем используется только в комплексе'с другими методами: методом допол­
нительной плоскости, следов или аксиоматическим методом.
Пример
4. Все углы при вершине S пирамиды SABC прямые, а отношение ее
ребер SA:SB:SC=l:2:3.
На. ребре SC взята точка D такая, что SD:SC=2:3.
Через
вершину А провести прямую, перпендикулярную прямой BD.
Решение
I . Для
определения
рассмотрим
-
Отрезок
(точки Х)
плоскость
сечение
АХ
-
на
a{A;BD).
пирамиды
высота
•
положения
!
перпендикуляра
ABD
1
,
этой
основания
прямой
BD
Треугольник
плоскостью.
этого >- треугольника.
Поэтому данная задача может быть сведена к
,
задаче: найти отношение отрезков ВХ: XD.
II.
Выразим длины сторон треугольника ADB через a=AS:
2
2
2.1. И з прямоугольного AASD AD = \ / а + 4a = a^5 .
2
2.2. И з прямоугольного A ASB АВ = Va + 4 а
I I I . AB=AD,
2
= а%/5 .
следовательно, AADB - равнобедренный.
3.1. АХ — высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника,
следовательно
BX=XD.
{:;• I V . П о с т р о и м середину отрезка B D с помощью циркуля и линейки. •
Теоретическую
планиметрические
основу вычислительного
метода составляют
следующие
теоремы:
• Е с л и стороны линейного угла пересечены параллельными п р я м ы м и (или
плоскостями), т о отрезки на одной стороне угла, образованные при этом пере-
сечении, пропорциональны соответственным отрезкам на второй стороне угла
(теорема Фалеса).
• Е с л и треугольники подобны, то* д л и н ы их соответственных элементов
пропорциональны.
• Биссектриса треугольника делит его сторону, на которую опирается, на
отрезки, пропорциональные прилежащим боковым сторонам.
• В прямоугольном треугольнике произведение отрезков гипотенузы, о б ­
разованных основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла, равно
квадрату длины высоты.
4. Векторно-координатный
метод
состоит в переформулировке задачи оп­
ределения положения конструктивного элемента н а язык векторов и л и на язык
алгебры путем введения системы координат с последующим нахождением ко­
ординат искомой точки и л и доказательством
перпендикулярности'на'основе
свойства скалярного произведения векторов.
Пример 5. Дан тетраэдр, в котором три ребра, исходящие из одной в е р ш и н ы ,
имеют соответственно длины а, 2а, За и образуют попарно п р я м ы е углы. И з о ­
бразите положение центра шара, вписанного в этот тетраэдр.
Решение
Центр шара, вписанного в тетраэдр - точка, равноудаленная от плоскостей
всех его граней, поэтому для решения
задачи
координатным
достаточно воспользоваться
расстояния от точки
кости
а,
методом
формулой
0(XO;)>O;ZQ) Д О
описываемой
плос­
уравнением
ax + by + cz + d = 0:
Р(0;а)--
\ax +by„
0
+cz +d\
0
I . Введем систему координат: вер-
Зак^
ш и н у тетраэдра, из которой выходят три попарно перпендикулярные ребра т о ч к у D - примем за начало координат, прямые, на которых л е ж а т эти ребра - за
координатные прямые: DA - о с ь Ox, DC - ось Оу, DB - ось Oz. За единицу из­
мерения примем отрезок д л и н ы а.
- ,.
.
а
)Г
,
И. Определим координаты вершин тетраэдра в заданной системе: А(1;0;0),
В(0;0;3), С(0;2;0).
;
'
I I I . Получим" уравнения плоскостей граней тетраэдра:
3.1. П л о с к о с т и ХоY; XoZ;
z=0;
YoZ описываются соответственно уравнениями:
у=0;х=0.
3.2. Д л я получения уравнения плоскости (ABC) используем тот факт, что ей
п р и н а д л е ж а т точки A(l;Qfi),
В (0;0;3), С ( 0 ; 2 ; 0 ) . Подставив координаты в
о б щ е е уравнение плоскости, получим:,<2b + d = (). В ь ф а з и м п е р е м е н н ы е а,Ъ,с
[3c + d = 0
через d и подставим в н о в ь . в уравнение плоскости: -dx-~y-jz
+ d = 0. От­
сюда получаем уравнение 6х,+3>> + 2z - 6 = О
I V . О б о з н а ч и м координаты центра вписанного шара - точки О - через x;y;z и
используем свойство ее р а в н о у д а л е н н о е ™ от всех плоскостей граней для полу­
чения у р а в н е н и й , их связывающих:
4 . 1 . p(0;XoY)
= z; p(0;XoZ)
6x
4.2. p(0;(ABC))J
+
i
y
+
= у; p(0;YoZ)
2
z
~ ^ -
л/36 + 9 + 4
л •> гт
l
n
x
-
6
= х, следовательно, x=y=z.
{
7
111х-6|
.1
4.3. П о л у ч и м , окончательно, уравнение х = - — - — • , откуда получаем: х = у
(другой корень этого уравнения противоречит условию х < 1).
V . П о с т р о и м на изображении тетраэдра с системой координат изображение
точки О ( у ; j ; у ) » ( 7 4 , 3 8 - 4 4 ) .
Задачи методологической подготовки учащихся потребовали предъявления
им следующих аномальных ситуаций:
1. Ситуация,
граммы
.
-
приводящая
к обнаружению
конструктивных
действий
«осуществить
построение
построение
не реализуемости
в связи с-переходом
на плоскости»,
'к требованию:
изображении
плоскости».
на проекционном
привычной
от
про­
требования:
«осуществить
Данная ситуация.в [74] представлена нами следующим образом: «Задачи на
построение в стереометрии существенно отличаются от задач на построение в
планиметрии. Во-первых, тем, что при их решении приходится иметь дело не с
самой геометрической фигурой, а с ее изображением, с о х р а н я ю щ и м далеко не
все свойства этой фигур». .
Пример
. , • ! . > ,
6. «Построить диаметр окружности, перпендикулярный данному: а) на
окружности; б) на проекционном изображении окружности» (74,33). •
• .,
Отсутствие возможности организации диалога с целью в к л ю ч е н и я учащихся в
рефлексивную деятельность, направленную на разрешение возникшей методо­
логической проблемы, при заочной форме обучения требует
предъявления
учащимся образца выхода из аномальной ситуации в форме описания р е ш е н и я
с указанием причин изменения программы:
« а) Данная задача сводится к задаче построения прямой, перпендикулярной
данной прямой, задаваемой диаметром d и проходящей через д а н н у ю точку О,
л е ж а щ у ю на этой прямой.
1. С
помощью
циркуля
построим
две
окружности
,
d
с центрами в концах диаметра а и радиусом г > —.
2.
с
Соединим
точки
помощью
пересечения
линейки,
перпендикулярную
d.
этих
окружностей
получим
Отрезок
АВ
прямую,
этой
прямой,
Рис. 6
образованный
точками
пересечения
окружностью, является искомым диаметром.
с
заданной
б) В связи с т е м , что проекционные изображения искажают величину углов, не­
обходимо искать другой способ построения перпендикулярного диаметра. •
Используем д л я этой цели теорему о хорде, перпендикулярной радиусу.
1. Через произвольно в ы б р а н н у ю точку А окружности проведем с п о м о щ ь ю
циркуля и линейки п р я м у ю А В // d.
2. Построим
с помощью
хорды А В - точку С.
,
г
циркуля
1
-
середину
'
•'
*3. П р о в е д е м с п о м о щ ь ю линейки через точки О
и С п р я м у ю . Отрезок этой прямой с концами на
Риг 7
д а н н о й окружности - искомый диаметр.
ш^./
Д а н н ы й п р и м е р показывает, что далеко не все известные из школьного курса
п л а н и м е т р и и алгоритмы решения основных задач на построение оказываются
п р и м е н и м ы м и . Для принятия решения о возможности использования таких ал­
горитмов следует помнить о том, какие свойства фигур сохраняются при парал­
лельном проектировании, а какие искажаются» (74,33).
2. Ситуация,
• уровню
приводящая
строгости
преемственности
к обнаружению
решения
этих
~'~
вариативности
стереометрических
.требований
задач на построение
к
и
требований.
Средством создания такой ситуации выступало (74, 34-38)
тий: степень разрешимости задачи н а построение,
введение поня­
вида задач п о степени-их
разрешимости: условно разрешимые, позиционные и метрические. Описание
решений
примеров задач этих видов оформлялось таким образом, чтобы- вы­
делить в н и х составляющие, направленные на доказательство существования и
единственности объекта, заданного условием задачи,
описание способа по­
строения изображения этого объекта и всех сопутствующих этому построению
расчетов.
В [74] отмечается,, ч т о . о с о б е н н о с т ь ю р е ш е н и я задач на построение в стереометрии является вариативность требований к у р о в н ю строгости их решения.
Эти требования существенным образом зависят от характера представленных в
условии задачи данных. П р и этом говорят, что условие задачи определяет сте-
пень ее разрешимости. П о степени их разрешимости все задачи на построение
могут быть разделены на три вида: условно р а з р е ш и м ы е . з а д а ч и , позиционно
разрешимые и метрически разрешимые.
1.У словно разрешимые
задачи на
построение'
Для решения этих задач достаточно л и ш ь доказать, что построение требуемого объекта в принципе может быть выполнено. П о своей сути р е ш е н и е их пред­
ставляет собой доказательство утверждения о существовании фигуры с задан­
ными свойствами и исследование количества таких фигур.
Пример
7. Докажите, что через точку, не л е ж а щ у ю на плоскости, м о ж н о про­
вести единственную плоскость, параллельную д а н н о й . '
Решение
1. Рассмотрим некоторую произвольно в ы б р а н н у ю п р я м у ю я , л е ж а щ у ю в за­
данной плоскости у. Эта прямая вместе с заданной точкой (обозначим ее О) за­
дают и притом единственную плоскость а (по аксиоме задания плоскости).
2. В плоскости а через точку О можно построить и притом единственную
прямую а', параллельную прямой а (по аксиоме параллельности п р я м ы х в пла­
ниметрии).
3. Рассмотрим
другую прямую Ъ, принадлежащую заданной плоскости у и
пересекающую прямую а в точке В. Эта прямая вместе с заданной точкой О за­
дает и притом единственную плоскость (3 (по аксиоме задания плоскости).
4. В плоскости Р через точку О м о ж н о построить и притом единственную
прямую Ъ', параллельную прямой Ъ (по аксиоме параллельности п р я м ы х в пла­
ниметрии).
5. Полученные прямые а' и b' пересекаются в точке О и не с о в п а д а ю т по п о ­
строению, следовательно, через них можно провести и притом е д и н с т в е н н у ю
плоскость у' (по теореме о задании плоскости).
6. Полученная плоскость у' искомая, так как она параллельна плоскости у по
признаку параллельности плоскостей.
Для р е ш е н и я задач этого вида .не н у ж н ы чертежные инструменты, так как
фактических построений выполнять не требуется. Основной идеей и х решения
является использование утверждений стереометрии для сведения задачи к по­
следовательности задач на построение в .планиметрии. Если удается доказать,
что элементы, задающие фигуру, принадлежат одной плоскости, т о утвержда­
ется, что фигура
существует, так как
является результатом р е ш е н и я плани-
<
метрической задачи на построение.
2. Позиционно
разрешимые
задачи, на построение
.
,
Для р е ш е н и я задач этого вида необходимо не только доказать существование
ф и г у р ы , но и определить ее «позицию» (или «позицию» ее элементов) относи­
т е л ь н о д р у г и х изображенных фигур, то есть построить ее изображение с точно­
с т ь ю д о верного указания всех точек пересечения ее с заданными (своим изоб р а ж е н и е м ) фигурами или указания на их отсутствие (через изображение параллельных элементов). Построение изображения при этом сопровождается до­
казательством существования точек пересечения или параллельности фигур.
Пример
8. Постройте изображение
параллелепипеда
'
ABCDAiBjCjD],
если д а н ы изображения точек А, В,
С и D,.
:
• -
3.
-
••
г
- «-
...
О ф о р м и м р е ш е н и е данной задачи в
—
а
виде т а б л и ц ы , показывающей,
что
оно состоит из шагов двух типов: д о с. Рис.
8-
казательства однозначной определен­
ности самой фигуры заданными элементами (существования и единственности)
и описания способа построения ее изображения.
г.
г •; '"'I
«
•
"s
V.
~'
Решение
Доказательство
и
Построение
существования
единственности
1. Докажем, что положение точ­
ки
D
изображения
полностью
2.
Построим изображение точки D с по­
определяется м о щ ь ю изображений точек А, Ви
взаимным положением точек А, В
Так как при параллельном проектировании
сохраняется-, .параллельность
и С.
С.
прямых,
то
изображение точки D м о ж е т быть получено
1.1. Т о ч к и А, В и С
задают как
результат
плоскость нижнего основания па­ прямых
пересечения
изображений
аиЬ.
раллелепипеда (обозначим ее а ) .
2.1. _ Через точку А с п о м о щ ь ю циркуля и
1.2. Точка D является четвертой
вершиной
параллелограмма,
жащего в этой плоскости а , сле­
довательно, она может быть по­
лучена
как
точка
пересечения
двух прямых: прямой а // ВС и
проходящей
через
точку
А,
и
прямой Ы1 АВ и проходящей че­
рез точку С.
Эти прямые по ак­
сиоме параллельности существу­
ют и единственны.
линейки проведем п р я м у ю а // ВС. .
ле­
2.2.
Через точку С с п о м о щ ь ю циркуля и
линейки проведем прямую Ъ //АВ.
Изображения п р я м ы х АВ и ВС не совпа­
дают,
так как точки А, В и С не лежат на
одной прямой, и параллельное проектиро­
вание переводит точки, не л е ж а щ и е на од­
ной прямой, в точки, не л е ж а щ и е на одной
прямой, следовательно, п р я м ы е а и b пере­
секаются. Построим с п о м о щ ь ю л и н е й к и их
точку пересечения - и с к о м у ю точку D.
3. Д о к а ж е м , что точки D и D \
- 4. Построим изображение боковых рёбер
п о л н о с т ь ю определяют положе­ параллелепипеда с п о м о щ ь ю
изображения
н и е всех боковых ребер паралле-- точек D и D\.
лепипеда.
-
4.1. П а р а л л е л ь н о е проектирование
пере­
3.1. В с е боковые ребра парал­ водит параллельные прямые в параллельные
лелепипеда параллельны по оп­ прямые, поэтому изображение прямой т с
ределению.
помощью циркуля и линейки может быть
• 3.2. Т о ч к а А и прямая DD j за­ построено как прямая, проходящая
дают
и 'притом
через
единственную изображение точки А и параллельная изо­
бражению ребра DD \.
плоскость боковой грани.
3.3. В этой плоскости м о ж н о
построить и притом единствен­
н ы м образом проходящую через
точку А п р я м у ю т // DD i (по ак­
сиоме параллельности прямых).
3.4. Н а п р я м о й т можно вы­
4.2. Параллельное
проектирование
пере­
брать и притом единственную
водит точки, принадлежащие одной полу­
п о л у п р я м у ю т' с началом в точ­
плоскости, в точки, принадлежащие одной
ке А, л е ж а щ у ю в той ж е полу-...
полуплоскости, поэтому изображением по­
плоскости относительно прямой
лупрямой т' является полупрямая изобра­
AD, что и точка D / (по аксиоме
жения прямой т, все точки которой лежат в
разбиения плоскости прямой и
той же полуплоскости относительно
следствиям из ее). . .
бражения прямой AD, что и точка D \.
3.5. Н а полупрямой т' м о ж н о
Параллельное
проектирование
изо­
сохраняет
о т л о ж и т ь - и притом
единствен­ равенство отрезков параллельных прямых,
н ы й отрезок AA\=DD
).(по аксио­ поэтому с п о м о щ ь ю циркуля на изображе­
м е откладывания отрезков).
Аналогично
возможность
нии полупрямой т v может б ы т ь единствен­
доказывается
однозначного
строения о т р е з к о в В В \ и СС\.
по­
н ы м образом отложен отрезок АА\= DD \ .
Аналогично
строятся
изображения
ос­
тальных боковых ребер.
5. Для построения изображения верхнего
основания параллелепипеда
достаточно те­
перь соединить отрезками точки А
и
В\, С
) (
3. Метрически
разрешимые
задачи на
построение
Метрические задачи на построение возникают в связи с "необходимостью
строгого изображения фигур или их элементов, обладающих свойствами,-иска­
жаемыми проекционным чертежом.
В задачах этого вида ко всем п р е д ы д у щ и м
типам шагов решения (доказательству существования фигуры и исследованию
количества фигур с заданными свойствами, построению ее проекционного изо­
бражения) добавляется требование расчета всех величин, о п р е д е л я ю щ и х разме­
ры и форму фигуры или задающих ее положение относительно других задан­
ных фигур.
.
S
Пример
9. Дана пирамида
основанием
которой
параллелограмм ABCD
ВС
=10
см,
ZBAD
ABCDS,
является
(АВ
=
.
60°),
-
8 см,
высота
пирамиды SO=3 см и О - середина АВ.
Построить линейный угол двугранного
угла,
образованного
основания
и
боковой
плоскостью
гранью ASD
(рис. 9).
"S
О ф о р м и м решение этой задачи в виде
р
и с
Q
таблицы, демонстрирующей шаги реше­
ния выделенных типов.
Решение.
Определение линейного угла двугранного сводит д а н н у ю задачу к по­
строению двух прямых, перпендикулярных к линии пересечения этих плоско­
стей и проходящих через одну точку на ней.
Расчет
Доказательство
положения
Построение
изображения
существования
1. В плоскости ASD че­ 4.; Определим, в ка­
5. С п о м о щ ь ю линейки
по­
отношении строим произвольный луч а с
рез точку S к прямой ком
AD м о ж н о провести И т о ч к а М делит от­ началом в точке А, отличный от
притом 1 единственную резок AD.
перпендикулярную
4.1.
п р я м у ю SM (по теоре­
ме о существовании и
единственности
пендикуляра
в
пер­
плани­
Из
угольного
AD.
прямо­
Д ОАМ вольной длины и отложим по­
следовательно пять таких
(OA = 4 см,
ZBAD = 60°)
6. Зададим отрезок АА / произ­
от­
нахо­ резков на луче а:
дим, что АМ= 2 см.
метрии).
4.2.
2. П р я м а я
ОМ,
лежа­
щая в плоскости
АБС,
перпендикулярна
AD
JM:
2:10=1:5
AD
= АА/ = AiA
2
7.
- А А} = А$А
2
= AjA$
4
Соединим конец послед­
него из полученных отрезков точку А с точкой D.
5
(по теореме о трех пер­
8.
Проведем
с
помощью
пендикулярах)
циркуля и линейки через точку
3. Z SMO
-
искомый
А \ прямую, параллельную A D.
S
(по
определению
ли­
9.
На
основании
теоремы
нейного угла двугран­
Фалеса м о ж н о утверждать, что
ного).
эта прямая пересекает AD в ин­
тересующей нас точке М.
П р и в е д е н н ы е примеры показывают, что задачи с высокой степенью разреши­
мости м о ж н о р е ш и т ь на нескольких уровнях строгости. Так, позиционные зада­
чи д о п у с к а ю т решение на уровне доказательства проведения построений и на
у р о в н е построения точек и линий пересечения требуемого объекта и данных.
М е т р и ч е с к и р а з р е ш и м ы е задачи м о ж н о р е ш и т ь на трех уровнях: уровне доказа­
тельства возможности построения, уровне построения общих точек и линий,
уровне получения данных о метрических свойствах этих точек и линий. В том
случае, если задача на построение является частью другой задачи: на вычисле­
ние или доказательство, то уровень необходимый строгости ее решения опре­
деляется и целями дальнейшего использования результата построения.
Пример
10. АВСДА,В,С,Д,
- прямоугольная призма, в основании которой ле­
жит квадрат со стороной а, а е е боковое ребро равно 2а. Через середины ребер
й
АВ и АД проведена плоскость под углом 60
кiплоскости основания призмы.
Найти площадь сечения призмы этой плоскостью....
Условием задачи определяются два способа вычисления площади сечения: оп­
ределение вида многоугольника, являющегося сечением, и выражение площади
через его линейные размеры; выражение площади сечения ч е р е з . п л о щ а д ь ее
ортогональной проекции на плоскость основания призмы с п о м о щ ь ю формулы
S„ ,
r nil
=5
е т
cos 60°. Реализация первого способа требует метрического разреше­
ния задачи на построение сечения призмы плоскостью. "Реализация второго
способа требует лишь доказательства, того факта, что секущая плоскость пере­
секает три боковых ребра данной призмы: ВВ]-,ДД] и СС/. Такое доказательство
требует метрического решения вопроса л и ш ь о точке пересечения данной плос­
кости с ребром СС,, остальные выводы могут быть получены в рамках условно­
го разрешения задачи на построение.
Формирование у учащихся знаний роли такой классификации стереометри­
ческих задач на построение осуществлялось посредством постановки рефлек­
сивных заданий на определение вида задачи по описанию ее решения и доказа­
тельства принадлежности ее к названному виду. Их примером являются сле­
дующие:
:
-
] .Условно разрешимой, позиционной или метрической является данная зада­
ча?
Обоснуйте ответ, разделив решение задачи на части, соответствующие
действиям, характерным для этих видов задач.
2. Условно разрешимой, позиционной или метрической является данная за­
дача?
Обоснуйте ответ с помощью указания метода, использованного в ходе
решения задачи, с описанием его возможностей.
=
-"
4. Ситуация,
приводящая
умозаключений
к обнаружению
возможности
без опоры на образ математического
осуществления
объекта
•
Следует отметить, что трудность решения стереометрических задач (в том
числе и задач на построение) наиболее часто связывается с недостаточностью
развития пространственного мышления учащихся. Так, И.С. Якиманская отме­
чает, что «Образовательная практика свидетельствует о том, что недостаточное
развитие пространственного мышления препятствует эффективному усвоению
геометрии, особенно в старших классах (при переходе к стереометрии); суще­
ственно затрудняет овладение графическими дисциплинами в вузе» (185, 116).
Э т о показывает, что оперирование образами является ведущим, механизмом
р е ш е н и я задач в метаэмпирической форме познания, а часто и единственным (с
отсутствием логического контроля связаны многочисленные ошибки учащихся
при р е ш е н и и геометрических задач). Пространственное м ы ш л е н и е позволяет,
по свидетельству И.С. Якиманской, осуществлять « . . . мысленное включение
воспринимаемого объекта или созданного н а его основе образа в различные
связи и отношения: это обеспечивает возможность вычленения все новых и но­
вых предметно-пространственных характеристик объекта, а также реконструи­
рования исходных образов в ходе решения задач» (185, 89). Недостаток разви­
тия пространственного _мышления у учащихся использовался нами в качестве
условия для создания ситуаций, подводящих к переосмыслению роли образов в
математической деятельности.
.*
Н а и б о л е е благоприятствуют этому, по нашему мнению, задачи, не требую­
щ и е осуществления непосредственных построений - условно р а з р е ш и м ы е задачи, причем те, условием которых не определяется образ конструируемого
объекта или его пространственного расположения относительно других задан­
н ы х геометрических объектов. Поскольку выход из этой аномальной ситуации,
в простейших случаях, может быть" найден самими учащимися, то при заочной
ф о р м е обучения в качестве.средства, направленного на ее создание могут вы­
ступать задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
Н а п р и м е р : «Через данную точку пространства проведите прямую, пересе­
к а ю щ у ю две данные скрещивающиеся,прямые»'(74,255).
Особенностью данной задачи является тот факт, что образ заданной ситуации
не предваряет ее решение, а л и ш ь фиксирует ее результат.
Решение
1. Данная точка пространства, обозначим ее т. С, вместе с одной из данных
скрещивающихся прямых, обозначим ее а, задают, по аксиоме существо­
вания плоскости, единственную плоскость
а(С;а).
•I
2. Аналогично, точка С и прямая Ъ (скрещивающаяся с прямой а) опреде­
л я ю т еще одну плоскость /3(С;Ь).
3. Плоскости а и р имеют о б щ у ю точку и не совпадают, так как прямые а и
Ь скрещивающиеся, следовательно, по аксиоме о взаимном расположении
плоскостей, они пересекаются по прямой, обозначим ее d, содержащей
г
точку С.
til
,
4. Полученная таким образом прямая d является искомой в том случае, если
ни одна из данных скрещивающихся прямых ей не параллельна, так как
две не параллельные прямые на плоскости являются пересекающимися.
5. В противном случае задача решения не имеет, так как прямая а (или Ь)
параллельная d, будет параллельна и плоскости, задаваемой другой пря­
мой и точкой С, следовательно, не будет иметь общих точек ни с одной
прямой такой плоскости.
Дальнейшая работа по формированию представлений об области исполь­
зования и роли формальных преобразований данных при р е ш е н и и задач на
построение осуществлялась в двух направлениях: постановка заданий для
самостоятельного решения на доказательство потенциальной осуществимо­
сти требуемых построений; постановка заданий на восполнение пробелов в
теоретической аргументации в представленных образцах р е ш е н и я фокусзадач.
Пример
11.
В основании прямоугольного параллелепипеда
ABCflAjBjCjDi
л е ж и т квадрат, AB:AAj= 1-3-V2 . * Т о ч к а ' Е - середина ребра DDj.
угол между прямой AB
и плоскостью (АЕС).
t
Решение
'
1
'
• "
с
'
Построить
. .•
;
r
!
1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью (АЕС) - треугольник АЕС.
2. П о к а ж е м , что м о ж н о построить ортогональную проекцию прямой АВ] на
плоскость
(АЕС):
2.1. Т о ч к а Л =АВ (](АЕС).
_ '
1
И з т о ч к и В] м о ж н о опустить и притом
единственный
плоскость
перпендикуляр
В/Н
на
(АЕС).
Т о г д а АН - искомая проекция прямой
АВ] на плоскость (АЕС).
3. Н а й д е м положение точки Я на плоско­
сти (АЕС):
3.1. Для этого рассмотрим
т е л ь н у ю плоскость
-вспомога­
Рис.10
p(Bi)L(AEC).
3.2. Прямоугольник ВВ,ДД-
сечение параллелепипеда этой плоскостью (?).
3.3.
П р я м а я ОЕ-линия
пересечения плоскостей (АЕС) и Д
3.4.
Тогда точка Н-принадлежит
0£т.к.(?).
' .'j,.
4. Д л я построения точки Я найдем отношение отрезков ОЕ.ОН,
сделав вы­
н о с н о й чертеж, изображающий все элементы, принадлежащие вспомогательной
плоскости Р (рис. 11).
4.1.С п о м о щ ь ю циркуля и линейки построим прямоугольник В 5,Д,Д , такой
что
В'Д'
В'В,
ВД _ ЛУЧ*.
АВ42
' ВВ, ~ АВЪ-Jl
_
,ы
_
3
4.2. П о с т р о и м точки О', Е'— середины отрезков В ' Д ' тлДД]'
соответственно.
4.3. Опустим из точки В / перпендикуляр на О'Е'. Основанием его является
точка Я ' .
- .
На выносном чертеже отрезки О'Е'
нии.
:
и О'Н'
находятся в искомом отноше­
-
5. Для переноса найденного отношения отрезков на проекционное изображение
воспользуемся теоремой Фалеса: '
5.1. И з точки О проведем произвольным обра­
зом луч /.
5.2. На этом луче от точки О отложим отрезки
р а в н ы е О'Е' и О'Н' - отрезки ОЕ" и ОН"
соответственно.
5.3. Соединим точки
ЕиЕ".
5.4. Проведем через точку Н"
п р я м у ю т\\ ЕЕ".
5.5. Искомая точка Я - точка пересечения пря­
м ы х т и ОЕ.
6. Угол В,АН - искомый.
Контрольные
вопросы
1. Восстановите пробелы в решении, обозначенные знаком (?).
2. К какому виду относится данная задача?
3. Выделите шаги решения, направленные на замену условия перпендику­
лярности В]Н свойством точки Н, сохраняемым на п р о е к ц и о н н о м черте­
же» (74, 50).
5.
Ситуация,
приводящая
существовании
к необходимости
и математической
переосмысления
роли
теорем
о
теории
Процесс решения задач на построение в стереометрии требует ш и р о к о г о ис­
пользования теорем существования и единственности. Т а к и м и теоремами по
существу являются все условно-разрешимые задачи на построение. План дока­
зательства таких теорем выступает в качестве стратегической основы осущест­
вления конструктивных действий в позиционных и метрических задачах. К р о м е
того, к необходимости доказательства подобных утверждений приводит сама
постановка задач на построение, в которых требуемый объект часто задан лишь
системой отношений его пространственного расположения с другими объекта­
ми. Наиболее интересна в этом смысле ситуация, когда к постановке таких за­
дач приходится прибегать самим учащимся. Такая необходимость возникает в
том случае, когда решение сложной стереометрической задачи приводит к идее
i
использования метода дополнительных построений.
О п ы т р а б о т ы З М Ш при Поморском государственном университете имени
М . В . Л о м о н о с о в а показывает, что наиболее сложными для учащихся оказыва­
ются р е ф л е к с и в н ы е задания (на описание методологической основы решения
задачи, на поиск ошибки в рассуждениях, вскрытие причин принятия тех или
и н ы х р е ш е н и й о стратегии решения). Это связано в первую очередь с тем, что
задания этого типа практически л е используются в.методике преподавания ма­
т е м а т и к и в школе. Отказ же от их постановки сделает «невидимым» функцио­
нирование той части методологических знаний, которая в описании представима л и ш ь в результатах его использования: реализация требований к чертежу,
структура метода решения задачи и его составляющих и т.п.
Е щ е о д н и м с д е р ж и в а ю щ и м фактором в решении задач методологической
подготовки учащихся при заочной форме обучения является невозможность
непосредственного и постоянного контакта вузовского преподавателя с учащ и м с я З М Ш , отсутствие у них знаний о специфике методологической составл я ю щ е и его математического образования, формируемого п о д воздействием
изучения основного курса математики в средней школе.
Заочная ф о р м а обучения ограничивает" возможности в выборе
средств
-л.
предъявления у ч а щ и м с я аномальных ситуаций: образцы выхода из ситуаций,
постановка задач, являющихся носителями аномальной ситуации. В первом
случае ситуация теряет свою конфликтность из-за отсутствия необходимости
л и ч н о г о ее переживания. Во втором случае конфликт оказывается непреодолим
для б о л ь ш и н с т в а учащихся, а работающий с ними вузовский преподаватель не
может оказать своевременную п о м о щ ь . :
Все эти недостатки, обусловленные, заочной формой обучения, существенно
снижают эффективность ее использования в качестве* условия методологиче­
ской подготовки учащихся к изучению математики в,вузе.[Ликвидация боль­
шинства из этих недостатков может быть достигнута за счет сочетания заочно­
го обучения с очной формой.
i
,
4. Э л е к т и в н ы е математические курсы при вузе
Принятая в июне 2002 г. Концепция
профильного обучения открыла но­
вые возможности в решении задач подготовки учащихся к изучению математи­
ки в вузе. Авторы этой концепции поставили перед обществом задачу создания
системы специализированной подготовки (профильного о б у ч е н и я ) . в старших
классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию
обучения и социализацию обучающихся, отработки гибкой системы профилей
и кооперации старшей ступени ш к о л ы с учреждениями начального, среднего и
высшего профессионального образования. Такая постановка задачи профиль­
ной дифференциации потребовала выделения в его содержании двух относи­
тельно самостоятельных понятий: профильное обучение и профильная школа.
При этом профильное обучение предлагается трактовать как «средство диффе­
ренциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменения в
структуре, содержания и организации образовательного процесса более полно
учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия
для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными инте­
ресами и намерениями в отношении продолжения образования». В этом своем
понимании профильное обучение призвано создать условия для выстраивания
учеником индивидуальной образовательной траектории.
В этой связи модель общеобразовательного учреждения с п р о ф и л ь н ы м обуче­
нием на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комби­
наций учебных предметов, что призвано обеспечить гибкость системе про­
фильного обучения. Эта система по замыслу авторов концепции включает в се­
бя учебные предметы трех типов: базовые общеобразовательные, профильные и
элективные.
Б а з о в ы е общеобразовательные" предметы являются обязательными для всех
у ч а щ и х с я во всех профилях обучения. Их основанная функция .-.завершение
общеобразовательной подготовки учащихся, определяемой требованиями госу­
дарственного стандарта общего образования. П р о ф и л ь н ы е общеобразователь­
ные предметы - предметы повышенного уровня, определяющие направлен­
ность каждого конкретного профиля обучения. "Они о б е с п е ч и в а ю т х п е ц и а л ь ную подготовку выпускников, ориентированную в первую очередь, на их под­
готовку к п о с л е д у ю щ е м у профессиональному образованию.
Элективные
ся, входящие
курсы - обязательные
в состав профиля
для посещения
обучения
на старшей
курсы по выбору
учащих­
ступени школы. Они при­
званы «компенсировать» во многом достаточно ограниченные возможности ба­
зовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных
потребностей старшеклассников^
В концепции профильного обучения отмечается, что элективные курсы реа­
лизуются за счет школьного компонента учебного плана и призваны выполнять
две функции:
•
•
• \_
«поддерживать»'изучение профильного предмета на заданном профилем
уровне;
•
1
.•
"
осуществлять внутрипрофильную специализацию учащихся.
В и н ф о р м а ц и о н н о м письме департамента общего и дошкольного образова­
ния об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей степени
общего образования спектр функций этих курсов значительно расширен. В нем
говорится: « П о назначению м о ж н о выделить несколько'типов элективных кур­
сов. О д н и из них могут являться как бы «надстройкой» профильных курсов и
обеспечить для наиболее способных школьников п о в ы ш е н н ы й уровень изуче­
ния того или иного учебного предмета. Другие элективы д о л ж н ы обеспечить
м е ж п р е д м е т н ы е связи и дать возможность изучать смежные у ч е б н ы е предметы
на п р о ф и л ь н о м уровне. . . . Т р е т и й тип элективных курсов п о м о ж е т школьнику,
о б у ч а ю щ е м у с я в профильном классе, где один из учебных предметов изучается
на базовом уровне, подготовиться к сдаче Е Г Э по этому предмету н а повышен-
ном уровне. Е щ е один тип элективных курсов может быть ориентирован на
приобретение школьниками образовательных результатов для успешного про­
движения на р ы н к е труда. ... Н а к о н е ц / п о з н а в а т е л ь н ы е интересы многих стар­
шеклассников часто могут выходить за рамки традиционных ш к о л ь н ы х пред­
метов, распространяясь на области деятельности человека вне круга выбранно­
го ими профиля обучения. Это определяет появление в старших классах элек­
тивных курсов, носящих «внепредметный» или «надпредметный» характер»
(179, 14). Введение элективных
дает следующие условия
курсов в программу общего образования соз­
для решения
задач
методологической
подготовки
учащихся:
•
возможность включения в программу профильного обучения методоло­
гически ориентированных математических элективных курсов как «надпредметных»;
•
возможность ориентации математических элективных курсов не только
на подготовку к поступлению в высшее учебное заведение, требующее
повышенного уровня математического образования, но и на подготовку
к изучению вузовских курсов математики;
•
возможность не ограничивать предметный контекст методологической
подготовки учащихся содержанием федерального компонента государ­
ственного стандарта общего математического образования, включая во­
просы из вузовских курсов математики, а также вопросы, относящиеся к
профессиональной математической деятельности.
Элективные курсы как наиболее вариативная часть школьного образования
требует изменения и организации учебного процесса, вызванного возможной
нехваткой педагогических кадров и учебно-методического обеспечения, недос­
таточным количеством учащихся для объединения их в учебную группу. В этой
связи
в концепции предусмотрены механизмы привлечения образовательных
ресурсов вузов к решению задач профильного обучения (так называемая
вая форма
организации
профильного
обучения).
сете­
В сетевой ф о р м е профильное
обучение учащихся конкретной школы осуществляется за
счет
кооперации
общеобразовательного учреждения с учреждениями дополнительного, высше­
го, среднего и начального профессионального образования и привлечения до­
полнительных образовательных ресурсов. В этом случае учащимся предостав­
ляется право выбора получения профильного обучения не только там, где он
учится, но и в кооперированных с общеобразовательным учреждением образо­
вательных структурах (дистанционные курсы, заочные школы, учреждения
профессионального образования и др.).
Сетевая
форма
организации
д а т ь д о п о л н и т е л ь н ы е условия
учащихся
•
к изучению
проведения
длярешения
математики
элективных
курсов
задач методологической
позволяет соз­
подготовки
в вузе:
объединять в учебные группы для изучения элективных курсов при вузе
у ч а щ и х с я из разных школ, планирующих продолжение обучения в дан­
н о м вузе, что несколько у м е н ь ш и т вариативную составляющую методо­
логической подготовки за счет стабилизации тех ее элементов, которые
определяются спецификой данного вуза;
•
привлекать к разработке учебно-методического обеспечения и к проведе­
н и ю элективных курсов преподавателей вуза, являющихся носителями:
з н а н и й об учебньге затруднениях студентов первого курса, квазиэмпири­
ч е с к о й ф о р м ы учебного математического познания;
•
о с у щ е с т в л я т ь взаимодействие ш к о л ь н ы х и вузовских преподавателей ма­
т е м а т и к и , что способствует с б л и ж е н и ю методологических форм учебного
математического познания при изучении базовых, профильных курсов
(преподаваемых ш к о л ь н ы м учителем) и элективных курсов (преподавае­
м ы х сотрудником вуза) за счет интеграции их методических подходов к
, изложению учебного материала и их учебных требований.
Таким образом,
и м е н н о элективные
курсы
при вузе являются наиболее
б л а г о п р и я т н ы м и для решения задач методологической подготовки учащихся
как в п л а н е реализации ее инвариантной, так и вариативной составляющей
(•(таблица 13).
Для практической проверки справедливости сделанных нами выводов при
математическом факультете П о м о р с к о г о государственного университета
в
2000 году был организован центр взаимодействия со ш к о л а м и по вопросам
профильного обучения. В его задачу входила разработка учебно-методического
обеспечения для проведения элективных курсов и организация их проведения в
условиях взаимодействия школ и математического факультета.
Результатом этой работы явилась разработка пакета программ методологиче­
ски ориентированных элективных курсов по математике (см. приложение). Па­
кет программ включает в себя курсы двух типов: поддерживающие и специали­
зирующие. Поддерживающие
методологически
ориентированные
.элективные
курсы направлены на решение задач методологической подготовки.учащихся к
осуществлению перехода от метаэмпирической формы учебного - познания с
элементами дедукции к квазиэмпирической в контексте обучения решению
конкурсных задач. В ы б о р данного контекста в к а ч е с т в е ' п р е д м е т н о й основы
развития методологических знаний учащихся определялся с л е д у ю щ и м и сооб­
ражениями. Традиционно интерес к получению дополнительного математиче­
ского образования при вузе для учащихся старших классов и их родителей свя­
зан с возможностью наилучшей подготовкой к вступительным испытаниям.
Этот аспект дополнительного математического образования является столь же
значимой и для школьного учителя в связи с оценкой его работы по результа­
там выпускных экзаменационных работ и количеству выпускников, поступив­
ших в вузы. Проведение эксперимента по введению обязательного для всех вы­
пускников общеобразовательных школ Единого государственного экзамена по
математике свела интересы школьных учителей, преподавателей вузов, выпу­
скников и их родителей в одну «точку» - формирование умений решать матема­
тические задачи повышенного уровня сложности. Повышение уровня сложно­
сти математических задач, предназначенных для диагностики учебных дости­
жений с п о м о щ ь ю тестов составителями К И М о в , достигается разными спосо­
бами:
- постановкой задач, требующих-использования теоретических положений, не
п о л у ч и в ш и х достаточного освещения в базовом курсе;
- постановкой задач, д о п у с к а ю щ и х р а ц и о н а л и з а ц и ю р е ш е н и я за счет примене­
ния нестандартных методов, изменения характера требования'задачи, выявле­
ния скрытых закономерностей;
- постановки задач, т р е б у ю щ и х умения анализировать ситуацию, разрабатывать
м а т е м а т и ч е с к у ю модель, самостоятельно вырабатывать способ решения, про­
водить математические рассуждения.
А н а л и з критериев оценки решения задач Единого государственного экзамена
показывает, что повышение уровня трудности выполнения экзаменационных
заданий достигается и за счет переноса акцента с оценки правильности резуль­
тата и способа его получения на оценку степени обоснованности решения зада­
чи.
Все это делает актуальной задачу разработки элективных курсов, прагматиче­
ская цель которых состоит в систематизации и расширении знаний учащихся о
теоретических основах, п р и е м а х и методах решения математических задач кон­
курсного уровня. Концентрация предметной составляющей таких курсов вокруг
деятельности по р е ш е н и ю задач определенного типа создает благоприятные ус­
ловия для развития функционально значимой системы методологических зна­
ний. К р о м е того, включение элективных курсов в состав системы профильного
обучения позволяет не ограничиваться достижением этих прагматических це­
лей, а ставить и решать дополнительную задачу методологической подготовки
у ч а щ и х с я к изучению математики в вузе.
Специализирующие
методологически
ориентированные
элективные
курсы,
предлагаемые в программе, направлены на решение задач методологической
подготовки учащихся к изучению математики в выбранном вузе в контексте
ф о р м и р о в а н и я представлений о специфике будущей профессиональной мате­
м а т и ч е с к о й деятельности.
Э л е к т и в н ы е курсы этого вида направлены, в первую очередь, на решение за­
дач вариативной составляющей методологической подготовки учащихся. Про-
ведение элективных курсов при вузе предоставляет уникальную возможность
ознакомления учащихся с азами будущей профессии, и особенностями профес­
сионального образования з а счет:,
;
-
- ознакомления учащихся с некоторыми видами профессиональных задач, ре­
шение которых требует привлечения математических методов, теоретическими
и методологическими основами их решения;
- ознакомления учащихся с зависимостью направлений развития математиче­
ских знаний в вузе от особенностей специальности;
-
подготовки языкового аппарата к профессионально-ориентированному изу­
чению математики.
Математический
имени
факультет Поморского
М . В . Ломоносова
осуществляет
государственного
подготовку
по
университета
специальностям:
032100.00 Математика с дополнительной специальностью (квалификация учи­
тель математики и информатики); 030100.00 Информатика с дополнительной
специальностью (квалификация учитель информатики и математики);
010100
Математика (квалификация - математик); 010200 Прикладная математика и
информатика (квалификация - математик, системный программист); 351400
Прикладная информатика в экономике (квалификация информатик - эконо­
мист). Квалификационная характеристика, представленная в государственных
стандартах профессионального образования, показывает, ч т о математическая
деятельность этих специалистов характеризуется готовностью: к методическо­
му анализу и передаче математических знаний (032100.00 и 030100.00); к реше­
нию производственно-технических и научных проблем средствами математики
(010100, 010200); к применению математики для разработки
программного
обеспечения решения задач науки, техники, экономики и управления (010200,
351400).
Таким образом, при выборе содержания специализированных элек­
тивных курсов м ы исходили из потребности демонстрации и м е н н о этих аспек­
тов будущей профессиональной деятельности
выпускников математического
факультета, учитывая при этом актуальный уровень развития предметной с о ­
ставляющей математического образования учащихся.
Р е ш е н и ю задач подготовки учащихся к варьированию методологических ус­
тановок в таких курсах способствует необходимость постоянного соотнесения
методологических основ двух й .более видов деятельности: учебной и профес­
сиональной; учебно-познавательной деятельности в условиях общего образова­
ния и в условиях профессиональной подготовки; учебно-познавательной Дея­
тельности в условиях профессиональной подготовки специалистов различной
квалификации.'
s
•
••
3.4. Решение задач методологической подготовки учащихся
в рамках элективного курса «Задачи на исследование
свойств классов функций»
Для демонстрации особенностей разработки учебных материалов, направ­
л е н н ы х на решение задач методологической подготовки учащихся к изменению
формы учебного математического познания, рассмотрим содержание поддерж и в а ю щ е г о курса: «Задачи на исследование
свойств классов
функций».
В ы б о р данной т е м ы для организации поддерживающего элективного курса
обусловлен: значимостью у м е н и я решать задачи на исследование свойств клас•
- .
•
.
сов ф у н к ц и й для подготовки учащихся к поступлению в вуз и тем, ч т о задачи
• '
.
•
-
*
\
'
..>''
этого вида н е являются предметом изучения н и в базовом, ни в профильном
курсе.
Доказательством значимости является то, что примеры таких задач встречаю т с я в сборниках конкурсных задач и учебных пособиях для поступающих в
вузы. О н и н а ш л и отражение и в контрольно-измерительных материалах Еди­
ного государственного экзамена п о математике. Здесь задачи на исследование
свойств классов функций у ж е в течение нескольких л е т представлены 1 -2 задач а м и р а з н о г о уровня сложности. Так, в 2002 году задачи этого вида были предл
•
.* ;
"
., '....1
-
ставлены задачей В 4 : « П р и каком наибольшем целом значении т функция
/ ( х ) = - х +\тх - 5 х + 2 у б ы в а е т на всей числовой прямой?», в 2003 году - дву3
г
мя задачами: В6 «Найти все значения параметра а, при которых функция
2
у = Ц-2х
ния
- ( 7 - а ) х + 1 - е имеет 'максимум в точке х = 2 » и С4 «Найти все значе­
0
а,
при
08
0
которых
Mbs
y = \og [a"' •х" " +a -'
m
-(Vx")
область
,0t2j
определения
•
функции
08
" '° - л / ^ " ) содержит р о в н о три целых чис­
ла». В о п р о с ы , касающиеся аналитического исследования свойств
основных
классов элементарных функций, входят в программу устных вступительных эк­
заменов п о математике во все вузы.
•
функций является необходимым для
У м е н и е исследовать свойства классов
tap
р е ш е н и я других конкурсных задач. О н и
составляют основу реализации функциональных методов р е ш е н и я уравнений и
неравенств с параметрами, многовариантных геометрических задач и сюжет­
ных задач на оптимизацию. Несмотря на это, обучение р е ш е н и ю задач этого
вида (в отличие от задач на решение уравнений и неравенств с параметрами) не
в х о д и т ' в программу
обучения математике в школе ни п о о д н о м у из сущест­
вующих у ч е б н ы х пособий. Однако образцы исследования свойств
классов
функций довольно широко представлены в теоретической части у ч е б н и к о в ма­
тематики для учащихся основной и старшей школы: исследование
свойств
классов линейных, квадратичных, обратно-пропорциональных, степенных, по­
казательных и логарифмических'функций.
Следует заметить, что умение решать задачи этого вида значимо не только
для у с п е ш н о й сдачи единого и вступительных экзаменов по математике, но и
для продолжения обучения в вузе. Так, знания о свойствах'классов линейной,
квадратичной, обратно-пропорциональной функции получают свое развитие в
курсе аналитической геометрии при изучении вопросов о кривых второго по­
рядка; методы исследования свойств классов ф у н к ц и й я в л я ю т с я ' предметом
изучения в курсе математического анализа; само понятие о классе функций по­
лучает дальнейшее развитие при рассмотрении функций нескольких перемен­
ных.
К задачам на исследование свойств функций сводится также б о л ь ш о е коли­
чество естественнонаучных, технических и экономических проблем ( р е ш а е м ы х
о б о б щ е н н о или с применением метода «мягкого» моделирования). В качестве
примера, показывающего место и роль и задач на исследование свойств классов
функций в решении прикладных проблем рассмотрим
проблему определения
оптимального значения к в о т ы вылова (из книги В.И. Арнольда [6]).
Пусть х (t) - количество р ы б в озере или в мировом океане. Рыболовство с установленной
2
х = х-х -с
квотой
с
описывается
дифференциальным
уравнением:
- логистическая модель (6, 10). Если считать, что величина квоты
вылова определяется директивно (c=const), то модель является «жесткой». Исследование
раметра
класса функций:
с, при котором
2
у = х-х
наибольшее
-с, связанное
значение
с нахождением
значения
па­
функции равно нулю, показывает,
что объем популяции р ы б не изменится с течением времени ( i ( ( ) = 0 ) при зна­
чении параметра с =0,25, а доходы при этой квоте окажутся максимальными.
О д н а к о стационарное состояние популяции является очень не устойчивым, так
как зависит от большого количества случайных факторов: браконьерства, мора
и т.п. В этой связи возникает необходимость проведения дополнительных ис­
следований степени устойчивости популяции при случайных изменениях квоты
вылова, то есть исследование
мов
функции
зависимости
x(t) в зависимости
2
количества
от значений
и характера
параметра
х = х - х - с. Р е ш е н и е этой задачи показывает, что при с < 0,25
экстрему­
в
уравнении
популяция име­
ет д в а равновесных состояния (А - минимальный объем популяции, неустойчи­
вое состояние и В — максимальный объем популяции, устойчивое состояние),
при с = 0,25 - одно (А=В), при с > 0,25 - ни одного. Таким образом, установление
оптимального значения квоты при любых, даже самых незначительных откло­
нениях и л ю б о м начальном объеме популяции приведет к ее полному уничто­
ж е н и ю за конечное значение времени. Это доказывает экономическую невы­
годность установления
директивных решений. «Мягкой» м о д е л ь ю ситуации
является д о п у щ е н и е возможности принятия решения о величине вылова в зави­
симости о т состояния популяции, т о есть с = кх, где параметр к - дифференци­
альная квота.
Исследования
x(t), задаваемой
зависимости
количества
и характера
2
уравнением
х = х - х - for, от значений
экстремумов
параметра
функции
к показыва­
ет, что при к<1 с течением времени устанавливается устойчивое стационарное
состояние (максимум функции). Определение оптимальной величины диффе­
ренциальной квоты требует решения задачи
к, при котором
наибольшее
значение
нахождения
2
функции
у = х~х
значения
параметра
-for равно
нулю.
В ре­
зультате ее решения приходим к выводу о необходимости принятия к значения
0,5. П р и этом средний многолетний доход достигает максимального значения.
Это доказывает принципиальную возможность развития-тематики данного
курса в направлении формирования умений решать профессионально-значимые
проблемы, сводящиеся к р е ш е н и ю задач на исследование свойств классов
функций (в рамках связанного с ним специализирующего .курса или целого
блока курсов с разными областями приложений).
(
•
П р и н ц и п ы функциональной направленности и полноты требуют интеграции
содержания данного курса вокруг вопросов, значимых с точки зрения форми­
рования способности учащихся к исполнению и осознанному р е г у л и р о в а н и ю
этой деятельности. Необходимая учащимся информация для решения задач на
исследование свойств классов функций представлена в таблице 20.
Таблица
20
Содержание элективного курса «Задачи на исследование свойств клас­
сов функций»
Содержание
Элементы
саморегуляции
Знания
лях
основных
составляющих
Методологическая
курса
Предметная
о ц е ­ Знание о видах целей исследования: Знания
формулировка утверждений
общих
свойствах
подкласса,
класса,
обладающего
о
понятий:
новых функция, ее характе­
выделение ристики
указанными Знания
и
свойства.
понятий,
ко­
свойствами; формулировка утвержде­ торые
используются
ний о характере
формулировке
изменения
свойств при
функций, входящих в класс, от значе­ дополнительных
ний параметров.
ловий,
накладывае­
мых
на
свойства
н
функций.
Знания о зна­ Знания понятия обобщенная формула, Знания
чимых
виях
ус­
видов
обоб­
усло­ различия в условных обозначениях пе­ щ е н н ы х , формул,
дости­ р е м е н н ы х и параметров. Внешние при­ д а ю щ и х
жения целей
знаки,
определяющие
выбор
классы
за­
ос­
метода новных элементарных
решения задачи. Эвристики
перевода функций.
требований задачи с языка
решения видах
уравнений и неравенств с параметрами ских
Знания
о
арифметиче­
действий - над
на язык перечня классов функций и функциями, компози­
обратно.
Знания о ме­ Знания
тодах
ции функций.
о
методах
исследования Определения
свойств
свойств классов функций: сведение к функций.
Свойства
задачам на решение уравнений и нера­ основных
элементар­
венств с параметром; сведение к из­ ных функций. Теоре­
вестному классу "функций и его разно­ мы
о
сохранении
видности (подведение под класс функ­ свойств комбинацией
ц и й , ' п е р е б о р известных классов); ис­ функций.
пользование
свойств.
теорем
о
Формирование
сохранении основанные на произ­
знаний
о водной.
вспомогательной роли метода исполь­
зования теорем о сохранении. Знания о
связи задач на исследование свойств
классов
функций
.со
следующими
функционально-графическими
мето­
д а м и решения уравнений и неравенств
с параметрами: метод оценки, догадки,
сужения,
перебора,
Признаки,
интервалов,
ис-
ключения.
(
Знания о кри­ Знаний о видах результатов р е ш е н и я
териях оценки задач на исследование свойств классов
результатов
функций: утверждение об общем свой­
5
стве функций, входящих в класс, ут­
верждения
о
характере
изменения
свойств в зависимости от значений па­
раметров, утверждение* о
виде
под­
класса функций, обладающего задан­
ным свойством. Знания понятий, и с ­
пользующихся при описании результа­
та:
класс
функций,
подкласс,
кон­
трольные значения параметра. Знания
о роли метода классификации в оценке
результатов
исследования.
Знания
о
возможностях опытной проверки р е ­
зультата.
Знание
вспомогательных
средств контроля: ключевые вопросы,
параллельность
записи
альтернатив,
контрольная прямая.
Знания о
правлениях
на­ Признаки
необходимости
коррекции:
пропуск допустимых значений
пара­
коррекции ре­ метра, нарушение свойств классифика­
зультатов
ции множеств, наличие контрпримера,
пропуск
альтернатив.
Направления
коррекции: замена метода,
описание
хода решения, результата, переформу­
лировка условия.
Таблица 20 показывает, что содержанием курса не предусматривается целе­
направленное развитие предметных знаний учащихся. Для ф о р м и р о в а н и я го-
товности учащихся к решению задач на исследование свойств классов функ­
ции, сводящихся к комбинации элементарных, достаточно в большинстве своем
л и ш ь осуществить обобщающее повторение известных учащимся вопросов, от­
носящихся к содержанию.функциональной линии школьного курса математи­
ки. Вспомогательная роль предметной составляющей требует восполнения воз­
м о ж н ы х пробелов математических знаний учащихся при условии минимальных
затрат учебного времени, например, в форме предоставления учащимся необ­
х о д и м о г о для р е ш е н и я задач справочного материала. Для проведения своих за­
н я т и й м ы использовали справочные таблицы, включающие в себя сведения об
о п р е д е л е н и я х свойств функций, о признаках, основанных на использовании
понятия производной, и о теоремах сохранения свойств комбинацией функций.
П р и н ц и п предметной определенности требует ограничения содержания ме­
т о д о л о г и ч е с к и х знаний, представленных в таблице 20, их областью действия.
О п р е д е л и м теперь,
какие возможности для решения задач методологической
подготовки учащихся к изучению математики в вузе предоставляет решение
задач на исследование свойств классов элементарных функций с использовани­
ем теоретических средств, предоставляемых основным ш к о л ь н ы м курсом ма­
тематики (базовым, профильным).
Развитие знаний о классах функций в вузовских курсах математики оказыва­
ется в большинстве своем не связано с практическими потребностями. Научное
п р о и с х о ж д е н и е таких "функций А. Пуанкаре описывает следующим образом:
«На п р о т я ж е н и и полувека мы видели, как возникло множество причудливых
ф у н к ц и й ; эти новые функции как будто старались возможно менее походить на
те благородные функции, которые чему-нибудь да служат. Таковы, например,
ф у н к ц и и непрерывные, но без производных, и т.д. Более того, с точки зрения
логической эти именно причудливые функции и являются наиболее общими; те
ж е функции, которые мы находим«без долгих поисков, образуют как бы част­
н ы й случай. Для них остается л и ш ь маленький уголок. Некогда при нахожде­
нии н о в ы х функций имелась в виду какая-нибудь практическая цель. Теперь
ф у н к ц и и изобретаются специально для того, чтобы обнаружить недостаточ-
ность рассуждении наших отцов, никакого иного вывода, кроме этого, из них
извлечь нельзя» (132, 357). Данное описание показывает, что необходима под­
готовка учащихся к появлению
значимости,
функций,
а также тех, научная значимость
ролью контрпргшеров.
мости
классов
не имеющих
которых
практической
ограничивается
К р о м е того, очень часто образ функциональной
лишь
зависи­
(в своем аналитическом или графическом выражении) оказывается не
предпосылкой выделения нового класса функций (как в школьном курсе мате­
матики), а результатом
его изучения.
Так, например, при изучении математи­
ческого анализа студенты сталкиваются с эллиптическими функциями, к необ­
ходимости изучения которых приводят сомнения о возможности разрешения в
элементарных функциях всякой задачи на интегрирование элементарных функ­
ций.
Задачи на выделение подкласса функций, свойства которых удовлетворяют
заданным условиям, являются учебными аналогами п о д о б н ы х аномальных си­
туаций.
П р и м е р 12. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых в о б ­
ласти определения функции у = ^]log (x-a)-log (ах
a
0
+ 2) имеются натуральные
числа, кратные 5, и их количество равно количеству натуральных чисел, крат­
ных 7, принадлежащих этой области определения.
Решение
1. Область определения функций, входящих в данный класс, определяется
условием: log (x-a)>log (aA- + 2).
o
0
0<я<1
2. Полученное неравенство равносильно совокупности:
0<дг-<?<ах + 2
•
а>,1
• .'
л--а>ал: + 2>0
3. В результате ее р е ш е н и я приходим к выводу, что при а > 1 данная функ­
ция нигде не определена, а при 0 < а < 1 областью определения является
а + 2]
промежуток: | а; ^
4. Для нахождения значений параметра, для которых область определения
функций, входящих в класс, удовлетворяет условию равенства количест­
ва содержащихся в ней чисел, кратных 5 и кратных 7, рассмотрим про­
межутки вида: (0;7w], с о д е р ж а щ и е ровно пл целых чисел, входящих в об­
ласть определения ф у н к ц и й и кратных 7.
5. П о л у ч и м формулу для нахождения количества чисел, кратных 5, содер•
ж а щ и х с я в каждом из этих промежутков:
показывает, что при ^
1т
~
"
=
!+
2т „ •
~^~- Д
а
н
н
а
я
,
формула
< 1 область определения удовлетворяет условиям
з а д а ч и . Таким образом, возможны только два случая: в область определе­
н и я входят по одному числу, кратному 5 и кратному 7; входят по два та­
ких числа.
6. Используя эти выводы, получаем совокупность условий, которым должен
удовлетворять
параметр:
7<^<10
„
. В
1
а
итоге
получаем:
14<^<15
1-а
-;-|U
8 11
1
4.13
5' 16
Основная трудность р е ш е н и я данной задачи связана с разработкой критерия
отбора значений параметра с опорой на свойства функций, входящих в класс
(шаги р е ш е н и я 4, 5). Формулировка такого критерия (на должном уровне стро­
гости) требует изменения, полученного в результате первой части решения, об­
раза области определения класса функций не только с графической, но и с ана­
литической точки зрения (шаг 4).
П р и м е р 13. Найти
2
2
2
все значения параметра а, при которых
у = (а - а)х + (а -\)х + (а-\)2а
функция
является а) четной; б) нечетной; в) одновременно
четной и нечетной.
Решение
2
г
1. Класс функций, задаваемый формулой у = (а -а)х
д е р ж и т в себе квадратичные и линейные функции.
2
+ ( о - \)х + (а -\)2а,
со­
2
2. Пусть а -а±0,
тогда функции, задаваемые этой формулой, квадратич­
1
ные. Квадратичная функция может быть лишь четной, либо н и четной, ни
нечетной. Условием четности квадратичной функции, задаваемой данной
2
формулой, является
а =
а - 1 = 0. Решая полученную систему,
получаем:
-\.
2
3. Пусть а - о = 0, тогда задаваемые этой формулой функции - линейные.
Линейная функция,* задаваемая указанным уравнением, четна при усло­
2
вии, когда а -1 = 0, нечетна при условии, когда (а - 1)2а = 0. В остальных
5
случаях линейная функция ни четна, ни нёчетна. Решая полученные сис­
!
темы, получаем: "при а = \ функция четна; при о = 0 и о = 1 она нечетна.
Следовательно, при а = 1 она четна и нечетна одновременно:
' •• < •
4. Объединяя полученные результаты, приходим к выводу: а) функция чет­
на при а-±\;
б) функция нечетна при о = 1й о = 0 ; в ) функция ч е т н а й не­
четна одновременно только при а = 1.
Способ решения задачи может быть различным в зависимости от знаний
учащихся. Так, в том случае, если учащимся требование найти
одновременно
четную и нечетную функцию кажется противоречивым (аномальным), то реше­
ние данной задачи может начинаться не с фиксации аналитического образа
класса
функций,
а
о -2f(x)
с
решения
системы
функциональных
уравнений:
= 0 о f(x) = 0 для любого значения х из области опреде-
ления функции. Следовательно, искомой функцией является функция вида
Приведенный выше пример
(пример 13) также показывает, ч т о . р е ш е н и е
задач на исследование классов функций способствует формированию
варьировать
образ заданной
ситуации
в зависимости
от значений
умений
параметров
(линейная функция, квадратичная). Такая необходимость возникает и в связи с
использованием
различных
методов решения
задачи. П р и р е ш е н и и задач на ис­
следование свойств классов функций, как было указано в таблице 2, применя­
ются следующие методы: решение функциональных уравнений (в том числе и
дифференциальных); метод сведения к задачам на решение уравнений и нера­
венств с параметрами; метод подведения под класс функций и метод использо­
вания теорем о сохранении свойств комбинацией функций. Ограниченность
предметных знаний учащихся и методологическая ориентированность курса
практически исключают возможность использования метода решения функ­
циональных уравнений. О д н а к о и оставшиеся три метода предоставляют доста­
точно в о з м о ж н о с т е й для формирования умений варьировать образ задачной си­
туации. О с т а н о в и м с я на их описании подробнее.
Метод
сведения
к задачам
на решение
уравнений
(неравенств)
с
парамет­
рами состоит в переводе у с л о в и я задачи с языка исследования свойств функций
на я з ы к р е ш е н и я уравнений и неравенств, а затем в обратном переводе резуль­
тата р е ш е н и я уравнений (неравенств) с параметрами на язык исходной'задачи.
П р и в е д е м несколько примеров таких переформулировок:
Исходная
задача
Переформулированная
1.1. П р и каких значениях параметра
а
ф у н к ц и я ' f(x) = \x -ах Vox+'7
возрастает ' н а всей числовой пря­
мой?
2.1. Н а й т и промежутки возрастания
функции
/ ( х ) = (Ь + 1)х' + 6х + Ъ(Ь + 1)х + 1 .
2
1
задача
1.2. При каких значениях параметра а
множеством
решений
неравенства
2х - 2ах + а > 0 является .множество всех
действительных чисел?
2
2.2. Решить в зависимости от параметра b
2
неравенство: 3(6 + 1)х + 12х + \b +1) > 0.
2
3.1. Н а й т и ' область з н а ч е н и й - ф у н к - 3.2. Найти такие значения параметра у ,
a-cosx
С1
COS X
при которых уравнение v =
5
ции: у =
-г
.
2a + s i r r x - l
la + sin х -1
относительно х имеет решение.
Д а н н ы е примеры показывают, что в качестве средств перевода здесь высту­
п а ю т определения свойств функций и признаки, основанные на использовании
понятия производной.
Метод подведения
под класс функций
применяется в двух основных формах:
отнесение функций к известному классу и перебор известных классов функций.
П р и м е р 14. П р и каких значениях параметров аиЬ
2
функции, задаваемые общей
,
ах + bx +1 " •
_
ф о р м у л о й : у = —;
, являются периодическими с л ю б ы м периодом.
. х +Ьх + а
.
В том случае, если учащимся известно, что единственным классом таких
функций являются линейные функции вида .у = с,-где с любое число, то реше­
ние задачи сводится к применению метода подведения под класс функций в
первой из названных его форм.
:
Решение
1. Для того, чтобы функция была периодической с л ю б ы м периодом она
должна иметь вид у = с .
"*
2. Найдем, при каких значениях а и Ъ для л ю б ы х допустимых значений арсправедливо
;
' .
г
ах + Ъх +1 ..
с = —,———.-с
х +Ьх + а* '' ч
2
"*
гумента
'
равенство
тТак,
2
сх + cbx + са = ах +Ьх + \, то по у с л о в и ю равенства м н о г о ч л е н о в
как
-' . .
имеем
а = с
cb = b.B
итоге получаем, что Ъ может быть л ю б ы м числом, а а = 1.
са = 1
"... ч
• •
В случае, если такой класс функций учащимся не известен или не установ­
лена его единственность, то решение задачи начинается с р е ш е н и я функцио­
нального уравнения: f(x±T)
= f(x),
где Т-
произвольное число, а область оп­
ределения функции - R.
Д а н н ы й пример показывает, что метод в рассматриваемой форме состоит из
двух этапов: формулу, з а д а ю щ у ю д а н н ы й класс функций, привести к виду фор­
мулы, з а д а ю щ е й
ранее изученный класс функций; распространить на данный
класс функций условия наличия исследуемых свойств ранее изученного класса
функций. Примером реализации данного метода в форме полного перебора
классов функций является пример 12. В этом случае процедура р е ш е н и я состо­
ит из следующих шагов: получить полный перечень ранее изученных классов
функций, обладающих заданными в условии задачи свойствами; найти значе­
ния параметра, при которых формула, задающая исследуемую ф у н к ц и ю , будет
соответствовать формулам этих классов.
Метод
использования
теорем
о сохранении
свойств
играет вспомогательную
р о л ь в р е ш е н и и задач на исследование свойств функций, т а к как применятся
л и ш ь в комплексе с ранее р а с с м о т р е н н ы м и методами.
Пример
15. Найти
все значения
2
у/ ^
„
(а-\)х
/ ( x ) = cos(3x-2) + ig4x + —г 1 -.
параметра а, -при которых
функция
+ОХ + 3
i
является периодической, и определить ее
х + 5х + 12
о с н о в н о й период.
t
.
,
Решение
1. Д а н н а я функция представляет собой сумму двух тригонометрических
ф у н к ц и й и д р о б н о - р а ц и о н а л ь н о й : Д х ) = / , ( х ) + / ( х ) + / ( х ) , где У",(х)'= cos(3x — 2 ) 2
периодическая
г,
^
с
периодом
7; = -"f;
3
/ (х) = /g4x 2
периодическая
2
(Й-1)х +ох +3
/,(х) = -—т
1
_, .
1
Т = f;
2
•
периодическая только в случае, если fJx) = k.
х + 5 х + 12
с
<
с
2. С у м м а функций - периодическая функция только в трех случаях: 1) все
с л а г а е м ы е - периодические ф у н к ц и и с соизмеримыми периодами; 2) эта функ­
ция является постоянной; 3) функция представляет собой сумму постоянной и
периодической функции. В нашем случае возможен л и ш ь третий вариант.
Т
• 3. f (х) + / (х) - периодическая функция, так как — = { - рациональное число,
п р и ч е м ее основной период равен: Т - ЗГ, = 87^ = 2ж.
4. Н а й д е м - э т а к и е - з н а ч е н и я параметра
а,
при
которых
x
2
п
3
х " + 5 х + 12
^ _ (а
1)х +QX + 3 _^
+
j
5 a
+
2
^2i
(=
( - 1 ) х + ах + 3 о \ 5к = а ,
а
следовательно,
х + 5х + 12
[l2* = 3
а = 1,25.
"
I.
;
'
^
5. П р и а = 1,25 данная функция примет в и д / ( x ) = cos(3x-2) + /g4x + 0,25, и ее
о с н о в н о й п е р и о д будет равен Т ] 2
Ответ:
Т=2я.
П р и а = 1,25 данная функция периодична с основным
периодом
Данный метод требует представления формулы, задающей класс функций, в
виде такой комбинации других ф у н к ц и й . и л и классов функций (композиции,
суммы, разности, произведения, частного), для которой сформулирована тео­
рема о сохранении изучаемого свойства, что позволяет упростить задачу.
Материал курса предоставляет немало возможностей для развития
ставлений учащихся
скими теориями.
о существовании
изоморфных
связей между
пред­
математиче­
Свидетельством этого является не только метод исследования
свойств классов функций, основанный на переформулировке условия задачи на
язык уравнений и неравенств, но и расширение возможностей функциональнографического метода решения уравнений и неравенств с параметрами за счет
включения в содержание обучения таких его разновидностей^ которые связаны
с аналитическим исследованием свойства функций. Рассмотрим
каждый'из
этих методов в отдельности.
Метод перебора
(исследование
области
определения).
О н состоит в нахожде­
нии пар (а;х), являющихся решением уравнения (неравенства) с параметром
вида f(a;x)-0,
>
путем перебора всех значений переменной х или а из Df. Метод
применим л и ш ь в условиях, если Df пустое множество или содержит конечное
количество значений одной из переменных.
2
Пример 16. Решить неравенство л/х - 3 -а\!9-х
раметра а.
Решение
1. Переформулируем
<л/з-2о относительно па-
задачу: «Найти промежутки
2
функции f(x) = Jx-3-aij9-x
знакоотрицательности
-V3 + 2a».
2. Исследуем область определения этой функции из условия j *
.
*.
лучим D = {з}.
ПО...
f
3. Найдем такие значения параметра а, при которых / ( 3 ) < 0 . П о л у ч и м
4. Переведем результат решения на язык исходной задачи: «при ае(-оо;^у-)
решением неравенства является х = 3 , а при а е [^-;-н») неравенство р е ш е н и й не
имеет».
Метод
функции,
оценки
(нахождение,
точек экстремума)
наибольшего
или
наименьшего
значения
состоит в нахождении числа, р а з д е л я ю щ е г о об­
ласти значений функций, с т о я щ и х в левой и правой части уравнения (неравен<
ства) вида f(a:x)—g(a;x),
-'
'
• -
.
..
•
.
с последующим-использованием его для логического
преобразования данного у р а в н е н и я (неравенства):, замены системой, совокупн о с т ь ю , получения вывода о противоречивости или тождественности данного
у р а в н е н и я (неравенства). М е т о д применим только в тех случаях, когда левая и
правая части у р а в н е н и я (неравенства) - ограниченные функции (классы функ­
ций).
'
Пример
17.
.
r
t
s
Д л я каждого значения параметра а найти все х, удовлетворяю­
щие уравнению:
2
1
2
2
(1 + (а + 2) )log (2* - X ) + (1 + (За - l ) ) l o g „ ( l - ^ ) = log (2x - х ) + log, ,0 3
3
г
Решение
1. Заменим данное уравнение ему равносильным:
2
2
(а + 2 ) l o g ( 2 x - x ) = - ( З а - 1 )
3
2
log (l-4)
u
г
2. Н а й д е м его О Д З из у с л о в и я : "i.
\2х-х >0
х ^ , получим ОДЗ„ =(0;V2).
2
х
3. П е р е ф о р м у л и р у е м задачу: « Н а й т и точки пересечения графиков функций
2
2
/ ( x ) = (a + 2 ) l o g ( 2 x - x )
3
и g(x) = - ( 3 a - l ) l o g , , ( l - 4 ) на промежутке (0;V2) в за­
2
в и с и м о с т и от параметра а » .
4. Д л я всех хе(0;42)
. .
2
справедливо log,(2x-x )<0;
5. Т о г д а справедливо неравенство f(x)<0<,
6. Следовательно,
данное
2
L
n
g(x).
уравнение
X
log (l-^-)<0 .
равносильно
системе
-
s
2
f(a + 2 ) l o g ( 2 x - x ) = 0
3
}(3a-l) log (l-4) = 0 '
2
n
7. Р е ш а я ее, п р и х о д и м к выводу: при а = \ х е {1}; при а Ф \ х е 0 .
Метод
догадки
(исследование
монотонности).
Решение уравнений
венств) этим м е т о д о м состоит в угадывании одного корня х(а)
(нера­
уравнения
f(x;a)=g(x;a),
принадлежащего промежутку монотонности обеих функций, и
доказательстве на этом основании отсутствия других корней на рассматривае­
мом промежутке. М е т о д применяется л и ш ь к функциям, с о х р а н я ю щ и м отношение неравенства скорости изменения функции на всем п р о м е ж у т к е монотонности.
•
Пример
18. Решить уравнение \1а + х - Уа-х = ^2а.
Решение
1.
Легко заметить, что корнем данного уравнения является х = а .
2.
П о с т а в и м задачу доказательства единственности найденного корня и
0
переформулируем
ее на функциональный
:
f(x) = Va + x - Ц а - х - \ [ 2 а
деления».
о•
3.
язык:
•
ль
«Доказать,
•
,
)
что
функция
v
гг.*.-
обращается в ноль л и ш ь в одной точке области опре­
• -
Единственность нуля функции может быть следствием л и б о ее моно­
тонности на области определения, либо того, ч т о ноль - это н а и б о л ь ш е е или
наименьшее значение функции, определяемой единственной т о ч к о й ' W экстре­
мума.
4.
•
Исследуем данную ф у н к ц и ю на монотонность, используя т е о р е м ы о со­
хранении свойств:
4.1. / ( * ) = /,(*) + / , ( * ) , где / (х) = У77х~; / ( z ) = - V ^ - V 2 ^ .
1
2
4.2. Функция f(x) = f (x) + f (x)возрастает
t
2
и непрерывна н а всей области о п ­
ь
ределения.
'
4.3. Строго монотонная функция принимает каждое свое значение только
один раз, следовательно, и значение 0 принимает только в одной найденной
точкех<>=а.
Метод
исключения
промежутках
(исследование
монотонности),
монотонности
и области
значений
на
состоящий в последовательном с у ж е н и и облас­
ти поиска решений за счет выделения общих промежутков м о н о т о н н о с т и не­
прерывных функций, стоящих в левой и правой части уравнения (неравенства),
и исследовании взаимного расположения графиков на в ы д е л е н н ы х промежут­
ках.
Пример
19.
Найти
все - значения
- а,
при
которых'
уравнение
2
Vx~+2 - л/х + Зх + 18 = о имеет только одно р е ш е н и е .
Решение
'
.
•
1. Переформулируем "задачу: «Найди все значения а, которые
/(х)
функция
= л/х + 2 - -/х + Зх +18 п р и н и м а е т только один раз».
2
2. И с с л е д у я д а н н у ю ф у н к ц и ю на монотонность, п р и х о д и м к выводу, что на
[-2;0) ф у н к ц и я возрастает, на (0;+°о) функция убывает, а в точке лг=0 имеет мак-•
"•'
о..
симум.
3. ' Н а й д е м область значений функции на каждом из промежутков монотон­
ности и в точке экстремума. Получаем, что при х е [ - 2 ; 0 ) / ( х ) е [ - 4 ; - 2 л / 2 ) , при
х е (0;+оо) / ( х ) е (-оо;-2-/2), кроме того /(0) = -2-^2 .
4. В ы д е л и м те значения, которые функция принимает только один раз. По­
лучим (-oo;-4)Ljf-2V2}.
5. Н а языке уравнений и неравенств это означает, что при а е ( - ° o ; - 4 ) U {-2V2}
данное уравнение имеет только одно решение.
Метод
сужения
(исследование
периодичности,
четности)
состоит в суже­
нии о б л а с т и поиска р е ш е н и й за Счет выделения и исключения из рассмотрения
тех у ч а с т к о в области определения функций, на которых значения их повторя­
ю т с я в силу четности или периодичности этих функций.
Пример
20.
2
Определить количество корней уравнения c o s ( ^ p ) = я -1 на про­
м е ж у т к е [-2-^ ;lff] в зависимости от параметра а.
-
'
Решение
1. В связи с ограниченностью функции / ( х ) = c o s ( i ^ ) легко установить, что
при а е (-oo;-V2) U(V2;+°o) уравнение корней не имеет.
2. П р и 'а е [~J2;J2]
уравнение имеет корни. Для определения их количества
воспользуемся четностью и периодичностью функции /(x) = cos(
•
:
;
зволяет сузить область поиска корней до промежутка [0;^].
) . Это по4
3. Н а промежутке [0;^] функция / ( х ) = cos(чение (за исключением ± 1) два раза.
) принимает каждое свое зна-
.
•
4. Дальнейшее решение задачи'сводится к рассмотрению с л е д у ю щ и х вариантов условий: а)
2
а - 1 * + ) (тогда уравнение имеет 10 корней на рассматри­
2
ваемом промежутке); б) а - 1 * 1 (тогда уравнение имеет 6 корней на рассмат­
1
риваемом промежутке); в) а -1 = -1 (тогда уравнение имеет 5 корней на рас­
сматриваемом промежутке).
Метод
интервалов
*,
/ (
(исследование
промежутков
применяется к р е ш е н и ю неравенств вида: f(a;x)—0
функции
у = f{a;x)
знакопостоянства).
Он
и состоит в представлении
в виде произведения (частного) н е п р е р ы в н ы х функций, об­
ращающихся в 0 точках Х]...х„ или знакопостоянных на области определения, с
последующим использованием "утверждения о сохранении знака непрерывной
функции внутри каждого промежутка области определения,
этими точками.
Пример
21.
' - * , . . . . .
В зависимости от неположительных значений параметра л
а
решить неравенство
у
^
образованного
1
-+
ах + 1_ о х - 1
1
П
т—.
<
1 а х
Л
(1).
г
2
2
т
Решение
1. Исходное неравенство (1) равносильно неравенству —=
—" *" < 0
a (x-l)(x + i)
:
2
1.
(2) при а *• Они Ф - 1 . Если а = 0 , то неравенство справедливо для л ю б ы х дейст­
вительных значений неизвестной х. Если а — - 1 , то множеством р е ш е н и й не­
равенства является промежуток (-1; 1).
2. П р и а е (-°о;-1) неравенство (2) равносильно неравенству — " '
а
2.1.
Для
f (а; х) =
решения
полученного
неравенства
"введем
+ а
< О.
функцию
— — и исследуем ее на знакоотрицательность.
(v- ;:){х~\)
'
2.2. Числитель и знаменатель функции обращается в ноль в точках
Х-? = — , X-i =
4
- .
2.3. Ф у н к ц и я f(a;x)
-
х,
=-^т-;
1
непрерывна в области определения,.следовательно, сохра­
няет свой знак на промежутках области определения, образованных найден­
н ы м и т о ч к а м и , и меняет его на противоположный при переходе через каждую
из э т и х точек (так как только один сомножитель, входящий в формулу, за' д а ю щ у ю ф у н к ц и ю , меняет свой знак).
2.4. Д л я определения порядка расположения точек х
и
х и х на числовой оси
2
3
с р а в н и м значения - ^ \ ^ ; ---^.с учетом, что я е.(-«>;-1). П о л у ч и м : x < X2 < х .
3
t
2.5. В ы б е р е м в качестве контрольного значения число -\е
следовательно, функция знакоотрицательна на
3
(х : + ° о ) : Д - f ) > О,
3
(-оо;-^~) U (-;--)•
а +а
а
0
3. П р и а е (-1;0) неравенство (2) равносильно неравенству
"
+ а
> 0. Ре-
(х--'-)(х+-)
ш е н и е его м о ж е т быть проведено аналогичным образом.
Ответ:
щт
а е (-°о;-1) х € ( - « > ; - y ^ - ) U ( ^ ; — п р и а = -\
при а € (-1;0) х е ( ^ ; ~ ) U ( - f ^ ; + c o ) ;
хе(-1;1);
при а = 0 xeR.
„
П р и н ц и п комплексности источников содержания методологических
знаний
требует построения обучения с учетом содержания неявного знания учащихся.
Знания о всех, рассмотренных в ы ш е , методах могут оказаться включенными в
содержание
рялось
опыта учащихся если, например, изучение данного курса предва­
изучением элективных
курсов: «Функциональные
методы
решения
у р а в н е н и й и неравенств», «Уравнения и неравенства с параметрами» (см. при­
л о ж е н и е ) . Т о г д а задача их изучения связана л и ш ь с созданием условий для пе-
реноса этого опыта в новые условия деятельности и концентрации внимания
учащихся, в ходе выявления и развития,знаний об этих методах, на тех особен­
ностях, которые определяются н о в ы м содержанием деятельности. >В противном
случае изучение методов должно начинаться с предъявления и анализа образцов использования этих методов. П р и этом описание этих образцов должно
предоставлять учащимся возможность выделения основной идеи и структуры
метода, так как восприятия именно этих элементов содержания знаний о методе
является необходимым дЛя применения его на уровне подражания. Дальнейшее
развитие знаний о методах должно быть направлено на выяснение области их
использования и роли в решении задач при концентрации внимания учащихся
на значимых особенностях реализации методов для решения задач методологи­
ческой подготовки. Расстановка необходимых акцентов в обучении осуществ­
ляется самим учителем за счет предъявления особых учебных требований (на­
пример, записать переформулированную задачу) или за счет использования в
обучении дополнительных комментариев деятельности.
Р е ш е н и ю задач методологической подготовки учащихся к и з у ч е н и ю матема­
тики в вузе при определенном способе организации может способствовать и
введение понятия о б о б щ а ю щ е г о понятия «класс функций». В в е д е н и е этого по­
нятия позволит выявить
ставлений
учащихся
и осуществить
о нормах
знаний о методе классификации
выделения
корректировку
классов
функций
и его роли в математической
интуитивных
на основе
пред­
развития
деятельности.
Методические условия решения этой образовательной задачи определяются
также в соответствии с принципом комплексности источников содержания об­
разования. Рассмотрим их более подробно.
Расширение знаний учащихся о новых классах функций в ш к о л ь н о м курсе
математики всегда сопровождается вскрытием возможных причин установле­
ния этих понятий в математической науке. Так, А.Г. М о р д к о в и ч в [109] связы­
вает введение понятия класса линейных функций с обобщенным р е ш е н и е м за­
дачи выявления зависимости у(х), облегчающей построение п р я м о й л и н и и , яв­
ляющейся графиком уравнения ах + Ьу + с = 0. Э.Г. Гельфман и др. [32] предва-
р я ю т введение понятия квадратичной функции доказательством распростра­
н е н н о с т и параболических траекторий движения и описанием общего'свойства
Г М Т , называемого параболой. М . И . Б а ш м а к о в [10] раскрывает содержание фи­
зического эксперимента,' п р и в о д я щ е г о к о б н а р у ж е н и ю ' а н а л и т и ч е с к о й зависи­
мости вида: у = а\а>0.
Т а к о й подход способствует ф о р м и р о в а н и ю интуитив­
ных представлений о практической или теоретической значимости генетически
исходного свойства класса ф у н к ц и й . Однако, вопрос о других критериях;выбо­
р а свойства, о б ъ е д и н я ю щ е г о функции в класс, не раскрывается ни в содержа­
нии б а з о в ы х курсов, ни в методической работе учителя; Это приводит к появ­
лению
у у ч а щ и х с я большого количества математических
и логических оши­
бок, связанных с опущением ограничений на параметры, использованием зна­
н и й о в и д а х функций как видах, возникших в результате одной классификации
и Т.П.
*. '• * '
Н е д о с т а т о ч н о с т ь ю методологических;'знаний объясняется т а к ж е неспособ­
ность учащихся контролировать результаты решения тех задач на исследование
свойств функций, которые т р е б у ю т разбиение заданного множества функций на
классы или выделения подкласса ф у н к ц и й , а также выполнять задания на поиск
о ш и б к и , связанной с пропуском классов или их частичным п е р е с е ч е н и е м . "
Пример
22. Найдите о ш и б к и в решении задачи и устраните их.
2
2
Н а й т и наибольшее значение ф у н к ц и и f{x) = x +2ах + 2а на отрезке [-2;5].
Решение
1. Используя операцию выделения полного квадрата, представим данную
1
2
ф у н к ц и ю в виде композиции двух функций: / ( / ) = t + а и t(x) = х + а.
2. Так как - 2 < х < 5 , т о а-2<х+а<5+а.
2
2
3. Ф у н к ц и я f(t) = i +a
.
„
монотонно возрастает на промежутке [0;+оо), следо­
2
вательно, если 0 < а - 2 < х + - < з < 5 + а , то / ( 5 + а) = 25 + 2<з +10а - н а и б о л ь ш е е зна­
чение ф у н к ц и и на отрезке [-2;5].-
2
4. Ф у н к ц и я f(t) = t +a-
монотонно убывает на промежутке (-°э;0], следова­
2
тельно, если а - 2 < х + а < 5 + а < О, то, f(a --'2) = 4 + 2 а - 4а - наибольшее значение
функции на отрезке [-2;5].
Ответ:
при
.
о > 2 н а .„отрезке
2
н и е / ^ + а) = 25 + 2 я +10а.;
2
[-2;5]
при а<-5
з н а ч е н и е / ( о - 2 ) = 4 + 2 а -4а.
*
наибольшим
является
значе­
на отрезке [-2;5] н а и б о л ь ш и м является
•
*
П р е д с т а в л е н н ы й р е з у л ь т а т решения задачи должен подсказывать учащимся,
что решение задачи.не полное, так как опущен класс или классы функций, со­
ответствующие значениям параметра а е [ - 5 ; 2 ) . Обнаружение,этой,ошибки тре­
бует от у ч а щ и х с я . о п е р и р о в а н и я свойством равенства исходному множеству
объединения всех его классов разбиения (в данном случае, исходным-является
множество R - всех допустимых значений параметра a),
j -
. •.-»г.
Необходимость включения учащихся в деятельность распознавания классов
функций с п о м о щ ь ю определения требует выбора такой трактовки этого поня­
тия, которая являлась б ы носителем свойств классов разбиения (в ф о р м е явного
их перечисления или указания способа выбора отношения эквивалентности).
В математической и методической литературе понятие класса функций ис­
пользуется без определения. Так, М.Я. Выгодский в [30] к р а с к р ы т и ю вопроса о
классификации функций подходит с п о м о щ ь ю перечисления названий некото­
рых пар классов функций: «однозначные и многозначные», « э л е м е н т а р н ы е . и
неэлементарные», «явные и неявные». Отсутствие определения данного поня­
тия в математической науке объясняется, во-первых, наличием соответствую­
щего абстрактного,, понятия «класса эквивалентности», полностью раскрываю­
щего смысл всех его содержательных моделей.
рожденным
элементом
шением эквивалентности
а некоторого
множества
р, называется
находятся
Классом
А и заданным
множество
с элементом
эквивалентности,
на нем
всех таких элементов
а в отношении
поотно­
х аз
множества
А, которые
р, то есть
a={xsA\xpaj
. Во-вторых, наличием понятия функции нескольких переменных,
не требующего использования наряду с понятием переменной в е л и ч и н ы еще
о д н о г о не формализуемого понятия - параметра. Переменная
функцией
нескольких
ответствует
переменных
одно значение
ХуХ^,...,х ,
у
называется
если каждой п- ке их значений
п
величины у.
•
,
со­
•
Конкретизация понятия функция многих переменных дает нам следующее
определение понятия класса функций: «Классом
лой у = f(x ,x ,...,x ),
]
2
ная, следует
n
где х, - независимые
понимать
функцию
ных (x{,.;.,x„_i)считаются
функций,
переменные,
от п переменных,
фиксированными».
задаваемым
ay-зависимая
в которой
форму­
перемен­
наборы
перемен­
Включение подобного определе­
ния в с о д е р ж а н и е обучения привело бы к появлению логической ошибки - к
и с п о л ь з о в а н и ю в качестве определяющего не введенного ранее понятия «функ­
ция п п е р е м е н н ы х » . Попытаемся теперь взять за основу получения определения
понятия «класс функций» понятие класс эквивалентности. Отметим при этом,
что понятие класса эквивалентности о с т а в л я е т ' с в о б о д н ы м выбор вида отноше­
ния эквивалентности. Если за'Основу определения понятия класса функций
взять отношение р , понимаемое как равенство аналитических формул, задаю­
щих ф у н к ц и ю с точностью д о числовых значений коэффициентов, т о получаем
с л е д у ю щ е е определение:
«Классом
цией у = f(x),
множество
называется
рые отличаются
от у = /{х)"лишъ
функций
(числовых),
функций,
значениями
задаваемых
числовых
порожденных
функ­
формулами,
кото­
коэффициентов».
В
связи с т е м , что данное отношение не является дихотомическим, оно приводит
в в ы д е л е н и ю необозримого множества классов эквивалентности, не сводящих­
ся к р а н е е установленным классам. Например, выбирая в качестве порождаю­
щего элемента показательную функцию: у = е", мы получим класс функций, за­
ь
д а в а е м ы й о б о б щ е н н ы м уравнением: .у = е , А е Л , что не соответствует нашим
представлением о классе показательных функций. В этой связи считаем, что в
основу определения класса функций следует положить отношение р, понимае­
м о е как «'иметь'формулу, соответствующую заданной обобщенной формуле».
Э т о о т н о ш е н и е позволяет определить класс функций Следующим образом:
«Классом
функций
называется
множество
функций,
задаваемое
обобщенной
формулой:
у- f(a,b,c,...,n,x),
гдех
- независимая
переменная,
а, Ъ, с, ...,п - па­
раметры».
Отношение «иметь формулу, соответствующею заданной обобщен­
ной формуле» является дихотомическим, то есть приводит к разбиению"множе­
ства функций л и ш ь на два класса,эквивалентности:.класс функций, удовлетво­
ряющих обобщенной формуле, и класс функций, ее не удовлетворяющих. На­
пример, выбрав в качестве обобщенной формулы y = ax + b,a,bzR
мы получаем
известный нам класс линейных функций. С формальной математической точки
зрения данное определение является корректным, однако с методической точки
зрения очень важно, чтобы определение обобщенного понятия не только рас­
крывало содержание нового термина и способствовало систематизации на его
основе ранее введенных понятий, но и объясняло их генезис. Отмечая общенаучную значимость фиксации в определении предпосылок возникновения поня­
тия, А. Пуанкаре писал: «Определение теперь называют соглашением; но
большинство умов возмутится, если вы захотите навязать это определение как
соглашение произвольное. Они успокоятся только тогда, когда вы им дадите
ответ на многочисленные вопросы, которые у них возникнут» (132, 361).
Полученное нами определение класса функций пока фиксирует л и ш ь тот
факт, что понятие о том или ином классе функций возникло в результате того,
что какое-то подмножество функций привлекло их внимание. Однако оно не
объясняет, почему интересующее ученых подмножество функций должно в
обязательном порядке описываться обобщенной формулой и почему, в некото­
рых случаях, какие-то функции, удовлетворяющие этому у р а в н е н и ю , оказываются не интересны ученым (например, почему не интересны функции,
ваемые формулой: у = а", где о < 0).
зада-
К р о м е того, как нами было отмечено ра­
нее, при изучении математики в вузе они встретятся с такими классами функ­
ций, которые не могут быть описаны обобщенной формулой. В этой связи счи­
таем, необходимым подкорректировать приведенное ранее определение класса
функций следующим образом: «Классом
функций
называется
функций,
обладающих
некоторым
общим
практически
значимым
свойством.
В качестве
такого
свойства
или
может
множество
математически
выступать
воз-
можность
задания
у = f(a,b,c,...,n,x),
функций,-
входящих
где х - независимая
в
класс
переменная,
обобщенной
а, Ь, с, ...,п-
формулой:
параметры».
Такое определение класса функций для учащихся является вполне естествен­
ным, так как по своей структуре соответствует определениям понятий извест­
ных учащимся классов ф у н к ц и й . Например, «Обратной пропорциональностью
называется функция, к о т о р у ю м о ж н о задать формулой вида у = — , где х - независимая переменная и к - неравное нулю число». Несмотря на это, появление
п о д о б н о г о понятия является для учащихся аномальной ситуацией, так как оно
относится у ж е к понятиям не I , а I I уровня абстракции (по классификации
Г.Фреге [187]). Его объем составляют уже не сами функции, а их множество, а
с о д е р ж а н и е этого понятия раскрывает не свойства функций, а способ образова­
ния м н о ж е с т в , называемых классами.
В связи с тем, что развитие методологических знаний у ч а щ и х с я возможно
л и ш ь в условиях столкновения учащихся с этой аномальной ситуацией, в учеб­
ном процессе д о л ж н ы быть созданы специфические условия для включения
у ч а щ и х с я в предметную деятельность, способствующую созданию, с после­
д у ю щ и м разрешением этой ситуации в рамках методологической рефлексии.
В качестве ведущего методического условия, п о б у ж д а ю щ е г о учащихся к по­
становке в о п р о с а о способе задания классов функций, где м ы использовали
с л е д у ю щ е е задание:
« В ш к о л ь н о м курсе математики довольно много внимания уделяется изучению
э л е м е н т а р н ы х функций и их классов, но не объясняется, почему одни функции
о б ъ е д и н я ю т с я в класс, а другие исследуются индивидуально.
Задание
1. Выберите из приведенных примеров описания классов функций и
и н д и в и д у а л ь н о заданных функций.
а). Л и н е й н а я функция; б). Функция.косинус; в) Функция вида: у = *-,к#0;
г) Ф у н к ц и я вида: у = 4х.
Сформулируйте признак, с п о м о щ ь ю которого мож­
но определить, о классе ф у н к ц и й или отдельно взятой функции идет речь».
Результатом его выполнения является выявление знаний о том, что
внешним
признаком класса функций является наличие обобщенной формулы, то есть такой, в состав которой кроме зависимой и независимой переменной входят и па­
раметры.
,
Следующим этапом является создание аномальной (Ситуации, здесь в качестве
ведущего средства нами использовано задание на вскрытие причин введения
ограничений на параметры при задании классов функций.
Задание
2.
'
Дайте название классу функций, заданному обобщенной форму­
лой. Выделите в формуле переменные и параметры, объясните причины огра­
ничений, наложенных на значения параметров (если они есть):
й).у
= кх.
1о
1
б), у = ах +bx + c, а * 0.
Д.) У = 8»*> аф\,а>0.
в) у = а ,,а Ф 1, а > 0. г), у = Asin(mx + <р), т * О
х
.. ,
•
Результатом выполнения этого задания является осознание наличия проти­
воречия между возможностью описания некоторого множества функций обоб­
щенной формулой и невозможностью обозначения этого множества.термином
«класс функций», а также невозможности разрешения этого противоречия в
рамках имеющихся знаний о причинах введения ограничений. С этой целью
примеры функций при составлении этого знания подбирались так, чтобы пре­
доставить учащимся наиболее широкие возможности для формулировки суж­
дений о причинах введения ограничений: исключение возможности попадания
некоторых функций сразу в несколько классов, сохранение всеми функциями ,
входящими в класс, некоторого общего свойства, сохранение некоторого отно­
шения между функциями двух классов и т.п. Разрешение этого противоречия
требует включения учащихся в рефлексивно-аналитическую беседу, основными
задачами которой являются следующие: объяснение противоречия несовершенством интуитивных представлений о понятии «класс функций»; выявление этих
интуитивных представлений, их корректировка на основе ознакомления уча­
щихся с требованиями к классификации множеств; применение этих требова­
ний к уточнению содержания понятия «класс функций» и к объяснению причин
введения ограничений на параметры при выделении класса функций. Результа-
ты этой беседы в учебном материале фиксируются в виде описания возможных
целей классификации функций, правил классификации и определения класса
функций.
С целью развития представлений учащихся о роли метода классификации
мы считаем необходимым Постановку перед ними задания на расширение зна­
ний о классе элементарных функций посредством использования этого метода.
Задание
3. К л а с с и ф и ц и р у й т е множество степенных функций (у = х", пе Q) по
с л е д у ю щ и м признакам:
а) о б л а с т ь ю определения этих функций являются одинаковые множества;-*
б) в один класс не входят взаимно обратные функции;
•
-
в) г р а ф и к функций одного класса имеет одну и туже геометрическую форму, с
т о ч н о с т ь ю до преобразований «сжатие» и «растяжение».
Задание
4. Опишите каждый полученный при решении задания 3 класс обоб­
щ е н н о й формулой, придумайте ему название, дайте определение каждого клас­
са функций.
В связи с тем, что развитием понятийного аппарата математической науки
не ограничивается роль данного метода, необходимо показать учащимся и дру­
гие направления его использования: применение метода для определения целей
и описания результатов исследования свойств классов функций, для осуществ­
ления контроля за правильностью решения этих задач.
В связи с недостаточностью опыта учащихся, связанного с исследованиями
классов ф у н к ц и й , мы считаем необходимым предварить постановку задания на
описание целей и результатов исследования свойств классов функций образца­
ми такой деятельности:
- •
, •'.
« Ф у н к ц и и объединяются в класс для последующего исследования их общих
и особенных свойств, а также с ц е л ь ю выделения в классе функций подкласса,
о б л а д а ю щ е г о интересующими нас свойствами.
2
Пример
23. Установить, обладает ли график . функции у = ах" + Ьх + с, а * о,
вертикальной осью симметрии.
Решение
,
•
В основу решения задачи положим .утверждение: «График ф у н к ц и и у-
f(x)
обладает вертикальной осью симметрии, описываемой уравнением х = к, тогда
и только тогда, когда функция у = f{x + k)- четная».
1. Если х = к - вертикальная ось симметрии графика данного класса функ­
2
ций, то функция у = а{х + к)" + Ь(х + к) + с, а*0,
является четной.
2. Для доказательства четности представим данную ф у н к ц и к ь к а к компо­
2
зицию функций t(x) = (x + k)
y = f(t(x))
2
и f(t) = at +Ы + с. Тогда для четности функции
2
достаточно, чтобы лишь внутренняя функция г(х) = (х + к) была чет­
ной.
2
3. Функция t{x) = (x + k) -
квадратичная. Воспользовавшись знаниями об
условиях четности квадратичной функции, приходим к выводу, что к = 0.
2
Ответ: график любой функции вида у = ах' + Ьх + с, а * 0 имеет единствен­
ную вертикальную ось симметрии - ось Оу.
Пример 24. Исследовать функцию у = c o s ^ + l g ^ на периодичность.
Решение
1. Рассмотрим
данную
функцию
как
сумму
функций
/.(я) = cos-^
и
2. Функция / (x) = cos^±i - периодическая с основным периодом Г, = блг по Тео­
]
реме: «Если функция y = g(xj
- ' п е р и о д и ч е с к а я с основным периодом Т, "то'
функция вида у = Ag{ax + Ь) + В - периодическая с периодом Г, = £ ».
3. Воспользуемся утверждением: «Сумма двух функций является функцией
периодической тогда и только тогда, когда периоды этих функций соизмеримы
Т
'-
(т.е. -^-е 2 ) » - Таким образом, Т следует.искать
2
р а ц и о н а л ь н о е число.
среди чисел в и д а . 6 л г , где г -
-
4. Е с л и существует такое ч и с л о г, для которого функция / ( x ) = I g — - перио­
2
дическая с периодом 6т-, то должнй выполняться для всех допустимых значе­
ний JC равенство I g ^ = l g ^ ^ ^ (1).
5. Н а й д е м такие значения а и г , что множество решений уравнения ( ^ ' с о в п а ­
дает с е г о О Д З :
.
Is
f->0,
, цх*ь*г-)-°
^ )
> о_ Полученная система удовлетворяет у с л о в и ю .
а =0
л и ш ь при
г = 0'
6. П е р и о д функции по определению не равен нулю, следовательно, данная
ф у н к ц и я периодическая только п р и а = 0 с основным периодом Г = 6л.
Ответ: при а = 0 функция периодическая и Т = 6л, при а * 0 функция непе•
.
V.
риодическая.
Пример
25. Найти все отрицательные значения параметра а, при которых
отрезок [1;2] принадлежит области значений функции у
2
4х -а
Решение
1. С ф о р м у л и р у е м д а н н у ю задачу на языке решения уравнений и неравенств,
п о л ь з у я с ь определением области значений функции: «Найти такие отрицательI.
*+1' '
н ы е значения параметра а, при которых система (1): <
4 х - а ' ' имеет реше' '
1<Ь<2: '
2
:
ния».
2
| А ( 4 х - а ) = х + 1,
2. П р е о б р а з у е м систему (1) к виду: <
4х *а,
2
\<Ъ<2.
3. Чтобы система имела решения, необходимо, чтобы существовало решение
2
квадратного уравнения 4Ъх -х-Ьа-\
2
= 0,"то есть D = \ + \6ab + 166 >0 (2).
4. Разделим переменные в полученном неравенстве (2): - 1 6 о < - ^ - + — .
ъ
ъ
•
. . . .
!~ J
5. Оценим правую часть полученного неравенства с учетом, что 1 < Ъ < 2. Тогда
•j < { < 1, следовательно, в силу монотонности и непрерывности на рассматри­
2
ваемом промежутке квадратичной функции /(г) = / +16; справедливо неравен­
ство S S - L + Jf <17.
6. Таким образом, для существования решения системы необходимо и доста­
точно, чтобы - 1 6 а < ^ , то есть а > ~ .
.
* •• •
<• , ••
..,•«<•.
7. Так как по условию задачи требуется найти только а <0, то для таких'значений а неравенство 4х Ф а, очевидно, выполняется.' •
2
1
Ответ:
[-|J;0). " '
Задание
4. Какие цели исследования классов функций представлены в зада­
чах - примерах? Что является результатом решения этих задач?
Результаты выполнения этого рефлексивного задания вновь фиксируются в
виде выводов:
Все задачи на исследование классов функций могут быть разделены на три
основных вида по цели исследования класса функций:
Цели
исследования
результаты
исследования
Задачи .> на ' исследование 1- общих
Утверждение о>наЛичии иЛи отсут­
свойств класса функций и свойств их
ствии рассмотренного свойства у всех
графиков.
функций из класса.
Задачи на исследование характера
1
' -• •
Дальнейшая классификация класса
изменения свойств класса функций в функций за счет разделения области
зависимости от параметра.
допустимых
значений
параметра
части контрольными значениями.
на
З а д а ч и на нахождение значений па­
Выделение значений параметра из
раметра, при которых функций, вхо­ области допустимых значений, кото­
д я щ и е в класс, обладают | указанным р ы м соответствует подкласс функций,
свойством.
обладающий указанными свойствами.
С понятием контрольных значений параметра учащиеся могли встретиться
.
-
..г
'
гж
' •
•> ' •. • »•
также и при решении д р у г и х задач с параметрами, например, уравнений и нера­
венств! О д н а к о трудность с осмыслением данного понятия и с обнаружением
контрольных значений сохраняется у учащихся довольно долго. В этой связи
с ч и т а е м н е л и ш н и м в данном элективном курсе вновь обратиться к содержанию
этого п о н я т и я , определив его следующим образом: «Контрольными
ются такие допустимые
значения
рез
рассматриваемые
которые
класс».
меняются
параметра,
в которых
свойства
называ­
или при переходе
функций,
входящих
че­
в
К р о м е того, необходимо продолжение работы над созданием базы ме­
т о д о л о г и ч е с к и х знаний, необходимых для выделения этих значений по ходу
р е ш е н и я задач. В соответствии с принципом комплексности источников мето­
дологического знания автор учебного пособия может предлагать вниманию
учащихся методологические знания из его личного опыта, в том случае, если их
использование позволяет снять типичные затруднения учащихся. К их числу, в
д а н н о м случае, могут относиться ключевые вопросы, контрольная прямая, и
параллельная запись альтернативных шагов решения. К л ю ч е в ы м и м ы называем
вопросы, в о з н и к а ю щ и е по ходу решения задачи и не и м е ю щ и е однозначного
ответа из-за неопределенности значений параметра. В описании решения зада­
чи они обозначены символом «?:». Письменная фиксация таких вопросов явля­
ется, во-первых, материалом для последующего анализа причин возникновения
к о н т р о л ь н ы х значений, а во-вторых, средством контроля за логикой действий,
с о в е р ш а е м ы х в ходе р е ш е н и я задачи. Контрольной прямой называется прямая,
на которой отмечаются контрольные значения параметра по м е р е их обнаруже­
ния. Н а д полученными промежутками значений параметра выписываются ре­
зультаты исследования свойств функций по мере их появления. Использование
данной п р я м о й облегчает проверку соответствия результатов решения задачи
правилам классификации множеств. Ознакомление с этими средствами осуществляется через включение, в материалы пособия особых описаний образцов
решения задач и рефлексивных заданий, т р е б у ю щ и х анализа р о л и и места этих
средств в представленном р е ш е н и и .
'
•
ах' +х + а
(а-\)х
П р и м е р 26. Найти область определения функции f(x)
Решение
1.
Область
определения
данной
функции
описывается
условием
I ах + х + а > О,
следовательно, задача сводится к р е ш е н и ю данной системы в за[ (о-1)х*0,
висимости от значении параметра а.
2. Р е ш и м первое неравенство этой системы:
?! К какому виду относится данное неравенство?
а) П р и а- 0 неравенство б) П р и а Ф 0 неравенство квадратичное
линейное
.- —
х > 0 <?=> х(0) е [0;4оо)
2
ах
+х + а>0
(1).
.. ..
2
\-4a
D =
? Раскладывается ли квадратный трехчлен в левой части неравенства (1) на
2
линейные множители?
а) П р и 1 - 4 в
(т.е.
2
2
б) П р и \-4а
<0(нет)
>0(да)
(т.е. a e ( - i ; 0 ] U [ 0 ; i ) )
а е ( - о о ; - 1 ) U ( | ;+<»))
? И м е е т л и неравенство
2 '
3
a ( x
+
i±ib4£i
) ( x +
-]z^4
£ l )
>0
*
.
(1) решения?
П р и м е н и м метод интервалов к р е ш е н и ю нера­
а) П р и ае(±;+сс)
имеет
венства.
множеством
своих
реше­
?4 Какой корень расположен левее?
ний R.
а) П р и а = ±^ корни совпадают, и неравенство
б)
При
ae(-oo;-i-)
не
имеет вид: a(x + ±f
> 0(1.2)
имеет р е ш е н и й .
? Каково решение неравенства (1.2)?
5
1 ) П р и о = 1 x(\)eR.
2 ) П р и а = - ^ х(-1) = 1.
б) П р и а е ( Ц ; 0 ) - ' - \ ' ;
4 а
•> -'
W
2
';
4 a
, и неравен­
ство (1) справедливо п р и х(а)'е
,
в) П р и а €
(
0
;
^
, и неравенст-
2 а
во (1) справедливо при
lWl-4a . ,
-1-У1-4а'
'
2
2а
2о
'
3. Р а с с м о т р и м второе неравенство системы: (я - 1)х * 0 <=>
а* Г
4. Н а й д е м пересечение множеств решений первого и второго неравенства с
п о м о щ ь ю контрольной прямой:
{1}
0
(0:-х)
1
И^ ;^^]
при а = 0
z
i t
' Д\{о} "
£
(-»;- ^ Jut # ;+«>)
Ответ: п р и а € (-<ю;-05) U {l}
п р и а е (-0,5;0)
' ' •'• "
J
л\{о}
0
л\{о}
0 L
-1+Vl-4<H . - - l - V l - 4 o '
2а
(0;+а>);
п р и а е (0;0,5)
-1+\'1-4а^ ,
- оо;
п р и ae[0,5;l)U(l;+°°)
2а
+оо :
R\{o}.
Н е с м о т р я на то, что представленное здесь описание учебных материалов
э л е к т и в н о г о курса не является полным, но и оно позволяет судить о том, что
с о д е р ж а н и е учебных материалов в пособиях для проведения элективных курсов
в значительной степени.отличается п о своей структуре от материалов пособий,
п р е д н а з н а ч е н н ы х для заочного обучения. Пособия для проведения элективного
курса я в л я ю т с я носителями описания и способа организации учебных занятий в
у ч е б н о й группе, поэтому в них есть задания, направленные н а актуализацию
опыта участников учебного процесса, н а его передачу, анализ, оценку и т.п.
Заключение
Наметившийся в настоящее время переход от образования «конечного»
типа к непрерывному образованию выдвинул на первый план задачу целена­
правленной подготовки учащихся к самообразованию. Анализ д а н н ы х дидакти­
ческой теории проектирования содержания образования с привлечением сис­
темных представлений приводит к выводу, что способность к самостоятельному развитию содержания образования возникает у человека л и ш ь при условии
выделения в его структуре управляющей метасистемы. '->' Последние достижения в области когнитивной психологии, теории образо­
вания и науковедения указывают на то, что основу управляющей метасистемы
должны составлять знания о методологии учебного и научного познания.
•У Методологические знания традиционно рассматривались как элемент ком­
плекса вспомогательных знаний,'то есть знаний используемых в качестве сред­
ства обучения и входящие в процессуальный блок учебного предмета.
• *
Переориентация целей обучения с усвоения научных знаний, специальных
умений и навыков на формирование способности к их самостоятельному разви­
тию требует изменения взглядов на роль и место методологических знаний в
структуре учебного предмета. Из вспомогательного компонента содержания
обучения они превращаются в ведущий, понимаемый как целевой
компонент
Содержания обучения, который
остальных
управляет процессом развития
компонентов.-' - ч
В процессе учебного познания система методологических знаний выполняет
следующие основные функции: интегрирующую (обеспечивает диалектиче­
скую взаимосвязь между целевыми компонентами предметной составляющей
математических, курсов), регулирующую (является условием
учебно-познавательной деятельности).
саморегуляции
-
П р и проектировании методологической составляющей содержания матема­
тических курсов необходимо руководствоваться следующей системой принци­
пов:
• принципом
функциональной
значимости,
который указывает на необхо­
д и м о с т ь ориентироваться на в е д у щ у ю цель учебного курса при проектиро­
вании его методологической составляющей;
• принципом
функциональной
полноты,
который требует отражения соста­
вом системы методологических знаний состава функциональной системы
саморегуляции деятельности
;
. .
дея-
(
тельности^
• принципом
формируемой учебно-познавательной
предметной
обусловленности,
т р е б у ю щ и м учета формы науч­
н о г о познания, в рамках которой возникли предметные знания, при опре­
д е л е н и и содержания методологической составляющей учебного курса.
• принципом
комплексности
источников,
предусматривающим
разумное
сочетание трех источников методологических знаний при проектировании
содержания обучения: данные методологии математики, содержание опыта
математической деятельности участников учебного взаимодействия и соз­
дателей учебного курса;.
Проектирование методологической составляющей учебных математических
курсов, в соответствии с общедидактическим подходом, осуществляется на че­
тырех у р о в н я х : на концептуальном уровне, уровне учебного предмета, уровне
у ч е б н ы х материалов и уровне организации учебного взаимодействия.
Н а концептуальном I уровне осуществляется деятельностная интерпретация
в е д у щ е й цели изучения курса, определяется ведущая форма учебного познания,
определяемая предметной составляющей содержания обучения.- лг„ •• >,
Н а уровне учебного предмета осуществляется отбор системы методологиче­
ских
знаний, обеспечивающих
функционирование
системы
саморегуляции
ф о р м и р у е м о й при изучении данного курса учебно-познавательной деятельно­
сти.
,, ,
, .-
Н а у р о в н е учебного материала осуществляется сюжетное персонализиро­
ванное построение учебных математических текстов и конструирование задач­
ного материала, с учетом возможностей разных видов учебных математических
задач, рефлексивных вопросов и заданий.
На уровне организации учебного процесса осуществляется выбор специаль­
ных методов обучения как носителей методологических знаний, определяются
виды учебно-познавательной деятельности (предметной и рефлексивной) и характер функционально-ролевого взаимодействия участников учебного процес­
са.
В условиях непрерывного образования возникает необходимость подготовки
учащихся к возможной смене ведущей ф о р м ы учебного познавания, возни­
кающей при переходе к новой ступени обучения. Переход от изучения матема­
тики в школе к изучению вузовских курсов математики требует решения обра­
зовательных задач,-"связанных с подготовкой учащихся:
•
*
к переходу от метаэмпирической формы познания с элементами дедук­
ции (характерной для школьных систематических курсов математики) к
квазиэмпирической форме учебного познания (характерной для базовых
вузовских математических дисциплин);
•
к варьированию форм учебного математического познания в условиях
вузовской системы подготовки специалиста.
Решение задач методологической подготовки учащихся старших классов к
изучению математики в вузе возможно лишь в рамках профильного обучения.
Концепцией профильного обучения определяется возможность реализации его
в сетевой модели с использованием вуза в качестве ресурсного центра.
Наиболее благоприятной формой профильного обучения, с точки зрения за­
дач методологической подготовки учащихся к изучению математики в вузе, яв­
ляются очные элективные математические курсы при вузе (поддерживающие
специализирующие
методологически
ориентированные
элективные
и
курсы).
При их организации необходимо учитывать, что решение 'задач методологи­
ческой подготовки учащихся к переходу от метаэмпирической ф о р м ы познания
к квазиэмпиричёской требует проведения их преподавателями вузов при усло­
вии методического взаимодействия их со школьными учителями, а подготовка
к варьированию формы учебно-познавательной деятельности при изучении ма­
тематических дисциплин в вузе требует создания учебных групп, состоящих из
учащихся 2-3 школ (классов).
Список литературы
1. Адаменко
A.M. Комплексная концепция научной рефлексии: Диссертация
на соискание ученой степени'кандидата философских наук. - Томск, 1994.
••'
' •
-с •»>•> •
г •
- 167 с.
2. Алгебра д л я 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с
у г л у б л е н н ы м изучением математики // Н . Я . Виленкин, А . Н . Виленкин,
Г.С. С у р в и л л о и др.; П о д ред. Н.Я. Виленкина. - 3-е изд. - М . : Просвеще­
ние, 1998. - 256 с.
3. Алгебра:
Учебник
для 8 класса
общеобразовательных
учреждений/
Ю . Н . М а к а р ы ч е в , Н.Т. Миндюк, К.И. Нешков, С Б . Суворова; П о д . р е д .
С А . Теляковского. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 239.с. .
4. Александров
А.Д., Вернер А.Л., Рыжик
В.И. Геометрия для 8-9 классов:
Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением
математики. - М : Просвещение, 1991.-415 с.
5. Алексеев
*
Г.Н. Проектирование условий развития рефлексивного мышле­
ния: Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени
доктора педагогических наук. - М , 2002. - 35 с.
6." Арнольд
В.И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели. - М.:
М Ц Н М О , 2000. - 32 с.
7. Арнольд
В.И. Математика и математическое образование в современном
м и р е / / Математика в образовании и воспитании/ Сост. В.Б. Филиппов М . : Ф А З И С , 2000. - 256 с.
8. Атанасян
Л.С. Геометрия. Ч. 1.: Учеб. пособие. Для студентов физ.-мат.
пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1973. - 480 с.
9. Баллер
294с.
Э.А. Преемственность в развитии культуры. - М . : Наука, 1969. .
10. Башмаков
М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. -
• 2-е и з д . - М . : Просвещение, 1992. - 3 5 1 с.
11. Безумова
О.Л. Построение логической составляющей пропедевтического
курса геометрии: Диссертация на соискание у ч е н о й ' степени кандидата
педагогических наук. - Архангельск, 2004. — 175 с. „..
12. Бекирова
'л
;
~\
Р.С. Организация модульного обучения по дисциплинам есте­
ственнонаучного цикла (на примере курса высшей математики в техниче­
ском вузе): Диссертация на соискание ученой степени кандидата педаго­
гических наук. - М., 1998. —210 с.
13: Белозерцева
«
Т.В. Педагогическая технология формирования рефлексии
школьников в процессе обучения: Диссертация на соискание ученой сте­
пени кандидата педагогических наук. - Челябинск,'2000. -.183 с.
14. Беспалько
В.П. Теория учебника: дидактический аспект. — М . : Педагоги­
ка, 1 9 8 8 . - 1 6 0 с .
15. БлохА.Я.
'
v. •
Школьный курс алгебры: Методическая разработка для слуша­
телей ФПК. - М.: М П Г И , 1985. - 89 с.
;
16. Бонды Г. Гипотезы и м и ф ы в физической теории/ П е р . с англ. В.А.'Уга­
рова. - М.: М и р , 1972. - 104 с.
17. Бордовская
Н. В. Диалектика педагогического исследования. - СПб: И з д -
в о Р Х Г И , 2 0 0 1 . - 5 1 2 с.
18. Борисов
В.Н. Взаимосвязь структуры и метода познавательной деятель-
• ности // Философские науки. - 1969. - № 3 . - С. 15-18.
19. Борисов
В.Н. Типы рефлексии в научном познании // Методологические
проблемы науки. - В ы п . 4. - Новосибирск, 1975. - С.41 - 47.
20. Бочаров
ПЛ., Печинкин
А.В. Математическая статистика. -
.г
М.: Р У Д Н ,
.1994.-163 с.
21. Брунер
Дж. Психология познания: за пределами непосредственной ин­
формации. - М.: Прогресс, 1977. - 412 с.
22. Буслёнко
Н.П., Калашников
В.В., Коваленко
"
v
'
И.Н. Лекции по теории
сложных систем. - М.: Советское радио, 1972. - 440 с.
23. В в е д е н и е в литературоведение: Учебник для филологических,специаль­
ностей / Г.П. Поспелов, Н . А . ' Николаев, И.Ф. Волков и д р . П о д ред.
Г.Н. Поспелова. - 3-е изд. - М . : В ы с ш а я школа, 1988. - 528 с.
.•
24. Вейль Г. Симметрия / П е р . с англ. Б . В . Бирюкова и Ю . А : Данилова; Под
ред. Б.А. Розенфельда. - М . : Наука, 1968. - 191с.
25. Вербицкий
А.А. Контекстное обучение и становление новой образова­
тельной парадигмы. - Вып.2. - Жуковский: М И М Л И Н К , 2000. - 176 с.
26. Видякин
ВВ.,
Шабанова
MB.
Математический анализ. Т . 1 . - ' А р х а н ­
гельск, 2002. - 497 с.
27'. Войцехович
В.Э. Господствующие стили математического м ы ш л е н и я //
Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред.
А.Г. Барабашева. - СПб., 1999. - С . 4 9 5 - 5 0 4 .
28. Волович
МБ.
Наука обучать. Технология преподавания математики. -
М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.
29. Ворожцов
В.П. Методологические установки ученого и их роль в науч­
ном познании: Диссертация на соискание ученой степени кандидата фи­
л о с о ф с к и х наук. - Новосибирск, 1 9 8 2 . - 2 1 4 с.
30. Выгодский
М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Физ-мат лит.,
1 9 6 3 . - 8 7 0 с.
с о*
У.31. Галеев
Э.М. Подготовка к ' в с т у п и т е л ь н ы м экзаменам по математике в
М Г У . - Ч Л . - М . : МГУ, 2003.-44*с.
32. Гельфман
••- .
ЭТ. и др. Квадратичная функция. - Томск: Т Г У , 2001. - 280 с.
33. Генерализация// Советский энциклопедический" словарь / Под ред.
A . M . Прохорова - Изд.4-е. - М.: «Сов. энциклопедия», 1989. - С.288-289.
34. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса:
У ч е б н о е , пособие" для школ и классов с углубленным изучением матема­
тики / Л.С. Атанасян, В . Ф . Бутузов, С Б . Кадомцев и др. - М . : Просвеще­
ние, 1996. -205 с.
35. Герасимова
И.А.
Эволюция когнитивных
предустановок
творчества:
Диссертация на соискание ученой степени доктора философских наук. М., 1998. - 2 6 2 с.
36. Героименко
В.А. Личностное знание и научное творчество. М и н с к : Наука
и техника, 1989.-208 с.
37. Гин А. Приемы педагогической техники: Пособие для учителя. - М.: Вита-Пресс, 1999. - 88 с.
Ъй.Гинецинский
В.И. Знание как категория педагогики.
Ленинград: Л Г У ,
1989. -142 с.
39. Гнеденко
Б.В. Математика и математическое образование в современном
мире. - М.: Просвещение, 1985.-192 с.
40. Грщевский
И.М., Грицевская
С.Э. От учебника - к творческому замыслу
урока: Книга для учителя. - М . : Просвещение, 1990. -207 с.
41. Гусев
В.А. Геометрия -8. Экспериментальный учебник. Ч а с т ь 5. - М.:
Авангард, 1999.- 136 с.
42. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М . :
О О О «Вербум-М», «Академия», 2003- 432с.
43. Гусев
В.А. Цели обучения математике в средней школе //Психолого-
педагогические основы обучения математике в средней школе. - В ы п . 1 . М.: Прометей, 1992. - С. 3-23.
44. Давыдов
В.В. В и д ы обобщений в обучении:
Логико-психологические
проблемы построения учебных предметов. - 2-е изд. - М . : Общество Р о с ­
сии, 2000. - 478 с.
45. Давыдов
В.В.
Теория развивающего обучения. - М.: И Н Т О Р , 1 9 9 3 . -
541 с.
46. Далингер
В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обу­
чении математике. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.
47. Дидактика средней-'школы / Под ред. М.Н. Скаткина. - 2-е изд., перераб.
и д о п . - М . : Просвещение, 1982.-319 с.
48. Дидактические
основания
определения
содержания
учебника»
В.В.Краевский, И.Я. Лернер // Проблемы школьного учебника Вып.8/
Под ред. Ю . К . Бабанского. - М . : Просвещение, 1980 - 335с.
49. Дорофеев
Г.В. М а т е м а т и к а для каждого. - М.: Аякс, 1999. -292 с.
50. Дьяченко
М.И. и др. Готовность к деятельности в напряженных ситуаци­
я х : психологический аспект. - М.: М Г У , 1985. - 206 с.
51. Епишева
О.Б. Технология обучения математике на основе деятельност-
ного подхода. - М.: Просвещение, 2003. - 223 с.
52. Ефименко
В. Ф., Резник Н.И. Межпредметные связи: методологические
функции// Вестник высшей школы. - 1988. - № 9 . - С. 17-21.
53. Жохов
•'
А.Л. Научные основы мировоззренчески направленного обучения
математике в общеобразовательной и профессиональной школе: Автореф.
дис. д-ра пед. наук. - М , 1999. - 36 с.
54. Жукова
Н.В. Единство антиципации и рефлексии как психологический
механизм регуляции м ы ш л е н и я студентов в контекстном обучении: Дис­
сертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М , 2 0 0 0 . - 1 4 0 с.
55. Жуковский
В.П. Преемственность учебной деятельности в системе «шко­
ла - в о е н н ы й вуз»: Диссертация на соискание ученой степени доктора пе­
дагогических наук - Саратов, 1999. - 406 с.
. 56. Завалишина
Д.Н., Ломов Б.Ф., Рубахин
*
В.Ф. О системном строении ког­
нитивных процессов // Психологические проблемы переработки знаковой
и н ф о р м а ц и и / Отв. ред. В.Ф. Рубахин. - М , 1977. - 276 с.
57. Закон Российской Федерации «Об образовании». - 2-е изд. - М.: Изда­
тельство «Ось-89», 2002. - 48 с.
58. Зверева
Н.М., Касьян А.А. Методологические знания в содержании обра­
зования // Педагогика. -1993. - № 1 . - С. 9 - 12.
59.Зинченко В.П. Современные проблемы образования и воспитания // Во­
просы ф и л о с о ф и и . - 1 9 7 3 . - № 1 1 , - С . 4 6 .
бО.Зинченко
В.П. Цели и ценности образования //Педагогика.•— 1997. - № 5.
-С.3-16.
s
.
i
.,.
61.Зорина Л.Я. Дидактические аспекты естественнонаучного образования:
Монография. - М : Р А О , 1993. - 163 с.
62.Зорина Л.Я. Дидактические основы системности знаний старшеклассни­
ков. - М.: Педагогика, 1978. - 128 с.
63. Зорина Л.Я. Основания для отбора и распределения основных и вспомогательных
знаний
в
различных ^ циклах
^учебных
предметов
//Теоретические основы содержания общего среди е г о , образования Под
ред. В.В. Краевского, И.Я. Лернера. - М . : Педагогика,^1983. - С:211-224.
64. Иванова
Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математи­
ческого образования: Диссертация на соискание ученой .степени доктора
педагогических наук. - Н.Новгород, 1988. - 338 с.
65. Ильясов И.И. Структура процесса учения. - М.: М Г У , 1986. -199 с.
66. Имаев Е.З. Метатекст как средство понимания текста //Филологические
науки. - 2002. - № 6.- С . 7 0 - 7 7 .
61.Каптерев
П.Ф.
Избранные
педагогические
сочинения/
Под
ред.
A . M . Арсеньева. - М . : Педагогика, 1982. - 704 с.
68. Клейн
Ф. Вопросы элементарной и высшей математики. Т . 1 . - Одесса:
• Ku'l
ю- ,
Матезис, 1912. - 486 с.
69. Клочко
В.Е. Инициация мыслительной деятельности:
Диссертация на
соискание ученой степени доктора психологических наук. - М., 1991.
- 92 с,
70. Конопкин
О.А.
Проблема осознанного регулирования
сенсомоторной
деятельности: Диссертация на соискание ученой степени доктора психо­
логических наук. - М., 1977. - 410 с.
71. К о н ц е п ц и я математического образования в 12 - летней школе: Проект //
Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 2000. - № 7 . - С . 1 - 5 .
~.
. . '
г
••"-:<
72. Концепция непрерывного образования //Учительская газета. №10.-С.З--.И'.' —
'.
'
1989. < '
73. Концепция развития школьного математического образования // Математ и к а в ш к о л е . - 1 9 9 1 . - № 1. - С.2 - 13.'
74. Котова
С.Н., Минькина
Е.З., Попов КН., Шабанова
М.В. Исследование
с в о й с т в функций. Приложения производной. Задачи на построение в сте­
реометрии /Серия: Библиотечка заочной математической школы П Г У . В ы п . 4 . - Архангельск: П Г У , 2002. - 32 с.
75. Котова
С.Н., Минькина
Е.З., Попов И.Н., Шабанова
М.В. Текстовые за­
дачи. Планиметрические задачи на вычисление /Серия: Библиотечка за­
очной математической школы П Г У . - В ы п . 1 . - Архангельск: П Г У , 2002. J
22 с.
'"' ~ '
76. Краевский
'
В.В. Нормативное представление о формировании содержания
'образования // Теоретические основы содержания общего среднего обра­
зования. П о д ред.- В.В. Краевского, И.Я. Лернера. - М.: Педагогика, 1983.
-С.202-211.
77. Краевский
В.В. Педагогический подход к построению теории содержания
о б щ е г о образования // Н о в ы е исследования в педагогических науках. М.: Педагогика, 1979. - № 1 (33). - С . 3 - 6 .
78. Крупич
В.И. Теоретические основы обучения р е ш е н и ю школьных мате-
, магических задач. - М.: «Прометей», 1995. - 166 с.
79. Кудрявцев
В. Т. П р о б л е м н о е обучение: истоки, сущность, перспективы -
М . : Знание, 1991.-79 с.
80. Кудрявцев
Л.Д. Современная математика и ее преподавание. - М . : Нау­
ка, 1980. - 1 4 1 с .
81. Кузнецова
И.С. Генезис математического знания: Диссертация на соис­
кание ученой степени доктора философских наук. - Калининград, 1985. 305с.
82. Кузьмина
Н.В. М е т о д ы исследования педагогической деятельности. - Л.:
И з д - в о Л Г У , 1 9 7 0 . - 114 с.
83. Кун Т. Структура научных революций /Пер. с англ. И.З. Налетова. - 2-е
изд. - М.: «Прогресс», 1977. - 300 с.
84. Курош
А.Г. Курс высшей алгебры. - 10-е изд., стереотип. - М . : Наука,
1 9 7 1 . - 4 3 2 с.
85. Кустов
Ю.А. Преемственность содержания образовательных программ
средней и высшей школы - основа фундаментальной подготовки специа­
листа: Тезисы докладов на межвузовской научно-методической конфе­
ренции. - Рязань: Изд-во РГПУ, 1999. - 195с.
86. Лабораторные и практические работы по методике преподавания мате­
матики: Учебное пособие для студентов физ-мат. спец. п е д . ин-тов //Под
ред. Е.И. Л я щ е н к о . - М.: Просвещение, 1988. -223 с.
87. Лаврентьев
Г.В. Слагаемые технологии модульного обучения. - Барна­
ул: Изд-во БГУ, 1994. - 12 с.
88. Левитан
Л.С.,
Цилевич
Л.М.
..'
Основы
изучения
s
сюжета.
-
Рига:
«ЗВАЙГЗНЕ», 1990.-185 с.
89. Леднев
B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспекти­
вы. - 2-е изд., переработанное. - М.: В ы с ш а я школа, 1989. - 360 с.
90. Лернер
И. Я. Состав и структура содержания обучения на у р о в н е теоре­
тического представления // Теоретические основы содержания общего
среднего образования. П о д ред. В . В . Краевского, И.Я. Л е р н е р а . - М . : П е ­
дагогика. 1983.- С . 1 3 7 - 1 6 1 .
91. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими о н и д о л ж н ы быть? - М.:
Знание, 1 9 7 8 . - 4 7 с.
92. Лефевр В.А. Конфликтующие структуры - Изд. 3. - М . : И П Р А Н , 2000. 131 с.
93. Литературный энциклопедический словарь/ П о д ред. В.М. Кожевникова
и П . А . Николаева. - М.: Советская энциклопедия, 1987. -752 с.
94. Лойко Л.Е. Статус и функции методологической рефлексии в структуре
социально-исторического познания: Диссертация на соискание ученой
степени кандидата исторических наук. — Минск, 1994. - 1 7 7 с .
95. Лотман
Ю . М Структура художественного текста. - М.: Искусство,
1 9 7 0 . - 3 8 1 с.
96. Луи де Брошь.
П о тропам науки/ Пер. с англ. С.Ф. Ш у ш у р и н а . - М.: Изд-
во иностранной литературы, 1962. - 408 с.
97. Лурия
А.Р. Об историческом развитии познавательных'процессов. - М . :
Наука, 1 9 7 4 . - 172 с.
98. Людмилов
Д.С. и др. Некоторые вопросы проблемного обучения матема­
тике. - Пермь: Изд-во П О И У У , 1975. - 116 с . * "
99. Мадер
В.В. Введение в методологию математики. - М . : Интерпракс,
1 9 9 4 . - 4 4 8 с.
ЮО.Макарычев
Ю.Н., Миндюк
Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к
ш к о л ь н о м у учебнику 8'класса: Учебное пособие для школ и классов с уг­
л у б л е н н ы м изучением математики / П о д ред. Г.В. Дорофеева. - 2-е изд. М.: Просвещение•' 1998. ^ 207с.
101. Мантуров
О.В., Солнцев
Ю.К., Соркин
Ю.И., Федин
Н.Г. Толковый
словарь математических терминов: Пособие для учителя. - М.: Просве­
щение, 1965. - 539 с.
102. Математика: учебник - собеседник для 5-6 классов средней школы /
Л.Н. Ш е в р и н , А.Г. Г е й н , И . О . Коряков, М . В . Волков. - М . : Просвещение,
1 9 8 9 . - 4 9 5 с.
103. Махмутов
-
•
"
М.И. П р о б л е м н о е обучение. Основные вопросы теории. - М.:
Педагогика, 1975. - 367 с.
104. Мельников
И.И. Научно-методические основы взаимодействия школь­
ного и вузовского математического о б р а з о в а н и я ' в Р о с с и и : Диссертация в
форме научного доклада на соискание ученой степени доктора педагоги­
ческих н а у к . - М . , 1 9 9 9 . - 3 5 с.
i
:>..
.
.-
105. Методика преподавания математики в средней школе..Общая.методика:
Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Б л о х , . Е.С. Канин,
Н.Г. Килина и др.; С о с т . Р . С . Черкасов, А.А. Столяр. - М . : Просвещение.
1985.-336 с.
106. Методология наук в системе вузовского преподавания // П о д . р е д .
А.С. Кравец. - Воронеж: В Г У , 1982. - 260 с.
107. Методология// Большая советская энциклопедия. Гл. ред. A . M . П р о х о ­
ров. - Т . 1 6 . - М . : «Сов. энциклопедия», 1974. - C.478-484.W -* •
108. Мизинцев
В.И. Теория модели дидактического объекта // Вестник выс­
шей школы. - Л . : Л Г У , 1970. - № 9 . - С. 15-21.
109. Мордкович
...
.
А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учебник для общеобразовательных уч­
реждений. - 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001 - 160 с.
110. Мордкович
А.Г. Профессионально-педагогическая направленность спе­
циальной подготовки учителя математики в педагогическом институте:
Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических'наук.
- М , 1986.-355 с.
111. Москаленко
А.Т., Сержантов
В:Ф. Философские основания методоло­
гии ч а с т н ы х ' н а у к и методологии проблем взаимодействия философии и
частных наук // Методология наук и научный прогресс. - Новосибирск:
Наука, 1 9 8 1 . - С . 8 4 - 1 1 5 .
т.НарскийИ.С.
Готфрид Лейбниц. - М . , 1 9 7 2 . - С . 2 9 - 3 3 .
113. Нечаев В.И. Ч и с л о в ы е системы: Пособие для студентов пед. институтов.
- М . : Просвещение, 1975. - 199 с. * "
'
"
Х
"
114.0 факультативах по математике // Математика в ш к о л е - 1987. - № 4. С.14-16.
115. Окунев А.А. Углубленное изучение геометрии в 8 классе: пособие для
учителя. - М.: Просвещение, 1996. - 175 с.
116. Окунев А.А. Углубленное изучение геометрии в 9 классе: Пособие для
учителя. - М.: Просвещение, 1997. - 144 с.
117. Основные направления. р е ф о р м ы общеобразовательной и профессио­
нальной школы/ Сост. А. Раманаускас. - Каунас: Швиеса, 1984. -163 с.
118. Педагогическая энциклопедия / Гл: ред. И.А. Каиров. - М : «Сов. энцик­
лопедия», 1968. - 912 С.
• 119. Петровский
'
В.А. Личность в психологии: парадигма субъективности. -
Ростов-на-Дону: «Феникс», 1996. - 509 с.
* 120. Лехлецкий
,
И.Д. О б щ а я теория систем и анализ процесса обучения. -
П е р м ь : Изд-во П Г П И , 1976. - 120 с.
121. Пичурин
'
' ' -
1
'
Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7 -
9 классов общеобразовательных учреждений. - 2-е изд., дораб. - М.: Про­
свещение, 1999. - 237с.
122. Погорелое
" •
А.В. Геометрия: Учёб, для 7-11 кл. общеобразоват. учрежде­
ний. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 383 с.
\2Ъ.ПоддьяковА:Н.
Исследовательское поведение. - М . : М Г У , 2000. - 266 с.
. 124:Полани М. Личностное знание: На пути к посткритической философии/
О б щ . ред. В.А. Лекторского, В.И. Аршинова. - М.: Прогресс, 1985. - 344 с.
125. Поппер
К.Чхо
такое диалектика? // Вопросы философии. - 1995. - № 1.
- С . 1 2 0 - 125.
126. Потапов
М., Олехник
С , Нестеренко
Ю. Математика для абитуриентов.
У ч е б н о е пособие для поступающих в вузы и .старшеклассников. - М.:
О О О Торгово-издательский дом «Русское слово - РС», 2001. - 352 с.
127. Потоцкий
М.В.
Преподавание высшей математики в педагогическом
институте. - М.: Просвещение, 1975. - 208 с.
128. Преемственность содержания образовательных
программ средней и
в ы с ш е й ш к о л ы - основа фундаментальной подготовки специалиста: тези­
сы докладов на межвузовской научно-методической конференции. - Ря­
зань: Изд-во Р Г П У , 1999. - 195 с.
129. Программа для школ (классов) с углубленным теоретически и практи­
ческим изучением математики / / М а т е м а т и к а в школе. С. 3 2 - 3 9 .
„ » .>"•
1990. - № 3. -
.г./.з •
130. Программы для общеобразовательных школ, гимназий,-лицеев: Мате­
матика. 5 - 1 1 / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. М и н д ю к . - 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2001.-320 с.
131. Психологические основы формирования личности в педагогическом
процессе/ Под ред. А. Коссаковски. - М.: Педагогика, 1981. - 224 с.
132. Пуанкаре
А. О науке/ П о д ред. Л.С. Понтрягина. - М . : Наука, 1983. -
560 с.
.
•• <
• ~ <-•'-
133. Рефлексия в науке и обучении // Отв. р е д . И.С. Ладенко, О.А. Донских,
Г.А. Антипов. - Новосибирск: Б И , 1989. - 184 с.
134. Родин А.В. Математика и стиль //Стили в математике: социокультурная
философия математики. П о д ред. А.Г. Барабашева. - С П б . , 1999. - С. 25
-36.
135. Розин В.М. Образование как предмет философской рефлексии / / Ф и л о ­
софия образования. - М.: Ф о н д «Новое тысячелетие», 1996. - С. 7 - 2 1 .
136. Розов М.А. О Стиле в науке //Стили в математике: социокультурная фи­
лософия математики. П о д ред. А.Г. Барабашева. - СПб.,-1999. — С.17-24'
137. Розов С. С. Рефлексия ученых как фактор функционирования и развития
исследовательских
программ//
Методологические
проблемы
научно-
исследовательских программ. О т в . ред. А . Н . Кочергин. - Новосибирск:
Н Г У , 1983.-140 с.
138. Самарский
А.А., Михайлов
^
А.П. Математическое моделирование. - М.:
Физматлит, 2001. - 320 с.
139. Саранцев
Г.И. Методика обучения математике в средней ш к о л е . - М.:
Просвещение, 2002. - 223 с.
140. Саранцев
Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: П р о с в е щ е н и е ,
1995.-240 с.
141. Саранцев
Г.И. Методология методики обучения математике. - Саранск:
«Красный октябрь», 2001. --144 с.
142. Семенов
И.Н., Степанов
СЮ. Рефлексивная психология и педагогика
творческого м ы ш л е н и я . - З а п о р о ж ь е : З Г У , 1992. - 2 2 3 с. ••
143. Сенько.Ю.В.
Ф о р м и р о в а н и е научного стиля м ы ш л е н и я у ч а щ и х с я . - М.:
Знание, 1 9 8 6 . - 8 0 с.
144. Сериков
В.В. Образование и личность. Теория и практика проектирова­
н и я педагогических систем. - М.: «Логос», 1999. - 272 с.
Г 145. Сидоров
Ю.В. Преемственность в системе обучения алгебре и матема­
7
тическому анализу в школе и в вузе: Диссертация в форме научного док­
л а д а н а соискание ученой степени доктора педагогических, наук. - М,
1 9 9 4 . - 3 5 с.
146. Слуцкий
••
В.И., Моррис
AJK. Когнитивные механизмы способности рас­
суждать у подростка: вклад 'культурных и образовательных факторов //
Психологический журнал. - 1997. - Т. 18. - № 2 . - С. 79 - 83.
147. Сманцер
А.П., Березович
Н.А. Преемственность обучения математике в
средней и высшей школе. - Минск, 1985. - 135 с.
148. Смирнова
Я . М ' М е т о д и ч е с к а е рекомендации по изучению геометрии.
Гуманитарные классы // Математика. - 2000. - № 33. - С. 24 — 29.
149: С о в р е м е н н ы е основы школьного курса математики / Н.Я. Виленкин и
д р . - М . : Просвещение, 1980. - 2 4 0 с. ' '
150. Соловова
Е.Н. Рефлексия как средство обновления содержания образо­
вания // Инновации в подготовке учителя / П о д ред. И.А. Бочкаревой и
Е.Н. Солововой. - М. - СПб., 2002. - С. 33 - 53.
J-
151. Солсо Р. Когнитивная психология. - СПб.: Питер, 2002. - 592 с.
152. Сотникова
О.А. Методологический подход к изучению материала курса
алгебры и теории чисел в педвузе: Диссертация н а соискание ученой сте­
пени кандидата педагогических наук. - С П б , 1996. - 144 с.
153. Степанов
СЮ. Семенов
И.Н. Проблема формирования типов рефлек­
сии в решении творческих задач // Вопросы психологии. - 1982.- № 1. С. 9 9 - 103.
'
•-.•<-•-.
л
154. Столяр А.А. Педагогика математики. - Минск: « В ы с ш а я ш к о л а » , 1 9 8 6 414 с.
155. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории м а т е м а т и к и . - 5-е изд., испр. - М.:
Наука, 1990.-256 с.
156. Султанова
Л.Б. Проблема рационализации математической эвристики:
Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук.
-
М., 1994.-156 с.
157. Теоретические основы содержания общего среднего образования / П о д
ред. В.В. Краевского, И.Я. Лернера. - М.: Педагогика, 1983. - 352 с.
158. Теория содержания общего среднего образования и пути ее построения.
- М . : Н И И О П , 1978. - 108 с.
159. Теребшов
О.Ф. Логика математического м ы ш л е н и я . - Л . : И з д - в о Л Г У ,
1 9 8 7 . - 188с.
160. Теребшов
О.Ф. Соотношение категорий логики и диалектики в обосно­
вании современной математики// Логика и философские категории. - Л.:
ЛГУ, 1982. - С . 1 1 7 - 1 4 3 .
\6\.Терешин
Н.А. Методическая система работы учителя математики по
формированию'научного'мировоззрения учащихся: Диссертация в форме
научного доклада' н а соискание ученой степени доктора педагогических
наук. - М., 1991. - 4 4 с.
162. Тестов
В.А. Стратегия обучения математике. - М . : Технологическая
Ш к о л а Бизнеса, 1999. - 3 0 4 с.
'
1
1 v
'
ч ъ
'
163. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики: 27декабря
1911 - 3 января 1912г. - Т. 1. - СПб.: «Север», 1913. - 602 с.
164. Уемов А.И Аналогия в практике научного исследования: Из истории
физико-математических наук. - М.: Наука, 1970. - 264 с.
165. Федеральный компонент государственного стандарта общего образова­
ния // Учительская газета. - 2 0 0 4 , - № 4 . - С.4 - 1 2 .
•i
166. Фефилова
Е.Ф., Шабанова
М.В. Методы решения математических за­
дач: Учебно-методическая разработка. - Архангельск: Изд-во П Г У имени
М . В . Ломоносова, 2000. - 7 0 с. '
167. Философский . энциклопедический словарь / Редкол. С.С. Аверинцев,
Э.А. А р а б - О г л ы , Л . Ф . Ильичев и др. - М.: Сов. Энциклопедия, 1989. -
815 с.
168. Хамов
. - ' ' У :
Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в
п е д в у з е с точки зрения профессионально-педагогического подхода: Дис­
сертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук. С П б . , 1994. - 3 7 2 с.
169. Холодная
,-
^
г
М.А. Когнитивные стили как проявление своеобразия индиви­
дуального интеллекта. - Киев, 1990. - 75 с.
110.Холодная
М.А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования.
-
Томск: Т Г У , 1 9 9 7 . - 3 9 2 с.
171. Ц е н т р социологии образования Р А О . Профессиональное самоопределе­
н и е выпускников общеобразовательных школ: по материалам массовых
социологических обследований молодежи// Сборник научных трудов. М . : Изд-во Р А О , 1996. - 234 с.
П2.Шабанова
М.В. Методологические основы деятельности по решению
ш к о л ь н ы х математических задач и методические условия ах_ формирова­
1
ния в учебном процессе //Научные труды МПГУ.. Серия: Естественные
науки. - М.: Прометей, 2003. - С. 123 - 128.
173. Шабанова
М.В., Безумова
О.Л., Минькина
Е.З., Котова
С.Н., Попов
ИН.
С ю ж е т н ы е задачи: Учебно-методическая разработка. - Архангельск: По­
морский университ, 2004. - 38 с.
174.
Шабанова
М.В. Безумова
ОЛ. Минькина
Е.З. Котова
СИ. Попов
ИИ.
М е т о д и к а решения тестовых задач: Учебно-методическая разработка. Архангельск: Поморский университет, 2004. - 75 с.
1Шф
Шабанова
М.В. Безумова
О.Л. Минькина
Е.З. Котова
С.Н. Попов И.Н.
^Элективные математические курсы. - Архангельск: Поморский универ­
с и т е т , 2004. - 2 2 0 с .
1г76>' Шабанова
г
М.В., Патронова
.
Н.Н. Педагогический эксперимент и об­
работка его результатов. - Архангельск: Изд-во П Г У , 1998. - 75 с.
[77. Шабунин
М.И. Научно-методические основы углубленной математиче­
ской подготовки учащихся средних школ и студентов вузов: Диссертация
в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора педагоги­
ческих наук. - М , 1994. - 2 7 с .
178.
Шапоринский
С.А. Обучение и научное познание. - М . : Педагогика,
1981. - 2 0 8 с.
179.
Ш и р о к и й спектр. Элективные курсы в профильном обучении // Учи-
. тельская газета. - 2004. - № 15-16. - С. 14.
180. Щедровицкий
Г.П. Оргуправленческое м ы ш л е н и е : идеология, методоло­
гия, технология. - Т.4. - М , 2000. - 384 с.
' 8 1 . Энгельс
И.Л. Формирование субъективных эталонов результата в про­
цессе регуляции деятельности: Диссертация на соискание ученой степени
кандидата психологических наук. - М , 1983 . - 131 с.
182. Энгельс
Ф. Анти-Дюринг: Переворот в науке, произведенный господи­
ном Евгением Дюрингом. - М.: Политиздат, 1978. - 358 с.
183. Эрдниев
П.М., Эрдниев
Б.П. Обучение математике в школе // Укрупне­
ние дидактических единиц. Книга для учителя. - 2-е изд. - М.: АО
« С Т О Л Е Т И Е » , 1996. - 320 с.
184. Юшкевич
А.П. История математики в России д о 1917г. - М . : Наука,
1 9 6 8 . - 5 9 1 с.
Д 85. Якиманская
И.С. Технология личностно-ориентированного
образова­
ния. - М.: «Сентябрь», 2000. - 176 с.
;186. Bruner J.S. and Postman L . On the Perception o f Incongruity: A Paradigm. "Journal o f Personality". X V I I I (194). - P. 206 - 223.
\%l.Frege
G. Grundgesetze der Arithmetik. - Jena, Bandl, 1883; Band 2, 1903. -
265 s.
m.Lakatos
- •
• -
•
I. A renaissance o f empiricism i n the recent philosophy o f mathemat­
ics. - British journabfor the philosophy o f science.(Aberdeen)..Л976. V.27.
№3. - P . 3-16.
И у
Словарь научных терминов
1. Аномальная,
ситуация
- ситуация, выходящая за рамки представлений о
методологических нормах деятельности, нарушающая
парадигмальные
ожидания.
2. Ведущий
компонент
содержания
обучения
- целевой к о м п о н е н т содер-
жания обучения, управляющий развитием остальных компонентов.
3. Генерализация
методологического,
знания. - процесс развития системы
методологических знаний, характеризуемый постепенной систематизаци­
ей с последующим обобщением знаний, входящих в состав системы.
4. Концептуальная
модель
- это система ведущих идей, раскрывающая ав­
торскую трактовку сущности .изучаемого объекта или^процесса, а также
система принципов и методов, с п о м о щ ь ю которых раскрывается способ
его понимания и преобразования
5. Методологическая
несоответствия
проблема
- противоречие, состоящее в обнаружении
^методологической нормы деятельности условиям
ее
применения, или проблема выбора, или проблема, связанная с отсутстви­
ем такой нормы.
6. Методологическое
знание.--
знание о.процессе познания, познавательной
деятельности (научной или учебной).
7. Методологическая
рефлексия
' .
- вид учебно-познавательной деятельно­
сти, целью которой является осознание методологических оснований ма­
тематической деятельности, их развитие^и сознательное использование в
учебном процессе.
8. Парадигма
- система устойчивых, стабильных, понятных всем специали­
стам данной научной области и принятых знаний, которые служат теоре­
тической и идейной основой научных исследований, а также система об­
щепризнанных образцов научной деятельности.
9. Поддерживающие
методологически
ориентированные
элективные
курсы
направлены на решение задач методологической подготовки учащихся к
осуществлению перехода' от метаэмпирической формы учебного Позна­
ни ^ ,
...
ь. .
ния с элементами дедукции к квазиэмпирической в контексте обучения
р е ш е н и ю конкурсных задач.
10. Предметная
(математическая)
учебно-познавательная
деятельность
-
это деятельность, целью которой является развитие математического зна­
ния, то есть знания о математических объектах (их видах, свойствах, от­
н о ш е н и я х ) , составляющих предмет изучаемой математической теории.
11 .Предметное
(математическое)
знание
- знание о содержании научных
п о л о ж е н и й (математической науки).
И.Проблема
методологической
преемственности
школьного и вузовского
математического образования - отсутствие методических условий, спо­
собствующих постепенному («безболезненному») замещению школьной
формы учебного математического познания вузовской.
\3i.Профильное
обучение
- способ предоставления учащимся возможности в
у с л о в и я х общего образования
реализовывать свои образовательные по­
требности, определенные профессиональным выбором.
14. Рационализация
методологического
знания
- процесс развития методо­
логического знания, характеризуемый постепенной сменой формы его
существования от неявной ф о р м ы к'явной и сопутствующим изменением
содержания.
15. Репрезентативная
'
когнитивная
структура
- внутренние психологиче!
ские структуры, которые складываются в процессе жизни и обучения в
голове человека, это способ описания и хранения знаний в долговремен­
ной памяти.
16. Рефлексивная
'
учебно-познавательная
.
деятельностьэто
•_'
деятельность,
ц е л ь ю которой является развитие знаний о с а м о й ' п р е д м е т н о й учебно-
познавательной деятельности (о методологических нормах, правильности
и ценности полученных результатов для общества или субъекта деятель­
ности, знания о вкладе этих результатов с образ мира субъекта и т.п.).
17.Рефлексивный акт — единица рефлексивной деятельности, включающая
четыре основных этапа: остановка предметной деятельности, фиксация
особенности, ее анализ, объективизация результатов анализа.
IS.Рефлексивный
вопрос
(или задание) •- вопрос (задание), целью которого
является получение информации о субъекте предметной деятельности.
19. Сетевая
форма организации
профильного
обучения
-
привлечение обра­
зовательных ресурсов других образовательных учреждений (в том числе
и вузов) к р е ш е н и ю задач профильного обучения.
20. Содержание
вития)
образования
(конкретного ученика на данном этапе его раз­
- содержание процесса прогрессивных изменений свойств и ка­
честв личности.
21. Содержание
обучения
- система продуктов социального опыта
(ото­
бранных в соответствии с целями обучения, педагогически адаптирован­
ных, представленных в форме учебной информации), подлежащая усвое­
нию в процессе обучения.
22. Содержательно-методическая
линия (явная, неявная) — сечение учебного
курса, в которое попадают идейно связные, но композиционно разъеди­
ненные
фрагменты
учебного
материала.
Явные
содержательно-
методические линии представлены в форме последовательности учебной
информации, неявные - в форме последовательности образцов математи­
ческой деятельности.
23. Специализирующие
методологически
ориентированные
элективные
кур­
сы, предлагаемые в программе, направлены на решение задач методоло­
гической подготовки учащихся к изучению математики в выбранном вузе
в контексте формирования представлений о специфике будущей профес­
сиональной математической деятельности.
24. Специальный
метод
обучения
математике
- способ движения (разви­
тия) деятельностей учителя, ученика'и математического содержания.
25. Таблица
демонстрационных
задач
-
матрица
упражнений,
ведущей
функцией которой является демонстрация учащимся области варьирова" ния смысловых значений методологического знания или области его ис­
пользования.
26. Учебный
курс - система средств обучения (программа, учебные тексты,
система задач, контрольно-измерительные материалы и т.п.),"ориентированная на достижение определенного образовательного результата.
27. Фокус-задача
- математическая задача, являющаяся средством демонст­
рации учащимся реализации целого комплекса образовательно-значимых
методологических норм.,
28. Форма познания
(учебного,
научного)
- это относительно независимая от
содержания система путей,- способов и методов выступающих средством
познания.
29. Функциональная
система
саморегуляции
деятельности
— система, со­
стоящая и з ' э л е м е н т о в деятельности регулирующего уровня, каждый из
которых является носителем определенной управляющей функции.
30.Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору уча­
щихся, входящие в" состав профиля обучения на старшей ступени ш к о л ы .
Приложение
ПАКЕТ ПРОГРАММ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
(для предпрофшьной
подготовки
матическом
Пояснительная
и профильного
факультете
обучения учащихся
Поморского
при
мате­
университета)
записка
Пакет программ включает элективные к у р с ы ' д в у х видов: «поддерживаю­
щие» и «специализирующие». Предназначенные для реализации профильного
обучения и предпрофильной подготовки учащихся в сетевой модели, где в ка­
честве ресурсного центра выступает математический факультет Поморского го­
сударственного университета.
Элективные
;
~ •'
'-
курсы - это обязательные для посещения курсы п о выбору уча­
щихся, входящие в состав профиля обучения и реализующиеся за счет школь­
ного компонента учебного плана.
Поддерживающие
элективные
'"
'
курсы имеют целью п о в ы ш е н и е уровня ма­
тематической грамотности учащихся, планирующих п р о д о л ж и т ь обучение в
вузах, т р е б у ю щ и х повышенной математической подготовки за счет:"
•
•
методологической подготовки учащихся к изучению математики в вузе;
систематизации, расширения и углубления знаний о теоретических осно­
вах, приемах и методах решения математических задач
конкурсного
уровня и задач, получающих дальнейшее развитие в вузовских курсах ма­
тематики;
Специализирующие
курсы и м е ю т целью ориентацию учащихся в их профес­
сиональном выборе за счет:
•
подготовки языкового аппарата и пропедевтики изучения базовых разде­
лов высшей математики;
•
дополнения школьного курса математики вопросами, раскрывающими
особенности математической
ского факультета Поморского
деятельности
выпускников математиче­
государственного
университета
имени
М.В. Ломоносова.
Принципы
•
составления
программ:
модульность построения курсов (каждый курс и каждый раздел курса
представляют собой относительно самостоятельные, но взаимосвязанные
тематические блоки, и м е ю щ и х целостный, завершенный характер, их со­
вокупность и последовательность изучения определяют характер индиви­
дуальной образовательной траектории);
•
относительная независимость и мобильность содержания курсов (содер­
ж а н и е разделов не имеет жесткой связи с содержанием, методическим
п о д х о д о м и последовательностью изучения вопросов ш к о л ь н ы х курсов
ъ
математики, построено так, ч т о допускает возможность адаптации кон­
кретного материала к содержанию, фактических знаний и умений уча­
щихся);
•
.
,
л
,
методологическая направленность курсов (содержание разделов направ. л е н н о в первую очередь на формирование способности учащихся к осу­
щ е с т в л е н и ю математической деятельности за счет выявления, корректи­
р о в к и , обоснования эффективности и расширения знаний учащихся о
п р и е м а х и методах решения школьных математических задач, формиро­
в а н и я у м е н и й осуществлять осознанное планирование, контрольное ис­
с л е д о в а н и е и грамотное описание процесса их решения);
•
преемственность (содержание курсов базируется на знаниях и умениях
у ч а щ и х с я , получаемых при изучении базовых курсов математики; на­
п р а в л е н о на постепенный перевод содержания используемых в школе по­
нятий на теоретико-множественный,и.логический язык, характерный для
изложения курсов в вузе, а также интеграцию отдельных
вопросов
школьного курса вокруг основных категорий вузовских курсов);
м е ж п р е д м е т н ы е связи (содержание разделов содержит базовые знания и
у м е н и я , необходимые д л я обучения программированию, экономике и
разделам высшей математики).
товка (8-9 классы)
.. П е р е ч е н ь э л е к т и в н ы х к у р с о в , в х о д я щ и х в п а к е т
Предпрофильная подго­
•
Поддерживающие (ПК)
Специализирующие ( С К )
1. Доказательства тождеств, н е - ,
1. Числовые ^ п о с л е д о в а т е л ь ­
равенств, целевые преобразо­
вания в ы р а ж е н и й (24-28 ч).
2. С ю ж е т н ы е задачи и методы
их р е ш е н и я (22-30 ч).
3. М е т о д ы р е ш е н и я
ности (18-20ч).
2. Элементы, теории делимо­
сти (22-28ч). .
3. О б щ и е
планимет­
рических задач (22-30ч ) .
гебраических
30ч).
352 с-
методы
решения
планиметрических
задач
и ал­
(22-
1. М е т о д преобразований в ре-. 1. Я з ы к математики и инфор­
шении
уравнений
и
нера­
венств (20-30ч).
2. Уравнения
3
u
cs
с
функциональных
зави­
симостей (22-28ч).
уравнений
и
нера­
венств (26-30 ч)
5. Задачи с параметрами на ис­
следование
-
3. Построения на
свойств
класса
• •.
х
комбинаторики
(8-16ч).
5- Основы теории
стей (14-14ч).
6. Системы
вероятно­
счисления
и
их
приложения в информатике.
(14-20ч).
функций. (14-22ч).
;
проекцион-.
ном чертеже (20 -30 ч).
4. . Элементы
4. Функциональные методы ре­
шения
матического анализа к ре­
ш е н и ю задач (20-28ч). .•
3. Исследование свойств число­
вых
о
Щ
к
ж
1)"
В
ю0
и
о
ж
J
4
5
-Л
-с
0
&
с
и неравенства
параметром (22 -26ч).
1
матики (20-28ч)"
2..Приложение средств мате-
..
t
4
6. Методы решения стереомет­
рических задач (22-34ч).
7. Методика решения тестовых
заданий (24-40ч).
7. Численные методы р е ш е н и я
математических задач
22ч).
'
8. Математические
(164
модели
в
экономике (18-24ч).
Рекомендации
к проектированию
образовательных
траекторий:
Выбор системы элективных курсов осуществляется учащимися в соответст1ии с рекомендациями школьных учителей математики. П р и выборе необходи­
мо учесть характер познавательных потребностей, уровень подготовленности,
феемственные связи содержания элективных курсов и связи их с содержанием
>азового (или профильного) математического курса. Использование программ
шкета предполагается осуществлять только в рамках взаимодействия ш к о л ы и
>уза. Вуз берет на себя обязанности по разработке методического обеспечения
учебного процесса. Проведение курсов может осуществляться: 1) ш к о л ь н ы м
учителем; 2) преподавателем математического^ факультета. В к а ж д о м случае
трьирование объема и содержания курсов в рамках программы, проектировашя образовательных траекторий, адаптация методического обеспечения к осоЗенностям потребностей и возможностей учебной группы д о л ж н ы осуществшться при тесном взаимодействии школьных учителей и вузовских преподавагелей. П р и организации обучения на базе математического факультета возмокен учет потребностей и уровня подготовки отдельных учащихся за счет соз1ания межшкольных учебных групп.
О с н о в у методического обеспечения учебного процесса составляют учеб
ное пособие и учебно-методические разработки авторского коллектива: Шаба
нова М . В . , Безумова О.Л., М и н ь к и н а Е.З., Котова С.Н., Попов И.Н. Дополни
тельная литература указана отдельно для каждого курса.
СК Язык математики
и информатики
(20-28ч.)
Цели курса: Подготовка базы представлений для развития методов' решения
математических задач и программирования. Согласование я з ы к о в о г о аппара­
та элементарной математики, информатики и высшей математики.
Требования
•
к результатам
изучения:
о п е р и р о в а т ь понятиями: высказывание, предикат, множество, логиче­
с к и е операции и о п е р а ц и и над множествами, отношения логического
следования и равносильности, равенства и включения множеств, алго­
ритм.
•
у м е т ь распознаватель вид математических утверждений, изображать и
з а п и с ы в а т ь область задания и область истинности алгебраических пре­
дикатов; находить области истинность и область' задания сложного ал­
гебраического предиката; строить простейшие блок-схемы р е ш е н и я за­
дач.
Темы
Основное содержание занятий
занятий
1. Я з ы к со­
1. Математические" утверждения их основная логическая •• 4ч.
временной
структура (именная и информационная часть). Я з ы к тео­
математики
р и и множеств: множество, элемент множества, условные
(основные
обозначения числовых множеств, принадлежность, зада-'
понятия)
н и е множеств, способы задания, пустые, конечные и бес­
конечные множества. 2. Я з ы к логики: высказывания как
результат изучения множеств и их элементов, предикаты
как задачи их изучения, условные обозначения, оценки
высказываний (смысловое, вероятностное, истинностное
значения); оценки предикатов (область задания, область
истинности), виды предикатов как результаты их оценки
(противоречия, тождества, выполнимые предикаты).
2. Я з ы к тео­
Место предикатов и высказываний в структуре учебника
рии м н о ­
математики. В и д ы математических высказываний (тео­
жеств и л о ­
гики в
р е м ы , основные свойства), определения,
виды
задач
школьного курса математики. Задачи на нахождение об-
2ч.
школьной
ласти определения функций и ОДЗ уравнений как задачи
математике
на нахождение области ..задания предикатов; задачи на
решение уравнений, неравенств, построение
числовых зависимостей
ределение
области
графиков
и поиск Г М Т как задачи на опт
истинности
предикатов.
Способы
изображения области задания и истинности ч и с л о в ы х за­
висимостей с одной и двумя переменными.
3. Отноше­
1. Решение задач как процесс установления отношения
ния между
между заданным предикатом и предикатом, описанным в
4ч.
множества- • теореме (признаке) или определении. Равенство и вклю­
м и ( п р е д и к а ­ чение областей истинности и задания предикатов. Диа­
тами). Поня­
граммы Эйлера - Венна. Равносильность и следование
тие алгорит­
предикатов. 2. Теоремы (свойства) и определения как
ма
правила преобразования предикатов, сохраняющие
их
равносильность. Алгоритм управления р е ш е н и е м задачи.
Функция алгоритма, требования к алгоритмам.
4. Логиче­
Логическая
4-
структура теоремы (условие, заключение, отношение ло­
6ч.
1. Проблема
ские опера­
определения
вида
теоремы.
ции и осо­
гического следования между ними). Определение теоре­
бенности их
м ы - признака и теоремы - свойства через место распо­
использова-' ложения
ния в мате­
структуре
предиката
принадлежности
множеству: Б л о к - с х е м ы , задаваемые этими теоремами
матике и
(линейная, условная). Теоремы-критерии, их связь с оп­
информати­
ке
в их
ределениями понятий. Виды
1
обратной
никновения
связью: условный,
математических
алгоритмов
циклический).
теорем:.
(линейный,
2. Пути
с
воз­
преобразование
предиката на основе логического следования,, соедине­
ние двух предикатов импликацией с последующей оцен­
кой и формулировкой высказывания со словами «все»,
«существует». Эквиваленция. 3. Логические.-операции:
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Их словесные и
символьные обозначения в математике и логике, табли­
цы истинности, логические схемы. Логические функции.
5. П р и м е н е ­
1. Сложные высказывания и предикаты, как результаты
2-
ние логиче­
применения логических операций. Логические
6 ч.
формулы.
ских опера­
Чтение математических предложений с п о м о щ ь ю их ло­
ц и й к реше­
гических формул, Виды логических формул (тавтологии
нию задач
и противоречия). Законы логических операций (идемпо­
математики
тентности,
и информа­
ный, распределительный). Задачи на нахождение
тики
отрицания,
ской величины
решения.
переместительный,
(истинностного
Задачи
значения)
на решение
логических
сочетатель­
логиче­
и способы
уравнений.
га
Ма­
тематические и сюжетные задачи к ним сводящиеся. 2.
Задачи
на приведение
логического
выражения
к
указан­
ному виду. Задачи на упрощение логической структуры
информационных
сообщений, на упрощение
релейно-
контактных схем.
6. О п е р а ц и и
Метод преобразования логической структуры при реше­
над м н о ж е ­
нии уравнений и неравенств. П р о б л е м а , установления
ствами
связи между логическими операциями и операциями над
2ч.
областями истинности атомарных предикатов. Пересече­
ние, объединение и дополнение множеств. Универсаль­
ное множество. Область задания предиката
и размер
графической сетки дисплея как примеры универсальных,
множеств. Свойства операций над множествами.
7. П р и м е н е ­
Задачи на нахождение множеств, являющихся результа­
1-
ние опера­
том операций над множествами. Применение диаграмм,
2ч.
ций н а д
координатной плоскости и прямой для их решения. Зада­
множества­
ч и на определение областей задания и истинности алгеб­
ми к реше­
раических и геометрических предикатов. Задачи
н и ю задач
хождение
решения
одного
(метод
из исходных
перебора,
дачи на преобразование
метод
•
на на­
Способы
преобразований).
теоретико-множественных
ражений.
8. К о н т р о л ь ­
множеств.
их
За­
вы­
••
математических
1-
ная работа - утверждений, изображать и записывать область задания
Проверка умения распознаватель вид
2ч.
и область истинности алгебраических предикатов. Нахо­
дить область истинность и область задания сложного ал­
гебраического
предиката.
схемы решения задач.
Строить
простейшие
блок-
^ Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Данный раздел желательно использовать в качёщ е в в о д н о г о при переходе к изучению языков программирования, а также при
рыборе курсов «Метод преобразований п р и решении уравнений и неравенств»,
в е р о я т н о с т ь и статистики», «Уравнения и неравенства с параметром». При
Шгкрытии содержания курса основной акцент должен быть сделан на установш п ш связей языкового аппарата школьного курса математики, информатики с
ровыми логическими и теоретико-множественными понятиями, и на новых пор и в а т е л ь н ы х возможностях, открываемых этими связями. И з л о ж е н и е нового
Штёриала д о л ж н о осуществляться с опорой На содержание субъективного о п ы Ш у ч а щ и х с я . Курсивом выделены вопросы, носящие дополнительный характер.
Курс рекомендуется учащимся, планирующим получение профессионального
ш р а з о в а н и я в области математики и программирования (в частности, подго­
товку по специальности^ «Прикладная математика (квалификация системный
и ю г р а м м и с т ) » на математическом факультете Поморского государственного
университета).
-
« Л и т е р а т у р а для учителя
' М а т е м а т и к а и информатика: Учебник для студентов г у м а н и т а р н ы х факульте­
тов педагогических
вузов / П о д ред. В. Д. Будаева, Н.Л. С т е ф а н о в о й . - СПб.:
Издательство Р Г П У им. А.И. Герцена, 2001. - 391 с.
•^Пособие по математике для поступающих в вузы: Учеб. пособие / П о д ред.
Ш . Яковлева. - М.: Наука, 1988. - 720 с.
ЗТ Факультативный к у р с - п о математике: Учеб. пособие для 7-9 кл./ Сост.
И.Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.
Ж. Богомолова О.Б. Логические задачи по информатике. - Серия «Информатика
школе». - М . : Информатика и образование, 2001. - 160 с.
Литература для учащихся
........
1Т"Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. 3-е издание - М.: М Ц Н М О , 2004. 152 с.
. -, .
^ К о м б и н а т о р и к а и логика /Составитель А.А. Егоров - М . : Б ю р о Квантум,
2003.- 128 с. -
,,
.
•
5?Кутасов А . Д . Элементы математической логики. Пособие для учащихся 9-10
к л . - М.: «Просвещение», 1977. - 63 с.
РцСмаллиан
- -
Р. Принцесса или тигр? Пер. с англ. / П о д ред.
Ю.И. Манина. - М.: М и р , 1 9 8 5 . - 2 2 1 с.
^Пихтарников
Л . М . Первое
6Пб.: Лань, 1997. - 1 1 2 с.
знакомство
с
математической
логикой.-
ис
6. Н и к о л ь с к а я И.Л. Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать. - М : Про­
с в е щ е н и е , 1989. - 192 с.
. . .
7. Рассуждая логически ... - М.: Б ю р о Квантум, 2001. - 128 с.
8. Суворов О.В. Основы логики. - ' М : Аквариум,-1997. - 128 с.
1 ПК Метод преобразований
в решении
уравнений
и неравенств
(20- 30 ч.)
1 Цели курса: Выявление и систематизация знаний о наиболее общих методах
с в е д е н и я уравнений и неравенств к простейшим. Формирование
;
навыков
осознанного использования теорем о равносильных преобразованиях в про­
цессе р е ш е н и я .
Требования
•
-
к результатам
"
.
изучения:
у м е н и е осуществлять контроль за ходом решения уравнения или нера­
венства на основе использования теорем о равносильных преобразова­
ниях;
•
-
у м е н и е применять метод исследования на промежутках О Д З , метода
з а м е н ы переменной (сведение к рациональному), метода разложения на
м н о ж и т е л и при решении уравнений и неравенств.
1. Равносиль­
1. Теоремы о связях корней уравнений с его
коэффици­
ность и равно­
ентами.
сильные преоб­
нений и неравенств. Роль этих понятий при решении,
разования
уравнений и неравенств. 2. Виды равносильных пре-:
уравнений и
неравенств
2-
Понятие равносильности и следования урав-' 4ч.
образований. Доказательство
теорем
о
равносильно--
сти. Роль теорем о равносильности в р е ш е н и и урав­
н е н и й и неравенств и в проверке готовых решений.
2. М е т о д ы ре­
1. П о н я т и е системы и совокупности уравнений (нера­
8-
шения у р а в н е ­
венств). Переход от уравнения (неравенства) к систе­
10
ч.
н и й й нера­
м а м и совокупностям как преобразование изменения
венств, осно­
логической структуры. М н о ж е с т в о решений системы
в а н н ы е на из­
(совокупности). 2. Метод разложения на множители."
м е н е н и и их ло­
Теоретические основы метода. Область его примене­
гической
ния. Типичные ошибки. 3 . i Метод исследования на;
i
структуры
промежутках
О Д З . Теоретические
основы
метода:
.Признаки применимости, область использования.
3. М е т о д заме­
, v
1. М е т о д замены переменной, его структура. Основ­
ны п е р е м е н н о й ные разновидности метода, теоретические основы их
в
р е ш е н и и использования. 2. Область использования и признаки
уравнений,
не- применимости подстановок вида t=f(x),
их роль в
814ч.
равенств и сис­ решении уравнений ^ н е р а в е н с т в . 3. Область исполь­
тем
з о в а н и я ' и признаки применимости подстановок вида
' х = / ( 0 : Тригонометрические подстановки. 4. Область
•
...... г
использования и признаки применимости
»
вок вида /,. = f,{x),i
5. Универсальные
вратные,
1 ю
.
-подстано­
= 2,и. Метод• сведения к системе.'
1
подстановки
однородные
уравнения
(симметричные,
и
воз­
системы).
4. Контрольная Анализ и корректировка описанного хода р е ш е н и я
2ч.
уравнения или неравенства. Применение метода и с ­
работа
следования на промежутках, метода замены перемен­
ной (сведение к рациональному), метода разложения
на множители.
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Изучение данного курса требует п р о ч н ы х навыков решения основных алгоритмически разрешимых уравнений и неравенств, а
также достаточного разнообразия таких уравнении и неравенств для выявления
и обобщения знаний о методах. Для учащихся 10 классов желательно предвари­
тельное знание алгоритмов решения следующих уравнений: целых, дробнорациональных, иррациональные, тригонометрических. В 11 классе развитие со­
держания кур'ба желательно на базе знаний и алгоритмов р е ш е н и я простейших
показательных'и логарифмических уравнений. Изучение методов, основанных
на логических преобразованиях, значительно облегчится, если осуществлять
его
с
опорой
на
предварительные
знания
логических
и
теоретико-
1
множественных основ решения уравнений и неравенств. В связи с тем, что курс
.-it
...
^
предназначен для корректировки опыта решения уравнении и неравенств,
сформировавшегося при изучении базового (профильного) курса математики,
при изложении материала первого раздела необходимо обсуждение причин из­
менения требований к способу решения задачи и о ф о р м л е н и ю р е ш е н и я : Курс
является вводным для 'изучения курсов: «Уравнения и неравенства с парамет­
рами», «Функциональные методы решения уравнений и неравенств». Курсивом
выделены вопросы, носящие дополнительный характер.
Литература для учителя
1. Фельдман Я . С , Жаржевский А.Я. Математики. Решение задач с модуля­
ми. - СПб.: «Оракул», 1997. - 303 с.
2. Ш а б у н и н М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и сис­
темы уравнений. - М.: Аквариум, 1997. - 272с.
Литература для учащихся
1. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства.
Нестандартные методы решения. - М.: «Факториал», 1997. - 217 с.
2. Чирскай В.Г., Шавгулидзе.Е.Т. Уравнения элементарной математики. Ме­
тоды решения. - М.: «Наука», 1992. - 172 с.
3. Котова С.Н. М и н ь к и н а Е.З. Попов И.Н., Шабанова М . В . Уравнения, неравенства и их системы. Планиметрические задачи»на доказательство. - Архан­
гельск: П Г У , 2002. - 38 с.
ПК Уравнения
Цели курса:
и неравенства
с параметром
(22-26 ч.)
формирование умений решать уравнения и неравенства относи­
тельно одного параметра методом преобразований, а также применять раз­
л и ч н ы е м е т о д ы сокращенных рассуждений для решения задач на нахождение
з н а ч е н и й параметра.
Требования
к результатам
изучения:
• У м е н и е графически изображать и аналитически описывать множества ха­
рактеризующие уравнение и неравенство с параметром;
• У м е н и е р е ш а т ь уравнения и неравенства (сводящихся к квадратным и ли­
нейным, их системе и л и совокупности) зависимости от параметра;
•
У м е н и е решать задачи на нахождение значений параметра с помощью
методов:
выбор
из
аналитического
описания
решения,
формально-
теоретического метода.
1. У р а в н е ­
Место
ния и нера­
тики.
венства с
задач
с параметром
в школьном
курсе
матема­
2-
О п р е д е л е н и е понятия: «уравнение
4ч.
л
параметром». Цель решения. М н о ж е с т в о решений, об­
параметром
ласть допустимых значений. Различие переменных с точ­
(основные
ки зрения цели решения. Параметр, переменная, их ус­
понятия)
л о в н ы е обозначения. Область допустимых значений па­
раметра (неизвестной). Изображение в ы д е л е н н ы х , мно­
жеств в системе координат аОх.
2. Р е ш е н и е
*
(f
1. Понятие «решить уравнение (неравенство) в зависимо­
6-
у р а в н е н и й и сти от параметра». Понятие контрольных значений пара­
8ч.
неравенств
метра. К л ю ч е в ы е вопросы, контрольная прямая, их роль в
в зависимо­
решений.
2
v
Свойства
числовых
выражений,
условия
сти от па­
применимости формул, их роль в возникновении кон­
раметра
трольных значений параметра, соответствующие ключе­
вые вопросы. 3. Ограничения на преобразования и грани-
(не
1
цы изменения неизвестного как условия выделения кон­
трольных значений параметра, соответствующие и м клю­
чевые вопросы.
'
'
"•
Ч Т
"•*"'
'-71-
3. Задачи на- 1. Виды условий,-накладываемых на множество решений<• 8ч.
нахождение
уравнений (неравенств) с параметром и соответствующие
значений
им виды задач на нахождение параметра. Р е ш е н и е задач
параметра
на нахождение параметра методом выбора из а н а л и т и ч е
:
ского описания множества решений. 2. Решение задач ме­
тодом выбора из графического представления множества
решений. 3. Функционально-графический метод решения
задач
на
нахождение
параметра.
4.
Формально-
теоретический м е т о д . ' Область использования,
условия
применимости этих методов, внешние п р и з н а к й ' э ф ф е к (' г •
тивности.
4. М е т о д
введения
Уравнения
(неравенства)
ния- алгебраических
параметра
'параметра.
при реше­
ния метода:
нии алгеб­
решение
раических
следование
задач.-
-' Основные'
задачи
уравнений
чение в условие
5. К о н ­
Графическое
виды
Сущность
задач,
на исследование
и неравенств,
выражений.
задач
с параметром'как
задачи
изображение
функций,
на
и ис­
в их решении
о результате,
и
введения
^примене­
на преобразование
Роль метода
знаний
метода"•
требующие
свойств
реше­ " 4 ч . '
метод
(вклю­
упрощение).'
аналитическое
описание
трольная
множеств характеризующих уравнение и неравенство *с
работа
параметром. Решение уравнений и неравенств (сводящих­
2ч.*
ся к квадратным и линейным) зависимости от параметра.
Решение задач на нахождение значений параметра, (ис­
пользование теорем о корне, выбор из аналитического
описания).
•
"
Г!
"
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Изучение данного курса требует сформирован­
ное™ достаточно прочных умений решения уравнений и неравенств с одной
переменной методом равносильных преобразований. Желательно
предвари­
тельное изучение курса «Метод равносильных преобразований в решении
уравнений и неравенств. Рекомендуется использовать данный курс в качестве
вводного при выборе'курса: «Свойства функций в решении задач с параметра­
ми». В е д у щ и м видом учебной деятельности при изучении данного курса явля­
ется рефлексия, сопровождающая процесс решения задач и интегрирующая
з н а н и й об особенностях решения задач с параметром. Курсивом
выделены
в о п р о с ы , носящие дополнительный характер.
Л и т е р а т у р а д л я учителя
.
с
_ *
1. Ш а р ы г и н И.Ф., Голубев В^И." Факультативный курс по математике. Реше­
ние задач: Учеб. пособие д л я 11 кл. сред. шк. - М . : Просвещение,, 1991. 384 с.
.
W
i
;
;
'
ч».
.
• "
2. Д о р о ф е е в Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметра. - М.
«Перспектива», 1 9 9 0 . - 4 . 2 . - 3 8 с.
Литература для учащихся
• „
1. А м е л ь к и н В.В., Р а б ц е в и ч В . Л . Задачи с параметрами. - 2-е изд. - М н . :
О О О « А с а р » , 2002. - 464 с.
.
,
fc
2. Г о р н ш т е й н П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - 3-е
изд., д о п о л н е н н о е и переработанное. - М . : Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.
- 336 с.
3. К р а м о р B.C. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для посту­
п а ю щ и х в вузы. - М.: А Р К Т И , 2 0 0 0 . - 4 8 с.
4. Ш а р ы г и н И.Ф. и д р . Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. ср. ш к . - М.:
Просвещение, 1994.
Ч
5. Ястребинецкий Г А . Задачи с параметрами. - М.: Просвещение, 1986. 128 с.
ПК Исследование
28 ч.)
свойств
числовых
;
;
;
функциональных
зависимостей
-
(22 ,г
Цели курса: Систематизация и расширение знаний об аналитических методах
исследования свойств функций и способах построения графических изобра­
ж е н и я числовых зависимостей.
Требования
к результатам
,
ч
изучения:
• У м е т ь проводить полное исследование свойств элементарной функции с
использованием определений свойств, теорем о сохранении, производной.
• У м е т ь доказывать свойства основных элементарных функций без исполь­
л
з о в а н и я производной.
•
-, ,• ,
.
•••?,.
У м е т ь строить графики функций по результатам исследования и с помо­
щ ь ю правил преобразования графиков.
. ,
1. Зависимо-* У р а в н е н и я , и неравенства с двумя переменными, их с о ­
сти числовых вокупности, системы и импликации
как способы
анали­
множеств и
тического
способы их
словой функции. Графические представления числовых
задания
задания
числовых
зависимостей. Способы
зависимостей.
распознавания
362s
Понятие чи­
функциональных
2ч.
зависшюстей.
Способы получения новых числовых за­
висимостей (использование алгебраических
1
операций,
композиции, обратные функции). *
2. П р е о б р а ­ График функции как геометрическое-место точек. Гра­
зования гра­
фики основных элементарных функций- Параллельный
фиков функ- - перенос,
ций
2ч.
поворот,
растяжение,
симметрии
графиков'
функций. Применение 'преобразований для построенияграфиков функций на основе знаний о графиках основ­ ;• ifi
ных функций.
3. Глобаль­
ные свойства
Свойства
' ">
функций.
'
••
Глобальные и локальные свойства,
числовых
аналитический метод исследования глобальных' свойств
функций, их
функций. Применение уравнений и неравенств к нахож­
аналитиче­
дению области определения числовых функций," опреде­
ское иссле­
л е н и ю промежутков знакопостоянства, н а х о ж д е н и ю ко­
дование
2-4
их виды. Задачи на решение уравнений и неравенств как
ординат точек пересечения с осями.
4. Область -•• Область значений функции. Нахождение области значе­
2-"
4ч.
значений
ний по изображению графика. Области значений основ­
функции и
н ы х элементарных функций.
методы'ее
ждение
нахождения
метром.
области
изменения
Сведение
задачи
на
нахо­
функцииж
задаче
с
пара-'
Применение метода.преобразований к нахож­
дению области значений. М е т о д оценки.
:
•" .
4
5. Монотон-- Строгая, нестрогая монотонность, постоянство функции.
ность функ­
Методы исследования функций на монотонность: иссле­
ции
дование по определению, применение производной, ис­
2ч.
пользование теорем о сохранении монотонности.
6. Четность; - Симметричность числового множества, его графическое
нечетность
2ч.
изображение и аналитическое описание. Четность, не­
фуНКЦИЙ;.. • счетность функций. Свойства четности й нечетности ос­
новных элементарных функций. Совмещение
свойств
четности и нечетности. Теоремы о сохранении четности
и нечетности. Исследование свойств четности и нечет­
ности с помощью графического изображения, определе­
ния и теорем.
7 Периодич­ Определение периодической функции. Основной пери­
ность
функ- од. Периодичность основных элементарных
функций.
2ч.
Функции, не" и м е ю щ и е основного периода. Теоремы о
ций
сохранении периодичности. Задачи на исследование пе­
риодичности ф у н к ц и й , и н а х о ж д е н и е их периода. Реше­
ние задач по определению и с п о м о щ ь ю теорем о сохра­
нении СВОЙСТВ.
8. Н е п р е ­
,
Понятие, непрерывности; функций, виды разрывов. О п ­
2ч.
рывность и г- ределение непрерывности и разрывов функций с п о м о ­
р а з р ы в , - щ ь ю графиков. Непрерывность основных элементарных
функции
функций. Теоремы о сохранении непрерывности и их
применение к решению, задач.
9.
Приме­
Понятие
производной
функции,
ее
геометрический
нение произ­
смысл. Связь определения производной с определения­
водной к и с ­
м и локальных свойств функции: непрерывности в точке,
следованию
монотонности, экстремума, перегиба, выпуклости. П р и ­
локальных
знаки свойств, основанные на понятии.производной, и
свойств
2ч.
их применение к р е ш е н и ю задач. -
функции
10. Задачи на
Схема исследования свойств функций. Геометрический
2-
полное ис­
смысл свойств,, Использование свойств функций для ра­
4 ч.
следование и < ционализации . процедуры
построение
исследования.
Асимптоты
графика функции" и их виды. Асимптоты графиков ос­
графиков
новных
функций
уравнений
элементарных
функций.
Способы
получения
асимптот.
И . Кон­
Полное исследование свойств элементарной функции.
трольная ра­
Исследование свойств о с н о в н ы х элементарных функций
бота
элементарными методами. Построение графика функции
2ч.
с п о м о щ ь ю преобразований.
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Содержание курса требует
сформированности
знаний у ч а щ и х с я о свойствах основных элементарных функций и и х графиче­
ской интерпретации. Сформированность понятия производной и интуитивных
представлений о пределе функции в точке и на бесконечности, владение техни­
кой дифференцирования, знание свойств числовых неравенств. К у р с выступает
в качестве вводного для курсов: «Свойства функций в решении задач с пара­
метрами», «Функциональные м е т о д ы решения уравнений и неравенств».
Л и т е р а т у р а д л я учителя
1. А л г е б р а и анализ / П о д ред. А.А. Егорова. - М.: Б ю р о Квантум, 1994. - 128 с.
2. Макарычев Ю.Н.,:Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учеб­
нику 8 кл. - М.: Просвещение, 2003.
- .
. .
3. Макарычев Ю . Н . , М и н д ю к Н.Г. Дополнительные главы к школьному учеб­
нику 9 к л . - - М . : Просвещение, 2001.
' Т|1
4. Райхмист Р .Б.Трафики функций. - М.: Школа-Пресс, 1997. - 384 с.
Литература для учащихся
<
1. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике: Алгебра
и анализ / Под ред. Д.К. Фаддеева. - М.: Наука, 1982. - '192 с.
2. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Ш н о л ь Э.Э: Ф у н к ц и и и графики. - М.: Наука,
1973.-96 с.
...,
3. Котова :С.Н. М и н ь к и н а . Е.З. Попов И.Н., Ш а б а н о в а М . В . Исследование
свойств функций. Приложения производной. Задачи на построение в 'стерео­
метрии. - Архангельск: П Г У , 2003. - 52 с.
.а- .
4. Литинский Г.И. Функции и графики. - М.: Аслан, 1995. - 192 с.
5. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. - М.::Наука, 1968.
ПК Задачи
с параметрами
22 ч.)
на исследование
свойств
класса
функций
(14 -
:.
Цели курса: Повторение и систематизация знаний о овойствах классов основ­
ных элементарных функций и их зависимости от параметров. Ф о р м и р о в а н и е
умений исследовать свойства класса функций относительно параметров ана­
литическими методами.
Требования
•
к результатам
изучения:
уметь исследовать;свойства.классов .элементарных функций в зависи­
мости от параметра с использованием метода сведения к уравнениям и
неравенствам с параметром, метода подведения под-класс функций,''с
использованием теорем о сохранении свойств;
•
уметь решать .задачи на выделение подкласса функций, обладающего
заданными свойствами. > ;
<
1. Класс чи­
Понятие класса функций. Зависимая и независимая пе­
словых
ременные, параметр. Условия объединения функций в
функций
класс, цели классификации функций, правила классифи­
(основные
кации. Виды задач на исследование свойств
2ч.
класса
понятия)<
функций, основные результаты их решения. К о н т р о л ь ­
2. М е т о д ы .
• 1. Метод сведения к задачам на решение уравнений (не­
6-
равенств) с параметрами, его структура и теоретические
10ч.
ные значения параметра.
решения за-
д а ч на иссле­
основы (определения свойств функций, признаки, осно­
дование
ванные на использовании понятия производной). 2. М е ­
свойств клас­ тод подведения
сов функций
под изученный класс функций, его
структура и теоретические основы (свойства классов ос­
новных элементарных функций). 3. Метод использова­
ния теорем о сохранении свойств, его структура и теоре­
тические основы (теоремы о сохранении свойств компо­
з и ц и е й функций и арифметической комбинацией). -
3. Ф у н к ц и о ­
1. Задачи на'•исследование отдельных свойств класса
4-
нальные м е -
функций как метод решения уравнений и неравенств.
8 ч.
•. то да р е ш е ­
П о н я т и е функционально-графического метода решения
ния уравне­
уравнений и неравенств. 2. Основные его разновидности
ний и нера­
(методы? перебора, оценки, догадки, исключения, суже­
венств с па­
раметром
ния, метод интервалов). Связь со свойствами функций,
условия применимости методов.
5. К о н т р о л ь ­ Исследование свойств функции в зависимости от пара­
ная работа
2ч.
метра. Нахождение-значений параметра по указанному
свойству функции. Решение уравнения или неравенства
с параметром графическим методом.
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Задачи на исследование свойств класса функ­
ций сводятся к задачам на решение уравнений и неравенств с параметрами,
следовательно, изучение раздела должно б ы т ь предварено изучением курса
«Уравнения и неравенства с параметром». К р о м е того, учащиеся д о л ж н ы обла­
дать п р о ч н ы м и навыками исследования свойств функций аналитическими ме­
тодами, поэтому желательно предваренное рассмотрение курса «Исследование
свойств ч и с л о в ы х функциональных зависимостей». В отсутствие такой воз­
м о ж н о с т и изучение курса может осуществляться с опорой на справочных мате­
риал о теоретических основах исследования свойств функций. Последняя тема
курса представляет собой развитие вопросов, рассматриваемых в курсе «Функ­
ц и о н а л ь н ы е методы решения уравнений и неравенств», поэтому продолжи­
тельность ее изучения зависит от наличия или отсутствия знаний представлен­
н ы х в н е м . К у р с и в о м выделены вопросы, носящие дополнительный характер.
Л и т е р а т у р а д л я учителя .
.
1. К о ж у х о в а С.А., К о ж у х о в С.К. Свойства функций в задачах с параметром
/ / М а т е м а т и к а в школе. - 2 0 0 3 . - № 7. - С. 1 4 - 1 6 .
2.
Е п и ф а н о в а Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами // Ма­
т е м а т и к а в ш к о л е . - 2003.
т
№ 7. - С.17 - 19..i ,
Литература для учащихся
1. Азаров А.И., B.C. Федосенко, С.А. Барвенов Экзамен по математике: За­
дачи с параметрами: Функциональные методы решения. - М н . : П о л ы м я ,
2 0 0 1 . - 3 5 2 с.
2. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. М е т о д ы решения задач с параметрами. - М.:
М Г У , 1 9 9 4 . - Ч Л . - 3 2 с.
ПК Функциональные
Цели
курса:
методы
решения
Формирование умений
уравнений
и неравенств
(26 -30 ч.)
решать уравнения и неравенства на ос­
нове исследования свойств входящих в них функций и использовать функ­
циональные методы в комбинации с методами преобразований.
Требования
к результатам
изучения:
.*
.
• У м е н и е решать уравнения и неравенства методом навешивания и "снятия
функций; -.
• У м е н и е применять методы: «оценки», «перебора», «догадки» к р е ш е н и ю
уравнений и неравенств.
• У м е н и е применять обобщенный метод интервалов к р е ш е н и ю неравенств.
1.Функцио­
нальные спо­
Уравнение и неравенство как утверждение о равенстве • 2 и неравенстве значений двух функций на пересечении
собы задания ' их областей определения. Функциональные
уравнений и
неравенств
4ч.
способы
задания уравнений и неравенств: взаимное расположе­
ние графиков, расположение
графика
относительно
осей координат, отношение между значениями функ­
ций, составление выражений, содержащих знаки функ­
ций, их производных,
интегралов
первообразных
с переменным
пределом.
и
определенных
Графический ме­
тод решения уравнений и неравенств.
2. Роль О Д З в
1. Определение понятия область допустимых значений
решении урав­
переменной. Роль и место О Д З в процессе р е ш е н и я :
нений и нера­
изменения О Д З как способ контроля за равносильно­
венств
4ч.
стью преобразований, знание О Д З как способ у п р о щ е ­
ния процесса решения, как средство проверки найден­
ных решений. Типичные ошибки, связанные с преуве­
личением роли ОДЗ в решении. 2. Метод «перебора»,
условия его применимости, область использования.
3. Р е ш е н и е
1. Понятие ограниченности функций. Виды оценок об­
уравнений и
ласти изменения функции. Метод «оценки», теоретиче-
6ч
неравенств
ские основы его .использования. 2. Роль метода в р е ш е ­
методом
нии уравнений и неравенств: замена неравенства урав­
«оценки»
нением, сведение уравнений и неравенств к системе,
разделение переменных, обоснование невыполнимости
соотношения или его тождественности на О Д З .
4. Методы .
1. Свойства
решения
сильных
уравнений и
ляющего
неравенств,
уравнений
монотонности
преобразований,
функций,
как основа
как основа
выделения
числа, как самостоятельный
и неравенств.
метод
равно­
6-
разде­
8ч.
решения
2. М е т о д догадки, его струк­
о с н о в а н н ы е на тура, особенности использования для решения уравне­
использова­
ний и неравенств, содержащих непрерывные и м о н о ­
нии м о н о т о н ­
тонные функции в левой и правой части (монотонность
ности ф у н к ­
противоположного характера, одного характера, одна
ции
из функций постоянна). 3. М е т о д «исключения», его
теоретические основы. Комбинация метода с методом
исследования на промежутках ОДЗ.
5. Использо­
Определение
вание компо­
существования
зиции функ­
функций,
ций при ре­
венств
шении у р а в ­
преобразования,
нений и нера­
венств
основа
композиции
используемые
(композиция
уравнений
функций
внешней
инвариантность
одинаковых
условие
и нера­
как
цель
функции
как
точек
отно­
функций).
6. М е т о д
1. Теорема о знакопостоянстве непрерывной функции.
интервалов и
М е т о д интервалов для решения рациональных нера­
его
венств. П р а в и л о определения знаков. 2. Сведение нера­
обобщения
венств
к
рациональным
на
2ч.
композиции
при решении
монотонность
композиции
Основное
Свойства
взаимообратных
преобразований,
сительно
функции.
-'композиции.
основе
4ч.
использования
свойств монотонности функций. Обобщенный
метод
интервалов.
7. Контроль­
Решение уравнений и неравенств одной переменной с
ная работа
п о м о щ ь ю методов «оценки», «перебора», догадки (изо­
2ч.
лировано и в комбинации с методом преобразований).
Применение обобщенного метода интервалов.
Дополнительные указания
Изучение курса требует
сформированное™
умений исследовать свойства функций по определению, с использованием тео­
рем о сохранении свойств, на основе знаний свойств основных классов функ­
ций. В случае недостаточности этих базовых знаний, изучение курса может
быть предварено курсом «Исследование свойств числовых функциональных за­
висимостей»,' или сопровождено предоставлением учащимся полной справоч­
ной информации о методах и теоретических основах исследования свойств
функций. Рассмотрение вопросов, связанных с ролью О Д З в решении задач,
комбинациями функциональных методов с преобразованиями делает желатель­
ным предварительное изучение курса «Метод равносильных преобразований
при решении уравнений и неравенств». Курсивом выделены вопросы, носящие
дополнительный характер.
Литература для учителя
1. Азаров А.И., Федосенко B.C., Барвенов
С.А. Экзамен по математике:
Задачи с параметрами: Функциональные методы решения. - М н . : Полымя,
2 0 0 1 . - 3 5 2 с.
2. Ш а р ы г и н И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс п о математике. Реше­
ние задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. ш к . - М.: Просвещение, 1991. -384 с.
Литература для учащихся
~
1. Котова С.Н., Минькина Е.З., П о п о в И.Н., Шабанова М . В . Уравнения, нера­
венства и их системы. Планиметрические задачи на доказательство - Архан­
гельск: П Т У , 2002. - 38 с.
2. Кравцев
.
V •< -
С.В, Макаров Ю . Н . , М а к с и м о в В.Ф., Нараленоков М . И . , - Ч и р -
ский В.Г. М е т о д ы решения задач по алгебре. - М.: Экзамен, 2001. - 544 с.
3. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Не­
стандартные методы решения. - М.: «Факториал», 1997. - 217с
4. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю . В . Конкурсные задачи по мате­
матике: Справ, пособие. - М.: Наука, 1992. - 480 с.
СК Приложения
средств математического
анализа к решению
задач (20 -
28ч.)
Цель курса: Выявление идейных основ происхождения основных категорий
1
математического анализа, необходимых д л я определения направлений и раз­
вертывания теорий дифференцирования и интегрирования в вузе, а также
раскрытия сущности приложений этих понятий. Формирование у м е н и й ре­
шать основные типы задач на приложение производной и интеграла.
Требования
к результатам
изучения:
• Уметь применять производную к р е ш е н и ю задач на оптимизацию (при­
кладных, сюжетных, геометрических);
• Уметь применять производную к получению уравнений касательных.
• Уметь применять определенный интеграл к р е ш е н и ю геометрических и
физических задач.
1. П р о и з в о д н а я ,
Происхождение
ее геометриче­
оценки скорости изменения функции в точке. Идея
понятия
производной
из
2ч.
задач
ский и механиче­
линеаризации функции в окрестности точки и ее
ский смысл
роль в.развитии методов приближенного вычисле­
ния и решении задач на построение касательных.
2. Применение
Экстремумы функции, ее наибольшее и наименьшее
понятия произ­
значение. .Схема применения производной к нахож­
водной к р е ш е ­
дению наибольшего и наименьшего значения функ­
н и ю задач на оп­
тимизацию
ции на отрезке, и интервале, ее
обоснование.
Решение
4ч.
теоретическое
сюжетных, прикладных
и
геометрических задач на оптимизацию.
3. П р и м е н е н и е
Применение производной для доказательства
производной к
ждеств
р е ш е н и ю алгеб­
р а и ч е с к и х задач
то­ ' 2 4ч.
к р е ш е н и ю задач на определение количест­
ва корней уравнения. Приложение производной к
решению задач на доказательство
неравенств.
^,
4. П р и м е н е н и е
Определение понятий: касательная к графику функ-
производной к
ции, уравнение касательной. Решение задач на по­
-
4ч.
р е ш е н и ю задач на лучение уравнения касательной к графику функции.
построение каса­
В з а и м н о е ' р а с п о л о ж е н и е прямых на плоскости. Ре­
тельных
шение задач на определение взаимного расположе­
ния
касательных.
Решение
задач
на
получение,
уравнения касательной при указанном
характере
взаимного расположения с другой прямой.
5. О п р е д е л е н н ы й
Происхождение понятия определенного интеграла
интеграл, ее гео­
из задач исследования неравномерных процессов и
метрический и
вычисления геометрических величин криволиней­
механический
ных фигур. Идея квадратуры и ее роль в развитии
смысл
методов решения задач на вычисление
2ч.
площади
криволинейной фигуры и задач к ним сводящихся.
Определение интеграла как метод решения задач.
6. П р и м е н е н и е
определенного
. интеграла к р е ­
ш е н и ю геометри­
Вычисление площади криволинейной трапеции и
2-
других криволинейных фигур. Вычисление объемов
4ч.
тел (вращения и других тел, с заданной функцией
площади сечения).
ч е с к и х задач
7. П р и м е н е н и е
Вычисление работы переменной силы. Вычисление
2-
определенного
массы тела переменной
4ч.
плотности.
Определение
интеграла к р е ­
положения центра масс. Вычисление силы давления
шению физиче­
жидкости.
•'<•>•
ских задач
8. Применение
Понятие
определенного
дение алгебраической
интегральных
интеграла к дока­ Доказательство
сумм и сумм Дарбу.
суммы к указанному
Приве­
2,ч.
к виду.
неравенств.
}
зательству нера­
венств
9. Контрольная
Применение производной к р е ш е н и ю задач н а оп­
работа
тимизацию и к построению касательных. П р и м е н е -
2ч.
.ние определенного интеграла к р е ш е н и ю геометри­
ческих и физических задач.
•, ,,
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания..Трактовка понятий «производная» и «опреде­
ленный интеграл» должны быть согласованы с содержанием базового курса. Их
повторное рассмотрения направлено на вскрытие идейной сушНости,этих поня­
тий. Содержание курса не ориентировано на выработку техники д и ф ф е р е н ц и ­
рования и интегрирования, снятие возможных затруднений у ч а щ и х с я может
быть осуществлено за счет предоставления справочного материала. К у р с и в о м
выделены вопросы,. носящие дополнительный характер. Курс рекомендуется
учащимся планирующим связать свою будущую профессиональную деятель­
ность с прикладной математикой (в частности, поступление на Ф и з и ч е с к и й фа­
культет и математическое о т д е л е н и е математического факультета П о м о р с к о г о
государственного университета). „
Литература д л я учителя
г< ~
.
.
1. Никольский С;М. Элементы математического анализа._-М.: «Наука», 1989. 224 с.
2. Лихтарников Л.М. Поволоцкий А.И. О с н о в ы математического анализа. СПб, 1 9 9 7 . - 3 0 1 с. '
,
Литература для учащихся
1. Звонкий А. Анализ помогает алгебре// Ш к о л а в «Кванте»: Алгебра и анализ /
Под р е д А.А. Егорова. - М.: Б ю р о Квантум, 1994. - С. 64-70.
2. Балк М., Ломакин Ю . Доказательство неравенств с п о м о щ ь ю производной //
Школа в «Кванте»: Алгебра и анализ / П о д р е д А.А. Егорова . - М . : Б ю р о Кван­
тум, 1 9 9 4 . - С. 71 - 7 6 .
3. Виленкин А., Ионин Ю . Площадь и интеграл // Школа в «Кванте»: Алгебра и
анализ / Под р е д А.А. Егорова. - М.: Бюро Квантум, 1994. - С. 82 - 92.
4. К о т о в а С.Н., Минькина Е.З., П о п о в И.Н., Шабанова М . В . Исследование
свойств функций. Приложения производной. Задачи на построение в стерео­
метрии. - Архангельск: ПГУ, 2003. - 52 с. .
СК Построения
Цели
курса:
на проекционном
чертеже
(20-30 ч . ) . . •
.
-
Формирование базы представлений для; изучения Аналитиче­
ской и начертательной геометрии в вузе. Формирование основных умений для
р е ш е н и я школьных ' стереометрических задач включающих элементы по­
строения.
Требования
•
\
к результатам
изучения:
.
у м е т ь р е ш а т ь задачи на построение сечений, определения вида фигуры,
н а х о ж д е н и е площади сечения (аксиоматическим методом и методом
следов);
•
у м е т ь ставить и решать подзадачи на определение расстояний-и углов
п р и решении вычислительных стереометрических задач.
.
1. Задачи на
Проекционный чертеж, свойства параллельного проек­
построение в
тирования, правила изображения основных видов гео­
стереомет­
метрических фигур, требования к чертежу. Отличитель­
рии (основ­
ные особенности решения конструктивных задач на про­
ные понятия)
екционном чертеже. Виды задач по степени их разреши­
мости. Соответствующие им конструктивные
менты.
•
инстру­
'
3. У с л о в н о
Условно разрешимые задачи как задачи о доказательстве
разрешимые
потенциальной осуществимости'конструктивных опера­
задачи на п о ­
ций. Аксиоматический метод, его структура и теорети­
строение м е ­
ческие основы, особенности его использования при ре­
тоды и х р е ­
2-:
4ч.
2ч.
шении условно-разрешимых задач на построение.
шения
4. П о з и ц и о н ­
1. Особенности решения позиционных задач на построе­
6-
н ы е задачи
ние, основные действия, теоретические основы, связи их
8ч.
на построе­
с условно - разрешимыми и метрическими
'задачами.
ние и методы
Наиболее распространенные виды позиционных задач:
их решения
построение сечений," линий пересечения, о б щ и х точек,
параллельных проекций. 2. Решение позиционных задач
аксиоматическим методом. 3. Решение позиционных за­
дач методом «следов». 4. Решение
методом
5. М е т р и ч ё -
вспомогательных
позиционных
задач
сечений.
1. Особенности решения метрических задач на построе-
4-
КкЙрзадачи.
ИнаВГострое-
!
ние, основные действия, теоретические основы, наибо­
бч.ч!
в и д ы : построение основания пер­
пендикуляра, линейного у г л а двугранного, центра ш а р а
(вписанного, описанного), общего перпендикуляра," у г л а
м е ж д у скрещивающимися . прямыми, ортогональных»>.
проекций фигур. 2.Решение з а д а ч вычислительным м е ­
т о д о м . 3. решение задач векторно-координатным V мето-i
лее распространенные
>
дом.
Ц6., Решение
Задача на построение в структуре решения
^вычисли-
тельной стереометрической задачи. Варьирование сте­
. _ . . '._
вычисли­
4ч.
1
> тельных за-
п е н и Разрешимости задачи на построение в зависимости
1 дач конст-
от способа решения вычислительной задачи. Р е ш е н и е
[^руктивным
;
методом
з а д а ч на
;]^.;Многова-
Стереометрические
f
следование
риантные
\
задачи
взаимного
•"стереомет- ' гурации .методом
; рические за-
вычисление расстояний, углов, площади сече­
, ния, радиуса шара.
ного и численного
с неполными
расположения
мысленного,
эксперимента.
данными.
элементов
реального,
Контрольные
Ис­
4ч.
конфи­
конструктив­
значения
Решение вычислительных
задач.
д а ч параметра.
и
з а д а ч
в и д
сечения
Решение з а д а ч на определение расстояний и углов в е к ­
2ч.
1 8. Контроль- Решение
на построение сечений, определения
! ;,ная работа
фигуры,,нахождение площади
(методом следов).
торно-координатным методом.
г Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Данный курс базируется на школьных знаниях
учащихся о свойствах проекционных изображений. О н может быть использован
^ к а ч е с т в е вводного для изучения курса «Методы решения стереометрических
вадач». Курсивом выделены вопросы, носящие дополнительный характер. Курс
рекомендуется учащимся, планирующим получать .техническое и педагогичеясоеобразование (в частности продолжить обучение на факультете Технология
^ п р е д п р и н и м а т е л ь с т в о и на учительском отделении математического факульгетаЛоморского государственного университета).
Литература д л я учителя
В м К 'Шабанова М . В . Классификация задач на построение сечений многогранШ к о в ; ' - Архангельск: П М П У , 1996. - 48 с.
Н 6 г » ; И з а а к Д.Ф. Метрические задачи на построение в стереометрии //,Матемар к а в школе. - 1978. - № 5. - С. 3 8 - 4 1 .
,3.73
Литература для учащихся
- ,
1. Ш а р ы г и н И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с отве­
тами. - М . : О О О « А с т р е л ь » ; 2 0 0 Г . - 4 0 0 с .
2. Вавилов В. Сечение м н о г о г р а н н и к о в / / К в а н т . - 1979. - № 1 . - С . 3 6 - 4 0 .
3. Котова С.Н. Минькина Е.З. Попов И.Н., Ш а б а н о в а М . В . Исследование
свойств функций: П р и л о ж е н и я производной.'Задачи н а построение в сте­
р е о м е т р и и . - А р х а н г е л ь с к : П Т У , 2003. - 52 с:
ПК Методы
решения
стереометрических
задач (22 - 34ч.)
Цели курса: В ы я в л е н и е знаний о специальных методах р е ш е н и я стереомет­
рических задач и формирование умений их использования п р и р е ш е н и и задач
!
к о н к у р с н о г о и олимпиадного уровня.
Требования
•
к результатам
изучения:
'
У м е н и е рационализировать решение стереометрических
задач'путем
преобразования изображений, введения вспомогательных элементов.
•
У м е н и е решать задачи конкурсного уровня на комбинацию стереомет­
рических тел с использованием векторно-координатного метода.
1. Особенно­
Этапы решения задачи. Роль чертежа в р е ш е н и и стерео­
сти решения
метрической задачи. Требования к чертежу. Решение за­
стереомет­
дач на поиск ошибок в р'ешении (неоправданные выводы
2ч.
рических з а - ' п о чертежу, логические ошибки). Требования к аргумен­
дач -
• таций решения стереометрических задач.
2. Задачи н а
доказатель­
ство в с т е -
Понятие
доказательства.
тельных
?т
рассуждений.
зательство
р е о м е т р и и ' ' гизме,
Методы
противоречием,
метод
Решение
Логические
исключения,
расположения,
доказательства
доказательство
• примеры,
стереометрических
взаимного
основы
1
4ч.
(дока­
'в'силло­
контрпримеры).
"задач на
доказательство:
вида фигур, равенства
новеликости.
доказа­
и рав-
i
**
3. Изменение
Р е ш е н и е задач, допускающих 'различие в толковании
положения
данных в зависимости от положения в пространстве.
конфигура­
В ы ч и с л е н и е объемов тетраэдров? Определение расстоя­
ции в п р о ­
ний, углов.
2ч.
странстве
4. М е т о д ы
Особенности
решения
достроения • ми и прямоугольными
до м н о г о ­
гранника 1
ждающего»
куба.
задач,
связанных
тетраэдрами.
с
Метод
равногранны«сопрово­
4ч.
5. Метод
Сведение задачи к планиметрической. Выносной чертеж. 1
вспомога­
Решение задач на многогранники, комбинации с круг­
тельных се­
л ы м и телами.
-
..
I,^
4ч.
I
:
чений
6. М е т о д
Свойства
проекций
основы применения метода проекций к р е ш е н и ю задач
проекционных
изображений.
Теоретические
на определение длины общего перпендикуляра
4ч.
двух'
скрещивающихся прямых и угла между ними; р е ш е н и я
задач
на
пропорциональность
отрезков,
вычисление
площади сечения по его проекции.
7. М е т о д
Развертки
развертки
разворачивания.
стояний
основных'
геометрических
Решение
по поверхности,
поверхности.
,
задач
на
.периметра
фигур.
Способы
нахождение
сечения,
площади
-
,. >••• •
8. М е т о д вве­
Конструктивные и неконструктивные* методы-.решения
дения
стереометрических задач.. Основные метрические соот­
вспомога­
ношения в многогранниках и -круглых телах. В в е д е н и е
тельных эле­
ментов
4ч..
рас­
вспомогательных величин (длин, площадей,
4ч.
объемов,
углов). Применение метода к р е ш е н и ю вычислительных
задач без использования построений.
9. Векторно-
Условия коллинеарности и компланарности векторов в
координат-
пространстве. Скалярное произведение векторов. С у щ ­
ный метод
ность векторно-координатного метода. Система эври­
4 ч.
стик для применения метода. Решение задач на опреде­
ление взаимного расположения, вычисления расстояний,
углов.
10. Кон­
_
Применение методов преобразования изображений при .2ч.
трольная ра­
решении;стереометрических задач. П р и м е н е н и е метода
бота
введения вспомогательных элементов. Применение век­
торно-координатного метода.
-
. ч «fj)h <
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Требует сформированное™ знаний основных сте­
реометрических соотношений и умений решать стереометрические задачи в
рамках школьной программы. Рекомендуется учащихся 11 классов. Курсивом
выделены разделы, ориентированные на подготовку к р е ш е н и ю олимпиадных
задач и дополнительные вопросы.
Л и т е р а т у р а д л я учителя
1. Ш а р ы г и н И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с отве­
тами. - М.: О О О «Астрель», 2001. - 400 с.
2. Бескин Н.М. Изображения пространственных фигур. - М :
Наука,
1971. -
80 с.
3. Ходот Т.Г., Захарченко И.Д., Михайлова А.Б. Задачи по геометрии: .Учебное
пособие. - С П б : «Специальная литература», 1997. - 280 с.
Литература д л я учащихся.
1. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Я к и р М . Неожиданный ш а г или сто трина­
дцать красивых задач. - Киев: Агрофирма «Александрия», 1993. - 58 с.
2. П р а к т и к у м абитуриента: Геометрия,' Выпуск 3 /Под ред. А'/ А. Егорова. - М.:
Б ю р о К в а н т у м , 1996. - 128 с.
3. Готман Э.Г., Скопец,З.А. Задача одна - решения разные: Геометр. Задачи:
Кн. для у ч а щ и х с я . - М.: Просвещение, 2000. - 224 с.
ПК Методика
решения
тестовых
заданий (24-40ч.)
.
•. .
Цель курса: Обзор приемов рационализации решения школьных математиче­
ских задач тестового типа, с целью подготовки учащихся к п р о х о ж д е н и ю . Е Г Э ,
централизованного тестирования, а также к вступительным испытаниям п о ма­
тематике в вузы (в форме теста).
Требования
к результатам
изучения:
•
У м е н и е рационализировать решение тестовых задач.
•
У м е н и е оформлять решение задач в соответствии с требованиями к оцен­
ке. ''
"> • )
1. О с о б е н н о ­
г
, _Ч
,
.
" .
< 4
В и д ы тестовых" заданий (задания с выбором ответа, с . 2ч
сти состав- . кратким ответом, с развернутым ответом). Основные
рианты
шения тес­
н и я и образцы оформления заданий с развернутым отве­
товых зада­
т о м , критерии оценки результатов их решения.
ний-
стратегий
решения
тестовых
заданий.
ва­
ления и р е ­
Требова­
• -
2. В ы р а ж е ­
В и д ы . з а д а н и й по характеру требования (вычисление зна­ 4-6ч.
ния и их
чения выражения, определение вида числа, нахождение
преобразо­
границ изменения значений, упрощение выражений, при­
вания
ведение их к указанному в и д у , , выполнение, указанных
действий).;Основные-методы решения: у п р о щ а ю щ и е пре­
образования, переход к композиции выражений, пере­
формулировка задачи в терминах решения уравнений (не­
равенств) исследования свойств функций.
)
3. Функции
Виды задач на чтение графиков функций и, методы их 2-4ч.
и их свойст­
решения. Исследование свойств [функций элементарными
ва
методами (использование теорем о сохранении, метода
оценки, сведение-к задаче не решение уравнения (нера­ i
венства)). О ф о р м л е н и е - й оценка задач на исследование
;
свойств функций, элементарными методами.
4. Производ­
Задачи на нахождение значения производной и первооб­ 2-4ч.
ная, перво­
разной, способы их решения: использование правил д и ф ­
образная и
ференцирования и интегрирования, геометрического или
их приложе­
физического смысла понятий. Рационализация вычисле­
ния
ний на основе тождественных преобразований. Р е ш е н и е
задач на касательные, исследование свойств функций и
задач к ним сводящихся. Требования к о п и с а н и ю - р е ш е - '
нйй этих задач и критерии оценки решений^ '"*
5. Уравне-^
Основные способы неявной постановки задач на решение •"2-
ния и нера­
уравнений
венства
(неравенств).
Роль
.функционально-
* графических методов в решении уравнений и неравенств
6ч.
J •
{
с кратким ответом. Основные виды дополнительных тре­
бований. Требования к оформлению решений и критерии
оценки.
Уравнения и неравенства с параметром.
6. Текстовые Особенности решения текстовых задач с выбором ответа.
2-
задачи
4ч.
Основные способы повышения уровня сложности тексто­
вых задач (неявные денные, выделение комбинации пе­
ременных, нетипичный сюжет).
7. Плани­
Ключевые "соотношения и их роль в решении планимет­
2-
метрические
рических задач. Ключевые соотношения, наиболее часто
4ч.
задачи на
.используемые при решении конкурсных задач. Задачи,
вычисление
требующие распознавания вида фигур й их взаимного
расположения. Метод дополнительных построений в р е ­
шении
планиметрических ,
координатный
8. Стерео­
задач. ,
.Векторно-
метод.
Теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей
метрические
в пространстве как основа решения тестовых стереомет­
задачи
рических задач. Приемы рационализации решения вычис­
лительных стереометрических задач: прием
вспомога­
тельного объема, параллельного переноса, изменения п о ­
ложения в пространстве, достроения
до
многогранника,
4-6ч
построение
проекций.
Требования
к
обоснованию
и
оформлению решения задач на комбинацию стереометри­
ческих тел. Критерии оценки. •
9. Пробное
Проверка правильности выбора- стратегии
тестирова­
тестов, оптимальности" рабочих записей." Проверка пра-
ние
в и л ь н о с т и о ф о р м л е н и я работы, степени готовности к эк­
заменам.
~
выполнения
4ч.
k
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Курс предназначен для актуализации уже
и м е ю щ и х с я знаний и у м е н и й у ч а р и х с я , - л и к в и д а ц и и пробелов и обогащения
знаниями специфических приемов. О н рассчитан н а подготовленных слушате­
лей (чем объясняется малый объем учебного времени). В этой связи, рекомен­
дуется использовать курс в качестве завершающего, дополняющего итоговое
повторение, осуществляемое в рамках основных курсов. Н а каждом занятии
ж е л а т е л ь н о включение учащихся в деятельность по выполнению тестовых за­
даний в жестких временных границах, организовывать деятельность по оценке
в ы п о л н е н и е заданий в соответствии с критериями и оформлению решений.
Л и т е р а т у р а д л я учителя
^
1. Томилова А.Е., Фалилеева Е.Г., Соколова А . Д . Ш а б а н о в а М . В . Математика:
аналитический сборник п о итогам Е Г Э . - Архангельск, 2003.
Литература д л я у ч а щ и х с я
1. Учебно-тренировочные материалы для полготовки к единому государствен... ному экзамену. М а т е м а т и к а . , - М . Интеллект-Центр, 2002-2005.
f
2.. П о с о б и я д л я подготовки к централизованному тестированию (Математика.
Г е о м е т р и я , Алгебра). - М.: Центр тестирования М О Р Ф , 2002 - 2005.
СК Математические
модели в экономике (18-24ч.)
Цели курса: Подготовка языкового аппарата к изучению курсов математиче­
ского моделирования в вузе. Формирование умений применять метод матема­
тического
моделирования
к
исследованию
простейших
социальноэкономических процессов. Формирование умений решать текстовые задачи с
экономическим содержанием конкурсного уровня.
Требования к результатам
изучения:
•'
•
у м е н и е р е ш а т ь текстовые задачи с экономическим содержанием, сводя­
щихся к задачам на части и проценты, к р е ш е н и ю уравнений и нера. венств в целых числах, к.задачам н а наиболыне и наименьшее значение
функций;
-
•
у м е н и е оперировать о с н о в н ы м и экономическими понятиями при реше­
нии задач: ресурсы, дивиденды, прибыль, затраты, банковская ставка,
рента и т.п. и категориями математического моделирования: модель, об­
ласть использования результата, функция цели, ограничения, план реше­
ния.
•
>
1. Экономиче­
Текстовые задачи с экономическим содержанием как
ские задачи,
модели экономических процессов. Область п р и м е н и ­
роль матема­
мости их' результатов. Причины ограниченности "ис­
тики в их ре­
пользования. Метод математического моделирования,
шении
•
2ч.
его структура, проблемы метода: простота и точность
модели, жесткость результатов и устойчивость ситуа­
Г
ции.
2. Функции в
Способы получения функций экономических процес­
экономике,
сов. Задачи исследования свойств элементарных функ­
2ч.
особенности их ций и задачи ценообразования, планирования реализа­
исследования
ции, установления рыночного равновесия.
3. Задачи л и ­
Экономические задачи, сводящиеся к з а д а ч а м н а иссле­ - 2 ч .
нейного п р о ­
дование целевых линейных функций двух переменных'.
граммирования
На наибольшее наименьшее значение в условиях огра­
'
1
А
ничений, выражаемых системой л и н е й н ы х неравенств
(планирование
производств,
оптимального
транспортные задачи). Понятие о задаче
программирования
(целевая
функция,
раскроя,
линейного
ограничения,
план решения) Геометрический метод решения задачи
линейного программирования с двумя
переменными
(многоугольник решений).
4. Экономиче­
Задачи на куплю-продажу, планирование выпуска про­
4-
ские задачи,
дукции, оптимального раскроя и т.п., сводящиеся к ре­
6ч.
решаемые в
шению
целых числах
уравнений
и
неравенств
и
исследованию
свойств функций в целых числах. Область в о з м о ж н ы х
л •'.
решений. М е т о д оценки, метод перебора.
5. Задачи об
Экономические
оптимальном
задачам
задачи,
размещении и
ки. Применение
их геометриче­
ний и ГМТ при решении
на определение
методов
сводящиеся
к
оптимального
геометрическим
положения
геометрических
задач этого
точ­
2ч
1
преобразова­
типа.
ское решение
6. Экономиче­
Текстовые задачи на части и проценты с экономиче­
4-
ские задачи на
ским содержанием. Метод пропорций. Понятие банков­
6ч.
части и про­
ской ставки. Задачи на банковские начисления (про­
центы
стые и сложные проценты), налогообложение, дискон­
тирование.
7. Э к о н о м и ч е ­
Задачи на исследование дискретных потоков платежей.
ские задачи,
Арифметические и геометрические прогрессии как мо­
2ч.
дели потоков платежей. Понятие бессрочной ренты. За-
сводящиеся к
дачи о «проедании» вклада.
задачам на
прогрессии
8. Контрольная Р е ш е н и е текстовых задач с экономическим содержани­
работа
2ч.
ем, сводящихся к задачам на части и проценты, к р е ш е ­
н и ю у р а в н е н и й и неравенств в целых числах, к задачам
на наибольше и наименьшее значение функций.
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . П р и определении содержания курса в основу
был п о л о ж е н принцип преимущественного ограничения моделями и методами
ш к о л ь н о г о курса математики и направленности формирования умений на р е ­
ш е н и е задач конкурсного типа, содержащих экономическую информацию. Ре­
комендуется учащимся, планирующим продолжение образования на факульте­
тах и отделениях эконометрического профиля (в частности на отделении П р и ­
кладная математики в экономике Математического факультета и отделениях
факультета Государственного и муниципального управления Поморского госу­
дарственного университета). ^
Литература для учителя
1. А р н о л ь д
В.И. «Жесткие»
и . «мягкие»
математические
модели. -
М.:
М Ц Н М О , 2000. - 32 с.
2. Б а ш а р и н Г . П . Начала финансовой математики. - М.: И Н Ф Р А - М , 1998. 160 с.
3. В е н т ц е л ь Е.С., Овчаров Л.А. П р и к л а д н ы е задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.
4. Гатаулин A . M . , Харитонова Л.А., Гаврилов Г.В. Экономико-математические
м е т о д ы в планировании сельскохозяйственного производства. - М.: Колос,
1986.
Литература для учащихся
1. А в ю н о м о в B.C., Голдстин Э. Экономика для школьников. - М . , 1995.
2. А ш м а н о в С.А. Математические модели и методы в экономике. - М . : Изд-во
М Г У , 1980.
3. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. - М.: Просвещение, 1971.
4. Б у ш у е в Б.Е. Графический метод решения задач линейного программирова­
ния в ш к о л е . - М . , 1962.
5. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М . : Зна­
ние, 1991.-160 с.
6. Каток А. Экономика и линейные неравенства// Квант
1971. - № 3,4
г
7. Л и п с и ц И.В. Экономика без тайн. - М.: Дело ЛТД, 1994. - 352 с.
8. Лютикас В.Л. Школьнику о теории вероятностей. - М . : П р о с в е щ е н и е , 1983.
9.
С и м о н о в А.С. Экономика на уроках математики. - М.: «Школа-Пресс»,
1999-160с.
•
10. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи /А.И. А з а р о в и др. М и н с к : «ТетраСистемс», 1998.
11. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. - М.:
Наука, 1979.
СК Системы
счисления
и их приложения
в информатике
(14-20ч.)
Цели курс: Формирование представлений о видах'систем счисления, их дос­
тоинствах и недостатках при различных направлениях практического использо­
вания. Представление о способах кодирования чисел в Э В М и осуществления
арифметических действий с ними. Формирование у м е н и й осуществлять пере­
вод чисел из одной системы в другую, решать вычислительные задачи и задачи
на делимость при различных способах записи чисел.
Требования
•
•
к результатам
изучения:
У м е т ь переводить числа из одной системы счисления в д р у г у ю .
Уметь осуществлять операций над числами в различных п о з и ц и о н н ы х
системах счисления.
•
Умение решать задачи на делимость чисел в различных позиционных
системах счисления.
1. Числа и
Группировка объектов в процессе их подсчета. Словес­
способы их
ные и символьные обозначения групп объектов. П о н я т и е
записи
системы
счисления.
Позиционные
и
2ч.
непозиционные
системы счисления, особенности записи ч и с е л в них.
Роль нуля в позиционных системах счисления. Пред­
ставление чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
Чтение и "запись чисел в различных системах счисления
(римской, десятичной, двоичной, троичной и т.п.).'
2. Перевод
Деление нацело как основа перевода чисел из одной по­ 2-4ч.
чисел из од­
зиционной системы счисления в другую. П р а в и л о пере­
ной позици­
вода и записи процесса перевода. Задачи на перевод чи­
онной систе­
сел из десятичной системы в систему с другим основа­
мы счисления
нием. Задачи обратного перевода. Задачи перевода чи­
в другую
сел из произвольной системы счисления в произволь­
ную. Понятие экономичности системы. Оценка э к о н о -
мичности позиционных систем (десятичной, восьмерич­
ной, шестнадцатеричной, троичной и двоичной).
3. Признаки и
Признаки делимости чисел записанных в десятичной
свойства де­
системе и их доказательство. Связь признаков делимо­
4ч.
лимости чисел сти со способом записи числа. Формулировка и доказа­
в различных
тельство признаков делимости для других систем счис­
системах
ления. П р и м е н е н и е признаков делимости для решения
счисления
задач на делимость целых чисел.
4. А р и ф м е т и ­
С л о ж е н и е , вычитание, умножение и деление в различ­ 2^4ч.
ческие опера­
н ы х системах счисления. Правила выполнения действий
ции н а д ч и с ­
«столбиком» в различных позиционных системах. Таб­
лами в раз­
л и ц ы сложения и умножения. Решение задач на выпол­
личных сис­
нение арифметических действий, определение вида сис­
т е м а х счисле­
тем по компонентам операции.
ния
5. К о д и р о в а ­
Двоичный код в телеграфии, его использование для пе-. 2-4ч.
н и е информа­
редачи информации и шифрования. Счетчик и его уст­
ции с помо­
ройство. Связь выбора системы счисления с количест­
щ ь ю двоич­
вом устойчивых положений счетчика. Задача сложения
ной системы
двух чисел, записанных в двоичной системе счисления и
счисления
ее решение Э В М . Одноразрядный двоичный сумматор,
его логическая
схема. Математический
сопроцессор.
Представление действительных чисел в Э В М .
6. К о н т р о л ь ­
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
ная р а б о т а
Осуществление операций над числами в различных по­
2ч.
зиционных системах счисления. Решение задач на дели­
мость чисел.
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Раздел выступает в качестве-вводного при пе­
р е х о д е к и з у ч е н и ю принципов устройства ЭВМ. Изложение материала опира­
ется на знания правил письменных вычислений и решения задач на делимость
натуральных чисел (в десятичной системе счисления). Рекомендуется учащим­
ся, профессиональные интересы которых связаны с информатикой и математи­
кой (в частности, учащимся планирующие получение специальностей «Мате­
матика с дополнительной специальностью информатика: квалификация учитель
математики и информатики», «Прикладная математики: квалификация систем­
ный программист» на математическом факультете Поморского государственно­
го университета).
Литература для учителя
1. Ф о м и н С В . Системы.счисления. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 198748 с. - ^ П о п у л . лекции по мат.)
2. Спивак А . В . Математический праздник. - М : Б ю р о Квантум, 2001. - 125 с.
Литература д л я учащихся
1. Гутер Р. Вычислительные м а ш и н ы и системы счисления // К в а н т . - 1971. №9.
2. Кулаков А. Сортировки, числа Фибоначчи, системы счисления и контекстносвободные грамматики // Квант. - 1997. - № 3.
3. Я г л о м И . Системы счисления // Квант. - 1991. - № 12.
СК Численные
методы решения
математических
задач
(16-22ч.)
Цели курса: Подготовка базы математических знаний для разработки программ
численного решения математических задач на занятиях по и н ф о р м а т и к е . Фор­
мирование культуры приближенных вычислений на основе систематизации, уг­
лубление и расширение знаний о них из курса математики основной ш к о л ы .
Требования
•
к результатам
изучения:
у м е н и е находить приближенное значения функции;
•
умение находить приближенное значение корня уравнения;
•
умение решать задачи, требующие приближенного в ы ч и с л е н и я опреде­
л е н н о г о интеграла с п о м о щ ь ю М К :
•
умение осуществлять оценку погрешности метода, вычисления и записы­
вать результат в соответствии с правилами записи приближенных значе­
ний. ,
1. П р и б л и ж е н ­
Понятие приближенного значения. П р и ч и н ы возник­
ные вычисления
новения приближенных значений. Основные характе­
(основные поня­
ристики приближенных з н а ч е н и й , (точные и с о м н и ­
тия)
тельные цифры, значащие и незначащие ц и ф р ы , п о ­
грешности).. В и д ы
погрешностей.
приближенных значений. ,
,
„
г /
Правила
, .
%
ч
записи
^
2. Приближен­
Погрешность вычислений. Правила арифметических
ные вычисления
операций с приближенными значениями. Оценка по­
с помощью
калькулятора
2ч.
2ч.
грешности результата. Р е ш е н и е текстовых задач, со­
держащих
приближенные
данные,
алгебраическим
методом.
3. Приближен­
Проблема нахождения корней уравнений (не допус­ 4-6ч.
ные методы ре­
кающих использования функциональных м е т о д о в и
шения уравнений методов преобразований). Теорема Больцана - В е й -
ерштрасса (теорема о корне). Применение теоремы к
определению количества корней уравнения и выделе­
нию промежутков их содержащих. Метод половинно­
го деления и его применение к нахождению прибли­
женных значений корней уравнения. М е т о д хорд и
метод касательных, и х использование при решении
уравнений. Погрешность метода. Оценка погрешно­
сти нахождения значений корней.
4. П р и б л и ж е н ­
Применение производной к нахождению п р и б л и ж е н ­
ные м е т о д ы в ы ­
н ы х значений функции. Геометрический смысл мето­
числения значе­
да. Формула Тейлора. Решение задач на нахождение
ний функции
приближенных значений функции, оценка погрешно­
5. П р и б л и ж е н ­
Проблема вычисления определенных интегралов. Оп­
ные методы вы­
ределение определенного интеграла и его роль в раз­
числения значе­
работке методов численного интегрирования. М е т о д
2ч.
Ь>
сти.
н и й определен­
прямоугольников, метод трапеций, их геометрический
ных интегралов
смысл. Применение методов к р е ш е н и ю задач на на­
хождение
приближенного
значения
4ч.
определенного
интеграла. Сравнение погрешностей методов.
6. М е т о д М о н т е -
Случайные
К а р л о и его при­
ческое
менение к
вычислению
площадей
события,
определение
рической
вероятность
определение
вероятности.
вероятности
ния-приближенных
Монте-Карло
вычисление
значений
проблемы
площади
к вычислению
Класси­
4ч.
Геометрическое
Роль определения
в решении
и его применение
площади,
события.
вероятности.
геомет­
нахожде­
фигур.
к решению
Метод
задач
на
интегралов.
7. Контрольная
Приближенное решение задач на вычисление значе­
работа
ния функции, нахождения корня уравнения, вычисле­
2ч.
ния определенного интеграла с помощью М К . О ц е н к а
погрешности метода. Запись результата в соответст­
вии с правилами записи приближенных значений.
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Изучение раздела требует знания определений
основных категорий математического анализа: производной,
определенного
интеграла, предела функции. В случае отсутствия знаний у ч а щ и х с я об опреде­
ленном интеграле от непрерывной функции это понятие м о ж е т быть введено
при изучении пятой темы, без рассмотрения вопросов, касающихся техники ин-
тегрирования (как предел интегральных сумм). Знания о пределе функции, мо­
:
гут быть заменены наглядно-интуитивными пояснениями. Рекомендуется уча­
щимся 11 кцасса, планирующим продолжение _ обучения на отделениях при­
кладной математики и информатики. М о ж е т рассматриваться в качестве ввод­
ного или интегрированного
с изучением курсов информатики, связанных с
разработкой программ р е ш е н и я математических задач.
Литература для учителя
1. Грибанов В.У. Приближенные вычисления в средней школе. - М.: П р о с в е ­
щение, 1964. - П О с.
2. Соболь И.М. М е т о д М о н т е - К а р л о . - М.: Наука, 1978 - 64 с.
3. Никольский С М . Элементы математического анализа. - М.: Наука, 1989. 222 с.
Литература для учащихся
j
1. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 кл.: У ч е б . по­
собие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. м а т е м а т и к и - М . : Просвеще­
ние, 1995. -335 с.
и.: • •
•
'
2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 кл.: У ч е б . по­
собие для учащихся ш к и классов с углубл. изуч. м а т е м а т и к и - М.: П р о с в е щ е ­
ние, 1995.-335 с.
3. Почуев В . Приближенные вычисления и формула Тейлора// Квант. - 1985. №4.
*
'.
4. Уравнения элементарной математики: методы их решения. - М.: Наука, 1992.
- 1 7 6 с.
5. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А. П. Савин. — М.:
ч
Педагогика, 1989. - 352 с.
СК Элементы
комбинаторики
(8-16ч.)
Цели курса: Подготовка базы знаний для изучения теории вероятностей и ма­
тематической статистики. Формирование умения решать основные т и п ы ком­
бинаторных задач.
Требования
•
к результатам
изучения:
Уметь решать сюжетные задачи на применение формул числа размеще­
ний, сочетаний, перестановок без повторений или дерева вариантов.
•
Уметь решать сюжетные задачи, требующие использования
правил
сложения и умножения.
1. Комбинатори­
Задачи на планирование деятельности на основе ис­
ка - метод науч­
следования
ного перебора
спектра возможных результатов. Р е ш е ­
ние этих задач методом полного перебора вариан-
2ч.
тов, с п о м о щ ь ю - дерева вариантов, основных фор­
мул комбинаторики. Понятия: перестановки, разме-;
щения, сочетания.
М е т о д переформулировки как основа решения задач
2-
чи комбинатори­
комбинаторики, его структура. Проблема перевода
4ч.'
ки
условия задачи в термины комбинаторики. В и д ы ти­
2. Т и п о в ы е зада­
повых задач комбинаторики по теоретическим осно­
вам их р е ш е н и я , по видам сюжетов. Система эври­
стик, с в я з а н н ы х , с понятиями перестановки, разме­
щения и сочетания,.
Основные правила комбинаторики: правила произ­
2-
формулы комби­
ведения и суммы. Размещения,
8ч7
н а т о р и к и и усло­
становки
вия их использо­
формул, эвристики применимости.
3. О с н о в н ы е
с повторениями.
сочетания
и
пере­
Область использования
вания
4. Контрольная
работа
Задачи на применение правил произведения и сло­
2ч
жения. Задачи на "применение формул размещений,
сочетаний и перестановок без повторений.
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Изучение курса не требует специальных зна­
ний. М а т е р и а л курса удобно рассматривать как развитие вопросов, излагаемых
в курсе « Я з ы к математики и информатики». Усвоение вопросов данного разде­
ла является обязательным для изучения курса «Вероятность и статистика». Ре­
комендуется для учащихся 10-11 классов естественно-математического, и соци­
ально-экономического профилей. Профильная ориентация достигается за счет
сюжетного наполнения задач и привлечения дополнительной
информации.
К у р с и в о м в ы д е л е н ы дополнительные вопросы.
Л и т е р а т у р а для учителя
1
•'- • "
1. В и л е н к и н Н.Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.-328 с.
2. К о р д е м с к и й Б.А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся.
- М.: П р о с в е щ е н и е , 1975. - 233 с.
Л и т е р а т у р а для у ч а щ и х с я
1. Б а ш м а к о в М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике: Алгебра
и анализ/Под ред. Д.К. Фаддеева. - М.: Наука, 1982. - 192 с.
2. В и л е н к и н Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1965. -135 с.
3. Карп А.П. Сборник задач по* алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для
у ч а щ и х с я шк. и классов с углубл. изуч. математики. - М . : Просвещение, 19951
176 с.
4. Комбинаторика и логика //Сост. А.А. Егоров. - М : Б ю р о Квантум, 2003. 128 с.
-• г
- . •
5. Левш* А. Ч т о такое комбинаторика// Квант. - 1999. - № 5, 6.
,
6. П о с о б и е ' п о математике для поступающих в вузы: Учеб. пособие ЛПод ред.
Г.Н. Яковлева. - М . ' : Наука, 1988. - 720 с.
7. Ц ы п к и н А-.Г.,' Пинский А.И. Справочное пособие по методам р е ш е н и я задач
по математике. - М . : Наука, 1984.
1 СК Основы
Цели
курса:
теории
:!
вероятностей
(14 -24 ч.) •
Подготовка базы представлений, а также опорных знаний и
умений для восприятия, обработки и использования статистических данных
в практической и профессиональной деятельности, изучения соответствую­
щих курсов в вузе.
Требования
•
к результатам
изучения:
Уметь .решать задачи на использование классической модели вероятно­
сти событий (с помощью формул комбинаторики и без них).
•
Уметь решать задачи на использование теорем о произведении и сумме
вероятностей событий, формулы Бернулли.
1. Введение в тео­
Проблемы, приведшие к возникновению т е о р и и • 2-
р и ю вероятностей:
вероятностей. События и их в и д ы : с л у ч а й н ы е ,
реконструкция ис­
достоверные, невозможные. Оценка вероятности
тории возникнове­
событий:
ния
качественная,
количественная.
4 ч.
Виды
вероятности: статистическая, субъективная, ло­
J- .
гическая. Решение качественных и количествен­
ных задач на определение вида вероятности и
оценку вероятности событий.
2. Способы колиs чественной оценки
.
Статистический эксперимент: о п ы т . ( и с п ы т а н и е ) ,
2- .
серия опытов, исход опыта.
4ч. .
Частота события.
вероятности собы­
Классическая модель вероятности, условия ее ис­
тия
пользования: конечность числа исходов, равновозможность
исходов.
Геометрическая
модель
вероятности, условия ее использования.
!"
3. Применение
Размещения, сочетания и перестановки (без по­
4-
^.комбинаторики к
вторений) Условия необходимости и особенности
6ч.
1. оценке вероятно­
использования комбинаторики при решении с ю ­
сти событий
жетных и прикладных
ятности.
in
задач на вычисление веро­
4. « С т е ч е н и е об­
Сумма и произведение событий. Совместные и
2-
стоятельств» и их
несовместные события, зависимые и независи­
4 ч.
математическая
мые.-Оценка вероятности суммы (произведения)
оценка
событий:
<••
•
-
5. Оценка вероят­
Ф о р м у л а Бернулли. Понятие независимых испы­
2-
ности событий при
таний. Условия применения формулы Бернулли.
4ч.
проведении серии
Решение' задач на распознавание условий приме­
испытаний
6. К о н т р о л ь н а я ра!-
бота
н и м о с т и формулы.
Р е ш е н и е задач--на использование
классической
2ч.
модели вероятности. Задачи на определение ве­
роятности с у м м ы и произведения событий. В ы ­
числение вероятности по формуле Бернулли.
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Данный элективный курс может изучаться как
с а м о с т о я т е л ь н ы й или интегрированный с курсом «Элементы комбинаторики».
В о в т о р о м случае курс должен начинаться с рассмотрения первой темы, затем
осуществляется переход к изучению элементов комбинаторики с последующим
возвратом к остальным разделам-курса.
Рекомендуется учащимся 10-11 клас­
сов, п л а н и р у ю щ и м продолжить образование на факультетах и отделениях при­
кладной математики. К у р с и в о м выделены дополнительные вопросы.
Литература для учителя
1. К о л м о г о р о в А . Н . , Ж у р б е н к о И.Г., П р о х о р о в А.В. Введение в т е о р и ю веро­
ятностей. - М . : Наука, 1982 - 160 с. ,
2. Ч у б а р е в
•
A . M . , Х о л о д н ы й B.C. Невероятная вероятность ( О прикладном
1
значении т е о р и и вероятностей). - М.: Знание, 1976. - 128 с.
Литература для учащихся
1. В а с и л ь е в Н. Геометрические вероятности // Квант. - 1 9 9 1 . - № 1л
v
2. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для
у ч а щ и х с я ш к . и классов с углубл. изуч. математики. - М . . : Просвещение, 1995. 176 с.
3. Л ю т и к а с В.Л. Школьнику о теории вероятностей. - М.: Просвещение, 1983.
4. М о с т е л л е р Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.
- М . : Наука, 1 9 7 5 . - 111 с.
5. Садовский Л.Е., Садовский А.Л..Математика и спорт. - М.: Наука. Главная
р е д а к ц и я физико-математической литературы, 1985. - 192 с. .
6.
С п р е н т П. Зачем нужна статистика? // Квант. - 1992. - № 10.
7. Тарасов Л . В . М и р , построенный на вероятности. - М.: Просвещение, 1984 191 с.
8. Ц ы п к и н А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач
по математике. - М.: Наука, 1984.
ПК Доказательства
ражений
неравенств,
целевые
преобразования
вы­
(24-28ч.)
Цели курса:
дах
тождеств,
" "
Систематизация, обогащение и уточнение знаний у ч а щ и х с я о ви­
тождественных преобразований и методах решениях задач на доказатель­
ство тождеств, неравенств, целевые преобразования выражений. Ф о р м и р о в а ­
ние у м е н и й осуществлять выбор направлений преобразовательных д е й с т в и й в
соответствии с целью их использования, осознанно осуществлять контроль над
их тождественностью.
Требования
•
к результатам
,:
изучения:
1 "• *
уметь находить корни многочлена, осуществлять оценку значений вы­
ражения, доказывать тождественность равенства (неравенства) выраже­
н и й на множестве;
•
Уметь осуществлять осознанный контроль за правильностью решения
задач на целевые преобразования выражений, на основе использования
знаний об условиях тождественности преобразований и стандартном ви­
де выражений.
Понятие числового множества и его характеристиче­
1. Числовые
множества
"
ского свойства. Способы задания числовых
2ч.
мно­
жеств. Способы изображения числовых множеств.
Объединение множеств.
2. Тождествен­
Отношения равенство и включения числовых м н о ­
ное равенство
жеств. В ы р а ж е н и е с переменными и связанные с ним
выражений с пе­
числовые множества (ОДЗ, множество значений вы-"
ременными
ражения). Понятие тождественного равенства выра­
4ч.
жений на множестве. М е т о д ы доказательства и оп­
ровержения тождественного равенства. В и д ы т о ж д е ­
ственных преобразований и условия их п р и м е н и м о ­
сти. '
3. Применение
тождественных
преобразований
к р е ш е н и ю за­
дач на вычисле­
ние значений,.
выражения
, r :
'
3.1. Доказательство тождественного равенства вы­
8-
ражений'на множестве как способ упрощения задачи
12ч.
на вычисление значений нескольких выражений: то­
ждественное' равенство целых, дробно- рациональ­
ных и иррациональных выражений разными метода­
ми.
s' 389
3.2. Приведение выражений к указанному виду как
способ упрощения р е ш е н и я задач на- вычисление
значений многочленов: понятие многочлена с одной
переменной, стандартный вид многочлена, разложе­
ние многочлена на множители, понятие приводимо­
сти, корни многочлена, теоремы о корнях, схема
Горнера.
3.3. У п р о щ е н и е выражений при решении задач на
вычисление их значений: сравнимость выражений по
простоте, стандартная форма выражений различных
видов, понятие приближенного точного и вычисле­
ния значения выражения, упрощение выражений на
множестве.
3.4. Метод
замены
вычисление
значений
ции выражений,
переменной
в решении
выражений:
структура
задач
понятие
на
компози­
и роль метода
замены
1, -
переменной
в решении
вия применимости
4. Числовые не­
равенства
вычислительных
и неприменимости
задач,
усло­
метода
заме­
ны
переменной.
Отношение больше (меньше, равно) на множестве
действительных
чисел.
Свойства
числовых
4.ч.
нера­
венств. Доказательство числовых неравенств по оп­
ределению. Доказательство неравенств с использо­
ванием теорем - свойств. Опорные неравенства. М е ­
тод сведения к опорному неравенству.
5. Тождествен­
Понятие тождественного равенства и неравенства,
ное неравенство
выражений с одной переменной на множестве. Зада­
выражений
чи на доказательство справедливости тождественно­
4ч.
го равенства и неравенства, на нахождение множест­
ва (области) тождественного равенства, неравенства
выражений. Оценки выражений и их виды.
М е т о д ы решения задач: по определению, сведение к
опорному, использование свойств неравенств.
6. Контрольная
работа
Проверка умений, связанных с нахождением корней
многочлена, оценкой выражения,
доказательством
тождественного неравенства выражений на м н о ж е ­
стве. Проверка знания тождественных преобразова-
2ч.
нии, стандартного вида выражении и умений приме­
нять знания для проверки правильности решения за­
дач.
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Изложение раздела опирается н а программные
знания учащихся о тождественных преобразованиях и их роль в р е ш е н и и задач.
Хорошо согласуется с материалом основного курса, уточняя и обогащая знания
и умения учащихся. Курс может быть использован как для учащихся 8, так и 9
класса. Допускает реализацию, как на материале алгебры, так и тригонометрии.
Литература для учителя
' . С е д р а к я н Н.М., Авоян A . M . Неравенства и методы доказательства. - М.:
Ф И З М А Т Л И Т , 2002. - 256 с.
2. Табачников С Л . Многочлены. - М.: Ф А З И С , 2000. - 200 с.
3. Алгебра: для 8 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с уг­
лубленным изучением математики // Под ред. Н.Я. Виленкина. - 3-е изд. - М.:
Просвещение, 1998. - 256 с.
4. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности п о математике. Минск: П о л ы м я , 1998. - 105 с.
Л и т е р а т у р а для учащихся
1. Дорофеев Г.В. Пчелинцев С В . Многочлены с одной л е р е м е н н о й . - М . : Про­
свещение, 2001. - 141 с.
2. Сергеев И . Н . Математики: учебное пособие для поступающих в вузы. - 2-е
изд. - М . : К н и ж н ы й дом «Университет», 2001. - 208 с.
3. Иванов М . А. Вступительные экзамены п о математике в гимназиях, лицеях,
колледжах— М.: К У Д И Ц - О Б Р А З , 1999. - 205 с.
4. Процко С В . , Азаров А.И., Федосенко B.C. Руководство к р е ш е н и ю конкурс­
ных задач п о математике. - Минск: ТетраСистемс, 2000. - 208 с.
5. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции: справочник.
- К и е в : Наукова Думка, 1976. - 685 с.
6. Котова С Н . Минькина Е.З. П о п о в И.Н., Шабанова М.В. Доказательство тож­
деств и неравенств. Целевые преобразования выражений.-Планиметрические
задачи на построение. - Архангельск: П Г У , 2003. - 32с.
ПК Сюжетные
задачи
и методы
их решения
(22-30ч.)
Цели курса: Формирование у м е н и й осуществлять перевод условий сюжетных
задач на язык математики с учетом неявных данных, ознакомление с различ­
н ы м и способами моделирования заданной ситуации с целью ее анализа, ме­
тодами решения, способами .отбора и проверки результатов.
Требования
•
к результатам
изучения:
у м е н и е решать' задачи основных типов арифметическим и алгебраиче­
с к и м методами;
•
•
-
у м е н и е р е ш а т ь задачи, требующие использования неявных данных;
у м е н и е использовать при решении задач переход от содержательных к
ф о р м а л ь н ы м переменным. <
1. О с о б е н ­
1. Этапы решения сюжетных задач (перевод условия за­
4-
ности ре­
дачи на математический язык, решение математической
8ч.
шения сю­
задачи, включение результата в фабулу задачи). Введение
ж е т н ы х за­
дач
условных обозначений, способы моделирования условия
задачи. 2. Характеристика особенностей
формулировки
сюжетной задачи (фабула, математические данные, спо­
собы представления данных). 3. Роль неявных'данных
решении
сюжетных
математической
матической
задач:
модели
модели
результата,
ситуации,
построение
'ситуации,
чивости описательной
на движение,
выбор
модели.
работу,
обнаружение
Неявные
куплю-продажу,
в
выбор
мате­
противоре­
данные в
смеси и
задачах
Сплавы.
2. Задачи
1. Сюжетная задача как упрощенная модель ситуации.
8-
на физиче­
Я в н ы е и неявные допущения. Типичные допущения в за­
10ч.
ские и х и ­
дачах на процессы (движение, работу, смеси и сплавы)."
мические
2. Приемы решения
процессы
ренос
сюжета,
типовых
задач с нетиповыми
введение
сюжетами
новых допущений,
замена
(пе­
части
допущений).
3. Разно­
1. Алгебраический метод решения сюжетных задач и его
8-
видности
разновидности. 2. Арифметический метод, его разновид­
10ч.
метода п е ­
реформули­
ровки
ности,
область
использования.
3.
Функционально-
графический метод, его структура, область использова­
ния, комбинация с другими методами. 4.
метод,
его разновидности,
бинации с другими
область
методами.
Геометрический
использования,
ком­
4. К о н ­
Решение задач основных типов арифметическим и алгеб­
трольная
раическим методами. Решение задач с н е я в н ы м и д а н н ы ­
работа
ми.
2ч.
' ' *
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Курс допускает реализацию н а различном ма­
тематическом аппарате, хорошо адаптируется к возможностям у ч а щ и х с я и с о гласуется с содержанием основных математических курсов.
Рекомендуется
учащимся 8-9 классов, но может быть использован, по необходимости, и в
старшей школе. В случае использования курса для обучения у ч а щ и х с я 10-11
классов изменения вносятся в содержание третьей темы (арифметический м е ­
тод
дополняется
прогрессиями,
сложными
процентами;
функционально-
графический - применением производной). Служит основой д л я языковой под­
готовки учащихся к углубленному изучению прикладных вопросов математики
и к п р о х о ж д е н и ю конкурсных испытаний.
Литература д л я учителя
1. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика р е ш е н и я текстовых задач М.: «Академия», 2002. - 2 8 8 с.
И
2. Лурье М . В . . А л е к с а н д р о в Б.И. Задачи на составление уравнений. - М . , 1976.
3. Л.М. Ф р и д м а н Сюжетные задачи по математике - М . : Ш к о л ь н а я пресса,
2002.
Литература д л я учащихся
1. Баврйн И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. - М.: «Просвещение», 1994. 128 с.
• ;..
2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Зна­
ние, 1991. - 1 6 0 с.
. , .
_
3. Котова С.Н. Минькина Е.З. П о п о в И.Н., Ш а б а н о в а М . В . Т е к с т о в ы е задачи.
Планиметрические задачи на вычисление. - Архангельск: П Г У , 2 0 0 2 - 2 2 с.
4. О с т р о в с к и й . А . И . Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике. - М.:
АО «Столетие», 1994. - 176 с.
•,
5. Симонов А . С . Э к о н о м и к а - н а уроках математики. - М.: «Школа-Пресс,/,
1999.- 160 с.
,
i
•
6. Ф о м и н ы х Ю . Ф . Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов - М . : «Про­
свещение», 1999. — 112 с.
СК Числовые
последовательности
(18-20ч.)
Цели курса: Углубление знаний учащихся о видах и свойствах числовых по­
следовательностей на основе установления связи понятий «числовая последо­
вательность» и «числовая функция». Формирование умений
использовать
свойства числовых последовательностей при решении задач различных видов.
Ознакомление с методом п о л н о й математической индукции.
Требования
••
к результатам
изучения:
у м е т ь р е ш а т ь задачи, связанные с установлением вида прогрессии и ис­
п о л ь з о в а н и е м свойства арифметической и геометрической прогрессии;
•
у м е т ь р е ш а т ь алгебраические, геометрические
и сюжетные задачи,
с в о д я щ и е с я к задачам на арифметическую и геометрическую прогрес­
сии;
•
. ?
у м е т ь решать задачи на исследование свойств последовательностей (в
том числе и сводящиеся к доказательству неравенств);
•
уметь применять метод полной математической индукции.
1. Ч и с л о в ы е
Понятие числовой последовательности как f(n),n е N ; ее
последова­
элементы, порядок элементов последовательности. С п о ­
тельности
2ч.
собы задания последовательностей: перечислением эле­
ментов, формулой, рекуррентным соотношением, описа­
нием связи и первым членом. Изменение способа зада­
ния.
2. В и д ы чи­
.
Монотонность:
возрастание,
убывание,
постоянство.
4ч.
с л о в ы х п о - - Возвратные последовательности, периодические. Огра­
следовательн
остей и их
ниченность.
Сходимость.
Задания
на
исследование
свойств последовательности.
свойства
К
3. П р о г р е с ­
Геометрическая и арифметическая прогрессии. Способы
сии
и х задания, свойства, формулы. Задачи на построение
2ч.
прогрессии, на обнаружение'прогрессии, определение ее
вида, доказательство принадлежности к виду, на вычис­
ление ее с у м м ы , нахождение членов.
4. Задачи,
С ю ж е т н ы е и геометрические задачи с одинаковыми объ­
с в о д я щ и е с я к ектами
или
повторяющимися
процессами.
Решение
задачам н а
уравнений с неизвестным числом однородных членов.
прогрессии
Доказательство неравенств.
5. М е т о д
Индукция и ее виды. Особенности последовательности
п о л н о й ма-
натуральных чисел. П р и н ц и п математической индукции.
1
41
тематиче­
Сущность метода полной математической
индукции.
ской индук- - Применение метода к вычислению значений бесконечции и его
приложения
ных сумм, доказательству тождеств, неравенств, р е ш е ­
нию геометрических задач.
6. Контроль­
Задачи на прогрессии. Решение задач к ним с в о д я щ и х с я .
ная работа
Исследование свойств последовательностей, сводящихся
2ч.,
к доказательству неравенств. Применение метода пол­
ной математической индукции.
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания.
Содержание курса опирается на знания уча­
щихся о прогрессиях, требует знания свойств числовых функций и умений их
аналитического исследования, поэтому рекомендуется учащимся 9 класса (с
хорошей математической подготовкой). Профильная направленность курса оп­
ределяется связью его содержания с разделами высшей математики. Курс мо­
жет служить хорошей основой д л я подготовки учащихся к участию в матема­
г
тических олимпиадах.
Литература д л я учителя
.
..
t
1. М а р к у ш е в и ч А.И. Возвратные последовательности - М . : Наука, 1975 - 48 с.
2. Соминский И.С. Метод математической индукции. - Минск, 1988.
3. Ц ы п к и н А.Г. Пинский А.И. Справочник по методам решения задач п о м а ­
тематике: д л я средней школы. — М.: Наука, 1989. — 576 с.
4. Ш а р ы г и н И . Ф . и др. Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. с р . ' ш к . - М.:
Просвещение, 1994.
Литература д л я учащихся
1. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике: Алгеб­
ра и анализ / П о д ред. Д.К. Фадеева. - М.: Наука, 1982. -192 с.
2. Ж у к о в А.В. Замечательные последовательности// К в а н т - 1 9 9 8 . - № 6.
3. Лебедев В . Некоторые задачи на прогрессии // Квант. -1973. - № 4.
4. Мордкович А ^ Д в е ' д ю ж и н ы задач на прогрессии// Квант - 1971. - № 2.
5. Савин А.П. Геометрическая прогрессия// Квант. -1990. - № 3.
"6. Соловьёв Ю . Предел последовательности// Квант.-1992.*-№ 10.
?7. Ф о м и н ы х Ю . Ф . Прикладные задачи п о алгебре для 7-9 классов. - М.: Просвещение, 1999. - 111 с.
СКЭлементы
Цели
теории делимости
курса:
Углубление
ц е л ы х чисел,
(22-28 ч).
•
•• * ' « т .
- «
и расширение знаний элементов теории делимости
формирование умений осуществлять правдоподобные и доказа­
тельные рассуждения при р е ш е н и и задач на делимость чисел!
Требования
•
к результатам
изучения:
• ••
'
уметь использовать свойства и признаки делимости к р е ш е н и ю задач на
доказательство делимости чисел и выражений;
•
у м е т ь р е ш а т ь задачи с использованием свойств десятичной записи числа,
п р и е м а выделения вспомогательного числа;
' •
у м е т ь п р и м е н я т ь алгоритмы нахождения Н О К и Н О Д чисел при решении
с ю ж е т н ы х и алгебраических задач.
1. О с н о в н ы е
понятия
Не замкнутость
операции
деления
на множестве
целых
2ч.
чисел. Делимость нацело, делимость с остатком. Основ­
ное свойство остатков. Делитель, кратное. Простые и со­
ставные числа
2. Свойства
1. Общие свойства делимости целых чисел: делимость 6-8ч.
делимости
суммы, разности, произведения. И х р о л ь в р е ш е н и и з а д а ч
целых чисел
на установление свойств делимости выражений с пере­
и их приме­
менными. Основные виды задач. 2. Свойства делимости,
нение к р е ­
определяемые последовательностью натуральных чисел.
ш е н и ю задач
Применение их к р е ш е н и ю задач. 3. Особенности исполь­
зования при р е ш е н и и задач на делимость свойств деся­
тичной записи числа. 4. Решение задач на основе использования перебора. Принцип
Дирихле
3. П р и з н а к и
1. Признаки делимости числа на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 6-
делимости и
10 ДО" ±l,n е N . Их доказательство.
особенности
менение признаков делимости. 2. Использование призна­
их примене­
ков делимости в комбинации с теоремами-свойствами.
ния к р е ш е ­
н и ю задач
й
3. Проблема
Метод
установления
выделения
нение к решению
В и д ы задач на при­ 8ч.
делимости
вспомогательного
чисел
на 7 и 13.
числа и его
приме-
задач. 4. М е т о д перебора в решении за­
д а ч на использование признаков (принцип
Дирихле)
4. С р а в н е н и е
1. Каноническое разложение ц е л ы х чисел, алгоритм раз­ 6-8ч.
целых чисел
ложения. Цели сравнения
по свойствам новные виды задач.
канонических
разложений.
Ос­
О б щ и й делитель, общее кратное,
и х делимости Н О Д и Н О К , и х определения и свойства.
Применение
этих утверждений к р е ш е н и ю задач. 2. Использование
свойств порядка во множестве натуральных чисел для ре­
шения выделенных видов задач. 3. Способы нахождения
1
Н О К и Н О Д двух чисел. Алгоритм, его основные свойства,
алгоритм Евклида. 4. Сравнение
свойствам
Сравнимость
деления
с остатком.
по модулю. Классификация
равноостаточности.
... >i
натуральных
рема о периодичности
Критерий
остатков
чисел
Равноостаточные
чисел по
признаку
равноостаточности.
и ее применение
по
числа.
Тео­
к
реше­
*
нию задач
5. К о н ­
Применение свойств и признаков деления к р е ш е н и ю задач
трольная
на доказательство делимости чисел и выражений. Р е ш е н и е
работа
задач с использованием свойств десятичной записи числа,
2ч.
приема выделения вспомогательного числа. П р и м е н е н и е
свойств НОК и Н О Д чисел
1
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Содержание курса опирается на знания и уме­
ния учащихся, полученные при изучении вопросов делимости натуральных чи­
сел в курсе математики 6 класса. Курс может служить пропедевтической ос­
новной д л я изучения действий с алгебраическими дробями, поэтому желатель­
но его изучение отнести к первой четверти 8-го года обучения по программе
общеобразовательной школы. Курсивом выделены вопросы, и м е ю щ и е допол­
нительный характер.
Л и т е р а т у р а для учителя
1. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для ма­
тематических школ. - М.: М Ц Н М О , 2002. - 264 с.
2. Воробьев Н.Н. Признаки делимости. - Вып.39. - М . : Наука, 1963.
Литература для учащихся
1. Вагутен В . Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики // Квант. 1972. - № 6 .
2. Варпаховский А. Тайны совершенных чисел и дружественных пар // Квант. 1973. - № 9.
,
3. Власов А. Сравнение чисел // Квант. - 1986. - № 2.
4. Калужин Л.А. Основная теорема арифметики. - В ы п . 47. - М : Наука, ,1969.
5. Колмогоров А. Решето Эратосфена // Квант. -1974! —№ 1.
6. Кудреватов Г. Сравнения // Квант. - 1972. - № 9 .
7. Матиясевич Ю . Формулы для простых чисел // Квант. -1975. - № 5 .
8. Орлов А. Принцип Дирихле // Квант. - 1 9 7 1 . - № 3.
ПК Методы
решения
Цели
Выявление и развитие знаний учащихся о методах решения пла­
курса:
планиметрических
задач (22-30ч.)
ниметрических задач, формирование умений их выбора и осознанного ис­
пользования.
Требования
•
'
к результатам
изучения:
•
уметь р е ш а т ь планиметрические задачи с использованием методов до­
полнительных построений и^«ключевых треугольников»;
•
уметь р е ш а т ь планиметрические задачи, требующие применения метода
•
у м е т ь р е ш а т ь задачи на построение геометрических фигур методом
вспомогательной окружности;
ГМТ.
'
1. П р и м е н е ­
Р е ш е н и е геометрических задач. Требования к оформле­
ние т е о р и и к
н и ю Обоснования в решении. Математические утвер­
решению
ждения как средства обоснования решения и преобразо­
геометриче­
вания данных. Типичные ошибки в использовании ут­
ских задач
верждений. Функциональная направленность различных
4ч.
видов утверждений (определений и их видов, Теорем и
их видов). Возможности умозаключений на основе чертежа.
2. М е т о д
задач.
4-
и теоремы о них (метрические,
6ч.
Р о л ь треугольника в решении геометрических
«ключевых
В и д ы треугольников
треугольни­
признаки равенства, подобия, вида,' свойства). С у щ н о с т ь
ков»
метода «ключевых треугольников», особенности приме­
нения в задачах на построение, вычисление й доказа­
тельство.
*
3. М е т о д д о ­
С у щ н о с т ь метода. Особенности оформления" решения
полнитель­
задач п р и его использовании. Связь с методом «ключе­
ных по­
вых треугольников» Проведение элементов фигур до
строений
получения треугольников. Достроение до известной фи­
4ч.
гуры. П р о в е д е н и е параллельных прямых. Удвоение ме­
г•
дианы.
4. М е т о д
Р о л ь окружности в решении геометрических задач. Ос­
вспомога­
новные т е о р е м ы о секущих, касательных, углах, вписан­
тельной ок­
н ы х и описанных многоугольниках. С у щ н о с т ь метода,
ружности
связь с м е т о д о м дополнительных построений: удлинение"
элементов до пересечения с окружностью, построение
окружности. Использование свойства
принадлежности
точек окружности.
5. М е т о д
" •
j
<.
Сущность метода. Основные геометрические места то­ ; 2 -
геометриче­
чек на плоскости (прямая, серединный перпендикуляр,
ских мест
4ч.
' биссектриса, окружность). Особенности использования,
метода при решении задач на построение и доказатель­
ство.
' '•
6. М е т о д вве­ Сущность метода, его разновидности (вспомогательная
дения
площадь, длина, величина угла). Применение к.решению
вспомога- ' задач на доказательство и ъьпжлтш.,Применение'к
тельного па­
раметра
казательству
дополнительных
т.п.).
7. К о н т р о л ь ­
до­
теорем (теорема
••
24ч.
Чевы и
*
Решение задач с использованием методов дополнитель­
2ч
ных построений и «ключевых треугольников». Р е ш е н и е
ная работа
-1
задач методом вспомогательной окружности. Решение
задач на построение методом Г М Т . Р е ш е н и е задач на
вычисление методом вспомогательного параметра.
Д о п о л н и т е л ь н ы е указания. Изучение курса требует развернутости геометри­
ческих знаний учащихся и достаточно обширного опыта р е ш е н и я планиметри­
ческих задач, поэтому рекомендуется учащимся 9 класса. М о ж е т служить осно­
вой д л я обобщающего повторения курса планиметрии.
Литература для учителя
1. Использование -дополнительных построений при р е ш е н и и геометрических
задач. - М . : «Прометей», 1994. - 115с.
2. Лурье М . В . Геометрия. Техника решения задач: Учебное пособие. - Ростовна-Дону: Феникс, 2002. - 240 с.
3. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М . С . Учимся решать задачи по гео­
метрии: Учебно-методическое пособие. - Киев: Магистр, 1996. - 256 с.
Литература д л я учащихся
1. Прасолов В.В..Задачи п о планиметрии 4.1(2). - 3 - е изд. - М.: Наука, 1995 320 с (240 с).
,
<
2. Л у ж и н а Л.М., Натяганов В.Л. Сборник задач по геометрии и тригонометрии.
- М . : У Н Ц Д О , 2001 -144 с.
3. Бахтина Т.П. Раз задачка, два задачка . . . - 2 - е изд. - Минск: О О О «Асар»,
2 0 0 1 . - 2 2 4 с.
;4. Екимова М . А , Кукин Г.П. Задачи на разрезание. - М.; М Ц Н М О ,
120 с.
2002. -
5. К о т о в а С.Н. Минькина Е.З. П о п о в И.Н., Шабанова М . В . Доказательство то­
ж д е с т в и неравенств. Целевые преобразования в ы р а ж е н и й / П л а н и м е т р и ч е с к и е
задачи на построение. - Архангельск: П Г У , 2003. - 32 с.
>•"
6. Котова С.Н. Минькина Е.З. П о п о в И:Н., Шабанова М . В . Текстовые задачи.
Планиметрические задачи н а в ы ч и с л е н и е . А р х а н г е л ь с к : П Г У , 2002. -22 с.
7. Котова С.Н. М и н ь к и н а Е . З . П о п о в И.Н., Шабанова М . В . Уравнения, нера­
венства и их системы; Планиметрические задачи на доказательство. - Архан­
гельск: П Г У , 2002. - 38 с.
8. Ч е р к а с о в О . Ю . Планиметрия на вступительном экзамене. - М . : Московский
Лицей, 1 9 9 6 - 1 2 8 с.
9. К о к о т у ш к и н В.А., Панфилов Н.Г. 200 задач по геометрии для поступающих
в вузы. - М . : У н и к у м центр, Поматур, 2000. - 96 с.
СК Общие
методы
решения
\
планиметрических
-
-.
и алгебраических
(24-30ч.)
задач
•:
Цели курса:
Формирование умений применять метод-интерпретаций к зада­
чам геометрии и алгебры на основе использования векторного аппарата, ко­
ординат и геометрических преобразований.
:
Требования
.
•
к результатам
изучения:
/
уметь применять метод геометрических преобразований к построению
г р а ф и к о в функций и р е ш е н и ю планиметрических задач;
•
у м е т ь ' р е ш а т ь планиметрические задачи с использованием векторного
метода и метода координат.
1. Д в и ж е н и е как
метод р е ш е н и я
планиметрических
задач
^ •
Виды движений: Фигуры,
тельно видов движений.
инвариантные
2-
относи­
Ориентация равных фигур
на плоскости. Теоремы о переводе
4Ч.-';
совмещении
р а в н ы х фигур движением. Сущность метода дви­
ж е н и й . Задачи н а использование метода движений
1
(доказательство равенства фигур, изменение ф о р ­
м ы при сохранении площади, построение).
2 Г Подобие как м е ­ П о д о б и е 1 и 2 рода.-Гомотетия и ее композиция с
т о д решения задач
"
" ••
, 'А
движениями. Образ и прообраз фигуры. Теоремы о
свойствах» и связях образов и прообразов фигур.
Сущность метода подобия. Задачи на его исполь­
зование (на построение, вычисление, доказательст­
во).
•
\
•2-Ц
3. Применение
Параллельный перенос графиков вдоль осей. П о ­
,2-
геометрических
ворот графиков. Сжатие и растяжение. А н а л и т и ч е ­
4ч.
преобразований к . ские выражения этих преобразований. П о с т р о е н и е
построению гра­
фиков функций
графиков функций содержащих модули. П о л у ч е ­
ние графиков из графиков известных функций. За­
дачи на нахождение формулы, задающей ф у н к ц и ю ,
связанную движением с заданной.
4. М е т о д
координат,
Сущность метода. Роль в решении геометрических
2ч.
, и алгебраических задач. Уравнения основных ви­
дов фигур. Уравнения полуплоскости. Получение
уравнений выпуклых многоугольников из уравне­
ний полуплоскостей.
5. Применение ме­
тода координат к
р е ш е н и ю плани­
Таблица основных эвристик. Р е ш е н и е задач на оп­
ределение
взаимного
расположения
строения фигур, доказательства
фигур,
принадлежности
метрических задач
точки фигуре. Вычисление расстояний и углов.
6. Применение м е ­
Решение уравнений и неравенств на основе и с ­
тода координат к
пользования свойств геометрических фигур. Зна­
р е ш е н и ю алгеб­
комство с задачами линейного программирования
раических задач
и геометрическим методом их решения.
7. Векторный ме­
Сущность
тод
4ч.
по­
векторного метода. Основные
утвер­
2ч.
2ч.
ждения векторной алгебры. Понятие а ф ф и н н ы х и
метрических задач. В и д ы утверждений,
исполь­
зуемых при их решении.
8. Применение,
Таблица основных эвристик. Вычисление длин от­
векторного метода
резков, величин углов. Доказательство принадлеж­
4ч.
., к р е ш е н и ю плани- ности точки прямой, параллельности и перпенди­
• метрических задач кулярности. Задачи на определение в и д а фигур.
;
Применение векторного метода к доказательству
1
известных теорем планиметрии.
1 9. Применение
векторного метода
1 к р е ш е н и ю алгебЬ
раических задач
•
Таблица основных эвристик. Решение уравнений.
Доказательство неравенств. Решение задач на оп­
тимизацию.
2ч.
10. Контрольная
Применение метода геометрических преобразова­
работа
ний к построению графиков. Применение вектор­
2ч.
ного метода и метода координат к р е ш е н и ю пла­
ниметрических задач.
Д о п о л н и т е л ь н ы е у к а з а н и я . Изучение курса описается на знания о векторах,
координатах и геометрических преобразованиях, получаемых в основном курсе
геометрии. В этой связи курс рекомендуется учащимся 9 классов. Профильная
ориентация к у р с а состоит в подготовке базы представлений у ч а щ и х с я для изу­
чения к у р с о в л и н е й н о й и векторной алгебры и аналитической геометрии в вузе.
К у р с п о з в о л я е т познакомить учащихся с методами, облегчающими решение
к о н к у р с н ы х и олимпиадных математических задач.
Л и т е р а т у р а д л я учителя
1. С а р а н ц е в Г . И . Решаем задачи на геометрические преобразования. - 3-е изд.
- М . : А О « С Т О Л Е Т И Е » , 1997. - 192 с.
2. С к о п е ц З.А. Геометрические миниатюры // С о с т . Т . Д . Глейзер. - М.: Про­
свещение, 1990. - 222 с.
3. Хахамов Л.Р. Преобразования плоскости. П о с о б и е для учителей. - М : Про­
свещение, 1979. - 95 с . ' - "
Литература д л я учащихся
1. П а р а м о н о в а И.М.'Симметрия в ^ а т е м а т и к е . - 2-е изд. - М . : М Ц Н М О , 2002. 24 с.
.
.
.
2. О с т р и к В . В . , М . А . Цфасман Алгебраическая геометрия и теория чисел. - М.:
М Ц Н М О , 2 0 0 1 . - 4 8 с.
3. В и н б е р г Э.Б. Симметрия многочленов. - М.: М Ц Н М О , 2001. - 24 с.
4. Ф и ш м а н В . Р е ш е н и е задач с п о м о щ ь ю геометрических преобразования. Под
ред. Н . Б . Васильева. - М.: Б ю р о Квантум, 1997. - С. 33-40.
5. М е р з л я к - А:Г., Полонский В.Б., Я к и р М . С . Неожиданный ш а г и л и сто трина­
дцать к р а с и в ы х задач (Методическое пособие). - Киев: «Александрия»,
1993; - 5 8 с. •
Научное издание
Шабанова Мария Валерьевна
МЕТОДОЛОГИЯ УЧЕБНОГО ПОЗНАНИЯ
КАК ЦЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ
<
МАТЕМАТИКИ
Монография
Директор издательского центра В.П. Базаркина
Начальник редакционного отдела ИМ.
Кудрявина
Начальник отдела компьютерной и множительной техники В.М. Личутина
Печатается в авторской редакции
Подписано в печать 10. 11. 2004.
Бумага писчая. Формат 60 х 84 1/16. Уч.-изд. л. 24,2.
Усл. печ. л. 23,48.
Тираж 500 экз. Заказ № 218
Отпечатано с готового оригинал - макета
в издательском центре Поморского университета
163002, Архангельск, пр. Ломоносова, 6
E-mail: publish@pomorsu.ru