Математическое моделирование процесса

ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
7
УДК 517.946, 621.039.646
А.А. Белолипецкий
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Математическое моделирование процесса десублимации
изотопов водорода в лазерной мишени
Решается одна из задач математического моделирования технологических процессов
производства лазерных мишеней. Это направление исследований в общей проблеме
управляемого термоядерного синтеза занимает в настоящее время важное место.
Инерциальный термоядерный синтез основан на очень быстром доведении ядерного
топлива до сверхплотного состояния, а с этим и до термоядерных температур. Контейнер, содержащий ядерное топливо, называется мишенью. Мишень симметрично
облучают со всех сторон лазерным излучением. При этом энергия излучения поглощается во внешней абляционной оболочке мишени, аблятор испаряется, ионизируется и разлетается. Создаваемый при таком разлете реактивный импульс давления
сжимает неиспарившееся топливо, которое в центре мишени достигает необходимой
плотности и температуры. Это и позволяет зажечь D-T термоядерную реакцию. Создание лазерной мишени предполагает накачку мишени газом до высоких давлений
с последующим резким охлаждением ее. В работе изучается процесс вымораживания
газообразных изотопов водорода на внутренней стенке оболочки лазерной мишени.
Ключевые слова: лазерная мишень, управляемый термоядерный синтез, математическая модель, параболические уравнения, сингулярные возмущения.
I. Введение
Настоящая работа посвящена решению
одной из задач математического моделирования технологических процессов производства лазерных мишеней. Это направление исследований в общей проблеме управляемого термоядерного синтеза занимает
в настоящее время одно из главных мест.
Сам управляемый термоядерный синтез с
инерциальным удержанием, или ИТС —
инерциальный термоядерный синтез, основан на очень быстром доведении ядерного
топлива до сверхплотного состояния, а с
этим и до термоядерных температур [1–4].
Контейнер, содержащий ядерное топливо, а как правило, это дейтерий-тритиевая смесь, называется мишенью. Исследования показывают, что абляционное сжатие сферически или цилиндрически симметричной топливной мишени для формирования центра горения является энергетически оптимальным процессом. Для этого мишень симметрично облучают со всех
сторон лазерным излучением или иными
видами излучения (рентгеновское, ионные
и электронные пучки) [5–6]. При этом
энергия излучения поглощается во внеш-
ней абляционной оболочке мишени, аблятор испаряется, ионизируется и разлетается со скоростью порядка 100 км/с. Создаваемый при таком разлете реактивный
импульс давления сжимает неиспарившееся топливо, которое в центре мишени достигает необходимой плотности и температуры. Последнее и позволяет зажечь
D-T термоядерную реакцию. образующиеся в результате реакции альфа-частицы
с энергией 3,52 МэВ теряют её во внутреннем слое холодного топлива и нагревают его. Образуется фронт термоядерного горения, который быстро распространяется в слое холодного топлива. Теоретические расчёты показывают, что для достижения условия брейкивен (breakeven —
условие, при котором энергия выхода в реакции термоядерного синтеза не меньше
вложенной) необходимо существенное сжатие и нагрев вещества мишени до температур 10 кэВ. Для этого можно использовать
одну из трёх схем облучения топливной
мишени. Это прямое облучение, прямое зажигание, или быстрый поджиг, и непрямое рентгеновское облучение. Структура
мишени и её физические характеристики,
вообще говоря, зависят от схемы облучения, но неизменной остаётся одна черта:
8
мишень должна представлять собой сферическую оболочку с твёрдым слоем D-T
топлива внутри нее. На первый взгляд,
это простая конструкция. Но она оказалась достаточно сложной при её технической реализации [7–8]. Первая проблема
состоит в том, чтобы доставить топливо
внутрь многослойной полистироловой оболочки мишени, не разрушив ее. Одно из
решений — поместить оболочку в камеру
с D-T газообразной смесью, находящейся
под давлением. В результате газ проникает через стенку мишени, постепенно заполняя ее. Давление газа внутри мишени повышается, а вместе с этим следует повышать и внешнее давление, но так, чтобы
не разрушить оболочку. Поскольку в оптимальном по быстродействию режиме разность внешнего и внутреннего давлений
не должна превышать критического значения, при котором может разрушиться
оболочка, необходимо с высокой степенью
точности определять давление газа внутри мишени, измерить которое невозможно. При этом внутреннее давление может
достигать от 300 до 1000 атм. Было необходимо разработать адекватную математическую модель заполнения газопроницаемых оболочек до высоких давлений [9–10],
когда состояние газа описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Результаты модельных расчётов в дальнейшем использовались при конструировании системы заполнения оболочек в лаборатории термоядерных мишеней нейтронно-физического
отдела ФИАН им. П.Н. Лебедева. После
заполнения газом мишень помещается в
криостат, где охлаждается до температур
фазовых переходов, в результате которых
газ оседает на внутренней стенке мишени
в виде твёрдого слоя. В работе изучается процесс вымораживания газообразных
изотопов водорода на внутренней стенке
оболочки лазерной мишени без образования жидкой фазы, то есть процесс десублимации.
II. Предположения модели
и некоторые вспомогательные
соотношения
На рис. 1 изображена лазерная мишень, которая представляет собой многослойную полистироловую сферическую
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
оболочку, внутри которой находится дейтерий-тритиевая газообразная смесь, охлаждённая до температуры тройной точки.
В процессе десублимации на внутренней
стенке оболочки вымерзает твёрдый шарообразный слой изотопов водорода, который далее будем называть криогенным,
или топливным слоем.
Рис. 1
Будем считать, что в процессе десублимации газ внутри оболочки представляет
собой насыщенный пар, и его температура,
давление и плотность связаны уравнением Клапейрона–Клаузиуса. Такой подход
представляется более реалистичным, чем
предположение о постоянстве температуры газообразной фазы, сделанное в работе [11]. Поэтому полученные ниже результаты несколько отличаются от тех, что были приведены в статье [11].
Вначале проведём анализ уравнения
Клапейрона–Клаузиуса для газа, термодинамическое состояние которого описывается уравнением Клапейрона–Менделеева.
Последнее допущение является в некоторой степени идеализацией и оправдывается в первую очередь попыткой аналитического решения поставленной ниже задачи.
Давление p, температура T и удельные
объёмы vg ,vs газообразного и твёрдого водорода в области тройной точки на фазовой диаграмме связаны уравнением Клапейрона–Клаузиуса
λs
dp
=
,
dT
T (vg − vs )
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
где λs — удельная теплота сублимации.
Для водорода и его изотопов в окрестности
тройной точки отношение vs /vg мало, поэтому предыдущее уравнение можно приблизить уравнением
dp
λs
.
=
dT
T vg
(1)
Термодинамическое равновесное состояние газообразной фазы внутри оболочки
описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Наше упрощение сводится к предположению об идеальности газа, то есть к
уравнению Клапейрона–Менделеева pV =
V
RT , откуда следует, что vg = m
= RT
,
=m
μ
μp
(μ — молярная масса газа). Подставим это
выражение в (1) и проинтегрируем уравнение (1) по T . Получим хорошо известное
соотношение между давлением и температурой идеального насыщенного пара:
λs μ
.
(2)
p = C exp −
RT
Наша ближайшая задача найти связь между толщиной криогенного слоя w = r1 −
− rs и температурой газа внутри оболочки, которая предполагается однородной по
объёму. Обозначим Ttp ,ρ0 — температуру,
при которой начался процесс десублимации, и начальную плотность газа в мишени. Пусть r1 ,rs — внутренний радиус оболочки мишени и расстояние от центра мишени до внутренней поверхности шарового криогенного слоя соответственно. Тогда
толщина криогенного слоя w = r1 − rs , а
его объём Vs = V0 − 43 πrs3 = 43 π (r13 − rs3 ),
где V0 — начальный объём газа. Левую
часть уравнения (2) согласно закону Клапейрона-Менделеева запишем как
p=
ρ
ρ0 V0 − ρs Vs RT
RT =
=
μ
V0 − Vs
μ
ρ0 RT
=
εμ
1−ν
,
1−
(1 − w)3
(3)
где ν = ρρ0s ≈ 0,22 для изотопов водорода
при температуре, близкой к тройной точке, а w = rw1 — безразмерная относительная толщина криослоя. Подставляя выражение (3) в левую часть формулы (2) и
учитывая, что при T = Ttp плотность газа
9
ρ = ρ0 и относительная толщина криослоя
w = 0, получим значение постоянной
α
ρ0 RTtp
exp
C=
.
μ
Ttp
К ≈ 243 К. Вновь
Здесь α = λRs μ ≈ 990·2
8,13
подставим (3) в левую часть (2) и используем только что полученное выражение
для C. Теперь (2) примет вид
1−
−1
Ttp
1−ν
−1
≡
=
ν
−
T
exp
α
T
tp
T
(1 − w)3
≡ νG(T ).
Разрешим это уравнение относительно w.
Получим
1/3
1−ν
w =1−
.
(4)
1 − νG
Если ν = ρρ0s мало, то (4) можно разложить
в ряд по малому параметру ν и получить
аналитическую зависимость w(T ):
w=
w
=
r1
−1
ν
Ttp
−1
exp α Ttp − T
=
1−
+O(ν 2 ).
3
T
α (5)
d
T eT
=
Нетрудно
видеть,
что
dT
α α
= e T 1 − T 0, если T α ≈ 243K, что
справедливо для того диапазона температур, при котором происходит десублимация. Отсюда следует, что правая часть (4)
или (5) является монотонно убывающей
функцией T . Таким образом, при убывании T от T0 до 0 величина w(T ) монотонно
возрастает
от 0 до примерно wmax = 1 −
√
− 3 1 − ν ≈ 0,08. Если ν = ρρ0s мало, то
ρ0
w max ≈ 3ρ
. Из уравнения (4) (а при маs
лых значениях ν из (5)) получаем трансцендентную зависимость
w
T = F (w) ≡ F
,
(6)
r1
где F (w) — функция, обратная к функции,
стоящей в правой части соотношения (4)
(или (5)).
10
III. Математическая
постановка начально-краевой
задачи
Ниже Ti (r,t), ki (T ), ci (T ), ρi (T ) обозначают температуру, коэффициент теплопроводности, теплоёмкость и плотность веществ соответственно. Индекс i = sh ,s,g,
где sh относится к оболочке, s,g определяют криогенный слой и газ. Тепловые потоки в оболочке и криослое описываются в
сферически симметричном случае уравнением теплопроводности
χ ∂
∂Ti
∂Ti
ρi ci
= 2 r 2 ki
,i = sh ,s.
∂t
r ∂r
∂r
(8)
где Text — внешняя температура, которая
может зависеть от времени. Условие
Tsh (r1 ,t) = Ts (r1 ,t)
(9)
определяет непрерывность температуры
на границе оболочка–криогенный слой. Баланс тепловых потоков на этой границе задаётся равенством
ksh
∂Tsh
∂Ts
|r=r1 = ks
|r=r1
∂r
∂r
(10)
Баланс тепловых потоков на границе криослой–газ учитывает тепло, выделяющееся
при десублимации,
χks
∂Ts r=r1 −w(t) =
∂r
∂Tg dw
.
r=r1 −w(t) − λs ρs
∂r
dt
Здесь λs — удельная теплота десублимации. Поскольку температура газа предполагается однородной по объёму, то первое
= χkg
∂Ts dw
.
(11)
r=r1 −w(t) = −λs ρs
∂r
dt
Равенство
температур
на
границе
газ–криогенный слой имеет вид Ts (r1 −
− w(t),t) = Tg (t), которое согласно (6) записывается как
χks
Ts (r1 − w(t),t) = F (w(t)).
(12)
Считаем, что процесс десублимации начинается в момент t = 0. Тогда начальные
условия таковы:
(7)
Коэффициент χ определяет отношение характерного пятна контакта, через которое
идёт теплообмен с внешней средой, к поверхности мишени. Если мишень полностью погружена в охлаждающую среду, то
для тонких оболочек χ ≈ 1.
На внешней поверхности оболочки
справедливо равенство
Tsh (r0 ,t) = Text ,
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
слагаемое справа равно нулю и последнее
равенство запишется в виде
w(0) = 0,
(13)
Tg (0) = Ttp ,
(14)
Tsh (r,0) = ϕ(r),
(15)
где Ttp — температура, при которой начался процесс десублимации, например, температура тройной точки газа, а ϕ(r) — распределение температур внутри оболочки в
начальный момент времени. Считаем, что
граничные условия для ϕ(r) согласованы с
граничными условиями нашей задачи, то
есть
ϕ(r0 ) = Text , ϕ(r1 ) = Ts (r1 ,0) = Tg (0).
Сразу отметим, что решение поставленной
выше задачи «забывает» начальные условия, поэтому условие (15) далее существенной роли играть не будет.
Введём безразмерную температуру θ =
= TText . Для физических коэффициентов
криогенного слоя ks ,cs ,ρs используем линейные аппроксимации
ks = 5 · 10−3
Дж
,
см · с · К
cs = cs · θ, где cs = 1 Дж
, ρs = 0,09 смг 3 .
г·К
Для упрощения исследования поставленной начально-краевой задачи (8)–(15)
для системы уравнений (7) запишем её
в безразмерной форме. Для этого введём
следующие переменные и параметры.
Характерное время процесса десублимации можно оценить величиной
t∗1 =
ρ0 Vg λs
.
2 (Ttp −Text )
χk sh 4πr0 (r0 −r1 )
Здесь λs ≈ 990 Дж/г — удельная теплота
сублимации.
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
Введём τ =
t
t∗1
— безразмерное время;
i
— безразмерная температура в
θi = TText
−r
−r
слое i = sh ,s,g; x = rr00−r
, u = wr1max
— без1
размерные пространственные переменные
в оболочке и криослое соответственно; δ =
1
— безразмерная толщина оболоч= r0r−r
0
ки; параметр δ −1 называется ещё аспектw
ным отношением. Пусть далее w = wmax
—
безразмерная толщина криогенного слоя.
Переменная x будет использоваться
для точек оболочки. Очевидно, что на её
внутренней и внешней границах значения
x равны 1 и 0 соответственно. Пространственную переменную u будем использовать для точек криогенного слоя. На внешней и внутренней границе этого слоя u равно соответственно 0 и w.
Будем считать оболочку стеклянной
(стекло «пирекс»). Зависимость cg , csh ,
ksh от температуры можно приближённо
задать линейными соотношениями ksh =
= k sh · (1 + αsh θ), csh = csh · (1 + βsh θ), где
θ = Т/Text — безразмерная температура.
В частности, параметры, входящие в
приведённые выше формулы для водорода, заключённого в стеклянную оболочку
под давлением 250 атм, при температурах
порядка 300 К имеют следующие значения:
k sh = 1,4 · 10−3
Вт
,αsh = 0,14,
см · К
Дж
,βsh = 0,2, ρsh = 2,3 г/см3 .
г·К
Теплоёмкость cg для газа практически не
зависит от температуры и равна cg =
= 1,5R = 6,2 Дж
. Плотность газообразного
г·К
водорода при давлении 250 атм в оболочке
радиуса r0 = 0,5 мм при комнатной температуре равна ρ0 = ρg = 2 · 10−2 смг 3 .
В безразмерных переменных система
уравнений (7) для θsh (x,τ ),θs (u,τ ) примет
вид
csh = 6·10−2
ε(1 + βsh θsh )
1
∂θsh
=
×
∂τ
(1 − δx)2
∂
∂θsh
,
(16)
× (1 − δx)2 (1 + αsh θsh )
∂x
∂x
γ
∂θs
∂
∂θs
εθs
=
(1 − δ1 u)2
. (17)
2
∂τ
(1 − δ1 u) ∂u
∂u
Здесь параметр δ1 =
wmax
r1
= wmax ≈ 0,08.
11
Величины
ε=
(δr0 )2 ρsh csh
3δρsh csh · (Ttp − Text )
=
≈
∗
λs ρ0
χk sh t1
≈ 0,005,
ε1 =
δ12 r12 ρs cs
=
χks t∗1
ρs cs (δ1 (1 − δ))2 k sh
= 3(Ttp − Text )
≈ 0,0005
ρ0 λs δks
и γ = εε1 ≈ 10.
Параметр ε является малым. Таким образом, система (16)–(17) является сингулярно возмущённой системой полулинейных параболических уравнений. Краевые
условия (8)–(9) примут вид
θsh (0,τ ) = 1,
(18)
θsh (1,τ ) = θs (0,τ ).
(19)
Балансовое соотношение (10) запишется
как
δ1 r1 k sh (1 + αsh θsh (1,τ )) ∂θsh (1,τ )
∂θs (0,τ )
=
.
∂u
δr0 ks
∂x
(20)
χks Text ∂θs wmax dw
=
,
λs ρs ∗
t1 dτ
δ1 r1 ∂u u=w(τ )
или
∂θs (u,τ ) dw
=ξ
u=w(τ ) ,
dτ
∂u
где
δr 2 ks ρ0 Text
ξ= 2 2 0
.
3δ1 r1 k sh ρs (Ttp − Text )
Равенство безразмерных температур газа
и криослоя на границе их раздела согласно (6) имеет вид θs (w(τ ),τ ) = f (w(τ )), где
F δ1 w
.
f w ≡
Text
Начальные условия (13)–(15) тоже очевидным образом записываются в новых обозначениях:
w(0) = 0,θg (0) =
Ttp
,
Text
θsh (x,0) = ϕ(x),x ∈ [0,1].
(21)
Поскольку начальные условия согласованы с краевыми, то ϕ(0) = 1,ϕ(1) = θg (0).
12
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
В дальнейшем при решении сингулярно возмущённой задачи (16)–(21) мы ограничимся построением лишь регулярной части решения, которая «не помнит» начальные условия. Погранслойная (или сингулярная) компонента решения быстро их
«забывает».
Плотность газа и безразмерная толщина криогенного слоя w = w/r1 при предположении об отсутствии жидкой фазы в
каждый момент времени связаны соотношением
3 1
ρ0
,
ρg (τ ) = ρs 1 − 1 −
ρs
1 − w(τ )
(22)
где ρ0 = ρg (0). Как отмечалось ранее,
процесс десублимации закончится, если в
некоторый момент плотность газа станет
достаточно малой, в идеале равной нулю.
В этом случае выражение в квадратных
скобках
√ обнуляется, и мы имеем 1 − w =
= 3 1 − ν, где ν = ρρ0s . Отсюда следует, что максимальная безразмерная толщина wmax криослоя
равна приблизительно
√
3
w max = 1 − 1 − ν, а wmax = r1 w max . Таким образом, максимально возможное значение безразмерного времени процесса десублимации τmax получаем, решая уравнение
w(τmax ) = wmax ,
или в других обозначениях:
w(τmax ) = 1.
Если же процесс десублимации заканчивается тогда, когда давление паров водородных изотопов больше нуля и равно
ρ∗g , то в этом случае согласно (22) величина
ρs − ρ0
w∗ = 1 − 3
,
ρs − ρ∗g
и продолжительность процесса десублимации τ ∗ в безразмерных единицах есть корень уравнения
w(τ ∗ ) = w ∗
r1
.
wmax
Таким образом, основным результатом решения задачи (16)–(21) для нас будет построение функции w(τ ), описывающей динамику изменения толщины безразмерного слоя.
Решение поставленной задачи будем искать в виде суммы регулярных и сингулярных слагаемых:
(r)
θsh (x,τ,ε) = θsh (x,τ,ε) + Π(sh) (x,τ ,ε),
θs (x,τ,ε) = θs(r) (x,τ,ε) + Π(s) (x,τ ,ε).
Здесь τ = τ /ε. Ограничимся поиском нулевого приближения регулярной составляющей решения, которое ищем в виде асимптотического ряда по степеням ε
(r)
θi (x,τ,ε)
=
(0)
θi (x,τ )
∞
+
(k)
εk θi (x,τ ),
k=1
i = sh ,s.
(23)
Сингулярная составляющая ищется так,
как описано в Приложении. Можно показать, что эта составляющая быстро стремится к нулю, и ею можно пренебречь.
IV. Построение
приближённого решения
задачи о десублимации
В данном параграфе будет построено нулевое приближение задачи (16)–(21),
то есть будут найдены первые члены
(0)
θi (x,τ ), i = sh ,s рядов (23). Запишем
уравнение (16) в виде
∂θsh
= H(θsh ,x),
∂τ
где нелинейный оператор
ε
(24)
H(θsh ,x) ≡
1
×
+ βsh θsh )
∂
∂θsh
× (1 − δx)2 (1 + αsh θsh )
.
∂x
∂x
Для того чтобы найти нулевые приближения уравнения (24), положим (см. Приложение):
(0)
H(θsh ,x) = 0, или
≡
(1 −
δx)2 (1
∂
(0) ∂θsh
(1 − δx)2 1 + αsh θsh
= 0. (25)
∂x
∂x
(0)
Аналогично в уравнении (17) нулевое приближение удовлетворяет уравнению
(0)
∂
∂θs
(1 − δ1 u)2
= 0.
∂u
∂u
(26)
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
(0)
(0)
Краевые условия для θsh ,θs имеют вид
(18)–(21), где вместо символа θ следует использовать θ(0) .
Интегрируя (25)–(26) по x и u соответственно, получим
1+
(0)
αsh θsh (x,τ )
2αsh
2
=
c0 (τ )
+ c1 (τ ),
δ(1 − δx)
(27)
d0 (τ )
+ d1 (τ ).
θs(0) (u,τ ) =
δ1 (1 − δ1 u)
(28)
Из (27), используя (18), найдём c1 (τ ) и,
подставив вновь в (27), получим
c0 (τ )x
=
1 − δx
1 (0)
2
2
(1 + αsh θsh (x,τ )) − (1 + αsh ) .
=
2αsh
(29)
Из (28), (29) и условия (19) равенства температур на границе оболочка — криослой
следует выражение для
1
d0
2αsh c0
+ (1 + αsh )2 − 1 − .
d1 =
αsh
1−δ
δ1
(30)
Дифференцируя (27) по x, а (28) по u, выразим
(0)
c0 (τ )
∂θsh
=
,
(0)
∂x
(1 + αsh θsh )(1 − δx)2
(0)
d0 (τ )
∂θs
=
.
∂u
(1 − δ1 u)2
(31)
Подставим правые части (31) в (20) и найдём связь между d0 и c0 d0 (τ ) = ηc0 (τ ),
где η =
δ1 r1 k sh
.
δr0 ks (1 − δ)2
Используем в (20) выражение (31). С учётом (37) дифференциальное уравнение
(20) примет вид
c0 (τ )
dw
,
= ξ1
dτ
(1 − δ1 w)
где ξ1 =
r0 ρ0 Text
.
3δ1 r1 ρs (Ttp − Text )
13
Определим вид c0 (τ ). Подставим (30) в
(28) и воспользуемся соотношением (37).
Тогда выражение для
θs(0) (u,τ ) =
1
=
αsh
2αsh c0
ηc0 u
+ (1 + αsh )2 − 1 +
.
1−δ
1 − δ1 u
Используем его в (21). Тогда для переменной z = αsh c0 получим иррациональное
уравнение
2z
+ (1 + αsh )2 − 1 =
1−δ
= αsh f w −
ηwz
,
1 − δ1 w
которое равносильно квадратному уравнению
a20 z 2 − 2 [1 + a0 (1 + αsh f )] z+
+αsh (f − 1) [2 + αsh (f + 1)] = 0
в предположении, что 1 − δ ≈ 1.
Здесь
ηw
a0 =
.
1 − δ1 w
(32)
Поскольку η ≈ 0,47,δ1 = wmax ≈ 0,08,
то для значений w ∈ (0,0,1) согласно (32)
полученное квадратное уравнение можно
заменить линейным, положив a0 = 0. Если w ∈ [0,1,1], то требуется решать квадратное уравнение, взяв в качестве решения меньший из корней, поскольку он при
a0 → 0 стремится к решению аппроксимирующего линейного уравнения. Таким образом, мыполучим
c0 = Φ w(τ ) , где
⎧
f w −1 2+α
f w +1
⎪
⎨ ( ( ) )[ sh ( ( ) )] ,w ∈ [0,0,1);
2[1+a0 (w)(1+αsh f (w ))]
√
Φ=
1+a0 (w)(1+αsh f (w))− D
⎪
⎩
,w ∈ [0,1,1] .
αsh a20 (w)
В этом выражении
D(w) =
= 1 + 2a0 (w)(1 + αsh f (w)) + a20 (w)(1 + αsh )2 .
Подставим (40) в дифференциальное уравнение (38), проинтегрируем последнее и
14
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
получим связь между безразмерной толw
щиной w = wmax
и безразмерным временем
процесса десублимации τ = tt∗ :
Аналогично пусть θ есть корень уравнения
W (θ) = 0,1.
1
1
τ=
ξ1
w
(1 − δ1 s)
ds.
Φ(s)
(33)
0
Максимальное время течения процесса десублимации равно
1
ξ1
τmax =
1
(1 − δ1 s)
ds.
Φ(s)
W (θ) =
1
wmax
1−
1−ν
1 − νG(θ)
1/3 .
Функция
θtp
−1
exp(α(θtp
− θ−1 )).
θ
α
=
Здесь α = Text
Очевидно,
G (θ) =
λs μ
RText
Φ(θ) =
⎩
(θ−1)[2+αsh (θ+1)]
,θ ∈ [θ,θtp ]
;
2[1+A(θ)(1+αsh θ)]√
1+A(θ)(1+αsh θ)− D(θ)
,θ ∈ [θmin ,θ].
αsh A2 (θ)
A(θ) =
≈ 60 для водорода.
θtp
−1
exp(α(θtp
− θ−1 ))(αθ−1 − 1).
θ2
Из (34)–(35) получаем выражение для
dw
= −B(θ)G (θ),
dθ
ηW (θ)
,
1 − δ1 W (θ)
D(θ) = 1+2A(θ)(1+αsh θ)+A2 (θ)(1+αsh )2 .
Из сказанного выше и (33) следует, что
1
τ (θ) =
ξ1
(35)
G(θ) =
⎧
⎨
Здесь
0
В интеграле
(33) используется функция
Φ w , для определения
которой требуется знать функцию f w . Последняя задаётся неявно, что при вычислениях может
создать неудобства. Во избежание этого
запишем (33) другим способом, используя
вместо w переменную θ. Из равенства (4)
следует
w ≡ W (θ),
(34)
где
Тогда функция Φ w следующим образом
зависит от температуры θ:
θtp
1 − δ1 W (θ)
B(θ)G (θ)dθ.
Φ(θ)
θ
Максимальное значение длительности процесса десублимации равно τ (θmin ). Связь
между безразмерной толщиной криогенного слоя и безразмерной температурой задается соотношениями (34)–(35).
Ниже на рис. 2 и 3 приведены графики
функций w(τ ),w(t) для мишени, параметры которой: мишень — сферическая оболочка из стекла «пирекс» радиуса 0,5 мм,
толщины 0,025 мм. Начальное давление газообразного водорода в оболочке 250 атм.
Здесь можно считать, что расчётное время отражает реальность, если в мишени
сохраняется более 10% начальной массы
газа.
где
B(θ) =
ν(1 − ν)1/3
.
3wmax (1 − νG(θ))4/3
Пусть θmin — безразмерная температура,
при которой заканчивается процесс десублимации, то есть
W (θmin ) = 1.
Рис. 2
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
15
Здесь L(t) = Hz (z0 (t),t) — линейный оператор, являющийся производной Фреше оператора H(z,t) по z в точке z0 (t).
Решение уравнения (36) будем искать в
виде
z(t,ε) = Z(t,ε) + Π(τ,ε),
(40)
t
(41)
τ = , Π(0,ε) = η − Z(0,ε).
ε
Подставим сумму (40) в уравнение (36).
Получим
Рис. 3
dZ(t,ε) dΠ(τ,ε)
+
= H(Z(t,ε),t)+
dt
dτ
+H [Z(ετ,ε) + Π(τ,ε),ετ )] − H(Z(ετ,ε),ετ ).
Положим
dZ(t,ε)
ε
= H(Z(t,ε),t),
(42)
dt
dΠ(τ,ε)
=
dτ
= H [Z(ετ,ε) + Π(τ,ε),ετ ] − H(Z(ετ,ε),ετ )
(43)
с начальным условием (41). Если уравнения (41)–(43) выполняются, то сумма (40) является решением задачи Коши
(36)–(37).
Решение системы дифференциальных
уравнений (42)–(43) будем искать в виде
формальных рядов по целым степеням параметра ε:
ε
V. Приложение
Рассмотрим дифференциальное уравнение в банаховом пространстве B
dz
= H(z,t)
dt
с начальным условием
ε
z(0) = η.
(36)
(37)
Здесь ε — малый параметр, а H(z,t) —
нелинейный, вообще говоря, неограниченный оператор B ×R ⇒ B, бесконечно дифференцируемый по t, допускающий существование бесконечно дифференцируемого
решения z0 (t) уравнения
H(z,t) = 0.
(38)
Изложенная ниже схема решения уравнения (36) принадлежит профессору
А.М. Тер-Крикорову [12]. Она является модификацией подходов, изложенных в [13].
Обозначим Hk (u1 ,u2 ...,uk ,t) полилинейные операторы степени k = 2, 3, ... с областью определения D ⊂ B и значениями в
B. То есть
Z(t,ε) = z0 (t) +
∞
zk (t)εk ,
(44)
k=1
Π(τ,ε) =
∞
Πk (τ )εk , Π0 (0) = η − z0 (0).
k=0
(45)
Подставим ряды (45) в правую часть уравнения (42). Получим согласно (39):
Hk (αu1,αu2 ...,αuk ,t) = αk Hk (u1,u2 ...,uk ,t),
H(z0 (t) +
∞
zk (t)εk ,t) =
k=1
и для любого i
Hk (u1, ..., ui + vi , ..., uk ,t) =
=
∞
(L(t)zk (t)+gk (z0 (t), ..., zk−1 (t),t))εk .
k=1
= Hk (u1,u2 ...,uk ,t) + Hk (u1 , ..., vi , ...uk ,t).
(39)
Пусть далее для некоторого δ > 0 и всех u
таких, что |u| δ:
H(z0 (t) + u,t) = L(t)u +
∞
k=2
Hk (u,u, ..., u,t).
(46)
Выражения для операторов gk определяются согласно (39) операторами
L, H2 , ..., Hk . Например, g1 ≡ 0, g2 =
= H2 (z1 ,z1 ),
g3 = H2 (z1 ,z2 ) + H2 (z2 ,z1 ) + H3 (z1 ,z1 ,z1 ).
(47)
16
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
Подставляя (44), (46) в (43) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра ε, получим рекуррентную
систему уравнений
dzk−1
= L(t)zk (t) + gk (z0 (t), ..., zk−1 (t),t),
dt
k 1.
(48)
а Λ(τ ) — линейный оператор, являющийся производной Фреше оператора H(z,ετ )
в точке z = z0 (0) + Π0 (τ ).
Подставим ряды (44)–(45) в правую
часть уравнения (43). Получим согласно
(39), (52):
∞
H z0 (ετ) + Π0 (τ) +
(zk (ετ) + Πk (τ)) εk ,ετ −
Предположение 1. Линейный оператор L(t) = Hz (z0 (t),t) обратим в D.
В этом случае уравнения (48) последовательно разрешимы и
zk (t) =
dzk−1
= L (t)
− gk (z0 (t), ..., zk−1 (t),t) .
dt
(49)
Подставим ряды (44)–(45) в уравнение
(43). Приравняем слагаемые при нулевых
степенях параметра ε и положим в коэффициентах ετ = 0. Получим
−1
∞
dΠ0
= L(o)Π0 (τ ) +
Hm (Π0 , ..., Π0 ,0),
dτ
m=2
Π0 (0) = η − z0 (0).
= H [z0 (0) + Π0 (τ ),0] − H(z0 (0),0)+
∞
+H z0 (ετ) + Π0 (τ) +
(zk (ετ) + Πk (τ)) εk ,ετ −
k=1
−H [z0 (ετ ) + Π0 (τ ),ετ ] +
+H [z0 (ετ ) + Π0 (τ ),ετ ]−H [z0 (0) + Π0 (τ ),0] +
∞
zk (ετ )εk ,ετ =
+H(z0 (0),0)−H z0 (ετ ) +
k=1
= H [z0 (0) + Π0 (τ ),0] − H(z0 (0),0)+
∞
∞
s
zs (ετ )ε + Λ(τ )
Πk (τ )εk +
+Λ(τ )
s=1
∞
+
k=1
∞
hm (ζ, ..., ζ,ετ ) − Λ(τ )
m=2
−
∞
k=2
zs (ετ )εs −
s=1
k
hm (zi1 , ..., zim ,ετ ) εk +
+
∞
Qk (z0 ,z1 , ..., zk ,τ )εk .
∞
(52)
=
k=2
где hk (u1 ,u2 ...,uk ,τ ) — полилинейные операторы от u1 , ..., uk , то есть
k
hk (αu1 ,αu2 ...,αuk ,τ ) = α hk (u1 ,u2 ...,uk ,τ ),
hk (u1 , ..., ui +vi , ..., uk ,τ ) = hk (u1 ,u2 ...,uk ,τ )+
+hk (u1 , ..., vi , ...uk ,τ ),
(53)
Четвёртое и шестое слагаемые взаимно уничтожаются.
В пятомслагаемом ζ =
∞
k
=
(z
(ετ
)
+
Π
k
k (τ )) ε . Отсюда и из
k=1
свойства полилинейности следует, что
hm (ζ, ..., ζ,ετ ) =
m=2
hk (u,u, ..., u,τ ),
m=2 i1 +...im =k
H(z0 (0)+Π0 (τ )+u,ετ ) = H(z0 (0)+Π0 (τ ),0)+
+Λ(τ )u +
zk (ετ )εk ,ετ =
k=1
(51)
Пусть нелинейный оператор H(z,t) представим в окрестности точки z0 (0) + Π0 (τ )
в виде
∞
k=1
(50)
В силу уравнения (3) второе слагаемое в
правой части равно нулю. Из последнего уравнения и представления (4) с учётом сделанного замечания получаем задачу Коши для Π0 (τ ):
∞
−H z0 (ετ ) +
dΠ0 (τ )
=
dτ
= H [z0 (0) + Π0 (τ ),0] − H(z0 (0),0).
k=1
k
∞
k=2
hm (χi1 , ..., χim ) εk +
m=2 i1 +...im =k
+
∞
Gk (χ1 ,...,χk−1 ,τ )εk ,
k=2
где χi может равняться либо zi , либо Πi .
Последняя сумма в (53) есть результат разложения в ряд третьей и четвёртой пар
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4
слагаемых в предположении о бесконечной дифференцируемости решений zk (ετ )
по аргументу.
Подставим (53) в правую часть, а
(45) — в левую часть уравнения (44). Приравняем слагаемые при одинаковых степенях параметра ε. Получим с учётом (51):
dΠk
= Λ(τ )Πk (τ ) +
dτ
Pk (Π0 , ..., Πk−1 ,τ ),
Πk (0) = −zk (0), k = 1, 2, ...,
(54)
где Pk (Π0 , ..., Πk−1 ,τ ) — известные операторы от Π0 , ..., Πk−1 .
Уравнения (38), (49), (51), (54) полностью определяют формальное решение
(40) задачи (36), (37).
Литература
1. Басов Н.Г., Крохин О.Н. Условие
разогрева плазмы излучением оптического генератора // ЖЭТФ. — 1964. —
Т. 47. — С. 171–175.
2. Афанасьев Ю.В., Басов Н.Г., Волосевич П.П., др. Лазерное инициирование термоядерных реакций в негомогенных термоядерных мишенях // Письма в ЖЭТФ. —
1975. — Т. 21, вып. 2. — С. 150–155.
3. Прохоров А.М., Анисимов С.И.,
Пашинин П.П. Лазерный термоядерный
синтез // УФН. — 1976. — Т. 119. —
С. 401–424.
4. Смирнов В.П. Исследования по термоядерному синтезу. Научное сообщение
на заседании Президиума РАН, ноябрь
2002 // Вестник Российской академии наук. — 2003. — Т. 73, № 4. — С. 1–15.
5. Анисимов С.И., Иванов М.П., Пашинин П.П., др. Газовая оболочечная мишень для лазерного инициирования термо-
17
ядерных реакций // Письма в ЖЭТФ. —
1976. — Т. 22 (6). — С. 343–346.
6. Афанасьев Ю.В., Басов Н.Г., Гамалий Е.Г., др. Теория нагрева и сжатия низкоэнтропийных термоядерных мишеней //
Тр. ФИАН. Т. 134. — М.: Наука. — 184 с.
7. Aleksandrova I.V, Koresheva E.R.,
Osipov I.E. ICF Cryotargets: Science and
Technology // J. Moscow Phys.Soc. —
1994. — V. 4, N. 2. — P. 81–128.
8. Aleksandrova I.V., Baranov G.D.,
Belolipetskiy A.A.et.al. Free- standing target
technologies for ICF // Fusion Technology. —
2000. — V. 38, N. 1. — P. 166–172.
9. Aleksandrova I.V., Belolipetskiy A.A.
Mathematical models for filling polymer
shells with a real gas-fuel // Laser and
Particle Beams. — 1999. — V. 17, N. 4. —
P. 701–712.
10. Белолипецкий А.А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкостенных оболочек газом // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. —
2000. — № 2. — С. 7–10.
11. Белолипецкий А.А. Математическая модель вымерзания газа на внутренней стенке лазерной мишени // Вестник
Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2002. — № 1. — С. 23–28.
12. Тер-Крикоров А.М. Нелинейный
анализ и асимптотические методы малого
параметра. — М.: МФТИ, 2007. — 284 с.
13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф.
Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.
Поступила в редакцию 15.09.2009.