МатЭкономика 2 Scilab

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1. Цели работы:
 построение математической модели задачи линейного
программирования;
 решение задачи линейного программирования графическим методом;
 решение задачи линейного программирования средствами SciLab;
 проведение анализа на чувствительность.
2. Теоретическая часть
2.1. Постановка задачи
Задача определения оптимального ассортимента продукции
Предприятие изготавливает два вида продукции — П1 и П2, которая
поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два
вида сырья — А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9
и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и П2
дан в таблице.
Сырье
А
В
Расход сырья на 1 ед.продукции
П1
П2
2
3
3
2
Запас сырья, ед.
9
13
Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не
превышает спроса на продукцию П2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что
спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки. Оптовые цены
единицы продукции равны: 3 д. е. — для П1 и 4 д. е. — для П2.
Какое количество продукции каждого вида должно производить
предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
2.2 Построение математической модели
Процесс построения математической модели для решения поставленной
задачи начинается с ответов на следующие вопросы:
1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т. е. как
идентифицировать переменные данной задачи?
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы
выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых
значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать
оптимальному (наилучшему) решению задачи?
Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформулированы для
данной задачи так: фирме требуется определить объемы производства каждого
вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д. е. от реализации
продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.
Для построения математической модели остается только идентифицировать
переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций
этих переменных.
Предположим, что предприятие изготовит x1 единиц продукции П1 и x2
единиц продукции П2. Поскольку производство продукции ограничено
имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на
данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не
может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:
2x1 + 3x2 ≤ 9;
3x1 + 2x2 ≤ 13;
x1 - x2 ≤ 1;
x2 ≤ 2;
x1≥ 0;
x2 ≥ 0.
Доход от реализации x1 единиц продукции П1 и x2 единиц продукции П2
составит:
F = 3x1 + 4x2.
Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди
всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется
найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения Fmax.
Рассматриваемая задача относится к разряду типовых задач оптимизации
производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности
в этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость,
номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени.
2.3 Графическое решение задачи линейного программирования при
помощи Scilab
2.3.1 Основы построения двумерных графиков в Scilab
Scilab содержит набор функций для графического представления
информации. Для построения графиков функции одной переменной, например,
служит функция plot, которая позволяет строить графики в декартовых
координатах. Эта функция требует предварительного определения списка
значений аргумента и списка соответствующих значений функции, график
которой необходимо построить.
Общий вид команды plot:
plot(x,y,[xcap,ycap,caption]),
где x, y - два вектора одинакового размера;
xcap, ycap, caption - подписи осей X, Y и графика.
Команда plot изображает параметр y как функцию от параметра x.
Параметры xcap и ycap являются соответствующими наименованиями осей
координат графика x и y. Параметр caption является заголовком графика.
Пример:
plot (x, sin(x),"sin", "time", "plot of sinus") – пример построения синусоиды.
Можно задать аргумент двумя способами:
1) тремя значениями – минимальным(amin), шагом(step) и максимальным
значением(amax):
a=(amin:step:amax).
x=2:0.2:3 – аргумент от 2 до 3 с шагом 0,2.
2) указать все значения как одномерный массив значений в квадратных
скобках через пробел:
x=[2 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0] – аргумент от 2 до 3 с шагом 0,2.
Команда plot2d обычно применяется для линейных графиков. Для
уничтожения предыдущего содержания окна используйте команду xbasc().
2.3.2 Графическое решение в Scilab
Каждое из неравенств (см.п.2.2) системы ограничений задачи
геометрически определяет полуплоскость соответственно граничными прямыми:
ai1 x1+ai2 x2=bi; (i=
1, );
x1=0; x2=0;
Областью допустимых решений является многоугольник решений, стороны
которого лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы
ограничений.
Заменим знаки неравенств на знаки равенств и выразим для удобства x2
через y получим следующее:
2x1 + 3x2 = 9;
2x + 3y = 9;
3x + 2y = 13;
3x1 + 2x2 = 13;
x1 - x2 = 1;
x - y = 1;
x2 = 2;
y = 2;
x1 = 0;
x = 0;
x2 = 0.
y = 0.
Построим многоугольник решений. Для этого в правом верхнем квадранте
системы координат изобразим граничные прямые:
2
3 ;
3
13 3
;
2 2
1;
2.
Для построения графиков создадим sce-файл (файл с расширением *.sce) –
для этого необходимо запустить редактор(рис.1).
Рисунок 1 - Запуск редактора в Scilab
В sce-файл запишем следующую программу:
x=0:0.1:6;
y1=3-2/3*x;
y2=6.5-1.5*x;
y3=x-1;
plot(x,y1,'-r',x,y2,'-g',x,y3,'-b');
x=[0 6];
y=[2 2];
plot2d2(x,y); // построение графика y4=2
xgrid();
Запустим программу на выполнение: Execute / Load all into Scilab и
получаем следующее:
Рисунок 2 – Результат работы sci-файла
Из рисунка видно, что областью решений является многоугольник ABCDЕ.
Затем покажем направляющий вектор целевой функции. Так как целевая
функция равна: F = 3x1 + 4x2, то для построения вектора (3;4) используется
построение отрезка (0; 0)-(3; 4), причем в функции plot сначала перечисляются
абсциссы точек, а затем ординаты:
mtlb_hold('on');
plot([0 3],[0 4],'--b','LineWidth',2);
Рисунок 3 – Направляющий вектор
Задача определения максимума функции F сводится к нахождению в
допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства F=const,
и которая соответствует наибольшему значению параметра F. Для определения
данной точки построим линию, проходящую через начало координат и
перпендикулярную направляющему вектору, и будем передвигать ее в
направлении направляющего вектора до тех пор, пока она не коснется последней
крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной точки
и определяют оптимальный план данной задачи.
Из рисунка 3 следует, что по отношению к многоугольнику решений
опорной эта прямая становится в точке D, где функция принимает максимальное
значение. Точка D лежит на пересечении прямых L1и L3.
Для определения ее координат решим систему уравнений, составленных из
уравнений прямых L1и L3. Предварительно разнесем свободные члены и
переменные в разные стороны:
2
3;
3
1.
Для решения подобных систем уравнений в Scilab существует функция
linsolve. Общий вид функции:
linsolve(K,k),
где K – таблица, составленная из коэффициентов уравнений системы,
причем она сформирована таким образом, что каждая строка представляет собой
список коэффициентов одного из уравнений системы, а каждый столбец – список
коэффициентов при одноименных переменных, то есть если первым элементом в
первой строке является коэффициент при y, то первыми элементами других строк
также должны быть коэффициенты при y в соответствующих уравнениях;
k – столбец, содержащий свободные (стоящие после знака «=»)
коэффициенты.
Для решаемой системы уравнений:
1 23
1 1
3
1
В командное окно Scilab запишем следующие команды для решения
системы уравнений:
K=[1,2/3;1,-1];
k=[3;-1];
linsolve(K,k)
Результатом решения станет список значений переменных x и y,причем
значения переменных расположены в столбце в том порядке, в котором были
расположены в таблице K. Итак, y = 1.4; x = 2.4 (рис.4).
Рисунок 4 – Результат решения системы уравнений
То есть, оптимальный план задачи х1=2,4; x2=1,4.
Подставляя найденные значения в линейную функцию, получим:
F = 3x1 + 4x2 = 12,8.
Полученное решение означает, что объем производства продукции вида П1
должен быть равен 2,4 единицам, а продукции П2 - 1,4 единицам продукции.
Доход, получаемый в этом случае, составит 12,8 д. е.
Итак, для практического решения задачи линейного программирования на
основе ее геометрической интерпретации необходимо следующее:
1.
Построить прямые уравнения, которых получаются в результате
замены в ограничениях знаков неравенств на знаки равенств;
2.
Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи;
3.
Определить многоугольник решений;
4.
Построить направляющий вектор;
5.
Найти точку оптимальности.
2.4 Решение задачи линейного программирования средствами SciLab
Для решения задач линейного программирования в Scilab предназначена
функция linpro следующего вида:
[x,lagr,f]=linpro(p,C,b[,ci,cs]),
где p – массив(вектор-столбец) коэффициентов при неизвестных целевой
функции, длина вектора n совпадает с количеством неизвестных x.
C – матрица при неизвестных из левой части системы ограничений,
количество строк матрицы равно количеству ограничений, а количество столбцов
совпадает с количеством неизвестных.
b – массив (вектор-столбец), содержит свободные члены системы
ограничений.
ci - массив (вектор-столбец) содержит нижнюю границу переменных (cij ≤
xj); если таковая отсутствует, указывают [ ].
cs - массив (вектор-столбец) содержит верхнюю границу переменных (csj ≥
xj); если таковая отсутствует, указывают [ ].
Функция linpro возвращает массив неизвестных x, минимальное значение
функции f и массив множителей Лагранжа lagr.
Для корректной работы функции linpro необходимо загрузить Quapro
Toolbox. Для этого в Scilab откроем файл: с:\Program Files\quapro-toolbox1.0\loader.sce (рис.5)
Рисунок 5 – Файл loader.sce
Далее загружаем этот файл в Scilab – Execute / Load all into Scilab (рис.6)
Рисунок 6 – Загрузка файла loader.sce
Теперь решим задачу определения оптимального ассортимента
продукции средствами Scilab. Модель задачи имеет вид:
2x1 + 3x2 ≤ 9;
3x1 + 2x2 ≤ 13;
x1 - x2 ≤ 1;
x2 ≤ 2;
x1 ≥ 0;
x2 ≥ 0.
Fmax = 3x1 + 4x2.
Матричная форма записи:
2 3
3 2
,
1 1
0 1
9
13
3
, " .
1
4
2
Так как по условию задачи нужно найти максимум функции, то параметр p
возьмем со знаком «-». Теперь создадим новый sce-файл, где запишем
следующую программу:
C=[2,3;3,2;1,-1;0,1]; //зададим матрицу С
b=[9;13;1;2]; // зададим вектор b
ci=[0;0]; //нижняя граница переменных
cs=[]; // верхняя граница переменных
p=[3;4]
[x,lagr,f]=linpro(-p,C,b,ci,cs)
Запустим этот файл на исполнение и получаем следующее (рис.7).
Мы получили то же решение, что и графическим способом – максимальная
прибыль в размере 12,8 д.е. будет получена, если объем производства продукции
П1 составит 2,4 ед., а продукции П2 - 1,4 ед.
Рисунок 7 – Результаты работы sce-файла
2.5 Проведение анализа на чувствительность
Анализ моделей на чувствительность — это процесс, реализуемый после
получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется
чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной
модели.
Результирующая симплекс-таблица содержит весьма важными данными,
лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных.
Из симплекс-таблицы можно получить информацию относительно:
• оптимального решения;
• статуса ресурсов;
• ценности каждого ресурса;
• чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов,
вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления
ресурсов.
Анализ на чувствительность можно проводить, используя как графический,
так и симплекс-метод. Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность
с использованием графического метода.
2.5.1 Анализ изменений запасов ресурсов.
После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным
выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов.
Для этого необходимо ответить на два вопроса:
1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения
полученного оптимального значения целевой функции F?
2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении
полученного оптимального значения целевой функции F?
Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем
ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие
(неактивные) ограничения.
Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить
через оптимальную точку, в противном случае, соответствующее ограничение
будет несвязывающим. На рисунке связывающими ограничениями являются
ограничения (1) и (3), представленные прямыми L1и L3 соответственно, т. е. те,
которые определяют запасы исходных ресурсов. Ограничение (1) определяет
запасы сырья А. Ограничение (3) определяет соотношение спроса на
выпускаемую продукцию.
Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий
ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется
полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение,
следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором
избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются (2) и (4).
Следовательно, ресурс – сырье В – недефицитный, т. е. имеется в избытке, а спрос
на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью (в таблице — ресурсы 2 и 4).
При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений
определяются:
1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса,
позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не
изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.
В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую
продукцию П1 и П2 являются дефицитными ресурсами (в таблице — ресурсы 1,
3).
Рассмотрим сначала ресурс – сырье А. На рисунке 8 при увеличении запаса
этого ресурса прямая L1 перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К,
в которой пересекаются линии ограничений L2,L3и L4. В точке К ограничения (2),
(3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом
соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится
многоугольник АКДО, В точке К ограничение (1) (для ресурса А) становится
избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса
не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.
Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела,
когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т. е. прямая
(1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень
определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки К, в
которой пересекаются прямые L2, L3 и L4 т. е. находится решение системы
уравнений.
Рисунок 8 - Увеличение сырья А
В результате получается x1=3 и x2 = 2. Затем, путем подстановки координат
точки K в левую часть ограничения (1), определяется максимально допустимый
запас ресурса А:
2x1 + 3x2 = 2*3 + 3*2 =12 .
Рисунок 9 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об
изменении соотношения спроса на продукцию П1 и П2.
Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые
L1и L2. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений
следующим образом:
2 3 9; $ 3 2 13.
В результате получается x1 = 4,2; x2 = 0,2, причем суточный спрос на
продукцию П1 не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину x1 - x2 =
4,2 - 0,2 = 4 ед.
Рисунок 9 – Изменение спроса на продукцию
Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П1 и П2 не будет
влиять на оптимальное решение.
Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих
ограничений. Ограничение (4) x2 < 2 фиксирует предельный уровень спроса на
продукцию П2. Из рисунка следует, что не изменяя оптимального решения,
прямую L4 (AB) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точки С.
Так как точка С имеет координаты x1 = 2,4; x2 = 1,4, уменьшение спроса на
продукцию П2 до величины x2 = 1,4 никак не повлияет на оптимальность ранее
полученного решения.
Рассмотрим ограничение (2) 3x1+2x2 < 13, которое представляет собой
ограничение на недефицитный ресурс — сырье В. И в этом случае правую часть
— запасы сырья В — можно уменьшать до тех пор, пока прямая L2 не достигнет
точки С. При этом правая часть ограничения (2) станет равной 3x1+2x2
=3*2,4+2*1,4 = 10, что позволяет записать это ограничение в виде: 3x1+2x2 < 10.
Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не
изменится, если суточный запас ресурса В уменьшить на 3 ед.
Результаты проведенного анализа можно свести в таблицу 1:
2.5.2 Определение наиболее выгодного ресурса.
В п.2.5.1 анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум
увеличения объема дефицитных ресурсов. При ограничениях, связанных с
дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из
ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств?
Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы
дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение
оптимального значения целевой функции. Такую характеристику для
рассматриваемого примера можно получить непосредственно из таблицы, в
которой приведены результаты решения задачи (п.2.5.1) на чувствительность.
Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через уi. Величина
уi определяется из соотношения:
Максимальное приращение 4
.
% Максимально допустимый прирост ресурса :
Результаты расчета ценности единицы каждого из ресурсов представлены в
таблице 2:
Таблица 2 – Ценность единицы ресурса
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные
вложения в первую очередь следует направить на увеличение ресурса А и лишь
затем — на формирование соотношения спроса на продукцию П1 и продукцию П2.
Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем
увеличивать не следует.
2.5.3 Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции.
Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон
прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат.
Вариация коэффициентов целевой функции может привести к изменению
совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или
иного ресурса (т. е. сделать недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот).
При анализе модели на чувствительность рассмотрение коэффициентов
целевой функции необходимо дополнить исследованием следующих вопросов:
1) каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой
функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?
2) на сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой
функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным, и,
наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?
Ответим на поставленные вопросы на нашем примере. Рассматривая первый
вопрос, обозначим через с1 и с2 доходы предприятия от продажи единицы
продукции П1 и П2 соответственно. Тогда целевую функцию можно представить в
следующем виде:
Z = с1x1 + с2 x2.
При увеличении с1 или уменьшении с2 прямая, представляющая целевую
функцию Z, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке. Если же с1
уменьшается или с2 увеличивается, эта прямая вращается в противоположном
направлении – против часовой стрелки. Т. о., точка С будет оставаться
оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы,
определяемые наклонами прямых для ограничений (1) и (3).
Когда наклон прямой Z станет равным наклону прямой L1, получим две
альтернативные оптимальные угловые точки – С и В. Аналогично, если наклон
прямой Z станет равным наклону прямой для ограничения (3), будем иметь
альтернативные оптимальные угловые точки С и D. Наличие альтернативных
оптимумов свидетельствует о том, что одно и то же оптимальное значение Z
может достигаться при различных значениях переменных x1 и x2.
Как только наклон прямой выйдет за пределы указанного выше интервала
c1, получим некоторое новое оптимальное решение.
Рассмотрим на нашем примере, каким образом можно найти допустимый
интервал изменения c1, при котором точка С остается оптимальной. Исходное
значение коэффициента с2 = 4 оставим неизменным. Значение с1 можно
уменьшать до тех пор, пока прямая Z совпадет с прямой L1 (отрезок BC).
Это крайнее минимальное значение коэффициента c1 можно определить из
равенства углов наклонов прямой Z прямой L1. Так как тангенс угла наклона для
прямой Z равен с1/4 а для прямой (1) равен 2/3, то минимальное значение с1
определим из равенства с1/4=2/3, откуда с1=8/3. Значение с1 можно увеличивать
беспредельно, так как прямая Z при с2 = 4 и c1 → ∞ не совпадает с прямой L3
(отрезок DC) и, следовательно, точка С при всех значениях коэффициента с1 ≥ 8/3
будет единственной оптимальной.
Интервал изменения с1, в котором точка С по-прежнему остается
единственной оптимальной точкой, определяется неравенством 8/3 < с1 < + ∞.
При с1 = 8/3 оптимальными угловыми точками будут как точка С, так и точка В
(весь отрезок (BC)). Как только коэффициент с1 становится меньше 8/3 , оптимум
смещается в точку В.
Как только коэффициент с1 оказывается меньше 8/3, ресурс 3 становится
недефицитным, а ресурс 4 – дефицитным. Для предприятия это означает
следующее: если доход от продажи единицы продукции П1 станет меньше 8/3 д.
е., то наиболее выгодная производственная программа предприятия должна
предусматривать выпуск максимально допустимого количества продукции П2
(полностью удовлетворять спрос на продукцию П1).
При этом соотношение спроса на продукцию П1 и П2 не будет лимитировать
объемы производства, что обусловит недефицитность ресурса 3. Увеличение
коэффициента c1 свыше 8/3 д. е. не снимает проблему дефицита ресурсов (1) и (3).
Точка С – точка пересечения прямых L1 и L3 - остается все время оптимальной.
3. Порядок выполнения работы
1) Построить математическую модель задачи линейного программирования
согласно варианту.
2) Решить задачу графическим методом.
3) Решить задачу линейного программирования средствами SciLab и сравнить с
п.2.
4) Провести анализ на чувствительность и сделать выводы.
5) Ответить на контрольные вопросы.
Варианты задания:
Вариант 1. Для изготовления двух видов продукции используется три вида
сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается 13 кг
сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 3 кг сырья третьего вида. При
производстве единицы продукции второго вида затрачивается 2 кг сырья первого
вида, 4 кг сырья второго вида и 14 кг сырья третьего вида. Запасы сырья первого
вида составляют 260 кг, второго – 124 кг, третьего – 280 кг. Прибыль от
реализации единицы продукции первого вида составляет 12 ден. ед., прибыль от
реализации единицы продукции второго вида составляет 10 ден. ед.
Максимизировать прибыль от реализации продукции.
Вариант 2. Предприятие располагает тремя производственными ресурсами
(сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство
продукции двумя различными способами. Расход ресурсов за один месяц и общий
ресурс при каждом способе производства даны в таблице (в усл. ед):
Расход ресурсов за 1 месяц
Производственные
при работе
ресурсы
Общий ресурс
I способом
II способом
Сырье
1
2
4
Оборудование
1
1
3
Электроэнергия
2
1
8
При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3
тыс.изделий, при втором – 4 тыс.изделий. Сколько месяцев в году предприятие
должно работать каждым из способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить
максимальный выпуск продукции?
Вариант 3. При откорме каждое животное должно получать не менее 9 ед.
белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют
два вида корма, представленных в следующей таблице:
Количество единиц питательных веществ на 1 кг
Питательные вещества
корма 1 вида
корма 2 вида
Белки
3
1
Углеводы
1
2
Протеин
1
6
Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 6 д.е.
Составьте дневной рацион питательности, имеющий
стоимость.
минимальную
Вариант 4. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления
трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас
железа – 3 т, проволоки – 18 т. На один трансформатор первого вида расходуются
5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются
3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого
вида завод получает прибыль 3 д. е., второго — 4 д. е.
Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу
максимальную прибыль.
Вариант 5. Имеются две почвенно-климатические зоны, площади которых
соответственно равны 0,8 и 0,6 млн га. Данные об урожайности зерновых
культур приведены в следующей таблице:
Зерновые
Урожайность (ц/га)
Стоимость 1 ц.
культуры
д.е.
1-я зона
2-я зона
Озимые
20
25
8
Яровые
25
20
7
Определите размеры посевных площадей озимых и яровых культур,
необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном
выражении.
Вариант 6. Компания производит большие и маленькие садовые скамейки.
Каждая скамейка должна быть построена и отполирована. На постройку
маленькой скамейки уходит 2 часа, на полировку 3 часа. На постройку большой
уходит 4 часа, на полировку 3 часа. Строительный цех работает 100 часов в
неделю, а полировочный 90.
Прибыль, получаемая с маленькой скамейки, составляет 5 ден. ед., а с
большой – 7 ден. ед. Сколько скамеек каждого вида должна производить
компания для максимизации прибыли?
Вариант 7. Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На
звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть либо две лисы,
либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В
одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма – 4 ед., а каждому песцу – 5
ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации
одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализации одной
шкурки песца – 5 д. е. Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме,
чтобы получить наибольшую прибыль?
Вариант 8. Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из
трех продуктов: сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат
питательные вещества: белок, кальций и витамины. Численные данные
представлены в таблице.
Питательные вещества
Продукты
Белок (г/кг)
Кальций (г/кг)
Витамины (г/кг)
Сено
50
10
2
Силос
70
6
3
Концентраты
180
3
1
В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция
составляют не менее 2000 и 210 г соответственно. Потребление витаминов строго
дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.
Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса и
концентрата равна соответственно 1,5; 2 и 6 денежных единиц (д.е.).
Вариант 9. Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1 500 000 л
алкиата, 1 200 000 л крекинг-бензина и 1 300 000 л изопентола. В результате
смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин
сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А составляет 90
ден.ед., 1000 л бензина сорта Б – 120 ден.ед.
Определить план производства на месяц бензина сортов А и Б,
максимизирующий стоимость выпущенной продукции.
Вариант 10. Предприятие в течение планового периода выпускает 2 вида
продукции: табуретки и стулья. При их производстве используются 3 вида
ресурсов. Данные по их расходу на выпуск одного изделия, запасы ресурсов, а
также прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице.
Табуретка
Стул
Запас ресурса
Ресурс 1, ед.
4
6
240
Ресурс 2, ед.
3
2
120
Ресурс 3, ед.
1
1
80
Прибыль, ден.ед.
4
5
Требуется спланировать количество выпускаемых табуреток и стульев
таким образом, чтобы полученная прибыль была максимальна.
Вариант 11. Для изготовления двух видов изделий А и В используется
токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени
на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования, общий фонд
рабочего времени каждого типа оборудования, а также прибыль от реализации
указаны в таблице:
Затраты времени на обработку
Общий фонд
Тип
одного изделия вида
рабочего
оборудования
времени
А
В
Фрезерное
2
4
120
Токарное
1
8
280
Сварочное
7
4
240
Шлифовальное
4
6
360
Прибыль(руб.)
10
14
Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить
предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
Вариант 12. Кондитерская фабрика для производства двух видов карамели
A и B использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое
пюре. Для карамели вида А требуется 0,8т сахарного песка и 0,4 т патоки, для
карамели вида В – 0,5 т сахарного песка, 0,4 т патоки и 0,1 т фруктового пюре.
Запасы сахарного песка 800 т, патоки – 600 т, фруктового пюре – 120 т. Прибыль
от реализации 1т карамели вида А – 108 т.руб., вида B – 112 т.руб.
Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную
прибыль от ее реализации.
Вариант 13. Для изготовления двух видов продукции используется три
вида сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается 12
кг сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 3 кг сырья третьего вида. При
производстве единицы продукции второго вида затрачивается 4 кг сырья первого
вида, 4 кг сырья второго вида и 12 кг сырья третьего вида. Запасы сырья первого
вида составляют 300 кг, второго – 120 кг, третьего – 252 кг. Прибыль от
реализации единицы продукции первого вида составляет 30 ден. ед., прибыль от
реализации единицы продукции второго вида составляет 40 ден. ед. Требуется
составить такой план выпуска, чтобы максимизировать прибыль от реализации
продукции.
Вариант 14. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика
использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие
данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество
имеющихся ресурсов приведены в таблице:
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на одно изделие Общее количество
ресурсов
стол
шкаф
Древесина 1 вида
0,2
0,1
40
Древесина 2 вида
0,1
0,3
60
Трудоемкость
1,2
1,5
371,4
Прибыль(руб.)
6
8
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы
прибыль от их реализации была максимальной.
Контрольные вопросы:
1. Какие команды(и их параметры) используются в Scilab для построения
графиков? Какие параметры этих команд в работе использовали вы?
2. Какая команда в Scilab служит для нахождения координат точки
оптимальности? Как составить матрицы K и k ?
3. Какая команда в Scilab необходима для решения задач линейного
программирования?
4. В чем экономический смысл найденныx координат точки
оптимальности?