Логические отношения между высказываниями. Логическое

Логические отношения между высказываниями. Логическое следование
Как легко заметить на основании материала предыдущей лекции, истинность или
ложность одних высказываний может зависеть от истинности или ложности других.
Логические отношения между высказываниями выражают различные виды подобной
зависимости.
Прежде всего, рассмотрим совместимость двух высказываний по истинности и их
совместимость по ложности. Каждое высказывание (как мы условились ранее) является
либо истинным, либо ложным. Истинность или ложность высказываний определяется
действительным положением дел: теми событиями, что уже произошли, и теми
событиями, которые совершаются в настоящий момент. Однако мы хорошо понимаем, что
ход событий мог бы быть и иным. Кроме действительно совершившегося, существовали и
многочисленные возможности для осуществления других событий. Мы знаем, что в
любой момент у нас (как и всех других людей) есть выбор из множества разнообразных
действий, ведущих к цели, которой мы хотим достичь. Но и цели мы тоже можем
выбирать. Это означает, что хотя реально произошли одни события, которые сделали
определенные утверждения о них истинными, вместо них могли состояться и другие,
которые те же утверждения сделали бы ложными. Совместимость высказываний по
истинности означает, что события, о которых утверждается в этих высказываниях, могли
бы осуществиться вместе. Например, могло бы быть так, что В.И. Кириллов и А.А.
Старченко написали бы два разных учебника по логике, а не один совместный, или же,
например, студенты-юристы изучали бы логику на втором курсе. Тогда суждения “А.А.
Старченко написал учебник по логике без соавтора” и “Студенты-юристы изучают логику
на втором курсе” оба оказались бы истинными. Это означает, что эти суждения являются
совместимыми по истинности хотя в действительности они оба ложны. Как установить,
совместимы ли по истинности два высказывания, используя при этом только логические
средства? Для требуется отвлечься от их конкретного содержания и выделить их
логическую форму. Если логические формы этих высказываний таковы, что существуют
два высказываний таких же логических форм, которые оба являются истинными, то это и
будет означать, что наши исходные высказывания совместимы по истинности. Аналогично
решается вопрос и о совместимости высказываний по ложности. Совместимость
высказываний по ложности означает, что события в мире могли бы происходить таким
образом, что анализируемые нами высказывания все вместе могли бы оказаться ложными.
Для доказательства этого опять используется тот же метод логического анализа. Мы
отвлекаемся от конкретного содержания высказываний и проверяем, существуют ли
высказывания, имеющие такую же логическую форму, которые все вместе оказались бы
ложными. Если такие высказывания находятся, то тогда наши исходные высказывания
являются совместимыми по ложности.
Несовместимость высказываний по истинности означает, что они имеют такую
логическую форму, что они не могут быть оба истинными независимо от их конкретного
содержания. Несовместимость по ложности означает, что для высказываний невозможно
быть одновременно ложными также в силу их логической формы. Как было показано в
предыдущем разделе, любая пара высказываний вида A и A является несовместимой по
истинности (в силу закона непротиворечия) и несовместимой по ложности (в силу закона
исключенного третьего).
Для выяснения того, совместимы или несовместимы высказывания по истинности
или по ложности, необходимо, как это видно из вышесказанного определить вид суждений
(простые они или сложные) и выявить их логическую форму. Далее, если оба суждения
сложные, то следует построить общую для них таблицу истинности. В этой таблице в
самом левом столбце должны быть выписаны все пропозициональные переменные,
которые встречаются в логических формах этих высказываний хотя бы один раз.
(Напоминаем, что разные пропозициональные переменные обозначают разные простые
высказывания, а одинаковые - одно и то же высказывание.) После построения общей
таблицы необходимо осуществить построчное сравнение результирующих столбцов для
этих формул. если существует строка, в которой значением обеих формул является
“истина”, то анализируемые высказывания совместимы по истинности, если такой строки
не существует, то они несовместимы по истинности. Аналогично проверяется
совместимость или несовместимость этих высказываний по ложности. Если существует
строка, в которой обе формулы принимают значение “ложь”, то высказывания совместимы
по ложности, если такой строки не существует, то данные высказывания по ложности
несовместимы.
Например, пусть имеются два высказывания: “Если студент отвечает на экзамене
на все вопросы, то он может получить оценку “отлично””, и “Если студент не
отвечает на экзамене на все вопросы, то он может получить оценку
“удовлетворительно””. Оба высказывания являются сложными. Простые высказывания,
которые входят в их состав, выглядят так: “Студент отвечает на экзамене на все
вопросы”, “Студент может получить оценку “отлично””, “Студент может получить
оценку “удовлетворительно””. Обозначим первое простое высказывание буквой p, второе
- буквой q, третье - буквой r. Тогда, формулой, соответствующей первому сложному
высказыванию, будет p⊃q, а формулой, соответствующей второму сложному
высказыванию, будет p⊃r. Общая таблица истинности будет содержать восемь строк, так
как число различных пропозициональных переменных, входящих хотя бы в одну формулу,
равно трем. Теперь строим таблицу.
r
p⊃q
p ⊃ r
и
и
л и
л
и
л и
и
л
л и
л
л
л и
и
и
и и
л
и
и л
и
и
и и
л
и
и л
В получившейся таблице уже в первой строке есть сочетание значений “истина” “истина” (оно выделено курсивом). Следовательно, эти высказывания совместимы по
истинности. Но ни в одной из строк нет сочетания “ложь” - “ложь”. Это означает, что
данные высказывания несовместимы по ложности.
Если в паре высказываний одно из них оказывается простым, а другое - сложным, то
анализ производится так же, как и в случае, когда оба высказывания являются сложными,
а простое высказывание обозначается одной пропозициональной переменной. Например,
возьмем два высказывания: “Студент посещает все занятия” и “Если студент посещает
все занятия, то он отличается крепким здоровьем”. Обозначим первое высказывание
буквой p, а второму высказыванию пусть соответствует формула p⊃q. Общая таблица
истинности тогда будет выглядеть так.
p
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
p
и
и
л
л
q
и
л
и
л
p⊃q
и
л
и
и
Из таблицы, в которой результирующие столбцы сравниваемых формул выделены
жирным шрифтом, видно, что эти два высказывания совместимы по истинности
(сочетание “истина” - “истина” в первой строке выделено курсивом), и несовместимы по
ложности (сочетание “ложь” - “ложь” не встречается ни в одной строке).
Кроме отношений совместимости и несовместимости по истинности и по ложности
в логике выделяют еще целый ряд различных отношений между высказываниями, которые
могут быть определены на их основе. Это отношения контрарности, субконтрарности,
контрадикторности, эквивалентности, логической независимости и логического
следования (последнее является наиболее важным).
Отношение контрарности обычно определяют как несовместимость двух
высказываний по истинности и совместимость по ложности. В то же время суждения
имеют такую логическую форму, которая исключает их взаимную истинность, но
допускает не только взаимную ложность, но и истинность одного суждения при ложности
другого. Иначе говоря, если представить себе, что сравниваемые суждения (обозначим их
A и B) - сложные, и для них уже построена общая таблица истинности, то при
выписывании различных комбинаций их взаимной истинности, которые получаются при
анализе результирующих столбцов, мы получим следующую картину:
A B
и л
л и
л л
Должны присутствовать именно все три сочетания, в противном случае это
отношение не будет отношением контрарности.
Отношение субконтрарности определяется обратным образом. Это совместимость
двух высказываний по истинности и несовместимость по ложности. Оно также исключает
только одну комбинацию истинностных значений для пары высказываний: “ложь” “ложь”. Все остальные комбинации должны при этом присутствовать. Иначе говоря,
таблица сравнения двух высказываний A и B по их истинностным значениям должна
выглядеть так:
A
и
и
л
B
и
л
и
Отношение контрадикторности - это несовместимость двух высказываний ни по
истинности, ни по ложности. Однако здесь возможны уже несколько разновидностей этого
отношения. Во-первых, отношение контрадикторности может быть между выполнимыми
высказываниями (например, между (p⊃q) и (p⊃q)). В этом случае в таблице сравнения
двух высказываний A и B будут присутствовать две строки. Во-вторых, в отношении
контрадикторности будет находиться любая пара высказываний, состоящая из логического
закона и логического противоречия. Но здесь в таблице сравнения двух высказываний A и
B будет только одна строка, так как логический закон всегда истинен, а логическое
противоречие всегда ложно. Иначе говоря, отношение контрадикторности характеризуется
тремя возможными таблицами сравнения (третий случай получается из второго простой
перестановкой высказываний):
A
и
л
B
л
и
A
и
B
л
A
л
B
и
Отношение эквивалентности имеет место между теми высказываниями, которые
всегда принимают одинаковые истинностные значения. Здесь тоже в итоге получаются три
различных таблицы сравнения. Во-первых, если эквивалентными являются выполнимые
высказывания, то у них в таблице будет две строки. Во-вторых, в отношении
эквивалентности находятся любые два логических закона. В таблице для них будет
присутствовать единственная строчка “истина” - “истина”. И, наконец, в-третьих,
эквивалентными считаются любые два логических противоречия. В их таблице будет
присутствовать только строчка “ложь” - ”ложь”. Итак:
A
и
л
B
и
л
A
и
B
и
A
л
B
л
Отношение логической независимости имеет место между двумя высказываниями в
том случае, когда на основании знания истинностного значения одного из них мы не
можем сказать ничего определенного об истинностном значении другого. Это означает,
что в таблице сравнения для этих двух высказываний мы встретим все четыре возможные
комбинации взаимной истинности. То есть никаких разновидностей это отношение не
предусматривает.
A B
и и
и л
л и
л л
Из высказывания A логически следует высказывание B если невозможно, чтобы в
случае истинности A B оказалось бы ложным. Для отношения логического следования
вводится специальный символ ╞. Выражение “из A логически следует B” записывается
так: A╞B. Это отношение имеет следующие важные особенности. Во-первых, в общем
случае оно не является симметричным. Если из A логически следует B, то это еще не
означает, что из B логически следует A. Все же остальные логические отношения
симметричны (если A контрарно B, то B контрарно A, если A субконтрарно B, то B
субконтрарно A и т.д.). Во-вторых, оно не исключает наличия некоторых других
логических отношений из тех, что были описаны выше. Так, если A╞B и B╞A, то это не
что иное, как логическая эквивалентность. В самом деле, первое логическое следование
исключает возможное сочетание “истина” - “ложь”, второе логическое следование
исключает возможное сочетание “ложь” - “истина” (если A логически следует из B, то
невозможно, чтобы A оказалось ложным, если B при этом истинно). На это означает, что в
числе возможных сочетаний значений истинности двух высказываний остаются лишь
пары “истина” - “истина” и “ложь” - “ложь”. А это как раз и есть эквивалентность (см.
выше). Иногда логическую эквивалентность так и определяют: “Логическая
эквивалентность есть логическое следование в обе стороны”. В другом случае, когда
известно, что из A логически следует B, но при этом неверно, что из B логически следует
A, говорят, что между А и B имеет место отношение логического подчинения - A
подчиняет себе B, или, что тоже самое, A является подчиняющим высказыванием, а B подчиненным.
Для отношения логического следования характерно наличие еще двух особенностей:
1) логический закон следует из любого высказывания и 2) из противоречия логически
следует любое высказывание. В самом деле, логический закон - это всегда истинное
высказывание. Значит, он не может оказаться ложным в том случае когда любое
(произвольное) высказывание оказывается истинным. Тем самым выполняется условие,
которое определяет наличие отношения логического следования между высказываниями.
Логическое противоречие - это всегда ложное высказывание. Значит, оно не может
оказаться истинным, когда любое (произвольное) высказывание оказывается ложным. То
есть требование, предъявляемое отношением логического следования к высказываниям,
выполняется и в этом случае. Наконец, из свойств (1) и (2) вытекает, что из произвольного
логического противоречия логически следует любой логический закон, поскольку первое
всегда ложно, а второе всегда истинно и сочетание “истина” - “ложь” здесь невозможно.
Но ранее мы установили, что между двумя подобными высказываниями имеет место
контрадикторность. Таким образом, мы обнаружили другой случай, когда отношение
логического следования не исключает наличие иного логического отношения.
Вообще, разновидностей отношения логического следования в силу описанных
свойств этого отношения оказывается довольно много. Сводная таблица сочетаний
возможных значений истинности двух высказываний, находящихся в отношении
логического следования, представлена ниже.
A
и
л
A╞B и неверно, что B╞A (A подчиняет B)
B
A B
A B
A B
и
и и
л и
л и
и
л и
л л
л
A╞B и B╞A (A эквивалентно B)
B
A B
A B
и
и и
л л
л
A
и
и
л
B
и
л
л
A
и
л
л
B╞A и неверно, что A╞B (B подчиняет A)
A B
A B
A B
и и
и л
и л
и л
л л
Отношение логического следования может существовать не только между парой
высказываний, но и между множеством высказываний и отдельным выказыванием.
Между множеством высказываний Г и высказыванием B имеет место отношение
логического следования (Г╞B), если логические формы этих высказываний таковы, что
невозможно, чтобы при одновременной истинности всех высказываний из Г
высказывание B оказалось бы ложным.
Для того, чтобы проверить, есть это отношение или его нет, в случае если мы имеем
дело со сложными высказываниями, необходимо вновь обратиться к методу построения
совместных таблиц истинности. Вновь покажем это на примерах.
Пусть в множество Г входят высказывания следующих логических форм: (p∨q) и
(q⊃r), а высказывание B имеет логическую форму (p∨r). Тогда необходимо построить
таблицу истинности, общую для всех трех высказываний. Она будет содержать восемь
строк, поскольку в высказывания входят три различных пропозициональных переменных.
p q r
(p ∨ q)
(q ⊃ r)
(p ∨ r)
и и и
ил
л л
л и
и и л
ил
и и
л л
и л и
ии
и л
л и
и л л
ии
и и
л л
л и и
лл
л л
и и
л и л
лл
и и
и и
л л и
ии
и л
и и
л л л
ии
и и
и и
После того, как таблица построена, находим в ней строки, в которых все
высказывания из Г принимают значение “истина” (в таблице такие строки выделены
жирным шрифтом) и проверяем, во всех ли случаях в этих строках также будет истинным
и высказывание B. В данном случае оказывается, что уже в первой из проверяемых строк
этого не происходит. Высказывание B принимает значение “ложь” в то время как все
высказывания из Г истинны. Одной подобной строки достаточно (а в нашей таблице их
даже две), чтобы утверждать, что между множеством высказываний из Г и высказыванием
B отношения логического следования нет.
Другой пример. Пусть в Г входят высказывания, имеющие логические формы (p⊃q)
и (q⊃r), а высказывание B имеет логическую форму (r⊃p). Общая таблица истинности
для всех трех высказываний выглядит так.
p q r
(p ⊃ q)
(q ⊃ r)
(r ⊃ p)
и и и
л л
л и
л и л
и и л
л л
л и
и л л
и л и
и и
и и
л и л
и л л
и и
и л
и л л
л и и
и л
л и
л и и
л и л
и л
л и
и и и
л л и
и и
и и
л и и
л л л
и и
и л
и и и
Все высказывания из Г принимают значение “истина” в третьей, пятой, шестой и
седьмой строках таблицы. И во всех этих строках высказывание B также принимает
значение “истина”, то есть в данном случае между множеством высказываний Г и
высказыванием B отношение логического следования есть.