РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЦЕНТРИФУГИРОВАННОГО СЛОЯ

Конвективные течения…, 2007
РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ
ЦЕНТРИФУГИРОВАННОГО СЛОЯ
ЖИДКОСТИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ
ЦИЛИНДРЕ
Д.А. ПОЛЕЖАЕВ
Пермский государственный педагогический университет,
614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально изучается движение центрифугированного слоя жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре. Обнаружены и описаны различные режимы течения и
проведен анализ причин их возникновения. Большое внимание уделяется устойчивости гравитационного погранслойного течения к вихрям Гертлера. Показано, что вне зависимости от типа возникающего течения его причиной являются колебания, которые жидкость совершает под действием
гравитационного поля Земли. Проведено сравнение с экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.
Ключевые слова: вращение, инерционные волны, осредненные потоки, пограничный слой, устойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
Экспериментально изучается структура течения центрифугированного слоя жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре. Жидкость совершает вынужденные колебания под действием
осциллирующей (в системе отсчета жидкости) силы тяжести, что
приводит к возникновению осредненного течения жидкости в направлении, противоположном вращению полости [1]. Азимутальное течение генерируется в тонком осциллирующем пограничном
слое Стокса вблизи твердой границы и распространяется в объем
жидкости. Скорость движения определяется величиной безразмерной амплитуды модуляций центробежного силового поля и быстро
 Полежаев Д.А., 2007
Конвективные течения…, 2007
убывает с увеличением скорости вращения полости. Одновременно
с вынужденными колебаниями жидкости вблизи твердой границы
возможно появление инерционных волн. Возбуждение инерционных волн приводит к формированию пространственнопериодических трехмерных течений [1, 2]. Генерация и устойчивость осциллирующего погранслойного течения во вращающейся
полости в условиях, когда течение формируется под действием
нормальных оси вращения вибраций, исследованы в [3, 4]. Показано, что неустойчивость двумерного течения связана с развитием
вихрей Гертлера.
В настоящей работе внимание уделяется изучению структуры
гравитационного погранслойного течения. Также изучаются крупномасштабные течения, генерируемые стоячими волнами и инерционными, возбуждаемыми вблизи торцов полости.
1. ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема экспериментальной установки показана на рис. 1. Кювета
1 изготовлена из органического стекла и представляет собой цилиндрическую полость внутренним радиусом R и длиной L . Размеры кювет в экспериментах варьируются: R и L соответственно
равны 2.5 см и 31.7 см, 3.1 и 33.4, 3.4 и 34.7. Кювета закрепляется
на массивной плите 2. Шаговый двигатель 3 типа SMD-40M позволяет приводить кювету во вращение, неравномерность вращения не
превышает 0.2 %. Частота вращения изменяется в интервале
f = 0 − 25 Гц и измеряется частотомером с погрешностью, не превышающей 0.05 Гц. Изучение структуры и интенсивности течения
жидкости проводится в свете стробоскопической лампы 4, частота
вспышек которой согласована со скоростью вращения полости.
При необходимости в экспериментах используется фоторегистрация, в этом случае фотокамера 5 (Canon PowerShot 610A) устанавливается напротив кюветы и нормально к оси ее вращения.
В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые
растворы различной концентрации и керосин. Кинематическая вязкость растворов измеряется вискозиметром ВПЖ-2 с точностью не
менее 3 % и варьируется в диапазоне ν = 1.0 − 10.5 сСт. Плотность
жидкостей измеряется ареометрами из набора АОН-2 с погрешностью 0.5 %, ρ = 1.00 − 1.09 г/см3. Параметры керосина: ν = 1.1 сСт и
ρ = 0.87 г/см3. В качестве визуализатора течения используется
алюминиевая пудра. В случае водоглицериновых растворов пудра
54
Полежаев Д.А. Режимы течения центрифугированного слоя жидкости
предварительно смачивается малым количеством спирта, после
чего смешивается с жидкостью.
4
1
3
2
5
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
Количество жидкости в полости характеризуется относительным наполнением q = V V0 , где V – объем жидкости, V0 – объем
полости. В опытах q изменяется в пределах q = 0.10 − 0.40 (погрешность измерения не более 3 %).
Кювета с жидкостью приводится во вращение с частотой, обеспечивающей центрифугированное состояние жидкости. Изучение
структуры течения начинается в условиях, когда скорость вращения кюветы f много больше скорости, при которой центрифугированный слой жидкости обрушается. При заданном значении f
измеряется скорость относительного движения жидкости и размеры
возникающих вихревых структур. Затем скорость вращения понижается с шагом ~ 1 Гц, измерения повторяются. Время ожидания
формирования структур на каждом шаге составляет не менее 10
минут.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
В центрифугированном слое жидкости легкие маркеры располагаются на свободной поверхности, тяжелые (алюминиевая пудра)
равномерным слоем покрывают цилиндрическую стенку полости.
Вдали от порога обрушения центрифугированного слоя жидкость
совершает твердотельное вращение вместе с полостью. Легкие
маркеры случайным образом распределяются на свободной поверхности жидкости и во вращающейся системе отсчета неподвиж-
55
Конвективные течения…, 2007
ны. При понижении частоты вращения f возбуждается отстающее
азимутальное течение: скорость вращения жидкости в лабораторной системе отсчета меньше скорости вращения полости. По мере
приближения к границе неустойчивости (обрушения) центрифугированного слоя скорость относительного движения ∆f = f L − f
увеличивается ( f L – частота вращения жидкости в лабораторной
системе).
Траектория движения маркеров изначально представляет собой
окружность, однако при уменьшении f маркеры начинают двигаться по винтовой линии. В правой части полости маркеры движутся к правому торцу, в левой части – к левому. Интенсивность
осевого течения возрастает при увеличении ∆f и через достаточно
длительное время (несколько минут или несколько десятков минут
в зависимости от величины f ) все легкие маркеры собираются
вблизи торцов. В большинстве экспериментов ∆f лишь оценивается, и только в некоторых экспериментах измеряется точно; наибольшая скорость движения составляет ~ 1 Гц.
Рис. 2. Периодические структуры в центрифугированном слое жидкости
вблизи торцов полости; R = 2.5 см, L = 31.7 см, ν = 3.9 сСт, q = 0.33 и
f = 14 Гц; расстояние между метками (внизу рисунка) здесь и далее равно
25 см
При скорости вращения f > 20 Гц частицы пудры равномерным слоем покрывают цилиндрическую стенку полости. Уменьшение f приводит к перераспределению пудры вблизи торцов полости. В торцевых областях течение жидкости перестает быть двумерным, что приводит к перераспределению частиц визуализатора. На
рис. 2 светлые участки соответствуют положению пудры, расстояние между ними равно периоду Λ . Возникающие структуры представляют собой неподвижные во вращающейся системе и нормальные к оси вращения кольца. Сначала образуются один-два периода,
56
Полежаев Д.А. Режимы течения центрифугированного слоя жидкости
при уменьшении f их количество может увеличиваться, в некоторых экспериментах число периодов достигает семи-восьми. Как
правило, глубина проникновения течения в центральную часть полости не превышает 2 калибров (диаметр полости).
Проведенные при неизменной вязкости жидкости эксперименты
показывают, что пространственный период Λ не зависит от скорости вращения полости. Одновременно увеличение относительного
наполнения приводит к монотонному возрастанию Λ (рис. 3, а).
Исключение составляет только случай q = 0.25 (точки 4): период
увеличивается при f < 15 Гц.
1.6
1.6
1
2
3
4
5
Λ, см
1
2
3
4
5
6
7
Λ, см
1
1
а
0.4
8
15
f, Гц
22
б
0.4
8
15
f, Гц
22
Рис. 3. Зависимость пространственного периода Λ структур от частоты
вращения полости (R = 2.5 см); а: ν = 1.1 сСт (керосин), q = 0.12, 0.16, 0.20,
0.25 и 0.30 (точки 1–5); б: ν = 1.0 сСт, q = 0.17 (1), ν = 1.1 и 3.9 сСт, q = 0.16
(2, 3), ν = 1.1 сСт, q = 0.25 (4), ν = 1.0 сСт, q = 0.24 (5), ν = 6.1 и 1.5 сСт,
q = 0.34 (6, 7)
Изменение вязкости жидкости приводит к уменьшению общего
числа периодов структур: при ν > 6 сСт оно не превышает двухтрех. Сравнение Λ , измеренных при одинаковом значении q , показывает, что размер вихрей слабо зависит от вязкости жидкости
(рис. 3, б). Общим остается и то, что Λ зависит от скорости вращения полости при q ≈ 0.25 .
Динамика свободной поверхности жидкости зависит от вязкости
жидкости и относительного наполнения кюветы. В случае малой
толщины центрифугированного слоя жидкости ( q мало) в исследуемом диапазоне f граница раздела представляет собой цилиндрическую поверхность и всегда остается гладкой и невозмущенной.
57
Конвективные течения…, 2007
Для q > 0.10 поведение становится сложным. При f > 20 Гц поверхность жидкости по-прежнему гладкая. При уменьшении f на
поверхности жидкости появляются трехмерные волны, амплитуда
колебаний которых возрастает по мере приближения к порогу обрушения центрифугированного слоя. Наиболее интенсивные колебания наблюдаются при q ≈ 0.25 .
Колебания жидкости приводят в движение легкие и тяжелые
маркеры. Если к моменту возникновения интенсивных колебаний в
центральной части полости на границе раздела остались маркеры,
то они концентрируются в определенных зонах вдоль оси кюветы,
находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга. Траектория
движения маркеров сложная: одновременно с азимутальным движением маркеры совершают слабое колебательное движение, перпендикулярное направлению основного движения. Расстояния между максимумами концентрации пудры и положениями легких
маркеров одинаковые. Отметим, что расстояние между первым
максимумом концентрации пудры и торцевой границей полости
равно половине расстояния между соседними максимумами
(рис. 4).
Рис. 4. Трехмерное течение в центрифугированном слое жидкости;
R = 3.1 см, L = 33.4 см, ν = 1.6 сСт, q = 0.30 и f = 13.5 Гц
Пространственный период течения Λ S не зависит от вязкости
жидкости и монотонно возрастает при увеличении относительного
наполнения (рис. 5). Вязкость жидкости влияет только на интенсивность колебаний жидкости и, как следствие, на "яркость" структур из частиц визуализатора. При увеличении вязкости до 10 сСт
крупномасштабное движение в исследуемом диапазоне q не наблюдается. Заметим, что описанное течение возникает только в
области умеренных или низких частот вращения и не наблюдается
при f > 20 Гц.
58
Полежаев Д.А. Режимы течения центрифугированного слоя жидкости
8
ΛS, см
5
1
2
3
4
5
6
7
2
0
0.2
q
0.4
Рис. 5 Период вихревых структур ΛS в зависимости от наполнения,
R = 2.5 см; ν = 1.0 сСт и q = 0.10 (1), 6.1 и 0.15 (2), 3.9 и 0.16 (3), 6.1 и 0.24
(4), 1.1 и 0.28 (5), 1.0 и 0.31 (6), 6.1 и 0.34 (7)
Наряду с длинноволновыми структурами в области умеренных
и низких частот вращения полости иногда наблюдается распределение пудры с пространственным периодом λ , значительно меньшим Λ (рис. 6). Период изменяется в пределах 1–3 мм. Эксперименты, проведенные при различных значениях q , не позволяют
судить о влиянии количества жидкости на величину λ . Повышение
вязкости жидкости приводит к возрастанию λ .
Рис. 6. Вид вихревого течения с малым пространственным периодом в центральной части полости и периодического течения в торцевых областях;
R = 2.5 см, L = 31.7 см, ν = 3.9 сСт, q = 0.33 и f = 10 Гц
Кроме того, в области умеренных частот вращения на свободной поверхности жидкости наблюдается плоская азимутальная
волна с двумя горбами малой высоты, вытянутыми вдоль оси вращения и сдвинутыми друг относительно друга на угол π (азимутальное волновое число l = 2 ). Поверхность жидкости при этом
остается гладкой. Волна распространяется в направлении вращения
59
Конвективные течения…, 2007
цилиндра с частотой f w , приблизительно равной половине частоты
вращения полости f . Величина f / 2 − f w > 0 не зависит от наполнения и незначительно возрастает с уменьшением f . Максимальная разница f / 2 − f w ≈ 0.4 Гц наблюдается при частоте f = 9 Гц.
С увеличением частоты вращения цилиндра волна ослабевает, и
при f > 15 Гц, как правило, не наблюдается. При возникновении
интенсивных колебаний жидкости (например, при q ≈ 0.25 ) волна
также перестает быть видимой.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Под действием осциллирующей во вращающейся системе отсчета силы тяжести центрифугированный слой жидкости совершает вынужденные колебания относительно стенок полости. В жидкости, совершающей осциллирующее и вращательное движения,
возможно возбуждение специфических инерционных волн [5]. Если
колебания жидкости совершаются вдоль оси вращения, то угол между волновым вектором и осью вращения определяется условием
tgϕ = (4 / n − 1) −1/ 2 , где n = ω / Ω – безразмерная частота осцилляций
жидкости ( ω – циклическая частота колебаний жидкости, Ω = 2 πf
– угловая скорость вращения полости).
Колебания жидкости в центрифугированном слое вызываются
азимутальной волной, распространяющейся в направлении вращения полости с угловой скоростью Ω / 2 (в лабораторной системе
отсчета). Поскольку l = 2 колебания жидкости в системе отсчета
полости происходят с частотой Ω , так что n = 1 . Подстановка n в
формулу для расчета тангенса угла наклона дает значение 1/ 3 .
Предположим теперь, что вблизи торца полости колебания жидкости имеют осевую компоненту. Под действием этих колебаний
вблизи твердой границы может генерироваться инерционная волна.
На рис. 7, а показана схема возможного пути распространения волны. Независимо от того, где генерируется волна (в точке А или В),
отражение волны от границ слоя происходит с периодом
Λ = 2h / tgϕ , здесь h – толщина центрифугированного слоя жидкости. Таким образом, если генерация торцевых течений связана с
возбуждением описанных волн, то безразмерный период Λ/h должен иметь постоянное значение 2 3 . Теоретическое значение Λ/h
хорошо согласуется с экспериментальными данными (рис. 7, б).
60
Полежаев Д.А. Режимы течения центрифугированного слоя жидкости
4
z
Λ/h
Λ
2
0.05
0.15
0.25
q
б
α
A
B
h
R
а
Рис. 7. Схема возможного распространения
инерционных волн в центрифугированном
слое жидкости толщиной h из точек А и В,
находящихся вблизи торца полости (а);
зависимость безразмерного периода от наполнения полости q для жидкостей различной вязкости (б)
Характеристической поверхностью возбуждаемой волны является конус, вдоль которого жидкость совершает сдвиговое осциллирующее движение [5]. Очевидно, что за пределами возникающего вязкого пограничного слоя жидкость приобретает среднее движение. Вблизи твердой границы это течение захватывает частицы
визуализатора, которые формируют наблюдаемую в эксперименте
периодическую структуру. Не до конца выясненным остается вопрос о точном месте генерации волны и, соответственно, о форме
вихревого течения жидкости. Для полного решения задачи требуется знать, каким именно образом волна генерирует средний поток
жидкости и что происходит в точке отражения волны от границы
раздела и стенки полости. Можно предположить, что в вязкой жидкости, где амплитуда колебаний меньше, глубина проникновения
волны в центральную часть полости должна уменьшиться. Это согласуется с результатами наблюдений.
Определим возможные причины увеличения периода Λ при
q ≈ 0.25 . В этом случае на поверхности жидкости возникают колебания, приводящие в среднее движение легкие и тяжелые маркеры.
Экспериментальное [1] и теоретическое [2] исследования волн на
свободной поверхности центрифугированного слоя жидкости показывают, что во вращающемся цилиндре возможно возбуждение
стоячих спиральных волн. Стоячие волны генерируют средние вихревые потоки жидкости, период которых совпадает с половиной
61
Конвективные течения…, 2007
длины волны. В стоячей волне жидкость совершает трехмерные
колебания, и области высокой концентрации легких и тяжелых частиц соответствуют узлам радиальных колебаний. Наибольшая интенсивность колебаний имеет место при q ≈ 0.25 , что согласуется с
результатами [1]. Вероятно, возбуждение интенсивных колебаний
жидкости влияет на распространение инерционных волн вблизи
торцов полости, что приводит к увеличению периода Λ .
Измеренный в эксперименте период Λ S хорошо согласуются с
результатами [1, 2] на плоскости параметров q , K (рис. 8). Здесь
K ≡ πR / Λ S – безразмерное волновое число.
1.1
3
K
1
2
3
4
k
1.5
0.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0.2
q
0.4
Рис. 8. Зависимость волнового числа K от наполнения; точки 1–7 соответствуют рис. 5, 8 – R = 2.5 см,
ν = 1.0 сСт и q = 0.10, 9 – R = 3.4 см,
ν = 1.0 сСт и q = 0.25; кривая проведена по результатам [2]
0.5
10
20
γ
30
Рис. 9. Зависимость волнового числа коротковолновых структур k от
безразмерной толщины слоя жидкости γ для ν = 3.2 сСт и q = 0.24, 3.9 и
0.33, 1.5 и 0.34, 1.0 и 0.31 (1–4)
Обсудим причину появления коротковолновых периодических
структур (рис. 6). Их возникновение не связано с возбуждением
инерционных волн вблизи торцов, так как структуры наблюдаются
и в центральной части полости. Не могут быть их источником и
стоячие волны, потому что коротковолновые структуры наблюдаются и в их отсутствие.
Напомним, что жидкость совершает колебательное движение
под действием бегущей азимутальной волны. Фазовая неоднородность колебаний жидкости в вязком слое Стокса вблизи твердой
границы приводит к генерации среднего "акустического" потока
62
Полежаев Д.А. Режимы течения центрифугированного слоя жидкости
всего объема жидкости [6]. Таким образом, вблизи твердой границы жидкость совершает колебания и, одновременно, равномерно
движется в направлении движения волны.
Неустойчивость вязких пограничных слоев на вогнутой поверхности известна как неустойчивость Гертлера (список основных работ можно найти в [7]). В результате неустойчивости в вязком слое
возникает пространственно-периодическое течение в виде продольных вихрей противоположной закрутки. Исследованию интенсивности и структуры вихревого движения жидкости в центрифугированном слое жидкости, совершающем нормальные оси вращения вибрации под действием внешней переменной силы, посвящена
работа [4]. Показано, что в пределе тонкого пограничного слоя
h / δ >>1 период течения зависит только от безразмерной частоты
вращения полости f / f osc , здесь f osc – частота колебаний жидкости относительно полости.
В гравитационном течении частота осцилляций равна частоте
вращения. В пределе h / δ >>1 волновое число k = 2πδ λ должно
быть неизменным (здесь δ = ν/πf osc – толщина вязкого слоя Стокса). Экстраполяция данных вибрационного исследования [4] на
значение f / f osc = 1 дает k = 0.60 ± 0.05 .
Экспериментальные результаты, полученные в настоящей работе при разных значениях γ ≡ h / δ ( f / f osc = 1 ), показаны на рис. 9.
В пределе тонкого пограничного слоя h / δ >20 результаты хорошо
согласуются с полученным в [4] значением k = 0.6 .
Заключение. Изучена динамика центрифугированного слоя
жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре. Обнаружены и описаны различные режимы течения жидкости и проведен
анализ причин их возникновения. Исследования проведены в зависимости от вязкости жидкости, относительного наполнения полости и частоты вращения цилиндра. Показано, что вне зависимости от
типа возникающего среднего движения, его причиной являются
колебания, которые жидкость совершает под действием гравитационного поля Земли.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-01-00189)
и Рособразования (темплан 0120.0600475).
63
Конвективные течения…, 2007
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Иванова А.А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во
вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ.
2004. № 4. С. 98–111.
2. Phillips O.M. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 7.
P. 340–352.
3. Иванова А.А., Козлов В.Г., Полежаев Д.А. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ.
2005. № 2. С. 133–142.
4. Козлов В.Г. Полежаев Д.А. Устойчивость вибрационного движения центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ
(в печати).
5. Гринспен Х.П. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 304 с.
6. Физическая акустика. Т. 2. Свойства полимеров и нелинейная
акустика / под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1969. 420 с.
7. Hall P. On the stability of Stokes layers at high Reynolds numbers
// J. Fluid Mech. 2003. Vol. 482. P. 1–15.
THE REGIMES OF CENTRIFUGED LIQUID
LAYER FLOW IN A HORIZONTAL
CYLINDER
D.A. POLEZHAEV
Abstract. The structure of centrifuged liquid layer flow in a rotating cylinder is experimentally investigated. Different regimes of
liquid flow are found and described. The principal analysis of its
appearance is carried out. It is shown that flows are caused by
oscillations of liquid under Earth gravity force. The concern focuses on the research of gravitational boundary-layer flow stability to Gortler vortices. The comparison of present results with
theoretical and experimental data of other authors is made.
Key words: rotation, inertial waves, mean flows, boundary layer, stability.
64