Проект

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
Кафедра теоретической физики
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(Программа курса)
Новосибирск
2010
Учебный курс «Введение в физику твердого тела» является частью профессионального цикла подготовки бакалавра физики. Дисциплина изучается студентами третьего курса
физического факультета. Программа курса подготовлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта третьего поколения.
Цели курса – познакомить студентов-физиков как с базовыми понятиями и методами
физики твердого тела, так и с более прикладным современным инструментарием, нашедшим
своё применение в нанотехнологиях, материаловедении и информационных технологиях
(квантовые вычисления); научить студентов делать простейшие оценки и решать несложные
квантовомеханические задачи; сформировать общекультурные и профессиональные навыки
физика-исследователя. Двухсеместровый курс «Введение в физику твердого тела» состоит
из лекционных и практических занятий, сопровождаемых регулярной индивидуальной работой преподавателя со студентами в процессе сдачи семестровых домашних заданий, а также
самостоятельных занятий. Предусмотрены также (факультативные) лабораторные занятия в
терминальном классе. В конце каждого семестра проводится экзамен.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 академических
часов (из них 222 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 113 часов лекционных и 109 часов практических занятий, а также 66 часов самостоятельной работы.
Автор
докт. физ.-мат. наук, доцент А. А. Кожевников
Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.
 Новосибирский государственный
университет, 2010
2
Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса «Введение в физику твердого тела» составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста бакалавра по профессиональному циклу дисциплин (Б.3) по направлению «011200 Физика», а также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации Программы развития НГУ.
Автор (авторы) Кожевников Аркадий Алексеевич, д.ф.-м.н., доцент
Факультет: физический
Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)
Дисциплина (курс) «Введение в физику твердого тела» имеет своей целью: дать набор необходимых сведений в области физики твердого тела и научить применению этой дисциплины в
качестве основы для оценок возможностей элементной базы вычислительных устройств, систем
обработки информации, аппаратного и программного обеспечения физических установок.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Курс относится к циклу общефизических дисциплин. В результате прохождения курса у
студентов физического факультета должно сформироваться представление о том, что проблемы
получения, обработки и переработки информации как в физических экспериментах, так и в более
широком контексте являются физическими проблемами, для решения которых необходимо владение базовыми принципами фундаментальной физики. Необходимыми предпосылками для
успешного освоения курса являются следующие. В цикле математических дисциплин: знание основ линейной алгебры, математического анализа, функционального анализа, методов математической физики и умение применять эти знания при решении задач. Необходимость владения указанными математическими дисциплинами обусловлена тем обстоятельством, что они составляют основу аппарата нерелятивистской квантовой механики. Эта дисциплина является первой частью
курса «Введение в физику твердого тела» и необходима для описания и понимания процессов,
происходящих во всех современных приборах и технике эксперимента. Бурное развитие в последнее время в области исследования принципиально новых материалов наноэлектроники, как,
например, графена, и подхода к программированию, основанному на концепции квантовых вычислений, делают необходимым изучение студентами отделения информатики основ квантовой
механики. В цикле общефизических дисциплин необходимыми предпосылками являются знание
и умение применять основные принципы классической механики, электродинамики и термодинамики. Эти общефизические дисциплины входят составной частью в описание поведения во внешних полях как отдельных микрочастиц, так и макроскопически большого их количества. Знание
основ термодинамики и умение применять эти знания при решении задач необходимы в качестве
предпосылки для изучения второй части курса «Введение в физику твердого тела», посвященной
основам статистической физики макроскопически большого количества частиц, чье поведение
подчиняется законам квантовой механики, изучаемым в первой части курса. Лежащая в основе
современной твердотельной электроники классификация кристаллических твердых тел по отношению к свойствам проводить электрический ток основывается именно на статистической физике
квантовых ансамблей микрочастиц. В свою очередь курс «Введение в физику твердого тела» является предпосылкой для изучения курсов «Физические основы микроэлектроники» и «Физические
основы информатики».
3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Введение в физику твердого тела»

общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;

профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные принципы нерелятивистской квантовой механики и статистической физики в
качестве основ физики твердого тела
 Уметь: применять эти принципы для оценки свойств кристаллических конденсированных тел в
качестве элементной базы приборов; увязывать требования к программному обеспечению с физическими свойствами элементной базы
 Владеть методами нахождения энергетических спектров элементарных возбуждений в конденсированных средах и методами определения по найденным спектрам термодинамических характеристик этих сред
4. Структура и содержание дисциплины курс «Введение в физику твердого тела»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов.
Семестр
Неделя семестра
№
п/п
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в
часах)
Раздел
дисциплины
1
Цели и задачи курса. Соотношение
между копускулярной и волновой
точками зрения.
Волны де Бройля,
волновой пакет.
5й
1-я 4 часа 4 часа селекций минаров
2
Волновая функция
и оценки по соотношению неопределенностей. Опера-
5й
2-я 2 часа 2 часа селекций минаров
4
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям семестра)
Форма
промежуточной аттестации
(по семестрам)
Самостоятельное Разбор
В начале
решение задач
решений каждого
студентами, 2
у доски очередного
часа
на каж- занятия
дом сепроверка
минаре. задач, заданных на
дом.
2 часа
3
4
5
6
7
8
9
10
11
торы координаты и
импульса в координатном представлении.
Уравнение Шредингера. Задачи на
связанные состояния. Состояния с
малой энергией связи,  -яма.
Уравнение Шредингера. Задачи в
непрерывном спектре. Коэффициенты
прохождения и отражения.
Операторы физических величин. Собственные функции
и собственные значения. Уравнения
Гейзенберга.
Гармонический осциллятор. Спектр и
волновые функции
в операторном методе.
Периодическое поле. Теорема Блоха.
Цепочка  -ям.
Приближение сильной связи. Электронный спектр
графена
Квазиклассическое
приближение. Квазистационарные состояния.
Алгебра операторов
момента импульса.
Спектр собственных значений момента и его проекции.
Операторы и собственные функции
орбитального момента в сферических координатах.
Частица в центральном поле.
Спектр и волновые
5й
2-я 4 часа 4 часа сеи
лекций минаров
3-я
2 часа
5й
3-я 2 часа 2 часа селекций минаров.
2 часа
5й
4-я 4 часа 4 часа селекций минаров
2 часа
5й
5-я 2 часа 2 часа селекций минаров
2 часа
5й
5-я 4 часа 2 часа сеи
лекций минаров
6-я
2 часа
Контрольная работа
по пройденному
материалу.
5й
6-я 4 часа 4 часа сеи
лекций минаров
7-я
2 часа
Разбор контрольной
работы
5й
7-я 2 часа 2 часа селекций минаров
2 часа
5й
8-я 2 часа 2 часа селекций минаров
1 часа
5й
8-я 6 ча6 часов
1 часа
и
сов
семинаров
9-я лекций
5
функции связанных
состояний в атоме
водорода.
Бесспиновая частица в магнитном поле. Уровни Ландау
Приближенные методы квантовой механики: вариационный метод и теория
возмущений.
Влияние электрического поля на спектры атомов.
5й
10- 2 часа 2 часа сея
лекций минаров
1 часа
5й
10- 4 ча4 часа сея и сов
минаров
11- лекций
я
1 часа
5й
11- 2 часа 2 часа сея
лекций минаров
1 часа
Квантовая механика
частиц со спином
½, уравнение Паули. Магнитные моменты электрона,
протона и нейтрона.
Сложение моментов. Правила отбора
по моменту и четности
Квантовые компьютеры и квантовые
вычисления. Однокубитовые и двухкубитовые вентили
на примере спина ½
в магнитном поле.
Основные квантовые алгоритмы.
Тождественность
частиц. Принцип
Паули.
5й
12- 4 часа 4 часа сея
лекций минаров
1 часа
5й
13- 2 часа 2 часа сея
лекций минаров
1 час
5й
13- 2 часа 2 часа сея
лекций минаров
1 час
Формой
контроля
успеваемости и усвоения материала является экзамен.
5й
14- 1 час
1 час сея
лекций минаров
2 часа
19
Элементы теории
атомов и молекул.
Термы, таблица
Менделеева, магнитные эффекты.
5й
14- 5 ча5 часов
2 часа
я и сов
семинаров
15- лекций
я
20
Нестационарные
возмущения: внезапные, адиабатические и периодические.
Квантование электромагнитного поля. Электромагнит-
5й
16- 2 часа 2 часа сея
лекций минаров
2 час
Для допуска экзамену необходимо сдать
все задачи
из домашних заданий. Кроме
того, на получение
высокой
оценки
5й
16- 2 часа 2 часа сея
лекций минаров
2 час
12
13
14
15
16
17
18
21
6
Контрольная работа
по пройденному
материалу
Разбор результатов
контрольной работы
на экзамене
могут претендовать
ное излучение в дипольном приближении. Времена жизни
и правила отбора.
22
23
24
25
26
27
28
Квантовая теория
рассеяния. Борновское приближение,
рассеяние медленных частиц.
Методы определения спектров возбуждений и структуры по данным
рассеяния
Основные понятия
термодинамики.
Термодинамика
магнетиков и диэлектриков
Статистический
подход к описанию
макроскопических
тел. Микроканоническое, каноническое и большое каноническое распределения.
Статистическая механика классического идеального
газа. Химическое
равновесие.
Статистические
свойства идеального вырожденного
Ферми-газа
Зонная структура
спектра в приближении слабой связи.
Металлы, полупроводники, изоляторы.
Термодинамические
свойства газа ча-
только те,
кто набрал
не меньше
определенного количества баллов при
сдаче домашних
заданий к
определенному сроку
5й
17- 6 ча6 часов
2 часа
я и сов
семинаров
18- лекций
я
6й
1-я 2 часа 2 часа селекций минаров
2 часа
6й
2-я 3 часа 3 часа селекций минаров
2 часа
6й
2-я 3 часа 3 часа сеи
лекций минаров
3-я
2 часа
6й
4-я 4 часа 4 часа селекций минаров
2 часа
6й
5-я 2 часа 2 часа селекций минаров
2 часа
6й
6-я 4 часа 4 часа селекций минаров
2 часа
7
Экзамен
Контрольная работа
по пройденному
материалу
Разбор результатов
контрольной работы
29
30
31
32
33
34
35
36
Ит
ого
стиц БозеЭйнштейна
Основы теории
кристаллических
структур на примере кубических решеток.
Колебания атомов в
кристаллах. Фононы. Модель Дебая.
6й
7-я 2 часа 2 часа селекций минаров
2 часа
6й
8-я 4 часа 2 часа селекций минаров
2 часа
Термодинамические
флуктуации
Флуктуации в электрических цепях.
Броуновское движение, пределы
чувствительности
приборов.
Неидеальные газы.
Фазовые переходы
первого рода.
6й
6й
9-я 2 часа
лекций
10- 4 часа
я
лекций
2 часа
6й
Магнитные свойства веществ: диа-,
пара- и ферромагнетики. Теория Кюри-Вейса.
Элементы теории
фазовых переходов
второго рода
Ландау
Кинетическое уравнение Больцмана и
электропроводность
металлов.
6й
11яи
12я
13яи
14я
2 часа семинаров
4 часа семинаров
Контрольная работа
по пройденному
материалу.
2 часа
6 ча6 часов
4 часа
сов
семинаров
лекций
3 часа 3 часа селекций минаров
2 часа
6й
14- 3 часа 3 часа сея
лекций минаров
2 часа
6й
15- 3 часа
я и лекций
16я
113
часов
3 часа семинаров
2 часа
109
часов
66 часов
Экзамен
Примерный план семинарских занятий (5-й семестр).
1. Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в процессах с
участием фотонов. Оценки по соотношению неопределенностей.
2. Операторы координаты и импульса. Матричные элементы операторов в различных представлениях.
3. Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к
классическому пределу. Конечная яма. Особенности применения соотношения неопределенностей для мелкой ямы. Уровни энергии и волновые функции для нескольких ям.
4. Гармонический осциллятор. Явный вид операторов координаты и импульса в энергетическом представлении. Когерентные состояния.
8
5. Представление Гейзенберга. Нахождение временной эволюции операторов рождение и
уничтожения гармонического осциллятора. Вычисление коммутатора операторов при не
совпадающих временах.
6. Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для
барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).
7. Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой функции.
8. Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.
9. Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.
10. Орбитальный момент количества движения. Явный вид волновых функций для l  2 .
11. Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса
для низколежащих состояний.
12. Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.
13. Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии осциллятора.
14. Формализм операторов спина ½. Собственные функции состояний с определенной проекцией спина на произвольное направление. Нейтральная частица со спином ½ во внешнем
постоянном и переменном магнитном поле.
15. Простейшие квантовые вентили NOT, CNOT и т.д. Модельная реализация этих вентилей
на примере частиц со спином ½ в магнитном поле.
16. Тонкая структура уровней на примере спектров щелочных атомов. Эффект Зеемана и Пашена-Бака. Примеры определения основных термов элементов по правилам Хунда.
17. Определение примеси D-волны в волновой функции дейтрона из величины его магнитного
момента. Определение спина ядра по сверхтонкой структуре атомных спектров. Поправки к
энергии электронов за счет конечных размеров ядер.
18. Теория возмущений, зависящих от времени. Ионизация и возбуждение при   распаде.
Адиабатические переходы в атоме водорода в переменном электрическом поле. Фотоэффект.
19. Магнито-дипольное излучение при перевороте спина во внешнем магнитном поле.
20. Борновское приближение для амплитуды рассеяния на сферически-симметричных потенциалах разной формы.
21. Неупругое рассеяние быстрых электронов на атоме водорода с возбуждением из основного
состояния в состояние c n  2 .
Примерный план семинарских занятий (6-й семестр).
1. Основные термодинамические соотношения. Применение к идеальному газу с заданной
теплоёмкостью CV (T ) и к газу Ван-дер-Ваальса.
2. Микроканоническое распределение на различных примерах: осциллятор, одномерная модель резины
3. Каноническое распределение. Применение к осциллятору, газу дипольных молекул. Система с двумя уровнями при большой кратности вырождения верхнего уровня.
4. Химическое равновесие. Вычисление констант равновесия реакций.
5. Идеальный вырожденный ферми-газ. Термодинамика и парамагнитная восприимчивость.
Эффекты внешнего поля (на примере однородного поля тяжести и осцилляторного потенциала).
6. Полупроводники (собственные и с примесями различных типов).
7. Термодинамические функции газа фотонов; уравнение адиабаты. Бозе-газ сохраняющихся
частиц. Изотермы в широком интервале температур. Бозе-коденсация во внешнем поле (на
примере однородного поля тяжести).
8. Простейшие трехмерные кубические кристаллические решетки и обратные к ним.
9
9. Фононы. Флуктуации положения атомов в кристаллической решетке (в модели Дебая).
10. Стационарные термодинамические флуктуации.
11. Корреляция флуктуаций во времени. Уравнение Ланжевена. Примеры вычисления для
конкретных систем (частица в среде с трением, осциллятор с трением, электрические цепи
с емкостью, индуктивностью и сопротивлением.)
12. Фазовые переходы первого рода. Применение уравнения Клапейрона-Клаузиуса. Критический радиус капли в насыщенном паре.
13. Фазовый переход второго рода на примере упорядочения бинарного сплава (приближение
среднего поля).
14. Электропроводность в магнитном поле. Вычисление с помощью уравнения Больцмана в
  приближении.
5. Образовательные технологии
Материал лекционного курса увязывается с передовыми исследованиями всюду, где это допускается уровнем знаний и подготовки студентов. Специально указываются темы, активно обсуждающиеся в текущей профессиональной научной литературе. Все семинарские занятия проводятся в
интерактивной форме. Во время семинарских занятий поощряется система соревнования. Первый,
решивший задачу, излагает ее для всей группы. Существенным элементом образовательных технологий является не только умение студента найти решение поставленной задачи, но и донести
его до всей аудитории. Умение сходу отвечать на вопросы сокурсников и преподавателя развивает профессиональные навыки, которые будут незаменимы в дальнейшей профессиональной деятельности. Существенным элементом при прохождении курса «Введение в физику твердого тела» являются занятия в терминальном классе. Некоторые из задач нерелятивистской квантовой
механики, решаемые там численными методами, качественно разбираются на семинарских занятиях в форме моделей, допускающих точное аналитическое решение.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Домашние задания по курсу «Введение в физику твердого тела» (5-й семестр).
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 10 октября)
1. Пучок атомов серебра получается испарением из печи с температурой T  1500K и пропусканием их через коллиматор, размер которого можно менять. Пользуясь соотношением
неопределенностей, оценить минимальный размер пятна на экране, установленном за коллиматором на расстоянии 1 м (2 балла).
2. Атомы неона, охлажденные в лазерной ловушке до температуры T  10 3 K, освобождаются из нее и падают в поле тяжести на плоскость с двумя параллельными щелями. Ширина
щелей 2 микрона, расстояние между ними 6 микрон. Плоскость находится на расстоянии
l  3.5 см от центра ловушки. Под плоскостью на расстоянии L  85 см находится регистрирующий экран, на котором наблюдается интерференционная картина. Найти расстояние между максимумами интерференционной картины (5 баллов).
3. Координатная волновая функция
основного состояния атома водорода имеет вид
 ( r )  (a 3 ) 1/ 2 e  r / a ,
где
rr ,
a   2 / me 2 .
10
Вычислить
r ,
x 2 , y 2 , z 2 ,
r , r 2 , p , p 2 x, y , z , p , p 2 в этом состоянии. Указание: при вычислениях восполь
(2n  3)!! 
(6 баллов).
(2n  2)!! 2
)
0
4. Найти энергии и волновые функции стационарных состояний частицы
в поле
U(x) = -G [δ(x-a) + δ (x) + δ (x+a)]. При каких значениях a число уровней уменьшается до
двух, до одного в таком поле? В предельном случае mGa /  2 >>1 получить явные выражения для уровней энергии. Численно оценить параметр mGa /  2 , предполагая, что частица
является электроном,  -функция моделирует яму глубиной 13.6 эВ, шириной 1 A, расстояние между ямами a  2 A (6 баллов).
5. Вычислить в произвольный момент времени t среднее значение оператора координаты
гармонического осциллятора, находящегося в когерентном состоянии  (6 баллов).
зоваться формулой
dx
 (1  x
2 n

U , x  0
6. Потенциальная энергия электрона в металле моделируется выражением U ( x)   0
,
 0, x  0
где x отсчитывается перпендикулярно поверхности металла. Электрон в металле (в полупространстве x  0 ) имеет энергию E  U 0 . Найти в квазиклассическом приближении зависимость от работы выхода   U 0  E тока холодной эмиссии, возникающей при наложении однородного электрического поля, перпендикулярного поверхности (4 балла).
ЗАДАНИЕ № 2 (срок сдачи 20 ноября)
1. Рассмотрим модель дейтрона как связанного состояния протона и нейтрона, взаимодействующих за счет центрально-симметричного потенциала в виде прямоугольной ямы радиуса R0  1.7  10 13 см. Глубина ямы U 0 . Известно, что энергия связи дейтрона равна
Ed
 2.2 МэВ. Предполагая, что это связанное состояние является мелким ( E d
 U 0 )
s-волновым уровнем, вычислить необходимую глубину ямы U 0 . Рассчитать вероятность
того, что расстояние между протоном и нейтроном в дейтроне превышает радиус ямы R0 (5
баллов).
j  1 находится в состоянии
2. Частица с моментом количества движения
   1,1   1,0   1,1 . Вычислить  ˆj x , y , z  и  ˆj 2 x, y , z  (3 балла).
3. Гамильтониан квантовой системы имеет вид Hˆ  Hˆ 0  Vˆ , где невозмущенный гамильтони2 d 2
 G[ ( x  a)   ( x  a)] , G  0 , а оператор возмущения равен
ан равен Hˆ 0  
2m dx 2
Vˆ  G ( x  a) ,   1 . Найти энергии и волновые функции системы при условии, что
mGa 2 >>1. Ответ для волновых функций представить в терминах собственных функций

 s и  a невозмущенного гамильтониана, имеющих определенную четность (4 балла).
4. В экспериментах по прецизионному измерению магнитного момента электрона использо
валась ловушка Пеннинга в виде комбинации однородного магнитного поля B  B (0,0,1) и
квадрупольного электростатического потенциала    ( x 2  y 2  2 z 2 ) . Найти уровни энерg
гии электрона с магнитным моментом    B
в такой ловушке. Определить квантовые
2
числа двух наиболее близких уровней.
Используя экспериментальные значения
g  1.00115965218073(28) и B  5T , вычислить длину волны излучения, испускаемого
2
при переходе между такими уровнями в приближении   0 . Указание. Решить уравнение
11
 1  
Паули с векторным потенциалом магнитного поля в виде A  [ B  r ] методом разделения
2
переменных в цилиндрических координатах (r ,  , z ) , вводя новую радиальную координату
  r 2  x 2  y 2 (13 баллов).
5. Найти собственные функции j, j z полного момента и его проекции на ось z , возникаю-
щие при сложении моментов j1  1 и j 2  1 , в базисе вида j1 , j1z j 2 , j2 z (2 балла).
6. Квантовая система состоит из двух частиц со спином ½, взаимодействующих по закону

Vˆ   Jsˆ1 sˆ2 . Найти уровни энергии системы во внешнем постоянном однородном магнитном поле B = (0,0,B). Выписать соответствующие выражения для спиновых волновых
функций в базисе
s1z , s2 z . Гиромагнитные отношения равны g 1 и g 2 . Поступательным
движением пренебречь (5 баллов).
ЗАДАНИЕ № 3 (срок сдачи 25 декабря).
1. Два тождественных фермиона со спином ½ находятся в одномерной потенциальной яме
ширины a с бесконечными стенками. Взаимодействие между ними вначале отсутствует.
Выписать полные (т.е. включающие спиновую и координатную часть) волновые функции
системы, отвечающие четырём низшим энергетическим уровням. Вычислить в первом порядке теории возмущений поправки к найденным уровням энергии за счёт возмущения ви
да Vˆ ( x)  g ( s1 s 2 ) ( x1  x 2 ) (6 баллов).
2. Применяя правила Хунда, определить основные термы трехкратно ионизованных атомов
редкоземельных элементов. Вычислить их магнитные моменты в нулевом магнитном поле. Указание: Электронные конфигурации +++-ионов редкоземельных элементов характеризуются последовательным заполнением оболочки 4f над электронной конфигурацией
ксенона (4 балла).
3. Атом бора в основном состоянии имеет электронную конфигурацию 1s 2 2s 2 2 p . Определить картину зеемановского расщепления уровней (с учетом тонкой структуры уровней) в
предельных случаях сильного и слабого магнитного поля (8 баллов).
4. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно использовать

pˆ 2
a 
1
ˆ
модельный гамильтониан вида H 
 Z e e 2   2  , где M  приведенная масса ядер,
2M
 r 2r 
2
Z ee2
a  равновесное межатомное расстояние порядка боровского радиуса 
2 , а
2a
me e
энергия диссоциации молекулы. Найти уровни энергии связанных состояний. В случае, когда радиальное и орбитальное квантовые числа не очень велики, т.е. при nr   и
l   , где   M
, получить колебательный и вращательный спектр двухатомной молеme
кулы (6 баллов).
5. Однократно заряженная частица находится на уровне с главным квантовым числом n  1
изотропного гармонического осциллятора. Вычислить время жизни частицы на этом
уровне, обусловленное однофотонным переходом. Ответ довести до числа в предположе 50 Гц.
нии, что масса частицы равна массе атома рубидия, а частота осциллятора 
2
Найти угловое распределение испущенных квантов при излучении из состояний
(n x , n y , n z )  (1,0,0) , (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. (Нейтральные атомы рубидия в осцилляторном потенциале с аналогичными параметрами изучались в опытах с конденсатом Бозе-Эйнштейна.). Каким окажется время жизни на указанном уровне протона, если характерная энергия для потенциала ядерных сил равна   1 МэВ? (7 баллов)
12
6. Быстрые электроны рассеиваются протоном, находящимся в ядерном потенциале вида
U  m 2 ( x 2  y 2  z 2 ) / 2 . Найти в борновском приближении дифференциальное сечение
упругого рассеяния для случая, когда протон находится в основном состоянии, и неупругого рассеяния
с возбуждением протона из основного состояния в состояние с
n  n x  n y  n z  1 . Конечно или бесконечно дифференциальное сечение, проинтегрированное по всем углам? (6 баллов)
7. В экспериментах Р. Хофштадтера по рассеянию электронов с энергией E  183 МэВ на
ядрах золота (заряд Z  79 , атомный номер A  197 ) измерен квадрат модуля формфактора как функция угла рассеяния. Эта зависимость обнаруживает минимум при угле рассеяния   49.4  . Рассчитать зарядовый формфактор, рассмотрев две формы зависимости за1
  , r  R,
r
рядовой плотности ядра от радиуса,  (r )   0 e R и  (r )   0
, где R  R0 A 3 . Вы 0, r  R
разить параметры  0 и R0 через заряд ядра Ze и среднеквадратичный радиус зарядового
распределения r 2 . В пользу какого из указанных выше распределений плотности свиде-








тельствуют данные эксперимента? Определить из этих данных величину параметров
 0 и R0 для ядра золота (6 баллов).
8. Нейтрон рассеивается в жидком гелии, находящемся при температуре, близкой к абсолютному нулю. Найти минимальную скорость нейтрона, при которой он, испытав неупругое
рассеяние, испустит квант звуковых колебаний (фонон). Указание. Закон дисперсии фоно

нов имеет вид   cs | k | , где k -волновой вектор, c s -скорость звука (6 баллов).
Итого 110 баллов.
Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий).
За сданные вовремя задачи из Задания и за контрольные начисляются баллы. Задача считается
сданной вовремя, если она сдана не позже даты, указанной в задании. За несданные вовремя
задачи баллы не начисляются!
Неспособность студента быстро ответить на технические вопросы по представленному решению считаются попыткой сдать списанную задачу. В этом случае баллы за задачу не начисляются.
К этим баллам добавляются баллы, полученные на двух контрольных.
Для допуска к экзамену (и возможности получить оценку "3") необходимо сдать все задачи из
Задания.
Для получения на экзамене оценки "4" необходимо в течение семестра набрать не менее 70
баллов.
Для получения на экзамене оценки "5" необходимо в течение семестра набрать не менее 110
баллов.
Приём заданий прекращается 30 декабря!
Задачи, предлагаемые на контрольных работах по курсу «Введение в физику
твердого тела» (5-й семестр)
2n
 x
1. Оценить энергию основного состояния частицы в поле U ( x)  U 0   по соотношению неa
определенностей (4 балла).
2. В состоянии с волновой функцией  (x) средние значения и дисперсии операторов координаты и импульса равны соответственно xˆ  x0 , x 2   2 и pˆ  q0 , p 2   2 . Вычислить
13
все эти четыре характеристики в состоянии с волновой функцией  ( x)   ( x) exp(
ip 0 x

) (10
баллов).
3. Частица массы m помещена в бесконечно глубокую потенциальную яму ширины a с границами 0, a  . При t  0 её волновая функция имела вид  ( x, t  0)  A sin 3 (x ) . Найти: средa
нюю энергию частицы в этом состоянии; плотность вероятности в произвольный момент
времени оказаться в интервале координат ( x, x  dx) ; интервал времени T , через который частица вернётся в указанное состояние (8 баллов).
̂
ˆ
4. Вычислить средние значения
и
в состоянии с волновой функцией
l2
l
 
1
2
[Y2, 2 ( ,  )  Y2, 2 ( ,  )] (4 балла).
5. Вычислить в квазиклассическом приближении число уровней в поле U ( x)  
U0
ch 2 ( x )
a
(6
баллов).
6. Вычислить по теории возмущений поправку 1-го и 2-го порядка к n-му уровню гармонического осциллятора за счёт возмущения V ( x)  U 0 x (5 баллов).
a
2 2
7. Найти точные уровни энергии частицы в поле U ( x)  m x  U 0 x (5 баллов).
2
a
Дополнительные задачи по курсу «Введение в физику твердого тела» (5-й семестр).
1. Рассматривается модель линейной трехатомной молекулы из одинаковых атомов ( C 3 или
N 3 ). Зададим базис из векторов состояния L , C , R в соответствии с тем, на каком атоме (левом L, центральном C или правом R) локализован электрон при большом расстоянии
между атомами. В этом базисе матрица оператора Гамильтона имеет вид
0
 E0 


Hˆ    E0   . (а) Найти собственные значения и нормированные собственные век 0  E 
0

торы этой матрицы. (б) Взяв электрон в основном состоянии, найти вероятности его пребывания в состояниях L , C , R . (в) Пусть электрон находится в состоянии L , и мы измеряем его энергию. Какие значения мы получим и с какими вероятностями? Вычислить
среднее значение и дисперсию энергии в состоянии L . (г) Используя модельный гамильтониан задачи 3, найти волновые функции состояний L , C , R в координатном представлении. (д) Пусть электрон находился в состоянии L в момент времени t  0 . Найти соответственно вероятности того, что к моменту времени t  0 электрон останется в этом состоянии, перейдет в состояние C , R . Используя численные значения параметров G, a задачи 3, вычислить момент времени, в который вероятность нахождения в состоянии L
впервые обратится в нуль.
2. Найти уровни энергии En и нормированные волновые функции стационарных состояний
 , z  0,
частицы в одномерном поле с потенциальной энергией U ( z )  
в квазиклассичеmgz, z  0
ском приближении.
14
3. Рассматривается процесс  -распада ядра X , X A Z  2  X A 4 Z   ( A -атомный вес, Z атомный номер), как туннелирование  -частицы через потенциальный барьер. Модельный
  U 0 , r  R,
потенциал, в котором движется  -частица в ядре, имеет вид U (r )  2Ze 2
. Выве,r  R

r
сти зависимость времени полураспада от энергии  -частицы. Довести ответ до числа в
случае изотопа тория, Th 227 90  Ra 22388   (энергия  -частицы E  6.16 МэВ, «частота
ударов»  0  9.7  1018 с 1 , R  7.6  10 13 см ) и урана, U 23892  Th 234 90   (энергия  4.
5.
6.
7.
8.
частицы E  4.25 МэВ, «частота ударов»  0  1.8  10 20 с 1 .
Применяя правила Хунда, найти основные термы элементов Sc, Ga, Ge, As, Se, Br, Rb, Zr,
Tc и вычислить их магнитные моменты в нулевом магнитном поле.
Гамильтониан электронной подсистемы атома гелия без учета релятивистских поправок
 2 ˆ 2
pˆ 1
p
2e 2 2e 2
e2
ˆ
имеет вид H 
 2 

   . Доказать, что полный орбитальный мо2m 2 m
r1
r2
| r1  r2 |
мент и полный спин электронной оболочки являются интегралами движения. Рассматривая
взаимодействие между электронами как возмущение, рассчитать энергетические уровни
1s2s с учетом обменного взаимодействия. Энергия какого терма ниже, триплетного 2 3 S1
или синглетного 21 S 0 ?
Частица проходит через одномерный прямоугольный потенциальный барьер.
Пусть
энергия частицы такова, что коэффициент прохождения равен ½.. Найти разность фаз
между отраженной и прошедшей волнами.
Частица
находится
в
одномерном
потенциальном
поле
вида
 0,0  x  a, x  a(1  U 0 / V )
, U (x)   при x  0 . Используя квазиклассичеU ( x)  
U 0  V (a  x), a  x  a(1  U 0 / V )
ские правила сшивания волновой функции, определить положение квазиуровней энергии и
их ширину.
ˆ
ˆ
Гамильтониан системы имеет вид Hˆ  L2 / 2 I  Lˆ , где L  ( Lˆ , Lˆ , Lˆ ) суть компоненты
z
x
y
z
оператора момента количества движения, I и  - произвольные постоянные. Найти уровни
энергии системы. Пусть при t  0 система приготовлена в состоянии с волновой функцией
(Y  iY2, 0  2Y2, 2 )
 ( ,  )  2,1
. Какие значения энергии могут быть получены при измере6
нии и с какими вероятностями? Является ли указанное состояние стационарным? Найти
волновую функцию указанного состояния  ( ,  , t ) в произвольный момент времени.
9. Пучок нейтронов, движущихся вдоль оси x и поляризованных по направлению движения,
переходит из области x  0 , где нет магнитного поля, в область x  0 с постоянным однородным магнитным полем B = (0,0,B). Найти зависимость от x средних значений декартовых проекций спина s x , s y , s z при x  0 .
10. Вычислить вероятность wn того, что в когерентном состоянии   e | |
2


n
n нахоn!
дится n квантов возбуждения гармонического осциллятора. Зная wn , рассчитать среднее
значение и дисперсию числа квантов в когерентном состоянии.
11. Оценить численно коэффициент подбарьерного прохождения при ядерной реакции
p  p  d  e    e , идущей в недрах Солнца. Считать, что Солнце является газовым шаром, состоящим из ионизованного водорода. Равновесие обеспечивается балансом силы
тяжести и давлением классического идеального газа с уравнением состояния p  k B nT .
/2
n 0
15
12. Найти уровни Ландау электрона в графене и кратность их вырождения. Имеется ли уровень с энергией, равной нулю? Задачу решать в приближении, когда справедлив линейный
закон дисперсии электронов при выключенном магнитном поле.
13. Частица со спином s  ½, имеющая магнитный момент  , находится в однородном пере



менном магнитном поле вида B(t )  B0 e z  B1[e x cos(0 t   )  e y sin( 0 t   )] . В начальный
момент времени спин частицы был ориентирован вдоль оси z . Вычислить среднее значение оператора спина в произвольный момент времени.
14. Построить операторы спина для частицы в случае s  1.
15. Две одинаковые частицы со спином s  ½, имеющие магнитный момент  , взаимодей 
ствуют по закону Vˆ  J 1 2 . Система помещена в переменное однородное магнитное поле




вида B(t )  B0 e z  B1 (e x cos 0 t  e y sin 0 t ) . При этом B1  B0 . В начальный момент времени t  0 система двух спинов находилась в состоянии  z  z . Вычислить вероятности
того, что в произвольный момент времени t система (a) останется в том же состоянии; (b)
1
окажется в состоянии  z  z ; (c)окажется в состоянии
(  z  z   z  z ) ; (d) окажется в
2
1
состоянии
( z z  z z ) .
2
16. В опытах по физической реализации квантового вентиля CNOT дейтерированный цитозин
помещался в постоянное однородное магнитное поле с напряженностью B0 . В этой органической молекуле
два протона
описываются с помощью гамильтониана
Hˆ  (1 z1   2 z 2 ) B0  J z1 z 2 . Найти уровни энергии этой системы и качественно изобразить спектр излучения. Считать, что J | 1   2 | B0 . Примечание. Различие эффективных магнитных моментов одинаковых частиц в сложных органических молекулах возникает за счет различия в их электронном окружении и называется химическим сдвигом.
17. Оператор квантового преобразования Фурье Û QFT действует на вектор состояния в вычис-
1 N 1
exp( 2ijk ) j , где последоваk  1,0,1,1,1,0... как Uˆ QFT k 

N
N j 0
тельность нулей и единиц длины N  2 n является двоичной записью числа k .
Найти матричный элемент k  Uˆ QFT k в вычислительном базисе.
лительном базисе



Найти результата действия Û QFT на трехкубитовый вектор состояния
1
Показать, что справедливо представление Uˆ QFT k 
N
n
[ 0
l 1
1
8
7
k
k 0
 1 exp( 2ikl
2l
cos 2k .
8
)] .
Домашние задания по курсу «Введение в физику твердого тела» (6-й семестр).
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 25 марта)
1. Вычислить в квазиклассическом приближении плотность энергетических состояний для частицы со спином
в поле анизотропного гармонического осциллятора
s
m 2 2
U ( x, y, z )  ( x x   2 y y 2   2 z z 2 ) . То же для частицы с электрическим зарядом q в
2

однородном электрическом поле напряженности E  E0 (0,0,1) , помещенной в объем
L x  L y  L z . (9 баллов).
16
2. Плоский конденсатор с площадью пластин  и расстоянием между ними L заполнен газом нейтральных двухатомных молекул, обладающих электрическим дипольным моментом p . Число молекул N , температура T . Сколько тепла выделится при изотермической
зарядке конденсатора до разности потенциалов U ? Найти изменение температуры газа,
если при включении электрического поля газ был теплоизолирован. Считать, что
pU <<1 (5 баллов).
TL
3. Газ молекул при температуре T находится в сосуде, ограниченном стенками. Вычислить
долю молекул, достигающих стенки, энергия которых превышает  0 (4 балла).
4. Цилиндр свободно подвешен за середину торца. N медленных электронов, поляризованных
вдоль оси цилиндра, застревают в нем. В результате взаимодействия электронов с атомами
вещества (за счет спин-орбитальной связи) часть момента количества движения электронов
переходит в момент вращения цилиндра. Считая теплоемкость цилиндра большой, найти
установившуюся угловую скорость вращения цилиндра в зависимости от температуры.
Указание. Использовать принцип максимума энтропии и условие сохранения полного момента количества движения (5 баллов).
5. Естественное содержание изотопов дейтерия D в водороде H составляет 1.5  10 4 . Найти
N
отношение HD N в естественной смеси при температуре T  300K . Частота колебаний
D2
молекулы H 2 такова, что
 H 2
kB
 6100 K (7 баллов).
6. Найти равновесную степень диссоциации газа двухатомных молекул вида AB с потенциа6
 r0 12

r


0
лом межатомного взаимодействия U (r )  U 0 
  2 r   . Считать, что полный
r


 

электронный спин молекулы и проекция электронного орбитального момента на ось симметрии равны нулю. Атомы A и B , из которых составлена молекула, имеют основные
термы 2 S 1 / 2 (8 баллов).
ЗАДАНИЕ № 2 (срок сдачи 30 апреля)
1. Прямоугольный сосуд с площадью основания 10 см 2 и высотой 10 см находится в однородном поле тяжести Земли. Сколько нейтронов можно поместить в этот сосуд? Вычислить
энергию нейтронов. Считать, что вещество сосуда непроницаемо для нейтронов, а температура T  0 . Взаимодействием нейтронов друг с другом пренебречь. (3 балла)
2. Графен является двумерной кристаллической модификацией углерода. Электроннодырочный спектр графена такой же, как у беспримесного полупроводника с нулевой щелью и с линейным законом дисперсии  e,h  vF
p 2 x  p 2 y , где верхний (нижний) знак
относится к электронам e (дыркам h ), v F  1 108 см/с – скорость Ферми. (a) Вычислить
зависимость от температуры концентрации носителей (то есть числа носителей на единицу
площади) и электронно-дырочной теплоёмкости. Ответ довести до числа при T  1 K и 300
K. (b) Найти зависимость концентрации электронов и дырок при наложении однородного
электрического поля напряженности E0 , направленного вдоль оси x образца с геометрическими размерами L x  L y . Учесть, что кроме вырождения по проекции спина у электронов
в графене есть дополнительное двукратное вырождение. (13 баллов).
17
3. 3. N  10 6 атомов 37 Rb 87 находятся в ловушке, действие которой можно представить потенциалом
анизотропного
гармонического
осциллятора
m
равны
U ( x, y, z )  Rb  2  ( x 2  y 2 )   2 z z 2 . Поперечная и продольная частоты
2



 10 2 Гц,  z
 10 Гц. Спин ядра атома 37 Rb 87 равен 3/2 . Показать, что этот атом
2
2
является бозоном.
Вычислить температуру бозе-эйнштейновской конденсации T0 для
каждого из возможных значений полного момента атома 37 Rb 87 . Найти теплоемкость
системы ниже этой точки и выяснить характер ее особенности в зависимости от температуры в окрестности T0 . Взаимодействием атомов между собой пренебречь (6 баллов).

4. Рассчитать геометрический структурный фактор S (q ) для гранецентрированной кубической и объемно-центрированной кубической структур. Зная, что при дифракции на кристалле рентгеновских лучей с длиной волны 1.542 ангстрема наблюдались брэгговские углы 12.3 ,14.1 ,20.2  ,24.0  ,25.1 ,29.3 ,32.2  и 33.1 , определить соответствующие индексы
Миллера. Какой из двух указанных кубических решеток принадлежит исследуемый кристалл? Найти из экспериментальных данных размер элементарной ячейки (5 баллов).
ЗАДАНИЕ № 3 (срок сдачи 25 мая)
1. N s атомов, обладающих основным термом 2 S1 / 2 , помещены в кристаллическую решетку.
N
Na, s
 10 2 . Начальная температура системы Ti  3 K,
Число атомов в решетке
Na
внешнее магнитное поле H i  10 кгс. Вся система теплоизолирована. Затем магнитное поле
адиабатически выключается. Учитывая колебания кристаллической решетки, найти температуру системы в конце этого процесса, считая, что остаточное магнитное поле (за счет
слабых межатомных взаимодействий), действующее на атомы парамагнитной примеси,
равно H f  10 гс. Учет колебаний кристаллической решетки провести в модели Дебая в
предположении, что элементарная ячейка содержит один атом. Температура Дебая
<<1 (5 баллов).
D  100 K. При вычислениях считать, что H
k BT
2. Аппарат стационарной телефонной связи используется раз в десять минут. Оценить, через
какое время телефонный шнур окажется десятикратно скрученным (1 балл).
3. Представим, что нанотехнолог изготовил молекулярное устройство, которое способно работать при температуре T , причем постоянство температуры должно поддерживаться на
уровне 10 3 . Сколько частиц классического одноатомного газа ему следует взять для изготовления термостата, поддерживающего стабильность температуры на таком уровне? (2
балла).
4. Заряженная частица движется в газе, испытывая действие однородного магнитного поля
напряженности B0 , направленного вдоль оси z . Сила трения, действующая на частицу со


стороны газа, пропорциональна скорости: f  v . Температура среды T . Вычислить спектральные плотности величин (v x2, y , z )  , (v x v y )  , (v x , y v z )  . Найти коэффициенты диффузии
D x , D y и D z частицы вдоль трех декартовых координат (7 баллов).
Итого 80 баллов.

Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий).
18







За сданные вовремя задачи из Задания и за контрольные начисляются баллы. Задача считается
сданной вовремя, если она сдана не позже даты, указанной в задании. За несданные вовремя
задачи баллы не начисляются!
Неспособность студента быстро ответить на технические вопросы по представленному решению рассматривается как попытка сдать списанную задачу. В этом случае баллы за задачу не
начисляются.
К этим баллам добавляются баллы, полученные на двух контрольных.
Для допуска к экзамену (и возможности получить оценку "3") необходимо сдать все задачи из
Задания.
Для получения на экзамене оценки "4" необходимо в течение семестра набрать не менее 70
баллов.
Для получения на экзамене оценки "5" необходимо в течение семестра набрать не менее 90
баллов.
Приём заданий прекращается 30 мая!
Задачи, предлагаемые на контрольных работах по курсу «Введение в физику
твердого тела» (6-й семестр).
1. Вычислить химический потенциал  идеального классического одноатомного газа N бесспиновых нерелятивистских частиц, находящихся в однородном поле тяжести с потенци , z  0,
альной энергией U ( z )  
. Газ находится в цилиндрическом сосуде с площадью
mgz, z  0
основания  0 , помещенным в термостат с температурой T .
2. Вычислить химический потенциал двумерного электронного газа. Число частиц N , температура T . Электроны занимают площадь  в двумерном координатном пространстве.
3. Вычислить теплоемкость насыщенного пара вдоль кривой равновесия жидкость-пар. Считать, что удельная теплота парообразования не зависит от температуры.
4. Вычислить энергию Ферми протонов и нейтронов в ядре U 92 238 в предположении, что
эти частицы пространственно-равномерно распределены внутри сферы радиуса R  r0 A1 / 3
с r0  1.3  10 13 см, A  атомный вес. Ответ выразить в МэВ. (3 балла).
5. Идеальный классический газ N бесспиновых ультрарелятивистских частиц с законом

дисперсии   c | p | помещен в непроницаемый сосуд конечного объема. Система
находится в термостате при температуре T . Вычислить теплоемкость газа. (5 баллов).
6. Фотоны и газ классических нерелятивистских одноатомных частиц находятся в тепловом
равновесии. Плотность частиц n  2.7  1019 см 3 . Найти температуру, при которой давления фотонов и частиц окажутся равными? Ответ довести до числа. (5 баллов).
7. Идеальный газ из N  10 6 тождественных нерелятивистских фермионов со спином ½
2 2

находятся в поле трёхмерного изотропного осциллятора U (r )  m r 2 с частотой

 100 Гц. Найти плотность числа частиц в зависимости от координаты и вычислить
2
энергию Ферми  F (в единицах эВ) (8 баллов). Найти выражение для теплоёмкости системы при низких температурах T   F (8 баллов) и вычислить её численное значение в системе единиц k B  1 при T  10 2  F (2 балла).
8. Рассматривается вырожденный идеальный ферми-газ в большом каноническом ансамбле.
2
Найти дисперсию числа частиц nk в квантовом состоянии k , имеющем энергию  k .
Найти дисперсию полного числа частиц N 2 для свободных частиц с законом дисперсии
2 2
 k   k 2m . Ограничиться членами первого порядка по температуре. (12 баллов).
19
9. Имеется плоская квадратная решетка из одновалентных атомов. Число атомов
N  3.53  10 8 , размер решетки Lx  L y  1 1 см 2 , постоянная решетки a  10 -8 см. Качественно изобразить вид области занятых электронных состояний в первой и
второй зонах Бриллюэна (8 баллов).
10. N частиц классического одноатомного идеального газа находятся в сосуде с размерами
L x  L y  L z . При этом L z таково, что при температуре T возбуждены два нижних уровня
движения вдоль оси z , а движение вдоль осей x, y классично. Вычислить теплоемкость газа. (8 баллов)
11. В идеальном кристалле атомы находятся в N узлах кристаллической решетки. В реальном
кристалле возможны дефекты, когда n атомов из N узлов перемещаются в N  междоузолий, N   N . Считая, что перемещение одного атома требует энергии  0 , найти равновесное значение n при заданных N , N  ( n  N , N  ) и температуре T . Использовать микроканоническое распределение. (8 баллов)
12. Идеальный классический газ N бесспиновых ультрарелятивистских частиц с

законом дисперсии   c | p | помещен в непроницаемый сосуд конечного объема. Система находится в термостате при температуре T . Вычислить теплоемкость газа. (5 баллов).
Дополнительные задачи по курсу «Введение в физику твердого тела» (6-й семестр).
1. Рассматривается модель компьютера из трех битов a , b, и c . Биты обновляются в соответствии со следующими правилами: (1) (a , b, c )  (a, b, b  c) , (2) (a , b, c )  (c, c, ab) , (3)
(a , b, c )  (a, b, c  ab) . Выяснить, какие из этих правил логически обратимы, а какие нет.
Считая, что устройство помещено в термостат с температурой T , вычислить количество
тепла, выделяющегося при вычислениях с этими правилами перехода. Омическими потерями пренебречь.
2. Классический газ N невзаимодействующих двухатомных молекул находится в объеме V .
3
Атомы в молекуле взаимодействуют по закону U (r )  U 0 r 3  1 . Найти теплоемкость
r 0
газа и среднеквадратичный размер молекулы при температуре T .
3. Вычислить в квазиклассическом приближении плотность энергетических состояний для частицы со спином s в одно-, двух- и трехмерной прямоугольной яме с бесконечными стенками. Длины ребер считать различными.
4. В массивных нейтронных звездах плотность вещества, состоящего из электронов, протонов
и нейтронов может оказаться столь большой, что их фермиевское движение окажется ультрарелятивистским (оценить соответствующую плотность!) Системе выгодно понизить
энергию за счет захвата остающихся электронов согласно реакции e   p  n   e . Предполагая, что химический потенциал электронных нейтрино  e равен нулю, найти равновесную концентрацию электронов, протонов и нейтронов.
5. 2 N тождественных фермионов со спином ½ за счет взаимодействия, силу которого можно
контролировать, связаны в пары, представляющие собой бозоны со спином 0. Они помещены
в
поле
анизотропного
гармонического
осциллятора
вида

m
U (r )  ( 2 x x 2   2 y y 2   2 z z 2 ) и находится при температуре T  TBEC , где TBEC 2
температура бозе-конденсации указанных N бозонов в этом поле. Далее взаимодействие
между фермионами адиабатически выключается, и бозе-газ N связанных фермионов переходит в газ 2 N фермионов в том же самом потенциальном поле. Найти температуру фермионов. Энергию связанного состояния частиц бозе-газа считать пренебрежимо малой.
Примечание. Управлять силой взаимодействия фермионов можно благодаря так называе20
мому резонансу Фешбаха, когда длина рассеяния двух фермионов, определяющая характер
их взаимодействия, меняет знак при адиабатическом изменении величины магнитного поля.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
И.Ф. Гинзбург. Введение в физику твердого тела. Изд. «Лань» (2007).
В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович. Конспект лекций по квантовой механике. Изд. НГУ.
Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. (Наука, 1978).
В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. Задачи по квантовой механике.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика, ч.1.
Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин. Термодинамика, статистическая физика и кинетика.
Ч. Киттель. Статистическая термодинамика.
б) дополнительная литература:
8. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика.
9. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8 и 9.
10. В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Изд. РХД, 2002 г.
11. И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков. Сборник задач по квантовой механике.
12. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики.
13. А.С. Давыдов. Квантовая механика.
14. Дж. Прескилл. Квантовая информация и квантовые вычисления. Изд. РХД, 2008.
15. К.А. Валиев. Успехи физических наук, т. 175, 3 (2005).
16. Р. Кубо. Статистическая механика.
17. Г.Л. Коткин. Лекции по статистической физике.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Веб-страница курса Дж. Прескилла по квантовой информации и квантовым вычислениям:
http://www.theory.caltech.edu/~preskill/ph219/ .
2. Веб-страница Particle Data Group http://pdg.lbl.gov/ где можно узнать новейшие значения
фундаментальных физических постоянных.
3. Веб-страница корнеллского архива препринтов по физике конденсированного состояния
http://arxiv.org/list/cond-mat/new, где содержатся работы по физике твердого тела и возможным реализациям квантовых вентилей и квантовых компьютеров на конкретных физических системах.
4. Веб-страница корнеллского архива препринтов по квантовой физике
http://arxiv.org/list/quant-ph/new, содержащая работы по квантовой физике, квантовым вычислениям и квантовой обработке информации.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не требуется.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года.
21