ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

БУРЕНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ
63
УДК 532.546.2
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ С ПОКРЫТОЙ
ПОРИСТЫМ СЛОЕМ ПОВЕРХНОСТЬЮ∗
 А.Н. ФИЛИППОВ, Д.Ю. ХАНУКАЕВА, В.В. КАЛИНИН
(РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, Минобрнауки РФ,
119991, г. Москва, Ленинский просп., д. 65, Российская Федерация)
Течение вязкой несжимаемой жидкости в длинной цилиндрической поре,
внутренняя поверхность которой покрыта проницаемым пористым слоем,
рассматривается в рамках двух математических моделей. Первая из них
использует для пористого слоя уравнения Бринкмана, а вторая заменяет пористый слой условием проскальзывания Навье на стенке поры.
Обсуждается целесообразность и обоснованность применения предложенных моделей для расчета коэффициента вытеснения нефти из пористой
среды.
Ключевые слова: пористый слой, вязкая жидкость, уравнение Бринкмана,
длина проскальзывания, модельное описание.
ВВЕДЕНИЕ
Развитие науки о роли поверхностных межфазных взаимодействий и
нанотехнологий инициирует пристальное внимание к исследованиям микро- и
наноразмерных объектов и систем, таких как пористые тела, мембраны, тонкие
капилляры. При этом приходится иметь дело с качественно другим поведением жидкостей в тонких слоях, капиллярах и порах. Вполне очевидно, что динамика течения в каналах, ограниченных твердыми и/или пористыми стенками, может быть точно описана, только если физика потока на границе раздела
между жидкостью и твердым телом полностью понятна. Классическое граничное условие прилипания, которое использовалось в течение более ста лет, а
иногда используется и в настоящее время [1, 2], часто не способно адекватно
описать экспериментальные данные в нанометровом диапазоне. Соответственно, изучение характера течения жидкостей вблизи поверхности твердого тела
представляет теперь не только теоретический интерес, но имеет и важнейшее
практическое значение. В частности, при вытеснении трудноизвлекаемых или
остаточных запасов нефти из пористых пород на практике применяют добавление различных полимеров (полиэлектролитов), ионогенных ПАВ или газа в
вытесняющую жидкость. Это приводит к существенному изменению характера течения в насыщенных нефтью микропорах за счет ослабления вязкого тре∗
Статья рекомендована к печати доктором технических наук, профессором О.В. Ермолкиным.
64
ТРУДЫ РГУ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА № 3 (268) 2012
ния на их стенках. В результате описанных действий коэффициент вытеснения нефти из пористой среды может быть существенно увеличен. Расчет
гидродинамических сил, действующих на молекулярно-гладкие гидрофильные поверхности, хорошо описывается теорией смазки Рейнольдса с использованием условия прилипания. Однако молекулярно-гладкие поверхности
встречаются чрезвычайно редко. Обычно поверхности являются, в какой-то
мере, шероховатыми или пористыми или теми и другими одновременно. Учет
морфологических особенностей поверхностей необходим, например, при изучении смачивания и растекания жидкости по пористым поверхностям, течения
растворов в аппаратах с тангенциальным потоком между плоскими стенками
и нанесенными на них мембранами, твердыми частицами, белками, течении
вязких жидкостей (нефтей) в насыщенных породах и т.д. Во всех этих случаях течение части жидкости происходит либо внутри пористого слоя, либо
вблизи шероховатой поверхности. При этом скорость потока жидкости может уменьшаться. В то же время, нанесение на поверхность слоев, которые
могут гидрофобизовать поверхность, приводит к увеличению скорости потока жидкости, которое в настоящее время интерпретируется как скольжение
[3−4]. Степень отклонения от предположения полного прилипания обычно
определяется количественно параметром, названным «длина скольжения», являющимся расстоянием вне стенки, к которой взвешенный профиль скорости
жидкости должен экстраполироваться, чтобы получить нулевую скорость.
Некоторые исследователи считают, что шероховатость уменьшает степень
проскальзывания, в то время как другие полагают, что шероховатость генерирует чрезвычайно большое проскальзывание. Часть этих противоречий, как
показали Виноградова и Якубов в [5], может быть снята при более корректном
учете шероховатости поверхностей, на которых проводились исследования.
Следует подчеркнуть, что особенные трудности возникают при попытке
объяснения экспериментальных данных по течению жидкостей вблизи пористых или покрытых адсорбированными слоями полиэлектролитов поверхностей [6].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ БРИНКМАНА
Рассмотрим сначала наиболее сложную модель пористого слоя − модель
Бринкмана. В цилиндрической системе координат, где r – радиальная координата, а ось z направлена вдоль оси частично пористого капилляра радиуса
R (рис. 1), уравнение Стокса, описывающее установившееся медленное течение жидкости вне пористого слоя, и уравнение Бринкмана – внутри пористого
слоя − имеют следующий вид:
µ o
1 d  du o  dp
, 0 < r < R − δ ;
 r
=
r dr  dr  dz
(1)
БУРЕНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ
65
Рис. 1. Цилиндрический капилляр радиуса R , изнутри покрытый пористым
слоем толщиной δ
µ i
1 d  du i
 r
r dr  dr
 µ o
 − 
 kв
dp
, R − δ < r < R ,
u i =
(2)
dz
где u o , u i и µ o , µ i − скорости течения вдоль оси цилиндра и вязкости жидdp
кости вне и внутри пористого слоя толщиной δ ,  − градиент давления, коdz
торый считается постоянным по длине капилляра и заданным, kв − проницаемость пористой среды Бринкмана.
Считаем, что на поверхности цилиндра выполняется стандартное условие
прилипания:
u i = 0, r = R .
(3)
На межфазной границе r= R − δ зададим условия непрерывности скорости и касательного напряжения:
u o = u i ,
(4)
σ orz =σ irz .
(5)
Тильда над символами означает, что соответствующая величина является
размерной, в противном случае – безразмерной.
Введем следующие безразмерные переменные и величины:
δ
U µo
r
z
u
p
r =  , z =  , δ =  , u =  ; p =  , p 0 =  ,
R
R
R
U
p 0
R
(6)
Q
Q= 2
U R
µ
; m =  o , s0 =
i
µ
R

RB
, s=
s0
m
, ω=
dp
dz
,
kв − характерная толщина фильтрационного слоя, в котором в основном и происходит течение (радиус Бринкмана), Q – расход жидкости через
где R в =
ТРУДЫ РГУ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА № 3 (268) 2012
66
капилляр, U – характерная (например, средняя или максимальная) скорость
течения жидкости в капилляре.
Уравнения (1)−(2) и граничные условия (3)−(5) в безразмерных переменных (6) перепишутся следующим образом:
d
dr
 duo 
 r
 =
 dr 
 d 2 ui
 2
 dr
+
r ω,
1 dui 
2 i
−s u
r dr 
(7)
ω
m
,
=
u i = 0 при r = 1,
(8)
(9)
u o = u i при r = 1 − δ,
(10)
duo
dr
(11)
=m
dui
dr
при r = 1 − δ.
Система (7)−(11) представляет собой замкнутую краевую задачу относительно неизвестных скоростей жидкости u o и u i как функций радиальной координаты r и может быть решена стандартными методами. Полное решение
поставленной задачи может быть найдено в работе авторов [7] и здесь для
краткости не приводится.
Безразмерный расход жидкости, протекающей через капилляр, равен
1
 1−δ

Q=
2 π  ∫ u o rdr + ∫ u i rdr  .
 0

1−δ


(12)
Согласно формуле Пуазейля, безразмерный расход жидкости через чистый капилляр без пористого слоя равен
Q0 = −π ω / 8.
(13)
Введем безразмерную величину ν, равную отношению расхода Q через
капилляр с пористым слоем к расходу Q0 через капилляр того же радиуса без
пористого слоя:
ν ( m, s, δ) =Q / Q0 .
(14)
После подстановки скоростей из решения задачи (7)−(11) в формулы
(12)−(14), интегрирования и последующих тождественных преобразований
получим:
БУРЕНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ
ν (m, s0 , δ)= (1 − δ)4 +
8
s02
(1 + (1 − δ)2 ) +
67
16 m   s0 (1 − δ) 
 s0 
 I1 
 K1 
−
m 
s03 ∆ 0  
 m
s0 (1 − δ)   s0 
s02 (1 − δ)3 ∆1 
 I1 
 − (1 − δ) −
 ,
4m
m   m


− K1 
(15)
где введенные вспомогательные функции ∆0 и ∆1 имеют следующий вид
=
∆ 0 K1 

s0 (1 − δ)   s0 
 s0 (1 − δ) 
 s0 
 I0 
 + I1 
 K0 
,
m   m
m 

 m
=
∆1 K 0  0  I0 
 m 
s
s0 (1 − δ) 
 s0 
 s0 (1 − δ) 
 − I0 
 K0 
,
m 
m 
 m

а I0(x), K0(x) и I1(x), K1(x) − модифицированные функции Бесселя первого и
второго рода, нулевого и первого порядка, соответственно.
Дадим необходимые пояснения относительно безразмерных параметров
m, s0 и δ (см. обозначения (6)).
Параметр m. Отношение эффективной вязкости внутри пористого слоя к
объемной вязкости исследовалось в работе [8]. Было показано, что эффективная вязкость всегда выше по сравнению с объемной вязкостью жидкости, т.е.
m > 1. Однако это заключение верно только в том случае, когда жидкость, текущая в пористом слое, идентична жидкости в объеме. Если жидкость внутри
пористого слоя отлична от жидкости в объеме, то m может быть как больше,
так и меньше единицы в зависимости от свойств жидкости в пористом слое. В
этом случае для вычисления эффективной вязкости может быть применен алгоритм, предложенный в [8].
Параметр s0. Этот параметр при стандартных обстоятельствах должен
быть много больше 1, потому что радиус Бринкмана обычно много меньше
радиуса капилляра.
Параметр δ. Этот параметр очень мал в обычных для практики случаях.
Обратим внимание на важный для практических приложений случай δ =
= 1, m = 1 (µ i = µ o ), который соответствует наличию газа в тонком пористом
слое. При фиксированном значении s0 ≥ 1, когда радиус Бринкмана не превосходит радиус капилляра, получим s = s0 / m = 1. Тогда, учитывая, что δ = 1,
можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных
функций Бесселя при больших значениях аргументов в выражении для ν(m, s0,
δ), и оно примет вид:
νm= (1 − δ)4 +

 m
16
2

(1
+
(1
−
δ
)
)
−
s02
s02   s0


8
s (1 − δ)3 
s δ
− 0
 th 0
m
4 m 

(1 − δ)1,5 
.
+
s δ
ch 0 
m 
(16)
ТРУДЫ РГУ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА № 3 (268) 2012
68
Рис. 2. Зависимости ν(δ), рассчитанные по точной формуле (15) – сплошные кривые; по
асимптотическим формулам (16) – пунктирные кривые и (18) – прямые:
а − m = 10−3, s0 = 1 ( s0 / m ≈ 31,6); б − m = 0,1, s0 = 1,5 ( s0 / m ≈ 4,7)
Анализ показывает, что эта простая асимптотическая формула достаточно
хорошо приближает точную формулу (15) при выполнении слабого ограничения s0 / m ≥ 4,5 вне зависимости от толщины пористого слоя. На рис. 2
сплошными линиями показаны графики функции ν(δ) при различных значениях параметров m и s0, вычисленные с использованием точной формулы (15).
Пунктирными кривыми показаны асимптотические зависимости νm(δ), вычисленные на основании приближенной формулы (16). Их наглядное практическое совпадение для указанных ограничений на параметры m и s0 не вызывает
сомнения. При выполнении условия
s0 (1 − δ)
m

= 1  δ = 1 −

m
,
s0 
необходимого для
достоверности асимптотики (16), и неравенстве m / s0 ≥ 0,5 автоматически
выполняется дополнительное ограничение на толщину пористого слоя δ =
=
m
s0
. Учитывая, что при этом условии th
s0 δ
m
=
s0 δ
m
, а ch
s0 δ
m
= 1, из (16) по-
лучим упрощенную приближенную формулу для очень тонкого пористого
слоя в случае сильно пониженной вязкости в нем:
νm δ= (1 − δ)4 +
8
s02
(1 + (1 − δ)2 ) −

s02 (1 − δ)3 
16  
1,5

δ
1
−

 + (1 − δ)  ,
2  

4
m
s0  


(17)
которая при сохранении только членов не старше первого порядка по δ приобретает следующий вид:
БУРЕНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ
1− m
νа = 1 + 4 δ 
 m
−
2 
.
s02 
Если же отношение
69
(18)
m / s0 < 0,5, то для расчетов по формулам (17) и (18)
необходимо потребовать, чтобы выполнялось ограничение δ = m / s0 . Прямые
линии, определяемые формулой (18), тоже построены на рис. 2, а, б и являются
касательными, проведенными в нуле для асимптотических кривых (16), изображенных на тех же рисунках. По наклону этих касательных можно судить о том,
достигает ли функция ν(m, s0, δ) значений, больших 1. Очевидно, это случится
тогда, когда в формуле (18) выражение в скобках будет положительным, т.е.
при выполнении неравенства s02 >
2m
,
1− m
которое в свою очередь может иметь
место только при пониженной вязкости жидкости в пористом слое, m < 1.
МОДЕЛЬ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НАВЬЕ
Альтернативой предложенной выше модели пористой среды Бринкмана
может быть отказ от эмпирического условия прилипания на стенке капилляра
и замена его на условие проскальзывания Навье [9], предложенное им в 1822 г.
Условие проскальзывания предполагает линейную связь тангенциальной компоненты скорости жидкости на твердой поверхности и касательных напряжений на ней. Для рассматриваемой здесь задачи это условие в безразмерной
форме приобретает следующий вид [10]:
u o = −l
duo
dr
при r = 1.
(19)
Здесь l = l / R – безразмерная длина проскальзывания, а малой толщиной
пористого слоя, как уже отмечалось выше, пренебрегается (δ = 0). Частное
решение дифференциального уравнения (7) при условии проскальзывания (19)
имеет вид:
ω
4
u o =− (2 l + 1 − r 2 ) при 0 ≤ r ≤ 1.
(20)
Подставляя (20) в выражение для расхода (12) и интегрируя, из (14)
найдем, что
ν = 1 + 4 l.
(21)
Сравнивая формулы (18) и (21), отмечаем их структурную схожесть и
находим при малых толщинах пористого слоя приближенную связь между
ТРУДЫ РГУ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА № 3 (268) 2012
70
длиной проскальзывания с одной стороны и проницаемостью и отношением
вязкостей с другой:
1− m
l ≈ δ 
 m
−
2 
.
s02 
(22)
Формула (22) показывает, что длина проскальзывания всегда отрицательна, если вязкость в пористом слое повышена; и может быть как отрицательной,
так и положительной при пониженной вязкости в пористом слое в зависимости
от его проницаемости:
 µo − µi 2k 
l ≈ δ   o  − 2в  .

µ
R 
(23)
Безусловно, формула (21) несравнимо проще не только формулы (15), но
даже и асимптотической формулы (16). Кроме того, в модели Навье содержится только один параметр – длина проскальзывания (правда, физически трудно
осмысливаемый и поэтому всегда подгоночный), а в модели Бринкмана − целых три (толщина пористого слоя, отношение вязкостей и проницаемость пористого слоя). Полученное здесь соотношение (22) или (23) может служить,
например, оценкой такой плохо поддающейся прямому измерению величины,
как вязкость жидкости внутри пористого слоя.
Отметим, что использование модели цилиндрической поры является достаточно сильным допущением при исследовании вытеснения нефти из пористой породы. Реальная структура пор может быть гораздо более сложной. Это
видно из рис. 3, на котором представлен образ скола образца керна, полу-
Рис. 3. АСМ-образ поверхности скола керна
размером 25×25 мкм
БУРЕНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ
71
ченный с помощью сканирующего зондового микроскопа «AIST SmartSPM1000», разработанного на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина. Темные пятна на этом рисунке представляют собой возможные поровые каналы, форма которых в отдельных фрагментах близка к круглой. Тем не менее, в среднем, учитывая высокую пористость породы и большое количество микропор на единицу площади, использованное приближение
должно давать результаты, мало отличающиеся от реальных.
ВЫВОДЫ
В данной работе предложены две разные математические модели для
описания течения жидкости внутри длинного цилиндрического капилляра (поры), внутренняя поверхность которого является шероховатой или покрыта
проницаемым слоем. На основе каждой из предложенных моделей могут быть
объяснены экспериментальные результаты по возрастанию расхода жидкости
через такой капилляр (пору), полученные, например, в работе [6]. Отметим,
что рассмотренные здесь модели в пределах ошибки эксперимента дают идентичные результаты в случае тонкого (δ = 1) и слабопроницаемого (s02 = m = 1)
пористого слоя. Выбор в пользу той или иной модели определяется условиями
эксперимента и характерными особенностями изучаемой системы. Разработанные математические модели позволяют рассчитать увеличение коэффициента вытеснения нефти из пористой среды.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-08-90010).
ЛИТЕРАТУРА
1. Lamb H. Hydrodynamics. New York: Dover, 1932. – 604 р.
2. Hunter R.J. Foundations of Colloid Science. Oxford: Oxford University Press, 1993. – 276 р.
3. Churaev N.V., Sobolev V.D., Somov A.N. Slippage of liquids over lyophobic solid surfaces//
J. Colloid Interface Sci. − 1984. − Vol. 97(2). − P. 574−581.
4. Kiseleva O.A., Sobolev V.D., Churaev N.V. Slippage of the Aqueous Solutions of Cetyltrimethylammonium Bromide during Flow in Thin Quartz Capillaries//Colloid J. − 1999. − Vol. 61. −
№ 2. − Р. 281−288.
5. Vinogradova O.I., Yakubov G.E. Surface roughness and hydrodynamic boundary conditions//
Phys. Rev. E. − 2006. − Vol. 73. − P. 045302.
6. Течение растворов в тонких капиллярах, покрытых адсорбционным слоем полиэлектролита/О.А. Киселева, В.Д. Соболев, Д.А. Семенов, А.П. Ершов, И.П. Сергеева, Н.В. Чураев//Коллоид. журн. − 2009. − Т. 71. − С. 72−77.
7. Течение жидкости внутри цилиндрического капилляра, стенки которого покрыты пористым слоем (гелем)/А.Н. Филиппов, Д.Ю. Ханукаева, С.И. Васин, В.Д. Соболев, В.М. Старов//
Коллоид. журн. – 2012. (отправлено в печать).
8. Starov V.M., Zhdanov V.G. Effective properties of suspensions/emulsions, porous and composite materials//Advances Colloid and Interface Sci. − 2008. − Vol. 137. − P. 2−19.
9. Navier C.L.M.H. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides//Mémoires de l’Académie
Royale des Sciences de l’Institut de France. − 1827. − Vol. 6. − P. 389−416.
10. Мatthews M.T., Hill J.M. Flow around nanospheres and nanocylinders//Quart. J. Mech. &
Appl. Math. − 2006. − Vol. 59. − P. 191−210.
72
ТРУДЫ РГУ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА № 3 (268) 2012
REFERENCES
1. Lamb H. Hydrodynamics. New York: Dover, 1932. – 604 р.
2. Hunter R.J. Foundations of Colloid Science. Oxford: Oxford University Press, 1993. – 276 р.
3. Churaev N.V., Sobolev V.D., Somov A.N. Slippage of liquids over lyophobic solid surfaces//
J. Colloid Interface Sci. − 1984. − Vol. 97(2). − P. 574−581.
4. Kiseleva O.A., Sobolev V.D., Churaev N.V. Slippage of the Aqueous Solutions of Cetyltrimethylammonium Bromide during Flow in Thin Quartz Capillaries//Colloid J. − 1999. − Vol. 61. −
№ 2. − Р. 281−288.
5. Vinogradova O.I., Yakubov G.E. Surface roughness and hydrodynamic boundary conditions//
Phys. Rev. E. − 2006. − Vol. 73. − P. 045302.
6. Techenie rastvorov v tonkih kapilljarah, pokrytyh adsorbcionnym sloem polijelektrolita/
O.A. Kiseleva, V.D. Sobolev, D.A. Semenov, A.P. Ershov, I.P. Sergeeva, N.V. Churaev//Kolloid.
zhurn. − 2009. − Vol. 71. − P. 72−77.
7. Techenie zhidkosti vnutri cilindricheskogo kapilljara, stenki kotorogo pokryty poristym sloem
(gelem)/A.N. Filippov, D.Ju. Hanukaeva, S.I. Vasin, V.D. Sobolev, V.M. Starov//Kolloid. zhurn. –
2012. (otpravleno v pechat').
8. Starov V.M., Zhdanov V.G. Effective properties of suspensions/emulsions, porous and composite materials//Advances Colloid and Interface Sci. − 2008. − Vol. 137. − P. 2−19.
9. Navier C.L.M.H. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides//Mémoires de l’Académie
Royale des Sciences de l’Institut de France. − 1827. − Vol. 6. − P. 389−416.
10. Мatthews M.T., Hill J.M. Flow around nanospheres and nanocylinders//Quart. J. Mech. &
Appl. Math. − 2006. − Vol. 59. − P. 191−210.
Анатолий Николаевич ФИЛИППОВ родился в 1960 г. Окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1982 г. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей
математики. Автор более 200 научных работ в области физико-химической механики и
коллоидной химии.
Anatoly N. FILIPPOV was born in 1960. Graduated from the M.V. Lomonosov Moscow
State University. University in 1982. He is Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Professor of the Department of Higher and Applied Mathematics of Gubkin Russian State
University of Oil and Gas. He is author of over 200 scientific papers in the field of physical and
chemical mechanics and colloid chemistry.
E-mail: filippov.a@gubkin.ru
Дарья Юрьевна ХАНУКАЕВА окончила МФТИ в 1999 г. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Автор более 20 научных работ
в области механики и математики.
Daria Y. HANUKAEVA graduated from Moscow Institute of Physics and Technology in
1999. She is Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of
Higher Mathematics at Gubkin Russian State University of Oil and Gas. She is author of more
than 20 publications in the field of mechanics and mathematics.
E-mail: khanuk@yandex.ru
Василий Валерьянович КАЛИНИН родился в 1952 г. Окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1974 г. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей
математики. Автор более 60 научных работ в области механики и математики.
Vasily V. KALININ was born in 1952. Graduated from the M.V. Lomonosov Moscow
State University in 1974. He is Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of
the Department of Mathematics at Gubkin Russian State University of Oil and Gas. He is author of more than 60 scientific papers in the field of mechanics and mathematics.
E-mail: vm@gubkin.ru