Неустроева Татьяна Кимовна СТРОЕНИЕ МЛАДШИХ ГРАНЕЙ И

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева
На правах рукописи
Неустроева Татьяна Кимовна
СТРОЕНИЕ МЛАДШИХ ГРАНЕЙ
И (P, Q)-РАСКРАСКИ
ПЛОСКИХ ГРАФОВ
Специальность 01.01.09 — дискретная математика
и математическая кибернетика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск, 2007
Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН и НИИ математики при Якутском государственном
университете.
Научный руководитель:
доктор физико-математических
наук О. В. Бородин
Официальные оппоненты: доктор физико-математических
наук А. Д. Коршунов,
кандидат физико-математических
наук В. А. Аксенов
Ведущая организация:
Институт систем информатики
СО РАН
Защита состоится “ 11 ” апреля 2007 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: пр. Коптюга 4,
630090, г. Новосибирск.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института
математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Автореферат разослан “ 9
Ученый секретарь
диссертационного совета,
д. ф.-м. н.
” марта 2007 г.
Ю. В. Шамардин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Задачи раскраски графов интересуют многих специалистов не только по теории графов и дискретной математике, но и физиков, программистов, экономистов и
других. Этот интерес вызван тем, что задачи о раскрасках графов имеют разнообразные приложения, в частности, в задаче
назначения радиочастот в сетях мобильного телефонирования,
в задаче оптимальной организации структуры баз данных, распределения ресурсов, в задачах, возникающих при планировании производства, составлении графиков осмотра и хранения
товаров и т. д.
Наиболее широко известной из задач раскраски графов является знаменитая проблема четырех красок (1852 г.): требуется доказать возможность раскрасить плоскую карту четырьмя
красками таким образом, чтобы никакие две смежные страны
не были одного и того же цвета. Доказательство было дано более чем через 120 лет К. Аппелем и В. Хакеном. Решение состояло в построении так называемой “неизбежной системы сводимых конфигураций”, а именно в нахождении такой системы
структурных фрагментов, что хотя бы один из них содержится в
каждом графе рассматриваемого класса, причем каждая из этих
конфигураций является сводимой, т. е. должна отсутствовать в
минимальном контрпримере к данной задаче о раскраске. Метод
сводимых конфигураций применяется для решения подавляющего большинства задач раскраски плоских графов. Наиболее
полную информацию о результатах в области раскраски графов,
полученных до середины 90-х годов прошлого столетия, можно
найти в книге В. Тофта и Т. Р. Йенсена [7].
Отметим, что первоначально большинство фактов о строении плоских графов, установленных при решении задач о раскрасках, использовались только в рамках рассматриваемой задачи, т. е. интерес к локальным свойствам графов возникал только применительно к задачам раскраски. Один из первых шагов
в изучении структуры плоских графов был сделан А. Лебегом
в 1940 г. Созданная А. Лебегом [9] теория эйлеровых вкладов,
основанная на преобразовании известной формулы Эйлера для
3
многогранников, в дальнейшем получила широкое применение
и развитие в работах А. Коцига [8], Б. Грюнбаума [6] и других.
Последующие важные шаги в становлении структурной теории
плоских графов были сделаны О. В. Бородиным, в частности, в
[1] – [5]. Перечисленные, а также и многие другие, работы по раскраскам плоских графов позволили теоремам о строении плоских графов выступить уже в роли самостоятельного объекта
изучения, заложив основу структурной теории плоских графов.
Введение в эту теорию представлено в докторской диссертации
О. В. Бородина [1].
Заметим, что структурные теоремы, полученные в перечисленных выше работах, касаются плоских графов с минимальной
степенью δ > 3. Что же касается плоских графов с δ = 2, то,
хотя об их строении известно довольно много, стройной классификации этих графов в настоящее время пока нет. Интерес
к изучению строения плоских графов с δ = 2 вызван возможностью применения структурных свойств этих графов к некоторым видам раскраски графов, в частности, реберной, тотальной,
2-дистанционной, (p, q)-раскраске, ориентированной, предписанной и других.
В диссертации рассматриваются (p, q)-раскраска и частный
случай этого вида раскраски, 2-дистанционная, разреженных
плоских графов (имеющих заданный обхват), при изучении которых мы сталкиваемся с графами, имеющими δ = 2.
Задача (p, q)-раскраски плоских графов является одной из
основных моделей в проблеме распределения радиочастот в сетях мобильного телефонирования, когда источники (вершины
плоского графа) должны получить целочисленные частоты
(быть раскрашены) так, чтобы цвета вершин, расстояние между
которыми равно 1, различались не менее чем на p, а на расстоянии 2 — не менее чем на q. Поскольку частоты близко расположенных источников должны различаться сильнее ввиду интерференции волн, то p > q.
Цель работы состоит в получении новых результатов о
строении младших граней в 3-многогранниках и (p, q)-раскраске
(в том числе и предписанной) разреженных плоских графов,
причем в диссертации большое внимание уделяется наиболее
4
важному частному случаю этой раскраски — 2-дистанционной.
Методика исследований. При получении результатов диссертации были использованы метод сводимых конфигураций и
метод перераспределения эйлеровых вкладов.
Научная новизна. Выделим основные результаты диссертации.
1. Уточнен один из параметров теоремы Бородина (2002 г.),
усиливающей теорему Лебега (1940 г.) о строении младших граней 3-многогранников.
2. Получены достаточные условия 2-дистанционной раскрашиваемости плоских графов с заданным обхватом в число цветов, совпадающее с тривиальной нижней границей ∆ + 1; определенное условие на обхват является неулучшаемым.
3. В дополнение к результатам п. 2, при g = 6 найден класс
2-дистанционно (∆ + 1)-раскрашиваемых плоских графов; они
имеют ∆ > 31, а каждое ребро в них инцидентно вершине степени 2.
4. Для планарного графа G достаточно большого обхвата
доказаны верхняя и нижняя оценки его (p, q)-хроматического
числа (как предписанного, так и обычного), которые отличаются
друг от друга на величину, не зависящую от p.
В диссертацию включены лишь те результаты совместных
работ [12] – [20], которые получены диссертантом.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты
работы носят теоретический характер. Результаты о (p, q)-раскрасках плоских графов в перспективе могут быть использованы при решении проблемы распределения радиочастот в сетях
мобильной связи.
Апробация работы. Результаты работы докладывались в
2006 г. на X Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутия)
и IV Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование
развития северных территорий РФ"и подробно обсуждались на
научном семинаре лаборатории теории графов Института математики СО РАН в 2004–2006 гг. Работа автора по раскраске
плоских графов в 2005–2007 гг. поддержана грантом РФФИ 05-
5
01-00816. Автор в 2006 г. за работу по теме диссертации получил
Государственную стипендию Республики Саха (Якутия) для молодых ученых и аспирантов.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ
(включая 7 журнальных статей и одну статью в трудах конференции X Лаврентьевских чтений).
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 78 страницах и состоит из введения, трех глав и библиографии, содержащей 45 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении кратко описываются результаты диссертации
и даются определения используемых понятий и терминов, а также вводятся обозначения.
Первая глава посвящена изучению структуры эйлеровых
многогранников, называемых далее 3-многогранниками, а именно строению их младших граней (ограниченных не более чем 5
ребрами). Э. Штейницем установлено, что 3-связные плоские
графы взаимно однозначно соответствуют 3-многогранникам.
Будем говорить, что грань f = v1 , . . . , vr ранга r (длина граничного цикла грани) имеет тип (d1 , . . . , dr ), где di ≤ di+1 при
каждом i, 1 ≤ i ≤ r − 1, если i-я по величине степень вершины среди вершин, инцидентных грани f , не превосходит di ,
1 ≤ i ≤ r.
В 1940 г. А. Лебег [9] показал, что любой 3-многогранник
содержит грань одного из следующих типов:
(3, 6, ∞), (3, 7, 41), (3, 8, 23), (3, 9, 17), (3, 10, 14), (3, 11, 13),
(4, 4, ∞), (4, 5, 19), (4, 6, 11), (4, 7, 9), (5, 5, 9), (5, 6, 7),
(3, 3, 3, ∞), (3, 3, 4, 11), (3, 3, 5, 7), (3, 4, 4, 5), (3, 3, 3, 3, 5).
Некоторые параметры этого описания позднее были уточнены для отдельных классов 3-многогранников. Но вплоть до работы [3] (2002 г.) ни один из этих параметров не был улучшен без
ухудшения других ее параметров. О. В. Бородин в [3] улучшил
девять параметров теоремы Лебега без ухудшения остальных.
Теорема (Бородин, [3]). Каждый 3-многогранник содержит грань одного из следующих типов:
6
(3, 6, ∞∗ ), (3, 8∗ , 22), (3, 9∗ , 15), (3, 10∗ , 13), (3, 11∗ , 12),
(4, 4, ∞∗ ), (4, 5∗ , 17), (4, 6∗ , 11), (4, 7∗ , 8), (5, 5∗ , 8), (5, 6, 6∗ ),
(3, 3, 3, ∞∗ ), (3, 3, 4∗ , 11), (3, 3, 5∗ , 7), (3, 4, 4, 5∗ ), (3, 3, 3, 3, 5∗ ).
Здесь вхождения, неулучшаемость которых уже доказана,
помечены звездочкой.
В [3] была поставлена задача: найти уточнение теоремы Лебега, не допускающее дальнейших усилений. Заметим, что решение этой задачи требует уточнения небольшого числа параметров. В диссертации сделан один шаг в этом направлении, а
именно член (4, 5, 17) заменяется на (4, 5, 16).
Во второй главе представлены результаты о 2-дистанционной раскраске разреженных плоских графов.
Раскраска вершин графа G называется 2-дистанционной, если любые две вершины, находящиеся друг от друга на расстоянии не более 2, получают разные цвета. Наименьшее число
цветов в 2-дистанционной раскраске графа G называется 2-дистанционным хроматическим числом графа G и обозначается через χ2 (G).
Существует гипотеза Г. Вегнера (1977 г.) [11] о том, что
χ2 (G) 6 ⌊ 32 ∆(G)⌋+1 для любого плоского графа G с максимальной степенью ∆(G). Первый результат в этом направлении был
получен Я. Ван-ден-Хойвелом и С. Мак Гиннессом [10], доказавшим что χ2 (G) 6 2∆ + 25. В [2] О. В. Бородин, А. Н. Глебов,
Х. Брусма и Я. Ван-ден-Хойвел доказали, что для произвольных плоских графов χ2 (G) 6 ⌈ 95 ∆(G)⌉+1 при ∆(G) > 47, что
улучшило оценку Г. Агнарсона и М. М. Холдорсона: χ2 (G) 6
⌊ 95 ∆(G)⌋+2 при ∆(G) > 749.
Для любого графа G с максимальной степенью ∆ очевидной
нижней оценкой для χ2 является ∆+1, так как ∆+1 есть необходимое число цветов для 2-дистанционной раскраски ∆-звезды,
содержащейся в любом графе. В частности, эта оценка достигается на всех деревьях, но не достигается, например, на циклах
C3k+1 . Обхватом g(G) графа G называется наименьшая длина
цикла в G. Вопрос о том для сколь малых g можно гарантировать равенство χ2 (G) = ∆ + 1 путем наложения ограничения
только на ∆ был полностью решен в [12, 13].
7
Результаты, включенные в диссертацию из работ [12, 13],
получены диссертантом и представлены в виде теоремы 2.1.
Теорема 2.1. Пусть G — планарный граф, тогда χ2 (G) =
∆ + 1 в каждом из следующих случаев:
(i) ∆ = 4 и g > 15;
(ii) ∆ = 5 и g > 13;
(iii) ∆ = 6 и g > 12;
(iv) ∆ > 7 и g > 11;
(v) ∆ > 9 и g = 10;
(vi) ∆ > 16 и g = 9;
(vii) ∆ > 30 и g = 7.
Заметим, что при доказательстве теоремы 2.1. для каждого случая были построены неизбежные системы конфигураций,
содержащие k-цепь — цепь, состоящую из в точности k вершин
степени 2.
В [13] было показано существование плоских графов с g 6 6,
для которых χ2 > ∆ + 1 при произвольно большом ∆. Таким
образом, определенное нами условие на обхват, g > 7, является
неулучшаемым для 2-дистанционной (∆ + 1)-раскрашивамости
плоского графа. При этом доказательство утверждения (vii) в
теореме 2.1 было технически наиболее сложным.
Ввиду сказанного в предыдущем абзаце для обеспечения
2-дистанционной (∆ + 1)-раскрашиваемости плоского графа G
обхвата 6 потребовалось ввести дополнительное структурное требование: хотя бы один из концов каждого ребра графа G является вершиной степени 2. В [14] было доказано, что если G —
плоский граф обхвата 6, в котором ∆(G) > 179, а каждое ребро
инцидентно 2-вершине, то χ2 (G) = ∆(G)+1. В диссертации этот
результат был усилен следующим образом.
Теорема 2.2. Если G — плоский граф обхвата 6, в котором
∆(G) > 31, а каждое ребро инцидентно 2-вершине, то χ2 (G) =
∆(G) + 1.
Третья глава содержит результаты о (p, q)- и предписанной (p, q)-раскрасках плоских графов достаточно большого обхвата.
Раскраска вершин графа G называется (p, q)-раскраской, ес-
8
ли вершины графа G, расстояние между которыми равно 1, получают цвета, отличающиеся друг от друга не менее чем на p, а
на расстоянии 2 — не менее чем на q. Если при этом для каждой
вершины задан список допустимых цветов, то говорят о предписанной (p, q)-раскраске. Наименьшее число цветов в (p, q)-раскраске графа G называется (p, q)-хроматическим числом графа
G и обозначается через χp,q (G). Аналогично определяется предписанное (p, q)-хроматическое число χlp,q (G).
Понятно, что ранее рассмотренная 2-дистанционная раскраска является в точности (1, 1)-раскраской.
Для (p, p)-хроматического числа произвольного графа G имеем очевидную нижнюю оценку: χp,p (G) > ∆p + 1 (из тех же
соображений, что и для (1, 1)-раскраски). Заметим, что всегда
χp,p(G) 6 p · χ1,1 − p + 1, так как минимальную (1,1)-раскраску
цветами 0, 1, . . . , χ1,1 −1 можно преобразовать, умножением всех
ее цветов на p, в (p, p)-раскраску цветами 0, p, . . . , (χ1,1 −1)p. Поэтому ввиду теоремы 2.1 можно утверждать, что если G — плоский граф обхвата не менее 7, то χp,p (G) = ∆p + 1 при ∆ > 30.
Для плоского графа О. В. Бородин, А. Н. Глебов, Х. Брусма
и Я. Ван-ден-Хойвел [2] доказали, что χp,q (G) 6 10p + c, где c
— величина, не зависящая от p, а для разреженного плоского
графа при p > q > 1 справедлива доказываемая в диссертации
Теорема 3.1. Пусть G — планарный граф обхвата не
менее 31. Тогда χp,q (G) 6 2p + (∆(G) − 1)(2q − 1) при ∆(G) > 5.
Ясно, что при p ≫ q данная оценка лучше той, что приведена выше для p = q. Что касается нижней оценки (p, q)-хроматического числа, то доказано
Предложение 3.2. Существуют такие плоские графы G
произвольного обхвата со сколь угодно большим ∆, что
χp,q (G) > 2p + 1 + (∆ − 2)q.
Таким образом, при p ≫ q главный член, равный 2p, в теореме 3.1 не допускает улучшения.
Очевидно, что χlp,q (G) > χp,q (G) для любого графа G. При
q = 0 величина χlp,q (G) может сколь угодно сильно отличаться
от χp,q (G).
9
Предложение 3.3. Для любого n > 1 существует граф G
такой, что χp,0 (G) = p + 1, а χlp,0 (G) > n(2p − 1).
Что касается предписанных (p, q)-раскрасок при q > 1, то вопрос о существовании графа G, для которого χlp,q (G) 6= χp,q (G),
остается открытым. Для произвольных плоских графов в [2]
доказана та же оценка: χlp,q (G) 6 10p + c, что и для χp,q (G).
Для предписанного (p, q)-хроматического числа в диссертации
доказывается та же верхняя оценка, что и для обычной (p, q)раскраски, а именно
Теорема 3.4. Пусть G — планарный граф обхвата не менее
2p−1
5(⌈ (∆(G)−2)(2q−1)
⌉ + 4) + 1. Тогда χlp,q (G) 6 2p + (∆(G) − 1)(2q − 1)
при ∆(G) > 4.
Отметим, что ограничение на обхват в теореме 3.4, в отличие
от теоремы 3.1, является растущей функцией от p при фиксированных q и ∆(G). Следующий факт частично объясняет это
обстоятельство.
Предложение 3.5. В задаче предписанной (p, q)-раскраски в
p−1
2p+(∆(G)−1)(2q−1) цветов k-цепь, где k 6 2⌈ (∆(G)−1)(2q−1)
⌉+1,
не является сводимой конфигурацией при ∆(G) > 2.
Тем самым достаточные условия для предписанной (p, q)раскрашиваемости оказываются, вообще говоря, более жесткими, чем для обычной (p, q)-раскраски в одно и то же число цветов.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному
руководителю О. В. Бородину за постановку задач, постоянное
внимание и всестороннюю поддержку, А. Н. Глебову за внимательное прочтение рукописей большинства статей и полезные
обсуждения и А. О. Ивановой за помощь в подготовке диссертации.
Список литературы
[1] Бородин О. В. Строение и раскраска плоских графов: Дис.
... док.физ.-мат.наук: 01.01.09. Новосибирск. 1994. 239 c.
10
[2] Бородин О. В., Брусма Х., Глебов А. Н., Ван-ден-Хойвел Я.
Строение плоских триангуляций в терминах пучков и
звезд // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2001.
Т. 8, № 2. С. 15–39.
[3] Бородин О. В. Усиление теоремы Лебега о строении младших граней в выпуклых многогранниках // Дискрет. анализ
и исслед. операций. Сер. 1. 2002. Т. 9, № 3. С. 29–39.
[4] Borodin O. V. Cyclic degree and cyclic coloring of 3-polytopes
// J. Graph Theory. 1996. Vol. 23, № 3. P. 225–231.
[5] Borodin O. V. Triangulated 3-polytopes without faces of low
weight // Discrete Math. 1998. Vol. 186. P. 281–286.
[6] Grünbaum B. Acyclic coloring of planar graphs // Israel J.
Math. 1973. Vol. 14, № 3. P. 390–408.
[7] Jensen T.R., Toft B. Graph coloring problems. New York: John
Wiley & Sons, Jnc., 1995.
[8] Kotzig A. Contribution to the theory of Eulerian polyhedra //
Mat. Casopis. 1955. Vol. 5. P. 101–113.
[9] Lebesque H. Quelques consequences simples de la formule
d’Euler // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 9. P. 27–43.
[10] Van den Heuvel J., McGuinness S. Coloring the square of
planar graph // Unpublished manuscript. 1999.
[11] Wegner G. Graphs with given diameter and a coloring problem
// Technical Report. University of Dortmund. 1977.
Работы автора по теме диссертации
[12] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-дистанционная раскраска разреженных плоских графов // Сибирские
Электронные Математические Известия. 2004. Т. 1. C. 76–
90.
[13] Бородин О. В., Глебов А. Н., Иванова А. О., Неустроева T. К., Tашкинов В. А. Достаточные условия 2-дистанционной (∆ + 1)-раскрашиваемости плоских графов //
Сибирские Электронные Математические Известия. 2004.
T. 1. С. 129–141.
11
[14] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Достаточные условия 2-дистанционной (∆ + 1)-раскрашиваемости
плоских графов с обхватом 6 // Дискретный анализ и исследованте операций. Сер. 1. 2005. Т. 12, № 3. С. 32–47.
[15] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-дистанционная и ориентированная раскраски разреженных плоских графов // X Лаврентьевские чтения, посвященные
50-летию Якутского государственного университета им.
М.К.Аммосова: Научная конференция. Сборник статей.
Том. I: Секция "Математика, механика и физика "Технические науки и науки о Земле". Якутск: Изд-во ЯГУ. 2006.
С. 27–37.
[16] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. О строении младших граней в выпуклых многогранниках // Мат.
заметки ЯГУ. 2006. T. 13. Вып. 1. С. 29–44.
[17] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. (p, q)-раскраска разреженных плоских графов // Мат. заметки ЯГУ.
2006. T. 13. Вып. 2. С. 13–19.
[18] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Предписанная (p, q)-раскраска разреженных плоских графов // Сибирские Электронные Математические Известия. 2006. Т. 3.
C. 355–361.
[19] Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Достаточные условия 2-дистанционной (∆ + 1)-раскрашиваемости
плоских графов с обхватом 6 // Сибирские Электронные
Математические Известия. 2006. Т. 3. C. 441–450.
[20] Иванова А. О., Неустроева Т. К. О (p, q)-раскраске разреженных плоских графов // IV Всероссийская школасеминар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных
территорий РФ": Тез. докл. Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ.
2006. С. 38–40.
12
Неустроева Татьяна Кимовна
Строение младших граней и
(p, q)-раскраски плоских графов
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Подписано в печать 5.03.07. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз.
Заказ N 44.
Отпечатано в ООО “Омега Принт”,
пр. Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск.