Прочность и трещиностойкость непрерывных соединений

Авиационные технологии
УДК 539.3
ПРОЧНОСТЬ И ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ
СОЕДИНЕНИЙ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В.В. Фирсанов, Е.В. Серпичева
Рассматривается влияние напряженного состояния «погранслой» на прочность и трещиностойкость непрерывных соединений и стыков разностенных элементов конструкций, моделируемых цилиндрическими оболочками и пластинками постоянной и переменной толщины. Указанная оценка проводится путем уточнения
основных формул расчета непрерывных соединений (фланцевых, сварных и клеевых),
позволяющих определить их геометрические параметры (толщины) на этапах проектирования с позиции неклассической теории оболочек и механики разрушения.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, классическая теория оболочек, напряженное состояние, «пограничный слой», краевая плоская деформация, жестко закрепленный край, упругая полуплоскость, начальная трещина, коэффициент интенсивности напряжений, фланцевое соединение, сварное соединение.
Конструкции современных летательных аппаратов состоят из разнообразных деталей, узлов, панелей, соединяемых между собой различными способами. Наличие соединений предъявляет к конструкции повышенные требования в отношении ее прочностных свойств, что заставляет
разрабатывать более совершенные методы расчета.
В зонах скачкообразного изменения жесткостных характеристик
наиболее часто происходят разрушения элементов конструкций, например,
в работе [1] показаны типовые разрушения подобных зон конструкций,
происшедшие при статических испытаниях.
В настоящее время инженерные расчеты всех видов соединений
авиационных конструкций, в том числе фланцевых, сварных и клеевых,
как правило, базируются на результатах классической теории пластинок и
оболочек типа Кирхгофа-Лява.
Расчет напряженно-деформируемого состояния (НДС) вблизи мест
крепления конструкций по классической теории не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трёхмерности НДС.
При создании приближенной теории пластин и оболочек, свободной от гипотез Кирхгофа-Лява, получил распространение метод прямого асимптотического разложения. Одним из преимуществ прямого асимптотического
метода является максимальное расчленение задачи, в результате которого
интегралы, соответствующие внутреннему напряженному состоянию и пограничному слою, строятся с помощью самостоятельных итерационных
процессов, обладающих идентичностью основных уравнений.
С помощью метода асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости задача опреде267
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1
ления НДС цилиндрической оболочки и прямоугольной пластины с жестко
закрепленными краями сведена [1,2,3] к построению двух итерационных
процессов.
Первый из них – основной итерационный процесс, начальное приближение которого эквивалентно классической теории, определяет медленно затухающее или внутреннее НДС оболочки. Другой вспомогательный итерационный процесс определяет быстрозатухающее при удалении
от края НДС краевой плоской деформации («погранслой»).
Отметим, что уточненные методы расчета общего НДС указанных
тонкостенных пластинок и оболочек построены [1,2,3,4,5] для случаев постоянной и переменной толщины.
К подобным элементам авиационных конструкций относятся, например, обечайки топливных отсеков ЛА, корпуса авиационных ракет,
крылья малого удлинения, переходные зоны фланцевых соединений и др.
Напряженно-деформированное состояние оболочки
Рассматривается оболочка переменной толщины из изотропного
материала, нагруженная поперечной распределенной нагрузкой q(θ,z), отнесена к цилиндрической системе координат (r,θ,z), (рис.1). Обозначим через R характерный радиус кривизны оболочки, а через 2h - ее переменную
несимметрично изменяющуюся по длине толщину, определяемую соотношением
h = hm − tgα⋅ z .
(1)
Наряду с системой координат (r,θ,z) будем рассматривать косоугольную систему координат, (ρ,θ,z1), для которой справедливы равенства
z
ρ = r − R + sin α ⋅ z1 ; z1 =
, − h ≤ ρ ≤ h.
(2)
cos α
Введем относительные координаты по формулам
r
l


z = R ⋅ cos α; ρ = hγ, − 1 ≤ γ ≤ 1; z =   ⋅ ζ; 0 ≤ ζ ≤ 
 ⋅ β . (3)
β
R
⋅
cos
α


 
В формулах (3) справедливы равенства
h
β = (h∗ )-1 , h∗ =
.
(4)
R
Геометрические параметры данной оболочки примем такими, чтобы
выполнялось условие tgα = 0,1.
Для определенности положим, что край оболочки z = 0 - жестко
защемленный. Другой край может быть любым, в том числе и свободным,
нагруженным сосредоточенными силовыми факторами типа изгибающих
моментов и перерезывающих сил, передающихся на оболочку со стороны
других отсеков конструкции (см. рис.1).
В работе [3] построены первые приближения трех итерационных
процессов, эквивалентных безмоментной теории оболочек, простому краевому эффекту и краевой плоской деформации. Будем полагать далее что
268
Авиационные технологии
внутреннее (основное) НДС оболочки, соответствующее классической
теории составляется как сумма безмоментного НДС и НДС простых краевых эффектов.
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка переменной толщины
Предположим, что основное НДС оболочки соответствующее классической теории, определено. Следовательно, известно изгибное напряжение σzM, получаемое суперпозицией решений для оболочки, нагруженной
давлением q и краевыми усилиями.
Далее, проделав известный цикл вычислений [2,3] по определению
напряженного состояния краевой плоской деформации у защемленного
края, в частности, найдем соответствующее продольное нормальное напряжение
σzП = σzmM ·exp(– 4,01ζ)·(0,012cos2,39ζ – 0,031sin2,39ζ)(– 7γ+35γ13),
(5)
где индексом m помечены значения напряжений в верхнем продольном волокне.
Суммируя напряжения σzП и σzM можно построить график нормальных напряжений на жестко защемленном краю по толщине оболочки
(рис.2).
1. Прочность непрерывных соединений на основе неклассической теории
Для оценки прочности авиационных конструкций и пригодности
конструкционных материалов необходимо учитывать влияние трещин.
В механике разрушения [6] рассматривается асимптотическое распределение НДС в окрестности вершины трещины, где в рамках линейной теории
упругости всегда имеет место концентрация напряжений, характеризуемая
коэффициентом интенсивности напряжений.
269
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1
Рис. 2. Распределение суммарных нормальных напряжений
по толщине оболочки
В свою очередь, величина коэффициента интенсивности напряжений зависит, в частности, от того, как точно были определены напряжения
в сплошной конструкции без трещины. Если принять во внимание, что
НДС плоской деформации вблизи закрепленного края тонкостенных конструкций существенно и может привести к значительному перераспределению усилий на берегах трещины, находящейся, например, в зоне максимальных напряжений, естественно возникает вопрос, как в количественном
отношении влияет дополнительное НДС краевой плоской деформации на
коэффициент интенсивности напряжений.
Допустим также, что одним из методов неразрушающего контроля
материалов на свободной поверхности оболочки обнаружен технологический дефект, который можно классифицировать как начальную прямолинейную трещину размером 2b (см. рис.1.). Найдем коэффициент интенсивности напряжений KI, отвечающий трещине нормального разрыва, на
нижнем конце разреза.
Сформулированная задача приводится к анализу распределения
НДС в окрестности разреза, по фронту которого действуют нагрузки, указанные на рис.2. В первом приближении, на наш взгляд, коэффициент интенсивности напряжений можно найти, комбинируя двумя плоскими задачами теории трещин.
В одной из них рассматривается упругая плоскость (рис.3а) с прямолинейным разрезом, свободным от нагрузок, находящимся под действием сосредоточенных сил P, Q и момента M, приложенных в точке (x0, 0). В
другой задаче упругая плоскость с прямолинейным разрезом (рис.3б), находится под действием симметричных относительно берегов трещины
нормальных распределенных нагрузок σz(x).
270
Авиационные технологии
Рис. 3. Упругая плоскость с трещиной:
а - под действием сосредоточенных нагрузок;
б - под действием нормально распределенных нагрузок
Поскольку отношение b/h мало, можно представить оболочку в виде полубесконечной плоскости ρz, ограниченной бесконечной прямой ρ =
h. Далее, учитывая, что влияние свободной границы тела приводит [7] к
увеличению коэффициента интенсивности KI в 1,12 раза, перейдем от полубесконечной плоскости к бесконечной.
Пусть по длине трещины действуют распределенные нагрузки, которые, в силу ее малости, будем считать постоянными и равными –σzmM, –
σzПm , где индексом m помечены значения напряжений в верхнем продольном волокне. На остальном участке толщины оболочки заменим распределенные нагрузки сосредоточенными силами и моментами, полагая, что они
приложены в ЦМ соответствующих участков эпюр. Применяя некоторые
теоремы теоретической механики, перейдем в бесконечной плоскости к
распределению усилий, обозначенных на рис.4, где рис.4.а относится к основному НДС, а рис.4.б – к напряженному краевой плоской деформации,
причем, как следует из (формулы 5),
σzПm = 0,35σzmM.
(6)
Для того, чтобы использовать зависимости [6], преобразуем их к принятой
системе координат. Из рис. 3а очевидно, что x = h–b-ρ. Согласно зависимости (3) перейдем к безразмерной координате γ. Тогда, в соответствии с [4],
коэффициенты KI для указанных задач можно записать в виде


(1 − χ)(1 − γ 0 )
P
В

KΙ =
− (1 − χ)
(7)

2 πb (1 + χ)  (1 − ε − γ ) 2 − ε 2
0


h 1
(1 − γ )
dγ ,
(8)
∫ σ z (γ)
( γ − 1 + 2ε)
πb 1− 2ε
где ε = b/h, γ0 - координата ЦМ эпюры и величина χ принимает значение
χ1=(3–ν)/(1+ν) для плоского напряженного состояния и значение χ2 = 3–4ν
для плоской деформации.
K ΙП =
271
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1
Рис. 4. Упругая бесконечная плоскость:
а - сосредоточенной нагрузкой; б - с распределенной нагрузкой
Обозначим через KIB коэффициент интенсивности, соответствующий полю упругих напряжений основного НДС, а через KIП коэффициент
интенсивности, соответствующий полю упругих напряжений краевой плоской деформации. В результате суммарное значение коэффициента KI∑
представится как KI∑=KIB+ KIП.
Далее, применяя принцип суперпозиции, на основании формул (7) и
(8), можно записать
M
В − hσ zm
KΙ =
1
(1 − γ )
dγ +
( γ − 1 + 2ε)
πb 1− 2ε


P0M
(1 − χ1 )(1 − γ 00 )

+
− (1 − χ1 ) 

2(1 + χ1 ) πb  (1 − ε − γ ) 2 − ε 2
00


m
П − hσ zП
KΙ =
∫ σ z (γ)
1
∫ σ z (γ)
πb 1−2ε
(1 − γ )
( γ − 1 + 2ε)
(9)
dγ +
(10)


Pi
 (1 − χ 2 )(1 − γ 0i ) − (1 − χ 2 ),
+∑

i =0 2(1 + χ 2 ) πb  (1 − ε − γ 0i ) 2 − ε 2

где через γ0i обозначены ЦМ соответствующих участков эпюр σzM,σzП .
Входящие во вторые слагаемые равенств (9) и (10) множители вида


(
1
−
χ
)(
1
−
γ
)
0
i

− (1 − χ) стремятся к нулю, так как величина ε, по
 (1 − ε − γ ) 2 − ε 2

0i


i =4
предположению, мала по сравнению с единицей. Учитывая этот факт,
суммированием (9) и (10) для KI∑ получим формулу
272
Авиационные технологии
1
−h M
(1 − γ )
(σ zm + σ m
)
dγ
zП ∫
( γ − 1 + 2ε)
πb
1− 2ε
или, принимая во внимание (6), а также коэффициент 1,12 для свободной
поверхности, находим
K ΙΣ =
1
hσ M
(1 − γ )
zm
K IΣ = −1,51
dγ .
(11)
∫
( γ − 1 + 2ε)
πb 1− 2ε
Из сравнения формул (9) и (10) приходим к выводу, что учет дополнительного напряженного состояния краевой плоской деформации
приводит к увеличению коэффициента интенсивности KI∑ на нижнем конце трещины в 1,51 раза. Подстановка уточненного значения KI∑ в условие
KI∑≤KIC, в котором KIC –экспериментальная характеристика материала, может привести к значительному изменению критических нагрузок или критических длин трещин, а также к перераспределению материала в зоне закрепления обечайки. Например, расчет по условию хрупкой прочности с
учетом (11) приводит к увеличению требуемой толщины обечайки на 51%,
но в узкой краевой зоне, меньшей ее толщины.
2. К расчету фланцевого соединения.
При проектировании фланцевых соединений обязательно проводится их расчет на нагрузку болтов. Методы расчета фланцев основываются
на результатах теории кольцевых пластинок и теории тонкостенных цилиндрических оболочек.
Предполагается, что контакт между фланцами происходит по окружности, находящейся между болтами и осью соединения, так что нагрузка болтов Qnp вызывает изгиб фланцев (рис.5а). При расчете все действующие силы, в том числе и нагрузку болтов, заменяют приведенными
усилиями, равномерно распределенными по наружному краю, и изгибающим моментом.
У цельных фланцев (рис.5б) между кольцом и цилиндрической частью втулки существует переходная зона, представляющая собой коническую оболочку. К расчетной схеме конической оболочки приводятся также
галтельные втулки и втулки приварные внахлестку к трубам.
Расчет конической части втулки, отвечающий классическому решению, сводится к расчету балки переменного сечения, лежащей на упругом
основании. Дифференциальное уравнение для прогиба записывается следующим образом:
d 2  d 2w 
(12)
 D∗ 2  + L( z ) w = 0,
2
dz 
dz 
Его решение представляется как комбинация функций, производных от функций Бесселя [8]. Упругой линии балки-полоски в пределах ко273
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1
нической и цилиндрической частей соответствуют два интеграла, каждый
из которых содержит по четыре постоянных интегрирования. Две произвольные постоянные для цилиндрической части втулки, в силу условий затухания, равны нулю. Четыре постоянных получим, приравняв перемещения и усилия слева и справа от переходного сечения D. Оставшиеся две
постоянные находим из условий нагружения балки-полоски:
M=M0 ; Q=Q0 при z=0.
Рис. 5. Расчетная схема фланцевого соединения:
а - без переходной зоны; б - с переходной зоной
После определения прогиба нетрудно найти силы и перемещения в
любом сечении балки-полоски. В частности, расчетное напряжение в сечение АВ находится по формуле
σвm=6M0/SH2.
(13)
При расчете фланца, с учетом построенной теории цилиндрических
оболочек с несимметрично изменяющейся толщиной, используются новые
уравнения, описывающие его основное и дополнительное НДС [2,3,4].
В этом случае упругая линия конической части балки-полоски, соответствующая основному НДС, находится не из уравнения (12), а из
2
1 d 2  3 d 2 w  4
4 31 − ν
h
+ λ w = 0, λ =
ctg 4 α .
h dh 2  dh 2 
R2
Его решение записывается в тех же функциях, что и решение
уравнения (12). В результате будут получены уточненные значения внутренних силовых факторов и компонент НДС в различных частях соединения.
(
274
)
Авиационные технологии
Добавляя к основному НДС дополнительное НДС, возникающее в
зоне стыка кольца и втулки, для определения функции плоской деформации имеем систему уравнений [3], общий интеграл которой содержит 4n
произвольных постоянных. Выполняя условия затухания функции плоской
деформации при удалении от стыка, сократим число постоянных интегрирования до 2n. Оставшиеся постоянные определим из граничных условий
[3], что будет идти в запас прочности, или из модифицированных граничных условий, учитывающих податливость защемления втулки в кольце
фланца. Эти условия можно получить, решая контактную задачу втулкакольцо и применяя методику, изложенную в [3].
Если НДС краевой плоской деформации определено, то для отыскания расчетного напряжения в сечении АВ вместо соотношения (13)
имеем формулу
σвm=6M0/SH2+σzПm.
(14)
Очевидно, что расчет фланца по допускаемым напряжениям с помощью формулы (14) приведет к изменению толщины втулки в зоне стыка
или допускаемых нагрузок. Отметим, что к прочностному расчету фланцевого соединения следует присовокупить его расчет на хрупкую прочность.
3. К расчету сварного соединения.
Результаты, относящиеся к дополнительному НДС краевой плоской
деформации, можно применить к прочностному расчету сварных соединений. Опыт эксплуатации изделий из высокопрочных сталей и сплавов показывает, что имеют место преждевременные разрушения сварных конструкций, в большинстве случаев, по шву или околошовной зоне.
Как известно расчет сварных швов на прочность при статических
нагрузках производится по номинальным напряжениям, вычисляемым в
предположении равномерного распределения их по сечению шва.
Рассмотрим сварное соединение (рис.6) прямоугольной пластинки с
предварительной подготовкой кромок, работающей на изгиб. Без учета дополнительных напряжений требуемое значение толщины пластинки в наиболее опасном сечении определяется по формуле
h=
0
3nM изг
2[σ]p
,
(15)
где [σ]P – допускаемое напряжение сварного шва и n – коэффициент запаса
прочности.
Учитывая краевую плоскую деформацию, в соответствие с графиком на рис. 2 (в варианте прямоугольной пластинки), можно написать
σxП0= 0,35(3Mизг0/2h2).
Суммируя напряжения основного и дополнительного НДС, имеем
σx0= 1,35(3Mизг0/2h2),
откуда, на основании (15), следует
275
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1
0
 3nM 0

изг
 ≈ 1,16 3nM изг
.
h = 1,35
2[σ]p 
2[σ]p


(16)
Рис. 6. Сварное соединение в прямоугольной пластинке
Сравнивая формулы (15) и (16), заключаем, что краевая плоская деформация приводит к увеличению требуемой толщины пластинки в зоне
сварного шва на 16%.
К приведенному расчету сварного шва на статическую прочность
необходимо присовокупить также его расчет по теории хрупкого разрушения. Предположим, что на верхней плоскости пластинки в наиболее опасном сечении существует начальная прямолинейная трещина размером 2b.
Тогда, по аналогии с цилиндрической оболочкой (формула (11)), можно
установить, что с учетом дополнительных напряжений σxП получим следующее выражение для коэффициента интенсивности KI на нижней кромке
трещины
KI∑=1,51KIK
(17)
в котором
K IK = −h
σm
xk
−1+ 2ε
(ζ + 1)
dζ
(2ε − (ζ + 1))
πb −1
представляет собой коэффициент интенсивности, соответствующий полю
упругих напряжений, определяемому по классической теории.
Так как нагрузка входит в выражение (17) линейно, естественно полагать, что при выполнении условий хрупкой прочности ее предельная величина уменьшается в 1,51 раза. Этот вывод хорошо согласуется с опытными данными, например в [9] отмечено, что часто нагрузка, приводящая
к хрупкому разрушению сварной конструкции, значительно ниже расчетной величины.
В формулах (16) и (17) учитывалось только влияние продольных
напряжений плоской деформации на НДС сварной конструкции. На самом
деле, в зоне шва действуют значительные поперечные нормальные и касательные напряжения [3,5], которые необходимо также принимать во внимание. В частности, заметим, что наличие дополнительных напряжений
σxП, σyП, σzП в сочетании с собственными напряжениями растяжения от
сварки, величины которых в ряде случаев достигают предела текучести
∫
276
Авиационные технологии
материала, может привести для элементарного объема в зоне шва к трехосному растяжению напряжениями высокой интенсивности. В результате
такого нагружения элементарного объема, даже для пластичных металлов,
станет невозможной сколько-нибудь значительная пластическая деформация вплоть до возникновения трещины. А поскольку все металлы в обычных условиях статического нагружения ведут себя при развитии трещины
как хрупкие, постольку вновь образовавшаяся трещина начнет быстро развиваться, что, в конечном итоге, вызовет хрупкое разрушение сварной
конструкции.
Таким образом, на основании изложенных результатов можно утверждать, что напряженное состояние краевой плоской деформации необходимо учитывать при прочностных расчетах мест креплений конструкций
с целью более рационального конструктивного оформления соединений и
стыков.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 13-08-01243).
Список литературы
1. Фирсанов Вал.В. Динамика и прочность установок авиационного
вооружения. М.: Изд-во МАИ, 2007. 400 с.
2. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов. // Механика композиционных материалов и конструкций/ Изд. ИПРИМ РАН, 2002. Т. 8, № 1.
С. 28–64.
3. Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность оболочки
переменной толщины. // Вестник МАИ, 2010. Т. 17, № 5. С. 212–218.
4. Фирсанов В.В., Ле Чун Хиеу Напряженно-деформированное состояние краевого эффекта в цилиндрической оболочке переменной толщины. // Вестник МАИ, 2012. Т. 19, № 1. С. 157–162.
5. Фирсанов В.В., Доан Ч.Н. Исследование статики и свободных
колебаний цилиндрических оболочек на основе классической теории. //
Механика композиционных материалов и конструкций/ Изд. ИПРИМ РАН,
2014. Т. 8, № 1. С. 104–123.
6. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
640 с.
7. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974.
311 с.
8. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки/
Пер. с англ. под ред. Г.С. Шапиро. М.: Наука, 1966. 635 с.
9. Каплун А.Б., Черепанов Г.П. Оценка критической величины остаточных сварочных напряжений//Физ.-хим. механика материалов. 1974.
277
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1
Т. 10, № 3. С. 79–84.
Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Серпичева Елена Викторовна, доц., elvn@mail.ru, Россия, Москва, Московский
авиационный институт (национальный исследовательский университет)
UNBROKEN JOINS STRENGTH AND CRACK GROWTH RESISTANCE IN AIRFRAMES
ANALYSIS BASED ON NON CLASSICAL THEORY OF SHELLS
V.V. Firsanov, E.V. Serpicheva
The article discovers influence stressed state of "boundary layer"on strength and
crack growth resistance in continuous connections and joints of different-walled construction
elements. Those elements are simulated as cylindrical shells and plates with constant and variable thickness. Current estimation is provided as refinement of basic calculation formulas
for unbroken - flanged, welded and adhesive joints. These formulas are used to define geometrics on design stage based on non classical theory of shells and fracture mechanics.
Key words: cylindrical shells, classical theory of shells, stressed state, boundary level, border flat deformation, fixed end point, fixed end point compliance, semi-infinite elastic
medium, flanged joint stress intensity factor, welded joint.
Firsanov Valeriy Vasilievich, doctor of technical science, professor, manager of department, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research
University),
Serpicheva Elena Viktorovna, docent, elvn@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
278