20. Топологические пространства и пределы

20. Топологические пространства и пределы
В конце прошлой лекции мы определили метрические пространства. На
каждом метрическом пространстве можно естественным способом ввести топологию.
Обозначение 20.1. Пусть X | метрическое пространство с метрикой ; тогда для точки x ∈ X и числа " > 0 положим
B" (x) = {y ∈ X | (x; y ) < "} :
Множество B" (x) называется открытым шаром с центром x и радиусом ".
Пусть X | метрическое пространство. Подмножество U ⊂ X называется открытым, если для всякой точки x ∈ U
существует открытый шар с центром в x, содержащийся в U (т. е. существует такое " > 0, что B" (x) ⊂ U ).
Определение 20.2.
Очевидно, что так определенный набор открытых множеств удовлетворяет аксиомам топологического пространства.
Проверьте самостоятельно, что топология, задаваемая на R метрикой, совпадает со стандартной топологией.
Покажем для примера, что открытый шар в метрическом пространстве является открытым множеством, и тем самым такое употребление слова «открытый» не является двусмысленным. В самом деле, пусть
y ∈ B" (x); положим r = (x; y ) и = " − r > 0. Тогда B (y ) ⊂ B" (x):
в самом деле, если z ∈ B (y ), то есть (y; z ) < , то ввиду неравенства
треугольника имеем
(z; x) 6 (x; y ) + (y; z ) < r + = ";
то есть z ∈ B" (x).
Важным примером метрического пространства является пространство Rn . По определению, это множество упорядоченных наборов из n
действительных чисел («координат») (x1 ; : : : ; xn ); это множество называется n-мерным координатным пространством (или просто n-мерным
пространством, если не грозит путаница). При n = 2 это плоскость, при
n = 3 | «обычное» (трехмерное) пространство. На Rn можно ввести
(среди прочих) такие метрики.
Lp -метрика: если
p x = (x1 ; : : : ; xn ) и y = (y1 ; : : : ; yn ), то положим
p (x; y ) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 .
1
L∞ -метрика: если x = (x1 ; : : : ; xn ) и y = (y1 ; : : : ; yn ), то положим
∞ (x; y ) = max(|x1 − y1 |; |x2 − y2 |; : : : ; |xn − yn |).
Можно сказать еще так. Дляpвектора x = (x1 ; : : : ; xn ) определим L2 x21 + : : : + x2n и L∞ -норму по формуле
норму по формуле kxk2 =
kxk∞ = max{|x1 |; : : : ; |xn |}. Из аксиом метрического пространства неочевидно только неравенство треугольника. Если обозначить через k · k
любую из указанных норм, то неравенство треугольника вытекает из
неравенства
ku + v k 6 kv k + kv k:
(20.1)
В самом деле, если неравенство (20.1) установлено, то
(x; z ) = kx − z k = k(x − y ) + (y − z )k 6 kx − y k + ky − z k = (x; y ) + (y; z ):
Для L∞ -нормы проверка неравенства (20.1) тривиальна. Для L2 -нормы
доказательство этого неравенства немного сложнее; вы узнаете его в
курсе алгебры.
Различные метрики могут задавать одну и ту же топологию на данном множестве X . Вот важный пример.
Пример 20.3.
же топологию.
Все L2 -метрика и L∞ -метрика задают на Rn одну и ту
Доказательство.
неравенства
Легко видеть, что для любых x; y ∈ Rn выполнены
∞ (x; y ) 6 2 (x; y ) 6
√
n · ∞ (x; y ):
Из этого неравенства вытекает, что для всякого x ∈ Rn и всякого " > 0
имеем
B";2 (x) ⊂ B";∞ (x) ⊂ B"√n;2 (x);
так что подмножество в Rn является открытым относительно L2 метрики, тогда и только тогда, когда оно открыто относительно L∞ метрики.
Вот еще одно простое, но фундаментальное определение.
Пусть X | топологическое пространство. Подмножество F ⊂ X называется замкнутым, если его дополнение X \ F ⊂
X открыто.
Определение 20.4.
Следующее утверждение мгновенно вытекает из определения 19.6.
2
Предложение 20.5.
Пусть X | топологическое пространство. То-
гда:
1) Само пространство X и пустое подмножество
∅ являются за-
мкнутыми множествами.
2) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
3) Объединение двух замкнутых множеств замкнуто.
Пусть X | топологическое пространство и M ⊂
X | произвольное подмножество. Тогда замыканием множества M называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M .
Определение 20.6.
— . Ввиду пункта (2)
Замыкание множества M обычно обозначается M
предыдущего предложения замыкание любого множества будет замкнуто.
Неформальный смысл понятия замыкания таков: при переходе от
— мы добавляем к множеству M все
множества M к его замыканию M
те точки x, которые сами в M не лежат, но, тем не менее, «сколь угодно близко от x» точки множества M имеются; если таких точек x не
найдется, то множество M является замкнутым.
Точный смысл предыдущему абзацу придает следующее
Предложение 20.7.
Пусть X | топологическое пространство и
— состоит из всех точек x ∈ X , обладающих слеM ⊂ X . Тогда M
дующим свойством:
Для всякого открытого подмножества
U 3x
имеем
U ∩M 6
=
∅.
( ∗)
— ; по определению, это равносильно тому,
Пусть x ∈ M
что для всякого замкнутого множества F ⊃ M имеем F 3 x. Поскольку
замкнутые множества | это дополнения открытых, последнее условие
можно, обозначая U = X \ F , переписать так: для всякого открытого
подмножества U ⊂ X такого, что U ∩ M = ∅, имеем U 63 x, или,
эквивалентно: если открытое множество U содержит x, то U ∩ M 6= ∅.
Но это и есть условие (∗).
Доказательство.
Перейдем теперь к общему определению предела.
Пусть X | топологическое пространство. Точка
a ∈ X называется неизолированной, если всякая окрестность U 3 a содержит точку, отличную от a. В противном случае точка a называется
Определение 20.8.
изолированной.
3
По-другому можно сказать так: точка a ∈ X изолирована тогда и
только тогда, когда множество {a} открыто.
Пусть X и Y | топологические пространства,
a ∈ X | неизолированная точка, и пусть f | отображение из X \ {a}
в Y . Говорят, что точка b ∈ Y является пределом f при x, стремящемся
к a, если функция f~: X → Y , определенная по правилу
Определение 20.9.
f~(z ) =
(
f (z );
z 6= a;
b;
z = a:
является непрерывной в точке a. Обозначение: b = limx→a f (x).
Иными словами, b = limx→a f (x), если для всякой окрестности U 3 b
существует такая окрестность V 3 a, что f (V \ {a}) ⊂ U .
В эту же схему вписывается и предел последовательности. Именно,
— = N ∪ {∞} и введем на N
— топологию, в которой подмножеположим N
— открыто тогда и только тогда, когда оно либо содержит ∞
ство U ⊂ N
и все натуральные числа, начиная с некоторого N ∈ N, либо не содержит ∞.
Последовательность точек xn ∈ X , где X | топологическое пространство | не что иное, как функция f : N → X , для которой f (n) =
— \ {∞}, то определение 20.9 примеxn . Если теперь отождествить N и N
нимо и к этому случаю, и последовательность {xn } сходится к x, если
для всякой окрестности U 3 x существует такое N > 0, что при всех
n > N имеем xn ∈ U | в полном согласии с обычным определением
предела последовательности. Легко видеть (проверьте!), что в случае,
когда X | метрическое пространство, равенство limn→∞ xn = x равносильно следующему: для всякого " > 0 существует такое N ∈ N, что при
всех n > N имеем (xn ; x) < " (это уже совсем похоже на привычное
определение предела последовательности!). Определение предела функции при стремлении переменной к +∞ или −∞ аналогичным образом
— из предыдущей
сводится к определению 20.9 с помощью пространства R
лекции.
Как известно, если предел числовой последовательности или функции существует, то он единствен. Для наших общих определений аналогичный факт верен не всегда (глупый пример: если в топологическом пространстве X открытыми являются только пустое множество
и все X | что аксиомами топологического пространства не запрещено, | то всякая точка x ∈ X будет пределом всякого отображения в X ).
Чтобы отсечь такую патологию, введем следующий важный класс топологических пространств.
4
20.10. Топологическое пространство X называется
(или отделимым ), если для любых двух различных точек
x; y ∈ X существуют такие открытые подмножества U 3 x и V 3 y , что
U ∩ V = ∅.
Определение
хаусдорфовым
Сразу же заметим, что всякое метрическое пространство хаусдорфово: в качестве открытых множеств U 3 x и V 3 y можно взять
открытые шары Bd=2 (x) и Bd=2 (y ), где d | расстояние между x и y (то,
что они не пересекаются, следует из неравенства треугольника).
Все топологические пространства, с которыми мы будем иметь дело
в курсе, будут хаусдорфовыми. Нехаусдорфовы пространства в жизни
тоже встречаются (например, они существенно используются в алгебраической геометрии).
Предложение 20.11.
Пусть X и Y | топологические пространства;
предположим, что пространство Y хаусдорфово. Тогда для всякого
отображения f : X
\ {a} → Y предел limx→a f (x) единствен (если он
существует).
Пусть, от противного, пределами f (x) при x, стремящемся к a, будут две разные точки b1 и b2 . Поскольку Y хаусдорфово, в нем существуют непересекающиеся открытые множества V1 3 b1
и V2 3 b2 . Согласно определению предела, в пространстве X существуют такие открытые подмножества U1 и U2 , содержащие a, что
f (U1 \ {a}) ⊂ V1 и f (U2 \ {a}) ⊂ V2 . Так как точка a неизолирована,
открытое множество U1 ∩ U2 содержит по крайней мере одну точку
a0 6= a. Тогда f (a0 ) ∈ V1 ∩ V2 , что противоречит тому, что V1 и V2 не
пересекаются.
Доказательство.
5