10 кл. Система оценивания по математике 2012 г.

Система оценивания демонстрационного варианта по МАТЕМАТИКЕ
Часть 1
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом, если
ответ неверный или отсутствует – 0 баллов. Задание части 1 считается
выполненным правильно, если вписан верный ответ.
№ задания Ответ
В1
12
В2
-2
В3
-5
В4
53
В5
2,25
В6
6
В7
12
В8
0,75
В9
128
В10
4000
В11
243
В12
15
В13
0,92
Часть 2
Ответы к заданиям Части 2
Задания
Ответ
Максимальное
количество баллов
С1
2

 2n;  , n  Z
3

2
С2
С3
С4
С5
С6
2
3
х = -0,25
7
2
 ;1  2; 4
1 и 1045
Итого
3
4
4
18
Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение
должно быть математически грамотным, полным, из него должен быть понятен ход
рассуждений учащегося, все возможные случаи должны быть рассмотрены.
Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными.
Если решение ученика удовлетворяет этим требованиям, то ему, в зависимости
1
от полноты и правильности выполнения, выставляется определенное критериями
количество баллов. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ,
выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии
текста решения оценивается в 0 баллов.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования
к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций.
2 sin 2 x  5 sin x  0,
С1. Решите систему уравнений 
 6 y  2 cos x  0.
Решение: Пусть sin x = t. Тогда первое уравнение примет вид 2t2 - 5t = 0, откуда
t = 0 или t = 2,5. Уравнение sin x = 2,5 не имеет корней, так как sin x   1;1
Из второго уравнения системы следует, что cos x  0. Тогда из уравнения sin x = 0
получаем: х = 2  n, n  Z и cos x = 1.
Второе уравнение примет вид


6 y  2  0 , откуда y =
2
.
3
2
3
Ответ:  2n;  , n  Z.
Возможна другая форма записи ответа: х = 2  n, n  Z, y =
2
.
3
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
2
Получен ответ, но решение неверно только из-за того, что не учтены
1
ограничения на знак или величину выражения cosx (sinx)
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям
0
Максимальный балл
2
С2. Докажите, что диаметр окружности, проведённый через середину хорды
(не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде.
Решение:
OE - медиана треугольника COD.
Так как OC = OD, треугольник COD равнобедренный. Следовательно, OE
является высотой треугольника COD.
Поэтому AB  CD.
Содержание критерия
2
Баллы
Выполнен верный чертёж, ход доказательства верный, все его шаги
выполнены правильно
Выполнен верный чертёж, доказательство содержит неточности
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям
Максимальный балл
2
1
0
2
С3. Решите уравнение 2x  3  4x  5  6x  1 .
Решение: Данное уравнение равносильно трём системам:
 х  1,25,
1,25  х  1,5,
 х  1,5,
(1) 
(2) 
(3)

3  2 х  (5  4 х)  6 х  1.
3  2 х  (4 х  5)  6 х  1.
2 х  3х  (4 х  5 х)  6 х  1.
Решая уравнение из системы
удовлетворяет условию х  1,25.
получаем
х=-0,25.
Корень
уравнения
Решая уравнение из системы (2) получаем
не удовлетворяет условию 1,25< х  1,5.
х=0,75.
Корень
уравнения
х=0,375.
Корень
уравнения
Решая уравнение из системы
не удовлетворяет условию х > 1,5.
(1)
(3)
получаем
Ответ: х=-0,25.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
3
Получен ответ, но в записи допущена погрешность, которая может быть
2
расценена как описка
Получен ответ, отличающийся от верного наличием посторонних корней
1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям
0
Максимальный балл
3
С4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой A1B1.
Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от прямой A1B1 до параллельной
ей прямой FС.
3
Опустим из точки A1 перпендикуляр A1М на прямую FС. Точка М лежит
в плоскости AA1E1, перпендикулярной прямой FС. Поэтому точка М лежит
на пересечении АЕ и FС, а значит, является серединой АЕ.
В  AFE F =1200. По теореме косинусов: АЕ2 = 12 + 12 - 2  1  1  cos 1200.
Значит, АЕ= 3 , АМ=
3
. Из прямоугольного треугольника АA1М получаем
2
2
 3
7
A1М=    12 
.
2
 2 
Ответ:
7
.
2
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
3
Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный
2
ответ только из-за вычислительной ошибки
Искомое расстояние указано верно, но решение по его нахождению
1
не закончено
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям
0
Максимальный балл
3
С5. Решите неравенство:
х 2  6х  8
х4
 2
 0.
х 1
х  3х  2
Решение: Разложим квадратные трёхчлены на множители:
( х  2)( х  4)
х4

 0;
х 1
( х  1)( х  2)
х4
1 
х2
  0;
х 1 
х 2
( х  4)(( х  2) 2  1)
х4
 0.
 0; (х-2)2+1>0 при всех х. Следовательно,
( х  1)( х  2)
( х  1)( х  2)
4
Решая методом интервалов, получаем х < 1 или 2 < x  4.
Ответ:  ;1  2; 4
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
4
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек
3
Получен один из верных промежутков
2
Ход решения верный, но допущены ошибки
1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям
0
Максимальный балл
4
С6. Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого
набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все
55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую
наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение:
1. Если все числа взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

 2  6   10  20
 5  +5 
 11 =55 19 =1045.

 2
  2
11(2+…+6)+5(10+…+20)=11 
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых
в ней – нечётно, причём это свойство всей суммы не меняется при смене знака
любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечётной,
а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков
у чисел:
11(−2 + 3 − 4 + 5 − 6) + 5(10 + 11 − 12 − 13 + 14 + 15 − 16 − 17 + 18 + 19 − 20) =
= −11 · 4 + 5 · 9 = − 44 + 45 = 1.
Ответ: 1 и 1045.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
4
Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано,
3
что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)
Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда
2
отлична от 0
Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано,
1
что она всегда отлична от 0
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям
0
Максимальный балл
4
5