Бедность населения

Бедность населения
Введение
В рыночной экономике, как известно, спрос рождает предложение.
Малообеспеченное или просто бедное население России не имеет, в первую
очередь, доходов, которые бы обеспечивал такой платежеспособный спрос,
какой порождал бы развитие предложения со стороны перестраиваемого
производства. Поэтому социальная поддержка бедности в России - это, с
экономической точки зрения, развитие спроса и производства. Однако с
социальных позиций помощь должна так оказываться, чтобы возникало как
можно меньше обделенных и обиженных, чтобы не возникало напряженности
в обществе.
Поскольку бедность отдельного человека и группы людей выражается
многими факторами, среди которых и реальные доходы, и жилищные условия,
и продолжительность рабочего и свободного времени, возможности системы
образования,
здравоохранения
и
органов
обеспечения
безопасности,
политическая обстановка и т.д. и т.п. Из-за этой множественности и
неопределенности многие полагают, что сама эта категория не быть
определена, а тем более измерена. Последнее тесно связано с показателем (или
мерой) бедности.
Совершенно очевидно, что понятие бедности теснейшим образом
связаны с распределением благ в обществе подобно тому, как было при
изучении
расслоения.
Очень
часто,
для
простоты,
учитывают
не
распределение всех благ, а лишь распределение одной составляющей благ доходов. Последнее не только наблюдаются статистическими органами, как
целых стран, так и отдельных частей этих стран, но и регулярно публикуются.
Уже было отмечено, что распределение доходов наиболее полно
описывается функцией распределения доходов по людям, т.е. функцией F(w),
которая показывает какова доля F(w) людей в обществе, на каждого из
которых приходится доход не более w. Функция F(w) будет использоваться
для выявления показателей бедности.
1.
Свойства бедности
Далее внимание будет сосредоточено именно на свойствах как самой
бедности, так отражению их в показателе (мере, индикаторе) бедности.
Сопоставление способности свойств и отражающих их мер бедности,
выраженных, например, числом, сравнивать и упорядочивать общества стран,
регионов, характеризуемые распределением доходов F(w), по их бедности –
цель дальнейшего. Ясное различие двух проблем - определение самой
бедности и способности числа – показателя бедности ранжировать многие
распределения доходов - необходимо для практической работы, чтобы иметь
возможность заниматься, в частности, лишь одной из них. Далее исследуется
исключительно вторая.
Рассмотрим требования, предъявляемые к показателям бедности,
которые соответствуют нашим представление о такой категории, как бедность.
Существует несколько свойств бедности, интуитивно верных. Хотелось бы,
чтобы и показатель бедности обуславливался этими свойствами, иначе он не
будет отражать бедность как явление.
Свойство 1 бедности. Если бы в список x малообеспеченных людей, у
которых wi<z для любых i, попал бы на месте l обеспеченный, у которого wlz,
то из-за образовавшегося нового списка y бедность общества не может
меняться. Это свойство означает лишь, что бедность сама по себе не зависит
от всего происходящего с обеспеченными людьми и можно сосредоточить
внимание только на бедных. Это свойство бедности называют обычно
сосредоточенностью. Такое свойство бедности должно быть присуще и ее
показателю.
Условие 1. Показателем бедности должно быть число или функционал
от распределения доходов F(w) не зависящие от распределения больших
доходов, т.е. от функции F(w) при wz (требование сосредоточенности или
focus axiom).
Свойство 2 бедности. Если доходы малообеспеченных, полученные в
результате обследований, внесены в список в любом порядке, т.е. если вектор
x=(w1,w2,,wk) представляет собой один из списков, а y=(wi,wj,,wl) - другой,
и последовательность i,j,,l получена путем перестановки чисел 1,2,,k, то
бедность общества от этого не изменится. Это свойство бедности называют
обычно симметрией. Такое свойство бедности должно быть присуще и ее
показателю.
Условие 2. Показатель бедности не изменяется от порядка обследования
людей при выборочном или сплошном опросе (требование симметрии).
Свойство 3. Бедность общества не должна меняться от того, по какой
части населения она определяется, лишь бы эта часть отражала распределение
доходов во всем обществе. Такая неизменность позволяет исследовать
бедность в любой репрезентативной выборке, а затем распространять
результаты на все население. Это свойство бедности называют обычно
распространением. Такое свойство бедности должно быть присуще и ее
показателю.
Условие 3. Показатель бедности не изменяется при пропорциональном
изменении состава населения (требование распространения).
Свойство 4. Бедность убывает при добавке к доходу кого-либо из бедных
любой величины. Другими сливами, если список бедных x=(w1,,wi,), при
wi<z, производит функцию распределения F(w), а список y=(w1,,wi+,,),
yi=wi+i<z, - G(w), то F(w)<G(w) и бедность убывает. Это свойство бедности
называют обычно монотонностью. Такое свойство бедности должно быть
присуще и ее показателю.
Условие 4. Показатель бедности должен убывать при увеличении
доходов хотя бы у одного из индивидов, находящихся за чертой бедности, т.е.
при F(w)<G(w) на участке [0,z), то P(F,z)>P(G,z). (монотонность). Из условия
монотонности следует, что p(w)0.
Свойство 5. Если в обществе нет бедных, то есть если число бедных
q(F,z)=0, то нет и бедности. Это свойство бедности нормально для нее. То же
самое должно быть присуще и ее показателю.
Условие 5. Показатель бедности нормален, когда равен нулю при
отсутствии бедных (нормализация). Так как число бедняков в обществе,
состоящем из N человек, равно q(F,z)=NF(z)=0, то при N>0 и F(z)=0. Это
значит, что F(w)=0 для любых w[0,z], следовательно, и P(F,z)=0.
Свойство 6. Любая передача части дохода малообеспеченной группы
более обеспеченной не может уменьшить бедность, а обратная передача даже
от одной малообеспеченной группы к другой еще менее обеспеченной
бедность уменьшает. Такое свойство бедности уменьшаться от “выравнивания
доходов” должно соответствовать условию, накладываемому на показатель
бедности для качественности последнего. Часто это свойство называют также
“предпочтением равенства доходов” или просто аксиомой передачи Сена.
Условие
увеличиваться)
6.
Показатель
от
перехода
бедности
от
должен
функции
уменьшаться
распределения
(не
F(w),
соответствующей последовательности (w1,,wi,,wj,) доходов wi, где
wi<wj, к функции G(w), соответствующей доходам последовательности
(w1,,wi+,,,wj-,,) (требование аксиомы передачи).
Свойство 7. При малом изменении любого из доходов бедность
общества изменяется мало. Такое свойство бедности мало меняться при малом
изменении доходов не обязательно бедных называют обычно непрерывной
зависимостью бедности от доходов. Такое свойство бедности должно быть
присуще и показателю.
Условие 7. Показатель бедности P(F,z) непрерывен по функции
распределения, порождаемый последовательностью доходов wi, (i=1,2,)
(требование непрерывности).
Свойство
7’.
При
малом
изменении
любого
из
доходов
малообеспеченных бедность общества изменяется мало. Такое свойство
бедности мало меняться при малом изменении доходов только бедных
называют обычно непрерывной
зависимостью бедности от доходов
малообеспеченных. Такое свойство бедности должно быть присуще и ее
показателю.
Условие 7’. Показатель бедности P(F,z) непрерывен по функциям
распределения на промежутке w[0,z), порождённом последовательностью
доходов wi, (i=1,2,) (требование непрерывности до черты бедности).
Свойство 8. В чем бы не измерялись приведенные доходы - в рублях,
копейках, долларах, тугриках и т.п. - бедность это не меняет. Так как разные
способы измерения отличаются множителем, т.е. масштабом, то обычно
говорят, что бедность не зависит от масштаба измерения. Такое свойство
бедности должно быть присуще и ее показателю.
Условие 8. Показатель бедности инвариантен по отношению к масштабу
измерения дохода, т. е. P(F(w),z)=P(F(w),z) для любого >0 (независимость
от масштаба).
Свойство 9. Часто считается, если увеличить черту бедности на
постоянную величину , добавив при этом всем людям тот же самый доход ,
то бедность это не меняет, так как эти добавки уходят на постоянные
необходимые расходы на жилье, тепло и т.п., которое, скажем, дорожает на .
В таком случае, часто говорят, что бедность не зависит от сдвига доходов.
Такое свойство бедности, хотя и наиболее сомнительное, иногда переносят и
на ее показатель.
Условие 9. Показатель бедности инвариантен по отношению к сдвигу
дохода, т. е. P(F(w+),z+)=P(F(w),z) для любого  (независимость от сдвига).
Два последних условия (8 и 9) скорее всего невозможно удовлетворить
одновременно, но каждое из них в отдельности довольно просто. Условие 8
приводит к упомянутой ранее нормировке показателя для того, чтобы он был
безразмерным.
Свойство 10. Если область, имеющая общую для все k ее районов черту
бедности z, определяет у себя бедности P(F,z), зная численности Ni i=1,2,,k
районов и их доли ri=Ni/N в численности N населения области. Считается, что
областная бедность - это некое взвешенное среднее от бедности в районах с
весами, пропорциональными численностям населения района, т.е. весами
могут служить доли ri. Таким образом, больший по численности район вносит
и большую долю в бедность области. В этом случае говорят, что бедность
области разложима на бедности районов. Такое свойство бедности, хотя и не
очень очевидное, переносят и на ее показатель.
Условие 10 (разложимость). Если область с численностью N населения
состоит из k районов с их численностями Ni i=1,2,,k и долями ri=Ni/N, т.е.
k
F(w)=  ri Fi ( w) , где F(w) и Fi(w) - функции распределения доходов в области и
i 1
k
k
i 1
i 1
ее районах. Показатель бедности области P(F,z)=P(  ri Fi ( w) ,z)=  ri Pi ( Fi , z ) ,
Pi(Fi,z)- показатели бедности в районах.
По сути, условие разложимости – это определение разложимого
показателя бедности. если показатель бедности удовлетворяет этому условию,
то он становится линейным функционалом по F для любых функций
распределения, но название его сохраняется.
3. Вывод показателя. Для сообщества людей, число которых всегда
конечно, функция распределения доходов будет иметь конечное число s точек
роста wi0, так как доходы людей могут быть положительными. Однако число
последних может не совпадать с численностью людей, так как доходы
некоторых, например, нескольких взрослых членов одного домохозяйства,
могут совпадать. Далее исследуем вид показателя бедности, вытекающий из
выполнения уже отмеченных условий.
Из выполнения условия 10 - разложимости P(F,z) - следует, что
показатель бедности линеен по F. Из конечности точек роста функции
распределения вытекает, что она представима в виде вектора (f1,f2,fs) их sмерного пространства (fi - это величина скачка в точке роста wi). Известно, что
любой линейный функционал в любом конечномерном пространстве имеет
s
вид P(F)=  p j f j , где pj=p(wj,z) некоторые числа.
i 1
В более общем виде P(F)=


0
p( w, z)dF ( w) =



z

0
z
pdF   pdF   pdF , при этом
первый из трех интегралов правой части равен 0, так как F(w)=0 при w0.
Последний из трех интегралов правой части должен быть равен 0 при
выполнении условия 1 сосредоточения, так как P(F,z) не зависит от функции
F(w) при wz. Для этого необходимо и достаточно, чтобы p(w,z)=0 при wz.
Таким путем получен вид (1) показателя бедности, в обозначении которого
появилась черта бедности, наложившая ограничения на весовую функцию
p(w,z). Пока весовая функция на множестве [0,z) произвольна. Иногда
зависимость от z в p(w,z) можно опускать.
Для того, чтобы достаточно просто доказать положительность,
убывание и выпуклость вниз весовой функции p(w,z) предположим, что
существует p”(w).
Пусть произвольный доход w1z и показатель бедности P(F0)=  p(wi ) f i
wi  z
. При изъятии части дохода >0 у бедняка с доходом w1 и передаче этой части
другому, не обязательно малообеспеченному, с доходом w2w1 изменится
распределение F0(w) в точках w1 и w2. Оно превратится в функцию F1 из-за
перехода первого человека с дохода w1 на wj- и второго с дохода w2 на w2+.
В этом случае изменится и показатель бедности. Он станет равным P(F1)=
P ( F )  p( w1   )
1
1
1
1
 p( w2   )  p( w1 )  p( w2 ) . При выполнении условия 6
N
N
N
N
передачи разность этих двух показателей бедности P(F0)-P(F1)<0, так как
P(F1)>P(F0) и P ( F0 )  P ( F1 )  p( w1 )
1
1
1
1
 p( w2 )  p( w1   )  p( w2   )  0 . Так
N
N
N
N
как 1/N>0, тогда из предыдущего неравенства следует основное
p( w1 )  p( w1   )  p( w2 )  p( w2   )  0 .
Пусть w1=z, что возможно. Так как при w[z,) весовая функция p(w)=0,
то из левой части основного неравенства следует, что p(z-)>0 при любом >0.
Более того, при w1<z- и w2z получаем, что весовая функция p(w-)>p(w).
Положительность и монотонное убывание весовой функции p)w) доказана.
Разложим p(w1,2) в ряд и подставим в основное. Теперь из него после
деления на  в пределе при 0, когда w2=w1<z получаем, что
p  ( w1 ) 2 p  ( w1 ) 2
p  ( w1 )  p  ( w1 ) 

 o ( )   p  ( w1 ) 2  o ( )  0
2
2
Так как 2>0, получаем  p (wl )  0 или, другими словами, p  (wl )  0 . Так
как w1 произвольна, то функция p(w) на множестве [0,z) выпукла вниз.
Доказана
Лемма 1. Пусть весовая функция p(w,z) дважды дифференцируема при
w>0. Показатель бедности представим в виде

P(F)= P( F , z)   p( w, z)dF ( w) ,
(1)
0
p(w)
0
w
Рис 1 z
а p(w,z) убывает и выпукла вниз по w, тогда и только тогда, когда
удовлетворены условия 1, 6 и 10.
Доказана лишь достаточность условий 1.6 и 10. Необходимость этих
условий
при
виде
показателя
предоставляется читателю.
(1)
проверяется
непосредственно
и
Иногда весовую функцию представляют в таком виде, что не выполнено
условие 7 непрерывности, т.е. в точке “черта бедности” теперь возможен
разрыв или скачок, поскольку для wz весовая функция, как было доказано,
равна 0 при wz. Если же условие 7 также выполнено, весовая функция имеет
вид, представленный на рис. 1.
Докажем это. Предположим, что этот скачок существует. Рассмотрим в
этом случае некоторый доход wi: wi+=z, где  - сколь угодно малое, т.е. доход
очень близкий к точке “черта бедности”. Из свойства непрерывности
показателя бедности и, соответственно, самой весовой функции в этой точке
для любого сколь угодно малого , например, =, найдется такое сколь угодно
малое : p(wi)-p(wi+)< или p(wi)-p(z)<. Однако в силу существования
скачка в точке z эта разность будет равна величине этого скачка, при чем
независимо от того, какими выбираются wi и . Таким образом, полученное
противоречие доказывает, что скачка в точке z не существует и p(w)>0 на всем
интервале [0, z) и p(z)=0.
Итак, показано, что функционал (1) может служить показателем
бедности тогда и только тогда, когда выполнены условия 1, 6, 7 и 10. Следует
заметить, что при доказательстве последней леммы было доказано следование
условия 3 монотонности из 6 и 1, поэтому условие 3 монотонности
выполняется также. Остальные условия еще уточняют вид весовой функции.
Так из условия 8 следует, что p(w,z) безразмерна. Проверка выполнения
остальных условий предоставим читателю.
4. Примеры. Некоторые из показателей представлены ранее в главе 3.
Показатель бедности (до его вывода) будет задан так, что каждому доходу w

придается вес p(w,z) и показатель бедности P( F , z)   p( w, z)dF ( w) .
0
В дискретном случае
P ( F , z )   pi f i ,
wi
где pi=p(wi,z) - вес доли fi группы людей, имеющих доход wi, а
суммирование ведется по всем i, пока wi<z - доход меньше черты бедности.
Таким образом, вид (1) показателя бедности включает и непрерывный и
дискретный случаи.
p(w)
z
Рис. 2
w
Пример 1. Один из довольно часто употребляемых показателей бедности
получается в случае, когда в качестве весовой функции выбирается p(w,z)=ln(w/z), которая удовлетворяет всем условиям, накладываемым на неё. Как
легко видеть эта весовая функция придаёт большое значение наиболее
обездоленным, так как при z0 веса становятся неограниченно большими.
Похожая мера встречалась в гл. 5.
Как можно видеть, величина показателя бедности сильно зависит от
вида весовой функции. Иногда вид весовой функции, как уже отмечалось,
p(w,z) выбирается так, что придается вес нехватке доходов для каждого
конкретного w, но большим нехваткам придается и больший вес Рассмотрим
пример.
Пример 2. Придадим нехватке дохода (z-w) вес [1-F(w)]. Ясно, что с
ростом w убывает и нехватка и ее вес. Отсюда, весовая функция p(w,z)=(zw)[1-F(w)], при w<z, и p(w,z)=0, при wz, а показатель бедности вида (1) после
соответствующей нормировки превращается в знаменитый показатель
бедности Сена P=H[1-(1-I)Gp], где I=g/F(z) – нехватка дохода с среднем на
каждого бедного, выраженная в чертах бедности [см. приложение].
Идея ввода показателя Сена заключалась в том, чтобы связать воедино
показатели бедности и расслоения в сообществе людей. К сожалению, этот
показатель не удовлетворяет аксиоме передачи самого Сена. Пусть, например,
среди бедных имеется только две группы, состоящие из большого числа
людей, имеющих доход 600 и 700 единиц. При этом в первой группе людей в
три раза больше, чем во второй. Черта бедности равна 999 единиц и доля
бедных равна 10%. Теперь после передачи, скажем, по 100 единиц от каждых
трёх более бедных одному менее бедному первые будут обладать 500
единицами, а вторые - 1000 (1000>999) и, поэтому, выйдут за черту бедности.
Таким образом, среди оставшихся бедных расслоения не будет, а это приводит
к тому, что показатель Сена обращается в 0.0367. Однако до передачи
показатель бедности был 0.072 (проверьте), а после таковой он стал меньшим.
Для исправления этого недостатка меры бедности Сена в работе.
Предпринимались попытки модифицировать показатель с тем, чтобы он
удовлетворял условию передачи. Они привели к показателю
P=(2-H)HI+H2(1-I)Gp,
где Gp - коэффициент Джини для распределения доходов бедных, т.е. для
функции распределения Fp(w)=F(w)/H при w[0,z).
Если не оговорено противное, то обычно для определенности,
используется показатель бедности P. Хотя многое из дальнейшего
справедливо и для любых мер бедности.
Показатель бедности очень малозначим, например, тогда, когда он,
показывая
бедность
в
двух
обществах
F(w)
и
G(w),
принимает
противоположные значения при незначительном, но осмысленном, изменении
черты бедности. В этом случае, показатель бедности может считаться
двусмысленным (неопределенным) и, поэтому, незавершенным. Если же
упорядочение бедности F(w) и G(w) не изменяется при любом возможном и
осмысленном изменении черты бедности, то можно уверенно сделать вывод,
что одно общество (например, F(w)), безусловно, беднее другого (G(w)).
Конечно, можно найти во множестве всех неубывающих функций F(w)
с F(0)=0 и F()=1 при любом заданном уровне бедности z такую пару F(w) и
G(w) , что показатель бедности для F будет меньше, чем для G, а при уровне
бедности z+ ( - сколь угодно малое) наоборот. Но обсуждение этого вопроса
лучше провести в другое время и в другом месте.
Определение 1. Бедность при распределении доходов F(w) ниже, чем
при распределении G(w) (т.е. F(w) z, G(w)), когда для любых zZ
P(F,z)P(G,z), а для некоторых zZ справедливо точное неравенство
P(F,z)<P(G,z) (=1,2,3).
Удобнее, конечно, иметь дело только с таким случаем, когда показатель
бедности для F(w) и G(w) не изменяется при любой черте бедности zZ. Хотя
этот случай позволяет не сомневаться в том, какое из обществ более бедно, а
какое - менее, но он исключение. Определение частичного порядка 1
справедливо для более широкого класса показателей бедности, чем P. Если
распространить указанное в определении понимание порядка на случай
любого z, тогда можно не рассматривать изменение бедности, вызванное
другими нормами (стандартами) жизни. Только в последнем случае можно
опустить значение черты бедности z в обозначении упорядочения  .
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что показатель Сена, приведённый в примере 2, не
удовлетворяет условию выпуклости при w>(-1)/(+1), когда функция
распределения доходов F(w)=H(w/z) при w<z и>1.
2. Проверьте пример, приведённый мелким шрифтом.
3. Найдите показатель бедности P1, P2 и P3 для распределения доходов
  b  
по Парето: F ( w)  1     при заданной черте бедности z>b.
  w   
4. Решите задачу 3 для показателя бедности, предложенного Сеном.
Справки и ссылки
Тема бедности изложена здесь достаточно полно. Объяснение этому
очень простое - бедность и борьба с ней в современном мире, а не только в
России, представляются более своевременными, чем измерение и показатели
благосостояния. В данной работе показано, по-видимому, впервые, что эти
разделы для измерения и выбора показателя очень близки, если не
равнозначны - ведь речь идет только о выборе коэффициентов (весов) разных
доходов. В данном случае, т.е. для модели соответствия показателя самому
явлению, было важно лишь то, что бедность и благосостояние можно измерять
и сравнивать. Поэтому измерению уделено мало внимания, во-первых, из-за
уже изложенной причины, и, во-вторых, эти вопросы достаточно полно
изложены в монографии 12 авторов.
Многие из показателей представлены в работе [Аткинсон]. Сравнение
показателей бедности также проводилось, хотя рекомендаций по выбору
лучшего пока нет (см., например, [Равальен]). В работе [Форстер, Шоррокс]
показано, что даже разных классов показателей бедности может быть сколько
угодно, хотя в каждом классе число показателей бедности неограниченно.
Очень близкая тема, которая привела к попытке соединения показателей
благосостояния (бедности) и расслоения общества здесь должным образом не
выделена. Но это не упущение, так как их связь ясна из сравнения настоящей
и предыдущей глав. Кроме того, хотя попытка Сена не увенчалась успехом,
имеется ряд работ, развивающих и продолжающих такое направление. Можно
привести в качестве примера более позднюю, чем приведенные ранее, работу
Antony Shorrocks’а. Более того, можно высказать сомнение в необходимости
такого соединения показателей расслоения и бедности.
Приложение 1.
Показатель бедности Сена (Sen). Одна из работ английского экономиста
(выходца из Индии) Амартия Сена послужила толчком для математического
исследования бедности и ее показателя. Именно в ней он привел свое
предположение о передаче и вывел показатель, который связывал бы бедность
и расслоение общества.
У показателя бедности Н - доли находящихся за чертой бедности во всем
населении имеется следующий недостаток. Если суммы доплат, которые
будут делаться, не достаточно, чтобы вывести всех бедных за черту бедности,
и помогать только самым бедным, то показатель Н абсолютно нечувствителен
ни к величине доплат, ни к изменению нехватки доходов. Действительно,
допустим, что все находящиеся за чертой бедности z имеют одинаковый
доход, равный, например, до помощи w<z, а после нее w+b<z. Тогда нехватка
доходов, бывшая равной NF(z)(z-w), становится NF(z)(z-w-b), а показатель
Н=F(z) не зависит от величины b.
Относительная нехватка доходов g имеет другой недостаток - показатель
g нечувствителен к изменению доли беднейшего населения Н. Если
продолжить предыдущий пример, то при любом таком изменении, что F(w)(1w/z)=const показатель g не изменяется, хотя доля беднейших F(w) может
изменяться. Например, пусть F(w) 
az
, т.е. с ростом доходов бедных их
zw
доля при заданном z увеличивается по закону (az)/(z-w), оставляя без
изменения произведение F(w)(1-w/z)=a.
Недостатком обоих показателей бедности Н и g является полная
нечувствительность к тому, как доходы распределены среди бедных.
Действительно, в приведенном ранее простейшем примере показатель Н=F(z)
не меняется, но и показатель g при весовой функции F(z)(1-w/z) не меняется
при передаче доходов от одного из бедных к другому, лишь бы у получившего
надбавку доход не превзошел черту бедности. Поэтому Сен предложил
показатель бедности, основанный на взвешенной сумме

Q ( w )  A( z , w )

 g v (z , w), (П1)
i i
i S ( w )

где S(w) - множество людей, имеющих доход, меньший w, w 
(w1,w2,...wq) и wiwj при i<j, vi- неотрицательные веса y нехваток дохода gi=zwi у человека, номер которого i, до выхода его из бедных.
В только что приведенных обозначениях множество S(z)={1, 2, ..., q}
такое, что wq<zwq+1, т.е. множество бедных людей, чьи доходы меньше чем
доход z, называемый чертой бедности. Относительно g i можно сказать, что gi
при iS(z) положительны, а для остальных числа gi=z-wi обращаются в 0.
Поэтому показатель бедности P  max Q(w) равен просто Q(z). Веса же vi
w
нехватки доходов, очевидно, должны быть тем больше, чем больше человеку
не хватает дохода для выхода из множества S(z).

Предположение R о весах. Вес vi ( z , w ) нехватки доходов y человека i
равен порядковому номеру человека, среди упорядоченных по убыванию
доходов людей из множества S(z).

Таким образом, вес vi ( z , w ) у человека, имеющего доход wi<z (нехватку
дохода z-wi=gi) будет равен числу людей, имеющих доходы большие или такие

же, как он, т.е. vi ( z , w ) =q+1-i. Довольно очевидно, что веса, равные vi+a>0 или
bvi (b>0), также могли бы быть весами, но исследованию этого вопроса здесь
не будет уделено внимание из-за того, что такой анализ мог бы увести
изложение далеко в сторону.
Следующее
предположение
теснейшим
образом
связано
с
предположением R. Оно базируется на грубом допущении, что людям с
большими доходами живется лучше, чем людям с меньшими, т.е. что
благосостояние первых больше благосостояния последних, хотя и первые
могут входить в число бедняков, не говоря уже о последних.
Предположение М о монотонности. Отношение  (лучше чем),
определенное
на
множестве
индивидуальных
номеров

{ Wi ( w ) },
увеличивающихся с ростом благосостояния для любого распределения

доходов w , то же самое, что отношение > (больше чем), определенное на
множестве доходов {wi}, т.е. для любых i и j, если wi>wj, то и Wi( w )Wj( w ).
Последнее предположение относится к нормировке (П1) и связано
условием “стремления к равенству”.
Предположение N о нормировке. Если все бедные имеют одинаковый
доход, то показатель бедности
P=HI,
g 1 q
где I    ( z  wi ) .
q qz i 1
Можно использовать вместо I другой показатель: I * 
1 n
Izq
, где W   wi
n i 1
nW
- доля нехватки доходов для вывода из бедности всех бедняков в общем доходе
населения. Но и показатель I* или P*=Pz/W зависят от W дохода,
приходящегося на душу всего населения, поэтому изменение дохода wi>z у
отдельного даже не бедного человека ведет к изменению W, а, следовательно,
к изменению показателя бедности из-за изменения доходов у людей, не
имеющих отношения к бедным.
Теорема. При большом числе бедных1 , предположениям R, М и N
удовлетворяет только показатель бедности
P=H[1-(1-I)G],
1
(П2)
Если в качестве i взять q+1/2-i, то показатель будет верен для любого числа бедных.
где G - коэффициент Джини для распределения доходов среди бедных.
Доказательство. Из М следует, что при

w1w2...wn, w  (w1 , w2 ,..., wn ) (П3)
тоже можно сказать и о



W1( w ), W2( w ),...,Wn( w ).
У любого человека с номером iq имеется q+1-i человек среди бедных
по крайней мере столь же высоких по благосостоянию, поэтому из
предположения R

vi ( z , w )  q  1  i .
Теперь из (П1) следует, что
 q
P  A(z , w) gi (q  1  i ) (П4)
i 1
Для частного случая wi=w* получаем gi=g*=(z-w*) и
 q ( q  1) *
P  A( z , w )
g (П5)
2
А по предположению N
*
 q g 
P      (П6)
 n z 
поэтому из (П5) и (П6)

A( z , w) 
2
1

(П7)
q  1 nz
Из (П4) и (П7) следует, что
q
2
P
 (z  wi )(q  1  i) (П8)
(q  1)nz i 1
1 q q
Так как коэффициент Джини G  2   wi  w j , где m - средний
2q m i 1 j 1
доход бедняков, и wi-wj=wi+wj-2min(wi,wj), то
G  1
1 q q
1
2 q
min(
w
,
w
)

1



 wi (q  1  i ). (П9)
i
j
q 2 m i 1 j 1
q q 2 m i 1
Из (П8) и (П9) получаем P 

1
q  1 
2 
  , а при учете
zq ( q  1)  q m G 
( q  1) nz 

q 
1 q
того, что H=q/n,а I   (z  wi ) имеем
qz i 1



q
P  H 1  (1  I )1 
G ,
 q  1 

что при больших q (q) дает результат теоремы. Что и требовалось
доказать.
Попытки модифицировать показатель Сена так, чтобы он удовлетворял
условию передачи, привели, как уже отмечалось, к показателю
P=(2-H)HI+H2(1-I)Gp,
где Gp - коэффициент Джини для распределения доходов бедных, т.е. для
функции распределения Fp(w)=F(w)/H при w[0,z).
Приложение 2
Таблица 1. Распределение населения по величине душевых денежных
доходов
Доход
1999
Руб./месяц В
2000
2001
В
В
процентах процентах процентах
Всё
100
100
100
До 300,0
1,2
0,5
0,2
300,1-
2,2
0,6
0,6
5,1
2,5
1,2
4,5
2,4
1,3
5,2
3,1
1,7
5,6
3,5
2,1
5,7
3,9
2,5
5,7
4,1
4,0
10,7
8,5
6,1
9,4
8,3
6,4
население
400,0
400,1500,0
500,1600,1
600,1700,0
700,1800,0
800,1900,0
900,11000,0
1000,11200,0
1200,11400,0
1400,1-
8,0
7,7
6,4
12,2
13,2
12,1
15,7
21,1
22,9
7,4
13,1
18,2
3,0
8,0
16,1
1600,0
1600,12000,0
2000,13000,0
3000,14500,0
Свыше
4500,0
Все население в эти годы составляло примерно 146,3 млн. человек.
Литература
1.
Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд.
“Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.
2.
Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению.
Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.
3.
Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального
управления
негосударственным
пенсионным
фондом.
В
сборнике
«Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002
4.
Борокин
Ф.М.,
С.В.
Соболева.
Прогнозирование
миграции
и
численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник
Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.
5.
Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении
населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.
6.
Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда
(модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск
1. 1992 г.
7.
Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с
переменной структурой населения. «Экономика и математические методы»,
том 30, вып. 2, 1994 г.
8.
Гегель Г. Политические произведения, Изд. "Наука". М. 1978г
9.
12. Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и
качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М.
2002 г
10.
Зайончковская
Ж.А.
Новосёлы
в
городах
(методы
изучения
подвижности). «Статистика», М. 1974 г.
11.
Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд.
«Наука», Новосибирск, 1991 г.
12.
Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах.
М.: “Прогресс”, 1966.
13.
Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М.
1972 г.
14.
Кендалл М.Дж.и А.Стьюарт Теория распределений "Наука", М:1966г.
15.
Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика.
Изд. «Наука», М. 1986 г.
16.
Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.
17.
Леман Э. Проверка статистических гипотез. “Наука”. М: 1964 г.
18.
Матлин И.С. “Моделирование размещения населения”. Изд. “Наука”,
М.1975 г.