Напряшеения изгиба в произвольном слое пластинки

BAKI UNİVERSİTETİNİN XƏBƏRLƏRİ
№1
Fizika-riyaziyyat elmləri seriyası
2014
MEXANİKA
УДК 539.3
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОРТОТРОПНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПЛАСТИНКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Г.М.ГАСЫМОВ
Бакинский Государственный Университет, ИММ НАНА
husameddinqasimov@gmail.com
В работе исследуется задача устойчивости ортотропной прямоугольной пластины переменной толщины сжатой в одном направлении, с учетом внешнего упругого
сопротивления. Построено уравнение устойчивости для двухмерного случая. Качественный и количественный анализ был проведен для цилиндрической формы потери устойчивости в случае, когда толщина вдоль длины меняется по линейному закону.
Ключевые слова: пластинка, деформация, устойчивость.
В последние годы прямоугольные пластинки, изготовленные из ортотропного материала являются наиболее распространенными элементами конструкции.
В данной работе исследуется задача устойчивости ортотропной
прямоугольной пластинки толщиной h = h0 f ( x ) , сжатой вдоль длинной
стороны равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью P .
Функция f ( x ) со своими производными до второго порядка являются
непрерывными функциями [1]. Координатная система выбрана следующим образом: оси X и Y находятся на срединной плоскости, а ось Z
перпендикулярна к ним.
h+h
h0 =
,
h−h
здесь h и h -наибольшее и наименьшее значения толщины пластинки,
соответственно.
Связь между напряжениями σ 11 , σ 22 , σ 12 и деформациями ε 11 , ε 22 , ε 12
имеет следующий вид [2,3]:
106
E1
(ε 11 + ν 2ε 22 ) , σ 22 = E 2 (ε 22 + ν 1ε 11 ) , σ 12 = Gε 12 . (1)
1 − ν 1ν 2
1 − ν 1ν 2
E1 , E 2 - модули упругости, ν 1 , ν 2 - коэффициенты Пуассона, G - модуль
сдвига.
(2)
ε 11 = e1 + χ 1 z , ε 22 = e2 + χ 2 z , ε 12 = e0 + χ 0 z .
Здесь e1 , e2 , e0 -деформации срединной поверхности, χ 1 , χ 2 -кривизны,
χ 0 -кручение срединной поверхности.
σ 11 =
χ1 = −
∂2w
,
∂x 2
χ2 = −
∂2w
,
∂y 2
χ0 = −
∂2w
,
∂x∂y
где w -прогиб.
Учитывая (1), (2) и (3) в соотношениях Tij =
получим:
2 E1 h0
(e1 + ν 2 e2 ) f (x ) ,
T11 =
1 − ν 1ν 2
T12 = 2Gh0 e0 f ( x ) .
T22 =
h0 f ( x )
∫σ
ij
− h0 f ( x )
(3)
dz , M ij =
h0 f ( x )
∫σ
ij
− h0 f ( x )
zdz
2 E 2 h0
(e2 + ν 1e1 ) f (x ) ,
1 − ν 1ν 2
(4)
3
2 E1 h03
(χ1 + ν 2 χ 2 ) f 3 (x ) , M 22 = 2 E 2 h0 (χ 2 + ν 1 χ1 ) f 3 (x ) ,
3(1 − ν 1ν 2 )
3(1 − ν 1ν 2 )
2
(5)
M 12 = h03 Gχ 0 f 3 ( x ).
3
Пользуясь выражениями для моментов и кривизн, получаем следующее уравнение устойчивости:
∂4w
∂4w
∂4w
A1 f 3 (x ) 4 + A2 f 3 (x ) 2 2 + A3 f 3 (x ) 4 +
∂x
∂x ∂y
∂y
M 11 =
  df (x )  2
d 2 f ( x )  ∂ 2 w
df (x ) ∂ 3 w
∂2w 
2


+ 3 f (x )2
+ A4 2  + 6 A1 f (x )
+
 + f (x )
 A1
dx ∂x 3
dx 2  ∂x 2
∂y 
  dx 
(6)
df (x ) ∂ 3 w ∂ 2 w
∂2w
∂2w
T
T
T
−
−
−
= 0.
2
11
12
22
dx ∂x∂y 2 ∂x 2
∂x∂y
∂y 2
Воспользуемся далее уравнением совместности деформаций:
+ A5 f 2 (x )
2
∂ 2 e1 ∂ 2 e2 ∂ 2 e0  ∂ 2 w 
∂2w ∂2w


.
(7)
+
−
=
− 2
∂y 2
∂x 2 ∂x∂y  ∂x∂y 
∂x ∂y 2
Выразим усилия T11 , T22 , T12 через функцию усилий φ следующим
образом:
107
∂ 2ϕ
∂ 2φ
∂ 2φ
,
,
.
T
=
−
=
T
12
22
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
Из (4) найдем e1 , e2 , e0 и подставим в (7). После некоторых преобразований уравнение совместности деформаций примет вид:
B3 ∂ 4φ
B1 ∂ 4φ
B 2 ∂ 4φ
+
+
+
f ( x ) ∂x 4 f ( x ) ∂x 2 ∂y 2 f ( x ) ∂y 4
T11 =
+
 2  df ( x )  2 d 2 f ( x )  ∂ 2φ
∂ 2φ  2 B1 df ( x ) ∂ 3φ

−
−
−
+
B
B




1
4
∂y 2  f 2 ( x ) dx ∂x 3
f 2 ( x )  f ( x )  dx 
dx 2  ∂x 2
1
 ∂2w 
df ( x ) ∂ 3φ
∂2w ∂2w


+ 2
.
=
−
f ( x ) dx ∂x∂y 2  ∂x∂y 
∂x 2 ∂y 2
Здесь введены обозначения:
h 3 [E ν + G (1 − ν 1ν 2 )]
E1 h03
E 2 h03
; A2 = 0 1 2
; A3 =
;
A1 =
12(1 − v1v 2 )
12(1 − v1v 2 )
6(1 − v1v 2 )
2
B5
h 3 [E ν + G (1 − ν 1ν 2 )]
E1ν 2 h03
; A5 = 0 1 2
.
12(1 − v1v 2 )
2(1 − v1v 2 )
E − 2Gν 1
ν1
1
1
, B2 = 1
, B3 =
, B4 =
, B5 = − B2 .
B1 =
2 E 2 h0
2 E1 h0
2 E1Gh0
2 E1 h0
A4 =
В данном случае уравнение устойчивости (6) примет следующий вид
( δTij = 0 ):
A1 f 3 (x )
∂4w
∂4w
∂4w
3
3
(
)
(
)
+
+
+
f
x
A
A
f
x
3
2
∂y 4
∂x 4
∂x 2 ∂y 2
  df (x )  2
∂2w 
df (x ) ∂ 3 w
d 2 f ( x )  ∂ 2 w
2


(
)
6
+
+ (8)
+
+ 3 f (x )2
x
A
f
A
A
 + f (x )

1
1
4
dx ∂x 3
∂y 2 
dx 2  ∂x 2
  dx 
∂2w
df (x ) ∂ 3 w
(
)
[
]
1
,
+
+
+
= 0.
+ A5 f 2 (x )
w
P
k
x
y
ε
ψ
1
dx ∂x∂y 2
∂x 2
Здесь k -коэффициент Винклера, ψ ( x, y ) -непрерывная функция, ε 1 ∈ [0,1].
Решение (8) будем искать в следующем виде:
(9)
w( x, y ) = C sin αx sin βy ,
где
mπ
nπ
.
α=
, β=
a
b
Подставляя (9) в (8) и используя метод Бубнова-Галеркина, при
f ( x ) = 1 + ε x, ψ ( x, y ) = x ⋅ y ,
x = xa −1 , y = yb −1 , ε ∈ [0,1]
(
108
)
получаем:
P=
β4
1
 A1α 2 + A2 β 2 + A3 2
2
α

 3
β2
1 
1 + ε + ε 2 + ε 3  − 3ε 2  A1 + A4 2
4 
α

 2
 1  1  1  .
1 + ε  + k 1 + ε 1 
 4  2  4 
В случае цилиндрической формы изгибной потери устойчивости
уравнение (8) примет вид:
A1 f 3 ( x )
  df ( x )  2
d 4w
d 2 f (x ) d 2 w
(
)
A
f
x
3
+ 6 A1 f
+
 + f (x )
2

1
4
dx
dx 2  dx 2
  dx 
+ k [1 + ε 1ϕ ( x )]w + P
2
(x ) df (x ) d
dx
3
w
+
dx 3
d w
= 0.
dx 2
Для прогиба w( x ) примем выражение вида:
w( x ) = C sin αx .
В этом случае, при
f ( x ) = 1 + ε x, ψ ( x ) = x
получаем:
или
(10)
2
(11)
1 

 3
 1   1 
 3
P = A1α 2 1 + ε + ε 2 + ε 3  − 6 A1ε 2 1 + ε  + k 1 + ε 1  ≈ A1α 2 1 + ε + ε 2  +
2
4
4
4


 2
 



 1 
+ k 1 + ε 1 ,
 4 
P=
k  1 .
3
= 1+ ε + ε 2 +
1 + ε 1 
2
A1α
A1α 2  4 
P
2
B случае k = 0 , проведен численный анализ и результаты показаны в виде
−графика зависимости между характерными параметрами.
P
ε
109
Как видно из графика, учет переменности толщины существенным образом влияет на значение критической нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985, 303 с.
2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967, 984с.
3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977, 415с.
DƏYİŞƏN QALINLIQLI ORTOTROP DÜZBUCAQLI LÖVHƏNİN
DAYANIQLIĞI HAQQINDA
H.M.QASIMOV
XÜLASƏ
Məqalədə ətraf mühitin elastik müqaviməti nəzərə alınmaqla, bir istiqamətdə sıxılmış
dəyişən qalınlıqlı ortotrop düzbucaqlı lövhənin dayanıqlığı məsələsinə baxılır. Ümumi hal üçün
deformasiyanın birgəlik şərti və tarazlıq tənliyi çıxarılmışdır. Dayanıqlığın itməsinin silindrik
forması üçün və qalınlığın uzunluq boyunca xətti qanunla dəyişməsi halı üçün analiz
aparılmışdır.
Açar sözlər: lövhə, deformasiya, dayanıqlıq.
ON STABILITY OF AN ORTHOTROPIC
RECTANGULAR PLATE OF VARIABLE THICKNESS
H.M.GASIMOV
SUMMARY
The paper studies a problem on stability of orthotropic rectangular plate of variable
thickness compressed in one direction. Elastic resistance is taken into account. Equilibrium
equation and strain compatibility condition are derived for a general case. Detailed analysis is
carried out for cylindric form of stability loss when the thickness along the length changes by
the linear law.
Key words: plate, deformation, stability.
Поступило в редакцию: 25.02.2014 г.
Подписано к печати: 04.04.2014 г.
110