Моделирование процесса распространения МГД

...
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÌÃÄ âîëí
âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå ýëåêòðîïðîâîäíîé íåñæèìàåìîé
æèäêîñòè â ýêâàòîðèàëüíîé øèðîòíîé îáëàñòè
Ñåðãåé Èâàíîâè÷ Ïåðåãóäèí
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
e-mail: peregudinsi@yandex.ru
Ñâåòëàíà Åâãåíüåâíà Õîëîäîâà
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè
e-mail: kholodovase@yandex.ru
...
Ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå òðåõìåðíîé ýêâàòîðèàëüíîé äèíàìèêè èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé íåîäíîðîäíîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè. Ïðåäëàãàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èññëåäóåìîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ
ñèñòåìó óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè ñ ó÷åòîì âðàùåíèÿ Çåìëè, ñèëû Ëîðåíöà è ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé
ìàãíèòíîé äèíàìèêè ñ íåîáõîäèìûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïîñòðîåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé â ïðèáëèæåíèè ýêâàòîðèàëüíîé β ïëîñêîñòè,
îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí ìàëîé àìïëèòóäû.
Öåëüþ ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ òðåõìåðíûõ êðóïíîìàñøòàáíûõ äâèæåíèé íåâÿçêîé, íåñæèìàåìîé ñòðàòèôèöèðîâàííîé èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé ýëåêòðîïðîâîäíîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè, ñîñðåäîòî÷åííîé â ñôåðè÷åñêîì ýêâàòîðèàëüíîì øèðîòíîì ïîÿñå. Ïðåäñòàâëåííûå èññëåäîâàíèÿ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â àñòðîôèçèêå è ãåîôèçèêå, â ÷àñòíîñòè, ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â æèäêîì ÿäðå
Çåìëè è íåäðàõ çâåçä. Èíòåðåñ ê çåìíîìó ÿäðó îáóñëîâëåí è òåì, ÷òî îíî îêàçûâàåò
ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ìíîãèå ãåîôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è ïðîöåññû, ïðîèñõîäèâøèå è
ïðîèñõîäÿùèå â Çåìëå, êîòîðûå ìîãóò ïðîÿâëÿòüñÿ è íà åå ïîâåðõíîñòè.
 ñòàòüå [1] ïðåäñòàâëåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è î êâàçèãåîñòðîôè÷åñêèõ
äâèæåíèÿõ âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè, ïîçâîëÿþùåå îïðåäåëèòü âëèÿíèå ðåëüåôà ìàíòèè è äèíàìèêè òâåðäîãî ÿäðà Çåìëè íà ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âîëíîâîãî ïðîöåññà â æèäêîì ÿäðå.
 ñòàòüå [2] ïðîâåäåíà ðåäóêöèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìîäåëèðóþùåé âîëíîâûå äâèæåíèÿ â èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè ñ ó÷åòîì èíåðöèîííûõ ñèë, ñèë òÿæåñòè, Êîðèîëèñà, Ëîðåíöà, à
òàêæå èìåþùèõñÿ íåîäíîðîäíîñòåé ïëîòíîñòè, ê ñêàëÿðíîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ è
ñäåëàí âûâîä îá àíàëèòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è î âîëíàõ ìàëîé àìïëèòóäû â ðàññìàòðèâàåìîé æèäêîñòè. Àíàëèç ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ïîçâîëèë óñòàíîâèòü
ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà êîëåáàíèé ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè, ÷òî ñëóæèò ïîäòâåðæäåíèåì âàæíîé ðîëè ñòðàòèôèêàöèè ïëîòíîñòè æèäêîãî
ÿäðà Çåìëè, îïðåäåëÿþùåé â öåëîì ðÿäå ñëó÷àåâ åãî îñíîâíóþ äèíàìèêó, êàê âàæíûé
ôàêòîð ýâîëþöèè ïëàíåòû.
1
2
Ñ.È. Ïåðåãóäèí, Ñ.Å. Õîëîäîâà
Ñîãëàñíî èìåþùåéñÿ ãèïîòåçû Ñ.È. Áðàãèíñêîãî [3], â äèíàìèêó ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñóùåñòâåííûé âêëàä âíîñèò äâèæåíèå ïðåäñòàâëåííîé æèäêîñòè íåïîñðåäñòâåííî â
òîíêîì, ïðèìûêàþùåì ê ìàíòèè, ñëîå.  ñòàòüÿõ [4, 5] áûë ïðîâåäåí àíàëèç è ñäåëàí âûâîä î ñïðàâåäëèâîñòè óêàçàííîé ãèïîòåçû äëÿ âîçìóùåíèé ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ
ïîëåé, ðàçâèâàþùèõñÿ âáëèçè íåêîòîðîé òî÷êè ñôåðè÷åñêîãî ñëîÿ âíå ýêâàòîðèàëüíîé
çîíû. Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò âîçìóùåíèÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí
â ýêâàòîðèàëüíîì øèðîòíîì ïîÿñå.
Âáëèçè ýêâàòîðà íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ Çåìëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàëóþ âåëè÷èíó è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ýêâàòîðå, è, êàê ñëåäñòâèå,
ãåîñòðîôè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïåðåñòàåò áûòü ñïðàâåäëèâûì.
Èòàê, ðàññìîòðèì äâèæåíèå èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé íåñæèìàåìîé ñòðàòèôèöèðîâàííîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè. Êîëåáàíèÿ ìàëîé àìïëèòóäû ðàññìàòðèâàåìîé
æèäêîñòè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè â ïðèáëèæåíèè ýêâàòîðèàëüíîé β ïëîñêîñòè [6],
à èìåííî,
Ã
!
∂vx
∂η
1
ρs
− yvy +
− Dbx = 0,
(1)
∂t
∂x µ
Ã
ρs
!
∂vy
∂η
1
+ yvy +
− Dby = 0,
∂t
∂y µ
ρ=−
1 ∂η
,
ρs ∂z
(2)
(3)
1 ∂
∂vx ∂vy
(ρs vz ) +
+
= 0,
ρs ∂z
∂x
∂y
(4)
∂bx ∂by ∂bz
+
+
= 0,
∂x
∂y
∂z
(5)
∂b
ρ0
= Dv + b0 s vz ,
∂t
ρs
(6)
ãäå b âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè, v ñêîðîñòü æèäêîñòè â ñèñòåìå êîîðäèíàò, âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω , p äàâëåíèå, ρ ïëîòíîñòü, g âåëè÷èíà óñêîðåíèÿ
1
ñèëû òÿæåñòè, η = ρs p + (b0x bx + b0y by ), D = hb0 , ∇i äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð.
µ
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü µ ïîñòîÿííà. Äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû
(1)(6) íåîáõîäèìî ïðèâëå÷ü òåðìîäèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå, êîòîðîå â îòñóòñòâèå äèññèïàöèè ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñîõðàíåíèÿ ïëîòíîñòè
∂ρ
− S(z)vz = 0,
∂t
(7)
√
¶
R 2 1 ∂ρs (z)
gD
ãäå S(z) = −
ïàðàìåòð ñòðàòèôèêàöèè, R =
ýêâàòîðèàëüL ρs (z) ∂z
β0 L
íûé ðàäèóñ äåôîðìàöèè Ðîññáè. Äàëåå ó÷èòûâàåì ñîîòíîøåíèå S = O(1), ÷òî âûòåêàåò
èç íàáëþäåíèé è íå òðåáóåò àïðèîðè [7].
Èñêëþ÷èâ ôóíêöèþ ρ èç óðàâíåíèÿ (7) è ðåçóëüòàòà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ
(3) ïî t è ñ÷èòàÿ âåðòèêàëüíûé ìàñøòàá ïëîòíîñòè áîëüøèì âåðòèêàëüíîãî ìàñøòàáà
µ
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÌÃÄ âîëí
3
âåðòèêàëüíîãî äâèæåíèÿ, ò.å. ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü âåëè÷èíû
ïðåäñòàâèì â ôîðìå
1 ∂ρs (z)
, ñèñòåìó (1)(6),
ρs (z) ∂z
∂vx
∂ ηe
1
− yvy +
−
Dbx = 0,
∂t
∂x µρs
(8)
∂vy
∂ ηe
1
+ yvx +
−
Dby = 0,
∂t
∂y µρs
(9)
vz = −
1 ∂ 2 ηe
,
S(z) ∂t∂z
ρ=−
∂p
,
∂z
(10)
div v = 0,
(11)
div b = 0,
(12)
∂b
= Dv,
∂t
1
ηe = p +
(b0x bx + b0y by ) .
µρs
(13)
(14)
Ðàññìîòðèì äàëåå íåêîòîðûå ÷àñòíûå, íî ñîäåðæàòåëüíûå ïðèìåðû ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ âîëí â ýêâàòîðèàëüíîì øèðîòíîì ïîÿñå. Ïîëàãàÿ b0x = b0y = 0,
óðàâíåíèÿ (8), (9) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ èíäóêöèè (13) çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
!
Ã
∂ 2p
1 2
D vx − yDt vy +
= 0,
Dt −
µρs
∂t∂x
2
Ã
(15)
!
1 2
∂ 2p
Dt −
D vy + yDt vx +
= 0.
µρs
∂t∂y
2
(16)
Èññëåäóåì äàëåå âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíûõ âîëíîâûõ âîçìóùåíèé,
äëÿ êîòîðûõ y -êîìïîíåíòà ñêîðîñòè vy òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Ïîëàãàÿ vy ðàâíûì íóëþ è èñêëþ÷àÿ äàâëåíèå èç óðàâíåíèé (15) è (16), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ xêîìïîíåíòû ñêîðîñòè vx :
Ã
!
1 2 ∂vx
∂vx
Dt −
D
− yDt
= 0,
µρs
∂y
∂x
2
(17)
îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä
y2 
|λ1 |
|λ1 |
2
vx = e 2ν1 d1 sin q
(x + αt) + d2 cos q
(x + αt)+
α2 + ν12
α2 + ν12
−

+ d3 sin q
|λ1 |
|λ1 |
α2 − ν12


× C1 J0 
(x − αt) + d4 cos q
(x − αt) ×
α2 − ν12
q
2|λ1 | µρs (z)
b0z SF


 + C2 Y0 
q
2|λ1 | µρs (z)
b0z SF

 .
(18)
4
Ñ.È. Ïåðåãóäèí, Ñ.Å. Õîëîäîâà
Ïðèìåì ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè z = 0:
vz = 0,
bx = 0,
by = 0.
(19)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìû èùåì ðåøåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå âáëèçè ãðàíèöû æèäêîãî ÿäðà ñ
ìàíòèåé, ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ óñëîâèé
vx → 0,
by → 0
ïðè
bx → 0,
(20)
z → −∞.
Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (13) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò èíäóêöèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
q


y2 
√ 0
2|λ
|
µρ
(z)
C
|λ
|
µρ
(z)
1
s
2
1
1
s
+
q
bx (x, y, z, t) = b0z e 2ν1 
J00 
b
SF
0z
b0z SF ρs (z)
−
+
q

× −
d1
α2
+
α|λ1 |
ν12 α
√
C2 |λ1 | µρ0s (z)
q
b0z SF ρs (z)

J00 
q
2|λ1 | µρs (z)
b0z SF


q
cos q
|λ1 |
α2 + ν12 α
(x + αt) +
d2 α2 + ν12 α
|λ1 |
sin q
(x + αt)+
α|λ1 |
α2 + ν12 α
q
d3 α2 − ν12 α
|λ1 |
+
cos q
(x − αt)−
α|λ1 |
α2 − ν12 α
q

d4 α2 − ν12 α
|λ1 |
−
(x − αt) + C3 (x, y, z),
sin q
2
2
α|λ1 |
α − ν1 α
(21)
by (x, y, z, t) = by (x, y, z, t),
q
q




y2 
2|λ1 | µρs (z)
2|λ1 | µρs (z)
2
 C 2 Y0 
 ×
bz (x, y, z, t) = −b0z e 2ν1 C1 J0 
b0z SF
b0z SF
−

×
|λ1 |
|λ1 |
d1
d2
sin q
(x + αt) + cos q
(x + αt)−
α
α
α2 + ν12 α
α2 + ν12 α

d3
|λ1 |
d4
|λ1 |
− sin q
(x − αt) − cos q
(x − αt) + C5 (x, y, z).
2
2
2
2
α
α
α − ν1 α
α − ν1 α
(22)
Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè ïî z , ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âåðòèêàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè:
y2 
d1 |λ1 |
|λ1 |
2
cos q
(x + αt)−
vz (x, y, z, t) = −e 2ν1  q
α2 + ν12 α
α2 + ν12 α
−
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÌÃÄ âîëí
5
d2 |λ1 |
|λ1 |
d3 |λ1 |
|λ1 |
−q
sin q
(x + αt) + q
cos q
(x + αt)−
α2 + ν12 α
α2 + ν12 α
α2 − ν12 α
α2 − ν12 α

d4 |λ1 |
−q
α2
Z
×


C1 J0 
−
q
ν12 α
2|λ1 | µρs (z)
b0z SF
sin q

|λ1 |
α2
−

 + C2 Y0 
ν12 α
(x + αt) ×
q
2|λ1 | µρs (z)
b0z SF

 dz + C4 (x, y, t).
(23)
Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà óñëîâèé (19) ïîëó÷àåì, ÷òî
Z
C4 (x, y, t) =
ue0x (x, t)u1 (y)
¯
¯
e ¯
Gdz
z=0
,
âûïîëíåíèå âòîðîãî ðàâåíñòâà óñëîâèé (19) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó C2 = 0 è ê îïðåäåëåíèþ ÷èñëà |λ1 |:
γ02 SF b0z
|λ1 | = q
,
2 µρs (0)
ãäå γ02 íóëü ôóíêöèè Áåññåëÿ J1 . Ôóíêöèÿ by (x, y, z) ñâÿçàíà ñ ïðîèçâîëüíûìè ôóíêöèÿìè C3 (x, y, z) è C5 (x, y, z) ñîîòíîøåíèåì
∂C3 ∂C5 ∂by
+
+
= 0,
∂x
∂z
∂y
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïóñòü
C3 (x, y, z) = <e yeikx−
òîãäà
y2
2 zez ,
C5 (x, y, z) = <e yeikx−
Ã
by (x, y, z) = <e (1 + ik)e
ikx−
y2
2 zez
y2
2 (z
− 1)ez ,
!
,
è, ñëåäîâàòåëüíî, òðåòüå ðàâåíñòâî ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (19) òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Óñëîâèå (20) âûïîëíÿåòñÿ âñëåäñòâèå èçâåñòíîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðè áîëüøèõ
çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà è ó÷åòà òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ ρ0s (z) â óñëîâèÿõ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïðè áîëüøèõ z ðàâíà íóëþ. Äàâëåíèå è ïëîòíîñòü îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé
(10) ñîîòíîøåíèÿìè
Zt Zz
p(x, y, z, t) = −S
Zt
vz (x, y, ze, τ ) dτ dz,
0 0
ρ(x, y, z, t) = S
vz (x, y, z, τ ) dτ dz.
0
Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäåííûé àíàëèç ñâèäåòåëüñòâóåò î ñóùåñòâîâàíèè â ýêâàòîðèàëüíîé çîíå âîëí Êåëüâèíà, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ê âîñòîêó è ê çàïàäó, ïðè÷åì çîíàëüíàÿ
ñêîðîñòü â âîëíå Êåëüâèíà íå óäîâëåòâîðÿåò ãåîñòðîôè÷åñêîìó ñîîòíîøåíèþ, ÷òî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (9), êàê ýòî îáû÷íî áûâàåò â íåýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè. Âêëàä
â îòêëîíåíèå îò ãåîñòðîôè÷íîñòè ñêîðîñòè âíîñèò íàëè÷èå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à èìåííî,
åãî ìåðèäèîíàëüíàÿ êîìïîíåíòà.
6
Ñ.È. Ïåðåãóäèí, Ñ.Å. Õîëîäîâà
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Õîëîäîâà Ñ.Å. Êâàçèãåîñòðîôè÷åñêèå äâèæåíèÿ âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà è òåõíè÷åñêàÿ ôèçèêà, 2009,  1, Ò. 50, Ñ. 30-41.
[2] Õîëîäîâà Ñ.Å. Äèíàìèêà âðàùàþùåãîñÿ ñëîÿ èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
2008.Ò. 48,  5, Ñ. 882-898.
[3] Áðàãèíñêèé Ñ.È. Âîëíû â óñòîé÷èâî ñòðàòèôèöèðîâàííîì ñëîå íà ïîâåðõíîñòè çåìíîãî
ÿäðà // Ãåîìàãíåòèçì è àýðîíîìèÿ, 3, 476482, 1987.
[4] Õîëîäîâà Ñ.Å. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå êðóïíîìàñøòàáíûõ äâèæåíèé ñòðàòèôèöèðîâàííîé ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè â ñôåðè÷åñêîì ñëîå // Âåñòíèê ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, Ñåð. 10, 2009, âûï. 1, Ñ. 118-133.
[5] Ïåðåãóäèí Ñ.È., Õîëîäîâà Ñ.Å. Îá èíòåãðèðîâàíèè ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìîäåëèðóþùåé ãåîñòðîôè÷åñêèå äâèæåíèÿ âî âðàùàþùåìñÿ
ñôåðè÷åñêîì ñëîå // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü: Òðóäû 39-é ìåæäóíàðîäíîé
íàó÷íîé êîíôåðåíöèè àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ / Ïîä ðåä. Í. Â. Ñìèðíîâà, Ã. Ø. Òàìàñÿíà.
ÑÏá.: Èçäàò. Äîì Ñ.-Ïåòåðá. ãîñ. óí-òà, 2009. Ñ. 181-190.
[6] Ïåðåãóäèí Ñ.È., Õîëîäîâà Ñ.Å. Îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè ÌÃÄ âîëí â ýêâàòîðèàëüíîé îáëàñòè // Äèíàìèêà íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì. Òðóäû ÈÑÀ ÐÀÍ. Ò. 49(1) / Ïîä
ðåäàêöèåé Þ.Ñ. Ïîïêîâà. Ì.: ËÅÍÀÍÄ, 2010. Ñ. 115122.
[7] Áðàãèíñêèé Ñ.È. Ìàãíèòî-ãèäðîäèíàìèêà çåìíîãî ÿäðà // Ãåîìàãí. è àýðîíîì. 1964.
Ò. 4.  5. Ñ. 898916.