1. (9 баллов) Пусть элементы выборки X1, ..., Xn имеют

1. (9 баллов)
Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют распределение с плотностью

2

 3y
, если y ∈ [0, θ],
где θ > 0.
fθ (y) = θ3

0,
если y 6∈ [0, θ],
a) Найти оценку метода моментов для параметра θ с помощью функции g(y) = y 4 .
б) Проверить несмещенность полученной оценки.
в) Проверить асимптотическую нормальность полученной оценки.
2. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют распределение Пуассона с параметром λ > 0.
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра λ.
б) Сравнить полученную оценку с оценкой λ∗∗ = (3X1 − X2 )/2 в среднеквадратическом смысле.
3. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют равномерное распределение на отрезке [−2θ, 0].
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра θ.
б) Доказать, что полученная оценка не является асимптотически нормальной.
4. (5 баллов) Дана выборка X1 , . . . , Xn из показательного распределения с параметром α. Сравнить
в асимптотическом смысле две оценки для медианы µ этого распределения: µ∗1 = X ·ln 2 и µ∗2 = X([n/2]) .
5. (6 баллов)
Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют распределение Пуассона с параметром λ.
n
асимптотически несмещенной оценкой для параметра
Проверить, является ли оценка θ∗ =
nX + 1
1
θ = , т. е. имеет ли место сходимость Eθ∗ к θ при n → ∞.
λ
ФИО студента
1a
1. (9 баллов)
1б
Номер группы
1в
2а
2б
3а
3б
4
5
Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют распределение с плотностью

− 2y , если y ∈ [−θ, 0],
fθ (y) =
где θ > 0.
θ2

0,
если y 6∈ [−θ, 0],
a) Найти оценку метода моментов для параметра θ с помощью функции g(y) = y 3 .
б) Проверить несмещенность полученной оценки.
в) Проверить асимптотическую нормальность полученной оценки.
2. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют нормальное распределение Na, 1 , где a > 0.
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра a.
б) Сравнить полученную оценку с оценкой a∗∗ = (5X1 − X2 )/4 в среднеквадратическом смысле.
3. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют равномерное распределение на отрезке [0, 3θ].
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра θ.
б) Доказать, что полученная оценка не является асимптотически нормальной.
4. (5 баллов) Дана выборка X1 , . . . , Xn из равномерного распределения на отрезке [θ, 3θ].
в асимптотическом смысле две оценки для параметра θ этого распределения: θ∗1 = 12 X и θ∗2 =
Сравнить
1X
2 ([n/2]) .
Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют показательное распределение с параметром
α > 0. Проверить, является ли оценка θ∗ = e−X асимптотически несмещенной оценкой для параметра
θ = e−1/α , т. е. имеет ли место сходимость Eθ∗ к θ при n → ∞.
5. (6 баллов)
ФИО студента
1a
1б
Номер группы
1в
2а
2б
3а
3б
4
5
1. (9 баллов)
Пусть элементы выборкиX1 , . . . , Xn имеют распределение с плотностью
3

 4y
, если y ∈ [0, θ],
fθ (y) = θ4
где θ > 0.

0,
если y 6∈ [0, θ],
a) Найти оценку метода моментов для параметра θ с помощью функции g(y) = y 3 .
б) Проверить несмещенность полученной оценки.
в) Проверить асимптотическую нормальность полученной оценки.
2. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют показательное распределение E1/α с параметром 1/α.
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра α.
б) Сравнить полученную оценку с оценкой α∗∗ = (4X1 − X2 )/3 в среднеквадратическом смысле.
3. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют равномерное распределение на отрезке [−3θ, 0].
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра θ.
б) Доказать, что полученная оценка не является асимптотически нормальной.
4. (5 баллов) Дана выборка X1 , . . . , Xn из «отрицательного показательного» распределения с функцией
распределения F (y) = eαy , y < 0, α > 0. Сравнить в асимптотическом смысле две оценки для медианы
µ этого распределения: µ∗1 = X · ln 2 и µ∗2 = X([n/2]) .
5. (6 баллов)
Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют распределение Пуассона с параметром λ > 0.
Проверить, является ли оценка θ∗ = e−X асимптотически несмещенной оценкой для параметра θ = e−λ ,
т. е. имеет ли место сходимость Eθ∗ к θ при n → ∞.
ФИО студента
1a
1. (9 баллов)
1б
Номер группы
1в
2а
2б
3а
3б
4
5
Пусть элементы выборки
X , . . . , Xn имеют распределение с плотностью
 1
4

 5y
, если y ∈ [−θ, 0],
fθ (y) = θ5
где θ > 0.

0,
если y 6∈ [−θ, 0],
a) Найти оценку метода моментов для параметра θ с помощью функции g(y) = y 6 .
б) Проверить несмещенность полученной оценки.
в) Проверить асимптотическую нормальность полученной оценки.
2. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют биномиальное распределение B2, p с параметрами 2 и p.
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра p.
б) Сравнить полученную оценку с оценкой p∗∗ = (2X1 − X2 )/2 в среднеквадратическом смысле.
3. (6 баллов) Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют равномерное распределение на отрезке [0, 2θ].
а) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра θ.
б) Доказать, что полученная оценка не является асимптотически нормальной.
4. (5 баллов) Дана выборка X1 , . . . , Xn из равномерного распределения на отрезке [0,
в асимптотическом смысле две оценки для параметра θ этого распределения: θ∗1 = X и
5. (6 баллов)
2θ]. Сравнить
θ∗2 = X([n/2]) .
Пусть элементы выборки X1 , . . . , Xn имеют показательное распределение с параметром
α > 0. Проверить, является ли оценка θ∗ = e−X асимптотически несмещенной оценкой для параметра
θ = e−1/α , т. е. имеет ли место сходимость Eθ∗ к θ при n → ∞.
ФИО студента
1a
1б
Номер группы
1в
2а
2б
3а
3б
4
5