Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Национальный исследовательский университет
Учебно-научный и инновационный комплекс
«Физические основы информационно-телекоммуникационных систем»
Ермолаев В.Т.
Флаксман А.Г.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ
МОБИЛЬНОЙ РАДИОСВЯЗИ
(Электронное методическое пособие)
Мероприятие 2.2. Развитие сетевой интеграции с ведущими университетами страны, научноисследовательскими институтами Российской академии наук, предприятиями-партнерами,
создание новых форм взаимодействия.
Учебная дисциплина: «Теория электрической связи»
Специальность «090106 Информационная безопасность телекоммуникационных систем»
Направление: «010400 Информационные технологии»
Нижний Новгород
2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные характеристики многолучевых
каналов с замираниями сигналов.......................................................5
1.1 Влияние земной поверхности.......................................................... 5
1.2 Крупномасштабные замирания сигналов..................................... 13
1.3 Мелкомасштабные замирания сигналов....................................... 15
1.3.1 Импульсная характеристика и передаточная функция.... 15
1.3.2 Временная дисперсия в канале........................................... 18
1.3.3 Замирания сигналов как случайный процесс.................... 22
1.3.4 Частотная дисперсия в канале............................................ 29
2.3.5 Угловая дисперсия в канале................................................ 34
1.3.6. Пространственная корреляция........................................... 38
1.4 Методы оценки импульсной характеристики многолучевого
канала......................................................................................... 43
1.4.1 Оценка импульсной характеристики..................................44
1.4.2 Оценка длины импульсной характеристики......................54
Глава 2. Характеристики системы связи в различных пространственных
каналах............................................................................................... 57
2.1 Оптимальный прием сигналов на фоне гауссова шума...............57
2.1.1 Математическое представление узкополосных сигналов и
шума....................................................................................... 57
2.1.2 Корреляционный демодулятор........................................... 62
2.1.3 Согласованный фильтр как демодулятор.......................... 65
2.1.4 Основные критерии, используемые для принятия
решений.................................................................................. 65
2.2 Вероятность ошибки в гауссовом шумовом канале.................... 69
2.2.1 Сигналы фазовой модуляции.............................................. 69
2.2.2 Сигналы квадратурной амплитудной модуляции............. 74
2.3 Спектральная эффективность гауссова шумового канала.......... 75
2.4 Вероятность битовой ошибки в релеевском канале.................... 82
2.5 Вероятность битовой ошибки в райсовском канале.................... 87
2.6 Спектральная эффективность релеевского канала...................... 90
Глава 3. Передача и прием сигналов в OFDM-системе............................. 92
3.1 Формирование OFDM-сигнала...................................................... 92
3.2 Прием OFDM-сигнала.................................................................... 93
3.3 Пропускная способность OFDM-системы.................................... 98
3.4 Оценка передаточной функции канала в OFDM-системе........... 99
Литература................................................................................................... 105
Список используемых сокращений........................................................... 107
2
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время наблюдается интенсивное развитие систем мобильной
(сотовой) связи и беспроводного Интернета. Так число пользователей мобильной связи увеличивалось за последние годы гигантскими темпами и составляло
(в млн. человек): 140 (1996г.), 205 (1997г.), 290 (1998г.), 380 (1999г.), 500
(2000г.), 680 (2001г.), то есть возросло за период с 1996 по 2001 г. примерно в 5
раз [1]. Основными стандартами беспроводной мобильной (мобильной) связи
являются GSM и CDMA стандарты. В последние годы активно разрабатываются WiMAX и LTE стандарты.
Первый стандарт беспроводного доступа в Интернет (стандарт 802.11 WiFi) на передачу данных со скоростью до 2 Мбит/с был принят в 1997 году. В результате ратификации в 1999 году стандарта 802.11b скорость передачи увеличилась до 11 Мбит/с. В 1999 году был принят наиболее популярный стандарт
802.11а, который регламентируют скорость передачи до 54 Мбит/с. Затем был
ратифицирован стандарт 802.11n со скоростью передачи более 100 Мбит/с. Популярность стандартов 802.11 быстро растет.
Настоящее учебное пособие содержит достаточно подробные сведения из
теории обработки сигналов в беспроводных системах связи.
Первая глава посвящена изучению статистических свойств пространственного канала, играющего важную роль в построении систем беспроводной связи. Дается фактор ослабления сигнала в свободном пространстве и
приводится вывод формулы Введенского, учитывающей влияние плоской земной поверхности. Затем описывается статистическая модель Окумары-Хаты
(Okumara-Hata), рекомендованная соответствующими стандартами для оценки
уровня сигнала в городских условиях.
Изучение свойств замираний сигналов начинается с крупномасштабных
(медленных) замираний, которые обусловлены крупными наземными объектами (зданиями, холмами, лесами и т.д.), расположенными между передатчиком и
приемником. Затем рассматриваются мелкомасштабные (быстрые) замирания
сигналов, которые происходят из-за наличия вокруг антенны пользователя более мелких отражателей. Последовательно анализируются такие характеристики пространственного канала как: импульсная характеристика (ИХ) и передаточная функция в частотной области; временная, частотная и угловая дисперсии в канале; пространственные корреляционные свойства флуктуаций сигналов. Большое внимание уделяется обсуждению физической природы релеевских и райсовских замираний сигналов, которые являются наиболее характерными для систем мобильной связи.
Для демодуляции и детектирования принятых сигналов необходимо оценить ИХ пространственного канала. Для этой цели передаются обучающие последовательности сигналов. Проблема оценивания ИХ разделяется на две
отдельные задачи: нахождение значений ИХ при заданной длине обучающей
3
последовательности и определение длины ИХ. В пособии изучаются основные
методы решения этих проблем.
Основные характеристики системы связи, такие как вероятность битовой
ошибки и спектральная эффективность (шенноновская пропускная способность) рассматриваются во второй главе для пространственных каналов с различными статистическими свойствами. Анализируются методы оптимального
приема сигналов на фоне гауссова шума приемного устройства, основные критерии, используемые для принятия решений о переданных символах.
Изучается вероятность ошибки в гауссовом шумовом канале для сигналов
фазовой и квадратурной амплитудной модуляций. Затем анализируется влияние
релеевских и райсовских замираний сигналов на вероятность ошибки передачи
информации. Проводится сравнение спектральной эффективности гауссова и
релеевского каналов.
В последние годы широкое применение получают OFDM (Orthogonal
Frequency Division Multiplexing) системы связи. Последняя, третья глава, посвящена вопросам формирования, передаче и приема OFDM-сигналов, а также
вопросам оценки передаточной функции пространственного канала. Оценка выполняется на полотных поднесущих, а затем используется интерполяция полученных результатов на поднесущие, используемые для передачи данных. В пособии рассматривается линейный интерполяционный алгоритм.
4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОЛУЧЕВЫХ
КАНАЛОВ С ЗАМИРАНИЯМИ СИГНАЛОВ
Пространственный канал представляет собой физическую среду, которая
используется для передачи сигналов от передатчика к приемнику. Какой бы канал не был, он всегда в той или иной степени искажает передаваемые символы.
Например, вместо одного излученного символа на приемную антенну могут поступать несколько символов, которые по своей форме могут отличаться друг от
друга и от исходного импульса. Канал также может добавлять помехи. Поэтому
характеристики канала оказывают большое влияние на качество передачи информации и их знание имеет большое значение для построения систем связи.
1.1 Влияние земной поверхности
Беспроводная передача сигналов осуществляется с помощью радиоволн,
которые излучаются в пространство антеннами. Такие антенны мы называем
передающими. Радиоволны распространяются в пространстве по всем направлениям. Встречая на своем пути приемную антенну, волна возбуждает в ней ток
высокой частоты, который регистрируется приемным устройством. Поскольку
амплитуда волны ослабляется в процессе распространения по различным причинам, величина тока в приемной антенне может быть очень малой. Рассмотрим простейший пример передачи сигналов с помощью радиоволн в свободном
пространстве.
Пусть мощность тока в передающей антенне равна Рt. Будем считать, что
антенна излучает волны одинаково по всем направлениям (изотропное излучение). Тогда на расстоянии d плотность потока мощности будет равна отношению излучаемой мощности Рt к площади сферы радиуса d, т.е.
Π=
Pt
4π d 2
.
(1.1.1)
Изотропное излучение применяется в таких системах связи, в которых
направление расположения приемной антенны абонента не известно, либо сообщение предназначено одновременно многим абонентам, расположенным вокруг передающей станции (например, радиовещание или телевидение). Если
направление на приемную антенну заранее известно, то применяется направленная антенна, которая увеличивает плотность потока мощности в данном
направлении. В этом случае вместо (1.1.1) мы должны написать следующее выражение
Π=
5
Pt Gt
4π d 2
,
(1.1.2)
где Gt - коэффициент усиления передающей антенны.
Коэффициент усиления антенны зависит от вида диаграммы направленности антенны, ее коэффициента полезного действия и степени согласования антенны с передатчиком, и может быть вычислен по формуле
2
G = Dη (1 − Γ ),
(1.1.3)
где D – коэффициент направленного действия антенны; η - коэффициент полезного действия и Г – комплексный коэффициент отражения от антенны со стороны передатчика.
Коэффициент направленного действия D антенны зависит только от вида
диаграммы направленности. Подробные сведения о параметрах антенн можно
найти в соответствующей литературе, например, в [2].
Чтобы вычислить мощность принятого сигнала, необходимо знать параметры приемной антенны. В отличие от передающей, приемная антенна характеризуется эффективной площадью апертуры S, которая связана с коэффициентом усиления антенны G следующим соотношением
Gλ 2
S=
,
4π
(1.1.4)
где λ - длина волны.
Теперь, используя выражения (1.1.2) и (1.1.4), найдем мощность принятого
сигнала
Pr =
Pt Gt S r
4π d 2
=
Pt Gt Gr λ 2
( 4π ) 2 d 2
,
(1.1.5)
где Gr - коэффициент усиления приемной антенны.
Отношение мощности излучаемого сигнала к мощности принятого сигнала
дает величину его ослабления в канале связи. С помощью (1.1.5) нетрудно
найти, что
2
Pt
1  4π d 
=

 .
Pr Gt Gr  λ 
(1.1.6)
Последний сомножитель в этой формуле принято рассматривать, как фактор ослабления сигнала в свободном пространстве (free-space path loss), который обычно обозначают, как L0. Учитывая, что скорость света c=fcλ, где fc – несущая частота, фактор ослабления L0 запишем в виде
6
2
2
 4π d 
 4π f d 
L0 = 
 = 
 .
 λ 
 c 
(1.1.7)
Выразим частоту в мегагерцах (МГц), а расстояние - в километрах (км).
Тогда фактор ослабления, выраженный в децибелах (дБ), будет равен
L0 (дБ) = 10 lg( L0 ) = 32.4 + 20 lg f (МГц) + 20 lg d (км) .
(1.1.8)
Пусть несущая частота fc=900 МГц, а расстояние до абонента d=10 км. Тогда из (1.1.8) найдем, что фактор ослабления L0=111,5 дБ. Если мощность передатчика Pr=4 Вт, а усиления приемной и передающей антенн считать равными
единице, то мощность принятого сигнала Pr=10lg4−111.5= −105.48 дБ/Вт. Величина мощности здесь выражена в децибелах по отношению к мощности один
ватт. Таким образом, в данном случае принятый сигнал будет иметь мощность
меньше одного ватта более чем на 100 дБ.
Рассмотренный выше пример является простым и не учитывает множество
других факторов, которые оказывают влияние на передачу сигнала в беспроводных каналах связи. Наиболее часто мы будем рассматривать явление многопутного (или многолучевого) распространения сигнала. Такое явление встречается при передаче сигнала в городских условиях, при передаче через ионосферу
или тропосферу.
Сначала обратимся к изучению двулучевого распространения гармонического сигнала. Оно встречается тогда, когда передающая и приемная антенны
подняты над землей и разнесены на достаточно большое расстояние. Соответствующая схема передачи сигнала изображена на рис. 1.1. Как видно из рисунка в точку приема попадают два сигнала двумя различными путями: прямой
сигнал проходит расстояние R0, а отраженный от земной поверхности сигнал расстояние (R1+R2).
Рис. 1.1. Двулучевой канал связи
Сделаем следующие упрощающие предположения. Коэффициент отражения Френеля от земли будем считать равным –1. Это справедливо для волны
любой поляризации, если угол скольжения ϕ достаточно мал. Более подробные
7
сведения о свойствах коэффициентов отражения Френеля от земной поверхности можно найти в учебниках по распространению радиоволн, например, в [3].
Будем полагать, что амплитуды прямого и отраженного сигналов равны, хотя в
действительности амплитуда отраженного сигнала всегда немного меньше, вопервых, из-за того, что расстояние (R1+R2) больше расстояния R0 и, во-вторых,
из-за поглощения части энергии подающей волны в земле. Это предположение
выполняется тем точнее, чем меньше угол ϕ. Единственное, что необходимо
принять во внимание - это изменение фазы сигнала, отраженного от земли, по
отношению к фазе прямого сигнала.
Таким образом, сумма прямого и отраженного сигналов может быть представлена в виде
2π  


s (t ) = s0 (t )  1 − exp − j ∆   ,
λ 


(1.1.9)
где ∆=[(R1+R2)-R0] – разность хода лучей.
2
Мощность принятого сигнала Pr = s (t ) можно записать в виде
2π 

Pr = P0 1 − exp − j
∆
λ 

2
π 
= 4 P0 sin 2  ∆  ,
λ 
(1.1.10)
2
где P0 = s0 (t ) - мощность прямого сигнала на входе приемника.
Теперь определим величину разности хода ∆ в зависимости от расстояния
d и высот передающей и приемной антенн ht и hr. Из геометрии рис. 1.1 нетрудно определить, что
R0 =
d 2 + ( ht − hr ) 2 ,
R1 + R2 =
d 2 + ( ht + hr ) 2 .
(1.1.11)
Преобразовав (1.1.11), получим следующие выражения
R0 = d 1 +
( ht −
d
hr ) 2
2
R1 + R2 = d 1 +
,
( ht +
d
hr ) 2
2
.
(1.1.12)
Мы предполагаем, что расстояние между передающей приемной антеннами большое, так что d 2 > > ( ht + hr ) 2 . Это позволяет упростить формулы
(1.1.12) и получить следующие приближенные равенства

(h − h )2 
R0 ≈ d  1 + t 2r  ,


2d



(h + h )2 
R1 + R2 ≈ d  1 + t 2r  .


2d


8
(1.1.13)
Из (1.1.13), найдем, что разность хода равна
∆ = ( R1 + R2 ) − R0 ≈
( ht +
hr ) 2 − ( ht − hr ) 2 2ht hr
.
=
2d
d
(1.1.14)
Это дает возможность представить (1.1.10) следующим образом:
 2π ht hr 
Pr = 4 P0 sin 2 
.
 λ d 
(1.1.15)
Мощность прямого сигнала Р0 зависит от параметров системы в соответствии с уравнением (1.1.5), которое получено для свободного пространства. Используя (1.1.5), выражение (1.1.15) преобразуем к виду
2
 λ 
 2π ht hr 
 sin 2 
Pr = 4 Pt Gt Gr 
.
 λ d 
 4π d 
(1.1.16)
Отсюда следует, что мощность принятого сигнала в случае двулучевой модели канала зависит от параметров системы и расстояния d между приемной и
передающей антеннами сложным образом. В частности, имеется множитель
 2π ht hr 
g = sin 2 
,
 λ d 
(1.1.17)
который часто называют множителем ослабления земли. График функции g в
зависимости от расстояния d показан на рис. 1.2 для λ=0.33 м (f=900 MГц),
ht=20 м, hr=2 м.
Рис. 1.2. Множитель земли g(d)
9
В поведении функции g(d) можно выделить две области: область интерференции прямого и отраженного сигналов, где мощность принятого сигнала имеет периодический характер, и область регулярного затухания сигнала, где мощность сигнала непрерывно уменьшается с расстоянием. Граница между этими
областями принимается на расстоянии, где наблюдается первый максимум
функции g(d), если двигаться в направлении уменьшения дистанции d. Это
условие выполняется, когда
2π ht hr π
= .
λ d
2
(1.1.18)
Отсюда находим, что граница между указанными областями определяется
из выражения
d гр =
4ht hr
.
λ
(1.1.19)
В данном примере, когда несущая частота f0=900 MГц, расстояние
dгр=480 м. Если f0 увеличить в два раза до 1800 MГц, то dгр=960 м. Нетрудно заметить, что дальность dгр зависит от частоты линейно.
Когда расстояние до приемника значительно больше расстояния dгр, аргумент синуса становится много меньше единицы и справедливо приближенное
равенство sin x ≈ x . В этой области множитель ослабления земли (1.1.17) можно записать в более простом виде
2
 2π ht hr  .
g≈ 

 λ d 
(1.1.20)
Теперь можно упростить формулу (1.1.16). В результате, получим, что
мощность на входе приемника равна
2
hh 
Pr = Pt Gt Gr  t 2r  .
 d 
(1.1.21)
Важный вывод, следующий из (1.1.21), заключается в том, что мощность
принимаемого сигнала убывает с расстоянием обратно пропорционально четвертой степени ( Pr ~ d − 4 ) . Это существенно более сильная зависимость ослабления сигнала по сравнению со случаем свободного пространства, где мощность принимаемого сигнала убывает с расстоянием обратно пропорционально
второй степени. Поскольку мощность принимаемого сигнала пропорциональна
квадрату амплитуды напряженности электрического поля в точке расположения приемной антенны, то напряженность поля убывает с расстоянием обратно
пропорционально второй степени. Такая закономерность ослабления поля впер10
вые была установлена академиком Введенским и носит название квадратичной
формулы Введенского.
Другой важный вывод, вытекающий из (1.1.21), заключается в том, что
мощность принимаемого сигнала в области действия формулы Введенского не
зависит от несущей частоты.
В области, где множитель ослабления земли имеет периодический характер, наблюдаются минимумы и максимумы. Когда прямой и отраженный от
земли сигналы складываются в противофазе, мощность принимаемого сигнала
минимальна. Там, где эти сигналы складываются в фазе, наблюдается максимум мощности. Если абонент попадает в область минимума, то связь может нарушиться или существенно ухудшиться. Когда абонент находится в движении,
то уровень сигнала на входе приемника может периодически меняться, то есть
могут наблюдаться замирания сигнала или фединги.
Описанные выше условия передачи сигнала являются упрощенными, так
как предполагалось, что земля является гладкой и плоской поверхностью. В
действительности, на поверхности земли имеются холмы, овраги, растительность. В городских условиях имеется множество строений различной высоты.
Все это ведет к существенно более сложным условиям распространения сигнала. Такие явления, как отражение волн и их дифракция, приводят к тому, что в
точку приема приходят множество сигналов. Говорят, что наблюдается многолучевое распространение сигнала.
В таких условиях мощность принимаемого сигнала оценивается статистическими методами, так как учесть детально все факторы, влияющие на уровень
сигнала, детерминистическими методами невозможно. Кроме того, проводятся
множество экспериментальных работ с целью измерения уровня сигнала, как в
городской, так и в сельской местности. Подобные эксперименты дают возможность построить модели каналов беспроводной связи. Эти модели утверждаются специальными документами (стандартами), чтобы разработчики систем связи могли пользоваться едиными данными.
Для городских условий такая модель впервые была разработана в 1968
году в Японии на основе измерений Окумары (Okumara). В 1980 году эта модель была уточнена Хатом (Hata). Ослабление медианного уровня сигнала по
отношению к уровню, который бы наблюдался в свободном пространстве, соответствующее модели Окумара–Хата, дано на рис. 1.3. Приведенные данные соответствуют вертикальной поляризации и высотам передающей и приемной антенн ht=100 м и hr=3 м.
11
Рис. 1.3. Ослабление сигнала, соответствующее модели Окумара–Хата
Обычно в моделях каналов беспроводной связи рассматривают зависимость мощности принимаемого сигнала от расстояния в виде
P ≈ 1 dα ,
(1.1.22)
где α = 2 + 2n .
Согласно модели Окумара–Хата существуют две области с различным характером ослабления сигнала. Первая область простирается до 10–15 км. Для
нее n=0.5, то есть α=3 в (1.1.22). Вторая область простирается от 15–20 км до
100 и более километров. Здесь α=6.6, то есть наблюдается достаточно быстрое
ослабление мощности сигнала с расстоянием.
Качество информации, принятой абонентом, зависит не только от уровня
мощности сигнала на входе приемника. Мощность принимаемого сигнала необходимо сравнивать со средней мощностью шума и помех на входе приемника.
Если помехи отсутствуют, то вероятность появления ошибок в передаваемой
информации зависит от величины ОСШ.
Мощность собственного шума, приведенная к входу приемника, может
быть записана в виде
Pnoise = N noise k BT0W ,
(1.1.23)
где Nnoise – шум-фактор (коэффициент шума) приемника, характеризующий его
качество; kB=1,38⋅10−23 Вт/Гц/град – постоянная Больцмана; T0 - температура
окружающей среды, выраженная в градусах Кельвина (обычно в качестве стандартной температуры задают T0=290 град), W - ширина частотной полосы пропускания приемника.
В случае свободного пространства для отношения мощности сигнала к
средней мощности собственного шума приемника (ОСШ) с помощью (1.1.5) и
(1.1.23) получим, что
12
ρ =
Pr
=
Pnoise
λ2
( 4π ) 2
Pt Gt Gr
1
.
N noise k BT0W d 2
(1.1.24)
Задавая минимально допустимое ОСШ ρmin, при котором обеспечивается
необходимая вероятность правильного приема информации, можно найти максимальную дальность действия системы связи dmax в виде
d max =
λ
4π
Pt Gt Gr
N noise k BT0W ρ min
.
(1.1.25)
В случае влияния земной поверхности для ОСШ с помощью (1.1.21) и
(1.1.23) будем иметь
ρ =
Pr
Pnoise
 ht hr
Pt Gt Gr

=
N noise k BT0W  d 2
2

 .


(1.1.26)
Отсюда найдем, что максимальная дальность действия системы связи dmax
равна
d max =
4
4
Pt Gt Gr ht hr
N noise k BT0W 4 ρ min
.
(1.1.27)
Анализируя это выражение, можно придти к выводу о том, что дальность
действия системы связи трудно увеличить за счет увеличения мощности передатчика. Например, увеличение мощности передатчика в 2 раза приведет к увеличению дальности только в 1,19 раза, т.е. на 19%. Более эффективным средством является увеличение высоты подъема передающей и/или приемной антенны. Поэтому антенны базовой станции (БС) рекомендуют поднимать на высоту 20-30 и более метров над землей. Также, если абонент сотовой связи находится на границе соты и испытывает трудности соединения из-за слабого сигнала, ему рекомендуется найти место, более высокое над земной поверхностью.
Интересно отметить, что дальность связи не зависит от несущей частоты.
1.2 Крупномасштабные замирания сигналов
Сделаем дальнейшее усложнение канала. Учтем, что для систем связи
практически всегда характерно многолучевое распространение сигналов. Принимаемый сигнал представляет собой сумму отдельных сигналов, отраженных
от большого числа рассеивателей (отражателей), которые располагаются вокруг
пользователя случайным образом и имеют случайную эффективную поверхность рассеяния. Следствием этого могут быть замирания амплитуды результи13
рующего сигнала и задержка его прихода на приемную антенну. Изменения
свойств пространственного канала, как правило, являются случайными, поэтому естественно характеризовать канал статистически.
Наиболее характерными для мобильной связи являются два вида замираний сигналов: крупномасштабные и мелкомасштабные.
Крупномасштабные замирания происходят из-за наличия между передатчиком и приемником крупных наземных объектов (здания, холмы, леса,
большие рекламные щиты и т.д.). Говорят, что приемник «затеняется» этими
объектами. Характерный радиус корреляции крупномасштабных замираний составляет обычно порядка 20÷50 метров. Такие замирания хорошо описываются
логарифмически нормальным законом распределения, в соответствии с которой
случайная амплитуда s сигнала имеет плотность вероятности вида
p(s) =
1
s 2π σ
2
 [ln(s) − m]2 
.
exp −
2


2σ


(1.2.1)
Длительность крупномасштабных замираний зависит от скорости движения пользователя и, как правило, составляет секунды. Например, при скорости
54 км/час (15 м/сек) замирания длятся ~ 2÷3 сек. Это достаточно большая величина для систем сотовой связи, в которых информация передается отдельными пакетами (фреймами). Их длительность обычно не превышающей нескольких десятков мсек. Поэтому крупномасштабные замирания могут привести к
потере больших объемов информации. Чтобы преодолеть такие замирания приходится, как правило, устанавливать дополнительные БС или изменять параметры антенн (направление диаграммы направленности, угол наклона и т.д.).
На практике часто трудно знать все параметры, входящие в (1.1.16). Поэтому поступают следующим образом. Выполняются измерения мощности на некотором эталонном расстоянии d0, которое выбирается в дальней зоне передающей антенны. Затем полученные результаты интерполируют для других расстояний с помощью формулы вида
L(d ) dB = L(d 0 ) dB + 10α lg( d d 0 ) + xσ
dB ,
(1.2.2)
где xσ – случайная гауссова переменная с нулевым средним и с дисперсией, выраженной в децибелах. При этом амплитуда s сигнала является случайной величиной и имеет плотность вероятности (1.2.1) со средним значением
m dB = L(d 0 ) dB + 10α lg( d d 0 ) , которое зависит от расстояния d, и с дисперсией
σ2. Для городских условий обычно считают, что σ2 составляет от 6 до 10 дБ.
14
1.3 Мелкомасштабные замирания сигналов
1.3.1 Импульсная характеристика и передаточная функция
Многолучевой канал связи, как любая линейная система, определяется однозначно своей ИХ во временной области и/или передаточной функцией в частотной области. ИХ канала, и его передаточная функция позволяют определить связь выходного и входного сигналов и их спектров соответственно.
Многолучевой канал показан на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Многолучевой канал
В многолучевом канале сигнал распространяется по многим путям, и n-й
путь (луч) характеризуется задержкой сигнала τn(t) и комплексным коэффициентом передачи αn(t). Подавляющее большинство систем связи применяют узкополосные сигналы. Если передается сигнал s (t ) = Re[ s0 (t ) exp( j 2π f c t )] , где
s0(t) – комплексная амплитуда, то на входе приемника наблюдается сигнал x(t),
представляющий собой сумму сигналов, распространяющихся различными путями. Этот сигнал можно записать следующим образом [4]:
x(t ) =
∑
n
Re{α n (t ) s0 (t − τ n (t )) exp[ j 2π f c (t − τ n (t ))]} .
(1.3.1)
Данное выражение преобразуется к виду
 


x(t ) = Re  ∑ α n (t ) exp[− j 2π f c τ n (t )]s0 (t − τ n (t )) exp( j 2π f c t ) .
  n


(1.3.2)
Отсюда следует, что комплексная амплитуда принимаемого низкочастотного сигнала равна
sl (t ) =
∑
n
α n (t ) exp[− j 2π f cτ n (t )] s0 (t − τ n (t )) .
15
(1.3.3)
Далее будем предполагать, что за время прохождения сигнала задержки τ
n(t) и комплексные коэффициенты передачи αn(t) для всех лучей остаются неизменными и равными τn и αn.
По определению ИХ h(τ ) линейной системы с фиксированными параметрами является откликом системы на входной δ-импульс. Поэтому ИХ канала
мы получим, если подадим на вход канала сигнал (1.1.2) с комплексной амплитудой равной δ (t ) . В результате будем иметь, что
h( τ ) =
∑
n
α n exp[− j 2π f c τ n ]δ (τ − τ n ) .
(1.3.4)
Чтобы получить передаточную функцию канала H ( f ) , необходимо взять
гармонический сигнал единичной амплитуды частоты f, т.е. подставить в (1.3.3)
сигнал s0 (t ) = 1 . Тогда получим, что
H( f ) =
∑
α n exp[− j 2π fτ n ]
n
.
(1.3.5)
В качестве примера рассмотрим свойства двулучевого канала. Предположим, что имеется прямой сигнал и сигнал, отраженный местным предметом.
Прямой сигнал приходит без искажения и имеет задержку на время распространения от передатчика до приемника. Кроме того, его амплитуда уменьшается и
зависит от расстояния между передатчиком и приемником. Эти изменения параметров сигнала не имеют принципиального значения для нашего рассмотрения. Поэтому начало отсчета времени совместим с моментом прихода прямого
сигнала в приемную антенну, а амплитуду прямого сигнала нормируем так,
чтобы она была равна единице. Фазу прямого сигнала примем равной нулю. В
этом случае из (1.3.4) получаем, что канал можно характеризовать ИХ
h( τ ) = δ ( τ ) + a 2 δ ( τ − τ 2 ) ,
(1.3.6)
где a2 = α 2 exp[− jθ 2 ] – комплексная амплитуда второго сигнала, θ 2 = 2π f c τ 2 –
разность фаз между первым и вторым сигналами из-за относительной задержки
τ2 второго сигнала. ИХ двулучевого канала изображена на рис. 1.5.
Рис. 1.5. ИХ двулучевого канала
16
Заметим, что ИХ канала (1.3.6) не дает информации о направлении прихода второго сигнала. Обычно предполагается, что второй сигнал имеет меньшее
значение амплитуды, т.е. a 2 = α 2 ≤ 1 .
Передаточную функцию канала найдем из (1.3.5). Получим, что
H( f ) = 1+ α
2
exp( − j 2π fτ 2 ) .
(1.3.7)
Коэффициент передачи канала по мощности определяется как квадрат модуля передаточной функции, т.е.
2
H ( f ) = 1+ α
2
2
+ 2α
2
cos( 2π fτ 2 + arg α
2
).
(1.3.8)
Пример этой функции приведен на рис. 1.6 для |α2|=0.8, τ2=1, argα2=π/6.
Видно, что коэффициент передачи канала по мощности имеет максимумы и минимумы, то есть гармонические сигналы с некоторыми частотами ослабляются,
в то время как с другими частотами усиливаются. Минимумы наблюдаются для
частот f n = [π ( 2n + 1) − arg α 2 ] 2π τ 2 , где n=0, ±1,…. Расстояние между минимумами на оси частот не зависит от фазы коэффициента отражения α2 и равно
1 τ 2 . Средний коэффициент передачи по мощности равен 1+|α2|2 и показан на
рис. 1.6 штриховой линией, минимум равен (1-|α2|)2, а максимум – (1+|α2|)2.
Если амплитуда прямого сигнала равна амплитуде задержанного сигнала, то
может наблюдаться полное пропадание сигнала на входе приемника.
Рис. 1.6 Коэффициент передачи двулучевого канала по мощности
Изменение уровня принимаемого сигнала, вызванное интерференцией сигналов, проходящих в канале различными путями, принято называть замираниями принимаемого сигнала или федингами. Если полоса пропускания приемника
W < < 1 τ 2 , то все спектральные компоненты сигнала в пределах частотной полосы приемника будут испытывать дружные замирания. В этом случае принято
говорить, что канал является плоским (flat channel). Если выполняется другое
условие W ≥ 1 τ 2 , то различные спектральные компоненты сигнала испытыва-
17
ют различные замирания. В этом случае говорят, что канал является частотно
селективным (frequency selective channel).
Фаза 2π fτ 2 отраженного сигнала в (1.3.7) может изменяться значительно
даже при очень малых изменениях задержки τ2 этого сигнала. В самом деле, изменение фазы на 2π радиан происходит при изменении задержки τ2 на 1/f.
Например, если несущая частота fc=900 МГц, то величина 1/f составляет всего
1,1 наносекунд, что соответствует изменению пути распространения сигнала на
33 см, то есть на длину волны. Таким образом, если разность хода между прямым и отраженным сигналами изменится всего на 16,5 см, разность фаз между
ними изменится на 180 градусов. Этот пример показывает, что сигнал может
испытывать глубокие и быстрые замирания даже при движении абонента со
скоростью пешехода.
1.3.2 Временная дисперсия в канале
Вернемся к ИХ (1.3.4). Если абонент движется, то меняется характер
многопутного распространения сигнала (число лучей, коэффициенты передач
вдоль лучей, задержки сигналов). Следовательно, ИХ канала меняется непрерывно и случайным образом. Будем считать, что коэффициенты передачи αn в
(1.3.4) являются случайными стационарными комплексными величинами. Также естественно предположить, что коэффициенты передач для различных лучей являются статистически независимыми. Эти предположения можно выразить математически следующим образом:
< α
∗
nα m
 < α
n
>= 
 0,
2
>, m= n
m≠ n
(1.3.9)
где (.)* – комплексное сопряжение.
2
Величина < α n > имеет смысл среднего коэффициента передачи мощности отдельным лучом. Он считается фиксированным, в то время как отдельные
реализации канала могут иметь различные коэффициенты передачи αn. Обозна2
чим средний коэффициент передачи < α n > через P (τ n ) .
Если канал порождает много сигналов с различными задержками, то говорят, что имеет место временная дисперсия сигнала. Канал с временной дисперсией характеризуют зависимостью P(τ) коэффициента передачи мощности от
величины задержки. Эту функцию можно также назвать спектром мощности
задержанных сигналов в канале. Она имеет спадающий, обычно не плавный,
характер. Отметим, что в канале без временной дисперсии спектр мощности задержек сигнала P(τ) состоял бы из одного δ-импульса при τ=0 с весовым коэффициентом, равным средней мощности принятого сигнала.
Используя (1.3.9), выразим функцию P(τ) через ИХ (1.3.4) в виде
18
2
P(τ ) = < h(τ ) > =
∑
< α
2
n
> δ (τ − τ n ) =
n
∑
n
P(τ n )δ (τ − τ n ) . (1.3.10)
По определению средняя задержка сигнала в канале с временной дисперсией вычисляется с помощью выражения
< τ >=
∑
τ n P (τ n )
n
∑
P (τ n )
.
(1.3.11)
n
Величина временной дисперсии сигнала характеризуется среднеквадратическим отклонением от средней задержки (1.3.11) и определяется следующим
образом:
σ
τ
< τ2 > − < τ >
=
2
.
(1.3.12)
где < τ 2 > - средний квадрат задержки, равный
τ 2n P( τ n )
∑
< τ2 >=
n
∑
P(τ n )
.
(1.3.13)
n
Часто функцию P(τ) нормируют так, чтобы суммарный коэффициент передачи мощности был равен единице, т.е. P (τ 1 ) + P(τ 2 ) + ... = 1 . С учетом этой
нормировки выражения (1.3.11) и (1.3.13)упрощаются:
< τ >=
∑
n
< τ2 >=
τ n P (τ n ) ,
∑
τ 2n P( τ n )
n
(1.3.14)
Учитывая (1.3.12) для временной дисперсии сигнала будем иметь
σ
τ
=
∑
n
τ
2
nP


( τ n ) −  ∑ τ n P( τ n ) 
 n

2
.
(1.3.15)
В качестве примера рассмотрим двулучевой канал с импульсной характеристикой (1.3.6). В этом случае функция P(τ) имеет вид
P ( τ ) = δ ( τ ) + P( τ 2 ) δ ( τ − τ 2 ) ,
где P( τ 2 ) = < α
2
2
>.
19
(1.3.16)
Подставляя (1.3.16) в (1.3.11), найдем, что
< τ >=
τ 2 P( τ 2 )
.
1 + P( τ 2 )
(1.3.17)
Отсюда следует, что средняя задержка больше нуля (момент прихода первого сигнала) и меньше τ2 (момент прихода второго сигнала).
Среднеквадратическое отклонение задержки найдем из (1.3.12). В результате получим, что
σ
τ
=
τ 2 P( τ 2 )
.
1 + P( τ 2 )
(1.3.18)
В качестве примера на рис. 1.7 показан дискретный спектр мощности задержек сигнала, который часто используется при моделировании сотовых систем связи. Видно, что имеется шесть лучей, задержки которых относительно
задержки первого луча составляют 0,31, 0.71, 1.09, 1.73 и 2.51 микросекунд (µ
сек). Ненормированные мощности этих лучей равны 0, -1, - 9, -10, -15 и -20 дБ,
соответственно. Нетрудно вычислить, что средняя задержка <τ> равна 0,26 µ
сек, а среднеквадратическое отклонение στ задержек составляет 0.37 µсек.
Рис. 1.7 Спектр мощности задержек в канале
Теперь рассмотрим передаточную функцию (1.3.5), которая дает коэффициент передачи канала для гармонического сигнала некоторой частоты f. Коэффициент передачи для каждой частоты является случайной комплексной величиной, поскольку случайными являются коэффициенты передачи αn. Найдем
средний коэффициент передачи мощности на частоте f, принимая во внимание
(1.3.9). В результате будем иметь, что
20
2
∑
< H( f ) > =
< α nα
∗
m
> exp[− j 2π f (τ
n
−τ
m
n,m
)] = ∑
n
P(τ n ) . (1.3.19)
Отсюда следует, что средний коэффициент передачи мощности в канале не
зависит от частоты и равен единице при нормировке ∑ n P(τ n ) = 1 .
Представляет интерес статистическая связь коэффициентов передачи канала на двух частотах f и (f-∆f), которая определяется функцией корреляции
Ψ (∆ f ) = < H ( f ) H ∗ ( f − ∆ f ) > . Учитывая (1.3.5), получим, что
Ψ (∆ f ) =
∑
< α n α ∗m > exp[− j 2π fτ n ] exp[ j 2π ( f − ∆ f ) τ m ] =
n, m
=
∑
< α
n
2
> exp[− j 2π ∆ fτ n ] =
n
∑ P( τ n ) exp[−
j 2π ∆ fτ n ].
(1.3.20)
n
Функция корреляции Ψ (∆ f ) является непрерывной функцией разности частот ∆f и не зависит от частоты f. Нетрудно показать, что эта функция представляет собой преобразование Фурье от спектра мощности (1.3.10) задержанных
сигналов, то есть
Ψ (∆ f ) =
∞
∫ P(τ ) exp(−
j 2 π ∆ fτ ) dτ .
(1.3.21)
−∞
Для доказательства подставим (1.3.10) в (1.3.21). Получим, что
Ψ (∆ f ) =
∞
∫ ∑
P (τ n )δ ( τ − τ n ) exp(− j 2π ∆ fτ )dτ =
−∞ n
∑
P(τ n ) exp[− j 2π ∆ fτ n ] . (1.3.22)
n
Это совпадает с (1.3.20), что говорит о справедливости (1.3.21).
Функция корреляции Ψ (∆ f ) определяет область частотной когерентности
канала связи. Эта область задается полосой ∆ f H частотной когерентности канала, которая обратно пропорциональна величине σ τ временной дисперсии
сигнала (1.3.15):
∆ fH ≈ 1 σ τ .
(1.3.23)
Канал является частотно-селективным, если полоса частотной когерентности меньше или соизмерима с шириной спектра сигнала W, то есть ∆ f H ≤ W .
Когда выполняются обратные условия ∆ f H > W , канал является частотно-неселективным или плоским. В таком канале все частотные компоненты сигнала
будут подвергаться одинаковому воздействию.
21
На рис. 1.8 показан модуль функции Ψ (∆ f ) для канала, спектр мощности
задержек которого представлен на рис. 1.7. Видно, что полоса частотной когерентности ∆ f H по половинному уровню составляет ≈0.96 МГц. При этом
произведение среднеквадратического отклонения στ задержек на полосу частотной когерентности ∆ f H составляет σ τ ∆ f H ≈ 0.36 .
Рис. 1.8 Модуль функции корреляции в частотной области для канала, спектр мощности задержек которого представлен на рис. 1.7.
Современные и перспективные системы связи, такие как WCDMA,
WiMAX предназначены для высокоскоростной передачи информации. Для этого выбираются сигналы с достаточно широким спектром. Это неизбежно ведет
к тому, что система будет работать в условиях частотно селективного канала
связи. Такие системы должны иметь специальные средства для выравнивания
частотной передаточной функции канала. Это делается с помощью обучающих
или пилотных сигналов. Наиболее хорошо для этой цели приспособлена система связи, использующая сигналы с OFDM-модуляцией.
1.3.3 Замирания сигналов как случайный процесс
Для передачи сообщений система связи использует радиосигналы длительности Тs, которые называются также импульсами. Если сигнал проходит через
многолучевой канал, то на вход приемной антенны поступает большое число
переотраженных импульсов, сдвинутых по времени относительно друг друга
вследствие различных задержек в канале. Это явление называется интерсимвольной интерференцией. Будем предполагать, что временная дисперсия сигнала в канале много меньше длительности Тs импульса, так что можно пренебречь
явлением интерсимвольной интерференции. Пусть также канал является частотно неселективным и все частотные компоненты сигнала испытывают одинаковые замирания. Сделанные предположения дают нам возможность
22
рассматривать передаваемый сигнал, как гармонический сигнал единичной амплитуды. Это конечно идеализация, поскольку такой сигнал имеет бесконечную длительность и нулевую ширину спектра. Тем не менее, этого достаточно,
чтобы найти основные статистические характеристики сигнала в точке приема.
Коэффициент передачи канала для гармонического сигнала определяется
передаточной функцией (1.3.5). Следовательно, сигнал на входе приемной антенны можно записать в виде
 


s (t ) = Re[ H ( f c ) exp( j 2π f c t ) ] = Re   ∑ α n exp( − j 2π f 0τ n )  exp( j 2π f c t )  =
  n
 (1.3.24)

= ∑ α n cos[ 2π f c t − ( 2π f cτ n + arg α n ) ].
n
Этот сигнал представляет собой сумму гармонических сигналов со случайными амплитудами и фазами. Он также является гармоническим, имеет случайными амплитуду и фазу и может быть записан в виде
s (t ) = A cos(2π f 0 t − ψ ) .
(1.3.25)
В соответствии с центральной предельной теоремой распределение вероятностей суммы статистически независимых случайных величин становится достаточно близким к нормальному распределению, если число слагаемых составляет 5-6 [5].
Этот результат является справедливым для любого узкополосного сигнала,
если выполняются принятые выше условия относительно частотной неселективности канала. Как отмечалось выше, узкополосный сигнал может быть представлен в виде трех форм (см. (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.3)). Перепишем (1.1.1) с учетом применяемых обозначений в виде
s (t ) = A( t ) cos[ ψ ( t ) ] cos ω c t − A( t ) sin[ ψ ( t ) ] sin ω c t ,
(1.3.26)
где циклическая частота ω c = 2π f c .
Амплитуда A( t ) и фаза ψ ( t ) являются медленно меняющимися функциями.
Величина A( t ) exp[ jψ ( t ) ] носит название комплексной амплитуды узкополосного сигнала. Формула (1.3.26) дает разложение узкополосного сигнала на два
ортогональных сигнала cos ω c t и sin ω c t , которое называется квадратурным
разложением узкополосного сигнала. В иностранной литературе формулу
(1.3.26) принято называть (I,Q)-разложением и записывать в виде
s (t ) = I ( t ) cos ω c t − Q( t ) sin ω c t ,
где I (t ) = A( t ) cos[ ψ ( t ) ]; Q(t ) = A( t ) sin[ ψ ( t ) ] .
23
(1.3.27)
Величины I(t) и Q(t) в любой момент времени являются случайными, имеют нулевые средние и дисперсии σ2 и подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, т.е.
p( I ) =
 I2 
1
;
exp −
 2σ 2 
2π σ


p(Q) =
 Q2 
1

exp −
 2σ 2  .
2π σ


(1.3.28)
В совпадающие моменты времени величины I(t) и Q(t) являются статистически независимыми. Поэтому двумерную плотность вероятности можно записать, как произведение одномерных функций распределения:
p ( I , Q) = p( I ) p (Q) =
1
2π σ
2
 I 2 + Q2 
.
exp −
2 

2σ


(1.3.29)
Теперь поставим задачу найти статистические свойства амплитуды А и
фазы ψ нормального узкополосного процесса в некоторый фиксированный момент времени. Амплитуды А и фазы ψ связаны с квадратурными компонентами
следующими соотношениями.
A=
I 2 + Q 2 ; ψ = arctg
Q
.
I
(1.3.30)
Геометрическая интерпретация параметров узкополосного сигнала ясна из
рис. 1.9.
Рис. 1.9. Параметры узкополосного сигнала
Вероятность попадания конца вектора А в темный прямоугольник малой
площади dIdQ равна p ( I , Q)dIdQ . Поскольку существует однозначная связь
(1.3.30) между квадратурными компонентами (I,Q) с одной стороны и амплитудой и фазой (А,ψ) с другой стороны, то эту же вероятность можно записать в
24
виде p( A, ψ )dAdψ , где функция p ( A, ψ ) - интересующая нас двумерная плотность вероятности параметров А и ψ. Эти вероятности равны между собой, а
двумерные плотности вероятности связаны между собой через якобиан преобразования координат следующим образом:
∂I
∂I
∂A
∂ψ
p ( A, ψ ) = p[ I ( A, ψ ) , Q( A, ψ ) ] ∂ Q
.
∂Q
∂A
∂ψ
(1.3.31)
Используя (1.3.29) и (1.3.30) и учитывая, что величина якобиана равна А,
для интересующей нас двумерной плотности вероятности параметров А и ψ будем иметь
p ( A, ψ ) =
 A2 
1 A
−

exp
 2σ 2  .
2π σ 2


(1.3.32)
Для определения одномерной плотности вероятности p( A) необходимо
двумерную плотность вероятности (1.3.32) проинтегрировать по всем возможным значениям фазы ψ: В результате получим, что
2π
 A2 

p ( A) = ∫ p ( A,ψ )dψ = 2 exp −
2

σ
 2σ 
0
A
( A > 0) .
(1.3.33)
Распределение амплитуды (1.3.33) называется распределением Релея, а канал связи называют релеевским каналом. Сигнал в таком канале испытывает замирания, так как его амплитуда может принимать малые значения. Релеевское
распределение амплитуды (1.3.33) зависит только от одного параметра σ и показано на рис. 1.10 для σ2=2.
25
Рис. 1.10 Релеевское распределение амплитуды сигнала
Интегрируя двумерную плотность вероятности (1.3.32) по всем возможным значениям амплитуды, найдем плотности вероятности p(ψ ) в виде
p (ψ ) =
∞
∫
p( A, ψ )dA =
0
∞
1
2π σ
2
 A2 
∫ exp − 2σ 2  AdA .


0
(1.3.34)
Используя замену переменной A2=z, находим
p (ψ ) =
∞
1
2π σ 2
1
z 
1

exp −
dz
=

∫
20
2π
 2σ 2 
( 0 < ψ < 2π ) .
(1.3.35)
Отсюда следует, что фаза распределена равномерно в интервале [0-2π). Сопоставляя p( A) в (1.3.33) и p(ψ ) в (1.3.35) с p ( A, ψ ) в (1.3.32), приходим к
важному выводу, что
p ( A, ψ ) = p( A) p(ψ ) .
(1.3.36)
Таким образом, амплитуда и фаза нормального узкополосного процесса являются независимыми случайными процессами в совпадающие моменты времени.
Максимум распределения (1.3.33) находится в точке А=σ, что соответствует значению А=1.41 на рис. 1.10. Средняя амплитуда равна
< A>=
∞
∫ Ap( A)dA =
0
26
π
σ ≈ 1.25 σ .
2
(1.3.37)
Средняя мощность сигнала < A 2 > = 2σ 2 делится между квадратурными
компонентами поровну. Дисперсия амплитуды характеризует отклонение амплитуды от среднего значения и вычисляется по формуле:
σ
2
A
 4− π 
= < A2 > − < A > 2 = 
σ
 2 
2
≈ 0.43σ 2 .
(1.3.38)
Медианное значение амплитуды показывает границу, ниже и выше которой амплитуда появляется с вероятностью 50%. Медианное значение амплитуды можно вычислить по формуле Amed = 2 ln 2σ ≈ 1.18 σ .
Если мы интересуемся вероятностью, с которой амплитуда А будет меньше
заданной величины, то следует пользоваться интегральной функцией распределения. Имеем, что
F ( A) =
A
∫
0
p( A′ )dA′ =
∞
 A′ 2  A ′
 A2 
−

−

′
exp
d
A
=
1
−
exp
∫  2σ 2  σ 2
 2σ 2  . (1.3.39)




0
Допустим, нас интересует вероятность того, что уровень сигнала опустится
ниже медианного уровня на 10 дБ и более. Тогда пороговая амплитуда равна 10
−0.5
Аmed, а вероятность такого события равна ≈ 7%.
Если на вход приемной антенны поступает прямой сигнал и большое количество переотраженных сигналов, то характер замирания сигнала меняется. В
этом случае прямой сигнал является детерминированным. Результирующий
сигнал представляет собой сумму детерминированного и случайного релеевского сигналов. Геометрическая интерпретация суммирования этих сигналов показана на рис. 1.11, на котором амплитуда и фаза детерминированного сигнала
обозначены как А0 и ψ0, а суммарного сигнала - как А и ψ.
Рис. 1.11 Суммирование прямого и отраженного сигналов
Теперь вместо (1.3.28) для одномерных плотностей вероятностей квадратурных компонент будем иметь
27
 ( I − I0 ) 2 
1
;
exp −
2


2π σ
2σ


p( I ) =
p (Q) =
 ( Q − Q0 ) 2 
1
 . (1.3.40)
exp −
2


2π σ
2σ


Чтобы получить двумерную плотность вероятности p ( A, ψ ) , поступим
аналогично рассмотренному выше случаю релеевских замираний. При этом в
(1.3.40) сделаем замену: I = A cos ψ и Q = A sin ψ и учтем якобиан преобразования координат, равный А. В результате получим, что
 ( A cos ψ − I 0 ) 2 
 ( A sin ψ − Q0 ) 2 


.
p ( A, ψ ) = A
exp −
exp −
2
2
2




2π σ
2σ
2σ




1
(1.3.41)
Для определения одномерной плотности вероятности p( A) необходимо
двумерную плотность вероятности (1.3.41) проинтегрировать по всем возможным значениям фазы ψ, то есть
2π
p ( A) = A ∫
0
 ( A cos ψ − I 0 ) 2 
 ( A sin ψ − Q0 ) 2 
 exp −
 dψ . (1.3.42)
exp −
2
2
2




2π σ
2σ
2σ




1
После элементарных алгебраических преобразований это выражение принимает следующий вид:
p( A) =
A
2π σ
2
 A I 2 + Q2
 A 2 + I 02 + Q02  2π
0
0


exp −
exp 
cos( ψ − ψ
∫
2
2



2σ
σ

0



0 ) dψ . (1.3.43)


Интеграл в этом выражении сводится к функции Бесселя I0(x) нулевого порядка от мнимого аргумента путем замены u = ψ − ψ 0 . Также необходимо
учесть, что для детерминированного сигнала I 02 + Q02 = A02 . Таким образом, искомая плотность вероятности равна
p( A) =
A
σ
2
 A 2 + A02   AA0 
I 
exp −

2  0
2

2
σ
σ




( A > 0) .
(1.3.44)
Эта функция обобщает релеевский закон распределения (1.3.33), так как он
следует из (1.3.44) в частном случае при А0=0. Поэтому (1.3.44) носит название
обобщенного распределения Релея. Его называют также распределением Райса
или Релея-Райса. На рис. 1.12 показаны несколько кривых распределения Райса
для σ2=2, которые отличаются уровнем детерминированной компоненты А0 в
результирующем сигнале.
28
Рис. 1.12 Райсовская плотность вероятности
Райсовская плотность вероятности определяется двумя параметрами: дисперсией 2σ2 замираний и детерминированной составляющей А0. Часто райсовский канал характеризуют двумя другими параметрами: райсовским K-фактором, равным отношению детерминированной и флуктуирующей составляющих мощности сигнала K = A02 2σ 2 , и средней суммарной мощностью сигнала
P0 = A02 + 2σ 2 . Формулы перехода имеют вид:
A02 =
K
P0 ;
K+1
2σ
2
=
1
P0 .
K+1
(1.3.45)
Если K=0, то райсовская плотность вероятности переходит в релеевскую.
Распределение Райса (1.3.44), представленное в параметрах К и P0 , будет иметь
вид (A>0)
 A 2 ( K + 1)  

2( K + 1) exp(− K )
 I 0  2 A K ( K + 1)  .
p( A) =
A exp −


 
P0
P0
P0


 
(1.3.46)
1.3.4 Частотная дисперсия в канале
Распределения Релея и Райса характеризуют замирания сигнала не в полной мере. В частности, они не дают представление о том, как протекает процесс
замирания сигнала во времени. Допустим, что процесс рассматривается в два
момента времени t и t+τ, где τ - задержка. Тогда статистическая связь замираний дается функцией корреляции, которая определяется следующим образом.
29
φ ss ( t , τ ) = < s (t ) s (t + τ ) > .
(1.3.47)
Если за время τ передатчик, приемник и переотражатели не изменяют свое
местоположение и сохраняют свои параметры, то суммарный сигнал в приемнике не изменяется. Чтобы происходили замирания сигнала, необходимо взаимное перемещение передатчика, приемника и (или) переотражателей. Только в
этом случае наблюдается изменение амплитуд и фаз сигналов, суммирующихся
на входе приемной антенны. Чем быстрее происходит это движение, тем с
большей скоростью происходят замирания сигнала и, следовательно, более широким должен быть его спектр.
Будем считать, что приемник движется со скоростью v, а передатчик остается неподвижным. Если антенна передатчика излучает гармонический сигнал
некоторой частоты f, то из-за эффекта Доплера приемник регистрирует сигнал
другой частоты. Разница между этими частотами называется доплеровским
смещением частоты. Чтобы найти величину смещения частоты, рассмотрим
рис. 1.13, где изображены передатчик, приемник, волновой вектор k плоской
волны и вектор v скорости приемника.
Рис. 1.13. К определению доплеровского смещения частоты
Уравнение равномерного движения приемника запишем в виде
r = r0 + vt .
(1.3.48)
Тогда фаза принимаемого сигнала будет функцией времени
ϕ (t ) = ω t − kr = ω t − kr0 − kvt cosθ .
где θ - угол между вектором скорости и волновым вектором.
30
(1.3.49)
Мгновенная частота определяется как производная от фазы. Поэтому, дифференцируя (1.3.49) и учитывая, что волновое число k = 2π λ , будем иметь
∂ϕ
v


= ω − kv cos θ = 2π  f − cos θ  .
∂t
λ


(1.3.50)
При равномерном движении приемника, как следует из (1.3.50), наблюдается смещение частоты, равное
fd =
v
cos θ .
λ
(1.3.51)
Для примера предположим, что скорость v=72 км/ч = 20 м/с, частота передатчика f=900 МГц, а угол θ=0. Длина волны λ и частота f связаны через скорость света с соотношением с=fλ. Отсюда имеем, что λ=c/f=0.33 м. Теперь из
(1.3.51) находим, что доплеровское смещение частоты fd=60 Гц.
Доплеровское смещение частоты (1.3.51) принимает как положительные,
так и отрицательные значения, в зависимости от угла θ между вектором скорости и волновым вектором. Величина доплеровского смещения не превышает
максимального значения, равного fmax=v/λ. Формулу (1.3.51) удобно представить
в виде
f d = f max cos θ .
(1.3.52)
Когда имеется много переотражателей, то естественно предположить, что
они располагаются вокруг приемника равномерно, например, по окружности,
как показано на рис. 1.14. Такая модель переотражателей называется моделью
Кларка.
Рис. 1.14 Расположение переотражателей в моделе Кларка
Спектральная плотность мощности Φ zz ( f d ) в случае модели Кларка определяется следующим путем. Выделим интервал частот dfd вблизи частоты fd. Заключенная в этом интервале принимаемая мощность равна Φ ( f d )df d . Эта мощ31
ность обусловлена доплеровским смещением частоты (1.3.52). Рассеянная мощность, связанная с угловым интервалом dθ, равна P (θ )dθ , где P (θ ) - угловая
плотность рассеянной мощности. Заметим, что одинаковое доплеровское смещение fd наблюдается для переотражетелей с угловыми координатами θ и (π-θ).
Отсюда вытекает следующее равенство мощностей
Φ ( f d )df d = P( θ ) dθ + P( π − θ ) dθ .
(1.3.53)
Будем полагать, что полная рассеянная мощность равна единице и равномерно распределена в интервале [0-2π) углов θ. Тогда (1.3.53) примет вид
Φ ( f d )df d = 2 P (θ )dθ = 2
1
dθ .
2π
(1.3.54)
Отсюда находим спектральную плотность мощности
Φ (f)=
1 dθ
=
π df d
1
df .
π d
dθ
(1.3.55)
Используя (1.3.51) для вычисления производной, получаем спектр (1.3.55)
в виде
Φ (f)=
1
π f max sin θ
=
1
π f max 1 − cos 2 θ
=
1
π
2
f max
− f
2
.
(1.3.56)
Такой спектр называется доплеровским спектром Джейкса. Спектр Джейкса для максимальной частоты Доплера fmax=10 Гц показан на рис. 1.15. Его вид
часто характеризуется, как «уши кролика». Этот спектр является четной функцией и заключен в интервале [-fmax, fmax].
32
Рис. 1.15 Доплеровским спектр Джейкса для fmax=10 Гц
Рассмотрим теперь корреляционные свойства сигнала, которые тесно связаны с его спектральными свойствами. В частности, корреляционная функция
находится с помощью обратного преобразования Фурье от спектральной плотности мощности. Учитывая (1.3.56) получим, что
1
φ zz (τ ) =
π −
f max
∫
f max
exp( j 2π fτ )
2
f max
− f
2
2
df =
π
f max
∫
0
cos( j 2π fτ )
2
f max
− f
2
df = J 0 ( 2π f max τ ) . (1.3.57)
Модуль функции корреляции (1.3.57) комплексной амплитуды для двух
максимальных частот Доплера fmax=10 Гц (сплошная кривая) и fmax=30 Гц (пунктирная кривая) показаны на рис. 1.16. Если оценить время корреляции замира−1
ний сигнала в канале по уровню 0.5, то оно равно τ cor = 0,24 f max
. Это дает 24
мсек для fmax=10 Гц и 8 мсек для fmax=30 Гц.
33
Рис. 1.16. Модуль функции корреляции для fmax=10 и 30 Гц
(сплошная и пунктирная кривые, соответственно).
В общем случае доплеровский спектр Φ ( f ) может отличаться от спектра
Джейкса (1.3.56). Область значений ∆fd, в которой Φ ( f ) существенно отличается от нуля, называют допплеровским рассеянием в канале. Поскольку Φ ( f ) связана с φ zz (τ ) преобразованием Фурье, то временем когерентности τcoh канала
является величина τcoh≈1/∆fd, которая характеризует скорость изменения свойств
канала.
2.3.5 Угловая дисперсия в канале
Распространение сигналов в многолучевом канале приводит не только к
временной и частотной дисперсии, но и к угловой дисперсии. Физический
смысл угловой дисперсии заключается в том, что точечный в пространстве источник сигналов воспринимается («видится») приемной антенной как протяженный источник. Изучение угловой дисперсии сигнала имеет большое значение для выбора расстояний между антеннами в случае применения разнесенного приема (передачи) сигнала. Угловая дисперсия сигнала оказывает также существенное влияние на точность измерения угла прихода сигнала, если решается задача определения местоположения абонента.
В городских условиях мобильная станция (абонент) обычно находится в
окружении достаточно большого числа рассеивателей. При этом угловой размер источника сигнала равен 360°. В тоже время антенна БС, как правило, располагается на высоких зданиях и, поэтому сигналы от пользователя принимаются антенной БС в некотором угловом секторе, который может быть существенно меньше, чем 360°. В данном подразделе исследуется угловая дисперсия
сигнала, принимаемого БС.
На рис. 1.17 показаны три часто рассматриваемые модели рассеивателей,
окружающих мобильную станцию.
34
Рис. 1.17. Модели расположения рассеивателей возле мобильной станции
Система координат (x,y) связана с мобильной станцией, в то время как БС
располагается на расстоянии D от мобильной станции. Первая модель рассеивателей предложена в [6] и называется гауссовой моделью многолучевого канала
(ГММК). Она предполагает, что плотность рассеивателей является равномерной по угловой координате ϕ и уменьшается по гауссовому закону с расстоянием от мобильной станции. Вторая модель представляет собой ранее рассмотренную классическую модель Кларка, которая предполагает равномерное распределение рассеивателей на окружности. Третья модель рассеивателей
предложена в [7] и называется круговой моделью многолучевого канала
(КММК). Она предполагает равномерное распределение рассеивателей внутри
круга.
Заметим, что все рассматриваемые модели дают одинаковую частотную
дисперсию (допплеровский спектр) сигнала, принимаемого БС, благодаря равномерному распределению рассеивателей по угловой координате. Но угловая
дисперсия сигнала, как будет показано, является различной. Также мы увидим,
что гауссова модель лучше отражает экспериментальные результаты, полученные в городских условиях.
Сигнал, принимаемый БС, представляет собой сумму сигналов, отраженных от различных рассеивателей, располагающихся вокруг мобильной станции
случайным образом. Так как сигналы отдельных рассеивателей статистически
независимы, мощность излучения, падающего на антенну в некотором угловом
секторе, будет пропорциональна числу рассеивателей в этом секторе. Следовательно, задача определения углового распределения излучения (угловой дисперсии) сводится к задаче определения углового распределения рассеивателей.
Предположим, что: а) сигналы распространяются только в азимутальной
плоскости; б) каждый рассеиватель имеет изотропную диаграмму рассеивания
и многократные переотражения сигналов не учитываются; в) коэффициент от35
ражения от произвольного рассеивателя имеет единичную амплитуду и случайную фазу; г) прямой луч между мобильной и базовой станциями отсутствует.
Для гауссовой модели плотность вероятности p(r , ϕ ) расположения рассеивателей вокруг антенны мобильной станции представим в виде
p(r , ϕ ) =
1
2
π reff
 r2 
exp − 2  ,
 r 
 eff 
(1.3.58)
где (r,φ) – полярная система координат с центром в месте расположения мобильной станции, r – расстояние от мобильной станции до рассеивателя, reff –
эффективное расстояние, на котором функция p(r,φ) убывает в e раз. Из (1.3.58)
следует, что для ГММК плотность вероятности попадания рассеивателя в бесконечно тонкое кольцо радиусом r определяется релеевским распределением и
равна
p (r ) =
2r
2
reff
 r2 
exp − 2  .
 r 
 eff 
(1.3.59)
Плотность вероятности p (θ ) углового распределения рассеивателей, видимых из БС, для гауссовой модели найдена в [6] и в общем случае имеет сложный вид. Однако для практических приложений представляет интерес случай,
когда рассеиватели расположены вблизи мобильной станции. При этом угловое
расширение является малым (θeff<<π), где угол θ eff находится из условия
sin θ eff = reff D , а приближенное выражение для плотности вероятности имеет
вид
p (θ ) ≈
1
2
π θ eff
 θ 2
⋅ exp − 2
 θ
eff



,

(1.3.60)
Отсюда следует, что функция углового распределения рассеивателей представляет собой гауссову функцию плотности вероятности с нулевым средним и
2
с дисперсией σ 2 = 0.5θ eff
. На рис. 1.18 показана плотность вероятности p(θ)
для θeff=10°; 30° и 50° (кривые 1, 2, 3, соответственно).
36
Рис. 1.18. Плотность вероятности углового распределения рассеивателей
Функция плотности вероятности углового распределения рассеивателей
для КММК имеет вид [7]
p (θ ) =
2 cos(θ ) sin 2 θ max − sin 2 θ
(−
2
π sin θ max
θ max ≤ θ ≤ θ max ) , (1.3.61)
где sin θ max = r0 D .
Для модели Кларка с расположением рассеивателей на кольце радиуса r0
функция плотности вероятности углового распределения рассеивателей равна
p (θ ) =
1 1
π cos 2 θ
1
tg 2θ max − tg 2θ
.
(1.3.62)
Представляет интерес сравнение полученных результатов и экспериментальных данных. В [8] приведены гистограммы распределения рассеивателей и
пространственного распределения мощности принимаемого сигнала, полученные при высоте подъема антенны БС над крышами домов на 12 м.
На рис. 1.19 представлены функции плотности вероятности p(θ) для трех
рассматриваемых моделей, а также экспериментальная гистограмма распределения рассеивателей, взятая из [8]. Значения параметров (θmax, θeff) для каждой
модели были выбраны так, чтобы обеспечить наилучшее совпадение с экспери-
37
ментальными данными. Для КММК и модели Кларка угол θmax =10°, для ГММК
θeff =8,8°. Видно, что ГММК имеет лучшее совпадение с экспериментальными
данными.
Рис. 1.19. Плотности вероятности для трех рассматриваемых моделей и экспериментальная
гистограмма распределения рассеивателей
1.3.6. Пространственная корреляция
Предположим, что имеется две приемные антенны A1 и А2, расположенные на расстоянии d друг от друга. На рис. 1.20 показаны эти антенны, протяженный источник, угловые координаты ϕ (азимут) и θ (угол места), а также выделен элемент телесного угла dΩ равный dΩ = cos θ dϕ dθ .
Рис. 1.20. Расположение протяженного источника относительно двух антенн в системе
угловых координат ϕ,θ
38
Диаграмму направленности антенны А1 зададим в виде комплексной
функции f1 ( ϕ , θ ) . Если бы антенна А2 находилась в начале координат также
как антенна А1, то она имела бы диаграмму направленности в виде некоторой
другой функции f 2 ( ϕ , θ ) . Поскольку антенна А2 смещена из начала координат,
ее диаграмма направленности должна учитывать это смещение в виде дополни2π


тельного множителя, то есть она равна f 2 (ϕ , θ ) exp − j d cos ϕ cos θ  . Здесь
λ


учтено, что величина cos ϕ cos θ равна косинусу угла между осью x и направлением с координатами (ϕ,θ). Таким образом, диаграммы направленности обеих
антенн могут быть представлены в единой системе координат.
Сигнал в каждой антенне представляет собой сумму элементарных сигналов протяженного источника. Поэтому комплексная амплитуда сигнала в каждой антенне может быть представлена в виде интеграла.
s1 =
∫ f1 ( ϕ , θ ) ζ ( ϕ , θ ) dΩ
4π
s2 =
∫
4π
,
(1.3.63)
2π


f 2 ( ϕ , θ ) exp − j d cos ϕ cos θ  ζ ( ϕ , θ ) dΩ .
λ


(1.3.64)
Здесь величина ζ ( ϕ , θ ) dΩ имеет смысл комплексной амплитуды плоской
волны, приходящей с направления (ϕ,θ), интегрирование предполагается в пределах всей сферы, т.е. в пределах телесного угла, равного 4π.
Естественно предположить, что элементарные сигналы, приходящие из
различных элементов протяженного источника, некоррелированы между собой.
Математически это можно выразить следующей формулой:
< ζ ( ϕ , θ )ζ ∗ ( ϕ ′, θ ′ ) > = σ ( ϕ , θ )δ ( ϕ − ϕ ′, θ − θ ′ ) ,
(1.3.65)
где функция σ ( ϕ , θ ) имеет смысл плотности потока мощности, переносимой
плоской волной с направления (ϕ,θ).
Поскольку нас интересуют эффекты, связанные только с угловой протяженностью (угловой дисперсией) источника сигнала, для функции σ ( ϕ , θ ) будем использовать интегральную нормировку, при которой ∫ σ ( ϕ , θ ) dΩ = 1 . Та4π
кая нормировка предполагает, что полная мощность источника является фиксированной.
Используя (1.3.63), (1.3.64) и (1.3.65), нетрудно найти среднюю мощность,
принимаемую каждой антенной, и функцию корреляции сигналов, принятых
антеннами А1 и А2. В результате будем иметь, что
39
< s1
2
>=
∫
f1 ( ϕ , θ ) σ ( ϕ , θ ) dΩ ,
(1.3.66)
∫
f 2 ( ϕ , θ ) σ ( ϕ , θ ) dΩ ,
(1.3.67)
4π
< s2
2
>=
4π
< s1 s 2∗ > =
∫
4π
2
2
 2π

f1 ( ϕ , θ ) f 2∗ ( ϕ , θ ) exp j
d cos ϕ cos θ  σ ( ϕ , θ ) dΩ .
 λ

(1.3.68)
Отсюда найдем, что коэффициент корреляции сигналов, принятых антеннами, равен
ρ 12 =

∗
∫ f1( ϕ , θ ) f 2 ( ϕ , θ ) exp
j
4π

 f ( ϕ , θ ) 2 σ ( ϕ , θ ) dΩ
 ∫ 1
 4π
2π

d cos ϕ cos θ  σ ( ϕ , θ ) dΩ
λ


  f ( ϕ , θ ) 2 σ ( ϕ , θ ) dΩ
 ∫ 2
  4π




.
(1.3.69)
Выражение (1.3.69) существенно упрощается, если диаграммы направленности обеих антенн не зависят от угловых координат и могут быть заменены
фиксированными значениями (изотропные излучатели). Тогда из (1.3.69) получим, что
ρ 12 =
∫
4π
 2π

exp j
d cos ϕ cos θ  σ ( ϕ , θ ) dΩ .
 λ

(1.3.70)
Рассмотрим некоторые частные случаи, которые помогают понять общие
закономерности пространственной корреляции сигналов. Обозначим u = d / λ –
расстояние между антеннами, выраженное в длинах волн.
1. Источник сигнала имеет пренебрежимо малые угловые размеры. В этом
случае мы говорим об отсутствии угловой дисперсии сигнала. Допустим, что
источник сигнала имеет угловые координаты (ϕ0,θ0). Тогда функция углового
распределения мощности может быть представлена в виде δ-функции, т.е.
σ ( ϕ , θ ) = δ ( ϕ − ϕ 0 , θ − θ 0 ) . В этом случае единственная плоская волна приходит с
направления (ϕ0,θ0). Используя фильтрующее свойство δ-функции, из (1.3.70)
находим, что
ρ 12 = exp( j 2π u cos ϕ 0 cos θ 0 ) .
(1.3.71)
Модуль коэффициента корреляции равен единице, а его фаза меняется линейно в зависимости от расстояния d между антеннами.
40
2. Рассеиватели расположены равномерно по окружности в горизонтальной (азимутальной) плоскости, что соответствует рассмотренной выше модели
Кларка. Тогда двумерная функция углового распределения мощности
1
σ (ϕ ,θ ) =
δ ( θ ) . В этом случае из (1.3.70) находим, что
2π
ρ 12 =
1
2π
∫ exp( j 2π u cos ϕ ) dϕ
2π
= J 0 ( 2π u ) .
(1.3.72)
Функция Бесселя J0(x) первого рода нулевого порядка имеет максимум,
когда x=0. При увеличении аргумента x она спадает и достигает значения (1/e)≈
0,37 при x≈1.75. Поэтому радиус корреляции будет составлять d cor ≈ 0.28λ . Это
значит, что принятые антеннами сигналы будут некоррелированными, если антенны разнести на расстояние ~0.5λ. Конечно, здесь предполагается, что антенны не имеют электромагнитного взаимодействия. В противном случае сигналы
будут коррелированны из-за электромагнитного взаимодействия антенн [2].
Формула (1.3.72) следует также из выражения (2.3.91) для функции автокорреляции. Для этого в (2.3.91) необходимо время задержки τ преобразовать в
пространственное смещение d посредством очевидного соотношения
f max τ = vτ λ = d λ .
3. Рассеиватели расположены в горизонтальной плоскости и сосредоточены вблизи азимутального угла ϕ=0.5π, который соответствует направлению
нормали к линии, соединяющей антенны. При этом можно сделать следующую
замену переменных ϕ=0.5π-x. В этом случае cosϕ=sinx≈x. Тогда функцию углового распределения мощности следует представить в виде σ ( ϕ , θ ) = σ ( x ) δ ( θ ) . В
этом случае из (1.3.70) находим, что
ρ 12 ( u ) =
∫ exp( j 2π u x ) σ ( x ) dx .
(1.3.73)
Отсюда заключаем, что угловое распределение мощности источника и пространственный коэффициент корреляции связаны между собой преобразованием Фурье.
4. Некоторые канальные модели (например, так называемая 3GPP модель
[9]) предполагают, что функция углового распределения мощности дается
функцией Лапласа в виде
σ ( x) =

1
exp −

2∆

где ∆ – угловой размер источника на уровне -3дБ.
Подставляя (1.3.74) в (1.3.73), найдем, что
41
2x
,
∆ 
(1.3.74)
ρ 12 ( u ) =
1
1 + 2π 2 ∆ 2 u 2
.
(1.3.75)
На рис. 1.21 показан коэффициент корреляции (1.3.75) в зависимости от
u=d/λ для источника с угловым размером 2°, 5° и 8°.
Рис. 1.21. Коэффициент корреляции для лапласовского источника с угловым размером 2°,
5° и 8° (кривые 1, 2 и 3, соответственно)
Видно, что для источников с большей угловой дисперсией коэффициент
пространственной корреляции уменьшается с расстоянием в большей степени.
5. Предположим, что функция углового распределения мощности дается
функцией Лапласа в виде
σ ( x) =

1
exp −

2∆

2 x − x0 
,

∆

(1.3.76)
где угловое направление на центр источника равно x0.
Предположим также, что угол x0 является случайной величиной с плотностью вероятности p(x0). В частности, 3GPP канальная модель предполагает, что
случайная величина x0 имеет нормальное распределение. Чтобы вычислить коэффициент корреляции, необходимо сделать в (1.3.73) дополнительное усреднение по случайному параметру x0. В результате получим, что
ρ 12 ( u ) =
1
∫
1 + 2π 2 ∆ 2 u 2
p( x 0 ) exp( j 2π ux 0 )dx 0 .
(1.3.77)
Интеграл в этом выражении представляет собой характеристическую
функцию для плотности вероятности p(x0).
42
6. Если предполагается гауссова функция (2.3.114) углового распределения
2
2
= xeff
мощности, то из (1.3.73) будем иметь (обозначая θ eff
)
ρ 12 ( u ) =
1
2
π xeff
∫
 (x − x )2 
0
 exp( j 2π u x ) dx
exp −
.
2


xeff


(1.3.78)
Интеграл (1.3.78) вычисляется. В результате будем иметь, что
ρ 12 (u ) = exp( j 2π u x0 ) exp[− (π uxeff ) 2 ] .
(1.3.79)
Первый множитель определяет осциллирующий характер коэффициента
корреляции и соответствует полученному ранее выражению (1.3.71). Второй
множитель определяет спадающий характер коэффициента корреляции, обусловленный угловым рассеянием в канале. Принимая x0=0, получим, что радиус
корреляции по уровню 1/e будет составлять d cor = (λ π x eff ) , то есть он уменьшается с увеличением углового размера источника. Например, при xeff=10° получим, что d cor ≈ 1.8λ , то есть в ≈6.5 раз больше соответствующей величины
для модели Кларка.
Как уже отмечалось выше, в городских условиях пользователь принимает
сигналы БС, рассеянные окружающими его отражателями, со всех направлений, то есть для пользователя БС представляется протяженным источником с
угловым размером равным 2π. Базовая станция принимает сигналы пользователя в некоторой угловой области шириной 2θeff (по уровню 1/e). Таким образом,
радиус корреляции сигналов в антеннах пользователя меньше половины длины
волны, а радиус корреляции сигналов в антеннах БС обычно значительно
больше и может составлять несколько длин волн.
1.4 Методы оценки импульсной характеристики многолучевого канала
Многолучевой канал связи характеризуется импульсной характеристикой
(ИХ). Когда система связи имеет одну передающую и одну приемную антенну,
ИХ канала в дискретной форме может быть представлена набором комплексных коэффициентов h(0), h(1),..., h(m), где h(0) - коэффициент передачи прямого сигнала, а h(1),..., h(m) - коэффициенты передачи задержанных сигналов.
Если используются импульсы, длительность которых много больше максимальной задержки, канал является частотно-неселективным, и ИХ содержит
единственный канальный коэффициент h(0). Примером является система сотовой связи стандарта GSM. Канал является частотно-селективным в случае широкополосных систем связи, когда прямой и задержанные сигналы могут быть
приняты раздельно. Примером является CDMA-система связи с кодовым разде-
43
лением пользователей. В этом случае свойства ИХ канала описывается
комплексными коэффициентами h(0), h(1),..., h(m).
Для оценки ИХ многолучевого канала передаются обучающие сигналы,
например, в виде псевдошумовой последовательности, состоящей из L импульсов. Так в GSM-стандарте длина L=26. Эти сигналы должны быть известны
приемнику. Проблема оценивания ИХ разделяется на две отдельные задачи.
•оценивание значений ИХ h(0), h(1),..., h(m) при заданной длине m ИХ;
•оценивание длины ИХ.
1.4.1 Оценка импульсной характеристики
Рассмотрение начнем с самого простого случая частотно-неселективного
канала, когда ИХ содержит единственный канальный коэффициент h(0), а последовательность обучающих сигналов содержит всего один импульс s. Тогда
принятую смесь полезного сигнала s и шума z запишем в виде:
x = h(0) s + z ,
(1.4.1)
Будем считать дисперсию коэффициента h(0) равной единице (<|h(0)|2>=1),
а шум некоррелированным комплексным гауссовым процессом с нулевым
2
средним и дисперсией σ 02 . Тогда (1.4.1) следует, что ОСШ равно ρ = s σ 02 .
Плотность вероятности шума имеет вид:
f ( z) =
1
πσ
2
0
 z2
exp − 2  .
 σ 
0 

(1.4.2)
Принятый сигнал (1.4.1) также будет гауссовым процессом со средним
< x > = h(0) s и дисперсией σ 02 . Поэтому плотность вероятности сигнала x равна
f ( x) =
1
πσ
2
0
 x − h(0) s 2 
.
exp −
2


σ0


(1.4.3)
Задача заключается в оценивании канального коэффициента h(0), если
принятый сигнал имеет некоторое значение x. В этом случае функция f(x) в
(8.1.3) имеет смысл функции правдоподобия относительно параметра h(0).
Применим метод максимального правдоподобия, в соответствии с которым
искомый параметр выбирается таким образом, чтобы функция правдоподобия
принимала максимальное значение. Это имеет место, при условии минимума
2
величины x − h(0) s в (1.4.3). Имеем, что
44
x − h(0) s = ( x − h(0) s )( x ∗ − h∗ (0) s ∗ ) .
2
(1.4.4)
Найдем производную от выражения (1.4.4) по неизвестному параметру h(0)
2
и приравняем ее к нулю. В результате получим, что ( sx ∗ − h∗ (0) s ) = 0 . Отсюда

для оценки h (0) канального коэффициента h(0) будем иметь

xs∗
h (0) = 2 .
s
(1.4.5)
Оценка (1.4.5) является случайной величиной, так как зависит от принятого сигнала x. Подставляя (1.4.1) в (1.4.5), будем иметь

zs ∗
h (0) = h(0) + 2 .
s
(1.4.6)
Так
 как шум имеет нулевое среднее, оценка канала является несмещенной,
т.е. < h (0) > = h(0) . Для дисперсии оценки из (1.4.6) получим, что


< h (0)− < h (0) >
2
>=
σ
s
2
0
2
=
1
.
ρ
(1.4.7)
Отсюда следует, что дисперсия оценки обратно пропорциональна ОСШ, то
есть точность оценивания канала зависит только от ОСШ.
В ряде случаев системы связи способны работать при низком ОСШ. Поэтому точность оценивания канала может быть недостаточной, если передается
только один обучающий сигнал. Рассмотрим ситуацию, когда для оценки канала применяется последовательность известных сигналов длительностью L. В
этом случае приемник регистрирует последовательность сигналов
x(k ) = h(0) s (k ) + z (k ); k = (1 ÷ L) ,
(1.4.8)
где k – индекс дискретного времени, s(k) − k-я выборка обучающей последовательности, z(k) − k-я выборка собственного шума.
Уравнение (1.4.8) запишем в векторной форме. Введем вектор принятых
сигналов X = [ x(1), x(2),, x( L)]T , вектор сигналов обучающей последовательности S = [ s (1), s (2),, s ( L)]T и вектор шума Z = [ z (1), z (2),, z ( L)]T . Все эти
векторы являются L-размерными. Теперь (1.4.8) принимает вид:
X = h(0)S + Z .
45
(1.4.9)
Поскольку шумовые выборки статистически независимые их многомерная
плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей вероятности вида (1.4.2). Следовательно,
 1
−
f [ z (1), z (2),  , z ( L)] =
exp
2 L
 σ 2
(π σ 0 )

0
1
L
Учитывая, что
∑
2
2 
z
(
k
)
∑
.
k=1

L
(1.4.10)
2
z (k ) = Z = Z H Z , (1.4.10) перепишем в виде
k=1
f [ Z] =
 ZH Z 
−

exp
2 L
2 .

(π σ 0 )
 σ0 
1
(1.4.11)
Многомерную плотность вероятности для принятых сигналов найдем из
(1.4.9) и (1.4.11). В результате будем иметь, что
 ( X − h(0)S ) H ( X − h(0)S ) 
.
f [ X] =
exp −
2 L
2


(π σ 0 )
σ0


1
(1.4.12)
Снова рассмотрим выражение (1.4.12), как функцию правдоподобия относительно неизвестного параметра h(0). Тогда оценка максимального правдоподобия (МП) может быть представлена следующим уравнением

SH X SH X
h (0) = H =
2 .
S S
S
(1.4.13)
Переходя к компонентам векторов, выражение (1.4.13) запишем в виде
L

h (0) =
∑
s ∗ ( k ) x(k )
k= 1
L
∑
s (k )
2
.
(1.4.14)
k= 1
Чтобы определить точность оценивания канального коэффициента, подставим (1.4.9) в (1.4.13) и получим, что

SH Z
h (0) = h(0) +
2 .
S
46
(1.4.15)
Отсюда следует, что оценка (1.4.15) является несмещенной, как и в случае
одного обучающего сигнала. Однако дисперсия этой оценки становится меньше. Это можно показать следующим путем. Из (1.4.15) находим, что


< h (0)− < h (0) >
2
>=
S H < ZZ H > S
S
4
.
(1.4.16)
Поскольку выборки шума не коррелированны, корреляционная матрица
шума <ZZH>=σ02I, где I – единичная матрица. Теперь (1.4.16) преобразуется к
виду


< h (0)− < h (0) >
2
>=
σ
S
2
0
2
=
1
L
∑
ρ (k )
.
(1.4.17)
k=1
2
где ρ (k ) = s (k ) σ 02 - ОСШ для k-го обучающего сигнала.
Эта формула показывает, что дисперсия канальной оценки обратно пропорциональна ОСШ, просуммированному по всем сигналам обучающей последовательности. Если сигналы имеют одинаковую амплитуду, то дисперсия
оценки (1.4.17) меньше в L раз, чем дисперсия оценки (1.4.7).
Теперь рассмотрим общую задачу, когда ИХ содержит (m+1) канальных
коэффициентов h(0), h(1),..., h(m) и для оценки ИХ применяется последовательность сигналов длительностью L. В этом случае приемник регистрирует последовательность сигналов
x(k ) =
m
∑
h(n)s (k − n) + z (k ) .
(1.4.18)
n= 0
Плотность вероятности входного сигнала x(k) имеет вид:
f [ x(k )] =
1
πσ
2
0

 1
exp − 2 x(k ) −
 σ0

m
2

h ( n ) s ( k − n)  .

n= 0

∑
(1.4.19)
Поскольку имеют место задержки сигналов в канале, для оценки канальных коэффициентов необходимо увеличить длину последовательности принятых сигналов по сравнению с длиной L обучающей последовательности. В данном случае число задержанных сигналов равно m, и поэтому длину последовательности принятых сигналов выберем равной L+m.
Принятые сигналы x(1), x(2),..., x(L+m) являются статистически независимыми. Поэтому их совместная плотность вероятности равна произведению од47
номерных функций плотности вероятности (1.4.19) и, следовательно, можно записать, что

 1
f [ x(1),..., x( L + m)] =
exp
− 2

2 L+ m

(π σ 0 )
σ0

1
L+ m
∑
x(k ) −
k=1
2
m

h( n) s ( k − n)  .

n= 0

∑
(1.4.20)
В общем случае неизвестными величинами в (1.4.20) являются значения
ИХ h(0), h(1),..., h(m) и число задержанных лучей m. Однако сейчас мы предполагаем, что число задержанных лучей m задано. Мощность собственного шума
σ 02 обычно считается известной, поскольку может быть измерена. Однако для
общности рассмотрения будем предполагать, что мощность собственного шума
σ 02 также подлежит оценке, как параметр функции правдоподобия (1.4.20). Значения искомых параметров, которые обеспечивают максимальное значение
функции правдоподобия (1.4.20), называются максимально правдоподобными
оценками этих параметров.
Найдем логарифм от функции правдоподобия (1.4.20) в виде
(
ln f [ x(1),..., x ( L + m)] = − ( L + m ) ln π + ln σ
2
0
)− σ 2
1
L+ m
∑
0 k=1
x( k ) −
m
∑
2
h(n) s (k − n) .
n= 0
(1.4.21)
Максимум плотности вероятности будет иметь место при выполнении следующих условий:
∂ ln f [ x(1), x(2),..., x( L + m)]
*
∂ h (q )
∂ ln f [ x(1), x(2),..., x( L + m)]
∂σ
2
0
= 0,
(1.4.22)
= 0,
(q = 0,1,2,, m).
Первые (m+1) условий в (1.4.22) представляют собой (m+1) линейных
уравнений, из которых можно найти оценки канальных коэффициентов h(0),
h(1),..., h(m). Эти уравнения имеют вид
m
∑
n= 0
h( n)
L+ m
∑
k=1
*
s ( k − n) s ( k − q ) =
L+ m
∑
x(k ) s* (k − q) q = 0,1,2,, m . (1.4.23)
k=1
Для удобства дальнейшего анализа введем в рассмотрение матрицу M и
вектор R с элементами
48
M ( q, n) =
L+ m
∑
s ( k − n) s * ( k − q ) ,
R (q ) =
k=1
L+ m
∑
x(k ) s * ( k − q ) ,
(1.4.24)
k=1
и перепишем (1.4.23) в виде
m
∑
M ( q , n) h( n) = R ( q ) ,
(q=0,1,2,..., m).
(1.4.25)
n= 0
Второе условие в (1.4.22) дает нам оценку дисперсии шума в виде
σ
2
1 L+ m
=
∑ x( k ) −
L + m k=1
m
∑
2
h( n) s ( k − n) .
(1.4.26)
n= 0



Если канальные оценки h (0), h (1),  , h (m) , полученные путем решения системы уравнений (1.4.25), подставить в (1.4.26), то мы получим оценку диспер2
сии шума σ min
.
Если не делать предположения о гауссовости шума z(k), то уравнение
(1.4.26) можно рассмотреть как квадратичный функционал от переменных h(0),
h(1),..., h(m). Минимизируя этот функционал, мы придем к (1.4.25). Таким образом, в случае гауссова шума обе оценки (наименьшей квадратичной ошибки
и максимального правдоподобия) будут давать одинаковый результат.
Решение задачи представим более компактно в векторно-матричной форме. Введем векторы входных данных X = [ x(1), x(2),  , x( L + m)]T , шумов
Z = [ z (1), z (2),  , z ( L + m)]T , ИХ H = [h(0), h(1), h(2),, h(m)]T и обучающих
сигналов S0, S1, S2, …, Sm размерности (L+m), равные
 S 0 = [ s (1), s (2),  , s ( L),0,0,  ,0]T ,

 S1 = [0, s (1), s (2),  , s ( L − 1), s ( L),0,  ,0]T ,

 S 2 = [0,0, s (1),  , s ( L − 1), s ( L),0,  ,0]T ,



T
 S m − 1 = [0,  ,0, s (1),  , s ( L − 1), s ( L),0] ,
 S = [0,  ,0,0, s (1),  , s ( L − 1), s ( L)]T .
 m
(1.4.27)
Векторы S0, S1, S2, …, Sm назовем обучающими векторами. Они отличаются
друг от друга тем, что обучающая последовательность сдвигается на одну позицию при смене индекса обучающего вектора на единицу. Объединим обучающие векторы в матрицу S следующим образом:
49
S = (S 0 , S1, S 2 ,, S m ) .
(1.4.28)
Теперь уравнение (1.4.18) можно записать в векторно-матричной форме
X = SH + Z ,
(1.4.29)
а многомерная функция плотности вероятности (1.4.20) принимает вид
 ( X − SH ) H ( X − SH ) 
.
f [ X] =
exp −
2 L+ m
2


(π σ 0 )
σ0


1
(1.4.30)
Уравнения (1.4.25) и (1.4.26) также могут быть представлены в векторноматричной форме:
σ
2
=
MH = R ,
(1.4.31)
1
2
X − SH .
L+ m
(1.4.32)
Введенные ранее матрицу M и вектор R теперь запишем следующим образом: M=SHS, R=SHX.
Матрица M является эрмитовой и представляет собой матрицу Грамма, составленную из скалярных произведений обучающих векторов S0, S1, S2, …, Sm:
 S 0H S 0

 S1H S 0
M =  S 2H S 0

 ...
 H
 Sm S0
S 0H S1
S1H S1
S 2H S1
...
HS
Sm
1
S 0H S 2
S1H S 2
S 2H S 2
...
HS
Sm
2
...
...
...
...
...
S 0H S m 
S1H S m 

S 2H S m  .
... 
HS 
Sm
m
(1.4.33)
Элементами главной диагонали матрицы M являются квадраты модулей
обучающих векторов. Будем предполагать, что сигналы обучающей последовательности имеют одинаковые амплитуды |s|. Тогда диагональные элементы
M(n,n) равны между собой:
2
M (n, n) = S nH S n = s L,
(n = 0,1,  , m) .
(1.4.34)
Компоненты вектора R являются скалярными произведениями обучающих
векторов Sn и вектора X входных сигналов.
Решение уравнения (8.1.31) дает оценку ИХ в виде

H = M − 1R = (S H S) − 1S H X .
50
(1.4.35)
Подставим сюда вектор принятых сигналов (1.4.29) и найдем, что

H = H + (S H S) − 1S H Z .
(1.4.36)

Ясно, что оценка H является случайной величиной и, строго говоря, не
совпадает с точным значением ИХ H. Однако, среднее значение оценки равно


< H > = H , то есть оценка H является несмещенной.
Точность оценивания определяется матрицей ошибок, которая равна




Δ = < ( H − < H > )(H − < H > ) H > .
(1.4.37)
Используя (1.4.36), преобразуем это выражение к виду
Δ = (S H S) − 1S H < ZZ H > S(S H S) − 1 .
(1.4.38)
Учтем, что корреляционная матрица шума <ZZH>=σ02I. Тогда
Δ = σ 02 (S H S) − 1 = σ 02 M − 1 .
(1.4.39)
Допустим, что обучающие векторы являются ортогональными, а сигналы
имеют одинаковую амплитуду. Тогда матрица M имеет диагональный вид с
элементами (1.4.34). В этом случае матрица ошибок канального оценивания ∆
также является диагональной и имеет одинаковые элементы равные
∆ (n, n) =
σ
2
0
2
s L
.
(1.4.40)
В этом случае оценки отсчетов ИХ h(n) (n=0,1,2, ..., m) будут статистически независимы между собой, а точность их оценивания будет одинаковой.
В общем случае точность оценки (1.4.36) определяется следующими факторами:
•ОСШ для сигналов обучающей последовательности. Увеличение ОСШ увеличивает точность оценивания ИХ;
•длиной обучающей последовательности. Ее увеличение ведет к уменьшению
ошибки;
•степенью ортогональности обучающих векторов S0, S1, S2, …, Sm.
Требование ортогональности обучающих векторов имеет большое значение. Если обучающая последовательность выбрана неудачно (нет ортогональности обучающих векторов), то матрица М становится близкой к сингулярной
матрице, а некоторые ее собственные числа становятся близкими к нулю. Это
приводит к уменьшению точности оценивания, так как согласно (1.4.39) матрица ошибок определяется обратной матрицей M−1, собственные числа которой
51
возрастают. Чтобы обеспечить хорошую точность оценивания ИХ, необходимо
выбрать обучающую последовательность такой, чтобы базис, построенный на
обучающих векторах, был бы максимально близок к ортогональному. Для этого
детерминант матрицы M должен быть близок к максимальному значению, равному (det(M))max=Lm+1 при единичной амплитуде сигнала.
Рассмотрим два примера генерирования двоичной обучающей последовательности длительностью 26 символов, каждый из которых может принимать
только два значения 1 или -1. Первые 5 сигналов последовательности назначаются произвольно, а последующие сигналы определяются с использованием
следующих соотношений: s(k)=-s(k-5)s(k-3) (пример 1) и s(k)=-s(k-5)s(k-2) (пример 2). Таким образам, в каждом из примеров можно получить 32 (2 5) последовательности сигналов, которые могут рассматриваться в качестве обучающих.
Для каждой такой последовательности вычислим det(M) и найдем его отношение к максимально возможному значению равному Lm+1. В таблице 1.1 представлены результаты расчетов этого отношения для всех возможных последовательностей.
Номер
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Начальные комбинации сигналов
11111
1111-1
111-11
111-1-1
11-111
11-11-1
11-1-11
11-1-1-1
1-1111
1-111-1
1-11-11
1-11-1-1
1-1-111
1-1-11-1
1-1-1-11
1-1-1-1-1
-11111
-1111-1
-111-11
-111-1-1
-11-111
-11-11-1
-11-1-11
52
Таблица 1.1
Пример 1
Пример 2
0,9679
0,9733
0,9419
0,9671
0,9303
0,9130
0,9009
0,0000
0,9375
0,0000
0,8746
0,0000
0,9216
0,8032
0,9446
0,0000
0,9671
0,8432
0,8032
0,8543
0,0000
0,9465
0,9465
0,9432
0,8635
0,8032
0,9130
0,0000
0,8543
0,0000
0,0000
0,8635
0,0000
0,9303
0,9733
0,8175
0,9432
0,8532
0,8032
0,9446
0,0000
0,9441
0,0000
0,8746
0,0000
0,9679
24
25
26
27
28
29
30
31
32
-11-1-1-1
-1-1111
-1-111-1
-1-11-11
-1-11-1-1
-1-1-111
-1-1-11-1
-1-1-1-11
-1-1-1-1-1
0,8432
0,0000
0,8828
0,9196
0,8175
0,9441
0,0000
0,8532
0,0000
0,8828
0,9375
0,0000
0,0000
0,9419
0,9196
0,9009
0,9216
0,0000
Для определения «лучшей» обучающей последовательности (в смысле ортогональности обучающих векторов) в таблице 1.1 нужно найти значения, близкие к единице. Нулевые значения соответствуют обучающим последовательностям, которые не подходят для оценивания ИХ, так как они образуют линейно
зависимые системы обучающих векторов. Видно, что лучшими последовательностями являются последовательности №1, 9 и 18 (в примере 1) и № 1, 2 и 23,
(в примере 2), а худшими - № 11, 16, 17, 21, 22, 23, 25 (в примере 1) и № 4, 5, 6,
14, 15, 26, 27 (в примере 2).
Для выяснения смысла оценки (1.4.35) введем систему так называемых
взаимных векторов [10]. Эти векторы являются взаимными по отношению к
обучающим векторам. Матрица взаимных векторов имеет вид
~
S = S(S H S) − 1 .
(1.4.41)
Тогда оценка ИХ (1.4.35) будет равна
 ~
H = SH X.
(1.4.42)
Отсюда ясно, что процедура оценивания ИХ канала сводится к проектированию вектора X принятых сигналов на систему взаимных векторов. Каждая
проекция вектора X дает оценку одного канального коэффициента. На практике
взаимные векторы могут быть подготовлены заранее и храниться в памяти вычислителя. Поэтому для оценки ИХ канала требуется mL комплексных умножений и столько же сложений.
Взаимные векторы не являются ортогональными, так как матрица Грамма
~H ~
~
S S = (S H S ) − 1 не диагональная. В тоже время S H S = I . Это значит, что взаимный вектор с индексом k является ортогональным всем обучающим векторам,
кроме вектора с индексом k. Благодаря этому возможно независимое оценивание канальных коэффициентов.
Входящие в (1.4.29) векторы принятых сигналов X и шума Z принадлежат
пространству размерности L+m. В тоже время обучающие векторы сосредоточены в подпространстве размерности (m+1). Вектор шума Z может быть представлен в виде суммы ортогональных векторов Ζcol и Ζort. Вектор Ζcol находится
53
в (m+1)-мерном подпространстве обучающих векторов (1.4.33), а вектор Ζort
принадлежит ортогональному подпространству размерности (L-1). Так как собственный шум является однородным, то его средняя мощность в подпространстве обучающих векторов равна (m + 1)σ 02 и в оставшемся подпространстве - ( L − 1)σ 02 . Следовательно, минимальное значение выражения
(1.4.32) определяется мощностью шума в ортогональном подпространстве и
равно
σ
2
min
= ( L + m ) − 1 Z ort .
2
(1.4.43)
Среднее значение мощности этого шума равно
<σ
2
min
> = ( L + m ) − 1 < Z ort
2
>=
L− 1 2
σ 0.
L+ m
(1.4.44)
Шум из ортогонального подпространства не влияет на точность оценки
ИХ, которая определяется только шумовой компонентой Ζcol.
1.4.2 Оценка длины импульсной характеристики
Выше предполагалось, что число задержанных в канале лучей m является
известным. Если это не так или же m выбрано неудачно, то при оценивании ИХ
могут возникнуть дополнительные ошибки. Например, если взять m больше,
чем истинная длина ИХ, то входной вектор X будет проектироваться на подпространство большей размерности. Оценка ИХ будет содержать лишние канальные коэффициенты, которые будут использоваться приемником при детектировании принятых сигналов, что будет вести к увеличению вероятности
ошибки передачи информации. Допустим теперь, что длина m выбрана на один
бит меньше истинной длины ИХ. Это означает, что последний компонент в H
не будет оцениваться. В этом случае детектор приемника не будет учитывать
последний из запаздывающих лучей, что также ведет к росту вероятности
ошибки. Таким образом, задача оценивания длины ИХ m является важной с
практической точки зрения.
Анализируя поведение функции правдоподобия (1.4.30) или квадратичного
функционала (1.4.32) в зависимости от числа m задержанных сигналов, нетрудно видеть, что оценка длины ИХ не может быть получена методом максимального правдоподобия. При увеличении m значение минимума (1.4.32) будет
уменьшаться, а функция правдоподобия (1.4.30) возрастать. Отсутствие экстремума обусловлено влиянием шума. Это можно понять, если предположить, что
принятая последовательность X содержит только шум Z. Реализация шумового
процесса Z может быть представлена в виде разложения с использованием
произвольного базиса. Если в качестве базиса взять обучающие векторы
54
(1.4.27) и выполнить оценивание ИХ, то шумовая реализация породит ненулевые оценки ИХ при любом сколь угодно большом значении m, хотя в действительности сигнала нет. Поэтому при увеличении m плотность вероятности монотонно возрастает и не имеет максимума.
Чтобы оценить длину m необходимо привлечь дополнительные априорные
знания [11]. В частности, допустим, что нам известна статистика собственного
шума, который является комплексным гауссовым некоррелированным во времени процессом с нулевым средним и дисперсией σ 02 . Выше было установлено,
что минимальная величина в (1.4.32) соответствует максимуму функции прав2
доподобия и равна σ min
. Уравнение (1.4.44) определяет среднее значение случайной величины σ
2
min .
Найдем дисперсию σ
имеем, что
<σ
min
4
>=
равную Dσ = < σ
L+ m L+ m
1
( L + m)
2
min
2
∑ ∑
k= 1 l= 1
4
min
> − (< σ
2
min
> ) 2 . Из (1.4.43)
*
< zort (k ) zort
( k ) zort (l ) z *ort (l ) > .
(1.4.45)
Для гауссовых процессов момент четвертого порядка вычисляется следующим образом [12]
2
2
*
< zort (k ) zort
(k ) zort (l ) z *ort (l ) > = < zort (k ) > < zort (l ) > +
*
+ < zort (k ) zort
(l ) > < zort (l ) z *ort (k ) > .
(1.4.46)
Подставляя (1.4.46) в (1.4.45) и учитывая статистические свойства шума,
получим, что
<σ
4
min
>=
1
( L + m)
2
{ [ L − 1)] 2σ 04 + [ L − 1)] σ 04 } .
(1.4.47)
Тогда дисперсия Dσ равна
Dσ =
L− 1
( L + m)
4
σ
.
0
2
(1.4.48)
Используя (1.4.44) и (1.4.48), определим статистический критерий для
2
оценки длины ИХ m. Так как σ min
уменьшается с ростом m, то можно задать
пороговое значение равным
ρt =< σ
2
min
55
> + Dσ .
(1.4.49)
Это означает, что если для некоторого m выполняется условие σ
2
min
< ρ t,
2
то остаток σ min
считается обусловленным только шумом.
Для примера рассмотрим канал с ИХ вида: h(0)=1.65; h(1)=0.2; h(2)=1.2;
2
h(3)=0.3; h(4)=h(5)=...=0. На рис. 1.22 изображена функция σ min
(m) для 10-ти
реализаций шума с дисперсией σ 02 = 0.25 . Порог ρt вычислен по формуле
(1.4.49). Заметим, что величина порога зависит от m. Видно, что при m=2
2
несколько реализаций σ min
(m) ниже порога, а при m=3 все реализации ниже
порога. Для различных реализаций шума канальный оценщик выберет либо
m=2, либо m=3 (истинное значение равно 3). Ошибка в оценивании m обусловлена тем, что последний компонент ИХ (h(3)=0.3) меньше, чем среднеквадратический уровень шума σ 0 = 0.5 .
2
Рис. 1.22. Функция σ min
(m) для 10 реализаций шума при σ 0 = 0.5
56
ГЛАВА 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ В РАЗЛИЧНЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КАНАЛАХ
2.1 Оптимальный прием сигналов на фоне гауссова шума
2.1.1 Математическое представление узкополосных сигналов и шума
Цифровой модулятор преобразует битовую последовательность в последовательность узкополосных электрических сигналов − импульсов. Ширина спектра этих сигналов не превышает обычно нескольких десятков мегагерц. Если
модулятор преобразует в сигнал последовательность из b бит, то он должен
иметь возможность вырабатывать M=2b различных сигналов, так как число возможных двоичных последовательностей, которые можно получить из b бит,
равно 2b. Такая модуляция называется модуляция M-го порядка. Допустим, что
двоичную последовательность необходимо передавать со скоростью R бит/сек.
Тогда каждая b-битовая последовательность входит в модулятор каждые b/R секунд, то есть длительность импульсов должна составлять b/R секунд.
Для узкополосных сигналов ширина полосы W определяется длительностью Ts импульса, являясь обратно пропорциональной ей, то есть W ≈ 1 / Ts . При
этом база сигнала близка к единице ( WTs ≈ 1 ), а ширина полосы мала по сравнению с несущей частотой fc ( W < < f c ). В этом случае возможно использование
комплексной огибающей.
Как мы увидим ниже, в системах связи с кодовым разделением пользователей каждый символ модулируется псевдослучайной кодовой последовательностью. При этом ширина полосы W определяется длительностью TC элемента
последовательности и является обратно пропорциональной ей ( W ≈ 1 / Tc ).
Обычно выполняется условие (Tc < < Ts ) . Поэтому за счет модуляции импульса
обеспечивается значительное расширение спектра, то есть ширина полосы
W > > 1 / Ts . Такие сигналы называются широкополосными, так как они имеют
большую базу ( WTs > > 1 ). Однако, несмотря на расширенный спектр, условие
малости ширины полосы по сравнению с несущей частотой ( W < < f c ) опять
выполняется. В этом случае также возможно использование комплексной огибающей.
Рассмотрим три формы математического представления узкополосных сигналов [4], [5]. Предположим, что спектр действительного сигнала s(t) сконцентрирован в узкой полосе частот вблизи несущей частоты fc, как показано на рис.
2.1.
57
Рис. 2.1. Спектр вещественного сигнала
Первая форма имеет вид
s (t ) = I (t ) cos 2π f c t − Q(t ) sin 2π f c t .
(2.1.1)
Низкочастотные сигнальные компоненты I(t) и Q(t) можно рассматривать
как сигналы, модулирующие по амплитуде несущие колебания cos2πfct и sin2π
fct. Поскольку эти колебания находятся в квадратуре (сдвинуты по фазе на 900),
компоненты I(t) и Q(t) называют квадратурными компонентами узкополосного
сигнала s(t).
Другое эквивалентное (2.1.1) представление для действительного сигнала
s(t) можно записать как
s (t ) = Re{ [ I (t ) + jQ (t )] exp( j 2π f c t )} = Re[ sl (t ) exp( j 2π f c t )] ,
(2.1.2)
где Re(.) – вещественная часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал
sl(t) обычно называют комплексной огибающей вещественного сигнала s(t).
Наконец, третья форма представления узкополосного сигнала получается,
если низкочастотный сигнал записать в виде
sl (t ) = a (t ) exp( jθ (t )) ,
(2.1.3)
где a(t ) = I 2 (t ) + Q 2 (t ) , θ (t ) = arctg [Q(t ) I (t )] .
Тогда можно получить, что
s (t ) = Re[ a (t ) exp{ j[2π f c t + θ (t )]}] = a(t ) cos[ 2π f c t + θ (t )] .
(2.1.4)
Сигнал a(t) называется вещественной огибающей сигнала s(t), а θ(t) – фазой сигнала s(t).
Таким образом, выражения (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.4) дают эквивалентные
представления узкополосного сигнала.
Белый шум является случайным процессом, который имеет постоянную
спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот. Этот вид шума не
может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты вследствие своей широкополосности.
58
В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных сигналов на фоне
шума, математически удобно представить аддитивный шум как белый и выразить его через квадратурные компоненты. Это можно сделать, предполагая, что
сигнал и шум на приемной стороне прошли через идеальный полосовой
фильтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала. Такой фильтр исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания
фильтра. Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр, называют узкополосным белым шумом, и он имеет спектральную плотность, показанную на рис. 2.2.
Рис. 2.2 Спектральная плотность узкополосного белого шума
Узкополосный белый шум можно представить в любой из форм, выражаемых формулами (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.4). Спектральная плотность мощности и
автокорреляционная функция эквивалентного белого низкочастотного шума
равны соответственно
N
Φ (f)=  0
 0
(
(f
≤ 0,5W )
,
f > 0,5W )
φ (τ ) = N 0
sin π Wτ
.
πτ
(2.1.5)
Когда полоса частот неограниченно возрастает (W→∞), то автокорреляционная функция стремится к дельта-функции φ (τ ) = N 0 δ (τ ) .
В современных системах мобильной радиосвязи и беспроводного Интернета используются сигналы различной размерности. Это одномерные (действительные) сигналы двоичной фазовой модуляции (2-ФМ), двумерные (комплексные) сигналы квадратурной фазовой модуляции (4-ФМ), 16- и 64-точечной
квадратурной амплитудной модуляции (16-КАМ и 64-КАМ). В дальнейшем
рассмотрим только эти модуляции.
2-ФМ сигналы. При двоичной фазовой модуляции каждый сигнал переносит один бит данных. Такие сигналы являются действительными (одномерными) и имеют вид
d1 (t ) = g (t ) cos 2π f ct ,
d 2 (t ) = − g (t ) cos 2π f ct ,
(2.1.6)
где g(t) – узкополосный импульс произвольной формы, который отличен от
нуля на интервале 0≤t≤Ts и равен нулю в остальной области.
59
Диаграмма отображения бит в символы для 2-ФМ сигналов показана на
рис. 2.3. Как мы увидим ниже, важную роль при оценке переданных сигналов
играет минимальное евклидовое расстояние dmin между сигналами на выходе
модулятора. Нетрудно видеть, что для 2-ФМ сигналов dmin=2.
Рис. 2.3 Диаграмма отображения I- и Q-квадратур для 2-ФМ, 4-ФМ и 16-КАМ сигналов
4-ФМ сигналы. В соответствии с (2.1.2) двумерные сигналы можно записать в виде
 ( I + jQ )

d (t ) = Re 
g (t ) exp(2π f ct ) ,
k


(2.1.7)
где k - нормирующий множитель, который обеспечивает мощность равную единице.
При использовании квадратурной фазовой модуляции биты кодируются
блоками по два бита в каждом. В этом случае сигналы являются комплексными
(двумерными), причем реальная часть представляет первый бит блока, а мнимая - второй бит. В (2.1.7) реальная и мнимая квадратуры принимают значения
±1, а нормирующий множитель k = 2 .
На рис. 2.3 показана диаграмма отображения I- и Q-квадратур для 4-ФМ
сигналов. Видно, что минимальное евклидово расстояние d min = 2 .
16-КАМ сигналы. Для этой двумерной модуляции битовый поток делится
на блоки по 4 бита в каждом. Первые два бита представляются синфазной (реальной) компонентой сигнала, а вторые два – квадратурной (мнимой) компонентой. На рис. 2.3 показана диаграмма отображения бит в I- и Q-квадратуры
для 16-КАМ сигналов. Видно, что эти сигналы имеют разную амплитуду. Результат преобразования 4-х бит в комплексное число удобно записать так, чтобы средняя мощность была бы единичной. В результате получим, что 16-КАМ
сигналы можно представить в виде (2.1.7), в котором I- и Q-квадратуры прини-
60
мают значения ±1 и ±3, а нормирующий множитель k = 10 . Минимальное евклидовое расстояние dmin для 16-КАМ сигналов равно d min = 2 10 .
64-КАМ сигналы. При использовании этой модуляции битовый поток делится на блоки по 6 бит в каждом. Первые три бита представляются синфазной
(I) компонентой сигнала, а вторые три бита – квадратурной (Q) компонентой.
На рис. 2.4 показана диаграмма отображения I- и Q-квадратур для 64-КАМ сигналов, которые имеют разную амплитуду. Преобразование 6-ти бит в комплексные сигналы запишем так, чтобы их средняя мощность была бы единичной. Тогда получим, что 64-КАМ сигналы также имеют вид (2.1.7), где реальная (I) и
мнимая (Q) квадратуры принимают значения ±1, ±3, ±5 и ±7, а нормирующий
множитель k = 42 . Минимальное евклидовое расстояние dmin для 64-КАМ сигналов уменьшается до величины d min = 2 42 .
Рис. 2.4 Диаграмма отображения I- и Q-квадратур для 64-КАМ сигналов
Отметим одну особенность рассмотренных модуляций. Соседние (наиболее близкие) сигналы соответствуют двоичным блокам, различающимся только
в одном бите, как это видно из рис. 2.3 и рис. 2.4. Такое отображение называется кодом Грея. Выбор кода имеет значение при демодуляции сигналов.
61
2.1.2 Корреляционный демодулятор
Рассмотрим задачу оценки переданной информации на фоне гауссова
шума приемного устройства. При этом будем интересоваться вероятностью
ошибки некодированных данных. Входные биты поступают в модулятор, где
они отображаются в символы. Пусть на некотором интервале времени (0–Ts)
передается один из M сигналов {dm(t)}, где m=1,2,..,M. Каждый из таких сигналов называется гипотезой.
Канал связи искажает сигнал путем добавления гауссова шума z (t ) с нулевым средним и с дисперсией σ 02 . Тогда принимаемый сигнал равен
x(t ) = d m (t ) + z (t ) . На основе наблюдения x(t ) необходимо сформировать приемник, оптимальный в смысле минимизации средней вероятности ошибки.
Часто разделяют приемник на две части: демодулятор и детектор. Демодулятор превращает принимаемую смесь сигнала и шума в N-мерный вектор
X = ( x1 , x2 ,..., x N )T , где N-размерность переданного сигнала, (.)T – индекс транспонирования. Например, как видно из рис. 2.3. и рис. 2.4, сигналы амплитудной
модуляции являются одномерными (N=1), а сигналы фазовой и квадратурной
амплитудной модуляции – двумерными (N=2). Обычно демодулятор реализуют
на основе либо корреляторов, либо согласованных фильтров. Детектор определяет (решает), основываясь на векторе X, какой из M возможных сигналов (гипотез) был передан.
В корреляционном демодуляторе входной процесс разлагается по N действительным базисным функциям f n (t ) , проходя через N параллельных корреляторов, которые вычисляют его проекции на функции f n (t ) , как это показано
на рис. 2.5. Функции f n (t ) образуют ортонормированный базис, то есть удовлетворяют условию
Ts
∫
0
 1,
f k (t ) f n (t )dt = 
 0,
( k = n)
,
( k ≠ n)
Рис. 2.5. Корреляционный демодулятор
62
(2.1.8)
При использовании действительных (одномерных) сигналов двоичной фазовой модуляции (2-ФМ) демодулятор состоит из одного коррелятора. Данные
сигналы на интервале 0≤t≤Ts имеют вид (2.1.6). Пусть Ε
g
=
Ts
∫g
2
(t )dt – энергия
0
импульса g(t). Тогда (2.1.6) перепишем как d1 (t ) = d1 f1 (t ) , d 2 (t ) = d 2 f1 (t ) , где
d1( 2) = ± 0.5Ε g , f1 (t ) = 2 Ε g g (t ) cos 2π f c t – базисная функция, которая определяет узкополосный сигнал с единичной энергией. Без ограничения общности
будем считать, что сигнал имеет форму прямоугольного импульса. Тогда базисная функция f1 (t ) = 2 Ts cos 2π f c t .
В случае двумерных сигналов (например, сигналов квадратурной фазовой
модуляции (4-ФМ)), базисными являются две функции: f1 (t ) = 2 Ts cos 2π f c t и
f 2 (t ) = 2 Ts sin 2π f c t . Соответственно в состав демодулятора будут входить
два коррелятора.
Искомые проекции на базисные функции равны
Ts
Ts
∫ x(t ) f k (t )dt = ∫ [d m (t ) +
0
z (t )] f k (t )dt ,
(2.1.9)
0
или
xk = d mk + z k ,
(2.1.10)
где
d mk =
Ts
∫ d m (t ) f k (t )dt ,
zk =
0
Ts
∫ z (t ) f k (t )dt ,
(k = 1,2,..., N ) .
(2.1.11)
0
Проекции zk шума являются гауссовыми некоррелированными величинами. Их средние значения равны нулю, так как <z(t)>=0 (<⋅⋅⋅> - знак статистического усреднения), и, следовательно,
< zk > =
Ts
∫<
z (t ) > f k (t )dt = 0 ,
0
а для функций корреляции будем иметь, что
63
(2.1.12)
< zk zm > =
=
Ts Ts
∫ ∫<
00
Ts Ts
z (t ) z (τ ) > f k (t ) f m (τ )dtdτ =
(2.1.13)
∫ ∫<
z 2 (t ) > δ (t − τ ) f k (t ) f m (τ )dtdτ = 0.5 N 0δ km ,
00
где 0.5N0 - спектральная плотность мощности шума в области положительных и
отрицательных частот.
Следовательно, проекции шума имеют дисперсии σ z2 = 0.5 N 0 и являются
случайными некоррелированными величинами и подчиняются гауссовой плотности вероятности вида
p ( zk ) =
1
2π σ
z

z2 
exp − k 2  .
 2σ 
z 

(2.1.14)
Из (2.1.10) также видно, что выходы xk корреляторов, определяемые m-ым
переданным сигналом, являются некоррелированными гауссовыми величинами
со средними значениями < xk > = d mk и с одинаковыми дисперсиями равными
= σ z2 = 0.5 N 0 .
Из некоррелированности гауссовых величин xk следует их статистическая
независимость. Поэтому выходы корреляторов, определяемые m-ым переданным сигналом, также статистически независимы. Отсюда совместную условную плотность вероятности можно представить в виде произведения отдельных
условных плотностей вероятности, то есть
σ
2
x
p( X / d m ) = p( x1 , x2 ,..., x N / d m1d m 2 ,..., d mN ) =
где учитывая, что σ
2
z
p ( xk / d mk ) =
N
∏
k=1
p( xk / d mk ) , (2.1.15)
= 0.5 N 0 , имеем
 ( xk − d mk ) 2 
1
exp  −
,
N0
π N0


m=1,2, …, M.
(2.1.16)
Теперь для совместной условной плотности вероятности запишем, что
p( X / d m ) =
1
(π N 0 ) N
2
64

exp  −

( xk − d mk ) 2 
.
∑
N0

k=1
N
(2.1.17)
2.1.3 Согласованный фильтр как демодулятор
Вместо набора из N параллельных корреляторов можно использовать набор из N параллельных согласованных фильтров. При этом импульсная характеристика hk (t ) k-го согласованного фильтра должна быть согласована с соответствующей базисной функцией f k (t ) , то есть
 f k (Ts − t ),
hk (t ) = 
 0,
0 ≤ t ≤ Ts
t < 0,
t > Ts
.
(2.1.18)
Выходные сигналы этих фильтров определяются интегралом Дюамеля и
равны
xk (t ) =
t
t
∫ x(τ )hk (t − τ )dτ = ∫ x(τ ) f k (Ts − t + τ )dτ .
0
(2.1.19)
0
Возьмем отсчеты в момент времени t=Ts. Получим, что
xk (Ts ) =
Ts
∫ x(τ ) f k (τ )dτ .
(2.1.20)
0
Сравнивая (2.1.20) с (2.1.9) видим, что выходные сигналы фильтров в момент t=Ts совпадают с выходными сигналами x k корреляторов. Демодулятор на
основе согласованных фильтров (СФ), показан на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Демодулятор на основе согласованных фильтров
2.1.4 Основные критерии, используемые для принятия решений
Синтезируем детектор, который выносит решение о переданном сигнале
на каждом сигнальном интервале длительностью Ts на основе N-мерного вектора X, сформированного демодулятором. Рассмотрим два основных критерия,
используемых для принятия решений.
65
1. Критерий максимума апостериорной вероятности основан на вычислении апостериорных вероятностей p (d m X) для всех m=1,2,…,M и на выборе
того сигнала, для которого апостериорная вероятность максимальна. Алгоритм

d m = arg max { p(d m X)}
оценки переданного сигнала можно записать в виде:
.
d
m
T
Отметим, что d m = (d m1 , d m 2 ,..., d mN ) является N-мерным вектором.
Вычисление апостериорных вероятностей p (d m X) , как правило, сопряжено со значительными трудностями. Используя правило Байеса, получим, что
p (d m Z) =
p( X d m ) P (d m )
,
p ( X)
(2.1.21)
где знаменатель
p ( X) =
M
∏
m= 1
p( X d m ) p (d m ) .
(2.1.22)
Отметим, что знаменатель p (X) в (2.1.21) не зависит от того, какой сигнал
был передан и, поэтому может быть опущен. Таким образом, вычисление апостериорных вероятностей p (d m X) можно заменить вычислением условных
плотностей вероятностей p ( X d m ) . При этом необходимо знать априорные вероятности p (d m ) .
2. Критерий максимального правдоподобия используется тогда, когда
априорная вероятность неизвестна или любая из m гипотез является равновероятной, то есть p (d m ) = 1 M . Следовательно, из (2.1.21) легко видеть, что правило решения заключается в выборе такого сигнала, который соответствует максимальной условной плотности вероятности p ( X d m ) , то есть алгоритм оценки

d m = arg max { p( X d m )}
переданного сигнала имеет вид:
.
d
m
Условная плотность вероятности p ( X d m ) называется правдоподобием
d m . Отсюда и название критерия максимального правдоподобия.
В случае канала с гауссовым шумом функция p ( X d m ) определяется выражением (2.1.17). Удобно использовать натуральный логарифм от p ( X d m ) ,
который является монотонной функцией. В результате будем иметь, что
ln p( X d m ) = −
1
1
N ln(π N 0 ) −
2
N0
N
∑
( xk − d mk ) 2 .
(2.1.23)
k= 1
Максимизация p ( X d m ) по d m эквивалентна нахождению сигнала, для которого евклидово расстояние
66
D( X, d m ) =
N
∑
( xk − d mk ) 2 = X − d m
2
(2.1.24)
k= 1
является минимальным. То есть алгоритм оценки переданного сигнала имеет

d m = arg min {D( X, d m )}
вид:
. Величины D( X, d m ) называются дистанционныd
m
ми метриками.
Таким образом, в канале с гауссовым шумом максимально правдоподобное
правило решения сводится к нахождению сигнала d m , который наиболее близок к принимаемому вектору X (детектирование по минимуму расстояния). На
рис. 2.7 показан вектор X на выходе демодулятора, четыре возможных вектора
(гипотезы) d1 , d 2 , d 3,d 4 при использовании квадратурной фазовой модуляции и
дистанционные метрики D( X, d m ) . При этом для краткости введено обозначение D( X, d m ) = Dm . Видно, что наиболее близким к принятому вектору X является вектор d1 , который и будет принят в качестве переданного.
Рис. 2.7. Детектирование по минимуму расстояния
Рассмотрим другую интерпретацию максимально правдоподобного алгоритма решения. Преобразуем (2.1.24). В результате получим, что
D ( X, d m ) =
N
∑
k=1
N
xk2 − 2 ∑ xk d mk +
k=1
N
∑
k=1
2
2
2
d mk
= X − 2 XT d m + d m .
(2.1.25)
Первое слагаемое является общим для всех дистанционных метрик и его
можно отбросить. В результате получим модифицированную метрику вида
2
D ′ ( X, d m ) = − 2 X T d m + d m .
.
(2.1.26)
Очевидно, что выбор сигнала d m , минимизирующего модифицированную
метрику, эквивалентен выбору сигнала, который максимизирует метрику вида
67
2
C ( X, d m ) = 2XT d m − d m ,
m=1,2, …, M.
(2.1.27)
Скалярное произведение XT d m представляет собой проекцию принятого
вектора сигнала X на сигнальные векторы d m всех возможных гипотез. Величина каждой такой проекции является мерой корреляции между принятым
вектором X и вектором m-го сигнала d m . Поэтому метрики (2.1.27) называются корреляционными. Для примера, показанного на рис. 2.7, вектор X имеет
максимальную проекцию на вектор d1 , который и будет принят в качестве
переданной гипотезы.
2
Слагаемое d m = E m можно рассматривать как пороговое слагаемое. Если
все сигналы имеют одинаковую энергию, то это слагаемое можно опустить при
вычислении метрик (2.1.25), (2.1.26) или (2.1.27).
Корреляционные метрики (2.1.27) можно записать в виде
N
N Ts
k=1
k=1 0
C ( X, d m ) = 2 ∑ xk d mk − E m = 2 ∑
∫ x(t ) f k (t )dt ⋅ d mk −
Ts
N
T
0
k=1
0
Em =
(2.1.28)
= 2 ∫ x(t ) ∑ d mk f k (t )dt − Em = 2 ∫ x(t ) d m (t )dt − E m .
Следовательно, эти метрики можно найти с помощью корреляционного демодулятора, который определяет корреляцию принимаемого сигнала с каждой
из M возможных гипотез и имеет на выходе каждого коррелятора вычитаемый
порог в случае сигналов с неодинаковой энергией. Данные метрики можно также получить, пропуская принимаемый сигнал через блок из M фильтров, согласованных с возможными гипотезами. Поэтому оптимальный приемник (демодулятор и детектор) можно реализовать по схеме, показанной на рис. 2.8.
Рис. 2.8 Схема оптимального приемника
68
Покажем, что критерий максимального правдоподобия обеспечивает минимум средней вероятности ошибки, если все передаваемые сигналы равновероятны. Обозначим Rm - подпространство в N-мерном пространстве, в котором
принимается решение о том, что передан сигнал d m (t ) .
Вероятность ошибочного решения при передаче d m (t ) равна
p( error d m ) =
∫
~
Rm
p( X d m )dR
,
(2.1.29)
~
где Rm - подпространство, дополнительное к подпространству Rm.
Среднюю вероятность ошибки при передаче всех возможных сигналов
можно найти в результате следующих преобразований:
p (error ) =
M
M
1
1
(
)
p
error
d
=
∑ M
∑ M
m
m= 1
m= 1
1 
= ∑
1−
M

m= 1

M
∫
~
Rm
p ( X d m )dR =

∫ p(X d m )dR .
Rm

(2.1.30)
Отсюда следует, что средняя вероятность ошибки минимальна, если выбирается сигнал d m , для которого p ( X d m ) > p ( X d k ) при всех m≠k.
2.2 Вероятность ошибки в гауссовом шумовом канале
Будем анализировать вероятность ошибки передачи информации для одномерных (действительных) сигналов двоичной фазовой модуляции (2-ФМ), двумерных (комплексных) сигналов квадратурной фазовой модуляции (4-ФМ) и
16- и 64-ричной квадратурной амплитудной модуляции (16-КАМ и 64-КАМ).
2.2.1 Сигналы фазовой модуляции
2-ФМ сигналы. При двоичной фазовой модуляции каждый сигнал переносит один бит данных. Такие сигналы являются действительными (одномерными) и могут быть записаны в виде (1.2.6).
Оптимальный приемник (рис. 2.8) состоит из двух корреляторов, которые
определяют корреляцию принимаемого сигнала с каждой из 2 возможных гипотез. На выходе приемника будет сформирован импульс с максимумом в момент
времени t=Ts. Важно отметить, что выходное ОСШ не зависит от формы импульса, а зависит только от его энергии Es и равно 2 E s N 0 .
Предположим, что сигналы d1 и d2 могут передаваться с одинаковой вероятностью и принимаются на фоне гауссова шума z приемника с нулевым сред69
ним и дисперсией 0.5N0. Учтем, что для сигналов двоичной фазовой модуляции
энергия Es импульса совпадает с энергией Eb бита. Тогда выходной сигнал можно записать как
x = d1( 2) + z = ± Eb + z .
(2.2.1)
Условные плотности вероятности для сигнала x имеют вид
(
)
f x d1( 2) =
 ( x  Eb ) 2 
1
,
exp −


N0
π N0


(2.2.2)
Отметим, что условная вероятность f ( x d1( 2) ) называется правдоподобием d1(2) при принятом сигнале x. Функции f ( x d1) ) и f ( x d 2 ) даны на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Условные плотности вероятности f ( x d1) ) и f ( x d 2 )
Найдем логарифм отношения Λ (x) правдоподобий. В результате с помощью (2.2.2) получим, что
ln Λ ( x) = ln
f ( x d1 ) 4 x Eb
=
.
f ( x d2 )
N0
(2.2.3)
Таким образом, правило решения в соответствии с критерием максимума
отношения правдоподобий заключается в сравнении выходного сигнала x оптимального приемника с нулевым порогом. Если x>0, то решение принимается в
пользу сигнала d1(t), а если x<0 – в пользу сигнала d2(t).
Если передан сигнал d1(t), то вероятность ошибки BER1 определяется вероятностью того, что x<0, то есть
70
BER1 =
0
∫
f ( x d1 )dx =
−∞
1
π N0
 ( x − Eb ) 2 
 dx = Q
exp −



N0



0
∫
−∞
2 Eb
N0

 , (2.2.4)


где Q(x) - функция Маркума равная [4]
1
2π
Q( x) =
∞
∫ exp(− 0.5 t
2
)dt .
(2.2.5)
x
Аналогично, если передан сигнал d2(t), то вероятность ошибки BER2 определяется вероятностью того, что x>0, то есть
BER2 =
∞
∫
0

f ( x d 2 )dx = Q

2 Eb
N0

.


(2.2.6)
Поскольку сигналы d1 и d2 равновероятны, то средняя вероятность битовой
ошибки равна
BER =

1
( BER1 + BER2 ) = Q
2

2 Eb
N0

 = Q( 2 ρ b ) ,


(2.2.7)
где ρ b = Eb / N 0 – ОСШ на бит, часто используемое в качестве аргумента. Для
2-ФМ сигналов ОСШ на бит совпадает ОСШ ρ 0 = E s N 0 на символ.
В случае больших ОСШ (ρ0>>1) функция
Q( x) ≈
2
1
e − 0.5 x
x 2π
(2.2.8)
1
e− ρ 0 .
2 πρ0
(2.2.9)
и выражение (2.2.7) принимает вид
BER ≈
Если ОСШ ρ0 становится малым (ρ0→0), то вероятность битовой ошибки
BER→0.5. Следовательно, вероятность битовой ошибки никогда не может превышать уровня 0.5 (BER≤0.5). Этот результат можно пояснить следующим образом. Пусть на выходе демодулятора имеется некоторая последовательность
импульсов -1 или +1, имеющих одинаковую вероятность появления. Предположим, что простейший детектор всегда принимает решение о том, что были
переданы импульсы с амплитудой +1. Ясно, что половина импульсов будет детектирована правильно.
71
Отметим, что вместо (2.2.7) можно использовать эквивалентное выражение
вида (см. например, [13])
BER =
[
]
1
1 − Φ ( 2ρ 0 ) ,
2
(2.2.10)
где Φ(x) - интеграл вероятности
Φ ( x) =
x
2
exp(− 0.5 t 2 )dt .
∫
π 0
(2.2.11)
Вероятность ошибки можно выразить также через минимальное евклидовое расстояние dmin между сигналами. Учитывая, что dmin=2, выражение (2.2.7)
представим в виде
2
BER = Q Eb d min
2N 0  .


(2.2.12)
Отметим, что для 2-ФМ сигналов вероятность битовой ошибки совпадает с
вероятностью символьной ошибки.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ ρ0 в дБ для 2-ФМ
сигналов представлена на рис. 2.10 (кривая 1). Видно, что ОСШ, необходимое
для обеспечения заданной вероятности ошибки (например, 0.001), должно быть
равно 6.9 дБ.
Рис. 2.10 Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в канале с гауссовым шумом
для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов (кривые 1,2,3,4, соответственно)
72
4-ФМ сигналы. Учтем, что энергия бита Eb=P0Ts/kb, где P0 – мощность
передатчика, kb – число бит в символе (битовая загрузка символа), а спектральная плотность мощности шума N 0 = σ z2 W , где W – ширина частотной полосы.
Тогда получим, что ОСШ на бит равно
ρb =
Eb P0Ts 1
P0 TsW
W
=
=
=
ρ
0
,
N0
kb σ z2 W σ z2 kb
Rb
(2.2.13)
где Rb = 1 / Tb – скорость передачи бит, Tb = Ts / kb – длительность бита. Так как
ширина полосы W обратно пропорциональна длительности символа Ts, то из
(2.2.13) следует, что ρ 0 = kb ρ b .
Квадратурную фазовую модуляцию (kb=2) можно реализовать с помощью
одновременной передачи 2-ФМ сигналов в двух ортогональных квадратурах
(косинусной и синусной). При этом на каждую квадратуру приходится половина мощности (0.5P0). Однако если исходный поток бит имел скорость передачи
Rb, то скорость передачи в каждой квадратуре также будет в 2 раза меньше
(0.5R0). Следовательно, ОСШ на бит ρb в (2.2.13), характеризующее каждый из
квадратурных каналов, будет таким же, как и в случае 2-ФМ сигналов. Таким
образом, вероятность битовой ошибки в зависимости от отношения Eb/N0 будет
одинаковой для 2-ФМ и 4-ФМ сигналов. Однако если рассматривать вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ ρ0, то одинаковая вероятность
будет достигаться для квадратурной модуляции при ОСШ большем в 2 раза (на
3 дБ), чем для двоичной модуляции.
Учитывая, что минимальное евклидовое расстояние для 4-ФМ сигналов
равно d min = 2 , из (2.2.7), (2.2.10) и (2.2.12) получим, что вероятность битовой
ошибки для сигналов квадратурной фазовой модуляции определяется следующими эквивалентными выражениями:
(
)
BER = Q ρ 0 ,
BER =
[
]
1
1− Φ ( ρ 0 ) ,
2
2
BER = Q Es d min
2N 0  . (2.2.14)


Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ ρ0 в дБ для 4-ФМ
сигналов представлена на рис. 2.10 (кривая 2). Теперь ОСШ, необходимое для
обеспечения заданной вероятности ошибки 0.001, должно составлять 9.9 дБ.
Найдем теперь вероятность символьной ошибки для 4-ФМ сигналов. В
силу ортогональности синусной и косинусной квадратур собственные шумы в
квадратурах являются независимыми и вероятность правильного приема
( M = 4)
для 4-ФМ сигнала равна
pcorrect
[
( M = 4)
pcorrect
= 1 − BER ( M = 2)
73
]
2
.
(2.2.15)
Используя (2.2.7) получим, что
[
(
( M = 4)
pcorrect
= 1 − Q 2ρ b
)] 2 .
(2.2.16)
Тогда вероятность символьной ошибки (SER) будет равна
(
)
(
)
 1

( M = 4)
SER ( M = 4) = 1 − pcorrect
= 2Q 2ρ b  1 − Q 2ρ b  .
 2

(2.2.17)
При больших ОСШ (ρ0>>1) выражение в прямоугольных скобках приблизительно равно единице, и вероятность символьной ошибки в два раза больше
вероятности битовой ошибки. Этот результат имеет простой физический
смысл. В самом деле, при использовании кода Грея соседние (наиболее близкие) сигналы соответствуют двоичным блокам, различающимся только в одном
бите, как это видно из рис. 2.3. При демодуляции сигналов из-за влияния шума
возможен ошибочный выбор сигнала. Наиболее вероятной является ошибка,
при которой выбираются один из двух соседних сигналов. При этом для кода
Грея возникает ошибка только в одном бите.
2.2.2 Сигналы квадратурной амплитудной модуляции
16-КАМ сигналы. Мы не будем останавливаться на выводе выражения
для вероятности битовой ошибки. Отметим только, что вследствие ортогональности I- и Q-компонент сигнала достаточно найти вероятность ошибочного
приема бита для одной из компонент. Правило принятия решения состоит в
сравнении выбранной компоненты принятого сигнала с порогами, равными 0 и
± (2 10 ) . Окончательное выражение для вероятности битовой ошибки имеет
вид [14]
BER =
3  ρ0  1  ρ0  1  ρ0 
 + Q 3
 − Q 5
.
Q
4  5  2 
5  4 
5 
(2.2.18)
Найдем вероятность символьной ошибки. При использовании кода Грея
соседние символы переносят информацию, отличающуюся одним битом.
Поэтому при достаточно больших ОСШ (достаточно малых вероятностях битовой ошибки) ошибка при демодулировании символа приводит к неправильной
оценке только одного бита. Поэтому соотношение между вероятностями битовой и символьной ошибки для 16-КАМ сигналов имеет вид SER≈4BER, то есть
символьная ошибка в 4 раза больше битовой.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 16-КАМ
сигналов представлена на рис. 2.10 (кривая 3). Эта кривая сдвинута на ≈6.8 дБ
74
по сравнению с кривой для 4-ФМ. Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения
заданной вероятности ошибки 0.001, должно составлять 16.7 дБ.
64-КАМ сигналы. Вероятность битовой ошибки для 64-КАМ сигналов
равна [14]
BER =
ρ 
7  ρ0  1  ρ0  1  ρ0  1  ρ0  1 
 + Q 3
−
5
+
9
−
 13 0  .(2.2.19)
Q
Q
Q
Q
12  21  2 
21  12 
21  12 
21  12 
21 
При использовании кода Грея и достаточно больших ОСШ ошибка при демодуляции символа приводит к неправильной оценке только одного бита.
Поэтому символьная ошибка для 64-КАМ сигналов в 6 раз больше битовой
(SER≈6BER).
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 64-КАМ
сигналов представлена на рис. 2.10 с помощью кривой 4, которая сдвинута на ≈
6 дБ по сравнению с кривой для 16-КАМ. Теперь ОСШ для обеспечения вероятности ошибки 0.001, должно составлять 22.7 дБ.
Приведем приближенную формулу, которой удобно пользоваться при использовании достаточно высоких уровней модуляции. Вероятность символьной
ошибки при максимально правдоподобном детектировании равна
 ρ d2
0 min
SER ≈ N Q

2


,


(2.2.20)
где N - число точек, наиболее близко расположенных к выбранной точке в
диаграмме отображения бит в символы, dmin - минимальное евклидовое расстояние. Имеем, что N = 4 , d min = 2 10 (16-КАМ) и d min = 2 42 (64-КАМ).
Учтем, что функция Q(x) ограничена сверху так, что Q ( x) ≤ exp(− 0.5 x 2 ) . Тогда получим, что вероятность символьной ошибки
 ρ d2 
SER ≤ N exp 0 min  .

4 

(2.2.21)
Учитывая, что в области больших ОСШ вероятности битовой (BER) и символьной (SER) ошибок связаны соотношением BER = SER kb , из (2.2.21) нетрудно получить соответствующие оценки для вероятности битовой ошибки.
2.3 Спектральная эффективность гауссова шумового канала
Скорость передачи информации так же как вероятность битовой ошибки
является одной из основных характеристик системы связи. Она зависит от ста75
тистических свойств флуктуаций сигналов и средней излучаемой мощности, а
также от выбранного способа кодирования и модуляции передаваемых данных.
Систему связи удобно характеризовать спектральной эффективностью (СЭ), которую также называют шенноновской пропускной способностью. Спектральная
эффективность, выражается в бит/(сек⋅Гц) и равна максимально возможному
числу бит, которые можно передать без ошибки за одну секунду в единичной
полосе частот. Удобство использования этой характеристики заключается в
том, что она определяется только статистическими свойствами замираний сигналов и средней мощностью и не зависит от способа кодирования и модуляции
данных.
Пусть гауссов шумовой канал имеет единичный коэффициент передачи в
полосе частот W. Тогда на интервале длительностью T выходной сигнал равен
y (t ) = x(t ) + n(t ) .
(2.3.1)
В соответствии с теоремой отсчетов непрерывные функции y(t), x(t) и n(t)
можно заменить без потери информации их выборками {yi}, {xi} и {ni}, взятыми
через интервалы времени ∆t=1/W [4, 5, 17]. Тогда имеем, что
yi = xi + ni .
(2.3.2)
Функции y(t), x(t) и n(t) являются комплексными (двумерными), поэтому
общее число действительных отсчетов на интервале длительностью T будет
равно N=2WT. Будем далее считать {yi}, {xi} и {ni} действительными числами.
Учитывая, что ni – случайные гауссовы величины с нулевым средним и
дисперсией σ 02 , для условной плотности вероятности получим
p ( yi / xi ) =
1
2π σ
0
 ( yi − xi ) 2 
.
exp −
2


2σ 0


(2.3.3)
Выборки шума ni являются некоррелированными между собой, что для
гауссовых величин означает их статистическую независимость. Следовательно
p( y1 , y 2 ,..., y N / x1 , x2 ,..., x N ) =
N
∏
i= 1
p( yi / xi ) .
(2.3.4)
Введем в рассмотрение векторы XN=(x1, …, xN)T и YN=(y1, …, yN)T размерности N=2WT. Средняя взаимная информация между векторами XN и YN определяется 2N-мерным интегралом вида [4]
I ( X N , YN ) =
∫ ∫
p(YN / X N ) p( X N ) log
X N YN
76
p(YN / X N )
dX N dYN . (2.3.5)
p(YN )
Выборки шума являются статистически независимыми, поэтому средняя
взаимная информация между XN и YN равна сумме средних взаимных информаций I ( xi , yi ) между отдельными выборками yi и xi, то есть
I ( X N , YN ) =
N
∑
i= 1
I ( xi , yi ) .
(2.3.6)
где взаимная информация равна
I ( xi , yi ) =
∞
∞
∫ ∫
p( yi xi ) p( xi ) log 2
−∞ −∞
p( yi xi )
dxi dyi .
p ( yi )
(2.3.7)
Условные вероятности p ( yi xi ) определяются свойствами пространственного канала. Однако вероятность p ( xi ) входных символов определяется дискретным кодером канала и может быть выбрана различной.
СЭ гауссова шумового канала определена Шенноном как максимальное
значение I(XN,YN) по набору вероятностей p ( xi ) входных символов, то есть
1
I ( X N , YN ) ,
p ( xi ) TW
C = max
(2.3.8)
Максимизация I(XN,YN) должна выполняться при следующих очевидных
условиях:
p ( xi ) ≥ 0,
p( x1 ) + p ( x2 ) + ... + p ( x N ) = 1 .
(2.3.9)
Средняя взаимная информация между выборками xi и yi равна
I ( xi , yi ) = H ( yi ) − H ( yi / xi ) ,
(2.3.10)
где H – энтропия, или
I ( xi , yi ) = H ( yi ) − H (ni ) .
(2.3.11)
Эта формула имеет ясный физический смысл: средняя взаимная информация о сообщении xi , которую можно извлечь из смеси yi = xi + ni , равна разности энтропий xi и yi . Другими словами, неопределенность о xi после приема
yi уменьшается на величину взаимной информации между xi и yi .
Докажем, что среди всех распределений с одинаковой дисперсией гауссово
распределение обладает наибольшей энтропией. Энтропия Hg случайной действительной величины x с гауссовой плотностью вероятности g(x) и с дисперсией σ 02 равна [4, 5]
77
∞
∫ g ( x) log 2 g ( x)dx =
Hg = −
log 2 2π eσ 0 .
(2.3.12)
−∞
Пусть гауссово распределение g(x) вида (1.2.14) и произвольное распределение p(x) согласованы между собой до статистик второго порядка, то есть их
средние значения и дисперсии равны между собой. Без ограничения общности
можно считать средние значения, равными нулю. Покажем, что для энтропии
Hp распределения p(x) справедливо неравенство Hp≤Hg.
Предварительно покажем справедливость равенства вида:
∞
∞
∫ g ( x) ln g ( x)dx = ∫
−∞
p( x) ln g ( x)dx .
(2.3.13)
−∞
Получим, что
∞
∞
−∞
−∞
 x2  
1
x2 


exp −
− ln( 2π σ 0 ) −
dx . (2.3.14)
2
 2σ 2  
2π σ 0
2
σ

0 
0

∫ g ( x) ln g ( x)dx = ∫
∞
Учитывая, что
∞
∫ g ( x)dx = 1 и ∫ x
−∞
2
g ( x)dx = σ
2
0
, будем иметь
−∞
∞
∫ g ( x) ln g ( x)dx =
− ln( 2π σ 0 ) − 0.5 .
(2.3.15)
−∞
∞
Так как
∫
p ( x)dx = 1 и
−∞
∞
∫
∞
∫x
2
p( x)dx = σ
2
0,
то можно показать, что
−∞
p ( x) ln g ( x)dx = − ln( 2π σ 0 ) −
−∞
1
∞
∫x
2σ 02 − ∞
2
p( x)dx = − ln( 2π σ 0 ) − 0.5 . (2.3.16)
Следовательно, равенство (2.3.13) справедливо.
Найдем разность энтропий ∆ H = H p − H g . Имеем, что
∞
∞
1
1
∆H = −
p( x) ln p ( x)dx +
g ( x) ln g ( x)dx =
∫
ln 2 − ∞
ln 2 − ∫∞
∞
∞
1
1
g ( x)
=
p
(
x
)[ln
g
(
x
)
−
ln
p
(
x
)]
dx
=
p
(
x
)
ln
dx.
ln 2 − ∫∞
ln 2 − ∫∞
p ( x)
78
(2.3.17)
Известно, что для любой выпуклой функции f(x) справедливо условие:
f ( x ) ≥ f ( x) , где x - среднее значение аргумента x в рассматриваемом интервале, f - среднее значение функции f(x) при изменении x в данном интервале. В
нашем случае роль выпуклой функции f играет натуральный логарифм, а роль
аргумента – отношение g ( x) p( x) . Теперь из (2.3.17) получим, что
∞
∞
1
g ( x)
∆H ≤
ln ∫ p ( x)
dx = log ∫ g ( x)dx = 0 .
ln 2 − ∞
p ( x)
−∞
(2.3.18)
Таким образом, мы доказали, что энтропия H p ≤ H g .
Поэтому будем считать, что сигналы xi являются гауссовыми с нулевым
средним и со стандартным отклонением σx. Тогда энтропия N=2WT статистически независимых выборок выходного сигнала, который является суммой двух
гауссовых процессов, будет равна
H y = 2WT log 2 2π e(σ 2x + σ 02 ) .
(2.3.19)
Из (2.3.8), (2.3.12) и (2.3.20) следует, что СЭ равна
 σ
C = log 2  1 +
 σ

2
x
2
0

.


(2.3.20)
СЭ С (бит/(сек⋅Гц)) гауссова шумового канала показана на рис. 2.11.
Рис. 2.11. СЭ (бит/сек/Гц) гауссова шумового канала
Введем в рассмотрение спектральную плотность мощности шума
N 0 = σ 02 W и будем считать дисперсию (мощность) сигнала постоянной. Тогда
для СЭ C′=CW канала в единицу времени и в полосе W получим
79

σ x2 

C ′ = W log 2 1 +
 WN 0  .


(2.3.21)
Отсюда следует, что при W→∞ СЭ стремится к величине равной
C′ →
σ
2
x
N 0 ln 2
.
(2.3.22)
На рис. 2.12 приведена зависимость СЭ C ′ (бит/сек) от ширины полосы W
при σ x2 N 0 = 10 . Видно, что при W→∞ значение C ′ → 14,4 .
Рис. 2.12. СЭ C ′ (бит/сек) в зависимости от W при σ x2 N 0 = 10
Выразим СЭ канала как функцию энергии Eb бита. Учтем, что СЭ определяет число бит kb, передаваемых одним символом (битовая загрузка символа). В
самом деле, за единицу времени в единичной полосе частот можно передать
C=kb/(TsW)=kb бит. Так как σ 2x – средняя мощность, то σ 2x = CWEb , и (2.3.20)
можно записать, как

E 
C = log 2  1 + C b  .
N0 

(2.3.23)
Отсюда находим, что
Eb 2C − 1
=
.
N0
C
Отметим, что если С=1 то Eb N 0 = 1 .
Рассмотрим два предельных случая.
1. Если С→∞, то
80
(2.3.24)
Eb 2C
≈
= exp( C ln 2 − ln C ) .
N0 C
(2.3.25)
Таким образом, отношение Eb N 0 растет экспоненциально при С→∞.
2. Если С→0, то
Eb
2C − 1
= lim
= ln 2 = − 1,6 дБ .
N0 C → 0 C
(2.3.26)
СЭ является верхней границей скорости передачи через канал связи с шумами. Зависимость СЭ С от Eb N 0 показана на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Зависимость СЭ C от Eb N 0
Теорема кодирования в канале с шумами (теорема Шеннона). Существуют кодеры канала (и декодеры), которые могут обеспечить надежную
связь со сколь угодно малой вероятностью ошибки, если скорость передачи
меньше или равна СЭ канала. Если скорость передачи больше СЭ, то не существуют кодеры канала (и декодеры), которые могли бы обеспечить стремление вероятности ошибки к нулю.
Следовательно, область над кривой СЭ C = C ( Eb N 0 ) на рис. 2.13 является недоступной для систем связи, так как она соответствует скорости передачи
данных, превышающей СЭ. Реальные системы связи должны работать на скоростях, меньших СЭ.
81
Смысл теоремы Шеннона заключается в том, что шум может определять
СЭ канала (см. (2.3.20)), а не вероятность ошибки при передаче информации,
которую можно получить сколь угодно малой за счет кодирования.
Теоретически схема передачи, реализующая СЭ, такова. На передающей
стороне блок данных кодируется с некоторой избыточностью. Эта кодированная последовательность представляется своим сигналом соответствующей длительности. Приемник, принимая сигналы и проводя корреляцию с известными
копиями сигналов, принимает решение о наиболее вероятном переданном сообщении. Далее оконечное устройство (декодер) воспроизводит исходную последовательность. При приближении к пределу скорости передачи данных возрастает задержка в принятии решения, так как малая величина ошибки обеспечивается все большей избыточностью при кодировании, то есть все более длинными
блоками двоичной информации. При этом наилучший результат получается,
если в качестве сигналов использовать реализации белого шума.
2.4 Вероятность битовой ошибки в релеевском канале
Если передается символ d единичной амплитуды, то выходной сигнал x согласованного фильтра можно записать вместо (2.2.1) в виде
x=
E s hd + z ,
(2.4.1)
где Es – энергия импульса, h – канальный коэффициент, z – шум приемника.
При этом предполагается, что дисперсия коэффициента h равна единице (<|h|
2
>=1), а средняя мощность шума σ 02 = 0.5 N 0 .
Из (2.4.1) получим, что мгновенное ОСШ равно
2
ρ = ρ0h ,
(2.4.2)
где ρ 0 = E s N 0 - среднее ОСШ на символ.
В многолучевом канале амплитуда |h| коэффициента передачи имеет релеевское распределение вида (2.3.33). При этом случайное ОСШ ρ будет иметь
экспоненциальную плотность вероятности с параметром ρ0, которую можно записать как
f (ρ ) =
 ρ 
1
 .
exp −
ρ0
 ρ0
(2.4.3)
Найдем вероятность битовой ошибки (BER), которая определяется как отношение среднего числа неправильно принятых бит к общему числу переданных бит. Так как ОСШ ρ является случайной величиной, необходимо используя
82
плотность вероятности f(ρ) выполнить усреднение битовой ошибки, которая
возникает из-за шума при ОСШ ρ.
Следовательно, чтобы найти битовую ошибку при передаче через релеевский канал, необходимо вычислить интеграл
BER =
∞
∫
f (ρ )BER(ρ )dρ ,
(2.4.4)
0
где BER(ρ) – вероятность битовой ошибки в гауссовом шумовом канале без замираний при ОСШ равном ρ.
Вероятность битовой ошибки BER(ρ) определяется выражениями (2.2.10),
(2.2.14), (2.2.18) и (2.2.19) для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов, соответственно. Рассмотрим эти модуляции раздельно.
2-ФМ сигналы. Учитывая плотность вероятности (2.4.3) для ОСШ и выражение (2.2.10) для BER(ρ), получим, что вероятность битовой ошибки равна
BER =
∞
[
]
 ρ 1
1
exp
∫ ρ 0  − ρ 0  2 1 − Φ ( 2ρ ) dρ .
0
(2.4.5)
Вычисляя этот интеграл будем иметь, что
BER =
1
 1−
2 
ρ0
ρ0+

.
1 
(2.4.6)
В случае достаточно большого среднего ОСШ (ρ0>>1) формулу (2.4.6)
можно упростить. Для этого воспользуемся приближенным равенством
(1 + x) − 0.5 ≈ 1 − 0.5 x , где малый параметр x=1/ρ0. Тогда из (2.4.6) получим, что
BER ≈
1
.
4ρ 0
(2.4.7)
Таким образом, при больших ОСШ вероятность битовой ошибки в релеевском канале обратно пропорциональна среднему ОСШ.
В логарифмическом масштабе при больших ОСШ кривые для вероятности
битовой ошибки переходят в прямые. Наклон этих прямых значительно больше
для гауссова канала, чем для релеевского. Чтобы, например, уменьшить вероятность ошибки в ≈10 раз в условиях релеевских замираний сигналов мощность
должна быть увеличена также в ≈10 раз (на ≈10 дБ). Аналогичное увеличение
мощности для гауссова канала составляет всего 1÷2 дБ.
Для 2-ФМ сигналов энергия символа совпадает с энергией бита, поэтому
выражения (2.4.6) и (2.4.7) можно переписать в виде:
83
BER =
1
1−
2 

,
1 
Eb N 0
( Eb N 0 ) +
BER ≈
1
4 ( Eb N 0 )
.
(2.4.8)
Сравним вероятность битовой ошибки для гауссова шумового и релеевского каналов. Результаты сравнения показаны на рис. 2.14. Видно, что передача
информации с одинаковой ошибкой через релеевский канал требует значительно большего ОСШ, чем через гауссов шумовой канал. Оценим требуемое ОСШ,
необходимое для обеспечения заданной величины вероятности битовой ошибки. Например, для вероятности равной 1%, необходимо увеличить мощность
передатчика с 4.3 дБ до 13.8 дБ (то есть примерно в 10 раз), чтобы скомпенсировать потери, обусловленные релеевскими замираниями сигнала.
Рис. 2.14. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском (сплошная кривая) и в гауссовом каналах (пунктирная кривые)
4-ФМ сигналы. Как показано выше, зависимость вероятность битовой
ошибки от отношения Eb/N0 в канале с аддитивным гауссовым шумом является
одинаковой для 2-ФМ и 4-ФМ сигналов. Поэтому формулы (2.4.8) справедливы
и для 4-ФМ сигналов.
Учитывая, что для 4-ФМ сигналов ОСШ ρ 0 = 2( Eb N 0 ) из (2.4.8) получим,
что вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ будет определяться
следующими выражениями:
BER =
1
 1−
2 
0.5ρ 0
0.5ρ 0 +

,
1 
84
BER ≈
1
.
2ρ 0
(2.4.9)
Таким образом, одинаковая вероятность битовой ошибки будет достигаться для квадратурной модуляции при ОСШ большем в 2 раза (на 3 дБ), чем для
двоичной модуляции.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ для 4-ФМ сигналов
представлена на рис. 2.15 (кривая 2). Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 16.8 дБ.
Рис. 2.15 Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском канале для 2ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов (кривые 1,2,3,4, соответственно)
16-КАМ сигналы. Чтобы найти вероятность битовой ошибки BER необходимо подставить (2.2.18) в интеграл (2.4.4) и выполнить интегрирование. В результате получим, что
BER =
3 1  1 9  1
f  ρ 0  + f  ρ 0  − f ( 5ρ 0 ) ,
4 5  2 5  4
(2.4.10)
где функция

1 1 2
f (aρ 0 ) = − 
+ 1
2 2  aρ 0

−12
.
(2.4.11)
Учтем, что для 16-КАМ сигналов в соответствии с (2.2.13) ОСШ
ρ 0 = 4( Eb N 0 ) . Подставляя это равенство в (2.4.10) и (2.4.11), можно получить
85
зависимость вероятности битовой ошибки от отношения энергии сигнала к
спектральной плотности шума Eb N 0 .
Найдем вероятность символьной ошибки при использовании кода Грея,
когда соседние символы переносят информацию, отличающуюся только одним
битом. Тогда для достаточно больших ОСШ ошибка при демодулировании
символа приводит к неправильной оценке только одного бита. Поэтому вероятность символьной ошибки для 16-КАМ сигналов равна SER ≈ 4 BER , то есть
символьная ошибка в 4 раза больше битовой.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 16-КАМ
сигналов представлена на рис. 2.15 (кривая 3). Эта кривая сдвинута на 6.0 дБ по
сравнению с кривой для 4-ФМ. Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 22.8 дБ.
64-КАМ сигналы. Подставим (2.2.19) в (2.4.4) и выполним интегрирование. В результате получим, что вероятность битовой ошибки равна
BER =
7  1
 1  3  1  25  1  81  1  13 
f ρ 0 + f ρ0 −
f ρ0 +
f ρ0 −
f  ρ 0  , (2.4.12)
12  21  2  7  12  21  12  21  12  12 
где функция f (aρ 0 ) определена в (2.4.11).
Для 64-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ ρ 0 = 6( Eb N 0 ) . Учитывая это условие в (2.4.12), можно получить зависимость вероятности битовой
ошибки от отношения Eb N 0 .
При использовании кода Грея вероятность символьной ошибки для 64КАМ сигналов для достаточно больших ОСШ равна SER ≈ 6 BER .
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 64-КАМ
сигналов представлена на рис. 2.15 (кривая 4). Видно, что данная кривая
сдвинута на 5.2 дБ по сравнению с кривой для 16-КАМ, и для обеспечения вероятности ошибки 1% ОСШ должно быть равно 28.0 дБ.
Выражения (2.4.10) и (2.4.12) являются достаточно сложными. Поэтому,
приведем приближенную формулу, справедливую для сигналов достаточно высоких уровней модуляции. Вероятность символьной ошибки в канале с релеевскими замираниями сигналов при максимально правдоподобном детектировании ограничена сверху [4]:
SER ≤ N
1
2 ,
ρ 0 d min
1+
4
где обозначение N уже использовалось в (2.2.20).
В области больших ОСШ
86
(2.4.13)
SER ≤ N
4
2
ρ 0 d min
.
(2.4.14)
Отсюда следует, что при ρ0>>1 вероятность символьной ошибки (а, следовательно, и битовой ошибки) для рассматриваемых модуляций уменьшается
обратно пропорционально ОСШ ρ0, что также видно на рис. 2.15, на котором
все кривые имеют одинаковый наклон в области ρ0>>1.
2.5 Вероятность битовой ошибки в райсовском канале
Рассмотрим вероятность битовой ошибки для сигналов бинарной фазовой
модуляции. В случае райсовких замираний сигнала коэффициент передачи h
можно представить как сумму коэффициентов передачи регулярной (статической) h(st) и случайной h(Rl) (релеевской) компонент: h = h ( st ) + h ( Rl ) . Фаза коэффициента h(Rl) равновероятна в пределах [0÷2π], а реальная и мнимая части имеют гауссово распределение с нулевым средним и с суммарной дисперсией равной единице.
Учитывая (2.4.1), получим, что выходной сигнал равен
x=
E s h ( st ) d +
E s h ( Rl ) d + z .
(2.5.1)
Первое слагаемое описывает не флуктуирующую (статическую) составляющую, средняя мощность которой в ρ 0( st ) раз больше мощности собственного шума. Второе слагаемое представляет собой случайную (релеевскую) составляющую с нулевым средним и дисперсией в ρ 0( Rl ) раз больше мощности собственного шума.
В многолучевом райсовском канале амплитуда |h| коэффициента передачи
имеет райсовское распределение (2.3.54). При этом случайное ОСШ ρ будет
иметь плотность вероятности вида
 ρ ( st ) + ρ
f ( ρ ) = ( Rl ) exp − 0 ( Rl )

ρ0
ρ0

1
  ρ ρ 0( st )
I
 0  0,5ρ ( Rl )
 
0


 .

(2.5.2)
Чтобы найти вероятность битовой ошибки в райсовском канале подставим
функцию f(ρ) из (2.5.2) в (2.4.4). В результате получим, что
∞
[
1
BER = ∫ 1 − Φ
2
0
( ρ )]
1
ρ (0Rl )
 ρ ( st ) + ρ
exp − 0 ( Rl )

ρ0

87
  ρ ρ (0st ) 
I
dρ .
 0  0,5ρ ( Rl ) 
0
 

(2.5.3)
Это выражение является достаточно сложным. Однако его можно упростить и представить в виде [15]
∞
2 2
2x
2 2 exp(− t y )
Φ ( xy) = 1 −
exp(− x y ) ∫
dt ,
2
2
π
t
+
x
0
где Re(y2)>0.
Подставляя в (2.5.4) x=1 и y =
[
1
1− Φ
2
(2.5.4)
ρ получим, что
∞
( )]
1
1
ρ = exp( − ρ ) ∫ 2
exp(− ρ t 2 ) dt .
π
0 (t + 1)
(2.5.5)
С помощью (2.5.3) и (2.5.5) придем к следующему выражению для вероятности битовой ошибки:
∞
∞

1
1 
2
 dt ,
BER = ∫ 2
exp[
−
ρ
(
t
+
1
)]
f
(
ρ
)
d
ρ

π 0 (t + 1)  ∫0

(2.5.6)
Учитывая (2.5.2), получим, что внутренний интеграл в (2.5.6) равен [15]
∞

ρ (0st ) (t 2 + 1) 
∫ exp[− ρ (t + 1)] f (ρ )dρ = 1 + ρ ( Rl ) (t 2 + 1) exp − 1 + ρ ( Rl ) (t 2 + 1)  .
0
0

0

2
1
(2.5.7)
Теперь с помощью (2.5.6) и (2.5.7), найдем, что
∞

ρ (0st ) (t 2 + 1) 
1
1
1

BER = ∫ 2
exp −
dt .
 1 + ρ ( Rl ) (t 2 + 1) 
π 0 (t + 1) [1 + ρ ( Rl ) (t 2 + 1)]
0

0

(2.5.8)
Выражение (2.5.8) является значительно более простым, чем (2.5.3). В
(2.5.3) вероятность ошибки определяется через интеграл от интеграла вероятности Φ(x) и функции Бесселя I(x) мнимого аргумента нулевого порядка, которая,
в свою очередь, также имеет интегральное представление. В то же время в
(2.5.8) вероятность ошибки определяется через однократный интеграл по действительной переменной от произведения достаточно простых функций.
Часто удобным является представление вероятности ошибки через среднее
ОСШ ρ0 и отношение мощностей стационарной и релеевской компонент (Kфактор). Тогда, учитывая формулы (2.3.58), вместо (2.5.8) будем иметь
88
∞

K ρ 0 (t 2 + 1) 
1
1
( K + 1)
BER = ∫ 2
exp  −
dt .(2.5.9)

2
2
π 0 (t + 1)
(
K
+
1
)
+
ρ
(
t
+
1
)
(
K
+
1
)
+
ρ
(
t
+
1
)

0
0

Если релеевская составляющая замираний сигналов значительно превышает собственный шум ( ρ (0Rl ) > > 1 ), то интеграл (2.5.9) вычисляется и вероятность
ошибки будет равна
BER ≈
K+1
exp(− K ) .
4ρ 0
(2.5.10)
На рис. 2.16 показана вероятность битовой ошибки в райсовском канале в
зависимости от среднего ОСШ ρ0 для разных отношений K-фактора (K= −50; 0;
5; 10 и 50 дБ). Видно, что при одинаковом ОСШ вероятность ошибки уменьшается с увеличением K, то есть с уменьшением релеевской составляющей флуктуации сигналов.
Рис. 2.16. Вероятность битовой ошибки в райсовском канале в зависимости от ОСШ ρ0 для
K= −50, 0, 5, 10 и 50 дБ
С помощью (2.5.8) получим нижнюю и верхнюю границы для вероятности
ошибки в райсовском канале. Умножим и разделим аргумент экспоненты на
дисперсию ρ (0Rl ) флуктуаций коэффициента передачи и учтем, что на всем интервале [0÷∞] интегрирования по переменной t в (2.5.8) имеет место условие:
89
ρ (0Rl )
1 + ρ (0Rl )
≤
ρ (0Rl ) (t 2 + 1)
1 + ρ (0Rl ) (t 2 + 1)
≤ 1.
(2.5.11)
Отсюда следует, что вероятность битовой ошибки BER(Rc) в райсовском канале заключена в следующих пределах:
 ρ ( st ) 

ρ (0st ) 
( Rl )
( Rc )
0



exp − ( Rl ) BER
≤ BER
≤ exp −
BER ( Rl ) , (2.5.12)
 ρ

 1 + ρ ( Rl ) 
0
0




где BER(Rl) - вероятности ошибки в релеевском канале.
Интересный вид имеют графики на рис. 2.17 для вероятности битовой
ошибки в райсовском канале в зависимости от дисперсии ρ (0Rl ) релеевских замираний сигнала, при разных амплитудах a регулярной составляющей сигнала.
Обращает на себя внимание вид кривых при a>0. Сначала вероятность ошибки
увеличивается с ростом ρ (0Rl ) , хотя полная средняя мощность принятого сигнала при этом возрастает. После достижения максимума вероятность ошибки начинает уменьшаться и приближается к вероятности в релеевском канале.
Рис. 2.17. Вероятность битовой ошибки в райсовском канале в зависимости от дисперсии релеевских замираний для разных амплитуд регулярной составляющей сигнала
2.6 Спектральная эффективность релеевского канала
Спектральная эффективность релеевского канала определяется выражением (1.5.20), которое представим в виде
C = log 2 (1 + ρ ) ,
90
(2.6.1)
2
где ОСШ ρ = ρ 0 h имеет плотность вероятности (2.4.3) со средним ρ0. Отсюда
следует, что СЭ является случайной величиной.
Найдем среднюю СЭ. Учитывая (2.4.3) получим, что
< C (ρ 0 ) > =
∞
1

∫ log 2 (1 + ρ ) ρ 0 exp −
0
1 
ρ  dρ .
ρ 0 
(2.6.2)
Этот интеграл выражается через интегральную функцию Ei(x) и равен
 1   1 
1
 Ei −
 ,
< C (ρ 0 ) > = −
exp
ln 2
ρ
ρ
 0 
0
Ei ( x ) =
x
∫
−∞
exp(t )
dt .
t
(2.6.3)
На рис. 2.18 показаны средняя СЭ (бит/(сек⋅Гц)) релеевского и гауссова
шумового каналов в зависимости от среднего ОСШ ρ0. Из приведенного рисунка видно, что СЭ релеевского канала меньше, чем гауссова.
Рис. 2.18. Средняя СЭ релеевского (пунктирная кривая) и гауссова каналов
(сплошная кривая) в зависимости от среднего ОСШ ρ0.
91
ГЛАВА 3. ПЕРЕДАЧА И ПРИЕМ СИГНАЛОВ В OFDM-СИСТЕМЕ
В настоящее время технология ортогонального частотного мультиплексирования сигналов (OFDM-технология) широко применяется в современных системах беспроводного Интернета. Здесь можно отметить стандарты IEEE
802.11, используемые с 1997 года, и разрабатываемые стандарты IEEE 802.16
WiMAX [16]. Высокая скорость передачи информации в OFDM-системах достигается с помощью параллельной передачи информации по большому числу
ортогональных частотных подканалов (поднесущих).
3.1 Формирование OFDM-сигнала
Пусть имеется M узкополосных ортогональных сигналов единичной энергии, которые различаются по частоте и на интервале времени (0≤t≤Ts) могут
быть представлены в виде
sm (t ) = Re [ s0m (t ) exp( j 2π f ct )] =
2
cos [ 2π f ct + 2π m∆ ft ] ,
Ts
(3.1.1)
где m=1,2,…,M.
Для эквивалентного низкочастотного сигнала имеем, что
s0m (t ) =
2
exp( j 2π m∆ ft ) .
Ts
(3.1.2)
Сигналы s0m (t ) характеризуются равной энергией и коэффициентом взаимной корреляции равным
ρ km
1
=
Ts
Ts
∫
e j 2π ( m − k ) ∆ ft dt =
0
sin π Ts ( m − k ) ∆ f jπ Ts ( m − k ) ∆ f
e
.
π Ts ( m − k ) ∆ f
(3.1.3)
Заметим, что модуль коэффициента корреляции ρkm равен нулю ( ρ km = 0 ),
если ∆f=1/(Ts) и m≠k. Поскольку случай m-k=1 соответствует соседним частотам, то ∆f=1/(Ts) - минимальная величина частотного разноса между смежными
частотами, обеспечивающая некоррелированность соответствующих сигналов.
Обычно вместо некоррелированности говорят об ортогональности сигналов.
На рис. 3.1 приведены синусоиды с ортогональными частотами (справа), а
также спектр импульса длительности Ts с такими частотами (слева). Видно, что
на длительности импульса укладывается кратное число периодов синусоид с
ортогональными частотами.
92
Рис. 3.1 Спектры (слева) и временная зависимость синусоид с ортогональными частотами
(справа)
При использовании OFDM-модуляции излучаемый сигнал формируется с
использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ). Пусть dk – информационный символ, который будет передаваться на k–ой частоте (поднесущей). На
передающей стороне выполняется обратное БПФ, в результате которого формируется низкочастотный сигнал вида
s ( n) =
1
NF
NF
∑
d k ⋅ exp(− j 2π f k n∆ t ) .
(3.1.4)
k=1
где n – дискретное время, NF – число точек БПФ.
Обозначим f k = k∆ f и учтем, что расстояние между смежными ортогональными поднесущими ∆f=1/(Ts), а отношение Ts/∆t=NF. Тогда (3.1.4) принимает вид
s ( n) =
1
NF
NF
 j 2π kn 
 .
d k ⋅ exp −
N

F 
k=1
∑
(3.1.5)
OFDM-символ s(n) затем переносится на высокую частоту и излучается из
антенны в пространственный канал. Таким образом, одновременно передается
смесь информационных символов dk, число которых равно размерности NF
БПФ. Отметим, что s(n) представляет собой шумоподобный сигнал, так как является суммой достаточно большого числа синусоид со случайными амплитудами и фазами.
3.2 Прием OFDM-сигнала
В OFDM-системах передаваемый низкочастотный сигнал формируется с
помощью обратного БПФ и имеет вид (3.1.5). Так как одновременно передается
смесь информационных символов dk, число которых равно размерности NF
93
БПФ, то на приемной стороне необходимо разделить эти символы. Как мы увидим ниже, это возможно за счет ортогональности поднесущих.
Принятый низкочастотный сигнал определяется интегралом свертки ИХ
(2.3.4) многолучевого канала и переданного сигнала (3.1.5), то есть
x ( n) =
∑
l= 1
h(l ) s (n − l ) + z (n) ,
где z(n) – гауссов собственный шум с нулевым средним и дисперсией σ
Приемник выполняет прямое БПФ, которое запишем в виде
gm =
1
NF
(3.2.1)
2
0.
NF
 j 2π mn 
 .
x(n) exp
N


F
n= 1
∑
(3.2.2)
Подставим (3.1.5) и (3.2.1) в (3.2.2) и рассмотрим отдельно сигнальную и
шумовую составляющие принятой смеси.
Для первой из них с помощью очевидных преобразований можно получить, что
(1)
gm
NF
 j 2π kl  N F 1
 − j 2 π ( k − m) n 
 ∑
 .
= ∑ ∑ d k h(l ) exp
exp
NF
 N F  n= 1 N F


k = 1l = 1
(3.2.3)
Учтем, что сумма по индексу n в (3.2.2) равна символу Кронекера δ km . В
результате будем иметь, что
(1)
gm
=
N F H mdm ,
(3.2.4)
где Hm - коэффициент передачи многолучевого канала на m-ой поднесущей, который представляет собой Фурье преобразование от ИХ канала:
Hm =
1
NF
 j 2π ml 
 .
h(l ) exp
N

F 
l= 1
∑
(3.2.5)
Из (3.2.4) видно, что приемник обеспечивает разделение информационных
символов.
Для шумовой составляющей принятого сигнала найдем, что
( 2)
gm
=
1
NF
NF
 j 2π mn 
 .
z (n) exp
N

F 
n= 1
∑
Дисперсия шума на m–ой поднесущей равна
94
(3.2.6)
<
( 2) 2
gm
1
>=
NF
NF NF
 j 2π mn 
 − j 2π mq 
 exp
 . (3.2.7)
< z (n) z * (q) > exp
N
N




F
F
n = 1q = 1
∑ ∑
Учтем некоррелированность шумов в разных выборках входного процесса,
при которой < z (n) z * (q ) > = σ 02δ (n − q ) . Тогда получим, что
( 2)
< gm
2
> = σ 02 .
(3.2.8)
Теперь для ОСШ на m–ой поднесущей после БПФ будем иметь
γ m = NF
< Hm
2
> dm
σ
2
0
2
.
(3.2.9)
С помощью (3.2.5) найдем, что
2
< Hm > =
1
NF
 j 2π m(l − q) 
 .
< h(l )h* (q) > exp
N


F
l = 1q= 1
∑ ∑
(3.2.10)
Примем во внимание статистическую независимость коэффициентов передачи для различных лучей ( < h(l )h* (q ) > = P (l )δ lq ) и нормировку мощности задержанных сигналов: P (1) + P (2) + ... = 1 . Тогда получим, что
1
.
NF
2
< Hm > =
(3.2.11)
Таким образом, ОСШ на m–ой поднесущей будет равно
γm =
dm
σ
2
0
2
.
Введем в рассмотрение среднюю мощность
2
P0 = < s (n) > . В соответствии с (3.1.5) найдем, что
1
P0 = < s (n) > =
NF
2
NF NF
(3.2.12)
передатчика
 − j 2π ( k − m) n 

 .
<
d
d
>
exp
∑ ∑ k m
N


F
k = 1m = 1
равную
(3.2.13)
Учтем статистическую независимость передаваемых данных, при которой
2
< d k d m > = < d > δ km . Тогда получим, что
95
1
P0 =
NF
NF
∑
2
2
< d > =< d > .
(3.2.14)
m= 1
Теперь (2.1.17) для ОСШ на m-ой поднесущей можно записать как
γm=
dm
2
P0
2
< d > σ
.
2
0
(3.2.15)
При использовании сигналов с одинаковой мощностью (например, 2- и 42
ФМ сигналы) величина d m одинакова для всех m, а для сигналов с разной
мощностью (например, сигналы квадратурной амплитудной модуляции) d m
зависит от m. Найдем ОСШ, усредненное по всем поднесущим. Получим, что
< γ m > = P0 σ 02 .
2
(3.2.16)
OFDM-сигналы наилучшим образом справляются с межсимвольными искажениями и неравномерностью частотной характеристики (частотной селективностью) многолучевого канала связи. На рис. 3.2 представлена обобщенная
структурная схема OFDM системы связи.
Помехо-
Входной поток
устойчивый
двоичных
кодер
данных
Интерливинг
М-КАМ
модуляция
Вставка
пилотных
поднесущих
Частотно-селективный
канал
Входная
цепь
Выходной поток
двоичных
данных
Помехоустойчивый
декодер
Деинтерливинг
М-КАМ
демод-ция
Коррекция
канала
ОБПФ
Добавление
защитного
интервала
Выходная
цепь
ЦАП
АЦП
БПФ
Временная и
частотная
синхр--ция
Удаление
защитного
интервала
Рис. 3.2. Структурная схема OFDM-системы: БПФ – быстрое преобразование Фурье, ОБПФ
– обратное БПФ, ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь, АЦП – аналогово-цифровой
преобразователь, КАМ – квадратурная амплитудная модуляция.
96
OFDM-системы используют большое количество поднесущих. Их ортогональность делает возможной демодуляцию модулированных колебаний даже в
условиях частичного перекрытия полос отдельных поднесущих. Однако многолучевое распространение сигнала может приводить к ослаблению и даже полному подавлению некоторых поднесущих. Решению этой проблемы помогает
помехоустойчивое кодирование и перемешивание (интерливинг) данных.
Так как в OFDM-системе количество поднесущих велико, то поток данных, переносимых каждой поднесущей, характеризуется сравнительно небольшой скоростью. Однако межсимвольные искажения могут проявляться и
при относительно малой частоте следования импульсов (символов). Для того
чтобы избежать межсимвольных искажений, перед каждым символом вводится
защитный интервал. Следует отметить, что защитный интервал – это не просто
пауза между полезными символами, достаточная для угасания амплитуды символа до начала следующего. В защитном интервале передается фрагмент полезного сигнала, что гарантирует сохранение ортогональности поднесущих в принятом сигнале.
Величина защитного интервала зависит от максимальной задержки при
распространении сигнала между передатчиком и приемником. Чем больше время задержки, тем больше должна быть длительность защитного интервала. С
другой стороны, для обеспечения максимальной скорости передаваемого потока данных защитный интервал должен быть как можно короче. В соответствие
со стандартом IEEE 802.11a [18] длина защитного интервала составляет 25%
(0,8 µсек) от величины полезного интервала.
Общее число поднесущих в OFDM-системе выбирается равным 2p, где p –
целое число. Однако не все поднесущие используются для передачи информации. Часть из них (пилотные поднесущие) передает служебную информацию,
необходимую для синхронизации и оценки канала. Крайние поднесущие передают символы с нулевой амплитудой, что необходимо для обеспечения защитного интервала на краях полосы частот. Например, в OFDM-системе стандарта
IEEE 802.11a [18] имеется 64 поднесущих, из которых на 48 передается информация, 4 применяются для синхронизации и оценки канала, а 12 крайних поднесущих создают защитный интервал. Качественный вид частотной структуры
OFDM-системы связи показан на рис. 3.3.
Нулевая несущая
Защитные
поднесущие
(слева)
Поднесущие
данных
Пилотные
поднесущие
Защитные
поднесущие
(справа)
Рис. 3.3. Частотная структура OFDM-системы связи.
97
Так как в OFDM-системе используются не все поднесущие, то необходимо
уточнить выражение (3.2.16) для среднего ОСШ < γ m > . Обозначим Nused – число используемых поднесущих для передачи информационных и пилотных символов. Тогда из (3.2.13) вместо (3.2.14) получим, что
1
P0 =
NF
N used
∑
2
< d > =
m= 1
N used
2
< d >.
NF
(3.2.17)
Теперь нетрудно найти, что среднее ОСШ будет равно
< γm >=
N F P0
.
N used σ 02
(3.2.18)
3.3 Пропускная способность OFDM-системы
Одним из основных критериев, характеризующих современные системы
беспроводной связи, является вероятность битовой ошибки. Однако данный параметр не характеризует систему в полной мере. Так при использовании канального помехоустойчивого кодирования вероятность ошибки уменьшается,
но вместе с этим падает и скорость передачи данных. Аналогичная зависимость
наблюдается и при выборе уровня модуляции. Кроме того, для оценки переданной информации необходимо знание частотной характеристики пространственного канала. Чтобы решить эту проблему используются служебные пилотные
символы, что также уменьшает скорость передачи данных.
Рассмотрим критерий производительности OFDM-системы, который учитывает основные параметры системы и называется пропускной способностью
(ПС). ПС определяется, как среднее число правильно переданных информационных бит за единицу времени (секунду), исключая пилотные биты.
Будем считать, что в OFDM системе данные передаются блоками (так называемыми кластерами) в частотно-временной области. Каждый кластер обрабатывается (кодируется и декодируется) независимо и характеризуется следующими величинами: Ns – число поднесущих; Nt – число OFDM-символов; Np –
число пилотных поднесущих, kb - уровень модуляции (битовая загрузка символа), Rc - скорость кода.
Кластер состоит из NsNt символов. При этом общее число информационных символов равно NsNt–Np. Если битовая загрузка символа составляет kb, то
общее число информационных бит, передаваемых с помощью одного кластера,
равно I cluster = Rc kb ( N s N t − N p ) .
Учтем, что длительность OFDM-символа равна Ts. Тогда число информационных бит, переданных за единицу времени (секунду) равно I = I cluster N tTs
или I = I cluster Fs N t , где Fs=1/Ts - частота следования символов.
98
Обозначим PER (packet error rate) – вероятность ошибки передачи пакета
(кластера). Если все биты в пакете декодированы правильно, то данный пакет
считается переданным правильно. В случае, когда хотя бы один бит декодирован с ошибкой, считается, что пакет передан с ошибкой. Тогда ошибка передачи пакета определяется отношением числа ошибочно переданных пакетов к общему числу пакетов.
Теперь для эффективной ПС будем иметь, что
Th = (1 − PER) I = (1 − PER) Rc kb ( N s N t − N p ) Fs N t .
(3.3.1)
Пусть, например, кластер состоит из одного OFDM-символа (Nt=1). Учтем,
что расстояние между ортогональными поднесущими ∆ f = 1 Ts = Fs . Тогда для
эффективной ПС можно записать: Th = (1 − PER)Wdata Rc kb , где Wdata - эффективная ширина полосы, используемой для передачи только информационных
символов. Этот результат остается справедливым и при произвольном кластере.
Таким образом, при минимальном уровне модуляции (двоичная фазовая
модуляция с kb=1) и отсутствии кодера (Rc=1) максимальная ПС, достигаемая
при нулевой ошибке передачи пакета (больших ОСШ), совпадает с эффективной шириной полосы Wdata , используемой для передачи только данных. С увеличением уровня модуляции максимальная ПС возрастает пропорционально
битовой загрузке символа и составляет kbWdata .
3.4 Оценка передаточной функции канала в OFDM-системе
Передача данных в такой системе связи осуществляется с помощью
OFDM-сигналов, причем каждый сигнал переносит информацию на ортогональных частотах, размещенных в пределах частотной полосы пропускания.
Схематически, это изображено на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Передача информации в системе с OFDM
99
Каждая клеточка на рисунке соответствует одному OFDM сигналу и одной
поднесущей частоте. Для оценки канала передаются пилотные сигналы, для которых выделяются некоторые заданные позиции. Один такой сигнал показан на
рис. 3.4. Строго говоря, для каждой позиции существует индивидуальный канальный коэффициент передачи, так как канал имеет вариации как по времени,
так и по частоте. Однако параметры системы выбирают так, чтобы в соседних
позициях отличие канальных коэффициентов было малым. Это дает возможность размещать пилотные сигналы достаточно редко в плоскости “частотавремя” и использовать интерполяцию канальных оценок на те позиции, где
передаются данные.
Рассмотрим линейный интерполяционный алгоритм. Предположим, что
канальный коэффициент h является функцией времени t и частоты ν, и может
быть приближенно представлен в виде
h(t ,ν ) = h(t0 ,ν 0 ) +
∂h
∂h
(t0 ,ν 0 )∆ t +
(t0 ,ν 0 )∆ ν ,
∂t
∂ν
(3.4.1)
∂h
∂h
(t0 ,ν 0 ),
(t0 ,ν 0 ) - канальный коэффици∂t
∂ν
ент и его частные производные в точке (t0, ν0), соответственно.
∂h
(t0 ,ν 0 ) ,
Более удобно ввести следующие обозначения A = h(t 0 ,ν 0 ) , B =
∂t
∂h
C=
(t 0 ,ν 0 ) . Тогда (3.4.1) можно переписать как.
∂ν
где Δt=(t-t0) и Δν=(ν-ν0), h(t0 ,ν 0 ),
h(t ,ν ) = A + B ∆ t + C ∆ ν .
(3.4.2)
Выражение (3.4.2) представляет собой уравнение плоскости. Оно имеет
три параметра A, B и C, которые мы должны оценить, используя пилотные сигналы. Ясно, что одного пилотного сигнала для этого недостаточно, необходимо
три или более пилотных сигналов.
Допустим, что имеется N пилотных сигналов sj. Принятые пилотные сигналы x j = ρ h j s j + z j являются статистически независимыми. Поэтому совместная плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей вероятности и может быть записана в виде
P [ x1 , x2 ,, x N ] =
где учтено, что < ( x j −
N
∏
j= 1
P [x j ] =
1
(π )N

exp −

N
∑
j= 1
ρ hjs j ) > = < z j > = 0 и < x j −
xj −
2 
ρ hj s j  .

ρ hjs j
2
>=< zj
Подставим (3.4.2) в (3.4.3) и получим следующее выражение:
100
(3.4.3)
2
> = 1.
1
P [ x1, x2 ,, x N ] =
(π ) N

exp −

N
∑
j= 1
xj −
2 
ρ ( A + B∆ t j + C∆ ν j ) s j  . (3.4.4)

Это выражение является функцией правдоподобия относительно параметров A, B и C. Максимально правдоподобные оценки этих параметров находятся
из решения следующих трех уравнений.
 α 11 A + α 12 B + α 13C = β 1

 α 21 A + α 22 B + α 23C = β 2 ,
 α A+ α B + α C = β
32
33
3
 31
(3.4.5)
где коэффициенты
α 11 =
N
∑
j= 1
2
s j ; α 12 = α
N
∑
sj
1
β1=
ρ
N
α
22
=
j= 1
∑
j= 1
2
(∆ t j )2;
x j s∗j ;
α
21 =
N
∑
j= 1
23 = α
1
β2=
ρ
2
s j ∆ t j ; α 13 = α
32
N
∑
j= 1
=
N
∑
j= 1
N
∑
31 =
j= 1
2
s j ∆ t j∆ ν j ; α
x j s∗j ∆ t j ;
1
β3=
ρ
33 =
N
∑
j= 1
2
sj ∆ ν j;
N
∑
j= 1
sj
2
( ∆ ν j ) 2 ; (3.4.6)
x j s∗j ∆ ν j .
Уравнения (3.4.5) и (3.4.6) справедливы для произвольного числа пилотных сигналов, произвольного их расположения и любого вида.
В качестве примера рассмотрим OFDM передачу с 4 пилотными сигналами, показанную на рис. 3.5.
Рис. 3.5. OFDM передача с 4 пилотными сигналами.
101
Данные передаются на 45 позициях, а пилотные сигналы - на четырех позициях. Предполагается, что пилотные сигналы имеют единичные амплитуды, а
расстояние между соседними позициями равно единице, т.е. ∆ tk = k ; ∆ ν n = n .
Точка с координатами (t0, ν0) выбрана в начале координат (t0=0; ν0=0).
Из формулы (3.4.6) находим, что α12=α21=α13=α31=α23=α32=0. Благодаря симметричному расположению пилотных сигналов система уравнений (3.4.5) упрощается и может быть решена в явном виде. В результате мы получаем следующие оценки для параметров A, B и C:
 x + x + x3 + x4  − x1 − x2 + x3 + x4  − x1 + x2 + x3 − x4
A= 1 2
,B=
,C =
. (3.4.7)
4 ρ
8 ρ
8 ρ
Поскольку оценка канального коэффициента для пилотной позиции равна

h j = x j ρ , уравнение (3.4.7) перепишем в другом виде.
   
   
   
 h1 + h2 + h3 + h4  − h1 − h2 + h3 + h4  − h1 + h2 + h3 − h4
. (3.4.8)
A=
,B=
,C =
4
8
8
Канальные оценки для всех позиций, представленных на рис. 3.5, с учетом
интерполяции вычисляются по формуле

 

h (k , n) = A + Bk + Cn ,
(3.4.9)
где индексы k и n дают номера позиций по времени и частоте на рис. 3.5.
Оценки (3.4.8) имеют ясный смысл. Оценка A дает канальную оценку для
 
точки начала координат (k=0, n=0), а оценки B, C - два градиента канальных
коэффициентов вдоль осей времени и частоты.
Если канал не имеет вариаций («плоский» канал), то формула (3.4.9) упрощается и принимает вид
   

 h1 + h2 + h3 + h4
.
(3.4.10)
h ( k , n) = A =
4
Смысл такой оценки понятен. Для всех позиций принимается одна и та же
оценка, равная среднему арифметическому между оценками канальных коэффициентов на пилотных позициях. Дисперсия оценки получается в 4 раза меньше, чем дисперсия одной пилотной оценки. Если принять ОСШ ρ=1, дисперсия
одной пилотной оценки равна средней мощности шума, которая принята равной единице. В таком случае оценка (3.4.10.) будет иметь дисперсию 0.25.
Для оценки (3.4.9) также можно вычислить дисперсию. В этом случае дисперсия оценки зависит от индексов (k,n), т.е. от номера позиции в плоскости
“частота-время”. Если принять ОСШ ρ=1, то дисперсия оценки (3.4.9) равна
102

2
4 + k 2 + n2
.
< ∆ h ( k , n) > =
16
(3.4.11)
Вычисленные по этой формуле значения дисперсии оценки приведены на
рис. 3.6. Видно, что шумовая ошибка канального оценивания имеет наименьшее значение в центре квадрата, образованного пилотными сигналами, а наибольшее значение ошибки наблюдается в углах за пределами этого квадрата.
Рис. 3.6. Дисперсии канальных оценок для различных позиций
Интерполяционные формулы (3.4.8), (3.4.9) и (3.4.11) легко обобщить на
случай 4 пилотных сигналов с произвольной прямоугольной конфигурацией
размещения. Такая конфигурация пилотных сигналов и необходимые обозначения представлены на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Конфигурация пилотных сигналов в виде прямоугольника.
103

В этом случае оценки параметров A, B и C и канальные оценки h (t ,ν ) вычисляются по следующим формулам:
   
   
   
 h1 + h2 + h3 + h4  − h1 − h2 + h3 + h4  − h1 + h2 + h3 − h4
, (3.4.12)
A=
,B =
,C =
4
2T
2F

  
h (t ,ν ) = A + Bt + Cν .
(3.4.13)
Дисперсия канальных оценок из-за шума при ОСШ ρ=1 равна
 1  t  2  ν  2

2
< ∆ h (t ,ν ) > =  +   +    .
 F  
 4  T 
104
(3.4.14)
ЛИТЕРАТУРА
1. Феер Л. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения
спектра. Пер. с англ. М:, Радио и связь, 2000. 520 с.
2. Марков Г.Т., Сазонов Д.М. Антенны. М.: Энергия, 1975. 528 с.
3. Черный Ф.Б. Распространение радиоволн. М.: Сов. радио, 1962. 480 с.
4. Прокис Д. Цифровая связь. Пер. с англ. – М: Радио и связь, 2000. 800с.
5. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть I. М.: Радио и
связь, 1986. 440 с.
6. Bevan D.D.N., Ermolayev V.T., Flaksman A.G., Averin I.M. Gaussian channel
model for mobile multipath environment // EURASIP Journal on Applied Signal
Processing, 2004, No. 9, pp. 1321-1329.
7. Liberti J.C. and Rappaport T.S. A geometrically based model for line-of-sight
multi-path radio channels // Proc. IEEE 46 Veh. Tech Conf., April 1996, pp. 844848.
8. Pedersen K.I., Mogensen P.E. and Fleury B.H. A Stochastic model of the temporal and azimuthal dispersion seen at the base station in outdoor propagation environments // IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 49, no. 2, March
2000, pp. 437-447
9. Greenstein, L., Erceg, V., Yen, Y.S., Clark M.V. // IEEE Transactions on Vehicular Technology. - V.43. – No. 4. - P. 837-847.
10.Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
11.Ermolayev V.T., Flaksman A.G., Mavrichev E.A. Estimation of channel matrix
rank for multielement antenna arrays working in multipath fading environment //
Proceedings of 1st IEEE International Conference on Circuits and Systems for
Communication (ICCSC’02), 2002, St. Petersburg, Russia, pp. 416-419.
12.Евсиков Ю.А., Чапурский В.В. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах. М.: Высшая школа, 1977.
13.Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. радио, 1970.
728с.
14.Рубцов А.Е., Шпагина В.С. Влияние неточности оценки канала на вероятность битовых ошибок систем связи с М-QAM модуляцией // Труды (седьмой) научной конференции по радиофизике, посвященной 90-летию со дня
рождения В. С. Троицкого, 7 мая 2003. – Ред. А. В. Якимов. – Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2003. – С. 216–217.
15.Bevan D.D.N., Ermolayev V.T., Flaksman A.G. Coherent multichannel reception
of binary modulated signals with independent Rician fading // Proceedings of
IEEE Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop (SAM2000).
2000. Cambridge MA. P. 37-39.
16.Сюваткин В.С., Есипенко В.И., Ковалев И.П., Сухоребров В.Г. WiMax – технология беспроводной связи: основы теории, стандарты, применение. Под
ред. Крылова В.В. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 368 с.
105
17.Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Пер. с англ. М:, Изд. дом «Вильямс», 2003. 1104 с.
18.Рошан П., Лиэри Д. Основы построения беспроводных локальных сетей
стандарта 802.11. Пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. – 304 с.
106
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ
БПФ
БС
ГММК
ИХ
КАМ
КММК
МП
ОБПФ
ОСШ
СЭ
ФМ
быстрое преобразование Фурье
базовая станция
гауссова модель многолучевого канала
импульсная характеристика
квадратурная амплитудная модуляция
круговая модель многолучевого канала
максимально правдоподобный
обратное БПФ
мощности сигнала к мощности шума
спектральная эффективность
фазовая модуляция
BER
CDMA
OFDM
PER
SER
Wi-Fi
Bit Error Rate
Code Division Multiple Access
Orthogonal Frequency Division Multiplexing
packet error rate
Symbol Error Rate
Wireless Fidelity
107