Б2.Б1 Математический анализx
advertisement
8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Математики и математических методов в 1. Кафедра экономике 38.03.05 (080500.62) Бизнес-информатика (общий 2. Направление подготовки профиль) 3. Дисциплина Б2. Б.1 Математический анализ 4. Тип задания Используемая программа: сайт www.i-exam.ru Количество этапов формирования 5. компетенций (ДЕ, разделов, тем и 6, 49 заданий т.д.) Перечень компетенций ОК-1 - владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения. ОК-6 - способен логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь. ПК-19 - использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности для теоретического и экспериментального исследования. ПК-20 - использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования. Критерии и показатели оценивания компетенций Знания: - знать основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины; - знать доказательства теорем Умения: - решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач; - ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях; - анализировать возникающие проблемы, использовать математический аппарат для обработки технической и экономической информации и анализа данных; - строить устную и письменную речь логически верно; Навыки: - решение кейс – заданий прикладного содержания; - решение практических задач профессиональной деятельности Опыт деятельности: - владеть методами и приемами решения практических задач и доказательства утверждений; - владеть методами построения математических моделей типовых профессиональных задач; - способностью к обобщению, анализу, постановке цели и выбору путей ее достижения. Этапы формирования компетенций (Количество этапов формирования компетенций: ДЕ, разделов, тем и т.д.) ДЕ-1 Элементы теории пределов ДЕ-2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной ДЕ-3 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ДЕ-4 Интегральное исчисление ДЕ-5 Элементы теории рядов ДЕ-6 Кейс-задания 8 8 8 8 8 9 Итого: 49 Наименование элемента содержания (тема) 10101 10102 Область определения функции Предел функции Перечень учебных элементов (сайт www.i-exam.ru) Студент должен: 1. Элементы теории пределов знать: области определения основных элементарных функций уметь: находить области определения элементарных функций при вычислении знать: метод раскрытия неопределенности пределов дробно-рациональных функций; методы раскрытия 0 0 неопределенностей при вычислении пределов дробно-рациональных функций; первый и второй замечательные пределы и их следствия, эквивалентные бесконечно малые функции при уметь: уметь: применять метод раскрытия неопределенности вычислении пределов дробно-рациональных функций; применять методы 0 0 раскрытия неопределенностей при вычислении пределов дробно- 10103 10104 20101 20102 рациональных функций; применять первый и второй замечательные пределы и их следствия при вычислении пределов функций Непрерывнос знать: определение и условия непрерывности функции в точке; ть функции, определение точек разрыва функции; теоремы о непрерывности функций точки в точке; определение непрерывности функции на промежутке разрыва уметь: находить точки разрыва дробно-рациональной функции; находить точки разрыва функций, заданных различными аналитическими выражениями на разных промежутках; находить область непрерывности функции Асимптоты знать: определения асимптот графика функции; формулы для графика вычисления параметров уравнения наклонной асимптоты графика функции функции уметь: находить вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции Область знать: области определения основных элементарных функций определения уметь: находить области определения основных элементарных функций функции Предел знать: методы раскрытия неопределенностей вида , 1 , функции и 0 0 при вычислении пределов дробно-рациональных функций; первый и второй замечательные пределы и их следствия, эквивалентные бесконечно малые функции; определение односторонних пределов функции; бесконечно малые и бесконечно большие функции и их взаимосвязь уметь: применять методы раскрытия неопределенностей вида 1 , 0 и 0 , при вычислении пределов дробно-рациональных функций; применять первый и второй замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов функций; вычислять односторонние пределы функций; применять теоремы о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями 2- Непрерывнос знать: определение и условия непрерывности функции в точке; 01- ть функции, определение точек разрыва функции; теоремы о непрерывности функций 03 точки в точке; определение непрерывности функции на промежутке разрыва уметь: находить точки разрыва функций; определять вид точек разрыва; находить область непрерывности функции 2- Асимптоты знать: определения асимптот графика функции; формулы для 01- графика вычисления параметров уравнения наклонной асимптоты графика 04 функции функции уметь: находить вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1-02- Производ знать: основные правила дифференцирования функций; производные 01 ные основных элементарных функций; правило дифференцирования сложной первого функции порядка уметь: вычислять производную алгебраической суммы нескольких функций; производную частного двух функций; вычислять производную сложной функции 1-02- Производ знать: определение производных высших порядков; основные правила 02 ные дифференцирования и производные основных элементарных функций; высших правило дифференцирования сложной функции порядков уметь: вычислять производные высших порядков 1-02- Приложен знать: геометрический смысл производной функции в точке; физический 03 ия смысл производной функции; достаточные условия экстремума функции; дифферен достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции циального уметь: вычислять производные элементарных функций, угловой исчислени коэффициент касательной, скорость движения материальной точки; я ФОП находить экстремумы функции; находить промежутки выпуклости и вогнутости графика функции 1-02- Дифферен знать: основные правила дифференцирования функций; производные 04 циалы и основных элементарных функций; правило дифференцирования сложной теоремы о функции; определение дифференциала функции; формулу приближенного дифферен вычисления значения функции с помощью дифференциала; правило цируемых Лопиталя функциях уметь: вычислять производную сложной функции; находить дифференциал функции; вычислять приближенное значение функции с помощью дифференциала; применять правило Лопиталя 2-02- Производ знать: производные основных элементарных функций; правило 01 ные дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно; первого формулу дифференцирования функций, заданных параметрическими порядка соотношениями уметь: вычислять производные сложных функций 2-02- Производ знать: определение производной высших порядков; правила 02 ные дифференцирования производной сложной функции высших порядков Приложен ия дифферен циального исчислени я ФОП уметь: вычислять производную сложной функции; находить производные высших порядков 2-02знать: геометрический и физический смысл производной; достаточные 03 условия монотонности функции на промежутке; достаточные условия выпуклости и вогнутости функции; необходимое условие и достаточные условия (признаки) существования экстремума функции в точке; правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке; уравнение касательной к графику функции уметь: находить скорость и ускорение движения материальной точки; находить промежутки монотонности функции; находить промежутки выпуклости и вогнутости графика функции; находить точки экстремума и экстремум функции; находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; применять теорию максимума и минимума к решению практических задач; строить уравнение касательной к графику функции 2-02- Дифферен знать: определение дифференциала функции; формулу приближенного 04 циалы и вычисления значения функции с помощью дифференциала; теорему теоремы о Ролля; правило Лопиталя дифферен уметь: вычислять дифференциал функции; вычислять приближенное цируемых значение функции с помощью дифференциала; применять теорему Ролля функциях и правило Лопиталя 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1-03- Частные знать: правила вычисления частных производных функций нескольких 01 производн переменных ые уметь: вычислять частные производные первого порядка функций первого нескольких переменных порядка 1-03- Частные знать: определение частных производных второго порядка функции двух 02 производн переменных; правила нахождения частных производных функции двух ые переменных высших уметь: находить частные производные второго порядка функции двух порядков переменных; находить значение производных второго порядка функции двух переменных в заданной точке 1-03- Полный знать: определение полного дифференциала функции двух переменных; 03 дифферен правила нахождения частных производных функции двух переменных циал уметь: находить полный дифференциал функции двух переменных; находить частные производные функции двух переменных 1-03- Производ знать: определение градиента функции двух переменных; определение 04 ная по производной по направлению функции двух переменных; определение направлен направляющих косинусов вектора ию и уметь: находить градиент функции двух переменных; находить градиент производную по направлению функции двух переменных; вычислять градиент и производную по направлению функции двух переменных в заданной точке; находить направляющие косинусы вектора 2-03- Частные знать: правила вычисления частных производных функций нескольких 01 производн переменных, правила дифференцирования сложной функции ые уметь: вычислять частные производные функций нескольких первого переменных; производные сложных функций порядка 2-03- Частные знать: правила вычисления частных производных функций нескольких 02 производн переменных; определение частных производных второго порядка ые функций нескольких переменных высших порядков уметь: находить частные производные функций нескольких переменных; находить частные производные второго порядка функций нескольких переменных 2-03- Полный знать: правила вычисления частных производных функций нескольких 03 дифферен переменных, формулу полного дифференциала функции двух циал переменных, формулу приближенного подсчета значения функции нескольких переменных с применением полного дифференциала 1-го порядка уметь: вычислять частные производные функций нескольких переменных; приближенно вычислять значение функции нескольких переменных с помощью полного дифференциала 1-го порядка 2-03- Производ знать: определение градиента функции нескольких переменных; 04 ная по определение модуля градиента функции нескольких переменных; направлен определение производной по направлению функции нескольких ию и переменных; определение направляющих косинусов вектора; правила градиент вычисления частных производных функций нескольких переменных уметь: находить градиент функции нескольких переменных; находить модуль градиента функции нескольких переменных находить производную по направлению функции нескольких переменных; вычислять градиент и производную по направлению функции нескольких переменных в заданной точке; вычислять частные производные функций нескольких переменных 4. Интегральное исчисление 1-04- Основные знать: определения первообразной и неопределенного интеграла 01 методы функции, их свойства, таблицу основных интегралов; метод замены интегриро переменной и метод интегрирования по частям неопределенного вания интеграла уметь: находить первообразные функции, то есть неопределенный интеграл функции 1-04- Свойства знать: свойства определенного интеграла; формулу для вычисления 02 определен среднего значения функции на отрезке ного уметь: применять свойства определенного интеграла; вычислять среднее интеграла значение функции на отрезке 1-04- Методы знать: формулу Ньютона – Лейбница; метод замены переменной 03 вычислен интегрирования (метод подстановки) в определенном интеграле; метод ия интегрирования по частям в определенном интеграле определен уметь: вычислять определенный интеграл с использованием формулы ного Ньютона – Лейбница; вычислять интеграл с помощью метода замены интеграла переменной интегрирования в определенном интеграле; применять метод интегрирования по частям в определенном интеграле 1-04- Приложен знать: геометрический смысл определенного интеграла; знать формулы 04 ия вычисления площади плоской фигуры определен уметь: выражать и вычислять площадь плоской фигуры, ограниченной ного непрерывными кривыми, с помощью определенного интеграла интеграла 2-04- Основные знать: определения первообразной и неопределенного интеграла 01 методы функции, их свойства, таблицу основных интегралов; метод замены интегриро переменной, метод и формулу интегрирования по частям неопределенного вания интеграла уметь: находить первообразные функции или неопределенный интеграл функции; находить неопределенный интеграл методом замены переменной и с помощью формулы интегрирования по частям знать: определение определенного интеграла; свойства определенных интегралов; формулу для вычисления среднего значения функции на отрезке уметь: применять свойства определенных интегралов; вычислять среднее значение функции на отрезке 2-04- Методы знать: формулу Ньютона – Лейбница; метод замены переменной 03 вычислен интегрирования (метод подстановки) в определенном интеграле; метод ия интегрирования по частям в определенном интеграле; обобщенную определен формулу Ньютона – Лейбница ного уметь: вычислять определенный интеграл с использованием формулы интеграла Ньютона – Лейбница; вычислять интеграл с помощью метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле; вычислять определенный интеграл с помощью формулы интегрирования по частям; определять сходимость несобственного интеграла 2-04- Приложен знать: геометрический смысл определенного интеграла; знать формулы 04 ия объема тел вращения вокруг осей координат и длины дуги кривой определен уметь: выражать площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывными ного кривыми, с помощью определенного интеграла; выражать с помощью интеграла определенного интеграла и вычислять объемы тел, образованных вращением вокруг осей координат плоской фигуры; вычислять длину дуги кривой 5. Элементы теории рядов 1-05- Числовые знать: определение общего члена числовой последовательности, 01 последова определение и свойства бесконечно малых последовательностей тельности уметь: вычислять пределы числовых последовательностей при n ; находить члены числовой последовательности с помощью формулы общего члена; применять свойства бесконечно малых последовательностей для вычисления пределов; находить общий член числовой последовательности 1-05- Сходимос знать: определение суммы ряда; определение бесконечно убывающей 02 ть геометрической прогрессии; сходящиеся и расходящиеся гармонические числовых ряды, признаки сходимости Коши и Даламбера, необходимый признак рядов сходимости ряда, теорему Лейбница уметь: вычислять n-ую частичную сумму ряда; вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии; применять основные признаки сходимости рядов с произвольными членами 1-05- Область знать: определение области сходимости степенного ряда; формулы для 03 сходимост вычисления радиуса сходимости степенного ряда и уметь: преобразовывать степенные ряды и вычислять их радиусы степенног сходимости; находить область сходимости степенного ряда о ряда 1-05- Ряд знать: определение ряда Маклорена; структуру ряда Маклорена и 04 Тейлора выражения для рядов часто используемых функций; определение (Маклоре коэффициентов ряда Тейлора на) уметь: получать разложение функции в ряд Маклорена; находить ряды Маклорена функций на основе известных рядов; находить коэффициенты ряда Тейлора 2-05- Числовые знать: определение общего члена числовой последовательности; 01 последова определение предела числовой последовательности; замечательные тельности пределы уметь: вычислять пределы числовых последовательностей при n ; находить члены числовой последовательности с помощью формулы 2-0402 Свойства определен ного интеграла 2-0502 2-0503 2-0504 общего члена; использовать замечательные пределы знать: определение суммы числового ряда; формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; сходящиеся и расходящиеся гармонические ряды, признаки сходимости Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда; признак сходимости Лейбница уметь: вычислять сумму сходящегося числового ряда; применять основные признаки сходимости рядов с произвольными членами Область знать: определение области сходимости степенного ряда; формулы для сходимост вычисления радиуса сходимости степенного ряда и уметь: преобразовывать степенные ряды и вычислять их радиусы степенног сходимости; исследовать сходимость ряда на границах интервала о ряда сходимости Ряд знать: формулу ряда Маклорена функции; определение коэффициентов Тейлора ряда Маклорена; формулу ряда Тейлора и методы определения его (Маклоре области сходимости; способы разложения функций в ряды Тейлора на) уметь: преобразовывать ряды и применять ряды Маклорена и Тейлора основных функций; находить коэффициенты ряда Тейлора и ряда Маклорена Сходимос ть числовых рядов Шкала оценивания «2» – 60% и менее «3» – 61-80% «4» – 81-90% «5» – 91-100% Типовое контрольное задание (контрольная работа, тест, кейс-задание и пр.) Структура ПИМ (сайт www.i-exam.ru) 1. Раздел: Элементы теории пределов 1.1. Область определения функции 1.2. Предел функции 1.3. Непрерывность функции, точки разрыва 1.4. Асимптоты графика функции 2. Раздел: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2.1. Производные первого порядка 2.2. Производные высших порядков 2.3. Приложения дифференциального исчисления ФОП 2.4. Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях 3. Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 3.1. Частные производные первого порядка 3.2. Частные производные высших порядков 3.3. Полный дифференциал 3.4. Производная по направлению и градиент 4. Раздел: Интегральное исчисление 4.1. Основные методы интегрирования 4.2. Свойства определенного интеграла 4.3. Методы вычисления определенного интеграла 4.4. Приложения определенного интеграла 5. Раздел: Элементы теории рядов 5.1. Числовые последовательности 5.2. Сходимость числовых рядов 5.3. Область сходимости степенного ряда 5.4. Ряд Тейлора (Маклорена) Примеры тестовых заданий по разделам (темам) (сайт www.i-exam.ru): 1. Раздел: Элементы теории пределов 1.1. Область определения функции Область определения функции Решение: Данная функция определена, если имеет вид подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Тогда Следовательно, получаем, что 2. Раздел: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2.2. Производные высших порядков Производная второго порядка функции Решение: Вычислим равна … производную первого порядка: Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть 3. Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 3.1. Частные производные первого порядка Значение частной производной функции Решение: При вычислении переменной y переменную x рассматриваем в точке равно … частной производной по как постоянную величину. Тогда Следовательно, 4. Раздел: Интегральное исчисление 4.4. Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке, равна … Решение: Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где c=0, d=3. Тогда 5. Раздел: Элементы теории рядов 5.1. Числовые последовательности Предел числовой последовательности Решение: равен … 6. Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 1. При доходе потребителя, равном M = 4 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 50 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу зависимостью … Решение: равна Проинтегрируем уравнения Тогда . Функция по t обе спроса по части Так доходу выражается дифференциального как то С=58. Таким образом, Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 2 Объем спроса при M = 9 равен … Решение: Вычислим Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 3 Наибольшее значение объема потребления не превзойдет величины … Решение:Функция является возрастающей и то есть существует горизонтальная асимптота Х=58 Следовательно, наибольшее значение объема потребления не превзойдет величин . Вариант №0 контрольной работы №1 по теме «Пределы». 3n 2 5 (2 балла) lim 2 n 2 n 4 2. Найти пределы последовательностей (по 1 баллу): 1. Найти предел и доказать его по определению: 3n 1 1 2 3 ... n n 2). lim lim n2 2 n 3n 5 n 3. Найти пределы функций (по 1 баллу): n2 1). x x x 1 3 2 x 1 x 2 x 1 x 1 4 1). 3 2 lim 2). x lim x0 x 1 2x 1 3). 7n 1 13 lim 4n 12 n n 3 7 sin 3n x 1 1 3 ln( x 1) sin 3). lim x 0 Вариант № 0 контрольной работы № 2 по теме «Производные и интегралы» 1. (3 балла) 3. (2 балла) Вычислите пределы, Вычислите производные функций: пользуясь правилом Лопиталя: 2 tgx а). f(x) = ln x 1 x 1 1 3 б) lim (( 2arctgx) ln x ) а) lim 1 x 0 x x б). f(x) = arccos x 1 4. Вычислите интегралы: (3 балла) 1 ln 3 x в). f(x) = sin x ln dx a) x 2 x 2. (2 балла) Исследуйте функцию на x 2 2 x 3 dx непрерывность (укажите промежутки б) 2 непрерывности, найдите точки разрыва, укажите x x x2 4x 3 их вид, сделайте чертёж). х0=0, х0=1. ln x x2 , x 0 dx в) x f ( x) 1, x 0 tgx 1, x 0 г) cos 3x cos 5 xdx Вариант № 0 контрольной работы №3 по теме «Функции нескольких переменных» x2 y 2 № 1. Найдите и постройте область определения функции: z ( x; y) ln 1 (1 балл). 4 9 № 2. Найдите частные производные второго порядка и покажите равенство смешанных x y производных: z ( x; y ) arctg (2 балла). 1 xy x № 3. Найдите производную сложной функции: z ( x; y ) arcsin , y( x) x 2 1 (2 б.) y 2 2 № 4. Найдите d z , d z2 , если функция задана неявно e z xyz 0 (2 балла) dxdy dx №5. (3 балла) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции z sin x sin y sin( x y ) в замкнутой области, ограниченной D : 0 x ; 0 y . 2 2 Вариант №0 контрольной работы № 4 «Кратные интегралы» Вычислите интегралы: №1, №2 – по 1 баллу, №3 – 6 – по 2 балла. 1. (6 x 2 y 2 D 25 4 4 x y )dxdy 3 D : x 1; y x ; y x 2 . 3. 2. y 2 cos xydxdy D dxdy ( x y 2 )2 2 4. y 2 z cos V xyz dxdydz 9 D : x y 4 x; V : x 0; x 9; y 1; 2 D D : x 0; y ; y 2 x. 2 x 2 y 2 8 x; y x; y 2 x. y 0; z 0; z 2 6. ydxdydz 5. 3 y 2 dxdydz V V V : y 2 x; y 0; x 2; V : 4 x 2 y 2 z 2 16; z 0; z xy y 3 x; y 0; z 0. Вариант №0 контрольной работы № 5 «Числовые ряды» 1 1 1 ... (3 балла) 1. Найдите сумму ряда 1 4 4 7 7 10 2. Исследуйте ряды на сходимость (по 1 баллу): 5n (n 1)! 2) 2n ! n 1 1) n 1 3) n 1 2 n 3 3n sin 2n 4) n3 n 1 1 n 1 n (1) (n 1) , n (n 1) n 1 3. Исследуйте ряд на абсолютную сходимость: n 2 n 1 n 2 n 1 5) n [bn n 1000n 1 n 1 1 ] (2 балла) n Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу «Математический анализ», направление подготовки 080500.62 «Бизнес-информатика» Вопросы к зачёту (экзамену) по курсу математического анализа, 1 семестр 1 часть «Функции. Пределы функций» 1. Аксиомы действительных чисел. Выполнение аксиом действительных чисел для бесконечных десятичных дробей. 2. Ограниченное множество. Граница множества. Грань множества. Существование граней у ограниченного множества. 3. Принципы Архимеда и Кантора. 4. Метод математической индукции. 5. Числовая последовательность (определение последовательности, способы задания). Монотонные последовательности (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая, ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная, неограниченная сверху, неограниченная снизу последовательность). 6. Бесконечно малая последовательность. Признак сходимости последовательности, сформулированный с помощью бесконечно малой последовательности, ограниченность бесконечно малой последовательности. 7. Бесконечно малая последовательность. Свойства бесконечно малых последовательностей (сумма бесконечно малых последовательностей, произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей) 8. Определение предела последовательности. Геометрический смысл предела последовательности. Свойства пределов последовательностей (единственность предела последовательности, ограниченность сходящейся последовательности). 9. Определение предела последовательности. Свойства пределов последовательностей (предел суммы последовательностей, предел произведения двух последовательностей). 10. Определение предела последовательности. Свойства пределов последовательностей (предел отношения двух последовательностей). Предельный переход в неравенствах ( lim an a и n аn>с no n n0 a с , n теорема о двух «милиционерах») 12. Бесконечно большие последовательности (определение + ∞,– ∞, ∞, определение бесконечно большой последовательности, теорема о существовании предела монотонной последовательности, теорема Кантора о вложенных отрезках). 13. Бесконечно большие последовательности (определение + ∞,– ∞, ∞, определение бесконечно большой последовательности). 14. Теорема Кантора о вложенных отрезках. 15. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях. 16. Число е и постоянная Эйлера. 17. Подпоследовательность (теорема Больцано-Вейерштрасса о возможности выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности). 18. Фундаментальная последовательность (определение, теорема - критерий Коши о сходимости последовательности). 19. Определение числовой функции, способы задания. Композиция отображений. Монотонные функции. 20. Определение числовой функции, способы задания. Терминология, применяемая для описания свойств функции. 21. База. Предел функции по базе. Свойства пределов функции (теорема о единственности предела). 22. База. Предел функции по базе. Свойства пределов функции (финальная ограниченность, теорема о пределе суммы). 23. Бесконечно малые функции (определение, сумма бесконечно малых функций, произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции). 24. Бесконечно малые функции (предел произведения функций, предел частного двух функций). 25. Предельный переход в неравенствах функций (f(x)>K предел f(x) K, теорема о двух ”милиционерах”). 26. Критерий Коши сходимости функции по базе. 27. Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. 28. Теоремы о пределе сложной функции (теоремы 1-3). 29. Теоремы о пределе сложной функции (теорема 4). 30. Порядок бесконечно малой функции. Эквивалентные бесконечно малые функции. 11. 2 часть «Непрерывность функции в точке. Дифференцирование функций одной переменной. Неопределённый интеграл». 1. Непрерывные функции (определения: на языке пределов, по Коши, по Гейне, непрерывность функции слева и справа). Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. 2. Свойства непрерывных функций (непрерывность линейной комбинации двух непрерывных функций, произведения, частного, локальная знакоопределенность, локальная ограниченность, непрерывность сложной функции). 3. Непрерывность элементарных функций. Доказать по определению, что f(x) = sinx – непрерывна. 4. Первый замечательный предел. Примеры 5. Второй замечательный предел. Следствия из второго замечательного предела. Примеры. 6. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва, теорема о точках разрыва монотонной функции) 7. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва, критерий непрерывности монотонной функции) 8. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва, существование и непрерывность обратной функции) 9. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке (теоремы Больцано – Коши (об обращении непрерывной функции в ноль, о промежуточном значении непрерывной функции). 10. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке (теоремы Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции, о достижении граней)) 11. Равномерная непрерывность функции (определение, теорема Гейне-Кантора). 12. Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический смысл и механический смысл производной. 13. Правила дифференцирования (вывод формул). 14. Дифференцирование сложной функции (определение, вывод формулы). 15. Производные и дифференциалы высших порядков. 16. Основные теоремы дифференциального исчисления. Лемма Дарбу, Теорема Ферма. Геометрический смысл. 17. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля. Геометрический смысл. 18. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Коши и Лагранжа. Геометрический смысл. 19. Производная функции, заданной параметрически (определение, вывод формулы). 20. Производная функции, заданной неявно (определение, вывод формулы). 21. Производная показательно – степенной функции (вывод формулы). 22. Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя. 23. Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя. 24. Раскрытие неопределенностей вида 0 , , 1 , 0 , 00 по правилу Лопиталя. 25. Локальная формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. 26. Исследование функций с помощью производных. Асимптоты. 27. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Возрастание и убывание функции в точке. 28. Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Точки перегиба. 29. Интерполирование. 30. Точная первообразная. Интегрируемые функции. Свойства неопределенного интеграла. Вопросы к зачёту (экзамену) по курсу математического анализа, 2 семестр 3 часть «Метрические пространства. Функции нескольких переменных» 1. Классификация пространств. Основные определения и свойства. (топологические, метрические, хаусдорфовы, полные пространства) 2. Классификация пространств. Основные определения и свойства. (линейные, нормированные, банаховы, гильбертовы, евклидовы пространства) 3. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств. 4. Классификация точек метрического пространства по отношению к произвольному множеству. Теорема о дополнении к открытому и замкнутому множеству. 5. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (ограниченность, существование предельной точки последовательности). 6. Компактность куба в n–мерном евклидовом пространстве. 7. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (замкнутость). Теорема о полноте n–мерного евклидова пространства. 8. Критерий компактности множества в n-мерном пространстве. 9. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. 10. Теорема Банаха о единственности неподвижной точки сжимающего отображения. 11. Непрерывное отображение метрических пространств. Связное множество. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на связном множестве. 12. Теорема об ограниченности и достижении точной верхней и нижней грани функциями, непрерывными на компакте. 13. Функция нескольких переменных. Основные определения (способы задания, график, линии и поверхности уровня). Примеры. 14. Предел функции нескольких переменных (по Коши и по Гейне). Примеры. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного. 15. Непрерывность функции нескольких переменных (по Коши, по Гейне, на «языке пределов», на «языке приращений»). Точки разрыва. Примеры. Теорема о действиях с непрерывными функциями. 16. Свойства функций нескольких переменных, связанные с их непрерывностью. 17. Частные производные и необходимое условие дифференцируемости функции. Примеры. 18. Частные производные и достаточное условие дифференцируемости. Примеры. 19. Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о равенстве смешанных производных. Следствия из них. 20. Полный и частный дифференциалы функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Примеры. 21. Дифференциалы высших порядков. Вывод формул для дифференциалов 2-го и 3-го порядков для функции двух переменных. Примеры. 22. Производная по направлению (вывод формулы). Градиент. Свойства производной по направлению. Примеры. 23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры. 24. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Формула полной производной. Примеры. 25. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования. 26. Теорема об условиях существования однозначной и непрерывной неявной функции. Теорема о производной функции, заданной неявно. Примеры. 27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума функций многих переменных. 28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Достаточное условие экстремума. 29. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений. Примеры. 30. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. 4 часть «Интегралы. Ряды» 1. Определение интеграла Римана. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции. 2. Интеграл Римана. Теорема о единственности определённого интеграла. 3. Интеграл Римана. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. 4. Критерий интегрируемости функции по Риману. Классы функций, интегрируемых по Риману. 5. Свойства определенного интеграла (доказать аддитивность и теорему о среднем). 6. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Теорема о производной от интеграла с переменным верхним (нижним) пределом. 7. Формула Ньютона-Лейбница (теорема). 8. Методы вычисления определённого интеграла. Формула замены переменной Формула интегрирования по частям в определенном интеграл. Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах. 9. Несобственные интегралы первого и второго рода. 10. Приложения определённого интеграла. Примеры. 11. Определение двойного интеграла. Теорема о достаточном условии интегрируемости функции нескольких переменных (о существовании двойного интеграла). 12. Основные свойства двойного интеграла (доказать линейность и аддитивность). 13. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. 14. Основные свойства повторного интеграла (доказать аддитивность). 15. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. 16. Приложения двойного интеграла. Примеры. 17. Определение тройного интеграла. Теорема о достаточном условии интегрируемости функции нескольких переменных (о существовании тройного интеграла). 18. Основные свойства тройного интеграла. 19. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному. 20. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. 21. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в сферических координатах. 22. Приложения тройного интеграла. Примеры. 23. Числовой ряд. Частичная сумма ряда и сумма ряда. Остаток ряда как сумма некоторого ряда. Примеры. Необходимый признак сходимости ряда. 24. Гармонический ряд и ряд Дирихле. Примеры. Теорема о сходимости ряда и его остатка. 25. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сравнения. 26. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сходимости числовых рядов: признак Даламбера, радикальный признак Коши. Примеры. 27. Абсолютно сходящийся ряд. Условно сходящийся ряд. Признаки сходимости числовых рядов: признак Лейбница. Примеры. 28. Функциональный ряд. Точка и область сходимости ряда. Частичная сумма и сумма функционального ряда. 29. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости рядов на множестве. 30. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда. Список основных определений по темам курса. 1 часть «Функции. Пределы функций» 1. Множество ограничено снизу (сверху). 2. Множество ограничено (по модулю). 3. Неограниченное множество. 4. Верхняя (нижняя) граница множества. 5. Верхняя (нижняя) грань множества. 6. Функция. 7. Способы задания функций. 8. Функция ограничена снизу (сверху). 9. Функция ограничена (по модулю). 10. Функция строго возрастает (не убывает). 11. Функция строго убывает (не возрастает). 12. Функция периодическая, основной период. 13. Функция чётная, симметричное множество. 14. Функция нечётная, симметричное множество. 15. Последовательность. 16. Последовательность ограничена снизу (сверху). 17. Последовательность ограничена (по модулю). 18. Последовательность бесконечно большая. 19. Последовательность бесконечно малая. 20. Предел последовательности на языке «бесконечно малых». 21. Предел последовательности на языке ε. 22. Что такое число e? Чему равно число е? 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. Последовательность фундаментальная. Предел функции в точке x0 на языке ε - (по Коши). Предел функции в точке x0 на языке последовательностей (по Гейне). Предел функции по базе В. База множеств. Финально ограниченная функция. Эквивалентные бесконечно малые функции (определение). Эквивалентные бесконечно малые функции (примеры). Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Модуль действительного числа. Геометрический смысл предела последовательности. Геометрический смысл предела функции. 2 часть «Непрерывность функции в точке. Дифференцирование функций одной переменной. Неопределённый интеграл» 36. Функция непрерывна на языке ε - (по Коши). 37. Функция непрерывна на языке последовательностей (по Гейне). 38. Функция непрерывна на языке пределов. 39. Точка разрыва 1 рода. 40. Точка разрыва 2 рода. 41. Функция непрерывна на языке приращений. 42. Функция равномерно непрерывная. 43. Производная функции. 44. Дифференциал функции. 45. Геометрический и механический смысл производной. 46. Касательная к кривой. 47. Локальный максимум (минимум) функции. 48. Несобственный локальный максимум. 49. Несобственный локальный минимум. 50. Производная сложной функции. 51. Производная функции, заданной параметрически. 52. Геометрический смысл теоремы Ферма. 53. Геометрический смысл теоремы Ролля. 54. Геометрический смысл теоремы Коши. 55. Неопределённый интеграл. 3 часть «Метрические пространства. Функции нескольких переменных (ФНП)» 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Топология. Система подмножеств. Топологическое пространство. Примеры. Открытое множество. Замкнутое множество. Хаусдорфово пространство. Метрика. Метрическое пространство. Примеры. Последовательность Коши. Сходящаяся последовательность. Полное метрическое пространство. Банахово пространство. Линейное (векторное) пространство. Норма. Линейное нормированное пространство. Скалярное произведение в линейном пространстве. Гильбертово пространство. Евклидово пространство. Внутренняя точка множества. Внутренность множества. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Внешняя точка множества. Внешность множества. Граничная точка множества. Граница множества. Предельная точка множества. Изолированная точка множества. Покрытие множества. Компакт. Ограниченное множество в метрическом пространстве. Сжимающее отображение в метрическом пространстве. Связное множество в метрическом пространстве. Функция нескольких переменных. Линии уровня. Поверхности уровня. Предел ФНП по Коши. Предел ФНП по Гейне. Непрерывность ФНП по Коши. Непрерывность ФНП по Гейне. Непрерывность ФНП на «языке пределов». Непрерывность ФНП на «языке приращений». ФНП ограничена в области. ФНП равномерно непрерывна. Полное приращение ФНП. Частная производная ФНП. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. ФНП дифференцируема в точке. Полный дифференциал ФНП. Частный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Производная по направлению для ФНП. Градиент. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Точка локального максимума (минимума) ФНП. Точка экстремума ФНП. Критическая (стационарная) точка ФНП. Матрица Якоби. Якобиан. Точка условного максимума (минимума). Схема исследования ФНП на экстремум. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения ФНП в замкнутой области. 4 часть «Интегралы. Ряды» Интегральная сумма. Определённый интеграл (интеграл Римана). Функция, интегрируемая по Риману. Криволинейная трапеция, её площадь. Верхняя (нижняя) сумма Дарбу. Геометрический смысл интеграла Римана. Геометрический смысл сумм Дарбу. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственный интеграл 1 рода, 2 рода. Формула для вычисления среднего значения функции через определённый интеграл. Формула для вычисления площади плоской фигуры через определённый интеграл. Формула для вычисления объёма тела вращения через определённый интеграл. Формула для вычисления массы плоской фигуры через двойной интеграл. Двойной интеграл Римана. Геометрический смысл двойного интеграла. Простая (правильная) область на плоскости, в пространстве. Формула для вычисления среднего значения функции через двойной интеграл. Формула для вычисления площади плоской фигуры через двойной интеграл. Формула для вычисления объёма тела через двойной интеграл. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. Формулы перехода к полярной системе координат. Якобиан. Тройной интеграл Римана. Формула для вычисления объёма тела через тройной интеграл. Формула для вычисления массы тела через тройной интеграл. Формулы перехода к цилиндрической системе координат. Якобиан. Формулы перехода к сферической системе координат. Якобиан. Числовой ряд. Общий член ряда. Примеры. Частичная сумма ряда. Сумма ряда. Ряд сходящийся (расходящийся). Остаток ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Критерий Коши для сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Примеры. Мажорирующий ряд (мажоранта). Знакочередующийся ряд. Знакопеременный ряд. Абсолютно сходящийся ряд. Условно сходящийся ряд. Признак сравнения. Предельный признак сравнения. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена. Признак Д'аламбера. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Функциональный ряд. Точка и область сходимости. Примеры. Примечание: если в определении или вопросе Вам попадается слово «интеграл» или фамилия «Риман», то можете ожидать дополнительный вопрос по статье Римана «О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда».
