У Ч Е Н Ы Е З... Т о м X L ...

УЧЕНЫЕ
Том XL
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
2009
№5
УДК 624.073
519.63:512.643
ИЗГИБНЫЙ СОСТАВНОЙ ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
С КУБИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ ПРОГИБА
Ю. Ф. ЯРЕМЧУК
На основе составного треугольного элемента Клафа — Точера (ЭКТ) создан конечный
элемент С 1-гладкости* (в дальнейшем ЭНП), по геометрии совпадающий с ЭКТ, но с нелинейным изменением нормальной производной на границах между соседними элементами.
В частном случае линейного изменения нормальной производной вдоль границ ЭНП совпадает с ЭКТ. На примерах просто опертой и защемленной по всему контуру пластинки наблюдается заметное уточнение расчета.
Ключевые слова: изгиб тонкой пластинки, треугольный конечный элемент, межэлементная непрерывность.
Для решения задач изгиба тонких пластин в рамках теории Кирхгоффа [1] Клаф и Точер
сконструировали треугольный составной конечный элемент [2]. По настоящее время ЭКТ является единственным в своем роде конечным элементом с кубической функцией прогиба, согласованным по прогибам и углам наклона [3]. Геометрия элемента изображена на рис. 1.
Символами i, j и k обозначены вершины
треугольника — узлы. Четвертый узел p расположен в центре тяжести треугольника ijk, хотя
это необязательно. Треугольники, составляющие элемент, обозначены символами I, J, K. На
каждом треугольнике функция формы ЭКТ
представлена своим многочленом третьей степени. На внутренних границах треугольников
(в виде пунктирных линий) эти функции непрерывно вместе со своими производными переходят одна в другую. На внешних границах
элемента функция формы также согласована,
но производная по нормали к граничным пряРис. 1. Треугольный элемент Клафа — Точера
мым является линейной функцией вдоль границы. Это условие, очевидно, является доста1
точным для С -непрерывности функции прогиба, но не является необходимым. Ниже показано
существование функции, нормальная производная которой вдоль границы является квадратичной
функцией, инвариантной относительно перехода через границу между соседними элементами.
Рассматривается треугольный составной конечный элемент, представленный на рис. 1.
Определяются коэффициенты трех полных многочленов третьей степени как составляющих
функции формы для каждой из подобластей I, J и K. Однако, в отличие от численного определения этих коэффициентов, как это сделано при определении ЭКТ, коэффициенты были определе-
________
*
Гладкость С 1 конечного элемента автоматически гарантирует межэлементную непрерывность аппроксимируемой функции и ее первых производных.
82
ны явным образом как функции координат узлов треугольника и неизвестных обобщенных
∂wl
∂wl
координат wl ,
и
( l = i, j, k ) в узлах.
∂x
∂y
На внутренних границах функция формы C1 —
непрерывна. На внешних границах при заданных значениях обобщенных координат в узлах
функция формы является согласованной по
прогибам. Для определения условий согласованности по нормальной производной на границе необходимо перейти в систему координат,
связанную с границей. Например, на стороне
i, k функция формы представляется как функция координат s и t, изображенных на рис. 2.
Рис. 2. Система координат s, t
∂w
на стороне i, k при t = 0 является квадра∂t t =0
тичной функцией координаты s и содержит в себе, как часть, подфункцию, инвариантную относительно перехода на соседний элемент. Равенства нулю не инвариантных частей нормальной
производной на границе являются замыкающими условиями для определения коэффициентов
функции формы. Далее в качестве примера представлена одна из девяти функций форм, соответ∂wi
= 1 и равенству нулю других обобщенных координат.
ствующая обобщенной координате
∂y
Используется система координат x, y с началом в узле i. Требуемая функция формы определяется
тремя функциями:
Нормальная производная функции формы
⎧
w p , ( x, y ) ∈ I ,
⎪⎪
w ( x, y ) = ⎨ ( w p + w j ), ( x, y ) ∈ J ,
⎪
⎪⎩( w p + wk ), ( x, y ) ∈ K .
(1)
В выражении (1):
wp =
⎛
3
3
1 ⎞
( f1 − 1)2 ⎜⎜ a0 p + a1 p f1 + a2 p f 2 ⎟⎟ ,
4
2
2 ⎠
⎝
3
1 ⎞
2⎛
w j = ( f3 + 1) ⎜⎜ a0 j + a1 j
f1 + a2 j f 2 ⎟⎟ ,
2
2 ⎠
⎝
(2)
3
1 ⎞
2⎛
wk = ( f 4 − 1) ⎜⎜ a0 k + a1k
f1 + a2 k f 2 ⎟⎟ .
2
2 ⎠
⎝
Функции fl ,
( l = 1, 2, 3, 4 )
f1 =
f3 = −
yk − y j
Δ
2 yk − y j
Δ
в формулах (2) являются следующими линейными функциями:
x−
x+
xk − x j
Δ
2 xk − x j
Δ
f2 = −
y,
y,
f4 =
yk + y j
Δ
x+
yk − 2 y j
Δ
xk + x j
x−
Δ
y,
xk − 2 x j
Δ
y,
в которых x j , y j и xk , yk — координаты узлов j и k; Δ = ( x j yk − xk y j ) — удвоенная площадь треугольника ijk.
83
Коэффициенты aij в (2) определены в виде:
1
a0 p = − (a2 k − a2 j );
3
a1 p =
4 3 ⎡5
⎤
a2 k − a2 j + yk + y j ⎥ ;
9 ⎢⎣ 4
⎦
(
) (
)
4⎡ 1
⎤
a2 p = ⎢ − a2 k + a2 j + yk − y j ⎥ ;
3⎣ 2
⎦
1
a0 j = ( a2 k − a2 j );
4
(
) (
a1 j = −
1 ⎛ x j xk + y j yk
a2 j = ⎜ 1 −
3⎜
x 2j + y 2j
⎝
)
3
(a2 k − a2 j );
4
⎞
5 ⎛ x x + y j yk
⎟ y j − ⎜1 − j k
⎟
3 ⎜⎝
xk2 + yk2
⎠
⎛5 Δ
⎞
⎞
1 Δ
⎟;
+
x
x
⎟⎟ yk + αi ⎜
⎜ 6 xk2 + yk2 k 6 x 2j + y 2j j ⎟
⎠
⎝
⎠
a0 k = a0 j ;
a1k = a1 j ;
5 ⎛ x j xk + y j yk
a2 k = ⎜ 1 −
3⎜
x 2j + y 2j
⎝
⎞
1 ⎛ x x + y j yk
⎟ y j − ⎜1 − j k2
⎟
3 ⎜⎝
xk + yk2
⎠
⎛1 Δ
⎞
⎞
5 Δ
⎟.
x
x
+
⎟⎟ yk − αi ⎜
⎜ 6 xk2 + yk2 k 6 x 2j + y 2j j ⎟
⎠
⎝
⎠
В выражениях для коэффициентов aij имеется компонент при множителе αi . Это и есть
инвариантная часть нелинейной составляющей нормальной производной на границе (на сторонах
i, j и i, k). В представленном виде и при αi = 1 формулы соответствуют линейному изменению
нормальной производной по границам i, j и i, k, т. е. при αi = 1 полученный конечный элемент
совпадает с ЭКТ. При αi ≠ 1 функция формы имеет нормальную производную, изменяющуюся
по квадратичному закону вдоль границ i, j и i, k.
Все, что касается параметра αi , относится ко всем функциям форм, представляющим углы
∂wl
∂wl
и
поворота
( l = i, j, k ) элемента в узлах. Параметр αl не входит в функции форм для
∂x
∂y
прогибов в узлах.
Чтобы не нарушалось условие непрерывности нормальной производной функций форм
по границам соседних элементов, параметр
αl (рис. 3) должен быть одним и тем же для
всех конечных элементов, примыкающих к узлу l ( l = i, j , k ) .
Таким образом, в каждой конкретной задаче на изгиб пластинки появляются
m ≈ 2nα дополнительных параметров αi , где
nα — число узлов модели, в которых не заданы
∂wi
∂wi
или
(эти прозначения производных
∂x
∂y
изводные равны нулю в граничных узлах, где
задано условие защемления, но имеются узлы,
в случае просто опертой пластинки, где равна
нулю только одна из двух производных).
Рис. 3. Параметр α для сети элементов
84
Для определения m параметров αi используется градиентная процедура поиска минимума
потенциальной энергии деформации пластинки. В качестве начальной точки выбирается вектор
параметров α, все элементы которого равны единице αi = 1, i = 1, 2,...m , т. е. расчет с начальным
значением вектора α соответствует расчету с ЭКТ. На каждом шаге градиентного процесса при
нахождении экстремума функции в направлении вектора градиента используется многократный
расчет пластинки. Процесс расчета достаточно быстро сходится.
Чтобы продемонстрировать эффект использования вектора α, проведен расчет четырех пластин, нагруженных сосредоточенной силой в центре пластинки. Две просто опертых пластинки:
одна — квадратная b / a = 1 , другая — прямоугольная b / a = 2 . Две другие пластинки таких же
размеров защемлены по контуру. Расчет состоит в определении безразмерных прогибов узлов
пластинки и в том числе безразмерного коэффициента β, фигурирующего в формуле для прогиба
в центре пластинки
wc = β
Pa 2
,
D
где wc — прогиб в центре пластинки; P — величина сосредоточенной силы; a — характерный
размер пластинки; D — жесткость пластинки на изгиб.
Такие примеры расчета выбраны для сравнения с результатами, представленными в статье [2],
где рассматривается ряд задач, в том числе четыре рассматриваемые здесь, и анализируется скорость сходимости расчета к точному по количеству конечных элементов в модели расчета.
В силу симметрии задач конечно-элементная модель представляет собой четверть пластинки. Были рассмотрены разбиения, показанные на рис. 4, а также аналогичные разбиения, соответствующие N = 4, 6 и 8 . Здесь N есть число клеток на половине стороны пластинки. Таким образом, вся пластинка была бы разбита на 8N 2
треугольных элементов.
На рис. 5 показана сходимость расчета
(для коэффициента β) в зависимости от N. Рассмотрена просто опертая квадратная пластинка.
Сила P приложена в центре пластинки. Линия 1
на рис. 5, как и на всех следующих рисунках,
в точности совпадает с аналогичной в статье [2].
Рис. 4. МКЭ-модель
Рис. 5. Сходимость расчета. Просто опертая пластинка, b/a = 1:
1 — расчет Клафа — Точера; 2 — расчет с рассмотренной «нелинейной поправкой»
85
Таблица 1
Вектор α расчета с N = 3. Просто опертая пластинка, b/a = 1
i
Узел
Координата
αi
i
Узел
Координата
αi
i
Узел
Координата
αi
1
1
∂ ∂x
0.9842
7
7
∂ ∂x
1.0068
13
11
∂ ∂x
0.9690
2
2
∂ ∂x
1.0708
8
7
∂ ∂y
1.0068
14
11
∂ ∂y
1.0531
3
3
∂ ∂x
1.1473
9
8
∂ ∂y
1.1473
15
12
∂ ∂y
1.0708
4
5
∂ ∂x
1.0525
10
9
∂ ∂x
1.0075
16
14
∂ ∂y
1.0075
5
6
∂ ∂x
1.0531
11
10
∂ ∂x
0.9982
17
15
∂ ∂y
1.0525
6
6
∂ ∂y
0.9690
12
10
∂ ∂y
0.9982
18
16
∂ ∂y
0.9842
В табл. 1 приведены значения координат вектора α, соответствующего расчету при N = 3 .
Этот расчет представлен на рис. 5 точкой пересечения кривой 2 с прямой N = 3 .
В таблице присутствуют значения αi , которые соответствуют только свободным угловым
∂wl
∂wl
обобщенным координатам
и
.
∂x
∂y
Графики сходимости решения для прямоугольной просто опертой пластинки, b / a = 2 ,
представлены на рис. 6.
Для закрепленной по контуру квадратной пластинки, нагруженной сосредоточенной силой
в центре, графики сходимости расчета в сравнении с аналогичным расчетом Клафа — Точера
представлены на рис. 7.
В табл. 2 для этой пластинки приведены значения полученного вектора α.
Вектор α для защемленной по контуру пластинки содержит 12 компонентов, так как для
четверти такой пластинки имеется 12 свободных обобщенных координат по углам наклона (для
свободно опертой пластинки при N = 3 таких степеней свободы имеется 18).
Рис. 6. Сходимость расчета. Просто опертая пластинка, b/a = 2 (1, 2 — что на рис. 5)
86
Рис. 7. Сходимость расчета. Защемленная по контуру пластинка, b/a = 1
(1, 2 — что на рис. 5)
Рис. 8. Сходимость расчета. Защемленная по контуру пластинка, b/a = 2
(1, 2 — что на рис. 5)
На рис. 8 построены кривые сходимости для прямоугольной защемленной по контуру пластинки.
Графики сходимости на рис. 4 — 8 доказывают, что ограничение на функции форм в виде линейной зависимости нормальной производной этих функций на границах между соседними конечными элементами приводит к заметному снижению точности расчета при всех вариантах разбиения
модели на конечные элементы. Это снижение точности расчета наиболее существенно (более 25%)
при N > 2 для просто опертой пластинки и при N > 5 для защемленной по контуру пластинки.
87
Таблица 2
Вектор α (N = 3). Пластинка защемленная по контуру, b/a = 1
i
Узел
Координата
αi
i
Узел
Координата
αi
i
Узел
Координата
αi
1
2
∂ ∂x
1.1115
5
7
∂ ∂x
1.0002
9
10
∂ ∂y
1.0128
2
3
∂ ∂x
1.2042
6
7
∂ ∂y
1.0002
10
11
∂ ∂x
0.9688
3
6
∂ ∂x
1.1310
7
8
∂ ∂y
1.2042
11
11
∂ ∂y
1.1310
4
6
∂ ∂y
0.9688
8
10
∂ ∂x
1.0128
12
12
∂ ∂y
1.1115
Можно утверждать, что график сходимости метода конечных элементов (МКЭ) с ЭКТ должен быть расположен не выше графика сходимости с ЭНП (рис. 4 — 8), так как число степеней
свободы задачи в первом случае меньше, чем во втором.
Известно, что МКЭ, применительно к задаче изгиба пластин, с функциями форм, удовлетворяющими необходимым условиям C1 -непрерывности, эквивалентен методу Ритца и с ростом
числа элементов сходится к точному решению [3]. В рассматриваемом здесь случае расчет МКЭ
с ЭКТ и расчет с ЭНП сходятся к одному и тому же точному решению. Поэтому абсолютное
влияние параметров αi на решение с ростом N должно уменьшаться. Это утверждение иллюстрируется графиками изменения среднего значения модуля αi с ростом N на рис. 9.
Рис. 9. Изменение среднего значения модуля αi :
1 — просто опертая квадратная пластинка; 2 — защемленная по контуру квадратная
пластинка
По оси ординат отложены значения величины αi
ср
=
для квадратной пластинки.
1
m
m
∑ αi
при различных значениях N
i =1
ЛИТЕРАТУРА
1. Т и м о ш е н к о С. П., В о й н о в с к и й - К р и г е р С. Пластинки и оболочки. —
М.: Физматгиз, 1963.
2. C l o u g h R. W. a n d T o c h e r J. L. Finite element stiffness matrices for analysis of
plate bending / Proceedings of the Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics. —
Wright-Patterson Air Force Base, 1966.
3. Z i e n k i e w i c z O. C. a n d T a y l o r R.L. The finite element method. Fifth edition. —
Butterworth-Heinemann. 2000. V. 1, 2, 3.
_________________
Рукопись поступила 15/ХI 2008 г.
88