Возбуждение среды индукцией магнитного поля. Часть I

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК АРМЕНИИ
ИНСТИТУТ ФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Препринт 04.05.2006
В. М. Мхитарян
ВОЗБУЖДЕНИЕ СРЕДЫ
ИНДУКЦИЕЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
ЧАСТЬ I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Аштарак - 2006
Возбуждение среды индукцией магнитного поля
Часть I - Физические основы
В. М. Мхитарян
Аннотация
Предложено описание движения заряда в переменном магнитном поле на основе обобщения закона Фарадея для движущегося заряда. При движении заряда в поле индукции выявлена сила Фарадея - сила индукции, действующая по направлению движения. Показано, что
силы Лоренца и Фарадея являются, соответственно, перпендикулярной и параллельной к
скорости движения компонентами одной и той же силы - силы индукции, возникающая
только при движении заряда. Характеристики сил указывают, что нельзя идентифицировать
действующие на движущийся заряд силы индукции как силы индуцированного электрического поля, являющийся решением уравнений Максвелла.
В рамках адиабатического приближения получены уравнение движения, выражения обобщенного импульса и гамильтониана системы "заряд + поле индукции". Анализированы движение заряда по ларморовской орбите, условия ускорения в бетатроне, процессы индукционного разряда и нагрева электронного газа и газа магнитных диполей.
Выведено уравнение движения магнитного момента в переменном магнитном поле и дополнены (исправлены) уравнения Блоха. Рассмотрены условия обратимости процессов возбуждения.
Рассмотрена задача квантования движения заряда в переменном магнитном поле на основе гамильтониана и уравнения Шредингера, уровни энергии заряда и атома в переменном
магнитном поле, расщепления и возбуждения вырожденного уровня, возбуждения магнитно-вращательных уровней, вращательно-колебательных уровней и переходов.
Рассмотрены механизмы создания инверсии населенности в среде при возбуждении индукцией магнитного поля.
PACS: 29.20.Fj, 41.20.Gz, 52.80.Yr
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Силы, действующие на движущийся заряд
в переменном магнитном поле
1.1 Закон индукции для движущегося заряда
1.2 Сила индукции - силы Лоренца и Фарадея
1.3 Сила индуцированного электрического поля
1.4 Сумма сил, действующих на заряд при движении в
переменном магнитном поле
2. Движение заряда в переменном магнитном поле
2.1 Уравнение движения при адиабатическом приближении
2.2 Обобщенный импульс и адиабатический инвариант
2.3 Движение по ларморовской орбите
2.4 Учет размеров области взаимодействия
3. Бетатрон
3.1 Движение по кругу
3.3 Энергия ускорения и устойчивость орбит
4. Индукционный ток и нагрев свободных зарядов
4.1 Индукционный ток
4.2 Индукционный нагрев
4.3 Трансформатор. и бетатронный характер нагрева
4.4 Учет размеров области взаимодействия
4.5 Обратимость процессов нагрева
5. Магнитный момент
в переменном магнитном поле
5.1 Уравнение движения магнитного момента
5.2 Квантование движения магнитного момента
5.3 Дополненные уравнения Блоха
5.4 Возбуждение магнитно-вращательных уровней
5.6 Обратимость процессов возбуждения
6. Квантование движения заряда
в переменном магнитном поле
6.1 Гамильтониан и уравнение Шредингера
6.2 Свободный заряд в переменном магнитном поле
6.3 Атом в переменном магнитном поле
6.4 Молекула в переменном магнитном поле
6.5 Диамагнитная восприимчивость среды
7. Создание инверсии населенностей в среде
при возбуждении индукцией магнитного поля
7.1 Расщепление и возбуждение вырожденного
уровня
7.2 Электронные уровни и переходы
7.3 Вращательно-колебательные уровни и переходы
7.4 Атом натрия в переменном магнитном поле
Заключение
Приложение 1: Вывод уравнения движения магнитного момента в переменном во времени однородном
магнитном поле на основе выражения силы Лоренца
Приложение 2: Выражение полной производной по
времени поверхностного интеграла, область интегрирования которого зависит от времени
Приложение 3: Продолжающаяся историческая драма
- создание бетатрона
Литература
3
Введение
Вопросы теории движения заряда в переменном магнитном поле, помимо теоретической,
имеют важное прикладное значение в областях ускорения частиц (бетатрон) [1], физики
плазмы [2], индукционного разряда и обработки материалов [3,4]. В последние годы ведутся
интенсивные исследования и разработки индукционного разряда и возбуждения сред индукцией магнитного поля с целью создания мощных плазмотронов [5], плазмореактивных двигателей [6], источников излучения [7] и лазеров [8].
Хотя индукционный разряд известен уже 120 [9], а индукционный ускоритель электрона
- бетатрон, более 80 лет [10], имеющиеся на сегодня теория движения и ускорения зарядов в
переменном магнитном поле неудовлетворительно описывает реальные процессы ускорения
и нагрева зарядов индуцированным электрическим полем. В частности, условие Видероэ для
кругового движения заряда в бетатроне при отношении полей 2:1 так и не было подтверждено и теория ускорения заряда индуцированным электрическим полем в бетатроне не нашло
соответствующего развития - решались только задачи устойчивости движения [1,10]. А при
индукционном разряде не объясняется даже само существование разряда, который происходит в центральной части соленоида, где индуцированное электрическое поле и ток равны нулю [3,4,7].
Последовательное построение теории движения зарядов в электромагнитных полях базируется на уравнениях электромагнитных полей и уравнении движения зарядов. Если рассматривается движение одной заряженной частицы в заданном поле, то можно считать, что
токи и поля самой частицы, в известных пределах, не влияют на движение частицы. В такой
постановке решение задачи можно разделить на два этапа:
I. Нахождение полей E и B в зависимости от заданных граничных условий и источников,
II. Решение уравнения движения частицы с массой m и зарядом q при заданных полях E и B.
Электромагнитные поля описываются законами, сформулированные Максвеллом в 1873
г. в виде уравнений1, которые в представлении Герца-Хевисайда имеют вид
1
J. C. Maxwell, A treatise on Electricity and Magnetism, 1873
1 ∂E 4π
+
j ; divE = 4πρ ;
c
c ∂t
(A)
1 ∂B
rotE = −
;
divB = 0;
c ∂t
Поля E и B являются решениями этих уравнений при заданных граничных условиях и источниках ρ и j. Эти поля существуют в независимости от того, есть ли частица или нет, в
движении она или в покое. Из уравнений Максвелла направления и величины полей определяются только симметрией и граничными условиями задачи.
Следующий этап, это решение уравнения движения заряженной частицы в заданных полях E и B
dv
m
= F ( m, q, r, v, E, B ) ,
(B)
dt
в которой еще предстоит определить, как зависит действующий на заряд сила F от этих параметров - от скорости частицы, заряда и полей. Ни эта закономерность, ни уравнение движения уже никак не связаны с уравнениями Максвелла (поля E и B уже заданы и присутствуют) и следует базироваться на других законах. Обычно, это закон Фарадея, который формулируется следующим образом:
rotB =
Работа силы индукции FI над зарядом q по замкнутой кривой L равна изменению потока
Ф магнитного поля B через площадь S замкнутой кривой
∫F
I
L
⋅dL = −
q dΦ
q d
=−
c dt
c dt
∫∫ B ⋅ d S ,
(C)
S
вне зависимости от причин изменения этого потока.
5
Это не свойство полей E и B, выраженное из (A) в интегральной форме
1 ∂B
(D)
∫L Ed L = − c ∫∫S ∂t d S ,
когда изменение одного порождает (индуцирует) другого. Соотношение (D) с частными производным под интегралом выражает только свойство полей и для выражения этого свойства
нет нужды в посторонней частице c зарядом q и массой m или его движении. Это свойство
самих полей, а не свойство взаимодействия полей с заряженной частицей или эффект движения частицы. Какими свойствами обладает взаимодействие полей с частицей, не может быть
обсужден в рамках уравнений Максвелла, так как в уравнениях полей (A) рассматриваемой
частицы просто не существует.
Когда Фарадей ставил свои опыты с переменным магнитным полем и открыл свойство
индукции магнитным полем электрического поля, в то время не было знаний о том, что это
свойство самих полей. Это случилось после, когда Максвелл написал свои уравнения, а Герц
экспериментально доказал существование электромагнитных волн. Поэтому и в формулировке Фарадея 13-ого июня 1831 года были "объединены" в одну как свойства действующих
на движущийся заряд сил, так и свойства самых полей. Максвелл идентифицировал закон
Фарадея как вторую пару уравнений поля (A), отражающие всего лишь свойство взаимного
индуцирования полей и, которые, никак не отражали сформулированный выше закон Фарадея (C). К сожалению, гениальная догадка Максвелла привела к большой путанице - исторически сложилось мнение, что уравнение Максвелла с членом ∂B/∂t и есть закон Фарадея.
Последующее историческое развитие настолько закрепило эту путаницу, что, несмотря на
очевидное различие, ученые старались "объединить" два совершенно различных явления (C)
и (D). Такие попытки можно найти как в школьных учебниках, так и в книгах великих ученых.
6
В своих знаменитых лекциях Ричард Фейнман, описывая попытки объединения закона
Фарадея (C) и свойства полей (D), пишет2,– «Мы не знаем в физике ни одного другого такого
примера, когда бы простой и точный общий закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных явлений. Обычно столь красивое обобщение оказывается исходящим из единого глубокого основополагающего принципа. Но в данном случае какого-либо особого глубокого принципа не видно. Мы должны воспринимать "правило" как
совместный эффект двух совершенно различных явлений». (Кавычки слова "правило" и
подчеркивание слов соответствуют оригиналу.)
В описании явлений магнитного резонанса, когда рассматривается движение магнитного
момента в переменном магнитном поле, тоже допущены принципиальные ошибки. Известно, что уравнение движения магнитного момента в виде
dL
= − [ω L × L ] .
(E)
dt
где ωL = (γq/2mc)B – Ларморовская угловая скорость вращения, относятся к случаю постоянного магнитного поля [15]. Если умножить уравнение (E) на L скалярно, то получается
L2 = const и становиться очевидным, что возбуждение момента не происходит.
2
Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сендс, Фейнмановские лекции по физике, т. 6, Электродинамика, Издательство "Мир", Москва, 1977, Глава 17, Законы индукции, §1. Физика индукции, с. 54
7
Несмотря на это, 19 июля 1946 года Ф. Блох, для описания ядерного парамагнитного резонанса, в уравнении (E) добавил релаксационные члены и использовал для случая переменных полей [17,18] dL L − L 0
+
= − [ω L × L ] ,
(F)
dt
τˆ
где τˆ - характерные времена продольной и поперечной релаксаций, а L0 - равновесное значение момента.
В дальнейшем уравнение Блоха (F) вовсю использовали для описания явлений магнитного резонанса в переменных магнитных полях.
В сущности, Ф. Блох и другие рассматривали уравнения (E) и (F) как уравнение для момента частицы L, а не уравнение для обобщенного момента J в магнитном поле, как обычно
в импульсном представлении рассматривается уравнение движения обобщенного импульса.
Такое рассмотрение является принципиальной ошибкой, так как, во-первых, для момента
частицы L уравнение имеет такой вид только в случае постоянного магнитного поля [15] и,
во-вторых, в случае переменного магнитного поля в уравнениях (E) и (F) отсутствует очевидный член в виде ~ r2dB/dt, отвечающий за возбуждение любой токовой петли площадью
~ r 2 (магнитного момента) индукцией магнитного поля.
В книгах по магнитному резонансу не приводиться вывод уравнений для переменного
магнитного поля и не указывается, что используемые уравнения верны только в случае постоянного магнитного поля. Вместо объяснений, откуда взялись эти уравнения для переменных магнитных полей, обычно отписываются выражением "феноменологические уравнения
Блоха".
8
На основе традиционно используемого выражения силы
dv
q
(G)
m
= qE + [ v × B ] ,
dt
c
можно вывести точное уравнение движения для момента в переменном во времени однородном магнитном поле (см. Приложение 1), которое для сферического волчка имеет вид
dω L
dL
= − [ω L × L ] − I
,
(H)
dt
dt
где I – момент инерции. Умножив скалярно на L, получим выражение
dω L
d  L2 
dB
= −M
,
(I)
  = −L
dt  2 I 
dt
dt
где M = (γq/2mc)L – магнитный момент частицы. Здесь ясно видно, как и, понятно, почему
меняется кинетическая энергия вращения L2/2I частицы с магнитным моментом M в переменном магнитном поле B.
Как видим, в случае переменного магнитного поля, в уравнениях Блоха (F) пропущен
именно член, отвечающий за возбуждение магнитного момента индукцией магнитного поля.
В данной работе, на основе обобщения закона Фарадея, предложен закон индукции для
движущегося заряда, в рамках которого преодолены перечисленные трудности описания
движения заряда и магнитного момента в переменном магнитном поле.
9
1. Силы, действующие на движущийся заряд в переменном магнитном поле
1.1 Закон индукции для движущегося заряда
Рассмотрим движение частицы по произвольной траектории с зарядом q и массой m в
переменном магнитном поле B = B(r, t). Движение заряда в каждый момент времени можно
представить как движение по вписанному в рассматриваемой точке траектории кругу с радиусом кривизны ρ и его перемещение. При таком представлении, обобщая закон Фарадея
для магнитной индукции, можно сформулировать закон индукции для движущегося заряда в
переменном магнитном поле следующим образом
Движение заряда в каждый момент времени можно представить как движение по вписанному в рассматриваемой точке траектории кругу с радиусом кривизны ρ и перемещение
этого круга. При таком представлении можно сформулировать закон индукции для движущегося заряда в переменном магнитном поле следующим образом
Работа силы магнитной индукции FI по вписанному в рассматриваемой точке траектории кругу L равна скорости изменения магнитного потока Ф
действующего в данный момент значения поля B(r,t) в рассматриваемой точке траектории через площадь S вписанного круга
q dΦ
q d
(1.1)
∫L FI ⋅ dL = − c dt = − c dt ∫∫S B ⋅ dS
где FI - действующая в данный момент сила индукции, Ф магнитный поток, B = B(r,t) – действующее значение магнитного поля в рассматриваемой точке r в момент времени t,
а интегрирование ведется по вписанному кругу L с радиусом
кривизны ρ и поверхностью круга S.
10
Поверхностный интеграл с переменным во времени областью интегрирования можно
представить в виде выражения [11] (см. Приложение 1)
∂B
d
B ⋅ d S = ∫∫
⋅ d S − ∫ [ v × B ] ⋅ d L + ∫∫ ( divB ) v ⋅ dS .
(1.2)
∫∫
dt S
S ∂t
L
S
В случае вектора магнитного поля divB ≡ 0 и используя представление dS = [ρ×dL]/2 для
преобразования поверхностного интеграла в криволинейный, имеем
q
q  ∂B  
(1.3)
∫L FI ⋅ d L = ∫L  c [ v × B] + 2c ρ × ∂t   ⋅ d L .
1.2 Сила индукции - силы Лоренца и Фарадея
Так как соотношение (1.3) выполняется всегда для любой точки любой траектории, то
для силы индукции в рассматриваемой точке траектории имеем
q
q  ∂B 
FI = [ v × B ] + ρ ×
.
(1.4)
2c 
∂t 
c
Отметим, что выражение определено с точностью силы f произвольного потенциального поля U, для которого ∫ f ⋅ d L = ∫ grad(U ) ⋅ d L ≡ 0. Радиус кривизны в рассматриваемой точке
L
L
траектории можно определить из формулы представления нормальной составляющей уско  v  v
рения a ⊥ = a −  ⋅ a   через скорость и радиус кривизны a⊥ = – ρv2/ρ2. Откуда имеем
  v v
v2
v4
v2


 v × [ v × a ] ,
(1.5)
×
×
=
ρ = − 2 a⊥ =
v
v
a
[ ]
2 
2
a⊥
 v × [ v × a ]
[ v × a] 
Подставляя, получаем
11
FI = FL + FF =
q
q
v2
[ v × B] +
2c [ v × a ] 2
c
∂B 

  v × [ v × a] × ∂t  .


(1.6)
Компонента силы индукции FL, пропорциональная вектору магнитного поля B, названа в
честь Лоренца, а компоненту FF, пропорциональная скорости изменения вектора магнитного
поля ∂B/∂t, назовем в честь Фарадея. В общем случае сила Фарадея FF имеет состовляющую
как по направлению скорости v, так и – перпендикулярную.
Сумма сил F, действующий на движущийся заряд в переменном магнитном поле, есть
F = FE + FI = qE + FL + FF =
q
q
v2 
∂B 
 v × [ v × a ] ×
qE + [ v × B ] +
,
(1.7)
2 
2c [ v × a ] 
∂t 
c
где E – электрическое поле. Мощность работы силы индукции, равна
∂B
∂B
q
= j⋅ E − M ⋅
F ⋅ v = qv ⋅ E − [ρ × v ] ⋅
,
(1.8)
2c
∂t
∂t
q
q
v4
где M = [ρ × v ] =
[ v × a] – магнитный момент, а j = qv – ток, обусловленный
2c
2c [ v × a ] 2
движением заряженной частицы. Для уравнения движения имеем
q
q  ∂B 
ma = qE + [ v × B ] + ρ ×
2c 
∂t 
c
q
q
v2 
∂B 
 v × [ v × a ] ×
ma = qE + [ v × B ] +
2 
c
2c [ v × a ] 
∂t 
(1.9)
(1.10)
В общем случае сила Фарадея, а с ней и сила индукции, не определены, пока не определен полный состав сил F, которые формируют радиус кривизны в рассматриваемой точке
12
траектории заряда. Существенно, что при заданном магнитном поле сила индукции (1.4) определяется только скоростью v и ускорением частицы (радиусом кривизны ρ) и не зависит
явно от пространственных координат частицы (радиус вектора r).
1.3 Силы в поле соленоида
Для выявления ясной физической картины и дальнейшего изложения, рассмотрим движение частицы в переменном магнитном поле соленоида с радиусом индуктора rs, для которого ∂B ∂t || B = B (t ) zˆ . В этом случае по направлению оси ẑ силы отсутствуют и движение
частицы можно рассматривать только в плоскости r = (x, y), предполагая, что компонента
скорости частицы v по направлению оси ẑ равна нулю.
Переменное во времени магнитное поле в соленоиде порождает, индуцирует электрическое поле, которое описывается уравнениями Максвелла. При заданном магнитном поле B и
наличии цилиндрической симметрии, из уравнений Максвелла для полей соленоида имеем
 1  ∂B 
 r × ∂t  , r ≤ rs

1 ∂A  2c 
B, r ≤ rs
,
(1.11)
=
; E=−
B = rot A = 
2
r
0,
r
r
≥
 ∂B 
c ∂t 
s
s

r×
, r ≥ rs
∂t 
 2c ( x 2 + y 2 ) 
где вектор потенциал электромагнитного поля представлен в виде
1
 2 [ B(t ) × r ] , r ≤ rs

A (r , t ) = 
(1.12)
rs2
(
)
,
B
t
×
r
r
≥
r

[
]
s
2
2
 2 ( x + y )
13
Такой удобный выбор пространственной части вектор потенциала возможен не только
для постоянных полей, но и в случае линейной зависимости магнитного поля от времени
B(t) = a + b·t. Здесь и далее предполагается, что среда возбуждается треугольными импульсами типа
 t
B(t)
B 0 ; 0 ≤ t < T
B(t ) =  T
,
(1.13)
2T − t
B 0
; T < t ≤ 2T
T

T
2T t
которые, возможно, следуют с периодом 2T. Это означает, что ток индуктора должен меняться с такой же закономерностью. Возможными решениями являются также трапеция,
ступенька и их предельные представления при T → 0.
Для действующей на частицу силы индуцированного электрического поля FE имеем
q  ∂B  q  1 ∂B 
FE = qE = r ×
= 
(1.14)
 [r × B ]
2c 
∂t  c  2 B ∂t 
Тогда имеем
q  ∂B  q
q  ∂B 
ma = r ×  + [ v × B ] + ρ ×
=
2c 
∂t  c
2c 
∂t 
q  ∂B  q
q
v 2  ∂B

r
v
B
×
+
×
−
⋅ [ v × a]  v ,
(1.15)
[
]
2 


2c 
2c [ v × a ]  ∂t
∂t  c

где в последнем выражении учтено, что в данном случае движение происходит в плоскости
(x, y) и B ⊥ a, v.
14
Перечислим характеристики действующих на движущийся заряд сил:
F
=
q  ∂B 
r× 
∂t 
2c 
+
Сила индуцированного
электрического поля
q
[ v × B]
c
Сила Лоренца
+
q
v 2  ∂B

⋅ [a × v ]  v

2c [a × v ] 2  ∂t

Сила Фарадея
Сила Лоренца FL в законе индукции определяется как компонента силы индукции FI , действующая перпендикулярно скорости движения. Она определяется значением магнитного поля в рассматриваемой точке траектории, определяет радиус кривизны и зависит от заряда
частицы. Сила Лоренца вне соленоида и при нулевой скорости частицы равна нулю.
Сила Фарадея FF в законе индукции определяется как
компонента силы индукции FI , действующая по направлению
скорости движения. Она определяется радиусом кривизны
траектории и не зависит (явно) от заряда. Сила Фарадея
вне соленоида и при нулевой скорости частицы равна нулю.
Сила индуцированного электрического поля FE определяется из уравнений Максвелла. Она перпендикулярна радиус
вектору пространственных координат и зависит от заряда.
Она не равна нулю вне соленоида и не зависит от скорости
частицы.
Как указывают характеристики, невозможно идентифицировать силы индукции как силы
индуцированного электрического поля, являющиеся решением уравнений Максвелла. Следуя характеристикам, силами индукции следует считать все силы, возникающие при движении заряда - включая и движение в постоянном магнитном поле. Сила Лоренца является перпендикулярной к скорости движения, а сила Фарадея - параллельной компонентами одной и
той же силы - силы индукции, возникающей только при движении заряда.
15
2. Движение заряда в переменном магнитном поле
2.1 Уравнение движения при адиабатическом приближении
При условии
 1 ∂B  r ⋅ v  1 r T
∼
>> 1 ,
(2.1)

 2  ∼
 2 B ∂t  v  τ B v τ B
когда характерное время изменений поля τB намного больше периода вращения частицы Т
(адиабатическое приближение при медленно меняющихся, квазистационарных полях), из
(1.3) и Error! Reference source not found. имеем следующее представление
mc
ρ = 2 [B × v ] ,
(2.2)
qB
dv
q  ∂B  q
1 ∂B 
=
+
r×
(2.3)
[ v × B ] + 
v .


∂t  mc
dt 2mc 
 2 B ∂t 
В сущности, при адиабатическом приближении считается, что индуцированное электрическое поле действует на заряд, но мало влияет на радиус кривизны движения - он (2.2) определяется силой Лоренца. При круговых движениях вокруг оси уравнение является точным.
q
B , из (2.3) получаем уравнение движения в виде
Введя вектор угловой скорости ω =
mc
d  m  dr

ω 
(2.4)
 + [ω × r ]   = 0 .
dt  ω  dt

При учете внешних сил Fext имеем
d  m  dr

ω 
(2.5)
 + [ω × r ]   = Fext .
dt  ω  dt

Решение уравнения (2.4) представляется в виде
16
dr
ω
+ [ω × r ] =
(2.6)
( v 0 + [ω0 × r0 ]) ,
dt
ω0
где r0, v0, ω0 - начальные значения величин, соответственно, радиус вектора, скорости и угловой скорости. Следующий интеграл движения при отсутствии внешних сил
2
ω
m  dr

(2.7)
 + [ω × r ]  = W0 .
2  dt
 ω0
где W0 - начальное значение энергии. При W0 = 0 имеем решение для чисто кругового движения, верного для любых полей и скоростей
dr
+ [ω × r ] = 0 ,
(2.8)
dt
а для кинетической энергии частицы имеем
mv 2 m
mr 2ω 2
2
= ω×r =
.
(2.9)
2
2
2
То, что почти во всех выражениях присутствует ω0 и в общем случае решения не определены при ω0 = 0, отражает характер адиабатического приближения. В начальный момент тоже должны быть магнитные поля, обеспечивающие условия адиабатичекого приближения.
2.2 Обобщенный импульс и адиабатический инвариант
При представлении уравнения движения в виде (2.4), гамильтониан системы представляется как
2
m ω0  dr
P2

H=
+
ω
×
r
=
,
[
]


2 ω  dt
2m

(2.10)
ω0 
q
 dr


 + [ω × r ]  =
 p − [r × B ]  - обобщенный импульс системы (поле инdt
c
ω




дукции + заряд).
где P = m
ω0
ω
17
ние
В качестве гамильтониана, при наличии внешних воздействий, может служить выраже2
H=
ω0
m ω0  dr
1
P2

U
(
,
t
)
U (r, t )
+
ω
×
r
+
r
=
+
[
]


2 ω  dt
2m
ω
ω

(2.11)
с приведенным потенциалом U (r, t ) ω0 ω . Легко проверить, что каноническое уравнение
dP
∂H
;
=−
dt
∂r
⇒
d  m  dr
  Fext
,

 + [ω × r ]   =
dt  ω  dt
ω

(2.12)
совпадает с (2.5).
ω0
ω
q


 p − [r × B ]  , сущестc


венно отличается от выражения обобщенного импульса в электромагнитном поле
q
q
P = p + A = p − [r × B ] . Выражение гамильтониана (2.10) учитывает как непосредствен2c
c
ное взаимодействие с источниками поля (зарядами и токами), так и с полем излучения этих
источников (поле излучения + источники).
Очевидно, что излученное поле существует само по себе и взаимодействует с заряженной частицей в рассматриваемой точке вне зависимости от наличия и состояния источников.
А взаимодействие источников с движущимся зарядом никак не обусловлено наличием или
отсутствием излученного поля в рассматриваемой точке взаимодействия.
Выражение обобщенного импульса заряда в поле индукции
2.2 Движение по ларморовской орбите
Введем радиус вектор ведущего центра ларморовской орбиты R, определяемый соотно1 
dr 
шением r = R + ρ = R + 2 ω ×  . Подставляя, получаем
dt 
ω 
18
d  dr
1
∂ω   1 ∂ω 

=
 + [ω × r ]  = −  R ×
 [ω × R ] ,
∂t   2ω ∂t 
dt  dt
2

Откуда имеем
[ω × R ] = [ω 0 × R 0 ]
ω
.
ω0
(2.13)
(2.14)
dρ
dR
+ [ω × ρ ] = −
.
(2.15)
dt
dt
Умножая уравнение (2.14) на ω0 и разделяя на ωω0, имеем

 ω0
ω
ω0
1
= ( r0 + ρ0 ) 0 = R 0
R =  r0 + 2 [ω 0 × v 0 ] 
, (2.16)
ω0
ω
ω

 ω
где R0 - начальное положение центра ларморовской орбиты, а ρ0 - начальное значение радиуса кривизны. Таким образом
ω0
dρ
dR
d ω0
+ [ω × ρ ] = −
= R0
R = R0
,
(2.17)
dt
dt
dt ω
ω
Радиус кривизны орбиты находим из соотношения ρdρ/dt = –ρdR/dt, если рассматривать
наращивание радиуса кривизны за период вращения в моменты, когда ρ || R0. Тогда dρ/dt = –
dR/dt и
ρ = ρ0 + R0 − R0 ω0 ω
.(2.18)
Таким образом, при увеличении магнитного поля радиус кривизны стремится к
ρ → ρ0 + R0, а сдвиг ларморовской орбиты от центра соленоида уменьшается. Соотношение
(2.18) показывает, что по направлению R величина r = ρ + R = rmax не меняется и точка касания ларморовских орбит на максимальном расстоянии от центра rmax остается неизменной.
Для энергии заряда имеем
19
2
2
ω0 
m  dr 
m
mω 2 
2
W =   = ω×ρ =
 ρ 0 + R0 − R0
 .
ω 
2  dt 
2
2 
Выражение показывает значение энергии, когда заряд проходит через точку rmax .
(2.19)
2.4 Учет размеров области взаимодействия
В общем случае, уравнение движения не описывает движение в слабых полях или при их
отсутствии. При слабых полях не только может нарушаться условие адиабатичности, но и
применимость формул для сил, так как радиус кривизны выходит за пределы магнитного поля соленоида. Поэтому начальные условия также должны удовлетворять требованию адиабатичности - mc qB0 τ B .
Предположим, что до момента t = 0 поле имело постоянное значение и начинает меняться при начальных условиях ω = ω0, dω/dt = 0. В этом случае частица с момента t = 0 начинает двигаться с начальными условиями
1
dρ
1
dR
ρ0 = 2 [ω0 × v 0 ] ;
= v 0 ; R 0 = r0 − 2 [ω 0 × v 0 ] ;
=0.
(2.20)
dt
dt
ω0
ω0
Требование, чтобы радиус кривизны находился в пределах магнитного поля соленоида,
приводит к выражению
1
1
rmax = ρ 0 + R0 = 2 ω 0 × v 0 + r0 − 2 [ω 0 × v 0 ] ≤ rs .
(2.21)
ω0
ω0
Если частицу запустили по кругу с R0 = 0 (т.е. ω02r0 = [ω0×v0]), то она двигается по кругу
с постоянным радиусом ρ = r0 и решение верно для любых полей.
Движение с начальными условиями v0 = 0, R0 = 0 также относится к случаю кругового
движения с постоянным радиусом ρ = r0.
20
Если радиус кривизны превышает размеры области, то следует учесть, что в выражении (1.3) при
интегрировании по сегменту [ρ×dL]/2, значимым
являются только участки, которые пересекаются с
соленоидом. Площадь интегрирования dS, где
магнитное поле B отлично от нуля, есть
2
ρ − ρs )
(
dS = [ρ × d L ] −
[ρ × d L] , (2.22)
2
ρ
где ρs - длина пересечения радиус вектора кривизны с областью магнитного поля. Соответственно, для силы индукции имеем
ρ s   ∂B 
q
q ρs 
FI = [ v × B ] +
(2.23)
 2 −  ρ ×
c
∂t 
2c ρ 
ρ 
c
При адиабатическом приближении, когда ρ = 2 [ B × p ] , получим
qB
qρ 
q ρ  ∂B
q
[ v × B] + s  2 − s B  p
c
cp  ∂t
2cp 
Для заряда, движущийся в центральной части соленоида, имеем
qr 
qr  ∂B
q
F = [ v × B] + s  2 − s B  p
c
cp  ∂t
2cp 
При слабых полях, когда B 2cp qrs , имеем
q
q ∂B p
⋅
F = [ v × B ] + rs
c
c ∂t p
F = qE +
(2.24)
(2.25)
(2.26)
21
Как видим, при слабых полях сила Фарадея обнаруживает явную зависимость от заряда
и не зависит от абсолютной величины скорости. Это объясняется тем, что при больших радиусах кривизны величина индукции определяется только размерами сечения соленоида.
3.1 Движение по кругу
3. Бетатрон
При цилиндрической симметрии и круговом движении не трудно обобщить уравнение
движения (15) для неоднородных полей, что приводит к представлению
dp q  1 ∂ B 
q
1 ∂B 
= 
(27)
[p × B ] + 
 [r × B ] +
p ,


dt c  2 B ∂t 
mc
 2 B ∂t 
где B =
2 r
r′ × B ( r′ )  dr ′ . При требовании движения по кругу и устойчивости орбит, имеем
r 2 ∫0 
∂B 
d  dr
  1 dB 1 ∂ B 1 ∂B 
1 ∂
−
−
B − B + vr
 [ω × r ] = 
 + [ω × r ]  = 
 [ω × r ] = 0 , (28)
dt  dt
∂r 
  B dt 2 B ∂t 2 B ∂t 
 2 ∂t
(
)
что выполняется, если B = B + B0 . Т.е., при условии на орбите B = В+B0, необходимо также
∂B
∂2B
= 0;
> 0 . Умножая уравнение на p/m,
обеспечить локальный минимум (яму) поля –
∂r
∂r 2
для энергии имеем
 2 ∂B 
dW d  p 2  p 2  2 ∂ B 
= 
(3.1)

 =W 
,
=
dt
dt  2m  2m  B ∂t 
 B ∂t 
Пусть B = γ B , где γ постоянный во времени коэффициент пропорциональности. Решая уравнение (3.1) и сравнивая с выражением энергии для круговых орбит, имеем
22
W0 2γ q 2 r 2 2
B =
B .
(3.2)
B02γ
2mc 2
Как видим, постоянные орбиты, не зависящие от изменений поля во времени, находятся
на участке с γ =1. Для устойчивости этих орбит необходимо, чтобы внутри орбиты было γ>1,
B > B , а вне - γ <1, B < B . Если B ∼ r − n , то γ = 2/(2 - n) и должно быть 2 > n > 0 внутри орбиты и n < 0 - вне орбиты.
В теории устойчивости бетатрона, при учете ускорения только индуцированным электрическим полем, получается B = 2 B и более жесткое условие 1 > n > 0 [1]. Т.е. в действующих бетатронах устойчивое движение обеспечено при обоих подходах.
Действующие бетатроны работают при условии устойчивости круговой орбиты и эти условия удовлетворительны даже при учете сил индукции. Просто они более жесткие, чем условия устойчивого движения при учете сил индукции. В действительности, в переменном
во времени однородном магнитном поле заряд двигается по кругу с постоянным радиусом.
4. Индукционный ток и нагрев свободных зарядов
4.1 Индукционный ток
Умножая уравнение движения (2.3) на nq/m и усредняя по скоростям частиц среды, для
плотности тока j получаем
d j j nq 2
q
1 ∂B 
+ =
E+
(4.1)
[ j × B ] + 
j.
dt τ v
m
mc
 2 B ∂t 
где второй член описывает сталкновительную релаксацию по скорости с характерным временем τv, а n - плотность частиц. Для стационарного режима имеем
 τ ∂B 
j = σ E + α [ j × B] +  v
(4.2)
 j,
 2 B ∂t 
где α = τ v q mc , а σ = nq 2τ v m - проводимость среды.
W=
23
Так как E ⊥ B , то, группируя и умножая уравнение (4.2) на B векторно, после подстановки полученного выражения j×B в исходное уравнение, для j имеем
j=
σ
( E + α [E × B ] ) .
τ v ∂B 
2 2 
(1 + α B ) 1 − 2 B ∂t 
(4.3)
4.2 Индукционный нагрев
Умножая уравнение движения (2.3) на nv и усредняя по скоростям частиц среды, для
средней мощности, выделяемая при индукции, получим
dW W − W0
dB
 1 dB 
+
= j⋅ E +W 
,
(4.4)
 = j⋅ E + M
dt
B
dt
dt
τW


где М - приобретенный магнитный момент заряда по ларморовской орбите, τW - время релаксации по энергии, W0 - энергия при равновесии (что, в сущности, соответствует [2]). Из (4.3)
и (4.4) имеем
σ
dW W − W0
 1 dB 
+
=
E2 + W 
(4.5)
.
τ
τW
dt
 B dt 
2 2 
ν ∂B 
1
α
1
+
B
−
(
)  2B ∂t 
В стационарном режиме для энергии получаем
στ W
W0
W=
E2 +
.
(4.6)
τν ∂B  τ W ∂B 
 τ W ∂B 
2 2 
1−
(1 + α B ) 1 − 2 B ∂t 

1 − 2 B ∂t 
 2 B ∂t 


В случае
τ v ∂B τ v
τ W ∂B τ W
≈ ≥ 1;
≈
(4.7)
≥ 1,
B ∂t τ B
B ∂t τ B
24
стационарные состояния отсутствуют и энергия со временем неограниченно возрастает (условия плазменного бетатрона). В этом случае процессы описываются решениями уравнений
(2.17). При сильных полях и низких давлениях, когда происходит многократное ускорение
вращения заряда в промежутках между столкновениями, индукционный (бетатронный) нагрев может существенно превысить обычный электрический (трансформаторный) нагрев.
Механизм многократного ускорения заряда при индукции дает возможность получать энергии возбуждения, сравнимые с энергиями электронов в ускорителях (до сотен МэВ, плазменный бетатрон).
Как видим, только работа силы индукции может обеспечить превышение над потерями и
этим обеспечить, как предсказывал Будкер [22], ускорение плазмы. Очевидно, индуцированное электрическое поле, по природе своей, не может обеспечивать превышение над потерями и ускорение плазмы. Поэтому и ТОКАМАК, явлющийся вторичным витком трансформатора, в действительности не обеспечивает ускорение и эффективный нагрев плазмы – это
обеспечивается в плазменных бетатронах.
4.3 Трансформаторный и бетатронный характер нагрева
Таким образом, при индукции ускорение и нагрев зарядов происходит двумя механизмами. Первое, работой электрического поля при направленном движении зарядов j·E и,
W ∂B
∂B
второе, работой сил индукции по ларморовской орбите
=M
.
B ∂t
∂t
25
Если движение зарядов происходит:
а) вне магнитного поля, когда r > rs, E ≠ 0, rotE = −
1 ∂B
c ∂t
=0 и
dW
dt
= j·E, нагрев носит
чисто электрический - трансформаторный характер,
dW W ∂B
dB
1 ∂B
, нагрев носит чисто
б) в центре, когда r = 0, E = 0, rotE = −
≠0 и
=
=M
c ∂t
dt
dt
B ∂t
индукционно ускорительный – бетатронный характер.
Именно вихревые микроскопические токи индукционного (бетатронного) нагрева обеспечивают разряд в центральной части соленоида, где макроскопический ток (4.3)
и индуцированное электрическое поле (1.11) равны нулю.
Работа трансформатора хорошо описывается только индуцированным электрическим полем потому, что в проводниках катушки трансформатора, находящийся вне магнитного поля, электроны двигаются по всем направлениям и с малой средней скоростью, из-за чего силы индукции почти не
проявляются. Средняя скорость электронов в проводниках
ничтожно малы и за период изменения магнитного поля они
не успевают обойти даже сотую часть одного витка трансформатора.
Из уравнений Максвелла направление и величина индуцированного электрического поля определяются только симметрией и граничными условиями задачи. Индуцированное электрическое поле существует вне зависимости от того, есть ли
частица или нет, в движении она или в покое. Лишь индуцированное электрическое поле
создает в проводниках катушки трансформатора разность потенциалов (напряжение) и направленное движение зарядов (ток).
26
Сила ускорения индукции при движении заряда действует по направлению скорости вне
зависимости от того, в каком направлении он двигается, совпадает ли направление с индуцированным электрическим полем или нет. Эта сила ускорения возникает в переменном магнитном поле только при ненулевой скорости и возрастает со скоростью изменения индукции
при движении.
Существование независимых и одновременного действующих силы индуцированного
электрического поля FE = qE и силы индукции
I1
u1, i1
q
1 ∂B
[p × B] +
p , можно наглядно демонстриро(1) FI =
mc
2 B ∂t
(2) вать с помощью трансформатора с зазором и вторичного
~U
u2, i2
витка в виде не короткозамкнутой широкой шайбы.
Вдали от зазора (положение 1) во вторичном витке
I2
возникает напряжение u1 и ток i1 через нагрузку R, а в
первичной обмотке при напряжении U течет ток I1 и выделяется мощность P1 = U·I1 = u1·i1. При этом шайба не греется, так как ее омическое сопротивление намного меньше
R
R и вся энергия выделяется в нагрузке.
Когда шайба находится в зазоре (положение 2) и магнитное поле частично проникает в шайбу, все же общий
магнитный поток через вторичный виток остается неизменным. Поэтому индуцированное
электрическое напряжение, ток и выделяющаяся мощность в нагрузке R не меняются u1=u2, i1=i2 и u2·i2 = P1. Но в первичной обмотке при напряжении U уже течет ток I2 и выделяется мощность P2 = U·I2 > P1, так как добавляется работа силы индукции в объеме шайбы,
находящийся в магнитном поле зазора. При этом шайба начинает греться, и мощность нагрева ни как не связан с напряжением и током в нагрузке. Мощность нагрева будет такой даже
при отключенной нагрузке, когда ток во вторичном витке равен нулю!
27
4.4 Учет размеров области взаимодействия
Умножая уравнение (2.24) на nv и усредняя по скоростям частиц среды, для средней
мощности, выделяемая при индукции, получим
nq ρ s 
q ρ  ∂B
dW W − W0
+
= j⋅ E +
2p − s B
,
(4.8)
τW
2mc 
dt
c
 ∂t
где τW - время релаксации по энергии, W0 - энергия при равновесии.
Для зарядов, движущихся в центральной части соленоида, имеем
qr  ∂B
dW W − W0 nqrs 
+
=
2p − s B
.
(4.9)

τW
2mc 
dt
c  ∂t
Для слабых полей имеем
dW W − W0 nqrs ∂B
+
=
p.
dt
τW
mc ∂t
Введем переменные X = B q 2 rs2 2mc 2 и нормированный радиус кривизны
ρn =
ρ
rs
=
mcv
W
W
=
=
; W = ρ n2 X 2 .
qBrs B q 2 r 2 ( 2mc 2 )
X
s
(4.10)
Величина q 2 rs2 2mc 2 описывает энергетические характеристики установки. Например,
при rs = 100 см она имеет значение 2.93 эВ на один Гаусс. Если В = 1000 Гс, то
Х2 = 2.93 МэВ.
Мгновенное значение мощности, определяемое скоростью изменения площади индукции, определяется выражением
dW
dt
Для стационара имеем
+
W − W0
τW
(
== 2 W − X
) dXdt ;
W ≥X .
2
(4.11)
28
2
что дает
2
dX 

2  dX 
 W − W0 + τ W X
 = 4τ W 
 W,
dt 

 dt 
2
W = W0 − τ W X
dX
dX
 dX 
+ 2τ W2 
 ± 2τ W
dt
dt
 dt 
(4.12)
2
W0 − τ W X
dX
 dX  .
+ τ W2 

dt
 dt 
(4.13)
4.5 Обратимость процессов нагрева
Стремление среды к термодинамическому равновесию приводить к тому, что любое селективное возбуждение по какой то отдельной степени свободы начинает перераспределяться между остальными степенями свободы. Например, при повышении в газах энергии поступательного движения свободных электронов (нагрев), процессы столкновения перераспределяют энергию поступательного движения электронов между остальными степенями свободы
- между вращательными, колебательными, электронными и другими уровнями атомов и молекул. Соответственно, при торможении электронов (охлаждении), часть энергии других
степеней свободы при столкновениях передается свободным электронам - стремясь к термодинамическому равновесию.
Если индукцией возбуждаются только электроны проводимости, то из (4.4) имеем
dW W − W0
 1 dB 
+
= σ E2 + W 
(4.14)
,
dt
τW
 B dt 
где W - средняя энергия (температура) свободных зарядов в газе, W0 - температура среды.
Как видим, характер выделения энергии при индукционном нагреве существенно отличается
от чисто эдектрической. Выделение энергии при электрическом нагреве, как показывает
член σE2, всегда положителен и необратим. В случае индукции, как показывает член
 1 dB 
W
 , в среде энергия выделяется (передается) или уноситься (отнимается) из среды в
 B dt 
29
зависимости от знака индукции. Например, если среда возбуждается треугольными импульсами, когда магнитное поле
 t
 B0 T ; 0 ≤ t ≤ T
B (t ) = 
,
(4.15)
 B 2T − t ; T ≤ t ≤ 2T
 0 T
то при dB/dt > 0 в среде индукцией выделяется энергия мощностью W/T (нагревается), а при
dB/dt < 0 - из среды индукцией уносится энергия мощностью -W/T (охлаждается). Обратимый характер нагрева особенно выражен в центральной части соленоида, где вклад электрической части σE2 равен нулю и нагрев носит чисто индукционный характер. Для центральной части соленоида можем написать
dW W − W0
 1 dB 
+
=W 
(4.16)
.
dt
τW
 B dt 
Имеем
dW W − W0 W
dW W − W0
W
+
= ;
+
=− ;
0≤t ≤T ,
T ≤ t ≤ 2T . (4.17)
τ+
τ−
dt
T
dt
T
Если скорость изменения магнитного поля мала T << τ, то можно рассматривать процессы
как стационарные. В этом случае имеем
W0
W0
(4.18)
W+ =
; 0 ≤ t ≤ T,
W− =
; T ≤ t ≤ 2T .
1 1
1 1
−
+
τ+ T
τ− T
Для отношения полученной и вложенной энергии имеем
30
T
 T

− 1  + 1
τ+  τ− 
k =
(4.19)
Примерно такая оценка, отражающая основную закономерность обратимости. Надо помнить, что времена релаксаций при нагреве и охлаждении могут быть существенно разные,
так как τ ∼ W 3 2 . Если часть вложенной энергии идет на излучение и КПД больше k (у СО2
лазера >10%), то среда будет охлаждаться.
Именно обратимостью процессов нагрева обусловлена большая эффективность индукционных ламп по сравнении с обычными электроразряднымы лампами - 3-4 раза [7].
31
5. Магнитный момент в переменном магнитном поле
5.1 Уравнение движения магнитного момента
Для описания движения магнитного момента в переменном магнитном поле рассмотрим
уравнение движения заряда в виде
dv q  ∂B  q
q  ∂B 
= r ×
+ [ v × B ] + ρ ×
m
.
(5.1)

dt 2c 
∂t  c
2c 
∂t 
Движение магнитного момента описывается как движение твердого тела (связанных зарядов) с механическим моментом L. Его движение представляется как вращение целого с
мгновенной угловой скоростью Ω и перемещение центра массы.
Сначала рассмотрим движение связанного момента, когда скорость перемещения равна
нулю. Если выбрать систему отсчета с началом в центре массы, то радиус вектор r и скорость v рассматриваемой точки тела представляются в виде
dr
r ≡ ρ;
= v = [Ω × ρ ] .
(5.2)
dt
где ρ - радиус вектор вращения относительно мгновенной оси вращения Ω, а [Ω×ρ] - скорость вращения. Подставляя, получаем
d
q
q
 d

(5.3)
 mv + [B × r ]  =  m[Ω × r ] + [B × r ]  = 0 .
dt 
c
c
 dt 

Умножая уравнение (5.3) на r векторно, имеем
d
q


r × dt  mv + c [B × r ]   =



d
q
 q
(5.4)
 m [r × v] + [r × [B × r ]]  − [ v × [B × r ]] = 0 .
dt 
c
 c
32
Или
d
q
 q
(5.5)
 m [r × [Ω × r ]] + [r × [B × r ]]  = [ Ω × r ] × [B × r ] .
dt 
c
 c
Предположим, что масса и заряд распределены в теле с одной и той же закономерностью
и плотность массы и заряда, соответственно, задаются в виде mσm(r) и qσq(r), где σm(r), σq(r) нормированные на единицу функции распределения, соответственно, массы и заряда. Тогда,
в случае твердого тела, в уравнении (5.5) вместо m и q следует писать элементы интегрирования mσm(r)dr3 и qσq(r)dr3 и интегрировать по объему тела. Производя интегрирование, получаем
d
q
 q
I qB  =
mσ q (r ) [ Ω × r ] × [B × r ] dr 3 .
(5.6)
 I mΩ +
∫
dt 
mc
 mc V
где
Îq, I ( q ) ik = ∫ σ q (r ) ( r 2δ ik − xi xk ) dr 3
Îm, I ( m ) ik = ∫ σ m (r ) ( r 2δ ik − xi xk ) dr 3 ,
V
V
- тензоры моментов по распределению массы и заряда, V - объем интегрирования. Если
предположить, что Îq = γÎm, где γ - безразмерная постоянная, то получим
d
I m ( Ω + ω ) = m ∫ σ m (r ) [ Ω × r ] × [ω × r ] dr 3 ,
(5.7)
dt
V
q
где ω = γ
B . Преобразуя подынтегральное выражение к виду
mc
[ Ω × r ] × [ω × r ] = − ( ω ⋅ [ Ω × r ]) r = − ( r ⋅ [ω × Ω ]) r =
окончательно получаем
r × [[ω × Ω] × r ] − r 2 [ω × Ω] ,
(5.8)
33
(
)
d
I m ( Ω + ω ) = I m − I 0 ω × ( Ω + ω )  .
(5.9)
dt
где I 0 = m ∫ σ m (r )r 2 dr 3 . В случае сферического волчка σ m (r ) = σ m (r ) и момент инерции
V
3
I , поэтому для J = (L + Iω) имеем
2
dJ
1
= − [ω × J ] .
(5.10)
dt
2
Умножая уравнение на J скалярно, имеем
J2
I
2
H = (Ω + ω) =
= const .
(5.11)
2
2I
J = (L + Iω)
является
обобщенным
моментом,
а
Очевидно,
выражение
H = J2/2I = (L + Iω)2/2I - гамильтонианом частицы с магнитным моментом. Из уравнения
(5.10) следует, что обобщенный момент J с постоянным абсолютным значением J прицессирует вокруг оси с угловой скоростью ωL = ω/2. Так же следует, что воздействие магнитного
поля (постоянного или переменного) на магнитный момент эквивалентно переходу в систему отсчета с угловой скоростью ωL (теорема Лармора [15]). Подчеркнем, что вывод уравнения движения магнитного момента в переменном магнитном поле (5.10) из (5.1), является
точным - без каких либо приближений и усреднений, какие обычно присутствуют при традиционном выводе [15]. В обозначениях обобщенного момента J уравнение (5.10) совпадает
с традиционным уравнением движения (E) (см. Приложение 1). Существенным отличием является само определение обобщенного момента J = L + Iω, где, а не J = L + IωL.
Отметим, что выражение обобщенного момента формально получается из выражения
обобщенного импульса, умножая на r
 
q

J = [r × P ] = r × p + [B × r ]  = L + m [r × [ω × r ]] = L + Iω .
(5.12)
c

 
Îm = I просто скаляр, а I 0 =
34
5.2 Квантование движения магнитного момента
Для гамильтониана магнитного момента (5.11) имеем
2
1 2 1
1 2
Iω 2
H= J =
L + ω ⋅ Lz +
L + Iω =
.
(5.13)
2I
2I
2I
2
2
Так как интегралом движения является именно H = J /2I с собственными значениями J2
= J(J+1), то
2
2
Iω 2
J ( J + 1) = l (l + 1) + ω ⋅ M +
.
(5.14)
2I
2I
2
Откуда имеем
2
2 M
ω2 +
⋅ ω + 2 l ( l + 1) − J ( J + 1)  = 0 ;
(5.15)
I
I
J , l = 0,1, 2,... ; M = −l , − l + 1, ..., l − 1, l .
Или
(
ω1,2 = −
При J = l имеем
(M ±
I
)
)
M 2 + J ( J + 1) − l ( l + 1) .
(5.16)
2
mc
M =−
M.
(5.17)
I
µB I
qI
Формулы описывают явление магнитного резонанса, когда при значениях поля частица
переходит в состояния с определенными значениями момента. Формула показывает значение магнитного поля, при котором момент частицы L и его проекция имеют, соответственно, определенные зачения l и М. Соотношение (5.17) позволяет напрямую измерить фунда2
M
I
=
⋅
ментальную постоянную - момент инерции частицы
и квант угловой скороµ B BM
сти вращения Ω = M I = µ B BM .
ωL= J , M = −2 M ; BL = J , M = −2
35
5.3 Дополненные (исправленные) уравнения Блоха
Из (5.10) для момента L имеем
dL
1
dω
= − [ω × L ] − I
.
(5.18)
dt
2
dt
При наличии в среде релаксационных процессов уравнение движения момента принимает вид
dL L − L 0
1
dω
+
= − [ω × L ] − I
,
(5.19)
dt
dt
2
τ
где τˆ - характерные времена продольной и поперечной релаксаций, а L0 - равновесное значение момента. Уравнение (5.19) отличается от известных уравнений Блоха [17] последним
членом, учитывающий возбуждение магнитного момента индукцией переменного магнитного поля. В общем случае, как видно из (5.9), переменная ω в уравнение (5.19) входит более
сложным образом.
Полезно иметь уравнение для обобщенного момента
dJ J − J 0
1
I
+
= − [ω × J ] + ω .
(5.20)
2
dt
τ
τ
Относительно уравнения Блоха отметим, что он и другие [17,18] рассматривали уравнение (5.10) как уравнение для момента частицы L, а не уравнение для обобщенного момента
J. Такое рассмотрение является принципиальной ошибкой, так как, во-первых, для момента
частицы L уравнение имеет такой вид только для случая постоянного магнитного поля [15]
и, во-вторых, в случае переменного магнитного поля в уравнении Блоха отсутствует очевидный член вида ~ r2dB/dt, отвечающий за возбуждение любой токовой петли площадью ~ r 2
(магнитного момента) индукцией магнитного поля.
Рассмотрим случай, когда поле ориентировано по направлению равновесного значения
L0. Тогда, для синусоидального магнитного поля с угловой скоростью η, получим
dL L − L0
dω
+
= −I
.
(5.21)
dt
dt
τ
36
Откуда имеем
L = L0 − I
ητ
η τ +1
2 2
ω ei⋅arctg (ητ ) .
(5.22)
Для квазистационарных случаев, когда характерное время изменения магнитного поля
намного больше времен релаксаций, имеем
dω τ
L = L0 − τ I
− [ω × L] ,
(5.23)
dt 2
или
dω
τ /2
τ


L = L0 − τ I
(5.24)
−
 [ω × L 0 ] − ω × [ω × L0 ]  .
2 2
2
dt (1 + τ ω / 4 ) 

5.4 Возбуждение магнитно-вращательных уровней
При уравнении движения (5.3) в виде
d
q

(5.25)
 mv + [ B × r ]  = 0 ,
dt 
c

гамильтониан частицы можно представить как
2
m
q

[B × r ]  .
(5.26)
H = v+
mc
2

При усреднении по магнитным моментам среды имеем
q2
q 2 r 2 B2 2
2
W − W0 =
sin θ .
r
×
B
=
(5.27)
2mc2
2mc2
где θ - угол rB . После подстановки усредненного значения по орбите sin 2θ =2/3 [14], для газа магнитных диполей с плотностью n получим
37
∆W = n ⋅ (W − W0 ) =
nq 2
[r × B ]
2
=
nq 2 r 2
B2 .
(5.28)
2mc
3mc
Для диамагнитной восприимчивости газа магнитных диполей имеем
2 nq 2 2
χ =− ⋅ 2 r .
(5.29)
3 mc
что в четыре раза больше по сравнению с диамагнитной восприимчивостью в постоянном
поле. Для мощности из (5.3) имеем
dW
dv q  ∂B 
q
∂B
∂B
.
(5.30)
= mv
= v ⋅ r ×
= − [r × v ] ⋅
= − 2M ⋅

dt
dt c 
c
∂t 
∂t
∂t
При учете столкновений и потерь в среде имеем для линейной скорости
∂B
dv v − v0 q r
+
=
sin θ ⋅
(5.31)
τ
∂t
dt
c
где τ - характерное время релаксации.
В случае синусоидального возбуждения с угловой скоростью η, из (5.31) имеем
∆W =
2
2
nq 2 r 2 2
τ 2η 2
⋅
B .
(τ 2η 2 + 1) 3mc 2
(5.32)
и для диамагнитной восприимчивости газа магнитных диполей получаем
χ =−
2 τ 2η 2
nq 2 r 2
⋅
.
3 (τ 2η 2 + 1) mc 2
5.6 Обратимость процессов возбуждения
∂B
dW W − W0
+
= −2M ⋅
τ
∂t
dt
(5.33)
(5.34)
38
6. Квантование движения заряда в переменном магнитном поле
6.1 Гамильтониан и уравнение Шредингера
Из (2.12)
2
ω0
m ω0  dr

H=
U (r, t )
 + [ω × r ]  +
ω
2 ω  dt

(5.35)
6.2 Уровни энергии в переменном магнитном поле
6.3 Атом в переменном магнитном поле
6.4 Молекула в переменном магнитном поле
6.5 Диамагнитная восприимчивость среды
7. Создание инверсии населенностей в среде
при возбуждении индукцией магнитного поля
7.1 Расщепление и возбуждение вырожденного уровня
7.2 Электронные уровни и переходы
7.3 Вращательно-колебательные уровни и переходы
7.4 Атом натрия в переменном магнитном поле
Заключение
39
Приложение 1: Вывод уравнения движения магнитного момента в переменном во времени однородном магнитном поле на основе выражения силы Лоренца
Рассмотрим уравнение движения заряженной частицы
m
dv
q
= qE + [ v × B ]
dt
c
(1)
в случае переменного во времени однородного магнитного поля, когда электрическое поле E
q  dB 
задается в виде E =
.
r×
2c 
dt 
Подставляя и умножая уравнение (1) на r векторно, имеем
d
q 
dB  q
[r × v ] = r × r ×   + r × [ v × B ] =
dt
dt   c
2c  
q 
d


 r × [r × B ] + r × [ v × B ]  =
2c   dt


q d

 r × [r × B ] −  v × [r × B ] + r × [ v × B ]  =
2c  dt

m
q d

 r × [r × B ] − r ( v ⋅ B ) + B ( v ⋅ r ) + v ( r ⋅ B ) − B ( v ⋅ r )  =
2c  dt

q d
q
r × [r × B ] − B × [r × v ] .
2c dt 
2c
(2)
40
Теперь уравнение (2) можно представить в виде
d 
q
q

 m [r × v ] + r × [ B × r ]  = −  B × [r × v ] .
dt 
2c
2c

(3)
Предполагая, что масса и заряд распределены в теле с одной и той же закономерностью
и производя интегрирование по объему, получим
(
)
d
L + I ω L = − [ω L × L ] ,
dt
(4)
где ωL = (γq/2mc)B – ларморовская угловая скорость вращения, γ – постоянная, Î – тензор момента инерции. В случае сферического волчка момент инерции Î = I просто скаляр, поэтому
Для обобщенного момента импульса J = L + IωL получаем
dJ
= − [ω L × J ] .
dt
(5)
41
Приложение 2: Выражение полной производной по времени поверхностного интеграла,
область интегрирования которого зависит от времени
Пусть частица со скоростью v из положения r(t) за промежуток времени ∆t перемещается по траектории в положение r(t + ∆t). Вписанный в рассматриваемую точку траектории r(t)
круг L с поверхностью S(t) переходит во вписанный в точке траектории r(t + ∆t) круг с поверхностью S(t + ∆t), образуя боковую поверхность Σ. Образующая боковой поверхности Σ в
точках касания с траекторией совпадает с вектором перемещения частицы dr = v∆t.
Пусть в момент времени t для векторного поля B(t) на поверхности S(t) определен интеL
dL
S(t)
v
грал
r(t)
∫∫ B(t ) ⋅ d S . Полная производная по времени
S (t )
dr = v∆t
Σ
r(t+∆t)
S(t+∆t)
поверхностного интеграла с переменной во времени областью интегрирования определяется как (1)
∫∫
d
B(t + ∆t ) ⋅ d S −
∫∫ B(t ) ⋅ d S
∫∫ B(t ) ⋅ d S = ∆lim
t →0
dt S ( t )
∆t
где B(t +∆t) - векторное поле в момент времени
t +∆t и S(t +∆t) - поверхность, в которую переходит поверхность S(t). Векторы нормали к
обеим поверхностям ориентированы в одну сторону.
Рассмотрим замкнутую поверхность, состоящий из поверхностей S(t), S(t +∆t) и боковой
поверхности Σ, образовавшейся при переходе контура L поверхности S(t) в контур поверхности S(t +∆t). Согласно теореме Гаусса-Остроградского об интегрировании по замкнутой поверхности
S ( t +∆t )
S (t )
dΣ = [dL×v∆t]
∫∫ B(t + ∆t ) ⋅ d S − ∫∫
S (t )
S ( t +∆t )
B(t + ∆t ) ⋅ d S −
∫∫ B(t + ∆t ) ⋅ d Σ = ∫∫∫ divB(t + ∆t ) dV ,
Σ
(2)
V
где V - объем замкнутой поверхности. Подставляя выражение для
∫∫
B(t + ∆t ) ⋅ d S в (1),
S ( t +∆t )
42
имеем
d
B (t ) ⋅ d S = lim
dt ∫∫
∫∫ ( B(t + ∆t ) − B(t ) ) ⋅ d S − ∫∫ B(t + ∆t ) ⋅ d Σ − ∫∫∫ divB(t + ∆t ) dV
Σ
S (t )
V
. (3)
∆t
С точностью до бесконечно малых второго порядка имеем
∂B (t )
(4)
∫∫ ( B(t + ∆t ) − B(t ) ) d S ≈ ∆t ∫∫ ∂t ⋅ d S ,
S (t )
S (t )
где частная производная обусловлена интегрированием по значениям векторного поля в одной и той же точке поверхности в разные моменты времени.
Для интеграла по боковой поверхности имеем
∆t → 0
S (t )
∫∫ B(t + ∆t ) ⋅ d Σ ≈ ∫∫ B(t ) ⋅ [ d L × v∆t ] = ∆t ∫ [ v × B(t )] ⋅ d L .
Σ
Σ
(5)
L
где dL - длина элемента контура L, а v - скорость перемещения этого элемента.
Для объемного интеграла имеем
∫∫∫ divB(t + ∆t ) dV ≈ − ∫∫ divB(t ) ( dS ⋅ v∆t ) = −∆t ∫∫ ( divB(t ) ) v ⋅ dS .
V
S (t )
(6)
S (t )
где dS - элемент поверхности S(t), а v - скорость перемещения этого элемента.
Подставляя (4), (5) и (6) в (3), в пределе получаем выражение полной производной по
времени поверхностного интеграла, область интегрирования которого зависит от времени
d
∂B
⋅ d S − ∫ [ v × B ] ⋅ d L + ∫∫ ( divB ) v ⋅ dS .
B ⋅ d S = ∫∫
(7)
∫∫
∂t
dt S
S
L
S
В точке касания контура с траекторией значение вектора v совпадает со скоростью частицы.
43
Приложение 3: Продолжающаяся историческая драма - создание бетатрона
Развитие ускорителей элементарных частиц
Жизнь и работа Рольфа Видероэ, 1902- 1996
Составитель и редактор Педро Валошек, ДЕЗИ, Гамбург,
перевод с английского Е.М. Негодаевой, ФИАН, Москва, 1998
... Осенью 1922 г. в Карлсруэ я уже разработал основные
идеи лучевого трансформатора. Эта машина должна ускорять
частицы как если бы была подана высокая разность потенциалов, но без необходимости применения таких высоких напряжений, которых практически невозможно достичь.
... Если в трубке (предполагаемой как вторичная обмотка
трансформатора) поддерживается очень высокий вакуум, вряд
ли там будет какое-либо электрическое сопротивление, и электроны достигнут исключительно высокой скорости за очень короткое время. Это будет соответствовать ускорению при очень
высоком напряжении. ...
Когда же электроны более не заключены в медную проволоку, необходимо навести магнитное поле для того, чтоб
удержать их на циклической орбите. Магнитное поле, тем не
менее, должно адаптироваться к увеличивающейся скорости циркулирующих частиц.
На моей первой схеме я просто расположил ускорительную трубку (с вакуумом) между
полюсами магнита. Для этого устройства я рассчитал достигаемую энергию. В следующей
схеме я принял во внимание, что требуется второе независимое магнитное поле, которое
должно сохранять движение электронов на очень стабильных орбитах. Это второе магнитное поле наводится второй катушкой, которая показана на рисунке.
Обдумав это, через некоторое время я сделал вывод, что существует важное соотношение между ускоряющим полем (трансформатора) и отражающим или управляющим полем
44
(для циклических орбит), которое можно применить к процессу ускорения в целом, если желательно поддерживать одинаковый размер орбит в течение всего процесса ускорения.
Среднее поле на циклической орбите (то есть ускоряющее поле) должно находиться в определенном соотношении с отклоняющим полем (точно 2:1). Это соотношение, позже ставшее известным как соотношение Видероэ, позволяет наводить обе поля одной первичной обмоткой, что, конечно же, упрощает конструкцию машины.
Магнитное ярмо похоже на обычное трансформаторное и,
если полюса имеют нужную форму, может порождать и
ускоряющее и управляющее поля одновременно. ...
Полюса были сформированы таким образом, что магнитные поля в отклоняющей и отражающей областях
Первая схема лучевого трансфоротносились как 2:1, ... и ускоряющее и отклоняющее поматора из записей Рольфа Видероэ
ля индуцировались одной катушкой. Я включал магнитное поле переключением ключа, ... но ни одного ускоренного электрона я не видел (не было флуоресценции внутренних стенок). Когда я понял, что не добьюсь успеха с
этой машиной, то сообщил об этом Роговскому. Он сказал
мне, что вряд ли сможет дать мне степень доктора за нечто
не функционирующее ...
... линейный ускоритель ... У Роговского не было практически ни одного замечания к моей работе. Я не думаю,
что он был сильно заинтересован моим линейным ускорителем. Предполагалось, что работа будет опубликована в журнале, и я без проблем отдал ее в "Archiv fur Electrotechnik".
Публикация была практически идентична моей диссертации, только кривые Линарда были опущены. Роговский и
Более поздний вариант чертежа,
профессор Л. Финци (физик) были моими экзаменаторами.
подробно объясняющий работу
лучевого трансформатора
Здесь у меня тоже не было проблем. И я, наконец, получил
свое звание "Доктор-инженер" 28 ноября 1927 г.
45
Роальд Танген, Керст и Видероэ
Профессор Роальд Танген (университет Осло) пишет: «Я хорошо помню события 1941 г.
В то время я работал над маленьким генератором Ван де Граафа, который мы строили в Физическом институте Политехнического университета Тронхейма. Осенью 1941 г. Физическая
ассоциация пригласила меня прочесть лекцию по современным ускорителям в Осло. В то
время мы не имели доступа к американским журналам и совершенно ничего не знали о бетатроне. За несколько дней до моего путешествия в Осло в Тронхейм обычной почтой поступила копия Physical Review. Таинственным образом она до нас дошла.
Здесь была напечатана статья Дональда Керста о первом работающем бетатроне. Она
прекрасно вписывалась в мою лекцию, в которой я собирался рассказать о том, что Керст
упоминал немецкую докторскую диссертацию Р. Видероэ, в которой было выведено
фундаментальное уравнение бетатрона. К тому времени имя Видероэ мне ничего не говорило. Но я сказал аудитории, что, судя по имени, он должен быть норвежцем. Как вскоре выяснилось, Рольф Видероэ сидел в зале! После лекции мы говорили с ним об этом странном
совпадении.
Прошло 42 года, прежде чем мы встретились снова. В той же самой аудитории, в которой я говорил о бетатроне Керста, Видероэ в 1983 г., по просьбе университета Осло, делал
обзор своей научной деятельности. Я должен был поблагодарить его за эту лекцию, и когда
я произносил речь, я упомянул о том, что случилось на этом самом месте в 1941 г.
Индукционный ускоритель электронов - бетатрон
Л.М. Ананьев, А.А. Воробьев, В.И. Горбунов, Госатомиздат, 1961
Введение
... После появления работы Керста, последующее десятилетие было периодом быстрого
развития теории и техники индукционного ускорения электронов. Разработка теории бетатрона пошла по двум направлениям.
Видероэ и В. В. Ясинский рассматривали бетатрон как разновидность трансформатора, действующего на основе электромагнитной индукции. Это направление не получило развития.
46
Керст, Сербер, Я. П. Терлецкий и др. разрабатывали теорию индукционного ускорения, рассматривая условия устойчивого движения одного электрона в вихревом электрическом поле при малых отклонениях его от равновесной орбиты.
... Одним из возможных путей увеличения тока ускоренных электронов является индукционное ускорение плазмы и плазменные бетатроны, как это было предложено Г. Будкером.
***
Следует отметить, что, по признанию разработчиков, не существует нормальной
теории индукционного ускорения. В сущности, Керст и другие решили задачу в лоб - создали
сильно неравномерное распределение поля (барьер) и просто выяснили, где находятся устойчивые орбиты.
Условие Видероэ 2:1 здесь уже не причем. Самое большее, что получил Видероэ - один
оборот, после которого электрон вылетал из орбиты! Сам подход и расчеты ускорения индуцированным электрическим полем (трансформаторный подход) так и не дали результатов.
Общее требование устойчивости орбиты при неоднородных полях тоже не показатель
- где нибудь да получится устойчивая круговая орбита. Но то, что при условии Видероэ отношения полей 2:1 не получается хоть какое-то многократное ускорение (даже один устойчивый виток!), уже наводит на мысль о принципиальной ошибке. В этом признаются,
но ничего другого до сих пор не было предложено.
А принципиальная ошибка в следующем. При ускорении электрона индуцированным
электрическим полем Видероэ рассчитал силу для поддержания электрона на орбите
вне магнитного поля. Увидев возможность создания этой силы самим магнитным полем,
он поместил электрон в магнитное поле, но не учел дополнительно возникающую силу
индукции из за движения электрона по орбите в переменном магнитном поле.
В действительности, в переменном во времени однородном магнитном поле заряд
двигается по кругу с постоянным радиусом.
47
Литература
1. Л. М. Ананьев, А. А. Воробьев, В. И. Горбунов, Индукционный ускоритель электронов - бетатрон, М., Госатомиздат, 1961, с. 3.
2. И. А. Котельников, Г. В. Ступаков, Лекции по физике плазмы, Новосибирск, НГУ, 1996, с. 55-59.
3. J. Hopwood, Review of inductively coupled plasmas for plasma processing, Plasma Sources Sci.
Technol. v. 1, pp. 109–116 (1992).
4. M. A. Lieberman, A. J. Lichtenberg, Principles of Plasma Discharges and Materials Processing, Wiley,
New York, 1994.
5. Bottin, B. et al. Predicted and measured capability of the VKI 1.2 MW plasmatron regarding re-entry
simulation. ESA SP-426 (1998).
6. M. R. LaPointe, P. G. Mikellides, High-Power Magnetoplasmadynamic and Pulsed inductive thrusters,
NASA Glenn Research Center, OAT, OSS, Project ASTP (2002).
7. G. G. Lister, J. E. Lawler, W. P. Lapatovich, V. A. Godyak, The physics of discharge lamps, Reviews of
Modern Physics, v. 76, N 2, pp. 542-598 (2004).
8. G. S. Gevorkyan, R. G. Manucharyan, V. M. Mekhitarian, A. M. Razhev, I. M. Ulanov,
K. N. Kolmakov, Inductive Lasers, ICONO/LAT-2005 conference, Russia, May 11-15 (2005).
9. W. Hittorf, Ann. Phys. Chem. v. 21, pp. 90–139 (1884).
10. Развитие ускорителей элементарных частиц - жизнь и работа Рольфа Видероэ, 1902- 1996, Составитель и редактор Педро Валошек, М., ФИАН, 1998.
11. Э. Маделунг, Математический аппарат физики - справочное руководство, Государственное издательство физико-математической литературы, М., 1961, с. 242.
12. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, М., Наука,
1985, с. 519-522.
13. V. M. Mekhitarian,V. E. Mkrtchian, Some consequences of the Einstein covariance principle in
electrodynamics of media, EJTP, v. 4, 1-9 (2004).
14. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика - нерелятивистская теория, М., Наука, 1974, с.
528-531.
15. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, М., Наука, 1973, с. 140-142.
16. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, М., Наука, 1973, с. 145-145.
17. F. Bloch, Nuclear Induction, Phys. Rev. v. 70, pp. 460-474 (1946).
18. F. Bloch,W. W. Hansen and M. Packard, The Nuclear Induction Experiment, Phys. Rev. v. 70, pp. 474485 (1946).
48