РАЗДЕЛ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

РАЗДЕЛ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ:
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
ТЕМА 1.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ОПЕРАЦИОННОМ АНАЛИЗЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1.1. Построение и анализ линейных моделей
1. Производитель выпускает два продукта: продукт Р, продаваемый по
2000 руб. за 1 т, и продукт Q, продаваемый по 1000 руб. за 1 т. Продукты могут производиться из двух типов сырья: А по 600 руб. за 1 т и В по 900 руб.
за 1 т Из каждых 100 т сырья А производят 60 т продукта Р и 10 т продукта Q. Покажите, что если производитель обрабатывает х т сырья А и y т сырья В, его прибыль составляет 500 х + 400 y. Фабрика может обработать не
более 10000 т сырья ежегодно. Поставщики сырья могут обеспечить не более
6000 сырья А и не более 8000 т сырья В. Производитель может продавать по
5000 т продукта Р и до 3200 т продукта Q.
Определить:
— сколько сырья А и В должно быть заказано для максимизации
прибыли, чему она равна;
— если поставщики сырья А грозят повышением цен, то на сколько
должна измениться цена, чтобы производителю пришлось изменить заказ?
2. Подсобный цех завода планирует выпуск столов и шкафов. Расход
рабочего времени на единицу изделия, соответственно, 9,2 и 4,0 чел.-ч, древесины — 0,3 и 0,6 м 3 ; стекла — 0 и 2,0 м 2 . Общий объем ресурсов: времени — 520 чел.-ч, древесины — 24 м 3 , стекла — 40 м 2 . Стоимость одного стола — 300 руб., шкафа — 200 руб.
Ответьте на вопросы:
— каким будет оптимальный план максимального выпуска продукции?
— какие ресурсы будут дефицитными, а какие — нет?
— как определить наиболее дефицитный ресурс?
— на сколько нужно увеличить объем самого дефицитного ресурса,
чтобы предприятие не чувствовало в нем недостатка?
— какой будет прибыль при реализации условий пункта (г)?
— куда следует вкладывать дополнительные средства в рассматриваемой ситуации в первую очередь? Во вторую очередь? Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?
— как повлияет на прибыль предприятия изменение цен на продукцию?
— каковы границы изменения цен рынка, при которых прибыль
предприятия не изменится?
— на сколько должна измениться цена на стол, чтобы изменился
статус ресурса «древесина» (стал недефицитным)?
— на сколько можно снизить запасы недефицитного ресурса, чтобы
сумма прибыли предприятия была прежней?
— пусть цена на шкаф упала до 100 руб., шкаф производить теперь
невыгодно; цена стола — 300 руб. При какой цене на стол станет
выгодно производить шкаф?
3. Фабрика производит три основных типа товаров. Изделию типа 1
требуется 3 ед. сырья А и 1 ед. сырья В; оно приносит прибыль в 3 ед. Изделию типа 2 требуется 4 ед. сырья А и 3 ед. сырья В, оно приносит прибыль
в 6 ед. Изделию типа 3 требуется 1 ед. сырья А и 2 ед. сырья В, оно приносит
прибыль в 2 ед. Найдите оптимальный план производства, если доступны
всего 20 ед. сырья А и 10 ед. сырья В. Если окажется доступной еще 1 ед. сырья А (или В), какую наибольшую цену можно за нее заплатить?
4. При изготовлении трех видов изделий применяются три технологические операции. Максимальное время использования станков по каждой из
трех операций составляет 430, 460, 420 минут в сутки. Прибыль от продажи
одного изделия каждого вида составляет 3, 2 и 5 ед. Известны пооперационные затраты времени на изготовление каждого изделия. Определить план,
при котором предприятие будет иметь максимальную прибыль.
2
У модели задачи будет такой вид:
максимизировать f = 3 x1 + 2 x2 + 5 x3 (величина прибыли за сутки) при
ограничениях:
операция 1: 1x1 + 2 x2 + 1x3 ≤ 430 ,
операция 2: 3 x1 + 0 x2 + 2 x3 ≤ 460 ,
операция 3: x1 + 4 x2 + 0 x3 ≤ 420 ,
х j ≥ 0, j = 1,3,
— решить задачу и определить, выпуск каких изделий выгоднее.
На сколько нужно сократить время второй операции, чтобы сделать производство первого изделия выгодным?
— определить время сокращения операции 1, при котором производство детали первого вида станет рентабельным, если время
выполнения операции 2 можно уменьшить до 1,75 мин;
— определить, как влияет на оптимальный план изменение ресурса
времени станков в следующих случаях:
— по первой операции время уменьшилось с 430 до 380 мин;
— по второй операции время уменьшилось с 460 до 400 мин;
— по третьей операции время уменьшилось до 400 мин и затем увеличилось до 450 мин;
— как изменится план, если в производство включен выпуск четвертого изделия с пооперационными временными затратами соответственно 2 мин, 3 мин, 1 мин, С 4 = 4 ?
— как изменится оптимальное решение, если целевая функция будет
иметь вид:
F = 4 x1 + 2 x2 + x3 → max;
F = 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 → max;
F = 2 x1 + 2 x2 + 8 x3 → max;
3
F = 5 x1 + 2 x2 + 5 x3 → max;
— определить для задачи с исходными данными увеличение прибыли для изделия первого вида, обеспечивающее рентабельность
производства.
5. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры.
Имеется две партии материала, причем первая содержит 400, а вторая — 250
листов фанеры. Из поступающих листов изготовляются комплекты, включающие 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Один
лист фанеры каждой партии может раскраиваться разными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа
соответствующей партии по тому или иному способу, представлено в табл. 1.
Таблица 1
Номер
детали
1
2
3
Первая партия
Способ раскроя
1
2
0
6
4
3
10
16
3
9
4
0
Вторая партия
Способ раскроя
Номер
детали
1
2
1
6
5
2
5
4
3
8
0
Определить такую схему раскроя материала, которая обеспечит изготовление максимального числа комплектов.
Ткань трех артикулов может производиться на ткацких станках двух
типов одновременно. Для изготовления ткани используется пряжа и красители. В табл. 2 указаны мощности станков в тыс. ст.⋅ч., ресурсы пряжи и красителей в тоннах, производительность станков и нормы расходы пряжи и краски в тоннах, производительность станков и нормы расхода пряжи и краски в
килограммах на 1000 м и цена 1 м ткани.
4
Таблица 2
Виды ресурсов
Станки типа 1
Станки типа 2
Пряжа
Красители
Цена
Объем
ресурсов
30
45
30
1
Производительность и нормы расхода
1
2
3
20
10
25
8
20
10
120
180
210
10
5
8
15
15
20
Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий объем товарной продукции.
7. Для выращивания пшеницы применяют три вида удобрений. Вся посевная площадь находится в трех зонах. В каждой из зон необходимо внесение всех трех типов удобрений. Затраты удобрений на 1 га, соответствующий
прирост урожайности, размеры посевных площадей и количество удобрений
даны в табл. 3.
Таблица 3
Посевная площадь,
Зона
тыс. га
1
100
2
150
3
200
Запасы удобрений, тыс. ц
Затраты удобрений на 1 га
Р
N
K
2
1
1
400
1
2
1/2
300
1
5/4
0
100
Прирост
урожайности
на 1 га, ц
12
14
10
Найти план распределения удобрений между посевными зонами, обеспечивающий максимальный прирост валового сбора зерна.
8. Имеется три ремонтных мастерских, которые могут за год отремонтировать 800, 500 и 300 автомашин при себестоимости ремонта одной машины 50, 70 и 60 руб. Годовая потребность четырех обслуживаемых автобаз в
ремонте составляет 400, 300, 200 и 200 автомашин. Мощность 1-й мастерской
5
может быть сокращена до 400 автомобилей, 3-я может быть ликвидирована
(табл. 4).
Таблица 4
Мастерская
800
500
300
400
7
4
5
Автобаза
300 200
2
1
1
4
3
2
200
8
5
6
Определить схему привязки автобаз к мастерским и мощности мастерских, исходя из требования минимизации затрат на доставку и ремонт автомобилей.
9. Для изготовления определенного сплава из свинца, цинка и олова
используются следующие пять сплавов из тех же металлов, отличающиеся
составом и стоимостью 1 кг (табл. 5).
Таблица 5
Компоненты
Свинец
Цинк
Олово
Стоимость, руб.
Содержание в сплавах, %
I
II
III
IV
V
10
10
40
60
30
10
30
50
30
20
80
60
10
10
50
4
4,5 5,8 6,0 6,5
Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий олова от 40 % до
60 % и цинка от 20 % до 30 %. Себестоимость считать равной сумме стоимостей компонентов.
10. На предприятии можно производить два вида продукции по двум
технологиям. Имеются ресурсы трех видов. План по производству продукции
вида I — 200 единиц, вида II — 660 единиц. Объем ресурсов: 97, 54 и
6
100 единиц соответственно. Технико-экономические показатели приведены в
табл. 6.
Таблица 6
№
технологии
I
II
Нормы потребления
ресурсов,
ед./шт.
I
II
III
2,5
1,5
1,5
1,5
0,4
4
Нормы выхода
продукции,
тыс. т
I
II
5
30
4
6
Затраты,
тыс. руб.
7
8
Определить оптимальный план производства, минимизирующий затраты. Выгодно ли замещение в технологии 2 одной единицы первого ресурса
двумя единицами второго?
11. Цех выпускает три вида продукции. Суточная программа выпуска
составляет 90 т продукции вида I, 70 т — вида II и 60 т — вида III. Производственные возможности цеха: суточный фонд рабочего времени оборудования — 780 ч, суточный расход сырья — 850 т, электроэнергии — 800 кВт⋅ч.
Нормы затрат производственных ресурсов на 1 т различных видов продукции
приведены в табл. 7. Составить план производства продукции, обеспечивающий полное использование производственных ресурсов и минимальную
суммарную себестоимость, если себестоимость единицы продукции вида I —
70 руб., II — 80 руб., III — 100 руб.
Таблица 7
Производственные ресурсы
Оборудование, ч
Сырье, т
Электроэнергия, кВт⋅ч
Нормы затрат на виды продукции
I
II
III
2
1
3
3
4
4
4
5
2
12. Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной ма-
7
шины в 50, 70, 65 и 60 руб. Планируется годовая потребность в ремонте пяти
автобаз: 350, 350, 300 и 200 машин. Избыточные мощности 1-й и 2-й мастерских могут быть использованы для обслуживания других работ, 3-й и 4-й —
только для указанного вида работ. Матрица С характеризует транспортные
расходы на доставку машины с i-й автобазы в j-ю мастерскую. Определить
минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного
объема ремонтных работ по всем автобазам.
⎛ 40
⎜
⎜ 20
С = ⎜ 60
⎜
⎜ 10
⎜ 20
⎝
10 70 50 ⎞
⎟
80 30 10 ⎟
30 30 40 ⎟
⎟
40 50 50 ⎟
30 10 40 ⎟⎠
13. На трех участках поля можно выращивать три культуры: рожь,
пшеницу и ячмень. В табл. 8 указаны размеры участков в гектарах, урожайность в ц/га и плановое задание по сбору культур в ц. Определить оптимальную структуру посевов, максимизирующую суммарный урожай при плановом ассортиментном соотношении 5 : 2 : 4.
Таблица 8
Площадь участка
30
50
30
План
Урожайность культуры
Рожь
Пшеница
Ячмень
12
16
16
10
12
20
15
16
24
500
200
400
14. В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типов Д1, Д2, Д3 и Д4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из домов, их плановая себестоимость приведены в табл. 9.
Годовой план ввода жилой площади составляет 800, 1000, 900, 2000 и 7000
квартир указанных типов. На жилищное строительство утвержден объем капиталовложений 40 млн. руб. Часть этих средств, которая не будет использо-
8
вана в плановом году по прямому назначению, предназначена для расширения сети коммунальных предприятий города.
Таблица 9
Количество квартир по типам домов
Д1
Д2
Д3
Д4
10
18
20
15
Типы квартир
Однокомнатные
Двухкомнатные смежные
40
—
20
—
Двухкомнатные несмежные
Трехкомнатные
Четырехкомнатные
—
60
20
20
90
10
—
10
—
60
—
5
Плановая себестоимость, тыс. руб.
830
835
360
450
Построить модель минимизации себестоимости всех вводимых домов.
15. Рацион стада крупного рогатого скота из 230 голов включает пищевые продукты А, В, С, Д и Е. В сутки одно животное должно съедать не
менее 2 кг продукта А, 1,5 кг — продукта В; 0,9 кг — продукта С, 3 кг —
продукта Д и 1,8 кг — продукта Е. Все перечисленные продукты содержатся
в концентратах К-1, К-2, К-3, их цена, соответственно, равна 0,5; 0,4; 0,9 руб.
за 1 кг. Содержание продукта в 1 кг концентрата (в %) указано в табл. 10.
Таблица 10
Виды концентратов
К-1
К-2
К-3
А
15
19
5
Виды продуктов
В
С
Д
22
0
0
17
0
14
12
25
5
Е
4
7
8
Построить оптимальный план минимизации затрат на покупку концентратов для рационального кормления скота.
9
16. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в
табл. 11. Найти оптимальный ассортимент, максимизирующий прибыль.
Таблица 11
Вид ресурса
Сырье, кг
Рабочая сила, чел.-ч
Оборудование, ст.-ч.
Прибыль на единицу товара, руб.
1
3
22
10
30
Вид товара
2
3
5
2
14 18
14
8
25 56
4
4
30
16
48
Объем ресурсов
60
400
128
17. На трех участках посевных площадей размером в 300, 500 и 400 га
могут быть посажены 4 вида сельскохозяйственных культур, которые необходимо вырастить в количестве, соответственно, 600, 1500, 225, 1250 т. Матрица С характеризует себестоимость 1 т при выращивании
i-й культуры на j-м участке. Составить оптимальный план посева на j-м
(j = 1, 2, 3) участке при условии, что урожайность одинакова при всех вариантах распределения культур по участкам.
⎛ 20
⎜
⎜ 50
С =⎜
24
⎜⎜
⎝ 10
25 30 ⎞
⎟
40 15 ⎟
10 20 ⎟
⎟
20 15 ⎟⎠
18. Ресурсы (ai) и потребности (вj) в однородном грузе, а также стоимость перевозки 1 т груза заданы в табл. 12.
Найти оптимальный план перевозок и соответствующую минимальную
стоимость перевозки всего груза.
10
Таблица 12
ai
25
55
22
вj
45
9
6
3
15
5
3
8
22
3
8
4
20
10
2
8
19. Сухогруз может принять на борт не более 1000 т груза. Общий объем груза не должен превышать 500 м3. На причале находится груз 13 наименований — различные механизмы и нестандартное оборудование. Вес, объем
и цена каждого наименования груза приведены в табл. 13.
Таблица 13
Показатели
Вес, т
Объем, м3
Цена,
тыс. руб.
1
2
3
50 100 70
45 31 25
4
91
44
Номер груза
5
6
7
8
9
60 75 89 67 73
37 40 29 35 46
10
81
33
11
78
39
12
88
46
13
80
41
1,5 2,1 1,3 1,8 1,4 1,9 2,0 1,1 1,6 2,0 1,5 1,6 1,8
На сухогруз нельзя грузить более одной единицы груза каждого наименования. Построить модель для задачи выбора варианта загрузки судна с
максимальной стоимостью всего груза.
20. Строительной организации необходимо выполнить четыре вида
земляных работ, объемы которых заданы отношением 3:2:5:1. Для их осуществления предполагается использовать три механизма. Производительность
механизмов и стоимость одного часа работы каждого из них приведены в
табл. 14. Плановый фонд времени I, II, III механизмов составляет, соответственно, 350, 600 и 290 машино-часов. Построить модель, минимизирующую
затраты на выполнение работ.
11
Таблица 14
Показатели
1
Механизмы и виды работ
I цех
II цех
III цех
2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
4
Производительность
меха20 15 16 30 14 18 35 32 15 29 40 15
3
низма по виду работ, м /ч
Себестоимость 1 ч работы,
2 5 3 6 2 4 5 7 8 3 6 3
руб.
21. При изготовлении обуви используют, в частности, жесткую кожу –
чепрак и ворот. Каждый из видов делится, в свою очередь, на несколько категорий по средней толщине. ГОСТ предусматривает изготовление деталей
из определенного вида кожи. Одна и та же деталь может быть изготовлена из
различных видов кожи, и из каждого вида сырья могут быть изготовлены
различные детали. Исходные данные помещены в табл. 15.
Таблица 15
Толщина
детали,
мм
Количество
деталей,
тыс. шт.
3,9
21
3,0
30
2,5
50
Количество имеющегося
материала, тыс. кв.м.
Стоимость 1000 кв.м,
тыс.руб.
Количество деталей, которое можно изготовить из 1000 кв. м кожи, тыс. шт.
Толщина чепрака, мм
Толщина ворота, мм
4,01—4,5 4,51—5,0
3,5—4,0
4,51—5,0
26,5
7,8
—
—
51,0
26
47,7
—
—
—
5,0
72,5
0,9
0,8
5,0
6,0
14,4
16
12,8
10,5
Определить оптимальный план изготовления деталей при условии минимизации затрат сырья.
12
22. Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, бюро и книжные
шкафы, используя два типа досок: 1500 м3 I типа и 1000 м3 досок II типа.
Суммарные затраты труда на изготовление мебели не могут превышать 800
чел.-ч. Матрица нормативов затрат ресурсов на изготовление 1 единицы, а
также цены изделий приведены в табл. 16.
Таблица 16
Ресурсы
3
Доски типа I, м
Доски типа II, м3
Труд. ресурсы,
чел.-ч
Цена, руб/шт
Столы
5
2
Затраты на 1 ед. изделия
Стулья
Бюро
Шкафы
1
9
12
3
4
1
3
2
5
10
32
15
12
80
Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную
продукцию при условии комплектности столов и стульев 1:6. Фабрика может
приобрести доски типа I по 12 коп. за 1 м3 и типа II по 8 коп. за 1 м3. Кроме
того, можно увеличить затраты труда за счет сверхурочной работы, произведя дополнительную оплату каждого часа в сумме 80 коп. Определить, увеличение какого типа ресурсов рациональнее.
23. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката:
400 тыс. л алкидата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой
перегонки и 100 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих четырех
компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин А — 2:3:5:2; бензин В — 3:1:2:1; бензин С — 2:2:1:3. Стоимость
1 тыс. л указанных сортов бензина — 120 руб., 100 руб., 150 руб. соответственно. Определить оптимальный план смешивания компонентов при условии
максимального их использования.
24. Города и поселки области для бытовых нужд используют сжиженный газ от трех газораспределительных станций. Мощность станций — 100,
150, 80 тыс. м3. Пять наиболее крупных городов имеют лимиты потребления
газа 50, 40, 70, 90 и 30 тыс.м. Составить модель оптимального распределения
13
газа среди городов и поселков области, считая удельные расходы на доставку
заданными (равными aj). Полагать, что излишков газа нет.
25. На четырех ткацких станках с объемом рабочего времени 260, 200,
340 и 500 ст/ч можно изготовлять ткань трех артикулов в количестве 200,
250, 400 м за 1 ч. Составить программу загрузки станков, если прибыль
(в руб.) от реализации 1 м ткани i-го артикула при ее изготовлении на j-м
станке характеризуется элементами матрицы.
⎛ 2,5 2,2 2,0 2,8 ⎞
⎜
⎟
с = (сij ) = ⎜ 1,6 1,0 1,9 1,2 ⎟ ,
⎜ 0,8 1,0 0,6 0,9 ⎟
⎝
⎠
а суммарная потребность в ткани каждого из артикулов равна 200, 100 и 150
тыс. м.
26. Имеется три сорта взаимозаменяемого сырья в количестве 200, 100
и 300 кг, которое используется при производстве четырех продуктов в количестве 25, 45, 30 и 70 ед. В матрицах указаны, соответственно, расход сырья,
кг (матрица А), и производственные затраты на единицу продукта, руб. (матрица С):
⎛ 3 2 4 2⎞
⎜
⎟
А = ⎜ 2 4 2,4 3 ⎟ ,
⎜ 3,5 2 2 4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 40 30 20 35 ⎞
⎜
⎟
С = ⎜ 30 25 45 40 ⎟
⎜ 20 45 30 35 ⎟
⎝
⎠
Составить модель задачи для определения оптимального плана использования сырья.
27. Три механизма могут выполнить три вида земляных работ. В
табл. 17 указаны производительность в м3 за 1 ч работы каждого из механизмов в левом нижнем углу клетки, затраты в руб. на 1 ч работы механизма —
в правом верхнем углу клетки.
Ресурсы рабочего времени составляют 200, 280, 250 ч соответственно,
объем работ, подлежащих выполнению, – 6000, 5000 и 8000 м3. Составить
модель оптимальной загрузки оборудования по критерию минимума суммарных затрат.
14
Таблица 17
Работа
1
2
3
Механизмы
2
1
2
20
3
10
40
1,5
1,5
4
5
30
4
35
7
50
3
6
40
5
30
28. На заготовительный участок поступило 78 стальных прутьев длиной 89 см. Их необходимо разрезать на заготовки длиной 20, 30, 39 см в соотношении 3:4:2. Построить модель минимизации количества отходов.
29. Расход газа в городе характеризуется двумя величинами: суммарный расход за год и среднемесячный расход на зимний период.
Таблица 18
Типы газохранилищ
Месячная потребность
и производительность
Годовая потребность
и производительность
Капитальные вложения
I
20
II
30
III
10
Всего
500
60
100
50
2500
120
90
180
3600
Для удовлетворения потребностей в газе могут быть построены газохранилища трех типов, для каждого из которых известны обе эти характеристики. Известны также капитальные затраты на строительство каждого газохранилища и суммарный объем капиталовложений на организацию газоснабжения. Построить модель оптимизации строительства газохранилища из
условия минимума капитальных вложений (табл. 18).
30. Производственный участок изготовляет изделия И-1, И-2, И-3 для
срочного конвейера предприятия-заказчика. Потребность в них 300, 500,
400 шт. соответственно. Запасы металла на изделие И-1 ограничены, поэтому
15
их можно производить не более 350 шт. Все изделия последовательно обрабатывают на станках С-1, С-2, С-3. Технология каждого изделия предусматривает три способа обработки. Норма времени на обработку, плановая себестоимость и оптовая цена изделия приведена в табл. 19. Плановый фонд времени работы станков составляет для станков С-1 и С-3 по 6048 ч, для С-2 —
3932 ч. Максимизировать прибыль от реализации готовой продукции.
Таблица 19
Показатели
Норма времени
на обработку
На С-1
На С-2
На С-3
Оптовая цена
предприятия, руб.
И-1
И-2
И-3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
7
7
3
5
0
6
6
8
3
9
4
2
3
4
0
6
4
2
5
3
3
6
2
1
3
16
25
20
31. Цех выпускает пять видов изделий, причем суточная программа
выпуска составляет, соответственно, 90, 100, 70, 60, 40 ед. Нормы затрат
производственных ресурсов и их объем, а также затраты на продукцию приведены в табл. 20.
Таблица 20
Изделия
I
II
III
IV
V
Объемы
ресурсов
Ресурсы
Оборудование, Сырье 1, Сырье 2,
ч
т
т
2
1
4
5
1
3
4
4
8
6
4
3
2
3
9
Энергия,
кВт⋅ч
1
5
1
1
2
200
300
350
280
Затраты
на ед. изд.
400
5
8
10
9
6
16
Построить модель, минимизирующую затраты на производство сверхплановой продукции.
32. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов производственных товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы товара,
прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в
табл. 21.
Таблица 21
Вид ресурса
Сырье, кг
Рабочая сила, ч
Оборудование, ст/ч
Прибыль на единицу товара, руб.
1
3
22
10
30
Вид товара
2
3
5
2
14 18
14 8
25 56
4
4
30
16
48
Объем
ресурсов
60
400
128
—
17
1.1.2. Решение задач линейного программирования
графическим методом
33. F = x1 + 3x2→ max
⎧ х1 − х 2 ≤ 1
⎪
⎨ 2 х1 + х 2 ≤ 2
⎪ х −х ≥0
2
⎩ 1
x1, x2 ≥ 0
35. F = x1 + x2→ max
34. F = 2x1 + 3x2→ min
⎧3 х1 + 2 х2 ≥ 6
⎨
⎩ х1 + 4 х2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
36. F =12 x1 + 15x2→ max
⎧х1 + 2х2 ≤ 10
⎪
⎨ х1 + 2х2 ≥ 2
⎪ 2х − х ≤ 10
⎩ 1 2
⎧6х1 + 6х2 ≤ 36
⎪
⎨4х1 + 2х2 ≤ 20
⎪4х + 8х ≤ 40
2
⎩ 1
x1, x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
37. F = x1 + x2→ min
⎧ х1 − х2 ≤ 2
⎪
⎨ х1 + х2 ≥ 2
⎪х − 2 х ≤ 1
2
⎩1
x1, x2 ≥ 0
38. F = x1 – 3x2→ min
⎧10 х1 + 3х2 ≥ 30
⎪ −х +х ≤3
⎪
1
2
⎨
⎪ х1 − х2 ≤ 4
⎪⎩ х1 + х2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
39. F = 9x1 + 25x2→ min
40. F = 15x1 +6 x2+4x3→ max
⎧3х1 + 5 х2 ≥ 15
⎪
⎨ 2 х1 − 3х2 ≥ 6
⎪− х + 4 х ≥ 4
2
⎩ 1
⎧ 3 х1 + 2 х2 − х3 = 9
⎨
⎩5 х1 − 3 х2 + 4 х3 = 25
x1, x2, х3 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
41. F = –2x1 + x2+x3→ max
42. F = 7x1 + 7x2+x3 – х5→ max
18
⎧ 3х1 + х2 − х3 = 6
⎪
⎨4х1 + 5х2 − х4 = 19
⎪4х + 3х − х = 24
2
5
⎩ 1
⎧ 4х1 + 7х2 + х3 = 55
⎪
⎨11х1 +12х2 + х4 = 132
⎪ − 2х + 3х + х = 5
1
2
5
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
43. F = 3x2 – x3+2x4 → max
⎧2 х1 + 3 х2 + х3 + х4 = 22
⎪
⎨2 х1 + 2 х2 + х3 + х4 = 16
⎪ 4х + х − х = 4
1
2
5
⎩
44. F = –2x1 + x2+8x3→ max
⎧− 4х1 + х2 + 2х3 = 12
⎨
⎩6х1 + 5х3 − х4 = 30
x1, …, x4 ≥0
x1, …, x5 ≥ 0
45. F = 4x1 – 2x2+ x3 – х4→ max
⎧ х1 − х2 + 4 х3 − 2 х4 = 4
⎨
⎩3х1 + 2 х2 − х3 + 4 х4 = 3
x1, …, x4 ≥0
47. F = –4x1 + 3x2 + x4 – х5→ max
46. F = x1 + 2x2+x3 –х4→ min
⎧− х1 + 5х2 + х3 + х4 + х5 = 10
⎪
⎨ 2х1 − х2 + х3 − 3х4 = 6
⎪ 10х + х + 2х + 3х = 25
2
3
4
5
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
48. F = –3x1 + 2x2 – 3x4 – х5→ max
⎧ 2 х1 − х2 − х3 = −1
⎪ х − 3 х − х = −13
⎪ 1
2
4
⎨
⎪ 4 х1 + х2 + х5 = 26
⎪⎩ х1 − 3 х2 + х6 = 0
⎧3 х1 − 2 х2 − х3 + х4 = 2
⎪4 х − х + х + х = 21
⎪ 1 2
4
5
⎨
⎪ 4 х1 − х2 − х4 + х5 = 13
⎪⎩ х1 + х2 − х6 = 0
x1, …, x6 ≥ 0
x1, …, x6 ≥ 0
49. F = x1 + x2+x3 +х4→ min
50. F = x1 + x2→ max
⎧ 2 х1 + х2 − х3 + х4 = 3
⎨
⎩− 2 х1 − х2 + х3 − х4 = −1
⎧ х1 + х3 = 2
⎨
⎩ х2 − х3 + х4 = 1
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
19
51. F = x1 – x2 → max
52. F = x1 + 3x2 → max
⎧4 х1 − 3 х2 − х3 + х4 + х5 = 6
⎪ х + 4 х + х + х = 15
⎪ 1
2
3
5
⎨
⎪ 2 х1 − 4 х2 − х3 + х4 = −3
⎪⎩
х1 − 3 х2 + х6 = 0
⎧ 2 х1 − х2 + х5 + х6 = 10
⎪2 х + 2 х + х + х = 25
⎪ 1
2
4
6
⎨
⎪ 2 х1 + 3 х2 − х3 + х5 = −9
⎪⎩ 6 х2 + х3 + х4 = 36
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x6 ≥ 0
53. F = x1 + x2 + x3 + х4→ min
⎧2 х1 + 2 х2 − х3 + х4 = 3
⎨
⎩ х1 − 4 х2 + х3 = −2
x1, …, x4 ≥ 0
54. F = x1 + 2x3 + х5→ min
⎧ х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 5
⎪
⎨ х2 + х3 + х4 − х5 = 2
⎪
х3 − х4 + х5 = 1
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
55. F = – 4x1 + x2 + 5x3 → max
56. F = x1 + 2x2 – 5x3 → max
⎧ х2 + х3 = 2
⎨
⎩3 х1 + 2 х2 − х3 = 1
⎧ х1 − 3 х2 + 11х3 = −9
⎨
⎩ 3 х1 − х2 + 9 х3 = 5
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
57. F = x1 – х4→ max
58. F = x1 + x2 + x3 + х4 – x5→ min
⎧ х1 + х 2 + 2 х3 + х 4 = 5
⎨ х − х − х + 2х = 1
⎩ 1
2
3
4
⎧ х1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 = 5
⎨− х + х − х + х − х = −1
⎩ 1
2
3
4
5
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
59. F = 3x1 – 2x2 – 3x3 → max
⎧ х1 + х2 + х3 = 5
⎨
⎩3 х1 + х2 − х3 = −3
60. F = – x1 + 2x2 – x3 → max
⎧ х1 − х2 + 2 х3 = 0
⎨
⎩ х1 + х2 + 5 х3 = 2
20
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
61. F = x1 + 3x2 – x3 – х4 – x5→ max
62. F =3x1 + 4x2 + 3x3 –х4 –2x5 –x6→ min
⎧х1 − х2 + х3 + 3х4 − 3х5 = 1
⎪
⎨ х1 + х2 − х3 + х4 + х5 = 1
⎪ х + х + х + 5х − х = 3
4
5
⎩ 1 2 3
⎧2х1 + 3х2 + 4х3 − х4 − 2х5 − 3х6 = 5
⎪
⎨ х1 + 2х2 − х3 − х4 − 2х5 + х6 = 2
⎪
х3 − х6 = 3
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x6≥0
21
1.1.3. Решение задач линейного программирования
методом прямого перебора
63. F =x1 – 2x2+x3+3x5→ max
64. F =4x1 - x2+2x3+x5→ min
⎧ 2 х1 + + х3 − 2 х4 = 3
⎨
⎩ х1 + 2 х2 + х3 + 3 х4 + х5 = 5
⎧3 х1 − х2 + 2 х3 + х4 + х5 = 12
⎨
− х4 + х5 = −4
⎩ х1 − 5 х2
x1,…, x5 ≥ 0
x1,…, x5 ≥ 0
65. F =x1 – 2x2 + х4 – x5→ max
⎧ 5 х1 + 2 х2 − х3 + х4 + х5 = 42
⎪
⎨ 4 х1 − 4 х2 + х3 + х4 = 16
⎪4 х +
+ 5 х4 + х5 = 32
⎩ 1
66. F =x1 – 2x2+x3 – x5→ min
⎧3 х1 − х2 + 2 х3 + х4 + х5 = 12
⎨
− х4 + х5 = −4
⎩ х1 − 5 х2
x1,…, x5 ≥ 0
x1,…, x5 ≥ 0
67. F = –3x1 + x2 –3х3 – 2x4 → max
68.F = 4x1 + 6x2 –9х3 + 6x4 → max
⎧− 5 х1 + х2 + 3 х3 + 3 х4 ≤ −1
⎨
⎩ 2 х1 + х2 − х3 + 3 х4 ≤ 2
⎧ 2 х1 + х3 + 3 х4 ≤ 30
⎨
⎩ х1 + 3 х2 + 3 х3 + 2 х4 ≤ 20
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
69. F =x1 + 2x2 → max
70. F = 4x1 + 3x2 → max
⎧2 х1 + 3 х2 ≤ 6
⎪ 2х + х ≤ 4
⎪⎪ 1 2
≤1
⎨ х1
⎪ х − х ≤ −1
⎪ 1 2
⎪⎩ 2 х1 + х2 ≥ 1
⎧ х1 − х2 ≥ −2
⎪5 х + 3 х ≤ 15
2
⎪⎪ 1
≤ 25
⎨ х2
⎪ х − 2х ≤ 2
2
⎪ 1
⎪⎩ 2 х1 − х2 ≥ −2
х1, x2 ≥0
х1, x2 ≥0
22
71. F = 2x1 – x2 + 3x3 – 2х4 + x5→ max
72. F = x1 + x2 + x3→ min
⎧− х1 + х2 + х3 = 1
⎪
⎨ х1 − х2 + х3 = 1
⎪ х +х +х =2
⎩ 1 2 5
⎧ х1 − х4 − 2 х6 = 5
⎪
⎨ х2 + 2 х4 − 3х5 + х6 = 3
⎪х + 2 х − 5х + 6 х = 5
4
5
6
⎩ 3
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x6 ≥ 0
73. F = x1 – x2 + x3 + х4 – x5→ min
⎧ х1 + х4 + 6 х5 = 9
⎪
⎨3х1 + х2 − 4 х3 + 2 х5 = 2
⎪ х + 2х + х = 6
1
2
5
⎩
74. F = x1 + x2 – х3 – x4→ max
⎧ х1 + х2 + 3 х3 + 4 х4 = 12
⎨
⎩ х1 − х2 + х3 − х4 ≤ 2
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
75. F = x1 +3 x2 – x3 – х4 – x5→ max
76. F = x1 + x2 + х3 + x4 –х5→ max
⎧ х1 − х2 + х3 + 9 х4 + 3х5 = 1
⎪
⎨ х1 + х2 − х3 + х4 + х5 = 1
⎪ х + х + х + 5х − х = 3
4
5
⎩ 1 2 3
⎧ х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 5
⎨
⎩− х1 + х2 − х3 + х4 − х5 = −1
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
77. F = 8x1 + 2x2 - 2х3 - 5x –6х5→ max
78. F = 4x1 + 24x2 + 20х3 + 6x4 → min
⎧ х1 + х2 − х3 − х4 = 16
⎨
⎩4 х1 − 2 х2 + 2 х3 − х5 = 20
⎧ − 4 х1 + 3 х2 + 5 х3 ≥ 2
⎨
⎩ х1 + 2 х2 − 4 х3 + х4 ≥ 5
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
23
79. F = 3x1 + x2 + 4х3 → max
80. F = 2x1 + 4x2 + 9х3 + x4 → min
⎧х1 + 2х2 + 3х3 − х4 + х5 = 6
⎨
+ 2х4 ≤11
⎩ 3х1 − х2
⎧ х1 − х2 + 2 х3 + х4 ≥ 8
⎨
+ 4 х3 ≥ 5
⎩ 3 х1
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
81. F = 2x1 – x2 + 4х3 + 5x4 → min
82. F = 2x1 + 4x2 + 5х3 + x4 → min
⎧3х1 + х2 − х3 + 3х4 ≥ 8
⎨
⎩х1 − 2х2 + х3 + 2х4 ≥ 6
⎧2 х1 + х2 + х3 + 4 х4 ≥ 6
⎨
⎩ 3 х1 − х2 + 2 х3 ≥ 4
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
83. F = 3x1 + 2x2 → max
84. F = 3x1 + x2 + x3 – 3х4 → max
⎧ х1 + 3х2 + х3 = 240
⎪
⎨4х1 + 6х2 + х4 = 600
⎪ 3х + х + х = 240
⎩ 1 2 5
⎧2 х1 − х2 − х3 = 6
⎪
⎨ х1 + х2 + х4 = 8
⎪ х + х + х = 18
5
⎩ 1 2
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
85. F =3x1+4x2 +3x3 –х4–2x5 –х6→ min
⎧2 х1 + 3х2 + 4 х3 − х4 − 2 х5 − 3х6 = 24
⎪
⎨ х1 + 2 х2 + 4 х3 − х4 − 2 х5 + х6 = 2
⎪
− х6 = 3
х3
⎩
x1,..., x6 ≥ 0
86. F = 3x1 + 2x2 → max
⎧− 5х1 + 4 х2 ≤ 20
⎪
⎨ 2 х1 + 3х2 ≤ 24
⎪ х − 3х ≤ 3
2
⎩ 1
x1, x2 ≥ 0
24
87. F = 4x1 + 25x2→ max
88. F = x1 – 3x2 +3x3 → max
⎧2 х1 + 3х2 ≤ 31
⎪
⎨ х1 + х2 ≤ 12
⎪ 2 х + х ≤ 25
⎩ 1 2
⎧ 4 х1 − 3 х2 ≤ 2
⎪
⎨− 3х1 + 2 х2 + х3 ≤ 3
⎪ 2х + х − х ≤ 4
1
2
3
⎩
x1, x2 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
89. F = 3x1 + x3 – 3x5→ max
90. F = 20x1 + 30x2 → max
⎧ х1 + х2 − 3х3 + 2 х5 = 3
⎪
4 х3 − 3х6 = 2
⎨
⎪− х + 2 х + х + х = 4
3
4
5
⎩ 1
⎧10 х1 + 20 х2 ≤ 100
⎪
⎨ 20 х1 + 10 х2 ≤ 100
⎪ 15 х + 15 х ≤ 90
1
2
⎩
x1, …, x6 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
91. F = 3x1 – 4x2 – х4 + х5→ max
92. F = 3x1 – x2 → max
⎧− х1 + 2 х2 − х3 = −1
⎪ х + 4 х + х = 26
⎪ 1
2
4
⎨
⎪ 3 х1 − х2 + х5 = 13
⎪⎩ 3 х1 − х2 − х6 = 0
⎧ х1 + 2 х2 ≤ 10
⎪ −х +х ≤4
⎪
1
2
⎨
⎪ х1 − х2 ≤ 3
⎪⎩3 х1 + 10 х2 ≥ 30
x1, …, x6 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
25
1.1.4. Решение задач линейного программирования
симплекс-методом
93. F = 12x1 +15x2→ max
94. F = x1 +3 x2 + 2x3 → min
⎧6 х1 + 6 х2 ≤ 36
⎪
⎨4 х1 + 2 х2 ≤ 20
⎪4 х + 8 х ≤ 40
2
⎩ 1
⎧ − х1 − х2 − 2х3 ≤ 5
⎪
⎨ 2х1 − 3х2 + х3 ≤ 3
⎪2х − 5х + 6х ≤ 5
2
3
⎩ 1
x1, x2 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
95. F = x1 + 2x2 → max
96. F = 3x1 – x2 → max
⎧ 2 х1 + 3 х 2 ≤ 6
⎪2 х + 2 х ≤ 4
⎪ 1
2
⎨
х1 ≤ 1
⎪
⎪⎩ − х1 + х 2 ≤ 1
⎧ х1 − х2 ≤ 1
⎪
⎨ х2 − х3 + х4 = 1
⎪х + х + х = 2
⎩ 1 3 5
x1, …, x5 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
97. F = 14x1 + 10x2 → max
98. F = 3x1 +5 x2 +3x3 → mах
⎧ 4 х1 + 6 х2 ≤ 38
⎪4 х + 2 х ≤ 26
⎪ 1
2
⎨
⎪ 6 х2 ≤ 30
⎪⎩ 6 х1 ≤ 36
⎧х1 + 2х2 + 2х3 ≤ 16
⎪
⎨ 2х1 + х2 + х3 ≤ 21
⎪3х + 2х + х ≤ 15
3
3
⎩ 1
x1, …, x3 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
99. F = 2x1 + 4x2→ mах
100. F = 2x1 + x2→ mах
⎧ х1 + 2 х2 ≤ 5
⎨
⎩ х1 + х2 ≤ 4
⎧ х1 + х2 ≤ 12
⎨
⎩ х1 − х2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
26
101. F =3x1 – 2x2 – 7x3 +x5→ max
102. F =5 x1 – 3 x2+5x3 +х4 – 2x5→ min
⎧ х1 + х2 − х5 ≤ 40
⎪
⎨ 2х1 − 2х2 + х3 ≤ 28
⎪х − 3х − х + 2х ≤ 18
3
4
5
⎩ 2
⎧ 2х1 + х2 − 4х3 + 3х4 ≤ 64
⎪
⎨ 4х1 + 6х2 + 2х4 + х5 ≤ 42
⎪− х + 3х + х + 3х − х ≤ 25
2
3
4
5
⎩ 1
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
103. F =3 x2+x3 – 7х4 – 2x5→ mах
104. F =3x1 – 2 x3 + 2х4→ mах
х2 − х3 + х5 ≤ 40
⎧
⎪
⎨ х1 + 2х2 − 2х5 ≤ 28
⎪− х + 2х − 3х + х ≤ 18
3
4
5
⎩ 1
⎧ 2х1 + 2х2 + х3 + 3х4 ≤ 20
⎪
⎨− х1 − х2 + 4х3 + 2х4 ≤ 45
⎪ 2х − 2х + 2х − х ≤ 35
2
3
4
⎩ 1
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
105. F = x1 +2х2 –3 x3 + 5х4→ mах
106. F = x1 –4х2 +5 x4 – 10х5→ mах
⎧ х1 + х2 + 2х3 + 2х4 ≤ 40
⎪
⎨− х1 − 4х2 + 2х3 + 3х4 ≤ 25
⎪ х − х + 2х − х ≤ 30
3
4
⎩ 1 2
⎧ х1 − х4 + х5 ≤ 20
⎪
⎨ 2х1 + х3 + 2х5 ≤ 14
⎪− 3х − х + 2х + х ≤ 9
2
3
4
5
⎩
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
107. F =5 x1 –3 x2+5x3 +х4 – 2x5→ min
108. F = x1 +2 x2+4x3 +2х4–10x5→ mах
⎧ 2х1 + х2 − 4х3 + 3х4 ≤ 64
⎪
⎨ 4х1 + 6х2 + 2х4 + х5 ≤ 42
⎪− х + 3х + х + 3х − х ≤ 25
2
3
4
5
⎩ 1
⎧ 3х1 + х2 + 4х4 − 3х5 ≤ 20
⎪
⎨ х1 − х2 − 3х3 + х4 − х5 ≤ 30
⎪2х + х + х + 3х − х ≤ 25
4
5
⎩ 1 2 3
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
27
109. F = x1 +3 x2 – 2х4→ mах
110. F = 8x2 +7 x4 – х6→ mах
⎧2х1 + 4х2 + х3 + 2х4 ≤ 28
⎪
⎨ 3х1 + 5х2 − 3х4 + х5 ≤ 30
⎪4 х − 2 х − 8х + х ≤ 32
2
4
5
⎩ 1
⎧ х1 − 2 х2 − 3х4 − 2 х6 = 12
⎪
⎨4 х2 + х3 − 4 х4 − 3х6 = 12
⎪ 5х + 5х + х = 25
2
4
6
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x6 ≥ 0
111. F =4 x1 + x2 + x3 – 3х4→ mах
112. F =3 x1 + 2x2→ mах
⎧2х1 − х2 + х3 = 64
⎪
⎨ х1 − х2 + х4 = 42
⎪ х + х ≤ 18
1
2
⎩
⎧ х1 + 3х2 + х3 = 270
⎪
⎨4х1 + 6 х2 + х4 = 600
⎪ 3х + х + х = 240
⎩ 1 2 3
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
113. F =2 x1 – x2+3x3 – 2х4+x5→ mах
114. F = x1 + x2+x3 → min
⎧− х1 + х2 + х3 = 1
⎪
⎨ х1 − х2 + х4 = 1
⎪ х +х +х =2
⎩ 1 2 5
⎧ х1 − х4 − 2 х6 = 5
⎪
⎨ х2 + 2 х4 − 3х5 + х6 = 3
⎪х + 2 х − 5х + 6 х = 5
4
5
6
⎩ 3
x1, …, x5 ≥ 0
x1, … , x6 ≥ 0
115. F =4 x1 + 2x2+x5→ mах
116. F =6 x1 +14 x2+22x3 → mах
⎧6 х1 − 2 х2 + х3 = 546
⎪
⎨4 х1 + 3х2 + х4 = 444
⎪3х + 4 х + х = 480
2
5
⎩ 1
⎧ х1 + 2х2 + 2х3 ≤ 6
⎪
⎨ х1 + 2х2 + 6х3 ≤ 12
⎪3х + 3х + 9х ≤ 27
2
3
⎩ 1
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
28
117. F =3 x1 + 8x2 + 5x3 → mах
118. F = 4x1 + 3x2 + 2x3 → max
⎧ х1 + 3х2 ≤ 4
⎪
⎨ х1 + 2 х3 ≤ 1
⎪ х + 3х + 2 х ≤ 12
2
3
⎩ 1
⎧ х1 + х3 ≤ 6
⎪ х + х ≤8
⎪
1
2
⎨
⎪ х1 + 2 х2 + х3 ≤ 16
⎪⎩2 х1 + х2 + х3 ≤ 18
x1, …, x 3 ≥ 0
x1, …, x 3 ≥ 0
119. F =4x1 + 2,5x2 → mах
120. F =2 x1 +3 x2 → mах
⎧ х1 + х2 ≤ 12
⎪
⎨ 2 х1 + х2 ≤ 20
⎪2 х + 3х ≤ 33
2
⎩ 1
⎧ − 3х1 + 3х2 ≤ 4
⎪
⎨ х1 + 2 х3 ≤ 1
⎪ х + 3х + 2 х ≤ 12
2
3
⎩1
x1, x2 ≥ 0
x1, …, x 3 ≥ 0
121. F =4x1 + 2x2→ max
122. F = 4x1 + 3x2 → max
⎧2 х1 + 3 х2 ≤ 6
⎪ 2х + х ≤ 4
⎪ 1 2
⎨
х1 ≤ 1
⎪
⎪⎩ х1 − х2 ≥ −1
x1, x 2 ≥ 0
⎧ х1 − х2 ≥ −2
⎪5 х + 3 х ≤ 15
2
⎪⎪ 1
≤ 25
⎨ х2
⎪ х − 2х ≤ 2
2
⎪ 1
⎪⎩ 2 х1 − х2 ≥ −2
х1, x 2 ≥0
29
1.1.5. Решение задач линейного программирования
методом искусственного базиса
123. F = 4x1 – x2+ 5x3 – х4+ 2x5→ min
124. F = 4x1 + x2+5x3 +х4+2x5→ min
х1 + 3х2 − 5х4 = 30
⎧
⎪
⎨ − х1 + 4х2 + 3х3 − х5 = 14
⎪3х + х + 2х + х + 2х = 48
3
4
5
⎩ 1 2
⎧2 х1 + 4 х2 − х3 + 2 х4 − х5 = 18
⎪
⎨ х1 + 2 х2 − х3 + 2 х5 ≤ 24
⎪ 6 х + 2 х − 8х − х ≥ 48
1
3
4
5
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
125. F = x1 – x2+2x3 – 4х4→ min
126. F = –x1 + x2+2x3→ min
⎧3х1 + 2х2 + 3х3 + 3х4 ≤ 35
⎪
⎨ − х1 + 2х2 + 2х3 − х4 ≥ 5
⎪ х + х + 2х + 4х ≤ 20
3
4
⎩ 1 2
⎧ 3х1 + 2 х2 + х ≥ 5
⎪
⎨2 х1 + 4 х2 + 2 х3 ≥ 10
⎪ х + х + х ≥ 15
⎩ 1 2 3
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
127.
128.
F = 4x1 –2x2 – 5x3 – х4+3x5→ mах
F=20x1+60x2–40x3+18х4–12x5→min
⎧− х1 + 3х2 − 2 х3 + 3х4 ≤ 60
⎪
⎨ 2 х1 − х2 + 2 х4 − 2 х5 ≥ 32
⎪ х + 4 х + 5 х + х ≤ 48
3
4
5
⎩ 2
⎧ 3х1 + 2 х2 − 4 х3 + х4 = 20
⎪
⎨− 2 х1 − 3х2 + х3 + х5 = 40
⎪ 2 х − х + 2 х + х = 60
3
5
⎩ 1 2
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
129. F = 3x1 – x2 + 4x3 – 6х4 x5→ min
130. F =–4x1+6x2–2x3 + х4 +2x5→ min
⎧2 х1 + 4 х2 − х3 − 5 х4 = 36
⎪
⎨ х1 + 6 х2 + х3 + 2 х5 ≤ 24
⎪ 5 х + 2 х − х ≥ 40
1
3
5
⎩
⎧ 2 х1 + х2 − 2 х3 + х5 = 50
⎪
⎨ х1 − 3х2 + 2 х3 + х5 = −20
⎪− 4 х + 2 х + 3х + х = 10
1
2
3
4
⎩
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
30
131. F = 3x1 +2 x2+4x3 +х4+2x5→ min
132. F = x1 + x2 + x3 → min
⎧ х1 + х2 + х3 + х4 + х5 ≥ 10
⎪
⎨х1 + 2х2 + 3х3 + 5х4 + х5 ≥ 25
⎪ х + х + 7х + х − х ≥ 20
3
4
5
⎩ 1 2
⎧ х1 + 2 х2 − х3 ≥ 5
⎪
⎨2 х1 + 2 х2 + 2 х3 = 10
⎪ 3х + х + х ≤ 50
2
3
⎩ 1
x1, …, x5 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
133. F = 3x1 +2 x2 - x3 → mах
134. F = x1 + x2 - x3 - х4 +x5→ min
⎧3х1 + 2х2 − х3 ≤ 40
⎪
⎨ х1 + х2 + 4х3 ≥ 25
⎪2х + х + 2х ≥ 30
3
⎩ 1 2
⎧7 х1 + 3х2 − х3 + 3х4 − 3х5 ≥ 30
⎪
⎨ х1 + 3х2 + 7 х3 − х4 + 4 х5 ≥ 30
⎪ − 2х + 3х + 2х + х ≥ 40
2
3
4
5
⎩
x1, …, x3 ≥ 0
x1,…, x5 ≥ 0
135. F = 12x1 +27 x2 + 6x3 → min
136. F = 2x1 +2 x2 + 3x3 → min
⎧ 2 х1 + 3х2 + 2 х3 ≥ 14
⎪
⎨ х1 + 3х2 + х3 ≥ 6
⎪6 х + 9 х + 2 х ≥ 22
2
3
⎩ 1
⎧3х1 + 4 х2 + х3 ≥ 20
⎪
⎨ х1 + 3х2 − х3 ≥ 10
⎪2 х − 4 х + х ≥ 15
2
3
⎩ 1
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
137. F = x1 + x2 + x3→ min
138. F = x1 +3x2 + 3x3→ mах
⎧ 2 х1 + х2 + 2 х3 ≥ 10
⎪
⎨− х1 + 3х2 + х3 ≥ 10
⎪ 2 х + х + 3х ≥ 10
3
⎩ 1 2
⎧ х1 + х2 + 3х3 ≤ 60
⎪
⎨ х1 + 2 х2 + х3 ≤ 10
⎪2 х + 3х + х ≥ 10
2
3
⎩ 1
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
31
139. F = 3x1 +5 x2 – 4x3 → mах
140. F = 3x1–4 x2 + 6x3 + х4 – 2x5→ min
⎧3х1 + 4 х2 + 2 х3 ≤ 9
⎪
⎨ 2 х1 + 5х2 + х3 ≤ 8
⎪ х + 2х − 4х ≥ 7
2
3
⎩ 1
⎧ 3х1 − 4 х2 + 2 х3 − х4 = 2
⎪
⎨− х1 + х2 − 3х3 − х5 = −4
⎪ 2х + х − х + х = 6
⎩ 1 2 3 5
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
141. F=5x1–x2+8x3+10х4–5x5+х6→ mах 142. F = x1 +2 x2 –x3 → mах
⎧ х1 − х2 − 3х4 + х5 − х6 = 36
⎪
⎨ − х1 + х2 + х3 − 2х4 + 2х6 = 20
⎪− х − х + 2х − х + 3х + х = 30
3
4
5
6
⎩ 1 2
⎧− х1 + 4 х2 − 2х3 ≤ 6
⎪
⎨ х1 + х2 + 2х3 ≥ 6
⎪ 2х − х + 2х = 4
3
⎩ 1 2
x1,…, x6 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
143. F = 3x1 +5 x2 + 4x3 → mах
144. F = x1 +3 x2 + 2x3 → min
⎧− 3х1 + 4 х2 + 2 х3 ≤ 9
⎪
⎨ х1 + 5х2 + х3 ≤ 8 ,
⎪ х + 2х + 4х ≥ 1
2
3
⎩ 1
⎧3х1 − 2 х2 + х3 ≥ 5
⎪
⎨х1 + х2 + 2 х3 ≥ 10 ,
⎪ х + 3х − х ≥ 2
2
3
⎩ 1
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
145. F = –3x1 + x2 + 3x3 – 34 х4 → min
146. F = 2x1 + x2 – x3 – х4 → min
⎧ х1 + 2х2 − х3 − х4 = 0
⎪
⎨2х1 − 2х2 + 3х3 + 3х4 = 9
⎪ х − х + 2х − х = 6
3
4
⎩ 1 2
⎧ х1 + х2 + 2х3 − х4 = 2
⎪
⎨2х1 + х2 − 3х3 + х4 = 6
⎪ х +х +х +х =7
⎩ 1 2 3 4
x1, …, x4 ≥ 0
x1, …, x4 ≥ 0
32
147. F = x1 + x2 – x3 – 2x5→ min
148. F =x1 – 2x2 +4х4 – 5x5→ mах
⎧ х1 − 2 х2 + х4 = −3
⎪ х − 2х = 2
⎪
3
4
,
⎨
3
5
х
х
х
−
+
≤
2
4
5
⎪
⎪⎩ 2 х1 + х5 ≥ 3
⎧5х1 + 2 х2 − х3 + х4 + х5 = 42
⎪
⎨ 4 х1 − 4 х2 + х3 + х4 = 16
⎪
4 х1 + х4 + х5 = 32
⎩
x1,…, x5 ≥ 0
x1, …, x5 ≥ 0
149. F = 4x1 +3 x2 + 5x3 → mах
150. F = 2x1 +3 x2 + 4x3 → mах
⎧ х1 + х2 + 3х3 ≤ 8
⎪
⎨ х1 − х2 − 3х3 ≥ 10
⎪3х + 2х + х ≥ 12
2
3
⎩ 1
⎧ х1 + 2х2 + х3 ≤ 7
⎪
⎨2х1 − х2 + 3х3 ≥ 10
⎪4х + 2х + х ≥ 15
2
3
⎩ 1
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
151. F = 2x1 +3 x2 + х3→ mах
152. F = 6x1 +27 x2 + 12x3 → min
⎧ х1 + х2 + х3 ≥ 6
⎪
⎨ − 2х1 − х2 + 2 х3 ≤ 4
⎪− 2 х + 3х + 3х ≤ 7
1
2
3
⎩
⎧ х1 + 3х2 + х3 ≥ 6
⎪
⎨ 2 х1 + 3х2 + 2х3 ≥ 14
⎪2х + 9 х + 6х ≥ 22
2
3
⎩ 1
x1, …, x3 ≥ 0
x1, …, x3 ≥ 0
33
ТЕМА 1.2. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ОПЕРАЦИОННОМ АНАЛИЗЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.2.1. Построение экономико-математических моделей ситуаций.
Построение двойственных задач.
Нахождение оптимального решения.
Проведение постоптимального ситуационного анализа
Для всех заданий построить экономико-математические модели ситуаций, найти оптимальные решения этих моделей, провести постоптимальный
ситуационный анализ, построить двойственные задачи.
Ситуация 1
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида,
цены изделий и общее количество имеющихся ресурсов приведены в таблице 22.
Таблица 22
Ресурсы
Древесина, м3
первый вид
второй вид
Трудоемкость, чел.·ч
Цена одного изделия, тыс. руб.
Норма затрат
ресурсов на одно
изделие
стол
шкаф
—
—
0,2
0,1
0,1
0,3
1,2
1,5
6
8
Общее
количество
ресурсов
—
40
45
360
—
1. Считая, что сбыт готовой продукции обеспечен, определить, сколько столов и шкафов следует изготовить фабрике, чтобы доход от их реализации
был максимальным.
2. Определить, увеличение запасов каких ресурсов наиболее выгодно для
34
фабрики и почему.
3. Как изменится решение, если запас древесины первого вида увеличится
на 10 м3?
4. Изменится ли решение, если цена одного стола вырастет на 4 тыс. руб.?
Ситуация 2
Для производства двух сортов мороженого (сливочного и молочного)
комбинат использует сахар и сливки. Нормы затрат этих продуктов, суточные запасы, а также цена реализации по каждому виду мороженого приведены в таблице 23.
Таблица 23
Ресурсы
Норма
затрат ресурсов
на 1 кг мороженого
Общий запас
продуктов
молочное сливочное
Сливки, кг
Сахар, кг
Трудоемкость, чел.-ч
Цена 1 кг мороженого, руб.
0,2
0,2
2
60
0,1
0,4
3
75
160
240
1800
—
1. Считая, что сбыт мороженого полностью обеспечен, определить, сколько
сливочного и молочного мороженого должен выпускать в сутки комбинат, чтобы доход от реализации был максимальным.
2. Определить, увеличение запасов каких продуктов наиболее целесообразно и почему.
3. Если фонд рабочего времени снизится на 300 чел.-ч, как это повлияет на
решение?
4. Если цена 1 кг молочного мороженого возрастет до 90 руб., как это повлияет на определение суточного плана производства?
35
Ситуация 3
Для производства карамели двух видов А и В кондитерская фабрика
использует сахар и фруктовое пюре. Нормы затрат этих продуктов, а также
затраты труда на 1 кг карамели, цены ее реализации и общий запас производственных ресурсов указаны ниже в таблице 24.
Таблица 24
Ресурсы
Сахар, кг
Фруктовое пюре, кг
Трудоемкость, чел.-ч
Цена 1 кг карамели, руб.
Норма затрат ресурсов
на 1 кг изделия
карамель карамель
А
В
0,2
0,6
0,4
0,2
0,4
0,5
45
60
Общий запас
ресурсов
180
120
180
1. Считая, что сбыт обеспечен, определить, сколько карамели А и В надо
выпускать фабрике, чтобы доход от реализации был максимальным.
2. Определить, возможно ли снижение запасов каких-либо ресурсов и на
какую величину.
3. Если запас сахара увеличится до 200 кг, как это повлияет на решение?
4. Если цена 1 кг карамели вида А увеличится до 90 руб., как изменится решение?
Ситуация 4
Для выпуска двух сортов теста кондитерская использует сахар и яйца.
Затраты этих ресурсов, а также затраты труда, общее количество имеющихся
ресурсов и цены за 1 кг теста каждого сорта приведены в таблице 25.
1. Считая, что сбыт полностью обеспечен, определить, сколько теста каждого сорта нужно производить кондитерской фабрике, чтобы доход от
реализации был максимальным.
2. Является ли рабочее время дефицитным ресурсом? Обосновать ответ.
36
3. Если запас сахара снизится на 15 кг, как это повлияет на решение?
4. Если цена теста 1 сорта увеличится до 20 руб. за 1 кг как изменится решение?
Таблица 25
Ресурсы
Яйца, шт.
Сахар, кг
Трудоемкость, чел.-ч
Цена 1 кг теста, руб.
Норма затрат
ресурсов на 1 кг теста
1-й сорт
2-й сорт
5
2
0,3
0,25
0,25
0,5
15
10
Общий запас
ресурсов
1000
75
125
—
Ситуация 5
Для производства стульев и столов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида,
цены единицы готовой продукции и общее количество имеющихся ресурсов
приведены в таблице 26.
Таблица 26
Ресурсы
Древесина, м3
первый вид
второй вид
Трудоемкость, чел.-ч
Цена одного изделия, тыс. руб.
Норма затрат ресурсов
на одно изделие
стул
стол
—
—
1
3
1
0,5
2,5
3
18
24
Общее
количество
ресурсов
—
360
200
900
—
1. Считая, что сбыт готовой продукции обеспечен, определить, сколько
стульев и столов надо выпускать фабрике, чтобы доход от реализации
был максимальным.
2. Ценность какого из ресурсов является наибольшей? Обосновать ответ.
3. Запасы какого из ресурсов можно снизить и на какую величину?
37
4. До какой величины может вырасти цена одного стула, чтобы прежнее решение не изменилось?
Ситуация 6
Фабрика изготовляет краску двух видов: для внутреннего и наружного
пользования, используя при этом сырье двух видов: А и В. Нормы расхода
сырья на 1 т краски каждого вида, общее количество исходных продуктов, а
также цены реализации краски каждого вида приведены в табл. 27.
Таблица 27
Ресурсы
А
В
Цена 1 т краски,
млн. руб.
Норма затрат ресурсов
на 1 т краски, т
для внутреннего для наружного
пользования
пользования
2
3
5
2
1
2
Общий запас
ресурсов
6
10
—
1. Установлено, что суточный спрос на краску для наружного пользования
никогда не превышает 1,5 т. Определить, сколько краски каждого вида
нужно производить фабрике, чтобы ее доход был максимальным.
2. Является ли спрос на краску для наружного пользования дефицитным
«ресурсом» и на сколько желательно его увеличение?
3. Если запас сырья вида В снизится до 8 т, как это повлияет на выбор решения?
4. Если цена краски для наружного пользования вырастет до 3 млн. руб. за
1 т, как вследствие этого изменится решение?
Ситуация 7
Для пошива пальто и курток швейная фабрика использует ткань двух
видов. Расход ткани, общий ее запас, а также цены реализации готовых изделий приведены в таблице 28.
38
1. Установлено, что спрос на куртки не превышает 30 шт. в сутки. Определить, сколько пальто и курток должна производить фабрика, чтобы ее доход был максимальным.
2. Запас какого вида ткани целесообразнее увеличивать и почему?
3. Является ли спрос дефицитным ресурсом и возможно ли изменение его
величины?
4. Если цена куртки вырастет до 18 тыс. руб., повлияет ли это на решение?
Таблица 28
Ткань
Первый вид
Второй вид
Цена одного изделия,
тыс. руб.
Расход ткани
на одно изделие, м
пальто
куртка
5
2
1
4
20
15
Суточный
запас ткани, м
100
40
—
Ситуация 8
Детали двух видов А1 и A2 последовательно обрабатываются на трех
станках. Известны: время обработки одной детали каждого вида каждым
станком и суммарное время работы станков в планируемый период, а также
цены, по которым реализуются готовые детали (табл. 29).
Таблица 29
Станки
I
II
III
Цена одной детали,
тыс. руб.
Время обработки
одной детали
А1
А2
1
2
2
3
3
3
4
3
Время
работы
станков, ч
16
28
30
—
39
1. Установлено, что реализация деталей А1 и А2 обеспечена в любом количестве. Определить, сколько изделий А1 и A2 нужно выпускать цеху, чтобы доход от реализации был максимальным.
2. Является ли фонд времени работы станка III дефицитным ресурсом?
3. Рабочее время каких станков целесообразно увеличивать и на сколько?
4. При изменении цены одной детали А1 до 5 тыс. руб. изменится ли план
производства?
Ситуация 9
Завод выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется
сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы
продукции, запасы сырья и цены готовой продукции приведены в табл. 30.
Таблица 30
Сырье
I
II
III
IV
Цена одной детали,
тыс. руб.
Расход сырья на одно изделие, кг
А
В
2
3
1
0
0
1
2
1
3
2
Запас
сырья, кг
21
4
6
10
—
1. Считая, что сбыт готовой продукции полностью обеспечен, установить
план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальный доход
от реализации.
2. Определить, увеличение запасов каких видов сырья и на какую величину
наиболее целесообразно для завода.
3. Определить, запасы каких ресурсов являются избыточными для установленного плана производства.
4. Если цена изделия В возрастет до 3 тыс. руб., как это повлияет на выбор
решения?
40
Ситуация 10
Четыре станка обрабатывает два вида деталей А и В. Каждая деталь
проходит обработку на всех четырех станках. Известны: время обработки детали на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и цена одной детали А и В (табл. 31).
Таблица 31
Станки
I
II
III
IV
Цена одной детали,
тыс. руб.
Время обработки
одной детали, ч
А
В
1
2
2
3
1
1
3
1
4
1
Время работы
станка за один цикл
производства, ч
16
25
10
24
—
1. Установлено, что сбыт готовой продукции полностью обеспечен. Определить план производства деталей А и В, обеспечивающий максимальный
доход от реализации.
2. Определить, какой из ресурсов является наиболее дефицитным и почему.
3. Какой из станков работает лишнее количество часов и сколько часов?
4. Как изменится план производства, если цена детали В возрастет до 2 тыс.
руб.?
Ситуация 11
Фабрика выпускает два вида тканей (табл. 32). Цена 1 м ткани первого
вида равна 80 руб., второго вида — 100 руб. Суточные ресурсы фабрики: 600
ед. производственного оборудования, 800 ед. сырья и 600 ед. электроэнергии,
расход которых на 1 м ткани представлен в таблице. Установлено, что спрос
на ткань первого вида никогда не превышает 180 м в сутки.
1. Определить план производства тканей, при котором суточный доход фаб-
41
рики будет максимальным.
2. Определить, запасы каких ресурсов можно уменьшить и на какую величину.
3. Является ли спрос на ткань первого вида дефицитным ресурсом и какова
его оценка?
4. Если цена на ткань первого вида увеличится до 90 руб. за 1 м, повлияет ли
это на решение?
Таблица 32
Ткани
Ресурсы
I
2
1
3
Оборудование, ед.
Сырье, ед.
Электроэнергия, ед.
II
3
8
4
Ситуация 12
Швейная фабрика выпускает юбки и брюки, используя при этом
имеющееся оборудование, электроэнергию и ткань. Нормы расхода ресурсов
на одно изделие, запасы этих ресурсов, а также цены готовой продукции
приведены в табл. 33.
Таблица 33
Расход на одно изделие
Ресурсы
Оборудование, чел.-ч
Электроэнергия, кВт·час
Ткань, м
Цена одного готового изделия,
тыс. руб.
юбка
брюки
2
4
1,5
3
2,5
2
1
1,2
Суточный
запас
ресурсов
600
1000
900
1. Зная, что суточный спрос на брюки никогда не превышает 150 шт., определить план производства швейной фабрики, обеспечивающей макси42
мальный доход.
2. Какой из используемых ресурсов является наиболее дефицитным и на
сколько целесообразно увеличить его запас?
3. Возможно ли снижение суточного запаса ткани? Если да, то на какую
величину?
4. Если цена одной юбки снизится до 0,9 тыс. руб., как это повлияет на оптимальное решение?
Ситуация 13
Три станка обрабатывают два вида деталей: А и Б. Каждая деталь проходит обработку на всех трех станках. Известны: время обработки детали на
каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и
цена одной детали каждого вида (табл. 34).
1. Определить план производства деталей А и В, обеспечивающий максимальный доход цеху.
2. Является ли рабочее время второго станка дефицитным ресурсом? Если
да, то на какую величину это время нужно увеличить?
3. Определить возможное снижение времени работы станков за один цикл
производства.
4. Если цена детали В снизится до 5 тыс. руб., как это повлияет на решение?
Таблица 34
Станки
I
II
III
Цена одной детали,
тыс. руб.
Время обработки
одной детали, ч
А
В
1
2
1
1
3
1
4
Время работы
станка за один цикл
производства, ч.
16
10
24
6
43
Ситуация 14
Три станка обрабатывают два вида деталей: А и В. Каждая деталь проходит обработку на всех трех станках. Известны: время обработки детали на
каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и
цена одной детали каждого вида (табл. 35).
Таблица 35
Станки
I
II
III
Цена одной детали,
тыс. руб.
Время обработки
одной детали, ч
А
В
1
2
2
3
3
1
6
Время работы станка
за один цикл
производства, час
16
30
24
2
1. Определить план производства деталей А и В, обеспечивающий максимальный доход.
2. Определить, время работы каких станков является дефицитным ресурсом.
Установить величины целесообразного увеличения этого времени.
3. Если время работы третьего станка снизится до 21 ч за один цикл производства, как это повлияет на решение?
4. Если цена детали В вырастет до 4 тыс. руб., как это повлияет на решение?
Ситуация 15
Предприятие располагает ресурсами двух видов в количестве 120 и
80 ед. соответственно. Эти ресурсы используются для выпуска продукции
двух видов, причем расход на изготовление единицы продукции первого вида составляет 2 ед. ресурса первого вида и 2 ед. ресурса второго вида; единицы продукции второго вида — 3 ед. ресурса первого вида и 1 ед. ресурса второго вида. Цена единицы продукции первого вида — 10 тыс. руб., второго
вида — 15 тыс. руб.
44
1. Установлено, что спрос на продукцию первого вида никогда не превышает 22 шт. в сутки. Определить план производства продукции обоих
видов, обеспечивающий наибольший доход предприятию.
2. Установить, какой из ресурсов наиболее дефицитен и почему.
3. Если спрос на изделия первого вида снизится до 15 шт. в сутки, как это
повлияет на решение?
4. Если цена изделии второго вида снизится до 8 тыс. руб., как это повлияет на решение?
Ситуация 16
Цех выпускает изделия двух видов: валы и втулки. На производство
одного вала рабочий тратит 3 ч, одной втулки — 2ч. Валы предприятие реализует по цене 80 руб. за штуку, втулки — по цене 60 руб. Известно, что в
сутки можно реализовать не более 200 валов и не более 300 втулок.
1. Определить суточную производственную программу цеха, обеспечивающую наибольший доход при условии, если фонд рабочего времени производственных рабочих составляет 900 чел.-ч.
2. Является ли фонд рабочего времени дефицитным ресурсом?
3. Если спрос на валы увеличится до 300 шт., как это повлияет на решение?
4. В каких пределах может меняться цена одной втулки, чтобы прежнее оптимальное решение сохранилось?
Ситуация 17
Обработка деталей двух видов А и В может производиться на трех
станках, причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно
обрабатываться на каждом из станков. Доход от реализации детали А составляет 10 тыс. руб., детали В — 16 тыс. руб. Исходные данные приведены в
таблице 36.
1. Определить производственную программу, максимизирующую доход от
реализации при условии, что спрос на детали В не превышает 200 шт. в
сутки.
2. Определить, фонд рабочего времени каких станков является излишним и
45
на какую величину его можно уменьшить.
3. Если фонд рабочего времени работы второго станка увеличится до
200 ч, увеличится ли при этом доход от реализации?
4. В каких пределах может меняться цена детали А при условии сохранения
оптимального решения?
Таблица 36
Станки
I
II
III
Время обработки
одной детали, ч
А
В
0,2
0,1
0,2
0,5
0,1
0,2
Время работы
станка, ч
100
180
100
Ситуация 18
При продаже двух видов товаров А и В торговое предприятие использует четыре вида ресурсов. Нормы затрат ресурсов на реализацию единицы
товара и объем ресурсов приведены в таблице. Доход от реализации 1 ед. товара А составляет 20 тыс. руб., товара В — 30 тыс. руб (табл. 37).
Таблица 37
Ресурсы
I
II
III
IV
Норма затраты ресурсов на
реализацию 1 ед. товара
А
В
2
2
1
2
4
0
0
4
Количество
ресурсов на
предприятии
12
8
16
12
1. Определить оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий
торговому предприятию максимальный доход.
2. Какой из ресурсов является наиболее дефицитным и почему?
3. Запасы каких ресурсов можно уменьшить и на сколько?
46
4. Как должна измениться цена единицы товара вида А, чтобы прежний
план производства оказался неоптимальным?
Ситуация 19
Хозяйство располагает следующими производственными ресурсами:
площадь пашни составляет 600 га, количество человеко-дней труда — 4000.
В таблице приведена информация о данном хозяйстве (табл. 38).
Таблица 38
Затраты труда, чел.-дн.
Урожайность, ц/га
Культура
зерновые
Кормовые
5
10
28
36
1. Определить наиболее эффективное сочетание зерновых и кормовых культур при условии, что под кормовые культуры должно быть занято не более 300 га пашни.
2. Являются ли затраты труда дефицитным ресурсом и почему?
3. Если площадь пашни увеличится до 800 га, повлияет ли это на решение?
4. Как должна измениться урожайность зерновых культур, чтобы это повлияло на решение?
Ситуация 20
Фабрика по производству игрушек выпускает кукол и мишек. Для их
производства используются поролон и ткань. Нормы расхода этих материалов, суточный запас, а также цены готовой продукции приведены в таблице 39.
1. Установлено, что суточный спрос на кукол не превышает 300 шт. Определить план производства фабрики игрушек, обеспечивающий максимальный доход от реализации.
2. Если спрос на кукол возрастет до 350 шт. в сутки, как изменится решение
и почему?
47
3. Если суточный запас поролона увеличить до 900 кг, как изменится решение?
4. В каких пределах может колебаться цена одной куклы, чтобы оптимальный план производства остался прежним?
Таблица 39
Нормы расхода
на готовое изделие
кукла
мишка
1
1,5
2
1
200
300
Исходные материалы
Ткань, м
Поролон, кг
Цена одного изделия, руб.
Суточный запас
материалов
900
800
Ситуация 21
Составить математическую модель производства мебели специализированным ателье по данным таблицы 40.
Таблица 40
Ресурсы производства
Стул
Стол
Древесина, кг
Пластик, м2
Трудоемкость, чел.-ч
Цена реализации ед. продукции, руб.
2,5
0,6
2,4
900
7,5
1,8
3,6
1500
Объем
ресурса
1250
120
1440
—
1. Найти оптимальный план производства мебели, обеспечивающий максимальную выручку ателье от реализации.
2. Провести анализ на чувствительность оптимального плана к изменениям
объемов ресурсов
3. Определить наиболее дефицитный ресурс.
4. Определить границы устойчивости оптимального плана к колебаниям цен
реализации выпускаемых изделий.
48
Ситуация 22
Составить математическую модель производства мороженого городским хладокомбинатом по данным таблицы 41.
Таблица 41
Ресурсы
Сливки, кг
Сахар, кг
Морозильник, ч
Цена 1 кг, руб.
Пломбир
Крем-брюле
0,6
0,4
1
60
0,4
0,3
1,5
45
Объем
ресурса
360
240
450
—
1. Найти оптимальный план производства мороженого, обеспечивающий
хладокомбинату максимальную выручку от реализации.
2. Провести анализ на чувствительность оптимального плана к изменениям
объемов ресурсов.
3. Определить наиболее дефицитный ресурс.
4. Определить границы устойчивости оптимального плана колебания цен
реализации выпускаемых изделий.
Ситуация 23
Составить математическую модель производства конфет кондитерской
фабрикой по данным таблицы 42.
Таблица 42
Ресурсы
Белочка
Трюфели
Сахар, кг
Шоколад, кг
Орехи, кг
Цена за 1 кг конфет, руб.
0,4
0,3
0,3
90
0,3
0,5
0,2
120
Объем
ресурса
120
150
120
—
49
1. Найти оптимальный план производства конфет, обеспечивающий фабрике максимальную выручку от реализации.
2. Провести анализ на чувствительность оптимального плана к изменениям
объемов ресурсов.
3. Определить наиболее дефицитный ресурс.
4. Определить границы устойчивости оптимального плана к колебаниям цен
реализации выпускаемых изделий.
Ситуация 24
Составить математическую модель производства йогуртов молочным
заводом по данным таблицы 43.
Таблица 43
Ресурсы
Молочная закваска, кг
Сливки, кг
Оборудование, ч
Цена 1 кг, руб.
Сливочный
0,2
0,6
1
50
Молочный
0,3
0,2
0,3
30
Объем ресурса
240
480
900
—
1. Найти оптимальный план производства йогурта, обеспечивающий максимальную выручку заводу от реализации.
2. Провести анализ на чувствительность оптимального плана к изменениям
объемов ресурсов.
3. Определить наиболее дефицитный ресурс.
4. Определить границы устойчивости оптимального плана к колебаниям цен
реализации выпускаемых изделий.
Ситуация 25
Составить математическую модель производства швейного ателье по
данным таблицы 44.
50
Таблица 44
Ресурсы
2
Драп, м
Сатин, м2
Трудоемкость, чел.-ч
Цена реализации ед., тыс. руб.
Пальто
1,5
1,2
5
2,5
Куртка
1
1
3
1
Объем ресурса
150
132
450
—
1. Найти оптимальный план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку ателье от реализации.
2. Провести анализ на чувствительность оптимального плана к изменениям
объемов ресурсов.
3. Определить наиболее дефицитный ресурс.
4. Определить границы устойчивости оптимального плана к колебаниям цен
реализации выпускаемых изделий.
51
РАЗДЕЛ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ
МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
ТЕМА 2.1. НЕЛИНЕЙНОСТЬ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
2.1.1. Решение задач нелинейного программирования
153. f = 3x12 + 3x22 → min
154. f = ( x1 − 3) 2 + ( x2 − 5) 2 → min
− 2 x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
155. f = x12 + x22 + x3 → min
⎧ x1 + x2 + x3 = 4
, x1, 2,3 ≥ 0
⎨
x
x
2
−
3
=
12
⎩ 1
2
157. f = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 → max
156. f = 2 x12 + 2 x22 → max
3 x1 + 3 x2 = 15
x1 , x2 ≥ 0
158.
f = 1,5 x12 + 1,5 x22 → max
x1 + x2 + x3 = 6
x1 + x2 = 8
x1, 2,3 ≥ 0
x1, 2 ≥ 0
159. f = x12 + 2x1x2 + 2x22 + 3x1 +
+ 4 x2 + x3 → min
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎨
⎩2 x1 + 3 x2 = 14
x1, 2,3 ≥ 0
161. f = x12 + 3x22 + 2 x3 → min
x1 + x2 + x3 = 8
x1, 2,3 ≥ 0
160. f = 3x1 x2 + 3x2 x3 → max
⎧ x1 + x2 = 1 / 3
⎨
⎩ x2 + x3 = 1 / 3
x1,2,3 ≥ 0
162. f = 3(x1 − 3)2 + 2(x2 −1)2 + 2x3 → min
⎧− x1 + 4 x2 + x3 = 5
⎨
⎩ x1 + x2 = 6
x1, 2,3 ≥ 0
52
163. f = 2( x1 − 1) 2 + 3( x2 − 3) 2 → min
164. f = 2x12 + 3x1x2 + 2x22 +
+ 5x1 + 6x2 + x3 → min
⎧ x1 − x2 = 6
⎨
⎩2 x1 + x2 + x3 = 15
⎧ x1 + x2 = 6
⎨
⎩− 3 x1 + 2 x2 = 6
x1 , x2 ≥ 0
x1,2,3 не определены
165. f = 2( x1 − 1) 2 + 3( x2 − 3) 2 → min
x1 + x2 = 6
⎧2 x1 + x2 + x3 = 10
⎨
⎩3 x1 − 2 x2 − x3 = 9
x1 , x2 ≥ 0
167. f = x1 x2 + x32 → min
⎧− 2 x1 + x3 = 12
⎨
⎩2 x1 − x2 = 8
x1 , x2 ≥ 0
169. f = ( x1 − 5) 2 + ( x2 − 4) 2 → min
x1 + x2 = 11
x1 , x2 ≥ 0
171. f = x12 + 2 x22 + 3x2 → min
x1 + x2 = 4
x1 , x2 ≥ 0
173. f = x1 x2 + x2 x3 → max
⎧ x1 + x2 = 4
⎨
⎩ x1 + x3 = 4
x1, 2,3 ≥ 0
175. f = 2 x1 x2 + 2 x2 x3 → max
⎧ x1 + x2 = 2
⎨
⎩ x2 + x3 = 2
166. f = x12 + 2 x22 + 3x3 → min
x1, 2,3 ≥ 0
x1, 2,3 ≥ 0
168. f = ( x1 − 5) 2 + ( x2 − 3) 2 → min
x1 − 2 x2 = 5
x1 , x2 ≥ 0
170. f = ( x1 − 3) 2 + 2( x2 − 1) 2 → min
x1 + x2 = 6
x1 , x2 ≥ 0
172. f = x12 + 2 x22 + 4 x3 → min
⎧ x1 + x2 + x3 = 18
⎨
⎩ x1, 2,3 ≥ 0
174. f = ( x1 − 2) 2 + ( x2 − 3) 2 → min
x1 + x2 = 4
x1, 2 ≥ 0
176. f = x12 + x22 → min
x1 + x2 = 4
x1, 2 ≥ 0
53
177. f = 32x1 − 4x12 + 120x2 − 15x22 → min
2 x1 − x2 = 8
x1, 2 ≥ 0
179. f = x12 + x22 → min
178. f = x1 − x22 + 2 x2 − x32 → min
x1 + 2 x2 − x3 = 6
x1, 2,3 ≥ 0
180. f = 2 x12 + 2 x22 → min
3x1 + 3x2 = 15
x1 + x2 = 7
x1,2 — не определены
x1,2 — не определены
181. f = 2 x12 + 2 x22 + x32 → min
182. f = x12 + 5 x22 → min
x1 + x2 + x3 = 8
x1 + x2 = 10
x1, 2,3 ≥ 0
x1,2 — не определены
54
2.1.2. Решение задачи выпуклого программирования
183. f = 8 x1 + 2 x2 + 4 x3 − x32 − x12 → max 184. f = x1 + 3x2 − 2 x12 − 3x22 → max
⎧2 x1 + x2 − x3 ≤ 16
⎨
⎩3 x2 + 4 x3 ≤ 20
x1, 2,3 ≥ 0
185. f = 3x1 + 10 x2 − 2 x12 − 5 x22 → max
⎧4 x1 − x2 ≤ 3
⎨
⎩ x1 + x2 ≤ 2
x1, 2 ≥ 0
⎧ x1 + 3 x2 ≤ 12
⎨
⎩ x1 + x2 ≤ 6
x1, 2 ≥ 0
186. f = 15x1 + 8x2 − x12 − 3x22 + x1x2 → ma
⎧3 x1 + x2 ≤ 15
⎨
⎩ x1 + 3 x2 ≤ 9
x1, 2 ≥ 0
187. f = 5x1 − 6x2 + x12 + 2x22 − 2x1x2 → max 188. f = −6x1 + 5x2 + 2x12 + 2x22 − 3x1x2 → m
⎧ x1 + 3 x2 ≤ 15
⎨
⎩ x1 + x2 ≥ 6
x1, 2 ≥ 0
⎧3 x1 − x2 ≥ 4
⎨
⎩ x1 + 3 x2 ≥ 16
189. f = −5x1 − 6x2 + 2x12 + 3x22 − x1x2 → min 190.
⎧ x1 − x2 ≤ 6
⎨
⎩2 x1 + x2 ≤ 15
x1, 2 ≥ 0
191. f = 3x1 x2 + x1 − x22 → min
⎧ x1 + x2 ≤ 8
⎨
⎩ x1 − x2 ≤ 3
x1, 2 ≥ 0
193. f = 3x1 − 3x2 − x12 − 3x22 → min
⎧3 x1 + x2 ≤ 16
⎨
⎩− x1 + 3 x2 ≤ 4
x1, 2 ≥ 0
x1, 2 ≥ 0
f = 3 x1 + 4 x2 − x12 − x22 → min
⎧ x1 + 2 x2 ≤ 20
⎨
⎩ x1 + x2 ≥ 8
x1, 2 ≥ 0
192. f = 3x1 − 3x2 + 3x12 − x22 → min
⎧ x1 − 2 x2 ≥ 15
⎨
⎩− x1 + x2 ≥ 6
x1, 2 ≥ 0
194. f = 2 x1 x2 − x12 − x22 → min
⎧2 x1 + x2 ≤ 10
⎨
⎩− x1 + 2 x2 ≤ 6
x1, 2 ≥ 0
55
195. f = −2 x1 − x2 + x12 → min
⎧2 x1 + 3 x2 ≤ 6
⎨
⎩2 x1 + x2 ≤ 4
x1, 2 ≥ 0
197.
196. f = − x1 − 2 x2 + x22 → min
⎧3 x1 + 2 x2 ≤ 6
⎨
⎩ x1 + 2 x2 ≤ 4
x1, 2 ≥ 0
198.
f = −8 x1 − 10 x2 + x12 + x22 → min
f = 32x1 + 120x2 − 15x22 + 4 x12 → max
3x1 + 2 x2 + x3 ≥ 6
⎧2 x1 + 5 x2 ≤ 20
⎨
⎩2 x1 − x2 ≤ 8
x1, 2,3 ≥ 0
199. f = 120x1 + 32x2 − 15x12 − 4x22 → max
⎧− x1 + 2 x2 ≥ 8
⎨
⎩5 x1 + 2 x2 ≤ 20
x1, 2 ≥ 0
201. f = 2 x1 x2 − x12 − x22 → max
⎧2 x1 − x2 ≤ 6
⎨
⎩ x1 + 2 x2 ≤ 10
x1, 2 ≥ 0
203. f = 5 x1 + 8 x2 − 2 x22 − 2 x12 → max
⎧ x1 + 2 x2 ≤ 8
⎨
⎩3x1 + 2 x2 ≤ 12
x1, 2 ≥ 0
205. f = 2 x1 − 4 x2 + 4 x22 + 9 x12 → max
⎧ x1 + 2 x2 ≥ 2
⎨
⎩3 x1 + x2 ≤ 1
x1, 2 ≥ 0
x1, 2 ≥ 0
200. f = 8 x1 + 6 x2 − x22 − 15 x12 → max
⎧− x1 + x2 ≤ 1
⎨
⎩ x1 ≤ 3
x1, 2 ≥ 0
202. f = − x1 + 2 x22 + 2 x12 → max
⎧2 x1 + x2 ≤ 6
⎨
⎩− x1 + 2 x2 ≤ 2
x1, 2 ≥ 0
204. f = 8 x1 + 9 x22 + 4 x12 + 4 → max
x1 + 2 x2 ≤ 2
206.
x1, 2 ≥ 0
f = 4 x1 + 10 x2 − x22 − x12 → max
⎧ x + x2 ≤ 4
⎨
⎩ x2 ≤ 2
x1, 2 ≥ 0
56
207.
208.
f = 2 x1 + 4 x2 − 2 x22 − x12 → max
⎧ x1 + 2 x2 ≤ 8
⎨
⎩2 x1 − x2 ≤ 12
x1, 2 ≥ 0
209. f = − x12 − x22 + 2 x2 + 3x3 → max
⎧ x1 + x2 + x3 ≤ 18
⎪
⎨ x2 ≤ 12
⎪ x + 2 x ≤ 14
3
⎩1
x1,2,3 ≥ 0
211. f = x1 + 8 x2 − x22 − x12 → max
⎧ x1 + x2 ≤ 12
⎨
⎩ x2 ≤ 5
x1, 2 ≥ 0
f = x1x2 − 2x12 − 2x22 + x1 + 4x2 → max
⎧ x1 + 2 x2 ≤ 12
⎨
⎩3x1 + x2 ≤ 15
x1, 2 ≥ 0
210. f = −2 x1 + 8 x2 − x22 − x12 → max
⎧ x1 + 2 x2 ≤ 12
⎨
⎩− x1 + x2 ≤ −8
x1, 2 ≥ 0
212. f = 2 x1 + 3x2 − 2 x22 − 5 x12 → max
⎧ x1 + 2 x2 ≤ 6
⎨
⎩2 x1 − x2 ≤ 8
x1, 2 ≥ 0
57
2.1.3. Решение задач динамического программирования
Задача 213
Студенту нужно выбрать 10 учебных курсов по четырем различным
научным дисциплинам, причем он должен выбрать не менее одного курса по
каждой дисциплине. Цель студента — распределить 10 курсов по четырем
дисциплинам таким образом, чтобы получить максимум знаний в четырех
областях науки. Студент понимает, что, отдав предпочтение какой-либо одной из дисциплин, он не добьется существенного увеличения знаний, поскольку материал либо окажется слишком сложным для него, либо будет повторяться в различных курсах. В качестве показателя, характеризующего результаты обучения, рассматривается функция количества выбранных курсов
по каждой из дисциплин, значение которой по 100-балльной шкале приведены ниже в таблице. Предполагается, что группировка курсов по каждой
из дисциплин осуществлена в соответствии с требованиями учебного процесса. Постройте модель динамического программирования, используя рекуррентное соотношение для процедур прямой и обратной прогонки (табл. 45).
Таблица 45
Дисциплина
I
II
III
IV
1
25
20
40
45
2
50
70
60
55
Количество учебных курсов
3
4
5
6
7
8
60 80 100 100 100 100
90 100 100 100 100 100
80 100 100 100 100 100
85 100 100 100 100 100
9
100
100
100
100
10
100
100
100
100
Задача 214
Фирма, которая специализируется на сдаче оборудования в аренду, намеревается ассигновать средства в объеме С на приобретение станков двух
типов (табл. 46). Если х — денежные средства, затраченные на покупку станков типа I, то прибыль от сдачи оборудования в аренду к концу первого года
составит g1(x) для станков типа I и g2(C–x) — для станков типа II. Фирма
осуществляет продажу оборудования по истечении одного года его исполь58
зования. Остаточные стоимости для станков типа I и II в период времени t заданы функциями ptx и qtx, где 0< ptx <1 и 0 < qtx < 1. В конце каждого года
доход от экстренной продажи оборудования направляется на приобретение
новых станков. Продолжительность описанного цикла деятельности фирмы
составляет N лет, причем вид функций g1 и g2 не изменяется во времени. Постройте модель динамического программирования, отвечающую условиям
данной задачи, используя рекуррентное соотношение для процедуры обратной прогонки. Найдите оптимальное решение, если N=5.
Таблица 46
t
p
q
1
0,5
0,6
2
0,9
0,1
3
0,4
0,5
4
0,5
0,7
5
0,9
0,5
Задача 215
Имеется пять предприятий, между которыми следует распределить
2000 единиц ограниченного ресурса. Получаемая предприятиями прибыль в
зависимости от выделенной суммы x представлена в таблице (табл. 47). Приняв условие, что выделенные средства кратны 500, найти оптимальный план
распределения.
Таблица 47
Выделяемый
объем ресурса
x
0
500
1000
1500
2000
1
0
30
55
120
150
Прибыль, получаемая
от предприятий
2
3
4
0
0
0
40
35
30
60
70
70
130 130 125
145 140 170
5
0
35
75
150
200
59
ТЕМА 2.2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ
2.2.1. Решение транспортных задач
Обозначения:
Аi — запасы груза в i-м пункте отправления;
Вj — потребности в грузе в j-м пункте назначения;
Сij — тарифы перевозок единицы груза из i-го пункта отправления в j-й
пункт назначения.
216. A1 =50, A2 =70, A3 = 60,
В1 =60, В2 =60, В3 = 50
⎛ 2 3 2⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 2 4 5 ⎟
⎜6 5 7⎟
⎝
⎠
218. A1 =50, A2 =60, A3 = 70, A4=40,
В1 =90, В2 =70, В3 = 50
⎛ 10
⎜
⎜ 27
Сij = ⎜
13
⎜⎜
⎝ 15
22 17 ⎞
⎟
12 23 ⎟
18 15 ⎟
⎟
26 13 ⎟⎠
217. A1 =200, A2 =300, A3 = 100,
В1=150, В2=250, В3=100, В4=100
⎛6 4 4 5⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 6 9 5 8 ⎟
⎜ 8 2 10 6 ⎟
⎝
⎠
219. A1 =25, A2 =18, A3 = 12, A4 = 15,
В1 =15, В2 =25, В3 = 8, В4=12
⎛2
⎜
⎜3
Сij = ⎜
1
⎜⎜
⎝4
6⎞
⎟
5 7 5⎟
8 4 5⎟
⎟
3 28 8 ⎟⎠
4
3
220. A1 =18, A2 =10, A3 = 20,
221. A1 =20, A2 =40, A3 = 30,
В1 =25, В2 =10, В3 = 13
В1 =30, В2 =40, В3 = 20
⎛ 4 1 5⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 2 3 6 ⎟
⎜ 5 7 4⎟
⎝
⎠
⎛7 5 3⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 4 6 1 ⎟
⎜ 3 2 4⎟
⎝
⎠
60
222. A1 =40, A2 =30, A3 = 30,
В1 =20, В2 =25, В3 = 30, В4=25
⎛4 2 5 7⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 6 0 3 1 ⎟
⎜5 4 2 6⎟
⎝
⎠
223. A1 =20, A2 =30, A3 = 40,
В1 =20, В2 =30, В3 = 20, В4=20
⎛ 4 1 5 3⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 2 6 4 7 ⎟
⎜ 5 3 6 4⎟
⎝
⎠
224. A1 =60, A2 =40, A3 =70, A4 = 30, 225. A1 =70, A2 =50, A3 =20, A4 = 30,
В1 =60, В2 =40, В3 = 30,
В4=30, В5=30
⎛5
⎜
⎜6
Сij = ⎜
7
⎜⎜
⎝3
2 0 7 3⎞
⎟
1 4 2 8⎟
4 3 6 1⎟
⎟
5 6 4 2 ⎟⎠
226. A1 =100, A2 =150, A3 =50,
В1= 50, В2= 40, В3= 10, В4= 15,
В5 = 25, В6 = 30
⎛6
⎜
⎜8
Сij = ⎜
3
⎜⎜
⎝5
3 1 5 7 4⎞
⎟
4 2 4 3 6⎟
5 5 6 2 4⎟
⎟
1 1 3 6 2 ⎟⎠
227. A1 =40, A2 =50, A3 =30,
В1 =75, В2 =80, В3 = 60, В4=85
В1 =20, В2 =40, В3 = 30, В4=30
⎛6 7 3 5⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 1 2 5 6 ⎟
⎜ 3 10 20 4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 3,0 2,5 3,5 4,0 ⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 2,0 4,5 5,0 1,0 ⎟
⎜ 6,0 3,8 4,2 2,8 ⎟
⎝
⎠
228. A1 =40, A2 =50, A3 =60, A4=30,
229. A1 =40, A2 =50, A3 =30,
В1 =60, В2 =80, В3 = 40
В1 =50, В2 =45, В3 = 30, В4=20
⎛4
⎜
⎜6
Сij = ⎜
7
⎜⎜
⎝5
⎛ 6,5 4,3 5,1 4,0 ⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 3,0 7,4 3,5 6,3 ⎟
⎜ 4,3 5,7 6,5 3,8 ⎟
⎝
⎠
3 5⎞
⎟
2 1⎟
4 2⎟
⎟
6 3 ⎟⎠
61
230. A1 =115, A2 =175, A3 =130,
231. A1=280, A2=175, A3=125,
В1=70, В2=220, В3=40,
A4=130, В1 =90, В2 =180,
В4=30, В5=60
В3 = 10, В4=130
⎛ 4 5 2 8 6⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 5 1 9 7 3 ⎟
⎜ 2 6 7 2 1⎟
⎝
⎠
232. A1 =50, A2 =160, A3 =70,
⎛4
⎜
⎜7
Сij = ⎜
1
⎜⎜
⎝2
5 3 7⎞
⎟
6 2 9⎟
3 9 8⎟
⎟⎟
4 5 6⎠
233. A1 =40, A2 =60, A3 =20,
A4 = 100, В1=80, В2=100,
A4=80, В1=30, В2=30,
В3=90, В4=50, В5=60
В3=60, В4=50, В5=100
⎛4
⎜
⎜5
Сij = ⎜
3
⎜⎜
⎝2
2 3 6 1⎞
⎟
3 4 2 6⎟
4 7 3 2⎟
⎟
6 5 4 3 ⎟⎠
234. A1 =40, A2 =60, A3 =40,
⎛4
⎜
⎜5
Сij = ⎜
3
⎜⎜
⎝2
2 3 6 1⎞
⎟
3 4 2 6⎟
4 7 3 2⎟
⎟
6 5 4 3 ⎟⎠
235. A1 =46, A2 =34, A3 =40,
В1 =30, В2 =80, В3 = 60, В4=50
В1 =40, В2 =35, В3 = 30, В4=45
2 1,2 ⎞
⎛ 4,5 3
⎜
⎟
5
6 1⎟
Сij = ⎜ 4
⎜ 3,5 2,6 1,3 1,4 ⎟
⎝
⎠
⎛4 3 2 7⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 1 1 6 4 ⎟
⎜ 3 5 9 4⎟
⎝
⎠
236. A1 =30, A2 =40, A3 =20, A4 = 20, 237. A1 =110, A2 =190, A3 =90,
В1 =50, В2 =10, В3 = 20, В4=40
В1 =80, В2 =60, В3 = 170, В4=80
⎛5
⎜
⎜3
Сij = ⎜
8
⎜⎜
⎝6
⎛8 1 9 7 ⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 4 6 2 12 ⎟
⎜3 5 8 9 ⎟
⎝
⎠
6 1 2⎞
⎟
1 5 2⎟
4 2 5⎟
⎟
5 2 4 ⎟⎠
62
238. A1 =45, A2 =30, A3 =50,
239. A1 =200, A2 =300, A3 =100,
В1 =20, В2 =40, В3 = 45, В4=20
В1=100, В2=60, В3=100, В4=100
⎛ 4 2 3 5⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 3 6 2 0 ⎟
⎜1 5 4 7⎟
⎝
⎠
⎛6 4 4 5⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 6 9 5 8 ⎟
⎜ 8 2 10 6 ⎟
⎝
⎠
240. A1 =60, A2 =70, A3 =50,
241. A1 =20, A2 =16, A3 =14, A4=15,
В1 =40, В2 =30, В3 = 20, В4=50
В1 =22, В2 =16, В3 = 18, В4=12,
⎛2 4 5 1⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 2 3 9 4 ⎟
⎜8 4 2 5⎟
⎝
⎠
⎛2
⎜
⎜3
Сij = ⎜
5
⎜⎜
⎝4
242. A1 =30, A2 =5, A3 =45, A4 = 40,
В1=10, В2=35, В3=15,
3 9 7⎞
⎟
4 6 1⎟
1 2 2⎟
⎟
5 8 1 ⎟⎠
243. A1 =25, A2 =55, A3 =22,
В1 =45, В2 =15, В3 = 22, В4=20,
В4=25, В5=55, В6=10
⎛3
⎜
⎜7
Сij = ⎜
6
⎜⎜
⎝3
7 1 5 4 9⎞
⎟
5 8 6 3 4⎟
4 8 3 2 5⎟
⎟
1 7 4 2 3 ⎟⎠
244. A1 =12, A2 =5, A3 =18,
В1 =10, В2 =11, В3 = 8, В4=6
⎛10 3 5 7 ⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 5 7 6 4 ⎟
⎜ 1 4 3 7⎟
⎝
⎠
⎛ 9 5 3 10 ⎞
⎜
⎟
Сij = ⎜ 6 3 8 2 ⎟
⎜3 8 4 7 ⎟
⎝
⎠
245. A1 =120, A2 =30, A3 =40,
A4 = 60, В1=30, В2=90,
В3=80, В4=20, В5=30
⎛2
⎜
⎜3
Сij = ⎜
6
⎜⎜
⎝3
8 4 6 3⎞
⎟
2 5 2 6⎟
5 8 7 4⎟
⎟
4 4 2 1 ⎟⎠
63
2.2.2. Решение задач о назначении венгерским методом по известной матрице эффективностей
⎛1
⎜
⎜6
⎜9
246. C = ⎜
⎜2
⎜9
⎜
⎜1
⎝
6 5 6 1 2⎞
⎟
9 1 3 7 2⎟
9 2 1 4 9⎟
⎟
3 2 6 8 2⎟
7 4 7 3 8⎟
⎟
3 2 2 5 1 ⎟⎠
⎛2
⎜
⎜4
⎜2
247. C = ⎜
⎜4
⎜1
⎜
⎜3
⎝
5 5 6 6 3⎞
⎟
3 6 7 8 1⎟
4 4 5 5 1⎟
⎟
5 4 6 7 1⎟
4 4 5 6 2⎟
⎟
3 4 5 6 1 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜4
⎜5
248. С = ⎜
⎜7
⎜5
⎜
⎜4
⎝
7 8 9 2 5⎞
⎟
4 3 1 9 4⎟
3 9 2 1 1⎟
⎟
5 4 8 9 3⎟
6 3 8 8 7⎟
⎟
3 9 1 1 2 ⎟⎠
⎛6
⎜
⎜1
⎜3
249. С = ⎜
⎜2
⎜8
⎜
⎜
⎝8
3 4 5 2 5⎞
⎟
2 3 1 4 2⎟
3 5 4 2 1⎟
⎟
4 1 6 7 8⎟
9 6 3 4 3⎟
⎟
2 1 9 3 2 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜4
⎜8
250. С = ⎜
⎜1
⎜1
⎜
⎜7
⎝
9 9 2 5 1⎞
⎟
5 1 6 3 2⎟
4 5 7 2 2⎟
⎟
2 4 3 7 4⎟
2 4 3 7 1⎟
⎟
4 3 8 2 2 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜2
⎜1
251. С = ⎜
⎜0
⎜3
⎜
⎜3
⎝
3 3 2 6 6⎞
⎟
2 1 0 5 4⎟
4 2 3 7 5⎟
⎟
2 0 0 3 1⎟
4 1 2 6 4⎟
⎟
3 3 3 4 5 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜8
⎜1
252. С = ⎜
⎜6
⎜8
⎜
⎜2
⎝
3 5 4 2 1⎞
⎟
2 1 9 3 2⎟
2 3 1 4 2⎟
⎟
3 4 5 2 5⎟
9 6 3 4 3⎟
⎟
4 1 6 7 8 ⎟⎠
⎛6
⎜
⎜4
⎜3
253. С = ⎜
⎜9
⎜5
⎜
⎜1
⎝
1 7 4 2 8⎞
⎟
5 2 3 3 1⎟
6 4 9 8 3⎟
⎟
1 3 2 8 2⎟
4 2 3 6 5⎟
⎟
3 4 2 1 2 ⎟⎠
64
⎛1
⎜
⎜4
⎜3
254. С = ⎜
⎜4
⎜2
⎜
⎜
⎝2
4 4 5 6 2⎞
⎟
5 4 6 7 1⎟
3 4 5 6 1⎟
⎟
3 6 7 8 1⎟
4 4 5 5 1⎟
⎟
5 5 6 6 3 ⎟⎠
⎛8
⎜
⎜1
⎜3
255. С = ⎜
⎜2
⎜5
⎜
⎜
⎝2
6 4 2 1 7⎞
⎟
4 3 3 5 2⎟
3 9 8 6 4⎟
⎟
9 2 8 1 3⎟
5 3 6 4 2⎟
⎟
1 2 1 3 4 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜1
⎜0
256. С = ⎜
⎜3
⎜3
⎜
⎜
⎝2
4 1 2 6 4⎞
⎟
4 2 3 7 5⎟
2 0 0 3 1⎟
⎟
3 3 2 6 6⎟
3 3 3 4 5⎟
⎟
2 1 0 5 4 ⎟⎠
⎛0
⎜
⎜3
⎜2
257. С = ⎜
⎜1
⎜3
⎜
⎜
⎝3
2 0 0 3 1⎞
⎟
3 3 3 4 5⎟
2 1 0 5 4⎟
⎟
4 2 3 7 5⎟
3 3 2 6 6⎟
⎟
4 1 2 6 4 ⎟⎠
⎛4
⎜
⎜1
⎜2
258. С = ⎜
⎜3
⎜4
⎜
⎜2
⎝
3 6 7 8 1⎞
⎟
4 4 5 6 2⎟
4 4 5 5 1⎟
⎟
3 4 5 6 1⎟
5 4 6 7 1⎟
⎟
5 5 6 6 3 ⎟⎠
⎛2
⎜
⎜3
⎜8
259. С = ⎜
⎜8
⎜6
⎜
⎜1
⎝
4 1 6 7 8⎞
⎟
3 5 4 2 1⎟
9 6 3 4 3⎟
⎟
2 1 9 3 2⎟
3 4 5 2 5⎟
⎟
2 3 1 4 2 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜1
⎜3
260. С = ⎜
⎜3
⎜2
⎜
⎜0
⎝
3 3 2 6 6⎞
⎟
4 2 3 7 5⎟
4 1 2 6 4⎟
⎟
3 3 3 4 5⎟
2 1 0 5 4⎟
⎟
2 0 0 3 1 ⎟⎠
⎛4
⎜
⎜3
⎜1
261. С = ⎜
⎜2
⎜4
⎜
⎜2
⎝
5 4 6 7 1⎞
⎟
3 4 5 6 1⎟
4 4 5 6 2⎟
⎟
4 4 5 5 1⎟
3 6 7 8 1⎟
⎟
5 5 6 6 1 ⎟⎠
⎛3
⎜
⎜3
⎜2
262. С = ⎜
⎜3
⎜1
⎜
⎜
⎝0
3 3 3 4 5⎞
⎟
3 3 2 6 6⎟
2 1 0 5 4⎟
⎟
4 1 2 6 4⎟
4 2 3 7 5⎟
⎟
2 0 0 3 1 ⎟⎠
⎛0
⎜
⎜3
⎜2
263. С = ⎜
⎜1
⎜3
⎜
⎜
⎝3
2 0 0 3 1⎞
⎟
3 3 3 4 5⎟
2 1 0 5 4⎟
⎟
4 2 3 7 5⎟
3 3 2 6 6⎟
⎟
4 1 2 6 4 ⎟⎠
65
2.2.3. Решение целочисленных задач методом Гомори
264. f = 3x1 + 4 x2 → max
265. f = 2 x1 + 3x2 → max
⎧3x1 + 2 x2 + x3 = 8
⎨
⎩ x1 + 4 x2 + x4 = 10
⎧ x1 + 4 x2 + x3 = 8
⎪
⎨ x1 + x4 = 4
⎪ x + x = 5,5
5
⎩ 1
x j ≥ 0, целые
x j ≥ 0, целые
266. f = x1 → max
⎧ x1 + 3x2 + x3 = 12
⎨
⎩ x1 + x2 − 8 x3 = 24
x j ≥ 0, целые
268. f = 3x1 + 4 x2 → max
⎧3 x1 + 2 x2 ≤ 8
⎨
⎩ x1 + 4 x2 ≤ 10
x1, 2 ≥ 0, целые
267. f = x1 + 3x2 + x3 → max
⎧ x1 + 2 x2 − x3 ≤ 4
⎪
⎨2 x1 + 3x2 + x3 ≥ 10
⎪x + 2x ≤ 6
3
⎩ 2
x j ≥ 0, целые
269. f = 3x1 + 3x2 → max
⎧ x1 + 8 x 2 ≥ 6
⎪
⎨3 x1 + 2 x2 ≤ 36
⎪− x + x ≤ 13
2
⎩ 1
x1, 2 ≥ 0, целые
270. f = x1 + x2 → max
⎧ x1 + 3 x2 ≤ 6
⎨
⎩3 x1 − 8 x2 ≤ 24
x1, 2 ≥ 0, целые
271. f = x1 + x2 → max
⎧2 x1 + x2 + x3 = 6
⎪
⎨2 x1 + 4 x2 + x4 = 10
⎪x + 2x − x = 2
2
5
⎩ 1
x1, 2 ≥ 0, целые
66
272. f = x1 + x2 → max
⎧3 x1 + 2 x2 ≤ 5
⎨
⎩ x2 ≤ 2
x j ≥ 0, целые
273. f = x1 + 2 x 2 + x5 → min
5
⎧
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
⎪
3
⎪
2
⎪
⎨ x2 + x3 + x4 + x5 =
3
⎪
1
⎪
−
+
=
x
x
x
3
4
5
⎪⎩
3
x j ≥ 0, целые
274. f = x1 + 5 x2 → max
275. f = 2 x1 + 2 x2 + 10 → max
⎧2 x1 + x2 + x3 = 7
⎨
⎩ x1 + 4 x2 − x4 = 8
⎧2 x1 + x2 + x3 = 5
⎨
⎩2 x1 + 3 x2 + x4 = 9
x j ≥ 0, целые
x j ≥ 0, целые
276. f = 12 x1 + 27 x2 + 6 x3 → min
277. f = 2 x1 + 3x2 + 4 x3 → max
⎧2 x1 + 3 x 2 + 2 x3 ≥ 14
⎪
⎨ x1 + 3 x2 + x3 ≥ 6
⎪6 x + 9 x + 2 x ≥ 22
2
3
⎩ 1
⎧ x1 + 2 x2 + x3 ≤ 7
⎪
⎨2 x1 − x2 + 3 x3 ≥ 10
⎪4 x + 2 x − x ≥ 15
2
3
⎩ 1
x j ≥ 0, целые
x j ≥ 0, целые
278. f = 3 x1 + x2 + 4 x3 → max
279. f = x1 + 0,25x2 → max
⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 + x5 = 6
⎨
⎩3 x1 + x2 + 2 x4 + x6 = 11
⎧2 x1 + x2 + x3 = 3,5
⎨
⎩3 x1 + 10 x2 + x4 = 15
x j ≥ 0, целые
x j ≥ 0, целые
67
280. f = 2 x1 + 3x2 → min
281. f = x1 + x2 → max
⎧2 x1 + x2 − x3 = 9
⎨
⎩3 x1 − 4 x2 − x4 = 3
⎧2 x1 + x2 + x3 = 6
⎨
⎩2 x1 + 3 x2 + x4 = 9
x j ≥ 0, целые
x j ≥ 0, целые
282. f = −3x1 + x2 − 3x3 − 2 x4 → max 283. f = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 + x4 → min
⎧− 5 x1 + x2 − 3 x3 − 2 x4 ≤ −1
⎨
⎩2 x1 + x2 − x3 + 3 x4 ≤ 2
x j ≥ 0, целые
⎧ x1 − x2 + 2 x3 + x4 ≥ 8
⎨
⎩3 x1 + x3 ≥ 5
x j ≥ 0, целые
284. f = 2 x1 − 2 x2 + 3x3 + 3x4 → max 285. f = 2 x1 + 3x2 + 4 x3 → min
⎧ x1 − 2 x2 + x4 = 3,5
⎪
⎨ x 2 + x3 − 2 x 4 = 5
⎪3 x + x + x = 4
4
5
⎩ 2
⎧2 x1 + 3 x 2 + 2 x3 ≥ 14
⎪
⎨ x1 + 3 x 2 + x3 ≥ 6
⎪6 x + 9 x + 2 x ≥ 22
2
3
⎩ 1
x j ≥ 0, целые
x j ≥ 0, целые
68
2.2.4. Определение эффективности
систем массового обслуживания
286. Чему равна интенсивность λ в одноканальной СМО с отказами,
если среднее число занятых каналов равно 0,8, а среднее время обслуживания
заявки каналом составляет 0,5 минут?
287. Какому условию должны удовлетворять интенсивности λ и μ для
одноканальной СМО с отказами, чтобы вероятность обслуживания составляла 0,9?
288. Чему равна интенсивность λ в одноканальной СМО с отказами,
если среднее число занятых каналов равно 0,6, а среднее время обслуживания
заявки каналом составляет полминуты?
289. Чему равна интенсивность λ в одноканальной СМО с отказами,
если среднее число занятых каналов равно 0,5, а среднее время обслуживания
заявки каналом составляет 0,6 минуты?
290. Какому условию должны удовлетворять интенсивности λ и μ для
одноканальной СМО с отказами, чтобы вероятность обслуживания составляла 0,8?
291. Чему равна интенсивность λ в одноканальной СМО с отказами,
если среднее число занятых каналов равно 0,4, а среднее время обслуживания
заявки каналом составляет 0,5 минут?
292. Вычислите интенсивности потоков λ и μ одноканальной СМО с
отказами, если вероятность отказа равна 0,2, а среднее время обслуживания
заявки системой — 0,5 суток.
293. Какому условию должны удовлетворять интенсивности λ и μ для
одноканальной СМО с отказами, чтобы вероятность обслуживания составляла 0,5?
69
294. Вычислите интенсивности потоков λ и μ одноканальной СМО с
отказами, если вероятность отказа равна 0,5, а среднее время обслуживания
заявки системой — 0,2 суток.
295. Приведенная интенсивность одноканальной СМО с неограниченной очередью составляет 0,5. Определить интенсивность λ, если среднее
время пребывания заявки в очереди составляет 0,25 часа.
296. Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке. Требуется:
а) написать систему уравнений Колмогорова и начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент времени система находилась в состоянии S0;
б) найти значения λ30 и λ03 , при которых
Рис. 1
система наибольшее время при предельном стационарном режиме (t → ∞ )
будет находиться в состоянии S2, если λ30 =2 при λ03 =1 и λ30 =3 при λ03 =2.
297. Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке. Требуется:
а) написать систему уравнений Колмогорова и начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент
времени система находилась в состоянии S4;
б) найти эффективность функционирования системы при предельном стационарном режиме (t → ∞ ) , если доход системы в зависимо-
Рис. 2
сти от ее состояния составляет, соответственно, –100 для S0 и S4, +80 для S1
и S3 , +200 для S2.
298. Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке.
Требуется:
70
а) написать систему уравнений Колмогорова
и начальные условия для решения этой системы,
если известно, что в начальный момент времени
система находилась в состоянии S3;
б) найти финальные вероятности состояний;
в) найти такое минимальное значение λ02 ,
при котором финальная вероятность p2 увеличитРис. 3
ся на 0,1.
299. Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке. Требуется:
а) написать систему уравнений Колмогорова и начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент времени система находилась в состоянии S0 ;
б) вычислить финальные вероятности сисРис. 4
темы;
в) определить, как изменится эффективность функционирования системы, если λ21 = λ12 =1, а доходы составляют
D(S0) = 100, D(S1) = 60, D(S2) = 40, D(S3) = –20, D(S4) = –40,
для первого и второго случаев λ21 и λ12 .
300. Размеченный граф состояний системы
представлен на рисунке. Требуется:
а) написать систему уравнений Колмогорова и
начальные условия для решения этой системы, если
известно, что в начальный момент времени система
находилась в состоянии S3;
Рис. 5
71
б) вычислить финальные вероятности системы и время пребывания
системы в состоянии S3, если λ30 =0.
301. Размеченный граф состояний системы
представлен на рисунке. Требуется:
а) написать систему уравнений Колмогорова
и начальные условия для решения этой системы,
если известно, что в начальный момент времени
система находилась в состоянии S1;
б) найти значения λ12 и λ21 , при которых
система наибольшее время при предельном стационарном режиме (t → ∞ ) будет находиться в состоянии S3, если
Рис. 6
λ12 =2 при λ21 =1 и λ12 =3 при λ21 =2.
302. Размеченный граф состояний системы
представлен на рисунке. Требуется:
а) написать систему уравнений Колмогорова
и начальные условия для решения этой системы,
если известно, что в начальный момент времени
система находилась в состоянии S1;
б) вычислить финальные вероятности системы;
в) при каком наборе значений: ( λ32 =1 и
Рис. 7
λ24 =1) или ( λ32 =2 и λ24 =2), — система наибольшее время будет находиться в
состоянии S2 (t → ∞ ) .
303. Вычислительная система имеет две ЭВМ. Интенсивность потока
на вычислительные работы составляет 4 заявки в час. Среднее время выполнения одного расчета 0,25 часа. Система может работать в двух режимах: а)
без очереди, б) с очередью в два места. Найти основные характеристики
СМО для двух режимов работы системы.
304. Автозаправочная станция имеет две колонки и площадку на два
места очереди. Требуется определить основные характеристики АЗС, если
72
среднее время пребывания машин для заправки составляет 1 мин, а интенсивность обслуживания — 0,5 (1/мин). Определить минимальное количество
колонок и мест в очереди для АЗС, если необходимо сохранить абсолютную
пропускную способность (из 1 вопроса) при увеличении интенсивности обслуживания в 2 раза.
305. Требуется определить оптимальное по максимуму дохода количество разгрузочных мест на складе, если: среднее время (интервал) пребывания машины с грузом составляет 2 часа, интенсивность потока разгрузки
машины равна 0,5 (1/час), доход за каждую разгруженную машину составляет 100 тыс. руб, а расход при эксплуатации разгрузочного места — 10 тыс.
руб. в час.
306. СМО имеет 2 канала и 1 место в очереди. Сравнить два варианта
обслуживания и использования СМО, если среднее время поступления заявок в систему и обслуживания каналом составляют, соответственно, 30 минут и 1,5 часа:
а) СМО работает в режиме равномерной взаимопомощи без очереди;
б) СМО работает в обычном режиме, обслуживая с одним местом
в очереди.
307. Железнодорожная станция имеет две кассы, которые могут работать в двух режимах:
а) обе кассы продают билеты в любом направлении,
б) одна касса продает билеты на запад, другая — на восток.
Требуется определить наиболее эффективный режим работы касс по
числу проданных билетов, если поток заявок на билеты имеет интенсивность
18 в час (при равном среднем количестве заявок на восток и на запад),
а среднее время обслуживания одной заявки составляет 5 минут.
308. Вычислительная система имеет 2 ЭВМ. Среднее время поступления заявок на расчет и выполнение одного расчета составляет 0,25 часа и
0,2 часа соответственно. Требуется:
а) определить, какое минимальное количество мест необходимо
ввести в систему, чтобы вероятность обслуживания заявки составила не менее 0,9;
73
б)
вычислить основные характеристики СМО, найденной в п. а).
309. Система имеет 2 прибора наблюдения. Интенсивность потока
заявок по наблюдениям составляет 4 единицы в час. Среднее время выполнения одного наблюдения 3 минуты. Определить основные характеристики
системы наблюдения, как СМО для случая режима работы без взаимопомощи и для случая режима работы с равномерной взаимопомощью.
310. Ремонтная мастерская имеет два рабочих места и одно место в
очереди. Требуется определить:
а) основные характеристики мастерской (как СМО), если среднее
время поступления заявок на ремонт составляет 2 минуты, а интенсивность ремонта — 1 (1/мин);
б) минимальное количество рабочих мест при одном месте в очереди, если необходимо увеличить абсолютную пропускную способность из пункта а) на 5 %.
311. На вокзале в обычные дни недели работают 3 билетные кассы.
Потоки заявок и обслуживания простейшие с интенсивностью 3 и 0,5 заявки
в минуту соответственно. Определить, сколько билетных касс должно работать в субботние и выходные дни, чтобы абсолютная пропускная способность касс была не менее чем в обычные дни недели, если интенсивность потока заявок в эти дни возрастает до 4 заявок в минуту.
312. СМО имеет три одинаковых комплекта аппаратуры, которые работают одновременно и дублируют друг друга. СМО считается неработоспособной при выходе из строя всех трех комплектов. При выходе из строя любого комплекта аппаратуры начинается его ремонт. Определить эффективность работы СМО, если: интенсивность отказов комплекта равна 1 единице
в сутки, среднее время ремонта комплекта составляет 0,5 суток, доход работающей СМО — 100 тыс. руб. в сутки, а убыток неработающей СМО —
200 тыс. руб. в сутки.
74
Определение показателей эффективности СМО
Составить граф состояний. Определить показатели эффективности
СМО при следующих исходных данных:
313. n = 1, m = 1, λ = 4, μ = 2 .
314. n = 2, m = 1, λ = 2, μ = 1 .
315. n = 3, m = ∞, λ = 0,5, μ = 1 .
316. n = 4, m = 0, λ = 2, μ = 0,5 .
317. n = 1, m = ∞, λ = 0,9, μ = 3 .
318. n = 2, m = ∞, λ = 0,8, μ = 2 .
319. n = 1, m = 2, λ = 2, μ = 1 .
320. n = 2, m = 2, λ = 1, μ = 0,5 .
321. n = 3, m = ∞, λ = 0,8, μ = 8 .
322. n = 1, m = 3, λ = 0,5, μ = 2 .
75
2.2.5. Принятие решений в ситуациях неопределенности и риска
при известных платежных матрицах условий
Найти решение матричных игр:
⎛ 0 1 6⎞
⎟
⎜
323. A = ⎜ 7 1 3 ⎟
⎜1 − 2 0⎟
⎠
⎝
⎛10 4 6 ⎞
⎟
⎜
324. A = ⎜ 6 7 8 ⎟
⎜ 3 9 5⎟
⎠
⎝
⎛ 4 6 5⎞
⎟
⎜
325. A = ⎜ 8 0 5 ⎟
⎜ 4 0 0⎟
⎠
⎝
⎛ 4 6 4⎞
⎟
⎜
326. A = ⎜ 3 8 5 ⎟
⎜2 3 7⎟
⎠
⎝
⎛ 3 −16⎞
⎟
⎜
−
5
7
3
⎟
327. A = ⎜⎜
− 4 3 2⎟
⎟⎟
⎜⎜
−
8
5
6
⎠
⎝
⎛ 3 0 4 3 ⎞
⎟
⎜
328. A = ⎜ 3 1 0 − 2 ⎟
⎜ − 4 − 3− 5 1 ⎟
⎠
⎝
⎛ 2 1 0⎞
⎟
⎜
329. A = ⎜ 3 0 1 ⎟
⎜1 2 4⎟
⎠
⎝
⎛ 20 28 35 23 ⎞
⎟
⎜
330. A = ⎜ 15 25 0 40 ⎟
⎜ 20 12 0 15 ⎟
⎠
⎝
331.
⎛3
⎜
⎜5
A = ⎜1
⎜
⎜4
⎜6
⎝
9⎞
⎟
4⎟
7⎟
⎟
5⎟
3 ⎟⎠
⎛ 3 5 1 4 6⎞
⎟⎟
333. A = ⎜⎜
⎝ 7 4 9 5 3⎠
⎛6 4 4 5⎞
⎟
⎜
332. A = ⎜ 6 9 5 8 ⎟
⎜8 2 3 6⎟
⎠
⎝
⎛ 0 0 − 4 − 3⎞
⎟
⎜
334. A = ⎜ 4 6 0 4 ⎟
⎜0 3 0
0 ⎟⎠
⎝
76
⎛ − 1 2 3⎞
⎟
⎜
335. A = ⎜ 3 − 1 1 ⎟
⎜ 5
4 1 ⎟⎠
⎝
5 ⎞
⎛2 0
⎟
⎜
336. A = ⎜ 0 1 − 3 ⎟
⎜4 − 3 6 ⎟
⎠
⎝
⎛ − 2 − 3 − 2⎞
⎟
⎜
337. A = ⎜ − 4 − 3 − 4 ⎟
⎜ 5
5 − 3 ⎟⎠
⎝
⎛2
⎜
1
338. A = ⎜⎜
2
⎜⎜
⎝3
⎛ 29 30 32 ⎞
⎟
⎜
339. A = ⎜ 18 60 20 ⎟
⎜ 20 70 12 ⎟
⎠
⎝
⎟⎟
340. A = ⎜⎜
⎝ 6 3 8 4 2⎠
⎛3
⎜
1
341. A = ⎜⎜
6
⎜⎜
⎝3
3⎞
⎟
3 3 6⎟
3 3 − 1⎟
⎟
0 7 3 ⎟⎠
5 0
1⎞
⎟
3⎟
4⎟
⎟
5 ⎟⎠
⎛ 2 4 0 3 5⎞
⎛ 4 1 3 5⎞
⎟
⎜
342. A = ⎜ 2 2 3 7 ⎟
⎜ 4 3 5 3⎟
⎠
⎝
⎛2 − 3 4 ⎞
⎟
⎜
343. A = ⎜ 4 5 − 2 ⎟
⎜2 − 3 8 ⎟
⎠
⎝
⎛2 −1 4 ⎞
⎟
⎜
344. B = ⎜ 1 − 3 − 2 ⎟
⎜ 2 5 − 6⎟
⎠
⎝
⎛ 1 0 1 − 1⎞
⎟
⎜
345. A = ⎜ 0 1 3 2 ⎟
⎜−1 2 − 2 0 ⎟
⎠
⎝
⎛12 75 64 41⎞
⎟
⎜
346. A = ⎜10 32 81 50 ⎟
⎜ 8 22 31 75 ⎟
⎠
⎝
⎛ − 1 3 − 5⎞
⎟
⎜
347. A = ⎜ 2 − 1 4 ⎟
⎜ 3
1
1 ⎟⎠
⎝
4 ⎞
⎛2 0
⎟
⎜
348. B = ⎜ 2 1 − 3 ⎟
⎜5 − 3 6 ⎟
⎠
⎝
⎛6 −1 3 ⎞
⎟
⎜
⎜3 − 7 5 ⎟
349. B = ⎜
2 3 − 4⎟
⎟⎟
⎜⎜
−
6
5
8
⎠
⎝
⎛ 3 3 − 4⎞
⎟
⎜
⎜ 2 1 − 3⎟
350. A = ⎜
4 0 − 5⎟
⎟⎟
⎜⎜
−
3
2
1
⎠
⎝
77
⎛ 4 0 4⎞
⎟
⎜
351. A = ⎜ 2 8 8 ⎟
⎜3 3 8⎟
⎠
⎝
⎛ 22 25 20 18 ⎞
⎟
⎜
352. B = ⎜ 30 32 25 28 ⎟
⎜ 31 28 25 23 ⎟
⎠
⎝
⎛ 2 1 − 3 5⎞
⎟
⎜
353. A = ⎜ 4 1 2 4 ⎟
⎜ − 3 1 − 3 6⎟
⎠
⎝
⎛− 2 − 4 5 ⎞
⎟
⎜
354. B = ⎜ − 3 − 4 5 ⎟
⎜ − 2 3 − 3⎟
⎠
⎝
⎛12 10 10 ⎞
⎟
⎜
355. B = ⎜10 13 8 ⎟
⎜ 8 10 13 ⎟
⎠
⎝
⎛8 3 6 2⎞
⎟
⎜
356. A = ⎜ 4 5 6 3 ⎟
⎜1 − 2 4 3⎟
⎠
⎝
4
2 ⎞
⎛ 2
⎟
⎜
357. A = ⎜ − 3 5 − 3 ⎟
⎜ 4 −2 8 ⎟
⎠
⎝
⎛ 2 −3 1 ⎞
⎟
⎜
358. B = ⎜ − 3 2 3 ⎟
⎜ 1 − 2 − 4⎟
⎠
⎝
⎛ 2 −3 1 ⎞
⎟
⎜
359. A = ⎜ − 3 2 − 2 ⎟
⎜ 1
3 − 4 ⎟⎠
⎝
⎛1 0 2⎞
⎟
⎜
360. B = ⎜ 9 1 0 ⎟
⎜7 −1 1⎟
⎠
⎝
⎛ 0 2 0 3⎞
⎟
⎜
361. B = ⎜ 0 0 − 2 4 ⎟
⎜ − 3 0 − 6 0⎟
⎠
⎝
⎛5 0 0 ⎞
⎟
⎜
362. B = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 3 0 − 6⎟
⎠
⎝
⎛ 1 0 − 1⎞
⎟
⎜
363. A = ⎜ 2 − 1 0 ⎟
⎜0 1
3 ⎟⎠
⎝
⎛7 6 7 5⎞
⎟
⎜
364. A = ⎜ 6 7 9 8 ⎟
⎜ 5 8 4 6⎟
⎠
⎝
⎛ 11 10 11 9 ⎞
⎟
⎜
365. A = ⎜10 11 13 12 ⎟
⎜ 9 12 8 10 ⎟
⎠
⎝
366. B = ⎜⎜
⎝ 8
⎛3 6 8⎞
⎟
⎜
367. A = ⎜ 9 4 2 ⎟
⎜ 7 5 4⎟
⎠
⎝
⎛ 4 2 3 5⎞
⎟
⎜
368. B = ⎜ 3 6 2 0 ⎟
⎜3 5 3 7⎟
⎠
⎝
⎛ − 2 0 5 6⎞
⎟
2 2 3 ⎟⎠
78
⎛1 2 0 1⎞
⎟
⎜
369. B = ⎜ 0 1 3 2 ⎟
⎜ 4 2 0 4⎟
⎠
⎝
⎛ −1 1 2 ⎞
⎟
⎜
370. A = ⎜ 4 1 − 1⎟
⎜− 2 2 2 ⎟
⎠
⎝
⎛ 4 −2 0 ⎞
⎟
⎜
371. A = ⎜ 0 1 2 ⎟
⎜ − 3 3 − 1⎟
⎠
⎝
0 1⎞
⎛ 0
⎟
⎜
372. B = ⎜ − 6 0 0 ⎟
⎜ − 9 − 7 0⎟
⎠
⎝
⎛5 4 6 4 ⎞
⎟
⎜
373. B = ⎜ 4 5 5 − 8 ⎟
⎜7 3 4 0 ⎟
⎠
⎝
⎛1 2 0 1⎞
⎟
⎜
374. B = ⎜ 0 1 3 2 ⎟
⎜ 4 2 0 4⎟
⎠
⎝
4 − 2⎞
⎛1 3
⎟
⎜
375. A = ⎜ 3 − 2 2 5 ⎟
⎜ 4 5 − 3 − 4⎟
⎠
⎝
⎟⎟
376. A = ⎜⎜
⎝4 7 9 5 8⎠
⎛8 5 3 6 7⎞
⎟⎟
377. A = ⎜⎜
10
6
9
⎝
⎠
⎛5
⎜
3
378. B = ⎜⎜
8
⎜⎜
⎝6
6 1 2⎞
⎟
1 5 2⎟
5 5 5⎟
⎟
5 2 4 ⎟⎠
⎛1 4 6⎞
⎟
⎜
379. A = ⎜ 7 2 0 ⎟
⎜ 5 3 2⎟
⎠
⎝
⎛2
⎜
4
380. B = ⎜⎜
1
⎜⎜
⎝4
4 3 5⎞
⎟
5 7 6⎟
8 4 6⎟
⎟
3 2 8 ⎟⎠
⎛1 4 6⎞
⎟
⎜
381. A = ⎜ 7 2 0 ⎟
⎜ 5 3 2⎟
⎠
⎝
⎛1 3 5⎞
⎟
⎜
382. B = ⎜ 2 1 2 ⎟
⎜4 3 1⎟
⎠
⎝
⎛ 2 0 0 ⎞
⎟
⎜
383. A = ⎜ 0 3 − 2 ⎟
⎜− 2 0 3 ⎟
⎠
⎝
⎛4
⎜
2
384. B = ⎜⎜
4
⎜⎜
⎝0
⎛7
9 8⎞
1 − 2 3 5⎞
⎟
2 − 2 3 7⎟
4 − 4 5 3⎟
⎟
0 − 1 0 0 ⎟⎠
79
4 − 3⎞
⎛ 2
⎜
⎟
1
1 ⎟
⎜ 1
385. A = ⎜
− 3 2 − 3⎟
⎜⎜
⎟⎟
5
−
4
6
⎝
⎠
⎛ − 2 5 − 4⎞
⎜
⎟
2 − 3⎟
⎜ 4
386. A = ⎜
3 −2 5 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
1
3
4
⎝
⎠
1
2 ⎞
⎛ 2
⎟
⎜
387. B = ⎜ − 1 3 5 ⎟
⎜ 4 − 2 − 6⎟
⎠
⎝
⎛− 3
⎜
2
388. B = ⎜⎜
−3
⎜⎜
⎝ 5
⎛ 2 1 2 3⎞
⎟⎟
389. A = ⎜⎜
⎝ 1 3 4 5⎠
⎛1 2 1⎞
⎟
⎜
390. B = ⎜ 1 3 2 ⎟
⎜ 4 2 4⎟
⎠
⎝
⎛ 4 1 0⎞
⎟
⎜
391. A = ⎜ 0 1 4 ⎟
⎜0 3 0⎟
⎠
⎝
⎛ 3 2 2⎞
⎟
⎜
392. B = ⎜ 1 5 2 ⎟
⎜4 2 7⎟
⎠
⎝
⎛ 2
0⎞
⎟⎟
393. А= ⎜⎜
⎝ − 1 3⎠
⎛ 0.5 − 1⎞
⎟
2 ⎟⎠
396. А= ⎜⎜
⎝ −1
⎛ 3
− 4⎞
⎛ 2
0⎞
⎟⎟
394. А= ⎜⎜
⎝− 2 −1⎠
⎛ − 1.5 − 3 ⎞
⎛− 2 2 ⎞
⎟⎟ 400. А= ⎜⎜
⎟⎟
1
1
− 1⎠
−
⎝
⎠
⎛−1
1⎞
⎟
− 1⎟⎠
⎛ 4 − 2⎞
⎟
3 ⎟⎠
401. А= ⎜⎜
⎝1
⎛1 2 0⎞
⎟⎟
⎝ 2 −1 3⎠
402. А = ⎜⎜
403. А = ⎜⎜
⎛ 0 2 −1 3 ⎞
⎟
⎜
404. А =. ⎜ 2 3 1 2 ⎟
⎜ 3 4 0 − 4⎟
⎠
⎝
⎛3 5 7⎞
⎟
⎜
405. А = ⎜ 2 4 6 ⎟
⎜8 2 1⎟
⎠
⎝
⎛ 7 3 − 2 8⎞
⎟⎟
⎝ − 2 5 −1 2⎠
20 ⎞
398. А= ⎜⎜
⎝1
399. А= ⎜⎜
⎝ −2
406. А = ⎜⎜
⎛0
⎟⎟
395. А= ⎜⎜
⎝10 − 10 ⎠
⎟⎟
397. А= ⎜⎜
−
2
1
⎝
⎠
⎛ 3 2 − 4 6⎞
⎟⎟
⎝ − 2 5 − 1 2⎠
4 − 6⎞
⎟
3 − 1⎟
2 2 ⎟
⎟
4 1 ⎟⎠
⎛4 2 1⎞
⎟⎟
⎝ 3 −1 7⎠
407. А = ⎜⎜
80
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов, Л. М. Математическое программирование. /
Л. М. Абрамов, В. Ф. Капустин. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1976. — 184 с.
2. Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах
и задачах: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. / И. Л. Акулич. —
М.: Высш. шк., 1993. — 336 с.
3. Ален, Р. Математическая экономия. / Р. Ален. — М.: Иностранная
лит., 1963. — 667 с.
4. Ашманов, С. А. Линейное программирование. / С. А. Ашманов. —
М.: Наука, 1981. — 340 с.
5. Баканов, М. И. Экономический анализ: ситуации, тесты, примеры,
задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование: Учеб. пособие. / М. И. Баканов, А. Д. Шеремет. — М.: Финансы
и статистика, 1999. — 656 с.
6. Баканов, М. И. Теория экономического анализа: Учебник. —
4-е изд., доп. и перераб. / М. И. Баканов, А. Д. Шеремет. — М.: Финансы и статистика, 2000. — 416 с.
7. Банди, Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. /
Б. Банди. — М.: Радио и связь, 1989. — 176 с.
8. Вентцель, Е. С. Инженерные приложения теории вероятностей. /
Е. С. Вентцель. — М.: Наука, 1980. — 477 с.
9. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. / Е. С. Вентцель. — М.: Наука, 2000. — 208 с.
10. Габасов, Р. Методы линейного программирования. Ч. 1. Общие
задачи. / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. — Минск: Изд-во БГУ
им. В. И. Ленина, 1977. — 176 с.
81
11. Габасов, Р. Методы линейного программирования. Ч. 2. Транспортные задачи. / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. — Минск: Изд-во БГУ
им. В. И. Ленина, 1977. — 240 с.
12. Гасс, С. М. Линейное программирование. / С. М. Гасс. — М.: Физматгиз, 1961. — 304 с.
13. Гермейер, Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. /
Ю. Б. Гермейер. — М.: Наука, 1976. — 327 с.
14. Глухов, В. В. Математические методы и модели для менеджмента. / В. В. Глухов, М. Д. Медников, С. Б. Коробко. — СПб.: Лань,
2000. — 480 с.
15. Гольштейн, Е. Г. Линейное программирование, теория, методы и
приложения. / Е. Г. Гольштейн, Д. Б. Юдин. — М.: Наука, 1969. —
383 с.
16. Давыдов, Э. Г. Исследование операций. / Э. Г. Давыдов. — М.:
Высш. школа, 1990. — 382 с.
17. Дюбин, Г. Н. Введение в прикладную теорию игр. / Г. Н. Дюбин,
В. Г. Cуздаль. — М.: Наука, 1981. — 336 с.
18. Заварыкин, В. М. Численные методы: Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. спец. пед. ин-тов. / В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский,
М. П. Лапчик. — М.: Просвещение, 1990. — 176 с.
19. Замков, О. О. Математические методы в экономике. /
О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных. — М.: ДИС,
1997. — 365 с.
20. Зандер, Е. В. Практикум по исследованию операций: нелинейные,
динамические и специальные модели. Ч. 2. / Е. В. Зандер,
В. П. Злодеев. — Красноярск: РИЦ Краснояр. гос. ун-та, 1998. — 54 с.
21. Исследование операций в экономике. / Под ред. Н. Ш. Кремера. —
М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — 407 с.
82
22. Исследование операций. — В 2 т. Пер. с англ. / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. — М.: Мир, 1981. — Т. 1. — 712 с.
23. Исследование операций. — В 2 т. Пер. с англ. / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. — М.: Мир, 1981. — Т. 2. — 677 с.
24. Карасев, А. И. Математические методы и модели в планировании. / А. И. Карасев, Н. Ш. Кремер, Т. И. Савельева. — М.: Экономика, 1987. — 239 с.
25. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании, экономике. / С. Карлин. — М.: Мир, 1964. — 838 с.
26. Косоруков, О. А. Исследование операций: Учебник. / О. А. Косоруков, А. В. Мищенко. — М.: Экзамен, 2003. — 446 с.
27. Кофман А. Займемся исследованием операций. / А. Кофман,
Р. Фор. — М., Мир, 1966. — 279 с.
28. Кузнецов, А. В. Высшая математика. Математическое программирование. / Под общ. ред. проф. А. В. Кузнецов, В. А. Сакович,
Н. И. Холод. — Минск: Высш. школа, 1994. — 288 с.
29. Кузнецов, Ю. Н. Математическое программирование: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб и доп. / Ю. Н.Кузнецов, В. И. Кузубов,
А. Б. Волощенко. — М.: Высш. школа, 1980. — 300 с.
30. Льюис, Р. Д. Игры и решения. / Р. Д. Льюис, Х. Райфа. — М.: Издво иностр. лит, 1961. — 642 с.
31. Ляшенко, И. Н. Линейное и нелинейное программирование. /
И. Н. Ляшенко, Е. А. Карагодова, Н. В. Черникова, Н. З. Шор. —
Издательское объединение «Вища школа», 1975. — 372 с.
32. Мак Кинси, Дж. Введение в теорию игр. / Дж. Мак Кинси. — М.:
Физматгиз, 1960. — 420 с.
83
33. Мастяева, И. Н. Прикладная математика и математическое моделирование в бизнесе. / И. Н. Мастяева, Г. Я. Горбоцов, В. Б. Турундаевский. — М.: МЭСИ, 1997. — 131 с.
34. Математическая экономика на персональном компьютере: Пер.
с яп. / М. Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ; под ред.
М. Кубонива. — М.: Высш. школа, 1980. — 303 с.
35. Морозов, В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. /
В. В. Морозов, А. Г. Сухарев, В. В. Федоров. — М., 1986. — 285 с.
36. Мошкович, Л. И. Ситуационный анализ в экономике. /
Л. И. Мошкович, Е. В. Зандер, В. П. Злодеев. — Красноярск:
Краcнояр. гос. ун-т, 1996. — 34 с.
37. Мулен, Э. Теория игр. / Э. Мулен. — М., 1985. — 199 с.
38. Нейман, Дж. Теория игр и экономическое поведение. /
Джон фон Нейман. — М.: Наука, 1997. — 708 с.
39. Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. — М.: Мир, 1971. — 230 с.
40. Солодовников, А. С. Введение в линейную алгебру и линейное
программирование. / А. С. Солодовников. — М.: Изд. Просвещение,
1966. — 184 с.
41. Схрейвер, А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2 т. Пер с англ. / А. Схрейвер. — М.: Мир, 1991. — Т. 1. —
360 с.
42. Таха, Х. Введение в исследование операций. / Х. Таха. — М.: Мир,
1985. — 479 с.
43. Тынкевич, М. А. Экономико-математические методы (исследование операций). Изд. 2-е, испр. и доп. / М. А. Тынкевич. — Кемерово,
2000. — 177 с.
84
Наращение по простым процентам
Задача 1.
Кредит в размере 18000 рублей выдан на срок 5 лет под 21% годовых.
Выплата основной суммы долга производится по окончании всего срока, а
выплата процентов – по окончании каждого года. Определите сумму,
выплаченную должником кредитору. Чему равна сумма начисленных
процентов?
Задача 2.
Вкладчик разместил сумму в размере 11500 рублей на депозите с
возможностью снятия процентов в конце каждого года. Ставка процента по
вкладу равна 9,5%. Определите сумму процентов, полученную вкладчиком за
10 лет, если он снимает накопленные проценты в конце каждого года.
Задача 3.
1 января 2000 года гражданин Х положил в банк сумму в размере 27000
рублей. Для различных вариантов начисления простых процентов определите
наращенную сумму и сумму накопленных процентов на 1 февраля, 1 марта и
1 апреля того же года. Ставка процента по вкладу равна 10%.
Задача 4.
1 февраля 2006 года гражданин Х положил в банк сумму в размере 19000
рублей. Определите наиболее выгодную для вкладчика схему начисления
простых процентов по ставке 12% годовых при условии, что операция
завершается 2 апреля 2006 года.
Задача 5.
Заполните пропуски в таблице:
Дата
начала
вклада
15.02.2002
18.06.2002
?
Вклад,
руб.
15000
13000
18000
Ставка,
%
10
11
13
Дата
окончания
вклада
?
?
11.12.2002
2
Накопленные
проценты,
руб.
501,37
262,17
576,99
Система
англ.
франц.
англ.
?
10000
03.12.2002 9000
9,5
12
27.12.2002 255,97
?
84
герм.
герм.
Задача 6.
13 марта гражданин Х дал в долг гражданину У сумму в размере 23500
рублей под 15% годовых. 17 марта гражданин У передал полученную сумму
в долг гражданину Z под 18% годовых. 23 декабря гражданин Z произвел
расчет с гражданином У, вернув сумму долга с процентами. А 25 декабря
гражданин У вернул долг и накопленные проценты гражданину Х.
Определите доходы (расходы) всех участников операции при условии
начисления точных простых процентов.
Задача 7.
13 марта 2003 года гражданин Х поместил в банк А сумму в размере 32500
рублей под 9,5% годовых. Сняв накопленную сумму 8 июня гражданин в
этот же день поместил ее в банк Б под 10% годовых. 10 декабря того же года
гражданин Х снял накопленную сумму и в этот же день поместил ее в банк В
под 10,5% годовых. Определите наращенную сумму на 13 марта 2004 года
при условии, что банк А использует французскую систему начисления
простых процентов, банк Б – английскую систему, а банк В – германскую
систему.
Задача 8.
Срок депозита составляет 3 месяца, по истечении которых, он автоматически
продляется. Определите сумму, накопленную с 1 марта по 1 декабря, а также
сумму начисленных процентов при условии размещения на депозите 14500
рублей и ставке 9% годовых. Рассмотрите варианты начисления точных
процентов и процентов по германской системе.
Задача 9.
17 апреля гражданин Х взял в банке кредит в размере 80000 рублей под 19%
годовых. 1 мая он инвестировал полученные средства. Доход от инвестиций
составляет 22% годовых и растет ежемесячно на 0,3%. 1 октября гражданин
Х реинвестирует полученный доход под 25% годовых, а 1 декабря
выплачивает сумму кредита с процентами. Определите доход гражданина Х
при условии, что банк начисляет точные проценты, а инвестирование ведется
по германской системе.
3
Задача 10.
Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня
под простую ставку 20% годовых (год не високосный). Рассчитать всеми
известными способами сумму к погашению.
Задача 11.
Найти величину дохода кредитора, если за предоставление в долг на полгода
некоторой суммы денег он получил от заемщика в совокупности 6,3 тыс. руб.
При этом применялась простая процентная ставка в 10% годовых.
Задача 12.
3 мая 2007 г. гражданин положил в банк 35600 рублей. Проценты
начисляются по французской системе по ставке 11% годовых. 25 сентября
гражданин реинвестировал накопленную сумму под 13%, а 5 декабря снял
накопленную сумму. Определите срок (в днях), который потребуется для
накопления аналогичной суммы при постоянной ставке 12%, если проценты
начисляются по германской системе.
Задача 13.
Определите продолжительность промежутка времени (в днях), за который
проценты, начисленные на первоначальную сумму в 51600 рублей по
французской системе, превысят проценты, начисленные по английской
системе на 165 рублей. Процентная ставка равна 18% годовых.
Задача 14.
1 февраля 2007 г. гражданин получил банковский кредит в размере 89000
рублей под 17% годовых (проценты начисляются по английской системе).
Гражданин погашает задолженность перед банком за счет дохода от
инвестирования суммы кредита (20%, система – германская). Определите
остаток задолженности на 15 ноября 2007 г., если погасительный платеж
осуществлялся 1 июня.
Задача 15.
Кредитор предлагает два варианта начисления простых процентов по
кредиту в размере 45000 рублей:
- начальная ставка 19%, ежемесячное увеличение ставки – 0,3%;
- начальная ставка 20%, ежемесячное уменьшение ставки – 0,1%.
4
Определите, постоянную процентную ставку, обеспечивающую тот же
результат, что и вариант наиболее выгодный для должника. Срок кредита – 5
месяцев.
Погашение задолженности частями.
Дисконтирование по простым процентам
Задача 1.
Кредит в размере 23000 рублей выдан 12 августа 2001 года под 14% годовых.
Должник производит равные выплаты кредитору 20 ноября, 13 марта и 1
сентября, погашая задолженность. Определите величину разового платежа,
если точные простые проценты начисляются на остаток задолженности.
Задача 2.
Кредит в размере 19000 рублей выдан на срок с 13 апреля по 18 ноября под
18% годовых. Определите величину платежа, который производится 5 июня
и 15 августа, если остаток задолженности на конец срок равен этому
платежу. Погашение задолженности производится в соответствии с правилом
торговца.
Задача 3.
Определите величину разового платежа в оплату потребительского кредита в
размере 35000 рублей под 11% годовых, если кредит выдан на срок 4 года с
ежеквартальными погасительными платежами. Каковы были бы расходы
покупателя, если бы найденный платеж осуществлялся в погашение долга в
соответствии с актуарным методом?
Задача 4.
Победителю лотереи, выигравшему 100 млн. $ предлагаются следующие
варианты выплаты выигрыша:
1. Разовый платеж в 80 млн.
2. 30 млн. сейчас, 20 млн. через 2 года и 40 через 4 года.
3. 40 млн. сейчас и по 10 млн. каждый следующий год.
При условии, что ставка простых процентов по вкладам равна 12% годовых,
определите текущую стоимость платежей в каждом из вариантов и сделайте
выбор.
5
Задача 5.
Сравните текущую стоимость сумм: 11600 - 1 сентября, 11900 - 12 сентября,
11500 - 2 августа и 11000 - 14 апреля, если ставка по вкладам равна 20 %
годовых. Текущая дата – 13 апреля.
Задача 6.
Срок платежа по векселю на сумму 21000 рублей – 18 августа 2006 года.
Определите наибольшую цену, по которой данный вексель мог быть продан
12 декабря 2005 года, если учетная ставка равна 10% годовых. Чему равна
стоимость долга на указанную дату, найденная с помощью математического
дисконтирования по ставке процента 11% годовых?
Задача 7.
Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50000 руб. со
сроком погашения 28.09.07 Вексель предъявлен 13.09.07 Банк согласился
учесть вексель по простой учетной ставке 30% годовых. Определить сумму,
которую векселедержатель получит от банка.
Задача 8.
Вексель на сумму 15000 руб. предъявлен в банк за 90 дней до срока
погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 22%
годовых. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, и величину
дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365.
Задача 9.
На капитал в 3 млн. руб. в течение 3 лет осуществляется наращение
простыми процентами по учетной ставке 33%. Найти приращение
первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.
Задача 10.
Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по простой учетной ставке 12%,
используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой
операции по простой процентной ставке наращения при временной базе,
равной 365.
Задача 11.
Сравните текущую стоимость сумм на 1 марта 2000 года:
6
- 25000 рублей через 2,5 года (простая ставка наращения равна 12%
годовых);
- вексель на сумму 40000 рублей, срок платежа по которому – 15
сентября 2000 года (простая учетная ставка равна 10% годовых);
Определите величину учетной ставки, при которой названные суммы будут
эквивалентны.
Задача 12.
Кредит в размере 19000 рублей выдан на срок с 5 августа по 29 декабря под
21% годовых. Определите величину платежа, который производится 15
сентября и 23 ноября, если остаток задолженности на конец срок равен этому
платежу. Погашение задолженности производится в соответствии с правилом
торговца.
Задача 13.
Определите величину разового платежа в оплату потребительского кредита в
размере 48000 рублей под 10% годовых, если кредит выдан на срок 3 года с
ежемесячными погасительными платежами.
Наращение по сложным процентам
Задача 1.
Гражданин Х положил в банк сумму в размере 31000 рублей по 12%
годовых. Определите наращенную сумму, а также сумму процентов
начисленных за три года, если применяется сложная процентная ставка. Чему
равны проценты, начисленные на проценты?
Задача 2.
Определите величину процентов за кредит в размере 18000 рублей, если
сложная процентная ставка равна 15% годовых, а срок кредита – 5 лет. Чему
равна сумма начисленных процентов при начислении по простой процентной
ставке?
Задача 3.
По вкладу в размере 12000 р. начисляются смешанные проценты по ставке
11% годовых. Определите сумму, наращенную за 3,5 года.
7
Задача 4.
По кредиту, в размере 87000 рублей предусмотрена уменьшающаяся во
времени ставка сложных процентов. Определите величину задолженности
через 5 лет, если начальная ставка составляет 18% годовых, а ее ежегодное
уменьшение равно 0,3%.
Задача 5.
Кредит в размере 23000 рублей выдан на срок с 15 января 2001 года по 30
августа 2002 года. Используя различные методы начисления сложных
процентов, рассчитайте величину задолженности на конец срока. Процентная
ставка – 20% годовых.
Задача 6.
Выберите вариант вложения суммы в 130000 рублей на 3,5 года,
обеспечивающий наибольший доход:
1. Депозит на три месяца, с возможностью продления на накопленную
сумму. Ставка простых процентов по депозиту 13% годовых.
2. Вклад с ежеквартальным начислением сложных процентов по
ставке 12% годовых.
3. Вклад с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке
10% годовых.
4. Вклад с начислением смешанных процентов по ставке 11% годовых.
Задача 7.
Граждане Х, Y и Z в разное время заняли друг у друга различные суммы. Так
Х одолжил у Y 18000 рублей 2 года назад, а у Z – 10000 рублей 3 года назад.
Y одолжил у Х 15000 полтора года назад, а у Z – 8000 рублей 5 лет назад. Z
одолжил у Х 12000 рублей год назад, а у Y – 20000 рублей 2,5 года назад.
Определите реальные задолженности граждан друг перед другом с учетом
взаимозачетов, если Х дает в долг под 9% годовых с ежемесячным
начислением сложных процентов, Y – под 13% годовых с ежегодным
начислением, а Z – под 11% годовых с ежеквартальным начислением.
Задача 8.
Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти
наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.
8
Задача 9.
Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25000 руб. сроком на 6
лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка сложных
процентов равна 10% годовых; на следующие два года устанавливается
маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти
сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока
ссуды.
Задача 10.
Банк предоставил ссуду в размере 10000 руб. на 30 месяцев под 30% годовых
на условиях ежегодного начисления процентов по смешанной схеме. Какую
сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
Задача 11.
Вкладчик хотел бы за 5 лет удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит.
Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк
при начислении сложных процентов каждые полгода?
Задача 12.
Предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежемесячного
начисления процентов из расчета 26% годовых, либо на условиях
полугодового начисления процентов из расчета 27%. Какой вариант более
предпочтителен?
Задача 13.
Из какого капитала можно получить 4000 руб. через 5 лет наращением
сложными процентами по ставке 12%, если наращение осуществлять
ежеквартально? Какова получится при этом величина дисконта?
Задача 14.
Гражданин Х инвестирует сумму в размере 76000 рублей на 4 года. Доход от
инвестиций составляет 19% годовых. По условиям договора инвестирования,
если начисленный доход не выплачивается, то на него также начисляются
проценты по ставке 12% годовых. Определите доход гражданина, если
промежуточных выплат не производилось.
9
Задача 15.
На вклад ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной
годовой процентной ставке 16%. За какой срок первоначальный капитал
увеличится в 3 раза? Чему будет равна эффективная ставка эквивалентная
номинальной?
Дисконтирование по сложным процентам.
Наращение и дисконтирование по силе роста
Задача 1.
Сравните инвестиционные проекты, определив текущую стоимость прибыли
при условии, что сложная процентная ставка равна 12% годовых:
Проект
1
Первоначальные 100000
затраты
Доход через 1
30000
год
Доход через 2
35000
года
Доход через 3
40000
года
Проект
2
70000
Проект
3
90000
15000
28000
30000
29000
45000
40000
Задача 2.
Вексель на сумму 39000 рублей был выписан 14 апреля 2004 года. Срок
платежа по векселю – 17 ноября 2005 года. Определите стоимость векселя 1
августа 2005 года, если учетная ставка равна 15% годовых. Рассмотрите
варианты учета по простой и сложной процентным ставкам. Для каждого из
вариантов найдите дату, когда стоимость векселя составляет 90% от
номинала.
Задача 3.
Определите величину эффективной сложной процентной ставки по вкладу в
размере 23000 рублей, которая через 4 года обеспечит такой же доход, что и
ежемесячное начисление по ставке 9% годовых. Сделайте аналогичные
расчеты для случая ежедневного начисления по ставке 5% годовых.
10
Задача 4.
Кредит в размере 45000 рублей выдан под 16% годовых (проценты сложные).
Определите, за какой срок величина накопленных процентов составит 90% от
первоначальной величины кредита. Рассмотрите варианты начисления
процентов 1, 2 и 4 раза в год.
Задача 5.
Вексель номиналом 52000 рублей был продан 12 января 2006 года за 43000
рублей. Определите величину сложной учетной ставки, если срок платежа по
векселю – 1 декабря 2006 года. За сколько дней до наступления срока
платежа по векселю его можно было продать за 50000 рублей?
Задача 6.
Ежегодный доход фирмы составляет одну десятую от величины инвестиций
и возрастает на 0,5% в год. Определите величину процентной ставки за
кредит в размере 1,3 млн. рублей, взятый для инвестирования, при которой
доход от инвестиций за 5 лет будет равен половине наращенной суммы долга
(ежегодная прибыль реинвестируется). Рассмотрите варианты ежегодного и
ежеквартального начисления сложных процентов.
Задача 7.
Найдите величину процентов, начисленных за 3,5 года, по вкладу в размере
26000 рублей, если применяется непрерывное начисление с силой роста
равной 8% годовых. Определите величину сложной процентной ставки,
которая обеспечивает такой же доход, что и сила роста. Рассмотрите
варианты ежегодного и ежемесячного начисления сложных процентов.
Задача 8.
Размер процентной ставки в момент времени t определяется формулой δ(t) =6
+ ln(1+t) (%). Определите наращенную сумму за 5 лет, если первоначальная
равна 33000 рублей.
Задача 9.
Определите текущую стоимость суммы в 37000 рублей, получаемой через 3
года, для случая непрерывного дисконтирования по силе роста δ(t) =8 + 3t2
(%). Найдите величины сложной ставки наращения и учетной ставки,
обеспечивающие тот же эффект. Для сложной ставки наращения рассмотрите
вариант дисконтирования каждые 2 месяца.
11
Задача 10.
Определите величину задолженности через 4,5 года, если сумма кредита
равна 28000 рублей, а начисление производится по силе роста 9% годовых.
Чему равна сложная учетная ставка, которая обеспечивает такой же доход?
Через какой срок, величина задолженности достигнет 100000 рублей?
Задача 11.
За долговое обязательство в 300 тыс. руб. банком было выплачено 200 тыс.
руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если
банком использовалась эффективная учетная ставка 8 % годовых? Чему
будет равна при таких условиях номинальная учетная ставка при
ежемесячном дисконтировании?
Задача 12.
Срок оплаты векселя составляет 3 месяца по сложной учетной ставке 27%.
Оценить доходность операции по эквивалентным номинальной ставке
дисконтирования и силе роста, если номинальная ставка начисляется раз в
полгода.
Задача 13.
На вклад в 2000 руб. начисляются непрерывные проценты. Найти
наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим
образом: в первые два года равна 8%; в следующие три года – 10%; и в
каждый оставшийся год увеличивается на 0,5%.
Задача 14.
Сравните текущую стоимость сумм:
- 35000 рублей через 1,5 года (сложная ставка наращения равна 12%
годовых);
- вексель на сумму 39000 рублей, срок платежа по которому наступает через
11 месяцев (сложная учетная ставка равна 10% годовых);
Определите величину учетной ставки, при которой названные суммы будут
эквивалентны.
Задача 15.
Найдите сложную процентную ставку (начисление ежеквартальное)
эквивалентную силе роста, равной 8,5% годовых. Срок наращения - 4 года.
12
Средние процентные ставки. Эквивалентность
Задача 1.
Проценты по вкладу в размере 14000 рублей начисляются по переменной
процентной ставке. В течение первых 2-х месяцев ставка равна 10% годовых,
в течение следующих 4-х – 12%, затем 10,5% в течение полугода и 9%
годовых в следующие 5 месяцев. Для случаев начисления простых и
сложных процентов рассчитайте наращенные суммы и определите средний
размер процентной ставки.
Задача 2.
1 сентября 2000 года гражданин Х положил в банк А 18000 рублей под 11%
годовых, в банк Б – 20000 рублей под 12% годовых, а в банк В – 15000 под
14% годовых. Определите наращенную сумму на 8 ноября 2001 года, а также
среднюю величину процентной ставки по вкладам. Рассмотрите варианты
начисления сложных и простых процентов.
Задача 3.
Найдите эквивалентные ставки в следующих случаях:
1. Простую процентную ставку эквивалентную сложной, равной 13%
годовых, при ежеквартальном начислении в течение 2 лет;
2. Сложную процентную ставку эквивалентную простой учетной ставке,
равной 9% годовых, при начислении в течение 4 лет;
3. Силу роста, эквивалентную сложной учетной ставке, равной 10,5%
годовых, при дисконтировании (срок – 2,5 года);
4. Сложную учетную ставку, эквивалентную простой ставке наращения,
равной 14% годовых, при дисконтировании (срок – 5 лет).
Задача 4
Гражданин Х взял в долг у гражданина Y под 9,5% годовых:
- 20000 рублей 2 года назад;
- 10000 рублей полтора года назад;
- 14000 рублей 8 месяцев назад;
- 12000 рублей 3 месяца назад.
По взаимной договоренности перечисленные обязательства заменяются
одним, срок платежа по которому наступает через год. Определите величину
суммы, которую гражданин Х должен вернуть гражданину Y. Рассмотрите
варианты начисления сложных и простых процентов.
13
Задача 5
Известно, что гражданин Х должен вернуть гражданину Y 15000 рублей
через год, 10000 рублей – через 13 месяцев и 18000 через 2,5 года.
Определите, какова должна быть сумма обязательства, срок платеж по
которому наступает через 15 месяцев, чтобы данные операции были
эквивалентны. Рассмотрите варианты начисления простых и сложных
процентов по ставке 19% годовых.
Задача 6.
Обязательства выплатить 2000 руб. через 1 год, 3500 руб. через полгода и
4000 руб. через 2,5 года объединяются в одно. Какой срок следует установить
по обязательству на сумму 10000 руб., если проценты начисляются по
простой процентной ставке, равной 12% годовых
Задача 7.
Три вклада на сумму 3000 руб., 2000 руб. и 7000 руб. помещены на 2 года в
три разных банка, начисляющих сложные проценты ставкам 9%, 10% и 15%
годовых соответственно. Определите среднюю величину процентной ставки.
Задача 8.
Гражданин Х имеет перед кредиторами следующие обязательства:
- 23000 руб. через 1,5 года;
- 15000 руб. через 17 месяцев;
- 20000 руб. через 3 года.
Обязательства выкуплены гражданином Y и по взаимной договоренности
объединены в одно.
а) Определите расходы гражданина Y на покупку обязательств, если
сложная процентная ставка равна 17% годовых.
б) Определите сумму нового обязательства, если срок платежа по нему
наступает через 15месяцев.
в) Какой срок следует установить по обязательству на сумму 56000 руб.?
Задача 9.
Определите сложную процентную ставку (начисление один раз в полгода),
обеспечивающую такой же доход что и сила роста, равная 10% годовых.
Продолжительность наращения – 2 года.
14
Задача 10.
Проценты по вкладу в размере 20000 рублей начисляются по переменной
силе роста. В течение первых 3-х месяцев ставка равна 11% годовых, в
течение следующих 2-х – 12%, затем 11,5% в течение полугода и 9% годовых
в следующие 7 месяцев. Рассчитайте наращенную сумму и определите
средний размер процентной ставки.
Учет налогов и инфляции
Задача 1
Определите величину налога на проценты, которую необходимо выплатить с
процентов по вкладу в размере 54000 рублей под 11% годовых на 5 лет.
Рассмотрите варианты начисления простых и сложных процентов
(начисление - ежемесячно). Ставка налога – 15%. Определите величину
налоговой ставки, при которой величина налоговых платежей будет равна
25% от размера вклада.
Задача 2.
Вклад в размере 64000 рублей помещен в банк под 14% годовых. Определите
наращенную сумму с учетом инфляции через 4 года, если темп инфляции
составляет 9% в год. Рассмотрите варианты начисления простых и сложных
процентов (начисление - ежеквартально). Для каждого из вариантов
определите процентную ставку, которая полностью компенсирует влияние
инфляции.
Задача 3.
На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в)
ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка,
при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный
темп инфляции составляет 3%.
Задача 4.
При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных
процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой
операции в 16% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную
ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в
среднем 10% в год.
15
Задача 5.
Вексель на сумму 45000 руб. был учтен за 3 года до срока погашения, и
предъявитель векселя получил 18000 руб. Найдите реальную доходность
этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если
среднегодовой темп инфляции ожидается равным 14%.
Задача 6.
На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных
процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка,
при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал
цены увеличиваются на 8%.
Задача 7.
Клиент положил в банк 60000 руб. под простую процентную ставку 40%
годовых и через полгода с учетом уплаты налога на проценты получил 70200
руб. Определите ставку налога на проценты.
Задача 8.
На вклад в 2 млн. руб. в течение четырех лет начислялись каждые полгода
сложные проценты по годовой номинальной ставке наращения 12%.
Определить наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если
ставка налога равна 8%.
Задача 9.
Определите сумму налогов на проценты по вкладу в размере 11200 р.
Проценты начисляются ежемесячно по сложной ставке 12% годовых. Срок
операции - 15 месяцев. Ставка налога на проценты - 35%.
Задача 10.
Сумма, полученная после продажи векселя номиналом 92000 руб., срок
платежа по которому наступает через 320 дней, была помещена в банк под
11% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Учет
векселя производится по сложной учетной ставке, равной 9,5% годовых.
Определите ставку налога на проценты, при которой величина налоговых
платежей за 3,5 года составит 1500 рублей.
16
Задача 11
По данным предыдущей задачи определите, чему равна реальная стоимость
накопленной суммы, если ежемесячный инфляции составляет 1,5%?
Определите также величину процентной ставки, которая полностью
компенсирует влияние инфляции при заданной схеме начисления.
Задача 12
По вкладу на сумму 6000 руб. начисляются сложные проценты по ставке,
возрастающей на 0,5% каждый год. Определите сумму налоговых платежей
за 4 года, если первоначальная процентная ставка равна 13% годовых, а
ставка налога на проценты равна 16%.
Задача 13.
По вкладу на сумму 18000 рублей начисляются простые проценты по ставке
13% годовых. Чему равна реальная стоимость суммы, накопленной за 7
кварталов, если ежеквартальный темп инфляции составляет 3,5%?
Задача 14.
Определите величину брутто-ставки, если проценты по вкладу начисляются
по силе роста, равной 10% годовых, а ежегодный темп инфляции равен 11%.
Потоки платежей
Задача 1.
Гражданин Х ежегодно в начале каждого года помещает в банк 24000
рублей. Определите накопленную сумму через 5 лет при условии начисления
сложных процентов по ставке 12% годовых.
Задача 2.
Ежемесячная прибыль фирмы составляет, в среднем, 42000 рублей. В конце
каждого месяца фирма помещает 90% прибыли на депозит с ежемесячным
начислением сложных процентов по ставке 14% годовых. Рассчитайте
накопленную сумму через 2 года. Определите, за какой срок накопленная
сумма превысит 500000 рублей. Сделайте аналогичные расчеты для случая
непрерывного начисления по силе роста 12% годовых.
17
Задача 3.
Фирма взяла кредит в размере 230000 рублей под 23% годовых сроком на 4
года. Для погашения кредита фирмой создан фонд, в который в конце
каждого квартала помещается 18000 рублей. Определите срок, необходимый
для формирования фонда, если на средства, находящиеся в фонде, ежегодно
начисляются проценты по ставке 18% годовых.
Задача 4.
Сравните следующие варианты вложения суммы в 150000 рублей на 5 лет:
1. Покупка земельного участка с последующей сдачей его в аренду.
Ежемесячный арендный платеж равен 3000 рублей. Ставка процента по
вкладам с ежемесячным начислением – 10% годовых.
2. Банковский вклад с ежеквартальным начислением сложных процентов
по ставке 11% годовых.
3. Инвестирование с доходность 29% годовых. Ежегодный доход
помещается на банковский счет с ежемесячным начисление сложных
процентов.
Задача 5.
С целью накопления средств на покупку автомобиля гражданин Х помещает
ежемесячно, в конце каждого месяца на свой банковский счет одинаковую
сумму. При условии, что ставка по вкладу равна 14% годовых (начисление
ежеквартальное), определите какова должна быть величина ежемесячного
платежа, чтобы требуемая сумма в 500000 рублей скопилась на счете к концу
3-го года. Чему равна величина платежа, если стоимость автомобиля
увеличивается на 2,5% ежеквартально?
Задача 6.
Определите сумму, которую необходимо поместить на счет под 17%
годовых, чтобы иметь возможность неограниченно долго снимать в конце
каждого года 15000 рублей. Рассмотрите варианты начисления сложных
процентов 1, 4 и 6 раз в год.
Задача 7.
Гражданин Х в конце каждого года помещает 7000 рублей в банк,
выплачивающий сложные проценты по ставке 25% годовых. Определите
сумму, которая будет на счете клиента через 7 лет. Какова должна быть
величина однократного вклада в начале первого года, обеспечивающего
18
такой же эффект? Как изменятся найденные величины, если деньги
вкладываются в начале каждого года?
Задача 8.
Оцените текущую стоимость договора, согласно которому арендатор
обязуется ежемесячно выплачивать владельцу недвижимости 10000 рублей в
течение 6 лет. Ставка сложных процентов равна 18% годовых. Каков должен
быть срок договора, чтобы современная стоимость договора была равна 250
тыс. рублей?
Задача 9.
Предприниматель получил на 5 лет ссуду в размере 400 тыс. рублей, причем
ежегодно он должен выплачивать кредитору проценты по ставке 20%.
Одновременно с получением ссуды предприниматель (для ее погашения)
создает страховой фонд, в который в конце каждого года будет делать
одинаковые взносы, чтобы к моменту возврата долга накопить 400 тыс.
рублей Определить суммарные ежегодные затраты предпринимателя, если на
деньги, находящиеся в фонде, начисляются сложные проценты по ставке
24%.
Задача 10.
Вы имеете возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из
двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту
постнумерандо с ежегодными выплатами в размере 20 тыс. рублей Второй
проект принесет 40 тыс. рублей и 100 тыс. рублей в течение одного года и
двух лет соответственно. Какой из этих проектов лучше, если процентная
ставка составляет 25% годовых? Можно ли так изменить процентную ставку,
что ответ изменится на противоположный?
Задача 11.
Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты
пособий своим работникам. Определите сумму, которую фирма должна
поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно
долго в конце каждого года 12000. рублей, если банк начисляет сложные
проценты по ставке 28%: ежегодно; ежеквартально; непрерывно.
Задача 12.
Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой
19
100 долл. США. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается
постоянной и равна 12% годовых. По какой цене можно приобрести такую
ренту, если выплаты начнут осуществляться через 2 года ?
Задача 13.
Кредитор заключил контракт, согласно которому должник обязуется
выплатить сумму, современная величина которой 60000. рублей, за 5 лет
равными суммами в конце каждого года, причем на непогашенный остаток
будут по полугодиям начисляться сложные проценты по годовой
номинальной процентной ставке 24%. По какой цене кредитор может
продать этот контракт банку, который на ссуженные деньги начисляет
ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной
ставке 28% ?
Задача 14.
Клиент в конце каждого года вкладывает 3 тыс. рублей в банк,
выплачивающий сложные проценты по ставке 25% годовых. Определите
сумму, которая будет на счете клиента через 7 лет. Если эта сумма
получается в результате однократного помещения денег в банк в начале
первого года, то какой величины должен быть взнос? Как изменятся
найденные величины, если деньги вкладываются в начале каждого года ?
Задача 15.
Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой,
получает от нее страховые взносы по 20000 рублей в конце каждого
полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых. Найти
современную стоимость суммы, которую получит страховая компания по
данному контракту, если проценты начисляются ежемесячно.
Облигации
Задача 1.
Облигация, не предполагающая погашения и приносящая 5% дохода куплена
по курсу 80. Определите текущую и полную доходность инвестиции.
Рассмотрите варианты начисления процентов 1, 4, и 12 раз в год.
Задача 2.
20
Срок погашения облигации с нулевым купоном – 7 лет Определите курс
реализации облигации, если полная доходность облигации на дату
погашения равна 15,6% годовых. Чему равна текущая доходность
облигации?
Задача 3.
Известно, что номинал и проценты по облигации выплачиваются в конце
срока. Определите срок погашения облигации, если она куплена по курсу 80,
а ее полная доходность равна 20%. Чему равна текущая доходность
облигации?
Задача 4.
Проценты по облигации выплачиваются раз в году по ставке 10% годовых.
Определите текущую и полную доходность облигации, если срок ее
погашения – 4 года.
Задача 5.
Проценты по облигации выплачиваются раз в году по ставке 7% годовых.
Определите текущую и полную доходность облигации, если срок ее
погашения – 4 года, ставка налога на купонный доход равна 15%, а на
прирост капитала – 20%.
Задача 6.
Проценты по облигации выплачиваются раз в году по ставке 7% годовых.
Определите текущую и полную доходность облигации, если срок ее
погашения – 4 года, ставка налога на купонный доход равна 15%, а на
прирост капитала – 20%.
Задача 7.
Полная доходность облигации составляет 17%. Определите доходность
облигации с учетом налоговых выплат, если ставка налога на купонный
доход равна 13%, а на прирост капитала – 18%
Задача 8.
Срок погашения каждой из двух облигаций равен 8 лет. Определите средний
арифметический срок для данных облигаций, если выплаты по купонам
осуществляются по нормам 7% и 10%.
21
Задача 9.
Определите средний срок дисконтированных платежей для облигации, ставка
помещения которой равна 19%, а проценты выплачиваются ежегодно по
ставке 6%. Срок погашения облигации равен 6 лет.
Задача 10.
Определите, как изменится цена облигации, если полная доходность
возрастет на 10%. Средний срок дисконтированных платежей равен 5,2 года,
полная доходность – 21%, проценты начисляются раз в году.
Первоначальный курс облигации равен 70.
Задача 11.
Облигация, не предполагающая погашения и приносящая 3% дохода куплена
по курсу 90. Определите текущую и полную доходность инвестиции.
Рассмотрите варианты начисления процентов 1, 2, и 6 раз в год.
Задача 12.
Срок погашения облигации с нулевым купоном – 5 лет Определите курс
реализации облигации, если полная доходность облигации на дату
погашения равна 12,7% годовых. Чему равна текущая доходность
облигации?
Задача 13.
Известно, что номинал и проценты по облигации выплачиваются в конце
срока. Определите срок погашения облигации, если она куплена по курсу 60,
а ее полная доходность равна 27%. Чему равна текущая доходность
облигации?
Задача 14.
Срок погашения каждой из двух облигаций равен 9 лет. Определите средний
арифметический срок для данных облигаций, если выплаты по купонам
осуществляются по нормам 6% и 4%.
22
Инвестиции
Задача 1.
Сравните финансовую эффективность следующих инвестиционных проектов.
Величины поступления (расходования) средств по периодам приведены в
таблице (данные на конец года). Ставка процента равна 12% годовых.
Проект 1
Проект 2
0
-150
-170
1
-50
-20
2
80
100
3
150
120
Задача 2.
Первоначальные затраты по проекту составляют 300 тысяч руб. Величина
ежегодных поступлений определяются формулой:
⎧10t тысяч руб., 0 ≤ t < 6
⎨
⎩10 + 8t тысяч руб., 6 ≤ t < 10
Определите современную стоимость поступлений и современную стоимость
потока платежей. Ставка процента равна 12% годовых.
Задача 3.
Определите внутреннюю норму доходности инвестиционного проекта, если
первоначальные затраты на проект составляют 200 тыс. руб., а ежегодные
поступления составляют 40 тыс. руб. Срок осуществления проекта – 6 лет.
Задача 4.
Определите сроки окупаемости следующих инвестиционных проектов.
Величины поступления (расходования) средств по периодам приведены в
таблице (данные на конец года).
23
Проект 1
Проект 2
0
-500
-700
1
-100
-120
2
80
100
3
100
100
4 и далее
120
100
Задача 5.
По условиям предыдущей задачи определите дисконтный срок окупаемости
каждого из проектов. Ставка процента равна 10% годовых.
Задача 6.
Рассчитайте рентабельность инвестиционных проектов. Величины
поступления (расходования) средств по периодам приведены в таблице
(данные на конец года). Ставка процента равна 13% годовых.
Проект 1
Проект 2
0
-200
-180
1
-10
0
2
120
140
3
150
180
Задача 7.
Поток платежей по инвестиционному проекту задается функцией:
⎧10t − 200 тысяч руб., 0 ≤ t < 3
⎨
⎩20 + 20t тысяч руб., 3 ≤ t < 8
Определите срок окупаемости и дисконтный срок окупаемости данного
проекта.
Задача 8.
Поток платежей по инвестиционному проекту задается функцией:
⎧20t − 100 тысяч руб., 0 ≤ t < 3
⎨
⎩50 + 20t тысяч руб., 3 ≤ t < 7
Определите внутреннюю норму доходности данного проекта.
24
Задача 9.
Сравните приведенные инвестиционные проекты по срокам окупаемости,
современной стоимости потока платежей и показателям рентабельности.
Величины поступления (расходования) средств по периодам приведены в
таблице (данные на конец года). Ставка процента равна 9% годовых.
Проект 1
Проект 2
Проект 3
0
-200
-180
-160
1
-10
0
10
2
120
140
80
3
150
180
130
4
90
100
5
50
Задача 10.
Сравните приведенные инвестиционные проекты по срокам окупаемости,
современной стоимости потока платежей и показателям рентабельности.
Потоки платежей задаются функциями:
K1 (t ) = 20t − 60 (срок – 8 лет),
K 2 (t ) = 50t − 150 (срок – 5 лет),
K 3 (t ) = 40t − 80 (срок – 6 лет).
Ставка процента равна 11% годовых.
Страхование
Задача 1.
Определите вероятность мужчине в возрасте 50 лет прожить 15 лет. Чему
равен аналогичный показатель для женщины того же возраста?
Задача 2.
Определите вероятность смерти мужчины в возрасте 65 лет в ближайшие 5
лет. Сравнит с аналогичным показателем для женщины. Чему равна
вероятность умереть через 5 лет?
25
Задача 3.
Найдите стоимость отложенного на 15 лет, ограниченного 5 годами
аннуитета постнумерандо для мужчины в возрасте 35 лет.
Задача 4.
Найдите стоимость отложенного на 17 лет, ограниченного 7 годами
аннуитета пренумерандо для женщины в возрасте 30 лет.
Задача 5.
Найдите актуарную стоимость аннуитета для пятидесятилетнего мужчины.
Выплата осуществляется пожизненно и немедленно, платежи ежемесячные.
Сумма годового платежа равна 1500 руб.
Задача 6.
Найдите актуарную стоимость аннуитета для сорокалетней женщины. Срок
выплаты – 8 лет. Выплата осуществляется немедленно, платежи
ежеквартальные. Сумма годового платежа равна 2000 руб.
Задача 7.
Определите стоимость страхования на дожитие до 65 лет мужчины в
возрасте 55 лет. Процентная ставка равна 11%. Чему равен аналогичный
показатель для женщины того же возраста?
Задача 8.
Определите размер нетто-премии страхования на 10 лет на дожитие
супругов. Возраст мужа – 55 лет, возраст жены – 50 лет. Процентная ставка
равна 11%.
Задача 9.
Определите размер премии для пятидесятилетнего мужчины при
пожизненном страховании жизни. Страховая сумма равна 100 тысяч руб.
Чему равен аналогичный показатель для женщины.
Задача 10.
Определите размер ежегодной страховой премии в случае пожизненного
страхования мужчины в возрасте 55 лет. Страховая сумма равна 200 тысяч
руб. Страховая премия выплачивается в течение 10 лет.
26
Задача 11.
Рассчитайте размеры премий, обеспечивающие выплаты страховой пенсии в
размере 10000 руб. Выплаты отложены на 15 лет. Срок выплат – 10 лет.
Рассмотрите варианты выплат постнумерандо и пренумерандо.
Задача 12.
Найдите размер единовременной нетто-премии по договору страхового
пенсионного страхования. Годовая пенсия равна 7000 руб. Возраст
застрахованного лица – 45 лет. Выплаты осуществляются пожизненно с
момента достижения пенсионного возраста. Норма доходности – 10%.
Выполните расчет для случаев, если застрахован у мужчина, и если –
женщина.
27
Оглавление
Наращение по простым процентам
Погашение задолженности частями.
Дисконтирование по простым процентам
Наращение по сложным процентам
Дисконтирование по сложным процентам.
Наращение и дисконтирование по силе роста
Средние процентные ставки. Эквивалентность
Учет налогов и инфляции
Потоки платежей
Облигации
Инвестиции
Страхование
28
2
5
7
10
13
15
17
20
23
25
Модуль 4. Теория игр
Тема 4.1. Теория игр как инструмент количественного описания экономических субъектов в условиях субъективной неопределенности.
Семинар 4.1.1. Формализация игр. Построение дерева игры в экстенсивной форме.
Задача 1. Рассмотрим игру в покер двух игроков в следующей постановке.
В игре ставка каждого из игроков равна 5 долл. После сдачи карт на
руках у игроков остается определенное количество карт. Набор карт может
быть либо «старшим» (С), либо «младшим» (М). (Ниже набор карт будем называть просто картой). У игрока 1 имеется две возможности: либо раскрыть
карты (Р), либо повышать игру (В). При раскрытых картах старшая карта выигрывает банк; если же карты игроков равны, то банк делится пополам.
Если игрок 1 повышает игру, то он вкладывает в банк еще 5 долл. У игрока 2 после этого имеется две альтернативы: либо пасовать (П), либо уравнивать (У). Если он пасует, то игрок 1 выигрывает банк при любых картах.
Если же игрок 2 уравнивает игру, то он вносит в банк еще 5 долл., после чего
либо старшая карта выигрывает банк, либо при равных картах банк делится
пополам.
Построить дерево игры в экстенсивной форме.
Задача 2. Рассмотрим игру двух лиц. Игроки 1 и 2 независимо друг от
друга выбирают одно из чисел 1, 2, 3. Если эти числа оказываются равными,
то первый игрок выплачивает второму сумму, равную 1. если же эти числа не
равны, то игрок 2 выплачивает игроку 1 сумму, равную тому числу, которое
выбрал первый игрок.
Представить игру в экстенсивной форме.
Задача 3. Рассмотрим классический пример матричной игры «полковника Блотто».
Две армии ведут между собой борьбу за два населенных пункта. Армия
полковника Блотто состоит из четырех полков, армия противника – из трех.
Армия, которая посылает больше полков на тот или иной пункт, занимает его
и уничтожает все силы противника, получая по единице выигрыша за каждый занятый пункт и каждый уничтоженный полк противника. Полковник
Блотто должен решить, как распределить силы, чтобы выиграть максимальное количество очков.
Описать игру в экстенсивной форме.
Задания для самостоятельной работы
1) Привести примеры взаимосвязи основных понятий математической
теории игр и базовых терминов спортивных и салонных игр.
2) Перечислить признаки классификации игр.
3) Дать определение позиционной игры.
4) Решить задание построения дерева игры для ситуации «подростки на
автомобилях».
Двое подростков едут навстречу друг другу на автомобилях; проигравшим считается тот, кто первым свернет в сторону. Если один свернул в
сторону, а другой нет, то «выигравший» игрок получает – 5. если же сворачивают оба, то состязание оканчивается вничью и выигрыши равны нулю.
Если же никто из них не свернул в сторону, то игра завершается аварией –
выигрыш каждого равен – 100. Здесь ни один из игроков не располагает доминирующей стратегией, которая является наилучшей при любых предположениях о поведении другого игрока. Если бы каждый из них мог убедить
другого, что он намеревается свернуть, то они бы сыграли вничью, однако
каждый испытывает желание выиграть, нарушив любое подобное соглашение. Если нарушают договоренность оба, то исходом является катастрофа.
Семинар 4.1.2. Нормальная форма представления игры.
Задача 1. Рассмотрим ситуацию двое в горящем доме.
Два человека оказались в горящем доме. Дверь так сильно захлопнута,
что ее можно открыть только совместными усилиями. Действуя вместе, оба
человека могут спастись – выигрыш каждого в этом случае равен 100; в противном случае могут пострадать оба – выигрыш каждого 0.
Построить платежную матрицу игры в нормальной форме.
Задача 2. Для примера игры «полковника Блотто» (семинар 4.1.1, задача 3) построить платежную матрицу игры в нормальной форме.
Задача 3. Для упрощенной игры двух лиц в покер (семинар 4.1.1, задача 1) построить платежные матрицы игроков игры в нормальной форме.
Задания для самостоятельной работы
1) Описать построение куба выигрышей трех игроков для примера
(приведенного в лекции 4.1.2) задачи о рекламе.
2) Выполнить задания: построить объединенную платежную матрицу
игры двух лиц, если заданы П1 платежная матрица игрока 1:
⎛ П 111 П 112 П 113 ⎞
⎟
П =⎜ 1
⎜ П П1 П1 ⎟
22
23 ⎠
⎝ 21
1
и платежная матрица П2 игрока 2
2
2
2
⎛ П 11
⎞
П 12
П 13
⎜
⎟.
П =
⎜П2 П2 П2 ⎟
22
23 ⎠
⎝ 21
2
3) Построить платежную матрицу игры, описанной в задаче 2 (семинар
4.1.1).
Тема 4.2. Выбор стратегии игроком: подходы к оценке выигрышей.
Семинар 4.2.1. Платежные матрицы игр с «природой». Статистические
критерии выбора стратегии по платежным матрицам.
Задача 1. Рассмотрите следующую платежную матрицу (матрицу доходов):
S1
S2
S3
S4
Q1
15
3
1
7
Q2
10
14
5
19
Q3
0
8
14
10
Q4
-6
9
20
2
Q5
17
2
-3
0
Где S1, S2, S3, S4 – стратегии игрока; Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 – стратегии природы.
Вероятности состояний природы неизвестны. Сравните решения, получаемые при следующих критериях: (а) Лапласа, (б) Вальда, (в) Гурвица (положить α = 0,5).
Задача 2. В игре с «природой» платежная матрица игры описывает затраты. Записать аналитический вид статистических критериев выбора: Вальда, Лапласа, Гурвица, крайнего оптимизма и Сэвиджа.
Задача 3. Компания является производителем медикаментов и биомедицинских изделий. Известно, что пик спроса на одни лекарственные препараты (препараты сердечно-сосудистой группы, анальгетики) приходится на
летний период, на другие (антиинфекционные, противокашлевые) – на весенний и осенний периоды.
Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь – октябрь составили: по
первой группе (сердечно-сосудистые препараты и анальгетики) – 20 ден. ед.;
по второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) – 15
ден. ед.
По данным наблюдений за несколько лет, служба маркетинга компании
установила, что компания может реализовать в течение двух рассматриваемых месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой
группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию
компании в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от
реализации при цене продажи за 1 усл. ед. продукции первой группы 40 ден.
ед. и второй группы – 30 ден. ед., используют критерий Вальда и Гурвица (α
= 0,4).
Задания для самостоятельной работы
1) На основе критерия Гурвица, как можно оценить склонность игрока
к риску.
2) Показать, что при игре с «природой» критерий Лапласа менее пессимистичен в сравнении с критерием Вальда.
3) Решить задачу о выпуске товаров широкого потребления.
Организация планирует выпуск трех партий новых видов товаров широкого потребления в условиях неясной рыночной конъюнктуры. Известны
отдельные возможные состояния Р1, Р2, Р3, Р4, а также возможные объемы
выпуска изделий по каждому варианту и их условные вероятности, которые
представлены в табл. А. Определить предпочтительный план выпуска товаров широкого потребления. На основе критериев Лапласа, Вальда и Гурвица
(α = 0,7)
Таблица А
Объем выпуска товаров при различных состояниях
рыночной конъюнктуры
Товар
Р1
Т1
Р2
0,4
2,2
Т2
0,1
3,8
0,3
2,6
Т3
2,8
2,4
0,3
3,2
0,1
3,1
0,3
2,0
Р4
0,2
0,2
0,2
3,0
Р3
0,4
3,3
0,2
1,8
0,3
2,5
Семинар 4.2.2. Выбор стратегии на основе матриц ущербов (потерь).
Критерий Сэвиджа.
Задача 1. Построить матрицу ущерба для задачи 1 (семинар 4.2.1). Выбрать оптимальную стратегию по критерию Сэвиджа. Сравнить выбор с результатом задачи, рассмотренной ранее.
Задача 2. Построить матрицу ущерба (потерь) для задачи 3 (семинар
4.2.1). Выбрать оптимальную стратегию по критерию Сэвиджа и сравнить с
результатом ранее решенной задачи.
Задача 3. привести примеры поведения игроков в экономической ситуации, ориентированных на выбор стратегии по критерию Сэвиджа.
Задания для самостоятельной работы
1) Какому критерию выбора соответствует осторожное поведение игроков.
2) Опишите этапы выбора стратегий игроком по критерию Сэвиджа,
если известна платежная матрица игры.
3) Сравните способ расчета матрицы потерь и аналитический вид критерия Сэвиджа в условиях, когда в платежной матрице игры с природой платеж П соответствует: а) получаемой прибыли; б) сделанным затратам.
4) Решить задачу по выбору стратегии компанией, производящей детские товары.
Компания производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты компании в
течение августа – сентября на единицу продукции составили: платья – 7 ден.
ед., костюмы – 28 ден. ед. Цена реализации составляет 15 и 50 ден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, компания может реализовать в условиях теплой погоды 1950 платьев и 610 костюмов, а
при прохладной погоде – 630 платьев и 1050 костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию
компании в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальны доход от
реализации продукции по критерию Сэвиджа.
Тема 4.3. Антагонистические игры. Матричные игры двух лиц с нулевой
суммой.
Семинар 4.3.1. Матричные игры двух лиц с нулевой суммой в чистых
стратегиях.
Задача 1. Для игр, заданных платежными матрицами:
⎛4
⎜
⎜9
П1 = ⎜
5
⎜
⎜6
⎝
7⎞
⎟
3⎟
9⎟
⎟
9 ⎟⎠
⎛2 5⎞
⎟⎟
П 3 = ⎜⎜
⎝6 4⎠
⎛10 5 2 ⎞
⎟⎟ ,
П 4 = ⎜⎜
⎝ 1 9 7⎠
⎛ 2 3 1 4⎞
⎟⎟
П 2 = ⎜⎜
⎝ 3 2 4 1⎠
Найти верхнюю и нижнюю цену игры.
Задача 2. Найти решение игр двух лиц с нулевой суммой в чистых
стратегиях, заданных платежными функциями.
⎛ 4 0⎞
⎟⎟
П 1 = ⎜⎜
⎝6 3⎠
⎛15 0 - 2 ⎞
⎜
⎟
П 3 = ⎜ 0 - 15 - 1 ⎟
⎜1 2 0 ⎟
⎝
⎠
⎛5 3 2 ⎞
⎟⎟
П 2 = ⎜⎜
⎝3 4 0⎠
Задача 3. При каких значениях a, b, c игра двух лиц с платежной мат⎛ a 0 0⎞
⎜
⎟
рицей ⎜ 0 b 0 ⎟ , a > b > c, будет иметь решение в чистых стратегиях.
⎜0 0 c ⎟
⎝
⎠
Задача 4. Пусть игра двух лиц представлена платежной матрицей П.
⎛ 0 -1 - 2⎞
⎜
⎟
П = ⎜1 0 - 1 ⎟
⎜ 2 1 0⎟
⎝
⎠
Определить: имеет ли игра седловую точку в чистых стратегиях.
Задача 5. Две фирмы А и В производят два конкурирующих товара.
Каждый товар в настоящее время «контролирует» 50 % рынка. Улучшив качество товаров, обе фирмы собираются развернуть рекламные компании. Ес-
ли обе фирмы не будут этого делать, то состояние рынка не изменится. Однако если одна из фирм будет более активно рекламировать свои товары, то
другая фирма потеряет соответствующий процент потребителей. Обследование рынка показывает, что 50 % потенциальных потребителей получают информацию посредством телевидения, 30 % - через газеты и остальные 20 % через радиовещание. Цель каждой фирмы – выбрать подходящие средства
рекламы.
Сформулируйте задачу как игру двух лиц с нулевой суммой. Имеет ли
она седловую точку?
Задача 6. Доказать, что игра двух лиц с нулевой суммой обладает следующими свойствами:
1) Седловая точка может быть не единственной; цена игры единственна.
2) Цена игры является неубывающей непрерывной функцией элементов
платежной матрицы.
⎛1
⎜
Задача 7. Если ⎜ - 1
⎜1
⎝
2⎞
⎟
0 ⎟ есть платежная матрица, показать, что игра имеет
3 ⎟⎠
в чистых стратегиях два решения – игрок А имеет две оптимальные стратегии.
Задача 8. Найти верхнюю и нижнюю цены игры, установить будет ли
данная игра иметь решение только в чистых стратегиях. Существует ли седловая точка для данной игры.
⎛1 2
⎜
⎜-1 - 3
А=⎜
9 8
⎜
⎜- 8 - 6
⎝
3 4⎞
⎟
-4 -5 ⎟
.
7 6⎟
⎟
- 4 - 2 ⎟⎠
Задача 9. Найти верхнюю и нижнюю цены игры с платежной матри⎛ 1 - 1 - 1⎞
⎜
⎟
цей А = ⎜ - 1 2 - 1 ⎟ , установить будет ли данная игра иметь решение только в
⎜ -1 -1 3 ⎟
⎝
⎠
чистых стратегиях.
⎛1 2 1 ⎞
⎟⎟ имеет
Задача 10. Показать, что игра с платежной матрицей А = ⎜⎜
⎝ 2 3 - 1⎠
решение в чистых стратегиях.
Задача 11. дана игра с платежной матрицей:
⎛1 - 2 - 1 3 ⎞
⎜
⎟
А = ⎜2 3 1 2 ⎟ .
⎜3 4 0 - 4⎟
⎝
⎠
Определите есть или нет решения в чистых стратегиях.
Задания для самостоятельной работы.
1) Запишите соотношение между верхней и нижней ценой игры.
2) Выполните следующее задание.
Укажите область значений p и q, для которых выигрыш (2, 2) будет
седловой точкой в следующих играх:
Игрок 2
Игрок 1
Игрок 2
1
q
6
p
5
1
Игрок 1
0
6
2
2
4
5
1
7
q
4
p
6
0
3
3) Выполните следующее задание.
Подсчитайте, будут ли значения следующих игр больше, меньше или
равны нулю, если платежные матрицы имеют вид:
⎛1
⎜
⎜2
П1 = ⎜
-5
⎜
⎜7
⎝
9
3
-2
4
6
8
10
-2
0⎞
⎟
4⎟
- 3⎟
⎟
- 5 ⎟⎠
⎛3 7 -1 3⎞
⎜
⎟
П2 = ⎜4 8 0 - 6⎟
⎜6 - 9 - 2 4⎟
⎝
⎠
⎛ -1
⎜
⎜- 2
П3 = ⎜
5
⎜
⎜7
⎝
⎛3
⎜
П4 = ⎜5
⎜4
⎝
9
10
3
-2
1⎞
⎟
2 3⎟
2 - 5 ⎟⎠
6
6
4
0
8
8⎞
⎟
6⎟
7⎟
⎟
4 ⎟⎠
4) Определить существует ли седловая точка в играх, заданных платежными матрицами:
⎛1 2 3 ⎞
⎟⎟
П 1 = ⎜⎜
⎝3 0 2 ⎠
⎛1 4 ⎞
⎜
⎟
П3 = ⎜3 - 2⎟
⎜ 0 5⎟
⎝
⎠
⎛- 3 6⎞
⎜
⎟
П2 = ⎜ 8 - 2⎟
⎜ 6 3⎟
⎝
⎠
⎛4 - 3⎞
⎟⎟
П 4 = ⎜⎜
⎝0 2⎠
5) Если в некоторых играх двух участников с нулевой суммой допустимы любые монотонные преобразования платежей:
П ij' = φ (П i j ), φ ' > 0 , а также
если в некоторых играх двух участников с нулевой суммой допустимы любые монотонные линейные преобразования
П ij' = aП ij + b, a > 0 .
Необходимо показать, что
1)
Во вполне определенных играх оптимальные (чистые) стратегии
не меняются при любых монотонных преобразованиях, а цена игры изменяется согласно этому преобразованию;
2)
Монотонное нелинейное преобразование, не меняющие опти-
мальные чистые стратегии во вполне определенной игре, может привести к
изменениям оптимальных смешанных стратегий в не полностью определенных играх (привести пример).
Семинар 4.3.2. Матричные игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
Задача 1. Показать, что оптимальные смешанные стратегии p1* и p2*
для не полностью определенной матричной игры с невырожденной матрицей
П размерности 2 х 2 имеют следующий вид:
p1* =
1 -1
1П
V
p 2* =
1 -1 '
П 1,
V
Где 1 = (1, 1), а цена игры есть
V=
1
.
1П -11'
Обобщить эти результаты на случай игры с вырожденной матрицей П
размерности 2 х 2.
Задача 2. Рассмотрим игру с платежной матрицей
⎛ 5 50 50 ⎞
⎜
⎟
П = ⎜1 1 0,1 ⎟ .
⎜10 1 10 ⎟
⎝
⎠
1
Проверьте, что смешанные стратегии (1/6, 0, 5/6) для игрока 1 и (49/54,
5/54, 0) для игрока 2 оптимальные, и найдите значение этой игры.
Задача 3. Пусть как в задании для самостоятельной работы №5 (семинар 4.3.1):
а) в некоторых играх двух участников с нулевой суммой допустимы
любые монотонные преобразования платежей:
П ij' = φ (П i j ), φ ' > 0 ;
б) в некоторых играх двух участников с нулевой суммой допустимы
любые монотонные линейные преобразования
П ij' = aП ij + b, a > 0 .
Показать, что в не полностью определенной игре оптимальные (смешанные) стратегии не меняются при монотонных линейных преобразованиях, а цена игры меняется согласно этому преобразованию.
Задача 4. Найти решение следующей игры с нулевой суммой: игроки 1
и 2 независимо друг от друга выбирают одно из чисел 1, 2, 3. Если эти числа
оказываются равными, то первый игрок выплачивает второму сумму, равную
1. Если же эти числа не равны, то игрок 2 выплачивает игроку 1 сумму, равную тому числу, которое выбрал первый игрок.
Задания для самостоятельной работы
1) Игра двух участников с нулевой суммой называется справедливой,
если цена игры равна нулю.
1.
Показать, что симметричная игра, т.е. игра с кососимметрической
платежной матрицей (П = -П’), является справедливой и что оптимальные
векторы вероятностей совпадают с точностью до операции транспонирования векторов.
2.
Построить пример несимметричной не полностью определенной
справедливой игры.
3.
Построить пример несимметричной вполне определенной спра-
ведливой игры.
2) Показать, что в не полностью определенных играх двух участников с
нулевой суммой выполняется следующее:
а) Если противник использует свою оптимальную смешанную стратегию, то никакая чистая стратегия не может дать большего выигрыша, чем оптимальная смешанная стратегия.
б) Если противник использует оптимальную стратегию, то любая чистая стратегия, которая входит с ненулевой вероятностью в некоторую оптимальную смешанную стратегию, приводит к выигрышу, равному цене игры,
тогда как выигрыш при любой чистой стратегии, входящей в любую смешанную стратегию с нулевой вероятностью, меньше цены игры.
в) Любая доминируемая чистая стратегия используется в оптимальных
смешанных стратегиях с нулевой вероятностью.
г) Любая выпуклая линейная комбинация двух оптимальных смешанных стратегий также является оптимальной смешанной стратегией.
3) Найти оптимальные смешанные стратегии в играх с заданными платежными матрицами:
⎛3 - 2 ⎞
⎛1 - 1 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ П 2 = ⎜⎜
П 1 = ⎜⎜
⎝- 6 - 4⎠
⎝ 0 3⎠
При решении воспользоваться приведенными результатами. Проверить
правильность решения, сопоставив его с решением, найденным графическим
способом.
Семинар 4.3.3. Сведение матричной игры двух лиц с нулевой суммой к
задаче линейного программирования.
Задача 1. Из теоремы двойственности теории линейного программирования вытекает теорема о минимаксе. Докажите обратное, что из теоремы о
минимаксе следует теорема двойственности. Указание: представьте двойственные задачи линейного программирования, сформулированные для игры
двух участников с нулевой суммой, имеющей кососимметрическую платежную матрицу
⎛ 0 А -b ⎞
⎜
⎟
П = ⎜ - A ' 0 c' ⎟ .
⎜ '
⎟
⎝ b - c 0⎠
Задача 2. Докажите теорему о минимаксе, используя соотношения между значениями целевых функций в прямой и двойственной задачах линейного программирования.
Задача 3. Рассмотрите следующую игру. Каждый игрок показывает
один или два пальца и одновременно пытается угадать число пальцев, показанных противником. Если только один из игроков угадал правильно, то он
выигрывает сумму, равную общему числу пальцев, показанных обоими игроками. Во всех других случаях игра заканчивается вничью. Сформулируйте
задачу как игру двух лиц с нулевой суммой и решите ее методом линейного
программирования.
Задача 4. Рассмотрите игру, в которой два противника А и В ведут
борьбу за два стратегических пункта. Под командованием А находятся два
полка, под командованием В – три. Обе стороны должны распределить свои
силы между двумя пунктами. Пусть n1 и n2 – числа полков, посланных со стороны А на пункты 1 и 2 соответственно. Аналогично пусть m1 и m2 – распределения полков противника по соответствующим пунктам. Выигрыш А подсчитывается следующим образом. Если n1 > m1, он получает m1+1, и, если n2 >
m2, он получает m2+1. С другой стороны, если n1< m1, он теряет n1+1, и, если
n2< m2, он теряет n2+1. И наконец, если число полков на каждой стороне одно
и то же, то каждая сторона получает нуль. Сформулируйте задачу как игру
двух лиц с нулевой суммой и решите ее методом линейного программирования.
Задача 5. Существуют три типа исходов в играх с нулевой суммой, в
которых каждый игрок располагает двумя возможными стратегиями:
1) Каждый игрок имеет доминирующую стратегию.
2) Лишь один игрок имеет доминирующую стратегию.
3) Ни один из игроков не располагает доминирующей стратегией.
Одна стратегия доминирует над другой, если она дает не меньший выигрыш, чем другая при любых стратегиях противника, и если она дает больший выигрыш при некоторых стратегиях противника. Привести примеры игры различных видов, соответствующих трем типам исходов.
Задача 6. Решите следующие игры методом линейного программирования, когда платежные матрицы имеют вид:
⎛ -1 1 1 ⎞
⎜
⎟
П1 = ⎜ 2 - 2 2 ⎟
⎜3 3 - 3 ⎟
⎝
⎠
⎛1 2 - 5 3 ⎞
⎜
⎟
П 2 = ⎜ -1 4 7 2 ⎟
⎜5 -1 1 9 ⎟
⎝
⎠
Задания для самостоятельной работы
1) Запишите условия сильной теоремы о минимаксе и задаче 1 (семинар 4.3.3) с кососимметричной матрицей.
2) Показать, что при эквивалентной замене игры задачей линейного
программирования доминируемыми стратегиями игроков можно пренебречь.
3) Найти решение задачи полковника Блотто (условия приведены в задаче 3, семинар 4.1.1).
4) Найти решение в смешанных стратегиях игры с платежной матрицей:
⎛1 2 3 4 ⎞
⎜
⎟
П = ⎜2 2 3 1 ⎟ ,
⎜ 4 3 2 6⎟
⎝
⎠
5) Найти оптимальные стратегии в игре с платежной матрицей
⎛1 2 3 ⎞
⎜
⎟
А = ⎜ 2 3 1⎟ (латинский квадрат).
⎜3 1 2⎟
⎝
⎠
⎛8 2 2⎞
⎜
⎟
6) Найти решение для игры с платежной матрицей А = ⎜ 4 1 6 ⎟ .
⎜6 5 0⎟
⎝
⎠
7) Игрок А ставит на три лошади; выплаты в случае победы каждой
⎛ 1 - 1 - 1⎞
⎜
⎟
лошади относятся как 1:1, 2:1, 3:1. Платежная матрица ⎜ - 1 2 - 1 ⎟ . Найти ре⎜ -1 -1 3 ⎟
⎝
⎠
шение.
⎛ 0 100 250 ⎞
⎟.
- 50 ⎟⎠
8) Найти решение для игры с платежной матрицей А = ⎜⎜
⎝150 50
9) предприятие может выпускать три вида продукции (А1, А2, А3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном
⎛3 3 6 8 ⎞
⎜
⎟
из состояний (В1, В2, В3, В4). Дана матрица ⎜ 9 10 4 2 ⎟ , ее элементы aij харак⎜7 7 5 4 ⎟
⎝
⎠
теризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом
состоянии спроса, считая его неопределенным.
Семинар 4.3.4. Графические методы решения матричных игр с нулевой
суммой.
Задача 1. Решите следующие игры графически, если платежные матрицы игры имеют вид:
⎛1
⎜
⎜5
П2 = ⎜- 7
⎜
⎜- 4
⎜2
⎝
⎛1 3 - 3 7 ⎞
⎟⎟
П 1 = ⎜⎜
⎝ 2 5 4 - 6⎠
2⎞
⎟
6⎟
9⎟ .
⎟
- 3⎟
1 ⎟⎠
Задача 2. В игре двух лиц с нулевой суммой игрок 1 имеет 2 стратегии,
а игрок 2 – 5 стратегий. Платежная матрица игры имеет вид
S
2
S
2
1
S
S
2
2
2
3
S
П=
2
4
5
S
5
3
2
4
8
S
4
5
8
5
2
1
1
1
2
Найти графически пару оптимальных стратегий.
Задача 3. Рассмотрим игру с платежной матрицей:
⎛7
⎜
⎜5
П=⎜
5
⎜
⎜2
⎝
6
4
6
3
5
3
6
3
4
2
3
2
2⎞
⎟
3⎟
5⎟ .
⎟
4 ⎟⎠ 4×5
Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Задача 4. Найти решение игры вида (2 х n), заданной платежной матрицей П.
⎛ 2 2 3 - 1⎞
⎟⎟ .
⎝4 3 2 6 ⎠
П = ⎜⎜
Задача 5. Путем исключения избыточных строк и столбцов, показать,
⎛0 3 - 3⎞
⎜
⎟
2
показать, что игра с матрицей А = ⎜ 3 9 - 6 ⎟ имеет цену υ = , а оптимальные
3
⎜3 -1 2 ⎟
⎝
⎠
1 5
4 5
стратегии ⎛⎜ 0, , ⎞⎟ для А и ⎛⎜ 0, , ⎞⎟ для В.
⎝
6 6⎠
⎝
9 9⎠
Задача 6. Рассмотрим игру размерности (4 х 2) с платежной матрицей
⎛2
⎜
2
П = ⎜⎜
3
⎜
⎜- 2
⎝
4⎞
⎟
3⎟
2⎟
⎟
6 ⎟⎠
Определить: а) чистые стратегии игрока 1 строго доминирующие над
другими; б) найти решение игры при условии исключения первой стратегии
игрока 1.
Задача 7. Рассмотрим следующую игру вида 2 х 4.
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
⎜
П = ⎜ 2 2 3 - 1⎟
⎜4 3 2 6 ⎟
⎠
⎝
Определить: а) существует ли седловая точка в чистых стратегиях; б)
найти решение в смешанных стратегиях.
Задания для самостоятельной работы
1) Записать алгоритм решения игры двух лиц с нулевой суммой с платежной матрицей размерности (2 х 5).
2) Записать алгоритм решения игры двух лиц с нулевой суммой с платежной матрицей (3 х 2).
3) Рассмотрим игру размерности (2 х 4) с платежной матрицей
⎛ 2 2 3 - 1⎞
⎟⎟ .
⎝4 3 2 6 ⎠
П = ⎜⎜
Определите: а) какие из чистых стратегий игрока 2 можно исключить,
не изменяя решения игры; б) оптимальное решение, когда у игрока 2 исключена третья стратегия.
4) Найти графические решения задачи в задании 4 самостоятельной работы (семинар 4.3.1).
5) Определить, есть ли доминирующая стратегия игрока для задачи 1
(семинар 4.2.1).
6) Определить, при каких значениях p и q (задание 2 для самостоятельной работы к семинар 4.3.1) игры будут иметь решения только в смешанных
стратегиях.
⎛8 - 6 ⎞
⎟ , область вы4 ⎟⎠
7) Показать графически для игры с платежной П = ⎜⎜
⎝0
бора стратегии игроком 1 и игроком 2.
8) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 2 0⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝ -1 3 ⎠
9) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 3 -4⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝ - 2 - 1⎠
10) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 0.5 - 1⎞
⎟.
П = ⎜⎜
2 ⎟⎠
⎝-1
11) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 2 0⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝- 2 1 ⎠
12) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 0 20 ⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝10 - 10 ⎠
13) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ - 1 1⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
1
1
⎝
⎠
14) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ - 1,5 - 3 ⎞
⎟.
П = ⎜⎜
- 1⎟⎠
⎝- 2
15) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ - 2 2⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝ 1 -1 ⎠
16) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 4 - 2⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝1 3⎠
17) Решить графическим способом игру с платежной матрицей
⎛ 6 10 ⎞
⎟⎟ .
П = ⎜⎜
⎝10 8 ⎠
Тема 4.4. Игра двух лиц с ненулевой суммой. Матричные и биматричные
игры.
Семинар 4.4.1. Биматричные игры. Равновесные стратегии по Нэшу.
Задача 1. Игра «Оролянка». Игрок А бросает монету, второй игрок
угадывает какой стороной упала монета (орел либо решка), если игрок В угадывает, то получает 3 рубля от А, если не угадывает, то платит 3 рубля игроку А. Написать платежную матрицу для игрока А. Определить существует ли
равновесные решения.
Задача 2. Рассматривается игра с двумя ходами, в которой каждый из
игроков А и В называет число 1 и 2, не зная о выборе своего противника, А
получает 2 рубля от В, если оба игрока называют 1, 1 рубль, если А называет
1, а В – 2, 3 рубля А получает от В, если А называл 2, а В – 1. А платит В 2
рубля, если оба называли 2.
Задание: написать объединенную платежную матрицу для игроков А и
В; определить, существует ли пара равновесных по Нэшу стратегий.
Задача 3. Игра «Ножницы, бумага и колодец». Два игрока независимо
друг от друга называют ножницы, бумагу и колодец. Если называния одинаковы каждый игрок ничего не платит; сочетание «ножницы и бумага» - игрок
назвавший бумага платит второму игроку 2 рубля; сочетание «бумага и колодец» - игрок назвавший колодец получает от второго игрока 2 рубля. Написать платежную матрицу для игрока А и В и объединенную платежную матрицу. Определить существует ли пара равновесных по Нэшу стратегий игроков А и В.
Задача 4. Игра Мора широко распространена в Италии. В варианте игры, называемом «двухпальцевая Мора», игрок А показывает один или два
пальца и называет вслух число пальцев (тоже один или два) которое, по его
представлению, назовет игрок В. Каждый игрок имеет четыре стратегии, которые могут быть пронумерованы: 1 – (1, 1), 2 – (2, 1), 3 – (1, 2), 4 – (2, 2), где
первый номер в скобках обозначает число показанных, а второе – число на-
званных игроком пальцев. Если только один игрок угадывает правильно, то
он получает выигрыш, равный сумме числа показанных игрокам пальцев; если ни один не угадывает или правильно угадывают оба, то платежи не производятся. Написать платежную матрицу для игроков А и В и объединенную
платежную матрицу. Существует ли равновесное решение.
Задача 5. Определить точки равновесия для игры с матрицей выигрышей
⎛ (4, 1)(0, 0) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ (0, 0)(1, 4)⎠
Задания для самостоятельной работы.
1) Приведите пример из экономической практики ситуаций, которые
можно описать биматричной игрой.
2) Дать определение множества равновесных решений по Парето.
3) Если существует единственное равновесное значение платежа для
игроков, значит ли это, что равновесная по Нэшу пара стратегий в игре единственная?
4) Рассмотрим некоторую задачу торгов. Два человека могут получить
100 долл., если они придут к соглашению о разделе этих денег. Первый из
них обладает суммой W1 долл., его функция полезности представляет собой
логарифмическую функцию, так что если он получит Х долл. Из 100, то его
выигрыш равен
П1 = ln (W1 + X), 0 ≤ X ≤ 100.
Аналогично второй человек обладает суммой W2 долл. И его выигрыш
при получении оставшихся 100 – Х долл. Равен
П2 = ln (W2 + 100 - X).
1.
Предположим, что Wi » 100? I = 1, 2. Как будут разделены деньги
при решении по Нэшу? (Указание: ln (1 + z) ≈ z, если z – малое число.)
2.
Предположим, что W1 = 100, W2 » 100. как будут разделены ра-
зыгрываемые 100 долл.? Является ли этот раздел «справедливым»?
5) Для задачи подростки на автомобилях (задание 3 для самостоятельной работы, семинар 4.1.1) определить будет ли существовать равновесие по
Нэшу, если каждый игрок будет действовать, исходя из принципов:
а) принцип максимина, т.е. каждый игрок максимизирует свой минимальный выигрыш.
б) принцип минимакса, т.е. каждый игрок минимизирует максимальный выигрыш своего противника.
в) Принцип максимальной суммы, т.е. максимизируется сумма выигрышей.
г) Принцип максимальной разности, т.е. максимизируется разность между выигрышем данного игрока и выигрышем его противника.
Тема 4.5. Игры с непостоянной суммой. Кооперативные игры.
Семинар 4.5.1. Кооперативные игры без перевода платежа.
Задача 1. Пусть экономика представлена двумя игроками и двумя товарами (используется для представления ящик Эджворта).
Показать Парето-распределение в ящике Эджворта, линии угрозы, переговорное множество и решение Нэша для ящика Эджворта.
Задача 2. Показать, что модель фирмы в условиях несовершенной конкуренции (дуаполия) сводится к задаче теории кооперативных игр без перевода платежей.
Задача 3. Семейный спор. Согласно условиям этой игры, семейная пара – Муж и Жена каждый вечер решают проблему: как им провести свой досуг. В городке, где они живут, имеется два вида развлечений: Балет и Футбол. У каждого из супругов есть свое любимое зрелище: Жена предпочитает
Балет, Муж – Футбол. Однако супруги так привязаны друг к другу, что посещение любимого развлечения в одиночку доставляет им совсем не такое
удовольствие, как присутствие на них вдвоем, т.е. если Жена идет вечером на
Балет с Мужем, она получает максимум удовольствия (скажем, 4 единицы);
Муж недолюбливает Балет, но присутствие на нем с Женой скрашивает тягостное времяпрепровождение (Муж получает 1 ед. удовольствия). История
повторяется с точностью до наоборот, когда Жена идет с Мужем на обожаемый им Футбол: Муж получает 4 ед. удовольствия от игры любимой команды и присутствия любимой Жены; Жена получает 1 ед. Удовольствия, проведя вечер с Мужем на Футболе. В принципе Муж может сходить на Футбол, а
Жена – на Балет в одиночку, но отсутствие супруга снижает удовольствие от
любимых зрелищ – каждый из них получает по 2 ед. удовольствия. И наконец, вечер будет проведен совсем уж без пользы (т.е. супруги получат по 0
ед. удовольствия), если муж отправиться на Балет в то время как Жена будет
на стадионе смотреть Футбол.
Выполнить: а) записать матрицу выигрышей игры; б) построить графически переговорное множество; в) найти равновесное по Нэшу решение игры.
Задача 4. Кооперативная игра дается матрицей выигрышей
⎛ (8, 2) (0, 0) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ (4, 4) (2, 8) ⎠
Найти основные характеристики игры при условии создания коалиции без
перевода платежей.
Задача 5. Пусть на рынке доминирует производитель – компания 1, и
монопольное положение приносит ей прибыль 10 млн. ден.ед. Компания 2
решает вопрос о вступлении на этот рынок при следующих известных предпосылках.
В случае вступления компании 2 на рынок компания 1 может отреагировать одним из следующих способов:
1) снизить объем производства и поделить с компанией 2свою прибыль по 5
млн. ден.ед. на каждого конкурента;
2) сохранить объем производства; тогда прибыль компании 1 понизится до 3
млн. ден.ед. тоже из-за падения рыночной цены на товар, а также из-за того,
что предварительные затраты на проработку рынка и организацию производства не буду т компенсированы.
Если же компания 2 воздерживается от вступления на рынок, то она
ничего не выигрывает и не проигрывает, т.е. ее прибыль будет нулевой. В
этом случае у компании 1 по-прежнему остаются два варианта поведения: не
снижать объем производства и получить прибыль 10 млн. ден.ед. или снизить
объем производства со снижением прибыли до 8 млн. ден. ед.
Рассмотреть возможные стратегии позиционирования компаний. Найти
параметры стратегии в случае позиционной игры.
Задания для самостоятельной работы.
1) Привести примеры экономических практических ситуаций, где можно использовать коалиционные игры без перевода платежей.
2) В задаче 5 определить размер платежей при угрозе.
3) Проинтерпретировать критерий оптимальности задачи поиска равновесия по Нэшу для кооперативных игр.
4) Объяснить, почему переговорное множество есть всегда множество
Перето оптимальных решений.
5) Показать связь равновесных решений по Стэкельбергу задачи о дуополии с равновесием по Нэшу.
Семинар 4.5.2. Кооперативные игры с дележом (игры с переводом платежей/побочными платежами).
Задача 1. Построить графическое решение коалиционной игры трех
участников описанной в лекции ????????????. Найти цену Шепли для игры.
Задача 2. В игре «третий лишний» участвуют три игрока, которые независимо друг от друга выбирают одну из сторон монеты: либо «орел», либо
«решка». Если выбор всех игроков одинаков, то каждому из игроков выплачивается по одному доллару, в противном случае «третий лишний» выплачивает каждому из двух игроков по одному доллару. Найти характеристическую функцию игры.
Задача 3. Приведите примеры, иллюстрирующие указанные ниже возможности доминирования платежей в решении фон Неймана – Моргенштерна).
1) П1 доминирует над П2, а П2 не доминирует над П1:
2) П1 доминирует над П2, а П2 доминирует над П1:
3) Дележи П1 и П2 не являются доминирующими друг для друга.
Задача 4. Для игры в форме характеристической функции показать, что
ядро является подмножеством решения фон Неймана – Моргенштерна.
Задача 5. Игра «покупка лошади». Владелец лошади (Р1) оценивает ее
в 50 долл. Два покупателя (Р2 и Р3) оценивают лошадь соответственно в 100 и
90 долл. Если принять, что первый игрок (самостоятельно) имеет полезность,
равную 50 единицам, тогда как двое других не имеют ничего. Однако полезность может возрасти в результате сделки между игроками (в целях сделки)
может быть разрешена и игрок Р1 может продать лошадь одному из покупателей. Таким образом, игроки Р1 и Р2 могут получить всего 100 единиц, а Р1
и Р3 – 90 единиц.
Выполнить: а) записать характеристическую функцию игры в абсолютной и нормализованной формах; б) записать условия дележа {П1 , П 2 , П 3 } в
нормальной форме; в) найти оптимальный дележ игры по Шепли; г) найти
ядро игры.
Задача 6. Пусть в игре покупка лошади, сформирована следующая
коалиционная структура {(1,2); (3)}
Выполнить: а) записать условия дележа для множества сделок
(П 1 , П 2 ,0) ; б) найти ядро игры.
Задача 7. Пусть в некоторой акционерной компании часть акций, а
именно простое большинство акций, требуется для сохранения контроля над
компанией, По всем акциям выплачиваются одинаковые дивиденды независимо от того, принадлежат ли они контролирующей группе или нет.
n
Если i-му акционеру принадлежит Si акций (i=1,2,…,n), а m= ∑ Si - обi =1
щее число акций, то характеристическая функция имеет следующий вид:
m ⎫
⎧
⎪⎪0 при n s ≤ 2 ⎪⎪
ν(S) = ⎨
⎬
⎪ n s при n ; m ⎪
s
⎪⎩ m
2 ⎪⎭
где n s - число акций, контролируемых коалицией S,
ns =
∑S
все i∈S
i
Предположим, что S i не равны между собой. Показать, что ядро состоит из единственного дележа ( S1 / m, S 2 / m,.....S n / m ). Дайте интерпретацию этого
результата.
Задания для самостоятельной работы.
1) Рассмотрим игру с голосованием, в котором участвуют 5 человек.
Пусть игрок 1 имеет 3 голоса, а все остальные имеют по одному голосу. Для
победы необходимо 4 голоса из имеющихся 7. Характеристическая функция
V(S)=1, если S содержит, по крайней мере, 4 голоса и V(S)=0 в противном
случае
Выполнить: а) записать характеристическую функцию для всевозможных коалиций; б) записать условия дележа {П1 , П 2 ....П 5 }; в) определить ядро
дележей; г) определить хотя бы одно из устойчивых множеств, включающих
5 дележей; д) найти значение игры по Шепли.
2) Пусть в игре с голосованием 5 участников сформирована структура
коалиции {(1,2), (3)(4)(5)} .
Выполнить: а) записать условие дележа для множества сделок
(П 1 , П 2 , 0,0,0) ; б) найти ядро игры.
3) Рассмотрим игру, участники которой – мужчина и женщина – решают, пойти ли на соревнование боксеров (первая стратегия). Мужчина предпочитает соревнование по боксу, а женщина – показ мод, но в любом случае
они идут вместе. Платежная матрица имеет следующий вид:
⎡(4, 1)
⎢(0, 0)
⎣
(0, 0) ⎤
.
(1, 4)⎥⎦
1) Решить задачу торгов, используя решение кооперативной игры по
Нэшу. Будем считать, что точкой угрозы является точка (0, 0).
2) Решить задачу торгов, используя решение по Нэшу, если точкой угрозы является точка максиминных платежей для каждого из игроков. Показать, что это решение совпадает с ценой Шепли для кооперативной игры, в
которой
ν(φ) = 0, ν(N) = 1,
ν ({женщина}) и ν ({женщина}) - это максимальные значения.
4) Пусть в экономике действуют N экономических игроков-агентов.
Один из них – государство, который как игрок может усилить любую коалицию своим участием.
Назвать элементы стратегии действия игрока-государства, которые
обеспечивают ему получение дележа по Шепли.
5) В игре с участием государства могут быть три ситуации:
а) дележ, получаемый государством равен цене Шепли;
б) дележ, получаемый государством ниже цены Шепли;
в) дележ, получаемый государством выше цены Шепли.
Какие стратегии выберут экономические агенты в каждой данной ситуации.
Основная литература:
1. Учебное пособие по курсу лекций «Математические методы в
экономике. Модуль 4. «Теория игр»
2. Учебно-методическое пособие к семинарским занятиям по дисциплине «Математические методы в экономике. Модуль 4.
«Теория игр».
3. О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных Математические методы в экономике. Москва, изд-во ДИС, 1998, 365 с.
4. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика в экономике. Математические методы и модели. М., Финансы и статистика, 2007г.,
342 с.
5. Н.Н. Воробьев, Теория игр – М., Знание, 1976.
Дополнительная литература:
1. Х. Таха. Введение в исследование операций. Т. 2. М., Мир, 1995,
496 с.
2. Исследование операций: Методологические основы и математические методы. Т. 1. М., Мир, 1981 г., 712 с.
3. М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и
экономическая теории. М., Прогресс, 1975 г., 606 с.