Section 10. Mechanics

Section 10. Mechanics
Section 10. Mechanics
Jahangirov Akif Ali,
Azerbaijan Technical University
Email: al-akif@mail.ru
Load limit for three layers annual composite plate free supported on
edges. the concentrated circular force clamped on external and internal
Abstract: The article solves the problem of determining the velocity field for the deflection perfectly rigid-ring
three-layer composite plate, the middle layer is reinforced with fibers, which is under the influence of concentrated
load ring. It is shown that the plate is divided into four annular zones, each of which implements various plastic states.
The equations for the unknown radius separating the plastic zone, the velocity field deflections in each zone.
Keywords: three-layer fiber composite, the velocity field of bending, bending, concentrated loading, associated
flow law.
Джагангиров Акиф Али оглы,
Азербайджанский Технический Университет
Е‑маил: al-akif@mail.ru
Поле скоростей прогибов трехслойной армированной
композитной кольцевой пластинки, свободно
опертой по контурам и подверженной действию
сосредоточенного изгибающего нагружения
Аннотация: В статье решена задача об определении поля скоростей прогибов для идеально жесткопластической кольцевой трехслойной композитной пластинки, средний слой которой армирован волокнами,
находящийся под воздействием кольцевой сосредоточенной нагрузки. Показано, что пластинка разбивается
на четыре кольцевых зон, в каждой из которых реализуется различные пластические состояния. Найдены уравнения для неизвестных радиусов, разделяющих пластические зоны, поле скоростей прогибов в каждой зоне.
Ключевые слова: волокнистый трехслойный композит, поле скоростей изгиба, изгиб, сосредоточенное
нагружение, ассоциированный закон течения.
1. Введение. Предельное состояние армированной волокнами пластинки при изгибе изучено
в работах [1–10]. В работах [4, 5] построены гиперповерхности текучести для трехслойных оболочек
и пластин, центральный слой которой армирован волокнами. Полученные здесь результаты использованы
в работах [6–10] при исследовании несущей способности круглых трехслойных пластинок, средний слой
которой армирован волокнами, находящиеся под воздействием равномерно распределенных нагрузок, соответственно для защемленных и свободно опертых
контуров. Определены статически допустимые поля
изгибающих моментов и кинематические допустимые
поля скоростей прогибов.
92
В данной работе, используя результаты работ
[4, 5], проводится исследование поля скоростей изгиба кольцевой трехслойной пластинки, свободно
опертой по обеим кромкам, средний слой которой
армирован тонкими волокнами. Считается, что
к пластинке в поперечном направлении действует
кольцевая сосредоточенная нагрузка.
2. Постановка задачи. Рассмотрим изгиб трехслойной кольцевой композитной пластинки под воздействием поперечной кольцевой нагрузки, занимаH
H
ющейся область A ≤ R ≤ B , − ≤ z ≤ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
2
2
в цилиндрической системе координат R, ϕ, z, где ось
z направлена вниз, Н — толщина пластинки, а плоскость Rϕ совпадает со срединной поверхностью
Load limit for three layers annual composite plate free supported on edges. the concentrated circular force clamped...
пластинки. Средний слой пластинки состоит из идеально жесткопластического мате­риала с условием
пластичности типа модифицированного условия
Треска для материала, с разными пределами текучести при сжатииkσ 0 и растяжении kσ 0 , где 0 ≤ k ≤ 1 ,
армированный более прочными волокнами, обладающими свойством идеальной пластичности. Внешние слои пластинки являются достаточно тонкими
по сравнению с центральным слоем, и имеют различные пределы текучести при сжатии Q0 и растяжении
ν Q0 , где 0 ≤ ν ≤ 1. Пусть S0+i и S0−i = µiS0+i — предельные усилия для волокон при растяжении и сжатии
S0+i = Fi +σ 0+i , S0−i = Fi −σ 0−i ,
соответственно;
−
+
Fi , Fi — площади поперечного сечения волокон;
σ 0+i , σ 0−i — пределы текучести для воло­кон при растяжении и сжатии; i = 1, 2 — ортогональные на-
правления, совпадаю­щие с осями главных изгибающих моментов. Волокна укладываются в двух
ортогональных направлениях, совпадающих с осями
главных изгибаю­щих моментов и в каждом направлении в двух слоях, не симметричных относительно
срединной плоскости. Их количество различны
в каждом направлении.
В работах [4, 5] получены условия текучести,
ко­ торый в плоскости безразмерных изгибающих моментов m1m2 представляет собой неправильный шестиугольник ABCDEF (рис. 1). Мы эти результаты
будем использовать.
Рис. 1. Шестиугольник текучести
3. Решение задачи.
Для указанного вида нагрузки мы должны искать
решение задачи по следующей последовательности
режимов текучести E1E − EF − FA − AB1 (Рис. 1).
Тогда пластина разбивается на четыре кольце­вых зон,
в каждой из которых условие текучести линейное.
Мы здесь будем определять кинематически возможное поле скоростей прогиба в тот момент, когда
текучесть только наступила, перемещения еще ма­
лы и изменение геометрии пластины несущественно. Каждый элемент пластинки, перешедший в состоянии текучести, связан с жесткими элементами.
По­ этому соотношения между скоростями деформации отдельных элементов свя­заны друг с другом и это
приводит к тому, что скорости находятся с точностью
до неопределенного множителя.
Используя ассоциированный закон пластического
течения в главных направлениях, вектор пластического течения
∂f
χ i λ=
(i 1, 2)
=
∂mi
где в данном случае уравнение поверхности текучести
f = const представляет рассмотренный выше шестиугольник пластического течения, и выражения
1
χ1 = −w ′′ , χ 2 = − w ′
r
для скоростей изменения кривизны, мы получаем
обыкновен­ные линейные дифференциальные уравнения первого порядка для скорости прогиба для
пластических состояний, соответствующих различным сторонам шестиугольника. Ассоциированный
закон пластического течения показывает, что вектор
скорости изменения кривизны параллелен нормали
к поверхности пластического течения.
Для пластического состояния E1F скорость кривизны χ 1 = − w′′ должна обращаться в нуль, т. е.
w′′ = 0 . Решением этого уравнения, удовлетворяющего краевому условию w (a)=0 является
w = C ( r − a ),
a ≤ r ≤ ρ1 ,(1)
93
Section 10. Mechanics
где С — произвольная постоянная.
1
C = w0
.
Для пластического состояния EF имеем
ρ2
ρ1 − a + ρ1 ln
m2 = α m1 + b1 , вектор нормали этой прямой {α , − 1}
ρ
должен быть параллельным вектору скоростей пластиДля пластического состояния AB скорость крического течения {χ1 , χ 2 } , т. е. χ1 : α = χ 2 : (−1) , или
α
w ′′ + w ′ = 0 .(2) визны χ1 = −w ′′ = 0 и имеем решение
ρ 3 ≤ r ≤ b ,(4)
w (r ) = w 0 + C 1 (r − ρ 3 ),
r
Для пластического состояния FA скорость кри- удовлетворяющее условию непрерывности при
1
= w=
const при r = ρ 3 . Удовлетворяя условию w (b)=0 имеем
визны χ 2 = − w ′ = 0 , т. е. w
0
r
b −r
ρ2 ≤ r ≤ ρ3 .
w (r ) = w 0
, ρ3 ≤ r ≤ b.
b − ρ3
Решением уравнения (2) удовлетворяющим услоВ этих формулах постоянный множитель w 0 оставию непрерывности при r = ρ1 и r = ρ 2 является
1−α
1−α
ется
неизвестным.
r −ρ
w (r ) = C (ρ1 − a) + [w 0 − C (ρ1 − a)] 1−α 11−α , ρ1 ≤ r ≤ ρЗаключение.
Определено поле скоростей изги2
ρ 2 − ρ1
r 1−α − ρ11−α
(3) ба кольцевой трехслойной пластинки, центральный
− C (ρ1 − a)] 1−α
, ρ1 ≤ r ≤ ρ 2 .
1−α
слой которой армирован волокнами. Все составляρ 2 − ρ1
Здесь C и w 0 неизвестные постоянные. Из усло- ющие пластинки обладают идеально пластическими
вия непрерывности первой производной w ′ в точке свойствами с различными предельными усилиями
r = ρ1 , определяем постоянную С:
на растяжения и сжатия. Предполагается, что пла−α
−
(
1
α
)
ρ
стинка свободно оперта по контурам и находится под
1
C = w 0 1−α
.
1−α
−α
действием сосредоточенной кольцевой нагрузки. Все
ρ 2 − ρ1 + ρ1 (ρ1 − a)(1 − α )
Постоянная С положительна, как при α > 1 , так величины скоростей прогибов найдены аналитически
с точностью до одного произвольного множителя.
и при α < 1 , а при α = 1
1
Список литературы:
1. Mroz Z., Shamiev F. G. Simplified yield conditions for fibre-reinforced plates and shells//Arch. Inz. Lad., 1979,
vol. 25, № 3. P. 463–476.
2. Мовсумов Э. А., Шамиев Ф. Г. Несущая способность пластинок из волокнис­то­ го композита//Механика
композитных материалов, 2005, т. 41, № 2. C. 177–192.
3. Мруз З., Савчук А. Несущая способность кольцевых пластин, закрепленных по обеим кромкам. Изв. АН
СССР, ОТН, 1960, № 3, 72–78.
4. Ильясов М. Х., Джагангиров А. А. Гиперповерхности текучести трехслойной композитной оболочки, средний слой которой армирован волокнами. Доклады НАНА, № 5, 2012, 20–27.
5. Ильясов М. Х., Джагангиров А. А. Гиперповерхности текучести трехслойной композитной оболочки, средний слой которой армирован волокнами//Механика композитных материалов, 2014, т. 50, № 3. C. 487–500.
6. Джагангиров А. А. Гиперповерхности текучести оболочки с покрытыми поверхностями. Машиноведение,
№ 2, 2013. C. 59–70.
7. Джагангиров А. А. Несущая способность армированной волокнами круглой трехслойной композитной
пластинки защемленной по контуру. Ekoenergetika, № 4/2012, 74–80.
8. Джагангиров А. А. Несущая способность армированной волокнами свободно опертой круглой трехслойной композитной пластинки. Научные Труды — Фундаментальные Науки, 2013 № 1, т. ХII (45), 50–54.
9. Джагангиров А. А. Предельная нагрузка для трехслойной композитной кольцевой пластинки свободно
опертой по внутренней и защемленной по внешней контурам. Теоретическая и прикладная механика
(Межвузовский научно-технический журнал) № 2, 2013. C. 78–87.
94