ГЛАВА 2 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНЫХ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
УДК 517.2
Старовойтова
Марина Александровна
ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ
ОФОРМЛЕНИИ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ ПО
МАТЕМАТИКЕ
Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»
Магистранта кафедры нелинейного
анализа и аналитической экономики
Специальность: математика
Научные руководители:
член-корреспондент НАН Беларуси, доктор
физико-математических наук, профессор
Гороховик В.В.,
старший преподаватель Высоцкий М.М.
Минск 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ....................................................................4
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................5
ГЛАВА 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ....................................................8
1.1.
Вспомогательные сведения.............................................................................................................. 8
1.2. Характеристика классов полунепрерывных и непрерывных положительно однородных
функций с помощью экзостеров ................................................................................................................. 9
1.3.
Постановка задачи .......................................................................................................................... 10
ГЛАВА 2 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО
ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ ...............................................................10
ГЛАВА 3 ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНЫХ ФУНКИЦЙ С ПОМОЩЬЮ
ЭКЗОСТЕРОВ .........................................................................................13
3.1. Характеристика класса липшицевых положительно однородных функций с помощью
экзостеров ................................................................................................................................................... 13
3.2.
Характеристика класса разностно-сублинейных функций с помощью экзостеров ................. 14
3.3.
Характеристика класса кусочно-линейных функций с помощью экзостеров .......................... 15
ГЛАВА 4 ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ....................................15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................17
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .....................................................................18
ПРИЛОЖЕНИЕ А...................................................................................19
Предметный указатель.............................................................................................................................. 19
ПРИЛОЖЕНИЕ Б ...................................................................................20
Интернет ресурсы в предметной области ............................................................................................... 20
ПРИЛОЖЕНИЕ В ...................................................................................22
Действующий личный сайт ...................................................................................................................... 22
ПРИЛОЖЕНИЕ Г ...................................................................................23
Граф научных интересов .......................................................................................................................... 23
ПРИЛОЖЕНИЕ Д ...................................................................................24
Тестовые вопросы по ОИТ ....................................................................................................................... 24
ПРИЛОЖЕНИЕ Е ...................................................................................25
Презентация магистерской диссертации ................................................................................................ 25
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
 𝒫(ℝ𝑛 ) – вещественное векторное пространство положительно
однородных функций, определенных на ℝ𝑛 ;
 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ) – вещественное векторное пространство непрерывных
положительно однородных функций, определенных на ℝ𝑛 ;
 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ) – вещественное векторное пространство положительно
однородных функций, удовлетворяющих условию Липшица на ℝ𝑛 ;
 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) – вещественное векторное пространство разностно-сублинейных
функций, определенных на ℝ𝑛 ;
 𝒫𝑐𝑜𝑛𝑣 (ℝ𝑛 ) – замкнутый выпуклый конус сублинейных функций,
определенных на ℝ𝑛 ;
 𝜕𝑝 – субдифференциал функции 𝑝;
 ‖⋅‖С – норма в пространстве 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 );
 ‖⋅‖𝐿 – норма в пространстве 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 );
 ‖⋅‖𝐷 – норма в пространстве 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ).
ВВЕДЕНИЕ
Первый вопрос, который встает перед магистрантом-математиком,
преступающим к оформлению магистерской диссертации, - это вопрос о
выборе средств оформления научной работы. В последнее время все чаще
отдается
предпочтение
следующим
прикладным
средствам:
система
компьютерной верстки LATEX, символьный пакет MATHEMATICA и
векторный графический редактор INKSCAPE. Обсудим преимущества и
актуальность такого выбора.
Выбор системы LATEX в качестве средства верстки текста работы
обусловлен рядом преимуществ этого программного средства:

отличное качество научного текста, получаемого на выходе, особенно если
речь идет о таких естественнонаучных дисциплинах как математика,
физика, химия;

при грамотном написании преамбулы документа, что не займет много
времени, рубрикация документа, нумерация формул, рисунков, составление
списка
литературы
и
выполнение
прочих
обязательных
действий
происходят автоматически, при этом система делает все грамотно, и
никаких ручных корректировок производить не приходится;

свойства текста “зашиты” в преамбулу документа, что исключает их
случайные изменения при верстке, таким образом, можно сосредоточиться
на написании документа, а не на оформлении;

возможность тотального контроля над внешним видом документа.
Также этот выбор во многом обусловлен общепринятым в последнее
время требованием представления текстов на публикацию в солидные научные
издания в виде документа, подготовленного в системе LATEX. Исходя из моего
опыта участия в научных конференциях и опыта моих коллег могу утверждать,
что подготовка презентаций докладов для выступления на конференциях по
естественнонаучной
тематике
как
правило
происходит
с
помощью
специального пакета BEAMER для создания презентаций в системе LATEX,
что обусловлено рядом преимуществ данного пакета, в частности это
преимущества любого документа, созданного с помощью системы LATEX,
которые уже перечислены выше.
Символьный пакет MATHEMATICA как правило используется в качестве
средства построения графиков функций. Зачастую бывает очень трудно
представить себе, как будет выглядеть график функции, а тем более нарисовать
его, имея аналитическое представление, особенно если речь идет о функциях
многих переменных. Эту проблему легко решает пакет MATHEMATICA,
предлагая целый ряд встроенных функций для решения подобных проблем.
Векторный графический редактор INKSCAPE позволяет выполнять
технические иллюстрации различного уровня сложности. Его бесспорным
преимуществом является поддержка различных форматов документов. В
частности, он поддерживает формат PDF, который удобен для вставки рисунка
в код текста документа LATEX.
В данной работе будут приведены конкретные примеры использования
перечисленных
прикладных
средств
при
оформлении
магистерской
диссертации. Теперь остановимся подробнее на содержании диссертации.
Основными объектами исследования в данной научной работе являются
различные классы положительно однородных функций, определенных на
конечномерных векторных пространствах, которые мы будем отождествлять с
ℝ𝑛 .
В
последние
десятилетия
наблюдается
повышение
интереса
к
положительно однородным функциям. В значительной мере это обусловлено
развитием негладкого анализа, т.е. анализа функций и отображений, которые не
являются
дифференцируемыми
в
классическом
смысле.
В
теории
дифференцирования негладких функций именно положительно однородные
функции играют роль локальных аппроксимаций. Объясняется это тем, что
различные
производные
однородными функциями.
по
направлениям
являются
положительно
Особое место среди положительно однородных функций занимают
сублинейные и суперлинейные функции (т. е. положительно однородные
выпуклые и положительно однородные вогнутые функции), которые, как это
следует из двойственности Минковского, являются верхними и нижними
огибающими компактных семейств линейных функций и, следовательно,
представимы, соответственно, в виде
𝑝(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥⟨𝑎, 𝑥⟩ и 𝑝(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛⟨𝑏, 𝑥⟩,
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
где A и B – выпуклые компактные подмножества из ℝ𝑛 . Именно сублинейные
(суперлинейные) функции используются в качестве локальных аппроксимаций
при построении существующих теорий субдифференцирования (обобщенного
дифференцирования) различных классов функций, в частности, в теории
субдифференцирования выпуклых функции (Рокафеллар, 1973), в теории
субдифференциалов Кларка (Кларк, 1988) для липшицевых и более широких
классов функций, в теории нижних и верхних субдифференциалов Пшеничного
(Пшеничный, 1980) и др. Демьяновым В.Ф. и Рубиновым А.М. (Демьянов &
Рубинов, 1990) было замечено, что полунепрерывные сверху (снизу)
положительно однородные функции являются, в свою очередь, нижними
(верхними) огибающими семейств сублинейных (суперлинейных) функций.
Более того, существование такого семейства сублинейных (суперлинейных)
функций, названного Демьяновым В.Ф. (Demyanov, 1999) верхним (нижним)
экзостером, является характеристическим свойством класса полунепрерывных
сверху (снизу) положительно однородных функций.
В данной работе рассматривается векторное пространство положительно
однородных функций 𝒫(ℝ𝑛 ), определенных на ℝ𝑛 , и такие его векторные
подпространства как подпространство непрерывных положительно однородных
функций 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ), подпространство липшицевых положительно однородных
функций 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ), подпространство разностно-сублинейных функций 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ),
подпространство кусочно-линейных функций 𝒫𝐿(ℝ𝑛 ). Ниже приведены
доказанные в ходе научной работы критерии принадлежности положительно
однородных функций каждому из подпространств следующей цепочки
𝒫𝐿(ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ),
при
этом
формулируются
эти
критерии в терминах характеристических свойств нижних и верхних
экзостеров, соответствующих функциям этих подпространств. Установленные
критерии являются новыми и являются углублением и конкретизацией
результата, полученного Демьяновым В.Ф. и Рубиновом А. М. (Демьянов &
Рубинов,
1990)
для
полунепрерывных
сверху
(снизу)
положительно
однородных функций.
ГЛАВА 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1.
Вспомогательные сведения
Пусть 𝑝: ℝ𝑛 → ℝ – произвольная положительно однородная функция.
Определение 1. Сублинейную (суперлинейную) функцию 𝑞: ℝ𝑛 → ℝ будем
называть, следуя [9,12], верхней выпуклой (нижней вогнутой) аппроксимацией
положительно
однородной
функции
p,
если
𝑝(𝑥) ≤ 𝑞(𝑥) для любых 𝑥 ∈ ℝ𝑛 .
Определение
2.
Семейство
верхних
выпуклых
(нижних
вогнутых)
аппроксимаций {𝑞𝜉 , 𝜉 ∈ 𝛯} положительно однородной функции 𝑝: ℝ𝑛 → ℝ
называется исчерпывающим (Демьянов & Рубинов, 1990), если
𝑝(𝑥) = 𝑖𝑛𝑓 𝑞𝜉 (𝑥) (𝑝(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝 𝑞𝜉 (𝑥)) для всех 𝑥 ∈ ℝ𝑛 .
𝜉∈𝛯
𝜉∈𝛯
Исчерпывающие семейства верхних выпуклых (нижних вогнутых)
аппроксимаций функции 𝑝: ℝ𝑛 → ℝ определены неоднозначно.
Определение 3. Произвольное исчерпывающее семейство верхних выпуклых
(нижний вогнутых) аппроксимаций положительно однородной функции
𝑝: ℝ𝑛 → ℝ будем называть верхним (нижним) экзостером (от англ. exhaust исчерпывать) функции p.
Обозначим совокупность всех сублинейных функций, определенных на
пространстве ℝ𝑛 символом 𝒫𝑐𝑜𝑛𝑣 (ℝ𝑛 ). Напомним (Гороховик В. В., Выпуклые
и негладкие задачи векторной оптимизации, 1990), что каждой сублинейной
функции, однозначно соответствует в ℝ𝑛 выпуклое компактное множество
𝜕𝑝 = {𝑣 ∈ ℝ𝑛 |⟨𝑣, 𝑥⟩ ≤ 𝑝(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ𝑛 },
называемое субдифференциалом функции p, причем
𝑝(𝑥) = max⟨𝑣, 𝑥⟩, 𝑥 ∈ ℝ𝑛 .
𝑣∈𝜕𝑝
Термин
верхний
(нижний)
“экзостер”
введен
В.Ф.
Демьяновым
(Demyanov, 1999), под которым он понимает семейство субдифференциалов,
соответствующих исчерпывающему семейству верхних выпуклых (нижних
вогнутых) аппроксимаций.
Таким образом, экзостеры (нижние, верхние) в смысле Демьянова
являются по существу двойственными по Минковскому (Гороховик В. В.,
Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации, 1990) объектами по
отношению к экзостерам, введенным в определении 3.
1.2.
Характеристика классов полунепрерывных и непрерывных
положительно однородных функций с помощью экзостеров
Демьянов А. Ф. и Рубинов А. М. (Demyanov, 1999) установили, что для
любой полунепрерывной сверху (соответственно, полунепрерывной снизу)
положительно однородной функции существует верхний (соответственно,
нижний) экзостер. Удерзо А. распространил это утверждение на положительно
однородные функции, определенные на бесконечномерных равномерно
выпуклых банаховых пространствах, и отметил, что верно и обратное
утверждение: из существования для положительно однородной функции
верхнего (соответственно, нижнего) экзостера следует ее полунепрерывность
сверху (соответственно, снизу).
Теорема 1. Положительно однородная функция 𝑝: ℝ𝑛 → ℝ полунепрерывна
сверху (соответственно, снизу) на всем пространстве ℝ𝑛 в том и только том
случае, когда для нее существует верхний (соответственно, нижний) экзостер.
Из данной теоремы тривиально следует, что положительно однородная
функция непрерывна на всем пространстве ℝ𝑛 тогда и только тогда, когда для
нее существуют оба, верхний и нижний, экзостреры.
1.3.
Постановка задачи
Отметим, что Демьяновым А. Ф. и Рубиновым А. М. был выделен и
изучен такой подкласс пространства положительно однородных функций как
полунепрерывные положительно однородные функции, получена также
характеристика данного класса в терминах экзостеров. В связи с этим
поставлена задача предложить некоторую классификацию положительно
однородных функций и установить критерии принадлежности положительно
однородных
функций
каждому
из
выделенных
классов,
причем
сформулировать эти критерии в терминах характерестических свойств нижних
и верхних экзостеров, как это было сделано Демьяновым А. Ф. и Рубиновым А.
М.
ГЛАВА 2
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНЫХ
ФУНКЦИЙ
Для начала напомню определение положительно однородной функции.
Определение 4. Функция 𝑝: ℝ𝑛 → ℝ называется положительно однородной,
если она удовлетворяет условию
𝑝(𝜆𝑥) = 𝜆𝑝(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 , ∀𝜆 > 0.
Приведем несколько примеров положительно однородных функций.
Пример 1. 𝑝(𝑥1 , 𝑥2 ) = |𝑥1 | + |𝑥2 |.
С помощью пакета MATHEMATICA мы можем нарисовать график
данной функции. Для этого необходимо использовать следующую функцию:
Plot3D[Abs[x1] + Abs[x2],{x1,-10,10},{x2,-10,10},Axes -> False, Boxed->False].
Полученный график изображен на рисунке 1.
Рис. 1
Пример 2. 𝑝(𝑥1 , 𝑥2 ) = −√𝑥1 2 + 𝑥2 2 .
Используем следующую функцию:
Plot3D[-Sqrt[x1^2+x2^2],{x1,-10,10},{x2,-10,10},Axes -> False, Boxed->False].
Полученный график изображен на рисунке 2.
Рис. 2
Пример 3. 𝑝(𝑥1 , 𝑥2 ) = √|𝑥1 𝑥2 |.
Используем следующую функцию
Plot3D[Sqrt[Abs[x1*x2]],{x1,-10,10},{x2,-10,10},Axes -> False, Boxed->False].
Полученный график изображен на рисунке 3.
Рис. 3
В ходе научной работы был проведен анализ положительно однородных
функций и как результат исследований получена классификация положительно
однородных функций, представленная в таблице 1.
Таблица 1. Классификация положительно однородных функций
Отметим, что данная таблица создана с помощью векторного
графического редактора INSCAPE.
Так из пространства положительно однородных функций 𝒫(ℝ𝑛 )
выделены такие его подпространства, как подпространство непрерывных
положительно однородных функций 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ), подпространство липшицевых
положительно однородных функций 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ), подпространство разностносублинейных функций 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) и подпространство кусочно-линейных функций
𝒫𝐿(ℝ𝑛 ) и подпространство линейных функций. Выяснилось, что данные
подпространства связаны следующей цепочкой включений
𝒫𝐿(ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ).
Кроме того, на подпространствах 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ), 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ) и 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) введены,
соответственно,
нормы
‖⋅‖С ,
‖⋅‖𝐿 ,
‖⋅‖𝐷 ,
относительно
которых
эти
подпространства становятся банаховыми пространствами, при этом банахово
пространство (𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ), ‖⋅‖𝐿 ) вложено в банахово пространство (𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ), ‖⋅‖𝐶 ), а
банахово пространство (𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ), ‖⋅‖𝐷 ) вложено как в (𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ), ‖⋅‖𝐿 ), так и в
(𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ), ‖⋅‖𝐶 ).
Для решения второй поставленной задачи, то есть для установления
критериев принадлежности положительно однородных функций каждому из
выделенных классов в терминах экзостеров, необходимо ознакомиться с рядом
вспомогательных определений.
Определение 5. Говорят, что функция 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ удовлетворяет условию
Липшица на подмножестве 𝑄 пространства ℝ𝑛 , если существует константа 𝐿 >
0 такая, что
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ 𝐿|𝑥 − 𝑦| ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄.
Определение 6. Положительно однородную функцию 𝑝: ℝ𝑛 → ℝ называют
разностно-сублинейной, если ее можно представить как разность двух
сублинейных функций, т. е. существуют сублинейные функции 𝑝̅ , 𝑝̿ , такие, что
𝑝(𝑥) = 𝑝̅ (𝑥) − 𝑝̿ (𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 .
Определение 7. Функция 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ называется кусочно-линейной на ℝ𝑛 , если
с ней можно связать коническое многогранное разбиение 𝜎𝑝 ≔ {𝑄1 , 𝑄2 , … , 𝑄𝑘 }
пространства ℝ𝑛 , такое, что сужение 𝑓 на каждое множество 𝑄𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘,
совпадает с сужением на это множество некоторой линейной функции.
ГЛАВА 3
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНЫХ ФУНКИЦЙ С ПОМОЩЬЮ
ЭКЗОСТЕРОВ
3.1.
Характеристика класса липшицевых положительно однородных
функций с помощью экзостеров
Теорема
2.
Положительно
однородная
функция
p: ℝn → ℝ
является
липшицевой на ℝn тогда и только тогда, когда для p существует равномерно
ограниченный на единичной сфере верхний экзостер или, эквивалентно, тогда и
только тогда, когда для p существует равномерно ограниченный на S нижний
экзостер.
Утверждение 1. Пусть 𝑞𝜉 : ℝn → ℝ, 𝜉 ∈ Ξ – равномерно ограниченное
семейство сублинейных функций. Тогда семейство {𝑞𝜉 , 𝜉 ∈ Ξ} – равномерно
равностепенно непрерывно на ℝn .
В утверждения 1 теорему 2 можно переформулировать следующим образом.
Теорема
3.
Положительно
однородная
функция
p: ℝn → ℝ
является
липшицевой в том и только том случае, когда для p существует компактный (в
смысле нормы ‖𝑝‖𝐶 = max |𝑝(𝑥)|) верхний экзостер или, эквивалентно, тогда и
𝑥∈𝑆
только тогда, когда для p существует компактный (в смысле нормы ‖𝑝‖𝐶 =
max |𝑝(𝑥)|) нижний экзостер.
𝑥∈𝑆
3.2.
Характеристика класса разностно-сублинейных функций с помощью
экзостеров
Утверждение 2. Любое представление разностно-сублинейной функции
p: ℝn → ℝ в виде разности двух сублинейных функций 𝑝 = 𝑝̅ − 𝑝̿, где 𝑝̅, 𝑝̿ ∈
𝒫𝑐𝑜𝑛𝑣 (ℝ𝑛 ) порождает верхний экзостер функции 𝑝 вида
Φ = {𝑝̅(∙) − ⟨𝑣,∙⟩ ∈ 𝒫𝑐𝑜𝑛𝑣 (ℝ𝑛 )|𝑣 ∈ 𝜕𝑝̿}
и нижний экзостер функции 𝑝 вида
Ψ = {⟨𝑢,∙⟩ − 𝑝̿(∙) ∈ 𝒫𝑐𝑜𝑛𝑣 (ℝ𝑛 )|𝑣 ∈ 𝜕𝑝̅ }.
Здесь 𝜕𝑝̅ и 𝜕𝑝̿ – субдифференциалы сублинейных функций 𝑝̅ и 𝑝̿
соответственно.
Теорема 4. Если для положительно однородной фунции p: ℝn → ℝ существует
конечный верхний или конечный нижний экзостер, то функция p является
разностно-сублинейной.
Теорема 5. Положительно однородная функция p: ℝn → ℝ является разностносублинейной тогда и только тогда, когда p ограничена единичной сфере и для
нее существует верхняя выпуклая аппроксимация φ: ℝn → ℝ такая, что
семейство
Φ𝑝,𝜑 ≔ {𝑥 ⟶ 𝜑(𝑥) − ⟨𝑣, 𝑥⟩|𝑣 ∈ 𝑉𝑝,𝜑 },
где
𝑉𝑝,𝜑 = {𝑣 ∈ ℝn |𝑝(𝑥) ≤ 𝜑(𝑥) − ⟨𝑣, 𝑥⟩ ∀𝑥 ∈ ℝn },
является верхним экзостером функции 𝑝.
Теорема 6. Положительно однородная функция p: ℝn → ℝ является разностносублинейной тогда и только тогда, когда p ограничена (на единичной сфере) и
для нее
существует нижняя вогнутая аппроксимация ψ: ℝn → ℝ такая, что
семейство
Ψ𝑝,𝜑 ≔ {𝑥 ⟶ 𝜓(𝑥) − ⟨𝑢, 𝑥⟩|𝑢 ∈ 𝑈𝑝,𝜑 },
где
𝑈𝑝,𝜑 = {𝑢 ∈ ℝn |𝑝(𝑥) ≥ 𝜓(𝑥) − ⟨𝑢, 𝑥⟩ ∀𝑥 ∈ ℝn },
является нижним экзостером функции 𝑝.
3.3.
Характеристика класса кусочно-линейных функций с помощью
экзостеров
Теорема 7. Положительно однородная функция p: ℝn → ℝ является кусочнолинейной в том и только том случае, когда для функции
существуют
конечные верхний и нижний экзостеры.
ГЛАВА 4
ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Отметим, что в данной работе выполнены все поставленные задачи. При
оформлении результатов использовалась система компьютерной верстки
LATEX. Ниже приведен код преамбулы созданного в LATEX документа на
основании полученных результатов.
\documentclass[12pt, russian]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb,eucal}
\usepackage{ntheorem}
\usepackage{mathtext}
\usepackage{graphicx}
\voffset=-10mm \oddsidemargin=0mm \evensidemargin=0mm
\textheight=210mm \textwidth=170mm
А также несколько собственных функций, созданных для более удобного
и быстрого набора.
\theoremseparator{.}
\newtheorem{theorem}{\hskip 0.5 cm Теорема}%[section]
\newtheorem{definition}{\hskip 0.5 cm Определение}%[section]
\newtheorem{corollary}{\hskip 0.5 cm Следствие}%[section]
\newtheorem{lemma}{\hskip 0.5 cm Утверждение}%[section]
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{remark}{\hskip 0.5 cm Замечание}%[section]
\newtheorem{example}{\hskip 0.5 cm Пример}%[section]
\newcommand{\proof}{Доказательство}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
Для представления полученных результатов с помощью пакета BEAMER
системы
LATEX
была
создана
презентация,
которая
представлена
в
приложении Е. Ниже приведена преамбула полученного документа и код
нескольких первых страниц презентации.
\documentclass[fullscreen=true,unicode,bookmarks=false]{beamer}
\usetheme{Boadilla}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{tikz}
********************************************************************************
\begin{frame}[label=graphpart]{Положительно однородные функции}
\framesubtitle{}
\begin{mydefinition}
{\rm Функция $p:\RR^n\rightarrow{\RR}$ называется {\it положительно однородной}, если
она удовлетворяет условию}
\begin{equation}\label{eq1.2}
p(\lambda x)=\lambda p(x) \mbox { {\rm для всех} }x\in \RR^n \mbox{ и всех } \lambda >0.
\end{equation}
\end{mydefinition}
\begin{mysign}
$\mathcal{P}(\RR^n)$ --- cовокупность всех вещественнозначных положительно однородных
функций, определенных на $\RR^n$.
\end{mysign}
\begin{itemize}
\item $\mathcal{P}(\RR^n)$ --- вещественное векторное пространство
\end{itemize}
\end{frame}
********************************************************************
\begin{frame}[label=graphpart]{Классификация положительно однородных функций}
\framesubtitle{}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pic1(present).pdf}
\end{figure}
\end{frame}
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе выполнены все поставленные задачи. Во- первых,
проведена классификация положительно однородных функций, определенных
на ℝn , которая отражена в таблице 1. Из пространства положительно
однородных функций 𝒫(ℝ𝑛 ) выделены такие его подпространства, как
подпространство непрерывных положительно однородных функций 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ),
подпространство липшицевых положительно однородных функций 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ),
подпространство разностно-сублинейных функций 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) и подпространство
кусочно-линейных
функций
𝒫𝐿(ℝ𝑛 ),
связанные
следующей
цепочкой
включений
𝒫𝐿(ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐷𝐶 (ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐿 (ℝ𝑛 ) ⊂ 𝒫𝐶 (ℝ𝑛 ).
Во-вторых, результат Демьянова В.Ф. и Рубинова А.М. (Демьянов &
Рубинов, 1990) о том, что положительно однородная функция p: ℝn → ℝ
является полунепрерывной сверху (снизу) на пространстве ℝn тогда и только
тогда, когда для нее существует верхний (нижний) экзостер, распространен на
указанные
подпространства,
причем
соответствующий
результат
для
липшицевых положительно однородных функций содержится в теоремах 2 и 3,
для разностно-сублинейных функций – в теоремах 5 и 6, для кусочно-линейных
функций – в теореме 7. Данные теоремы являются новыми. Представленные в
них критерии принадлежности положительно однородных функций указанным
выше подпространствам выявляют характеристические свойства экзостеров,
соответствующих функциям этих подпространств.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bartels, S. G., & Pallaschke, D. (1994). Some remarks on the space of
differences of sublinear functions. Applicationes mathematicae , стр. 419-426.
2. Demyanov, V. F. (1999). Exhausters of a positively hoomogeneous function.
Optimization , стр. 13-29.
3. Gorokhovik, V. V., & Zorko, O. I. (1994). Piecewise affine functions and
polyhedral sets. Optimization , стр. 209-221.
4. Stein, J. D. (1968). Functions satisfying lipschitz conditions. Michigan Math. J.
, стр. 385-396.
5. Антоневич, А. Б., & Радыно, Я. В. (2003). Функциональный анализ и
интегральные уравнения. Минск: Издательский центр БГУ.
6. Гороховик, В. В. (1990). Выпуклые и негладкие задачи векторной
оптимизации. Минск: Наука и техника.
7. Гороховик, В. В. (2001). О звездности множеств на бесконечности.
Известия НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук , стр. 5-8.
8. Гороховик, В. В., & Гороховик, С. Я. (1995). Критерий глобальной
эпилипшицевости множеств. Известия НАН Беларуси, сер. физикоматематических наук , стр. 118-120.
9. Гороховик, В. (2007). Конечномерные задачи оптимизации. Минск:
Издательский центр БГУ.
10.Демьянов, В. Ф., & Рубинов, А. М. (1990). Основы негладкого анализа и
квазидифференциальное исчисление. Москва: Наука.
11.Кларк, Ф. (1988). Оптимизация и негладкий анализ. Москва: Наука.
12.Пшеничный, Б. Н. (1980). Выпуклый анализ и экстремальные задачи.
Москва: Наука.
13.Рокафеллар, Р. (1973). Выпуклый анализ. Москва: Наука.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Предметный указатель
В
верхняя выпуклая аппроксимация........................................................................... 14
К
кусочно-линейная ................................................................................................ 12, 15
Л
липшицева .................................................................................... 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15
Н
нижняя вогнутая аппроксимация............................................................................. 14
П
положительно однородная ......................................................................................... 9
положительно однородная функция ............................................................... 7, 8, 15
Р
разностно-сублинейная................................................................................. 12, 13, 14
С
субдифференциал ........................................................................................................ 7
Э
экзостер ............................................................................................................. 8, 13, 14, 15
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Интернет ресурсы в предметной области
1) http://www.springer.com – сайт издательства SPRINGER, содержит
электронные копии журнала Journal of Optimization Theory and
Applications, некоторые издания можно скачать, некоторые можно читать
online;
2) http://www.tandfonline.com – сайт, содержащий большое количество
электронных версий научных журналов, доступных для скачивания;
3) http://nasb.gov.by – сайт национальной академии наук Беларуси, здесь
можно
найти
содержание
всех
выпусков
журналов
“Доклады
Национальной академии наук Беларуси” и “Вести национальной
академии наук Беларуси”;
4) http://im.bas-net.by
–
сайт
института
математики
Национальной
академии наук Беларуси, здесь можно найти требования к оформлению
статей в журнал “Труды института математики”;
5) http://lib.org.by – сайт Белорусской научной библиотеки, здесь можно
найти электронный копии различных научных изданий;
6) http://www.math.washington.edu – личный сайт Р. Т. Рокафеллара, здесь
можно найти тексты его лекций, относящиеся к предметной области
данной работы, а также электронные версии его монографий;
7) http://lib.mexmat.ru – сайт электронной библиотеки Попечительского
совета
механико-математического
факультета
Московского
государственного университета, здесь можно получить доступ к целому
ряду электронных версий книг по тематике данной работы;
8) http://ntb.dp5.ru – электронная библиотека, содержащая множество книг
по тематике данной работы;
9) http://epubs.siam.org – сайт Social for Industrial and Applied Mathematics,
содержит множество литературы по тематике данной работы;
10) http://www.optimization-online.org – сайт содержит множество полезных
ссылок.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Действующий личный сайт
http://starowoitowamarina.narod2.ru/
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Граф научных интересов
Смежные специальности
Основная специальность
08.00.01 –
экономическая
теория
 Эффективность
общественного
производства(4)
 Теория
производства(14)
 Теория
распределения(16)
Сопутствующие
специальности
01.01.01 –
вещественный,
комплексный и
функциональный
анализ
 Выпуклый,
негладкий и
многозначный
анализ(6)
08.00.13 –
математические и
инструментальные
методы экономики
 Теория и
методология
математического
моделирования
экономических
процессов и
систем.
 Методы
принятия
оптимальных
решений
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Тестовые вопросы по ОИТ
<question type="close" id="350">
<text>01 Выберите из предложенного списка компоненты семейства сетевых
протоколов TCP/IP.
</text>
<answers type="request">
<answer id="350001" right="0"> ICMP</answer>
<answer id="350002" right="0"> IP</answer>
<answer id="350003" right="1"> UDP </answer>
<answer id="350004" right="0"> TCP</answer>
</answers>
</question>
<question type="close" id="351">
<text>02 Результатом выполнения функции Mod[15,4] в пакете
MATHEMATICA будет: </text>
<answers type="request">
<answer id="351001" right="0"> 15 </answer>
<answer id="351002" right="1"> 4 </answer>
<answer id="351003" right="0"> 3</answer>
<answer id="351004" right="0"> 11 </answer>
</answers>
</question>
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
Презентация магистерской диссертации